LIMIT KANAN DAN KIRI

A. LIMIT LIMIT KAN KANAN AN DAN DAN LIMIT LIMIT KIRI KIRI

Mengandung arti bahwa x ≠ α, dan ekuivalen ekuivalen dengan dengan

(α)

Atau Atau

= (

yang

Oleh karena karena itu pengertian pengertian

dapat dirinci (dipecah) menjadi dua bagian (dua pengertian) ebagai berikut!

"# Definisi 4.2.12. diketahui $ungi (i) (i)

dan α titik limit himpunan

%ika %ika ada ada bila bilang ngan an nyata nyata k ehi ehing ngga ga untu untuk k eti etiap ap bila bilang ngan an

terd terdap apat at bila bilang ngan an

 ehingga berlaku!

&ntuk &ntuk etiap etiap untuk

(ii) (ii)

maka dikatakan dikatakan $(x) mempnyai mempnyai limit limit kanan k  dan ditulikan dengan

%ika %ika ada bilang bilangan an nyata nyata ehing ehingga ga untuk untuk etiap etiap bilang bilangan an

terdap terdapat at bilang bilangan an

ehingga berlaku!

&ntuk &ntuk etiap etiap untuk

dan ditulikan dengan

maka dikatakan dikatakan $(x) mempuny mempunyai ai limit limit kiri

'erlu diperhatikan bahwa limit kanan dan limit kiri uatu $ungi $ untuk tak perlu ama# erdaarkan de$inii #*#"*, mudah di$ahami the+rema di bawah ini# e+rema e+rema #*#"- diberikan $ungi untuk

titik limit

jika dan hanya jika $(x) berlimit kiri dan berlimit kanan

*# Definisi 4.2.14 diketahui $ungi

berlimit untuk

dan α titik limit himpunan

(i) .ungi .ungi $ dika dikatak takan an k+nti k+ntinu nu kanan kanan (right ( right continuous ) di α jika

(ii) .ungi .ungi $ dikatakan dikatakan k+ntin k+ntinu u kiri (left ( left continuous) continuous ) di α jika

e+rema e+rema yang menghubungkan menghubungkan pengertian k+ntinu kiri dan k+ntinu kanan# e+rema e+rema #*#"/ diketahui $ungi c+ntinue di α jika dan hanya jika jika

Bukti: Bukti: $ungi

 bilangan

titik himpunan

# .ungi

k+ntinu di kiri dan k+ntinu k+ntinu kanan di

k+ntinu k+ntinu di α jika dan hanya hanya jika untuk untuk etiap etiap bilangan bilangan ehingga untuk

terdapat terdapat

berakibat

,

%ika %ika dan dan hany hanyaa jika jika eti etiap ap 0 dan untuk di

dan

berakibat k+ntinu kanan di

Contoh soal :

B. SIA SIAT K!K"N K!K"NTIN TIN#AN #AN #N$SI #N$SI L!BI% L!BI% LAN&#T LAN&#T

jika hanya jika

k+ntinu kiri

"# he+rema he+rema #*#"1 #*#"1 jika $ungi $ungi

maing maing maing maing k+ntinu k+ntinu

diuatu titik α, maka $ungi $ungi ! Cata Catata tan n

maing maing k+ntinu di α#

! te+rem te+remaa tereb terebut ut berlak berlaku u dengan dengan anggap anggapan an bahwa bahwa titik titik α bertu berturut rut turut turut

merupakan titik limit himpunan

untuk $ungi

, dan dan himp himpun unan an

untuk $ungi

dan

untu untuk k $ung $ungi i # 'erl 'erlu u diin diinga gatt kemb kembal alii

 bahwa yang dimkud dengan $ungi $ungi $ k+ntinu pada 

⊂

jika

k+ntinu dietiap

# *# he+rema he+rema #*#"2# #*#"2# diketahu diketahuii $ungi $ungi k+mpak 3

⊂

maka

Bukti: diambil ebrang

%ika $ungi $ungi

k+nti k+ntinu nu pada himpunan himpunan

k+mpak (tertutup dan terbata pada 4)# liput terbuka terbuka himpunan $(3), +leh karena itu itu diper+leh# diper+leh#

Oleh karena itu,

3arena 3arena etiap etiap

terbuka terbuka dan

k+ntinu k+ntinu,, maka

terbuka# terbuka# erdaarka erdaarkan n hail hail

diata terlihat bahwa k+leki

Merupakan liput terbuka himpunan k+mpak 3# +leh karena itu itu

5engan banyak angg+tanya hingga# %adi,

6ang berakibat

mempunyai lipu bagian

)=

Atau terbukti bahwa

)=

k+mpak#

5ari bukti te+rema diata diper+leh keterbataan himpunan 3 untuk menjamin adanya barian bagian untuk menjamin

yang k+nvergen ke uatu titik dan ketertutupan himpunan 3  3arena elang tertutup dan terbata 7a,b8 merupakan himpunan

k+mpak, Aki'at : #*#"9# jika

maka

-# he+rema he+rema #*#": #*#": diketahui diketahui $ungi $ungi k+mpak

tertutup dan terbata#

%ik $ungi $ungi

maka terdapat

k+ntinu k+ntinu pada himpunan himpunan

ehingga

Bukti: hip+tei dan the+rem #*#"2, diper+leh himpunan $(3) =

terbata, dinamakan m dan M berturut turut ebagai in$ima dan uprema himpunan Oleh karena itu untuk etiap

terdapat

#

ehingga,

(a)

5engan 5engan demiki demikian an dipe diper+l r+leh eh bari barian an bilang bilangan an nyata nyata terbat terbata a 0 Menurut

the+rem rema

+l;an+

welertra

dan

terda rdapat

barian

bagian

yang maing maing k+nvergen< katakan berturut turut k+nvergen ke elanjutnya karena

# 3arena 3 tertutup maka k+ntinu pada 3 diper+leh,

(b) erdaarkan hail (a) dan (b), erta menggunakan the+rem #*#""#diper+leh #*#""#diper+leh

(i) (ii) ukti eleai# Contoh soal :