PRACTICA 10
LABORA LA BORATORIO TORIO DE INGENIER INGENIERÍA ÍA DE SISTEMAS
LUGAR DE LAS LA S RAICES
Lugar de las raíces
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Introducción El método del lugar de las raíces es una herramienta gráfica muy poderosa, de fácil manejo en Matlab y que permite obtener mucha información de interés sobre el sistema. De hecho, permite investigar los efectos de la variación del parámetro K o ganancia del lazo (valores positivos, de 0 a ∞) sobre la ubicación de los polos en lazo cerrado. Además, el método del lugar de las raíces es una buena herramienta y de fácil manejo en el diseño de controladores. El objetivo de esta práctica es emplear la técnica del lugar de las raíces para buscar los parámetros adecuados del controlador que hagan que la respuesta del sistema cumplan los requisitos impuestos por el usuario. Además también permite estudiar la estabilidad absoluta de un sistema.
1. Control Contro l prop orci onal (P) (P) Objetivo: estudiar el comportamiento de sistemas de primer, segundo y tercer orden variando el parámetro K con la herramienta del lugar de las raíces. Sean las funciones de transferencia: G1 ( s ) =
1 s+2
G2 ( s) =
2 s
2
+
4s + 2
G3 ( s ) =
8 s
3
+ 8s
2
+ 18s + 8
Se realimentan dichas plantas con un lazo unitario y se introduce un controlador proporcional. a) Visualizar el lugar de las raíces de dichos sistemas, variando la ganancia del controlador P. b) Para un valor de K, analizar la respuesta temporal a escalón unitario (visualizar gráficamente el tiempo de establecimiento).
2. Control Contro l prop orcional orc ional integral int egral (PI) (PI) A continuación, seleccionar un controlador PI (es decir, Gc ( s ) = K
s + z1 s
). En
realidad, se trata de añadir un integrador y un cero al sistema. a) Considerando G1(s), analizar analizar el el error error permanente permanente y el tiempo de de establecimiento. establecimiento. b) Considerando G2(s) y G3(s), encontrar encontrar el valor de Kc que vuelve inestable inestable al sistema.
3. Control Contro l prop orci onal derivativ o (PD) (PD) Analizar ahora qué ocurre si se selecciona un controlador PD, es decir, cuando G C ( s ) = K ( z1 + s ) .
Dpto. de Ingeniería de Sistemas y Automática
E.T.S. de Ingeniería de Bilbao (UPV/EHU) (UPV/EHU)
Lugar de las raíces
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a) Considerando G1(s) y G2(s), situar el cero en diferentes lugares y cambiar la ganancia Kc, ¿qué conclusión obtienes? b) Considerando G 3(s), situar el cero sobre un polo y desplazarlo hacia la derecha ¿qué ocurre?
4. Control Contro l prop orci onal int egral derivativo derivati vo (PID (PID)) En el caso de seleccionar un controlador PID, analizar su efecto para los tres sistemas, es ( s + z1 )( s + z 2 ) decir, cuando Gc ( s ) = K . Como se ve, en este caso se añaden un s integrador y dos ceros al sistema. a) Variar los parámetros del controlador, controlador, y comprobar el efecto que producen producen en el lugar de las raíces resultante.
5. Diseño de cont roladores rol adores con el lugar de las raíces raíces Objetivo: diseñar un controlador empleando la técnica del lugar de las raíces. Sea el siguiente sistema, con dos polos complejos conjugados y uno real: G ( s) =
1 s 3 + 9s 2
+ 25s + 25
.
j -2 -5
-j
Para cada uno de los siguientes apartados, diseñar un controlador P, PI, PD o PID de forma que el sistema en lazo cerrado cumpla las especificaciones exigidas: 1)
t s 98%
≤
4s
2)
t s 98%
≤
4 s, M p
≤
4,3%
y
e ss
=
0
3)
t s 98%
≤
2 s, M p
≤
4,3%
y
e ss
=
0
4)
t s 98%
≤
4 / 3s , M p
y
M p
≤
≤
4,3%
4,3% y
Dpto. de Ingeniería de Sistemas y Automática
e ss
=
0
E.T.S. de Ingeniería de Bilbao (UPV/EHU) (UPV/EHU)
