ECUACIONES NO LINEALES LOCALIZACION DE RAICES Para iniciar la solución de ecuaciones no lineales por los métodos que se describirán es indispensable, conocer el intervalo de localización de las raíces a, b , o punto inicial “a”, este es un requisito para poder dar solución a la ecuación, pero previamente hay que verificar la existencia de la raíz en este intervalo mediante la proposición: f (a) * f (b) 0
Consideremos una función: y f ( x)
La cual es continua en un intervalo a, b dentro del cual si se encuentra por lo menos una raíz o cero para y f ( x) 0 Para la localización se procede de la siguiente forma: a) La función considerada y f ( x) 0 se descompone en otras dos, de modo que que puede expresarse f 1 ( x) f 2 ( x) La elección de esta descomposición de funciones dependerá de la convergencia del usuario ya sea por su rapidez de cálculo o por su similitud con las formas geométricas más populares conocidas, recta, circulo, parábola, exponencial, logarítmica, etc. b) Haciendo una tabulación y empleando una escala sencilla graficar cada una de las funciones halladas. c) Teniendo en cuenta la exactitud que tenga el grafico y las escalas utilizadas, sera posible ubicar ubic ar un cierto intervalo a, b en la proyección del eje X, dentro del cual se interceptan las graficas de las funciones halladas. d) Es evidente que el valor de x para el cual ambas curvas se interceptan será una raíz de y f ( x) 0
Ejemplo: localización de las raíces de la ecuación: a)
e
x
x 2 0 ,
x entonces f ( x) e , g ( x) 2 x
14 12 10 8 6 4 2 0 -3
-2
-1
-2 0
1
2
3
4
5
-4
b) f ( x) arctan x x 1 entonces
f ( x) arctan x , g ( x) 1 x
4 3 2 1 0 -3
-2
-1
-1
0
1
2
3
4
5
-2 -3 -4
c)
f ( x) e
x
ln( ln( x)
, entonces f ( x) e
x
g ( x) ln( ln( x)
1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
ECUACIONES NO LINEALES Cuando se estudia una parte del mundo real a través de un sistema físico, es común que se obtenga una ecuación no lineal cuya solución analítica es difícil o imposible de obtener. Tales ecuaciones se clasifican como algebraicas o trascendentes y su solución o raíz buscada se puede estimar por medio de métodos numéricos. En el diseño en ingeniería se utilizan un conjunto de principios fundamentales (balances o conservación del calor, masa, fuerza y energía, así como las leyes del movimiento y de Kirchhoff) de cuya aplicación a un sistema en particular se deducen ecuaciones matemáticas o modelos predictivos de ciertas variables dependientes, en función de variables independientes y de parámetros o características constantes del sistema. La solución a tal problema está a través de los métodos numéricos, dando a la ecuación la forma f(x)=0, de manera que el valor de x que hace que se cumpla es la raíz buscada. Tales raíces pueden ser reales o complejas. Por ejemplo las vibraciones en sistemas mecánicos (el tono que puede hacer que un determinado objeto de vidrio se rompa, las condiciones del viento que hacen que un avión pueda volar o que hacen vibrar un puente suspendido en el aire), la variación con respecto al tiempo de la carga o la intensidad en sistemas eléctricos, el movimiento de una partícula de mas sobre la que actúan una o varias fuerzas, etc. Pueden determinarse resolviendo la ecuación diferencial de orden n
an y n
an 1 y n
1
...a2 y
||
a1 y|
a0
0
Se trata de hallar los valores de “x” que satisfacen la ecuación. Esto es los valores se llaman ceros de la función “f ” o raíces de la ecuación f(x)=0 y se denotan x*. Gráficamente los ceros de una función son los puntos de intersección de la grafica y=f(x) con el eje X. El cálculo de las raíces de una ecuación es uno de los problemas matemáticos que ha recibido un tratamiento más preferente a lo largo de la historia- de hecho a motivado la aparición de diferentes tipos de números.- pero su importancia escapa del puro interés matemático. Muchos problemas de la ingeniería de la técnica y, en general, de la ciencia pueden ser formuladas en forma de ecuación. Problemas de optimización, de construcción de cuadraturas o de lados mediante ecuaciones diferenciales llevan frecuentemente a la necesidad de resolver ecuaciones. De hecho si resolver una ecuación fuera fácil, muchos otros problemas serian también fáciles de resolver. Nuestro interés se centra en las raíces reales. Desde luego no queremos decir que no es de interés el cálculo de raíces complejas, pero esto es comparativamente un problema raro. Numerosos modelos matemáticos provenientes del planteamiento de los fenómenos físicos y químicos, resultan en una ecuación algebraica no lineal, normalmente de grado 2 o de mayor grado, y en muchos casos con exponentes fraccionarios.
La raíz de una ecuación es el valor de x que hace
y f ( x) 0
Existen muchas funciones donde las raíces no se pueden determinar tan fácilmente. I.
METODO DE LA BISECCION O METODO DE BOLZANO, DE CORTE BINARIO O DE PARTICION EN DOS INTERVALOS IGUALES.
Es un método de convergencia lento, pero aplicable en muchos problemas. Una desventaja de este método es el requerimiento de dos puntos iniciales para iniciar el proceso iterativo. Es un método que usa un intervalo para buscar la raíz, donde la función cambia de signo. En este método solo se requiere evaluar la función en diversos puntos. Suponga una función, f ( x) 0 se debe conocer un intervalo x1 , x2 tal que f ( x1 ) y f ( x2 ) deben tener signos contrarios. Si la función es continua en ese intervalo entonces existe una raíz f ( x) entre x1 y x2 Una vez determinado el intervalo x1 , x2 y asegurada la continuidad de la función en dicho intervalo, se evalúa esta en el punto medio xm del intervalo como la figura xm
Si f ( xm ) y
x1 x2 2
f ( x1 ) tienen
signos contrarios, se reducirá el intervalo de x1 a xm ,
luego se hace xm x2 Se procede del mismo modo hasta satisfacer los criterios de convergencia que se establecen previamente. El requisito básico para que sea aplicable el método es que la función sea continua entre los límites inferior y superior, y que únicamente tenga una sola raíz. CRITERIOS DE CONVERGENCIA Primeramente se establece una tolerancia ya sea para la variable “x” o para la función f ( x) , dependiendo de los valores de las propiedades físicas motivo de estudio, esto
es Tol (1) y Tol (2) CRITERIO 1: ERROR 1= Abs( X k
1
X k ) Tol (1)
CRITERIO 2: ERROR 2= Abs( f ( x)) Tol (2) Si se cumple alguno de estos criterios se habrá encontrado la solución, de lo contrario, se continuara iterando. El problema de la búsqueda de raíces, consiste en obtener una raíz o solución de una ecuación de la forma f ( x) 0 para una función dada “f” El método de bisección o búsqueda binaria se basa en el teorema del valor intermedio. El método termina cuando se alcanza la precisión Abs ( X k 1
X k )
Tol (1)
La tolerancia común es 0.0001 Otra manera de concluir la iteraciones es cuando la función f(x) es ya muy cercana a cero.
1.
Determinar la raíz de f ( x) e x Lnx , con 6 cifras significativas, hasta un a 1% en 1,1.5
2.
Determinar la raíz de f ( x) Arc tan x x 1, con 8 decimales, hasta un a 1,50% en 0,1
3.
Determinar la raíz de f ( x) x 3 4x 2 10 , con 8 decimales, hasta un en 1,2
a 1%
4.
Encuentre la raíz real positiva de f ( x) Lnx x 2 , con 8 decimales, hasta un a 1% en 2,4
II.
METODO DEL PUNTO FIJO, MÉTODO DE APROXIMACIONES SUCESIVAS, ITERACIÓN SIMPLE E ITERACIÓN DE PUNTO FIJO. Es un método de fácil implementación y tiene la ventaja adicional de requerir un solo punto inicial para el proceso iterativo A la función f ( x) 0 se le adiciona x f ( x) x x g ( x) x x g ( x)
Se encuentra una solución aproximada, es decir se asume un valor tal Xo que permite calcular
x1 g ( x0 ) Esta ecuación puede generalizarse como: xk 1 g ( xk ); k 0,1,2....
INTERPRETACION GEOMETRICA Y CRITERIOS DE CONVERGENCIA Supongamos que los valores obtenidos pueden disponerse del siguiente modo:
Xo
X1
*
Un modo práctico de saber si los valores consecutivos se acercan es ir calculando la distancia entre ellos.
d i xi 1 xi Si la sucesión d i , d 2 , d 3....d n tiende a cero, la solución va convergiendo a la raíz x*, debe continuarse hasta que d i COMPORTAMIENTO GEOMETRICO DEL METODO
Cuando
g | ( x0 )
1 el método converge a la raíz.
Cuando
g | ( x0 )
1 el método diverge.
|
0 g ( x) 1
CONVERGENCIA MONOTONA
|
1 g ( x) 0
|
g ( x) 1
DIVERGENCIA MONOTOMA
1.
Se parte de la inicial x 0 , de donde se levanta una línea perpendicular al eje X hasta tocar la curva y g ( x) de aquí se traza una paralela al eje X hasta interceptar la recta y x , una vez en este punto se traza otra perpendicular al eje X, hasta tocar a este, en cuyo punto ubicamos nuestra nueva aproximación x1 , y así sucesivamente hasta llegar a la solución de la ecuación que será aquel punto donde se interceptan la recta y x y la curva y g ( x) .
2.
| El sistema converge más rápidamente si los valores de g ( x) están más alejados de la unidad, pues un valor menos próximo a esta daría una convergencia lenta.
3.
| Si g ( x)
y
1,
g ( x)
el sistema no converge ni diverge, será el caso en que la curva
se hace paralela a la recta y
x
.
PROCEDIMIENTO DEL METODO 1. Se despeja de la ecuación no lineal a la incógnita, en caso de que sea difícil por el tipo de función de que se trate puede hacerse simplemente agregando la incógnita a cada lado de la ecuación si se tiene ya la función igualada a cero.
f ( x) x x g ( x) Que da la x despejada. 2. Se define la aproximación inicial x1 3. Se sustituye la aproximación inicial en la ecuación original para obtener la g ( x) la cual se convierte en la nueva aproximación. xi 1 g ( xi ) 4. Se efectúa la prueba de convergencia, definida por la ecuación.
xi 1 xi xi 1
Si se satisface la convergencia, se ha resuelto el problema, siendo la solución del mismo.
1.
Determinar la raíz real positiva de f ( x) e x x 2 , con 8 decimales, hasta un Abs xi 1 xi 1x10 4 en 1,2
2.
Determinar la raíz real positiva de f ( x) Lnx x 2 , aplicando el método del punto fijo, con una tolerancia Abs xi1 xi 1x104 con 8 decimales en 2,3
III.
METODO DE NEWTON RAPHSON O MÉTODO DE LAS TANGENTES Se puede deducir gráficamente a través de la serie de Taylor. Principio de funcionamiento: desde un punto inicial x1 cercano a la raíz se traza la pendiente a la función y por el punto donde dicha tangente corta al eje X. se obtienen una mejor aproximación a la raíz, el proceso de repite hasta obtener la aproximación deseada. Este método es efectivo, no trabaja en un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo. Supongamos que tenemos la aproximación que xi a la raíz xr de f ( x)
Lt
Xi
Xi+1
Trazamos la recta tangente a la curva en
( x1, f ( x1 )) ,
será nuestra siguiente aproximación a la raíz primero la ecuación de la recta tangente. |
m f ( xi ) |
LT : y f ( xi ) f ( xi )( x xi )
Haciendo y=0 !
f ( xi ) f ( xi )( x xi )
Despejando “x”
esta cruza al eje X en xi 1 que
xr para
calcular xi 1 , calcularemos
|
|
f ( xi ) f ( xi ) x f ( xi )(xi )
f | ( xi ) xi f ( xi ) f | ( xi ) x |
x x xi
f ( xi ) xi f ( xi ) |
f ( xi )
f ( xi ) |
f ( xi )
Fórmula iterativa de Newton Raphson
Para calcular la siguiente iteración: xk 1
x k
f ( xk ) ; f !(x k ) 0 ! f ( x k )
En el caso que f | ( x k ) 0 , el método no se puede aplicar esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intercepta al eje X en ningún punto, al menos que coincida con este, en cuyo caso x1 mismo es una raíz de f ( x) . CRITERIO DE CONVERGENCIA El método convergerá si |
g ( x0 )
f ( x0 ) f || ( x0 )
f ( x )
2
|
0
x0 : Aproximación inicial.
1
x f ( x ) e Lnx , Aplicar el método de N-R para aproximar la raíz de 1. comenzando con x0 1, hasta a 1% (9 decimales)
3 3x 5 , con un f ( x ) x Aplicando el método de N-R determinar la raíz de 2. error de aproximación de 1 x107 (7 decimales)
x f ( x ) x e Aplicar el método de N-R para aproximar la raíz de , con un error de 3. aproximación de 1 x107 (7 decimales)
IV. METODO DE REGULA FALSI, FALSA POSICION - METODO DE INTERPOLACION LINEAL INVERSA Un inconveniente del método de bisección es que al dividir el intervalo de xi a xu en mitades iguales, no se toman en consideración las magnitudes de f ( xi ) y f ( xu ) Un método iterativo que aprovecha esta visualización consiste en unir f ( xi ) y f ( xu ) con una línea recta.
La intersección de esta línea con el eje de las X representa una mejor aproximación de la raíz. El hecho de que se reemplace la curva por una línea recta da una “falsa posición” de la raíz.
Este método es una combinación de los métodos de la bisección y la Secante, pues consiste en definir dos aproximaciones iniciales xi a xu cuyas funciones f ( xi ) y f ( xu ) resultan ( xu , f ( xu )) en
de signos contrarios. Del punto ( xi , f ( xi )) se traza una recta al punto
el sitio donde esta recta interseca la eje X, ahí se coloca la nueva
aproximación x3 y así sucesivamente hasta lograr la convergencia.
Por triángulos semejantes
f ( xi ) xr xi
f ( xu ) xr xu
f ( xi )( xr xu ) f ( xu )( xr xi ) f ( xi )( xr xu ) f ( xu )( xr xi ) f ( xi ) xr f ( xi ) xu f ( xu ) xr f ( xu ) xi f ( xi ) xr f ( xu ) xr f ( xi ) xu f ( xu ) xi xr [ f ( xi ) f ( xu )] f ( xi ) xu f ( xu ) xi
xr
xr
xu f ( xi ) xi f ( xu ) f ( xu ) xu xu f ( xi ) f ( xi ) f ( xu ) xu [ f ( xi ) f ( xu )] f ( xu )[ xi xu ] f ( xi ) f ( xu ) f ( xi ) f ( xu )
xr xu
f ( xu )[ xi xu ] f ( xi ) f ( xu )
El valor de xr reemplazara después a cualquier de los dos valores iniciales xi o xu y da un valor de la función con el signo de f ( xr ) . De esta manera los valores de xi y xu siempre encierran la verdadera raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada.
1.
Determinar el coeficiente de arrastre C, necesario para que un paracaidista de masa m 68,1kg , tenga una velocidad de 40m / s ; después de una caída libre de t 10 seg , ( g 9.8m / s 2 ) f (c)
gm C
(1 e
(
C m
) t
)v
La concentración de bacterias contaminantes “C”, en un lago decrece de acuerdo con
la relación C 70e
1.5t
25e
0.075t
Determinar el tiempo requerido para que la concentración de bacterias se reduzca a 9, aplicando el método de N-R con un a 0.1%
RAICES DE POLINIOMIOS Métodos para encontrar las raíces de ecuaciones de la forma: 2
f n ( x) a0 a1 x a2 x ...an x n : grado del polinomio. a0 , a1 , a2 ...an coeficientes
n
del polinomio, pueden ser números reales o complejos.
Las raíces de los polinomios cumplen: a) En una ecuación de grado “n” hay “n” raíces reales o complejas, se debe notar que estas raíces no necesariamente son diferentes. b) Si “n” es impar, hay al menos una raíz real. c) Si existen raíces complejas estos se encuentran por pares conjugados a bi I.
METODO DE LOS FACTORES CUADRATICOS Facilita la determinación de las raíces reales y complejas de una ecuación algebraica. Sea P ( x) 0 n
P ( x) a0 x a 1 x
n1
....an1 x an
Se obtiene un factor cuadrático de la forma x 2 px q 2
P ( x) ( x px q)Q( x) R( x) S
Q( x) b0 x
n 2
b1 x
n3
bn3 x bn2
Donde: b1 a1 pb0
a0 b0 bk ak pbk 1 qbk 2 , k 1,2,3...( n 2) b1 b2 0
S an qbn2
R an1 pbn2 qbn3
Para que x 2 px q sea un factor del polinomio P ( x) se requiere que R y S sean iguales a cero por lo cual. pi * pi 1
R
qi * qi 1
bn2
p p * p
El método converge cuando adecuada.
S bn2
q q * q
R, S , p, q
tiende a cero, fijada una tolerancia
Determinar las raíces de x4 x3 6 x2 3x 4 0 con una tolerancia de 1%, usando como valor inicial p 0, q 0
Determinar
o complejas de f ( x) x 3.5 x 2.75 x 2.125 x 3.875x 1.25 , usando como valores iniciales 5
p q 1
las
4
raíces
3
reales
2
II.
METODO DE BAIRSTOW PROCEDIMIENTO
1. Dada la ecuación n
f n ( x) a0 x a1 x
n1
a2 x
n 2
... an1 x an
Dé un valor inicial para la raíz x t 2.
Divida el polinomio f n ( x) entre el factor x t para dar un segundo polinomio de grado menor. f n1 ( x) b0 x
n1
b1 x
n2
... bn2 x bn1
3.
Determine si hay residuo diferente de cero: - Si no hay, el valor inicial es perfecto y la raíz es igual a “t”: x t - Si existe un residuo, se ajusta el valor inicial en forma sistemática y se repite el procedimiento hasta que el residuo desaparezca y se localice la raíz. - Se repite el procedimiento con el cociente para localizar otra raíz.
4.
Si el residuo R b0 , los coeficientes se calculan por la relación de recurrencia. bn an bi ai bi1.t para i n 1 a 0
5.
Para raíces complejas se divide el polinomio entre un factor cuadrático x2 rx s representa un nuevo polinomio. f n2 ( x) bn2 bn3 x ... b1 x
n3
b0 x
n2
Con residuo R b1 ( x r ) b0
Y relación de recurrencia bn an bn1 an1 rbn bi ai rbi 1 sbi 2 ,
para i n 1 a 0
Para que el residuo sea cero para b0 , b1 deben ser cero. Por lo que para hallar r y s se igualan a cero las ecuaciones. b1 (r r , s s) b1
db1
b0 (r r , s s) b0
dr
r
db0 dr
db1
r
ds
s 0
db0 ds
s 0
Es decir se resuelve el sistema. Con:
c2 r c3 s b1 c1r c2 s b0
Donde cn bn cn1 bn1 rcn ci bi ci1 sci 2 ,
En cada paso se estima un error aproximado en “r” y “s” en base a una
tolerancia dada. 2
Los valores se calculan con:
x
r r 4 s 2
Determinar las raíces de f ( x) x3 4 x 2 5.25x 2.5 con una tolerancia de 1% usando como valores iniciales r 0.5 y s 0.5