ejercicios resueltos de Lugar de raices

Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.

EJERCICIO 6.1.

Trazar el lugar directo e inverso de las raíces para el sistema cuya FTLD es la siguiente: G (s) 

5000K ; s(s  50)(s  100)

H(s)  1

1) Ecuación característica: 1 K

5000 0 s(s  50)(s  100)

2) Número de ramas: 3. 3) Puntos de inicio: s = 0; s = -50; s = -100; Puntos de finalización: 3 en infinito. 4) Lugar en eje real:

jw 50

-100

Re

-50

-50

5) Simetría. 6) Asíntotas: Directo: a 

180( 2q  1) 180( 2q  1)   60º ; 180º ; 300º PZ 3

Inverso: a 

180( 2q ) 180( 2q )   0º ; 120º ; 240º PZ 3

1

Lugar de las Raíces

7) Centroide: o 

 Polos   Zeros   50  100  50 PZ

3

jw

50

-100

-50

Re -50

9) Llegada y/o salida del eje real: K

 s(s  50)(s  100) s 3  150s 2  5000s  5000 5000





1 dK  3s 2  300s  5000  0 ds 5000 s1  78.8 ; s 2  21.1

10) Corte con los ejes imaginarios: Ec. característica: s3  150s 2  5000s  5000K  0 s3 s

2

s1 s0

1

5000

150 5000K 5000  150 5000K

5000K

a) K  0  s  0 b) K  150  s   j70.7

2


jw

50

-21.1

-78.8 -100

-50

Re

-50

Con lo que el lugar de las raíces quedará:

70.7

-78.8

-21.1

-70.7

Aparece en línea continua el lugar directo de las raíces y en discontinua el lugar inverso.

3


EJERCICIO 6.2.

Trazar el lugar de las raíces para el sistema cuya FTLA es la siguiente: G (s)H(s) 

1) Ecuación característica: 1 K

K (s  3) s(s  5)(s  6)(s 2  2s  2)

(s  3) 0 s(s  5)(s  6)(s 2  2s  2)

2) Número de ramas: 5. 3) Puntos de inicio: 0; -5; -6; -1j; Puntos de finalización: -3; 4 en infinito. 4) Lugar en eje real:

jw

j

-6

-5

-1

-3

-j

Re

5) Simetría. 6) Asíntotas: Directo: a 

7) Centroide: o 

180( 2q  1) 180( 2q  1)   45º ; 135º ; 225º ; 315º PZ 4

 Polos   Zeros   1  1  5  6  (3)  2.5 PZ

4

4


jw

j

-6

-1

-3

-5

-j

Re

8) Angulos de salida de polos complejos:

 ceros   polos  180(2k  1) jw

p2 p5 -6

j

p4

p1 z1

-5

-1

-3

Re -j

p3

p1  180  arctg1  135º p3  90º p 4  arctg1 / 4  14.036º p5  arctg1 / 5  11.31º z1  arctg1 / 2   26.56º





26.56  135  p 2  90  14.036  11.31  180 p 2  43.78º

5


9) Llegada y/o salida del eje real: Entre -5 y -6: (-5.5)

1 1 1 2(a  1) 1     a a  5 a  6 (a  1) 2  12 a  3

1 1 1 2(5.5  1) 1     2 2  5.5 a  5 a  6 (5.5  1)  1  5.5  3 a

4.28  No  5.52  Si

10) Corte con los ejes imaginarios: Ec. característica: s5  13s 4  54s 3  82s 2  (60  K )s  3K  0 s5

1

54

60  K

s s3

13 47.7

82 60  0.77 K

3K

s2

65.64  0.21K

3K

s

a

0

3K

4

s

a

(65.64  0.21K )(60  0.77K )  143.1K 65.64  0.21K

a) K  0  s  0 b) a  0  s  1.35 j

jw

1.35j j -5.52 -6

-5

-1

-3

Re

-j -1.35j

6


Y el lugar de las raíces completo:

EJERCICIO 6.3. Dibujar el lugar de las raíces para el sistema de la figura siguiente:

R(s) +

k

G(s) 

G(s)

Y(s)

10(s  3) s(s  2)(s 2  8s  25)

Y calcular el valor de k para que la respuesta sea similar a la de un sistema de segundo orden con un sobreimpulso del 20% ante una entrada escalón unidad (sin tener en cuenta el cero de lazo cerrado).

1) Número de ramas = 4. 2) Puntos de comienzo: 0; -2; -4+3j; -4-3j; Puntos de Fin: -3;

7


3) Lugar de las raíces en el eje real: De - a -3; De -2 a 0. 4) Asíntotas: a 

180(2k  1) ; 60º; 180º; 300º pz

5) Corte de las asíntotas con el eje imaginario: s   j2.33 tg 60º   j4.03 6) Centroide: 0 

 polos   ceros   2  4  4  (3)  2.33 4 1

pz

7) Puntos de bifurcación en eje real: p

z 1 1 a p  a z i 1 i j1 i

1 1 2(a  4) 1    2 2 a a  2 (a  4)  3 a 3

De 0 a -2:

1 1 2(1  4) 1    2 2 a a  2 (1  4)  3 1 3

a= 9.7 (No válido) y a= -1.09 (válido). De -3 a menos infinito:

1 1 2(4  4) 1    2 2 a3  4  4  2 (4  4)  3

a= -4.4 (válido) 8) Puntos de corte con el eje imaginario: Ecuación característica: 1 k

10(s  3) 0 s(s  2)(s 2  8s  25)

s 4  10s 3  41s 2  (50  10k )s  30k  0

8


s4 s3 s2

1 10 36  K 1800  10K  10K 2 36  K 30K

s s0

41 30K 50  10K 30K

En s: k=-12,92.No válida porque es lugar inverso. k=13,92.Válida. Puntos correspondientes: (36  13.92)s 2  30(13.92)  0 s  4.35 j 0

En s : k= 0.Válida. Puntos correspondientes:

1800  10(0)  10(0) 2 s  0 s=0

9) Angulos de salida de los polos complejos: p

z

 z   p j1

i

i 1

i

 180º





180º  arctg3  180º  arctg 3    180º  arctg 3    90º   180º 

 4  

  68.4º

-68.4

9

 2 




Dos curvas posibles:

Forma 1

Forma 2

Comprobación aproximada sobre si es la forma 1: El centro del circulo en s = - 2.745. El punto más alto es: s = - 2.745-j1.655. Deberá cumplir el criterio del argumento: El cero :  1.655  z  arctg   81.24º  3  2.745  Los polos:  1.655  p 2  180  arctg   114.23º  2.745  2   1.655  p 0  180  arctg   148.91º  2.745   3  1.655  pcs   arctg   46.98º  313.02º  4  2.745   3  1.655  pcs   arctg   74.91º  4  2.745  La fase total será:

  ceros    polos  81.24º (114.23º 148.91º 313.02º 74.91  569.83º  150.17º  180º No existe lugar de las raíces en el punto observado puesto que no cumple el criterio del argumento.

10


Luego el lugar de las raíces definitivo será:

Para que la respuesta sea similar a la de un sistema de segundo orden con un sobreimpulso del 20% se tiene: Mp  e



 1  2

 0.2

  0.45;   arc cos()  62º Gráficamente sobre el lugar de las raíces representado se busca el punto que cumple dicha condición.

P

11


Aproximadamente su valor será: P = -1.1+j 2.1. Se calcula ahora el valor de k aplicando el criterio del módulo: 1 (1.1  j2.1)(1.1  j2.1  2)((1.1  j2.1) 2  8(1.1  j2.1)  25) k k G (s) s  1.1 j2.1 10(1.1  j2.1  3) K  3.41

EJERCICIO 6.4. Sea el sistema: R(s) +

k

G(s)

Y(s)

-

G (s) 

Donde:

s 3 s  s 4 2

Dibujar el lugar de las raíces de los polos del sistema en lazo cerrado al variar el parámetro K desde 0 a infinito. Y calcular el valor de K para que la respuesta sea similar a la de un sistema de segundo orden con un sobreimpulso del 20% ante una entrada escalón unidad (sin tener en cuenta el cero de lazo cerrado).

1) Puntos de comienzo:

.  j193 . s1,2  05

2) Puntos de finalización: s  3 3) Lugar en el eje real: (-,-3 4) Asíntotas: a 

180º (2q  1) 180º (2q  1)   180º 2 1 pz

5) Centroide: a 

 polos   ceros  1  3  2 pz

12

2 1


6) Ángulos de salida desde polos complejos conjugados: -0.5+j1.93

2

p1

1

z1 0

-3

p2

-1

-2

-0.5-j1.93 -3

-2.5

-2

-1.5

-1

 1.93  z1  arctg   37.66º  2.5  p 2  90º

 z   p  180º 37.66º 90º p1  180º p1  180º 52.34º  232.34º 7) Puntos de corte con el eje imaginario: 1 K

s3 0 s s4 2

s 2  s  4  Ks  3K  0

s 2  (K  1)s  4  3K  0 s2

1

s1

K+1

s0

4+3K

4+3K

K  1  0 K  1

13

-0.5

0


4  3K  0 K   K  1

Luego será:

4 3

K  133 .

8) Puntos de llegada al eje real: 1 K

s 3 0 s  s 4 2

K

s2  s  4 s 3

dK (2s  1)(s  3)  (s 2  s  4) 2s2  7s  3  s 2  s  4 s2  6s  1    0 ds (s  3) 2 (s  3) 2 (s  3) 2  6.16 s1, 2   0.16 No válido Y el lugar de las raíces completo: 4 3 2

-0.5+j1.93

1 0

-6.16

-3

-1 -0.5-j1.93

-2 -3 -4 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

Para que la respuesta sea similar a la de un sistema de segundo orden con un sobreimpulso del 20% se tiene: Mp  e





1  2

 0.043



 1 

2

14

 ln 0.043

 2 2  9.9(1   2 )


 2 (2  9.9)  9.9

 2  0 .5

  0.707

  arccos   45º

ts 

    n

n 

  n  1

1 0.707

n  1.41

Se puede observar que la restricción está fijada sólo por el máximo sobreimpulso. El punto de funcionamiento se calcula a partir del lugar de las raíces, donde de forma aproximada será: s1, 2  3.3  3.3 j 4 3.3j

3 2 1

45º

0

-3.3

-1 -2 -3 -4 -8

-7

Como K  G (s)  1

K

-6

-5

-4

K

-3

1 G (s) s  s

-2

-1

0

1

2

1

s2  s  4 (3.3  j3.3) 2  (3.3  j3.3)  4 0.7  j18.48 18.49  87.83º     5.58 s3 (3.3  j3.3)  3  0.3  j3.3 3.3195.19º K  5.58

15


EJERCICIO 6.6. Para el sistema que se muestra en la figura siguiente: 2 R(s) + _

K1

K2

+

R2(s)

G2(s)

s+7

+ _

s+13

Y(s)

+

K2 H(s)

Diseñar mediante la técnica de lugar de las raíces, los reguladores K1 y K2 de forma adecuada para que el lazo interno tenga un comportamiento similar a un sistema de segundo orden subamortiguado con un máximo sobreimpulso del 11%, cuando se produce un escalón unidad en su señal de entrada R2(s) y para que el sistema total en lazo cerrado tenga un comportamiento similar a un sistema de segundo orden subamortiguado con un máximo sobreimpulso del 14%, cuando se introduce una entrada escalón unidad en la entrada R(s).

Se dibuja a continuación el lugar de las raíces para el lazo interno: s4 (s  2s  5)(s  7)

s+9

+_

2

K2

1) Ecuación característica:

1+G(s)·H(s)=0

1  K 2 (s  9)

s4 0 (s  2s  5)(s  7) 2

2) Nº de ramas: 3 3) Puntos de inicio: -1j2, -7 Puntos de finalización: -9, -4,  4) Lugar en el eje real: [-4,-7] y [-9, -] 5) El lugar de las raíces es simétrico respecto del eje real. 6) Asíntotas:

a 

180º (2q  1) 180º (2q  1)   180º pz 32

19


a 

7) Centroide:

 Polos   Ceros   7  1  1  (9  4)  4 pz

32

8) Ángulos de salida de los polos complejos conjugados: 3 -1+j2

2

p1

1

p3

z2

0 -9

z1

-7

-4

-1

p2

-2 -3 -10

-1-j2

-8

-6

-4

-2

p 2  90º p3  arctg

2  18.43º 7 1

z1  arctg

2  33.69º 4 1

z 2  arctg

2  14.04º 9 1

z1  z 2  (p1  p 2  p3 )  180º 33.69º 14.04º (p1  90º 18.43º )  180º p1  240.7º  119.3º Al ser el lugar de las raíces simétrico respecto al eje real:  p 2  240.7º  119.3º

20

0


9) Punto de confluencia:

(s 2  2s  5)(s  7) s3  2s 2  5s  7s 2  14s  35 s3  9s 2  19s  35 K2     (s  9)(s  4) s 2  13s  36 s 2  13s  36 dK 2 (3s 2  18s  19)(s 2  13s  36)  (s 3  9s 2  19s  35)(2s  13)  ds (s 2  13s  36) 2 dK 2 s 4  26s 3  206s 2  578s  229  0 ds (s 2  13s  36) 2 s1  0.47 s 2  14.41 s 3, 4  5.56  j1.70 Luego el punto de confluencia es en s = - 14.41 Cuando el grado de la función de transferencia de lazo abierto es elevado, otra posible forma de obtener los puntos de dispersión es mediante iteración: 1 2(a  1) 1 1    2 2 a  7 (a  1)  2 a4 a 9 Inicialmente se da al parámetro a el valor -14 como primera aproximación. Este valor se sustituye en todas las fracciones menos en las correspondientes a los polos o ceros de lazo abierto que limitan el punto de dispersión a calcular. 1 2(14  1) 1 1    2 2  14  4 a  9  14  7 (14  1)  2 1 1 1  26     7 173  10 a  9 a  9  5.177

 0.1931 

1 a9

a  14.18

Haciendo una segunda iteración: 1 2(14.18  1) 1 1    2 2  14.18  4 a  9  14.18  7 (14.18  1)  2 1 1 1  26.36     7.18 177.71  10.18 a  9 a  14.28

21


En una tercera iteración: 1 2(14.28  1) 1 1     14.28  7 (14.28  1) 2  22  14.28  4 a  9 a  14.34

En la cuarta iteración: 1 2(14.34  1) 1 1    2 2  14.34  4 a  9  14.34  7 (14.34  1)  2 a  14.37

10) No existe intersección con el eje imaginario. La figura muestra la forma del lugar de las raíces: 6 4 -1+j2

2 0

-9

-7

-4 -1-j2

-2 -4 -6 -15

-10

-5

0

La condición que se pide es que el máximo sobreimpulso sea del 11%:  

Mp  e

1  2

 0.11

2.0258  2  1   2

 1  2

 2.2073

3.0258  2  1

1.4233   1   2



1  0.5749 3.0258

Por tanto, se necesita conocer la posición de las raíces para un coeficiente de amortiguamiento de 0.5749.

22


  arccos   54.9º

El punto de trabajo será de la forma: p1, 2    n  j n 1   2   n (0.5749  j.8182)

Para calcular el punto del lugar de las raíces que cumple tener   0.5749 , se traza la recta correspondiente a este coeficiente de amortiguamiento, es decir, una recta con el ángulo:   arccos   54.9º

y se lee de la gráfica el valor del punto de corte con el lugar de las raíces. 6 4 2

4.5 55º

0

2.6

-2 -4 -6 -15

-10

-5

0

En este caso puede verse que la distancia desde el origen al punto de corte representa la frecuencia natural n y toma un valor de 4.5. Con el valor de  y n se obtiene el punto de trabajo: p1, 2   n  jn 1   2  4.5  0.5749  j 4.5  8182  2.59  j 3.68

Aplicando el criterio del módulo se obtiene el valor de la ganancia correspondiente a ese punto: K2  

(s 2  2s  5)(s  7)  2.69 (s  9)(s  4) s  2.59  j3.68

Pasamos ahora al sistema total. Una vez calculado el valor de K2 calculamos la función de

23


trasnferencia equivalente al lazo interno: s4 (s  9)(s  4) (s  2s  5)(s  7) M 1 (s)   2 s4 (s  2s  5)(s  7)  2.69  (s  9)(s  4) 1  2.69  (s  9)  2 (s  2s  5)(s  7) (s  9) 

2

M 1 (s) 

(s  9)(s  4) s 3  11.69s 2  53.97s  131.84

M1 (s) 

(s  9)(s  4) (s  6.51)((s  2.59) 2  3.68 2 )

El sistema completo quedará de la forma mostrada en el diagrama de bloques:

+_

K1

2.69

(s  9)(s  4) s  11.69s 2  53.97s  131.84 3

s+13

2 s  24s  169 2

Se dibuja el lugar de las raíces: 1) Ecuación característica: 1  K 1  2.69 

1  K1 

(s  9)(s  4) 2 (s  13)  2 0 2 s  11.69s  53.97s  131.84 s  24s  169 3

5.38  (s  9)(s  4)(s  13) 0 (s  11.69s 2  53.97s  131.84)(s 2  24s  169) 3

2) Nº de ramas: 5 3) Puntos de inicio: -6.51,-2.59j3.68, -12j5 Puntos de finalización: -4,-9, -13,  4) Lugar en el eje real: [-4,-6.51] y [-9, -13] 5) El lugar de las raíces es simétrico respecto del eje real. 6) Asíntotas:

a 

180º (2q  1) 180º (2q  1)   90º ,270º pz 53

7) Centroide:

a 

 Polos   Ceros   6.51  2.59  2.59  12  12  (4  9  13)  4.845 pz

53

24


8) Ángulos de salida de los polos complejos conjugados:

  ceros    polos  180º (2q  1) Para los polos complejos conjugados en –2.59j3.68:

p4

6

-2.59+j3.68 4

p1

-12+j5 2 0

z3 -9

-13

z1

p3

z2 -6.51

-4

-2

p2

-4

p5 -12-j5

-6 -14

-2.59-j3.68

-12

-10

-8

-6

-4

z1  arctg

3.68  69.04º 4  2.59

z 2  arctg

3.68  29.86º 9  2.59

 z3  arctg

-2

3.68  19.47º 13  2.59

 p 2  90º  p3  arctg

3.68  43.19º 6.51  2.59

 p 4  360  arctg  p5  arctg

5  3.68  352.01º 12  2.59

5  3.68  42.69º 12  2.59

z1  z 2  z 3  (p1  p 2  p3  p 4  p5 )  180º

25

0


69.04º 29.86º 19.47º (p1  90º 43.19º 352.01º 42.69º )  180º

p1  589.52º  130.48º Al ser el lugar de las raíces simetrico respecto al eje real:

 p 2  589.52º  130.48º Para los polos complejos conjugados en –12j5: 6

-12+j5  p4

-2.59+j3.68

4

p1

2 0

z2

z3

-9

-13

z1

p3 -6.51

-4

-2

p2 p5

-4 -6 -14

-2.59-j3.68 -12-j5 -12

-10

-8

-6

-4

z1  180º  arctg

5  147.99º 12  4

z 2  180º  arctg

5  120.96º 12  9

z3  arctg

5  78.69º 13  12

p1  180º  arctg

5  3.68  172.01º 12  2.59

p 2  180º  arctg

5  3.68  137.31º 12  2.59

p3  180º  arctg

5  137.67º 12  6.51

p5  90º

26

-2

0


z1  z 2  z 3  (p1  p 2  p3  p 4  p5 )  180º 147.99º 120.96º 78.69º (172.01º 137.31º 137.67º  p 4  90º )  180º

p 4  369.35º  9.35º Al ser el lugar de las raíces simétrico respecto al eje real:

p 2  369.35º  9.35º 9) Punto de confluencia: K

(s3  11.69s 2  53.97s  131.84)(s 2  24s  169) 5.38  (s  9)(s  4)(s  13)

s 5  35.69s 4  503.53s 3  3402.73s 2  12285.09s  22280.96 K 5.38s 3  139.88s 2 º  1102.9s  2517.84

(5s 4  142.76s 3  1510.59s 2  6805.46s  12285.09)(5.38s 3  139.88s 2  1102.9s  dK  ds

 2517.84)  (s 5  35.69s 4  503.53s 3  3402.73s 2  12285.09s  22280.96)(16.14s 2   279.76s  1102.9) 5.38s 3  139.88s 2 º  1102.9s  2517.84

10.76s 7  611.6522s 6  14396,23s 5  182803.8s 4  1337946s 3  dK  5478242s 2  10901740s  6358220  ds 5.38s 3  139.88s 2 º  1102.9s  2517.84 dK 0 ds s1  0.9324 s 2  10.623 s 3  17.449 s 4,5  5.663  j1.845

s 6,7  8.258  j5.310 El punto de dispersión, será aquel en el que existe lugar en el eje real (para el lugar directo de las raíces) y corresponde con : s 2  10.623 Otra posible forma de obtener el punto de dispersión será utilizando el método iterativo: 1 2(a  2.59) 2(a  12) 1 1 1      2 2 2 2 a  6.51 (a  2.59)  3.68 a  4 a  9 a  13 (a  12)  5

27


Inicialmente se da al parámetro a el valor del punto medio entre los dos que limitan la rama. Este valor se sustituye en todas las fracciones menos en las correspondientes a los polos o ceros de lazo abierto que limitan el punto de dispersión a calcular. a=-11 1 2(a  2.59) 2(a  12) 1 1 1      2 2 2 2 a  6.51 (a  2.59)  3.68 a  4 a  9 a  13 (a  12)  5 1 2(11  2.59) 2(11  12) 1 1 1      2 2 2 2  11  4 a  9 a  13  11  6.51 (11  2.59)  3.68 (11  12)  5  0.220148 

a  13  a  9 (a  9)(a  13)

a 2  31.0848a  216.93  0 a  10.6 a  20.50

Luego el punto de dispersión será –10.6 ya que en ese punto existe lugar en el eje real. Si se desea una mayor precisión se debería seguir iterando. 10) No existe intersección con el eje imaginario. La siguiente figura muestra la representación completa del lugar de las raíces.

25 20 15

Eje Imag

10 5 0 -5

-12+j5

-2.59+j3.68

-13

-9

-6.51

-4

-2.59-j3.68

-12-j5

-10 -15 -20 -25 -14

-12

-10

-8

-6 -4 Eje Real

28

-2

0

2

4


La condición que se pide ahora es que el máximo sobreimpulso sea del 14%:  

Mp  e

1  2

 0.14

2.5532  2  1   2

 1 

2

 1.9661

3.5532  2  1

1.5979   1   2



1  0.5305 3.5532

Por tanto, se necesita conocer la posición de las raíces para un coeficiente de amortiguamiento de 0.5305.   arccos   57.96º  58º El punto de trabajo será de la forma: p1, 2    n  j n 1   2   n (0.5305  j0.8477)

Para calcular el punto correspondiente del lugar de las raíces se traza una recta con el ángulo  definido por las especificaciones. El punto de corte de dicha recta con el lugar de las raíces definirá el punto de funcionamiento. 10 8 6

Eje Imag

4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10

-12

-10

-8

-6 -5 Eje Real

-4

-2

De la gráfica puede leerse que el punto de funcionamiento corresponde con: p f  5  j 8

Aplicando el criterio del módulo se obtiene el valor de la ganancia K1:

29

0


K1 

(s3  11.69s 2  53.97s  131.84)(s 2  24s  169)  12.3 5.38  (s  9)(s  4)(s  13) s  5  j8

Luego los valores de los reguladores son: K1  12.3

K 2  2.69

EJERCICIO 6.7. La figura representa el lugar de las raíces de un sistema de control que tiene realimentación unitaria. 2.236

-10.477

Obtener la función de transferencia de la planta e indicar los valores de K para los cuales el sistema pasa por distintos modos de funcionamiento.

La función de transferencia será de la forma: G (s) 

k (s  a ) s( s  b )

No existe ninguna otra configuración de polos y ceros posible para ese lugar. Corte con el eje imaginario: Ecuación característica: 1

k (s  a ) 0 s( s  b )

s 2  ( k  b)s  ka  0 Por Routh: s2

1

s1

k-b

s0

ka

30

ka


Igualando a cero el término de la segunda fila: k-b = 0

k=b

Ecuación auxiliar: s 2  ka  0

s 2  ab  0

s   j ab ab  2.236 ab  5

Puntos de bifurcación: s(s  b ) k (s  a )

dk ( 2s  b)(s  a )  s(s  b)  0 ds (s  a ) 2

2s 2  2as  bs  ab  s 2  bs  0

s

s 2  2as  ab  0

 2a  4a 2  4ab  a  a 2  ab  10.477 2

Como ab = 5:  a  a 2  5  10.477 a - 10.477  a 2  5 a 2  20.954a  10.477 2  a 2  5

10.477 2  5 5 a 20.954 b 1

G (s ) 

k(s  5) s(s  1)

El corte con el eje imaginario es para k= b =1 Para 0 < k < 1 Inestable Si se hace: k

s(s  1)  21.9 s  5 s  10.477

Para 1 < k < 21.9 Subamortiguado Para k > 21.9 Sobreamortiguado

31


EJERCICIO 6.8. Para el sistema del ejercicio 1.12., cuyo diagrama de bloques se indica en la figura, dibujar el lugar de las raíces. Bomba

Amplificador e(t)

r(t) +_

v(t)

K

Émbolo p(t)

1 .2 2s  1

c(t)

x(t)

0.25 2 5s  2.5s  1

Transductor 10

G (s )  H (s ) 

1) Puntos de inicio:

3 3

2

10s  10s  4.5s  1



3 2

((s  0.25)  0.3708 2 ))(s  0.5)

s1, 2  0.25  j0.3708

s3  0.5

Puntos de finalización:  2) Lugar en el eje real: (,0.5]  60º 180(2q  1)    180º 3 300º 

3) Asíntotas:



 0.25  0.25  0.5 1  3 3

4) Ángulos de salida de los polos complejos conjugados: 0.4

p1

-0.25+j0.3708

0.3 0.2 0.1

p3

0

-0.5

-0.1 -0.2 p2

-0.3 -0.25-j0.3708 -0.4 -0.7

-0.6

-0.5

-0.4

32

-0.3

-0.2

-0.1

0


p 2  90º p3  arctg

0.3708  56.01º 0.5  0.25

 Ceros   Polos  180º  (p1  p 2  p3 )  180º  (s  90º 56.01º )  180º p1  326.02º  33.98º p 2  326.02º  33.98º 5) Cortes con el eje imaginario: La ecuación característica del sistema es: 1  K  G (s)  H(s)  0 1 K

0 .3 10  0 10s  10s 2  4.5s  1 3

10s3  10s 2  4.5s  1  3K  0

s3

10

4.5

s2

10

1+3K

s1

3.5-3K

s0

1+3K K

1  3K  0

3.5  3K  0

luego

1 3

K  1.167

 0.333  K  1.167

El punto de corte con el eje imaginario es para K=1.167 Construimos la ecuación auxiliar: 10s 2  1  3  1.167  0

s   j0.67

33


La figura muestra la representación del lugar de las raíces de sistema: 2 1.5 1 -0.25+j0.3708

Eje Imag

0.5 0

-0.5

-0.5

-0.25-j0.3708

-1 -1.5 -2 -1

-0.5

0 Eje Real

0.5

1

EJERCICIO 6.9. Para el sistema del ejercicio 4.12., cuyo diagrama de bloques se indica en la figura, dibujar el lugar de las raíces e indicar los distintos modos de funcionamiento del sistema completo al variar la ganancia del amplificador A. Vref(s)

E(s)

A

Vm(s)

0 .1 s

+_

(s)

Vh(s)

2 s 1

1) Ecuación característica: 1 K 

0.1 0.1 2   0 s s  0.1 s  1

1 K 

0.02 0 s(s  0.1)(s  1)

2) Nº de ramas: 3 3) Puntos de inicio: 0, -0.1, -1 Puntos de finalización:  4) Lugar en el eje real: (-,-1] y [-0.1, 0].

34

0 .1 s  0 .1

H(s)


5) El lugar de las raíces es simétrico respecto del eje real. 6) Asíntotas:  60º 180º (2q  1) 180º (2q  1)  a    180º pz 3 300º 

7) Centroide: a 

 Polos   Ceros  0  0.1  1  0  0.367 30

pz

8) Punto de dispersión: s3  1.1s 2  0.1s  s(s  0.1)(s  1) K  0.02 0.02 dK 3s 2  2.2s  0.1  0 ds 0.02 3s 2  2.2s  0.1  0 s1  0.049 s 2  0.685

No pertenece al lugar en el eje real.

Por tanto el punto de dispersión estará en –0.049 9) Intersección con el eje imaginario: 1

0.02K 0 s(s  0.1)(s  1)

s 3  1.1s 2  0.1s  0.02K  0

s3

1

0.1

s

2

1.1

0.02K

s

1

0.11  0.02K 1.1

s0

0.02K

a) 0.11  0.02K  0 K  5.5 La ecuación auxiliar será: 1.1s 2  0.11  0 b) 0.02K=0

K=0

La ecuación auxiliar será: s=0

35

s   j0.316


1

0.5

0

-0.1

-1

0

-0.5

-1 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Modos de funcionamiento: El valor de la ganancia K para el punto de dispersión es: K s  0.049  

(0.049)3  1.1(0.049) 2  0.1(0.049)  0.119 0.02

La posición del polo que parte de s=–1, según va aumentando el valor de K, se mueve por ele eje real alejándose cada vez más del origen. Por la distancia existente entre los polos dominantes y éste, se puede considerar despreciable su influencia. 0  K  0.119

Sobreamortiguado

K  0.119

Críticamente amortiguado

0.119  K  5.5

Subamortiguado

K  5 .5

Oscilante

K  5 .5

Inestable

36

ejercicios resueltos de Lugar de raices

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