REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD DR. “RAFAEL BELLOSO CHACÍN” VICERRECTORADO DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO DECANATO DE IVESTIGACIÓN Y POSTGRADO PROGRAMA: INGENIERÍA DE CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN DE PROCESOS
LUGAR GEOMÉTRICOS DE LAS RAÍCES
AUTORES: ING. ELBA SANDOVAL ING. JORGE SAAVEDRA PROFESOR: MSC. GERICK NUÑEZ
NOVIEMBRE DE 2012
Lugar geométrico de las Raíces La estabilidad y el funcionamiento transitorio de un sistema está directamente relacionado con la ubicación en el plano s de las raíces de la ecuación característica ó polos de lazo cerrado. Si los parámetros del sistema varían, las raíces de la ecuación característica también sufrirán variación en su ubicación en el plano s. La gráfica del desplazamiento de las raíces características en el plano s cuando cierto parámetro del sistema varía, se denomina lugar geométrico de las raíces (LGR). El método del LGR fue desarrollado por W.R. Evans (1948) , se trata de un método gráfico para dibujar el LGR sobre el plano s. El LGR permite conocer información acerca de las características de funcionamiento del sistema en lazo cerrado. En el diseño de sistemas, este método permite seleccionar el controlador adecuado y ajustar uno o más parámetros para obtener la ubicación necesaria de las raíces características con la finalidad de cumplir con las especificaciones de funcionamiento requeridas. Sea la ecuación característica de un sistema: q(s) = 1 + F(s) = 0 _ F(s) = - 1 Como F(s) está en función de la variable s, que es compleja, es necesario que:
F(s) = 1: Condición de magnitud ó de módulo F(s) = 180º + 360ºk: Condición de ángulo
k = 0, ±1, ±2, Los valores de s que cumplen las condiciones de ángulo y magnitud, son las raíces características del sistema ó polos de lazo cerrado. La condición de ángulo permite determinar las trayectorias del LGR. Los valores del parámetro que varía se determinan mediante la condición de magnitud. En general: F(s) = KP(s) (s + z1)(s + z2)…(s + zm) P(s) = ----------------------------------(s + p1)(s + p2)…(s + pn) donde K es el parámetro a variar
Si un punto s = s1 pertenece al LGR debe cumplir con: Condición de magnitud: (s1 + z1)(s1 + z2)…(s1 + zm) K|P(s1)| = K ------------------------------------ = 1 (s1 + p1)(s1 + p2)…(s1 + pn) Por lo tanto, K se puede evaluar en un punto del LGR dividiendo el producto de las longitudes de los vectores desde los polos de P(s) a si por el producto de las longitudes de los vectores desde los ceros de P(s) a sí. En el caso del sistema realimentado
Se observa, que las características de funcionamiento del sistema en lazo cerrado se estudian a partir del conocimiento de la ubicación de los polos y ceros de la función de transferencia en lazo abierto. Para un sistema con realimentación negativa con el parámetro a variar K, tal que K > 0: 1º Escribir la ecuación característica: 1 + F(s) = 0 y reordenarla, si es necesario, para que aparezca el parámetro de interés K, como factor en la forma parámetro forma: 1 + KP(s) = 0 2º Localizar los polos y ceros de P(s) en el plano s, con marcas apropiadas: los polos con “ x “ y los ceros con“o” . 3º Aplicar las reglas que se presentan a continuación, las que están basadas en la condición de ángulo.
1º Puntos de comienzo y finalización. El LGR está formado por ramas que empiezan (K=0) en los polos de P(s) y terminan (K=oo) en los ceros de P(s) ó en el infinito. Tiene tantas ramas independientes como el máximo entre el número de polos (nP) y el de ceros (nZ) de P(s).
2º Simetría. El LGR es simétrico con respecto al eje real del plano s, pues la raíces complejas deben aparecer como pares de raíces conjugadas complejas.
3º LGR sobre el eje real. Pertenecen al LGR aquellos segmentos del eje real que tienen a su derecha un número total de polos mas ceros de P(s) que sea impar.
4º Ángulos de salida y de llegada. Reglas para trazar el bosquejo del LGR Los ángulos de salida de polos y ángulos de llegada a ceros denotan el ángulo de la tangente del LGR cerca del polo ó cero, según corresponda. Se calculan escogiendo un punto s1 que Pertenezca al LGR muy cercano al polo ó cero y se aplica la condición de ángulo en dicho punto. Si el punto de partida es un polo múltiple, se debe considerar un ángulo para cada polo. Si la llegada es un cero múltiple se realiza un procedimiento similar. Un sistema es estable si ante señales de entrada o perturbaciones acotadas produce salidas acotadas y regresa a un estado de equilibrio. Un sistema de control está en estado de equilibrio si, en ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el mismo estado.
Estalibilidad Absoluta (Estable o no) Estable Si la salida regresa eventualmente a su estado en equilibrio cuando el sistema se somete a alguna perturbación
Inestable Si la salida oscila indefinidamente, o si la salida diverge sin límite de su estado en equilibrio.
Estabilidad Relativa La respuesta transitoria de un sistema de control, suele presentar oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar su estado de reposo o estacionario.
Error en estado Estacionario Si el sistema en estado estacionario no coincide exactamente con la entrada
Configuraciones comunes de polos y ceros y los correspondientes lugares geométricos de las raíces. El patrón de los lugares geométricos de las raíces sólo depende de la separación relativa de los polos y ceros en lazo abierto. Si el número de polos en lazo abierto excede el número de ceros finitos en tres o más, existe un valor de la ganancia K más allá del cual los lugares geométricos de las raíces entran en el semiplano derecho del plano (s). Por tanto, el sistema puede volverse inestable. Un sistema estable debe tener todos sus polos en lazo cerrado en el semiplano izquierdo del plano (s).
Ingeniería de control moderno, Ogata pagina 337, tercena edición
Un sistema es estable si todos sus polos están situados en el semiplano complejo negativo, un sistema es inestable si algún polo está situado en el semiplano complejo positivo o si existen polos múltiples en el eje imaginario o en el origen. Un sistema es limitadamente estable si existe un solo polo en el origen, estando los demás situados en el semiplano negativo, un sistema es
marginalmente estable si existe una pareja simple (no múltiples) de polos complejos conjugados sobre el eje imaginario, estando los restantes polos situados en el semiplano negativo. Los polos situados en el semiplano negativo originan respuestas que se atenúan tanto más rápidamente, cuanto más alejados estén del eje imaginario. Sin embargo, se denominan en general ''polos dominantes'' aquellos que están más cerca del mencionado eje. Los polos complejos
conjugados dan lugar a respuestas cuyas oscilaciones son de frecuencia tanto más elevada cuanto mayor sea su distancia al eje real.
