Resistência dos Materiais
Engenharia Civil Civil – – UNIDERP UNIDERP
1- Encontre
a equação da linha elástica para a viga engastada com carga concentrada vista na figura ao lado. Solução:
P
A
B L
x
P MA A
B L
VA y
Cálculo das reações de apoio: V 0 VA P 0 VA P
M 0 M
A
P L 0 MA P L
Equação dos momentos momentos fletores: fleto res: M( x ) VA x M A M( x ) Px L 0 x L Equação diferencial da linha elástica: EIy EIy' ' ( x ) Px L 0 x L Integrando uma vez:
EIy' ( x ) P
x L2
C1 0 x L
2 Integrando Mais uma vez: EIy( x ) P
x L3 6
C1 x C 2 0 x L
Condições de contorno: y '(0) 0 C1
P L2
y(0) 0 C 2
2 P L3
6 Portanto a equação da linha elástica fica assim: P L3 x L 3 P L2 0xL EIy( x ) P x 6 2 6 ou
y( x )
P x2 6 EI
3L x
0xL
e a flecha máxima, max, na extremidade livre (B) é:
max max y(L) max Linha Elástica
P L2 6 EI
3L L
P L2 6 EI
2L
P L3 3 EI
P L3 3 EI 1
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil Civil – – UNIDERP UNIDERP
q0
2- Encontre a equação da linha elástica para a viga engastada com carga triangular vista na figura ao lado.
distribuída
Solução:
A x
B L
q0
MA A
B L
VA y
Cálculo das reações de apoio: q L q L V 0 VA ( 0 ) 0 VA 0 2 2
q 0 L 2L q 0 L2 0 MA M 0 MA ( ) 2 3 3 Equação dos momentos momentos fletores: fleto res: q0x2 x q0x3 VA x M A 0 x L M( x ) VA x M A 2L 3 6L Equação diferencial da linha elástica: q0x3 0xL EIy' ' ( x ) VA x M A 6L Integrando uma vez: q0x4 x2 MA x C1 0 x L EIy' ( x ) VA 2 24L Integrando Mais uma vez: 5 x3 x2 q0x MA C1 x C 2 0 x L EIy( x ) VA 6 2 120L Condições de contorno: y '(0) 0 C1 0
y(0) 0 C 2 0 Portanto a equação da linha elástica fica assim: 5 x3 x2 q0x MA EIy( x ) VA ou 6 2 120L EIy( x )
y( x )
q0L x 3 2
6
q0x2 120L EI
x
3
q 0 L2 x 2 3
2
q0x5 120L
0xL
10L2 x 20L3 0 x L
e a flecha máxima, max, na extremidade livre (B) é: q 0 L2 q 0 L2 3 2 3 L 10L L 20L 11L3 max max y(L) 120L EI 120L EI
max
11q 0 L4 120 EI
Linha Elástica
2
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
q0
3- Encontre
a equação da linha elástica para a viga engastada com carga distribuída triangular vista na figura ao lado. Solução: x
A
q0
A
B L
B L
y
Equação dos momentos fletores (origem dos eixos em A): q x ( x) 0 q0x 2 x q0 x 3 L x 0 x L M( x ) 2 3 2L 3 6L Equação diferencial da linha elástica: q0x3 0x L EIy' ' ( x ) 6L Integrando uma vez: q0 x 4 C1 0 x L EIy' ( x) 24L Integrando Mais uma vez: q0x5 EIy( x) C1x C2 0 x L 120L Condições de contorno: q 0 L3 y'(L) 0 C1 24 y(L) 0 C2
q 0 L4
30 Portanto a equação da linha elástica fica assim: q 0 x 5 q 0 L3 q 0 L4 EIy( x ) x ou 120L 24 30 q0 y( x ) x 5 5L4 x 4L5 0 x L 120L EI
e a flecha máxima, max, e declividade máxima, max, na extremidade livre (A) é: q0 q0 q0 max y(0) 0 5 5L4 0 4L5 4L5 L5 120L EI 120L EI 30L EI q 0 L4
q 0 04
max y' (0)
24EIL
max
q 0 L3
30 EI
24EI
3
max
Linha Elástica
q0L
24EI
3
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
q
4- Encontre
a equação da linha elástica para a viga biapoiada com carga distribuída retangular vista na figura ao lado. Solução:
A
B L
x
q
A
B
VA
VB
L
y
Cálculo das reações de apoio:
L
M 0
VB L (qL)
V 0
VA VB q L 0 VA
2
0 VB
qL 2 qL 2
Equação dos momentos fletores:
M( x ) q
L 2
x q
x2 2
0xL
Equação diferencial da linha elástica:
EIy' ' ( x )
q 2
Lx x 2
0xL
Integrando uma vez:
q Lx 2
x 3
C1 EIy' ( x ) 2 2 3
0xL
Integrando Mais uma vez:
q Lx 3
x 4
EIy( x ) C1 x C 2 2 6 12
0xL
Condições de contorno:
y(0) 0 C 2 0 q L4
L4
qL3
C1 L 0 C1 y(L) 0 2 6 12 24 Portanto a equação da linha elástica fica assim:
q Lx 3
x 4
qL3
EIy( x ) x 0xL 2 6 12 24 qx y( x ) L3 2Lx 2 x 3 0 x L 24EI
e a flecha máxima, max, no centro do vão L é:
max yL / 2 max
qL / 2 24EI
L
3
2LL / 2 L / 2 2
3
5qL4 384EI
5qL4 384EI
Linha Elástica
4
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
5- Encontre
a equação da linha elástica para a viga biapoiada com carga concentrada vista na figura ao lado.
P
a
Solução: Reações de apoio:
B P(L a )
M z ( B) 0 VA L P(L a ) 0 VA
F
y
0 VA VB P 0 VB
L
L
Pa L
As equações de momentos fletores são:
M1 ( x ) M 2 (x)
P( L a )
x 0xa
L P( L a )
x P( x a ) a x L
L
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
P( L a )
EI y1 ' ' ( x ) EI y 2 ' ' ( x )
L P( L a )
x 0xa x P( x a ) a x L
L
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração:
P( L a ) x 2
EI y1 ' ( x )
L
EI y 2 ' ( x )
C1 0 x a
2
P( L a ) x 2 L
P
2
(x a) 2
C2 a x L
2
Segunda integração:
P( L a ) x 3
EI y1 ( x )
L
EI y 2 ( x )
C1 x C 3 0 x a
6
P( L a ) x 3 L
6
P
(x a) 3
C2 x C4
6
axL
As condições de contorno para a viga são:
y'1 (a ) y'2 (a ) C1 C2 y1 (a ) y 2 (a ) C3 C4 y1 (0) 0 EI y1 (0) C3 0 C3 C4 0 y 2 (L) 0 EI y2 (L)
C2 C1
PL 6
(L a )
P(L a ) L3 L
P 6L
6
P
(L a )3 6
C2L 0
(L a )3
A linha elástica é:
EI y1 ( x ) EI y 2 ( x )
Linha Elástica
P(L a ) x 3 L
6
P(L a ) x 3 L
6
PL 6
P
(L a )
( x a )3 6
P 6L PL 6
( L a )3 x 0 x a (L a )
5
P 6L
(L a )3 x a x L
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
6- Encontre a equação da linha elástica para a viga engastada com carga retangular vista na figura ao lado
q
distribuída A
B L
Solução: x
q MA A
B L
VA y
Cálculo das reações de apoio:
V 0
VA q L 0 VA q L
M 0
L
MA q L
2
0 MA
qL2 2
Equação dos momentos fletores:
M( x ) VA x M A
qx 2 2
M( x) qLx
qL2 2
qx 2 2
0xL
Equação diferencial da linha elástica:
EIy' ' ( x )
qx 2 2
qL2 2
qLx 0 x L
Integrando uma vez:
EIy' ( x )
qx3
6
qL2 x 2
qLx2 2
C1 0 x L
Integrando mais uma vez:
EIy( x )
qx 4 24
qL2 x 2 4
qLx 3 6
C1x C2 0 x L
Condições de contorno:
y'(0) 0 C1 0 y(0) 0 C2 0 Portanto a equação da linha elástica fica assim:
EIy( x )
qx 4 24
qL2 x 2 4
qLx 3
0x L
6
e a flecha máxima, max, na extremidade livre (B) é:
qL4
max
y(L) 24
max
Linha Elástica
qL2 L2 4 EI
qL L3 6
qL4 8EI
4
qL
8EI
6
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
7- Calcule
o máximo deslocamento entre A e B da viga biapoiada com balanços, feita de madeira (E=12,5 GPa) com seção transversal retangular vista ao lado da mesma: 3 kN
3 kN
C
A
B
2,0 m
6,0 m
30 cm
D 2,0 m 12 cm
E 12,5 GPa 12500 M Pa 12,5 10 6 kN / m 2 I
12 30 3
cm 4 27000 cm 4 0,00027 m 4
12
E I 12,5 10 6 2,7 10 4 3375 kN m 2 Solução: Vamos calcular as reações de apoio:
M 0 V 6 3 8 3 2 0 V F 0 V V 3 3 0 V 3 kN z ( B)
A
y
A
A
B
3 kN
B
Vamos encontrar as equações de momento fletor:
M1 3x 0 x 2 m M 2 3x VA ( x 2) 3x 3( x 2) 2 x 8 m M 3 3x VA ( x 2) VB ( x 8) 3x 3( x 2) 3( x 8) 8 x 10 m Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
E I y 1 ' ' ( x ) 3x 0 x 2 m E I y 2 ' ' ( x ) 3x 3( x 2) 2 x 8 m E I y 3 ' ' ( x ) 3x 3( x 2) 3( x 8) 8 x 10 m E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração:
x2
E I y1 ' ( x ) 3
C1 0 x 2 m
2
E I y 2 ' (x) 3 E I y 2 ' (x) 3
x2 2 x2 2
3 3
( x 2) 2 2 ( x 2) 2 2
C2 2 x 8 m 3
( x 8) 2 2
C 3 8 x 10 m
Segunda integração:
E I y1 ( x ) 3 E I y 2 (x) 3 E I y 2 (x) 3
Linha Elástica
x3 6 x3 6 x3 6
C1 x C 4 0 x 2 m 3 3
( x 2) 3 6 ( x 2) 3 6
C 2 x C5 2 x 8 m 3
( x 8) 3 6
C 3 x C 6 8 x 10 m
7
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
As condições de contorno para a viga são:
y'1 (2) y' 2 (2) C1 C 2 y1 (2) y 2 (2) C 4 C 5 y' 2 (8) y'3 (8) C 2 C 3 y1 (8) y 2 (8) C 5 C 6 y(2) 0 E I y1 (2) 3 y(8) 0
83
23 6
E I y 2 (8) 3
83 6
C1 2 C 4 0 C 4 2 C1 4 3
(8 2) 3 6
63
C 2 8 2 C1 4 0 2 2 C 2 24 C1 C 2 C 3 24
C 2 8 C5 0 83 2
63 2
8 C 2 2 C 2 4 0
C 4 44 C 4 C 5 C 6 44 Então:
E I y1 ( x ) 3 E I y 2 (x) 3 E I y 2 (x) 3
x3
24x 44 0 x 2 m
6 x3
3
6 x3
3
6
( x 2) 3
24x 44 2 x 8 m
6 ( x 2) 3
3
6
( x 8) 3 6
24x 44 8 x 10 m
O deslocamento entre A e B (centro, x=5m) é:
E I y 2 (5) 3
53 6
3
(5 2) 3 6
24 5 44 27 y 2 (5)
27 EI
27 3375
0,008 m
Resposta: O deslocamento entre A e B é de 8 mm para cima.
8- Encontre
a equação da linha elástica para a viga biapoiada e carga concentrada, conforme mostra a figura abaixo. Encontre, também, o deslocamento vertical em C. 2 Considere as seções transversais de inércia EJ=250 kN.m constante ao longo de todo o comprimento da viga. 1 kN A
B 1m
1m
C 1m
Solução: Vamos calcular as reações de apoio:
M 0 V 2 1 1 0 V 0,5 kN F 0 V V 1 0 V 0,5 kN z ( B)
y
A
A
A
B
B
Vamos encontrar as equações de momento fletor:
M1 0,5x 0 x 1 m M 2 0,5x 1 ( x 1) 1 x 2 m M 3 0,5x 1 ( x 1) 0,5 ( x 2) 2 x 3 m Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho): Linha Elástica
8
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
E I y1 ' ' ( x ) 0,5x 0 x 1 m E I y 2 ' ' ( x ) 0,5x 1 ( x 1) 1 x 2 m E I y 3 ' ' ( x ) 0,5x 1 ( x 1) 0,5 ( x 2) 2 x 3 m E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração:
E I y1 ' ( x ) 0,25x 2 C1 0 x 1 m E I y 2 ' ( x ) 0,25x 2 0,5 ( x 1) 2 C 2 1 x 2 m E I y 3 ' ( x ) 0,25x 2 0,5 ( x 1) 2 0,25 ( x 2) 2 C 3
2 x 3m
Segunda integração:
E I y1 ( x )
0,25x 3 3 0,25x 3
E I y 2 (x) E I y 3 (x)
3 0,25x 3 3
C1 x C 4 0 x 1 m
0,5
0,5
3 3
( x 1) 3 C 2 x C 5 1 x 2 m ( x 1) 3
0,25 3
( x 2) 3 C 3 x C 6 2 x 3 m
As condições de contorno para a viga são:
y'1 (1) y' 2 (1) C1 C 2 y1 (1) y 2 (1) C 4 C 5 y' 2 (2) y'3 (2) C 2 C 3 y1 (2) y 2 (2) C 5 C 6 y(1) 0 C 4 0 C 5 0 C 6 0 y(2) 0
E I y 2 ( 2)
0,25 2 3 3
0,5 3
(2 1) 3 C 2 2 C 5 0
0,5 2C 2 C 5 0 C 2 0,25 C1 0,25 C 3 0,25 Então:
E I y1 ( x )
0,25x 3 3 0,25x 3
E I y 2 (x) E I y 3 (x)
3 0,25x 3
3
0,25x 0 x 1 m
0,5
0,5
3 3
( x 1) 3 0,25x 1 x 2 m ( x 1) 3
0,25 3
( x 2) 3 0,25x 2 x 3 m
O deslocamento em C (x=3m) é:
E I y 3 (3)
0,25 33
y 3 (3)
3 0,25 EI
0,5
3 0,25 250
(3 1) 3
0,25 3
(3 2) 3 0,25 3
0,001 m
Resposta: O deslocamento em C é de 1 mm para cima.
Linha Elástica
9
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
9- Calcule o deslocamento vertical em C após encontrar a equação da linha elástica para a viga biapoiada e carga concentrada, conforme mostra a figura abaixo. 2 Considere as seções transversais de inércia EI=2500 kN.m constante ao longo de todo o comprimento da viga. 2 kN A
C
B
2m
D
2m
1m
Solução: Vamos calcular as reações de apoio:
2 kN
M z ( B) 0 VA 4 2 1 0 VA
Fy 0 VA VB 2 0 VB
5 2
1 2
kN
A
kN
C 2m
VA Vamos encontrar as equações de momento fletor (o eixo x inicia-se em A):
M1 ( x ) M 2 (x)
1 2 1 2
B 2m
1m
VB
x 0x4m x
5 2
( x 4) 4 x 5 m
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
1
EI y1 ' ' ( x ) EI y 2 ' ' ( x )
2 1
x 0x4m x
2
5 2
( x 4) 4 x 5 m
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração:
x2
EI y1 ' ( x )
C1 0 x 4 m
4
EI y 2 ' ( x )
x2 4
5( x 4) 2
C2
4
4x5m
Segunda integração:
EI y1 ( x ) EI y 2 ( x )
x3 12 x3 12
C1 x C 3 0 x 4 m
5( x 4) 3 12
C2 x C4
4x5m
As condições de contorno para a viga são:
y1 ' (4) y 2 ' (4) C1 C 2 y1 (4) y 2 (4) C 3 C 4 y1 (0) 0 C 3 0 C 4 0 y1 (4) 0 EI y1 (4)
Linha Elástica
43 12
C1 4 0
10
C1
4 3 www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
Então:
EI y1 ( x ) EI y 2 ( x )
x3 12 x3 12
4
x 0x4m 3
5( x 4) 3 12
4
x 3
4x5m
O deslocamento em C (x = 2 m) é:
EI y1 (2)
23 12
y1 (2)
4
2 2 3
2 EI
2 2500
0,0008 m
Resposta: O deslocamento em C é de 0,8 mm para cima.
Linha Elástica
11
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
10- Encontre
a equação da linha elástica para a viga biapoiada com carga concentrada, conforme mostra a figura abaixo. Encontre, também, o maior 2 deslocamento vertical entre A e B. Considere a inércia à flexão EI=250 kN.m constante ao longo de todo o comprimento da viga.
2 kN A
B 1m
1m
Solução: Cálculo das reações de apoio:
M 0 V 2 2 1 0 V 1 kN F 0 V V 2 0 V 1 kN z ( B)
A
y
A
A
B
B
Vamos encontrar as equações de momento fletor:
M1 1x 0 x 1 m M 2 1x 2 ( x 1) 1 x 2 m Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
E I y1 ' ' ( x ) x 0 x 1 m E I y 2 ' ' ( x ) x 2 ( x 1) 1 x 2 m E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração:
x2
E I y1 ' ( x )
C1 0 x 1 m
2
E I y 2 ' (x)
x2
2
2
( x 1) 2
C2 1 x 2 m
2
Segunda integração:
x3
E I y1 ( x )
6
E I y 2 (x)
C1 x C 3 0 x 1 m
x3
2
6
( x 1) 3 6
C2 x C4 1 x 2 m
As condições de contorno para a viga são:
y'1 (1) y' 2 (1) C1 C 2 y1 (1) y 2 (1) C 3 C 4 y(0) 0 C 3 0 C 4 0 y(2) 0
E I y 2 (2)
23 6
2
(2 1) 3 6
C2 2 0 C2
1 2
C1
1 2
Então:
x3
E I y1 ( x )
6
E I y 2 (x)
x3 6
x 2
0 x 1m
( x 1) 3 3
x 2
1 x 2 m
O deslocamento vertical máximo logo abaixo da força, ou seja, em x = 1 m é:
E I y1 (1)
13 6
1 2
1 3
y1 (1)
1 3E I
1 3 250
1 750
0,00133 m
Resposta: O deslocamento máximo é de 1,33 mm. Linha Elástica
12
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
11- Encontre a linha elástica e o deslocamento em C da viga biapoiada com balanço (EI=constante) vista abaixo:
Solução: Solução: Vamos calcular as reações de apoio:
M F
y
0 VA 2a P a 0 VA
z ( B)
0 VA VB P 0 VB
P 2
3P 2
Vamos encontrar as equações de momento fletor:
M1 ( x ) M 2 (x)
P
x 0 x 2a
2 P
x
2
3P 2
( x 2a ) 2a x 3a
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
P
EI v1 ' ' ( x)
2 P
EI v 2 ' ' ( x )
x 0 x 2a
2
x
3P 2
( x 2a ) 2a x 3a
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração:
EI v1 ' ( x )
P
EI v 2 ' ( x )
P
x2
2 2
2 x2
2
C1 0 x 2a
3P 2
( x 2a ) 2
C 2 2a x 3a
2
Segunda integração:
EI v1 ( x )
P
EI v 2 ( x )
P
2 2
x3 6 x3 6
C1 x C 3 0 x 2a
3P 2
( x 2a ) 3 6
C 2 x C 4 2a x 3a
As condições de contorno para a viga são:
v'1 (2a ) v' 2 (2a ) v1 (2a ) v 2 (2a )
C1 C3
C2
C4
v1 (0) 0 C 3 0 C 4 0 v(2a ) 0
Linha Elástica
2Pa 3
EI v1 (2a )
P 2
(2a ) 3
3
C1 (2a ) 0 C1
C 1 ( 2a ) 0
6 Pa 3
2
C2
13
Pa
2
3
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
Então:
EI v1 ( x ) EI v 2 ( x )
Px 3 12 Px 3 12
Pa 2 3 P 4
x 0 x 2a
( x 2a ) 3
Pa 2 3
x 2a x 3a
O deslocamento em C (x=3a) é:
EI v 2 (3a )
v 2 (3a )
P(3a ) 3 12
P 4
(3a 2a )
Pa 2 3
3a
Pa 3 12
3
3
3 12 Pa 3
Pa 3 EI
Resposta: O deslocamento em C é
Linha Elástica
3
Pa 3 EI
14
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
12- A
viga de madeira está submetida à carga mostrada. Determinar a equação da linha elástica. Supondo E mad = 12 GPa, determinar também a deflexão e a inclinação na extremidade B.
Solução:
Vamos encontrar as equações de momento fletor (adotando a origem do eixo x em B): M1 ( x ) 6x 0 x 1,5 m M 2 ( x ) 6 x 4( x 1,5) 1,5 x 3 m ( x 3) 2
M 3 ( x ) 6 x 4( x 1,5) 2
3 x 6m 2 Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho): E I y1 ' ' ( x ) 6x 0 x 1,5 m E I y 2 ' ' ( x ) 6x 4( x 1,5) 1,5 x 3 m E I y 3 ' ' ( x ) 6x 4( x 1,5) ( x 3) 2 3 x 6 m E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração: E I y1 ' ( x ) 3x 2 C1 0 x 1,5 m E I y 2 ' ( x ) 3x 2 2( x 1,5) 2 C 2 E I y 3 ' ( x ) 3x 2( x 1,5) 2
2
1,5 x 3 m
( x 3) 3 3
C3 3 x 6 m
Segunda integração: E I y1 ( x ) x 3 C1 x C 4 0 x 1,5 m E I y 2 (x) x 2 3
E I y 3 (x) x 2 3
( x 1,5) 3 3 ( x 1,5) 3
C 2 x C 5 1,5 x 3 m
( x 3) 4
3 12 As condições de contorno para a viga são: y'1 (1,5) y' 2 (1,5) C1 C 2
C3 x C6 3 x 6 m
y1 (1,5) y 2 (1,5) C 4 C 5 y' 2 (3) y'3 (3) C 2 C 3 y 2 (3) y 3 (3) C 5 C 6 Linha Elástica
15
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
y' (6) 0 E I y 3 ' (6) 3 6 2(6 1,5) 2
y ( 6) 0
E I y 3 ' ( 6) 6 2 3
2
(6 1,5) 3 3
(6 3) 3 3
(6 3) 4 12
C 3 0 C 3 157,5
157,5 6 C 6 0 C 6 661,5
C1 C 2 C 3 157,5 C 4 C 5 C 6 661,5 Então, as inclinações são: E I y1 ' ( x ) 3x 2 157,5 0 x 1,5 m E I y 2 ' ( x ) 3x 2 2( x 1,5) 2 157,5 1,5 x 3 m E I y 3 ' ( x ) 3x 2( x 1,5) 2
2
( x 3) 3 3
157,5 3 x 6 m
E as deflexões são: E I y1 ( x ) x 3 157,5x 661,5 0 x 1,5 m E I y 2 ( x) x 2 3
E I y 3 (x) x 2 3
( x 1,5) 3 3 ( x 1,5) 3 3
157,5x 661,5 1,5 x 3 m
( x 3) 4 12
157,5x 661,5 3 x 6 m
A rigidez EI é: E = 12 GPa = 12 I
200 400 3 12
kN mm 2
= 12 × 10 6
kN m2
1,0667 10 9 mm 4 1,0667 10 3 m 4
EI 12 × 10 6 1,0667 10 3 12800 kN.m 2 A inclinação em B é: E I y1 ' (0) 3 0 2 157,5 157,5
y1 ' (0) B
157,5 12800
0,0123 rad 0,705o
O deslocamento máximo (em B) é: E I y1 0 0 3 157,5 0 661,5 661,5
y1 0 y max
661,5
0,0516 m 51,6 mm 12800 Resposta: A deflexão e a inclinação na extremidade B são, respectivamente, yB = 51,6 mm.
B =
– 0,705o e
51,6 mm
– 0,705o
Linha Elástica
16
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
13- Após determinar a equação da linha elástica da viga abaixo, especificar quantas vezes a deflexão máxima é maior que a deflexão no centro do vão L (distância entre A e B). Considerar EI constante e, também, a = L/4.
Solução: Reações de apoio:
M F
y
z ( B)
0 VA L P(L a ) 0 VA
0 VA VB P 0 VB
P(L a ) L
Pa L
As equações de momentos fletores são:
M1 ( x ) M 2 (x)
P( L a ) L P( L a )
x 0xa x P( x a ) a x L
L
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
P( L a )
EI y1 ' ' ( x ) EI y 2 ' ' ( x )
L P( L a ) L
x 0xa x P( x a ) a x L
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração:
P( L a ) x 2
EI y1 ' ( x )
L
EI y 2 ' ( x )
C1 0 x a
2
P( L a ) x 2 L
2
P
(x a ) 2 2
C2 a x L
Segunda integração:
EI y1 ( x ) EI y 2 ( x )
Linha Elástica
P( L a ) x 3 L
6
P( L a ) x 3 L
6
C1 x C 3 0 x a P
(x a) 3 6
C2 x C4
17
axL
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
As condições de contorno para a viga são:
y'1 (a ) y' 2 (a ) C1 C 2 y1 ( a ) y 2 ( a ) C 3 C 4 y1 (0) 0 EI y1 (0) C 3 0 C 3 C 4 0 P(L a ) L3
y 2 (L) 0 EI y 2 (L)
C 2 C1
PL 6
(L a )
L
P 6L
6
P
(L a ) 3 6
C2L 0
(L a ) 3
E a deflexão no centro é: 3
(
L
a)3
P(L a ) L L P 2 6L 2 6 2
C2
EI y 2
yL / 2
Pa
3L
2
48 EI
L 2
4a 2
Ou, com a = L/4
yL/ 2
2 L2 PL3 1 PL3 11 3L 4(L / 4) 3L 4 16 4 48 EI 3 4 4 48 EI 4 48 EI 4 48 EI P(L / 4)
2
PL
2
11 PL3
yL / 2
768 EI
E a deflexão máxima ocorre onde y2’(x)=0, ou seja:
EI y 2 ' ( x )
P(L a ) x 2 L
2
P
(x a) 2 2
PL 6
(L a )
P 6L
(L a ) 3 0
com a = L/4
4 5 L 4
x Assim:
4 5 5 5 3 L PL 4 768
EI y 2
3
y max
5 5 PL 768 EI
Então: 5 5 PL3 y max yL / 2
768 EI 3
11 PL
5 5 11
1,0164
768 EI Resposta: A deflexão máxima é apenas 1,64% maior que a deflexão no centro. Linha Elástica
18
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
14- Encontre
a deflexão em C na viga biapoiada de aço vista na figura abaixo. Considere as seções transversais de inércia constante EI constante ao longo de todo o comprimento, 2a, da viga.
Adotando o eixo x iniciando-se em A, as equações de momentos fletores para a viga acima são:
M1 ( x ) M 2 (x)
3 4 3 4
wa x
w x2 2
0xa
w a x w a x
a
a x 2a
2
Solução: E as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho) são:
3
EI y1 ' ' ( x ) EI y 2 ' ' ( x )
4 3 4
w x2
wa x
0xa
2
w a x w a x
a
a x 2a
2
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração:
EI y1 ' ( x )
3
x2
wa
4
w x3
2
6
C1
0xa 2
w a a EI y 2 ' ( x ) w a x C 2 a x 2a 4 2 2 2 x2
3
Integrando mais uma vez:
EI y1 ( x )
3 4
wa
x3 6
w x4 24
C1 x C 3
0xa
3
w a a EI y 2 ( x ) w a x C 2 x C 4 a x 2a 4 6 6 2 x3
3
As condições de contorno para a viga são:
y1 ' a y 2 ' a
y1 a y 2 a
y1 (0) 0
y 2 (2a ) 0
Resolvendo, as constantes são:
C1
3 16
wa ; C 2 3
17 48
wa ; C 3 0; C 4 3
wa 4 24
O deslocamento em C ocorre em x=a:
EI y1 ( x )
3 4
wa
x3 6
EI y1 (a ) EI C
w x4
3 4
24 wa
3 16
a3 6
wa 3 x w a4 24
3 16
wa 3 a
5 48
wa 4
Assim:
C
5 w a4 48 EI
Linha Elástica
19
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
15- Encontre a deflexão em C da extremidade direita (seção abaixo da carga de 20 kN) da viga de aço A-36 (E=200 GPa) biapoiada com balanços vista na figura abaixo. Considere as seções transversais de inércia constante EI ao longo de todo o comprimento da viga. Adote o momento de inércia da seção transversal da viga 4 I = 3628,125 cm .
Equação diferencial da linha elástica (origem do eixo x na extremidade esquerda):
EIy1 ' ' ( x ) 3x 2
0,0 x 1,5 m EIy 2 ' ' ( x ) 7,75x 4,875 1,5 x 4,5 m EIy3 ' ' ( x) 20x 120 4,5 x 6,0 m Integrando uma vez:
EIy1 ' ( x ) x 3 C1 EIy 2 ' ( x ) 3,875x 2 4,875x C 2 EIy 3 ' ( x ) 10x 2 120x C 3 Solução: E, assim, resolvê-las através de duas integrações. segunda integração:
EIy1 ( x )
x4 4
C1 x C 4
EIy 2 ( x ) 3,875 EIy 3 ( x ) 10
x3 3
x3 3
4,875
120
x2 2
x2 2
C 2 x C5
C3 x C6
As condições de contorno para a viga são:
y1 ' 1,5 y 2 ' 1,5
y1 1,5 y 2 1,5
y 2 ' 4,5 y 3 ' 4,5
y 2 4,5 y 3 4,5
y1 (1,5) 0
y 2 (4,5) 0
kN 4 8 3628,125 10 m 2 m EI 7256,25 kN.m 2 EI 2 108
Resolvendo, as constantes são:
C1 25,125;
C 2 23,15625; C 3 304,125;
C 4 36,421875; C 5 35,859375; C 6 457,3125 O deslocamento na extremidade direita ocorre em x = 6 m:
EIy3 ( x ) 10
x3 3
120
x2 2
EI y 3 (6) EI C 10
304,125 x 457,3125 63 3
120
62 2
304,125(6) 457,3125 72,5625
C
72,5625 7256,25
Assim:
C 0,01 m Linha Elástica
20
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
16- A haste compõe-se de dois eixos para os quais o momento de inércia de AB é I e de BC é 2I. Determinar a deflexão máxima da haste devido ao carregamento. O módulo de elasticidade do material da haste é E. P
As equações de momentos fletores são:
M1 ( x ) P x 0 x M 2 ( x ) P x
L 2
L 2
xL
As condições de contorno para a viga são:
y' 2 ( L) 0 y 2 (L) 0
L L y' 2 2 2 L L y1 y 2 2 2 y'1
Solução:
E as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho) são: L EI y1 ' ' ( x ) P x 0 x 2 L xL 2EI y 2 ' ' ( x ) P x 2 E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração: x2 L EI y1 ' ( x ) P C1 0 x 2 2 EI y 2 ' ( x )
P x2
C2
2 2 Integrando mais uma vez: x3 EI y1 ( x ) P C1 x C 3 6 EI y 2 ( x )
P x3
L 2
xL
0x
2
L
xL 2 6 2 Resolvendo, as constantes são: PL3 5PL2 PL2 3PL3 C1 ; C2 ; C3 ; C4 16 4 16 6 A deflexão máxima, A, ocorre na extremidade do balanço em x = 0: x 3 5PL2 3PL2 0 3 5PL2 3PL2 3PL2 EI y1 (0) EI A P EI y1 ( x ) P x 0 6 16 16 6 16 16 16 Assim: A
C2 x C4
L
3PL2 16 EI
Linha Elástica
21
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
17- A haste compõe-se de dois eixos para os quais o momento de inércia de AB é I e de BC é 3I. Determinar a deflexão máxima da haste devido ao carregamento. O módulo de elasticidade é E. P
Solução: As equações de momentos fletores são:
L
M1 ( x ) 0 0 x M 2 ( x ) P( x
L 2
2 L
)
2
xL
Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
EI y1 ' ' ( x ) 0 0 x 3EI y 2 ' ' ( x ) P( x
L 2
)
L 2 L 2
xL
E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração:
EI y1 ' ( x ) C1
0x
L 2
2
L x L 2 3EI y 2 ' ( x ) P C2 xL 2
2
Segunda integração:
EI y1 ( x ) C1 x C 3
L
0x
2
3
L x L 2 C2 x C4 xL 3EI y 2 ( x ) P 6
2
As condições de contorno para a viga são:
y' 2 ( L) 0 C 2 y 2 ( L) 0 C 4
PL2 8
5PL3 48
PL L L y'1 y' 2 C1 24 2 2
2
5PL L L y1 y 2 C 3 144 2 2
3
O deslocamento máximo (extremidade livre, x = 0) é:
EI y1 ( x )
Linha Elástica
PL2 24
x
5PL3 144
EI y1 (0)
PL2
22
24
0
5PL3 96
5PL3 144
y1 (0) y max
5PL3 144
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
18- Após
determinar a equação da linha elástica da viga abaixo, especificar a inclinação em A e a deflexão máxima. Considerar EI constante.
Solução: Reações de apoio:
M 0 V L P(L a) Pa 0 V F 0 V V P P 0 V P z ( B)
y
A
A
A
B
P
B
Vamos encontrar as equações de momento fletor:
M1 Px 0 x a M 2 Px P( x a ) a x (L a ) M 3 Px P( x a ) P( x L a ) (L a ) x L Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
E I y1 ' ' ( x ) Px 0 x a E I y 2 ' ' ( x ) Px P( x a ) a x (L a ) E I y 3 ' ' ( x ) Px P( x a ) P( x L a ) (L a ) x L E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração:
x2
E I y1 ' ( x ) P
C1 0 x a
2
E I y 2 ' ( x ) P E I y 3 ' ( x ) P
x2 2 x2 2
P P
(x a ) 2 2 (x a ) 2 2
C 2 a x (L a ) P
(x L a ) 2 2
C 3 (L a ) x L
Segunda integração:
E I y1 ( x ) P E I y 2 ( x ) P E I y 3 ( x ) P
x3 6 x3 6 x3 6
C1 x C 4 0 x a P P
(x a ) 3 6 (x a) 3 6
C 2 x C 5 a x (L a ) P
(x L a)3 6
C 3 x C 6 (L a ) x L
As condições de contorno para a viga são:
y'1 (a ) y' 2 (a ) C1 C 2 y 1 (a ) y 2 (a ) C 4 C 5 y' 2 ( L a ) y' 3 ( L a ) C 2 C 3 y 2 (L a ) y 3 ( L a ) C 5 C 6
Linha Elástica
23
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
y ( 0) 0 E I y 1 ( 0) C 4 y(L) 0
C3 C1
Pa 2 Pa 2
C 4 0 C5 0 C6 0 L3
E I y 3 ( L) P
P
6
(L a ) 3 6
P
(L L a ) 3 6
C3 L 0
(L a ) (L a )
C2
Pa 2
(L a )
Então, as inclinações são:
x2
E I y1 ' ( x ) P
2
E I y 2 ' ( x ) P E I y 3 ' ( x ) P
x2 2 x2 2
Pa 2
P P
(L a ) 0 x a
(x a) 2 2 (x a) 2 2
Pa 2
P
(L a ) a x ( L a )
(x L a ) 2 2
Pa 2
(L a ) (L a ) x L
E as deflexões são:
E I y1 ( x ) P E I y 2 ( x ) P E I y 3 ( x ) P
x3 6 x3 6 x3 6
Pa 2
P P
(L a ) x 0 x a
(x a ) 3 6 (x a )3 6
Pa 2
P
(L a ) x a x (L a )
(x L a ) 3 6
Pa 2
(L a ) x (L a ) x L
A inclinação em A é:
E I y1 ' (0) P
y1 ' (0) A
02
Pa
(L a )
2 2 Pa (L a )
Pa 2
(L a )
2EI
O deslocamento máximo (centro, x=L/2) é: 3
3
P L P L Pa L L E I y2 a (L a ) 6 2 6 2 2 2 2 Pa L y 2 y max (3L2 4a 2 ) 24EI 2
Linha Elástica
24
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
19- O eixo suporta as cargas das três polias mostradas. Determinar a deflexão em seu centro e sua inclinação em A e B. Os mancais exercem apenas reações verticais sobre ele e EI é constante.
2 Solução: Reações de apoio:
VA 2P
VB 2P
As equações de momento fletor são:
M1 ( x ) Px 0 x a M 2 ( x ) Px 2P( x a ) a x 2a M 3 ( x ) Px 2P( x a ) 2P( x 2a ) 2a x 3a M 4 ( x ) Px 2P( x a ) 2P( x 2a ) 2P( x 3a ) 3a x 4a Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
EIy1 ' ' ( x ) Px 0 x a EIy 2 ' ' ( x ) Px 2P( x a ) a x 2a EIy3 ' ' ( x ) Px 2P( x a ) 2P( x 2a ) 2a x 3a EIy 4 ' ' ( x ) Px 2P( x a ) 2P( x 2a ) 2P( x 3a ) 3a x 4a E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração:
x2
EIy1 ' ( x ) P
C1 0 x a
2
EIy 2 ' ( x ) P
x2 2 x2
EIy3 ' ( x ) P
2P
2
EIy 4 ' ( x ) P
x2 2
2P
2P
(x a) 2 2 (x a ) 2 2 (x a) 2 2
C 2 a x 2a 2P 2P
( x 2a ) 2
C 3 2a x 3a
2 ( x 2a ) 2 2
2P
( x 3a ) 2 2
C 4 3a x 4a
Segunda integração:
EIy1 ( x ) P EIy 2 ( x ) P EIy3 ( x ) P EIy 4 ( x ) P Linha Elástica
x3 6 x3 6 x3 6 x3 6
C1 x C 5 0 x a 2P 2P 2P
(x a) 3 6 (x a ) 3 6 (x a) 3 6
C 2 x C 6 a x 2a 2P 2P
( x 2a ) 3 6 ( x 2a ) 3 6 25
C 3 x C 7 2a x 3a 2P
( x 3a ) 3 6
C 4 x C8 3a x 4a www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
As condições de contorno para a viga são:
y'1 (a ) y'2 (a ) C1 C 2 y1 (a ) y 2 (a ) C 5 C 6 y'2 (2a ) y'3 (2a ) C 2 C 3 y 2 (2a ) y 3 (2a ) C 6 C 7 y'3 (3a ) y'4 (3a ) C 3 C 4 y 3 (3a ) y 4 (3a ) C 7 C8 EIy1 (a ) P
a3 6
EIy3 (3a ) P
C1a C5 0
(3a ) 3 6
2P
(3a a ) 3 6
2P
(3a 2a ) 3 6
C3 3a C 7 0
das duas últimas equações (fazendo C1=C3 e C5=C7) vem que:
C1 C 2 C 3 C 4 Pa 2 C5 C6 C7 C8
5P 6
a3
A deflexão no centro (centro, x=2a) é:
(2a ) 3
EIy 2 (2a ) P
2P
6
y 2 (2a ) y 2 a
Pa
(2a a ) 3 6
Pa 2 2a
5P 6
a3
3
6EI
As inclinações em A e B são:
EIy1 ' (a ) P
A
a2 2
y 1 ' (a ) A
P a2 2 EI
EIy3 ' (3a ) P
B
Pa 2
(3a ) 2 2
2P
(3a a ) 2 2
2P
(3a 2a ) 2 2
C3
y 3 ' (3a ) B
P a2 2 EI
20- O
eixo suporta as cargas das duas polias mostradas. Determinar a deflexão na extremidade livre. Os mancais exercem apenas reações verticais sobre ele e a rigidez EI é constante.
P
5P
Solução: Reações de apoio:
VA 4P
VB 2P
As equações de momento fletor são:
Linha Elástica
26
www.profwillian.com
Resistência dos Materiais
Engenharia Civil – UNIDERP
M1 ( x ) Px 0 x a M 2 ( x ) Px VA ( x a ) a x 2a M 3 ( x ) Px VA ( x a ) 4P( x 2a ) 2a x 3a Agora, vamos montar as equações diferenciais da linha elástica (uma para cada trecho):
EIy1 ' ' ( x ) Px 0 x a EIy 2 ' ' ( x ) Px VA ( x a ) a x 2a EIy3 ' ' ( x ) Px VA ( x a ) 4P( x 2a ) 2a x 3a E, assim, resolvê-las através de duas integrações. Primeira integração:
x2
EIy1 ' ( x ) P
C1 0 x a
2 x2
EIy 2 ' ( x ) P
2 x2
EIy3 ' ( x ) P
2
(x a) 2
VA
C 2 a x 2a
2 (x a) 2
VA
4P
2
( x 2a ) 2
C 3 2a x 3a
2
Segunda integração:
EIy1 ( x ) P EIy 2 ( x ) P EIy3 ( x ) P
x3 6 x3 6 x3 6
C1 x C 4 0 x a VA VA
(x a)3 6 (x a )3
C 2 x C 5 a x 2a 4P
6
( x 2a ) 3 6
C3 x C 6 2a x 3a
As condições de contorno para a viga são:
y'1 (a ) y' 2 (a ) C1 C 2 y 1 (a ) y 2 (a ) C 4 C 5 y ' 2 ( 2a ) y ' 3 ( 2a ) C 2 C 3 y 2 ( 2a ) y 3 ( 2a ) C 5 C 6 EIy1 (a ) P
a3 6
EIy3 (3a ) P
C1a C 4 0
(3a ) 3
4P
6
(3a a )3 6
5P
(3a 2a ) 3 6
C3 3a C6 0
das duas últimas equações (fazendo C1=C3 e C4=C6) vem que:
C1
C4
C2
C5
P
C3
C6
a2
12 P 4
a3
A deflexão na extremidade (x = 0) é:
EIy1 ( x )
P 6
x 3
Pa 2
y1 (0) ext.
12
x
Pa 3 4
EIy1 (0)
P 6
0 3
Pa 2 12
0
Pa 3 4
Pa 3 4
3
Resposta: A deflexão na extremidade livre é – Pa /4.
Linha Elástica
27
www.profwillian.com
