COMPORTAMIENTO DE ELEMENTOS DE CONCRETO REFORZADO
Posgrado Ingeniería, UNAM
Comportamiento de elementos de concreto reforzado Mario E. Rodríguez, Noviembre 21, 2018
DISEÑO ULTIMO POR CARGAS VERTICALES DE LOSAS DE CONCRETO REFORZADO. LOSAS PARTE II: METODO DE LINEAS DE FLUENCIA Este método sigue el criterio criterio del “Límite superior”. superior”. En este método se postula postula una carga de colapso que es compatible con las condiciones de borde, además se debe cumplir el equilibrio. Por ser un “Límite superior”, la carga de colapso es la postulada o mayor que ésta. Por este motivo, si se revisa el diseño de una losa y se aplica este método se podría estar del lado de la inseguridad por que la verdadera carga de colapso puede ser menor. Si se quiere aplicar este método para el diseño o una revisión racional se debe buscar todos los mecanismos de colapso y escoger el menor. La Fig 1 muestra ejemplos de la aplicación del método de líneas de fluencia en diversos tipos de losas con carga gravitacional uniformemente repartida. En esta figura doble achurado significa empotrado y achurado simple es simplemente apoyado, Fig 2.
Figura 1 Ejemplos de la aplicación del método de líneas de fluencia (Park y Gamble, 2000)
1
Figura 2 Convención para definir líneas de fluencia, condiciones de b orde y ejes de rotación.
En este método se supone que toda la deformación es inelástica, y que los segmentos de losa rotan como planos alrededor de las líneas de fluencia o de los apoyos. Para definir la trayectoria de las líneas de fluencia se deben cumplir las tres condiciones siguientes: 1. Las líneas de fluencia son líneas rectas que son ejes de rotación de segmentos planos de losas. 2. Las líneas de apoyo de una losa cumplen la función de ejes de rotación. En el caso de un apoyo empotrado se debe formar una línea de fluencia en este apoyo. En el caso de columnas, el eje de rotación debe pasar por la columna. 3. Por compatibilidad de deformaciones, una línea de fluencia debe pasar por la intersección de los ejes de rotación que crean los segmentos de losas adyacentes.
Aplicación del principio del trabajo virtual en el método de líneas de fluencia Principio del trabajo virtual : “Si a un cuerpo rígido en equilibrio bajo un sistema de fuerzas se le aplica un desplazamiento virtual, la suma algebraica del trabajo virtual dado por las fuerzas externas y del trabajo de las fuerzas internas es cero”. De lo anterior, llamando trabajo externo, WE, y trabajo interno, Wi: W E W i
(1)
donde W E W u
(2)
W u es la carga total en un segmento de losa y este segmento.
Δ es
desplazamiento vertical del centroide de
Además, el trabajo interno: 2
m
Wi
un
n
l o
(3)
Donde mun es la resistencia a flexión por unidad de ancho en una línea de fluencia de longitud lo. La rotación relativa de los dos segmentos adyacentes a la línea de fluencia es θn.
EJEMPLO Hallar la carga última uniformemente repartida de una losa cuadrada simplemente apoyada en sus bordes. La losa es isotrópica con momento resistente positivo, por unidad de ancho, en cada dirección igual a mu. La rotación de un segmento de losa, θ , es:
2
l
l
(4)
2
La rotación de dos segmentos alrededor de CE es 2θ, y longitud de línea de fluencia lo 2 l . El trabajo interno está dado por (3), si además se considera las dos diagonales (el factor 2 delante del paréntesis en (5) toma en cuenta que son dos diagonales):
m
un
n
2
l
lo 2 mu 2
2l 8 mu
(5)
El término dentro del paréntesis representa el trabajo de la linea de fluencia AC, Fig 3. El término 2 fuera del paréntesis toma en cuenta el trabajo adicional de la línea de fluencia DB. Por la condición de losa isotrópica se está considerando mun=mu. De (2)
wu l 2 Wu 4 4 x 3 wul 2 3
(6)
Combinando (2), (5) y (6), la carga última uniformemente repartida en la condición de mecanismo de estas líneas de fluencia es: wu l 2
3
8 mu
wu 24
mu l 2
(7)
3
Figura 3. Lineas de fluencia en una losa
Calculo de la carga última mínima aplicando el principio de la carga mínima En la Fig 4 se muestra casos de líneas de fluencia donde no se conocen sus longitudes. Se puede proponer cualquier valor para estas dimensiones, y se obtendrán cargas mayores o iguales a la de colapso. Si se aplica el principio de la carga mínima es posible en estos casos obtener el valor mínimo para Wu, es decir la carga de colapso. En este caso la carga Wu es de la forma Wu= f(l1, l2, l3, ….). El valor de la carga mínima se encuentra resolviendo
wu wu wu 0, 0, 0 ........ l1 l2 l 3
(8)
Resolviendo (8) encuentra l1, l2, l3, …, y se reemplaza estos valores en Wu= f(l1, l2, l3, ….) y esa será la carga última mínima-
Figura 4 Líneas de fluencia con dimensiones que no se conocen 4
Ejemplo de aplicación Se requiere calcular la carga última uniforme por unidad de área de una losa rectangular simplemente apoyada, Fig 5. Los momentos resistentes por unidad de ancho en las direcciones x y y son mux y muy, respectivamente.
Figura 5 Líneas de fluencia con dimensiones variables Se da un desplazamiento δ en el centro de la losa. El trabajo interno está dado por
El trabajo interno es:
munθ n lo 2 mux
l y l1
δ4
muy
l x l
δ
(9)
El trabajo externo es:
5
(10) El primer término es el trabajo externo de las losas extremas AGID y BHJC, el centroide de cada triangulo en estas áreas se desplaza hacia abajo δ/3. El segundo término representa el trabajo de los rectángulos EFHG y EFIJ. Igualando WE=WI,
(11)
Para obtener el trabajo mínimo se deriva wu respecto a l 1 , con lo cual se obtiene
1/ 2 2 l y mux mux l 1 1 l mux 3 l 2 l x muy muy lx muy
(12)
Reemplazando (12) en (11) se obtiene wu.
6
