ARITMETICA Numero Reales
Sucesiones Una sucesión es un conjunto de números ordenados bajo cierta regla específica
Elemento General De La Sucesión El elemento elemento general general de la sucesión sucesión debe ser una función función de n , en donde n solamente puede tomar valores enteros positivos, de tal manera que cuando se le dé el valor de n= 1 , al sustituir en la fórmula se obtenga el primer elemento; que cuando n= 2 , al sustituir en la fórmula se obtenga el segundo elemento; que cuando n= 3 , al sustituir en la fórmula se obtenga el tercer elemento; y así sucesivamente. Para obtener el elemento general cuando la regla de formación de la sucesión es sumar una cantidad fija, basta seguir estos dos pasos: a Poner como como coeficie coeficiente nte de n a esa cantidad cantidad que se suma b agregar un segundo segundo término término independiente independiente de n, llamado llamado despla!amient despla!amiento, o, que es la cantidad que "ace falta sumar al primer término de la fórmula para que cuando n= 1 se obtenga el primer elemento.
Ejemplo #educir la fórmula del elemento general de la siguiente sucesión: $, %&, %', %(, &%, &) ... *olución: +a regla de formación formación de esta sucesión sucesión es sumar . Por lo tanto, el primer término término de la fórmula es 3 n . Para encontrar el segundo término de esta fórmula, o sea el despla!amiento, basta "acer n= 1 en 3 n lo que da 3 ( 1 )=3 y comparar con el primer elemento de la sucesión dada que es el $. +a conclusión es que "ay que sumar - al resultado obtenido en % para llegar al $ primer elemento. Por lo tanto, el elemento general es 3 n + 6 n= 1 n= 2 n= 3 n= 4 n= 5 n= 6
( ) + 6= 9 3 ( 2 )+ 6=12 3 ( 3 ) + 6 =15 3 ( 4 )+ 6=18 3 ( 5 ) + 6 =21 3 ( 6 ) + 6 =24 3 1
EJERCICIOS #educir la fórmula de elemento general de las siguientes sucesiones: A.
3 5 7 5
,
,
,
9 11 13
6 7 8
,
9
,
10
...
/. %0, &1, &1, &, &, &-, &$, &, &, ', ', (, ... 2. 3 (, 3 ), 1, ), (, (, %&, %-, &1, &1, ... ... #. %11, $', $1, $1, (', (1, 0', 0', 01, -', ... ... E. '%, '1, '1, )$, )$, )(, )0, )-, )-, )', )', )), ... 4. %%, ', 3%, 3%, 30, 3%, 3%, 3%$, 3%$, 3&', 3&', 3%, 3%, 5
6. 7.
SERIES
6 7
1 7
,
,
8
,
10 12 14 16
,
,
,
10 13 16 19 22
2 13
,
3 19
,
4 25
,
5
,
6
31 37
,…
,…
Ejemplo #educir la fórmula del elemento general de la siguiente sucesión: $, %&, %', %(, &%, &) ... *olución: +a regla de formación formación de esta sucesión sucesión es sumar . Por lo tanto, el primer término término de la fórmula es 3 n . Para encontrar el segundo término de esta fórmula, o sea el despla!amiento, basta "acer n= 1 en 3 n lo que da 3 ( 1 )=3 y comparar con el primer elemento de la sucesión dada que es el $. +a conclusión es que "ay que sumar - al resultado obtenido en % para llegar al $ primer elemento. Por lo tanto, el elemento general es 3 n + 6 n= 1 n= 2 n= 3 n= 4 n= 5 n= 6
( ) + 6= 9 3 ( 2 )+ 6=12 3 ( 3 ) + 6 =15 3 ( 4 )+ 6=18 3 ( 5 ) + 6 =21 3 ( 6 ) + 6 =24 3 1
EJERCICIOS #educir la fórmula de elemento general de las siguientes sucesiones: A.
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/. %0, &1, &1, &, &, &-, &$, &, &, ', ', (, ... 2. 3 (, 3 ), 1, ), (, (, %&, %-, &1, &1, ... ... #. %11, $', $1, $1, (', (1, 0', 0', 01, -', ... ... E. '%, '1, '1, )$, )$, )(, )0, )-, )-, )', )', )), ... 4. %%, ', 3%, 3%, 30, 3%, 3%, 3%$, 3%$, 3&', 3&', 3%, 3%, 5
6. 7.
SERIES
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10 13 16 19 22
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3 19
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+as sucesiones vistas como sucesiones nada m8s, no sirven realmente para nada, no aportan nada en la resolución de problemas; si acaso su 9nica utilidad es el ejercicio mental que con ellas se puede reali!ar, como lo fue en los ejercicios anteriores. 2uando los elementos de una sucesión se suman se convierten en series y es allí en donde aparece lo verdaderamente utili!able desde el punto de vista matem8tico. *e podría decir que para no tratar con desprecio a las sucesiones, puede afirmarse que éstas son las madres de las series porque a partir de las sucesiones se forman las series. Una serie es la suma de los elementos de una sucesión.
Ejemplo: Efectuar la sumatoria 4
7 n −11 ∑ = n
1
*ignifica que deben sumarse los términos que resulten "aciendo n= 1 n= 2 n= 3 n= 4 4
7 n −11 ∑ = n
1
n= 1
"asta n= 4 , esto es:
a1= 7 (1 )−11=−4 a2= 7 ( 2 )−11=3 a3 =7 ( 3 )−11=10 a 4=7 ( 4 ) − 11=17
¿− 4 + 3 +10 + 17 ¿ 26
Ejercicios: 5
. ∑ n1 n= 1
6
n −n /. ∑ = 2
n
3
4
2. ∑ ( 2 n + 1 ) n= 1
5
n+ 3 #. ∑ = n ( n + 1) n
2
PROGRESIONES n caso particular de series de muc"a aplicación pr8ctica es el de las llamadas progresiones, de las cuales se estudiar8n en este curso solamente las progresiones aritméticas y las progresiones geométricas.
PROGRESIONES ARITMÉTICAS na progresión aritmética p.a. es aquella en la que cada
término, después del primero, se forma sumando una cantidad fija al término precedente. dic"a cantidad fija se le llama diferencia. En las progresiones aritméticas e
Entonces El primer término es a El segundo término es a + d El tercer término es a + d + d =a + 2 d El cuarto término es a + 2 d + d =a + 3 d El quinto término es a + 3 d + d =a + 4 d y así sucesivamente. #e manera que, considerando que se tienen n términos, el 9ltimo término es l=a + ( n−1 ) d
+a suma de los n términos viene dada por la fórmula n s= (a +l ) 2
= bien, sustituyendo n s = ( 2 a + ( n −1 ) d ) 2
Ejemplo 1 El primer término de una progresión aritmética es && y el 9ltimo '(. *abiendo que consta de %0 términos, "allar la diferencia y la suma de estos %0 términos a =22
l=58 n= 17
l=a + ( n−1 ) d d=
l −a 58 −22 36 9 = = = n −1 17 −1 16 4
s=
17 2
(22 +58 )=680
Ejemplo 2 n obrero comien!a a trabajar con un salario de >&'11 al mes durante el primer a?o, con el convenio de que recibir8 un aumento anual de >-'. @2u8l ser8 su sueldo al cabo de 0 a?os de servicioA *e tienen a =2500 n= 7 d =635
B se quiere obtener el 9ltimo término de la progresión
l
l=a + ( n−1 ) d
l=2500 + ( 7 −1 ) 635=6310
l cabo de siete a?os su sueldo ser8 de >-%1
Ejercicios: % El segundo término de una p.a es 1 y el octavo es )), =btener la suma de los primeros catorce términos de dic"a progresión. & El tercer término de una p.a es % y el se
' 111.11 m8s que la ve! anterior, y así sucesivamente durante seis veces en total, "asta acumular >%)% 111.11. @2u8l fue la primera cantidad que depositóA Cota: Entiéndase por Dseis veces las acciones de ir a depositar dinero a la alcancía, la que incluye la primera ve!. ) na persona tiene que depositar inicialmente en su alcancía >%' 111.11; a la siguiente semana tiene que depositar la misma cantidad m8s algo adicional fijo, y así sucesivamente durante $ veces. @2u8nto es lo que debe a?adir cada ve! al depósito anterior para que al cabo de esas nueve ocasiones tenga acumulados >%(1 111.11A ' *e deja caer un objeto desde un aeroplano y durante el primer segundo cae $.(% metros. #urante cada segundo posterior cae $.(% metros m8s que en el segundo anterior. *i tarda siete segundos en llegar al piso, @a qué altura se encontraba el aeroplanoA - n saco que contiene %11 libras de grano tiene un peque?o orificio en el fondo que cada ve! se "ace m8s grande. El primer minuto sale %F de on!a y de allí en adelante, en cada minuto siguiente se sale %F de on!a m8s que durante el minuto anterior. @2u8ntas libras de grano quedan en el saco después de una "oraA Cota: na libra tiene %- on!as.
0 na deuda puede ser pagada en & semanas pagando >'.11 la primera semana, >(.11 la segunda semana, >%%.11 la tercera semana, y así sucesivamente. 7allar el importe de la deuda. ( En el primer a?o de negocios, un "ombre ganó >'11.11 y en el 9ltimo ganó >% $11.11. *i en cada a?o ganó >&11.11 m8s que en el a?o anterior, @cu8ntos a?os tuvo el negocioA
PROGRESIONES GEO!"RIC#S na progresión 6eométrica p.g. es aquella en la que cada término, después del primero, se forma multiplicando una cantidad fija al término precedente. dic"a cantidad fija se le llama ra!ón. En las progresiones geométricas, igual que en las aritméticas, e
Entonces El primer término es a El segundo término es ar El tercer término es ( ar ) r =a r El cuarto término es (a r )r =a r El quinto término es (a r )r =a r y así sucesivamente. 2
2
3
3
4
#e manera que, considerando que se tienen n términos, el 9ltimo término es n− l =a r 1
+a suma de los n términos viene dada por la fórmula n a −ar a −rl s= = parar ≠ 1 1−r 1− r Ejemplo 1 El primer término de una p.g. es %- y el 9ltimo (%. *abiendo que consta de ' términos, "allar la ra!ón y la suma de esos ' términos. a =16 l=81 n= 5
Para obtener r
l =a r r=
n−1
l 4 = a
n −1
81 16
=±
3 2
B para obtener la suma a −rl s= = 1− r
−
16
1
() 3 2
−
81
=211
3 2
Para comprobar 16
+
( ) ( ) ( ) ( ( ) )= 3 2
( 16 ) +
3 2
( 24 ) +
3 2
( 36 ) +
3 2
54
211
Ejemplo 2 na persona debe pagar una deuda de >00%'.-% en seis mensualidades, a condición de que cada mes pague el %1G m8s que la ve! anterior. @2u8nto debe pagar la primera ve!A s =7715.61 n= 6 r =1.1
El total de la deuda es la suma de una p.g. , ya que ésta es la suma de lo que pague el primer mes, m8s lo que abone el segundo mes, m8s el pago del tercer mes, etc. Por otro lado, la ra!ón es %.% ya que si debe pagar %1G m8s que la ve! anterior esto es lo que pagó la ve! anterior %11G m8s ese %1G que se pide, o sea es el %%1G, que convertido a factor de multiplicación dividiéndolo entre %11, resulta ese %.%. n
n a ( 1 −r ) a −ar s= = 1−r 1− r
a=
s ( 1−r ) 1
−r
n
=
( −1.1) =1000 1−(1.1 )
7715.61 1
6
#ebe pagar por primera ve! >%111 %er pago &do pago H >%111%.% er pago H >%%11%.% )to pago H >%&%1%.% 'to pago H >%%%.% -to pago H >%)-).% %.% Iotal
> %111 > %%11 > %&%1 > %% > %)-).% > %-%1.'% > 00%'.-%
Ejercicios % na persona deposita >% 111.11 el día primero de Enero y mil m8s el día primero de cada mes. *abiendo que el banco le paga un interés mensual del )G, @cu8l ser8 su capital para el día 9ltimo de diciembre, si reinvierte los interesesA Cota: debe considerarse el interés del mes de diciembre también. & na población de animales de la misma especie, inicialmente un mac"o y una "embra, se reproducen de manera que cada dos meses duplican la población. @2u8ntos animales "abr8 al cabo de un a?oA *e suelta una pelota desde una altura de -.'-% metros de altura y ésta al rebotar sube &F de la altura que descendió. @2u8ntos metros llevar8 recorridos cuando llegue al piso por cuarta ocasiónA ) *i al final de cada a?o el valor de un ve"ículo es &F de su valor al principio del a?o, encuentre el valor de un automóvil de > 111.11 al final de cuatro a?os. ' +a población de una ciudad es de 11 111 "abitantes. 2onsiderando que cada ' a?os la población aumenta '1G de lo que era al principio de esos ' a?os, encontrar la población al final de &1 a?os. C=I: *e debe entender por JpoblaciónJ al n9mero total de personas que e%.11 el primer a?o; >.11 el segundo a?o; >$.11 el tercer a?o, y así sucesivamente. @2u8nto costó el terreno si se debe pagar en quince a?osA ( @Kué cantidad se debe invertir al %&G de interés compuesto anual para que después de a?os se tengan mil pesosA
Propie$a$es $e los N%meros Propiedad 2erradura 2onmutativa sociativa Elemento Ceutro Mnverso #istributiva
*uma A + B ∈ R A + B= B + A A + ( B + C )=( A + B ) + C A + 0 = A A + (− A )= 0
Lultiplicación A ∙ B ∈ R A ∙ B= B ∙ A A ∙ ( B ∙C )=( A ∙ B ) ∙ C A ∙ 1 = A
A ∙
1
A
=1
A ∙ ( B + C )= AB + AC
Ejercicios %. Nenna compró %11 juguetes masticables para sus perros c"i"ua"ua. +os dividió equitativamente y le tocaron & a cada c"i"ua"ua. @2u8ntos perros c"i"ua"ua tiene NennaA &. #espués de recolectar los "uevos de sus gallinas, #ale los pone en cajas para venderlos. 2ada caja tiene %& "uevos. #ale llena %' cajas y le quedan 0 "uevos. @2u8ntos "uevos recolectó #aleA
. na tienda de "elados est8 probando sabores nuevos. Mnventan &' nuevos sabores para que los prueben los clientes, y desec"an los % menos populares. +a tienda "ace (1 galones de cada uno de los sabores restantes. @2u8ntos galones de "elado "i!o la tiendaA ). *anji anotó %&' puntos en la primera ronda de un juego de video y &- puntos en la segunda. *i puntuación total después de la tercera ronda fue de ''0 puntos @2u8ntos puntos anotó *anji en la tercera ronda del juego de videoA '. na familia de ardillas recolectó 0& nueces para almacenarlas para el invierno. Oepartieron las nueces de manera equitativa entre sus - ubicaciones favoritas. Iristemente, un cuervo robó la mitad de las nueces de una de las ubicaciones. @2u8ntas nueces robó el cuervoA
N&EROS PRIOS n n9mero primo es un n9mero entero mayor que cero, que tiene e
CRI'# DE ER#"OS"ENES +a criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite "allar n9meros primos menores que un n9mero natural dado. Partimos de una lista de n9meros que van de & "asta un determinado n9mero. Eliminamos de la lista los m9ltiplos de &. +uego tomamos el primer n9mero después del & que no fue eliminado el y eliminamos de la lista sus m9ltiplos, y así sucesivamente. El proceso termina cuando el cuadrado del mayor n9mero confirmado como primo es menor que el n9mero final de la lista. +os n9meros que permanecen en la lista son los primos.
Ejemplo: amos a calcular por este algoritmo los n9meros primos menores que )1: En primer lugar, escribimos los n9meros, en nuestro caso ser8n los comprendidos entre & y )1. &
)
'
-
0
(
$
%
%% % & & & % & % &
% &
% ) & ) )
% ' & ' '
% & -
% 0 & 0 0
% ( & ( (
% $ & $ $
1 & 1 1 ) 1
Eliminamos los m9ltiplos de & & %% & % %
% &
' % ' & ' '
0 % 0 & 0 0
$ % $ & $ $
El siguiente n9mero es . 2omo & Q )1 eliminamos los m9ltiplos de . & ' 0 %% % % % 0 $ & & & ' $ % ' 0 El siguiente n9mero es '. 2omo '& Q )1 eliminamos los m9ltiplos de '. & ' 0 %% % % % 0 $ & & $ % 0 El siguiente n9mero es 0. 2omo 0& R )1 el algoritmo primos. & ' %% % & %
termina y los n9meros que nos quedan son 0 % 0
% $ & $
0
()imo com%n Di*isor El m8
Ejemplo: L8
-nimo com%n %ltiplo El mínimo com9n m9ltiplo m. c. m. de dos o m8s n9meros es el menor m9ltiplo com9n distinto de cero. Para "allar el mínimo com9n m9ltiplo de dos o m8s n9meros debemos de descomponer el n9mero en factores primos. Ejemplo: /uscaremos en mínimo com9n m9ltiplo de )1 y -1. %. #escomponemos en factores primos el )1:
|
¿
40
2
20
2
10 2 5 5 40 1
3
= 2 × 2 × 2 × 5= 2 × 5
¿
&. #escomponemos en factores primos el -1:
|
¿
60
2
30
2
15 5 1
2
= 2 × 2 × 5 × 3 =2 × 5 × 3
3 3 60
¿
. Para "allar el mínimo com9n divisor mcd de )1 y -1, para ello, tenemos que coger los comunes y no comunes al mayor e
m . c . m .= 2 × 2 × 2 × 5 × 3=2 × 5 × 3 =120
Por lo que el mínimo com9n m9ltiplo de )1 y -1 sería %&1.
Ejercicios %. #os luces del estadio local est8n parpadeando. mbas acaban de parpadear al mismo tiempo. na de las luces parpadea cada 0 segundos y la otra parpadea cada ( segundos. @2u8nto tiempo pasar8 antes de que ambas luces vuelvan a parpadear al mismo tiempoA &. 7ay 0& ni?os y $1 ni?as en el equipo de matem8ticas. Para la siguiente competencia de matem8ticas, el *r. No"nson quiere acomodar a los estudiantes en filas iguales con solo ni?as o solo ni?os en cada fila. @2u8l es el mayor n9mero de estudiantes que puede "aber en cada filaA . Iim tiene $ pares de audífonos y % reproductores de m9sica. Iim quiere vender todos los audífonos y los reproductores de m9sica en paquetes idénticos. @2u8l es el mayor n9mero de paquetes que Iim puede "acerA ). Sayed les est8 ayudando a sus compa?eros de clase a prepararse para su e
Numeros Racionales ./racciones0 na fracción tiene dos n9meros: umerador !enominador
l n9mero de arriba lo llamamos Cumerador, es el n9mero de partes que tenemos. l n9mero de abajo lo llamamos #enominador, es el n9mero de partes en que "emos dividido el total.
4racciones propias: es sólo una fracción donde el numerador el n9mero de arriba es m8s peque?o que el denominador el n9mero de abajo. quí tienes algunos ejemplos de fracciones propias: 4racciones impropias: es sólo una fracción donde el numerador el n9mero de arriba es m8s grande o igual que el denominador el n9mero de abajo. = sea, arriba pesa m8s. 4racciones impropias H 4racciones mi
Ejercicios
%. mira tiene F), de una bolsa de comida para gato. *u gato come F (, de una bolsa por semana. @Para cu8ntas semanas alcan!ar8 la comidaA &. Cicole est8 jugando un videojuego en el que cada ronda dura V de "ora. Planea jugar ese juego durante V "oras. @2u8ntas rondas puede jugar CicoleA . Iyler y Watie est8n trabajando en su puesto de limonada. 7an vendido %F& jarra de limonada y a"ora les queda %F de jarra por vender. @2on qué fracción de jarra de limonada empe!aronA ). 7oracio est8 trabajando en su proyecto de la feria de ciencias sobre la altura de los alumnos de quinto grado. *us datos se muestran a continuación. @2u8nto m8s alta es +ucia que 7oracioA lumno ltura pies
7oraci o ) &F
Lariss a ) F(
*teve n '
+uci a ) F)
'. +a maestra lvare! le preguntó a sus estudiantes cu8ntas "oras ven televisión al día redondeado a la media "ora m8s cercana. +os resultados se muestran a continuación. @Kué fracción de los estudiantes ve entre 1 y & "oras de I al díaA 7oras de I 4racción estudiantes
1a % de %F-
% %F& a & %F m8s & &a de 'F%& %F) %F-
-. Lelissa est8 ayudando a su pap8 a construir un pasillo en el patio trasero. El pasillo tendr8 ') pies de largo y %.' pies de anc"o. +a ferretería local vende a!ulejos de %.' por %.', ' pies y vienen en cajas de %&. @2u8ntas cajas de a!ulejos necesitanA 0. s"ley abrió recientemente una tienda que solo vende ingredientes naturales. Kuiere "acerle publicidad a sus productos al distribuir bolsas con muestras en su vecindario. una persona le toma & minutos preparar una bolsa. @2u8ntas "oras tomar8 preparar $11 bolsas de muestras si s"ley trabaja con ' amigosA (. driano maneja una p8gina en Mnternet que ayuda a los escritores a escribir mejores "istorias. 2ada mes, driano recibe una cuota de suscripción de >' de cada uno de los suscriptores de su p8gina. +a p8gina tuvo &11 suscriptores el mes pasado. Este mes se suscribieron )1 nuevos miembros a la p8gina y %1 miembros cancelaron su suscripción. @2u8nto dinero ganar8 el negocio en línea de driano este mesA $. Litc"ell es un gran fan8tico del café, por lo que siempre se encarga de preparar el café en la oficina. Cormalmente él usa %11 gramos de café Oobusta para preparar %1 ta!as de café. *u amigo le trae un paquete de café rabica y le dice que debe usar un &1G m8s café del usual para preparar café rabica. @2u8ntos gramos de café debe usar para preparar una olla de %' ta!as de café rabicaA
Notación cient-ica +a notación científica es un recurso matem8tico empleado para simplificar c8lculos y representar en forma concisa n9meros muy grandes o muy peque?os. Para "acerlo se usan potencias de die! .
Lultiplicar: Para multiplicar se multiplican las e
*uma y resta: *i tenemos una suma o resta o ambas con e
#GNI"DES PROPORCION#LES3 *e dice que dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un n9mero, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo n9mero. +a ra!ón o cociente entre la segunda y la primera magnitud, se llama constante de proporcionalidad directa
Ejercicios %. @2u8nto cuestan ( Zilos de man!anas si %% Zilos cuestan %).1 eurosA &. *e "a pagado &'' euros por la compra de calculadoras. @2u8nto valen 0 calculadorasA @B 1A @B &A . n automóvil consume '- litros de gasolina al recorrer (11 Zilómetros, @cu8ntos litros de gasolina consumir8 en un viaje de '11 ZilómetrosA Porcentajes %. na primaria tiene (11 estudiantes. 2ada miércoles %&G de los estudiantes se quedan después de clase en el club de ajedre!. @2u8ntos estudiantes asisten al club de ajedre! los miércolesA &. pro
El inter4s simple
El interés simple se calcula y se paga sobre un capital inicial que permanece invariable. El interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. #ic"o interés no se reinvierte y cada ve! se calcula sobre la misma base. Entonces, la fórmula para el c8lculo del interés simple queda: si la tasa anual se aplica por a?os. si la tasa anual se aplica por meses si la tasa anual se aplica por días
Ejercicios %. 2alcular a cu8nto asciende el interés simple producido por un capital de &'.111 pesos invertido durante ) a?os a una tasa del - G anual. &. 2alcular el interés simple producido por 1.111 pesos durante $1 días a una tasa de interés anual del ' G. . l cabo de un a?o, un banco "a ingresado en una cuenta de a"orro, en concepto de intereses, $01 pesos. +a tasa de interés de una cuenta de a"orro es del & G. @2u8l es el saldo medio capital de dic"a cuenta en ese a?oA ). Por un préstamo de &1.111 pesos se paga al cabo de un a?o &&.)11 pesos. @2u8l es la tasa de interés cobradaA '. n capital de 11.111 pesos invertido a una tasa de interés del ( G durante un cierto tiempo, "a supuesto unos intereses de %&.111 pesos. @2u8nto tiempo "a estado invertidoA
SIS"E#S DE NER#CI5N
*istema #ecimal. l decir que un sistema es de base die!, significa que sólo "ace uso de die! símbolos o guarismos 9nicamente, es decir, los símbolos de base %1 son: 1 %,, &,,),',-,0,( y $. *istema /inario. Es un sistema de base &, en el que sólo se tienen dos símbolos o guarismos que son: 1 y %. Es de gran importancia debido a que es el lenguaje que manejan las computadoras. *u notación es C & *istema =ctal. Es un sistema de base (, tal como su nombre lo indica. 2uenta oc"o símbolos: 1 %, &,,),',- y 0 . *u notación es C ( *istema 7e
+os sistemas numéricos quedan representados por la siguiente e
n −1
n
a= " n a + " n−1 a
+ " n− a n− + … + " a + "− a− + " − a− + … + "−m a−m 2
1
2
1
1
1
2
2
En donde: a es la base a la cual pertenece el numero " es cada digito componente del numero n es el numero de dígitos a la i!quierda del punto menos uno m es el numero de dígitos a la derec"a del punto
Ejemplo 1 Iransformar el numero %1%1.%1%& a base decimal (1010.101) = (1 ) 2 + ( 0 ) 2 + ( 1 ) 2 + ( 0 ) 2 + ( 1 ) 2− + ( 0 ) 2− + (1 ) 2− =( 1 ) 8 + ( 0 ) 4 + ( 1 ) 2 + ( 0 ) 1 + ( 1 ) 0.5 + ( 0 ) 0.25 + ( 1 ) 0.125=8 +2 3
2
1
0
1
2
3
2
Ejemplo 2 Iransformar )) a base seis.
44
=( 112)
6
Ejercicios %. @2u8ntos dígitos son necesarios para representar los n9meros usando un sistema de base nA @Kué ocurre si nR%1A &. Escribe en el sistema de numeración decimal los n9meros %1%1%& , %1%1% , &%%) , %&-0 y %'(%% . . Escribe el n9mero %11%1 en los sistemas de numeración de base &, , ), ', -, 0, ( y $. ). Escribe el n9mero a %%%%1 en el sistema de base %%. '. %($%1 en el sistema de base %-. -. Escribe las tablas de sumar y de multiplicar en los sistemas de numeración de base &, , ' y (. 0. Escribe en base 0 los n9meros a %111%1 b '&(
#LGE'R# Len6uaje #l6e7raico
El lenguaje algebraico es una forma de traducir a símbolos y n9meros lo que normalmente tomamos como e
+a resta o diferencia de dos n9meros: \ ] y El producto de dos n9meros: ab El cociente de dos n9meros: \Fy El cociente de la suma de dos n9meros, sobre la diferencia: aYbFa3b El doble de un n9mero: &\ El doble de la suma de dos n9meros: &aYb El triple de la diferencia de dos n9meros: <3y +a mitad de un n9mero: \F& +a mitad de la diferencia de dos n9meros: <3)F& El cuadrado de un n9mero: < & El cuadrado de la suma de dos n9meros: El triple del cuadrado de la suma de dos n9meros: +a suma de n9meros: YbYc +a semi suma de dos n9mero: aYbF&
Pro$uctos Nota7les *e llama productos notables a ciertas e
/actori8ación
Por factor 2omun Irinomio 2uadrado Perfecto *e e
(
)
# 2 a " + " + c a
*e obtiene
( ) # 2a
( ( (
2
( ) ( ) )+ 2
# # # a " + " + − a 2a 2a 2
2
2
2
)
# # # a " + " + 2 − 2 + c a 4a 4a 2
2
)
2
# # a# a " + " + 2 − 2 + c a 4a 4a
2
4actori!ación de la forma
c
+ #" + c =( " + A ) ( " + B ) A × B= c A + B=# 4ormula 6eneral a"
2
−# ± √ # − 4 ac " = 2
2a
Para 2
a " + #" + c =0 a ≠ 0
Ejercicios %. Ooger gana >)1por día como salario y >).'1 de comisión por cada par de !apatos que vende en un día. *u meta de ganancias diarias es de >%%&. Escribe una ecuación para determinar cu8ntos pares de !apatos, debe vender Ooger en un día para cumplir su meta de ganancias diarias. Encuentra el n9mero de pares de !apatos que debe vender en un día para cumplir su meta de ganancias diarias. &. El mes pasado, Largo compró un 8rbol que crece &.' cm cada día. Ledía ' cm de alto cuando lo compró y a"ora mide -'cm. Escribe una ecuación para determinar el n9mero de días d que Largo "a tenido la planta. Encuentra el n9mero de días que Largo "a tenido la planta. . ^+as galletas est8n de oferta_ 7oy cada galleta cuesta >1.0' menos que el precio normal. ^*i compras 0a"ora mismo solo te costar8n >&.(1_ Escribe una ecuación para determinar el precio normal de cada galleta c. Encuentra el precio normal de cada galleta. ). El perímetro de un rect8ngulo es de ) unidades. *u anc"o es de -.' unidades. Escribe una ecuación para determinar la longitud l del rect8ngulo. '. 6iselle trabaja como carpintera y como "errera. Ella gana >&1 por "ora como carpintera y >&' por "ora como "errera. +a semana pasada, 6iselle trabajó en ambos empleos un total de 1 "oras y ganó un total de >-$1 @2u8ntas "oras trabajó 6iselle como carpintera la semana pasada, y cu8ntas "oras trabajó como "erreraA -. Lic"ael cría pollos y patos. El mes pasado, vendió '1 pollos y 1 patos por >''1. Este mes, vendió )) pollos y - patos por >'&. @2u8nto cuesta un pollo y cu8nto cuesta un patoA 0. 2ada c"ef en JEl Emperador del *us"iJ prepara %' rollos normales y &1 rollos vegetarianos cada día. El martes, cada cliente comió & rollos normales y rollos vegetarianos. l final del día se quedaron ) rollos normales y % rollo vegetariano que nadie comió. @2u8ntos c"efs y cu8ntos clientes "ubo en JEl Emperador del *us"iJ el martesA (. Lediante la ingeniería genética, +ogan creó un nuevo tipo de abeto y un nuevo tipo de pino. $. +a altura combinada de un abeto y un pino es &% metros. +a altura de ) de sus abetos uno sobre otro es &)metros m8s alto que uno de sus pinos. @Kué tan altos son los 8rboles que +ogan creóA %1.*ea p= " + 6 @2u8l ecuación es equivalente a ( " + 6 ) −21 =4 " + 24 en términos de pA %%. Encuentra un valor de < que sea solución a la ecuación ( 2 " + 3 ) −4 ( 2 " + 3 )−12 =0 %&.Encuentra un valor de < que sea solución a la ecuación ( 4 " −1 ) =20 " −5 %.+a suma de & n9meros es %1- y el mayor e
2
2
2
2
2
%-.7allar dos n9meros consecutivos cuya suma sea %1 %0.7allar cuatro n9meros enteros consecutivos cuya suma sea 0) %(.7allar tres n9meros enteros consecutivos cuya suma sea %(%$.+a suma de tres n9meros es &11, el mayor e.'11 dlls. El coc"e costo el triple de los arreos, y el caballo, el doble de lo que costo el coc"e. 7allar el costo de los arreos, del coc"e y del caballo &%.+a suma de las edades de , / y 2 es de -$ a?os. +a edad de es el doble que la de / y a?os mayor que la de 2. 7allar las edades &&.#ividir (' en dos partes tales que el triple de la parte menor equivalga al duplo de la mayor. &.+a edad de es el doble de la de / y "ace %' a?os la edad de era el triple de la de /. 7allar las edades. &).+a edad de es el triple de la de /, y dentro de &1 a?os ser8 el doble. 7allar las edades actuales.
GEOMETRÍA "ri(n6ulos #esigualdad del tri8ngulo. +a suma de cualquiera dos lados de un tri8ngulo es mayor que el largo del tercer lado
Oectas notables en el tri8ngulo: Lediana: son los segmentos de recta que van desde un vértice del tri8ngulo al punto medio del lado opuesto
/isectri!: son las rectas que pasan por el vértice y dividen el angulo interno en dos angulos iguales.
Lediatri!: son las rectas perpendicular a cada lado que pasan por sus puntos medios
ltura: +a altura $e un tri(n6ulo es el segmento perpendicular a un lado que va desde el vértice opuesto a este lado o a su prolongación. Iambién puede entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto.
Puntos notables en el tri8ngulo: =rtocentro: *e denomina ortocentro símbolo 7 al punto donde se cortan las tres alturas de un tri(n6ulo. 2entroide o baricentro: es el punto 6 donde coinciden las medianas de un triangulo 2ircuncentro: es el punto donde concurren las mediatrices. Mncentro: es el punto donde concurren las bisectrices de un 8ngulo.
Circunerencia Rectas
X 2entro. Es el punto fijo dentro de la circunferencia, cuya distancia a cualquier punto en el contorno es la misma. X 2ircunferencia. 2ontorno e
X *ecante. Es la recta que corta la circunferencia en dos puntos diferentes X Oecta e
Oectas tangentes a una circunferencia a #esde un punto sobre ella. nimos el centro con el punto dado P por donde tra!amos una perpendicular por cualquier método geométrico al radio obtenido
Recta tan6ente a una circunerencia en un punto $e ella cuan$o no se conoce el centro $e la circunerencia: Ira!amos con centro en I dado un arco de radio arbitrario y obtenemos sobre la
circunferencia, con centro en y el mismo radio, tra!amos otro arco "asta cortar en / a la circunferencia, con centro en I y radio I/ tra!amos un arco que corta en 2 al arco de centro y radio /, +a recta que pasa por I2 es la perpendicular buscada.
%. #esde un punto fuera de ella. nimos el centro de la circunferencia con el punto P dado y tra!amos una circunferencia au
2. +ocali!ación del centro de una circunferencia dada.
"eorema $e Pit(6oras
2
2
2
c =a + # 2 2 c =√ a + # 2 2 a =√ $ −# 2 2 # =√ $ −a 2 2 2 c < a + # %riagunlo Acut&ngulo 2 2 2 c =a + # %ri&nuglo Rect&ngulo 2 2 2 c > a + # %ri&ngulo'#tus&ngulo
c
b
a
"ri6onometr-a Cateto o puesto $ipotenusa Cateto ad(acente cos " = $ipotenusa cateto opuesto sen " = tan " = catetoad(acente cos " 2 2 sen ) + cos ) =1 2 sen) √ 1 −c os ) sen) tan " = =± =± 2 cos ) cos ) √ 1 −sen ) sen " =
hipotenusa Cateto opuesto α
Cateto adyacente
2
+
=
1 tan )
1
2
cos )
Triangulos Rectangulos ) + * =90 + # sen) = $ a cos ) = $ # tan ) = a
h
β
b α
a
Triangulos A + B + C =180 + ^
^
^
Teorema del Seno
c
b
a # c = = sen A sen B sen C ^
a
^
^
Teorema del coseno 2
2
2
2
2
2
a = # + c −2 #c cos A ^
= a + c −2 A c cos B c =a + # −2 a# cos C #
^
2
2
2
^
Ejercicios %. El conejo /ugs estaba a )& metros bajo tierra, y e
"asta salir a la superficie. @2u8l es el 8ngulo de elevación, en grados, del ascenso de /ugsA
&. &. n taco golpea a una bola de billar. +a bola recorre %11cm rebota en una banda, y recorre otros %&1cm "asta la buc"aca de una esquina. El 8ngulo entre la trayectoria de la bola "acia la banda con la trayectoria que sigue al rebotar es )'U. @Kué distancia "ay de la buc"aca al punto en donde la bola fue golpeadaA
. 6alileo quería soltar una bola de madera y una bola de "ierro desde una altura de %'1 metros y medir el tiempo que tardan en caer. Encontró una rampa con una inclinación de %'U por la que podía subir para llegar a una altura de %'1 m. @2u8nto debe caminar 6alileo a lo largo de la rampaA
).
7oard dise?a un juego mec8nico de sillas voladoras. +os cables de las sillas son de ) metros de largo, y a su m8
'.
Encuentra el *eno del angulo / del siguiente triangulo
-. Encuentra el 2oseno del angulo del siguiente triangulo
0. Encuentra el *eno del angulo / del siguiente triangulo
(. Encuentra el 2oseno del angulo / del siguiente triangulo
ES"#DIS"IC# 9 PRO'#'ILID#D R#5N: +a Oa!ón es el cociente entre dos n9meros, en el que ninguno o sólo algunos elementos del numerador est8n incluidos en el denominador. El rango es de 1 a infinito.
PROPORCI5N: +a proporción es una ra!ón en la cual los elementos del numerador est8n incluidos en el denominador. *e utili!a como estimación de la probabilidad de un evento. El rango es de 1 a %, o de 1 a %11G.
"#S#: +a tasa es un tipo especial de ra!ón o de proporción que incluye una medida de tiempo en el denominador. Est8 asociado con la rapide! de cambio de un fenómeno por unidad de una variable tiempo, temperatura, presión. +os componentes de una tasa son el numerador, el denominador, el tiempo específico en el que el "ec"o ocurre, y usualmente un multiplicador, potencia de %1, que convierte una fracción o decimal en un n9mero entero.
EDI# #RI"!"IC# +a media aritmética es la suma de todos los datos dividida entre el n9mero total de datos. *e calculan dependiendo de cómo vengan ordenados los datos
OD#
+a moda de un conjunto de datos es el dato que m8s veces se repite, es decir, aquel que tiene mayor frecuencia absoluta. *e denota por Lo. En caso de e
EDI#N# +a mediana de un conjunto de n9meros es el n9mero medio en el conjunto después que los n9meros "an sido arreglados del menor al mayor 33 o, si "ay un n9mero par de datos, la mediana es el promedio de los dos n9meros medios.
R#NGO El rango C= es una medida de promedio; sin embargo, a menudo se utili!a como el promedio, porque es otra manera de medir un grupo de datos. El rango mide la Je
Pro7a7ili$a$ +a Probabilidad es la mayor o menor posibilidad de que ocurra un determinado suceso. En otras palabras, su noción viene de la necesidad de medir o determinar cuantitativamente la certe!a o duda de que un suceso dado ocurra o no.
Dia6rama $e #7ol n diagrama de 8rbol es una "erramienta que se utili!a para determinar todos los posibles resultados de un e
Ejemplo: Ienemos una caja donde "ay dos pelotas a!ules y dos rojas. +a pregunta es @cu8l es la probabilidad de obtener una pelota de color rojoA Es un problema ideal para representar a través de in diagrama de 8rbol que nos permitir8 ra!onar. Tste podría ser el diagrama de 8rbol en cuestión:
Ejercicios
%. 6iras una ve! la rueda que se muestra a continuación. 2ada sección tiene la misma 8rea. @2u8l es la probabilidad que caiga en el a!ulA
&. 2am no puede decidir qué comer. Elegir8 aleatoriamente una fruta de su despensa. 7ay ) man!anas y ' pl8tanos. @2u8nto vale PA . +eslie es bióloga. a a elegir aleatoriamente un animal de su laboratorio para estudiarlo. 7ay ' salamandras, cangrejos y %& peces en su laboratorio.@2ual es la probabilidad de elegir una salamandraA ). 6iras una ve! la rueda que se muestra a continuación. +a rueda tiene ) secciones iguales coloreadas de rosa, morado, a!ul y verde. @2u8nto vale Pa!ulA
'. Iomas aleatoriamente una canica de una bolsa que contiene canicas a!ules, ) canicas verdes y ' canicas rojas. @2u8l es la probabilidad de tomar una canica a!ulA -. +a siguiente tabla de frecuencias muestra las órdenes de ayer en el restaurante *artenes 2"isporroteantes. 2on base en esta información, @cu8l es una probabilidad estimada ra!onable de que la pró
C9mero de órdenes & & '
0. El cine +ocura de Lar!o sirvió & limonadas de un total de %%% bebidas el fin de semana pasado. 2on base en esta información, @cu8l es una probabilidad estimada ra!onable de que la siguiente bebida ordenada sea una limonadaA
(. +a siguiente tabla de frecuencias indica el n9mero de "ijos que tienen los pap8s del 2lub de Pap8s. 2on base en estos datos, @cu8l es una probabilidad estimada ra!onable de que el pró
C9mero de miembros ) ( % %
$. +a siguiente tabla de frecuencias muestra las ventas de la semana pasada de la tienda Luebles Cube Cueve. 2on base en esta información, @cu8l es una probabilidad estimada ra!onable de que el pró
C9mero de camas
#os camas individuales #oble Kueen Wing
) &
%1.+a siguiente gr8fica de puntos muestra la distancia que corrió Ooger en cada uno de sus partidos de tenis el mes pasado. 2ada punto representa un juego. 2on base en esta información, @cu8l es una probabilidad estimada ra!onable de que Ooger corra menos de '' Zm en su pró
Número de kilómetros
%%. +a siguiente gr8fica de puntos indica el n9mero de vitaminas que la mam8 de =mur tomó cada día desde que comen!ó su nueva dieta. 2ada punto representa un día. 2on base en esta información, @cu8l es una probabilidad estimada ra!onable de que la mam8 de =mur tome e