Kekontiniuan Seragam Definisi:
Misalkan f Misalkan f : A → suatu fungsi. Fungsi f Fungsi f dikatakan kontinu seragam di A di A jika jika untuk sebarang ε > 0 terdapat δ > 0 dan untuk semua x, semua x, c ∈ A yang memenuhi |x − c| < δ berlaku |f ( x x ) − f (c )| < ε. Pada definisi ini
δ
tidak bergantung
pada c. Teorema
Misalkan I adalah interval tertutup terbatas, dan f , I
kontiniu
pada I, maka f
kontiniu seragam pada I. Pada teorema diatas, suatu fungsi kontiniu akan kontiniu seragam jika intervalnya tertutup dan terbatas. Apabila intervalnya tidak tertutup dan terbatas akan sulit menemukan
kekontiniuan seragam. Untuk itu diperlukan kondisi l ain yaitu kondisi lipschitz. Defenisi fungsi lipschitz.
Misalkan
, f : A , jika | () ()| | | ∈ Maka
f dikatakan fungsi Lipschitz pada A atau memenuhi kondisi Lipschitz Teorema
Jika , f f : A dan f dan f fungsi Lipschitz maka f maka f kontiniu seragam pada A. Contoh: 1. Misalkan f Misalkan f ( x)= x)= x2 pada A =
[ ] dengan b konstanta positif. Tunjukkan bahwa f kontiniu
seragam
Penyelesaian:
[ ] sebarang. Perhatikan bahwa | () ()| | | | || | | |. Sehingga mengambil K=2b, f K=2b, f merupakan fungsi
Ambil x, Ambil x, u ∈
Lipschitz. Menurut teorema diatas f diatas f kontiniu seragam. seragam.
2. Misalkan ( x) x) = √ , A = [) tunjukkan bahwa
kontiniu seragam.
Penyelesaian:
Ambil x, Ambil x, u ∈ A sebarang, perhatikan bahwa:
|() ()| ()| √ √
|| | √ √
| |
Sehingga dengan mengambil K= , merupakan fungsi Lipschitz. Menurut teorema Lipschitz kontiniu seragam. seragam.
3. Diberikan fs f :
f x 3 x, x Diambil sebarang
0 dan
c .
f x f c 3 x 3c 3 x c 3 x c 3 x c
Dipilih
3
0
Akibatnya x, c , x c berlaku f x f c Jadi f kontinu di c .
Karena c sebarang, maka f kontinu pada
.
f kontinu seragam
4.
g x
Diberikan
1
x
,x 0
0 sebarang
Diambil c x : x 0.
g x g c
Jika x c
c 2
1
x
1
c
c x
maka
xc
c 2
c
c 2
3c
c x xc
x c
c 2
x
x
2
1
x
3c 2
2
c
c 2
c
c 2
1
xc
x c
3 x c 3 3
3
Sehingga
g x g c
1
xc
x c
2 1
c c
x c
2
c
x c
2
c c 2 Pilih min , 2 2 Akibatnya x, c , x c
g x g c
2
c2
x c
2
c2
berlaku
2
2 c
c2
2
Jadi g kontinu di c . Akibatnya g kontinu ada
f kontinu (kontinu biasa).
.
