Lugar Geométrico de las raíces (LGR)
INTRODUCCIÓN
Lugar de las raíces
Los polos de lazo abierto de un sistema representan características propias del mismo, no pueden ser modificados a menos que se modifique el sistema o se agreguen otros elementos dinámicos.
Lugar de las raíces Sistema de primer orden ante una entrada escalón: 7
Step Response
1.4
Respuesta
From: U(1)
1.4
1.2
1
s 5
e d u t i l p m A
) 0.8 1 ( Y : o T
0.6
0.4
0.2
0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time (sec.)
4
7
5.6
No cambia el tiempo de respuesta, solo la amplitud.
Step Response From: U(1) 6
5
4
s 5
e d u t i l p m A
) 1 ( Y
3
: o T
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Time (sec.)
Step Response
1.4
From: U(1)
1.4
1 s 2
7 s 5
1.2
0.7 e d u t i l p m A
1
) 0.8 1 ( Y : o T
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
Time (sec.)
2
2.5
3
El tiempo de respuesta cambia, Solo agregando otra dinámica.
Lugar de las raíces Por otra parte Los polos de lazo cerrado pueden ser fácilmente modificados sin alterar la naturaleza del sistema. ¿Porqué modificar los polos de lazo cerrado Las características de estabilidad de un sistema en lazo cerrado están íntimamente ligadas con la ubicación de los polos de lazo cerrado
Entonces: • Un sistema en lazo cerrado puede tener distintos tipos de respuesta de salida sin alterar su naturaleza.
Sistemas inestables (estables) pueden llegar a ser estables (inestables) utilizando realimentación y, en el caso más sencillo, modificando una simple ganancia. veamos un ejemplo… •
Lugar de las raíces Sea el sistema de lazo cerrado R( s )
+
K -
s( s 7)
B( s )
C ( s)
En lazo cerrado C ( s ) K R( s) s( s 7) K
La ecuación característica es s 2 7 s K 0
En lazo abierto B( s) K E ( s ) s( s 7)
Las raíces de la ecuación característica son los polos de lazo cerrado (p.l.c)
Polos de lazo abierto: s 0, s 7
y dependen del valor de K
s12 3.5 12.25 K
Lugar de las raíces Para diferentes valores de
K
K :
polos de lazo cerrado s 6.98568
s 0.014314
1
s 6.8541
s 0.1459
10
s 5
0.1
12.25 s 3.5 14.5 25
s 3.5 j1.5
s 2 s 3.5 s 3.5 j1.5
s 3.5 j 3.5707 s 3.5 j 3.5707
112.25 s 3.5 j10
s 3.5 j10
Cada par de polos de lazo cerrado provoca una respuesta de salida diferente
Lugar de las raíces La ubicación de estas raíces en el plano s
K 112.25
K 0.1
Saltar
Lugar de las raíces C ( s ) 0.1 2 R( s ) s 7 s 0.1
p.l .c
s1 6.98568 s2 0.014314
Lugar de las raíces C ( s) 1 2 R( s ) s 7 s 1
p.l .c
s1 6.8541
s2 0.01459
Lugar de las raíces C ( s) 10 2 R( s ) s 7 s 10
p.l .c
s1 5
s2 2
Lugar de las raíces C ( s) 12.25 2 R( s ) s 7 s 12.25
p.l .c
s1 3.5
s2 3.5
Lugar de las raíces C ( s ) 25 2 R( s ) s 7 s 25
p.l .c s1 3.5 j 3.5707 s2 3.5 j 3.5707
Lugar de las raíces C ( s ) 112.25 2 p.l .c R( s ) s 7 s 112.25
s1 3.5 j10
s2 3.5 j10
Lugar de las raíces Entonces si se evaluara para todos los valores positivos de K se obtendría El lugar de las raíces de ese sistema en particular. Regresando al ejemplo: Variando el valor de la ganancia K , se tiene acceso a cualquier valor de polos de lazo cerrado (región verdeazul). Otro valor fuera de esa región, no es posible obtenerlo solamente con el cambio de K
Idea básica del LGR • Se puede forzar un sistema INESTABLE a la región
ESTABLE modificando 2 parámetros: – Polos en lazo cerrado raíces – Ganacia del sistema K • Con ello es posible obtener la salida deseada (amortiguada, sub o sobre) • Todo ello sin modificar la naturaleza del sistema ni añadir parámetros adicionales (compensadores) • Para ello, el LGR nos da una idea gráfica si añadimos o quitamos polos o modificamos la ganancia
DEFINICIÓN DEL LGR
Lugar de las raíces Definición: El lugar de las raíces se define como el lugar geométrico de las raíces de la ecuación de lazo cerrado ( 1+GH(s) ) al variar la ganancia K, o algún otro parámetro desde cero hasta infinito, partiendo de la ecuación de lazo abierto GH(s):
Condición de ángulo y magnitud La ecuación característica 1 G ( s ) H ( s ) 0
G ( s ) H ( s ) 1
por ser un polinomio en s (variable compleja) tiene tanto magnitud y ángulo: Condición de magnitud G ( s) H ( s ) 1
Condición de ángulo G ( s) H ( s) 180 360k , k 0,1,2,...
Todas las raíces del lugar de las raíces cumplen con la condición de ángulo y magnitud.
Lugar de las raíces Retomando el ejemplo anterior con K 112.25 112.25 G ( s ) p.l .c s1 3.5 j10 s( s 7)
s2 3.5 j10
Condición de magnitud p.l .c. A2
j j10 A1
p.l .a 7
p.l .a p.l .c.
j10
G ( s )
K 1 A1 A2
112.25 1 s ( s 7) s 3.5 j10
Cumple con la condición de magnitud
Lugar de las raíces Condición de ángulo p.l .c. p.l .a
2
7
j j10
G ( s ) 1 2
1
1 3.5
p.l .a p.l .c.
G( s) 180 360
1 90 tg
1 10
2 tg 10 3.5
G ( s ) 180 j10
lugar de las raíces
Cumple con la condición de ángulo
Cualquier otro polo de lazo cerrado dentro del lugar de las raíces cumple con la condición de magnitud ni de ángulo. Cualquier otro polo de lazo cerrado fuera del lugar de las raíces no cumple con la condición de magnitud ni de ángulo.
Primeros pasos • 1. Conocer los polos en lazo abierto y cerrado.
• 2. Dibujarlos en el plano s (plano complejo) • 3. Se debe verificar la condición de magnitud
sustituyendo los polos de lazo cerrado en la función de transferencia en lazo abierto. • (para ello necesitamos conocer el valor de K) • 4. La condición de ángulo se verifica encontrando los ángulos de los POLOS EN LAZO ABIERTO.
CONSTRUCCIÓN DEL LGR
REGLAS • 1. Los Polos en LA (Lazo Abierto) es
donde NACEN las ramas. Se incluyen polos en el infinito • 2. Los ceros en LA es donde TERMINAN las ramas. Se incluyen ceros en el infinito. • 3. Calculamos el número de ramas que hay en nuestro LGR • 4. Calcular las ASÍNTOTAS
• 5. Calcular las intersecciones de las • • • •
•
asíntotas con el EJE REAL 6. Hallar el lugar de las raíces sobre el eje real 7. Hallar ángulos de salida y llegada 8. Encontrar las intersecciones de las asíntotas con el EJE IMAGINARIO 9. Hallar el valor donde los polos dejan de ser reales y se vuelven imaginarios (PUNTOS DE SEPARACIÓN O RUPTURA) 10. Hallar el valor de K
Lugar de las raíces Reglas de construcción para del lugar de las raíces Se expondrán las reglas con un ejemplo, encontrar el lugar de las raíces de K G ( s ) H ( s ) s ( s 4)( s 5) 1.- Puntos de origen (k = 0) Los puntos de origen del lugar de las raíces son los polos de GH(s). Los polos incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito.
polos finitos s 0, s 4, s 5. 2.- Puntos terminales (k = )
Los puntos terminales del lugar de las raíces son los ceros de GH(s). Los ceros incluyen los que se hayan en el plano S finito y en el infinito. ceros finitos no hay
Gráfica
Lugar de las raíces 3.- Número de ramas separadas
N P Z P = # de polos finitos de GH(s), Z = # de ceros finitos de GH(s), N = # de ramas separadas. Ramas separadas N 3 0 3 4.- Asíntotas del lugar de las raíces
180o ( 2 j 1) j N
j = 0, 1, 2, 3, … hasta N -1= P - Z - 1
N 3, j 0,1, 2.
180o 1 60 3
180o (3) 180o (5) 2 180 2 300 3 3
Lugar de las raíces 5.- Intersección de las asíntotas con el eje real.
1 1
raíces de polos de GH(s) raíces de ceros de GH(s) N
(0 4 5) (0) 3
3
6.- Lugar de las raíces sobre el eje real
Un punto del eje real del plano S pertenece al lugar de las raíces si el número total de polos y ceros de GH(s) que hay a la derecha del punto considerado es impar. Gráfica
Lugar de las raíces 7.- Ángulos de salida y llegada El ángulo de salida del lugar de las raíces de un polo o el ángulo de llegada de un cero de GH(s) puede determinarse suponiendo un punto S1 muy próximo al polo o al cero aplicando la siguiente ecuación:
G( s ) 180
la condición de ángulo
En el caso del ejemplo, los polos están en el eje real y puede calcularse el ángulo de salida por simple inspección. Si se usa la fórmula, se define un punto muy cercano al polo o cero a calcular su ángulo de salida o llegada.
0
Lugar de las raíces 8.- Intersección del lugar de las raíces con el eje imaginario Sobre el eje imaginario el valor de s es j , por eso se cambia en la ecuación característica s j . Se obtiene el valor de y el de K .
1 G ( s ) H ( s ) s 3 9 s 2 20 s K 0 ( j )3 9( j ) 2 20( j ) K 0
j 3 9 2 j 20 K 0 se separan las parte real e imaginaria
j 3 j 20 0 j 3 j 20 0 20
9 2 K 0 K 180
j 1
Lugar de las raíces 9.- Puntos de separación Los puntos de separación o de ruptura es un valor donde dos polos dejan de ser reales y se hacen imaginarios (o viceversa). Se determinan usando: dK 0 ds
K se despeja de la ecuación característica
K s 3 9 s 2 20 s dK 3 s 2 18s 20 0 ds
3 s 2 18s 20 0
s 4.5275
s 1.4724
Lugar de las raíces 10.- Cálculo del valor de K en el lugar de las raíces
Se puede conocer que valor de K es necesario para obtener los polos de lazo cerrado deseados, utilizando la condición de magnitud. G ( s ) H ( s ) 1
Lugar de las raíces Inicio Paso 1 Paso 2 no hay Paso 3 N 3 Paso 4
1 60 2 180 2 60 Paso 5
1 3 Paso 6
3
Lugar de las raíces Paso 7
0 180 4 0 5 180
20
j
Paso 8 K 180 20 Paso 9
3
s 1.4724 Este es el lugar de las raíces del sistema.
20
j
Ejercicio en SALON • ¿Se puede deducir el valor de la ganancia
K para el sistema anterior con la ayuda de la condición de magnitud? • Simular que respuesta tiene en MATLAB • Simular para varios valores de K y encontrar uno que sea subamortiguado. • Verificar condiciones de ángulo y magnitud para el valor de K encontrado.
RESPUESTAS TÍPICAS DE LGR
Lugar de las raíces Configuraciones típicas del lugar de las raíces
G ( s) H ( s )
G ( s) H ( s )
K s( s a)( s b)
K ( s 2 2 s 5)( s 2 4 s 5)
Lugar de las raíces
G ( s) H ( s )
G ( s ) H ( s)
K ( s 1) ( s 2 4 s 13)
K ( s 1)( s 2 4 s 13)
EJERCICIO SALON • USANDO LAS 10 REGLAS ENCUENTRE
EL LGR DE G ( s ) H ( s )
K ( s 1) 2
( s 4 s 13)
