GERAK PADA DUA DAN TIGA DIMENSI (Menurut Arya, 1990) 2.1 Pendahuluan
Satu cara yang umum dilakukan menentukan posisi sebuah partikel (atau objek seperti partikel) adalah dengan menggunakan vektor posisi
yaitu sebuah
vektor yang merupakan perpanjangan dari sebuah titik referensi (biasanya adalah titik asal dari sebuah sistem koordinat) menuju partikel. Dalam notasi vektor satuan kita dapat menuliskan sebagai berikut : dimana xi , yj, dan zk adalah adalah komponen komponen vektor
dan
koefisien x, y, dan z adalah komponen skalarnya. Koefisien x, y, dan z memberikan lokasi partikel di sepanjang sumbu-sumbu koordinatnya dan relatif terhadap titik asal. Dengan kata lain, partikel tersebut mempunyai koordinat (x, y, z) yaitu koordinat 3 dimensi. 2.2 Koordinat Kartesius
Untuk memulai sistem koordinat i, kita memilih dua sistem koordinat persegi panjang dua dimensi, terdiri dari dua saling tegak lurus sumbu koodinat di titik asal O, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.1. seperti yang ditunjukkan, X dan Y yang berada pada bidang yang terbuat dari kertas dan pada 90 0 satu sama lain. Posisi titik P adalah
Gambar 2.1. Koordinat dua dimensi
dijelaskan oleh koodinat (x,y) yang diperoleh dengan menggambar tegak lurus dari P ke X dan Y sumbu, sehingga OA=OB=x dan y. sehingga kita dapat menulis: OP 2
OA2 OB2
x 2
y 2
(2.1)
1
Gambar 2.2 menunjukkan satu set dari tiga dimensi persegi panjang sumbu koordinat, lagi X dan Y sumbu pada bidang yang sama di 90 satu sama lain, sedangkan Z sumbu tega lurus terhadap bidang ini sekali lagi posisi titik P digambarkan oleh koordinat (x,y,z) dan kita mungkin 2
OP
2
OP
OM
x
2
2
y
2
2
OC
OA
2
OB
2
2
OC
2 z
(2.2)
Tiga sumbu yang saling tegak lurus yang ditunjukkan pada gambar 2.2 membentuk sistem kaidah tangan kanan.
Gambar 2.2 Sistem koordinat 3 Dimensi 2.3 Koordinat Polar
Sistem koordinat yang berbentuk persegi panjang yang cukup berguna dalam menggambarkan erak suatu obek yang bergerak dalam garis, bidang koordinat polar. Mengacu pada koordinat segi empat dari pont P pada bidang XY adalah (x,y). Titik P terletak pada jarak r dari titik asal, dan OP garis membentuk sudut 0 dengan sumbu X adalah sama diterima untuk menggambarkan posisi titik P dengan koordinat dan
disebut bidang koordinat polar, hubungan antara (x,y)
r ,
adalah
r ,
x
r cos cos
y
r sin sin
kita dapat mengekspresentasikan r dan
(2.3) dalam
hal x dan y dengan prosedur
sederhana. Dengan mengkuadratkan dan kita mendapatkan x
2
y
2
2
2
2
Maka menghasilkan : x y
r cos sin sin
r sin r sin
2
tan
2
r
Yaitu : r
x
2
y
2
dan
tan
y
(2.4)
x
Dengan demikian, dalam dua dimensi sistem (x,y) koordinat atau
benar-
r ,
benar menentukan posisi suatu titik dalam pesawat, r dapat memiliki nilai antara 0 dan
, sedangkan dapat
memiliki nilai antara 0 dan
2 radian,
dengan meningkat berlawanan.
Perbandingan lebih lanjut dan kontras anatara persegi panjang dan bidang koordinat ditunjukkan pada Gambar 2.3. menunjukkan plot X dan Y konstan.
Gambar 2.3. Sistem koordinat polar 2 dimensi
2.4 Koordinat silinder
Mari kita mempertimbangkan titik P yang terletak pada jarak r dari asal O. Titik P dapat ditemukan dengan menggunakan satu set koordinat persegi panjang (x, y, z) atau koodinat silinder
Z ,
,
seperti yang ditunjukkan dalam
persamaan dan terkait dengan (x,y,z) dengan persamaan x
cos
(2.5a)
Gambar 2.5 Sistem koordinat Polar 3 Dimensi
3
y sin z
z
(2.5b)
(2.5c)
Sedangkan hubungan terbalik dapat diperoleh dari Pers. (2.5a) dan (2.5b) dengan prosedur yang digunakan untuk bidang koordinat polar, yaitu,
x
tan
z
z
2
y
1
2
(2.5d)
y x
Perhatikan bahwa dalam silinder koordinat p telah menggantikan r dan telah menggantikan bidang koodinat polar.
2.5 Koordinat Polar berbentuk bola
Selagi lagi mempertimbangkan titik P dalam ruang yang terletak pada jar ak jarak r dari tiga asal O, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.6. koordinat persegi panjang dari titik P adalah (x, y, z), sedangkan koordinat polar bulatnya adalah (r). Untuk
menemukan
hubungan
anatara
dua
set
koordinat,
pertama
kita
menyelesaikan OP=r menjadi dua komponen PM dan OM, dimana PM
OC
OP cos
PC
atau
OP sin
atau
z
OM
r cos
r sin
Gambar 2.6. Koordinat polar 3 Dimensi
kita lanjut menyelesaikan OM menjadi dua komponen, OA dan OB, sehingga OA
OM
cos atau x
r sin cos
(2.6a)
4
OB
OM cos
atau y
r sin cos
(2.6b)
sehingga memiliki relasi x r sin cos
(2.7a)
y r sin cos
(2.7b)
z
r cos
(2.7c)
Hubungan terbalik, yaitu r,
, dalam hal x, y, z dapat diperoleh dari Gambar
2.7. sebagai berikut:
r OP OM 2
OA OB OC
OC 2
2
2
2
x 2 y 2 z 2 tan
PC OC
OM OC
OA2
OB 2
OC OA
y 2
z
y
OB
tan
x 2
x
yaitu, kita memiliki relasi r
x
2
y
x
tan
2
2
2
z
y
2
z
tan
y
x
(2.8)
Ini koordinat bola akan sangat berguna dalam membahas gerak dalam membahas gerak dalam tiga dimensi.
2.6 Perbedaan Sistem Koordinat Pada Kinematika
Posisi sebuah partikel P pada bidang XY dapat dijelaskan oleh koodinat (x,y) atau titik P dapat digambarkan dengan menggunakan vektor posisi r = x, y, dimana r adalah jarak dari titik tertentu yang disebut asal. Gerakan titik P pada bidang XY dapat diberikan dengan menggambarkan y sebagai fungsi dari x, atau sebaliknya, yaitu y
y ( x),
x
x(y)
(2.9)
atau diberikan hubungan fungsional anatara x dan y seperti f ( x, y )
5
0
misalnya, sebuah partikel bergerak dalam lintasan melingkar dapat dijelaskan oleh x
2
y
2
a
2
(2.10)
dimana a adalah jari-jari lingkaran. Suatu cara paling mudah untuk mempresentasikan lintasan partikel adalah dalam hal beberapa parameter s, sepeti x
( ),
y
x s
y(s)
(2.11)
atau r
( )
r s
dalam situasi sepert ini, partikel bergerak dalam lintasan melingkar akan dijelaskan oleh x
a cos ,
dimana
y
a sin
(2.12)
adalah parameter.
Secara umum, jika partikel dalam bidang XY, gerakannya digambarkan oleh x
x (t ),
y
y(t)
atau r
r (t )
(2.13)
dimana waktu t adalah parameter dalam kasus ini, kita dapat menulis vektor posisi r, dalam hal vektor satuan, seperti r
i
ˆ
x j y
(2.14)
ˆ
kecepatan dan percepatan partikel dan komponen mereka v a
dr dt dv dt
i
dx
j
ˆ
dt 2
d r 2
dt
dy
ˆ
i
dt
d 2 x
ˆ
2
dt
i v x j
jv y
ˆ
ˆ
d 2 y
ˆ
2
dt
i a x ˆ
(2.15)
ja y
ˆ
Gerakan tiga dimensi dipresentasikan sebagai
r i x j y k z ˆ
v a
dr dt dv dt
ˆ
ˆ
i
dx
ˆ
dt
d 2r 2
dt
j
i
dy
ˆ
dt
d 2 x
ˆ
2
dt
k ˆ
dz dt
j
d 2 y
ˆ
2
dt
6
i v x ˆ
k
jv y ˆ
d 2 z 2
dt
k v z
i a x
ˆ
ˆ
ja y ˆ
k a z ˆ
Gambar 2.6 Koodinat Rektangguler
2.7
Bidang Koordinat Polar
Dalam banyak situasi akan lebih mudah untuk menggunakan pesawat koordinat
r ,
polar
bukan
koordinat
persegi
panjang
(x,y)
untuk
menggambarkan gerak partikel. Hubungan antara sua set koordinat Gambar 2.6 adalah x
r
cos ,
y
r sin
(2.16)
sedangkan hubungan sebaliknya adalah
r x
y 2
tan
1/ 2
1 y
cos
x
1
sin 1 2 2 x y x
2 2 x y y
Jarak r diukur dari titik asal, sedangkan sudut polar 0 diukur berlawanan dari sumbu X, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.6. Sekarang kita mendefenisikan dua vektor satuan dalam koordinat polar yang tegak lurus satu sama lain. Dua vektor satuan ini adalah peningkatan
r ˆ
r ˆ
dan dan berada dalam arah ˆ
dan 0, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.7. Demikian poin r
ke arah P sepanjang meningkatkan jarak radial r, sedangkan nilai . ˆ
Gambar 2.7. Bidang Polar
7
Gambar 2.8 Hubungan antara Unit Vektor
Arah yang P akan bergerak sebagai sudut 0 meningkat. Selanjutnya, kedua vektor satuan adalah fungsi dari sudut 0. Vektor satuan r dan 0 bentuk sistem koordinat baru yang disebut bidang koordinat polar atau koodinat hanya polar. Seperti ditunjukan dalam Gambar 2.8 vektor satuan r dan 0 yang terkait dengan i dan j dengan relasi. r i cos j sin
(2.17a)
-i cos j sin
(2.17b)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Mari kita membedakan ini sehubungan dengan d r ˆ
d
,
yaitu
i cos j sin
d
ˆ
(2.18)
ˆ
ˆ
ˆ
d
i cos
ˆ
j sin ˆ
r
(2.19)
ˆ
sehingga kita memiliki d r ˆ
dan
ˆ
d
d ˆ
r ˆ
d
hasilnya dapat diperoleh secara langsung dengan mengacu pada Gambar 2.9 (a) dan (b). Angka-angka ini menunjukkan posisi
r ˆ
dan untuk sudut tertentu ˆ
dan d . Sebagai sudut meningkat sebesar d , radikal vektor satuan ˆ
perubahan dari
r ˆ
ˆ
( ) ke r ( d ) dengan jumlah yang d r sama, yang sudut ˆ
ˆ
vektor satuan berubah dari ( ) ke ( d ) dengan jumlah yang d seperti ˆ
ˆ
ˆ
yang ditunjukkan. Perhatikan bahwa titik d r arah , sedangkan titik d dalam ˆ
ˆ
arah yang berlawanan dengan
r ˆ
yaitu arah r seperti yang ditunjukkan. ˆ
Vektor posisi r dalam hal koordinat polar diberikan oleh 8
ˆ
r
r r ˆ
r r ˆ
Gambar 2.9 Bentuk Polar
perhatikan bahwa
r ˆ
(2.20)
r ˆ
maka ekspresi (2.20) tidak mengandung eksplisit. Gerakan partikel ditentukan oleh r(t) dan v
dr
dt
d
(t ) dalam
r r
dr
ˆ
dt
karena r ˆ
koodinat polar. Dengan demikian kecepatan v adalah
r r
d r ˆ
ˆ
dt
dt
(2.21)
menggunakan persamaan (2.21) kita harus menulis
r ˆ
d r
dr d
ˆ
dt
r ˆ
d dt
ˆ
yaitu
v r r r
(2.22)
ˆ
ˆ
kita dapat mengidentifikasi v
r
dan
r
v
(2.23)
r
dimana v, adalah komponen kecepatan sepanjang sedangkan
vb adalah
r ˆ
dan disebut kecepatan radial,
komponen sepanjang dan disebut kecepatan sudut. ˆ
Percepatan sistem menjadi
d dr d r d r d d r r r r r r dt dt dt d dt dt d dt r r r r r r r
a
dv
d
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
yaitu
r 2 )r (r 2r ) a (r
(2.24)
ˆ
ˆ
9
Jika dua komponen percepatan a adalah percepatan radial, dan percepatan sudut yang diberikan oleh a r
r r
ab
2r r
2
Maka istilah berikut ini, disebut kecepatan angguler 2
v v r r r r 2
2
2.8
Koordinat Polar Silinder
Dengan
menambahkan
komponen
Z
ke
bidang
koordinat
kita
mendapatkan koordinat silinder untuk menggambarkan gerakan dalam tiga dimensi. Tiga unit vektor p , , dan z dalam arah peningkatan p, φ, dan z, yang ˆ
ˆ
ˆ
disajikan di gambar 2.10 penting untuk dicatat bahwa Z adalah konstan, sementara unit vektor
p , adalah ˆ
ˆ
fungsi φ seperti dalam kasus bidang koordinat
polar. x = p cos φ
(2.25a)
y = p sin φ
(2.25b)
z=z
(2.25c)
Gambar 2.10 koordinat polar silinder
Sementara hubungan invers adalah P=(x2+y2)1/2
tan
1
y x
sin
x
1
x
2
y
cos
y
1
2
x
10
2
y
2
(2.26)
menggantikan (r,θ) oleh (p, φ) dan dengan Z komponen tambahan, kita dapat menulis hubungan: p i cos j sin
(2.27a)
i sin jcos
(2.27b)
r p p zz
(2.28)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Serta dengan sebelumnya ˆ
ˆ
dimana p memberikan jarak P dari Z-axis dan 4, memberikan rotasi sudutnya dari sumbu X, sementara z memberikan elevasi di atas bidang XY. Dengan demikian kita dapat menulis vektor kecepatan, mengingat bahwa p ˆ
dr
v
dt
d
ˆ
dt
dp
( p p z z )
p p
d p d ˆ
ˆ
ˆ
dt
d dt
p
ˆ
ᴓ sebagai :
dz d z z z dt dt ˆ
ˆ
(2.29)
z z (0) p p p() z ˆ
ˆ
ˆ
d z
Dimana
dt
0 , sehingga
z v p p p z ˆ
ˆ
ˆ
dv
a
d
dt
( p p p zz)
(2.30)
ˆ
ˆ
dt
ˆ
Dengan menggunakan persamaan maka dihasilkan :
- p 2 ) p ( p 2 p ) z z a ( p
(2.31)
ˆ
ˆ
ˆ
Sekarang kita dapat mengekspresikan setiap vektor A dalam tiga komponen A p,Aq, dan Az di arah dari tiga vektor satuan saling tegak lurus A
dA dt dA dt
A p p A φ φ A z z ˆ
ˆ
dA p
p A p ˆ
dt
(
dA p
d p d ˆ
d dt
dA
ˆ
dt
ˆ
ˆ
ˆ
(2.32)
ˆ
A ) p (
p, , z sehingga,
dA dt
A
d d d dt
A P ) p (
dA
ˆ
dt
dt
dA z
z A z
d z ˆ
ˆ
dt
A p ) ˆ
dt
dAz dt
z
(2.33)
Sedangkan hubungan terbaik yang 1
p
( x
2
tan 1
y
y x
2
)2 y
sin 1 x
2
y
2
x
cos 1 x
2
y
11
2
(2.34)
Mengganti (r,θ) dengan (p,φ) dan dengan Z komponen tambahan, kita dapat menuliskan relasi p i cos jsin ˆ
ˆ
ˆ
i sin j cos ˆ
ˆ
(2.35)
ˆ
Dan, seperti sebelumnya: d p ˆ
d d ˆ
d
ˆ
p ˆ
r vektor posisi menggambarkan letak di titik P dalam koordinat silinder, ditunjukkan pada gambar 2.12 adalah : r p p ˆ
z z ˆ
Dimana p memberikan jarak P dari Z-axis dan 4, memberikan rotasi sudutnya dari sumbu X, sementara z memberikan elevasi di atas bidang XY. Dengan demikian kita dapat menulis vektor kecepatan, menjaga diingat bahwa v v
dr dt
d
( p p z z ) ˆ
dt
dp
p p
d p d ˆ
ˆ
ˆ
dt
d dt
p ˆ
p () sebagai ˆ
:
dz d z z zi z z p p p() z dt dt ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
z p p p z ˆ
ˆ
ˆ
Menjadi :
p 2 ) p ( p 2 p ) z z a ( p ˆ
ˆ
ˆ
2.9 Koordinat Polar Bola
Koordinat polar bola atau koordinat bola adalah koordinat yang paling umum digunakan dalam situasi simetri bola misalnya, titik P dalam ruang terletak oleh koordinat (r,θ,ϕ) seperti ditunjukkan pada gambar 2.11 r adalah jarak radial dari titik asal o, (ϕ) adalah sudut azimut menemukan pesawat yang angie rotasi diukur dari sumbu X-, sedangkan sudut ϕ adalah sudut polar diukur turun dari sumbu Z-. Sudut polar ϕ dapat memiliki nilai antara o dan dapat memiliki nilai antara o dan π .
12
2
, sementara sudut azimuth dan
Gambar 2.11 Koordinat Polar Bola
Rectanguler koordinat (x,y,z) terkait dengan koordinat polar bola (r,θ ,ϕ) berikut hubungan oleh : x= r sin θcos ϕ y = r sin θsin ϕ z = rcos θ
(2.39)
perhatikan bahwa r sin θ= p hubungan reverse r = (x2+y2+z2)1/2 x
θ = tan-1 -1
=tan
2
y
2
z y
x
(2.40)
Vektor satuan yang digunakan dalam koordinat kutub bola yang (r,θ ,ϕ) dan seperti yang ditunjukkan dalam gambar 2.11 (a) dan (b). Juga ditampilkan adalah vektor unit i, j, k, z(= k) dan p. Vektor ϕ satuan terletak pada bidang XY, sementara r,θ, ϕ dan z semuanya terletak pada satu bidang ver tikal untuk r tetap dan θ variasi dalam ϕ, sesuai dengan rotasi tentang Z-axis, sedangkan untuk variasi sesuai dengan rotasi dalam bidang mengandung dari r,θ, ϕ dan z. Gambar koordinat bola sebelumnya kita dapat menulis hubungan berikut antara vektor satuan r p sin z cos i sin cos jsin sin k cos ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
13
pcos zsin θ icosθosθc jcosθosθs kcosθ ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
i sin j cos ˆ
ˆ
Membedakan persamaan, kita memperoleh hubungan berikut : r ˆ
r ˆ
ˆ
ˆ
sin
ˆ
r ,
cos ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0
p r sin cos
(2.42)
ˆ
ˆ
ˆ
Dalam koordinat bola, posisi titik P dalam ruang yang diberikan oleh vektor posisi r. Kita sekarang dapat menemukan ekspresi untuk kecepatan dan percepatan dengan memanfaatkan hubungan sebelumnya. Demikian : r r (, )
r
v
r
r r ˆ
(2.43)
ˆ
dr dt
d
[r r (, )]
dr
ˆ
dt
r r
d r ˆ
ˆ
dt
r r r
d r ˆ
ˆ
dt
dt
(2.44)
Menggunakan persamaan : d r ˆ
dt
(, )
d r d ˆ
d
dt
d r d ˆ
d
dt
sin ˆ
ˆ
Oleh karena itu kita memperoleh : v
sin ) r r r (r ˆ
(2.45)
ˆ
ˆ
Demikian pula : a
dv
r
dt
d
[r r r (r sin )] ˆ
ˆ
ˆ
dt
Yang pada hasil penyederhanaan a
(r r 2 r sin 2 2 )r (r 2r r sin cos 2 ) (r sin 2r sin ˆ
ˆ
2r cos )
(2.47)
ˆ
Sejak
, , dan
r
ˆ
ˆ
φ ˆ
membentuk satu set saling tegak lurus vektor unit, kita dapat
menulis vektor A dalam bentuk komponen sebagai
A A r r A A
(2.48)
ˆ
ˆ
14
Dimana komponen tergantung pada tidak hanya pada vektor A, tetapi juga pada lokasi di ruang angkasa. Jika A fungsi satuan parameter, yaitu fungsi waktu kita dapat menulis, dA dt
dAr
d r ˆ
r Ar ˆ
dt
dt
dAr dt
d ˆ
Ar ˆ
dt
dAr ft
d ˆ
Ar ˆ
dt
(4.49)
Sebelumnya dengan menggunakan pers. Kita dapat menulis : d r ˆ
dt d
ˆ
dt d
ˆ
d dt d d ˆ
ˆ
dt
d r d
ˆ
d dt
sin ˆ
ˆ
r ˆ
d dt d d ˆ
d r d
p ( r sin cos ) ˆ
ˆ
d dt
ˆ
(2.50)
Dalam hasil ini dalam persamaan di atas, kita memperoleh : dA dt (
(
dA dt
dAr
A A cos )r (
dA
ˆ
dt
dt
Ar A cos ) ˆ
Ar sin A cos ) ˆ
2.10 Operator Del Dalam Bentuk Silinder Dan Koordinat Bola.
Sekarang menggunakan operator del dalam koordinat silinder serta bola dengan menggunakan defenisi gradien. Di koordinat silinder, fungsi skalar u adalah u= u (p, , z)
(2.51)
ˆ
sebelumnya diketahui du = du
u p
dp
u
d
u z
dz
(2.52)
Dan r p p ˆ
z z ˆ
(2.53)
Maka dapat di tulis dr dp p p
p ˆ
ˆ
d dz z
(2.54)
ˆ
15
Menggunakan relasi
p
p ˆ
ˆ
dan
ˆ
(2.55)
ˆ
Sehingga diperoleh : dr p dp p d z dz
(2.56)
ˆ
ˆ
ˆ
Defenisi gradien u adalah du u.dr dr.u
(2.57)
Untuk hubungan ini untuk menghasilkan persamaan, kita harus mendefenis ikan p
ˆ
p
1
ˆ
z
ˆ
p
z
(2.58)
Seperti dalam kasus satu dimensi, kita dapat memperkenalkan fungsi energi potensial V(r)= V(x,y,z) sebagai kerja yang dilakukan oleh gaya ketika gaya bergerak partikel dari titik r beberapa standar acuan r s artinya : r 1
r
F (r ) dr
r
r 1
V(r) F(r) dr
(2.59)
Mengetahui bahwa V(r) harus menjadi fungsi dari posisi saja, defenisi ini hanya mungkin jika integral sebelumnya tidak tergantung pada jalan integrasi, yaitu hanya jika F(r) adalah kekuatan konservativ sehingga pekerjaan yang dilakukan akan independen dari jalan, maka fungsi energi potensial dapat diperkenalkan. F(r) untuk menjadi konservativ, dan karenanya menekankan bagi keberadaan fungsi V potensial (r). Mari kita katakan bahwa pekerjaan yang dilakukan untuk pergi dari titik P ke Q independen dari lintasan. Ini berarti bahwa bahwa kerja yang dilakukan dalam lintasan tertutup untuk pergi dari P ke Q dan kembali ke P adalah nol. WPQP
closed path F dr 0
(2.60)
Menurut stokes teorema kita dapat menulis hasil ini sebagai :
WPQP closed path F dr
surface n ( F)dS 0 ˆ
Hal ini bisa benar hanya jika integran sendiri F curl F 0
F adalah
(2.61) nol, yaitu : (2.62)
16
Ini adalah kondisi yang diperlukan dan cukup untuk gaya konservatif, maka fungsi energi potensial yang diberikan menyatakan syarat perlu dan cukup untuk adanya fungsi potensial. Sebuah gaya F yang curl F adalah nol disebut gaya konservatif. 2.11
Fungsi Energi Potensial
Dalam
menentukan
gerakan
partikel
dalam
satu
dimensi,
kita
mendefenisikan fungsi energi potensial sebagai : x s
V(x)
x
F ( x)dx F ( x)dx x
(2.63)
x s
Dan gaya yang sesuai F9x) adalah F ( x )
dV ( x )
dx
(2.64)
Kita sekarang dapat memperpanjang ide – ide untuk gerakan partikel dalam tiga dimensi. Mari kita mempertimbangkan partikel di r(x,y,z) yang di bawah aksi gaya F bergerak dari r 1 ke r 2. Kerja yang dilakukan diberikan oleh r 2
W F ( r )dr
(2.65)
r 1
Dan untuk mengevaluasi bagian integral ini kita harus menentukan sebuah lintasan. Seperti dalam kasus satu dimensi, kita dapat memperkenalkan fungsi energi potensial v(r) = V(x,y,z) sebagai kerja yang dilakukan oleh gaya ketika gaya menggerakkan partikel dari titik r ke beberapa acuan r s, artinya : rs
V (r )
r
F (r )dr F (r )dr r
(2.66)
rs
Mengetahui bahwa V (r) harus menjadi fungsi dari posisi saja, defenisi ini hanya mungkin jika integral sebelumnya tidak tergantung pada jalan integrasi. Dimana untuk menemukan kondisi yang diperlukan F(r) untuk menjadi konservatif, maka keberadaan fungsi potensial V(r). Maka usaha yang dilakukan untuk bergerak dari titik P ke Q tidak bergantung pada lintasan. Ini berarti bahwa usaha yang dilakukan dalam lintasan tertutup (lihat gambar 2.12) untuk bergerak dari P ke Q dan kembali ke P adalah nol. Artinya, kita menemukan WPQP
F dr 0
(2.67)
17
WPQP F dr
n ( F )dS 0
(2.68)
ˆ
Hal ini dapat berlaku hanya jika integran
F adalah
nol, yaitu
F curl F 0
(2.69)
Ini adalah kondisi yang diperlukan untuk gaya kenservatif, maka fungsi energi potensial yang sebuah gaya F yang curl F adalah nol disebut gaya konservatif.
Gambar 2.12. Kerja yang dilakukan dalam medan gaya konservatif untuk lintasan tertutup untuk bergerak dari P ke Q dan kembali ke P adalah nol. Kita sekarang dapat menunjukkan bahwa keberadaan fungsi potensial mengarah ke konservasi energi total jika medan gaya bersifat konservatif. Usaha yang dilakukan oleh F dalam bertindak melalui r 1 ke r 2 dapat ditulis sebagai r 2
W 12
rs
r 2
F (r )dr F (r )dr F (r )dr V (r ) V (r ) 1
r 1
r 1
2
(2.70)
rs
Tapi usaha yang dilakukan juga sama dengan perubahan energi kinetik r 2
W 12
F (r )dr K
2
K 1
(2.71)
r 1
Menggabungkan persamaan
K 1 V 1 (r ) K 2
V 2 (r )
(2.72)
Artinya, jika E adalah energi total, kita memperoleh K V
1 2
m( x 2 y 2 z 2 ) V ( x, y, z ) E
(2.73)
Yang merupakan bagian integral energi untuk gerakan dalam tiga dimensi. Mari kita mempertimbangkan F= F (r,t) dan mengatakan pada setiap waktu t yang
18
F ( r , t )
0
(2.74)
Dan kita dapat mendefenisikan fungsi potensial rs
V ( r , t )
F (r , t )dr
(2.75)
r
Sehingga F (r , t ) V (r , t )
(2.76)
Namun dalam kasus seperti ini jumlah dari energi kinetik dan potensial tidak konstan, maka F (r,t) bukan merupakan gaya konservatif. Jika F diberikan dan kitaingin mengevaluasi V (r), kita dapat melanjutkan secara langsung dengan mengevaluasi integral garis, r
V (r )
F (r )dr
(2.77)
rs
Atau kita dapat mengevaluasi tiga integral biasa dengan memulai dengan Fx
V x
Fy
,
V y
Fz
,
V z
(2.78)
Untuk mendaapatkan :
V F x dx C 1 ( y, z )
(2.79)
V F dz C ( x, y ) V - Fy dy C 2 ( x, y ) z
2.12
3
Contoh Soal
Contoh 1.
Tunjukkan bahwa berikut ini merupakan gaya konservatif dan cari potensial yang sesuai. a) F axi
ˆ
b) F x
by j cz k ˆ
3
3ayz
ˆ
3
2
20bx y , Fy
3
3axz
4
10bx y, F z
2
9axz y
Solusi
a) Untuk membuktikan bahwa gaya merupakan medan gaya konservatif, kita harus membuktikan bahwa garis lengkung dari vektor gaya adalah nol.
19
misalnya i, j, dan k menjadi vektor satuan. A, B dan C merupakan operator diferensial seperti yang ditunjukkan. Misalnya Sa = garis lengkung F, yang ditampilakan dalam bentuk matriks. Setelah menghitung nilai absolut dari Sa dan kemudian mengganti operator diferensial untuk A, B dan C, kita menyederhanakan dan menemukan bahwa Sa=0. Dengan demikin F dalam hal ini adalah medan gaya konservatif. i
A
1
j 1 d
k 1
d
B
dx
C
dy
d
dz
j k i Sa A B C ax by cz Sa
(i)
i B cz i C by A j cz A k by ax j C ax k B
Sa i
d dy
d
cz i
dz
j cz
d dx
k by
d dz
ax j
d dy
ax k
Sa 0 Menggunakan persamaan kita dapat menghitung potensi Va sesuai dengan gaya konservatif ini seperti yang ditunjukkan.
Va
axdx bydy czdz 1
1
2
2
Va ax 2
Va
1 2
ax 2
by 2
1 2
1 2
by 2
cz 2
1 2
cz 2 tetap
(ii)
Tetap adalah sama dengan jumlah dari tiga konstanta C a
C x
C y
C z
Tiga konstanta C x C y dan C z sesuai dengan tiga komponen gaya, dihitung ,
,
dari kondisi awal.
b) Kita ikuti prosedur yang sama seperti pada sebelumnya dan membuktikan bahwa gaya adalah konservatif. i Sa A 3ayz bx y 3
3
j B 2
3
3axz
C 9axz y k
10bx
20
4
y
2
(iii)
Sa i B 9axz 2
Sa
i C 3ayz 3
i C bx 4 y A j 9axz 2
A k 3ayz 3
A k 10bx 4 y 3ayz 3 j C 3ayz 3 k B bx 3 y 2 k B
0
Vx 3ayz 3 20bx 3 y 2 dx Vx 3ayz 3 x 5bx 4 y 2 Cx
Vy 3axz 3 10bx 4 y dy Vy 3ayz 3 x 5bx 4 y 2 Cy Vz 3ayz 3 x Cz Untuk medan gaya konservatif, jika kita asumsian Cx Cy
0, Vz adalah
singkatan dari istilah dari Cz harus seperti yang ditunjukkan. Vb 3ayz 3 x 5bx 4 y 2 Vb
5bx
4
y 2
Cx
ayz 3
3
5bx
4
y 2
Cy
ayz 3 x Cz
3
3
3axyz
atau Vb 9ayz 3 x 10bx 4 y 2
Cx Cy Cz
Contoh 2.
Sebuah partikel bermassa dari titik A ke B sekitar jalur setengah lingkaran dengan jari-jari R, seperti yang ditunjukkan pada gambar 2. Hal ini, dimana titik awal A dengan gaya sebanding dengan jarak dari A. Ketika mencapai B, gaya terhadap A adalah F0. Hitung usaha yang dilakukan terhadap gaya ini ketika partikel bergerak dari A ke B dalam jalur setengah lingkaran ini seperti yang ditunjukkan. Solusi:
Usaha yang dilakukan diberikan oleh B
(i)
dan F kr
(ii)
W F ds A
dimana k adalah konstanta. Tapi ketika r = 2R di B (lihat Gambar 2).
F B
F O
k (2R) atau
k
F O 2 R
(iii)
21
oleh karena itu,
F
F O
2 R
r
(iv)
Untuk menyatakan r dalam hal R dan O, kita menggunakan hukum cosinus: r 2 R 2 R 2 2 R 2 cos 2 R 2 1 cos F kr
F O 2 R
R
2 1 cos
Gambar 2
Dari gambar 2, kita mendapatkan hubungan F ds F ds cos
ds R d
2
cos cos180 cos cos
Kerja yang dilakukan W bergerak dari A ke B adalah B
W
F ds A
Perhatikan bahwa
F ds
F r cos d F r cos dan F 2
Menggantikan F, ds, dan
WF
F O
2 R 0
R
R cos
2 1 cos
2 R
R 21
cos
, kerja yang dilakukan WF dapat dihitung seperti
cos
yang ditunjukkan.
F O
2
WF F O R
22
Contoh 3
Sebuah partikel bergerak dalam bidang XY seperti ditunjukkan pada Gambar 3 akan tertarik ke arah ke asal oleh gaya F
k
y
. Hitung kerja yang dilakukan ketika
bergerak partikel. a) Dari A ke B dan kemudian ke C dan b) Dari A ke C panjang jalur elips yang diberikan oleh persamaan x
2a sin dan y
a cos .
Solusi
Dari A ke B dan ke C, gaya adalah F
k
y
, dan kerja yang dilakukan diberikan
oleh C
W
B
C
B
C
F ds F ds F ds F dr cos 1 F dr cos 2 A
A
B
A
(i)
B
untuk jalan dari A(0,a) ke B(2a,a).
y
a, dr
dx, dx, cos 1
x
x
2
a
2
(ii)
untuk jalan dari B(2a, a) ke C(2a,0) x
2a, dr dx, dx, cos 2
x
2a
2
y
2
(iii)
untuk kedua jalur F
k
y
(iv)
a) Tanda minus juga dapat dibenarkan oleh fakta bahwa gaya adalah melawan arah perpindahan.
23
Gambar 3. Mensubsitusikan Persamaan (ii), (iii) dan (iv) dalam (i) kerja Wa dilakukan dari A ke B dan kemudian ke C adalah seperti yang ditunjukkan. 2a
k a
Wa
0
k
0
x x a 2
2
dx
2a y 2
a
Wa k
5 1 ln( 2) ln( 5 1)
dy
2
b) Kita sekarang menghitung kerja yang dilakukan disepanjang jalur elips. Persamaan elips adalah x
2
2a dan
2
y a
2
r
2 2
x
2
1
y
2
Dalam hal lingkaran yang tertulis dan dibatasi dan s udut pusat 0 x
2a sin dan
y
a cos
(vii)
Usaha yang dilakukan dimulai dari A ke C di sepanjang jalur elips i ni.
W F dr F x dx F y dy
(viii)
dimana dari Persamaan (vii) dx
2a cos d ,
dy
x
k x
r
y r
F x
F cos F
F y
F sin F
y r
k y y r
-a sin d
(ix)
k
2a sin sin
a cos
2a sin a cos 2
2
k
2a sin sin
2
a cos
2
(x)
(xi)
Mensubsitusikan dalam Pers. (viii), pekerjaan dilakukan Wb dari A ke C dengan lintasan melingkar seperti yang ditunjukkan 2
Wb
k 0
2a sin 2a cos a
2
2a sin sin a
2
d
2
0
Sama seperti bagian (a) Wb
k
5 1
ln( 2) ln
a
5 1
24
k a sin 2
d 2
2a a cos
Latihan Soal
Turunkan
1.
persamaan
untuk
percepatan
dalam
koordinat
silinder.
Penyelesaian : Persamaan a
p 2 ) p ( p 2 p ) z z ( p ˆ
ˆ
ˆ
Maka untuk percepatan dalam koordinat silinder adalah, Pertama diambil dari persamaan : p i cos j sin sin ˆ
ˆ
ˆ
i sin sin j cos ˆ
ˆ
ˆ
Dan sebelumnya : d p ˆ
d d ˆ
ˆ
p ˆ
d
Vektor posisi r menggambarkan lokasi titip P dalam koordinat silinder yaitu : r p p ˆ
z z ˆ
Dimana p memberikan jarak P dari Z-axis dan , memberikan rotasi sudutnya dari sumbu X, Sementara z memberikan elevasi di atas bidang XY. Dengan demikian kita dapat menulis vektor kecepatan, menjaga di ingat bahwa p ˆ
v
dr dt
Dimana
d
( p p z z ) ˆ
dt
d z ˆ
dt
dp
p p
d p d ˆ
ˆ
ˆ
dt
d dt
p menjadi : ˆ
dz d z z z (0) z z p p p () z dt dt ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0 karena
z v = p p p z ˆ
ˆ
ˆ
sehingga percepatan pada koordinat silindernya adalah a 2.
dv dt
d
( p p p z z ) ˆ
dt
ˆ
ˆ
Turunkan hubungan yang diberikan pada persamaan polar bola dari pertimbangan geometris.
25
Penyelesaian : Dari persamaan dapat diturunkan dengan menghasilkan kecepatan percepatan seperti di bawah ini di jelaskan: r ˆ
r ˆ
ˆ
cos p r sin cos ˆ
ˆ
r
ˆ
ˆ
ˆ
sin ˆ
ˆ
0
ˆ
ˆ
ˆ
Sehingga diturunkan menjadi “
v r
dr dt
d
[r r (, )]
dr
ˆ
dt
r r
d r ˆ
ˆ
dt
r r r
d r ˆ
ˆ
dt
dt
Dengan menggunakan persamaan maka kecepatannya dapat dihasilkan : d r ˆ
dt
(, )
d r d ˆ
d dt
d r d ˆ
d dt
sin ˆ
r r (r sin ) percepatan : Sehingga menghasilkan kecepatan : v r ˆ
a
r
dv dt
d
ˆ
ˆ
[r r r (r sin )] ˆ
ˆ
dt
Dengan menggunakan persamaan maka percepatan dapat dihasilkan menjadi : a (r - r 2 r sin 2 2 )r (r 2r r sin cos 2 ) (r sin 2 sin ˆ
ˆ
2r cos )
GERAK PADA DUA DAN TIGA DIMENSI
26
(Menurut Simon, 1971)
3.11 PROYEKTIL Sebuah masalah penting dalam sejarah ilmu pengetahuan mekanika adalah menentukan gerak proyektil. proyektil bergerak di bawah pengaruh grafitasi bergerak didekat permukaan bumi, jika hambatan udara diabaikan, menurut persamaan:
= ̂
(3.154)
dimana sumbu-z diambil dalam arah vertikal, dalam bentuk komponen:
= 0 = 0 =
(3.155)
(3.156)
(3.157)
solusi dari persamaan ini adalah
= = =
(3.158)
(3.159)
(3.160)
= ̂
(3.161)
atau dalam bentuk vektor
Kita asumsikan proyektil dimulai dari asal (0,0,0), dengan kecepatan awal dalam xz, sehingga vyo = 0. Terdapat batasan pada gerak proyektil, tetapi hanya
27
disesuaikan dengan pilihan yang tepat dari sistem koordinat. persamaan (3,158), (3,159), (3.160) maka menjadi
= =0 =
(3.162)
(3.163)
(3.164)
Persamaan ini memberikan gambaran lengkap dari gerak proyektil. memecahkan persamaan pertama untuk t menggantikan ketiga persamaan, kita memiliki persamaan untuk lintasan di xz:
=
(3.165)
Ini dapat ditulis dalam bentuk
= 2
(3.166)
Ini adalah koordinat parabola, cekung ke bawah, yang ketinggian maksimum terjadi pada
=
(3.167)
Dan yang melintasi bidang horisontal z = 0 di titik asal dan pada titik
= 2
(3.168)
Jika permukaan bumi adalah horixontal, xm adalah rentang proyektil .Sekarang mari kita tinjau dari hambatan udara dengan permisalan gaya gesekan sebanding dengan kecepatan:
28
= ̂
(3.169)
Dalam notasi komponen, jika kita menganggap bahwa gerakan berlangsung di xz
= =
(3.170)
Hal itu harus menunjukkan sebenarnya
partikel bergerak dari udara terhadap
lintasan proyektil adalah fungsi yang rumit dari kecepatan, sehingga solusi yang kita memperoleh akan hanya appoximate, meskipun mereka menunjukkan sifat umum dari gerakan. Jika proyektil dimulai dari asal di t = 0, solusi dari persamaan (3.170) yaitu
= − = 1− = − = 1−
(3.171)
(3.172)
(3.173)
(3.174)
Pemecahan Pers. (3,172) untuk t dan mengganti di Pers (3,174) kita memperoleh persamaan untuk lintasan:
= ln −
(3.175)
Untuk hambatan udara rendah, atau jarak pendek, ketika (bx) / (mvx0) << 1, kita dapat memperluas dalam kekuatan dari (bx) / (mvx0) untuk mendapatkan
= x bg ⋯ 29
(3.176)
Sehingga lintasan mulai keluar sebagai parabola, tetapi untuk nilai yang lebih besar dari x (mengambil
positif), z jatuh lebih cepat daripada parabola. fakta
bahwa dua yang pertama cek cukup bagus pada aljabar yang mengarah ke Pers. (3,176); expainsion dalam serangkaian listrik di parameter kecil adalah cara yang sederhana dan berguna memeriksa hasilnya, dan di samping itu sering memberikan rumus perkiraan sederhana yang mudah untuk menafsirkan. Menurut Pers. (3,175), dimana x mendekati nilai
()/
, z mendekati minus
tak terhingga, yaitu, lintasan berakhir sebagai vertikal drop pada x =
( )/
.
Dari pers. (3,173), kita melihat bahwa verticzl jatuh pada akhir lintasan berlangsung di terminal kecepatan -mg / b. Jika kita menetapkan z = 0 di Pers. (3,176), memiliki, selain solusi yang jelas x = 0, solusi untuk xm range, yang kita dapat menemukan dengan aproksimasi. kami pertama kali menulis ulang persamaan dengan cara berikut:
= ⋯
(3.177)
Jika kita mengabaikan istilah kedua, kita mendapatkan sebagai pendekatan pertama
= , yang setuju dengan Pers. (3,168). Mari kita mengganti solusi ini dalam jangka kedua Pers. (3,177), untuk mendapatkan pendekatan kedua
8 =
(3.178)
Istilah kedua memberikan koreksi orde pertama ke kisaran karena hambatan udara, dan dua istilah pertama akan memberikan pendekatan yang baik ketika efek hambatan udara kecil. istilah tingkat tinggi dapat dihitung dengan mengulangi 30
proccess of mengganti solusi perkiraan kembali Pers. (3,177). Dengan demikian kita mendapatkan hal berturut untuk xm sebagai rangkaian listrik di b. kasus sebaliknya ekstrim, ketika hambatan udara yang dominan dalam menentukan kisaran (Fig.3.29), terjadi ketika penurunan vertikal di x = (mvx0) / b dimulai di atas horizontal pesawat z = 0. kisaran kemudian, kira-kira,
= , ≫ 1
(3.179)
Kami dapat mengobati (kurang-lebih) masalah pengaruh angin pada proyektil dengan mengasumsikan kekuatan hambatan udara menjadi sebanding dengan kecepatan relatif dari proyektil sehubungan dengan udara:
= ̂ , Mana
(3.180)
adalah kecepatan angin. Jika vw konstan, istilah
pers. (3,180) berperilaku sebagai gaya konstan ditambahkan ke
̂
dalam , dan
masalah ini mudah diselesaikan dengan metode di atas, satu-satunya perbedaan adalah bahwa mungkin ada kekuatan konstan selain gaya gesek di ketiga dirrection x, y, z. Hambatan udara ke proyektil menurun dengan ketinggian, sehingga bentuk yang lebih baik untuk persamaan gerak proyektil yang naik ke ketinggian yang cukup akan
− ̂ =
(3.181)
Di mana h adalah tinggi (katakanlah sekitar lima mil) di mana udara tahan jatuh ke 1 / e dari nilai di permukaan bumi. dalam bentuk komponen
̈= ̇ −/ ,
̈ = ̇ −/,
(3.182)
31
̈ = ̇ −/
Persamaan ini jauh lebih sulit untuk dipecahkan. sejak z muncul di persamaan x dan y, pertama kita harus memecahkan persamaan z untuk z (t) dan mengganti dalam dua persamaan lainnya. persamaan z tidak dari salah satu jenis sederhana yang dibahas dalam bab 2. Pentingnya masalah ini dibawa keluar selama Perang Dunia Pertama, ketika ditemukan tidak sengaja yang bertujuan terdapat pada ketinggian yang lebih tinggi daripada yang sebelumnya telah diyakini memberikan jangkauan maksimum mengakibatkan hambatan udara, di ketinggian beberapa mil, lebih dari membuat untuk kerugian dalam komponen horizontal dari kecepatan awal yang dihasilkan dari bertujuan pistol yang lebih tinggi. 3.12 ENERGI POTENSIAL Jika F gaya yang bekerja pada sebuah partikel me rupakan fungsi dari yang posisi r = (x, y, z), maka kerja yang dilakukan oleh gaya ketika partikel bergerak dari r1 ke r2 diberikan oleh integral garis
∫ .. Hal ini menyarankan bahwa kita mencoba untuk menentukan energi potensial V (r) = V (x, y, z) di analogi dengan pers. (2.41) untuk gerak satu dimensi, se bagai pekerjaan yang dilakukan oleh gaya pada partikel ketika bergerak dari r beberapa memilih rs titik standart:
= ∫ ..
(3.183)
Definisi yang demikian menyiratkan, bagaimanapun, bahwa fuction V (r) akan menjadi fungsi hanya dari koordinat (x, y, z) dari titik r (dan titik rs standart yang kita anggap sebagai tetap), sedangkan pada umumnya integral di sebelah kanan tergantung pada jalan integrasi dari rs ke r. hanya jika integral di sebelah kanan adalah independen dari jalan integrasi akan definisi sah. Mari kita asumsikan bahwa kita memiliki fungsi gaya F (x, y, z0 sehingga garis integral dalam pers. (3,183) adalah independen dari jalan integrasi dari rs ke setiap titik r. Nilai integral kemudian hanya bergantung pada r (dan rs) dan pers. (3,183)
32
mendefinisikan fungsi energi potensial V9R). perubahan V ketika partikel bergerak dari r ke r + dr adalah negatif dari pekerjaan yang dilakukan oleh gaya F:
= ..
(3.184)
Membandingkan pers. (3.184) dengan definisi geometris [pers (3,107)] gradien, kita melihat bahwa
= =∇.
(3.185)
Persamaan (3.185) dapat regared sebagai solusi dari pers. (3,183) untuk F dalam hal V. Dalam bentuk komponen,
= , = , = ,
(3.186)
Dalam mencari suatu kondisi yang harus dipenuhi oleh fungsi F9r) agar di tegral di Pers. (3,183) independen dari jalan, kami mencatat bahwa, sejak Pers (3.28) dapat dibuktikan dari aljabar definisi produk silang, harus terus juga untuk simbol vektor:
∇∇=0 ∇∇ ∇∇V= = 0
Menerapkan
(3.187)
dengan fucntion V, kita memiliki
(3.188)
Persamaan (3,188) dapat dengan mudah diverifikasi dengan perhitungan langsung. Dari Pers. (3,188) dan (3,185), kita memil iki
∇ = = 0
(3.189)
Sejak pers. (3,189) telah deducated pada asumsi bahwa fungsi potensial ada, it u merupakan syarat mutlak yang harus dipenuhi oleh fungsi gaya F (x, y, z) sebelum fungsi potensial dapat didefinisikan. Kita dapat menunjukkan bahwa pers. (3,189) juga merupakan kondisi yang cukup untuk keberadaan potensi dengan memanfaatkan Stokes 'teorema [Pers. (3,117)]. Dengan Stokes'theorem,
33
jika kita mempertimbangkan jalan C tertutup di ruang angkasa, pekerjaan yang dilakukan oleh gaya F (r) ketika partikel perjalanan di sekitar jalan ini
∫ .= ∫ ∫ . ∇,
(3.190)
di mana S adalah permukaan dalam ruang yang dibatasi oleh kurva tertutup C. Jika sekarang Pers (3,189) diasumsikan untuk memegang, integral di sebelah kanan adalah nol, dan kita memiliki, untuk setiap lintasan tertutup C
∫.=0
(3.191)
Tetapi jika usaha yang dilakukan oleh F kekuatan sekitar jalan yang ditutup adalah nol, maka kerja yang dilakukan di pergi dari r1 ke r2 akan bergantung dari jalan diikuti. mempertimbangkan dua jalur antara r1 dan r2, dan membiarkan jalan C tertutup terbentuk pergi dari r1 ke r2 oleh satu jalur dan kembali ke r1 dengan lainnya (Gambar 3.30). Karena kerja yang dilakukan sekitar C adalah nol, bekerja di pergi dari r1 ke r2 harus sama dan berlawanan dengan yang pada perjalanan pulang, maka pekerjaan untuk pergi dari r1 ke r2 dengan jalan baik adalah sama. Applyng argumen ini dengan integral di sebelah kanan dalam Pers (3,183), kita melihat bahwa hasilnya adalah independen dari jalan integrasi dari r1 ke 2, dan karena itu tetap. Jadi Pers. (3,189) adalah penting dan cukup untuk eksistensi dari fungsi potensial V (r) ketika gaya diberikan sebagai fungsi dari posisi F (r) Ketika lengkungn F adalah nol, kita bisa mengekspresikan usaha yang dilakukan oleh gaya ketika partikel bergerak dari r1 ke r2 sebagai berbeda antara nilai dari energi potensial di titik-titik ini:
∫ .= ∫ . ∫ . 34
=
(3.192)
Penggabungan Pers (3,192) dengan teorema (3,135), kita memiliki untuk seti ap dua kali t1 dan t2:
+ =
(3.193)
Maka total energi (T + V) lagi konstan, dan kita memiliki energi yang tidak terpisahkan untuk gerakan dalam tiga dimensi:
= (̇ ̇ ̇ ̇) ,, =
(3.194)
Sebuah gaya yang merupakan fungsi dari posisi saja, dan yang ikal lenyap, dikatakan konservatif, karena itu mengarah ke teorema conservastion energi kinetik
ditambah
potensi
[Pers.
(3,194)
Dalam beberapa kasus, kekuatan mungkin fungsi dari posisi bith dan waktu F (r, t). Jika kapan saja t curl dari F (r, t) lenyap maka fungsi energi potensial V (r, t) dapat didefinisikan sebagai
, = ∫ , .
(3.195)
dan kita akan memiliki, untuk waktu t sehingga
, =∇ ,
∇ , = 0
(3.196)
Namun, hukum kekekalan energi tidak bisa lagi dibuktikan, untuk Pers (3,192) tidak lagi memegang. Hal ini tidak lagi benar bahwa perubahan energi potensial sama dengan negatif dari pekerjaan yang dilakukan pada partikel, untuk integral yang mendefinisikan energi potensial pada waktu t dihitung dari fungsi yang berlaku pada saat itu, sedangkan integral yang mendefinisikan pekerjaan dihitung dengan menggunakan pada setiap titik fungsi berlaku pada saat partikel melewati titik itu. Akibatnya, energi T + V tidak konstan ketika F dan V adalah fungsi dari waktu, dan tenaga seperti itu tidak disebut kekuatan konservatif.
35
Ketika gaya yang bekerja pada partikel yang konservatif, Pers.(3,194) memungkinkan kita untuk menghitung kecepatan sebagai fungsi dari posisinya. Energi E ditetapkan oleh kondisi awal gerak. Persamaan (3,194), seperti Persamaan. (2.44), tidak memberikan informasi mengenai arah gerakan. Kurangnya pengetahuan tentang arah jauh lebih serius dalam dua dan tiga dimensi, di mana ada yang tak terbatas kemungkinan arah, daripada di satu dimensi, di mana hanya ada dua arah yang berlawanan di mana partikel dapat bergerak. Dalam satu dimensi, hanya ada satu jalan sepanjang yang partikel dapat bergerak. Dalam dua atau tiga dimensi, ada banyak jalan, dan kecuali kita tahu jalur partikel, Eq. (3,194) saja memungkinkan kita untuk mengatakan sedikit tentang gerak kecuali bahwa itu dapat terjadi hanya di daerah di mana V (x, y, z)
+
adalah
= ,
(3.197)
Dimana r 1, r 2 adalah jarak el ektron dari dua proton. Fungsi V (x, y) (untuk gerak di bidang xy saja) diplot pada Gambar. 3.31 sebagai peta kontur, di mana dua proton 2 A terpisah pada titik-titik y = 0, x
±
1 A, dan tokoh-tokoh pada kontur
energi potensial konstan yang sesuai energi potensial dalam satuan 10- 12 erg. Selama E < -46 X 10- 12 erg, elektron terbatas pada daerah sekitar satu proton atau
yang
lain,
dan
kami
berharap
yang
gerak akan baik osilasi melalui pusat menarik atau orbit di sekitarnya, tergantung pada kondisi awal. (Ini komentar dari yang diharapkan gerak membutuhkan beberapa wawasan fisik atau pengalaman selain apa yang kita bisa. Mengatakan dari energi terpisahkan saja) Untuk 0> E> - 46 x 10- 12 erg, elektron adalah terbatas pada wilayah yang meliputi proton, dan berbagai gerakan yang mungkin. Untuk E> 0, elektron tidak terbatas pada setiap wilayah yang terbatas di dalam pesawat.
36
Untuk E «-46 x 10- 12 erg, elektron terbatas pada daerah di mana oksalat yang potensi yang lingkaran hampir sekitar satu proton, dan geraknya akan praktis sama seperti jika proton lain tidak ada di sana. Untuk E <0, tapi Lei «46 x 10- 12 erg, elektron dapat lingkaran dalam orbit yang jauh dari pusat-pusat menarik, dan yang gerak maka akan menjadi sekitar bahwa elektron terikat satu menarik pusat biaya 2e, sebagai equipotentiallines jauh dari pusat menarik adalah lagi sangat hampir lingkaran.
Mengingat fungsi energi potensial V (x, y, z), Persamaan. (3,186) memungkinkan kita untuk menghitung komponen yang sesuai gaya pada setiap titik. Sebaliknya, diberikan
kekuatan
37
F (x, y, z), kita dapat menghitung ikal untuk menentukan apakah fungsi energi potensial ada untuk itu. Jika semua komponen curl F adalah nol dalam setiap wilayah ruang,
maka
dalam wilayah itu F dapat diwakili dalam hal fungsi energi potensial sebagai VV. Energi potensial yang akan dihitung dari Persamaan. (3,183). Selanjutnya, sejak keriting F = 0, hasilnya adalah independen dari jalan integrasi, dan kami mungkin menghitung integral bersama setiap jalan yang mudah. Sebagai contoh, perhatikan berikut dua fungsi gaya: a) b)
=, = , = = 3, =3 =6,
di mana a adalah konstanta. Kami menghitung curl dalam setiap kasus: a)
b)
∇= ̂ = 2 2 ̂ ∇=0
Dalam kasus (a) tidak ada energi potensial ada. Dalam kasus (b) ada fungsi energi potensial, dan kami melanjutkan untuk menemukannya. Mari kita rs = 0, yaitu, mengambil potensi sebagai nol diasal. Karena komponen kekuatan yang diberikan sebagai fungsi
dari
x,
y,
z,
yang
jalan paling sederhana integrasi dari (0, 0, 0) ke (xo, Yo, zo) bersama yang untuk menghitung integral dalam Pers. (3,183) adalah salah satu yang mengikuti garis sejajar dengan koordinat kapak, misalnya seperti yang ditunjukkan di Fig.3.32
(,,) (,,) =,, . = .. . . Sekarang bersama C 1, kita memiliki
38
==0, = = = 0 , = Demikian
. = = 0
Seiring C2,
= , =0 = , =3, = 0 dr=
Demikian
. = = Seiring C 3,
= , = = 3, =3 , =6 Demikian
. = =3 Jadi energi potensial, jika subscript nol dijatuhkan, adalah
,, = 3 Hal ini mudah diverifikasi bahwa gradien dari fungsi ini adalah gaya yang diberikan oleh (b) di atas. Bahkan, salah satu cara untuk menemukan energi potensial, yang sering lebih cepat dari prosedur di atas, hanya untuk mencoba menebak fungsi yang gradien akan memberikan gaya yang dibutuhkan. Kasus penting dari kekuatan konservatif adalah kekuatan pusat, kekuatan
39
diarahkan selalu menuju atau menjauh dari pusat tetap 0, dan yang besarnya merupakan fungsi hanya dari jarak dari o. Dalam koordinat bola, dengan 0 sebagai asal,
= ̂
(3.198)
Komponen Cartesian dari kekuatan sentral (karena
= , = , = = ,
̂ = /
)
(3.199)
Lengkungan dari gaya ini dapat ditunjukkan dengan perhitungan langsung menjadi
nol,
tidak
peduli
apa fungsi F (r) mungkin. Sebagai contoh, kita menemukan
= = , = =
Oleh karena itu z-komponen curl F lenyap, dan sebagainya, demikian pula, apakah
dua
lainnya
komponen. Untuk menghitung energi potensial, kami memilih rs titik standar, dan mengintegrasikan dari r s ke Yo sepanjang jalan (Gbr. 3.33) berikut radius (C 1)
dari
Y s, yang koordinat adalah (rs, Os, qJs) 'ke titik (ro, es, qJs)' kemudian sepanjang 40
lingkaran
(C
z)
radius ro tentang asal ke titik (ro, eo, qJo).Seiring C 1,
= ̂ . = Seiring C2,
=sin, . =0
Demikian
= = . . =
Energi potensial adalah fungsi dari r sendiri:
= = ∫
(3.200)
3.13 GERAK DIBAWAH PUSAT GAYA Sebuah kekuatan sentral adalah kekuatan dari bentuk yang diberikan oleh Persamaan. (3,198). Secara fisik, kekuatan seperti itu merupakan daya tarik [jika F (r) < 0 ] atau tolakan [jika F (r)> 0] dari titik tetap terletak pada asal r: =: O. Dalam kebanyakan kasus di mana dua partikel berinteraksi satu sama lain , kekuatan di antara mereka adalah (setidaknya terutama) kekuatan sentral; yaitu, jika salah satu partikel berada di titik asal, gaya pada yang lain diberikan oleh Persamaan. (3,198).Contoh pasukan tengah yang menarik adalah gaya gravitasi yang bekerja pada sebuah planet karena matahari? atau tarik listrik yang bekerja pada
elektron
karena
inti
atom. Gaya antara proton atau partikel alfa dan inti lain adalah kekuatan pusat menjijikkan. Dalam kasus yang paling penting? gaya F (r) adalah berbanding terbalik sebanding dengan r 2. Kasus ini akan dirawat di bagian berikutnya.
41
Bentuk lain dari Fungsi F (r) kadang-kadang terjadi; misalnya, dalam beberapa masalah yang melibatkan struktur dan interaksi inti, atom kompleks, dan molekul. Di bagian ini, kami menyajikan metode umum serangan terhadap masalah partikel bergerak di bawah aksi dari kekuatan pusat. Karena dalam semua contoh ini tak satu pun dari dua partikel berinteraksi sebenarnya diikat ke posisi tetap, masalah kita memecahkan, seperti kebanyakan masalah dalam fisika, merupakan idealisasi masalah yang sebenarnya, berlaku ketika salah satu partikel dapat dianggap sebagai praktis saat istirahat pada titik asal. Ini akan terjadi jika salah satu partikel yang jauh lebih berat dari yang lain. Karena gaya yang bekerja pada dua partikel memiliki besarnya sama dengan hukum ketiga Newton, percepatan yang berat akan jauh lebih kecil dari yang ringan, dan gerakan partikel berat dapat diabaikan dibandingkan dengan gerakan ringan satu. Kita akan menemukan kemudian, dalam Bagian 4.7, yang, dengan sedikit modifikasi, solusi kami dapat dibuat untuk menghasilkan solusi yang tepat untuk masalah gerakan dua partikel berinteraksi, bahkan ketika massa mereka adalah sama. Kita dapat mencatat bahwa vektor momentum sudut dari partikel di bawah aksi dari kekuatan pusat adalah konstan, karena torsi yang
== ̂ = 0
(3.201)
Oleh karena itu, oleh Persamaan. (3,144),
= 0
(3.202)
Akibatnya, momentum sudut mengenai sumbu melalui pusat kekuatan konstan. Hal ini karena banyak kekuatan fisik adalah kekuatan sentral yang konsep momentum sudut sangat penting. Dalam pemecahan untuk gerakan partikel bertindak dengan kekuatan sentral, pertama kita menunjukkan bahwa jalan dari partikel terletak pada satu pesawat yang berisi pusat kekuatan. Untuk menunjukkan hal ini, biarkan posisi Y 0 dan kecepatan V0 diberikan setiap saat awal untuk, dan memilih sumbu x throq.gh
42
awal posisi Y0 partikel, dan z-sumbu tegak lurus terhadap kecepatan awal V 0. Maka kita harus awalnya:
= ||, = = 0 = ., = ., = 0
(3.203)
(3.204)
Persamaan gerak di koordinat persegi panjang yang, oleh pers. (3,199),
̈ = , ̈ = , ̈ = ,
(3.205)
Sebuah solusi dari z-persamaan yang memenuhi kondisi awal pada adalah
= 0
dan
(3.206)
Oleh karena itu gerakan berlangsung sepenuhnya di bidang xy. Kita bisa melihat secara
fisik
yang
jika gaya pada sebuah partikel selalu menuju asal, partikel tidak pernah dapat memperoleh komponen kecepatan keluar dari pesawat di mana ia awalnya bergerak. Kita dapat juga menganggap resllit ini sebagai konsekuensi dari konservasi momentum sudut. Oleh Persamaan. (3,202), vektor L = m (r x v) adalah konstan; Oleh karena itu kedua r dan v keharusan selalu berbohong dalam pesawat tetap tegak lurus L. Kita sekarang telah mengurangi masalah untuk salah satu dari gerak dalam pesawat dengan dua persamaan diferensial dan empat kondisi awal yang tersisa untuk menjadi puas. Jika kita memilih koordinat polar r, ϴ pada bidang gerak, persamaan gerak dalam rand FJ arah yang, oleh pers. (3.80) dan (3,198),
̈ = ̈ 2̇ ̇ = 0
(3.207)
(3.208)
Mengalikan Persamaan. (3,208) dengan r, seperti pada derivasi dari (pesawat) momentum sudut teorema, kita memiliki
43
( ̇) = = 0
(3.209)
Persamaan ini mengungkapkan konservasi momentum sudut tentang asal dan merupakan konsekuensi juga dari Persamaan. (3,202) di atas. Ini mungkin diintegrasikan untuk memberikan momentum sudut integral dari persamaan gerak:
( ̇) = =
(3.210)
Konstanta L adalah untuk dievaluasi dari kondisi awal. integral dari Pers. (3,207) dan (3,208), karena gaya konservatif, adalah
= ̇ =
(3.211)
dimana V (r) diberikan oleh Persamaan. (3.200) dan E adalah energi yang konstan, yang akan dievaluasi dari kondisi awal. Jika kita menggantikan
̇
Persamaan.
energi
(3.210),
dari
menjadi
̇ =
(3.212)
Kita dapat memecahkan r:
̇ = √
(3.213)
Karena itu
∫ −− / = √
(3.214)
integral untuk dievaluasi dan persamaan yang dihasilkan diselesaikan untuk r (t). Kami
kemudian
mendapatkan ϴ(t) dari Persamaan. (3.210):
= ∫
(3.215)
44
Dengan demikian kita mendapatkan solusi dari pers. (3,207) dan (3,208) dalam hal empat konstanta
,,,
, yang dapat dievaluasi saat. posisi awal dan
kecepatan
dalam
Pesawat diberikan. Ini akan dicatat bahwa pengobatan kami berdasarkan Persamaan. (3,212) adalah analog dengan kami pengobatan masalah satu dimensi berdasarkan energi terpisahkan
[Eq.
Koordinat r sini memainkan peran x, dan istilah
̇
(2.44)]. dalam energi kinetik, ketika
̇
dieliminasi oleh Persamaan. (3.210), memainkan peran seorang Selain potensi energi. Kami dapat membawa keluar analogi ini lebih lanjut dengan menggantikan dari Persamaan. (3.210) dalam Persamaan. (3,207):
̈ =
(3.216)
Jika kita merefleksikan istilah - L 2 / mr 3 ke sisi kanan, kita memperoleh
̈ =
(3.217)
Persamaan ini memiliki persis bentuk persamaan gerak dalam satu dimensi untuk subjek partikel dengan kekuatan F aktual (r) ditambah "gaya sentrifugal"
.
Itu
gaya sentrifugal tidak benar-benar berlaku pada semua tapi sebagian besar kali massa
percepatan,
dialihkan ke sisi kanan persamaan untuk mengurangi persamaan untuk r untuk persamaan dari bentuk yang sama seperti untuk gerak satu dimensi. Kita mungkin menyebutnya "Gaya fiktif." Jika kita memperlakukan Persamaan. (3,217) sebagai masalah dalam gerak satu dimensi, efektif "energi potensial" sesuai dengan "kekuatan" di sebelah kanan adalah
= ∫ ∫ =
′
′
(3.218)
Istilah kedua di 'V' adalah "energi potensial" terkait dengan "gaya sentrifugal." Integral energi yang dihasilkan hanya Pers. (3,212). Alasan mengapa kami telah
45
mampu untuk mendapatkan solusi lengkap untuk masalah kita berdasarkan hanya dua integral, atau konstanta dari gerak (L dan E), adalah bahwa persamaan gerak tidak
mengandung
koordinat
FJ,
sehingga
keteguhan
L
cukup
untuk
memungkinkan kita untuk menghilangkan FJ seluruhnya dari Persamaan. (3,207) dan untuk mengurangi masalah ke masalah yang setara dalam gerakan satu dimensi. Integral dalam Pers. (3,214) kadang-kadang ternyata agak sulit untuk mengevaluasi di praktek, dan persamaan yang dihasilkan sulit untuk memecahkan r (t). Kadangkadang lebih mudah untuk menemukan jalan partikel dalam ruang daripada menemukan gerak sebagai fungsi waktu .; Kita bisa menjelaskan jalur part ikel dengan memberikan r (FJ). Persamaan yang dihasilkan agak sederhana jika kita membuat substitusi
= , =
(3.219)
Kemudian kita memiliki, menggunakan Pers. (3.210),
̇ = ̇ = ̇ = ̈ = ̇
(3.220)
= -
Menggantikan r dan
̈
(3.221)
di pers. (3,217), dan mengalikannya dengan
memiliki persamaan diferensial untuk jalur atau orbit dari segi
=
–
kita
(3.222)
Dalam kasus L = 0, persamaan. (3.222) meledak, tapi kita lihat dari Persamaan. (3.210) yang dalam hal ini ϴadalah konstan, dan jalan adalah garis lurus melal ui titik asal. Bahkan dalam kasus-kasus di mana solusi eksplisit Pers. (3,214) dan (3,215), atau Pers. (3,222), sulit untuk melaksanakan, kita dapat memperoleh informasi kualitatif
46
tentang r gerak dari efektif potensi 'V' yang diberikan oleh Pers. (3,218), seperti dalam satuKasus dimensi dibahas dalam Bagian 2.5. Dengan memplot 'V' (r), kita bisa memutuskan
untuk
energi total E apakah gerak dalam r adalah periodik atau aperiodic, kita dapat menemukan titik balik, dan kami dapat menjelaskan kira-kira berapa kecepatan r bervariasi selama gerakan. If'V '(r) memiliki minimum pada ro titik, maka untuk energi E sedikit lebih
besar
dari
'V' (ro), r dapat melakukan kecil, sekitar harmonik osilasi tentang ro dengan frekuensi sudut diberikan oleh
= ′
(3.223)
Kita harus ingat, dari ourse, bahwa pada saat yang sama partikel yang berputar di sekitar pusat kekuatan dengan kecepatan sudut
= ̇
(3.224)
Tingkat revolusi menurun sebagai r meningkat. Dalam kasus di mana gerakan r tidak periodik, maka
̇ →
0 sebagai
→
∞
, dan walikota partikel mungkin tidak
melakukan satu atau revolusi yang lebih lengkap ketika bergerak menuju ∞
→
tergantung pada seberapa cepat r meningkat. Ketika gerakan r adalah periodik,
47
periode gerak r tidak, di umum, sama dengan periode revolusi, sehingga orbit mungkin tidak ditutup, meskipun terbatas pada wilayah terbatas ruang. (Lihat Gambar. 3.34.) Jika rasio periode gerak r dengan periode revolusi adalah bilangan rasional, orbit akan ditutup. Jika rasio ini adalah bilangan bulat, orbit adalah kurva tertutup sederhana yang periode terkait dengan bidang orbit. Hal ini dapat dilihat sebagai berikut. Daerah menyapu oleh jari-jari dari titik asal ke partikel ketika partikel bergerak melalui sudut kecil de adalah sekitar
=
(3.225)
Oleh karena itu tingkat di mana daerah yang tersapu oleh jari -jari adalah, oleh Persamaan. (3.210),
= ̇ =
(3.226)
Hasil ini berlaku untuk setiap partikel bergerak di bawah aksi dari kekuatan pusat. Jika gerak yang periodik, maka, mengintegrasikan selama periode lengkap 1: gerak, kita miliki untuk wilayah orbit
=
(3.227)
Jika orbit diketahui, periode revolusi dapat dihitung dari rumus ini. 3.14. PUSAT GAYA YANG BERBANDING TERBALIK DENGAN JARAK Masalah yang paling penting dalam gerakan tiga dimensi adalah bahwa ofa bergerak massal di bawah aksi dari kekuatan pusat berbanding terbalik dengan kuadrat dari menjauhkan dari pusat:
= ̂
(3.228)
Dimana energi potensial adalah
48
=
(3.229)
dimana rs radius standar diambil menjadi tak terbatas untuk menghindari tambahan Istilah konstan dalam V (r). Sebagai contoh, gaya gravitasi (Bagian 1.5) antara dua massa m 1 dan m 2 jarak r terpisah diberikan oleh Persamaan. (3,228) dengan
=, =6,6710−8−
(3.230)
di mana K adalah negatif, karena gaya gravitasi menarik. Contoh lain adalah gaya elektrostatik antara dua muatan listrik q 1 dan q 2 r terpisah jarak, diberikan oleh Persamaan. (3,228) dengan
= ,
(3.231)
di mana tuduhan itu dalam satuan elektrostatik, dan gaya adalah dalam dyne. elektro gaya statis menjijikkan ketika
,
yang memiliki tanda yang sama, jika tidak
menarik. Secara historis, masalah pertama yang mekanik Newton diterapkan adalah masalah yang melibatkan pergerakan planet di bawah tarik gravitasi matahari, dan
49
gerak satelit di sekitar planet. Keberhasilan teori dalam akuntansi untuk gerakan seperti bertanggung jawab untuk penerimaan awal. Kami pertama kali menentukan sifat orbit yang diberikan oleh hukum kuadrat terbalik
dari
memaksa. Pada Gambar. 3.36 diplot potensi efektif
=
′
′
(3.232)
Untuk gaya tolak (K> 0), tidak ada gerakan periodik di r; total hanya energi positif E yang mungkin, dan partikel datang dari
=
∞ke
titik balik dan
perjalanan ke infinity lagi. Untuk energi yang diberikan dan momentum sudut, titik balik terjadi pada nilai yang lebih besar dari r daripada K =0 (tidak ada kekuatan), yang mengorbit akan menjadi garis lurus. Untuk kekuatan yang menarik (K <0) dengan
≠0
, gerakan ini juga terbatas jika E> 0, tetapi dalam
kasus ini titik balik terjadi pada nilai yang lebih kecil dari r daripada K =0. Oleh karena orbit yang seperti ditunjukkan pada Gambar. 3.37. Garis cahaya pada Gambar. 3.37 mewakili radius titik balik atau perihelion jarak diukur dari titik pendekatan terdekat dari partikel ke menarik atau tolak-menolak pusat. Untuk K
< < 0 < <0,
koordinat r berosilasi antara dua titik balik. Untuk
, bergerak partikel dalam radius lingkaran
= .
=
Perhitungan
menunjukkan (lihat Soal 44 pada akhir bab ini ) bahwa periode osilasi kecil di r adalah sama dengan periode revolusi, sehingga untuk E dekat
, orbit
adalah kurva tertutup dengan asal sedikit dari pusat (setidaknya di perkiraan osilasi kecil). Kami akan menunjukkan kemudian bahwa orbit ini, pada kenyataannya, elips untuk semua nilai negatif dari E jika masalah
mengurangi
untuk
gerak
dibahas dalam Bagian 2.6
50
satu
dimensi
≠0
dari
. Jika
tubuh
=0
,
jatuh,
Untuk mengevaluasi integral dalam pers. (3,214) dan (3,215) untuk hukum kuadrat terbalik kekuatan agak melelahkan. Kita akan menemukan bahwa kita dapat memperoleh semua informasi penting tentang gerakan lebih sederhana dengan memulai dari Pers. (3.222) untuk orbit. Persamaan (3.222) untuk orbit menjadi, dalam hal ini,
=
(3.233)
Persamaan ini memiliki bentuk yang sama seperti yang dari osilator harmonik (frekuensi
Unit)
tunduk pada gaya konstan, di mana ϴ disini memainkan peran t. homogen e qua tion dan solusi umum yang
= 0
(3.234)
=cos
(3.235)
di mana A, ϴ0 adalah konstanta sembarang. Sebuah solusi tertentu yang jelas dari persamaan di-homogen (3,233) adalah solusi konstan
=
(3.236)
Oleh karena itu solusi umum dari persamaan. (3,233) adalah
= = cos 51
(3.237)
Ini adalah persamaan irisan kerucut (elips, parabola, atau hiperbola) dengan fokus pada r = 0, seperti yang akan kita saat ini menunjukkan. Konstan
0 menentukan
orientasi orbit dalam pesawat. Konstanta A, yang dapat diambil sebagai positif (karena eo adalah sewenang-wenang), menentukan titik balik dari gerakan r, yang diberikan oleh
= , Jika
<
=
(3.238)
(karena tentu adalah untuk K> 0), maka hanya ada satu titik balik, r
1, karena r tidak boleh negatif. Kita tidak bisa memiliki
<
, karena r bisa
kemudian tidak menjadi positif untuk setiap nilai ϴ. Untuk E diberikan, titik balik solusi dari persamaan
= =
′
′
(3.239)
Solusi nya adalah
= =
(3.240)
Membandingkan Persamaan. (3,238) dengan Persamaan. (3,240), kita melihat bahwa nilai A dalam hal energi dan momentum sudut diberikan oleh orbit sekarang bertekad dalam hal kondisi awal.
52
=
(3.241)
orbit kini ditentukan dalam hal kondisi awal. Elips didefinisikan sebagai kurva ditelusuri oleh partikel bergerak sehingga jumlah
tersebut
dari jarak yang dari dua titik tetap F, F 'adalah konstan. * Poin F,F' disebut yang fokus elips. Menggunakan notasi yang ditunjukkan pada Gambar. 3.38, kita memiliki
=2 ′
(3.242)
di mana adalah setengah diameter terbesar (sumbu utama) elips. Dalam hal polar berkoordinasi dengan pusat pada fokus F dan dengan negatif sumbu x melalui fokus F ', hukum cosinus memberikan
= 4 4 ′
di mana
(3.243)
adalah jarak dari pusat elips untuk fokus; disebut eksentrisitas elips.
Jika =0, yang fokus bertepatan dan elips adalah lingkaran. Sebagai
→1
, elips
merosot menjadi parabola atau segmen garis lurus, tergantung apakah fokus F 'surut hingga tak terbatas atau tetap jarak yang terbatas dari F.Menggantikan r 'dari Persamaan. (3,242) pada persamaan. (3,243), kita menemukan
− = +
(3.244)
53
Ini adalah persamaan elips di koordinat polar dengan asal pada satu fokus. Jika b adalah setengah diameter terkecil (sumbu minor), kita memiliki, dari Gambar.
3.38,
=1/ =
(3.245)
Daerah elips dapat diperoleh dengan cara langsung oleh integrasi:
(3.246)
Sebuah hiperbola didefinisikan sebagai kurva ditelusuri oleh partikel bergerak sehingga Perbedaan jarak yang dari dua fokus F tetap, F 'adalah konstan (Gambar. 3.39). Sebuah
hiper
bola memiliki dua cabang yang didefinisikan oleh
=2 ℎ =2 ℎ ′
′
(3.247)
Kami akan memanggil cabang yang mengelilingi F cabang + (kiri cabang di gambar)., dan cabang yang menghindari F - cabang (cabang kanan pada gambar). Equatlon (3,243) berlaku juga bagi hiperbola, tapi eksentrisitas e sekarang lebih besar dari satu. Persamaan hiperbola menjadi dalam koordinat polar:
(−) = ±+
(3.248)
(Tanda + mengacu pada cabang +, yang - tanda ke -. Cabang) The asymptotes dari hiperbola (. garis putus-putus pada Gambar 3.39) membuat sudut r: x dengan sumbu melalui yang fokus, di mana r: x adalah nilai () yang t tak te rbatas:
cos= ±
(3.249)
Sebuah parabola adalah kurva ditelusuri oleh partikel bergerak sehingga jarak dari garis tetap D (directrix yang) sama dengan jarak dari fokus tetap F. Dari Gambar. 3.40, kita memiliki
54
r = + = BA cos
di mana
(3.250)
adalah jarak dari fokus F ke directrix D. Kita dapat menulis persamaan
untuk semua tiga bagian berbentuk kerucut dalam bentuk standar
(3.251)
di mana A adalah positif, dan B dan A diberikan sebagai berikut:
B > A, bulat
=1/1 , = /1
(3.252)
B = A Parabola
= , = ;
(3.253)
0 < B
= − , = −
(3.254)
-A < B < 0, hyperbola , -branch
= − , = −
(3.255)
Kasus B <- A bisa tidak terjadi, karena r akan kemudian tidak menjadi positif untuk
nilai
apapun
dari (J. Jika kita membiarkan orientasi sewenang-wenang dari kurva terhadap sumbu
x,
kemudian Persamaan. (3,251) menjadi
= mana
(3.256)
adalah sudut antara sumbu x dan garis dari titik asal ke perihelion (Titik
pendekatan terdekat dari kurva ke asal). Ini akan dicatat bahwa dalam semua kasus
55
= ||
(3.257)
F atau elips atau hiperbola,
= −
(3.258)
Persamaan (3,237) untuk orbit partikel di bawah kekuatan hukum kuadrat terbalik memiliki bentuk persamaan. (3,256) untuk irisan kerucut, dengan jika kita menggunakan Persamaan. (3,241)
= = /
(3.259)
Eksentrisitas orbit, oleh Persamaan. (3,257), adalah
=1 2E
(3.260)
Sebuah kekuatan yang menarik (K <0), orbit adalah elips, parabola, atau hiperbola, tergantung pada apakah E <0, E = 0, atau E> 0; jika hiperbola, itu adalah cabang +.Untuk gaya tolak (K> 0), kita harus memiliki E> 0, dan orbit hanya dapat menjadi - Cabang hiperbola. Hasil ini setuju dengan kualitatif awal kami diskusi. Untuk orbit elips dan hiperbolik, sumbu a semimajor diberikan oleh
= Aneh
bahwa
hubungan
(3.261)
ini
tidak
melibatkan
eksentrisitas
atau
sudut
momentum; energi E hanya bergantung pada sumbu a semimajor, dan sebaliknya. Persamaan (3.260) dan (3,261) dapat diperoleh langsung dari Persamaan. (3,239) untuk titik balik dari gerakan r. Ifwe memecahkan persamaan ini untuk r, kita memperoleh
balik
poin
56
yang
, = ± /
(3.262)
Maksimum dan jari-jari minimum untuk elips
, = 1±
(3.263)
dan jari-jari minimum untuk hiperbola adalah
= ∓1
(3.264)
di mana tanda atas adalah untuk cabang + dan tanda yang lebih rendah untuk cabang. Membandingkan pers. (3,263) dan (3,264) dengan Persamaan. (3,262), kita bisa membacakan nilai-nilai dan 8. Jadi jika kita tahu bahwa jalan adalah elips atau hiperbola, kita dapat menemukan ukuran \ dan bentuk dari Persamaan. (3,239), yang mengikuti dari metode energi sederhana pengobatan, tanpa melalui solusi yang tepat dari persamaan untuk orbit. Ini adalah titik yang berguna untuk diingat.
3.15 PERMASALAHAN HUKUM KEPLER TENTANG ORBIT PLANET
Pada awal abad ketujuh belas, sebelum penemuan Newton hukum gerak, Kepler mengumumkan
tiga
hukum
berikut
menggambarkan
pergerakan
planet,
disimpulkan dari pengamatan yang luas dan akurat dari gera kan planet oleh Tycho Brahe: 1. Planet-planet bergerak di elips dengan matahari pada satu fokus. 2. Area menyapu oleh vektor radius dari matahari ke planet di kali sama adalah sama. 3. Persegi
periode
revolusi
sebanding
dengan
pangkat
tiga
dari
semimayor sumbu Hukum kedua dinyatakan oleh Pers kami. (3,226) dan merupakan konsekuensi dari konservasi momentum sudut; itu menunjukkan bahwa gaya yang bekerja pada planet ini diarahkan ke arah matahari. Hukum pertama berikut, karena kami telah menunjukkan, dari fakta bahwa gaya berbanding terbalik dengan kuadrat 57
jarak. Hukum ketiga mengikuti dari kenyataan bahwa gaya gravitasi sebanding dengan
massa
planet,
seperti
sekarang
kita
menunjukkan.
seperti sekarang kita menunjukkan. Dalam kasus orbit elips, kita dapat menemukan periode gerak dari Pers. (3,227) dan (3,246):
= = 1/ = ||/
(3.265)
atau, menggunakan Pers. (3,261),
= 4
(3.266)
Dalam kasus partikel kecil massa m bergerak di bawah tarik gravitasi [Pers. (3,230) J dari tubuh besar massa M, ini menjadi
=
(3.267)
Koefisien dari 3 sekarang menjadi konstan untuk semua planet, dalam perjanjian dengan hukum ketiga Kepler. Persamaan (3,267) memungkinkan kita untuk "berat" matahari, jika kita tahu nilai G, dengan mengukur periode dan sumbu utama dari setiap orbit planet. Ini memiliki sudah telah bekerja di Bab 1, Soal 11, untuk orbit melingkar. Persamaan (3,267) sekarang menunjukkan bahwa hasil berlaku juga untuk orbit elips jika sumbu semi-mayor diganti untuk jari-jari . Kami telah menunjukkan bahwa hukum Kepler mengikuti dari hukum Newton tentang gerak dan hukum gravitasi. Masalah berkomunikasi, untuk menyimpulkan hukum gaya dari hukum Kepler dan hukum gerak, merupakan masalah lebih mudah, dan sangat penting secara historis, untuk itu dengan cara ini bahwa Newton menyimpulkan hukum gravitasi. Kami berharap bahwa gerakan planet harus menunjukkan penyimpangan sedikit dari hukum Kepler, mengingat fakta bahwa masalah kekuatan sentral yang diselesaikan di bagian terakhir merupakan idealisasi masalah fisik yang sebenarnya. Di tempat pertama, seperti yang ditunjukkan dalam Bagian 3.13, kita telah mengasumsikan bahwa matahari adalah stasioner, sedangkan sebenarnya itu harus bergetar sedikit karena daya
58
tarik planet terjadi di sekitar itu. Efek ini sangat kecil, bahkan dalam kasus yang terbesar planet, dan dapat diperbaiki oleh metode dijelaskan nanti dalam Bagian 4.7. Di tempat kedua, sebuah planet yang diberikan, mengatakan bumi, yang bertindak oleh gravitasi tarik dari planet lain, serta oleh matahari. Karena massa bahkan terberat planet hanya beberapa persen dari massa th? matahari, ini akan menghasilkan kecil tapi penyimpangan terukur dari hukum Kepler. penyimpangan tersebut diharapkan dapat calcu- lated, dan mereka setuju dengan pengamatan astronomi sangat tepat. Bahkan, planet Neptunus dan Pluto ditemukan sebagai akibat dari efek mereka pada orbit dari planet lain. Pengamatan dari planet Uranus selama sekitar enam puluh tahun setelah penemuannya pada tahun 1781 menunjukkan
penyimpangan
dijelaskan
dari
orbit
diprediksi,
bahkan setelah koreksi dibuat untuk efek gravitasi yang lain diketahui planet. Dengan analisis matematika yang cermat dan rumit data, Adams dan Leverrier
mampu
menunjukkan
bahwa
penyimpangan
bisa
dipertanggungjawabkan dengan mengasumsikan sebuah planet yang tidak diketahui
di
luar
Uranus,
dan
mereka
menghitung
posisi
planet yang tidak diketahui. Planet Neptunus segera ditemukan di diprediksi tempat. Orbit komet, yang kadang-kadang terpantau bergerak pada sekitar matahari dan keluar lagi, yang, setidaknya dalam beberapa kasus, elips sangat memanjang. Bukan itu saat ini diketahui apakah salah satu komet berasal dari luar tata surya, dalam hal ini mereka akan, paling tidak pada awalnya, memiliki orbit parabola atau hiperbola. Bahkan mereka komet yang orbitnya diketahui elips memiliki lebih teratur periode karena tarikan gravitasi perturbing dari planet planet yang lebih besar dekat yang mereka kadang-kadang lulus. Antara pertemuan
dekat
dengan
planet-planet
yang
lebih
besar,
komet
akan mengikuti cukup erat path yang diberikan oleh Persamaan. (3,256), tetapi selama setiap pertemuan tersebut, gerakannya akan terganggu, sehingga setelah konstanta A, B, dan eo akan memiliki nilai yang berbeda dari orang-orang sebelum pertemuan itu. Seperti tercantum dalam Bagian 3.13, kami berharap secara umum bahwa orbit dibatasi timbul dari kekuatan sentral yang menarik F (r) tidak akan ditutup
59
(Gbr. 3.34). orbit tertutup (kecuali untuk orbit lingkaran) muncul hanya di mana periode osilasi radial sama dengan, atau merupakan kelipatan rasional yang tepat dari, masa revolusi. Hanya untuk bentuk-bentuk tertentu khusus dari fungsi F (r), dimana hukum kuadrat terbalik adalah salah satu, akan orbit ditutup. Setiap perubahan dalam hukum kuadrat terbalik, baik perubahan dalam eksponen r atau tambahan F (r) dari istilah tidak berbanding terbalik dengan r 2, akan diharapkan untuk menyebabkan orbit yang tidak ditutup. Namun, jika perubahan itu sangat kecil, maka orbit seharusnya sekitar elips. Periode revolusi maka akan hanya sedikit lebih besar atau sedikit kurang dari periode radial \ osilasi, dan orbit akan sekitar elips yang sumbu utama berputar perlahan tentang pusat kekuatan. Sebagai soal fakta, sebuah presesi lambat dari sumbu utama dari orbit planet Merkurius telah diamati, dengan kecepatan sudut dari 41 detik busur per abad, atas dan di atas gangguan dicatat dengan efek gravitasi yang lain planet. Hal ini pernah berpikir bahwa ini bisa dipertanggungjawabkan oleh efek gravitasi dari debu di tata surya, tetapi dapat menunjukkan bahwa jumlah debu terlalu kecil untuk memperhitungkan efek. Sekarang cukup yakin bahwa efek ini disebabkan koreksi sedikit teori Newton tentang gerak planet yang diperlukan oleh teori relati vitas. Masalah gerak elektron di sekitar inti atom akan sama seperti yang dari gerak planet mengelilingi matahari, jika mekanika Newton yang berlaku. Sebenarnya, gerakan elektron harus dihitung dari hukum mekanika kuantum. Sebelum penemuan mekanika kuantum, Bohr mampu memberikan rekening wajar perilaku atom dengan mengasumsikan bahwa elektron berputar di orbit tertentu khusus yang dipilih dari antara mereka yang diberikan oleh mekanika Newton. Teori Bohr masih berguna sebagai gambaran kasar tentang struktur atom. 3.16 ORBIT HIPERBOLIK. Permasalahan Rutherford Pada Bagian Hamburan Orbit hiperbolik yang menarik sehubungan dengan gerakan partikel di sekitar matahari yang mungkin berasal dari atau melarikan diri ke luar angkasa, dan juga di connection dengan tabrakan dua partikel bermuatan. Jika partikel cahaya biaya q2 bertemu dengan partikel berat muatan q 2 saat istirahat, partikel cahaya akan mengikuti h)
60
lintasan tikungan dari satu asymptote ke yang lain sangat kecil (beberapa angstrom unit atau kurang), dan apa yang diamati adalah sudut defleksi
2
=
(Gambar 3.41) antara jalur dari partikel kejadian sebelum dan setelah tumbukan. Angka 3.41 ditarik untuk kasus pusat memukul mundur kekuatan di F. Dengan Pers. (3,249) dan (3.260),
/ tan 2 = cot = 1−/ = 2 Biarkan partikel memiliki kecepatan vo awal, dan biarkan melakukan perjalanan ke arah tersebut bahwa, jika dibelokkan, itu akan melewati s jarak dari pusat kekuatan (F). Itu jarak s disebut parameter dampak bagi tabrakan. Kita bisa dengan mudah menghitung energi dan momentum sudut dalam hal kecepatan dan dampak parameter:
= 12 =
Mengganti dalam Pers. (3,268), kita memiliki untuk sudut hamburan ϴ :
tan =
(3.271)
Jika sebuah partikel cahaya positif muatan q1 bertabrakan dengan partikel berat yang positif biaya q2 , ini, oleh Persamaan. (3,231),
61
tan =
(3.272)
Dalam sebuah percobaan hamburan khas, aliran partikel bermuatan mungkin ditembak dalam arah yang pasti melalui foil tipis. Banyak dari partikel muncul dari foil dalam arah yang berbeda, setelah dibelokkan atau tersebar melalui sudut ϴ oleh tabrakan dengan partikel dalam foil. Untuk menempatkan Pers. (3,272) dalam bentuk di mana dapat dibandingkan dengan eksperimen, kita harus menghilangkan parameter dampak s, yang tidak dapat ditentukan secara eksperimental. Dalam percobaan, fraks partikel insiden tersebar melalui berbagai sudut ϴ diamati. Ini adalah adat untuk mengekspresikan hasil dalam hal penampang didefinisikan sebagai berikut. Jika insiden N, Partikel menyerang foil tipis yang mengandung pusat n hamburan per satuan luas, rata-rata Jumlah dN partikel tersebar melalui sudut antara ϴ dan ϴ + dϴ adalah diberikan dalam hal
=
penampang d dengan rumus
(3.273)
disebut penampang untuk hamburan melalui sudut antara ϴ dan ϴ + dϴ, dan
dapat dianggap sebagai daerah yang efektif mengelilingi pusat hamburan yang insiden partikel harus memukul agar dapat tersebar melalui sudut antara ϴ dan ϴ + dϴ. Karena jika ada "target daerah"
di sekitar masing-masing pusat
hamburan, maka area target total area unit n da. Jika n partikel menyerang satu satuan luas, jumlah rata-rata mencolok daerah sasaran adalah
62
, dan ini,
menurut Pers. (3,273), hanya dN, jumlah partikel tersebar melalui sudut antara ϴ dan ϴ + dϴ. Sekarang perhatikan partikel insiden mendekati pusat hamburan F . Jika parameter dampak adalah antara s dan s + ds, partikel akan tersebar melalui sudut antara ϴ dan ϴ + dϴ, di mana ϴ diberikan oleh Pers. (3,272), dan dϴ diberikan oleh diferensial dari Pers. (3,272):
=
(3.274)
Wilayah cincin di sekitar F dari jari-jari s, jari-jari luar s + ds, di mana partikel insiden harus ditujukan agar dapat tersebar melalui sudut antara ϴ dan ϴ + dϴ, adalah
=2
`(3.275)
Menggantikan s dari Persamaan. (3,272), dan untuk ds dari Persamaan. (3,274) (menghilangkan tanda negatif), kita memperoleh
=
(3.276)
Formula ini dapat dibandingkan dengan
ditentukan secara eksperimental
seperti yang diberikan oleh Pers. (3,273). Formula (3,276) telah disimpulkan oleh Rutherford dan digunakan dalam menafsirkan percobaan pada hamburan partikel alpha oleh foil logam tipis. Dia mampu menunjukkan bahwa formula setuju dengan eksperimen dengan q 1= 2e (muatan pada partikel alfa), * dan q 2 = Ze (muatan pada inti atom), asalkan perihelion jarak (
) lebih besar dari sekitar
10- 12 cm, yang menunjukkan bahwa muatan positif pada atom harus terkonsentrasi di suatu daerah dari radius kurang dari 10 -12 cm. Ini adalah asalusul teori nuklir dari atom. Jarak perihelion dapat dihitung dari rumus (3,262) atau dengan menggunakan undang-undang konservasi untuk energi dan momentum sudut, dan diberikan oleh
/ = [11 ]
(3.277)
Perihelion jarak terkecil untuk partikel insiden dari energi yang diberikan terjadi ketika L=0 (s=0) , dan memiliki nilai
63
=
(3.278)
Oleh karena itu jika ada penyimpangan dari hukum Coulomb kekuatan ketika partikel alpha merumput atau menembus inti, seharusnya muncul pertama sebagai penyimpangan dari hukum Rutherford [Eq. (3,276) J pada sudut besar defleksi 8, dan harus muncul ketika energi E cukup besar sehingga
>
di mana
(3.279)
adalah jari-jari inti. Pengukuran awal jari-jari nuklir dibuat dengan cara
ini oleh Rutherford, dan berubah menjadi urutan 10 -12 cm. Perhitungan di atas dari penampang adalah sepenuhnya benar hanya ketika partikel alpha impinges pada inti jauh lebih berat dari dirinya sendiri, kare na pusat hamburan diasumsikan tetap tetap. pembatasan ini bisa dihilangkan dengan metode yang akan dibahas dalam Bagian 4.8. partikel alpha juga bertabrakan dengan elektron, tetapi elektron sangat ringan sehingga tidak dapat lumayan membelokkan partikel alpha. Tabrakan partikel alfa dengan inti harus benar-benar diperlakukan dengan metode mekanika kuantum. Konsep lintasan yang pasti dengan dampak yang pasti Parameter s berlaku dalam mekanika kuantum tidak lagi. Konsep penampang masih berlaku dalam mekanika kuantum, namun, sebagaimana mestinya, karena itu didefinisikan dalam hal jumlah eksperimen ditentukan. Hasil akhir untuk bagian hamburan lintas ternyata sama dengan rumus kita (3,276). * Ini adalah kejadian beruntung dalam sejarah fisika yang mekanika klasik memberikan jawaban yang benar untuk masalah ini. 3.17 GERAK PARTIKEL DALAM BIDANG ELEKTROMAGNETIK Hukum menentukan medan listrik dan magnet karena berbagai pengaturan muatan listrik dan arus adalah subyek teori elektromagnetik. Asi determin dari gerakan partikel bermuatan di bawah kekuatan listrik dan magnetik yang diberika adalah masalah dalam mekanika. Gaya listrik pada partikel biaya q terletak pada titik r adalah
=
(3.280)
dimana E (r) adalah intensitas medan listrik pada titik r. Intensitas medan listrik 64
mungkin merupakan fungsi dari waktu serta posisi dalam ruang. Gaya yang diberikan oleh medan magnet pada partikel bermuatan pada t itik r tergantung pada v kecepatan dari partikel, dan diberikan dalam hal induksi magnetik B (r) dengan persamaan
=
(3.281)
di mana c =3 X 10 10 cm / detik adalah kecepatan cahaya, dan semua kuantitas dalam satuan Gauss, yaitu, q adalah dalam satuan elektrostatik, B dalam satuan elektromagnetik (Gauss), dan v dan F berada di unit cgs. Dalam unit mks, persamaan berbunyi
=
(3.282)
Persamaan (3.280) berlaku untuk baik Gaussian atau mks unit. Kami akan mendasarkan diskusi kita pada Persamaan. (3,281) (unit Gaussian), tetapi hasilnya dapat segera ditranskripsi menjadi unit mks dengan menghilangkan c mana pun itu terjadi. Gaya elektromagnetik Total yang bekerja pada sebuah partikel akibat intensitas medan listrik E dan induksi magnetik B adalah
=
(3.283)
Jika muatan listrik bergerak dekat kutub utara magnet, magnet akan mengerahkan gaya pada muatan yang diberikan oleh Persamaan. (3,281); dan oleh hukum ketiga Newton muatan harus mengerahkan kekuatan yang sama dan berlawanan pada magnet. Ini memang ditemukan kasus, setidaknya ketika kecepatan partikel dibandingkan kecil dengan kecepatan cahaya, jika medan magnet karena muatan bergerak dihitung dan gaya pada magnet dihitung. Namun, karena induksi magnetik B diarahkan radial jauh dari tiang, dan ga ya F tegak lurus terhadap B, gaya pada muatan dan pada tiang tidak diarahkan sepanjang garis bergabung dengan mereka, seperti dalam kasus kekuatan sentral . `
Hukum ketiga Newton kadang-kadang dinyatakan dalam bentuk "kuat" di
mana aksi dan reaksi tidak hanya sama dan berlawanan, tetapi diarahkan sepanjang garis yang menghubungkan partikel berinteraksi. Untuk kekuatan magnet, hukum hanya berlaku dalam bentuk "lemah" di mana tidak ada yang
65
dikatakan tentang arah dari dua kekuatan kecuali bahwa mereka berlawanan. Hal ini berlaku tidak hanya dari kekuatan antara magnet dan biaya pindah, tetapi juga dari kekuatan magnet yang diberikan oleh biaya pada satu sama lain bergerak. Jika medan magnet konstan dalam waktu, maka intensitas medan listrik dapat ditampilkan untuk memenuhi persamaan
∇=0
(3.284)
Bukti pernyataan ini milik teori elektromagnetik dan tidak perlu perhatian kita di sini. Kami mencatat, bagaimanapun, bahwa ini berarti bahwa untuk medan listrik dan magnet statis, gaya listrik pada partikel bermuatan konservatif. Oleh karena itu kita dapat menentukan potensial listrik
= ∫ . =∇
(3.285)
seperti yang
(3.286)
Karena E adalah gaya per satuan muatan, cp akan menjadi energi potensial per satuan muatan yang terkait dengan kekuatan listrik:
=
(3.287)
Selain itu, karena gaya magnet tegak lurus terhadap kecepatan, ia bisa melakukan sesuatu pekerjaan pada partikel bermuatan. Akibatnya, hukum kekekalan energi berlaku untuk partikel dalam medan elektromagnetik statis:
=
(3.288)
di mana E adalah konstan. Berbagai macam masalah kepentingan praktis dan teoritis timbul melibatkan gerakan partikel bermuatan di bidang listrik dan magnet. Secara umum, metode khusus serangan harus dirancang untuk setiap jenis masalah. Kita akan membahas dua masalah khusus yang menarik baik untuk hasil yang diperoleh dan untuk metode untuk mendapatkan hasil te rsebut. Kami pertama mempertimbangkan gerak dari partikel massa m, biaya q, dalam medan magnet konstan seragam. Biarkan z-sumbu dipilih ke arah lapangan, sehingga
, =̂
(3.289)
66
dimana B adalah konstanta. Persamaan gerak kemudian, oleh Persamaan. (3,281),
̈ = ̇ , ̈ = ̇ , ̈ =0
(3.290)
Menurut persamaan terakhir, z-komponen kecepatan konstan, dan kami akan mempertimbangkan kasus ketika V z = 0 dan gerak adalah sepenuhnya di bidang xy. Dua persamaan pertama tidak sulit untuk memecahkan, tetapi kita dapat menghindari pemecahan langsung dengan memanfaatkan energi integral, yang dalam hal ini berbunyi
=
(3.391)
gaya diberikan oleh
= ̂, =
(3.292)
(3.293)
Kekuatan, dan akibatnya percepatan, karena besarnya konstan dan tegak lurus dengan kecepatan. Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan konstan v dan percepatan konstan tegak lurus arahnya bergerak gerak melingkarjari-jari r yang diberikan oleh Persamaan. (3.80):
= ̇ = =
(3.294)
Kami menggantikan F dari Persamaan. (3,293) dan memecahkan r:
=
(3.295)
Produk Br Oleh karena itu sebanding dengan momentum dan terbalik proporsional untuk biaya. Hasil ini memiliki banyak aplikasi praktis. Jika ruang gelembung ditempatkan dalam medan magnet seragam, seseorang dapat mengukur momentum dari partikel bermuatan oleh mengukur jari-jari kelengkungan dari track. Prinsip yang sama digunakan dalam beta-ray spektrometer untuk mengukur momentum dari elektron cepat dengan curva- yang mendatang dari jalurnya dalam medan magnet.
67
Dalam spektrometer massa, partikel dipercepat melalui perbedaan dikenal potensial listrik, sehingga, oleh Persamaan. (3,288), kinetiknya energi
=
(3.296)
Hal ini kemudian dilewatkan melalui seragam medan magnet B. Jika q diketahui, dan r, B,
yang, kita dapat menghilangkan v antara Pers.
(3,295) dan (3,296), dan memecahkan massa:
= −
(3.297)
Dalam siklotron, partikel bermuatan perjalanan di lingkaran dalam medan magnet seragam, dan menerima kenaikan energi dua kali per revolusi dengan melewati medan listrik bolak balik. Jari-jari r dari kalangan karenanya meningkatkan, menurut Persamaan. (3,295), sampai radius maksimum tercapai, di mana jari-jari partikel muncul dalam sinar energi yang pasti ditentukan oleh Persamaan. (3,295). Frekuensi v dari medan listrik bolak-balik harus sama dengan v frekuensi revolusi partikel, yang diberikan oleh
=2
(3.298)
Menggabungkan persamaan ini dengan Persamaan. (3,295), kita memiliki
=
(3.299)
Jadi jika B adalah konstan, v adalah independen dari r, dan ini adalah prinsip dasar di mana operasi siklotron didasarkan. Dalam betatron, elektron perjalanan dalam lingkaran, dan medan magnet dalam lingkaran dibuat untuk meningkatkan. Sejak B berubah dengan waktu, V x E tidak lagi nol; fluks magnet yang berubah menginduksi tegangan di sekitar lingkaran sehingga jaring jumlah pekerjaan yang dilakukan pada elektron oleh medan listrik saat mereka melakukan perjalanan sekitar · lingkaran. betatron ini begitu dirancang thttt peningkatan B di orbit elektron sebanding dengan peningkatan mv, sehingga r teta p konstan. Akhirnya, kami mempertimbangkan partikel massa m, biaya q, bergerak dalam seragam konstan listrik intensitas medan E dan seragam konstan magnet
68
induksi B. Sekali lagi biarkan z-sumbu dipilih ke arah B, dan membiarkan y-axis dipilih sehingga E sejajar dengan yz:
=̂ , = ̂
(3.300)
di mana B, Ey, Ez adalah konstanta. Persamaan gerak, oleh Persamaan. (3,283), yang
̈ = ̇, ̈ = ̇ ̈ =
(3.301)
(3.302)
(3.304)
komponen z gerak yang seragam dipercepat:
= ̇
(3.304)
Untuk mengatasi x dan y persamaan, kita membedakan Persamaan. (3,301) dan pemain pengganti alam Pers. (3,302) untuk menghilangkan y.
̅ = ̇
(3.305)
Dengan membuat substitusi
= =
(3.306)
(3.307)
Kita dapat menulis persamaan. (3,305) dalam bentuk
̇ ̇ =
(3.308)
Persamaan ini memiliki bentukx ,yang sama seperti persamaan untuk osilator harmonik dengan frekuensi sudut w dikenakan konstan diterapkan "memaksa" aw, kecuali bahwa x muncul di tempat koordinat. Masalah osilator yang sesuai dianggap dalam Bab 2, Masalah 45. Solusi dalam hal ini akan
̇ = cos
(3.309)
di mana Ax dan Ox adalah konstanta sembarang ditentukan. Dengan menghilangkan
x
69
dari
Pers. (3,301) dan (3,302), dengan cara yang sama, kita mendapatkan solusi untuk y:
̇ = cos
(3.310)
Kami mendapatkan x dan y dengan mengintegrasikan Pers. (3,309) dan (3,310):
= sin
= sin ,,,, ,,̇̇
(3.311)
(3.312)
Sekarang kesulitan muncul, karena kita memiliki enam konstanta menjadi ditentukan, dan hanya empat nilai awal
untuk
menentukan
mereka.
Itu
masalah
adalah
bahwa
kita
memperoleh solusi (3,311) dan (3,312) dengan membedakan persamaan asli, dan membedakan persamaan dapat memperkenalkan solusi baru yang tidak memenuhi persamaan asli. Perhatikan, misalnya, sangat sederhana persamaan
Membedakan, kita mendapatkan
solusi yang adalah
=3 ̇ =0 =
Sekarang hanya untuk satu nilai tertentu dari konstanta C akan ini memuaskan asli persamaan. Mari kita mengganti pers. (3,311) dan (3,312) atau, ekuivalen, Pers. (3,309) dan (3.310) ke dalam Persamaan asli. (3,301) dan (3,302), dengan menggunakan Pers. (3,306) dan (3,307):
sin = , cos
(3.314)
sin() = , cos
(3.314)
Kedua persamaan akan terus hanya jika Ax, Ay, Ox, dan 0 yare dipilih sehingga
=
(3.315)
70
sin =cos cos = sin()
(3.316)
(3.317)
Yang terakhir dua persamaan puas jika
0 = 0 = = = =
(3.319)
Mari kita atur
(3.320)
(3.321) (3.322)
Kemudian pers. (3,311) dan (3,312) menjadi
= sin = cos
(3.322) (3.323)
Sekarang ada hanya empat konstanta, A, 0, cx, C Y 'yang akan ditentukan oleh awal nilai Xa, Ya, .v sebuah, .va. Z-gerak, tentu saja, yang diberikan oleh Persamaan. (3,304). Jika Er = 0, xy-gerak di dalam lingkaran dengan jari-jari A dengan kecepatan sudut w tentang titik (C x, C y); ini adalah gerak dipertimbangkan dalam contoh sebelumnya. Pengaruh Ey adalah untuk menambah gerak melingkar seragam ini terjemahan seragam dalam arah x! lintasan yang dihasilkan di-bidang xy akan menjadi memiliki loop, katup, atau riak, tergantung pada kondisi awal dan pada besarnya Ey (Gambar. 3.43). Ini masalah adalah kepentingan sehubungan dengan desain magnetron. Terjemahan
= =
71
memiliki kecepatan
= /
(3.324)
Ini kecepatan gerak partikel bermuatan di medan listrik dan magnet menyeberang adalah dari pentingnya dalam teori plasma.
72
KELEBIHAN DAN KEKURANGAN BUKU
Buku Mekanika Symon edisi ke tiga menawarkan cara yang "lebih lengkap" untuk memahami konsep fisika. Sehingga pembacanya akan memahami bahwa fisika bukan sekadar upaya menghafal sekumpulan rumus lalu menghitung berdasarkan rumus - rumus itu. Melalui buku ini penulisnya seolah hendak menunjukkan bahwa mempelajari fisika berarti upaya untuk memahami cara kerja alam semesta. Kelebihan pertama pada buku symon adalah pemaparan tentang konsep fisika yang lebih jelas menggunakan kosa kata yang umum digunakan dalam matematika serta hubungan konsep fisika dengan aspek matematisnya meskipun
kurang
lengkap
tahapan
penurunan
rumusnya.
Buku
symon
memberikan teori pengntar tentang kosep vektor dan skalar sebelum memasuki pembahasan tentang gerak dalam dua dan tida dimensi ruang. Karena dalam penyelesaian matematis banyak dijumpai penggunaan operasi besaran vektor. Kekurangan buku Symon adalah tidak ada contoh soal di sajikan dalam pembahasan , setelah semua materi di sajikan pembaca ditunutut untuk latihan menyelesaikan sola-soal yang tersedia menggunakann konsep dan persamaan – persamaan matematis yang sudah di jelaskan sebelumnya dalam satu sub-bab. Buku Mekanika klasik dari Arya untuk sub-bab gerak partikel dalam dua dan tiga dimensi dimulai dengan pembahasan tentang koordinat kartesian, koordinat polar, koordinat silinder, koordinat polar berbentuk bola dan dilanjutkan dengan pembahasan yang sangat sederhana mengenai fungsi energi potensial. Sehingga buku ini tidak bisa cukup untuk menjelaskan tentang konsep, fenomena fisika serta menunjukkan aspek matematis dari konsep fisika. Karena buku ini tidak dilengkapi dengan pengantar mengenai besaran vektor dan skalar pembaca diharsukan sudah memiliki pemahaman yang jelas tentang itu sebelumnya. Karena aspek matematis yang lebih dijelaskan , maka untuk semua turunan rumus secara matematis cukup jelas di jabarkan. Untuk implementasi terhadap permasalahan fisika lebih kepada bahasan energi potensial, gaya konservatif, usaha dan percepatan.
73
Buku ini juga memiliki kelebihan diantaranya penurunan fungsi untuk menemukan asal mula persamaan matematis dalam fisika. Dan juga dilengkapi dengan pembahasan contoh-contoh soal yang cukup banyak serta soal-soal latihan untuk menguji pemahaman pembaca.
74
