KEKONTINUAN FUNGSI
Perhatikan gambar berikut ini
Definisi Kekontinuan fungsi di satu titik
( () terdefinisi pada interval buka I dan ∈ . lim () = () →
Misalkan
Fungsi f disebut kontinu di c jika
Berdasarkan definisi tersebut, fungsi f fungsi f kontinu kontinu di c apabila memenuhi 3 syarat yaitu: 1. 2. 3.
lim ( () ada ( () ada lim ( () = () → →
Apabila salah satu syarat di atas tidak dipenu hi maka dikatakan f dikatakan f tidak tidak kontinu di c di c (diskontinu (diskontinu di c) Diketahui fungsi f : I R , c I , I suatu suatu selang buka Fungsi f Fungsi f dikatakan dikatakan tidak kontinu loncat di x di x = c jika hanya jika a) lim lim f x x c
b) f c ada.
lim lim sehingga lim lim f x tidak ada, dan
x c f x
x c
Diberikan fungsi f : I R, c I Fungsi f dikatakan tidak kontinu yang dapat dihapuskan di x = c jika hanya jika a) lim f x ada, x c
b) f c ada, dan c) lim f x f c x c
Contoh Soal.
1. Diberikan fungsi
() = {3 8 ,, ≥< 22. Tentukan kekontinuan fungsi g di x = 2.
Penyelesaian.
lim () menggunakan limit sepihak (limit kiri dan limit kanan karena fungsi g berbeda untuk ≥ 2 dan < 2 ) Perhatikan bahwa lim () = lim ( 8) = lim(2 8) = lim 6 = 6 → → → → dan lim+ ( ) = lim+ (3 ) = lim+ (3.2) = lim+ 6 = 6 → → → → karena lim ( ) = 6 = lim+ ( ) maka lim () = 6 → → → Perhatikan pula bahwa (2) = 3.2 = 6 (untuk x=2 menggunakan fungsi g() = 3) Akan dicari nilai
→
Jelas bahwa: a. b. c.
lim () = 6 (ada), (2) = 6 (ada), dan lim () = 6 = (2) → →
Sehingga dikatakan bahwa g kontinu di x = 2
Illustrasi kekontinuan fungsi pada selang
Perhatikan grafik fungsi f berikut ini.
(1,2)? Ternyata f kontinu pada setiap titik di selang (1,2). Akibatnya f kontinu pada (1,2) Apakah fungsi f kontinu pada setiap titik di selang
Apakah fungsi f kontinu pada setiap titik di selang (-1, 0), tentukan
lim () , → lim ()?
→−+
Perhatikan bahwa
lim () = (0,75), →−, lim () = (0,5) , →−, lim () = (0,4),
→−,
Ternyata f kontinu pada setiap titik di selang (-1, 0), dan
lim () = 0 = (1),
→−+
lim () = 1 = (1) maka dikatakan f kontinu pada [1,0].
→
Definisi Kekontinuan fungsi pada suatu selang
1. Fungsi
: (, ) → dikatakan kontinu pada (, ) apabila f kontinu di setiap titik pada
(, ) : [, ] → dikatakan kontinu pada [, ] apabila f kontinu di setiap titik pada (, ), → lim+ () = (), dan → lim () = ()
2. Fungsi
Contoh soal
Diberikan fungsi f :
4, R yang
didefinisikan sebagai f x
kekontinuan fungsi pada 4, Penyelesaian: Grafik f
Y
f
X 4
Ambil sembarang p 4, Jelas f p
Jelas
lim
x p
1
p
4
f x lim
Jelas f p
x p
1
p 4
1
x 4
lim
x p
1
p 4
f x
Jadi f kontinu di p Jadi f kontinu untuk setiap p 4, Jadi f kontinu pada 4,
1
x
4
.
Periksa
Definisi kekontinuan sepihak (kontinu kiri, kontinu kanan)
Dipunyai fungsi
: (, ) → , ∈ (, )
Fungsi f dikatakan kontinu kanan di x = c apabila Fungsi f dikatakan kontinu kiri di x = c apabila
lim () = ()
→ +
lim () = ()
→
Sifat-Sifat Kekontinuan Fungsi
() kontinu pada seluruh R. () Fungsi rasional ( ) ,() dan () polinom kontinu pada seluruh daerah definisinya. Fungsi () = || kontinu di seluruh R. Fungsi ( ) = √ , ∈ kontinu di seluruh daerah definisinya. Bila fungsi f dan g kontinu di x = c, dan ∈ maka , , ,, () ≠ 0, , kontinu di x = c
1. Suatu polinom yang dinyatakan dalam bentuk 2. 3. 4. 5.
TUGAS MANDIRI
1. Diberikan grafik fungsi f berikut ini, tentukan kekontinuan fungsi di titik x = -2, x = 0, dan x = 3. Jelaskan.
2. Dipunyai grafik fungsi f sebagai berikut.
Tentukan di mana saja fungsi f tidak kontinu. Berikan alasannya. 3. Toko sepatu pria terkenal melakukan pendataan terhadap merk sepatu yang paling diminati oleh pengunjung. Hasil pendataan yaitu merk sepatu yang paling diminati adalah “docksider ”. Untuk memastikan agar toko tidak kehabisan persediaan sepatu merk tersebut dan agar toko tidak memesan sepatu setiap hari, maka toko tersebut pada awalnya memesan 5000 pasang sepatu dan kemudian memesan kembali jika persediaan tinggal 1000 pasang sepatu. Pada waktu tersebut, toko memesan sepatu hingga persediaan mencapai 5000. Misalkan t adalah waktu (dalam hari) dan f t menyatakan persediaan
sepatu di toko pada waktu t . Diasumsikan persediaan habis jika rata-rata dijual 20 pasang sepatu dalam satu hari.
a. Buatlah fungsi f mulai dari t = 0 hingga t = 800. b. Sketsakan grafik fungsi f . c. Tentukan nilai t sehingga fungsi f tidak kontinu. Jelaskan! 4. Diberikan energi kinetik tubuh terhadap massa m yaitu adalah kecepatan tubuh pada waktu t . Diasumsikan
K t
v t
1
2
50 1 t
2
m v t
2
, dengan
v t
, t 0 . Tunjukkan K
kontinu pada selang 0, . (Hint: Buktikan K kontinu pada
(0,∞) dan K kontinu kanan di x = 0)
5. Suatu pabrik memproduksi kotak timah yang terbuka di atas. Kotak persegi panjang dibuat dari lembaran timah berukuran panjang 15 inci dan lebar 8 inci dengan memotong bujur sangkar identik pada keempat pojok lembaran dan melipat ke atas sisi-sisinya. a. Jika x adalah panjang sisi bujur sangkar yang dipotong (dalam inci), nyatakan volume kotak yang dihasilkan sebagai fungsi g dalam x (volume dalam inci 3) b. Tentukan domain fungsi g tersebut. Jelaskan! c. Buktikan fungsi g kontinu pada domainnya.
Kunci 3. a. Persediaan sepatu 5000 pasang pada awal berdagang yaitu t = 0 dan persediaan habis jika rata-rata 20 pasang terjual dalam satu hari. Tulis t = lamanya waktu untuk persediaan sepatu dalam jumlah tertentu (dalam hari)
f t = persediaan sepatu dalam waktu t Pedagang akan memesan sepatu jika persediaan tinggal 1000, f t Persamaan fungsi f yang pertama adalah f t
5000
20t tetapi
1000
hanya sampai f t
1000
Akan dicari lama waktu agar pedagang dapat memesan sepatu kembali
f t
1000
5000
20t
20t 4000
t
200
Jadi pedagang akan memesan sepatu setelah 200 hari. Persamaan fungsi f antara 200 hingga 400 hari adalah
f t 5000 20t 200 5000 20t 4000 9000 20t Persamaan fungsi f antara 400 hingga 600 hari adalah
f t 5000 20t 400 5000 20t 8000 13000 20t Persamaan fungsi f antara 600 hingga 800 hari adalah
f t 5000 20t 600 5000 20t 12000 17000 20t Jadi persamaan fungsi f adalah sebagai berikut.
5000 20t 9000 20t f t 13000 20t 17000 20t
,0 t 200 ,200 t 400 ,400 t 600 ,600 t 800
b. Grafik fungsi f f t 5000
1000
t
200
400
600
800
c. Berdasar grafik terlihat bahwa f tidak kontinu pada t = 200, t = 400, dan t = 600 Untuk t = 200 Nilai limit kiri yaitu
lim t 200
Nilai limit kanan yaitu
f t
lim t 200
lim 5000 20t lim 5000 20.200
t 200
f t
lim 9000 20t
lim 9000 20.200 5000 t 200
lim t 200
f t 1000 5000
1000
t 200
Karena
t 200
lim t 200
f t maka
lim t 200
f t tidak ada
f 200 5000 20.200 1000 Karena
lim t 200
f t tidak ada dan f 200
1000 maka f tidak
kontinu di t = 200
Untuk t = 400 Nilai limit kiri yaitu
lim t 400
Nilai limit kanan yaitu
f t
lim t 400
lim 9000 20t lim 9000 20.200
t 400
f t
1000
t 400
lim 13000 20t
t 400
lim 13000 20.400 5000 t 200
Karena
lim t 200
f t 1000 5000
lim t 200
f t maka
lim t 200
f t tidak ada
f 400 9000 20.400 1000
Karena
lim t 200
f t tidak ada dan f 400
Untuk t = 600
1000 maka f tidak
kontinu di t = 400
Nilai limit kiri yaitu
lim t 600
f t
lim 13000 20t
t 600
lim 13000 20.600 1000 t 600
Nilai limit kanan yaitu
lim t 600
f t
lim 17000 20t
t 600
lim 17000 20.600 5000 t 600
Karena
lim t 200
f 600 Karena
f t 1000 5000
13000 20.600
lim t 200
2
50 4. K t m 2 1 t 2
f t maka
lim t 200
lim t 200
f t tidak ada
1000
f t tidak ada dan f 600
1
1000 maka f tidak
kontinu di t = 600
1250m
1 t 2
2
Kasus t = 0 2
1250m 50 1250m dan K 0 m 2 1 0 1 0 1
2
1250 m
lim
lim K t t 0
t 0
2
1
2
t
2
Karena K 0 1250 m Kasus
t
lim t 0
lim t 0
Ambil sembarang p 0, 1250m
1
p
2
2
1 0
1250 m
K t maka K kontinu di t = 0..........................i)
0,
K p
1250 m
lim t p
lim t p
K t lim t p
K t lim
Karena
t p
lim t p
Karena
1
p 2
1250
2
1
1250
1
p
2
1
1
p
2
2
p
2
2
p
2
2
2
lim t p
1250
1
p 2
1250
2
1250
K t
lim K t t p
1250
K t maka lim K t t p
1250
1
p
2 2
K p maka K kontinu di p
Jadi K kontinu di p Jadi K kontinu p 0, Jadi K kontinu pada selang 0, .....................................................................ii) Dari i) dan ii) maka diperoleh K kontinu pada selang 0,
15 15-2x
5.
x x
8-2x
a. Tulis p = panjang kotak yang akan dibuat (inci), l = lebar kotak yang akan dibuat (inci), t = tinggi kotak yang akan dibuat (inci), dan V = volume kotak yang akan dibuat (inci3)
p 15 2 x, l 8 2 x , t x V(x) = p.l .t =
15 2 8 2 x
120 x
x x
46 x
2
4x
3
b. V tidak mungkin bernilai negatif, V bisa nol dan V bisa lebih dari nol Pembuat fungsi
bernilai nol adalah x = 0, x = 4, dan x = 7,5.
V x
Untuk x = 0, berarti t = 0, p = 15 -2.0 = 15 dan l = 8 – 2.0 = 8 Akibatnya V= 15. 8. 0 = 0 (kotak tidak terbentuk karena masih berbentuk lembaran) Untuk x = 4, berarti t = 4, p =15-2.4 = 7 dan l = 8 – 2.4 = 0 Akibatnya V = 7. 0. 4 = 0 (kotak tidak terbentuk karena hanya dilipat menjadi 2 bagian yang sama) Untuk x = 7,5, berarti p = 15 – 2. 7,5 = 0, l = 8 – 2.7,5 = -7 (tidak mungkin), t = 7,5 Akibatnya kotak tidak terbentuk (V = 0) Nilai x tidak boleh lebih dari 4 karena akan mengakibatkan panjang dan lebar bernilai negatif. Nilai x tidak mungkin negatif, karena berarti tinggi negatif (tidak mungkin) Jadi D f
0,4
c. Akan ditunjukkan V kontinu pada selang 0,4 1) Akan ditunjukkan V kontinu pada selang 0,4 Ambil sembarang q 0,4 Karena V q 120q 46q 2
4q
3
dan
xlimq 120 x 46 x
lim V x
x q
2
4 x
3
maka
120q 46q
lim V x
xq
2
4q
120
q 46q
3
2
4q
3
V q
Akibatnya V kontinu di q Jadi
q
0,4 V kontinu di q
Jadi V kontinu pada selang 0,4 .................................................................i) 2) Akan ditunjukkan
lim x 0
V 0 120.0 46.0 2
lim
lim V x x 0
x 0
Karena
120 x 46 x
2
0
4 x
3
lim 120.0 46.0
2
4.0
3
0
0 lim V x akibatnya V kontinu di x = 0.........................ii) x 0
V x
Karena
x0
2
4.4
3
lim 120 x 46 x
x 4
100
V 4
V 4
lim V x
x 4
120.4 46.4
x 4
3
V 0
V 4
4.0
3) Akan ditunjukkan
lim
V x V 0
100
2
4 x
3
lim 120.4 46.4 x4
4.4
3
100
akibatnya V kontinu di x = 4................iii)
lim V x x 4
2
Dari i), ii), dan iii) diperoleh V kontinu pada selang 0,4
