11 11.. Nunca Nunca se esqu esque¸ e¸ca c a do Teore eorema ma Funda undame ment ntal al do C´alculo alculo e suas generaliza¸c˜ c˜oes: oes: b df (x) a) a dx dx = f (b) − f (a) (Teorema Fundamental do C´alculo); alculo); b b) a φ · dl = φ(b) − φ(a); c) s ( × A) · da = Γ A · dl (teorema de Stokes); d) v ( · A) dτ = s A · da (teorem (te orema a da divergˆ d ivergˆencia). enci a).
Lista de Exerc´ Exerc´ıcios e observa¸c˜ coes o ˜es de Eletromagnetismo I
Livro texto: Introduction Introduction to Electrodynam Electrodynamics ics (3a ed.), David J. Griffiths. Conte´ udo resumido do curso udo
1. C´alculo alculo vetorial;
12. Como o procedimen procedimento to de integra¸ integra¸c˜ cao a˜o por partes est´a relacionado com o Teorema Fundamental do C´alculo alculo e suas generaliza¸c˜ coes? o˜es?
2. Eletrost´ Eletrost´ atica atica - Lei de Coulomb e consequˆ encias; encias; 3. T´ ecnicas ecnicas especiais espec iais (equa¸ ( equa¸c˜ cao a˜o de Laplace);
13. a) Defina coordenadas cil´ cil´ındricas e esf´ericas ericas em termos das cartesianas. cartesianas. b) Escreva Escreva dτ em coordenadas coordenadas cartesi cart esianas anas,, cil´ındrica ınd ricass e esf´ericas. eric as.
4. Eletrost´ Eletrost´ atica ati ca na mat´eria; eria ; 5. Magnetost´ Magnetost´ atica; atica;
14. a) Lem Lembre bre-se -se que (de uma maneira maneira pouco pouco precis precisa, a, por´em em muito util u ´ til do ponto ponto de vist vistaa intu intuiti itiv vo) a “fun¸c˜ cao” a˜o” delta de Dirac δ(x − a) ´e nula para x = ae c infinita para x = a. Al´em em disso, diss o, b δ (x − a)f (x)dx = c f (a) se x ∈ (b, c) e b δ (x − a)f (x)dx = 0 se x ∈ (b, c). b) Para o caso tridimensional, tem-se
6. Equa¸c˜ coes ˜oes de Maxwell.
Cap Ca p´ıtul ıt ulo o 1
1. Diga as opera¸c˜ coes o˜es b´asicas asicas que podem ser feitas com vetores.
δ 3 (r−a)f (r)dτ =
v
2. Usando Usando vetores, vetores, obtenha a lei dos cossenos. cossenos.
f (a), 0,
se a est´ a dentro de V se a est´ a fora de V.
c) A “fun¸c˜ c˜ao” ao” delta d elta de Dirac Di rac ´e muito conveniente para p ara representar uma densidade de algo puntual.
3. Escrev Escrevaa os produtos escalar escalar e vetorial vetorial entre entre dois vetores A e B a) em termos dos seus m´odulos odulos e ˆangulos angulos relativos e b) em termos de seus componentes cartesianos. c) Qual Q ual ´e o significado signific ado geom´etrico etrico de cada c ada um desses produtos?
15 15.. Em cond condi¸ i¸c˜ c˜oes o es bem razo razo´´avei a veis, s, podemo podemoss obte obterr um campo vetorial F se conhecermos o seu divergente, · F, e o seu rotacional, × F. Qual o nome deste teorema? Enuncie este teorema. 16. Dois resultados fundamentais no desenvolvimento desenvolvimento do nosso curso: a) |r−1r | = − |rr−−rr |3 ;
4. a) Qual ´e o significado geom´ etrico etrico do produto triplo A · (B × C)? b) Argumente que A · (B × C) = C · (A × B) = B · (C × A) = −B · (A × C) = −C · (B × A) = −A · (C × B).
−2
1 |r−r |
b) = · c) Lembre ainda que
5. Demonstre Demonstre que que A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B).
r−r |r−r |3
= 4πδ 3 (r − r );
r − r . | r − r |= | r − r |
6. Considere Considere os vetores vetores posi¸c˜ caao ˜o r e r . a) Certifiq Certifiqueue-se se que o vetor unit´ario ario na dire¸c˜ c˜ao ao de r − r ´e tal ta l que qu e (x − x )x + (y − y )y + (z − z )z r − r = . | r − r | (x − x )2 + (y − y )2 + (z − z )2
17. Do cap´ cap´ıtulo 1, resolv resolvaa os problemas: problemas: 5, 6, 8, 10, 13, 14, 16, 17, 20, 21, 32, 33, 35, 37, 38, 44, 45, 46, 47, 60, 61.
b) Fa¸ca ca o desenho mais famoso do nosso curso, isto ´e, e, aquele que envolve os vetores r, r e r − r .
Cap´ Ca p´ ıtul ıt ulo o 2
1. a) Cons Consid ider eran ando do duas duas carg cargas as,, enun enunci ciee a lei lei de Coulomb. b) Use o princ´ p rinc´ıpio ıpi o de d e sup s uperp erposi¸ osi¸c˜ c˜ao ao e a lei de Coulomb entre duas cargas (item (a)) para escrever a for¸ca ca que uma dada carga est´a sujeita devido a um conjunto de cargas. c) Partindo do item (b), defina campo el´ etrico. etrico.
7. Seja T = T (x,y,z ). Mostre que dT = T · dr. 8. Diga Diga o sign signifi ifica cado do geom geom´´etri e trico co do a)gra a)gradi dien ente te,, b)diverge b)divergente nte e c)rotaciona c)rotacional. l. d)Escrev d)Escreva-os a-os em coordenadas cartesianas. 9. N˜ ao ao se esque¸ca ca que a) a) × F ⇔ F = −V ; b) b) · F = 0 ⇔ F = × A; c) Um campo vetorial F pode sempre ser escrito como
2. Escrev Escrevaa a express˜ express˜ ao ao do d o campo cam po el´etrico etrico devido a a) um conjunto discreto de cargas; b) uma distribui¸c˜ cao a˜o volum´etrica etrica de cargas; c) uma distribui¸c˜ cao ˜ao superficial de cargas; d) uma distribui¸c˜ cao a˜o linear de cargas. Explique o que s˜ao ao linhas de campo, use exemplos para ilustrar a explica¸c˜ cao. a˜o.
F = −V + × A.
10. Outras Outras identidades identidades (veja a contraca contracapa pa do seu livro). 1
3. a) Para a eletrost´ atica, mostre que · E = ερ0 (lei de Gauss) e × E = 0. b) A partir desses resultados, mostre que s E · da = Qint e Γ E · dl = 0, com Qint = V ρdτ . ε0
4. Explique o que ´e o m´etodo da separa¸ca˜o de vari´aveis, isto ´e, a trasnforma¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial parcial em um conjunto de equa¸c˜oes diferenciais ordin´aria, a superposi¸ca˜o das solu¸c˜oes particulares e o ajuste final via as condi¸co˜es de contorno.
4. a) Parta de × E = 0 para argumentar que E = r −V , V (r) = − O E · dl. b) Al´ em disso, mostre que para uma distribui¸ca˜o discreta de cargas, podemos dizer que V (r) = qi 1 i |r−ri | . 4πε0 Escreva express˜oes an´a logas para distribui¸c˜oes volum´etricas, superficiais e lineares de cargas.
5. Argumente que a escolha do sistema de coordenadas ´e um ingrediente b´asico quando emprega-se o m´etodo de separa¸ca˜o de vari´aveis. Na sua resposta, enfatize a relevˆancia das condi¸co˜es de contorno na ajuda da escolha do sistema de coordenadas.
6. a) Argumente o que ´e expans˜ ao multipolar. b) Nessa expans˜a o, o que s˜ao termos de monopolo, dipolo e quadrupolo. c) Mostre que o dipolo el´etrico n˜ a o depende da origem do sistema de coordenadas se a contribui¸c˜ao de monopolo ´e nula.
5. Partindo de · E = ερ0 e × E = 0, mostre que c˜ao de Poisson se E = −V e 2 V = − ερ0 (equa¸ ρ = 0 e equa¸ca˜o Laplace se ρ = 0). 6. a) Argumente que a energia eletrost´ atica para um conjunto discreto de cargas pode ser escrito como n n qi qj 1 = 12 ni=1 qi V (ri ). W = 8πε i=1 j =1 i 0 =j |ri −rj | b) Usando a) no limite de uma distribui¸ca˜o volum´etrica de cargas, mostre que W = 12 ρV dτ = ε0 E2 dτ . 2 todo espa¸co
7. Do cap´ıtulo 3, resolva os problemas: 2, 3, 4, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 23, 27, 28, 29, 31, 33.
7. a) Argumente que o campo el´etrico em um condutor ´e nulo e, portanto, o potencial el´etrico ´e constante. b) Mostre que a densidade de carga em um condutor ´e nula. Al´ em disso, argumente que a carga em um condutor deve estar em sua sup erf´ıcie. 8. a) Argumente que em um capacitor, devemos ter Q = e a carga (em m´odulo) em uma das CV , em que Q ´ placas, V ´e a diferen¸ca de potencial entre as placas e e uma constante de proporcionalidade entre Q e V . C ´ b) Mostre que a energia armazenada em um capacitor 2 ´e W = Q = 12 CV 2 . 2C 9. Do cap´ıtulo 2, resolva os problemas: 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 24, 25, 28, 29, 32, 36, 38, 46, 51. Cap´ıtulo 3
1. a) Em coordenadas cartesianas, resolva a equa¸c˜ao de Laplace para V em uma dimens˜ao. b) Para este caso, mostre que V ´e igual ao valor m´edio b entre dois pontos, isto ´e, V a+ = V (b)+2 V (a) . 2 c) Mostre que esse V (x) n˜ ao tem m´ınimo (m´aximo) local. d) Para o caso tridimensional, argumente que V n˜ao tem um m´ınimo (m´aximo) local. e) Supondo que h´a um paralelo com o item b), ar1 V da, para uma esfera de gumente que V (r) = 4πR 2 raio R centrada em r.
2. Argumente que a solu¸ca˜ o da equa¸c˜a o de Laplace (Poisson) ´e u ´nica dadas as condi¸co˜es de contorno convenientes, por exemplo, V dado na superf´ıcie de um volume. 3. Qualitativamente, explique o que ´e o m´ etodo das imagens. 2
