UNIVERSIDAD DE CUENCA FACUL ACU LTAD DE INGENIER INGENIERÍA ÍA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
MATERIA: Hormigón 2
TEMA: Método de Fluencia y Método Directo para el análisis de losas en dos direcciones
NOMBRE: Ana Mora, Juan Carlos Rodas
CURSO: Octao Ciclo, !rupo "
Método de Líneas de Fluen!a
#ste método $ue propuesto por %ngersie, ampliado y me&orado por Jo'ansen, en "()*, este método es una +uena alternatia para el diseo de losas de cual-uier $orma, con o sin a+erturas, as. como para di$erentes tipos de carga y condiciones de apoyo/ #l método se +asa en la locali0ación del patrón cr.tico de l.neas de 1uencia de la losa o mecanismo de $alla plástica3, sin em+argo esto puede ser $ácilmente resuelto, proporcionando en las ayudas de diseo los patrones más comunes, cu+riendo una amplia ariedad de $ormas, condiciones de $rontera y di$erentes condiciones de carga/ #l método estipula o tra+a&a con las siguientes 'ipótesis4 • • • • • •
•
5a Carg Carga a 6lti 6ltima ma o cr.t cr.tic ica a se esti estima ma supo suponi nien endo do un meca mecani nismo smo de colapso plástico por 1e7ión 5os 5os moment momentos os en las l.neas l.neas de 1uenci 1uencia a o de articu articulac lacion iones, es, son los momentos má7imos de resistencia de 1uencia de las secciones 5a carga 6ltima se determina usando el principio del tra+a&o irtual 8o se e7aminan las regiones entre las l.neas de articulaciones plásticas 5as losas de+en ser uni$ormemente re$or0adas #n losas re$or0adas en dos direcciones ortogonales, el re$uer0o puede ser di$erente en las dos direcciones y di$erente el re$uer0o de arri+a de momento negatio3 al de a+a&o de momento positio3 de la losa #l área de la sección de re$uer0o por anc'o unitario se supone constante
5os métodos de análisis plástico, como en la teor.a de las l.neas de 1uencia, proienen de la teor.a genera generall de plasti plasticid cidad ad estruc estructura tural, l, ésta ésta esta+l esta+lece ece -ue la carga carga 6ltima 6ltima de colapso de una estructura se encuentra entre dos l.mites, uno superior y otro in$erior, de la carga real de colapso/ • Teo"e#a de Lí#!te In$e"!o" 4 9i para determinada carga e7terna es posi+le encontrar una distri+ución de momentos -ue satis$ace los re-uisitos de e-uili+rio, sin -ue los momentos e7cedan el momento de 1uencia en ninguna parte, entonces la carga dada es un l.mite de la capacidad de carga real/ • Teo"e#a de Lí#!te Su%e"!o" 4 si para un pe-ueo incremento en el despla0amiento, el tra+a&o interno -ue 'ace la losa es igual al tra+a&o e7ter 7terno no 'ec 'ec'o por la car carga dada para ara ese ese mismo ismo pe-ue e-ueo o incremento en el despla0amiento, entonces, esa carga es un l.mite superior de la capacidad de carga real/ #l método de las l.neas de 1uenci ncia para el análisis de losas es un procedimiento de l.mite superior/ A partir del análisis de la geometr.a de las de$ormaciones se deducen tres reglas +ásicas para la determinación del patrón de l.neas de 1uencia4 "/ 5as l.neas l.neas de 1uencia 1uencia de+en de+en ser l.neas l.neas rectas rectas -ue constitu constituyen yen e&es e&es de rotación
2/ 5os apoyos de las losas act6an como e&es de rotación, un e&e de rotación puede pasar so+re una columna */ :ara -ue 'aya compati+ilidad en las de$ormaciones una l.nea de 1uencia de+e pasar por la intersección de los e&es de rotación de los segmentos adyacentes/ )/ 5as l.neas de 1uencia representan e&es de rotación/ ;/
5osa continua so+re apoyos paralelos4
•
5osa continua so+re apoyos no paralelos4
•
#&es de rotación so+re cuatro apoyos simples4
•
5osa rectangular armada en dos direcciones so+re apoyos simples4
#n cual-uier método de solución se tiene dos partes esenciales4 • •
#sta+lecer el patrón de $alla correcto #ncontrar parámetros geométricos -ue orientación e7actas de las l.neas de 1uencia
de>nen
la
u+icación
y
:ara el análisis por l.neas de 1uencia se tienen los siguientes métodos -ue son4 "/ Análisis Mediante el #-uili+rio de 9egmentos 2/ Análisis Mediante el Método de ?ra+a&o @irtual
An&l!s!s Med!ante el E'u!l!("!o de Se)#entos: 9e +asa en el e-uili+rio de sus di$erentes segmentos, cada segmento se considera como un cuerpo li+re, de+e estar en e-uili+rio +a&o las cargas e7ternas aplicadas, además los momentos de 1uencia, -ue se dan a lo largo de las l.neas de 1uencia, son los momentos principales, los momentos a torsión son cero, en eces las $uer0as cortantes pueden ser cero/ Cuando una losa está re$or0ada de manera idéntica en direcciones ortogonales, el momento resistente 6ltimo es igual en todas las direcciones, se dice -ue la losa es isotrópicamente re$or0ada, sin em+argo si se re$uer0a de manera di$erente en la otra dirección se llama ortogonalmente anisotrópica o simplemente ortotrópica/
An&l!s!s Med!ante el Método de T"a(a*o V!"tual
constante a lo largo de la l.nea de 1uencia de longitud y s i s e e7perimenta una rotación el tra+a&o interno es4 W i= mlѲ #l tra+a&o interno total reali0ado es la suma, de todos los tra+a&os internos, de los n segmentos en los -ue $ue diidido/
Re$ue",o O"tot"-%!o . Líneas de Fluen!a O(l!uas
#n muc'os casos por tema de econom.a se suele re$or0ar a las losas de manera di$erente con cada dirección, con muc'a $recuencia, las l.neas de 1uencia se desarrollan $ormando un ángulo con las direcciones esta+lecidas por el re$uer0o, para el estudio de l.neas de 1uencia, es necesario calcular el momento resistente por unidad de longitud a lo largo de estas l.neas de 1uencia o+licuas . #n la siguiente >gura se puede er, la l.nea de 1uencia -ue atraiesa la intersección de los apoyos, cuando se tiene di$erente re$uer0os para momento negatio y positio, teniendo as.4
:ara las +arras de dirección , el momento resistente por unidad de longitud es4 m y = ∝
m x ucos∝ u / cos ∝
=m x cos2 ∝
:ara las +arras de dirección B, el momento resistente por unidad de longitud es4 m x = ∝
m y vsen ∝ u / sen∝
= m y sen2 ∝
O+teniendo4 2
2
m = m x cos ∝+ m y sen ∝ ∝
#n el caso -ue m 7 my m, se tiene4 m = m∗( cos ∝ + sen ∝ )= m 2
2
∝
Cond!!ones Es%e!ales en los Bo"des . en las Es'u!nas 5os ensayos con>rman -ue las l.neas de 1uencia cam+ian de dirección generalmente sólo cuando, están muy cerca del +orde/ #n la siguiente >gura la $uer0a mt -ue act6a 'acia a+a&o en la es-uina aguda, y la $uer0a mt -ue act6a 'acia arri+a en la es-uina o+tusa son, con&untamente, el e-uialente estático de los momentos de torsión y de las $uer0as cortantes cerca del +orde/ mt = m∗cot ∝
/at"ones en Fo"#a de A(an!o Ba*os Ca")as Conent"adas Cuando una carga concentrada act6a so+re una losa de concreto re$or0ado en un punto interior de la misma, le&os de cual-uier +orde o es-uina, se $ormará
una l.nea de 1uencia negatia con un patrón más o menos circular como aparece en la >gura4
9i el momento resistente positio es m y el negatio m, los momentos -ue act6an a lo largo del elemento serán como se ilustra en la siguiente >gura4
O+serando la siguiente >gura, nos damos cuenta -ue si tomamos sumatoria de momentos tenemos4
( m+ m´ ) r ∗ β − β∗ P∗r 2∗π O+teniendo4 P=2∗π ∗( m + m´ ) 9iendo : la carga -ue produce el a+anico/
L!#!ta!ones de la Teo"ía de Líneas de Fluen!a •
•
Como método de l.mite superior, predice una carga mayor de colapso a la real, la capacidad real será menor -ue la estimada si el mecanismo no es controlado, o si la u+icación de las l.neas de 1uencia no son correctas 8o es estrictamente 'a+lando un método de diseo
•
9e limita a la capacidad a 1e7ión de las losas
Método de D!se0o D!"eto #l Método de Diseo Directo consiste en un con&unto de reglas para la distri+ución de momentos a las secciones de losa y de igas y simultáneamente cumplir con los re-uisitos de seguridad y con la mayor.a de los re-uisitos de $uncionamiento/ Consiste $undamentalmente en4 a3 Determinación del momento estático mayorado total/ +3 Distri+ución del momento estático mayorado total a las secciones de momentos negatios y positios/ c3 Distri+ución de los momentos mayorados negatios y positios a las columnas y $ran&as centrales y a las igas, en caso de e7istir/ #ste método se puede aplicar siempre y cuando se cumplan las siguientes condiciones4 "/ De+en e7istir un m.nimo de tres anos continuos en cada dirección/ 2/ 5as longitudes de luces contiguas medidas centro a centro de los apoyos en cada dirección no de+en di$erir en más de un tercio de la lu0 mayor/ */ 5os paneles de las losas de+en ser rectangulares, con una relación entre la lu0 mayor y menor, medidas centro a centro de los apoyos del panel, no mayor de 2/ )/ 5as columnas pueden estar $uera del e&e -ue une las columnas anterior y posterior, pero la distancia del centro de una columna al e&e de columnas no de+e ser mayor del "E por ciento del claro en dirección del despla0amiento de la columna/ ;/ 5a estructura de+e estar su&eta 6nicamente a carga ertical distri+uida uni$ormemente en todo el panel/ =/ 5a carga ia no mayorada no de+e e7ceder de dos eces la carga muerta no mayorada "/=5 ≤ 2D3/ / :ara un panel con igas entre los apoyos en todos los lados, de+e satis$acerse la siguiente ecuación para las dos direcciones perpendiculares4 0.2 ≤
α f 1∗l 2
2
α f 2∗l 1
2
α f =
≤ 5.0
"3
E cb∗ I b Ecs∗ I s
23
Donde4 α fi 4 Rigide0 en la dirección correspondiente Ecb
4 Módulo elástico del 'ormigón para la iga
I b Ecs I s
4 %nercia de la iga 4 Módulo elástico del 'ormigón para la losa 4 %nercia de la losa
9iempre -ue se demuestre por medio de análisis -ue se cumplen condiciones de e-uili+rio y compati+ilidad geométrica, si la resistencia de diseo en cada sección es por lo menos igual a la resistencia re-uerida y si se cumplen todas las condiciones de $uncionamiento incluyendo los l.mites especi>cados para las de1e7iones/ :uede no cumplirse alguna de las condiciones indicadas anteriormente/
a1 Mo#ento est&t!o #a.o"ado total: #l momento estático mayorado total, Mu, para un ano de+e determinarse en una $ran&a limitada lateralmente por el e&e central de los paneles adyacentes al e&e -ue une los apoyos/ 5a suma a+soluta del momento positio y el promedio de los momentos negatios, en cada dirección, no de+e ser menor -ue4 M o=
qu∗l 2∗ln 8
2
*3
Donde4 ln4 es la longitud de la lu0 li+re en la dirección en -ue de+en considerarse los momentos, -ue se e7tiende desde la cara de las columnas, capiteles, cartelas o muros, y no de+e ser menor -ue E/=;l "/ #n la ecuación *3, cuando no se tenga la misma lu0 transersal en los paneles a am+os lados del e&e central de los apoyos, l2 se de+e tomar como el promedio de las luces transersales adyacentes/
(1 D!st"!(u!-n del #o#ento est&t!o #a.o"ado total a las se!ones de #o#entos ne)at!2os . %os!t!2os #n un ano interior, Mo de+e distri+uirse como se indica a continuación4 E/=;Mo para momento negatio y E/*;Mo para momento positio/ :ara un ano >nal, Mo de+e distri+uirse seg6n su condición de apoyo como indica la siguiente ta+la4
?a+la "
5a sección cr.tica para Mu negatio está locali0ada en la cara de los apoyos rectangulares o en la cara de un apoyo cuadrado e-uialente -ue tenga una sección transersal con la misma área -ue la de un apoyo circular/
#l Mu negatio de+e ser el mayor de los dos Mu negatios interiores, determinados para los anos -ue llegan a un apoyo com6n, a menos -ue se 'aga un análisis para distri+uir el momento no +alanceado de acuerdo con las rigideces de los elementos concurrentes/ 5as igas de +orde o los +ordes de la losa de+en ser diseados para resistir por torsión la parte de los momentos e7teriores negatios Mu -ue les corresponde/
1 D!st"!(u!-n de los #o#entos #a.o"ados ne)at!2os . %os!t!2os a las olu#nas . $"an*as ent"ales Mo#entos en la losa 5a distri+ución de los momentos para una $ran&a de columna puede determinarse por medio de las siguientes ta+las4
Ta(la 3: Mo#entos en la $"an*a de olu#na o#o %o"enta*e del #o#ento total en la se!-n "ít!a #l parámetro G es la restricción relatia proporcionada por la resistencia de torsión de la iga de +orde transersal e$ectia y se de>ne como4 Ecb∗C β t = )3 2∗ E cs∗ I s
∑ ( 1−
C =
)
0.63∗ x x
y
3
∗ y 3
;3
5a constante C se re>ere a la rigide0 de torsión de la iga transersal e$ectia/ :ara losas con igas entre los apoyos, la porción de la losa locali0ada en la $ran&a de columnas de+e ser diseada para resistir la porción de los momentos de la $ran&a de columna -ue no sean resistidos por las igas/
Mo#entos #a.o"ados en 2!)as 5as igas entre los apoyos de+en disearse para resistir la porción de los momentos de la $ran&a de columna Mu de acuerdo con4
Ta(la 4: Fracción de Mu de una $ran&a de columna asigna+le a las igas Además de los momentos calculados de acuerdo con la ta+la *, las igas de+en ser diseadas para resistir los momentos causados por cargas mayoradas aplicadas directamente so+re ellas, incluyendo el peso del
alma -ue se proyecta por encima o por de+a&o de la losa/ 5a losa cargará el "; restante del momento considerado/
Mo#entos #a.o"ados en las $"an*as ent"ales 5a $racción de los momentos mayorados positio y negatio no resistida por las $ran&as de columnas de+e asignarse proporcionalmente a cada mitad de las $ran&as centrales correspondientes/ Además cada $ran&a central de+e ser diseada para resistir la suma de los momentos asignados a sus dos mitades de $ran&a central/
Mo#entos #a.o"ados en olu#nas . #u"os 5as columnas y los muros construidos monol.ticamente con un sistema de losas de+en resistir los momentos producidos por las cargas mayoradas -ue act6an so+re el sistema de losas/ :ara un apoyo interior, las columnas o muros arri+a y a+a&o de la losa de+en ser diseados para resistir el momento mayorado especi>cado por la ecuación = en proporción directa a sus rigideces, a menos -ue se realice un análisis general/
[
Msc= 0,07 ( q Dm + 0.5∗q Lm ) l2∗ln
2
−
q ´ Dm∗l 2∗l n
2
]
=3
#l momento para carga graitacional a ser transmitido entre la losa y una columna de +orde por e7centricidad del cortante de acuerdo con I/)/2/* no de+e ser menor -ue E/*Mu/
Co"tante #a.o"ado en s!ste#as de losas on 2!)as 5as igas entre los apoyos de+en ser diseadas para resistir la $racción del cortante dado en la ?a+la ) producido por las cargas mayoradas en las áreas a$erentes -ue muestra la >gura4
Ta(la 5: $racción del cortante resistido por una iga #n el caso de -ue el coe>ciente de distri+ución sea " signi>ca -ue el cortante en la losa es soportado directamente por la iga/ :or esta ra0ón, el coe>ciente de distri+ución a la losa seria de cero/
Es%eso"es #ín!#os: :ara garanti0ar -ue las de1e7iones de la losa durante el sericio no e7cedan los l.mites considerados acepta+les, se puede partir de las siguientes consideraciones4
Losas s!n 2!)as !nte"!o"es: :ara losas sin á+acos4 ; pulg :ara losas con á+acos4 ) pulg
Ta(la 6: espesores m.nimos de losas sin igas interiores
Losas on 2!)as en todos los lados:
#ste análisis se reali0a en +ase a la rigide0 de la iga respecto a la losa,α, en cada una de las direcciones/ 9e utili0a el alor promedio αprom y seg6n este alor se utili0a las siguientes e7presiones4 9i αprom mayor -ue E/2 pero no mayor -ue 2/E, el espesor de la losa no
de+e ser menor -ue ;/E pulg ni menor a4 ! =
l n∗( 0.8+
f y 200,000
)
36 + 5∗ β ( α "rom−0.2 )
3
9i αprom mayor -ue 2, el espesor de la losa no de+e ser menor -ue */; pulg, ni menor a4 f y l n∗(0.8 + ) 200,000 I3 != 36 + 9∗ β Donde ln, longitud li+re de la lu0 en la dirección larga, pulg/ αprom, alor promedio de a para todas las igas en los +ordes del panel β relación entre la longitud de la lu0 li+re en la dirección larga y la correspondiente en la dirección corta/ Ca+e recalcar -ue estas ecuaciones están planteadas para unidades del sistema inglés/
E*e#%lo A%l!a!-n: 9e comen0ó por escoger una losa la cual se presenta en la >gura " y 24
F!)u"a 7: V!sta en /lanta de la losa eso)!da
2
"
F!)u"a 3: Co"te de la F!)u"a
Datos de la Losa:
Ta(la 8: Datos Gene"ales de la losa C9a%a#1 3; Lon)!tud 2ano 7 ; on 2!)a#1 Lon)!tud 2ano 3 = on 2!)a#1 Reu("!#!ento#1 Dens!dad #?41 $.=)>#?31 $@=)>#?31 V!)as#1 Lon)!tud 5#1
2 2)EE )2EE 2)E *E
Ta(la : Ca")as V!2as . Mue"tas Ca")a 3;; V!2a=)>#?31 )IE /eso /"o%!o=)>#? 31
Aa(ados=)> #?31 Ca")a Mue"ta=)>#? 31
2;E *E
Método de los Coe!entes: :odemos er en la Figura ", los anos escogidos para el cálculo, para el método de los coe>cientes se o+tuo los siguientes resultados4
Ta(la : Ca")as Ma.o"adas 73D 78L ' 8 *2E ""(=
la 5 6
Ta(la : Lon)!tudes de los Vanos l( # Caso =/ =/
E/E E/I;
) (
@ano " @ano 2
Ta(la 7;: Coe!entes . Mo#entos Vano 7 Vano 7 Momentos Reacciones Mo#entos /os!t!2os 8egatios Ca C+ Ca C+ Ca#1 C+m3 E/E"" E/EI" E/E"( E/I" E/"( ;;58 C+3 Ma M+ a + Ca21 ;;6 E/E") 2"*(/(( "E2E/EI (=I/= 22/2) Ra R+ Ma#1 M+m3 ;7 )*2/;= ="/2;) 22=/;I= 5 M+3 Ma21 5;3 2E"/"" 3 Ta(la 77: Coe!entes . Mo#entos Vano 3 Vano 3 Momentos Reacciones Mo#entos /os!t!2os 8egatios Ca C+ Ca C+ Ca#1 C+m3 ;;3 E/E"* E/E2 E/E2" E/( E/2" C+3 Ma M+ a + Ca21 ;;4 E/E2 2(/I ""2/)= ())/I) 2;"/"=
Ma#1 8 7 Ma21 5;65
M+m3 ;""/2"
Ra I)"/*I=
R+ 2=(2/()
M+3 2I/*E
Ta(la 73: Mo#entos Vano 7 Vano 7
/os!t!2o Ne)at!2o Cont!nuo Ne)at!2o D!sont!nuo
Dirección a Centr Gorde o "2(*/ I=2/E E= ) 2"*(/ ")2=/ (( == )*"/E 2I/* 2 ;
Dirección + Centr Gord o e =**/= )22/ )) "E2E/ =IE/ EI E; 2""/2 ")E/ 2 I"
Ta(la 74: Mo#entos Vano 3 Vano 3
/os!t!2o Ne)at!2o Cont!nuo Ne)at!2o D!sont!nuo
Dirección a Centr Gorde o "2E2/ IE"/; *( ( 2(/ "I=;/ I "( K K
Dirección + Centr Gord o e (I/; ;*2/ E *) ""2/ ;"/ )= =) 2==/" "/ );
5os momento se presentan como en las Figuras *,),; y =4
Vano 7: D!"e!-n a:
D!"e!-n (:
F!)u"a 4: Mo#entos Vano 7 D!"e!-n a ")2=/==
2"*(/((
")2=/==
I=2/E)
"2(*/E=
I=2/E)
2I/*;
)*"/E2
2I/*;
F!)u"a 5: Mo#entos Vano 7 D!"e!-n ( )22/)) =IE/E;
")E/I" "E2E/EI
=**/=
2""/22 )22/))
=IE/E;
Vano 3: D!"e!-n a:
D!"e!-n (: F!)u"a 8: Vano 3
")E/I"
F!)u"a 6: Mo#entos Vano 3 D!"e!-n a "I=;/"(
2(/I
"I=;/"(
IE"/;(
"2E2/*(
IE"/;(
"I=;/"(
2(/I ;"/=)
;*2/*)
"I=;/"(
Mo#entos D!"e!-n (
"/); ""2/)=
(I/;
2==/" ;"/=)
;*2/*)
"/);
F!)u"a : Líneas de Fluen!a 2ano 7
F!)u"a : Líneas de Fluen!a 2ano 3
#l cálculo -ue se utili0ó para el momento por el método del tra+a&o irtual, es decir, -ue el tra+a&o e7terior es igual al tra+a&o interior teniendo4 W i=W e 9iendo4 i4 ?ra+a&o %nterno e4 ?ra+a&o #7terno :ara el tra+a&o e7terno a la >gura se la diidió en triángulos y rectángulos teniendo as.4 We ( rect#n$ulo )=
%u∗ &∗b∗1 2
%u∗&∗b We ( tri#n$ulo )= Donde4
2 3
∗1
u4 Carga 6ltima mayorada a4 Gase +4 Altura
Ta(la 75: T"a(a*o E+te"no Vano 7 T"a(a*o E+te"no T"!&n)ul 2*)2/"= o7 T"!&n)ul """/EI o3 * Ret&n) 2*I(/E" E ulo ")")=/= Total I
Ta(la 76: T"a(a*o E+te"no Vano 3 T"a(a*o E+te"no T"!&n)ul *E=/) E o7 T"!&n)ul ";**/I E o3 Ret&n) 22";/;( ulo E "=E2/" Total )E #n cuando al tra+a&o interno se lo calcula de la siguiente manera4 Wi= m∗l∗Ѳ
Ѳ=
1
x
Donde4 m4 Momento Resistente l4 5ongitud de la l.nea de Fluencia 74 5ongitud perpendicular a la l.nea de 1uencia, de cada lado
Ta(la 78: T"a(a*o Inte"no Vano 7 T"a(a*o Inte"no "/)) Línea /a"alela Lm 2/EE) Línea Lm D!a)onal Línea E/E"
Cont!nua 7 Línea Cont!nua 3 Total
Lm "/)2= Lm ""/;( Lm
Ta(la 7: T"a(a*o Inte"no Vano 3 T"a(a*o Inte"no E/("2 Línea Lm /a"alela Línea 2/EE* Lm D!a)onal E/== Línea Cont!nua 7 Lm "/E;I Línea Lm Cont!nua 3 Total ""/I" Lm De lo cual reali0ando una sumatoria de todos los tra+a&os internos, y despe&ando el momento tenemos4 n
∑ We m=
1
n
∑ l ∗' i
i
1
O+teniendo as. el momento resistente necesario para la losa, los cálculos se ad&untan en los ane7os, ad&untados al 6ltimo, el momento calculado tuo de resultado4 m=1220.68 ($∗mv&no 1
m=1414.78 ($∗mv&no 2 :ara el cálculo del momento má7imo -ue puede tener se iteró el alor de altura de los triángulos -ue $orman las l.neas de 1uencia/
Método d!"eto 9e colocará 6nicamente los resultados de cada paso, para eri>car el procedimiento e identi>car es-uemas, pasar al ane7o de cálculo/ #l primer paso para la reali0ación de este método es la eri>cación del espesor m.nimo para la losa4 %nercia de las igas4
9e considerará la inercia de iga en 5 y en ? como m6ltiplos de la inercia de la iga rectangular4 I L = I ) =
1 12
∗30∗503∗1.5= 468750 cm4
1 12
∗30∗50 3∗2= 625000 cm4
%nercia de la losa4
Ta(la 7: %nercias para las di$erentes losas
I7 I3 I4 I5 I6
7888 #5 *==== *=EEEE 2)**** )====
cm) cm) cm) cm)
Ta(la 7: rigide0 relatia para las di$erentes losas
386
7 3 4 5 6
%"o#
"/(* "/ "/*) "/* "/I
Como αprom2 empleando la ecuación 3 se o+tiene un 'min para la losa de "),)"cm, por lo -ue el '2Ecm cumple con el re-uerimiento y se mantendrá para el resto de los cálculos/ @ano "4
F!)u"a Momentos en la dirección corta )=/2I "2;)
";)E
()"/(I =*E=
);
"E/E=
=E;/I; ))/E*
F!)u"a 7; Momentos en la dirección larga ")""
=*"/)2
2==*
"")(
;"II/"
2"=I
*)
*;(/"
2"/)
@ano 24
F!)u"a 77 Momentos en la dirección corta ;**
"(2; ;**
"*)/=2 (I/(=
"*=;/2
"*)
"EE)
"*=;/2
F!)u"a 73 Momentos en la dirección larga *E
*(E
*E
"=;
2"E)
"=;
*;"
(=/I(
*;"
Co#%a"a!-n: Como sa+emos el método de 1uencia no es un método de diseo por lo cual, no se calcula un cortante, por lo cual a pesar de -ue su alor es parecido al o+tenido en el método de los coe>cientes, no se toma en cuenta un momento negatio di$erente, al momento positio, por lo cual no es muy recomendado su uso, de+ido a -ue al momento de no reali0ar un análisis por separado, se tiene un solo momento para toda la iga -ue como se puede er no es algo muy certero, pues no se anali0a si puede e7ceder en el momento negatio, y da el mismo re$uer0o, para momento negatio, positio y en am+as direcciones/ #n el método directo se o+tienen alores para momentos muc'o más grandes -ue con los otros métodos por lo -ue se puede so+redimensionar el re$uer0o y las seccionesN tam+ién es más conseratio respecto a los métodos anteriores
Re$ue",o: Método de Coe!entes: :ara el cálculo del re$uer0o se utili0ó los momentos má7imos, para cada ano y para cada dirección del ano teniendo as.4
Ta(la 3;: Mo#entos #&+!#os de ada 2ano Método Coe!entes Vano 7 D!"e!-n a Dirección + Ma7/ Ma+
Momentogm3 Mo#ento=)#1 /os!t!2 8egatio :ositio 8egatio o 734; 2"*(/(( =**/= "E2E/EI 8 Vano 3 D!"e!-n a Dirección + Ma7/ Ma+ Mo#ento=)#1 Momentogm3 /os!t!2 8egatio :ositio 8egatio o 73;34 2(/I (I/;E ""2/)=
Ta(la 37: Re$ue",o Lon)!tud!nal de ada Vano Vano 7 Reu("!#! ento#1
Diametr ocm3
Hc m3
Dc m3
n
Asc m23
Gc m3
3
"
2E
)
3
"
2E
3
"
2E
3
"
2E
"/ ; "/ ; "/ ; "/ ;
*/") ";( */(2 =(( */") ";( */") ";(
"E E "E E "E E "E E
; ) )
$ cgP cm23 2)E
FygP cm23
Cua nt.a
9eparac ión cm
)2EE
2;
"
2)E
)2EE
2E
2
2)E
)2EE
2;
2)E
)2EE
E/EE "IE E/EE 22) E/EE "IE E/EE "IE
" 2
Cua nt.a E/EE "IE E/EE 2=E E/EE "IE E/EE 22)
9eparac ión 2;
"
2;
2
2;
" 2
2;
:osit io 8ega tio :osit io 8ega tio
Dir /A
:osit io 8ega tio :osit io 8ega tio
Dir /A
Dir /G
Vano 3 Reu("!#! ento 3
diametr o "
'
d
n
As
+
$c
$y
2E
)
2E
2)E
)2EE
3
"
2E
2)E
)2EE
3
"
2E
"E E "E E "E E "E E
)2EE
"/2
*/") ";( )/;2 *I( */") ";( */(2 =((
2)E
3
"/ ; "/ ) "/ ; "/ ;
2)E
)2EE
) ) ;
2E
Ta(la 33: Mo#entos No#!nales on el Re$ue",o O(ten!do Vano 7 D!"e!on a Dirección + Mo#ento Momento 8ominalQgm3 No#!nal)#1 /os!t!2o 8egatio :ositio 8egatio 3;485 2;*/;" 2E*(/=)* 2E*(/=)* ; (; (; 46 Vano 3 Dirección + D!"e!on a Mo#ento Momento 8ominalgm3 No#!nal=)#1
Dir /G
/os!t!2o 3;485 46 Ta(la 34: Co"tante en
8egatio 2I(;/;IE (
:ositio 2E*(/=)* (;
8egatio 2;*/;" ;
Método Coe!entes Vano 7 R+g3 Ra=)1 8736 22=/;I= 5 Método Coe!entes Vano 3 Ra=)1 R+g3 Ta(la 35: Co"tante 574 2=(2/() 8 F B#1 D#1 V =)1 @=)> #31 35; "EE "/; "E=/; 35;
"EE
"/;
=2 "E=/; =2
los 2anos
No#!nal
@ano " @ano 2
Como podemos o+serar no es necesario re$uer0o a cortante/
Método de Líneas de Fluen!a: Ta(la 36: Mo#entos M&+!#os de los Vanos Método de Líneas de Fluen!a @ano 2 Vano 7 /os!t!2 8egatio :ositio 8egatio o=)#1 gm3 gm3 gm3 733;8 "22E/=I ")")/I ")")/I Ta(la 38: Re$ue",o Lon)!tud!nal Vano 7 . Vano 3
Va no 7
Recu+ri miento cm3
Diam etroc m3
2
"
H c m ( 2E
D c m 3 " /;
n
Asc m23
)
*/") ";(2 =;
G c m 3 "E E
$ c gPcm 23 2)E
Fy gPcm 23
Cu ant .a
9epar ación cm3
)2E E
E/E E" IE
2;
" :ositio y 8egatio y Dos Direcciones
Va no 3
2
"
2E
" /;
)
*/") ";(2 =;
"E E
2)E
)2E E
E/E E" IE
2;
2 :ositio y 8egatio y Dos Direcciones
Ta(la 3: Mo#ento No#!nal Método de Líneas de Fluen!a Vano 7 @ano 2 /os!t!2o 8egatio :ositio 8egatio gm3 gm3 gm3 =)#1 3;485 2E*(/=)* 2E*(/=) 2E*(/=)* 46 (; *(; (; #l re$uer0o a cortante no se calcula de+ido a -ue el método no da un alor de cortante 6ltimo/
Método D!"eto: Ta(la 3: Mo#entos M&+!#os Método Coe!entes Vano 7 Dirección larga D!"e!-n o"ta Ma+ Mo#ento Ma7/ =)#1 Momentogm3 /os!t!2 8egatio :ositio 8egatio o 84;8; );/EE =*"/E 2==*/EE E ; Vano 3 Dirección larga D!"e!-n o"ta Ma+ Ma7/ Momentogm3 Mo#ento=)#1 /os!t!2 8egatio :ositio 8egatio o ; "*)/EE 2"E)/E *(E/EE E ; Ta(la 3: Re$ue",o Lon)!tud!nal Vano 7
Reu("!# !ento#1
Diámet rocm3
Hc m3
dc m3
n
Ascm 23
+c m3
3
2
2E
"
)
3
2
2E
"
;
3
2
2E
"
)
3
"/2
2E
"/ )
)
"2/;= =*E= ";/E (=** "2/;= =*E= )/;2* I(*)2
"E E "E E "E E "E E
$ cgP cm23 2)E
FygP cm23
Cua nt.a
9eparaci óncm3
)2EE
2;
"
2)E
)2EE
2E
2
2)E
)2EE
2;
2)E
)2EE
E/EE *( E/EE (2) E/EE *( E/EE 2=E
" 2
Cua nt.a E/EE (2) E/EE "IE E/EE 22) E/EE ));
9eparaci ón 2E
"
2;
2
2E
" 2
Vano 3
Reu("!# !ento 3
diametr o 2
'
d
n
As
+
$c
$y
2E
"
;
)2EE
"
2E
)
2)E
)2EE
3
"
2E
2)E
)2EE
3
"/)
2E
"/ ; "/ ; "/ *
"E E "E E "E E "E E
2)E
3
";/E (=** */")" ;(2=; */(2= ((EI2 /=(= (E2
2)E
)2EE
; ;
2;
2E
:osit io 8eg atio :osit io 8eg atio
Dir /A
:osit io 8eg atio :osit io 8eg atio
Dir /A
Dir /G
Dir /G
Ta(la 4;: Mo#entos No#!nales Re$ue",o Lon)!tud!nal Vano 7 D!"e!-n o"ta Dirección larga Momento Mo#ento No#!nal=)#1 8ominalgm3 /os!t!2o 8egatio :ositio 8egatio 564 ("*E/() );I/I*= 2I(;/;IE 84 ;= *( ( Vano 3 D!"e!-n o"ta Dirección larga Momento Mo#ento No#!nal=)#1 8ominalgm3 /os!t!2o 8egatio :ositio 8egatio 74;5 2E*(/=)* 2;*/;" )IE2/E(I 68 (; ; 2I Conlus!ones #l método de las l.neas de 1uencia, no es muy recomendado su uso de+ido a -ue no calcula más -ue un solo momento, además de no calcular cortante, es un método -ue no es utili0ado para diseo pues solo da una idea de apro7imación de un momento 6ltimo so+re la losa, es me&or recomendado utili0ar otros métodos algo más apro7imados y -ue puedan ser utili0ados para el diseo/ #l método directo es más ersátil -ue otros dos estudiados ya -ue anali0a di$erentes condiciones de apoyo para la estructura, sin em+argo, no
recomendamos este método por-ue re-uiere de cuant.as muc'o más altas de acero -ue pueden encarecer demasiado la o+ra/ #l método directo además puede generar con$usiones cuando las luces no son las mismas de+ido a la gran cantidad de inercias -ue se de+e tener, por lo -ue se de+e tener cuidado cuando se utilice/
Re$e"en!as: 8ilson, A/ "(((3/
Diseño de estructuras de Concreto /
Re-uisitos de Reglamento para Concreto #structural 2E")3/
