Formulário de Eletromagnetismo I v. 0.1.0
março de 2011
i
Sumário Apresentação
1
1 El Elet etro rost stát átic ica a
2
1.1 Le 1.1 Leii de Co Coul ulom ombb . . . . . . . . . 1.22 Ca 1. Campo mpo El Elét étri rico co . . . . . . . . . 1.3 Den Densid sidade ade de Flu Fluxo xo Elé Elétri trico co . . 1.44 Fl 1. Flux uxoo El Elét étri rico co . . . . . . . . . . 1.5 Teor eorema ema da Div Diverg ergênc ência ia . . . . 1.66 Le 1. Leii de Ga Gaus usss . . . . . . . . . . 1.7 Po Ponnten tencia ciall Elé Elétri trico co . . . . . . . 1.8 Den Densid sidade ade de Cor Corren rente te . . . . . 1.99 Co 1. Corr rren ente te . . . . . . . . . . . . . 1.10 Resist Resistênci ênciaa . . . . . . . . . . . 1.11 Lei de Joule . . . . . . . . . . . 1.12 Cond Condições ições de Fron ronteira teira . . . . . 1.13 Equação de Poisson . . . . . . 1.14 Equação de Laplace . . . . . . 1.15 Capa Capacitân citância cia . . . . . . . . . . 1.16 Energ Energia ia Po Potenci tencial al Eletr Eletrostát ostática ica
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
2 Mag Magne netos tostát tática ica
2.1 Analog Analogia ia entre entre campo campo eletrost eletrostáti ático co tático . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Lei de Bio Biot-S t-Sav avart art . . . . . . . . . 2.3 Cam Campo po Mag Magnét nético ico Res Result ultan ante te . . . 2.44 Le 2. Leii Cir Circu cuit ital al de Am Ampèr pèree . . . . . . 2.5 Teor eorema ema de Sto Stoke kess . . . . . . . . .
2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6
e mag magnet netosos. .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 7 7 8 8
ii 2.6 Den Densid sidade ade de Flu Fluxo xo Ma Magné gnétic ticoo . . . . . . . . 2.77 Fl 2. Flux uxoo Ma Magn gnét étic icoo . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Lei de Gaus Gausss para para Campo Camposs Magné Magnétic ticos os . . . . 2.9 Equ Equaçõe açõess de Maxw Maxwell ell para para Campo Camposs Estáti Estáticos cos 2.10 Força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Momento de Dipolo . . . . . . . . . . . . . . 2.12 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.13 Condições de Fronteira . . . . . . . . . . . . . 2.14 Indutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.15 Indutância Mútua . . . . . . . . . . . . . . . 2.16 Energia Magnetostática . . . . . . . . . . . . 2.17 Circuitos Magnéticos . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
3 Ca Campo mposs Di Dinâ nâmi mico coss
3.1 3.2 3.3 3.44 3. 3.55 3.
Equação da Con Equação Contin tinuida uidade de da Corre Corrent ntee . . . . . . Variaç ariação ão da Densi Densidade dade de Carga Carga com com o Tempo Tempo . Tempo de Rel Relaxa axação ção . . . . . . . . . . . . . . . . Leii de Far Le arad adaay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dens De nsid idad adee de Co Corr rren ente te de Di Dispe spersã rsãoo (D (Des esloc locaamento) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Equ Equaçõe açõess de de Maxw Maxwell ell (ge (gerai rais) s) . . . . . . . . . . . 3.7 Rep Repres resen entaç tações ões de de Campo Campo Harm Harmôni ônico co . . . . . . 3.8 Equaç Equações ões de Maxw Maxwell ell na na Forma Forma Fasori asorial al (difere (diferenncial) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Rel Relaçõe açõess Co Const nstitu itutiv tivas as . . . . . . . . . . . . . . . 3.10 Equações Fundamentais do Eletromagnetismo . .
9 9 9 9 10 10 11 11 11 11 12 12 12
12 13 13 13 14 14 15 15 16 16
iii 4 On Onda dass Pl Plan anas as
4.1 Equaçõe Equaçõess de de Onda Onda de Hel Helmho mholtz ltz . . . . . . . . 4.2 Relaç Relação ão ent entre re Ondas Ondas Propag Propagan antes tes (em (em fasore fasores) s) 4.3 Const Constan antes tes e Impedâ Impedância ncia In Intríns trínseca eca . . . . . . . 4.3. 4. 3.11 Ca Caso so ge gera rall . . . . . . . . . . . . . . . . . σ 4.3.2 4.3 .2 Die Dielét létric ricos os com bai baixas xas perd perdas as ( ω 1) σ 4.3. 4. 3.33 Bo Bons ns co cond ndut utor ores es ( ω 1) . . . . . . . . 4.4 Veloc elocida idade de de Pro Propag pagaçã açãoo . . . . . . . . . . . . 4.5 Com Compri primen mento to de On Onda da . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Pe Permi rmissi ssivid vidade ade Com Comple plexa xa . . . . . . . . . . . . 4.7 Con Condut dutivi ividad dadee Efe Efetiv tivaa . . . . . . . . . . . . . . 4.8 Tang angen ente te de Pe Perda rdass . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Efe Efeito ito Pe Pelic licula ularr (em (em bons cond conduto utores res)) . . . . . 4.10 Teorema de Poynting Poynting . . . . . . . . . . . . . . . 4.11 Vetor de Poynting Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . 4.12 Pot Potênci ênciaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.13 Incidência de Um Meio para Outro . . . . . . . 4.13.11 Cara 4.13. Caracterí cterística sticass da Incidência Incidência Normal Normal . . 4.13.22 Cara 4.13. Caracterí cterística sticass da Incid Incidência ência Oblíqua Oblíqua .
16
. 16 . 17 . 18 . 18 . 18 . 19 . 19 . 19 . 19 . 19 . 20 . 20 . 20 . 20 . 21 . 21 . 21 . 22
5 Lin Linhas has de Tran Transmi smissã ssão o
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.66 5. 5.7 5.8
Parâmetr Parâm etros os Dis Distri tribuí buídos dos . . . . . . . . . . . . . . Equaçõe Equ açõess Gerais Gerais de de Linha Linha de Tran Transmi smissã ssãoo . . . . Equaçõe Equ açõess de Onda Onda Harm Harmôni ônicas cas no no Tem Tempo po . . . . Constan Const antes tes de Propa Propagaçã gação, o, Aten Atenuaçã uaçãoo e de Fase Fase Impedân Impe dância cia Car Caract acterí erísti stica ca . . . . . . . . . . . . . Pot otên ênci ciaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coeficie Coefi cient ntee de Refl Reflexã exãoo . . . . . . . . . . . . . . . Taxa de Onda Onda Estac Estacionár ionária ia de Tensão . . . . . .
23
23 24 24 25 25 25 26 26
iv 5.9 Impedância de Entrada . . . . . . . . . . . . . .
26
A Definições Gerais
27
B Constantes
30
C Conversões
30
D Propriedades de Alguns Materiais
31
E Elementos Diferenciais
33
F Transformação entre Sistemas de Coordenadas
37
G Derivadas Mais Comuns
38
H Integrais Indefinidas Mais Comuns
41
I
43
Produção
J Licença
43
K Onde Adquirir Este Material
45
Referências
45
1
Apresentação
Formulário de Eletromagnetismo I com notações conforme Wentworth [2007]. Se encontrar algum erro ou tiver alguma sugestão, acesse: http://code.google.com/p/lalfrecom/issues/list e clique em New issue (é necessário ter conta no Google).
2
1
Eletrostática
1.1
Lei de Coulomb 12 = Q1 Q2 F 2 a12 4πR12
1.2 •
Campo Elétrico Caso geral: 12 F E 1 = Q2 = Q E aR 4πR2
•
(2) (3)
de distribuição contínua de cargas: = E
ˆ
dQ aR 4πR2
•
de uma carga pontual na origem:
•
Q ar 2 4πr de uma linha infinita em z carregada com ρL : = ρL aρ E 2πρ = E
•
(1)
(4)
(5)
(6)
de uma lâmina infinita carregada com ρS : = ρS E aN 2
(7)
3
1.3
Densidade de Fluxo Elétrico = E D
1.4 •
Fluxo Elétrico Que atravessa uma superfície: Ψ=
•
ˆ
D d S
˛
D d S
D d S=
•
·
(10)
·
ˆ
∇ · Ddv
(11)
Lei de Gauss Forma integral:
˛ D · dS ˛
= Qenv = Ψresultante
·
ˆ
(12)
ρv dv
(13)
∇ · D = ρv
(14)
D dS =
•
(9)
Teorema da Divergência
˛ 1.6
·
que atravessa uma superfície fechada: Ψ=
1.5
(8)
forma diferencial:
4
1.7 •
Pontencial Elétrico Diferença de potencial elétrico: b
V ba = •
−
ˆ
d E L = V b
a
ˆ dQ
4πr
1.9
(16)
−∇V
(17)
Densidade de Corrente = σ E J
(18)
ˆ
(19)
Corrente I =
1.10
(15)
campo elétrico a partir de função potencial: = E
1.8
− V a
potencial com referência no infinito: V =
•
·
J d S
·
Resistência
´ E · d L − R = ´ · d σ E S
(20)
5
1.11
Lei de Joule P =
1.12 •
·
−
T 1 = E T 2 E 2 ) = ρs D
(22) (23)
entre par de dielétricos, se ρs = 0: T 1 E N 1 D
T 2 = E N 2 = D
(24) (25)
entre condutor e dielétrico: T = 0 E N = ρs D
1.13
(21)
Entre par de dielétricos:
·
•
dv E J
Condições de Fronteira
1 a21 (D •
ˆ
(26) (27)
Equação de Poisson
∇2V = − ρv
(28)
6
1.14
1.15
Equação de Laplace
∇2V = 0
(29)
dQ dV
(30)
Capacitância Definição geral:
•
C =
para capacitor de placas paralelas, desprezando-se efeitos de borda:
•
C =
1.16
2.1
(31)
Energia Potencial Eletrostática 1 W E = 2
2
S d
dv = 1 D E 2
ˆ
·
ˆ
E 2 dv =
1 CV 2 2
(32)
Magnetostática Analogia entre campo eletrostático e magnetostático
Vide Tabela 1.
7
Tabela 1: Analogia entre campo eletrostático e magnetostático. Campos elétricos (V/m) E (C/m2 ) D Ψ (C) (F/m) = E D = ρv D = 0 E d Ψ= D S = QE (N) F E dv (J) W E = 12 D
∇· ∇ × ´
·
´
2.2
·
Campos magnéticos (A/m) H (Wb/m2 ) B Φ (Wb) µ (H/m) = µH B = 0 B = J H d Φ= B S = Qu B (N) F H dv (J) W M = 12 B
∇· ∇ × ´
· ×´
·
Lei de Biot-Savart I d L1 a12 dH 2 = 2 4πR12
×
2.3 •
Campo Magnético Resultante Em termos de elementos diferenciais: = H
•
(33)
ˆ I d L × a
R
4πR 2
(34)
em termos de densidade de corrente superficial: = H
ˆ K dS × a
R
4πR 2
(35)
8 •
em termos de densidade de corrente volumétrica: = H
•
ˆ J dv × a
R
4πR 2
devido a linha infinita de corrente: aφ = I H 2πρ
•
×
•
2.5
(39)
Lei Circuital de Ampère Forma integral:
˛ •
(38)
devido a uma lâmina infinita de corrente: = 1 K H aN 2
2.4
(37)
devido a um solenóide: = NI H az h
•
(36)
H d L = I env
(40)
∇ × H = J
(41)
·
forma diferencial:
Teorema de Stokes
˛
H d L=
·
ˆ
∇ × H ) · d S
(
(42)
9
2.6
Densidade de Fluxo Magnético = µH B
2.7 •
Fluxo Magnético Que atravessa uma superfície:
Φ= •
ˆ
B d S
·
(44)
que atravessa uma superfície fechada:
˛
B d S=0
2.8
(43)
·
(45)
Lei de Gauss para Campos Magnéticos
Vide (45).
2.9 •
Equações de Maxwell para Campos Estáticos Forma integral:
10
˛ D · dS ˛ B · dS ˛ E · dL ˛
= Qenv = 0 = 0
H dL = I env
·
•
forma diferencial:
∇ · D ∇ · B ∇ × E ∇ × H 2.10 •
= = = =
Força Força de Lorentz: = q (E + u F
•
× B)
(46)
força de campo magnético sobre linha de corrente: 12 = F
2.11
ρv 0 0 J
ˆ
I 2 d L2
× B 1
(47)
Momento de Dipolo m = NIS aN
(48)
11
2.12
Torque τ = m
2.13
× B
(49)
Condições de Fronteira N = B N B 2 ) = K H 1
a21
2.14 •
× (H 1 −
Definição geral: λ Φtot = N I I
(52)
para uma bobina com núcleo: µN 2 πa2 L= h
•
(53)
para um cabo coaxial: L µ b = ln h 2π a
2.15
(50) (51)
Indutância
L= •
2
(54)
Indutância Mútua M 12 =
ˆ N
λ12 2 = I 1 I 1
B1 d S2
·
(55)
12
2.16
Energia Magnetostática 1 W M = 2
2.17 •
dv = 1 LI 2 B H 2
ˆ
·
Circuitos Magnéticos Analogia entre circuitos elétricos e magnéticos: vide Tabela 2
Tabela 2: Analogia entre circuitos elétricos e magnéticos. Circuitos elétricos Circuitos magnéticos Força eletromotriz (V) Corrente (A) Resistência (Ω) Condutividade (S/m) Lei de Ohm
3 3.1
V I R σ V = RI
V
m
Φ
µ V = Φ m
Força magnetomotriz (Aesp) Fluxo magnético (Wb) Relutância (Aesp/Wb) Permeabilidade (Hm) Lei de Ohm para circ. mag.
Campos Dinâmicos Equação da Continuidade da Corrente
∇ · J = − ∂ρ∂tv
(56)
13
3.2
Variação da Densidade de Carga com o Tempo ρv
3.3
= ρ0 e−t/τ
Tempo de Relaxação σ
(58)
− ∂λ ∂t
(59)
τ =
3.4 •
Lei de Faraday Forma geral: V fem =
•
para circuito de uma única espira: V fem =
•
˛
E d L=
·
−
∂ Φ = ∂t
−
∂ ∂t
ˆ
B d S
·
(60)
forma diferencial:
∇× •
(57)
= E
−
∂ B ∂t
(61)
para circuito com movimento e campo magnético constante: V fem =
˛
(u
· d L × B)
(62)
14
3.5
Densidade de Corrente de Dispersão (Deslocamento) ∂ D J d = ∂t
3.6 •
Equações de Maxwell (gerais) Forma integral:
˛ D · dS ˛ B · dS ˛ E · dL ˛
= Qenv
(64)
= 0
(65)
=
H dL =
·
•
(63)
−
∂ ∂t
ˆ
B d S
∂ J d S+ ∂t
ˆ
·
(66)
·
ˆ
D d S
·
(67)
forma diferencial:
∇ · D ∇ · B ∇ × E ∇×
= ρv = 0
∂ B = ∂t ∂ D H = J c + ∂t
−
(68) (69) (70) (71)
15
3.7 •
Representações de Campo Harmônico No domínio do tempo: (x,y,z,t) = E (x,y,z) cos(ωt + φ) E (x,y,z,t) = H (x,y,z)cos(ωt + φ) H
•
no domínio da freqüência: s E s H
•
(x,y,z)ejφ = E (x,y,z)ejφ = H
(74) (75)
conversão do domínio da freqüência para o domínio do tempo: (x,y,z,t) = Re[E s ejω t ] E (x,y,z,t) = Re[H s ejω t ] H
3.8
(72) (73)
(76) (77)
Equações de Maxwell na Forma Fasorial (diferencial)
∇ · D s ∇ · B s ∇ × E s ∇ × H s
= ρvs = 0 =
− jωB s
s + jω D s = J
(78) (79) (80) (81)
16
3.9
Relações Constitutivas = E D = µH B = σ E J
3.10
Equações Fundamentais do Eletromagnetismo
São dadas por: •
Equações de Maxwell – Lei de Gauss ( na página 3) – Lei de Gauss para Campos Magnéticos ( na página 9) – Lei de Faraday ( na página 13) – Lei Circuital de Ampère ( na página 8)
•
Equação da Força de Lorentz
•
Equação da Continuidade da Corrente
•
Relações Constitutivas
4
Ondas Planas
4.1 •
Equações de Onda de Helmholtz No domínio do tempo:
17 ∂ E ∂ 2 E E = µσ + µ 2 ∂t ∂t ∂ H ∂ 2 H 2 H = µσ + µ 2 ∂t ∂t
∇
2
∇ •
= 0 = 0
(84) (85)
solução das equações de onda de Helmholtz, para caso geral: (z, t) = E + e−αz cos(ωt βz) E ax 0 +E 0− eαz cos(ωt + βz) ax (z, t) = H + e−αz cos(ωt βz) H ay
−
−
0
+H 0− eαz cos(ωt + βz) ay
4.2
(83)
no domínio da freqüência (campos harmônicos):
∇2E s − γ 2E s ∇2H s − γ 2H s •
(82)
(86) (87) (88) (89)
Relação entre Ondas Propagantes (em fasores) s H
=
s E
=
1 aρ η
× E s −η aρ × H s
(90) (91)
18
4.3 4.3.1 •
Constantes e Impedância Intrínseca Caso geral
Constante de propagação: γ =
•
− jωµ(σ + jω) = α + jβ
constante de atenuação: µ 2
α=ω •
2
1
µ 2
σ 1+ ω
(93)
2
+1
(94)
impedância intrínseca:
jωµ σ + jω
η=
4.3.2
σ ω
1+
constante de fase: β = ω
•
(92)
σ Dielétricos com baixas perdas ( ω
α β η
≈ ≈ ≈
√
σ µ 2 ω µ µ
(95)
1) (96) (97) (98)
19 4.3.3
σ Bons condutores ( ω
α β η
4.4
≈ ≈ ≈
1)
(99) (100)
πfµσ πfµσ ωµ j 45 e σ
°
2 ej 45 σ
°
(101)
Velocidade de Propagação u p =
4.5
≈
√ α
ω β
(102)
Comprimento de Onda λ=
u p f
(103)
Nota: não confundir o símbolo λ do comprimento de onda com o do fluxo concatenado na subseção 2.14, pois referem-se a grandezas distintas.
4.6
4.7
Permissividade Complexa c = − j
(104)
Condutividade Efetiva σef = σ + ω
(105)
20
4.8
Tangente de Perdas σ + ω σef tg δ = = ω ω
(106)
Nota: não confundir o símbolo δ da tangente de perdas com o da profundidade pelicular na subseção 4.9 , pois referem-se a grandezas distintas.
4.9
Efeito Pelicular (em bons condutores) Profundidade pelicular:
•
1 α
δ =
(107)
resistência pelicular:
•
R pelicular =
1 σδ 1
4.10
Teorema de Poynting
˛
ˆ
E
× H · d S = −
4.11
J E dv
·
(108)
−
−
∂ ∂t
e−t/δ
ˆ 1 2
E 2 dv
−
∂ ∂t
ˆ 1 2
µH 2 dv
(109)
Vetor de Poynting = E P
× H
(110)
21
4.12 •
Potência Potência média temporal: ave = 1 Re[E s P 2
•
(111)
quantidade de potência que atravessa uma superfície: P =
4.13
ˆ
P ave d S
(112)
·
Incidência de Um Meio para Outro
4.13.1 •
× H s ∗]
Características da Incidência Normal
Coeficiente de reflexão: E 0r η2 η1 Γ= i = η2 + η1 E 0
−
•
(113)
coeficiente de transmissão: E 0t 2η2 τ = i = η2 + η1 E 0
•
(114)
relação entre os coeficientes de reflexão e transmissão: (115)
τ = 1 + Γ •
taxa de onda estacionária (ROE, COE, TOE, VSWR): ROE =
E max V max 1+ Γ = = E min V min 1 Γ
|| −| |
(116)
22 4.13.2 •
Características da Incidência Oblíqua
Coeficiente de reflexão: ΓT E =
E 0r η2 cos θi η1 cos θt = η2 cos θi + η1 cos θt E 0i
−
E 0r η2 cos θt η1 cos θi ΓT M = i = η2 cos θt + η1 cos θi E 0
−
•
E 0t 2η2 cos θi = η2 cos θi + η1 cos θt E 0i
2η2 cos θt E 0t τ T M = i = η2 cos θt + η1 cos θi E 0
(119) (120)
Leis de Snell da reflexão e da refração: θi β 1 β 2
•
(118)
coefiente de transmissão: τ T E =
•
(117)
= θr sen θt = sen θi
(121) (122)
ângulo de Brewster para polarização TM: sen θBA =
β 22 (η22 η12 ) η22 β 12 η12 β 22
− −
(123)
23
5
Linhas de Transmissão
5.1 •
•
Parâmetros Distribuídos Para cabos coaxiais:
R
=
L
=
G
=
C
=
1 1 1 + 2π a b µ b ln 2π a 2πσd ln(b/a) 2π ln(b/a)
πf µ σc
(124) (125) (126) (127)
para cabos de condutores gêmeos:
R
=
L
=
G
=
C
=
1 fµ a σc µ d cosh−1 π 2a πσd cosh−1 (d/2a) π cosh−1 (d/2a)
(128) (129) (130) (131)
24
5.2 •
Equações Gerais de Linha de Transmissão No domínio do tempo: t) − ∂v(z, ∂z t) − ∂i(z, ∂z
•
•
(132) (133)
no domínio da freqüência (para ondas harmônicas): dV s (z) dz dI s (z) dz
5.3
∂i(z, t) ∂t ∂v(z, t) = v(z, t)G + C ∂t = i(z, t)R + L
−(R + jωL)I s (z) −(G + jωC )V s(z)
= =
(134) (135)
Equações de Onda Harmônicas no Tempo No domínio do tempo:
v(z, t) = V 0+ e−αz cos(ωt βz) + V 0− e+αz cos(ωt + βz)(136) i(z, t) = I 0+ e−αz cos(ωt βz) + I 0− e+αz cos(ωt + βz) (137)
− −
•
no domínio da freqüência: V s (z) = V 0+ e−γz + V 0− e+γz I s (z) = I 0+ e−γz + I 0− e+γz
(138) (139)
25 ou V s (z) = V 0+ e−αz e−jβ z + V 0− e+αz e+jβ z I s (z) = I 0+ e−αz e−jβ z + I 0− e+αz e+jβ z
5.4
5.5
Constantes de Propagação, Atenuação e de Fase γ = (R + jωL )(G + jωC ) = α + jβ (142)
Impedância Característica V 0+ V 0− R + jωL Z 0 = + = − − = G + jωC I I 0
5.6 •
(143)
Potência Potência média em linha sem perdas: (V 0+ )2 = 2Z 0
(144)
ganho de potência: G(dB) = 10 log
•
0
+ P ave (z)
•
(140) (141)
P out P in
(145)
relação entre decibéis e neper: 1Np = 8, 686dB
(146)
26
5.7 •
Coeficiente de Reflexão Na carga: V 0− Z L Z 0 ΓL = + = Z L + Z 0 V 0
−
•
em qualquer ponto: V 0− e+γz Γ = + −γz = ΓL e+2γz V 0 e
•
•
1 + ΓL 1 ΓL
| | −| |
(150)
Impedância de Entrada Para o caso geral: Z in = Z 0
•
(149)
Taxa de Onda Estacionária de Tensão ROTE =
5.9
(148)
exemplo → Γ em z = −: Γ = ΓL e−2γ
5.8
(147)
Z L + Z 0 tgh(γ) Z 0 + Z L tgh(γ)
(151)
para linha sem perdas: Z in = Z 0
Z L + jZ 0 tg (β) Z 0 + jZ L tg (β)
(152)
27
A
Definições Gerais •
Vetores em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas: cart A cil A
= Ax ax + Ay ay + Az az = Aρ aρ + Aθ aθ + Az az
esf = Ar A ar + Aθ aθ + Aφ aφ •
produto Escalar (em coordenadas cartesianas):
B = A B cos θAB = Ax Bx + Ay By + Az Bz A •
operador Nabla:
∂ ∂ ∂ ∇ = ∂x ax + ay + az ∂y ∂z •
divergência: – coordenadas cartesianas
∇·
= ∂A x + ∂Ay + ∂Az A ∂x ∂y ∂z
– coordenadas cilíndricas ∂Az φ + ∇ · A = ρ1 ∂ρ∂ (ρAρ ) + 1ρ ∂A ∂φ ∂z
28 – coordenadas esféricas 1 ∂ 1 ∂Aφ (Aθ sen θ) + ∇ · A = r12 ∂r∂ (r2Ar ) + rsen θ ∂θ rsen θ ∂ φ •
gradiente: – coordenadas cartesianas ∂V ∂V ∇V = ∂V ax + ay + az ∂x ∂y ∂z – coordenadas cilíndricas 1 ∂V ∂V ∇V = ∂V aρ + aφ + az ∂ρ ρ ∂φ ∂z – coordenadas esféricas 1 ∂V 1 ∂V ar + aθ + aφ ∇V = ∂V ∂r r ∂θ rsen θ ∂φ
•
rotacional: – coordenadas cartesianas
∇ × A =
ax ∂ ∂x
Ax
∂Az ∂y
−
ay ∂ ∂y
Ay ∂Ay ∂z
az ∂ ∂z
=
Az
ax +
∂A x ∂z
−
∂Az ∂x
ay +
∂Ay ∂x
−
∂Ax az ∂y
29 – coordenadas cilíndricas
∇ × A = 1 ∂A z ∂Aφ − ρ ∂φ ∂z
∂ρ aρ + ∂z
−
∂Az 1 ∂ (ρAφ ) aφ + ∂ρ ρ ∂ρ
– coordenadas esféricas
∇ × A =
1 ∂ (sen θAφ ) ∂A θ ar + rsen θ ∂θ ∂φ 1 1 ∂Ar ∂ (rAφ ) aθ + r sen θ ∂φ ∂r 1 ∂ (rAθ ) ∂ (Ar ) aφ r ∂r ∂θ
•
−
−
−
laplaciano: – coordenadas cartesianas 2
∇
∂ 2 V ∂ 2 V ∂ 2 V V = + + ∂x2 ∂y2 ∂z 2
– coordenadas cilíndricas 1 ∂ 2 V = ρ ∂ρ
∇
∂V ρ ∂ρ
1 ∂ 2 V ∂ 2 V + 2 + ρ ∂φ2 ∂z 2
−
∂Aρ az ∂φ
30 – coordenadas esféricas
∇2V = 1 ∂ r2 ∂r
B
∂V r2 ∂r
1 ∂ + 2 r sen θ ∂θ
∂V sen θ ∂θ
1 ∂ 2 V + 2 r sen 2 θ ∂φ2
Constantes
A Tabela 3 contém constantes físicas de interesse em Eletromagnetismo. Tabela 3: Constantes físicas. Constante Valor Unidade 0 µ0 η0 q c g h k N A
C
× × ≈ − × × × × ×
−9
≈ 1036π
8.854 10−12 4π 10−7 120π 377 1.602 10−19 2.998 108 9.78 6.63 10−34 1.38 10−23 6.02 1023
Conversões 1 Np = 8.686 dB
F/m H/m Ω C m/s m/s2 Js J/K
·
átomos/mol
31
D
Propriedades de Alguns Materiais
Nas tabelas 4, 5, 6 e 7, listam-se propriedades de alguns materiais.
Tabela 4: Condutividade aproximada de alguns materiais (notese que esta condutividade depende de impurezas, umidade e temperatura). Material σ(Sm) Alumínio 3.8 × 107 Carbono 3 × 104 Cobre 5.8 × 107 Ouro 4.1 × 107 Grafite 7 × 107 Ferro 1 × 107 Chumbo 5 × 106 Nicrômio 1 × 106 Níquel 1.5 × 107 Prata 6.2 × 107 Solda 7 × 106 Aço inoxidável 1.1 × 106 Estanho 8.8 × 106 Tungstênio 1.8 × 107
32
Tabela 5: Propriedades para alguns dielétricos (note-se que para condutores, normalmente, r = 1). Dielétrico r E br (Vm) tg δ em 1MHz σ(Sm) Ar 1.0005 3 × 106 0 0 ≈ ≈ ≈ 10−−1512 Vidro 10 30 × 106 0.004 Gelo 4.2 0.12 10 Mica 5.4 200 × 106 0.0003 Silício (puro) 11.8 —4.4 × 10−4 Solo (seco) 3–4 0.017 2 × 10−3 Teflon 2.1 60 × 106 10−15 < 0.0002 Água (destilada) 81 0.04 10−4 Água do mar 72 0.9 5
Tabela 6: Permeabilidade relativa para alguns materiais ferromagnéticos (note-se que a permeabilidade dependerá fortemente da pureza dos materiais; ainda, lembra-se que a curva B × H não é linear na grande maioria dos materiais ferromagnéticos). Material µr Cobalto 250 Níquel 600 Ferro silício 3500 Ferro 5000 Mumetal 105 “Supermalloy” 106
33
Tabela 7: Condutividade e permissividade complexa de alguns materiais. Material σ(Sm) r r Cobre 5.8 × 107 1 0 Água do mar 5 72 12 Vidro 10−12 10 0.010
E
Elementos Diferenciais
Nota: deve-se tomar muito cuidado e cautela ao se usar as relações seguintes; um esboço do elemento diferencial, conforme os eixos adotados para o problema, é altamente recomendado. •
Linha – coordenadas cartesianas d L1 d L2 d L3 d L4 d L5 d L6
= dx ax = dy ay = dz az = d L1 = = d L2 = = d L3 =
− − −
−dx ax −dy ay −dz az
34 – coordenadas cilíndricas
d L1 d L2
= dρ aρ
d L3 d L4 d L5
= dz az = d L1 = = d L2 =
d L6
=
= ρ dφ aφ
− −dρ aρ − −ρ dφ aφ −d L3 = −dz az
– coordenadas esféricas
d L1 d L2 d L3 d L4 d L5 d L6
= dr ar = r dθ aθ = r sen θ dφ aφ = d L1 = dr ar = d L2 = r dθ aθ = d L3 = r sen θ dφ aφ
− − −
− − −
35 •
área – coordenadas cartesianas
d S1 d S2 d S3 d S4 d S5 d S6
= dy dz ax = dx dz ay = dx dy az = d S1 = = d S2 = = d S3 =
− − −
−dy dz ax −dx dz ay −dx dy az
– coordenadas cilíndricas
d S1 d S2
= ρ dφ dz aρ
d S3 d S4 d S5
= ρ dρ dφ az = d S1 = ρ dφdz aρ = d S2 = dρ dz aφ = d S3 = ρ dρ dφ az
d S6
= dρ dz aφ
− − −
− − −
36 – coordenadas esféricas d S1 d S2 d S3 d S4 d S5 d S6 •
= r 2 sen θ dφ dθ ar = r sen θ dr dφ aθ = r dr dφ aφ = d S1 = r2 sen θ dφ dθ ar = d S2 = r sen θ dr dφ aθ = d S3 = r dr dφ aφ
− − −
− − −
volume – coordenadas cartesianas dv = dx dy dz – coordenadas cilíndricas dv = ρ dρ dφ dz – coordenadas esféricas dv = r 2 sen θ dr dθ dφ
37
F
Transformação entre Sistemas de Coordenadas •
Cartesianas para cilíndricas P (x,y,z)
→
P (ρ,φ,z)
x² + y² y φ = arctg x z = z ρ =
•
cilíndricas para cartesianas P (ρ,φ,z)
⇒
P (x,y,z)
x = ρ cos φ y = ρ sen φ z = z •
cartesianas para esféricas P (x,y,z)
→
P (r,θ,φ)
x² + y ² + z ² z θ = arccos r y φ = arctg x r
=
38 •
esféricas para cartesianas P (r,θ,φ)
→
P (x,y,z)
x = r sen θ cos φ y = r sen θ sen φ z = r cos θ
G
Derivadas Mais Comuns
Dadas as funções u = f (x) e v = g(x) e as constantes a, c, m e n, a derivada de y, y , é apresentada na Tabela 8. Na Tabela 9 têm-se as derivadas quando y for uma função hiperbólica. Nota: para obter as derivadas das funções elementares, basta fazer u = x e u = 1. Por exemplo:
y=
√ u ⇒ n
y=
√ x ⇒
y =
1 √ 2 x
39
Tabela 8: Tabela de derivadas de funções comuns. Função y=c y=x y=u v y = uv y = cu y = uv y = vc y = uv y = um y= u y = au y = eu y = loga u y = ln u y = sen u y = cos u y = tg u y = cot u y = sec u y = cossec u y = arcsen u
±
√ n
Derivada y = 0 y = 1 y = u v y = u v + uv y = cu y = u vv−uv y = cvv y = v uv −1 u + uv ln u v y = m um−1 u y = n √ uu y = au u ln a y = u eu y = u·uln a = uu loga e y = uu y = u cos u y = u sen u y = u sec ²u y = u cossec ²u y = u sec u tg u y = u cossec u cot u y = √ 1u−u
Condição c R
∈
±
c
∈R
²
− ·
²
·
·
n
·
·
n−1
· · ·
· − · · − · · · − ·
²
y = arccos u y = − √ 1u−u y = arctg u y = 1+uu y = arccotg u y = − 1+uu y = arcsec u y = u·√ uu −1 y = arccossec u y = − u·√ uu −1 ²
²
²
²
²
·
·
c R u>0 m R n N∗ 1 a R, 0 < a = 1
∈ ∈ ∈ −{ } ∈ a ∈ R, 0 < a =1
40
Tabela 9: Tabela de derivadas de funções hiperbólicas. Função y = sinh u y = cosh u y = tgh u y = sech u y = cossech u y = cotg u y = arg sinh u
Derivada y = u cosh u y = u sinh u y = u sech ²u y = u sech u tgh u y = u cossech u cotg u y = u cossech 2 u u y = √ 1+ u
· · ·
− · − · − ·
·
Condição
·
²
y = arg cosh u y = √ uu −1 y = arg tgh u y = 1−uu y = arg sech u y = − u√ u1−u y = arg cossech u y = − |u|√ u1+u y = arg cotg u y = 1−uu ²
²
²
²
²
u>1
|u| < 1
0
|u| > 1
41
H
Integrais Indefinidas Mais Comuns
Dadas as funções u = f (x) e v = g(x), as constantes a, c, m, n e a constante de integração C, apresentam-se as integrais de diversas funções na Tabela 10. Nota: para obter as integrais das funções elementares, basta fazer u = x e du = dx, como, por exemplo:
ˆ du
⇒
u
ˆ dx x
= ln x + C
||
ou, então, definir u e encontrar du, fazendo os devidos ajustes para não alterar a expressão original, como no exemplo:
ˆ
sen (2x) dx u = 2x du =2 dx
∴
∴
ˆ
ˆ
sen u du =
sen (2x) dx =
⇒
du = 2 dx
ˆ 2sen(2x) dx ˆ 1 2
sen u du =
·
− 12 cos(u) = − 12 cos(2x)
42
Tabela 10: Tabela de integrais indefinidas (notar que as duas últimas equações não foram generalizadas, para simplificar).
ˆ ˆ udv = uv − vdu ˆ 1 u du = u +C n+1 ˆ du = ln |u| + C u ˆ e du = e + C ˆ 1 a du = a +C ln a ˆ sen u du = − cos u + C ˆ cos u du = sen u + C ˆ du √ u + a = ln u + u + a + C ˆ du u = √ +C a u + a ˆ (u du+ a ) 1 u = arctg + C u +a a a ˆ e e cosbx dx = (a cos bx + b sen bx) + C a +b ˆ e n
n+1
u
u
u
u
2
²
2
2
²
2 3/ 2
2
2
ax
2
e
2
2
ax
ax
2
2
ax
cos(c + bx)dx =
a2 + b2
[a sen (c + bx)
− b cos(c + bx)] + C
43
I
Produção
Autor: Prof. Marcelo Porto Trevizan1 Editor: Prof. Marcelo Porto Trevizan Revisores: Prof. Arnaldo Megrich2 , Prof. Marcelo Porto Tre-
vizan Livro de Referência: Wentworth [2007]
J
Licença
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