Dimensi tiga soal

DIMENSI TIGA 1. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini. Jarak titik F dan bidang BEG adalah Penyelesaian:

T

√

O 4

BT =

BF 2  TF 2

 ( 4) 2  ( 2 2 ) 2  16  8  24  2 6 Jarak antara titik F dan bidang BEG adalah garis OF Maka: √

√ √

√ √ √

√ √

√

√

Jadi jarak antara titik F dan bidang BEG adalah

4 3 cm 3

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika P titik tengah EH, maka jarak titik P ke garis CF adalah…. Penyelesaian: H

G

PB  4 2  2 2  20

P E

F

4 O

D A

C B

PO  PB2  BO2  20  8

 12

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk √ cm dan titik pada AD dengan panjang AT = 1 cm. Jarak A pada BT adalah…. Penyelesaian: H

Perhatikan ∆ ABT

G

√

T E

F

√

O

√ =2

1 D O

T

C

A

B √

A

B

Jarak A pada BT adalah AO Maka: √ √

atau

1 3 2

Jadi jarak antara titik A ke BT adalah

1 3 2

4. Limas T.ABC pada gambar di bawah merupakan limas segitiga beraturan. Jarak titik T ke AD adalah… Penyelesaian : T

Panjang AB = 12 cm

13 A

O B

C

Jarak titik T ke AD diwakili garis TO

D

Maka : TO  AT  AD  AB

TO  13  6 3  12 TO 

12  6 3 13

TO 

72 3 13

5. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH. Jarak titik H ke DF adalah… Penyelesaian:

H

G

Perhatikan segitiga HDF H

E

F

D

O D A

6 cm

√

6

O

√

F

C B

Jarak titik H ke DH adalah garis HO Berdasarkan segitiga DHF maka :

HF HO  DF DH

6 2 6 3



HO 

HO 6 6 2 6 6 3



6 2 3



3 3

HO  2 6 Jadi jarak titik H ke DF adalah 2 6 cm

6. Limas beraturan T.ABCD rusuk alas AB = √ cm, dan rusuk tegak TA = 17 cm. Jarak antara titik puncak T ke alas ABCD adalah…

Penyelesaian: √ √ √ 17

√

√ √

8

O 8√

Jarak antara titik puncak T ke alas ABCD adalah TO √

Maka

√ √ √ Jadi jarak antara titik puncak T ke alas ABCD adalah 15 cm

7. Panjang rusuk pada gambar di bawah ini adalah 6 cm. Jarak titik C dengan bidang BDG adalah…. Penyelesaian: H

G √

E

F √

O D A

C

P

B

Jarak antara titik C dengan bidang BDG adalah garis OC

Maka : tan P 

sin P 

CG 6   2 PC 3 2

2 3 2 3

OC 

 

OC PC OC

3 2

3 2 2 3

 2 3cm

Jadi jarak antara titik C dengan bidang BDG adalah √ 8. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah a. Jarak A ke diagonal BH adalah…. Penyelesaian: H

G

Jarak A ke diagonal BH adalah garis AO Maka :

E

F √

√

a

O D A

a

C B

AH AO  HB AB a 2 AO  a a 3

AO  AO 

a 2 a a 3 a 6 3

Jadi jarak A ke diagonal BH adalah √

9. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik T pada perpanjangan CG, sehingga CG= GT. Jika sudut antara TC dan bidang BDT adalah α. Maka tg α adalah…

Penyelesaian

T

Sudut antara TC dan bidang BDT adalah Sudut CTO

α H

G 8 cm

E

tan  

2 2 8



1 2 4

F

√

D O A

4

Jadi nilai tan sudut CTO adalah √

C

B

10. Pada kubus ABCD.EFGH, α adalah sudut antara bidang ACF dan ABCD. Nilai sin α adalah… Penyelesaian: H

Perhatikan ∆ FOB :

G

F E

F

√ a α

α

D

O

A

C

B

√

O

B

Sudut antara bidang ACF dan ABCD adalah FOB

sin  

FB  FO

a a

3 2



2 3



3 3



1 6 3

11. Bidang empat ( tetrahedron ) T.ABC mempunyai alas segitiga siku – siku, dengan sisi AB = AC. TA= √ cm dan tegak lurus pada alas. Jika BC = 10 cm, maka sudut antara TBC dan bidang alas adalah

Penyelesaian:

√ T

B

C

cosTBA 

AB TA



5 2 5 3



3 3



1 6 3

A

12. Rusuk TA, TB, TC pada bidang empat T.ABC saling tegak lurus pada T. AB = AC = √ dan AT = 2. Jika α adalah sudut antara bidang ABC dan bidang TBC, maka tg α ada Penyelesaia

T

2 √

A

√

√

C

√ B 13. Limas beraturan T.ABC dengan panjang rusuk alas 6 cm dan panjang rusuk tegak 9 cm. Nilai sinus sudut antara bidang TAB dan bidang ABC adalah… Penyelesaian:

T

Sudut antara bidang TAB dan ABC adalah Sudut TAO Maka : sin  

9 C A



O 6

B

TO AT 65 9

14. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika sudut antara BF dan bidang BEG adalah α, maka sin α adalah…. Penyelesaian: H

G

1 HF 2 1  4 2  2 2 2 Maka : BO  2 6

C

sin  

OF 

O E

F

4 D A

B

OF 2 2 1   3 BO 2 6 3

Jadi nilai sin α adalah √

15. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. Jika α adalah sudut antara bidang DBG dan bidang DBFH, maka nilai cos α sama dengan… Penyelesaian: H

G

GQ  QC 2  GC 2

P

2

E

F

 a   2   a2 2 

a

D A

3 2

a

α C

Q

B

Sudut antara bidang DBG dan bidang DBFH adalah PQG Maka cos PQG = cos α =

PQ  GQ

a a

3 2



2 3



3 3



1 6 3

16. Pada kubus ABCD.EFGH, α adalah sudut antara bidang ADHE dan bidang ACH. Nilai cos α adalah… Penyelesaian: H

G

E

HO  HC 2  OC 2 a  (a 2 ) 2  ( 2)2 2 3 a 2 AH a 2 2 cos    3 HO 3 3 a 2

F a√

D

C

O

A

B

17. Suatu kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Sudut antara CG dan bidang rusuk CFG adalah α. Nilai tan α adalah…. H

G

E

F

a

Sudut antara CG dan Bidang CFG adalah sudut GCF Maka :

a√ √ D

C √

A

B

18. Lihat kubus ABCD.EFGH di bawah ini. Besar sudut antara diagonal BG dan FH adalah Penyelesaian : H

G

E

P

F

Sudut PFQ adalah sudut antara BG dan FH

Q D A

C B

Lihat Segitiga PFQ.

Segitiga PFQ vmerupakan segitiga sama sisi. Jadi besar sudut – sudutnya adalah

19. ABCD.EFGH adalah sebuah kubus. Jika α adalah sudut antara diagonal AG dan rusuk AD, maka cos α adalah… H

G √

E

F √

a

D

C

A

Sudut antara diagonal AG dan AD adalah sudut DAG Maka

B

√

√

√

20. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH. Sudut antara bidang ABCD dan bidang ACH adalah α, maka cos α adalah…. Sudut antara bidang ABCD dan ACH adalah sudut HOD

Penyelesaian: H

G √

E

F

√

a D A

α

C O

√

( √ )

√

√

B √ √ √