MAKALAH
OPERASI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN FUNGSI VEKTOR Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kalkulus Lanjut I Dosen Pengampu : Dra. Emi Puji Pu ji Astuti
Disusun oleh:
Wahyu Nugroho S.
(4101409007)
Gilang Muhammad Bintang
(4101409078) (4101409 078)
Gilang Anjar Permatasari
(4101409083) (4101409 083)
Suryati
(4101409088)
Setiasih Alfindah
(4101409096)
Fenti Nugraheni
(4101409100)
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2010
BAB I PENDAHULUAN
A.
LATAR BELAKANG
Pemahaman tentang pengertian dan konsep-konsep fungsi vektor, operasi-operasi vektor, limit dan kekontinuan fungsi vektor sangat penting untuk
dipelajari,
karena
akan
mendasari
pembelajaran
lain
seperti
keterdifferensialan dan integral fungsi vektor beserta sifat-sifatnya serta penggunaan konsep kalkulus differensial fungsi vektor.
B.
RUMUSAN MASALAH
1. Apa pengertian fungsi vektor dan konsep-konsepnya? 2. Bagaimana operasi aljabar pada fungsi vektor? 3. Apa pengertian limit dan kekontinuan fungsi vektor beserta sifat-sifatnya?
C.
TUJUAN PENULISAN
1. Memenuhi tugas kalkulus lanjut 1. 2. Sebagai bahan pembelajaran dan referensi.
2
BAB II ISI
A. FUNGSI VEKTOR BESERTA OPERASINYA
Suatu kurva di bidang datar dapat kita tampilkan sebagai fungsi real baik eksplisit maupun implisit. Tetapi banyak ilustrasi yang tidak dapat terlihat dalam penampilan ini. Sebagai contoh: aturan lingkaran
2
+
2
2
=
,
> 0, belum
memperlihatkan apakah setiap titik pada lintasannya dijalani tepat satu kali, apakah lintasannya dijalani searah atau berlawanan arah dengan putaran jarum jam serta di manakah titik pangkal dan titik ujung dari lintasannya. Bila lingkaran tersebut ditampilkan dalam bentuk :
ℝ − =
dimana
+
,
parameter dan
,
> 0, 0
2 2
adalah vektor basis untuk
terlihat bahwa
lintasannya dimulai dari titik pangkal ( , 0) dan berakhir di titik ( , 0) serta setiap titik dijalani tepat satu kali kecuali titik pangkal dan titik ujung dengan orientasi berlawanan arah dengan jarum jam. Misalkan
=
( ) =
=
( ) =
;
;
> 0 ,0
> 0 ,0
2
2
dengan mensubtitusi dari kedua persamaan ini diperoleh 2
+
2
= ( cos )2 + ( sin ) 2 =
2
, >0
yang merupakan persamaan lingkaran. Penampilan lingkaran sebagai suatu fungsi vektor di bidang tidak tunggal , beberapa bentuk lain adalah
( ) = (
2 )
+ (
( ) = (
)
(
Dengan mengeliminasi lingkaran
2
+
2
=
2 ),
),
> 0, 0
> 0, 0
2
dari setiap persamaan terakhir, kita akan memperoleh
2
. Terlihat bahwa penampilan suatu kurva bidang
sebagai fungsi vektor dapat memperlihatkan arah gerakan dan berapa kali lengkungan tersebut dijalani. Kelemahannya adalah penampilan suatu kurva dapat dibuat dengan lebih dari satu cara. 1. Fungsi Vektor di Bidang dan Ruang
Grafik fungsi vektor di dalam ruang dan bidang dinamakan kurva bidang di bidang dan ruang. Kurva ini dapat didefinisikan sebagai berikut:
3
Definisi 1.1.1
1.
⊆ℝ →ℝ ℝ ⊆ℝ →ℝ ℝ Misalkan fungsi
=
( ) dan
=
( ) terdefinisi pada himpunan 2
dengan parameter. Fungsi :
( ) =
dimana ( , ) basis baku untuk 2.
=
Misalkan fungsi
( ),
.
( ) + ( )
2
dinamakn fungsi vektor bidang.
=
( ) dan
=
( ) terdefinisi pada 3
dengan t parameter. Fungsi :
himpunan
( ) =
( ) + 3
dimana ( , , ) basis baku untuk
( ) +
.
( )
. dinamakan fungsi vektor di ruang.
Diagram panah dari definisi 1.1.1 diperlihatkan pada Gb.1 dan Gb.2 di bawah.
Catatan :
1.
Bila diketahui kurva
sebagai fungsi vektor di
berapa kali kurva dijalani sudah tertentu. 2.
Bila diketahui kurva belum diketahui.
3.
2
atau
3
, arah dan
dalam kartesius, arah dan berapa kali dijalani
Fungsi vektor di bidang memuat pengertian
ℝ ℝ
, ,
. fungsi vektor di ruang peubah
sebagai fungsi implisit dari
terlibat, peubah yang satu
merupakan fungsi implisit dari peubah lainnya. 4.
Fungsi vektor sering kali dinamakan fungsi parameter. Istilah yang lengkap adalah fungsi bernilai vektor dengan peubah real Contoh 1.1 :
Diketahui fungsi vektor di bidang
− − − ≤≤ − − =
a. Jika
=
1 dan
1
=
+
2
fungsi dari .
4
2
1 , 2
1, nyatakan
2
secara eksplisit sebagai
b. Gambarkan grafik fungsi
di bidang XOY sebagai kurva .
Penyelesaian:
– − − − ≤≤ − ≤− ≤ − ≤≤ − ≤≤ −
a. Mengeliminasi
=
diperoleh
dari persamaan yang diberikan. Dari
+ 1 yang bila digantikan ke persamaan
=
=
1
2
1
menghasilkan
= ( + 1)2
karena
2
2 maka
1=
3
1
2
+2
1, sehingga
3
1.
jadi fungsi parameter dapat ditampilkan sebagai 2
=
+2 , 3
b. Perhatikan bahwa disini arah kurva
1
adalah dari titik pangkal
( 3,3) ke titik ujung (1,3) dengan setiap titik pada kurva dijalani satu kali. Kurva
yang berbentuk parabola diperlihatkan pada
gambar di bawah ini:
− ≤≤ − − − ≤≤ − − − −− − −− − − − =
Jelas 2
2
+2 , 3
1 , 2
1,
atau fungsi
memasukkan
3 =9
=
+
( ) mempunyai titik pangkal di
( 3,3), ini bisa dihitung dengan menggunakan
2
1
2.
Jelas gambar grafik
cara
=
dan
=
3
sehingga
=
2
diperoleh
+ 2 , dengan = ( 3)2 +
6 = 3. Juga bisa dihitung dengan menggunakan
2, sehingga diperoleh
=
2
1=
3 dan
= ( 2)2
1 = 3. Dan cara yang sama kita dapat mencari titik ujung kurva, sehngga di dapat titik ujung kurva (1,3). Jelas disini arahnya berlawanan dengan jarum jam.
5
Titik potong dengan sumbu
− − − − −∙ − − − − − 2
0=
+2
0 = ( + 2) 1
= 0;
2
=
2
Titik potong dengan sumbu
= 02 + 2.0 =0
Koordinat titik balik ( 1, 1)
=
2
=
2
2 1
=
1
= ( 1)2 + 2( 1) = 1
2=
1
Contoh 1.2
Nyatakan lingkaran yang berpusat di titik (0,0,0), berjari-jari 4 satuan dan terletak pada bidang Penyelesaian:
=
1 3
3 sebagai suatu fungsi vektor di ruang.
Perhatikan gambar di bawah ini yang memperlihatkan lingkaran berpusat di titik (0,0,0), berjari-jari 4 satuan dan terletak pada bidang 1 3
3 .
6
Γ :
=
Cara pertama
Γ
Lingkaran berpusat di (0,0,0) dengan jari-jari 4, terletak pada bidang :
⇔ ⟶∠ ⊥ ⊥ ∠ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ≤≤ ∙ ∙ =
1 3
3 . Jelas
=
1
3
3
=
3
= .
3
6
Kita dapatkan gambar sketsanya seperti pada gambar 4.
Mencari
Perhatikan persegi panjang OQPZ, (OQPZ persegi panjang karena
dan
sehingga
OQPZ tegak lurus dengan semua garis yang ada di bidang OXQY termasuk OQ).
=
=
Jelas
sin = 4 s in
Perhatikan persegi panjang OXQY Didapat
=
cos = 4 sin 6
1
3 = 2 3 sin .
2
Mencari
Perhatikan bidang OQPZ
= 4 s in
Jelas
Perhatikan bidang OXQY Didapat
=
sin = 4 sin 6
1 2
= 2 s in .
Mencari
Perhatikan bidang ZOQP
=
Dari
cos = 4 c os .
perhitungkan
2sin , dan ( )=
di
= 4 cos
+
+
atas
kita
= 2 3 sin ,
peroleh
disubstitusikan
ke
persamaan
=
umum
, didapat persamaan vektornya:
= (2 3 sin ) +(2sin ) + (4cos ) , 0
2 .
Cara kedua
Lingkaran di ruang berarti berbentuk bola dengan persamaan 2
= 16 dan
=
1
3 .
3
Perhatikan persegi panjang OZPQ
=
sin = 4 s in .
Perhatikan persegi panjang OXQY
=
=
1
sin = 4 sin 6
2
7
= 2 sin .
2
+
2
+
⇔ − − ≤≤ ≤≤ Γ = 2 sin .
Ambil
=
2
+
3
3
=
3
2
3
2
+
2sin = 2 3 sin .
= 16.
(2 3 sin )2 + (2 sin ) 2 + 2
12 2
= 16
+4
16
2
+
2
2
2
= 16.
= 16
16
2
2
= 16 1
+
= 16
2
= 16.
2
.
= 4 c os .
Jadi
= (2 3 sin ) +(2sin ) + (4 cos ) , 0
2
Jadi suatu fungsi vektor untuk kurva ruang ini adalah :
= (2 3 sin ) +(2sin ) + (4 cos ) , 0
2 .
Cara ketiga
Perhatikan kembali Gb.4, perpotongan antara bidang
:
=
1 3
3
dengan bidang XOY adalah garis lurus
=
:
1
3 3 =0
Garis lurus ini dan bidang r yang memuat lingkaran L memperlihatkan pada Gb.5 dan Gb.6.
Misalkan u adalah vektor satuan sepanjang garis g, maka vektor u dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari i dan j, yaitu
=
8
1 2
3 +
1 2
Suatu fungsi vektor untuk persamaan lingkaran L yang terletak pada bidang r adalah
≤≤
= (4 sin ) + (4 cos ) = (4 sin )
1 2
1
3 +
+ (4 cos )
2
= (2 3 sin ) + (2 sin ) + (4 cos ) , 0
2
Perhatikan bahwa cara ini memberikan hasil yang sama.
2. Operasi Pada Fungsi Vektor
Kita telah mempelajari bahwa kurva bidang dan ruang dapat
ℝ ℝ 2
ditampilkan sebagai fungsi vektor di
dan
3
. Selanjutnya, kita
ℝ … … ⊆ℝ →ℝ ℝ ⋯ ℝ ℝ mendefinisikan fungsi vektor di
sebagai berikut.
Definisi 1. 1. 2
Misalkan
1
=
;
1
dengan
2
=
,
2
parameter dan
Fungsi :
,
=
( ) terdefinisi pada himpunan
1, 2,
,
+
+
adalah basis baku untuk
,
=
1
1
+
2
2
=
( )
=1
Dinamakan fungsi vektor di
. Grafik fungsi ini dinamakan kurva di
.
Diagram panah untuk fungsi ini diperlihatkan pada gambar berikut ini.
Definisi 1. 1. 3
→ℝ ⊆ℝ →ℝ
Misalkan Fungsi
,
, :
dan
:
dikatakan sama (ekivalen) dengan
ℝ
adalah fungsi vektor di
jika
dan
menjalani
dalam
jumlah yang sama dan dengan arah yang sama dari titik pangkal dan titik ujung yang sama pula.
9
ℝ
Bila kita mempunyai dua vektor di
, maka operasi aljabar yang dapat
dilakukan padanya ialah penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan skalar,
perkalian skalar, dan khusus untuk
= 3 perkalian silang vektor.
Berikut ini adalah definisi dari semua operasi pada fungsi vektor tersebut. Definisi 1. 1. 4
ℝ →ℝ ⊆ℝ ℝ – − − − ∈ℝ ℝ ∈∈ℝ ∈∈ℝ −
A. Operasi Aljabar pada Fungsi Vektor di Misalkan , :
,
.
;
=
1
=
dan
( )
=1
Adalah fungsi vektor di
=1
Penjumlahan, pengurangan, perkalian dengan
skalar dan perkalian skalar dari
+
,
dan , ditulis:
,
, konstanta real dan . .
didefinisikan sebagai berikut.
+
Penjumlahan :
=
+
=
+
( )
1
=1
=
Pengurangan :
( ) =
( )
1
=1
Perkalian dengan skalar : (
)
=
=
( )
=1
Perkalian skalar :
.
=
( ).
=
[
.
]
=1
B.
=
Jika 2
ditulis
+
×
1
+
+
2
,
3
.
,
3
=
dan
maka perkalian silang (vektor) dari
didefinisikan sebagai vektor:
×
=
1(
) 1( )
= +
C.
3
Perkalian Silang Dua Fungsi Vektor di
2(
) 2( )
3(
2(
) 2( )
3(
1(
2(
) 1( )
) 3( )
) 3( )
) 2( )
Komposisi Fungsi Real dengan Fungsi Vektor.
10
1(
) 1( )
3(
) 3( )
1
dan
+ ,
⊆ℝ →ℝ ℝ ⊆ →ℝ ℝ ∘ ,
Misalkan
; :
dan :
Komposisi dari
,
,
= ( ) fungsi real dengan
=
=1
( )
fungsi vektor di
=
.
dan , ditulis F g , didefinisikan sebagai:
=
=
[
]
=1
Situasi definisi ini diperlihatkan pada gambar berikut ini: D. Operasi Perkalian Fungsi Real dengan Fungsi Vektor.
⊆ℝ →ℝ →ℝ ℝ ∈⊆ℝ , :
Misalkan
( )
=1
,
=
fungsi vektor di
fungsi real dan :
. Perkalian antara
,
dengan , ditulis
didefinisikan sebagai:
=
.
,
=1
Contoh:
Diketahui fungsi
− −∈∈ℝ ∈ℝ − ∙ = sin
+ cos
+
= cos
sin
+
=
,
,
,
Tentukan fungsi
+ ,
,
,
11
× , ° , ° ,
.
= ,
Penyelesaian: Berdasarkan Definisi 1.1.4 diperoleh hasil berikut.
− ∙
− − −− − −− − − − − −− −−− − − − − ∘ − ∘ − +
= (cos + sin ) + cos = sin
cos
= sin cos
×
= sin cos cos = sin =(
sin
+
+ sin + cos
+
+
cos sin +
cos sin
sin cos
sin cos
cos + sin )
(
sin
cos ) ) +
=
=
= (sin
) + (cos
=
=
= (cos
) +
+
=
=(
sin ) + (
cos ) +
=
=(
cos )
sin ) +
(
cos sin
B. LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI
Sebelum membahas limit fungsi vektor, kita perlu mengingat kembali konsep limit fungsi real sebagai dasar atau analogi untuk mendefinisikan limit fungsi vektor. Denifisi formal limit fungsi real adalah :
di
→ ∀ ∃ ∋ − −
Dipunyai fungsi
terdefinisi pada selang
sendiri. Limit fungsi ( ) bernilai
Jika dan hanya jika
>0
lim
yang memuat
untuk mendekati
kecuali mungkin
ditulis
=
>0
<
12
apabila 0 <
<
Pada grafik di atas terlihat bahwa nilai ( ) dapat dibuat sebarang dekat ke
dengan cara mengambil nilai
yang cukup dekat dengan . Dengan kata lain,
jarak ( ) ke L dapat dibuat sebarang kecil dengan cara mengambil jarak x ke
cukup kecil. Bila ukuran jarak yang digunakan di sini adalah nilai mutlak, maka diperoleh rancangan konsep limit yang hasilnya seperti di atas. 1. Limit Fungsi Vektor
ℝ
Konsep limit fungsi vektor di
dirancang serupa dengan limit fungsi
real. Namun sebelumnya, perlu diterjemahkan simbol fungsi vektor yang berbeda dengan simbol fungsi real. Rumus fungsi vektor di masing-masing ruang dituliskan :
⋯ 2:
( )=
+ ( )
3:
=
4:
=
1
1
+
2
2
+
:
=
1
1
+
2
2
+
+
+ ( )
3
3
+
+
4(
)
4
( )
=
=1
Dimana disepakati bahwa ( )
:
Komponen fungsi vektor.
( )
:
Fungsi vektor pada satu arah dengan
melambangkan fungsi,
sebagai variabel (pengganti
pada
fungsi
real)
dan
menyatakan arah vektor (vektor satuan).
… … ℝ ⋯ … − … − − − ⋯ − Namun demikian dalam makalah ini simbol
1, 2,
,
=
. Sehingga
1
1
+
2
menggunakan ukuran jarak dua vektor di Untuk
=(
Maka jarak
1,
ke
=
2,
,
) dan
=(
ditulis
(
1
+
+
2,
,
( )
digantikan
. Disini kita
sebagai berikut:
1,
2,
,
)
didefinisikan sebagai:
1)
2
+(
2
Agar limit fungsi vektor ( ) untuk
sekitar
2
1,
2)
2
+
+(
mendekati
)2
dapat dibahas, di
harus terdapat tak berhingga banyaknya titik dari domain
ini kita mengambil domain mungkin di
selang terbuka
sendiri.
13
yang memuat
. Untuk kecuali
Situasi yang terjadi adalah jarak
…
( 1, 2,
,
( ) ke suatu vektor tetap
=
) dapat dibuat sembarang dekat dengan cara membuat jarak ke
cukup dekat. Dengan demikian diperoleh konsep limit fungsi vektor sebagai berikut: Definisi 1.2.1
… … ℝ ∀ ∃ ∋ − → ⇒ − → ⟺∀ ∃ ∋ − ⇒− → − ⟺∀ ∃ ∋ − ⇒− Misalkan fungsi vektor ( ) =
1(
)
1
+
2(
terdefinisi pada selang terbuka di D yang memuat
= ( 1, 2,
sendiri dan
,
) vektor di
>0
2
+
+
( )
, kecuali mungkin di
. Limit fungsi
( ) = , jika
sama dengan L, ditulis
)
jika t mendekati a
>0
0<
<
< .
Adapun limit sepihak fungsi vektor didefinisikan sebagai berikut:
lim+ ( ) =
>0
>0
0<
<
<
lim
>0
>0
0<
<
<
( )=
Teorema 1.2.1
→ ⟺− − → ⟹∀⟹ ∃ −∋ − ⟹⟹ −− → −
= ( ) terdefinisi pada selang terbuka
Misalkan fungsi vektor
yang memuat , kecuali mungkin di
( )=
sendiri. Maka
( )
Bukti:
( )=
Dipunyai
Bukti ke kanan :
>0
>0
0<
<
<
0 <
lim
=0
Bukti ke kiri :
⟹∀⟹ ∃ − −∋ − ⟹ − ε
>0
>0
0 < t
F t
L
F t
L <
→
Jadi limt
a
a <
0 <
F(t) = L
Jadi terbukti bahwa teorema di atas benar.
14
=0
Teorema 1.2.2
… … ⟺ ℝ … → ⟶ ⇒ → ∀ ∃ ∋ − ⇒ − − − ≤ − − − ⟺ − ≤ − → … ⇒ → … → − … − ( )=
Misalkan fungsi vektor
terdefinisi pada selang terbuka di
= ( 1, 2,
sendiri dan
,
1(
)
1
=
diketahui lim
=
2(
yang memuat
) suatu vektor di
lim
+
lim
)
+
2
+
( )
, kecuali mungkin di
. Maka
= , = 1,2,3,
,
Bukti :
>0
>0
ini berarti bahwa
0<
<
<
Karena
1/2
2 1/2
=[
]
]2
[
=
=1
Untuk > 0 di atas berlaku
0<
<
<
Sehingga terbuktilah
lim
= , = 1,2,3,
diketahui lim lim
,
= , = 1,2,3,
[
] = 0 , = 1,2,3,
,
dari sini diperoleh
,
Sehingga
→
lim[
Akibatnya
]2 = 0
→ − → − → lim
= lim
1/2
]2
[
=0
=1
Menurut Teorema 1.2.1 terbukti lim Teorema 1.2.3
= .
… … Misalkan fungsi vektor
dan
( )=
1(
)
+
2(
)
( )=
+
+
1(
( )
)
1
+
2(
)
2
semua terdefinisi pada selang terbuka
( ),
sendiri. Jika
+
( )
maka =
tunggal,
yaitu
( ),
jika
.
Bukti :
15
( )
= ( )
yang memuat , kecuali mungkin di
( ) ada dan berhingga,
maka 1.
+
, dan fungsi real
→ → → → → 1
2
lim
( ) = dan lim
→
( )=
→
Dipunyai lim
→
( ) = dan lim
Ambil sembarang
> 0.
( )=
maka =
.
Pilih δ1 > 0 dan δ2 > 0 sehingga
−− −− − − −≤− − → → → − − ∈ ≠ − − − − ≤ − − ∈ ∩ ≠ − → − → − → → → → → → ( )
< /3 apabila 0 <
( )
<
< /3 apabila 0 <
= min(
Pilih
dan
1
<
2.
1 , 2 ).
=
Jelas
( )+ ( )
+
<
/3 + /3 < .
=
Dengan kata lain terbukti bahwa 2. limt
F t + G t = limt
a
a
.
F t + lim G t t a
Bukti :
> 0. Menurut yang diketahui, ada bilangan
Ambil sembarang bilangan
> 0 dan
1
( )
> 0 sehingga
2
( ,
) = (
′
=
Untuk setiap
= min
1,
2(
(
),
1(
2(
),
(
))
1(
a
4. limt
a
5.
→
6. limt
a
0
( ,
) < /3
′
′
dan
0
<
0.
Dengan mengambil
′
+ ") =
1(
),
1(
))
( , )+ ′
( ,
) + (
′
′
=
+
cF(t) = limt
a
.
=
2(
),
2(
,
G t = limt
a
0,
F t
))
dan
( ", ") < + < . 3
0
<
lim G t t a
F(t), c konstanta real .
→
gF(t) = limt
Contoh :
a
→
g(t) . limt
a
F(t)
Hitunglah setiap limit fungsi vektor berikut. a) b)
→ − → → − − → → 1
0
+
0
+
1+
+
1+ 2
Jawab :
a) Kita hitung dahulu limit setiap komponen fungsi vek tornya.
1
0
1
0
=
′
( ", ")
))
F t
,
+ ",
′
Untuk setiap 3. limt
), ( ))
diperoleh :
2
( )+ ( )
(
1(
′
+
1+
1
+
1+
=1
16
2
3
→ → → → → − → → → → 1+
=
0
0
1 1+ 1
=1
2
1+
=
0
0
1
jadi,
2 =0 1+
+
1+ 2
+
= + .
b) Kita hitung dahulu setiap komponen fungsi vektornya.
+
0
=1
0
0
=0
Jadi,
+
0
= 1.
2. Kekontinuan Fungsi Vektor
Seperti pada fungsi real, konsep kekontinuan fungsi vektor di satu titik dapat di definisikan limit fungsi dititik itu, yang harus sama dengan nilai fungsinya. Berikut adalah definisi formalnya.
Definisi 1.2.2
Misalkan fungsi vektor
→ selang terbuka
⋯ ∈ =
.
1
,
yang memuat
=
1
+
+
terdefinisi pada
dikatakan kintinu di
jika
Definisi 1.2.3
⋯ ∈ ∀ ∃ ∋ − ⟹− ⋯ ⊆ ⋯ ⇔ ∩…∩ … =
Misalkan fungsi vektor
himpunan
>0
1
yang memuat , fungsi
>0
1
+
+
terdefinisi pada
dikatakan kontinu di
<
jika
( ) < .
Definisi 1.2.4
=
Fungsi vektor
himpunan titik pada
1
1
+
+
dikatakan kontinu pada
yang terdefiinisi pada
jika fungsi
kontinu di setiap
.
Teorema 1.2.4
=
Fungsi vektor
real
kontinu pada
=
1
1
+
+
, = 1, 2,
1
17
kontinu pada
, .
fungsi
Bukti : Bukti ke kanan :
⟹⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⟸ =
1
1
+
⋯ … … ∩…∩ ∩…∩ +
kontinu pada
kontinu pada setiap titik di kontinu pada
, = 1, 2 ,
1
, .
( ) kontinu pada
( ) kontinu pada
( ) kontinu pada
Bukti ke kiri
( ) kontinu pada
=
=
.
1
.
1
⇒
( ) kontinu pada
⇒
( ) kontinu pada
( ) kontinu pada setiap titik di
⇒
Jadi teorema di atas terbukti kebenarannya.
Teorema 1.2.5
⋯ ⋯ ∩ ∩ − ⋯ ⋯ ∩ ∩ → → → → → → → → − → − =
Misalkan fungsi vektor
1
1
+
+
( )
selang terbuka
=
konstanta real, .
dan
1
1
=
dan fungsi real
+
+
=
dan
( ) semuanya terdefinisi pada
, maka fungsi
semuanya kontinu pada
.
=
+
+ ,
,
Bukti:
Misalkan fungsi vektor
+
+
himpunan
=
1
1
( )
1
dan fungsi real
1
=
+
, terdefinisi
=
=
Maka
+
=
=
=
+
+
( )
Ini menunjukan bahwa fungsi
+
+
=
+
=
18
=
( ) semuanya kontinu pada
= ( )
dan
kontinu pada
.
→ −→ − − – → → → → → → → → → → → ⋯ → → ⋯ ∘ =
( )
= =
( )
Ini menunjukan bahwa fungsi
kontinu pada
=
=
Ini menunjukan bahwa fungsi
.
kontinu pada
=
( ).
=
. ( )
.
( )
.
Ini menunjukan bahwa fungsi
.
. ( )
=
=
.
( )=
kontinu di
( 0. ( )
=
.
=
. ( )
=
( )
Ini menunjukan bahwa fungsi
kontinu pada
Teorema 1.2.6
1.
Jika fungsi real yang memuat
= ( ) semuanya terdefinisi pada selang terbuka
dengan
( )=
=
dan fungsi vektor ,
(
2.
)=
1
1
+
+
kontinu di , maka
( ) = ( )
Jika fungsi real u = g(t) terdefinisi pada himpunan D dengan E ⊆ R dan fungsi vektor maka fungsi vektor (
=
1
1
+
) kontinu pada
+
=g(D) ⊆
kontinu pada ,
.
Bukti : 1.
− ⇒− ∃ ∋ − ⟹ − − − ⇒ − − Diberikan
0<
maka
> 0, akan ditunjukan terdapat suatu
< 1
( )=
0<
( ) < . diketahui
>0
0<
<
<
<
19
1.
kontinu di ,
( ) < .
1
diperoleh bahwa untuk
> 0 sehingga
1
> 0 terdapat
Ambil
Dari
> 0 sehingga
= , maka 0 <
<
⇒ ⇒− ⇒ − ⇒− − =
<
<
1
( ) <
1
( ) < .
Jadi terbuktilah yang diinginkan 2.
Sama seperti bukti rumus pertama dan diserahkan pada pembaca.
Contoh :
Diketahui fungsi vektor adalah
− − − ≠ − − ≠ ≠ − ≠ ℝ ℝ ℝ ≠ → → → ℝ ≠ − → → → ln(1 +
2
2
)
1
+
=
2
sinh
,
0
, =0
Tentukan semua nilai sehingga fungsi
kontinu.
Penyelesaian :
Komponen fungsi vektor adalah 2
ln(1 +
)
=
2
,
0;
1
,
=
0, = 0
sinh
0,
=
terdefinisi pada
0
1, = 0
2, = 0
Karena setiap komponen fungsi
,
, maka
terdefinisi pada
.
Sekarang selidiki kekontinuan setiap komponen fungsi
Fungsi
pada
.
= ( ); 0,
Untuk
= ( ) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi
kontinu.
Untuk = 0, karena
(1 +
( )=
Maka fungsi
2
)
=
2
= 0 = (0)
= ( ) juga kontinu di = 0. Dari kedua hasil diatas diperoleh
bahwa
= ( ) kontinu pada
Fungsi
= ( )
Untuk
0
2 1+ 1
0,
.
= ( ) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi
kontinu.
Untuk = 0, karena 2
( )=
0
1
=
2
0
1
= 2 = (0)
20
ℝ ≠ − − → → → − ℝ ℝ = ( ) juga kontinu di
Maka fungsi
diperoleh bahwa Fungsi
= ( )
Untuk
0,
= ( ) kontinu pada
= 0. Dari kedua hasil diatas
.
= ( ) kontinu karena merupakan hasil bagi dari dua fungsi
kontinu.
Untuk = 0, karena
( )=
Maka fungsi bahwa
Karena
=
0
0
1
=
1 = (0)
= ( ) juga kontinu di = 0. Dari kedua hasil diatas diperoleh
= ( ) kontinu pada = ( ),
juga kontinu pada
= ( ), = ( ) semuanya kontinu pada .
21
ℝ
, maka fungsi
BAB III PENUTUP
A.
KESIMPULAN
Konsep fungsi vektor dan operasinya ternyata serupa dengan fungsi real dalam kalkulus dan secara umum fungsi vektor dikenal dengan fungsi parameter yakni fungsi bernilai vektor dengan peubah real. Operasi yang dapat dilakukan pada fungsi vektor adalah fungsi aljabar,
dan operasi
perkalian antara fungsi real dengan fungsi vektor. Demikian juga konsep limit dan kekontinuan fungsi vektor yang didefinisikan dengan memanfaatkan konsep limit dan kekontinuan fungsi real.
B.
SARAN
Konsep fungsi vektor, operasi vektor, limit dan kekontinuan harus benar-benar dipahami karena mendasari pemahaman pembelajaran materi selanjutnya. Agar lebih mudah dalam memahami konsep-konsep tersebut, disarankan untuk terlebih dahulu memahami konsep fungsi, limit dan kekontinuan fungsi real serta materi pendukung lainnya dalam mata kuliah kalkulus 1 dan 2.
22
SOAL LATIHAN
1.
Jika 2.
∈ℛ = + 1 dan
3
=
= 4 c os dan
4.
Tunjukkan bahwa
,
(0,0)
0
2
+ 1 ,
.
= (4 cos ) + ( 3sin ) ,
+
2
2
(0,2 )
.
= 0.
− − − − −−
Dipunyai fungsi vektor
Selidiki kekontinuan fungsi 6.
3
2
Hitunglah lim
→
+
= 3 s in . Tentukan persamaan koordinatnya!
→
3.
lim
+1
+ 1. Tentukan persamaan koordinatnya!
Dipunyai fungsi vektor Jika
5.
=
Dipunyai fungsi vektor
Dipunyai fungsi vektor
Selidiki kekontinuan fungsi
= sin
1
+ cos
1
+
pada daerah definisinya.
= sin
1
(2 + 3)
+
tan 1
pada daerah definisinya.
23
1
.
.
DAFTAR PUSTAKA Berkey, D. Dennis.1988.Calculus, 2nd Edition. New York : Sounders College Publishing Chotim, Moch.2008. Kalkulus 1. Semarang: Universitas Negeri Semarang. Martono, K.1992. Kalkulus Lanjut 1. Bandung : Institut Teknologi Bandung. Purcell, E & Varberg, D.1987. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1. Terjemahan I Nyoman Susilo, Bana Kartasasmita, dan Rawuh. Jakarta : Penerbit Erlangga. Purcell, E & Varberg, D.1987. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 2. Terjemahan I Nyoman Susilo, Bana Kartasasmita, dan Rawuh. Jakarta : Penerbit Erlangga.
24
