MAALA! e"om#ok $ a"ku"u% 1 &ang 'er(udu" ) *LIMIT +AN E,NTINUAN-
Disusun oleh :
Tri Prastyo Utomo Rivan Suwandi Rian Rachmatsyah Randi Kurnia Sigit Widigdo Ogih Ardi Ginanto iswanto Sutoyo Rulli
Program Sudi Teknik Informatika UNIVERSIT UNIVERSI TAS PAMULANG Tahun Akademik 2012
ATA PENGANTAR
Bismillahirrahmaanirrahim Assalamu’alaikum Wr Wb Pu!i dan syu"ur #enyusun #an!at"an "e Khadirat Alloh SWT$ "arena atas curahan Rahmat dan Karunia%&ya #enyusun da#at menyelesai"an ma"alah ini dengan 'ai"( Sholawat 'eserta salam semoga selamanya tercurah lim#ah"an "e#ada 'aginda alam ya"ni Kan!eng &a'i uhammad SAW( a"alah yang 'er!udul *Limit dan ekontinuan- ini #enyusun 'uat untu" memenuhi salah satu tugas mata #ela!aran Kal"ulus )( Terima"asih #enyusun uca#"an "e#ada semua #iha" yang telah 'er#eran dalam #em'uatan ma"alah ini$ "hususnya guru mata #ela!aran Kal"ulus ) dan teman%teman se#er!uangan$ sehingga ma"alah ini da#at terselesai"an( Orang 'i!a" mengata"an “tiada gading yang tak retak”, sehingga ma"alah ini #un masih !auh dari "esem#urnaan$ "arena mengingat ter'atasnya wa"tu dan #engetahuan yang #enyusun mili"i( Untu" itu "riti" dan saran yang 'ersi*at mem'angun sangat #enyusun hara#"an guna #er'ai"an #em'uatan ma"alah dimasa yang a"an datang( A"hirnya$ #enyusun 'erhara# semoga ma"alah ini da#at 'erman*aat 'agi #em'aca se"alian( Wassalamu’alaikum Wr Wb
+a"arta$ ,-),
Penyusun((((
ii
+A.TAR ISI
KATA P.&GA&TAR%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ii DA/TAR 0S0%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%iii 1A1 0 P.&DA2U3UA&%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%4 )()
3atar 1ela"ang%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%4
)(,
Rumusan masalah%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%4
)(5
Tu!uan%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%4
1A1 00 P.1A2ASA&%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%6 ,()
3imit dan Ke"ontinuan%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%6
1A1 000 P.&UTUP%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%), 5()
Kesim#ulan%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%),
DA/TAR PUSTAKA%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%7iii
iii
/A/ I PEN+A!ULUAN 11 Latar /e"akang
Kal"ulus 8'ahasa latin : calculus$ artinya 9'atu "ecil9$ untu" menghitung adalah ca'ang ilmu matemati"a yang menca"u# limit$ turunan$ integral$ dan deret ta" terhingga( Kal"ulus adalah ilmu mengenai #eru'ahan$ se'agaimana geometri adalah ilmu mengenai 'entu" dan al!a'ar adalah ilmu mengenai #enger!aan untu" memecah"an #ersamaan serta a#li"asinya( Kal"ulus memili"i a#li"asi yang luas dalam 'idang%'idang sains$ e"onomi$ dan te"ni"; serta da#at memecah"an 'er'agai masalah yang tida" da#at di#ecah"an dengan al!a'ar elementer( Kal"ulus memili"i dua ca'ang utama$ "al"ulus di*erensial dan "al"ulus integral yang saling 'erhu'ungan melalui teorema dasar "al"ulus( Pela!aran "al"ulus adalah #intu ger'ang menu!u #ela!aran matemati"a lainnya yang le'ih tinggi$ yang "husus mem#ela!ari limit dan "e"ontinuan$ yang secara umum dinama"an analisis matemati"a( 12 Rumu%an ma%a"ah
)( A#a #engertian dari limit dan "e"ontinuan < ,( 1agaimana menyelesai"an se'uah #ersamaan #ada limit dan "e"ontinuan < 5( A#a sa!a si*at%si*at dari limit < 1 Tu(uan
)( en!elas"an dan memahami tentang limit dan "e"ontinuan$ ,( engetahui si*at%si*at limit terse'ut$ 5( engetahui cara menyelesai"an se'uah #ermasalahan yang 'er"enaan dengan limit dan "e"ontinuan$ dan 4( enam'ah ilmu #engetahuan tentang "al"ulus )(
4
/A/ II PEM/A!ASAN 21 Limit dan ekontinuan
Pengertian dan notasi dari limit suatu *ungsi$ *87 di suatu nilai 7 = a di'eri"an secara intuiti* 'eri"ut( 1ila nilai *87 mende"ati 3 untu" nilai 7 mende"ati a dari arah "anan ma"a di"ata"an 'ahwa limit *ungsi *87 untu" 7 mende"ati a dari "anan sama dengan 3 dan di notasi"an :
lim f 8 x: L
8i
x a
1ila nilai *87 mende"ati l untu" nilai 7 mende"ati a dari arah "iri ma"a di"ata"an 'ahwa limit *ungsi *87 untu" mende"ati a dari arah "iri sama dengan ) dan di notasi"an :
lim f 8 x: l
8ii
x a
1ila 3 = ) ma"a di "ata"ana 'ahwa limit *ungsi *87 untu" 7 mende"ati a sama dengan 3 dan di notasi"an :
lim f 8 x: L
8iii
x a
Sedang"an 'ila 3
) ma"a di"ata"an 'ahwa limit *ungsi *87 untu"
mende"ati a tida" ada( 1entu" 8i dan 8ii dise'ut !uga Limit Sepihak $ sedang"an 'entu" yang "e 8iii menyata"an 'ahwa nilai limit *ungsi #ada suatu titi" di"ata"an ada 'ila nilai limit se#iha"nya sama atau nilai limit "anan 8i sama dengan nilai nilai limit "iri 8ii(
6
Limit iri dan Limit anan
+i"a 7 menu!u c dari arah "iri 8dari arah 'ilangan yang le'ih "ecil dari c$ limit dise'ut limit "iri$ notasi :
lim f 8 x :
7>c
x c
+i"a 7 menu!u c dari arah "anan 8dari arah 'ilangan yang le'ih 'esar dari c$ limit dise'ut limit "anan$ notasi :
lim f 8 x
c?7
x c
2u'ungan antara limit dengan limit se#iha"8"iri@"anan : lim f 8 x: L
x c
lim f 8 x : L dan lim f 8 x: L
x c
x c
!i"a lim f 8 x lim f 8 x ma"a lim f 8 x x c
x c
ontoh$ di"etahui :
x c
x , $ x f 8 x x $ - x ) , x , $ x )
a( 2itung lim f 8 x: x -
'( 2itung lim f 8 x : x )
!i"a ada
c( 2itung lim f 8 x x ,
d( Gam'ar"an gra*i" *87 +awa': a( Karena aturan *ungsi 'eru'ah di 7=-$ ma"a #erlu dicari limit "iri dan limit "anan di 7=-$ ma"a :
lim f 8 x :
x -
lim f 8 x :
x -
lim x ,
x -
lim x -
lim f 8 x:
x -
x -
B
-
'( Karena aturan *ungsi 'eru'ah di 7=)$ ma"a #erlu dicari limit "iri dan limit "anan di 7=)$ ma"a :
lim f 8 x:
x )
lim f 8 x:
x )
lim x )
x )
lim , x
x )
,
lim f 8 x : lim
x )
5
x )
lim f 8 x: x )
lim f 8 x: x )
2asilnya ta" ada
c( Karena aturan *ungsi tidak 'eru'ah di 7=,$ ma"a tidak #er"u dicari limit "iri dan limit "anan di 7=,$ ma"a : lim f 8 x lim , x , B
x ,
x ,
d( di 7=) limit tida" ada
Untu" 7-
f 8 x : x Gra*i": #ara'ola
Untu" -7)
,
Untu"
f(x)=x
f 8 x , x ,
Gra*i":garis lurus
Gra*i": #ara'ola
C
Sifat%ifat Limit
isal xlima f 8 x: L dan xlima g 8 x :
G $ ma"a :
)( xlimaF f 8 x : g 8 x :E L G
,( xlimaF f 8 x : g 8 x :E L G
5( xlimaF f 8 x :( g 8 x :
L(G
4( lim x a
f 8 x :
g 8 x :
L G
n 6( xlima f 8 x :
n
$
bila
G
-
lim f 8 x : n L
x a
untuk L - bila n genap
Se'agai catatan 'ahwa si*at si*at di atas !uga 'erla"u untu" limit se#iha"$ contoh :
x , )$ x ) Selesai"an limit *ungsi *87 = , x$ x )
'ila ada
lim f 8 x :
)(
x )
lim f 8 x:
,(
x )
+awa' :
lim f 8 x: lim 8 x
)(
,
x )
): ,
x )
lim f 8 x: lim , x ,
,(
x )
x )
ontoh :
Selesai"an lim
x ,
x ,
x
,
5 x ,
4
+awa' :
lim
x ,
x ,
x ,
5 x ,
4
= xlim,
8 x ,:8 x ): 8 x ,:8 x ,:
= lim
x ,
x ) x ,
=
) 4
) 4
/ungsi *87 di"ata"an kontinu #ada suatu titi" 7 = a 'ila nilai limit *87 #ada 7 mende"ati a sama dengan nilai *ungsi di 7 = a atau *8a( secara le'ih !elas$ *87 di"ata"an "ontinu di 7 = a 'ila 'erla"u : )( /8a terde*inisi atau *8a ∈ R
lim f 8 x : ada$ !i"a lim f 8 x : = lim f 8 x :
,(
x a
5(
x a
x a
x a
lim f 8 x: f 8a :
1ila minimal salah satu dari #ersyaratan di atas tida" di#enuhi ma"a *87 di"ata"an tida" "ontinu atau dis"ontinu di 7 = a dan titi" 7 = a dise'ut titik di%kontinu(
Secara geometris$ gra*i" *ungsi "ontinu
tida" ada loncatan atau tida"
ter#utus( /ungsi *87 di"ata"an 3ontinue #ada inter4a" ter'uka 5a6'7 'ila *87 "ontinu #ada setia# titi" di dalam interval terse'ut( Sedang"an *87 di"ata"an ontinue #ada inter4a" tutu# 8a6'9 'ila :
)( *87 "ontinu #ada 8a$' ,( *87 "ontinu "anan di 7 = a 5( *87 "ontinu "iri di 7 = '
lim f 8 x : f 8a :
x a
lim f 8 x : f 8b :
x a
1ila *87 "ontinu untu" setia# nilai 7
∈ R
ma"a di "ata"ana *87 "ontinu atau
"ontinu di mana mana( ontoh :
x , ,kx ) $ x ) Tentu"an nilai " agar *ungsi *87 = x ) x , ,$ x ) +awa' : &ilai *ungsi di 7 = %)$ *8%) =
H
"ontinu di 7 = %)
Se'a' nilai limit "anan sama dengan 5 ma"a limit "iri !uga sama dengan 5( Untu" itu #em'ilang dari 'entu"
x ,
, kx )
x )
harus mem#unyai *a"tor 7 I )( Dengan
mela"u"an #em'agian #em'ilang oleh #enye'ut di da#at"an x ,
, kx )
x )
= 7 I ," %) I
, k , dari sisa #em'agian 8%,"I, sama dengan x )
nol ma"a di da#at"an "=) Limit Tak !ingga dan Limit di Tak !ingga
Pengertian limit ta" hingga dan limit di ta" hingga secara *ormal tida" di'eri"an se#erti halnya #ada #engertian limit di suatu titi" #ada #em'ahasan terdahulu( Secara instuisi di'eri"an melalui contoh 'eri"ut ini( f 8 x :
isal di'eri"an *ungsi
) x )
( a"a nilai *ungsi *87 menu!u ta"
hingga 8 untu" 7 mende"ati ) dari "anan$ sedang"an menu!u minus ta" hingga 8
untu" 7 mende"ati ) dari "iri( Pengertian terse'ut da#at dinotasi"an dengan limit se'agai 'eri"ut :
lim f 8 x :
1ila f 8 x :
) 8 x ): ,
lim f 8 x:
dan
x )
x )
f 8 x : dan ma"a dida#at xlim )
lim f 8 x:
x )
f 8 x: atau ditulis"an lim x )
1entu" limit terse'ut dinama"an Limit Tak hingga6 yaitu nilai *ungsi *87
untu" mende"ati ) sama dengan ta" hingga 8 ( Sedang"an 'entu" limit di titi" mende"ati ta" hingga di ilustrasi"an 'eri"ut : )-
isal di'eri"an *ungsi f 8 x:
) x
$ ma"a nilai *ungsi a"an mende"ati nol 'ila
nilai 7 menu!u ta" hingga atau minus ta" hingga$ dinotasi"an :
lim f 8 x : - dan
x
lim f 8 x : -
x
Secara umum$ limit *ungsi dari f 8 x :
) x
n
1I untu" 7 mende"ati ta"
$n
hingga atau minus ta" hingga sama dengan nol$ ma"a da#at ditulis"an : lim
x
) x n
- atau
lim
x
) x n
-
1ila *87 meru#a"an *ungsi rasional$ misal f 8 x:
p 8 x : q 8 x :
dengan P87 dan J87 meru#a"an #olinom ma"a untu" menyelesai"an limit di ta" hingga dila"u"an dengan cara : mem'agi #em'ilang F#87E dan #enye'ut FJ87E dengan 7 #ang"at tertinggi yang ter!adi ontoh : 2itung lim
x 5
5 x 5 x
+awa' &ilai dari #em'ilang untu" 7 mende"ati 5 dari arah "anan adalah mende"ati B$ sedang"an nilai #enye'ut a"an mende"ati negative 'ilangan yang sangat "ecil( 10la B di'agi oleh 'ilangan negative "ecil se"ali a"an menghasil"an 'ilangan yang sangat "ecil( +adi
lim
x 5
5 x 5 x
= %
))
/A/ III PENUTUP 1 e%im#u"an
Konse# limit mem#unyai #eranan yang sangat #enting di dalam "al"ulus dan 'er'agai 'idang matemati"a( Oleh "arena itu$ "onse# ini sangat #erlu untu" di#ahami( es"i#un #ada awalnya "onse# limit su"ar untu" di#ahami$ teta#i dengan sedi"it 'antuan cara numeris "emudian "onse# ini 'isa dimengerti( Dan "enyataannya$ setelah di#ra"te""an masalah hitung limit relative mudah( engingat hal itu$ ma"a #ada 'agian #ertama 1a' ini limit diterang"an secara intuitive 8numeris( Kemudian #ada 'agian selan!utnya$ di"em'ang"an te"ni" #enghitungan limit(
),
+A.TAR PUSTAA
limit dan kekntinuan( 8,-),$ )- ,( Di#eti" )) ),$ ,-),$ dari limit dan "e"ontinuan: htt#:@@www(google(com
7iii
