Disarikan dari Malatuni 2007
Topik Topik Bahasan Penggunaan Konsep Limit Fungsi
1
Amati arah terbang dua ekor burung menuju sangkar dari arah yang berbeda. Jika kita aplikasikan dalam bentuk matematis (kalkulus) maka: Tiang sangkar sebagai garis ; Jejak terbang burung identik dengan grafik fungsi ; Jarak kedua ekor burung semakin dekat ke sangkar atau ; Ketinggian burung pada saat tiba dalam sangkar misalkan ; Ditulis:
2
f(x) lim f ( x ) L x
L
c
Definisi tersebut mempunyai arti, bilamana x dekat tetapi berlainan dengan c maka f(x) dekat ke L. Seberapa dekat?
0
Untuk memperjelas permasalahan ini perhatikan grafik fungsi f(x) di kolom sebelah kiri.
c
Jika x mendekati c baik dari kiri maupun dari kanan maka f(x) akan semakin mendekati L. Jadi, kita peroleh: lim f ( x ) L
x
c
lim f ( x ) L dan lim f ( x ) L x
c
x
c
3
Grafik fungsi f ( x )
x
2
9 Contoh 2:
x 3
Y
Tentukan nilai dari lim x
Penyelesaian: 40
x
Fungsi f ( x )
2
x
3
2
9
x 3
9
tidak terdefinisi pada x 3 x = 3, karena diperoleh bentuk 00 (tak tentu).
20
Lakukan pendekatan seperti pada contoh 1. 0 2
4
X
↓ x mendekati 3 dari kanan
x mendekati 3 dari kiri x
2
2,99
2,999
... 3 ... 3,001
3,01
4
f(x) −13 −1794,01 −17994 ... ? ... 18006 1806,01 25
-20
f(x) mendekati bilangan negatif yang sangat kecil
↑
f(x) mendekati bilangan positif yang sangat besar
-40 x=3 Asimtot Tegak
Grafik fungsi f ( x )
x
2
Dari gambar grafik nampak bahwa jika x mendekati 3 dari kiri maka f(x) akan mendekati bilangan negatif tak hingga.
9
x 3
Y
lim x
40
20
0 2
4
X
3
2
x
9
x 3
Sebaliknya jika x mendekati 3 dari kanan maka f(x) akan mendekati bilangan positif tak hingga. 2 x 9 lim x 3 x 3 Karena
-20
x
lim x
2
9
x 3
3
lim x
3
x
2
9
x 3
maka nilai dari:
-40 x=3 Asimtot Tegak
lim
x
x
3
2
9
x 3
tidak ada
4
Y
Contoh 3:
Bagaimana dengan lim x
1
?
x
Penyelesaian:
Dengan pendekatan nilai x positif tanpa batas (+ ) dan negatif tanpa batas (- ). Lihat tabel dan grafik. 0
X
Kita peroleh nilai: lim
x
x mendekati bilangan negatif yang sangat besar x f(x)
0
1 x
0
x mendekati bilangan positif yang sangat besar
...
-1.000.000 -100.000 -10.000 -1.000 -100 100 1.0 00 10.000 100.000 1.000.000
...
...
-0,000001 -0,00001 -0,0001 -0,001 -0,01 0,01 0,001 0,0001 0,00001
...
f(x) semakin mendekati nol (0)
Flowchart untuk menghitung nilai: lim
f ( x )
Start
Tidak
Ya Bagi dengan pangkat tertinggi
Hasil
0
f(x) semakin mendekati nol (0)
x
Rasional?
0,000001
Rasionalkan/ kalikan akar sekawan kemudian bagi pangkat tertinggi
Flowchart untuk menghitung nilai: Start
lim f ( x ) x
c
Substitusi x = c
Bentuk tak tentu?
Tidak
Ya Lakukan pemfaktoran atau rasionalkan bentuk akar
Lanjutkan Hitung
Stop Hasil
Stop
5
c) lim x
3 x
2
2 x
4 x 1 adalah fungsi rasional. x 3 Mengapa?
2
Karena fungsi rasional maka langsung 2 bagi pangkat tertinggi ( x ) lim
x
3 x
2
2 x
4 x 1
2
x 3
lim
x
lim
x
lim
x
d) lim ( x x
3 x
2
2 x
2
x
2
4 x 2 x
2
x 2 x
2 x 2 x
3
4 x
2
1 x
3
2 0 0
2
3
x
2
1 2 x 3 2 x
1 2 x 3 2 x
3 0 0 4 x 1 3
3 x 2 2 x
bukan fungsi rasional. 4 x ) Mengapa?
Rasionalkan dengan cara kalikan akar sekawan, selanjutnya bagi pangkat tertinggi. lim ( x
x
x
lim ( x
x
2
Kalikan akar sekawan
4 x ) L 2
x
x
4 x )
x
lim
x
x
2
x
lim
x
( x
2
x
2
x x
2
x x 2
4 x
4 x x 2
x
lim
x
2
4 x
x
2
4 x 4 x
x
x
2
4 x
4 1
1
4 x
2
1 0
lim ( x
x
lim
4 x x
4 1
4 x )
x
x
2
4 x )
2
6
Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka:
dimana:
; utk n genap
Kita lihat contoh penerapannya!
Contoh 5:
Tentukan nilai dari: a) lim (7 x 4 ) x
1
b) lim x
2
x
2
3 x 2 2 x
2
lim f ( x ) g( x )
x
1
lim f ( x )
c
x
c
lim g( x )
x
c
Penyelesaian:
lim kf ( x ) k lim f ( x )
a) lim (7 x 4 ) x
1
lim 7 x
x
1
7 lim x x
1
lim 4
x
x
c
x
c
1
lim 4
x
1
7(1 ) 4 3
7
b) lim x
2
x
2
3 x 2 2 x
2
lim ( x
x
2
3 x 2 )
2
lim 2 x
1
x
2
lim 3 x
2
x
2
lim ( 2 x
x
lim x
x
x
lim 2 x
2
2 2
2
lim 2
x
2
1 )
lim 3 x
2
x
2
2
2
2
lim
x
1
2
lim x
x
2
Teorema
c
x
g( x )
lim g( x )
Teorema lim f ( x ) x
c
Teorema lim n f ( x ) x
lim f ( x )
f ( x )
c
x
c
x
c
c
g( x ) n
; lim g( x ) 0
lim f ( x )
x
c
lim g( x )
x
c
lim f ( x )
x
c
lim 2
x
2
lim 1
x
2
3( 2 ) 2 2( 2 )
2
1
4 6 2 8 1 8 3
“Klik pada tombol untuk memilih soal”
8
1. 2 1 0 2
2.
3 4
9
3. lim
4
x
x
4
2
16
lim
x 4
x
x
4
2
16
x 4
x 4
x 4
Rasionalkan bentuk akar
3 0 3 4
4. Kalikan akar sekawan
3 2
lim
x
1 x
0
1 x x
1 x
1 x
1 x
1 x
1 0 1
lim
x
0 x (
2 x 1 x
1 x )
10
5. lim h
x h h
0
x
.... lim
h
x h
x
....
h
0
x h
lim
h
0 h(
x h
0 h(
1. lim ( x x
2
x h
x )
x h
0
x x
x
x h
x
1
h
0
lim ( x
2 3
1
x 0
3 x x ) ....
2
2
lim
x
7 3
2
3 x x
x
2
x
2
lim
x
7 4
lim
2
3 x x
x
2
3 x x
3 x x 3 x 3 x x
2
x 2 x
3 x 2 x
x x
Bagi pangkat tertinggi
3
lim
1
x
3 x
3 2
1 3
1 0 1 x
x
2
3 x x
x
lim ( x
Kalikan akar sekawan
3 x x )
x
4 3
2 x
2 x
lim ( x x
1 x
3 x x ) ....
x
3 2
x
x )
1
h
x h
1
lim
lim
x
h
lim
h
x h
( x h ) x
lim
h
x
h
0
h
Kalikan akar sekawan
2
3 x x )
3 2
11
2. lim ( x
2
4 x
x
x
2
2 x ) .... lim ( x
2
4 x
x
6
lim ( x
2
x
4
4 x
x ( x
lim
3
x
2
2
x
2
x
2
2
2 x ) ....
2 x )
2
4 x ) ( x 4 x
x
lim
4 x
2
x 2 x
lim ( x
2
2
x ( x
x
2
2
2 x
3
2 2
2 x )
3
Kalikan akar sekawan 2
x
1 x
2
1 x
2
1 x )
2
1 x
x
lim x
2
1 x x x
lim
x 2 x 2
x
1 x 2
Bagi pangkat tertinggi
x x
1
lim
1
x
1 2 x
1
lim x ( x
1 1
1 0 1 x
Bagi pangkat tertinggi
2 x 2 x
2 x
1 x )
2
x
x
2
2 x
2 x )
x
x
1 2
2
6
x
lim
x
x
1 x ) ....
lim x ( x
1 3
4 x
2 x
1
4 x
x
1 4
2 x
x
1 0
x
0
2
2
x 2 x
4 x
1 0
lim x ( x
x
Kalikan akar sekawan
2
6
1 x ) ....
2
2
4 x 2 x
1
x
x
x
4 x
6
lim
2
2
6 x x
x
3. lim x ( x
x
6 x
lim
1
x
2
2
1 x )
1 2
12
4. lim x
3 x
2 x
x 1 x 1
.... lim
x
3 x
lim
3 x ( x 1 ) 2 x ( x 1 ) ( x 1 )( x 1 )
x
3
lim
3 x
2
3 x 2 x x
x
9 lim
x
2
x
x
lim
x
lim
x
x
x
3
x
2 x
3
2
x 2
6
.... lim
3
x
3 x x
1
4
3
x
lim
x
1 0
Bagi pangkat tertinggi
1 0 1 0
2 x
2 x
3
2
x 2
lim
x
6 4 x x 2 x 4 x 4
2 x 4 x x 2 x 4
1 2 x
Bagi pangkat tertinggi
6 x 4
2 x
3 1 x
.... 3
3 x 4 x x 3 x 4
1
1
6
4
2
1
x 1 x 1
x
4
1
2 x
1
5 x 2 x 1 2 x 5 x 1 2 x
3 x
lim
3 x
x 2 x 2 x 2 x
2
2
5 x
2
2
5. lim
....
x 1 x 1
1 2
2 x
1 3 x
2 4 x
3 0 0 0 0 0 0 3 0 lim
x
3 x x
3
4
x
2 x
3
2
x 2
6
(tidak ada)
13
1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: 2
a. lim x
2 x
3 x 1
2
1a. lim
3
x
x
2
2 x 3
3 x 1
x
x
5
x
c
x
c
x
1
buktikan dengan teorema limit bahwa: 2
a. lim x
2
f ( x ) g ( x )
c
10
b. lim f ( x ) ( x c )g( x ) x
3
c
c. lim 3 g( x ) f ( x ) 3 x
lim 2 x 3
2
x
x
x
2
2( 2 ) 3
3( 2 ) 1
2
2 7
45
7
14
2
2 x
3 x 1
2
2
lim x
2
2
lim
3
x
2
2
6
c
x
lim 3 x 1
x
2 x
lim
3 x 1
2
lim 2
2. Jika lim f ( x ) 3 dan lim g( x )
....
2
lim
b. lim ( x 4 )( 2 x 5 ) x
2
3
45
x
14
1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: 2
a. lim x
2 x
3 x 1
2
1b. lim ( x 4 )(2 x 5 ) ....
3
x
x
lim ( x 4 ) lim ( 2 x 5 )
x
b. lim ( x 4 )( 2 x 5 ) x
5
5
( lim x x
2. Jika lim f ( x ) 3 dan lim g( x ) x
c
x
c
1
x
c
2
2
f ( x ) g ( x )
b. lim f ( x ) ( x c )g( x ) x
c
x
c
lim 4 ) ( lim 2 x
x
5
x
5
lim 5 )
x
5
45 lim ( x 4 )( 2 x 5 ) 45
x
c. lim 3 g( x ) f ( x ) 3
5
9 5
10 3
5
x
(5 4 ) ( 2 5 5 )
buktikan dengan teorema limit bahwa: a. lim
5
5
6
14
1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: 2
a. lim x
2 x
3 x 1
2
Bukti:
3
2
x
c
b. lim ( x 4 )( 2 x 5 ) x
2
x
2. Jika lim f ( x ) 3 dan lim g( x ) c
x
c
a. lim x
2
f ( x ) g ( x )
c
x
3
lim
1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: 2
a. lim
2 x
3 x 1
2
c
x
lim f ( x )
x
c
c
2
b. lim f ( x ) ( x c )g( x ) x
c
c. lim 3 g( x ) f ( x ) 3 x
c
lim ( x c ) lim g( x )
x
c
x
c
3 0 ( 1 ) 3
10 3
c
3 ( c c ) ( 1 )
1
buktikan dengan teorema limit bahwa: f ( x ) g ( x )
....
c
x
2
10
Bukti:
5
c
2
2b. lim f ( x ) ( x c )g( x )
x
2. Jika lim f ( x ) 3 dan lim g( x )
x
2
f ( x ) g ( x )
3
b. lim ( x 4 )( 2 x 5 )
a. lim
2
(terbukti)
10
x
x
c
6
c
x
[ 1]
x
9 1
c. lim 3 g( x ) f ( x ) 3
x
[ lim g( x )]
c
2
c
2
[ lim f ( x )]
3
c
x
x 2
1
10
b. lim f ( x ) ( x c )g( x ) x
lim g ( x )
c
buktikan dengan teorema limit bahwa: 2
2
lim f ( x )
5
x
2
2a. lim f ( x ) g ( x ) ....
x
(terbukti)
lim f ( x ) ( x c )g( x )
x
c
3
6
15
1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari: 2
a. lim x
2 x
3 x 1
2
Bukti:
3 2c. lim 3 g( x ) f ( x ) 3
x
x
b. lim ( x 4 )( 2 x 5 ) x
lim 3 g( x ) lim f ( x ) 3
5
x
2. Jika lim f ( x ) 3 dan lim g( x ) x
c
x
c
1
3
buktikan dengan teorema limit bahwa: a. lim x
c
2
2
f ( x ) g ( x )
b. lim f ( x ) ( x c )g( x ) x
c
c. lim 3 g( x ) f ( x ) 3 x
c
....
c
x
lim g( x )
x
3
10
c
c
lim f ( x )
x
c
lim 3
x
c
1 3 3 1 6
3 6
c
6
(terbukti)
lim 3 g( x ) f ( x ) 3
x
c
6
1. Sebuah benda bergerak selama t detik menempuh jarak s meter, ditentukan dengan rumus s(t)=t +2. Tentukan kecepatan sesaat pada t = 4. 2. Sebuah perusahaan semen dalam waktu t tahun memperoleh keuntungan total sebesar L(t)=1500t dollar. Berapa laju keuntungan sesaat (keuntungan marjinal) saat t = 5? 3. Berat (dalam gram) dari suatu benda uji pada saat t adalah w(t)=0,1t —0,05t; t diukur dalam minggu. Berapa laju pertambahan berat benda uji jika t = 10 minggu?
16
17
Andi Hakim Nasution dkk, Matematika 2 , Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, Jakarta, 1994.
Bernard V. Zandy dan Jonathan J. White, CliffsQuickReview TM Calculus , Pakar Raya, Bandung, 2004.
B.K. Noormandiri, Buku Pelajaran Matematika SMA , Jilid 2A, Erlangga, Jakarta, 2004.
Edwin J. Purcell dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis , Jilid 1, Erlangga, Jakarta, 1990.
http://www.answer.com/topik/limit-of-a-function.
http://www.garizhdizain.com.
Fungsi dari setiap menu dan ikon yang digunakan dalam slide
Tampilkan pilihan materi Tampilkan evaluasi Tampilkan referensi Awal presentasi Tampilkan bantuan Ke slide sebelum Lihat jawaban (optional) Jalankan animasi (optional) Play/Pause Musik
Ke slide selanjutnya Ke slide yang aktif terakhir Ke slide terakhir Akhiri presentasi
18
Anda yakin ingin keluar?
Terima kasih!
19
