Lista 1 – Mecânica Mecânica Estatística I – 2017.1 2017.1 – Dinter Dinter em Física IFCE/UFRN Aluno: Marcus Vinícius Pinheiro Lopes Professores: George Frederick e Hygor Piaget Questão 1: Considere a energia interna de um sistema dada como função dos parâmetros extensivos S, V e N. Encontre as equações de estado para esse sistema. Solução:
Sabe-se que a energia interna (dU) de um sistema pode ser escrita em função dos parâmetros extensivos na forma diferencial como: dU Td TdS PdV dN dQ
dWmecânico
(1)
dW químico
Podemos escrever a energia interna em termos t ermos dos parâmetros extensivos S,V e N em termos de diferenciais parciais. Assim obtém-se:
U U U dS dV dN S V , N V S ,N N V ,S
dU
(2)
Relacionando as equações (1) e (2) são obtidas as equações de estado para o sistema:
U T S V , N U V P S , N U N V , S
(3)
(4)
(5)
Questão 2: Encontre as três equações de estado para um sistema que tenha a energia interna dada por,
V S U 0 2 R NV 3
Considere V0 , e R constantes. Solução:
Neste exercício as equações de estado obtidas na questão 1 devem ser utilizadas para encontrar as relações para T, P e µ. Dessa forma tem-se que: 2 V0 S 3 U 3V 0 S Temperatura: T T S R 2 NV T R 2 NV S V , N
V0 S 3V 1 V 0 S 3 U Pressão: P P R 2 N P R 2 NV 2 V V S , N
1
(6)
(7)
U Potencial Químico: N N V ,S
V0 S 3 N 1 V 0 S 3 R 2 V R 2 N 2V
(8)
Questão 3: Considere um sistema descrito pela entalpia H = H (S, P, N). Mostre que: H T S H V P H N
onde µ é o potencial químico. Obtenha as relações de Maxweel pa partir da Entalpia. Solução:
Na representação de entalpia sabe-se que:
H (S , P, N ) U PV
(9)
dH dU PdV VdP
(10)
Assim:
Substituindo a Equação (1) em (10) temos que:
dH TdS PdV dN PdV VdP dH TdS dN VdP
(11)
Assim, em termos de derivações parciais temos que:
H H H dS dN dP S N P P , N S ,P S ,N
dH
(12)
Comparando as Equações (11) e (12) temos que:
H S P , N H N S , P H V P S , N T
(13)
(14)
(15)
Para deduzir as equações de Maxwell temos que fazer as derivadas cruzadas e analisar os pares possíveis encontrados. Deve-se usar a consideração de que em uma função de várias variáveis é possível escrever que:
2
f xy f yx
f ( x, y ) f (x , y ) x y y x
(16)
Assim, tem-se que:
T N S ,P S P ,N
T V P S , N S P ,N
V P S , N N S ,P
(17)
(18)
(19)
As Equações (17), (18) e (19) são as três relações de Maxwell na representação de Entalpia. Questão 4: Uma substância possui as seguintes propriedades: (i) Em uma temperatura constante T 0, o trabalho realizado pela expansão do volume V 0 para o volume V é:
V V 0
W RT 0 ln (ii) A entropia é dada por
SR
V T
V0 T 0
onde T0, V0 e α são constantes fixas. (a) Determine a expressão para a energia livre de Helmholtz. (b) Encontre a outra equação de estado. (c) Encontre o trabalho feito a uma temperatura constante T. Solução: (a)
Para a energia livre de Helmholtz (F) temos a seguinte relação:
F (T , V , N ) U TS
(20)
Usando a abordagem diferencial e a Equação (1) tem-se que:
dF dU TdS SdT dF TdS PdV dN TdS SdT dF PdV dN SdT Assim, em termos de derivações parciais temos que: 3
(21)
F F F dV dN dT V N T T , N P ,T V ,N
dF
(22)
Neste problema não serão consideradas variações no número de moléculas ( N ) do gás, portanto o termo devido ao trabalho químico poderá ser considerado nulo. Assim podemos reescrever a Equação (22) como:
F F dV dT V T T V
dF
(23)
Assim, comparando as Equações (21) e (23) obtemos as equações de estados na representação de energia livre de Helmholtz:
F V T F S T V
P
(24)
(25)
Note que a equação de estado S foi fornecida. Supõe-se então que a função F seja dependente de T e V. Assim podemos escrever o seguinte:
V T F (T ,V ) F (T ,V ) SdT F (T ,V ) R dT S T V T V 0 0
F (T ,V ) F (T ,V )
RV 0 0
V T
RV V T ( 1) 0 0
T dT T 1 F (V )
(26)
Para um processo em que a temperatura é constante ( T=T 0) pode-se notar da Equação (23) que:
V RV F 1 dV dF dW F W T0 F (V ) RT0 ln V0T0 ( 1) V T V0
dF
V V RVT 0 F (V ) RT0 ln F (V ) RT 0 ln V0 ( 1) V V V ( 1) 0 0 0 V V 1 F (V ) RT 0 ln V V ( 1) 0 0 RVT0
Assim, substituindo (27) em (26) obtêm-se que:
4
(27)
V V 1 V0T0 ( 1) V V ( 1) 0 0 V V RT 0 RV 1 F (T ,V ) RT0 ln T V V T ( 1) V ( 1) 0 0 0 0
F (T ,V )
RV
T 1 RT 0 ln
V V T V R R F (T ,V ) RT0 ln T T 0 V V T ( 1) V ( 1) 0 0 0 0 V V R T T T 0 F (T ,V ) RT0 ln V V ( 1) T 0 0 0 V V RT 0 T T 1 F (T ,V ) RT 0 ln V V ( 1) T T 0 0 0 0 1 V V RT 0 T 1 F (T ,V ) RT 0 ln V V ( 1) T 0 0 0
A Equação (28) é a expressão para energia livre desconsiderando as variações na quantidade de moléculas do sistema.
(28)
de
Helmholtz,
(b)
Para encontrar a outra equação de estado, no caso, P(T,V) devemos utilizar a Equação (24). Assim tem-se que:
F P P V V T P
1 V V RT 0 T 1 RT 0 ln V V ( 1) T0 0 0
RT0V0 V
1 1 RT 0 T 1 V0 ( 1) T 0
(29)
A Equação (29) é a equação de estado P para o si stema em questão. (c) O trabalho realizado a uma temperatura constante T é dado pela relação já fornecida neste exercício:
V V 0
W RT ln
5
(30)
