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Práctica #9: Análisis del lugar geométrico de las raíces (LGR). Pablo A. Ambrosi
Resumen en el presente informe se encontrará el lugar geométrico de las raíces de los controladores proporcional, integral y derivativo —
.
Términos claves — Lugar geométrico, raíces.
I. INTRODUCCIÓN Un estudio importante en sistemas de control lineales es la investigación de las trayectorias en las raíces de la ecuación característica o simplemente, el lugar geométrico de las raíces cuando cierto parámetro del sistema varía. La técnica del lugar geométrico de las raíces no está confinada al estudio de los sistemas de control. En general, el método se puede aplicar al estudio del comportamiento de las raíces de cualquier ecuación algebraica con parámetros variables [1].
+ , es una constate real que varía desde: -. / + / . [6]. Para propósitos de identificación, se definen las siguientes categorías de lugares geométricos de las raíces basados en el signo de + : 1. RL: la porción del lugar geométrico de las raíces donde K es positiva; 0 1 + / . 2. CRL (lugar geométrico de las raíces complementario): la porción del lugar geométrico de las raíces donde K es negativa: -. / + 1 0. 3. RC (contornos de las raíces): contorno de las raíces cuando varia más de un parámetro. 4. Lugar geométrico de las raíces: se refiere al lugar geométrico de las raíces total para -. / + / .
II. OBJETIVOS •
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Objetivo general: Análisis del lugar geométrico de las raíces (LGR) de los sistemas propuestos. Objetivos Específicos: Analizar teóricamente el lugar geométrico de los controladores proporcional, integral y derivativo propuestos. Desarrollar matemáticamente el lugar geométrico de las raíces de los controladores antes mencionados. Determinar y dibujar la ubicación de los polos y ceros en el plano complejo de los controladores. Graficar y simular todas las características del LGR, aplicando sus propiedades.
III. SUSTENTO TEÓRICO A. LGR:
El problema del lugar geométrico de las raíces se puede formular con referencia a la siguient e ecuación algebraica de ña variable compleja !: donde "#!$ es un polinomio en ! de grado %, donde &#!$ es un polinomio en '(% * ' son enteros positivos. Esta práctica se realizó el día 04-07-17 en el Laboratorio de Control Moderno de la Universidad de Cuenca, Pablo Ambrosi bajo la guía del Ing. Martin Ortega, Mgs.. Sugerencias: pab
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B. Propieda des (LGR ):
1. Valores de 2 , 3 y 2 , 4. Los puntos sobre el LRG donde + , 0 representan los polos únicamente de 5 ! 6 ! . Los puntos sobre el LRG donde el valor de + , 47 representan los ceros de 5 ! 6 ! .
2. Numero de ramas: El número de ramas del LRG va a depender de la ecuación característica.
3. Simetría: La simetría de los LRG son con respecto al eje real.
4. Asíntotas: Número de asíntotas: 8 %-' donde % , número de polos ' , número de ceros; % 9 '
Angulo de inclinación: Para valores grandes de ! , el lugar geométrico de las raíces para + : 0 (RL), son asintóticas con asíntotas con ángulos dados por:
;< ,
=<>? @AB
C 7D0° % 9 '
F8F G F % - ' - 7; % * ' son el número de donde E , 0F7F8F polos infinitos i nfinitos y ceros de 5 ! 6 ! , respectivamente. Para + 1 0 (CRL), los ángulos de las asíntotas son: ;< ,
=< @AB
C 7D0° % 9 '
donde E , 0F7F8F G F % - ' - 7.
2
^, -
5. Centroide: El centroide del LRG siempre se ubica [^
6. El LR: se lo realiza sobre el eje real 7. El ángulo de llegada y ángulo de salida: •
•
•
Se toma uno de los polos y se grafica un punto cercano a la ubicación del mismo. Trazamos un radio vector a cada uno de los polos y ceros. Encontramos el ángulo de cada vector.
#HIJKLM$ -
[M
, 3 condición de ruptura. deben
satisfacer
la
ecuación
puntos de ruptura sobre el lugar geométrico de las raíces en la ecuación
[^ [M
, 3 nos lleva a la
sensibilidad de las raíces de la ecuación característica. La sensibilidad de las raíces de la ecuación característica cuando K varia se define como la sensibilidad de las raíces y está dada por [6]:
8. Intersección del LRG con el eje imaginario (Criterio de Routh Hurwitz): Para encontrar las
Los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico de las raíces de una ecuación corresponden a raíces de orden múltiplo de la ecuación [6].
\ Q M ]Q M
10. Sensibilidad de las raíces: la condición sobre los
HPQ - HRQ S HRT S HRU $ , #TV S Q QW3 XY
9. Puntos de ruptura:
\Q M ]Q M T
Las raíces obtenidas característica.
#HNLOLM$
intersecciones del lugar geométrico con las raíces con el eje imaginario lo hacemos mediante la tabulación de Routh - Hurwithz.
,
[\Q M ]Q M [M
Q
La sensibilidad es el mínimo valor que se necesita a la entrada para que cambie el valor. La sensibilidad de los puntos de ruptura es infinita. Los diseños de los sistemas de control nunca se los realizan cercanos a los puntos de ruptura. Para el ejemplo 5.2: El sistema de control puede estar diseñado en: TUF U / ^ / U_F `
11. Valores de K ¿Como encontrar cualquier valor de k sobre el lugar geométrico de la raíz? 7 \Q M ]Q M , Z
Z ,
@ ab? B
! S "a ! S c?
IV. DESARROLLO Sistema de control propuesto:
Fig1. Ejemplos de puntos de ruptura sobre el eje real del plano S [1]. Estos se obtienen a través de la ecuación característica y debe satisfacer la ecuación:
7 S Z 6? ! 5? ! , 0 [\Q M ]Q M ,3 [M 7 6? ! 5? ! , Z
Analizar y desarrollar matemáticamente el LGR de los controladores proporcional, integral y derivativo propuestos. 2. Simular la ubicación de los polos y ceros en el plano complejo de los controladores proporcional, integral y derivativo propuestos. 3. Graficar y simular todas las características del LGR, como las asíntotas, centroide, LRG, etc.., aplicando 1.
3 sus propiedades.
Los puntos 1, 2, 3 serán desarrollados en anexos.
V. SIMULACIONES: Se las presentan en la tabla 1 en los anexos.
VI.
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-
CONCLUSIONES
Para el caso #1 analizamos la función de transferencia de un controlador tipo integrador vemos que el número de polos en este controlador son 3, sin la presencia de ceros; las asíntotas son tres con i= 0, 1, 2; el centroide está ubicado en la parte izquierda del eje real (-1). Para el caso #2 analizamos la función de transferencia de un controlador tipo proporcional vemos que el número de polos en este controlador son 2 ya que eliminamos la s que multiplicaba a la ecuación característica, sin la presencia de ceros; las asíntotas son dos con i= 0, 1; el centroide está ubicado en la parte izquierda del eje real (-1,5). Para el caso #3 analizamos la función de transferencia de un controlador tipo derivativo para que esta función sea de un controlador derivativo en el denominador de la ecuación de la FT se le multiplico por s; vemos que el número de polos en este controlador son 2, existe la presencia de ceros (1); la asíntota es una con i= 0; el centroide está ubicado en la parte izquierda del eje real (-3).
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