GERAK PARTIKEL DALAM TIGA DIMENSI Kompetensi Dasar
: Mampu menganalisis konsep-konsep fisika dari gerak partikel dalam tiga dimensi.
Indikator Hasil Belajar
: Menganalisis konsep gaya konservatif.
Pokok Materi
: Gaya konservatif, memenuhi persyaratan F = F ( r ) ,T + V ( ( r ) = E =¿ konstan, dan F ( r )=− ∇ V ( ( r )
GAYA KNSER!A KNS ER!ATI" TI"
Gaya konservatif konservatif bukanlah bukanlah nama sebuah gaya, melainkan melainkan menjelaskan sifat sebuah gaya. Apabila usaha total yang dilakukan suatu gaya pada sebuah benda, selama se lama benda berpindah menjauhi posisinya benda
semula (awal hingga
tersebut tersebut kembali lagi ke posisi semula, sama dengan nol, maka gaya
tersebut termasuk ke dalam gaya konservatif. !uatu gaya disebut konservatif jika usaha usaha yang yang dilakuk dilakukan an oleh gaya tersebut pada suatu benda tidak bergantung pada lintasan lintasa n yang dilalu dilaluii benda, tetapi hanya bergantung
pada
perubahan
posisi awal dan posisi akhir benda. akhir benda. !e"ara !e"ar a umum gaya konservatif adalah gaya yang hanya bergantung pada posisi partikel sehingga dapat ditulis sebagai #(r. $ontoh dari gaya konservatif adalah gaya gravitasi (tarik dan gaya $oulomb%gaya elekt elektro rosta stati tiss (tari (tarik k dan dan tola tolak k.. &alam &alam hal hal ini ini akan akan diba dibaha hass meng mengen enai ai gaya gaya konservatif (#(r yang bekerja pada partikel dalam ruang tiga dimensi. !ebuah gaya gaya konserv konservatif atif juga juga harus harus menjam menjamin in keberad keberadaan aan hukum hukum kekeka kekekalan lan energ energii mekanik sistem gerak partikel. &alam hal ini, tidak semua gaya dapat dikatakan sebagai gaya konservatif, hanya gaya-gaya yang memenuhi persyaratan berikut yang dapat dikatakan sebagai gaya konservatif, yaitu: '.
F = F ( r ) ,
.
T + V ( ( r ) = E=¿ konstan, dan
).
F ( r ) =− ∇ V ( r )
Gaya Konservatif '
Misalkan sebuah partikel dengan massa m mendapat gaya luar F(r) yang merupakan sebuah fungsi kedudukan, sehingga partikel tersebut berpindah dari kedudukan A ke kedudukan B, seperti gambar ' berikut.
Gambar '. *erja yang dilakukan oleh gaya #
*erja atau usaha yang dilakukan oleh gaya F terhadap partikel selama bergerak dari A ke B dapat didefinisikan dalam persamaan: B
∫
W AB= F . dr A
('
Atau dapat juga ditulis sebagai: B
∫
W AB= F T . ds A
&engan
F T
(
merupakan komponen gaya sepanjang garis singgung lintasan.
*arena itu, apabila gaya F sejajar dengan sumbu x dan benda bergerak sepanjang sumbu x tersebut, maka kerja yang dilakukan oleh gaya tersebut dapat dituliskan dalam persamaan: B
∫
W AB= F . dx A
Grafik
F T
()
dapat digambarkan sebagai fungsi jarak (s, seperti gambar
berikut:
Gaya Konservatif
Gambar . *erja yang dilakukan pada partikel yang bergerak dari A ke + sama dengan luas daerah di bawah kurva yang diarsir *erja
dW = F T . ds
yang dilakukan gaya
F T
sepanjang garis ke"il d sama
dengan luas persegi panjang ke"il, dengan alas ds dan tinggi
F T
. leh karena
itu, kerja total yang dilakukan terhadap partikel selama bergerak dari A ke + sama dengan luas daerah di bawah kurva yang dibatasi oleh komponen gaya
F T
ketika partikel di titik A dan +. alu kerja yang dilakukan terhadap suatu benda yaitu kerja setiap satuan waktu, disebut dengan daya. !e"ara matematis daya (/ dapat ditulis sebagai berikut: P=
*arena
W = F . dr
dW dt
(0
, maka P= F .
dr = F . v dt
(1
&engan v merupakan ke"epatan partikel. 2ika massa partikel tersebut adalah konstan, integral dalam persamaan (' tereduksi menjadi V B
B
∫ F . dr =∫ m . a . v d t A
V A
V B
¿ m∫ V A
dv . v dt dt
V B
¿ m∫ v dv V A
Gaya Konservatif )
¿ 1 m( v B −v A ) 2
2
2
(3
!ehingga, W AB= 1 2
mv
1 2
2
2
m ( v B −v A )
(4
2
merupakan energi kinetik partikel, yang ditulis dengan 5 sehingga
persamaan (4, dapat juga ditulis sebagai berikut: W AB= K B− K A
(6
7nergi kinetik sebuah partikel dengan massa m yang bergerak dalam ruang tiga dimensi didefinisikan sebagai: '
5
= ' m( , + y + 9 m. r
8
(
aju perubahan energi kinetik partikel adalah:
.r = r .# 5 = m.( , ., + y .y + 9 .9 = mr ('; aju perubahan tenaga kinetik dalam selang waktu dt partikel bergerak sejauh dr dapat dinyatakan: d5 8 d<
(''
d< 8 ". dr # # d = # y dy = # 9 d9
('
dengan
/ersamaan (0 menyatakan kerja yang dilakukan gaya F dalam tiga dimensi dalam arah perpindahan dr . >saha ini sama dengan jarak perpindahan
dr dikalikan
dengan nilai komponen gaya F dalam arah perpindahan. +erdasarkan persamaan (6 kerja yang dilakukan gaya terhadap partikel sama dengan perubahan energi kinetik partikel. Apabila besar dan arah gaya # konstan, maka kerja yang dilakukan gaya tersebut, selama partikel berpindah dari A ke + adalah: B
∫ F . dr
W AB=
A
Gaya Konservatif 0
B
∫ dr
W AB= F
A
W AB= F ( r B−r A )
W AB= F .r B− F .r A
(')
/ersamaan (') menunjukkan bahwa kerja yang dilakukan tidak bergantung pada lintasan yang menghubungkan titik A dan +. Apabila gambar ', ditunjukkan bahwa kerja yang dilakukan oleh gaya # tetap sama apabila partikel melalui lintasan (' atau lintasan ( karena
( r B −r A )
tetap sama. >ntuk
menjamin
keberadaan
hukum
kekekalan
energi
terhadap
berlakuknya definisi gaya konservatif diperlukan sayarat tambahan bahwa: 5 = ?(r 8 7 8 konstan
('0
&i mana energi potensial ?(r merupakan sebuah fungsi dari posisi r. aju perubahan energi potensial dinyatakan,
(r = ∂? , + ∂? y + ∂? 9 ? ∂, ∂y ∂9 ('1 dalam bentuk gradien dari ? dapat dinyatakan:
∇?(r = i
∂? ∂? ∂? + j + k ∂, ∂y ∂9 ('3
dengan menggabungkan persamaan ('1 dan ('3 diperoleh hubungan:
= r .∇?(r ? ('4 dengan mendeferensial persamaan ('0 dan menerapkan persamaan ('; dan ('4
untuk
dan ? 5
diperoleh hubungan : ∇?(r
#(r 8 -
('6
!e"ara matematika gradien sebuah fungsi adalah sebuah vektor, yang menyatakan turunan parsial maksimum dalam arah dan besaran dari fungsi tersebut. !ea"ara fisika gradien negatif dari fungsi energi potensial menyatakan
Gaya Konservatif 1
besar dan arah dari gaya yang bekerja pada sebuah partikel yang berada dalam sebuah medan yang dihasilkan oleh partikel lain. 5anda negatip menyatakan partikel yang dipengaruhi oleh medan gaya didorong untuk bergerak ke arah penurunan energi potensial. *eadaan ini dapat diilustrasikan seperti gambar berikut.
?tinggi
v
?rendah
Gambar ). Arah gerak partikel dalam medan potensial
/ersamaan ('6 menyatakan hubungan antara gaya # yang bersifat konservatif dengan energi potensial dari sistem gerak partikel yang dipengaruhi oleh gaya konservatif tersebut. /ersamaan ('6 menyatakan bahwa untuk sebuah sistem gerak yang dipengaruhi oleh gaya konservatif berlaku hubungan bahwa gaya tersebut merupakan gradien negatif dari energi potensial sistem gerak partikel tersebut. &alam suku-suku komponen arah sumbu tiga dimensi dari gaya dapat dinyatakan: ∂?
∂?
∂,
∂y
# 8 -
@
#y 8 -
∂? ∂ z
@
#9 8 -
('
/ersamaan (' menyatakan bahwa jika gaya yang yang bekerja pada sebuah partikel bersifat konservatif maka komponen-komponen gaya dinyatakan oleh negatip dari turunan parsial dari fungsi energi potensialnya. >ntuk lebih memperjelas pemahaman tentang gaya konservatif, tinjaulah bentuk energi potensial pegas dalam tiga dimensi. '
k.r = ' k(, + y + 9
?(r 8
(;
Menyatakan energi potensial dari sebuah ossilator harmonik tiga dimensi, dengan gaya pegas dinyatakan,
k # 8 -k.r 8 -k (i =jy = 9
('
Gaya Konservatif 3
>ntuk menyatakan kondisi yang sesuai untuk menjamin keberadaan dari fungsi energi potensial ?(r sesuai persamaan ('3 tidaklah sulit, tiap fungsi vektor dari # akan mengikuti kondisi:
∇ " # ;
(
yang menyatakan bahwa "url dari gaya # yang bersifat konservatif sama dengan nol. !ebagai "ontoh dapat diambil salah satu komponennya saja, misalnya komponen dalam arah sumbu 9 dapat ditunjukkan bahwa,
∂#y ∂,
−
∂#, =; ∂y ()
juga dapat ditunjukkan bahwa,
∂ ? ∂ ? = ∂,∂y ∂y∂, (0 dengan demikian dapat ditunjukkan bahwa persamaan ( merupakan salah satu kondisi yang harus dipenuhi dari sebuah gaya konservatif. !e"ara lebih khusus jika gaya #(r memenuhi kondisi persamaan ( maka kerja yang dilakukan gaya tersebut dalam perpindahan r o ke r tidak bergantung pada lintasan yang dipilih antara kedua titik titik awal dan akhir. &engan demikian dapat didefinisikan energi ?(r dalam hubungannya dengan gaya yaitu: r
∫ #(r.dr r
o
?(r 8 -
(1
/ersamaan (1 menyatakan se"ara matematis bahwa syarat # bersifat konservatif adalah "$ dr merupakan sebuah differensial eksak, atau dengan kata lain bahwa "$dr tidak bergantung lintasan integral. !e"ara fisis
∫
" 8 ; menyatakan usaha
yang dikerjakan oleh gaya # tidak bergantung pada lintasan dari gerak partikel.
Gaya Konservatif 4
