Libro Polochic Matemática 2 º Semestre 2016

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Matemática - 4.º Bachillerato - Grupo Polochic - Segundo semestre - IGER

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Matemática

Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, Grupo Radial ¡uy, uy, uy! y Radio Sónica 106.9 Tel: 2305 1010 www.iger.edu.gt [email protected]

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4.º Bachillerato - Grupo Polochic Segundo semestre - IGER

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Matemática

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4.º Bachillerato – Grupo Polochic Segundo semestre – IGER

Matemática 10 Segundo semestre

IGER © Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, iger. Es una obra producida por el Departamento de Redacción y Diseño, para el Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. 11 avenida 18-45, Ciudad Nueva, zona 2 Ciudad de Guatemala. PBX: 2305 1010 Correo electrónico: [email protected] Página web: www.iger.edu.gt Edición 2016 Impreso en IGER talleres gráficos

Código: 1111004202 ISBN 9789929614611

Reservados todos los derechos. Queda rigurosamente prohibida la reproducción total o parcial de este material educativo, por cualquier medio o procedimiento, sin la autorización del Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. Según artículo 42 de la Constitución Política de Guatemala que se refiere a la autoría.

Índice Índice ................................................................................................................................................................ I ¡Bienvenida y bienvenido! ..................................................................................................................... 1

Semana 18

Ecuaciones cuadráticas............................................................................................................... 13 ¡Para comenzar! La historia de los signos matemáticos................................................................................. 14 El mundo de la matemática 1. Ecuaciones cuadráticas................................................................................................................................... 15

1.1 Clasificación de las ecuaciones cuadráticas................................................................................. 16

2. Resolución de ecuaciones cuadráticas completas............................................................................... 17 3. Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas............................................................................ 21 4. Resolución de problemas con ecuaciones cuadráticas...................................................................... 23 Resumen............................................................................................................................................................................ 25 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 25 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 26 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 28 Razonamiento lógico ................................................................................................................................................ 29 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 30

Semana 19

Inecuaciones................................................................................................................................................... 31 ¡Para comenzar! Las desigualdades matemáticas en la vida diaria........................................................... 32 El mundo de la matemática 1. Inecuaciones....................................................................................................................................................... 33

1.1 Clasificación de las inecuaciones...................................................................................................... 33

1.2 Resolución de inecuaciones de primer grado............................................................................. 34

1.3 Resolución de inecuaciones de segundo grado......................................................................... 37

Resumen............................................................................................................................................................................ 39 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 39 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 40 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 42 Razonamiento lógico ................................................................................................................................................ 43 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 44 Matemática − Índice

I

Semana 20 Sistemas de ecuaciones de 2×2................................................................... 45 ¡Para comenzar! Las variables.................................................................................................................................. 46 El mundo de la matemática 1. Sistemas de ecuaciones lineales de 2Í2................................................................................................. 47

1.1 Método de igualación.......................................................................................................................... 47

1.2 Método de sustitución......................................................................................................................... 48

1.3 Método de reducción........................................................................................................................... 49

2. Sistemas de ecuaciones no lineales de 2Í2.......................................................................................... 51 3. Aplicaciones........................................................................................................................................................ 52 Resumen............................................................................................................................................................................ 53 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 53 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 54 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 56 Razonamiento lógico ................................................................................................................................................ 57 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 58

Semana 21 Sistemas de ecuaciones de 3×3................................................................... 59 ¡Para comenzar! Objetos tridimensionales.......................................................................................................... 60 El mundo de la matemática 1. Sistemas de ecuaciones lineales de 3Í3................................................................................................. 61

1.1 Método de reducción........................................................................................................................... 61

1.2 Método de sustitución......................................................................................................................... 63

2. Aplicaciones........................................................................................................................................................ 65 Resumen............................................................................................................................................................................ 67 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 67 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 68 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 70 Razonamiento lógico ................................................................................................................................................ 71 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 72

Semana 22 Sistema de coordenadas rectangulares......................................... 73 ¡Para comenzar! Paralelos y meridianos.............................................................................................................. 74 El mundo de la matemática 1. Sistema de coordenadas rectangulares................................................................................................... 75 2. Distancia entre puntos (d)............................................................................................................................. 76

II

IGER − Polochic

3. Punto medio (M)............................................................................................................................................... 78 4. Pendiente (m)..................................................................................................................................................... 80 Resumen............................................................................................................................................................................ 83 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 83 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 84 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 86 Razonamiento lógico ................................................................................................................................................ 87 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 88

Semana 23 Funciones matemáticas I................................................................................................ 89 ¡Para comenzar! Relaciones cotidianas: las funciones..................................................................................... 90 El mundo de la matemática 1. Función matemática......................................................................................................................................... 91

1.1 Funciones de primer grado................................................................................................................ 92

1.2 Gráfica de funciones de primer grado........................................................................................... 92

1.3 Determinación del dominio e imagen de funciones................................................................ 94

1.4 Aplicaciones de las funciones lineales........................................................................................... 95

Resumen............................................................................................................................................................................ 97 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 97 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 98 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 100 Razonamiento lógico ................................................................................................................................................ 101 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 102

Semana 24 Funciones matemáticas II............................................................................................. 103 ¡Para comenzar! El movimiento parabólico......................................................................................................... 104 El mundo de la matemática 1. Funciones cuadráticas..................................................................................................................................... 105

1.1 Gráfica de funciones cuadráticas...................................................................................................... 103

1.2 Aplicaciones.............................................................................................................................................. 109

Resumen............................................................................................................................................................................ 111 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 111 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 112 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 114 Razonamiento lógico ................................................................................................................................................ 115 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 116

Matemática − Índice

III

Semana 25 Repaso: semanas 18 a 24........................................................................................... 117 El mundo de la matemática Ecuaciones cuadráticas........................................................................................................................................... 119 Inecuaciones............................................................................................................................................................... 121 Sistemas de ecuaciones de 2Í2........................................................................................................................ 123 Sistemas de ecuaciones de 3Í3........................................................................................................................ 125 Sistemas de coordenadas rectangulares......................................................................................................... 127 Funciones matemáticas I....................................................................................................................................... 129 Funciones matemáticas II...................................................................................................................................... 131 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 133 Orientaciones sobre la prueba parcial............................................................................................................... 134

Taller matemático Prueba A..................................................................................................................................................................... 135

Semana 26 Ecuaciones de la recta........................................................................................................ 145 ¡Para comenzar! Repaso de la pendiente............................................................................................................. 146 El mundo de la matemática 1. Ecuaciones de la recta..................................................................................................................................... 147 2. Aplicaciones........................................................................................................................................................ 151 3. Rectas paralelas y perpendiculares............................................................................................................ 152

Resumen........................................................................................................................................................... 154 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 154 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 155 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 158 Razonamiento lógico.................................................................................................................................................. 159 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 160

Semana 27 La circunferencia y la parábola.......................................................................... 161 ¡Para comenzar! Cholq'ij, el calendario sagrado de los mayas.................................................................... 162 El mundo de la matemática 1. La circunferencia................................................................................................................................................ 163 2. La parábola ......................................................................................................................................................... 166 Resumen............................................................................................................................................................................ 171 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 171 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 172

IV

IGER − Polochic

Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 174 Razonamiento lógico.................................................................................................................................................. 175 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 176

Semana 28 Secciones cónicas......................................................................................................................... 177 ¡Para comenzar! Figuras cónicas............................................................................................................................. 178 El mundo de la matemática 1. Secciones cónicas............................................................................................................................................. 179

1.1 La elipse...................................................................................................................................................... 179

1.2 La hipérbola.............................................................................................................................................. 183

Resumen............................................................................................................................................................................ 188 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 188 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 189 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 192 Razonamiento lógico.................................................................................................................................................. 193 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 194

Semana 29 Teorema de Pitágoras............................................................................................................ 195 ¡Para comenzar! Pitágoras de Samos.................................................................................................................... 196 El mundo de la matemática 1. Teorema de Pitágoras...................................................................................................................................... 197

1.1 Demostración del teorema................................................................................................................. 197

1.2 Aplicaciones.............................................................................................................................................. 200

Resumen........................................................................................................................................................... 203 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 203 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 204 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 206 Razonamiento lógico.................................................................................................................................................. 207 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 208

Semana 30 Teorema de Tales, congruencia y semejanza de triángulos.................................................................................................. 209 ¡Para comenzar! Razones y proporciones............................................................................................................. 210 El mundo de la matemática 1. Teorema de Tales............................................................................................................................................... 211

1.1 Teorema de Tales en un triángulo.................................................................................................... 212 Matemática − Índice

V

2. Triángulos congruentes.................................................................................................................................. 214

2.1 Criterios de congruencia de triángulos.......................................................................................... 215

3. Triángulos semejantes..................................................................................................................................... 216

3.1 Criterios de semejanza de triángulos............................................................................................. 217

3.2 Aplicaciones.............................................................................................................................................. 217


Semana 31 Cuerpos geométricos I......................................................................................................... 225 ¡Para comenzar! Pirámide de La Danta................................................................................................................ 226 El mundo de la matemática 1. Cuerpos geométricos I.................................................................................................................................... 227

1.1 Clasificación de los cuerpos geométricos..................................................................................... 227

1.2 Prismas........................................................................................................................................................ 228

1.3 Pirámides................................................................................................................................................... 231


Semana 32 Cuerpos geométricos II...................................................................................................... 239 ¡Para comenzar! El número pi (π)............................................................................................................................ 240 El mundo de la matemática 1. Cuerpos geométricos II................................................................................................................................... 241

1.1 El cilindro................................................................................................................................................... 241

1.2 El cono........................................................................................................................................................ 245

1.3 La esfera..................................................................................................................................................... 248


VI

IGER − Polochic

Semana 33 Razones trigonométricas................................................................................................ 255 ¡Para comenzar! Hiparco de Nicea y la trigonometría.................................................................................... 256 El mundo de la matemática 1. Razones trigonométricas fundamentales................................................................................................ 257 1.1 Seno............................................................................................................................................................. 257 1.2 Coseno........................................................................................................................................................ 259

1.3 Tangente.................................................................................................................................................... 260

2. Razones trigonométricas recíprocas.......................................................................................................... 261 3. Razones trigonométricas inversas.............................................................................................................. 262 4. Aplicaciones........................................................................................................................................................ 265 Resumen............................................................................................................................................................................ 267 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 267 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 268 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 270 Razonamiento lógico.................................................................................................................................................. 271 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 272

Semana 34 Repaso: semanas 26 a 33........................................................................................... 275 El mundo de la matemática Ecuaciones de la recta............................................................................................................................................ 277 La circunferencia y la parábola............................................................................................................................ 279 Secciones cónicas..................................................................................................................................................... 281 Teorema de Pitágoras............................................................................................................................................. 283 Teorema de Tales, congruencia y semejanza de triángulos..................................................................... 285 Cuerpos geométricos I........................................................................................................................................... 287 Cuerpos geométricos II......................................................................................................................................... 289 Razones trigonométricas....................................................................................................................................... 291 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 293 Orientaciones sobre la prueba final.................................................................................................................... 294

Taller matemático Prueba B............................................................................................................................................................................ 295

Bibliografía .................................................................................................................................................... 305

Matemática − Índice

VII

¡Bienvenida y bienvenido! Continuamos con entusiasmo el curso de matemática de 4.° bachillerato. Este libro corresponde al segundo semestre del grupo Polochic y consta de diecisiete semanas, en las que se desarrollarán cinco competencias marcadas por el Currículo Nacional Base (Cnb). El curso está estructurado de tal forma que los contenidos son graduales y dosificados para fortalecer y enriquecer las ramas siguientes: • Aritmética: permite realizar operaciones aritméticas con los números reales. • Álgebra: ayuda a leer, operar y representar información en el lenguaje simbólico de la matemática. • Geometría: refiere las propiedades de los cuerpos geométricos como áreas y volúmenes de poliedros. También relaciona las propiedades entre rectas. • Trigonometría: esta rama de la matemática se encarga del estudio de los lados y ángulos de triángulos rectángulos, a través de las razones trigonométricas. Antes de entrar al detalle de las competencias para este curso, observemos la portada. El mundo de la portada nos recuerda que somos parte del planeta Tierra y que en él, la matemática es una herramienta que nos ayuda a descubrir, aprender y disfrutar las artes y la cultura. Los números mayas nos recuerdan que pertenecemos a un pueblo multiétnico e intercultural, con un conocimiento matemático que debemos valorar y conservar. La mano dando un clic nos invita a explorar, descubrir y compartir conocimientos con el resto del mundo a través de internet. La imagen de un grupo de manos alrededor de un corazón nos habla de establecer relaciones con las personas que nos rodean.

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Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido!

1

¿Cómo alcanzará las competencias matemáticas? Nos enfocaremos en cinco competencias específicas. Para saber si las ha alcanzado, el Currículo Nacional Base propone indicadores de logro, estos criterios son como un termómetro que mide su desempeño en cada competencia. Iremos avanzando paso a paso. Vaya fijándose qué secciones del libro hacen posible que usted desarrolle cada competencia que presentamos a continuación.

2

Competencia 1

Sección del libro

Produce patrones aritméticos, algebraicos y geométricos aplicando propiedades, relaciones, figuras geométricas, símbolos y señales de fenómenos naturales, sociales y culturales.

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

¡Para comenzar!

X X X

El mundo de la matemática

X X X X X X X X X X X X X X X X

X X

X X

X X X

Resumen

Investigue en la red

X X X X X X X

X X X X X X X

Autocontrol

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X X X X X X X X X X X X X

Razonamiento lógico

X X X X X X X

X X

X

Desarrolle nuevas habilidades

X

X X

X X

Sección del libro

Resuelve situaciones, problemas de carácter formal que demandan el dominio del pensamiento lógico matemático y las operaciones matemáticas de aritmética y álgebra en los conjuntos numéricos reales y complejos.

X X X

X

X

Semana 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

¡Para comenzar!


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X X X X X X X X

Agilidad de cálculo mental

Competencia 2

IGER − Polochic

Semana

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X

X

X X X X X X X X X X X X X X X X X

Resumen


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Autocontrol

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X X X X X X

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X

Competencia 3

Sección del libro

Aplica conocimientos sobre funciones, matrices, geometría y vectores, en situaciones que promueven el mejoramiento y transformación del medio natural, social y cultural de su contexto.

Semana 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

¡Para comenzar!

X


X

X X

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X X

X X X X

X X X X X X

Resumen

Autocontrol


X X

X X X X X X X X X X

X


X

X

X


X

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X

Competencia 4

Sección del libro

Utiliza técnicas de sucesiones y series para interpretar hechos sociales, económicos y geográficos.

Semana 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

¡Para comenzar!

X X X


X X

X

X X

Resumen


X X

Autocontrol


Razonamiento lógico Desarrolle nuevas habilidades

X X

X X X X X X

X X X X

X


3

Competencia 5

Sección del libro

Emplea las teorías de geometría y trigonometría para interpretar informaciones y elaborar informes sobre situaciones reales.

Semana 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

¡Para comenzar!

X X X

X X X


X X X

X

X X X X X X X

Resumen


X X

X X

X X X X X X X

Autocontrol


X

Razonamiento lógico Desarrolle nuevas habilidades

X X X X

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X

Con su esfuerzo, podrá conquistar estas competencias a través de tres tipos de contenidos:  Declarativos: los contenidos declarativos le aportarán el conocimiento de los distintos aspectos teóricos, conceptuales y científicos del área.  Procedimentales: como indica su nombre, los contenidos procedimentales se desarrollarán a base de ejercicios, procedimientos o análisis de problemas en los cuales pueda demostrar el dominio y la puesta en práctica de los conocimientos declarativos.  Actitudinales: los contenidos actitudinales son todo aquello que tiene que ver con su actitud ante el estudio y ante la vida, en general. En el libro encontrará actividades y reflexiones sobre situaciones cotidianas donde interviene la matemática.

4

IGER − Polochic

¡Conozcamos nuestro libro! Este libro comienza con un índice de contenidos generales y termina con las claves o soluciones de los ejercicios. Usar las claves con responsabilidad le permitirá desarrollar autonomía en su aprendizaje. Cada semana contiene cuatro secciones principales. Hagamos un recorrido:

Portada

La portada de cada semana, como la del periódico, indica el número de la semana y anuncia el título del tema que estudiará.

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Debajo del título verá este apartado. Le servirá de ruta para saber qué encontrará: lectura, contenidos y actividades. Siempre se presentan cuatro secciones en el mismo orden.

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Logros de la semana

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A continuación aparecen los logros o resultados que alcanzará al finalizar el estudio de cada semana. La lista termina con una línea para que usted escriba su logro personal.

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5

¡Para comenzar! Para entrar en el tema Un trampolín ayuda a los clavadistas a tomar altura y entrar con suavidad en el agua.

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La sección ¡Para comenzar! nos propone: • recordar conocimientos previos, (OPXQGRGHODPDWHPiWLFD

• conocer datos curiosos relacionados con el tema,

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• presentar la vida de matemáticos destacados.

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Esta actividad servirá "de acceso" y nos ayudará a entrar con suavidad en el tema.

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El mundo de la matemática El propósito de esta sección es aprender, practicar y aplicar los fundamentos de la matemática. Conoceremos especialmente los principios de la aritmética, geometría y tigonometría.

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También encontrará recuadros con recordatorios o explicaciones que enriquecen el contenido y espacios vacíos para hacer anotaciones, escribir ideas importantes, preguntas, etc.

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Resuelva los ejercicios y repítalos, así fijará en su memoria los conceptos nuevos y le dará seguridad en lo que aprende.

Anote sus dudas y resalte lo que debe recordar o prestar atención.

6

IGER − Polochic

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¿Cómo saber si está alcanzando los logros que le llevan a desarrollar las competencias?

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Resolver los ejercicios durante la clase radial con la ayuda de sus maestros locutores le permitirá comprobar si comprende los contenidos propuestos y por lo tanto si va alcanzando los logros.

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Tenga presente que la matemática "entra por el lápiz". Resolver todos los ejercicios y hacerlo cuantas veces sea necesario le ayudará a ir ganando seguridad y agilidad.

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Resumen El resumen recoge brevemente todo el contenido de la semana. Esta sección le ayuda a recordar de un golpe de vista, todo lo estudiado.

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Investigue en la red Internet es un recurso que ya no puede quedar fuera de la vida de un estudiante. Esta sección le sugiere direcciones de internet para ampliar los temas. Para una investigación provechosa: • Refiérase siempre a las instituciones conocidas: universidades, ministerios de educación, organismos mundiales, etc.

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• Lea e intente interpretar la información. No se limite a copiar y pegar el texto. • Indique siempre la fuente de consulta que utilizó. • Trate de visitar internet, al menos, una vez por semana.


7

El autocontrol Practicar, practicar y practicar ¿Sabe manejar bicicleta? Si puede hacerlo, sabe que tuvo que practicar mucho y sufrir algún raspón para aprender la técnica y convertirse en un ciclista experto.

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Lo mismo sucede con la matemática. En el autocontrol encontrará dos secciones:

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Demuestre lo aprendido

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Es una serie de ejercicios en los que practicará contenidos básicos con actividades sencillas.

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Practique lo aprendido Le proporciona la práctica de diferentes ejercicios con distintos niveles de dificultad.

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Agilidad de cálculo mental Pensar rápido, pensar mejor

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Si usted logra realizar operaciones básicas como la multiplicación, división, suma o resta, con agilidad, su cerebro se estará entrenando en pensar de forma ordenada y en hacer conexiones con más facilidad.

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Razonamiento lógico Resolver problemas

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Los expertos en educación indican que la resolución de problemas es el mejor camino para desarrollar competencias matemáticas ya que nos obliga a utilizar capacidades como:

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La sección Razonamiento lógico le ayudará a entre'HVDUUROOHQXHYDVKDELOLGDGHV narse y a aplicar3UDFWLFDU losHPRV\D conocimientos matemáticos a la ÀQDUHPRVQXHVWUDDSWLWXGGHGHWHUPLQDUSHTX HxDVGLIHUHQFLDV HQWUHYDULDVLPiJHQHV resolución de problemas. (QORVLQFLVRVVLJXLHQWHVHQFRQWUDUiXQDVH ULHGHÀ

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La sección Desarrolle nuevas habilidades que supone un reto porque debe aplicar su ingenio para adquirir nuevas destrezas. Para ello, debe combinar sus conocimientos previos con los que aprendió durante la semana. Revise su aprendizaje En este apartado le proponemos que haga un alto y reflexione sobre su aprendizaje. Es muy importante que usted mismo evalúe sus logros y determine qué necesita mejorar. Conteste con toda sinceridad y, posteriormente, consulte con su tutor las dudas que tenga.

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Por último, al final del libro, está la sección Taller matemático, aquí se le presentan dos pruebas liberadas que el Ministerio de Educación aplicó. Resolverlas le prepara poco a poco para cuando le corresponda someterse a ellas.


9

Libro, clase radial y círculo de estudio ¡Su equipo de trabajo! El libro, con ser una buena herramienta, no lo es todo. Para que usted alcance el nivel de competencia deseado, nuestro sistema pone a su disposición: el libro, la clase radial y la invitación a participar en un círculo de estudio.

• El libro cumple cuatro funciones: a. Texto, en el que encuentra la información y el desarrollo de los contenidos a estudiar.

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b. Pizarrón, para que durante la clase radial subraye ideas importantes o realice distintas actividades. c. Cuaderno de trabajo, con ejercicios para practicar lo aprendido. d. Herramienta de autoevaluación, cuando resuelve su autocontrol cada semana.

• La clase radial tiene como función principal explicar y facilitar la comprensión de los temas tratados en el libro.

Puede escuchar la clase radial en una emisora de su localidad, descargarlas en nuestra página www.iger.edu.gt o adquirirlas en cd en la coordinación regional.

• El círculo de estudio es el lugar para compartir y aprender juntos.

Aproveche estos recursos y apóyese en personas de su comunidad para resolver sus dudas.

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IGER − Polochic

Nuestra metodología paso a paso Para facilitar su aprendizaje y aprovechar más y mejor el estudio cada semana, siga estos pasos. ¡No se salte ninguno!

1

Lea el contenido de la semana

2

Escuche la clase radial Con los 5 sentidos

Leer el contenido nos permite tener una idea general del tema: qué sabemos, con qué lo relacionamos, etc. Este primer contacto también nos hará caer en la cuenta del esfuerzo a realizar para aprender lo nuevo y nos pondrá "en onda" para la clase radial.

La clase radial es nuestra maestra. De ahí que el programa se llame "El Maestro en Casa". Las maestras y maestros locutores explican el contenido, proponen ejercicios y otros ejemplos para ampliar el tema.

3

Después de la clase radial, su trabajo personal Estudio y autocontrol Finalizada la clase radial es el momento de su trabajo personal. Distribuya su tiempo: es mejor un poco cada día, que todo la víspera.

4

Consulte sus dudas Un estudiante inteligente sabe cuándo pedir ayuda Consulte los temas que no le han quedado claros en otros libros, en internet, con familiares o amigos. Seguro que encontrará personas dispuestas a ayudarle.

5

Participe en un círculo de estudio Aprender juntos Póngase de acuerdo con otros estudiantes y organicen un círculo de estudio. Soliciten la ayuda de alguna persona voluntaria de la comunidad. Eso les ayudará a resolver dudas y reforzar lo aprendido. Además, tendrán la oportunidad de intercambiar aprendizajes, ideas y sentimientos. Recuerde que siempre puede acudir a su tutor asignado.


11

¿Cómo aprovechar mejor su estudio? • Busque un lugar cómodo y con buena iluminación. Es importante que se aleje del ruido y de las distracciones. • Elija un horario para trabajar y estudiar. La constancia y la disciplina son sus mejores compañeras de estudio. • Lea con atención las instrucciones de los ejercicios antes de resolverlos. • Consulte sus dudas con otras personas de su comunidad que puedan ayudarle.

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12

IGER − Polochic

5

y

4 3 2 1 0 1

x2

2

3

+ y2

4

x

18

–1 = i

= r2

Ecuaciones cuadráticas ¿Qué encontrará esta semana? La historia de los signos matemáticos Ecuaciones cuadráticas Ecuaciones de primer grado Ecuaciones cuadráticas y problemas de aplicación

Esta semana logrará:  Conocer la historia de los signos matemáticos.  Identificar el grado de las ecuaciones.  Reconocer ecuaciones cuadráticas completas e incompletas.  Resolver ecuaciones de segundo grado por factorización y por fórmula.  Resolver con agilidad ecuaciones de primer grado.  Hallar la variación del área de cuadriláteros. 

Matemática − Semana 18

13

¡Para comenzar! La historia de los signos matemáticos Se podría pensar que los signos utilizados en las diferentes operaciones matemáticas han sido los mismos de siempre, pero lo cierto es que han variado con el paso del tiempo. A partir del siglo XV, poco a poco, se fueron sustituyendo las palabras, que indicaban las operaciones, por los signos. Conozcamos la historia de algunos signos matemáticos.

+

–

Suma y resta

Í

•

Producto o multiplicación

a b

a/b

a÷b

a:b

=

Se dice que los italianos utilizaban una p y una m para indicar la suma y la resta (plus y minus, en latín). Estas letras se eliminaron cuando el matemático alemán Johannes Widmann introdujo los signos + y –, que utilizamos en la actualidad.

William Oughtred propuso una cruz para designar la multiplicación. Posteriormente, el matemático Gottfried Wilhelm Leibniz decidió proponer el punto simple, porque la cruz se confundía con la x de las ecuaciones.

División La división es la operación matemática que se puede representar con más signos. Entre ellos está la barra horizontal, signo de origen árabe. Luego, el matemático Augustus De Morgan la transformó en oblicua. Posteriormente Johann Heinrich Rahn inventó el signo "÷". Leibniz introdujo los dos puntos ":"; él aconsejaba su uso para realizar la operación en una sola línea y para tener una relación con el signo de multiplicación de un solo punto.

Igual que Este signo se debe a Robert Recorde, que empezó a utilizarlo en 1557. Él decía: No hay dos cosas que puedan ser más iguales que dos rectas paralelas.

El signo de la igualdad o igual que será de mucha utilidad en las ecuaciones que estudiaremos esta semana. ¡A trabajar! Le invitamos a navegar por internet e investigar sobre los demás signos matemáticos y otras historias de interés. Le sugerimos esta dirección: http://goo.gl/12egYH

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IGER − Polochic

El mundo de la matemática 1. Ecuaciones cuadráticas Iniciemos nuestro curso de matemática recordando las ecuaciones lineales o de primer grado, que ya hemos trabajado en los cursos anteriores. Una ecuación lineal es la expresión algebraica que está formada por dos miembros, en los que pueden haber operaciones algebraicas, separados por el signo igual que (=) y la variable o incógnita está elevada a la potencia uno (x), por ello se le conoce también como ecuación de primer grado. Pero no todas las ecuaciones son de primer grado, conozcamos qué determina el grado de una ecuación. El grado de una ecuación lo establece el monomio o término de mayor grado absoluto; es decir, la variable elevada al exponente mayor. En las ecuaciones siguientes veremos cómo determinar el grado y su nombre. 5x – 3 + 4x = 6

Ecuación de primer grado o lineal, (el exponente mayor de la incógnita x es 1).

2x2 – 7x + 3 = 0

Ecuación de segundo grado o cuadrática.

3x3 – 2x2 + 14x = 0

Ecuación de tercer grado o cúbica.

x4 – 13x + 36 = 0

Ecuación de cuarto grado o bicuadrada.

Esta semana estudiaremos la resolución de las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado. Una ecuación cuadrática de una variable es un polinomio formado por la suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, la incógnita está elevada al cuadrado o su exponente es dos (x2). La expresión general que representa una ecuación cuadrática es: ax 2 + bx + c = 0 Donde: x: es la variable. ax2: es el término cuadrático, donde el coeficiente a no puede ser cero. bx: es el término lineal o de primer grado. c: es el término independiente. Las ecuaciones cuadráticas pueden tener: dos soluciones, una solución, o no tener solución dentro de los números reales. Matemática − Semana 18

15

1.1 Clasificación de las ecuaciones cuadráticas Las ecuaciones cuadráticas pueden ser completas o incompletas. Veamos las características de cada una.

a. Ecuaciones cuadráticas completas Una ecuación de segundo grado se considera completa cuando los coeficientes numéricos a, b y el término independiente c son distintos de cero, por lo tanto contienen los tres términos. Algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas completas son: x2 – 2x + 8 = 0 2x2 + 4x – 6 = 0 Coeficiente a = 1

Coeficiente a = 2

Coeficiente b = –2

Coeficiente b = 4

Término independiente c = 8

Término independiente c = – 6

b. Ecuaciones cuadráticas incompletas En una ecuación cuadrática no puede faltar el término de segundo grado ax2 porque dejaría de ser cuadrática, pero sí puede faltar el término de primer grado bx, el término independiente c o ambos. En cualquiera de los casos se trata de una ecuación cuadrática incompleta. La expresión matemática que ejemplifica cada una de estas ecuaciones es: • Cuando falta el término lineal bx. Ejemplo: 4x2 – 9 = 0 • Cuando falta el término independiente c. Ejemplo: 2x2 + 6x = 0 • Cuando falta el término lineal bx y el término independiente c.

ax 2 + c = 0 ax 2 + bx = 0 ax 2 = 0

Ejemplo: 9x2 = 0

Ejercicio 1 Identifique los valores de los coeficientes númericos y del término independiente en las ecuaciones cuadráticas siguientes y escríbalos en la columna correspondiente. Tiene un ejemplo. Ecuación –x – 9 = 0 2

x2 – 8x = 0 4x2 + 2x + 1 = 0 24x2 – 65x + 21 = 0 2x2 – 4 7 x + 1 = 0

16

IGER − Polochic

a –1

Coeficiente b 0

c –9

2. Resolución de ecuaciones cuadráticas completas En esta sección estudiaremos la resolución de ecuaciones cuadráticas completas. Los métodos que utilizaremos serán: por factorización y por fórmula general. Un paso importante para resolver ecuaciones cuadráticas completas es ordenar la ecuación, de tal forma que todos los términos queden en el miembro izquierdo, de preferencia, y el lado derecho se iguala a 0; es decir, llevarla a la forma ax2 + bx + c = 0

a. Solución por factorización Para resolver ecuaciones cuadráticas por factorización, debemos asociarlas con el trinomio de la forma x2 + bx + c o ax2 + bx + c y expresarla como un producto de sus factores. Los pasos para resolver las ecuaciones cuadráticas completas son: Para resolver ecuaciones cuadráticas con agilidad, tenga en cuenta los casos de factorización que vimos en las semanas 13 y 14.

a) Ordenar la ecuación e igualarla a 0. b) Factorizar el trinomio e igualarlo a 0. c) Tomar cada factor por separado e igualarlos a 0. d) Despejar la variable. e) Por último, comprobar el o los resultados en la ecuación original. Resolvamos:

x2 + 5x = – 6

• Ordenamos la ecuación y la igualamos a 0.

x2 + 5x + 6 = 0

• Factorizamos el trinomio.

(x + 3)(x + 2) = 0

• Tomamos cada factor por separado y lo igualamos a 0.

x + 3 = 0

x+2=0

• Despejamos la variable y obtenemos las soluciones.

x1 = –3

x2 = –2

Para comprobar que las respuestas son correctas, en este ejercicio sustituiremos la variable de la ecuación original por los valores de x1 y x2. Si x = –3

Si x = –2

x2 + 5x = – 6

(–3)2 + 5(–3) = – 6

(–2)2 + 5(–2) = – 6

9 – 15 = – 6

–6 = –6

–6 = –6

x2 + 5x = – 6 4 – 10 = – 6

De esta manera queda comprobado que ambas respuestas son correctas. Matemática − Semana 18

17

Resolvamos:

x2 = 8x – 16

• Ordenamos la ecuación y la igualamos a 0.

x2 – 8x + 16 = 0


(x – 4)(x – 4) = 0


x – 4 = 0


x1 = 4 x2 = 4

Resolvamos:

3x2 + 7x + 2 = 0


(3x + 1)(x + 2) = 0


3x + 1 = 0 x + 2 = 0


3x = –1

x = –2

1 x1 = – 3

x2 = –2

x–4=0

Ejercicio 2 Resuelva, en este espacio, las ecuaciones cuadráticas por factorización. Luego, en su cuaderno compruebe cada resultado. 1) x2 – 2x = 8

2) x2 + 25 = 10x

3) x2 = 8x – 15

4) x2 – 16 = 6x

5) 2x2 – 7x + 3 = 0

6) 2x2 – 4x – 6 = 0

18

IGER − Polochic

b. Solución por fórmula general En el apartado anterior aprendimos a resolver ecuaciones de segundo grado por descomposición en factores, pero hay ecuaciones cuadráticas en las que ese procedimiento no es de fácil aplicación. Para ello, existe la fórmula cuadrática o general que ayuda a resolver cualquier tipo de ecuación cuadrática. Recordemos la fórmula cuadrática o fórmula de Vieta y los elementos que la forman.

x=

–b ± b2 – 4ac 2a

Donde: x: representa las dos soluciones de la ecuación (x1 y x2). b: es el coeficiente del término lineal bx.

±: este signo formado por los signos más y menos sirve para obtener las dos soluciones. – 4: es una constante que multiplica al coeficiente a y al término c. a: es el coeficiente del término cuadrático ax2. c: es el término independiente. 2: es una constante en el denominador que multiplica al coeficiente a. Para utilizar la fórmula, identificamos los valores de los coeficientes numéricos y del término independiente en la ecuación original. Luego, los sustituimos en la fórmula de acuerdo con las constantes y signos indicados. Hagamos el primer ejemplo. Resolvamos: x2 = – 4x + 12 • Ordenamos la ecuación y relacionamos cada literal con su valor.

x2 + 4x – 12 = 0

• Sustituimos los valores de las literales en la fórmula.

x=

• Realizamos las operaciones indicadas dentro y fuera del radical.

16 + 48 64 x = –4 ± = –4 ± 2 2

• Expresamos el resultado con x1 donde operamos con el signo + y x2 donde operamos con el signo –.

x1 = – 4 + 8 2

x2 = – 4 – 8 2

• Obtenemos los valores de x1 y x2.

x1 = 4 = 2 2

x2 = –12 = – 6 2

a = 1, b = 4, c = –12

– (4) ± (4)2 – 4(1)(–12) 2(1) Recuerde la ley de signos; en la primera sustitución –(4) = – 4 y dentro del radical –4(1)(–12) = +48


19

Resolvamos:

2x2 – 5x + 1 = 0

• Relacionamos cada literal con su valor.

a = 2, b = –5, c = 1


x=

• Realizamos las operaciones indicadas dentro y fuera del radical. • Expresamos el resultado con x1 donde operamos con el signo + y x2 donde operamos con el signo –. • Obtenemos los valores de x1 y x2.

– (–5) ± (–5)2 – 4(2)(1) 2(2)

25 – 8 5 ± 17 x= 5± = 4 4 x1 = 5 + 17 4

x2 = 5 – 17 4

x1 = 5 + 17 ≈ 2.28 4 17 ≈ 0.22 5 – x2 = 4

Resolvamos:

6x2 + 23x – 18 = 0

• Relacionamos cada literal con su valor.

a = 6, b = 23, c = –18


x=

– (23) ± (23)2 – 4(6)(–18) 2(6)

• Realizamos las operaciones indicadas dentro y fuera del radical.

x=

–23 ± 529 + 432 –23 ± 961 = 12 12

• Expresamos el resultado con x1 donde operamos con el signo + y x2 donde operamos con el signo –.

• Obtenemos los valores de x1 y x2.

x1 = –23 + 31 12

x2 = – 23 – 31 12

x1 = 8 = 2 12 3

x2 = –54 = – 9 2 12

Ejercicio 3 Resuelva en su cuaderno las ecuaciones cuadráticas completas. Utilice la fórmula general y compruebe cada resultado.

20

1) x2 – 2x = 24

5) 3x2 – 4x – 15 = 0

9) 6x2 + 10 = 19x

2) 3x2 + 5x = 0

6) 9x2 = 3x + 20

10) 5x2 + 24x + 16 = 0

3) 5x2 – 3x – 2 = 0

7) 2x2 + 36 = 17x

11) 9x2 + 29x + 6 = 0

4) x2 – 4x – 21 = 0

8) 4x2 + 9 + 12x = 0

12) 10x2 + 9x – 9 = 0

IGER − Polochic

3. Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas a. Ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0 Como dijimos anteriormente, las ecuaciones cuadráticas incompletas son aquellas que les falta el término bx o c. Ahora estudiaremos las que les falta el término c. Los pasos para resolver este tipo ecuaciones son: a) Factorizar por factor común. b) Igualar cada factor a 0. c) Resolver las dos ecuaciones de primer grado o lineales.

Resolvamos: x2 + 2x = 0 • Factorizamos el binomio.

x(x + 2) = 0


x=0


x1 = 0

x+2=0 x2 = –2

Resolvamos: 3x2 – 5x = 0 • Factorizamos el binomio.

x(3x – 5) = 0


x = 0 3x – 5 = 0 3x = 5 x1 = 0 x2 = 5 3

• Despejamos la variable y obtenemos las soluciones. Resolvamos: 8x2 + 2x = 0 •

Factorizamos el binomio.

•

Tomamos cada factor por separado y lo igualamos a 0. 2x = 0

•

Despejamos la variable y obtenemos las soluciones.

2x(4x + 1) = 0 4x + 1 = 0

x = 0 4x = –1 2 x1 = 0 x2 = – 1 4

Ejercicio 4 Resuelva en su cuaderno las ecuaciones cuadráticas incompletas y compruebe cada resultado en la ecuación original. 1) x2 – 2x = 0

4) x2 = 2x

7) 2x2 = 17x

2) 3x2 + 5x = 0

5) 2x2 = 5x

8) 6x2 = 18x

3) 2x2 – 3x = 0

6) 9x2 = 3x

9) 4x2 + 12x = 0 Matemática − Semana 18

21

b. Ecuaciones de la forma ax2 + c = 0 Como puede ver en estas ecuaciones falta el término lineal bx. Los pasos para resolver este tipo de ecuaciones son: a) Escribir el término cuadrático en el primer miembro y el término independiente en el segundo miembro. b) Extraer raíz cuadrada en ambos miembros, anteponiendo el signo ± al radical del término independiente. c) Escribir las dos soluciones. Resolvamos: x2 – 4 = 0 • Ordenamos la ecuación.

x2 = 4

• Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros. • Escribimos las soluciones.

x2 = ± 4 x=±2 x1 = 2 x2 = –2

Resolvamos: 9x2 – 25 = 0 • Ordenamos la ecuación.

9x2 = 25

• Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros. • Despejamos la variable y escribimos las soluciones.

9x2 = ± 25 3x = ± 5 5 5 x1 = x2 = – 3 3

Resolvamos: x2 – 10 = 0 • Ordenamos la ecuación.

x2 = 10

• Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros.

x2 = ± 10 x = ± 10 x1 = 10 ≈ 3.16 x2 = – 10 ≈ –3.16

• Escribimos las soluciones. Resolvamos: x2 = 18 • Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros.

x2 = ± 18 x = ± 18

• Escribimos las soluciones.

x1 = 3 2 ≈ 4.24 x2 = –3 2 ≈ – 4.24

Ejercicio 5 Resuelva en su cuaderno las ecuaciones cuadráticas incompletas y compruebe cada resultado en la ecuación original.

22

1) x2 – 64 = 0

3) 4x2 = 16

5) x2 – 6 = 0

2) x2 – 100 = 0

4) 9x2 = 25

6) 6x2 – 24 = 0

IGER − Polochic

4. Resolución de problemas con ecuaciones cuadráticas Muchas situaciones de la vida diaria y de las diferentes ciencias hacen uso de las ecuaciones de segundo grado para llegar a una solución. A continuación emplearemos este tipo de ecuaciones para resolver algunas aplicaciones. Resolvamos: Una de las caras de un prisma rectangular mide 4 centímetros más en la base que en su altura y el área es de 192 centímetros cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones de esa cara? • De ser posible realizamos una dibujo que describa los datos del problema.

x

192 cm2 x+4

• Escribimos los datos del problema en una tabla.

Altura

Base

h=x

b=x+4

• Escribimos la fórmula del área para un rectángulo.

A=bÍh

• Sustituimos los valores en la fórmula.

192 = (x + 4)(x)

• Realizamos las operaciones.

192 = x2 + 4x

• Ordenemos la ecuación de segundo grado.

x2 + 4x – 192 = 0


• Obtenemos los resultados.

Área A = 192 cm2

– (4) ± (4)2 – 4(1)(–192) 2(1) – 4 ± 16 + 768 – 4 ± 784 x= = 2 2 x=

x1 = – 4 + 28 2

x2 = – 4 – 28 2

x1 = 24 = 12 2

x2 = –32 = –16 2

• Como las medidas de la figura no pueden ser negativas, descartamos el resultado x2 = –16, solo tomamos el valor positivo x1 = 12 y lo sustituimos en las variables iniciales. h = x = 12 cm;

b = x + 4 = 12 + 4 = 16 cm

Las dimensiones de una de las caras del prisma son 12 cm de alto y 16 cm de ancho.


23

Resolvamos: Alberto es 5 años mayor que su hermana Cristina. La suma de las edades al cuadrado es 325 años. ¿Cuál es la edad de cada uno? • Expresamos los datos del problema en una tabla.

Edad de Cristina

Edad de Alberto

Suma de las edades al cuadrado

x

x+5

x2 + (x + 5)2

• Escribimos la ecuación.

x2 + (x + 5)2 = 325

• Desarrollamos el cuadrado.

x2 + x2 + 10x + 25 = 325

• Igualamos la ecuación a 0.

2x2 + 10x – 300 = 0

• Dividimos la ecuación entre 2.

x2 + 5x – 150 = 0

• Factorizamos.

(x + 15)(x – 10) = 0

• Igualamos cada factor a 0.

x + 15 = 0 x – 10 = 0


x1 = –15

x2 = 10

Cristina tiene 10 años y Alberto 15. Resolvamos: Un fabricante de vasos circulares rectos desea elaborar un vaso de 10 cm de alto y con una capacidad 785 cm3. ¿Qué radio interior debe tener cada vaso?

r • De ser posible realizamos un dibujo que describa los datos del problema.

• Escribimos la fórmula del volumen para un cilindro circular recto. • Despejamos la variable que nos interesa.

h

V = πr 2h V = r2 πh


785 = r2 (3.14)(10)


785 = r2 31.4 ± 25 = r 2


5 = r

–5 = r

El vaso debe tener un radio interno de 5 centímetros.

24

IGER − Polochic

Resumen 1. En las ecuaciones cuadráticas la incógnita está elevada al cuadrado. Estas ecuaciones pueden tener: dos soluciones, una solución o no tener solución dentro de los números reales. La expresión general que representa una ecuación cuadrática es: ax 2 + bx + c = 0 1.1 Clasificación de las ecuaciones cuadráticas: a. Ecuaciones cuadráticas completas: una ecuación de segundo grado se considera completa cuando los coeficientes numéricos a, b y el término independiente c son distintos de cero. b. Ecuaciones cuadráticas incompletas: en una ecuación cuadrática no puede faltar el término ax2, pero sí puede faltar el término de primer grado bx, el término independiente c o ambos. En cualquiera de los casos se trata de una ecuación cuadrática incompleta. 2. Las ecuaciones cuadráticas completas se pueden resolver por factorización y por fórmula general. a. Solución por factorización: para resolver ecuaciones cuadráticas por factorización debemos asociarlas con el trinomio de la forma x2 + bx + c o ax2 + bx + c y expresarla como un producto de sus factores. b. Solución por fórmula general: la fórmula general o de Vieta nos ayuda a resolver cualquier tipo de ecuación cuadrática sustituyendo los valores de los coeficientes y del término independiente en la fórmula. x=

–b ± b2 – 4ac 2a

3. Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas; de acuerdo al término que les falte, pueden ser de la forma: a. ax2 + bx = 0 se resuelven por factor común. b. ax2 + c = 0 se resuelven ordenando la ecuación y extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros.

Investigue en la red... Le invitamos a que visite los siguientes sitios de internet. En ellos podrá reforzar sus conocimientos sobre las ecuaciones cuadráticas y realizar más ejercicios. • http://goo.gl/LaQzsH • http://goo.gl/a8XBJb Matemática − Semana 18

25

Autocontrol Actividad 1.


A. Observe con atención las ecuaciones, determine si son completas o incompletas y escriba el valor de los coeficientes y del término independiente. Tiene un ejemplo. 0) x2 + 2x – 8 = 0

a =

b =

c =

1 2 –8 a

3) x2 – 10x + 24 = 0

a =

b =

c =

1) –10x2 + 16x – 8 = 0

4) 6x2 – 8 = 0

a =

a =

b =

b =

c =

c =

2) 3x2 + 2x = 0

completa

5) x2 + 11x + 24 = 0

a =

a =

b =

b =

c =

c =

B. Marque con una "X" el cuadro de la opción que responde correctamente a cada pregunta. 1) De las opciones siguientes, ¿cuál es una ecuación cuadrática?

2x + 9 = 16 5 • 3 – 5 = 10 x4 – 2x2 + 5 = 0 3x2 + 2x – 8 = 0

2) ¿Cuál es el segundo término en la ecuación x2 – 17x + 72 = 0?

0 x2 72 –17x

3) ¿Cuál es el término independiente en la ecuación 2x2 + 6x – 9 = 0?

2 6 –9 6x

4) ¿Cuál es la factorización correcta de x2 + 3x – 54?

(x + 9)(x – 6) (x + 6)(x – 9) (x + 9)(x + 6) (x – 9)(x – 6)

26

IGER − Polochic

Actividad 2.

Practique lo aprendido

A. Resuelva por factorización las ecuaciones cuadráticas completas y escriba los resultados de x1 y x2. 1) x2 + 5x + 6 = 0

x1 =

2) x2 + 2x – 8 = 0

x2 =

3) x2 + 2x + 1 = 0

x1 =

x2 =

x1 =

x2 =

6) x2 + 8x + 15 = 0

x2 =

7) 3x2 + 5x + 2 = 0

x1 =

x2 =

4) x2 – 8x + 16 = 0

5) x2 + 6x – 27 = 0

x1 =

x1 =

x1 =

x2 =

8) 2x2 + 7x – 4 = 0

x2 =

x1 =

x2 =

B. Resuelva por factorización las ecuaciones cuadráticas incompletas y escriba los resultados de x1 y x2. 1) x2 – 3x = 0

x1 =

2) 4x2 + 20x = 0

x2 =

3) 3x2 – 12x = 0

x1 =

x2 =

4) x2 – 9 = 0

x2 =

5) x2 – 49 = 0

x1 =

x1 =

x1 =

x2 =

6) x2 – 15 = 0

x2 =

x1 =

x2 = Matemática − Semana 18

27

Agilidad de cálculo mental Observe cada ecuación de primer grado, resuélvala mentalmente y escriba el resultado en la línea correspondiente. Luego, compruebe su resultado en la ecuación original. A. 13) x – 8 = 4

x=

14) x – 6 = 12

x=

15) x – 9 = 10

x=

x=

16) x – 8 = 22

x=

5) x + 45 = 60

x=

17) x – 3 = 12

x=

6) x + 10 = 90

x=

18) x – 0 = 45

x=

7) x + 16 = 40

x=

19) x – 10 = 16

x=

8) x + 18 = 30

x=

20) x – 15 = 45

x=

9) x + 14 = 54

x=

21) x – 60 = 30

x=

10) x + 20 = 32

x=

22) x – 25 = 25

x=

11) x + 10 = 55

x=

23) x – 20 = 32

x=

12) x + 25 = 50

x=

24) x – 36 = 64

x=

1) 9y = 36

y=

2) 4y = 24

y=

3) 8y = 64

y=

4) 8y = 40

y=

5) 3y = 36

y=

6) 5y = 45

y=

18)

7) 3y = 30

y=

19)

8) 2y = 44

y=

20)

9) 5y = 60

y=

10) 8y = 96

y=

11) 12y = 36

y=

1) x + 9 = 17

x=

2) x + 15 = 10

x=

3) x + 25 = 50

x=

4) x + 12 = 30

B.

12) 15y = 60 y= y 13) = 4 y = 6

28

IGER − Polochic

14) 15)

16) 17)

y = 6 8 y = 7 7 y = 12 3 y = 4 5 y = 15 1 y = 3 12 50 = 25 y

21) 48 y = 4 22) 75 y = 15 23) 90 y = 30 24) 60 y = 4

y= y= y= y= y= y= y= y= y= y= y=

Razonamiento lógico A. Resuelva en su cuaderno o en hojas aparte las ecuaciones cuadráticas. Utilice el método que desee. 13) x2 + 32 = –12x 1) 2x2 = 6x 2) x2 = 10x

14) 2x2 + 13x = 24

3) 3x2 = 9x

15) x2 – 4x – 32 = 0

4) x2 – 8x = 0

16) x2 – 3x – 10 = 0

5) 5x2 – 9x = 0

17) 6x2 – x – 12 = 0

6) 8x2 + 4x = 0

18) 10x2 + x – 3 = 0

7) 4x2 = 25

19) 4x2 + 17x = –18

8) 81x2 = 16

20) 6x2 + 17x + 5 = 0

9) x2 – 4 = 0

21) x(3x – 15) = 42

10) 100x2 = 64

22) x(x – 2) = 35

11) x2 – 64 = 0

23) (x + 3)(10 – x) = 8x

12) 16x2 – 9 = 0

24) (5x + 11) = 12 x

B. Plantee una ecuación que describa lo enunciado en cada problema. Luego, resuélvala y compruebe su resultado. Realice el ejercicio en su cuaderno. 1) Un rectángulo es 5 veces más largo que el doble de su ancho. Si su área es 90 cm2, ¿cuánto mide el largo y el ancho? 2) Determine el área de un cuadrado si su diagonal mide 50 cm. 3) El área de una mesa rectangular es de 2.70 m2. Determine el largo y el ancho de la mesa, si el ancho es 0.75 veces su largo. 4) La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halle dichos números. 5) Determine las dimensiones de un terreno rectangular que tiene un perímetro de 280 m y su área es de 4000 m2. 6) Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halle la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m². 7) Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. Halle los números. 8) Halle la longitud de los lados de un triángulo rectángulo con un área de 6 cm2, perímetro de 12 cm e hipotenusa de 5 cm. 9) En t segundos la altura h en pies, sobre el nivel del suelo, de un proyectil está dada por la ecuación h = 240t – 16t2. ¿Cuánto tiempo le tomará al proyectil llegar a una altura de 900 pies sobre el nivel del suelo? Matemática − Semana 18

29

Desarrolle nuevas habilidades Comparemos áreas En esta sección notaremos cómo una pequeña variación en la medida de los lados de un cuadrado hace una gran diferencia en el área. Preste atención al caso siguiente. Consideremos tres cuadrados con lados x, x + 2 y x + 5 que se muestran a continuación. Luego, realice lo que se le pide en cada inciso.

x

x+2

x+5

1) Escriba una ecuación cuadrática para el área de cada cuadrado. A1 =

A2 =

A3 =

2) Si el área del primer cuadrado es de 36 cm2, ¿cuánto mide cada cuadrado por lado y cuáles son las áreas? =

A1 =

1

=

A2 =

2

3

=

A3 =

3) Si el área del tercer cuadrado es de 225 cm2, ¿cuánto mide cada cuadrado por lado y cuál es el área de los otros dos? =

A1 =

1

=

A2 =

2

3

=

A3 =

Revise su aprendizaje Marque con un cheque

la casilla que mejor indique su rendimiento.

Después de estudiar...

Conozco la historia de los signos matemáticos. Identifico el grado de las ecuaciones. Reconozco ecuaciones cuadráticas completas e incompletas. Resuelvo ecuaciones de segundo grado por factorización y por fórmula. Resuelvo con agilidad ecuaciones de primer grado. Hallo la variación del área de cuadriláteros.

30

IGER − Polochic

en no logrado proceso logrado

5

y

4 3 2 1 0 1

x2

2

3

+ y2

4

x

19

–1 = i

= r2

Inecuaciones ¿Qué encontrará esta semana? Las desigualdades matemáticas en la vida diaria Inecuaciones Clasificación de una serie de números de acuerdo a su relación. En búsqueda de detalles

Esta semana logrará:  Comprender y describir qué es una inecuación.  Diferenciar una inecuación de una desigualdad matemática.  Resolver correctamente inecuaciones.  Representar la solución de inecuaciones en la recta numérica.  Ordenar y clasificar una serie de números respecto a su relación.  Practicar la agudeza visual en la búsqueda de detalles. 


31

¡Para comenzar! Las desigualdades matemáticas en la vida diaria Las desigualdades matemáticas se emplean todo el tiempo en el mundo que nos rodea. Saber interpretarlas es importante para manejar correctamente la información que percibimos de nuestro entorno. Usted se encuentra con desigualdades matemáticas en muchas ocasiones, pero quizás no lo nota porque ya le son familiares. Por ejemplo, piense en los escenarios siguientes: Situación

Desigualdad matemática

Altura máxima de un camión

Para que un camión pueda pasar debajo de algún puente, debe tener una altura menor a 4.15 metros.

Tarjeta de crédito El pago mínimo mensual debe ser mayor o igual al 10 % de la deuda total. Altura mínima para un juego

90 cm

En algunos juegos de las ferias, para que un niño pueda subirse debe tener una altura mayor o igual al límite permitido.

Límite de velocidad La velocidad permitida en las carreteras debe ser menor o igual a 70 km/h.

Km/h

Minutos de tiempo de aire min

En algún determinado plan, el tiempo de aire en el celular que consumimos al mes debe ser menor o igual a 150 minutos.

¿Lo notó? Todas las situaciones anteriores son desigualdades, y aunque usted no se dé cuenta, ya utiliza el razonamiento matemático para analizar estas y otras situaciones similares. Veremos este tema en la siguiente sección. ¡A trabajar! Piense y escriba una circunstancia más en la que utilice las desigualdades matemáticas. Explique de forma breve su respuesta.

32

IGER − Polochic

El mundo de la matemática 1. Inecuaciones Antes de estudiar las inecuaciones, debemos tener claro qué son las desigualdades matemáticas, de las cuales leíamos en la sección anterior. Una desigualdad matemática es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos; para indicar ese orden se emplean los signos de relación mayor que (>), menor que (<), mayor o igual que (≥) y menor o igual que (≤). Veamos unos ejemplos: 89 > 25, se lee: "89 es mayor que 25" –36 < 2, se lee: "–36 es menor que 2" Teniendo claro lo anterior, podemos pasar al tema de esta semana, las inecuaciones. Una inecuación es una desigualdad matemática que presenta al menos una variable en alguno de sus miembros, por eso también se le conoce como desigualdad algebraica. Unos ejemplos: y – 4 ≤ 11 x+4<8 y–6≥6

1.1 Clasificación de las inecuaciones a. Por el signo que presentan Si la inecuación presenta el signo de relación "mayor que" o "menor que", se denomina inecuación de sentido estricto, porque no incluye a sus extremos.

x > 10

Es estricta porque el valor de x se puede acercar a 10 lo más posible (10.1, 10.01, 10.001…), pero no lo incluye.

y<3

El valor de y se puede acercar a 3 lo más posible (2.9, 2.99, 2.999…), pero no lo incluye.

Si la inecuación presenta el signo de relación "mayor o igual que" o "menor o igual que", se denomina inecuación en sentido amplio o no estricto, porque sí incluye a sus extremos. y≤8

El valor de y puede ser 8 o menor que 8, es decir, sí lo incluye.

x ≥ –5

El valor de x puede ser –5 o mayor que –5, es decir, sí lo incluye. Matemática − Semana 19

33

b. Por su grado Al igual que las ecuaciones, el grado de una inecuación está dado por el exponente mayor de la variable. x – 8 < 6, es de primer grado o lineal y 2 + 9 ≥ 22, es de segundo grado o cuadrática m3 + 23 > 30, es de tercer grado o cúbica, etc.

1.2 Resolución de inecuaciones de primer grado La solución de una inecuación es el conjunto de valores que puede tomar la variable y que verifican la inecuación. Podemos expresar la solución de dos formas, por medio de una representación gráfica en la recta numérica o como un intervalo. El procedimiento para resolver una inecuación de primer grado es muy similar al que empleamos para resolver una ecuación. Ponga atención al ejemplo siguiente: Resolvamos la siguiente inecuación:

2x + 1 ≤ x + 3

• Realizamos la transposición de términos.

2x – x ≤ 3 – 1

• Reducimos términos semejantes y encontramos la respuesta.

x ≤2

Ahora, representamos la respuesta como intervalo y en forma gráfica en la recta numérica. Al representar la solución, utilizamos paréntesis ( ) si es una inecuación estricta y corchetes [ ] si es una inecuación amplia.

(–∞, 2] se lee: la solución comprende todos los números desde infinito negativo hasta 2, incluyendo el 2.

] –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

¿Lo ve? Se trabaja de forma muy parecida a las ecuaciones. Tenga en cuenta que, al expresar la respuesta como intervalo, cuando un límite o extremo se extiende hasta infinito, siempre utilizamos paréntesis.

34

IGER − Polochic

¡Muy importante! Cuando un número negativo multiplica o divide un lado de la inecuación y pasa al otro haciendo la operación contraria, el signo de la desigualdad cambia de sentido. Resolvamos:

–3(4x + 1) > 1

• Aplicamos la propiedad distributiva.

–12x – 3 > 1

• Realizamos la transposición de términos y operamos.

–12x > 4

• Despejamos la variable y operamos. Como el número que pasa a dividir es negativo, el signo de desigualdad cambia de sentido. • Simplificamos y hallamos la respuesta.

x <– 4

12

x <–1 3

todos los números desde infinito (–∞, – 13 ) se lee: la1 solución comprende 1

negativo hasta – , sin incluir a – . 3 3

( –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 También se pueden presentar inecuaciones con dos signos de relación, llamadas dobles o de tres componentes. Veamos el proceso para resolverlas. Resolvamos: • Dividimos la expresión en dos partes. La primera, formada por el primer y segundo componente. La nombramos 1. La segunda, formada por el segundo y tercer componente. La nombramos 2.

4 + 3x < 5x + 2 ≤ 7x + 1 1 4 + 3x < 5x + 2 ≤ 7x + 1 2

• Las trabajamos por separado. Primero, resolvemos 1. Identificamos su solución como s1.

4 + 3x < 5x + 2 4 – 2 < 5x – 3x 2 < 2x 1 < x (s1)

• Luego, resolvemos 2. Identificamos su solución como s2.

5x + 2 ≤ 7x + 1 5x – 7x ≤ 1 – 2 –2x ≤ –1 x≥

1 (s ) 2 2

Continuemos la solución de esta inecuación doble en la página siguiente. Matemática − Semana 19

35

• Ahora, debemos realizar una intersección entre los conjuntos de valores que comprende cada solución. La respuesta para la inecuación doble serán aquellos valores que se incluyan en ambas soluciones (s1 y s2 ). s1( s2 [

( 1 –3 –2 –1 0 1 2 3 2 Como podemos ver, ambas soluciones (s1 y s2) se intersectan en el intervalo (1, ∞), por lo que esta sería la respuesta para la inecuación original (4 + 3x < 5x + 2 ≤ 7x + 1). Expresamos este resultado como: (1, ∞) se lee: la solución comprende todos los números desde 1 hasta infinito positivo, sin incluir el 1.

Ejercicio 1 Resuelva las inecuaciones siguientes en su cuaderno. Recuerde trazar la representación gráfica. 1) 5x – 12 > 3x – 4

2) x – 5 < 2x – 6

3) 2(3x + 1) – 3(2x – 2) > x + 6

4) (x – 1)2 – 11 < (x – 2)2

5)

(x + 3)(x + 2) x (x + 2) –4< 3 3

7) 4x + 1 ≥ 3 – 5x > 10 – 7x

36

IGER − Polochic

6)

7x –5x – 4 2 – 4x 3x + 1 – ≥ + 6 14 3 7

8) 4x ≤ 2x + 1 ≤ 3x + 2

1.3 Resolución de inecuaciones de segundo grado Para resolver inecuaciones de segundo grado nos basamos en el procedimiento de la fórmula cuadrática, el cual aprendimos la semana anterior. Resolvamos:

2x2 – x – 15 > 0

• Igualamos el polinomio a cero.

2x2 – x – 15 > 0

• Empleamos la fórmula cuadrática para hallar las raíces de la ecuación. • Ubicamos los valores de las raíces en la recta numérica:

–(–1) ± (–1)2 – 4(2)(–15) 2(2) 1 ± 11 x= 4 5 x1 = 3 x2 = – 2 x=

– 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 • Notamos que se forman tres segmentos:

(–∞, – 52 ) , (– 52 , 3) y (3, ∞)

• Ahora, escogemos un valor de prueba para cada segmento y lo evaluamos en la ecuación original. Con esto hallamos el signo de cada segmento.

2(– 4)2 – (– 4) – 15 = +21 2(0)2 – (0) – 15 = –15 2(4)2 – (4) – 15 = +13

• La solución está compuesta por los segmentos (o el segmento) que tengan el mismo signo que el primer término de la inecuación original. En este caso, sería positivo (2x2).

+

–

+

– 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 • La solución es el primer y tercer segmento.

Entonces, expresamos la respuesta en forma de intervalo y en la recta numérica:

(–∞, – 52 ) U (3, ∞) se lee: la solución comprende desde infinito negativo hasta –

5 y de 3 a infinito positivo. 2

(

)

– 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 Matemática − Semana 19

37

Ejercicio 2 Resuelva las siguientes inecuaciones cuadráticas. Escriba su respuesta en el espacio en blanco. Puede utilizar su cuaderno para el procedimiento y para trazar la representación gráfica.

38

1) y 2 + 13y + 40 ≥ 0

2) 3x2 – 3x – 6 < 0

3) x2 – 9x + 20 > 0

4) x2 – 3x ≥ –2

5) 2x2 – 17x ≤ –30

6) –35x < –4x2 – 24

IGER − Polochic

Resumen 1. Una desigualdad matemática es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos; para indicar ese orden se emplean los signos de relación mayor que (>), menor que (<), mayor o igual que (≥) y menor o igual que (≤). Una inecuación es una desigualdad matemática que presenta al menos una variable en alguno de sus miembros, por eso también se le conoce como desigualdad algebraica. 1.1 Si la inecuación presenta el signo "mayor que" o "menor que", se denomina inecuación de sentido estricto, porque no incluye a sus extremos.

Si la inecuación presenta el signo "mayor o igual que" o "menor o igual que", se denomina inecuación en sentido amplio o no estricto, porque sí incluye a sus extremos.

Al igual que las ecuaciones, el grado de una inecuación está dado por el exponente mayor de la variable.

1.2 Resolución de una inecuación de primer grado: el procedimiento para resolver una inecuación de primer grado es muy similar al de una ecuación.

Una peculiaridad que debemos tener en cuenta es que cuando un número negativo multiplica o divide un lado de la inecuación y pasa al otro haciendo la operación contraria, el signo de la desigualdad cambia de sentido.

1.3 Resolución de una inecuación de segundo grado: para resolver inecuaciones de segundo grado nos basamos en el procedimiento de la fórmula cuadrática. Luego, determinamos los intervalos de acuerdo a las soluciones y evaluamos cuáles segmentos tienen el mismo signo que el término cuadrático de la inecuación.

Investigue en la red... Le exhortamos a visitar los sitios de internet que se muestran a continuación. En ellos encontrará información adicional sobre las inecuaciones, ejemplos y ejercicios. • Ejemplos de inecuaciones: goo.gl/7iptTr • Ejemplos de inecuaciones dobles: goo.gl/MeSv1N • Ejercicios de inecuaciones: goo.gl/dHV6QZ • Ejercicios interactivos con inecuaciones cuadráticas: goo.gl/AH0jGS Matemática − Semana 19

39



A. De forma breve y con sus palabras, responda las preguntas siguientes. 1) ¿En qué se diferencia una desigualdad de una inecuación? 2) ¿En qué se diferencia una inecuación estricta de una inecuación amplia? B. Escriba, en el espacio dado, el signo mayor que (>) o menor que (<), según corresponda. 1) –3

3

6) –8

1

2) 0

8

7) 0

5

3) 20

4

8) –5

0

4) –7

6

9) –9

10

5) 5

4

10) 30

–58

Actividad 2.


A. Resuelva las inecuaciones lineales siguientes. Escriba su respuesta en el espacio en blanco. Puede utilizar su cuaderno para el procedimiento y para trazar la representación gráfica.

40

1) 3x – 2 ≥ 14

2) –2 – 3x ≥ 2

3) x – 6 ≥ 21 – 8x

4) 3 – 5x > 11

IGER − Polochic

5) 4x + 9 ≥ 8x – 7

6) 2x + 5 ≤ 3x – 7

7) –6y + 8 < –5 + 8y

8) 5 ≥ 6 – 5x > 2

9) 4 < 3y + 5 ≤ –1

10) 3 ≤

2x – 3 <7 5

B. Resuelva las inecuaciones cuadráticas siguientes. Escriba su respuesta en el espacio en blanco. Puede utilizar su cuaderno para el procedimiento y para trazar la representación gráfica. 1) 3x2 – 25x – 18 ≤ 0

2) x2 + 18x > –77

3) 5x2 + 30 ≤ –31x

4) –17y + 30 ≥ –2y 2

5) 6x2 < 61x – 63

6) –15x + 54 > –x2


41

Agilidad de cálculo mental A. Ordene las siguientes series de números. Hágalo de mayor a menor. 1) 1, –5, –8, 2, 0 2) 8, 5, –3, 4, 1 3) –7, 4, –3, –6, 9 4) 10, –11, 9, 5, 0 5) –6, –7, 0, 6, –10 6) –9, 9, 4, 0, –1 B. Ordene las siguientes series de números. Hágalo de menor a mayor. 1) 8, –6, 2, 12, –11 2) –2, –4, 2, 1, –7 3) 2, –5, –4, 5, 1 4) 11, –8, 9, 0, –1 5) 8, 5, –6, –1, –5 6) 0, –1, 2, –9, 4 C. Escriba, en el espacio dado, el signo mayor que (>) o menor que (<), según corresponda.

42

1) 5

–6

11) –12

8

21) –8

2

2) 8

9

12) 8

3

22) 3

–6

3) –7

4

13) 10

–12

23) –4

5

4) –6

9

14) –8

7

24) –2

2

5) 54

–1

15) –1

77

25) 7

5

6) 0

–3

16) 8

–24

26) 2

5

7) 6

–19

17) 14

0

27) 3

8) –5

–1

18) –1

–5

28) 0

–7

9) –4

0

19) –2

–69

29) 8

0

10) 5

–8

20) 3

0

30) –9

1

IGER − Polochic

9

Razonamiento lógico Practiquemos nuestra habilidad de rastreo y de distinguir figuras. Observe la imagen siguiente; luego, realice lo que se le pide en los numerales de abajo.

Fragmento tomado de: goo.gl/Tcfb2O

A continuación se le darán varios enunciados, busque en la imagen el personaje que concuerde con la descripción que se indica y rodéelo con una línea: 1) Mujer que está paseando a su perro. 2) Hombre que tiene equipo para nadar. 3) Persona que va manejando una moto. 4) Bombero que está siendo empapado por la manguera de su compañero. 5) Hombres que están jugando con sus trapeadores como si fueran espadas. 6) Perro que está en el techo de una casa. 7) Hombre que está siendo atacado por un grupo de aves. 8) Panaderos a los que se les quemó el pan. Matemática − Semana 19

43

Desarrolle nuevas habilidades El pensamiento lateral es un método de razonamiento que puede ser utilizado como técnica para resolver problemas de una forma imaginativa y poco común. A continuación le presentamos un problema, léalo con detenimiento y responda la pregunta que se le plantea. Imagine que va manejando un automóvil. De repente, comienza a llover muy fuerte. A través el vidrio logra ver a un grupo de personas que está en una parada de bus y tal parece que será una larga espera. Las tres personas resultan ser: a. Su mejor amigo(a), a quien usted conoce desde la infancia. b. La mujer o el hombre de sus sueños, de quien está perdidamente enamorado(a). c. Una anciana que se mira muy enferma. Teniendo en cuenta que en el automóvil que maneja solo cabe un acompañante además del conductor. ¿Qué haría en esta situación?




Comprendo y describo qué es una inecuación. Diferencio una inecuación de una desigualdad matemática. Resuelvo correctamente inecuaciones. Represento la solución de inecuaciones en la recta numérica. Ordeno y clasifico una serie de números respecto a su relación. Practico la agudeza visual en la búsqueda de detalles.

44

IGER − Polochic


5

y

4 3 2 1 0 1

x2

2

3

+ y2

4

x

20

–1 = i

= r2

Sistemas de ecuaciones de 2Í2 ¿Qué encontrará esta semana? Las variables Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales de 2Í2 Valuación de expresiones algebraicas Acertijos de lógica

Esta semana logrará:  Comprender qué es un sistema de ecuaciones de 2Í2.  Resolver sistemas de ecuaciones de 2Í2 por diferentes métodos.  Analizar y resolver problemas de aplicación con sistemas de ecuaciones de 2Í2.  Experimentar y resolver acertijos de lógica.  Valuar expresiones algebraicas.  Examinar y determinar el agrupamiento de una figura. 


45

¡Para comenzar! Las variables Como recordará, el álgebra fue tratada formalmente por primera vez por Al–Jwarismi. Este estudioso árabe dio los primeros cimientos sobre los que se fue desarrollando esta rama de la matemática. Una de las partes fundamentales del álgebra es la concepción de "variable". Este término se deriva del latín variabilis, y representa "aquello que varía". Podemos decir entonces que una variable es un símbolo que permite identificar un elemento no especificado dentro de un determinado grupo. En matemática, una variable representa un número que no conocemos y se escribe empleando las letras del alfabeto (x, y, z, etc.) Pero el concepto de variable no solo se queda allí, estas pueden ser clasificadas en diferentes grupos, por ejemplo: • Variables independientes: no se ven afectadas por el valor de otros fenómenos o variables, al contrario, estas influencian a las variables dependientes. • Variables dependientes: son aquellas que dependen del valor que le asignemos a otros fenómenos o variables. • Variables cualitativas: las que representan distintas características o cualidades. • Variables cuantitativas: las que representan exclusivamente cantidades numéricas. Como vemos, las variables son un concepto amplio y estructurado, y actualmente esta parte del álgebra es muy utilizada por otras ciencias, como la programación e informática, al momento de trabajar con datos y estadísticas.

¡A trabajar! Responda la pregunta siguiente. ¿Qué otras ciencias hacen uso del álgebra? Dé al menos un ejemplo.

46

IGER − Polochic

El mundo de la matemática 1. Sistemas de ecuaciones lineales de 2×2 Esta semana trataremos un tema que probablemente le resultará familiar, los sistemas de ecuaciones de dos incógnitas, también llamados de 2Í2. Estos sistemas se forman por dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas, donde una depende de la otra para hallar la solución. Veremos y recordaremos los diferentes métodos que podemos utilizar para resolver estas expresiones.

1.1 Método de igualación El método de igualación consiste en despejar la misma variable en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes. Ponga atención. Resolvamos el sistema:

3x + 2y = –6 + 6y 2y = 16 – 2x – 2y

• Realizamos la transposición de términos. Dejamos las variables de un solo lado y reducimos los términos semejantes si hubiera.

3x + 2y – 6y = –6 2y + 2x + 2y = 16

3x – 4y = –6 2x + 4y = 16

• Escogemos y despejamos una variable en las dos ecuaciones.

x = –6 + 4y 3

• Igualamos las expresiones que resultan y resolvemos.

–6 + 4y 16 – 4y = 3 2 2(–6 + 4y) = 3(16 – 4y) –12 + 8y = 48 – 12y 8y + 12y = 48 + 12 20y = 60 60 y = 20 y = 3

• Al tener el valor de una incógnita, lo sustituimos en alguna de las dos ecuaciones en las que está despejada la x y resolvemos.

x=

x = 16 – 4y 2

–6 + 4(3) 6 = 3 3 x=2

La solución es x = 2; y = 3

Podemos verificar si las soluciones son correctas al sustituirlas en una de las ecuaciones. De preferencia donde realizamos la transposición de términos.

2x + 4y = 16 2(2) + 4(3) = 16 4 + 12 = 16 16 = 16 Matemática − Semana 20

47

1.2 Método de sustitución El método de sustitución consiste en despejar una de las variables en una ecuación del sistema y sustituir su valor en la otra ecuación. Resolvamos el sistema:

x+y =x–1 2 x–y =y+1 2

• Primero, realizamos la transposición de términos en cada ecuación y reducimos aquellos que sean semejantes. x + y = 2(x – 1)

x – y = 2( y + 1)

x + y = 2x – 2

x – y = 2y + 2

x + y – 2x = –2

x – y – 2y = 2

–x + y = –2

x – 3y = 2

• Despejamos una variable en una de las ecuaciones.

–x + y = –2 x=y+2

• Sustituimos la expresión en la otra ecuación y resolvemos.

( y + 2) – 3y = 2 y + 2 – 3y = 2 –2y = 2 – 2 0 y= –2 y=0

• Ahora sustituimos el valor de y en alguna de las ecuaciones reducidas para hallar x.

–x + (0) = –2 –x = –2 (–1)(–x) = (–1)(–2) x=2


Comprobamos que las respuestas son correctas al sustituir los valores hallados de x e y en las ecuaciones originales. La igualdad se debe cumplir. x–y = y +1 2 (2) – (0) = (0) + 1 2 2 =1 2 1=1

48

IGER − Polochic

1.3 Método de reducción El método de reducción consiste en reducir las dos ecuaciones a una sola, eliminando una variable a través de una suma o resta algebraica. Resolvamos el sistema:

2x + y = 9 x – 3y = 1

• Multiplicamos una o ambas ecuaciones por un número, tal que en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales y de signo contrario. En este caso, multiplicamos la primera ecuación por 3 para que los coeficientes de y puedan ser eliminados.

3(2x + y = 9) 6x + 3y = 27

• Realizamos una suma algebraica. Con esto eliminamos la variable y. Luego, resolvemos la ecuación resultante.

6x + 3y = 27 x – 3y = 1 7x = 28 7x = 28 28 x= 7 x=4

• Sustituimos el valor de x en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de y.


2(4) + y = 9 8+y=9 y=9–8 y=1

Le invitamos a comprobar que las respuestas sean correctas al sustituir los valores de x e y en las ecuaciones originales. La igualdad se debe cumplir.

Ejercicio 1 A. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones empleando el método de igualación. 1) 7x – 13 = –4y –2y = 19 – 5x

2) 2x + 3y – 13 = 0 4x = 5 + y

3) 6y = –x + 27 7x – 9 = 3y

4) 2 + 3x = 2y 5x + 60 + 8y = 0


49

B. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones empleando el método de sustitución. 1) –7+ 5y = –3x 2x + 4 = y

2) –5 – 4y + 7x = 0 9x = 13 – 8y

3) 32x = 13 + 25y 15y + 16x – 1 = 0

4) 4x = 5 – 5y 7 – 4x = 10y

5) x = 2 + 3y –5y = 6 – 2x

6) 0 = –163 – 11x + 13y –8x + 7y – 94 = 0

C. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones empleando el método de reducción.

50

1) 4x = 24 + 6y –3y = 42 – 12x

2) 10x = 52 – 8y 16y = 14 – 5x

3) 18x + 14y + 126 = 0 9x = – 63 – 28y

4) 6x + 22y – 59 = 0 18x + 2y = 145

5) 8y = 37 – 9x 27x + 4y = 11

6) 10x = 17 – 3y 20x – 9y + 101 = 0

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2. Sistemas de ecuaciones no lineales de 2×2 Como su nombre lo indica, estos sistemas se diferencian porque alguna de sus ecuaciones es de segundo grado o superior. Estas ecuaciones se suelen resolver empleando el método de sustitución. Ponga atención. Resolvamos el sistema:

x2 + y2 = 25 x+y=7

• Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado.

x=7–y

• Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación y se opera.

(7 – y)2 + y 2 = 25 49 – 14y + y 2 + y 2 = 25 2y 2 – 14y + 24 = 0

• Se resuelve la ecuación resultante empleando la fórmula cuadrática, con esto se hallan las dos raíces de la variable con la que trabajamos.

y=

• Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la ecuación que habíamos despejado y así se obtienen los valores correspondientes de la otra incógnita. Este tipo de sistemas de ecuaciones generalmente tiene más de dos respuestas.

x=7–y

– (–14) ± (–14)2 – 4(2)(24) 2(2)

y1 = 14 + 4 4 y1 = 4 x1 = 7 – (4)

x1 = 3

y2 = 14 – 4 4 y2 = 3 x2 = 7 – (3)

x2 = 4

La soluciones son x1 = 3; x2 = 4; y1 = 4; y2 = 3.

Ejercicio 2 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales. 1) x2 + y2 = 61 x + y = 11

2) 3x2 + y2 = 201 x + y = 11

3) x2 + y2 = 50 3x + y = 20

4) x2 + 2y2 = 153 x + 3y = 27


51

3. Aplicaciones Los sistemas de ecuaciones lineales tienen muchas aplicaciones en varios campos y ciencias. Lo más importante al momento de disponernos a resolver un problema es saber identificar los datos y formular correctamente las ecuaciones. Veamos un ejemplo: Daniel compró seis cajas de tomate y tres sacos de frijol por Q2,000.00. Luego, los logró vender por Q2,260.00; ¿cuánto le costó cada producto, sabiendo que en la venta del tomate ganó el 15 % y con el frijol ganó el 10 %? • Primero, debemos identificar los datos que nos servirán para formular el sistema de ecuaciones.

x y

costo del tomate costo del frijol

x + 0.15x y + 0.10y

precio de venta del tomate precio de venta del frijol

• Con estos datos ya podemos formular el sistema de ecuaciones.

x + y = 2000 1.15x + 1.10y = 2260

• Ahora, resolvemos normalmente. En este ejemplo utilizamos el método de sustitución, pero usted puede usar el que más le convenga.

x = 2000 – y 1.15(2000 – y) + 1.10y = 2260 2300 – 1.15y + 1.10y = 2260 2300 – 0.05y = 2260 –0.05y = 2260 – 2300 –0.05y = –40 y = 800

• Sustituimos el valor de y en una de las ecuaciones originales.

x = 2000 – (800) x = 1200

Hallamos entonces que el costo del tomate fue de Q1,200.00 y el del frijol fue de Q800.00.

Ejercicio 3 Ahora le toca a usted. Resuelva los problemas siguientes en su cuaderno. 1) En un puesto de verduras se vendieron 2 lb de cebolla y 5 lb de papas por Q20.00; y 4 lb de cebolla y 2 lb de papas por Q16.00. Calcule el precio de la libra de cebolla y de la libra de papa. 2) En una empresa de lácteos se envasaron 300 litros de leche en 120 cajas de dos y cinco litros. ¿Cuántas cajas de cada tamaño se han utilizado? 3) Un tanque de agua se llena por un chorro en 5 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse abriendo los dos chorros a la vez?

52

IGER − Polochic

Resumen 1. Los sistemas de ecuaciones lineales de 2Í2 se componen de dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas, una depende de la otra para hallar la solución. x – 2y = 10 2x + 3y = –8 Estos sistemas se pueden resolver por varios métodos: 1.1 El método de igualación consiste en despejar la misma variable en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes. 1.2 El método de sustitución consiste en despejar una de las variables en una ecuación del sistema y sustituir su valor en la otra ecuación. 1.3 El método de reducción consiste en reducir las dos ecuaciones a una sola, eliminando una variable a través de una suma o resta algebraica. 2. Sistemas de ecuaciones no lineales de 2Ï2: como su nombre lo indica, estos sistemas se diferencian porque alguna de sus ecuaciones es de segundo grado o superior. Estas ecuaciones se suelen resolver empleando el método de sustitución. Los sistemas no lineales generalmente tienen más de dos respuestas. 3x 2 + y 2 = 16 2x + y = 6 3. Los sistemas de ecuaciones lineales tienen muchas aplicaciones en varios campos y ciencias. Lo más importante al momento de disponernos a resolver un problema es saber identificar los datos y formular correctamente las ecuaciones.

Investigue en la red... Le invitamos a que amplíe sus conocimientos sobre los sistemas de ecuaciones de 2Í2. Puede visitar los sitios de internet siguientes para practicar y ver más ejemplos: • Resolver sistemas de ecuaciones: goo.gl/e66B7S • Ejemplos de sistemas de ecuaciones: goo.gl/t5pDUL • Ejercicios de sistemas de ecuaciones no lineales: goo.gl/NFZODO Matemática − Semana 20

53



Identifique si los siguientes sistemas de ecuaciones son lineales o no lineales. Escriba su respuesta en la línea correspondiente. Tiene un ejemplo. 0) x2 + y2 = 25 x + y = 10

No lineal

5) 6x – 5y = –9 4x + 3y = 13

1) 10x – 3y = 36 2x + 5y = –4

6) 7x2 + 3y 2 = 75 x2 + 12y 2 = 57

2) x + 3y = –5 2x – y = –3

7) 6x – 8y = –10 1 x – 10y = –49 5

3) 2x2 – y2 = 49 x + y = 14

8) 12x – 17y = 104

1 1 4) 2 + 2 = 13 y x 1 1 x – y = 1

Actividad 2.

15x + 19y = –31

9) 8x2 – 9y 2 = –79 2x – 1 y 2 = – 5 2 3


A. Resuelva los sistemas de ecuaciones lineales siguientes. Utilice el método que prefiera. Puede realizar el procedimiento en su cuaderno.

54

1) x = 1 + y y – 7 = –x

2) –3y = –5x –y = –16 – 7x

3) 3x + 4y = 15 2x + y = 5

4) 3x = – 4y 5x – 6y = 38

5) 2x + 3y = –13 6x + 9y = –39

6) x – 2 x + 3

IGER − Polochic

y 1 =– 6 3 y 7 =– 12 4

B. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales. Puede utilizar su cuaderno para el procedimiento. 1) 2x2 – y 2 = 49 x + y = 14

2) 2x2 – y 2 = –7 x – y = –2

3) x2 – 2y = 86 2x + y = 27

4) 5x2 – y 2 = 36 x–y=0

5)

1 1 5 + = x2 y 2 16 3 1 1 x + y = 4

6)

1 1 + = 13 x2 y 2 1 1 x – y =1

C. Resuelva en su cuaderno los siguientes problemas con sistemas de ecuaciones. 1) En una granja se crían patos y vacas. Si se cuentan las cabezas, son 50, si se cuentan las patas son 134. ¿Cuántos animales hay de cada especie? 2) En un círculo de estudio hay 35 estudiantes. Por ser la bienvenida del ciclo escolar les han regalado 2 lapiceros a cada mujer y un cuaderno a cada hombre. Si en total han sido 55 regalos, ¿cuántos hombres y mujeres hay en el círculo de estudio? 3) En una librería han vendido 20 libros de dos precios distintos: unos a Q40.00 y otros a Q90.00, con los que han obtenido Q1,150.00; ¿cuántos libros han vendido de cada precio? 4) En una pastelería se fabrican dos clases de pasteles. La primera necesita 2.4 libras de masa y 3 horas de elaboración. La segunda necesita 4 libras de masa y 2 horas de elaboración. Calcule el número de pasteles elaborados de cada tipo si se han dedicado 67 horas de trabajo y 80 libras de masa.


55

Agilidad de cálculo mental A. Sustituya el valor dado en las expresiones algebraicas siguientes y opere. Escriba su respuesta en la línea correspondiente.

1) 6z + 5; si z = 6

11) 4z + 9; si z = –6

2) 4z – 6; si z = 5

12) 8z + 4; si z = 4

3) –8z + 1; si z = –8

13) –2z + 5; si z = 7

4) 3z + 1; si z = 2

14) z – 5; si z = 10

5) z + 3; si z = 1

15) 9z + 1; si z = –6

6) –9z – 4; si z = 0

16) 3z – 6; si z = 5

7) 3z + 5; si z = –9

17) –6z + 8; si z = 4

8) 4z – 7; si z = 8

18) 5z – 5; si z = 7

9) –7z + 5; si z = –1

19) z + 9 ; si z = –7

10) 9z – 6; si z = 5

20) –7z + 4; si z = –11

B. Sustituya el valor dado en las expresiones algebraicas siguientes y opere. Escriba su respuesta en la línea correspondiente.

56

1) 8x2 + 6x – 2; si x = –3

11) 7x2 – 6x + 8; si x = –2

2) –9x2 + 6x + 4; si x = 4

12) 9x2 + 8x – 5; si x = 0

3) x2 – 3x + 6; si x = 3

13) –6x2 – x + 4; si x = 3

4) 8x2 + 7x – 4; si x = –2

14) 7x2 + 2x + 3; si x = 2

5) 7x2 + 2x – 9; si x = –7

15) 5x2 + 4x + 6; si x = –1

6) –7x2 – 4x + 1; si x = 1

16) 8x2 – 6x – 8; si x = 0

7) 6x2 + 7x – 3; si x = 2

17) –4x2 + x + 1; si x = –6

8) –8x2 + 5x + 6; si x = 0

18) 3x2 – 5x – 4; si x = 4

9) –5x2 + x – 7; si x = –4

19) –8x2 + 7x – 5; si x = 1

10) x2 + 4x + 9; si x = 5

20) 3x2 – 6x + 8; si x = 3

IGER − Polochic

Razonamiento lógico Se le presentan dos problemas de lógica, debe resolverlos siguiendo las instrucciones. ¿Cómo cruzar el río? Un pastor regresa de un pueblo y se dirige a su casa, en un terreno campestre. Lleva consigo un costal de verduras y va acompañado por un lobo, que ha criado desde cachorro, y por una cabra. En su camino debe cruzar un río, pero se encuentra con un problema. El pastor dispone de una pequeña barca en la que solo caben él y otro acompañante. Si el lobo se queda solo con la cabra, se la come; si la cabra se queda sola con el costal de verduras, se las come. Entonces, ¿qué debe hacer el pastor para cruzar? Explique su respuesta paso a paso en las líneas siguientes.

¿Hacia dónde se mueve el autobús? Observe el siguiente dibujo de un autobús escolar. Luego, responda la pregunta planteada.

¿Hacia qué lado se desplaza el autobús? Explique su respuesta.


57

Desarrolle nuevas habilidades A continuación, pondremos en práctica nuestra inteligencia espacial, ¡vamos, con ánimo! Se le presentan varias piezas sueltas que pueden formar una sola figura. La actividad consiste en que usted debe visualizar la figura mentalmente y rodear la respuesta correcta entre las opciones que se le muestran. 2)

1) a.

b.

a.

b.

c.

d.

c.

d.

3)

4) a.

b.

a.

b.

c.

d.

c.

d.




Comprendo qué es un sistema de ecuaciones de 2Í2. Resuelvo sistemas de ecuaciones de 2Í2 por diferentes métodos. Analizo y resuelvo problemas de aplicación con sistemas de ecuaciones de 2Í2. Valúo expresiones algebraicas. Experimento y resuelvo acertijos de lógica. Examino y determino el agrupamiento de una figura.

58

IGER − Polochic


5

y

4 3 2 1 0 1

x2

2

3

+ y2

4

x

21

–1 = i

= r2

Sistemas de ecuaciones de 3Í3 ¿Qué encontrará esta semana? Objetos tridimensionales Sistemas de ecuaciones lineales de 3Í3 Ecuaciones con radicales y con potencias Operaciones a partir de símbolos

Esta semana logrará:  Comprender qué es un sistema de ecuaciones de 3Í3.  Resolver sistemas de ecuaciones de 3Í3 por diferentes métodos.  Analizar y resolver problemas de aplicación con sistemas de ecuaciones de 3Í3.  Resolver ecuaciones con radicales y con potencias.  Identificar y estructurar operaciones a partir de símbolos.  Detectar errores entre dos series numéricas. 


59

¡Para comenzar! Objetos tridimensionales Antes de conocer qué es "tridimensional", debemos saber qué es una dimensión. En matemática y ciencias aplicadas, una dimensión es un número relacionado con las propiedades métricas de un objeto. Por tanto, un objeto o ente tridimensional tiene tres dimensiones. Las más comunes son altura, longitud y profundidad. Toda la materia que vemos a nuestro alrededor tiene la característica de ser tridimensional.

altura

altura

longitud

longitud

pr of

un

di

da

d

lon

git

ud

Algunos ejemplos de figuras y sus dimensiones.

Si nos referimos específicamente al sentido matemático, de manera informal, podemos decir entonces que la dimensión o dimensiones que tiene una figura se definen como el número mínimo de coordenadas necesarias para localizar algún punto en ella. Por ejemplo, una figura plana, como un cuadrado o un círculo, tiene dos dimensiones, porque se necesitan dos coordenadas para especificar un punto en ella. Las figuras tridimensionales, como los cubos y las esferas, necesitan tres coordenadas para que sea localizado un punto dentro de ellas.

¡A trabajar! Responda la pregunta planteada. La parte visible de nuestro mundo tiene tres dimensiones, ¿cómo cree que sería si solamente hubiera dos dimensiones?

60

IGER − Polochic

El mundo de la matemática 1. Sistemas de ecuaciones lineales de 3×3 La semana anterior vimos sistemas de ecuaciones lineales y no lineales de 2Í2. También aprendimos a resolver los sistemas lineales por tres métodos. Ahora, trabajaremos con sistemas de 3Í3, como se conocen los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas. Con estos sistemas estudiaremos dos procedimientos para resolverlos: el método de reducción y el método de sustitución.

1.1 Método de reducción Este método es similar al que aprendimos la semana anterior, para emplearlo se deben seguir los pasos siguientes: a) Combinamos dos de las ecuaciones dadas y eliminamos una de las incógnitas a través de una suma o resta algebraica. Con esto se obtiene una ecuación con dos incógnitas. b) Combinamos la tercera ecuación con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas y eliminamos la misma incógnita que se eliminó en el paso anterior. Con esto se obtiene otra ecuación con dos incógnitas. c) Resolvemos el sistema de 2Í2 que formamos. d) Sustituimos los valores obtenidos en una de las ecuaciones originales para hallar la tercera incógnita. (1) (2) (3)

Pongamos atención y resolvamos:

3x + 2y + z = 1 5x + 3y + 4z = 2 x + y – z = 1

• Combinamos las ecuaciones (1) y (3). Multiplicamos por –3 la ecuación (3) para eliminar la x.

3x + 2y + z = 1 –3x – 3y + 3z = –3 –y + 4z = –2

• Ahora, combinamos las ecuaciones (2) y (3). Multiplicamos por –5 la ecuación (3) para eliminar, de nuevo, la x.

5x + 3y + 4z = 2 –5x – 5y + 5z = –5 –2y + 9z = –3

• Obtuvimos un sistema de 2Í2, el cual debemos resolver. Veamos en la página siguiente.

–y + 4z = –2 –2y + 9z = –3


61

• Resolvemos el sistema de 2Í2 que formamos. Usted puede utilizar el método que prefiera, en este caso, lo haremos por igualación.

–y + 4z = –2 –2y + 9z = –3 y = 4z + 2

y=

9z + 3 2

9z + 3 2 2(4z + 2) = 9z + 3 8z + 4 = 9z + 3 8z – 9z = 3 – 4 –z = –1 z=1 4z + 2 =

• Sustituimos el valor de z en una ecuación de 2Í2 para obtener el valor de y.

y = 4z + 2 y = 4(1) + 2 y=4+2 y=6

• Sustituimos los valores que hallamos de y y z en una de las ecuaciones originales para hallar la tercera variable. En este caso, sustituimos los valores en la ecuación (3) y despejamos x.

x+y–z=1 x + (6) – (1) = 1 x=1–6+1 x = –4

Las soluciones del sistema son x = – 4; y = 6; z = 1

Ejercicio 1 Resuelva los sistemas de ecuaciones siguientes. Hágalo por el método de reducción. Utilice su cuaderno para el procedimiento y escriba las respuestas en el espacio en blanco. 1) x + 4y – z = 6 2x + 5y –7z = –9 3x – 2y + z = 2

2) x + y + z = 12 2x – y + z = 7 x + 2y – z = 6

3) x + y + z = 6 x – y + 2z = 5 x – y – 3z = –10

4) 6m + 3n + 2w = 12 9m – n + 4w = 37 10m + 5n + 3w = 21

5) 2w – 6x + z = –15 3w + 6x + 8z = 14 4w + 2x – 7z = –11

6) –2x + 5y – 3z = –2 6x – 10y + 9z = 6 4x – 9y – 6z = – 44

62

IGER − Polochic

1.2 Método de sustitución El método de sustitución es muy similar al que aprendimos en los sistemas de ecuaciones de 2Í2, se sigue el procedimiento siguiente: a) Despejamos una variable de alguna de las ecuaciones. De preferencia una que tenga coeficiente 1, para evitar denominadores. b) Sustituimos la expresión en las otras dos ecuaciones del sistema. c) Reducimos términos semejantes y obtenemos así un sistema de 2Í2. d) Resolvemos el sistema de 2Í2. e) Los valores obtenidos se sustituyen en una de las ecuaciones originales y se halla la tercera incógnita. Resolvamos el sistema:

2x – y + 3z = –5 (1) –x + 3y – 2z = 14 (2) 4x – 3y – z = –29 (3)

• Despejamos la x de la ecuación (2).

x = 3y – 2z – 14

• Sustituimos la expresión equivalente de x en las ecuaciones (1) y (3).

2(3y – 2z – 14) – y + 3z = –5 4(3y – 2z – 14) – 3y – z = –29

• Operamos y reducimos términos semejantes.

6y – 4z – 28 – y + 3z = –5 12y – 8z – 56 – 3y – z = –29 5y – z – 28 = –5 9y – 9z – 56 = –29

• Resolvemos el sistema de 2Í2 que formamos. Usted puede utilizar el método que prefiera, en este caso, lo haremos por igualación.

• Sustituimos los valores que encontramos de y y z en una de las ecuaciones originales para hallar la tercera variable. En este caso, sustituimos los valores en la ecuación (1) y despejamos x.

z = 5y – 23

z=y–3

5y – 23 = y – 3 5y – y = –3 + 23 4y = 20 20 y= 4 y=5 z = 5y – 23 z = 5(5) – 23 z=2 2x – (5) + 3(2) = –5 x = –3

Las soluciones del sistema son x = –3; y = 5; z = 2 Matemática − Semana 21

63

Si bien los métodos anteriores son los que normalmente se usan para resolver los sistemas de 3Í3, en algunos casos, no aplican ciertas reglas. Resolvamos el sistema:

x + y + z = 11 (1) 2x + 7y – 8z = –38 (2) 3y + 4z = 14 (3)

• Notamos que la ecuación (3) únicamente tiene 2 variables, la y y la z, por lo que solo debemos formular otra ecuación con las mismas variables. Para esto, multiplicamos por –2 la ecuación (1) y la combinamos con la ecuación (2) para eliminar x.

–2x – 2y – 2z = –22 2x + 7y – 8z = –38 5y – 10z = –60 (4)

• Ahora, con las ecuaciones (3) y (4) ya tenemos un sistema de 2Í2, el cual resolvemos.

3y + 4z = 14 5y – 10z = –60 14 – 4z –60 + 10z y= y= 3 5 14 – 4z –60 + 10z 3 = 5 70 – 20z = –180 + 30z –50z = –250 z=5 y = –2

• Hallados los valores de y y z, despejamos la ecuación (1) para encontrar el valor de x.

x = 11 – y – z x = 11 – (5) – (–2) x=8

Las soluciones del sistema son x = 8; y = –2; z = 5

Ejercicio 2 Resuelva los sistemas de ecuaciones siguientes. Hágalo por el método de sustitución. Utilice su cuaderno para el procedimiento y escriba las respuestas en el espacio en blanco. 1) – 4x + 6y + 7z = 41 8x – 5y +11z = 36 –7x – 2y + z = 28

2) 5x + 6y – 8z = –1 – 4x – 3y – 2z = –1 –2x + 3y – 7z = –5

3) 2x + 4y + 3z = 3 10x – 8y – 9z = 0 4x + 4y – 3z = 2

1 4) – x + 5y – 3z = 15 2 1 4x – y + 5z = 18 3 3x – 4y + 9z = –3

64

IGER − Polochic

2. Aplicaciones Los sistemas de ecuaciones lineales de 3Í3 tienen diversas aplicaciones para resolver problemas que se pueden presentar en nuestro diario vivir. Al igual que decíamos la semana anterior, lo más importante es poder identificar los datos correctamente y formular las ecuaciones necesarias. Veamos un ejemplo: Un cliente ha pagado en el mercado un total de Q310.50 por 13 libras de tomate, 5 litros de crema y 8 libras de cebolla. Considere que 1 libra de cebolla cuesta la mitad que una libra de tomate y que 1 litro de crema cuesta lo mismo que 3 libras de tomate y 1 libra de cebolla. Encuentre el precio de cada artículo. • Primero, identificamos los datos.

t = precio de la lb de tomate m = precio del L de crema c = precio de la lb de cebolla

• Ahora, formulamos las ecuaciones necesarias para el sistema.

13t + 5m + 8c = 310.5 (1) 1 c = t (2) 2 m = 3t + c (3)

• Resolvemos el sistema. Para ello, debemos hacer una serie de sustituciones. Sustituimos la ecuación (2) en la ecuación (3), para que quede en función de t.

m = 3t +

• Ahora, sustituimos las ecuaciones (2) y (4) en la ecuación (1), para dejarla únicamente en función de t. Luego, resolvemos.

13t + 5

m=

( 12 t)

7 t (4) 2

( 72 t) + 8( 12 t) = 310.5

35 t + 4t = 310.5 2 69 t = 310.5 2 t=9 13t +

• Hallado el valor de t, lo remplazamos en la ecuación (4) y encontramos el valor de m.

7 (9) 2 m = 31.5

• Luego, remplazamos el valor de t en la ecuación (2) para hallar en valor de c.

1 (9) 2 c = 4.5

m=

c=

Las soluciones del sistema son t = Q9.00; m = Q31.50; c = Q4.50 El precio de la libra de tomate es de Q9.00, del litro de crema es de Q31.50 y de la libra de cebolla es de Q4.50. Le invitamos a comprobar que las respuestas sean correctas, recuerde que para realizarlo, debe sustituir las soluciones encontradas en las ecuaciones del sistema. Al hacer esto, la igualdad se debe cumplir. Veamos otro ejemplo en la página siguiente. Matemática − Semana 21

65

Una fábrica produce tres tipos de herramientas: martillos, alicates y desarmadores. El total de unidades producidas al día es de 240. El costo de producir un martillo es de Q29.00, de un alicate es de Q26.00 y de un desarmador es de Q10.00, siendo el costo total diario de Q4,440.00. Se sabe que la cantidad de desarmadores producidos es el triple que de martillos. Halle cuántas herramientas se producen de cada tipo. • Identificamos los datos.

m = cantidad de martillos a = cantidad de alicates d = cantidad de desarmadores

• Formulamos las ecuaciones del sistema haciendo uso de la información que nos proporcionan.

m + a + d = 240 (1) 29m + 26a + 10d = 4440 (2) d = 3m (3)

• Resolvemos el sistema. Tomamos la ecuación (3) que ya tiene despejada la d y la sustituimos en la ecuación (2). Luego, despejamos la a.

29m + 26a + 10(3m) = 4440 29m + 26a + 30m = 4440 59m + 26a = 4440 4440 – 59m (4) a= 26

• Luego, sustituimos la ecuación (3) y (4) en la ecuación (1) y resolvemos para hallar el valor de m. • Ahora, sustituimos el valor de m en las ecuaciones (3) y (4) para obtener la d y la a.

(

)

m + 4440 – 59m + (3m) = 240 26 45m = 6240 – 4440 m = 40 d = 3(40) 4440 – 59(40) a= 26

d = 120 a = 80

En la fábrica se producen 40 martillos, 80 alicates y 120 desarmadores al día.

Ejercicio 3 Resuelva los problemas siguientes. Trabaje en su cuaderno. 1) Una empresa tiene 100 empleados y paga por hora de acuerdo al rendimiento de cada uno, las tasas son Q19.00, Q18.00 y Q17.00; el total de empleados que gana Q19.00 es la mitad del número de empleados que gana Q18.00. Si el total pagado por la empresa cada hora es de Q1788.00, encuentre el número de empleados que gana cada tasa. 2) Un vendedor tiene películas de tres tipos: infantiles, comedia y terror. Se sabe que: el 60 % de las películas infantiles más el 50 % de las de comedia representan el 30 % del total de las películas. El 20 % de las infantiles más el 60 % de las de comedia más del 60 % de las de terror representan la mitad del total de las películas. Hay 100 películas más de comedia que infantiles. Halle el número de películas de cada tipo.

66

IGER − Polochic

Resumen 1. Los sistemas de ecuaciones lineales de 3Í3 son sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.

En esta semana se estudiaron dos métodos para resolverlos, el método de reducción y el de sustitución. 1.1 El método de reducción es similar al que se utiliza en los sistemas lineales de 2Í2. Consiste en combinar dos ecuaciones y eliminar una de las incógnitas a través de una suma o resta algebraica.

Luego, se combina la tercera ecuación con alguna de las otras dos ecuaciones y se suprime la misma incógnita que se eliminó anteriormente.

Se resuelve el sistema de 2Í2 que se obtuvo de las dos ecuaciones resultantes.

Por último, se sustituyen los valores obtenidos para hallar la tercera incógnita.

1.2 El método de sustitución consiste en despejar una variable de alguna de las ecuaciones. De preferencia una que tenga coeficiente 1, para evitar denominadores.

Luego, se sustituye la expresión en las otras dos ecuaciones del sistema. Se reducen los términos semejantes y se obtiene así un sistema de 2Í2, el cual se resuelve.

Al igual que el método anterior, los valores obtenidos se sustituyen en una de las ecuaciones originales y se halla la tercera incógnita.

1.3 Los sistemas de ecuaciones lineales de 3Í3 tienen diversas aplicaciones para resolver problemas que se pueden presentar en nuestro diario vivir.

Investigue en la red... Puede visitar las siguientes direcciones de internet para seguir ejercitándose en la resolución de sistemas lineales de tres ecuaciones: • Ejercicios de sistemas de 3Í3: goo.gl/fd9Wkk • Problemas de sistemas de 3Í3: goo.gl/helqcL • Problemas y soluciones de sistemas de 3Í3: goo.gl/WtBcqL Matemática − Semana 21

67



Identifique cuántas dimensiones tiene cada figura. Luego, escriba su respuesta en la línea correspondiente. Guíese por el ejemplo 0. 0)

1)

2)

4)

5)

una dimensión 3)

Actividad 2.


A. Resuelva los sistemas de ecuaciones siguientes, puede hacerlo por el método que prefiera. Escriba su respuesta en el espacio en blanco. Puede trabajar el procedimiento en su cuaderno o en hojas aparte.

68

1) 5x – 2y + z = 24 2x + 5y – 2z = –14 x – 4y + 3z = 26

2) 4x – y + 5z = –6 3x + 3y – 4z = 30 6x + 2y – 3z = 33

3) 7x – 3y + 2z = –23 –3x + y + 11z = 9 x – 8y – 28z = –26

4) 9x + 4y – 10z = 6 6x – 8y + 5z = –1 12x + 12y – 15z = 10

IGER − Polochic

1 5) 2x + 1 y – z = 27 3 2 1 1 x+ y– 1z=8 3 5 4 3x – 2y – 1 z = 13 2

6) 2x + 9y – 7z = –102 1 – x + 8y – 5z = – 61 4 1 x + 9y + z = –2 2

7) –9x – 9y + 24z = –39

8) 8x – 5y + 4z = –19 –10x + 4y – 5z = 17 – 4x + 10y – 10z = 48

1 x + 3y + 12z = –7 3 4x + 2y + 18z = 62

B. Resuelva los problemas siguientes. Escriba su respuesta en las líneas correspondientes, evite dejar solo las cantidades. Puede trabajar el procedimiento en su cuaderno o en hojas aparte. 1) Un país compra 180 000 galones de combustible a tres empresas refinadoras diferentes que venden cada galón a Q20.00, Q18.00 y Q12.00, respectivamente. El monto total de la compra asciende a Q3,114,000.00. Si la primera empresa provee el 40 % del total de galones comprados, ¿cuántos galones se le compra a cada empresa? 2) En una distribuidora se vende carne de res, de pollo y de cerdo, por libra, a un precio de Q35.00, Q26.00 y Q28.00, respectivamente. En determinada semana, las ventas de la empresa llegaron a Q17,065.00. Se sabe que la cantidad de libras de pollo vendidas superó en 61 libras a la de res y que la cantidad de libras de cerdo vendidas fue la mitad que la de pollo. Se le pide calcular cuántas libras de cada tipo de carne vendió la distribuidora en esa semana. 3) Una familia compró en el mercado cierta cantidad de tomate, manzanas y fresas a un precio por libra de Q7.50, Q5.00 y Q5.50, respectivamente. El total de la compra fue de Q164.50.

El peso total de los artículos fue de 27 lb. También se sabe que compraron 1 lb más de fresas que de manzanas. Se le pide hallar cuántas libras de cada producto adquirió la familia.


69

Agilidad de cálculo mental A. Resuelva las siguientes ecuaciones con radicales. Escriba su respuesta en la línea correspondiente.

1) x + 2 = 4

x=

12) x + 6 = 144

x=

2) x – 3 = 12

x=

13) x – 9 = 121

x=

3) x + 9 = 4

x=

14) x + 8 = 9

x=

4) x + 2 = 2

x=

15) x + 7 = 100

x=

5) x – 2 = 9

x=

16) x – 11 = 25

x=

6) x – 4 = 1

x=

17) x – 8 = 4

x=

7) x + 8 = 7

x=

18) x – 7 = 16

8) x + 6 = 8

x=

19) x + 12 = 81

x=

9) x + 3 = 5

x=

20) x – 10 = 64

x=

10) x – 4 = 9

x=

21) x – 13 = 49

x=

11) x – 9 = 4

x=

22) x – 7 = 25

x=

x=

B. Resuelva las siguientes ecuaciones con potencias, tome en cuenta que dentro del paréntesis deben quedar solo expresiones positivas. Escriba su respuesta en la línea correspondiente.

70

1) ( y – 1)2 = 144 y1 =

y2 =

12) y 2 = (188 – 44) y1 =

y2 =

2) ( y + 14)2 = 36

y1 =

y2 =

13) y 2 = (12 + 13) y1 =

y2 =

3) ( y + 20)2 = 49 y1 =

y2 =

14) y 2 = (120 – 20) y1 =

y2 =

4) ( y + 16)2 = 64 y1 =

y2 =

15) y 2 = (23 + 26) y1 =

y2 =

5) ( y – 15)2 = 169 y1 =

y2 =

16) y 2 = (3 + 1) y1 =

y2 =

6) ( y – 7)2 = 4 y1 =

y2 =

17) y 2 = (8 + 8) y1 =

y2 =

7) ( y + 5)2 = 1 y1 =

y2 =

18) y 2 = (70 – 6) y1 =

y2 =

8) ( y + 3)2 = 81 y1 =

y2 =

19) y 2 = (90 – 9) y1 =

y2 =

9) ( y – 10)2 = 100 y1 =

y2 =

20) y 2 = (55 – 54)

y1 =

y2 =

10) ( y + 12)2 = 64 y1 =

y2 =

21) y 2 = (85 + 36) y1 =

y2 =

11) ( y – 1)2 = 121 y1 =

y2 =

22) y 2 = (6 + 3)

y2 =

IGER − Polochic

y1 =

Razonamiento lógico Símbolos que representan operaciones matemáticas A continuación encontrará una lista de símbolos, cada uno representa una operación matemática. Luego de la lista y su significado, aparecen varios numerales que muestran un número que está seguido de una serie de varios de estos símbolos. Usted, partiendo de ese número, debe realizar las operaciones que le indican los símbolos y escribir su respuesta en el espacio correspondiente. El ejemplo 0 le sirve como guía. Φ

Restar 2

Ψ

Sumar 4

Ω

Multiplicar por 2 el resultado obtenido hasta el momento

ξ

Restar 6

θ

Sumar 5 Dividir entre 3 el resultado obtenido hasta el momento Multiplicar por 3 el resultado obtenido hasta el momento Dividir entre 2 el resultado obtenido hasta el momento

β δ Ж

0) 8 Φ Ψ ξ δ Ҩ

=

1) 18 β Ω Ψ θ Я

Я

Restar 11

Ҩ

Sumar 7 19

8) 32 Φ Ψ β δ θ

=

=

9) 9 β Φ δ β Я

=

2) 13 Ҩ ж ξ θ Я

=

10) 7 Ҩ Я Ҩ δ Ω

=

3) 20 δ Ψ ж Ω

=

11) 0 Ψ Φ θ δ Ҩ

=

4) 1 Ҩ Ω θ δ Ҩ

=

12) 99 β Ҩ ж θ Ω

=

5) 9 β Я δ θ Ψ

=

13) 15 θ ж Я Ω ξ

=

6) 21 Ҩ ж δ Я θ

=

14) 11 Я θ ξ δ Ω

=

7) 11 Я β δ ж ξ

=

15) 13 Ҩ δ ж Ψ ξ

=


71

Desarrolle nuevas habilidades Desarrollará ahora su habilidad para detectar errores e incongruencias. Abajo se le presentan 28 series numéricas, organizadas por pares. Se le solicita que las compare y escriba, en la línea del medio, un signo igual que (=) si las series son idénticas o un signo no igual que (≠) si se diferencian en algún número. 1) 8 9 5 1 6 7 1 3 5 1

8 9 5 1 6 7 1 3 5 1

2) 5 4 1 0 4 1 0 6 0 1

5 4 1 0 4 1 2 6 0 1

3) 4 8 4 6 8 7 6 0 4 5

4 8 4 6 8 7 6 0 4 5

4) 3 2 1 6 8 1 4 0 4 7

3 2 1 6 8 1 4 0 4 7

5) 5 3 2 4 7 0 4 4 1 4

5 3 2 7 4 0 4 4 1 4

6) 5 2 3 3 8 9 8 5 5 2

5 2 3 3 8 9 8 2 5 2

7) 4 8 5 7 6 4 5 3 4 2

4 8 5 7 6 4 5 3 4 2

8) 2 2 8 5 7 8 3 2 4 5

2 8 2 5 7 8 3 2 4 5

9) 7 8 4 5 8 9 7 3 8 8

7 8 4 5 8 9 7 3 8 8

10) 8 8 4 4 1 5 4 5 4 3

8 8 4 4 1 4 5 5 4 3

11) 5 3 5 4 4 3 1 2 3 5

5 3 5 4 4 3 1 2 3 5

12) 4 3 4 0 3 5 1 8 6 6

4 3 4 0 3 5 1 8 6 6

13) 7 9 1 4 7 5 1 4 4 6

7 9 1 4 7 5 1 1 4 6

14) 3 5 4 6 2 1 6 5 4 7

3 5 4 6 2 1 6 5 7 7




Comprendo qué es un sistema de ecuaciones de 3Í3. Resuelvo sistemas de ecuaciones de 3Í3 por diferentes métodos. Analizo y resuelvo problemas de aplicación con sistemas de ecuaciones de 3Í3. Resuelvo ecuaciones con radicales y con potencias. Identifico y estructuro operaciones a partir de símbolos. Detecto errores entre dos series numéricas.

72

IGER − Polochic


5

y

4 3 2 1 0 1

x2

2

3

+ y2

4

x

22

–1 = i

= r2

Sistema de coordenadas rectangulares ¿Qué encontrará esta semana? Paralelos y meridianos Sistema de coordenadas rectangulares, distancia entre puntos, punto medio y pendiente Factorización de expresiones algebraicas Resolver problemas y trazar su imagen en el plano cartesiano

Esta semana logrará:  Identificar los elementos que forman el plano cartesiano.  Ubicar y trazar puntos en el plano cartesiano.  Determinar la distancia entre puntos.  Señalar el punto medio de una recta.  Determinar la pendiente de rectas.  Completar la factorización de expresiones algebraicas. 


73

¡Para comenzar! Paralelos y meridianos meridianos paralelos

ecuador

Guatemala

China

meridiano de Greenwich

Hace aproximadamente 2300 años Eratóstenes, astrónomo, geógrafo, matemático y filósofo griego, calculó la medida de la circunferencia de la Tierra. A pesar de no contar con los avances tecnológicos de hoy día, esta medida varía con la actual en tan solo unos 400 kilómetros. Posteriormente los geógrafos y cartógrafos, en su afán de conocer las coordenadas de un lugar sobre la superficie de la Tierra, idearon trazar en los mapas líneas que llamaron paralelos y meridianos, que son como las "calles y avenidas" del planeta. Los meridianos son líneas que van del polo norte al polo sur. Sirven para medir la longitud, que es la distancia en grados desde cualquier meridiano y el meridiano (0º) o de Greenwich. A partir del meridiano de Greenwich se establecieron los husos horarios, hacia el este las horas aumentan y hacia el oeste, disminuyen. Por ello las horas son diferentes entre algunos países. Los paralelos son las líneas que cruzan la Tierra de este a oeste y la dividen en dos hemisferios: norte y sur. Estos círculos imaginarios que miden la latitud, toman como referencia el paralelo del ecuador, que es el círculo máximo de la superficie de la Tierra. Al determinar la latitud y la longitud, se encuentran las componentes de un sistema de coordenadas terrestres que sirven para ubicar cualquier lugar de la Tierra. ¡A trabajar! Responda las preguntas siguientes: 1) Un partido de futbol se juega en España a las 7:00 p. m. En Guatemala se observa de manera simultánea a las 11:00 a. m. del mismo día. ¿Cuántas horas de diferencia hay entre estos países? 2) ¿Qué hora será en China, si en Guatemala son las 7 de la mañana y hay 14 horas de diferencia entre estos países?

74

IGER − Polochic

El mundo de la matemática 1. Sistema de coordenadas rectangulares Así como los paralelos y meridianos sirven para determinar un punto sobre la Tierra, el sistema de coordenadas rectangulares sirve para representar puntos en un plano. Este sistema está formado por dos rectas numéricas perpendiculares en sus orígenes (O) llamados ejes coordenados. Los ejes dividen el plano en cuatro partes llamadas cuadrantes que se numeran a partir de la parte superior derecha hacia la izquierda. Este sistema de coordenadas nos permite representar un punto en el plano con cada pareja ordenada (x, y). Para graficar un punto con una pareja ordenada (x, y), comenzamos desde el origen y nos desplazamos |x| unidades a la derecha si x es positiva y a la izquierda si x es negativa, luego | y| unidades hacia arriba si y es positiva o hacia abajo si y es negativa. Entonces un punto en el plano lo representamos como P(x, y). Preste atención a la gráfica. y 8

cuadrante ii

cuadrante I

7 6

A(4, 5)

5 4 3 2

P(x, y)

1 –5

–4

–3

–2

–1

0 –1

1

2

3

4

5

x

–2 –3 –4 –5 –6

cuadrante iii

–7

cuadrante iv

–8

Ejercicio 1 En el eje de coordenadas de arriba, trace los puntos indicados. Tiene un ejemplo.

A(4, 5 )

B(3, – 4)

C(0, 6)

D(– 4, –2)

E(5, –5)

F(–5, 3)


75

2. Distancia entre puntos (d) La distancia entre dos puntos P1(x1, y1) y P2(x2 , y2) en el plano está determinada por la diferencia entre el punto inicial y punto final de cada coordenada. Para hallar la distancia entre dos puntos, debemos usar la fórmula que está en el recuadro: y 5 4

P2(x2 , y2)

3 2 1

d(P1, P2) = (x2– x1) + ( y2– y1) 2

2

–6 –5 –4 –3 –2 –1

P1(x1 , y1)

0

1 –1 –2

| y2 – y1| 2 3

4

–3 –4 –5

| x2 – x1|

5

6

x

P3(x2 , y1)

Para los casos siguientes, preste atención a la gráfica y siga los pasos en la sustitución de los valores en la fórmula. Ejemplo: Tracemos en el plano los puntos A(2, 3) y B(5, 8), dibujemos la recta y utilicemos la fórmula para hallar la distancia. y

9

B

8

d(A, B) = (x2– x1)2 + ( y2– y1)2

7

d(A, B) = (5 – 2)2 + (8 – 3)2

6 5 4 3

d(A, B) = (3)2 + (5)2 = 9 + 25

A

2

d(A, B) = 34 ≈ 5.83

1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

1

2

3

4

5

6

x

La distancia del punto A al punto B es aproximadamente de 5.83 unidades. Ejemplo: Tracemos en el plano los puntos P(– 4, 2) y Q(3, – 4), dibujemos la recta y utilicemos la fórmula para hallar la distancia. y

5

d(P, Q) = (x2– x1)2 + ( y2– y1)2

4

P

3 2

d(P, Q) = (3 – (– 4))2 + (– 4 – 2)2

1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

1

2

3

4

–2 –3 –4

Q

5

6

x

d(P, Q) = (7)2 + (–6)2 = 49 + 36 d(P, Q) = 85 ≈ 9.22

–5

La distancia del punto P al punto Q es aproximadamente de 9.22 unidades.

76

IGER − Polochic

Ejemplo: Tracemos en el plano los puntos R(– 4, 3) y S(2, 3), dibujemos la recta y utilicemos la fórmula para hallar la distancia. y

5

R

S

4 3

d(R, S ) = (x2– x1)2 + ( y2– y1)2

2

d(R, S ) = (2 – ( – 4))2 + (3 – 3)2

1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

1

2

3

4

5

6

x

d(R, S ) = (6)2 + (0)2 = (6)2

–2

d(R, S ) = 36 = 6

–3 –4 –5

La distancia del punto R al punto S es de 6 unidades.

Ejercicio 2 En el eje de coordenadas trace los puntos indicados y grafique la recta. Luego, sustituya los valores en la fórmula para obtener la distancia. 1) A(–3, 4) y B(1, 1) y

9

d(A, B) = (x2– x1)2 + ( y2– y1)2

8 7 6 5 4 3 2 1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

5

6

x

d(A, B) = (

+

d(A, B) = (

)2 + (

d(A, B) =

)2 + (

–

)2 =

)2 +

=

2) C(1, 5) y D(–1, – 4) y

5

d(C, D) = (x2– x1)2 + ( y2– y1)2

4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

1

2

3

4

5

6

x

d(C, D) = (

–

d(C, D) = (

)2 + (

–2 –3 –4

d(C, D) =

)2 + ( )2 =

–

)2 +

≈

–5


77

3. Punto medio (M) También podemos hallar el punto que se encuentra a la mitad de un segmento de recta entre dos puntos P1(x1, y1) y P2 (x2, y2). El punto medio se representa con la letra M y para hallarlo utilizamos la fórmula del recuadro: y 5 4 3

(

x1 + x2 y1 + y2 M= 2 , 2

M

2

P1(x1 , y1)

)

P2(x2 , y2)

1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

A1(x1 , 0)

–2

M1 1

2

4

3

5

A2(x2 , 0)

6

x

–3 –4 –5

Donde luego de sustituir los valores en la fórmula, el primer valor corresponde a la coordenada x ; el segundo valor corresponde a la coordenada y. Ejemplo: Tracemos en el plano los puntos A(–3, – 3) y B(5, 5), dibujemos la recta. Luego, utilicemos la fórmula del punto medio para hallarlo. y

B

5 4

M=

3 2

M

1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

1

–1

2

3

4

5

6

x

–3 –4

x1 + x2 y1 + y2 , 2 2 –3 + 5 – 3 + 5 2 2 ,

) )

M = 22, 22 = (1, 1)

–2

A

M=

( ( ( )

–5

El punto medio de la recta AB tiene coordenadas (1, 1). Ejemplo: Tracemos los puntos C(–3, 4) y D(6, 1) y utilicemos la fórmula para hallar el punto medio de la recta. C

y

5 4

M

3 2

D

1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1 –2 –3 –4

–5

1

2

3

4

5

6

x

M= M=

( ( ( ) ( )

x1 + x2 y1 + y2 , 2 2 –3 + 6 4 + 1 2 , 2

M = 32, 52

3 El punto medio de la recta CD tiene coordenadas 2, 52

78

IGER − Polochic

)

)

Ejercicio 3 Realice lo que se le pide en cada inciso de la actividad A y B. A.

a. En el eje de coordenadas grafique los puntos A(–2, – 4) y B(4, 10). Luego, trace la recta que une estos puntos. b. Determine la distancia entre los puntos AB. c. Encuentre las coordenadas del punto medio y grafíquelo en el plano. y

d(A, B) = (x2– x1)2 + ( y2– y1)2

10 8 6 4 2 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–2

2

3

4

5

6

x

d(A, B) = (

)2 + (

M=

–6 –8

M=

( ( (

)2 + (

+

)2 =

)2 +

≈

d(A, B) =

M=

x1 + x2 y1 + y2 , 2 2 + 2

)

)

+ 2

,

,

)

,

=(

)

a. En el eje de coordenadas grafique los puntos P(–3, 6) y Q(5, – 4). Luego, trace la recta que une estos puntos. b. Encuentre las coordenadas del punto medio y grafíquelo en el plano. c. Encuentre la distancia entre los puntos P y M. y

10

M=

8 6

M=

4

M=

2 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –2

1

–4 –6 –8 –10

+

–4

–10

B.

1

d(A, B) = (

2

3

4

5

6

x

( ( (

x1 + x2 y1 + y2 , 2 2 + 2 ,

+ 2

,

)

)

) ,

=(

)

d(P, M ) = (x2– x1)2 + ( y2– y1)2 d(P, M ) = (

–

d(P, M ) = (

)2 + (

d(P, M ) =

)2 + ( )2 =

–

)2 +

≈


79

4. Pendiente (m) Como hemos podido notar en las diferentes rectas que trazamos, no todas son horizontales ni todas son verticales; las hay inclinadas. La pendiente es la inclinación de una recta respecto a la horizontal. Si la recta pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2), se dice que tiene pendiente m y la fórmula para encontrarla se encuentra en el recuadro: y 5 4

P2(x2 , y2)

3

(

2

)

y2 – y1 m= x x 2 – 1

1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

P1(x1 , y1)

0 –1

y2 – y1 2

1

3

4 5

x

6

–2 –3 –4 –5

P3(x2 , y1)

x2 – x1

Al encontrar la pendiente pueden presentarse los casos siguientes: • Una recta con pendiente positiva sube al desplazarnos de izquierda a derecha. • Una recta con pendiente negativa baja al desplazarnos de izquierda a derecha. • Una recta horizontal tiene pendiente cero. • Una recta vertical tiene pendiente indefinida. Pendiente positiva

Pendiente negativa

5

5

y

y

4

4

3

3

2

2

1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

Pendiente cero

–1

1 1

2

3

4

5

6

x

0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–2

–2

–3 –4

–3 –4

–5

–5

y

5

4

5

6

2

3

4

5

6

x

4 3 2

2

1

1 0 –1 –2 –3 –4 –5

IGER − Polochic

3

5

3

80

2

Pendiente indefinida

y

4

–6 –5 –4 –3 –2 –1

1

1

2

3

4

5

6

x

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1 –2 –3 –4 –5

1

x

Ejemplo: Encontremos la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(–3, 5) y B(3, 2). A

y

4 3

B

2

2–5 m = 3 – (–3)

1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

( ) ( ) ( ) ( )

y2 – y1 m= x –x 2 1

5

1

2

3

4

5

6

x

–2

2–5 m= 3+3

m = –3 = – 1 2 6

–3 –4 –5

Ejemplo: Encontremos la pendiente de la recta que pasa por los puntos C(– 4, – 4) y D(5, 5). y

D

5 4 3 2

m=

1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

5

6

x

–2

5 – (– 4) 5 – (– 4)

5+4 m= 5+4

m= 9 =1 9

–3 –4

C

( ) ( ) ( ) ( )

y2 – y1 m= x –x 2 1

–5

Ejemplo: Encontremos la pendiente de la recta que pasa por los puntos E(– 4, 3) y F(5, 3). y

4

E

F

3

3–3 m = 5 – (– 4)

2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1 –2 –3 –4

( ) ( ) ( ) ( )

y2 – y1 m= x –x 2 1

5

1

2

3

4

5

6

x

3–3 m= 5+4

m= 0 =0 9

–5 Matemática − Semana 22

81

Ejercicio 4 Trace la recta que pasa por cada par de puntos. Luego, calcule el punto medio y la pendiente. 1) A(– 4, 4) y B(5, – 4)

y

Punto medio x1 + x2 y1 + y2 M= 2 , 2

(

5 4

)

Pendiente y2 – y1 m= x –x 2 1

)

)


)

)


)

(

3 2 1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

1

–1

2

3

4

5

6

x

–2 –3 –4 –5

2) C(– 5, – 4) y D(2, 4)

y


(

5 4

(

3 2 1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

5

6

x

–2 –3 –4 –5

3) E( – 5, –3) y F(5, –3) y


(

5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1 –2 –3 –4 –5

82

IGER − Polochic

1

2

3

4

5

6

x

(

Resumen 1. El sistema de coordenadas rectangulares está formado por dos rectas numéricas perpendiculares en sus orígenes (O) llamadas ejes coordenados, que dividen el plano en cuatro partes llamados cuadrantes. Para graficar un punto con una pareja ordenada (x, y) comenzamos desde el origen y nos desplazamos |x| unidades a la derecha si x es positiva y a la izquierda si x es negativa. Luego, | y| unidades hacia arriba si y es positiva o hacia abajo si y es negativa. y 8

cuadrante ii

cuadrante i

7 6

A(4, 5)

5 4 3

P(x, y)

2

–5

–4

–3

–2

1

0

–1

–1

2

1

3

4

5

x

–2 –3 –4 –5 –6

cuadrante iii

–7

cuadrante iv

–8

2. Para hallar la distancia entre dos puntos con coordenadas P1(x1, y1) y P2(x2, y2) se emplea la fórmula siguiente: d(P1, P2) = (x2– x1)2 + ( y2– y1)2 3. También podemos hallar el punto medio o el valor del par ordenado que se encuentra a la mitad de un segmento de recta. La fórmula que se utiliza es: M=

(

x1 + x2 y1 + y2 2 , 2

)

4. La pendiente es la inclinación de una recta, respecto de la horizontal. Si la recta pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) se dice que tiene pendiente m y la fórmula para encontrarla es:

(

y2 – y1 m= x –x 2 1

)

En la pendiente pueden presentarse los casos siguientes: • Una recta con pendiente positiva sube al desplazarnos de izquierda a derecha. • Una recta con pendiente negativa baja al desplazarnos de izquierda a derecha. • Una recta horizontal tiene pendiente cero. • Una recta vertical tiene pendiente indefinida.

Investigue en la red... Anímese a repasar el tema de la semana, visite esta dirección: http://goo.gl/aVD22w


83



Marque una X en el cuadro de la opción que completa correctamente cada enunciado. 1. En la pareja ordenada (–5, 2) el valor de y es…

5 2 –2 –5

2. El punto con coordenadas (4, –3) debe graficarse en el cuadrante…

I II III IV

3. El valor de la pendiente en una recta horizontal es…

0 1 –1 |–1|

4. Para encontrar las coordenadas que están a la mitad de una recta, utilizamos la fórmula de…

Vieta la distancia la pendiente el punto medio

5. De las opciones siguientes, la pareja de puntos que determina una línea vertical es...

A(–2, 0) y B(5, 0) A(4, 6) y B(4, –3) A(–3, 4) y B(6, 1) A(3, 4) y B(–3, – 4)

6. De las opciones siguientes, el punto que debe graficarse en el III cuadrante es…

A(5, 4) B(–5, 4) C(5, – 4) D(–5, – 4)

7. Dados los puntos A(4, 8) y B(6, 4), la pendiente es…

cero positiva negativa indefinida

84

IGER − Polochic

Actividad 2.


A. Grafique los puntos A a H en el plano y escriba las coordenandas de cada uno. Tiene un ejemplo. y

0) A(3, 4)

5

1) B(–3, – 4)

A(3, 4)

4 3

2) C(1, –5)

2

3) D(4, – 3)

1

4) E(6, 0)

0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

5) F(–2, 5)

1

–1

2

3

4

5

6

x

–2

6) G(– 4, –2)

–3 –4

7) H(0, – 4)

–5

B. Las rectas ascendentes tienen pendientes opuestas a las rectas descendentes. Escriba la pendiente de cada recta que inicia en el cuadrante II. Guíese por el ejemplo. m = –5

y

5

m=5 m=2 m=1

4 3

m=

2

1 m= 5

1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

1

2

1

2

3

4

5

6

x

–2 –3 –4 –5

C. Grafique los puntos A(–4, 2), B(0, 2), C(0, 0), D(4, 2), E(–3, 1), F(2, –2). Relacione con una recta los puntos AB, CD, EF, mida con una regla la distancia entre cada pareja de puntos y escriba su resultado en la tabla. Luego, compruebe su respuesta utilizando la fórmula de la distancia entre puntos. Resultados Recta utilizando regla utilizando la fórmula

2

AB

1

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

CD

–1 –2

EF


85

Agilidad de cálculo mental Escriba el factor que completa la factorización de cada polinomio. Hay un ejemplo para cada caso. A. Factor común

0) 3x + 9 = 3( x + 3 )

(2x – 1) 7) 2x2 – x =

1) 5a + 5

= 5(

)

(x + 1) 8) 2x2 + 2x =

2) 4x + 8

= 4(

)

(x – 2) 9) 2x2 – 4x =

3) x2 – 3x

= x(

)

(x + 2) 10) 4x2 + 8x =

x2( 4) x3 – 3x2 =

)

11) 4x2 + 16x = (x + 2)

5) 4x2 + 8x

= 4x(

)

12) 3xy3 + 9x2y2 = ( y + 3x)

6) 5x2 + 10x

= 5x(

)

13) 6xy + 12x2y2 = (1 + 2xy)

B. Trinomio cuadrado perfecto

7) x2 – 4xy + 4y2

= (

)(x – 2y)

)

8) 36x2 – 84x + 49 = (

)(6x – 7)

= (x – 4)(

)

9) 16x2 + 72x + 81

= (

)(4x + 9)

3) x2 + 18x + 81

= (x + 9)(

)

10) 81x2 + 90x + 25

= (

)(9x + 5)

4) 9x2 – 6xy + y2

= (3x – y)(

)

11) x2 – 20xy – 100y2 = (

)(x – 10y)

5) x2 + 2xy + y2

= (x + y)(

)

12) 4x2 + 20xy + 25y2 = (

)(2x + 5y)

)

13) 9x2 + 12xy + 4y2 = (

)(3x + 2y)

0) x2 + 4x + 4

= (x + 2)(

x+2 )

1) x2 – 6x + 9

= (x – 3)(

2) x2 – 8x + 16

6) 16x2 + 40x + 25 = (4x + 5)(

C. Trinomio de la forma x2 + bx + c

86

0) x2 + 3x + 2

=

(x + 1)( x + 2 )

8) x2 – 5x – 6

=

(

)(x + 1)

1) x2 + x – 12

=

(x – 3)(

)

9) x2 + 3x + 2

=

(

)(x + 1)

2) x2 – 3x + 2

=

(x – 2)(

)

10) x2 – 7x + 10 =

(

)(x – 5)

3) x2 + x – 20

=

(x – 5)(

)

11) x2 + 6x – 27 =

(

)(x – 3)

4) x2 + 5x + 6

=

(x + 3)(

)

12) x2 – 2x – 48 =

(

)(x + 6)

5) x2 – 5x – 24

=

(x – 8)(

)

13) x2 + 5x – 36 =

(

)(x – 4)

6) x2 + x – 30

=

(x + 6)(

)

14) x2 – 8x + 15 =

(

)(x – 3)

7) x2 + 4x – 21

=

(x – 3)(

)

15) x2 – 9x – 10 =

(

)(x – 10)

IGER − Polochic

Razonamiento lógico A. Determine el cuadrante en el que se encuentra cada par de puntos. Hay un ejemplo. 0) (6, 10)

I

4) (10, –12)

8) (10, –12)

1) (–8, 6)

5) (–6, –9)

9) (–6, –9)

2) (–5, –9)

6) (–9, 6)

10) (–9, 6)

3) (15, 12)

7) (5, –12)

11) (5, –12)

B. En su cuaderno o en hojas aparte, trace un eje de coordenadas y dibuje el segmento de recta que pasa por ambos puntos. Luego, determine la distancia, el punto medio y la pendiente. 1) A(– 4, 5), B(3, 2)

7) A(6, – 4), B(–2, 5)

2) A(–3, –5), B(2, 6)

8) A(– 4, – 4), B(4, – 4)

3) A(–6, 3), B(5, 3)

9) A(5, 4), B(–3, 8)

4) A(3, 2), B(–5, 0)

10) A(–12, –9), B(15, 6)

5) A(0, 0), B(8, 6)

11) A(–3, 2), B(4, 2)

6) A(3, 5), B(3, – 4)

12) A(–10, –5), B(10, 5)

C. Resuelva en su cuaderno o en hojas aparte los problemas que se le presentan. 1) Grafique los puntos A(0, – 4), B(4, –2), C(5, 4) y D(1, 2) y compruebe que sean los vértices de un paralelogramo. a. Determine la distancia de cada lado del paralelogramo. b. Encuentre el perímetro. c. Calcule el área. 2) Trace el triángulo ABC con vértices en los puntos A(–1, 0), B(4, 0) y C(4, 6). a. ¿Cuánto mide cada lado del triángulo? b. ¿Cuál es el perímetro del triángulo? c. ¿Cuál es el área del triángulo? 3) Tres esquinas de un paralelogramo están ubicadas en los puntos: A(2, 4), B(7, 4), C(–2, – 4).

a. Encuentre las coordenadas del cuarto punto D que completa el paralelogramo. b. Determine el perímetro del paralelogramo. c. Calcule el área del paralelogramo.

4) Sea ABCD el cuadrado con vértices A(0, 0), B(6, 0), C(6, 6). a. Encuentre el valor de uno de los lados. b. Determine el perímetro. c. Trace en el cuadrado dos líneas diagonales y determine la distancia y la pendiente de cada una.


87

Desarrolle nuevas habilidades Para seguir practicando la localización de puntos en el plano y la distancia entre ellos, realice el ejercicio siguiente. Cinco vecinos tienen ubicada su vivienda según las coordenadas siguientes: A(–3, 1), B(3, 1), C(–2, –3), D(0, 3), E(2, –3). Con esta información realice lo que se le pide en cada inciso. a. Grafique los puntos. b. Trace con una recta el camino que lo llevaría de AB, BC, CD, DE, EA. c. En qué figura pensaron los vecinos para ubicar sus viviendas. d. Si la medida está en metros, ¿qué distancia hay de un vecino a otro, según el orden del inciso b)? e. Si usted vive en el punto (0, 0), ¿qué vecinos le quedan más cerca para visitar y qué distancia debe recorrer? y

5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

1

2

3

4

5

6

x

–2 –3 –4 –5




Identifico los elementos que forman el plano cartesiano. Ubico y trazo puntos en el plano cartesiano. Determino la distancia entre puntos. Señalo el punto medio de una recta. Determino la pendiente de rectas. Completo la factorización de expresiones algebraicas.

88

IGER − Polochic


5

y

4 3 2 1 0 1

x2

2

3

+ y2

4

x

23

–1 = i

= r2

Funciones matemáticas I ¿Qué encontrará esta semana? Relaciones cotidianas: las funciones Función matemática Valuar funciones matemáticas Resolver problemas de aplicación con funciones lineales

Esta semana logrará:  Comprender el concepto de función matemática.  Representar funciones lineales en forma gráfica.  Utilizar funciones para representar hechos reales.  Utilizar las funciones lineales para representar modelos matemáticos.  Resolver problemas relacionados con funciones lineales y representarlos gráficamente.  Resolver problemas sobre la toma de decisiones. 


89

¡Para comenzar! Relaciones cotidianas: las funciones En nuestra vida diaria relacionamos muchas situaciones de forma tan natural y casi inconsciente, por ejemplo: el consumo de la gasolina dependiendo del recorrido que hacemos, el costo del pasaje cuanto más viajamos o el saldo con los minutos de aire que nos quedan en nuestro celular. Estas relaciones pueden examinarse desde el punto de vista matemático, por ejemplo, si un bus viaja a una velocidad constante de 60 km/h, en una hora habrá recorrido 60 km, en dos horas 120 km, en tres horas 180 km, etc. Podemos trazar la gráfica de su recorrido de la forma siguiente: km 360 300 240 180 120 60 0

1

2

3

4

5

6

7

8

t

La relación que se forma entre kilómetros y tiempo se describe con una línea recta. Observe que cuanto más aumentan los kilómetros recorridos por el autobús, más aumentan las horas transcurridas. De forma similar, relacionamos el tiempo de aire de nuestro celular con los minutos que hablamos. Si al inicio del mes tenemos 100 minutos de aire y gastamos 8 minutos por día, al final del día uno nos quedan 92 minutos, al final del día dos nos quedan 84 minutos, etc. Estas relaciones se denominan funciones, tema en el que profundizaremos esta semana. ¡A trabajar! Recuerde el ejemplo del autobús y responda las preguntas siguientes. Si el vehículo hubiera viajado 10 horas, ¿cuántos kilómetros habría recorrido?¿Y si hubiera viajado 15 horas?

90

IGER − Polochic

El mundo de la matemática 1. Función matemática En la sección anterior aprendimos un poco sobre la función de distancia y tiempo, pero ¿qué es, propiamente, una función? Primero, debemos tener en mente el concepto de correspondencia, el cual lo podemos ilustrar con los enunciados siguientes: • A cada guatemalteco le corresponde un número de Dpi. • A cada automóvil le corresponde un determinado número de placa. • Recordando el inicio de esta semana, cuanto más tiempo pase, el autobús recorrerá más kilómetros. En cada ejemplo anterior se ve cómo entran en juego dos conjuntos, al primero le corresponde un elemento del segundo. A un guatemalteco le corresponde un único número de Dpi, a un automóvil le corresponde un único número de placa, etc. Una función sigue el mismo principio. Una función es un tipo de relación o correspondencia entre dos conjuntos A y B, en el cual todos los elementos del conjunto inicial tienen una y solo una imagen en el conjunto final. Al conjunto A se llama dominio, son los datos de "entrada" a la función. Al conjunto B se denomina contradominio o imagen, este es el conjunto de "salida". La expresión y = f (x) se llama regla de correspondencia o ecuación de la función. La regla de correspondencia y = f (x), que se lee "f de x", expresa cómo la función f transforma elementos x del dominio en elementos y del contradominio o imagen. Veamos un ejemplo: A

Dominio {1, 2, 3,...}

f (x) = 5x

Rango {5, 10, 15,...}

función matemática

f (x) = x 2 + 1

B

1

f (1) = (1) 2 + 1

2

2

f (2) = (2) 2 + 1

5

3

f (3) = (3) 2 + 1

10

4

f (4) = (4) 2 + 1

17

5

f (5) = (5) 2 + 1

26

Dominio

El proceso que hace una función se ve así:

En una función, x es la variable independiente y f (x) o y es la variable dependiente.

Imagen


91

1.1 Funciones de primer grado Las funciones de primer grado, como las ecuaciones, son aquellas en las que el exponente de la variable es 1. Como podremos deducir, la gráfica de estas funciones es una línea recta. Su forma general es: f (x) = mx + b en donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si m se modifica, entonces la inclinación de la recta varía, y si se modifica b, la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo en el eje y. En ocasiones se hace una distinción, cuando la constante b es cero (b = 0), la función pasa por el origen y se denomina solamente como función lineal. Cuando la constante b es diferente de cero (b ≠ 0), la función no pasa por el origen y se le llama función afín.

1.2 Gráfica de funciones de primer grado Para trazar la gráfica de funciones de primer grado elaboramos una tabla de valores x e y, ubicamos los pares ordenados en el plano cartesiano y unimos con una línea los puntos localizados. Veamos un ejemplo, grafiquemos la función siguiente: f (x) = 2x + 1

f (x) pasa a ser y cuando graficamos, pues representa las coordenadas de ese eje.

x

Función

y

–2

f (–2) = 2(–2) + 1

–3

–1

f (–1) = 2(–1) + 1

–1

0

f (0) = 2(0) + 1

1

1

f (1) = 2(1) + 1

3

2

f (2) = 2(2) + 1

5

y

5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

1

2

3

4

5

6

x

–2 –3 –4 –5

¿Ve que es fácil? Y podemos notar que la función anterior es afín porque b ≠ 0 y lo confirmamos porque su gráfica no pasa por el origen, sino que corta el eje y en (0, 1).

92

IGER − Polochic

Ejercicio 1 A. Escriba en la línea correspondiente si se trata de una función lineal o de una función afín. 5) f (x) = 5x – 2 3 6) f (x) = 1 x 2

1) f (x) = 1 x – 5 3 2) f (x) = 2x + 3 3) f (x) = 9x

7) f (x) = 8x – 5

4) f (x) = 4x + 7

8) f (x) = 4 x 5

B. Trace la gráfica de las funciones siguientes. Le ayudamos con la tabla y con el bosquejo del plano. 1) f (x) = 3x x

y

10

y

8 6 4 2 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–2

1 2

3

4

6

8 10 12

5

6

x

–4 –6 –8 –10

2) f (x) = 1 x – 3 2 x

y

10

y

8 6 4 2 0

–12 –10 –8 –6 –4 –2

–2

2 4

x

–4 –6 –8 –10

3) f (x) = 11x + 2 x

y

y

2.5 2 1.5 1 0.5

–3 –2.5 –2 –1.5 –1 –0.5

0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 –0.5

x

–1 –1.5 –2 –2.5


93

1.3 Determinación del dominio e imagen de funciones Excluimos del dominio aquellos valores que hacen imposible operar la función o aquellos que incumplan una condición. Por ejemplo, en una función racional, se excluye aquel valor que hace cero al denominador.

Recuerde los símbolos siguientes: ∈ significa "pertenece a". ≠ significa "diferente de" o "no es igual a".

El dominio de una función está formado por aquellos valores de "x" (números reales) para los que se puede calcular la imagen f (x). La imagen, contradominio o rango de una función es el conjunto formado por los valores que se obtienen al valuar x en f (x). Es decir, los valores que toma "y". Para representar el dominio y contradominio de una función hay varias maneras, pero nosotros aprenderemos la forma simbólica. Veamos los casos siguientes. Determinemos el dominio e imagen de:

f (x) = –2x + 6

• Las funciones lineales tienen como dominio todo el conjunto de los números reales. Por lo tanto, su dominio es:

D= x/x∈R

• El rango que se obtiene también pertenece a los números reales.

R= y/y∈R

Determinemos el dominio y el rango de:

f (x) =

• En este caso el denominador no puede ser cero. Observemos que el número que hace cero el denominador es 5. Por lo tanto, el dominio es:

D = { x ∈ R | x ≠ 5}

{

}

{

}

2 (x – 5)

• El rango que se obtiene corresponde a los números reales.

R = { y ∈ R | y ≠ 0}

Determinemos el dominio y el rango de:

f (x) =

• Para que la función tenga imagen en los números reales, el radicando debe ser un número real positivo mayor o igual que cero. Por lo tanto, el dominio es:

D = {x ∈ R | x ≥ 0}

• El rango que se obtiene corresponde también a los números reales.

R = { y ∈ R | y ≠ 0}

x

Ejercicio 2 Determine el dominio y el rango de las funciones siguientes. 1) f (x) = 3x D =

R=

4) f (x) = –x

D=

R=

2) f (x) = x D =

R=

5) f (x) = 4x + 3 D =

R=

2 D = (x – 3)

R=

6) f (x) = 8x D =

R=

3) f (x) =

94

IGER − Polochic

3

1.4 Aplicaciones de las funciones lineales Las funciones dan pie a muchas aplicaciones en diversas áreas de la vida cotidiana. Como siempre, algo muy importante es identificar correctamente los datos y formular adecuadamente las funciones. En economía, las funciones de oferta y demanda sirven para hacer una predicción en los mercados. La función de oferta indica a los productores "cuánto producir" a un determinado precio. Cuanto más suba el precio, más serán las unidades que se producen. Resolvamos un problema: Un productor de materiales de construcción desea saber cuántos sacos de cemento deberá fabricar si se venden a un precio de Q82.00; la función de oferta que indica la cantidad de sacos que se deben producir a cada precio es la siguiente: f (x) = 1.5x – 15. Averigüemos cuántos sacos se deberán fabricar al precio mencionado. Luego, tracemos la gráfica. • Identificamos los datos: x es la variable independiente, en este caso, es el precio al que se vende el saco de cemento. La f (x) = y es la cantidad de sacos que se deberán elaborar.

x = Q82.00

• Para saber cuántos sacos se deberán fabricar debemos encontrar la y correspondiente cuando x = Q82.00; para esto sustituimos la x en la función y resolvemos.

y = 1.5x – 15

f (x) = 1.5x – 15

y = 1.5(82) – 15 y = 123 – 15

Encontramos que al precio de Q82.00 se deberá producir 108 sacos de cemento.

y = 108

Ahora, realizamos la gráfica para visualizar esta relación entre el precio del cemento y la cantidad de sacos elaborados. y –15 15 45 75 105 108 135 165 195

y 180 150 Cantidad de sacos

x 0 20 40 60 80 82 100 120 140

120

108

Podemos comprobar que el productor elaborará 108 sacos de cemento a Q82.00. La línea punteada roja sobre la gráfica lo muestra.

90 60 30 0 –30

82 20

40

60

80

100

120

140

160

x

Precio de cada saco Matemática − Semana 23

95

Resolvamos otro problema: Una planta de maíz tiene una altura de 7 cm en su semana 3 de cultivo. Luego, en la semana 4 se observa que mide 9 cm. Suponiendo que la planta crece de manera uniforme, determine una función que sirva para calcular la altura de la planta a través del tiempo que queda de cosecha. • Identifiquemos los datos del problema. Calculemos el crecimiento semanal al restar la altura de la semana 4 menos la altura de la semana 3.

Altura en la semana 3 = 7 cm Altura en la semana 4 = 9 cm Crecimiento semanal: 9 cm – 7 cm = 2 cm

El crecimiento semanal de la planta es de 2 cm • Establecemos que x representa el número de semana de crecimiento en que se encontrará la planta; esto es porque nosotros decidimos qué semana introducimos a la función. Entonces, f (x) es la altura en centímetros correspondiente a esa semana • Con lo anterior, formulamos la función.

x = número de semana de crecimiento f (x) = 7 cm =

altura correspondiente a cada semana altura inicial de la planta

f (x) = 2 x + 7

La función representa que los 7 cm son fijos porque son la altura inicial de la planta y cada semana que pase se le agregarán 2 cm a esa altura.

Ejercicio 3 Resuelva los problemas siguientes. Utilice su cuaderno para el procedimiento y las respuestas. 1) Por el alquiler de un picop cobran Q45.00 diarios más Q0.25 por cada kilómetro que se recorre en él. Realice lo siguiente: • Encuentre la función que relaciona el coste diario con la cantidad de kilómetros. • Si en un día se recorrieron 314 km, ¿cuánto dinero habrá costado el alquiler del picop? 2) Un usuario de telefonía celular se le presenta la situación siguiente: La compañía A le ofrece una cuota fija de Q100.00 al mes más Q0.20 por cada minuto hablado. La compañía B le ofrece cobrar solo el consumo a Q0.95 por cada minuto que hable. La compañía C le ofrece una cuota fija de Q75.00 al mes más Q0.35 por cada minuto hablado. El cliente habla 210 minutos al mes.

96

A usted se le pide que formule las funciones, trace las gráficas e indique cuál de los tres planes es el más económico para el usuario.

IGER − Polochic

Resumen 1. Una función es un tipo de relación o correspondencia entre dos conjuntos A y B, en el cual todos los elementos del conjunto inicial tienen una y solo una imagen en el conjunto final.

Al conjunto A se llama dominio, son los datos de "entrada" a la función. El conjunto B se denomina contradominio, rango o imagen, este es el conjunto de "salida".

La expresión y = f (x) se llama regla de correspondencia o ecuación de la función. La regla de correspondencia y = f (x), que se lee "f de x", expresa cómo la función f transforma elementos x del dominio en elementos y del contradominio o imagen. 1.1 Las funciones de primer grado son aquellas en las que el exponente de la variable es 1. La gráfica de estas funciones es una línea recta. f (x) = mx + b 1.2 Para trazar la gráfica de funciones de primer grado se elabora una tabla de valores x e y, se ubican los pares ordenados en el plano cartesiano y se unen los puntos con una línea. Al momento de graficar, f (x) pasa a ser y pues representa las coordenadas de ese eje. 1.3 El dominio de una función está formado por aquellos valores de "x" (números reales) para los que se puede calcular la imagen f (x).

La imagen, contradominio o rango de una función es el conjunto formado por los valores que se obtiene al valuar x en f (x). Es decir, los valores que toma "y".

1.4 Las funciones dan pie a muchas aplicaciones en diversas áreas de la vida cotidiana. Como siempre, algo muy importante es lograr identificar correctamente los datos y formular adecuadamente las funciones.

Investigue en la red... Puede visitar las páginas de internet que aparecen abajo, esta información le puede ayudar a ejercitar sus conocimientos y a aclarar alguna duda: • Funciones matemáticas, conceptos básicos: goo.gl/zfXxYq • Dominio de una función: goo.gl/xHWKQr • Gráfica de funciones: goo.gl/DtMjwB Matemática − Semana 23

97



Valúe las funciones siguientes con los valores que se dan. Aproxime a dos decimales de ser necesario. 1)

2)

f (x) = 4x x 12

4)

y

3)

f (x) = x – 6 x 17

y

f (x) = –3x + 5 x 8

11

12

7

5

11

4

2

0

0

0

–6

–1

–2

–9

–9

–8

–12

–11

–9

–22

–16

f (x) = x 20

5)

2 x+2 3 y

f (x) = – 4x + 10 x

6)

y

f (x) = 9x – 2 x

10

11

13

7

10

5

6

1

1

1

0

–4

–2

–1

–13

–4

–11

–18

–13

–15

–19

–17

–16

Actividad 2.

y

y


A. Determine el dominio y el contradominio o rango de las funciones siguientes. Recuerde que debe representarlos de forma simbólica. 1) f (x) = 2x + 6 D =

R=

R=

3 D = (x – 2)

6) f (x) = 2 + 5 D = 3x

R=

7) f (x) = 7x + 1 D =

R=

3) f (x) = 5x D =

R=

8) f (x) =

5 D = (3 – x)

R=

4) f (x) = 3x

D=

R=

9) f (x) = 11x D =

R=

5) f (x) = 4x D =

R=

10) f (x) = –x D =

R=

2) f (x) =

98

IGER − Polochic

B. Elabore la tabla correspondiente y trace la gráfica de las funciones siguientes. 1) f (x) = 6x + 4 x

y

20

y

16 12 8 4 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–4

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4 5

6

2

3

4

1

x

–8 –12 –16 –20

2) f (x) = 1 x – 5 2 x

y

y

1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

x

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

3) f (x) = 11x x

y

25 20

y

15 10 5 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–5

x

–10 –15 –20 –25

4) f (x) = x 4 x

y

1.25 1

y

0.75 0.5 0.25 –6

–5 –4

–3

–2

–1

0

1 –0.25

5

6

x

–0.5 –0.75 –1 –1.25


99

Agilidad de cálculo mental A. Valúe las siguientes funciones de primer grado de acuerdo a la x que aparece en el cuadro. 1)

f (x) = 3x + 4 x 9

2)

y

f (x) = x 12

6

1 x 2

3)

x

y

6 3

6

4

0

0

2

–2

–2

–2

–9

–8

–4

y

7

8

5

f (x) = –5x – 2

–10

–14

B. Valúe las siguientes funciones de segundo grado de acuerdo a la x que aparece en el cuadro. 1)

f (x) = –2x2 + 12 x 14

2)

y

3)

f (x) = 4x2 x 8

f (x) = –3x2 + 1 x

y

y

11

11

7

10

10

6

5

4

4

1

0

–6

0

–5

–9

–6

–6

–10

–8

C. Valúe las siguientes funciones de tercer grado de acuerdo a la x que aparece en el cuadro. 1) x 3

100

2)

f (x) = 2x3 y

f (x) = 3x3 + 1 x 3

y

3)

f (x) = –x 3 + 1 x 3

2

2

2

1

1

1

0

0

0

–1

–1

–1

–2

–2

–2

–3

–3

–3

IGER − Polochic

y

Razonamiento lógico Resuelva los siguientes problemas empleando funciones, realice lo que se le pide en cada inciso. Luego, redacte su respuesta en las líneas correspondientes 1) Una tienda está en temporada de ofertas. Este mes están aplicando el 15 % de descuento en toda la mercadería. a. Halle la función que expresa esta relación. b. Calcule el precio con rebaja de los artículos siguientes: pantalón Q112.00; camisa Q35.00 y calcetines Q12.00 2) Una cooperativa que se dedica a brindar servicios financieros ofrece una cuenta de ahorro a plazo fijo que brinda el 7 % de interés anual sobre el monto que se deposita. La organización cobra Q25.00 fijos por manejo de cuenta. a. Halle la función que expresa esta relación. b. Calcule la cantidad total (capital depositado más intereses) que se obtendría si se depositan Q5,000.00, Q10,000.00 y Q16,000.00 3) En un mercado de Cobán, las piñas se compran de acuerdo a la siguiente función de demanda D = 12500 – 1250x. a. Trace la gráfica de la función. b. Calcule la cantidad de piñas que se venderían si su precio (x) fuera de Q5.00, Q4.00 y Q3.00 4) Javier trabaja como piloto de un bus de turismo. Él tiene un sueldo base de Q90.00 al día y gana Q15.00 por cada viaje que realiza. a. Halle la función que expresa esta relación. b. Calcule el sueldo de Javier de una semana si realizó 8 viajes el lunes, 2 el martes, 5 el miércoles, 6 el jueves y 10 el viernes.


101

Desarrolle nuevas habilidades Pongamos a trabajar nuestras neuronas. La habilidad para resolver problemas y tomar decisiones rápidas y acertadas es algo muy valorado, no solo al momento de buscar trabajo, sino también para nuestro desarrollo personal. Lea el problema siguiente. Luego, responda las preguntas. Tómese su tiempo para encontrar la solución que mejor le parezca. Los vecinos de la fábrica El policloruro de vinilo (Pvc) es un tipo de plástico muy versátil que en la actualidad se utiliza para elaborar envases, ventanas, tuberías, cables, etc.

Una planta productora de tubos Pvc está instalada en las afueras de un poblado. En una ocasión, algunas máquinas se estropearon debido a un apagón de electricidad, por lo que se tuvo que parar la producción mientras se reparaban. Durante estos meses que la producción estuvo detenida, cerca de la fábrica se comenzó a desarrollar un proyecto habitacional; varias familias se trasladaron de casa y comenzaron a vivir ahí. Cuando al fin se lograron reparar las máquinas averiadas, la planta reinició sus operaciones. Sin embargo, el ruido de la industria resultó ser muy alto y los vecinos se empezaron a quejar, tanto a los directivos de la empresa como con la municipalidad. Los directivos argumentan que ellos estaban primero ahí y los vecinos que al momento de trasladarse no había ruido. ¿Quién cree que tiene la razón? Explique.

¿Cómo resolvería usted esta situación?




Comprendo el concepto de función matemática. Represento funciones lineales en forma gráfica. Utilizo funciones para representar hechos reales. Utilizo las funciones lineales para representar modelos matemáticos. Resuelvo problemas relacionados con funciones lineales y los represento gráficamente. Resuelvo problemas sobre la toma de decisiones.

102

IGER − Polochic


5

y

4 3 2 1 0 1

x2

2

3

+ y2

4

x

24

–1 = i

= r2

Funciones matemáticas II ¿Qué encontrará esta semana? El movimiento parabólico Funciones cuadráticas Valuar y analizar funciones cuadráticas Problema de logística

Esta semana logrará:  Comprender el concepto de función cuadrática.  Trazar la gráfica de funciones cuadráticas e identificar sus partes fundamentales.  Calcular los puntos críticos de una función cuadrática.  Identificar la concavidad de una función cuadrática.  Practicar y desarrollar sus habilidades logísticas.  Comparar y determinar la igualdad entre figuras en un grupo. 


103

¡Para comenzar! El movimiento parabólico ¿Alguna vez ha lanzado horizontalmente una pelota al aire? No importa qué tan fuerte lo haga, la pelota siempre tendrá un movimiento similar. Primero ascenderá hasta un punto máximo y luego comenzará a descender hasta caer al suelo.

movimiento vertical

Este comportamiento se conoce como movimiento parabólico, y es porque la figura que describe cualquier objeto o proyectil durante su trayectoria corresponde a una parábola. En este desplazamiento se unen dos movimientos, el vertical y el horizontal.

movimiento horizontal

En condiciones normales, el movimiento parabólico solamente es posible gracias a la gravedad. Si lanzamos un objeto en un ambiente sin una fuerza gravitatoria, como en el espacio exterior, seguiría su trayectoria recta hasta que se tope con alguna fuerza ajena a él. Si se introducen ejes de coordenadas apropiados, la trayectoria coincide con la gráfica de la ecuación y = ax2 + bx + c. Esta semana estudiaremos las funciones cuadráticas, las cuales siguen el mismo patrón que las ecuaciones de segundo grado y comparten muchas características. ¡A trabajar! Responda: ¿Qué otros objetos al ser lanzados describen una parábola? Experimente y escriba su respuesta.

104

IGER − Polochic

El mundo de la matemática 1. Funciones cuadráticas Una función cuadrática es aquella en la que el mayor exponente de la variable es 2. Su forma general es: f (x) = ax2 + bx + c donde a, b y c son números reales y a es distinto de cero (a ≠ 0). Mientras tanto b y c pueden ser cualquier número real, incluyendo el cero. Los términos se denominan: cuadrático (ax2), lineal (bx) e independiente (c). Al igual que las ecuaciones cuadráticas, las cuales estudió en la semana 18, una función con todos sus términos se llama completa y a la que le falta el término lineal o el término independiente se le llama incompleta.

1.1 Gráfica de funciones cuadráticas Como mencionamos al inicio de esta semana, la gráfica de una función cuadrática es una parábola. En la gráfica podemos identificar las partes fundamentales y características siguientes: y 6 5 4

Punto de corte en el eje y

Eje de simetría

3 2

Puntos de corte en el eje x

1 –4 –3 –2 –1

0

1 –1 –2

2

3 4

5

6

7

8

x

Vértice

–3

• Concavidad: se refiere hacia dónde se "abre" la parábola. Una parábola es cóncava hacia arriba cuando sus ramas o brazos se orientan de abajo hacia arriba y es cóncava hacia abajo cuando lo hacen de arriba hacia abajo. Por ejemplo, la gráfica anterior muestra una parábola cóncava hacia arriba.

Esta orientación está definida por el signo que tiene el término cuadrático (ax2). Si a es positiva (a > 0), la parábola es cóncava hacia arriba; si a es negativa (a < 0), la parábola es cóncava hacia abajo. Además, cuanto mayor sea el valor de a, la parábola será más angosta.

• Vértice: dependiendo de hacia dónde se abre la parábola, hacia arriba o hacia abajo, el vértice es el punto mínimo o máximo de la función.


105

• Puntos de corte en el eje x: una función cuadrática puede cortar el eje x dos veces, una vez o no pasar por él, dependiendo de su posición en el plano. Estos puntos de corte o raíces son los valores que toma x cuando y = 0; es decir, cuando igualamos la función f (x) = 0. Calculamos estas coordenadas empleando la fórmula cuadrática o la factorización. • Puntos de corte en el eje y: para saber si una función corta el eje y y en qué punto, hacemos que x valga cero (x = 0) luego operamos. El resultado es el punto donde la gráfica corta al eje y. • Eje de simetría: es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, pasa por el vértice y divide la parábola a la mitad. Para trazar la gráfica, hallamos el vértice y los cortes en los ejes. Localizamos las coordenadas en el plano y los unimos con una línea. Ponga atención al ejemplo. Tracemos la gráfica de la función:

f (x) = –2x2 – 4x + 5

• Primero, determinamos la concavidad; de 2 acuerdo a lo que estudiamos, la función es f (x) = –2x – 4x + 5 cóncava hacia abajo, porque el término cuadrático es negativo (–2x2). Luego, calculamos el vértice. Como la gráfica es cóncava hacia abajo significa que el vértice es el punto máximo de la función.

( )

• Para hallar este punto, empleamos las fórmub b las de la derecha. En estas, xv significa la coor- xv = – 2a yv = f – 2a denada de x en el vértice y yv la coordenada de y en el vértice. 4 (– 4) = • Tomamos primero xv y sustituimos los valores xv = – 2(–2) – 4 correspondientes. Luego, operamos. xv = –1 • Ahora, sustituimos la coordenada de xv en yv yv = –2(–1)2 – 4(–1) + 5 yv = 7 y operamos.

Encontramos que el vértice está localizado en el punto (–1, 7)

• Hallamos los puntos de corte en el eje x. Igualamos la función a 0 y empleamos la fórmula cuadrática para encontrar las "raíces".

106

IGER − Polochic

Notamos que la gráfica corta el eje x en los puntos (–2.87, 0) y (0.87, 0)

V(–1, 7) f (x) = 0 –2x2 – 4x + 5 = 0 –b ± b2 – 4ac 2a – (– 4) ± (–4)2 – 4(–2)(5) x= 2(–2) x1 ≈ –2.87 x2 ≈ 0.87 x=

• Por último, calculamos el punto de corte en el eje y. Igualamos x = 0 y sustituimos este valor en la función.

f (x) = –2x2 – 4x + 5 y = –2(0)2 – 4(0) + 5 y=5

El eje de simetría sigue hasta el infinito y se localiza en la misma x que el vértice.

Hallamos que la gráfica corta el eje y en el punto (0, 5)

Ahora, teniendo el vértice y los puntos de corte en los ejes, podemos trazar la gráfica correspondiente. y • Localizamos los puntos en el plano y los unimos con una línea ligeramente curva. Tenemos así la parábola.

7

4

6 5

Recordemos trazar el eje de simetría, el cual es una línea recta que pasa por el vértice y divide la parábola a la mitad. En este caso es x = –1

3 2 1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

Veamos otro ejemplo, tracemos la gráfica de:

f (x) = 2x2 – 3

• La función es cóncava hacia arriba porque el término cuadrático es positivo.

f (x) = 2x2 – 3

• Calculemos el vértice. Este sería el punto mínimo de la función por ser cóncava hacia arriba.

xv = –

–1

1

2

3 4

5

6

x

( )

b b yv = f – 2a 2a

0 yv = 2(0)2 – 3 2(2) yv = –3 xv = 0

xv = –

V(0, –3)

El vértice está localizado en el punto (0, –3)

• Hallamos los puntos de corte en el eje x.

2x2 – 3 = 0 x2 = 3 2 x=±

Encontramos que la función corta el eje x en los puntos (1.22, 0) y (–1.22, 0)

• Hallemos los puntos de corte en el eje y.

3 ≈ ± 1.22474 2

x1 = 1.22

x2 = –1.22

y = 2x2 – 3 y = –2(0)2 – 3 y = –3

La gráfica corta el eje y en (0, –3) Matemática − Semana 24

107

Localizamos los puntos en el plano y los unimos con una línea ligeramente curva. Tenemos así la parábola. Trazamos, también, el eje de simetría.

y

5 4

El eje de simetría de esta gráfica concuerda con el eje x.

3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1 –1

2

3

4

5

x

6

–2 –3 –4

–5

Ejercicio 1 Trace la gráfica de las funciones siguientes.

y 10

1) f (x) = x2 + x – 6

8 6 4 2 –12 –10 –8 –6 – 4

0

–2

2 –2

4

6

8

10 12

2

3

4

5

x

–4 –6 –8 –10

y

2) f (x) = – 4x2 + 4

5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1 –1 –2 –3 –4 –5

108

IGER − Polochic

6

x

1.2 Aplicaciones Las funciones cuadráticas sirven para modelar y analizar situaciones o relaciones en medicina, negocios, ingeniería, entre otras áreas. Resolvamos un problema; así podrá ver la aplicación de lo que acaba de aprender. En un centro de salud se estima que la rapidez de crecimiento por mes ( y) de un niño, en su etapa de desarrollo, está relacionada con su peso actual en libras (x) a través de la función: y = x(21 – x), en donde x solo toma valores entre 0 y 21. Los médicos necesitan calcular qué peso (x) presenta la máxima rapidez de crecimiento ( y). • Simplifiquemos la función para dejarla en forma cuadrática.

y = x(21 – x) y = –x² + 21x

• La gráfica es cóncova hacia abajo porque el término cuadrático es negativo.

y = –x² + 21x

• Hallemos el vértice. Este sería el punto máximo de la función.

xv = –

( )

b b yv = f – 2a 2a

21 2(–1) xv = 10.5

xv = –

yv = –(10.5)2 + 21(10.5) yv = 110.25

V(10.5, 110.25)

El vértice está localizado en el punto (10.5, 110.25)

Entonces, la máxima rapidez de crecimiento ( y) se presenta cuando el peso (x) es de 10.5 libras. Realicemos la gráfica para comprobar nuestra respuesta. • Hallemos los puntos de corte en el eje x.

x (21 – x) = 0

Tracemos la gráfica y corroboremos nuestra respuesta. Notemos que el vértice es el punto máximo de la parábola y corresponde al punto en donde la rapidez de crecimiento es la más alta.

21 – x = 0 x = 21

x1 = 0

x2 = 21

y = –(0)2 + 21(0) y=0

• Ahora, los cortes en el eje y.

x = 0

y 112 98

V(10.5, 110.25)

84 70 56 42 28 14 0

2

4

6

8

10

12 14 16 18 20 22

x


109

En los negocios, se emplean las funciones cuadráticas para maximizar ganancias, las cuales son la diferencia entre los ingresos y los costos. ganancia = ingreso total – costos totales Tenga en cuenta que los ingresos se calculan multiplicando el precio del artículo por la cantidad de artículos vendidos.

Una empresa se especializa en comerciar billeteras de cuero. La función que representa la cantidad que se vende en un mes es: y = –10x + 1200, donde y es la cantidad y x es el precio de venta. Los costos totales mensuales (Ct) son de Q165,00.00; se le pide hallar el precio (x) que maximiza las ganancias. • Encontremos los ingresos totales mensua- It = x(–10x + 1200) les (It), para ello multipliquemos la cantidad It = –10x2 + 1200x que se vende ( y) por el precio (x). • Ahora, formemos la función de ganancia (Gt), que serían los ingresos totales (It) menos los costos totales (Ct). Esta es la función con la que debemos trabajar. • Encontramos el vértice de la función Gt.

Gt = –10x2 + 1200x – 16 500

1200 2(–10) xv = 60 xv = –

yv = –10(60)2 + 1200(60) – 16 500 yv = 19 500 El vértice está ubicado en (60, 19 500). Esto quiere decir que las ganancias se maximizan vendiendo 19 500 billeteras a un precio de Q60.00 cada una.

Ejercicio 2 A. Compruebe la respuesta del ejemplo anterior. Trace la gráfica para la función de ganancias. Realice el ejercicio en su cuaderno. B. Resuelva los problemas siguientes. Puede utilizar su cuaderno. 1) El número de kilómetros ( y) que cierto vehículo puede recorrer con un galón de combustible, 1 5 a una velocidad x, está dado por: y = – x² + x. Halle la velocidad que optimiza el consumo 60 2 de gasolina. 2) Desde la azotea de un edificio, una pelota es lanzada en diagonal respecto al suelo, formando una parábola. La distancia en metros sobre el suelo está dada por y = – 4.88x2 + 36x + 25, en donde y es la altura respecto del suelo y x es el tiempo en segundos que pasa la pelota en el aire. a. Encuentre la altura de la pelota a los 3 segundos de haber sido lanzada. b. Halle la altura máxima a la que llega la pelota y en qué tiempo la alcanza. 3) Una empresa produce y comercializa bolsas de detergente para ropa. La función que representa la cantidad que vende en un mes es y = –150x + 3000, en donde y es la cantidad y x el precio. Sus costos totales mensuales ascienden a Q3,000.00. Halle el precio (x) y la cantidad (y) con los que maximiza sus ganancias.

110

IGER − Polochic

Resumen 1. Una función cuadrática es aquella en la que el mayor exponente de la variable es 2.

Su forma general es: f (x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c son números reales y a es distinto de cero (a ≠ 0). Mientras tanto b y c pueden ser cualquier número real, incluyendo el cero.

Los términos se denominan: cuadrático (ax2), lineal (bx) e independiente (c). 1.1 La gráfica de una función cuadrática tiene las siguientes partes fundamentales y características: •

Concavidad: se refiere hacia dónde se "abre" la parábola. Una parábola es cóncava hacia arriba cuando sus ramas o brazos se orientan de abajo hacia arriba y es cóncava hacia abajo cuando lo hacen de arriba hacia abajo.

•

Vértice: dependiendo de hacia dónde se abre la parábola, hacia arriba o hacia abajo, el vértice es el punto mínimo o máximo de la función.

•

Puntos de corte en el eje x: estos puntos de corte o raíces son los valores que toma x cuando y = 0; es decir, cuando igualamos la función f (x) = 0. Calculamos estas coordenadas empleando la fórmula cuadrática o la factorización.

•

Puntos de corte en el eje y: para saber si una función corta el eje y y en qué punto, hacemos que x valga cero (x = 0) y operamos. El resultado es el punto donde la gráfica corta el eje y.

•

Eje de simetría: es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, pasa por el vértice y divide la parábola a la mitad.

1.2 Las aplicaciones que tienen las funciones cuadráticas son muchas y muy variadas; por ejemplo, con ellas podemos hallar el máximo de ganancias de alguna empresa o el mínimo de material necesario para construir algún objeto.

Investigue en la red... Una gran herramienta para nuestro aprendizaje es internet. Por ello, le invitamos a que observe con atención los videos siguientes, le ayudarán a ampliar sus conocimientos sobre el tema de esta semana. • Análisis de funciones cuadráticas. Ejercicio 1: goo.gl/inFgCK • Análisis de funciones cuadráticas. Ejercicio 2: https://goo.gl/cA5RM1 También, encontrará ejercicios adicionales en la siguiente página web: http://goo.gl/RhbbaL Matemática − Semana 24

111



Halle el vértice de las funciones siguientes. Luego, escriba en la línea correspondiente si es el punto máximo o el punto mínimo de la misma. 1) f (x) = x2 – 4x

2) f (x) = –3x2 – 6x + 6

Vértice:

;

3) f (x) = –12x2 + 11x + 20

Vértice:

;

4) f (x) = –x2 + 3x

;

Actividad 2.

Vértice:

Vértice:

;


A. Halle el vértice, las intersecciones en el eje x y en el eje y de las funciones siguientes. Luego, trace la gráfica correspondiente. y

1) f (x) = –3x2 – 3x + 8

10 8 6 4 2 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1 –2 –4 –6 –8 –10

112

IGER − Polochic

2

3

4

5

6

7

x

y

2) f (x) = x2 + x – 4

5 4 3 2 1 0

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

1 –1

2

3

4

5

x

6

–2 –3 –4

–5 y

3) f (x) = –2x2 + 20x – 43

10 8 6 4 2 0

–12 –10 –8 –6 –4 –2

–2

2

4

6

10

8

x

12

–4 –6 –8 –10

4) f (x) = –3x2 – 5x

y 5 4 3 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1 2 –0.5

3

4

5

6

x

–1 –1.5 –2 –2.5

B. Resuelva los problemas siguientes. Hágalo en su cuaderno. 1) Una empresa produce y comercializa ruedas para carretillas. La función que representa la cantidad que vende en un mes es y = –30x + 3000, donde y es la cantidad y x el precio. Sus costos totales mensuales ascienden a Q3,700.00. a. Halle el precio (x) y la cantidad ( y) con los que maximiza sus ganancias. b. Calcule las ganancias a los precios de Q45.00 y Q55.00. Luego, responda: ¿las ganancias son mayores o menores que el precio que halló en el inciso anterior? 2) Un jugador patea la pelota en dirección diagonal respecto al suelo, formando una parábola. La distancia en metros sobre el suelo está dada por y = – 4.88x2 + 17x, donde y es la altura respecto del suelo y x es el tiempo en segundos que pasa la pelota en el aire. a. Halle la altura máxima que alcanza la pelota y en cuánto tiempo llega. b. Encuentre el tiempo en que la pelota vuelve al suelo. Matemática − Semana 24

113

Agilidad de cálculo mental A. Valúe las siguientes funciones cuadráticas con los números dados. 1)

f (x) = –2x2 + 1 x 7

4)

2)

y

f (x) = 3x2 – 2x + 2 x 5

3)

f (x) = x2 – 3 x

y

4

4

4

3

2

3

2

–2

–5

0

–5

–9

–6

f (x) = x2 – 1 x 3

y

5)

f (x) = x2 – x – 2 x 6

y

6)

y

f (x) = 3x2 + x x

y

5

1

1

2

–2

0

1

–3

–2

–2

–5

–5

–4

B. Basándose en el signo del coeficiente cuadrático, identifique la concavidad de las funciones siguientes. Escriba hacia arriba o hacia abajo, según corresponda.

1) 6x2 – 5x – 4

12) –3x2 + 6x + 6

2) –6x2 + 8x + 4

13) 4x2 + 5x – 7

3) 3x2 + 8x – 4

14) 6x2 + 5x – 4

4) –2x2 – 3x + 6

15) –8x2 + 7x + 3

5) –9x2 – 8x – 2

16) 4x2 – 2x – 2

6) –9x2 – 4x – 4

17) –7x2 + 7x – 3

7) 9x2 + 5x – 2

18) –9x2 + 2x + 1

8) 3x2 – 6x + 1

19) –4x2 – 5x + 5

9) –2x2 + 3x + 5

20) 3x2 + 3x + 4

10) 8x2 + 5x – 4

21) –3x2 + 4x + 6

11) –2x2 – x – 4

22) –5x2 – 7x – 4

114

IGER − Polochic

Razonamiento lógico La logística es el conjunto de los medios necesarios para lograr llegar a una meta a través de un proceso complicado; es decir, es el desarrollo de la planificación, organización y gestión de recursos necesarios para realizar cualquier proyecto. Las habilidades en logística son muy valoradas hoy en día, no solo para el área laboral sino también para el ámbito personal, porque nos permiten hacer las cosas eficientemente, o sea, cumplir un objetivo con el mínimo de recursos disponibles y a tiempo. A continuación, se presenta un problema. Léalo y realice lo que se pide abajo. Distribución de gasolina Se desea abastecer a seis gasolineras en seis poblaciones diferentes, estas últimas nombradas con las letras A a la F. El mapa muestra las carreteras (con doble vía) que se pueden utilizar y las distancias entre cada poblado.

B

Jalapa

m 193 k

A

72 km

33 km

F

47 km

C 61 km

54 km

D 55 km

45 km

E

1) El camión cisterna cargado de combustible sale del punto A, hace su recorrido y regresa de nuevo. Halle y remarque, en el mapa, la ruta más corta que pase por todos los poblados. 2) Calcule cuántos kilómetros tiene la ruta que halló en el inciso anterior. Escriba su respuesta en la línea siguiente. 3) Si el costo de transportar la gasolina es de Q2.25 por kilómetro recorrido, calcule el costo total de la ruta que eligió.


115

Desarrolle nuevas habilidades Practicaremos y afinaremos nuestra aptitud de determinar pequeñas diferencias entre varias imágenes. En los incisos siguientes encontrará una serie de figuras, una como modelo y el resto como opciones. Usted debe circular la opción que sea exactamente idéntica a la figura ejemplo. Vea el inciso 0, le sirve de guía. 0)

a.

b.

c.

d.

e.

a.

b.

c.

d.

e.

a.

b.

c.

d.

e.

1)

2)

3)

a.

b.

c.

d.

e.




Comprendo el concepto de función cuadrática. Trazo la gráfica de una función cuadrática e identifico sus partes fundamentales. Calculo los puntos críticos de una función cuadrática. Identifico la concavidad de una función cuadrática. Practico y desarrollo mis habilidades logísticas. Comparo y determino la igualdad entre figuras de un grupo.

116

IGER − Polochic


5

y

4 3 2 1 0 1

x2

2

3

+ y2

4

x

25

–1 = i

= r2

Repaso: semanas 18 a 24 Esta semana logrará:  Repasar los contenidos de la semana 18 a la 24.  Resolver los ejercicios de repaso para evaluarse en la prueba parcial.  Prepararse bien para la prueba parcial. 


117

Querida y querido estudiante: Se aproxima la prueba parcial y debe prepararse adecuadamente, repasando los contenidos de las semanas 18 a la 24. Para aprovechar este repaso, le damos estas recomendaciones: • Haga un plan de lo que estudiará cada día y trate de cumplirlo. Dedique más tiempo a los temas que le resulten difíciles. • Busque un lugar tranquilo, iluminado y silencioso para estudiar. • Lea los resúmenes de cada semana y escriba las ideas más importantes en su cuaderno. • Escuche la clase radial de sus semanas de estudio. Sus maestros locutores le acompañarán y le ayudarán a resolver algunos ejercicios. • Compruebe que haya realizado bien los autocontroles. Si tiene dudas, vuelva a leer las semanas, ahí encontrará explicaciones y ejemplos.

¿Cómo será la prueba de evaluación? La prueba parcial evalúa los mismos contenidos y de la misma forma en que los ha trabajado semana a semana. En la prueba encontrará: • Una serie de agilidad mental para medir su destreza y rapidez de cálculo en un tiempo límite de tres minutos. • Diferentes ejercicios que evalúan lo aprendido en las siete semanas. Estos ejercicios serán semejantes a los que usted resolvió en las actividades del autocontrol. Se le pedirá:  responder preguntas,  marcar con una equis "X" el cuadro de la opción correcta,  resolver operaciones y  resolver problemas. • Cuando resuelva ejercicios y problemas, debe dejar constancia de su procedimiento. • Muy importante: cada serie contiene instrucciones exactas de lo que debe realizar en cada apartado, así como la valoración asignada. Si usted se prepara con tiempo y dedicación, el resultado será satisfactorio.

Le recordamos prepararse para la prueba parcial y entrenarse para la prueba del Mineduc. Para lograrlo, practique con los ejercicios que se encuentran al final de su libro en el Taller matemático.

118

IGER − Polochic

El mundo de la matemática Ecuaciones cuadráticas 1. En las ecuaciones cuadráticas la incógnita está elevada al cuadrado. Estas ecuaciones pueden tener: dos soluciones, una solución o no tener solución dentro de los números reales.

La expresión general que representa una ecuación cuadrática es: ax 2 + bx + c = 0 1.1 Clasificación de las ecuaciones cuadráticas: a. Ecuaciones cuadráticas completas: una ecuación de segundo grado se considera completa cuando los coeficientes numéricos a, b y el término independiente c son distintos de cero.

Por ejemplo: –12x2 + 9x + 18 = 0

b. Ecuaciones cuadráticas incompletas: en una ecuación cuadrática no puede faltar el término ax2, pero sí puede faltar el término de primer grado bx, el término independiente c o ambos. En cualquiera de los casos se trata de una ecuación cuadrática incompleta.

Por ejemplo: 10x2 – 8x = 0 4x2 – 100 = 0

2. Las ecuaciones cuadráticas completas se pueden resolver por factorización y por fórmula general. a. Solución por factorización: para resolver ecuaciones cuadráticas por factorización debemos asociarlas con el trinomio de la forma x2 + bx + c o ax2 + bx + c y expresarla como un producto de sus factores. b. Solución por fórmula general: la fórmula general o de Vieta nos ayuda a resolver cualquier tipo de ecuación cuadrática, sustituyendo los valores de los coeficientes y del término independiente en la fórmula.

x=

–b ± b2 – 4ac 2a

3. Resolución de ecuaciones cuadráticas incompletas; de acuerdo al término que les falte, pueden ser de la forma: a. ax 2 + bx = 0 se resuelven por factor común. Luego, cada factor se iguala a cero y se despeja la variable. b. ax 2 + c = 0 se resuelven ordenando la ecuación y extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros. Matemática − Semana 25

119

Ejercicio 1 A. Resuelva las ecuaciones cuadráticas siguientes. Hágalo por factorización. 1) x 2 + 3x = 54

2) –18x = –x 2 – 77

B. Resuelva las ecuaciones cuadráticas siguientes. Hágalo empleando la fórmula general. 1) x 2 + 4.5 = 9.5x

2) 3x 2 – 11x = 4

C. Resuelva las ecuaciones cuadráticas siguientes. Emplee el método que desee. 1) 10x 2 = 5x

2) –36 = – 4x 2

D. Analice y resuelva los problemas siguientes. Puede trabajar en su cuaderno. 1) Los gastos de una excursión son Q9,000.00. Si 3 personas desisten de ir, cada una de las restantes tendría que pagar Q100.00 más. ¿Cuántas personas irán a la excursión y cuánto pagará cada una? 2) La longitud de un terreno rectangular es el doble que su ancho. Si la longitud aumenta 28 m y el ancho en 35 m, el área del mismo se duplica. Halle las dimensiones del terreno.

120

IGER − Polochic

Inecuaciones 1. Una desigualdad matemática es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos; para indicar ese orden se emplean los signos de relación mayor que (>), menor que (<), mayor o igual que (≥) y menor o igual que (≤). Una inecuación es una desigualdad matemática que presenta al menos una variable en alguno de sus miembros, por eso también se le conoce como desigualdad algebraica.

x – 4 ≥ 20 1.1 Si la inecuación presenta el signo de relación mayor que o menor que, se denomina inecuación de sentido estricto, porque no incluye a sus extremos.

Si la inecuación presenta el signo de relación mayor o igual que o menor o igual que, se denomina inecuación en sentido amplio o no estricto, porque sí incluye a sus extremos.

Al igual que las ecuaciones, el grado de una inecuación está dado por el exponente mayor de la variable.

1.2 Resolución de una inecuación de primer grado: el procedimiento para resolver una inecuación de primer grado es muy similar al de una ecuación.

Una peculiaridad que debemos tener en cuenta es que cuando un número negativo multiplica o divide un lado de la inecuación y pasa al otro haciendo la operación contraria, el signo de la desigualdad cambia de sentido.

1.3 Resolución de una inecuación de segundo grado: para resolver inecuaciones de segundo grado nos basamos en el procedimiento de la fórmula cuadrática. Luego, determinamos los intervalos de acuerdo a las soluciones y evaluamos cuáles segmentos tienen el mismo signo que el término cuadrático de la inecuación.

Ejercicio 2 A. Escriba, en el espacio dado, el signo mayor que (>) o menor que (<), según corresponda.

1) 6

–7

8) 6

4

15) –9

7

2) 6

8

9) 5

6

16) 4

1

3) 4

1

10) –9

–11

17) 6

8

4) 3

–5

11) 13

8

18) 8

–7

5) 4

9

12) 5

– 4

19) –9

–6

6) –8

4

13) –5

7

20) 5

–10

7) 7

–9

14) 8

–8

21) 1

–6


121

B. Resuelva las inecuaciones siguientes. Escriba su respuesta en el espacio en blanco. Puede utilizar su cuaderno para el procedimiento y para trazar la representación gráfica. 1) 3x + 8 ≤ 9 – x

2) 2(8x – 10) > 12x – 5 – 4(2x)

3) 7x + 2x + 2 ≥ 14x – 28

4) 1 < 3(x + 4) – 3 < 5

5) 4 + 7x ≤ 5x + 6 ≤ 16 – 3x

6)

2 2 x – 2 > 2x – 3 > 6 + x 3 3

C. Resuelva las siguientes inecuaciones cuadráticas. Escriba su respuesta en el espacio en blanco. Puede utilizar su cuaderno para el procedimiento y para trazar la representación gráfica. 1) 4x 2 + 2 < 6x

2) x2 – 5x ≤ – 6

3) 18 ≥ 6x + x(x – 13)

4) x 2 + (7 – x)2 < 25

5)

122

1 5 – <1 x x+2

IGER − Polochic

6)

1 – 3x 20x 4x 2 – > 4 3 x–1

Sistemas de ecuaciones de 2×2 1. Los sistemas de ecuaciones lineales de 2Í2 se componen de dos ecuaciones simultáneas con dos incógnitas, una depende de la otra para hallar la solución. x – 2y = 10 2x + 3y = –8

Estos sistemas se pueden resolver por varios métodos: 1.1 El método de igualación consiste en despejar la misma variable en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes. 1.2 El método de sustitución consiste en despejar una de las variables en una ecuación del sistema y sustituir su valor en la otra ecuación. 1.3 El método de reducción consiste en reducir las dos ecuaciones a una sola, eliminando una variable a través de una suma o resta algebraica.

2. Sistemas de ecuaciones no lineales de 2Í2: como su nombre lo indica, estos sistemas se diferencian porque alguna de sus ecuaciones es de segundo grado o superior. Estas ecuaciones se suelen resolver empleando el método de sustitución. Los sistemas no lineales generalmente tienen más de dos respuestas. 3x 2 + y 2 = 16 2x + y = 6 3. Los sistemas de ecuaciones lineales tienen muchas aplicaciones en varios campos y ciencias. Lo más importante al momento de disponernos a resolver un problema es saber identificar los datos y formular correctamente las ecuaciones.

Ejercicio 3 Resuelva los sistemas de ecuaciones por el método que se indica. Utilice su cuaderno para el procedimiento y escriba su respuesta en el espacio en blanco. A. Igualación 1) 3x + 9y + 3 = 0 –10x = –62 + 6y

2) x = –13 + 11y 8x +

1 y = 73 2

B. Sustitución 1) 14x – 114 = –9y –11y = –18 + 7x

2)

3 1 y=2+ x 2 2 1 x + 50 = – 6y 2


123

C. Reducción 1) –12x – 45 = 9y 4x – 18y + 78 = 0

2) 18y = 45 – 15x –3y + 6 = 3x

D. Resuelva los problemas siguientes. Utilice su cuaderno para el procedimiento. Escriba su respuesta en las líneas correspondientes. 1) En un puesto de mercado se venden dos tipos de manzanas, la nacional y la importada. La libra de la primera tiene un precio de Q5.00, la libra de la segunda cuesta Q6.50. Un día se vendieron 14 libras en total, por Q77.50; al siguiente día se vendieron 13 libras en total, por Q77.00. Halle cuántas libras de cada tipo se vendieron cada día. 2) Una comerciante compró una estufa y una mesa por Q1,450.00. Luego, las logró vender por Q1,568.00. Halle cuánto le costó cada artículo si en la venta de la estufa ganó el 12 % y en la venta de la mesa ganó el 5 %. 3) Un granjero desesa cercar una parcela de una forma muy particular. Él quiere colocar 6 hiladas de alambre de púas y en los lados más largos quiere colocar una malla. El área del terreno es de 990 m2 y su perímetro es de 134 m. a. Halle las medidas del ancho y del largo de la parcela. b. Si el rollo de alambre de púas de 100 metros cuesta Q125.00 y el metro de la malla cuesta Q32.00, calcule cuánto gastará el granjero en total. 4) En un examen de 25 preguntas, la calificación de un estudiante fue de 16 puntos. Si cada respuesta correcta vale 1 punto y cada respuesta incorrecta resta 2 puntos. Halle cuántas respuestas han sido acertadas y cuántas ha fallado.

124

IGER − Polochic

Sistemas de ecuaciones de 3×3 1. Los sistemas de 3Í3 son sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.

En esta semana se estudiaron dos métodos para resolverlos, el método de reducción y el de sustitución. 1.1 El método de reducción es similar al que se utiliza en los sistemas de 2Í2. Consiste en combinar dos de las ecuaciones y eliminar una de las incógnitas a través de una suma o resta algebraica.

Luego, se combina la tercera ecuación con alguna de las otras dos ecuaciones y se suprime la misma incógnita que se eliminó anteriormente.

Se resuelve el sistema de 2Í2 que se obtuvo de las dos ecuaciones resultantes.

Por último, se sustituyen los valores obtenidos para hallar la tercera incógnita.

1.2 El método de sustitución consiste en despejar una variable de alguna de las ecuaciones. Preferiblemente una que tenga coeficiente 1, para evitar denominadores.

Luego, se sustituye la expresión en las otras dos ecuaciones del sistema. Se reducen los términos semejantes y se obtiene así un sistema de 2Í2.

Al igual que el método anterior, los valores obtenidos se sustituyen en una de las ecuaciones originales y se halla la tercera incógnita.

1.3 Los sistemas de ecuaciones lineales de 3Í3 tienen diversas aplicaciones para resolver problemas que se pueden presentar en nuestro diario vivir.

Ejercicio 4 A. Resuelva los ejercicios siguientes. Hágalo por el método de reducción. Puede utilizar su cuaderno para el procedimiento. 1) 12x + 25y – 20z = 171 3x + 5y – 5z = 39 –24x – 50y – 10z = – 42

2) –x + 18y + 24z = –25 11x – 2y + 6z = 5 –22x + 9y – 12z = –10


125

3) 10x + 20y – 12z = –104 2x + 5y + 24z = –41 –5x – 10y – 6z = 58

4) 5x – 3y – 12z = –18 10x + 27y – 6z = 69 5x – 9y + 18z = –26

B. Resuelva los ejercicios siguientes. Hágalo por el método de sustitución. Puede utilizar su cuaderno para el procedimiento. 1) 3x + y + z = 1 x + 2y – z = 1 x + y + 2z = –17

2) 8x + 23y – 2z = 64 –28x + 31y + 13z = –61 24x – 25y – 26z = 204

x y z 3) 3 + 4 + 3 = 21 x y – z 5 + 6 3 =0 y z x 10 + 3 – 6 = 3

x y z 4) 2 + 2 – 3 = 3 x y – z 3 + 6 2 = –5 x – y z =0 + 6 3 6

C. Resuelva los problemas siguientes. Utilice su cuaderno para el procedimiento. 1) Un comprador de una ferretería pagó un total de Q179.10 por 107 tornillos, 24 abrazaderas y 5 rollos de cinta de aislar. Teniendo en cuenta que una abrazadera cuesta 10 veces más que un tornillo y un rollo de cinta cuesta 5 veces lo que una abrazadera. Calcule el precio unitario de cada artículo. 2) En diciembre de 2015, visitaron Guatemala 10 436 turistas provenientes de Norteamérica, Europa y Centroamérica. El gasto promedio de cada turista por región fue de Q10,350.00, Q9,867.00 y Q7,638.00, respectivamente. En concepto de estas visitas, al país ingresó un total de Q94,419,234.00. Si se sabe que el número de turistas norteamericanos es el doble que el de europeos. Halle cuántos turistas de cada región visitaron Guatemala.

126

IGER − Polochic

Sistema de coordenadas rectangulares 1. El sistema de coordenadas rectangulares está formado por dos rectas numéricas perpendiculares en sus orígenes (O) llamadas ejes coordenados, que dividen el plano en cuatro partes llamados cuadrantes.

Para graficar un punto con una pareja ordenada (x, y) comenzamos desde el origen y nos desplazamos |x| unidades a la derecha si x es positiva y a la izquierda si x es negativa. Luego, | y| unidades hacia arriba si y es positiva o hacia abajo si y es negativa. y 8

cuadrante ii

cuadrante i

7 6

A(4, 5)

5 4 3

P(x, y)

2

–5

–4

–3

–2

0

–1

1 –1

1

2

3

4

5

x

–2 –3 –4 –5 –6

cuadrante iii

–7

cuadrante iv

–8

2. Para hallar la distancia entre dos puntos con coordenadas P1(x1, y1) y P2(x2, y2) se emplea la fórmula siguiente: d(P1, P2) = (x2– x1)2 + ( y2– y1)2 3. También podemos hallar el punto medio o el valor del par ordenado que se encuentra a la mitad de un segmento de recta. La fórmula que se utiliza es: M=

(

x1 + x2 y1 + y2 2 , 2

)

4. La pendiente es la inclinación de una recta, respecto de la horizontal. Si la recta pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) se dice que tiene pendiente m y la fórmula para encontrarla es:

(

y2 – y1 m= x –x 2 1

)

En la pendiente pueden presentarse los casos siguientes: • Una recta con pendiente positiva sube al desplazarnos de izquierda a derecha. • Una recta con pendiente negativa baja al desplazarnos de izquierda a derecha. • Una recta horizontal tiene pendiente cero. • Una recta vertical tiene pendiente indefinida.


127

Ejercicio 5 A. Localice los puntos siguientes en el plano proporcionado y trace su recta. Luego, calcule la distancia (d ) que hay entre cada pareja de puntos y el punto medio (M) del segmento de recta. Aproxime sus respuestas a dos decimales. Puede hacer uso del espacio en blanco para el y procedimiento. 8

1) B(–5, 2) y C(4, 7)

7 6 5 4 3 2 1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

d(A, B) =

M=(

,

)

y

x

1

2

3

4

2

4

6

8 10 12

–1 –2

5

6

10

2) J(–2, 4) y K(9, – 4)

8 6 4 2 0

–12 –10 –8 –6 –4 –2

–2

x

–4 –6 –8

d(A, B) =

M=(

,

–10

)

B. Localice los puntos siguientes en el plano proporcionado y trace su recta. Luego, determine la pendiente (m) entre cada pareja de puntos. Aproxime sus respuestas a dos decimales de ser necesario. y

1) C(1, –7) y D(5, –7)

2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

–1

x

–2 –3 –4 –5 –6

m = (

,

–7

)

–8

y

10

2) G(–2, 8) y H(–1, –3)

8 6 4 2 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –2 –4

m = (

128

,

IGER − Polochic

)

–6 –8 –10

x

Funciones matemáticas I 1. Una función es un tipo de relación o correspondencia entre dos conjuntos A y B, en el cual todos los elementos del conjunto inicial tienen una y solo una imagen en el conjunto final.

Al conjunto A se llama dominio, son los datos de "entrada" a la función. El conjunto B se denomina contradominio, rango o imagen, este es el conjunto de "salida".

La expresión y = f (x) se llama regla de correspondencia o ecuación de la función. La regla de correspondencia y = f (x), que se lee "f de x", expresa cómo la función transforma elementos x del dominio en elementos y del contradominio o imagen. 1.1 Las funciones de primer grado son aquellas en las que el exponente de la variable es 1. La gráfica de estas funciones es una línea recta. f (x) = mx + b 1.2 Para trazar la gráfica de funciones de primer grado se elabora una tabla de valores x e y, se ubican los pares ordenados en el plano cartesiano y se unen los puntos con una línea. Al momento de graficar, f (x) pasa a ser y pues representa las coordenadas de ese eje. 1.3 El dominio de una función está formado por aquellos valores de "x" (números reales) para los que se puede calcular la imagen f (x).

La imagen, contradominio o rango de una función es el conjunto formado por los valores que se obtiene al valuar x en f (x). Es decir, los valores que toma "y".

1.4 Las funciones dan pie a muchas aplicaciones en diversas áreas de la vida cotidiana. Como siempre, algo muy importante es lograr identificar correctamente los datos y formular adecuadamente las funciones.

Ejercicio 6 A. Identifique y escriba en la línea correspondiente si se trata de una función lineal o de una función afín. 1) f (x) = 8x

7) f (x) = 7x – 1 3

2) f (x) = x + 3

8) f (x) = 6x

3) f (x) = 9x – 8

9) f (x) = 2 x 5

4) f (x) = 1 x 2

10) f (x) = 0.5x + 6

5) f (x) = 3x + 2

11) f (x) = – 4x + 2

6) f (x) = –0.5x

12) f (x) = 3 x – 8 4


129

B. Trace la gráfica de las funciones siguientes. Le ayudamos con la tabla y con el bosquejo del plano cartesiano. 1) f (x) = 6x – 5 x

y

4

y

3 2 1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1 2

4

5

6

3 4

5

6

3

x

–2 –3 –4 –5 –6

2) f (x) = 1 x 3 x

y

5

y

4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

1

2

x

–2 –3 –4 –5

C. Determine el dominio y el rango de las funciones siguientes. D=

R=

4) f (x) = 9x – 3

2 D= 9–x

R=

5) f (x) =

R=

6) f (x) = 7x

1) f (x) = –8x 2) f (x) =

3) f (x) = –x

D=

3

x

D=

R=

D=

R=

D=

R=

D. Resuelva el problema siguiente empleando funciones.

En verano, la temperatura ambiente en Guatemala está dada por la función siguiente: t = 35 – 0.004 h. En donde h es la altitud sobre el nivel del mar expresada en metros, abreviada como msnm. Con la información anterior, realice lo siguiente: a. Calcule la temperatura en la ciudad capital (1500 msnm). b. Calcule la temperatura de los poblados siguientes: Xela (2380 msnm), Puerto de San José (0 msnm) y Todos Santos Cuchumatán (3100 msnm).

130

IGER − Polochic

Funciones matemáticas II 1. Una función cuadrática es aquella en la que el mayor exponente de la variable es 2. Su forma general es: f (x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c son números reales y a es distinto de cero (a ≠ 0). Mientras tanto b y c pueden ser cualquier número real, incluyendo el cero.

Los términos se denominan: cuadrático (ax2), lineal (bx) e independiente (c). 1.1 La gráfica de una función cuadrática tiene las siguientes partes fundamentales y características: •

Concavidad: se refiere hacia dónde se "abre" la parábola. Una parábola es cóncava hacia arriba cuando sus ramas o brazos se orientan de abajo hacia arriba y es cóncava hacia abajo cuando lo hacen de arriba hacia abajo.

•

Vértice: dependiendo de hacia dónde se abre la parábola, hacia arriba o hacia abajo, el vértice es el punto mínimo o máximo de la función.

•

Puntos de corte en el eje x: estos puntos de corte o raíces son los valores que toma x cuando y = 0; es decir, cuando igualamos la función f (x) = 0. Calculamos estas coordenadas empleando la fórmula cuadrática o la factorización.

•

Puntos de corte en el eje y: para saber si una función corta el eje y y en qué punto, hacemos que x valga cero (x = 0) y operamos. El resultado es el punto donde la gráfica corta el eje y.

•

Eje de simetría: es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, pasa por el vértice y divide la parábola a la mitad.

1.2 Las aplicaciones que tienen las funciones cuadráticas son muchas y muy variadas, con ellas podemos hallar el máximo de ganancias de alguna empresa o el mínimo de material necesario para construir algún objeto.

Ejercicio 7 A. Identifique la concavidad de las funciones siguientes. Escriba hacia arriba o hacia abajo, según corresponda. 1) f (x) = –x2 + 5

5) f (x) = 5x2 + 8x – 4

2) f (x) = x2 + 5x + 6

6) f (x) = –10x2 + 4x – 12

1 3) f (x) = 2 x2 – 3x

7) f (x) = 200x2 + 50x – 150

4) f (x) = –2x2 – 7

1 8) f (x) = –0.5x2 + 3


131

B. Halle el vértice, las intersecciones en el eje x y en el eje y de las funciones siguientes. Luego, trace la gráfica correspondiente. 1) y = x2 + 2x – 3

y

5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1 –2

1

2

3

4

5

6

x

–3 –4 –5

2) y = 6x2 – 1

y

8 7 6 5 4 3 2 1

–3 –2.5 –2 –1.5 –1 –0.5

0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 –1

x

–2

C. Resuelva los problemas siguientes. Hágalo en su cuaderno. 1) Una empresa importa y comercializa bolsas de semillas para siembra. La función que representa la cantidad que se vende en un mes es y = 12 700 – 200x, en donde y es la cantidad y x el precio. Sus costos totales mensuales son Q9,500.00. a. Halle el precio (x) y la cantidad ( y) con los que maximiza sus ganancias. b. Calcule las ganancias a los precios de Q29.00 y Q35.00. Luego, responda: ¿las ganancias son mayores o menores que al precio que halló en el inciso anterior? 2) Un cable de luz se extiende entre dos postes, formando una parábola. Si introducimos ejes 1 coordenados, la forma del cable se puede expresar con la función: f (x) = 50x2 + 5, en donde x solo va de –6 a 6, pues los postes se encuentran separados a una distancia de 12 m en total. a. Halle la altura mínima, respecto al suelo, a la que se encuentra el cable. b. Halle la altura que tienen los postes.

132

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Agilidad de cálculo mental A. Resuelva mentalmente las siguientes ecuaciones lineales. 9) x – 8 = 7

x=

10) x + 7 = 9

x=

11) x – 6 = 5

x=

x=

12) x – 4 = 3

x=

5) x + 8 = 7

x=

13) x – 8 = 1

x=

6) x – 4 = 5

x=

14) x + 8 = 4

x=

7) x + 1 = 9

x=

15) x + 1 = 1

x=

8) x + 10 = 9

x=

16) x + 11 = 2

x=

1) x + 5 = 8

x=

2) x – 4 = 1

x=

3) x + 5 = 7

x=

4) x – 4 = 9

B. Escriba, en la línea correspondiente, el signo mayor que (>) o menor que (<), según corresponda. 9) 4 –5 5 1) 7

2) 6

7

10) –6

1

3) 8

6

11) –1

6

4) – 4

–5

12) 9

4

5) –1

5

13) 1

–9

6) 9

8

14) 8

7

7) 4

–7

15) –4

1

8) –9

8

16) 6

–9

C. Valúe las siguientes expresiones algebraicas con el número dado. Escriba el resultado en la línea correspondiente. 9) 3x2 – 2x + 1; si x = 8 1) 9x2 – 4x + 6; si x = –2 2) 8x2 – x + 6; si x = 3

10) –5x2 + 8x + 7; si x = –11

3) 5x2 + 3x – 8; si x = –8

11) 4x2 – 5x – 6; si x = 9

4) 4x2 – 5x – 5; si x = 9

12) 5x2 – 2x + 1; si x = –8

5) 5x2 + 4x + 5; si x = –10

13) –3x2 + 2x + 1; si x = – 4

6) 4x2 – 5x – 6; si x = 12

14) –5x2 – 6x – 9; si x = 3

7) – 4x2 + 8x – 7; si x = 6

15) 8x2 + 7x – 8; si x = –9

8) – 6x2 + 4x – 5; si x = –2

16) –6x2 – 5x – 2; si x = –8


133

Revise su aprendizaje


Marque con un cheque



Domino los contenidos de la semana 18 a la 24. Resuelvo los ejercicios de repaso para evaluarme en la prueba parcial. Me siento bien preparado para la prueba parcial.

Orientaciones sobre la prueba parcial ¡Llegó el momento de la prueba! Ya está listo para su prueba parcial de Matemática. Le presentamos las últimas recomendaciones que pueden ayudarle a la hora del examen.

Al recibir la prueba, y antes de empezar a resolverla, escriba su nombre, número de carné, número de círculo de estudio y fecha. Lea atentamente las instrucciones antes de contestar. Si tiene duda, consulte a su orientador(a).

Grupo: Polochic Materia: Matemática

Prueba: 1.er parcial A – 2016 Segundo semestre

polochic

Punteo:

Nombre: Carné: Círculo de estudio N.º:

Fecha:

i serie 1 punto cada respuesta correcta. Total 5 puntos. INSTRUCCIONES: Marque con una "X" el cuadro de la respuesta correcta. 1) ¿Cuál es la solución de 3x – 14 < 7x – 2?

x < –3 x < –4 x > –3 x > –4

No se "atasque" en ningún ejercicio. Empiece por las preguntas que sepa mejor y le quedará más tiempo para pensar en las que tenga dudas. Al finalizar su examen, relea todas sus respuestas y vea si algo se le pasó por alto. Presente su prueba limpia y ordenada. ¡ánimo! El resultado de su examen será el producto de su esfuerzo.

134

IGER − Polochic

Taller matemático Prueba A

Taller matemático

135

Taller matemático Repaso para la prueba de graduandos del Mineduc Estimada (o) estudiante del grupo Polochic: Le saludamos con cariño y esperamos que esté estudiando con entusiasmo este segundo semestre de bachillerato. El Ministerio de Educación realiza cada año pruebas de matemática y de comprensión lectora a todos los estudiantes que están cursando el último año del ciclo básico o el último año de diversificado. El propósito de estas pruebas es obtener información que permita mejorar la calidad educativa de nuestro país. Consecuentes con esta mejora educativa, hemos incluido, en este libro, una sección llamada Taller matemático que contiene dos pruebas liberadas que hemos descargado del portal del Mineduc. Le servirán para que se vaya preparando poco a poco. ¿Qué contenidos se repasan en este taller? Cada prueba presenta 20 ítems que abarcan contenidos vistos en las semanas 18 a la 25 y temas operaciones aritméticas, razonamiento lógico, expresiones algebráicas y ecuaciones de primer grado. ¿Cómo se evaluarán estos contenidos? • En la primera prueba parcial se evaluarán los contenidos de la prueba A. • En la prueba final se incluyen los contenidos de la prueba B. Los temas que no aparecen en este libro los encontrará en el material de matemática de los grupos Quiriguá, Utatlán y Zaculeu o también puede investigar en internet.

136

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MATE GRAD-A

Evaluación corta de Matemáticas

EVALUACIÓN CORTA DE MATEMÁTICAS

Graduandos

FORMA MATE GRAD-A INSTRUCCIONES: 1. Use este folleto para practicar. 2. Lea cada pregunta o enunciado así como las cuatro posibles respuestas u opciones que la completan. 3. Seleccione la correcta. Solamente una de las cuatro opciones corresponde a la respuesta correcta.

EJEMPLOS: A. Sume 2.3 + 5.1 + 4.7 =

a) 12.1 b) 11.1 c) 1.21 d) 1.11

B. En la expresión 2x - 4 = 6, ¿cuál es el valor de x? a) b) c) d)

-1 1 2 5

-DIGEDUCA-

Material gratuito para uso didáctico

Taller matemático

2

137

138

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Taller matemático

139

MATE GRAD-A


10.Una persona tiene dos ofertas de trabajo como vendedor de aparatos eléctricos. Un distribuidor le paga Q1, 000.00 mensuales más una comisión del 15% de las ventas que haga. Otro distribuidor le paga Q600.00 mensuales más un 20% de comisión. La ecuación que resuelve el problema de cuál es el total de ventas que debe lograr esta persona para obtener los mismos ingresos en ambos trabajos es: a) 1,000+15x = 600+20

c) 1,000+0.15x = 600+0.2x

b) 15(1000+x) = 20(600+x)

d) 1,000+1.5x = 600+2x

11.¿Cuál de las siguientes igualdades es correcta? a) b)

(− 2)3 (− 2)2 = 2 6 (− 2)3 (− 2)2 = (− 2)5

c) d)

(− 2)3 (− 2)2 (− 2)3 (− 2)2

= 45

= 25

12.¿Cuál de las siguientes operaciones está correcta?

( )

a) 5 2

3

( )

= 55

c) 5 2

b) 5 3 ⋅ 5 4 = 25 7

= 56

d) 5 3 + 5 4 = 5 7

(

13.El valor numérico de 25 + 3 42 − 32 a) − 2,393 b) − 1,193

3

)

2

{

( )} es:

− 5 62 − 5 32 c) − 197 d) 87

14. Carolina y Juan fueron a la tienda y entre los dos se gastaron Q15.00. Carolina gastó Q3.20 más que Juan. ¿Cuánto gastó Juan? a) Q11.80

c) Q7.50

b) Q9.10

d) Q5.90

-DIGEDUCA-

140

IGER − Polochic


4

MATE GRAD-A


15.Para pintar su casa, la familia Morales desea preparar 12 cubetas de pintura especial que lleva verde, blanco y azul, de tal manera que por cada cubeta de pintura especial, se usa un litro de pintura azul y por cada litro de azul, se utilizan 2 de verde y por cada 2 litros de verde, se gastan 3 litros de pintura blanca. Si cada litro de pintura de color cuesta Q15.50 y cada litro de blanca cuesta Q12.00, ¿cuál es el costo total que deben gastar para preparar las 12 cubetas de pintura especial? a) Q186.00 b) Q432.00

c) Q558.00 d) Q990.00

16.Un ingeniero contrata a las empresas M y N para extraer 4500 m3 de tierra de un pozo. La empresa M extrae 50 m3 de tierra por día y la empresa N extrae 25 m3 diarios. Cuando las empresas terminen el trabajo, ¿cuántos m3 de tierra habrá extraído la empresa N? a) 75 m3 b) 1,500 m3

c) 2,250 m3 d) 3,000 m3

17.Una camioneta pesa 1,215 libras. En su recorrido, la camioneta pesa 7,515 libras con todos sus pasajeros a bordo. Si en promedio cada pasajero pesa 150 libras, ¿cuántos pasajeros van en la camioneta? a) 42 b) 50

c) 58 d) 150

18.El resultado de efectuar 5x − x 5x − 3x ( x − 8 ) − 11 + 3 es: 2

a) 3x3 + 3x + 3 3 b) – 2x + 21x2 - 11x + 3

c) 3x3 – 24x2 +11x + 3 d) – 76x3 – 12x4 – 44x2 + 3

19.Deseo encontrar un número que al sumarle su doble, me dé 210. ¿Cuál es la ecuación que resuelve este problema? a) x + 2 = 210 b) x + 2x = 210

-DIGEDUCA-

c) 2x – x = 210 d) x + 2 + x = 210


5

Taller matemático

141


MATE GRAD-A

20. Si M x N = 0 y M = 10, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera con respecto a N? a) N es mayor que cero b) N es un número negativo

c) N es igual a 0 d) N es el recíproco de M

Nota: las respuestas correctas de esta prueba las encontrará en un archivo adjunto con el nombre de “Solución de la evaluación corta de Matemáticas forma GRAD-A” en la página web http://www.mineduc.gob.gt/digeduca/.

-DIGEDUCA-

142

IGER − Polochic


6

Hoja de respuestas A Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES • Rellene con lapicero negro. • Borre bien los errores. Puede utilizar corrector. 1. a.

b.

c.

d.

2. a.

b.

c.

d.

3. a.

b.

c.

d.

4. a.

b.

c.

d.

5. a.

b.

c.

d.

6. a.

b.

c.

d.

7. a.

b.

c.

d.

8. a.

b.

c.

d.

9. a.

b.

c.

d.

10. a.

b.

c.

d.

11. a.

b.

c.

d.

12. a.

b.

c.

d.

13. a.

b.

c.

d.

14. a.

b.

c.

d.

15. a.

b.

c.

d.

16. a.

b.

c.

d.

17. a.

b.

c.

d.

18. a.

b.

c.

d.

19. a.

b.

c.

d.

20. a.

b.

c.

d.

Taller matemático

143

5

y

4 3 2 1 0 1

x2

2

3

+ y2

4

x

26

–1 = i

= r2

Ecuaciones de la recta ¿Qué encontrará esta semana? Repaso de la pendiente Ecuaciones de la recta, rectas paralelas y perpendiculares Resolver operaciones combinadas Completar una matriz

Esta semana logrará:  Interpretar la pendiente como una razón de cambio.  Deducir las ecuaciones de la recta a partir de condiciones dadas.  Determinar si dos rectas son paralelas o perpendiculares.  Resolver operaciones combinadas con agilidad.  Elegir la figura que completa cada matriz. 


145

¡Para comenzar! Repaso de la pendiente 15

%

15

%

15 m 100 m El concepto de pendiente y cómo calcularla es uno de los temas que vimos en la semana 22. Hoy haremos un repaso porque es un concepto muy importante para determinar la ecuación de una recta, tema que trataremos esta semana. La pendiente se utiliza en diferentes casos de la vida diaria que tienen que ver con un plano inclinado. Por ejemplo los techos de las casas deben tener cierta pendiente para que el agua de lluvia pueda desplazarse. También se utiliza en la construcción de gradas para evitar accidentes, etc. Pero un caso más concreto es en la construcción de carreteras, donde la palabra declive es sinónimo de pendiente. Por ejemplo, en la ilustración de arriba se muestra que la carretera tiene una pendiente de 15 %. Esto significa que por cada 100 metros recorridos de forma horizontal la carretera se eleva o baja 15 metros. Entonces al hacer esta relación entre los espacios recorridos se determina la pendiente. También recordemos que cuando aprendimos a trazar rectas en el plano, utilizamos la fórmula de la pendiente para encontrar la inclinación de la recta.

(

y2 – y1 m= x x 2 – 1

)

Los casos de pendientes que podemos encontrar en las rectas son: • Cuando la pendiente es 0, la recta es horizontal. • Cuando la pendiente no está definida, la recta es vertical. • Cuando la pendiente de una recta es positiva, la recta se inclina hacia arriba de izquierda a derecha. • Cuando la pendiente de una recta es negativa, la recta se inclina hacia abajo de izquierda a derecha. ¡A trabajar! Escriba otros casos en los que se aplique la pendiente.

146

IGER − Polochic

El mundo de la matemática 1. Ecuaciones de la recta Los casos que vimos en la sección anterior y muchos otros, se pueden representar mediante ecuaciones de la recta. Pero qué es una recta. Una recta es una línea formada por una serie continua de puntos en una misma dirección que no tiene curvas ni ángulos y cubre la menor distancia posible entre dos puntos. Como veremos, existen diferentes ecuaciones para determinar la ecuación de una recta. Comencemos por las dos más sencillas.

a. Ecuación de una recta horizontal La pendiente de una recta horizontal es cero (0), esto quiere decir que la recta no se inclina hacia arriba ni hacia abajo y su ecuación está dada únicamente por la intersección con el eje y. Este punto de intersección corresponde a la constante b. La ecuación de una recta horizontal es: y

y=b

5 4 3

Ejemplo:

2 1

• Grafiquemos la ecuación de la recta y = 3 • Significa que para cualquier valor de x, y siempre vale 3

0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

5

6

x

–2 –3 –4

b. Ecuación de una recta vertical

–5

Una recta vertical no tiene pendiente definida. Al contrario de la recta horizontal, esta tiene como intercepto un punto con el eje x y corresponde a la constante a. La ecuación de una recta vertical está dada por. y

x=a

5 4

Ejemplo:

3 2

• Grafiquemos la ecuación de la recta x = –4 • Significa que para cualquier valor de y, x siempre vale –4.

1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

1

2

3

4

5

6

x

–2 –3 –4 –5

Ejercicio 1 Grafique en su cuaderno las ecuaciones siguientes. 1) y = 8

2) y = –3

3) x = 6

4) x = –2

5) x = 8


147

c. Ecuación de la forma punto pendiente En algunos casos para trazar una recta se da un punto y la pendiente, de ahí el nombre de esta ecuación como punto pendiente. Las ecuaciones que no corresponden a rectas verticales ni horizontales están relacionadas directamente con la fórmula pendiente, ya que de aquí se obtienen sus ecuaciones. La ecuación de una recta no vertical con pendiente m que contiene el punto (x1, y1) es: y – y1 = m(x – x1) Recuerde que para encontrar otro punto por donde pasa la recta, debe sustituir otro valor para x en la ecuación.

Ejemplo: Encontremos la ecuación de la recta con pendiente 3 y que contiene al punto (2, 4). En este caso m = 3, x1 = 2, y1 = 4 y 5

• Escribimos la ecuación de la recta punto pendiente.

4 3 2

y – y1 = m(x – x1) • Sustituimos los valores y obtenemos la ecuación de esa recta.

1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

5

6

x

–2

y – 4 = 3(x – 2)

–3

• Graficamos la ecuación.

–4 –5

Otro ejemplo: Encontremos la ecuación de la recta con pendiente –4 y que contiene al punto (3, 0). En este caso m = –4, x1 = 3, y1 = 0 y

• Escribimos la ecuación de la recta punto pendiente.

14 12 10

y – y1 = m(x – x1)

8 6

• Sustituimos los valores y obtenemos la ecuación de esa recta. y – 0 = – 4(x – 3) y = – 4(x – 3)

4 2 –10 –8 –4 –6 –4 –2

• Graficamos la ecuación.

Ejercicio 2 Escriba la ecuación punto pendiente de la recta con las condiciones siguientes: 1) m = 2 y pasa por el punto (2, 5) 2) m = –8 y pasa por el punto (–3, 8) 3) m = 1 y pasa por el punto (3, –2) 2

148

IGER − Polochic

0 –2 –4 –6

2

4

6

8 10 12

x

En otro caso de rectas se dan dos puntos, para hallar la ecuación primero debemos encontrar la pendiente. Luego, sustituimos los valores en la ecuación correspondiente. Ejemplo: Encontremos la ecuación y grafiquemos la recta que contiene los puntos (2, 3) y (–4, 5). y

• Calculemos la pendiente. Sustituimos los valores en la fórmula.

(

y2 – y1 m= x –x 2 1

4 3

)

5–3 2 m = –4 – 2 = – 6 m=–

5

2 1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

5

x

6

–2 –3

1 3

–4 –5

• Escribimos la ecuación punto pendiente y sustituimos los valores.

y – y1 = m(x – x1)

1 y – 3 = – (x – 2) 3

Otro ejemplo: Encontremos la ecuación y grafiquemos la recta que pasa por los puntos (–2, –3) y (4, 4). • Calculamos la pendiente. Sustituimos los valores en la fórmula.

(

y2 – y1 m= x –x 2 1

m=

5 4 3

)

4 – (–3) m = 4 – (–2)

y

2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

1

2

3

4

5

6

x

–2 –3

7 6

–4 –5

• Escribimos la ecuación punto pendiente y sustituimos los valores.

y – y1 = m(x – x1) y+3=

7 (x + 2) 6

Ejercicio 3 Encuentre la pendiente y la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0, 1) y (4, 6).

(

)

y2 – y1 m= x –x = 2 1

y – y1 = m(x – x1)

m=

y–

=

(x –

)


149

d. Ecuación de la forma pendiente intercepto Otra ecuación de la recta es cuando se conoce la pendiente m y un punto de intersección en y. La ecuación que describe esta recta es: y = mx + b Ejemplo: Encontremos la ecuación de la recta con pendiente 3 e intercepto –2 en y. • Escribimos la ecuación. • Sustituimos los valores.

y = mx + b y = 3x – 2 y

• Encontramos los interceptos sustituyendo 0 por x e y en la ecuación. y = 3x – 2 y = 3(0) – 2 y = –2 (0, –2)

y = 3x – 2 0 = 3x – 2 2 x= 3 2 ,0 3

5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

( )

1

2

3

4

5

x

6

–2 –3 –4 –5

• Graficamos la recta con los puntos obtenidos. Otro ejemplo: 5 Encontremos la ecuación de la recta con pendiente – e intercepto 4 en y. 4 y = mx + b • Escribimos la ecuación. 5 y=– x+4 • Sustituimos los valores. 4 • Encontramos los interceptos sustituyendo 0 por x e y en la ecuación. 5 y=– x+4 4 5 y = – (0) + 4 4 y=4

(0, 4)

5 y=– x+4 4 5 0=– x+4 4 x = 16 5 16 , 0 5

y

5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

( )

0 –1

1

2

3

4

5

6

x

–2 –3 –4 –5

• Graficamos la recta con los puntos obtenidos.

Ejercicio 4 Dadas las ecuaciones de las rectas, encuentre la pendiente y los interceptos con los ejes coordenados. Realice las operaciones en hojas aparte o en su cuaderno. 1 5) y = 0.5x – 9 3) y = x – 5 1) y = 2x + 3 3 1 6) y = – x – 8 2) y = – 4x + 4 4) y = –8x + 2 4

150

IGER − Polochic

2. Aplicaciones Las ecuaciones de la recta describen fenómenos en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales. La pendiente nos informa de la rapidez de la variación de una magnitud con respecto a otra; el intercepto en y nos informa sobre las condiciones iniciales. Veamos algunos casos. Un comerciante tiene varios artículos en oferta y desea venderlos con una utilidad del 20 % cada uno sobre el precio de costo. Determinemos la ecuación que describe el precio de venta para cualquier producto. También calculemos el precio al que se debe vender un producto que tiene un costo de Q15.00. • Representamos con una variable cada elemento.

c = costo p = precio

• Planteamos la ecuación.

p = c + 0.20c

• Determinamos el precio de venta para un producto que tiene un costo de Q15.00

p = 1.20c p = 1.20(15) p = 18

El precio de un producto que tiene un costo de Q15.00 es de Q18.00 Una empresa dedicada a la mensajería cobra Q10.00 por transportar un paquete de 1 libra, por 55 km de recorrido y Q15.00 por llevar el mismo paquete, por un recorrido de 80 km. Con las condiciones dadas encuentre: a. La ecuación que representa el costo del transporte. b. El costo de transportar 500 km un paquete con un peso de 1 libra. • Representamos con una variable cada situación.

x = kilómetros y = costo

• Escribimos los puntos indicados en el problema.

P1(55, 10)

• Encontramos la pendiente.

• Planteamos la ecuación pendiente intercepto y sustituimos los valores.

• Sustituimos x = 500 para encontrar el precio.

(

P2(80, 15)

)

y2 – y1 m= x –x 2 1 5 1 15 – 10 m= = = 80 – 55 25 5 y = m(x – x1) + y1 1 y = (x – 55) + 10 5 1 y= x–1 5 1 y = (500) – 1 5 y = 99

Transportar 500 km un paquete de una libra cuesta Q99.00 Matemática − Semana 26

151

3. Rectas paralelas y perpendiculares Podemos hacer dos relaciones importantes entre rectas y sus pendientes para resolver diversas clases de problemas. Estas corresponden a las rectas paralelas y perpendiculares. Veamos las condiciones de cada una de ellas.

a. Rectas paralelas Dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 son paralelas si y solo si: m1 = m2 Ejemplo: Determinemos si las rectas 2x + y = 3 y 4x + 2y = 8 son paralelas. y

• Escribimos las ecuaciones de la forma pendiente intercepto. 2x + y = 3 y = –2x + 3

4x + 2y = 8 2y = – 4x + 8 – 4x + 8 y= 2 y = –2x + 4

5 4 3 2 1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1 2

3

4

5

6

x

–2

–3

• Comprobamos que la pendiente de cada recta es –2, entonces las rectas son paralelas. Veamos la gráfica:

–4 –5

Otro ejemplo: Verifiquemos que las gráficas de –x + 3y = 4 y –5x + 15y = 10 son rectas paralelas. • Escribimos las ecuaciones de la forma pendiente intercepto.

–x + 3y = 4 3y = x + 4 x+4 y= 3 4 1 y= x+ 3 3

y

5

–5x + 15y = 10 15y = 5x + 10 5x + 10 y= 15 2 1 y= x+ 3 3

• Comprobamos que la pendiente de 1 cada recta es , entonces las rectas 3 son paralelas. Veamos la gráfica:

4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

1 2

3

4

5

6

x

–2 –3 –4 –5

Ejercicio 5 Escriba cada ecuación de la forma pendiente intercepto y determine si las ecuaciones dadas son paralelas. 2 1) 3x + 15y = 5 y x + 5y = 5 2) 3x + 2y = 6 y x + y = 9 3

152

IGER − Polochic

b. Rectas perpendiculares Dos rectas con pendientes m1 y m2 son perpendiculares si y solo si: m1 • m2 = – 1 o m1 = –

1 1 y m2 = – m1 m2

Ejemplo: Verifiquemos que 8x – 12y = 3 y 3x + 2y = 2 son rectas perpendiculares. • Escribimos las ecuaciones de la forma pendiente intercepto.

8x – 12y = 3 –12y = –8x + 3 – 8x + 3 y= –12 1 2 y= x– 4 3

3x + 2y = 2 2y = – 3x + 2 – 3x + 2 y= 2 3 y=– x+1 2

y

5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

1 2

3

4

5

6

x

–2 –3

• Multiplicamos las pendientes para comprobar si se cumple la condición de perpendicularidad.

–4 –5

( )( )

2 3 – = –1 Las rectas son perpendiculares. 3 2

Otro ejemplo: Hallemos la ecuación de la recta que pasa por (0, 3) que es perpendicular a la y recta 4x – 3y = –6 5 • Escribimos la ecuación de la forma pendiente intercepto. 4x – 3y = –6 –3y = –4x – 6 – 4x – 6 y = –3 4 y= x+2 3

• La recta tiene pendiente 4 y la pen3 diente de una recta perpendicular es el 3 recíproco negativo – . Por lo tanto la 4 ecuación de la otra recta es:

4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

1 2

3

4

5

6

x

–2 –3 –4 –5

y = mx + b 3 y =– x+3 4

Ejercicio 6 Escriba cada ecuación de la forma pendiente intercepto y determine si cada pareja de ecuaciones forma rectas perpendiculares. 3 1 –3x + 2y = 6 y x + y = 9 1) 3x + 6y = 5 y x – y = 15 2) 2 2 Matemática − Semana 26

153

Resumen 1. Una recta es una línea formada por una serie continua de puntos en una misma dirección que no tiene curvas ni ángulos y cubre la menor distancia posible entre dos puntos. Existen diferentes ecuaciones para determinar la ecuación de una recta. a. Ecuación de una recta horizontal, la pendiente de una recta horizontal es cero (0), la ecuación está dada únicamente por la intersección con el eje y. y=b b. Ecuación de una recta vertical, la recta vertical no tiene pendiente definida. Esta tiene como intercepto un punto con el eje x y corresponde a la constante a. x=a c. Ecuación de la forma punto pendiente, esta ecuación se genera de la fórmula de la pendiente y se utiliza cuando conocemos un punto y la pendiente. y – y1 = m(x– x1) d. Ecuación de la forma pendiente intercepto, se utiliza cuando se conoce la pendiente y el intercepto en y, que en la fórmula está representado por la constate b. Su ecuación es: y = mx + b 2. En las aplicaciones de la de la recta intervienen magnitudes directamente proporcionales. La pendiente nos informa de la rapidez de la variación de una magnitud con respecto a otra; el intercepto en y nos informa sobre las condiciones iniciales. 3. Hay dos relaciones importantes entre rectas: a. Si son rectas paralelas, sus pendientes son

m1 = m2

b. Si son rectas perpendiculares, su pendiente es

m1 • m2 = – 1 o m1 = –

1 1 y m2 = – m1 m2

Investigue en la red... Para reforzar su conocimiento sobre rectas, le invitamos a visitar la siguiente página de internet. http://goo.gl/ByjhhJhtml

154

IGER − Polochic



Marque una "X" en el cuadro de la opción que responde correctamente cada pregunta. 1) ¿Qué fórmula da origen a las diferentes ecuaciones de la recta?

De Vieta De la distancia De la pendiente Del punto medio

2) ¿Cuál de las opciones corresponde a una ecuación de la forma punto pendiente?

x = 4 y = –3 y = 5x + 8 y + 3 = 6(x –3)

3) ¿Qué ecuación corresponde a una recta vertical?

x=a y=b y = mx + b y – y1 = m(x – x1)

4) ¿Cuál es el valor de la pendiente en una recta horizontal?

0 1 1 2 –1

5) En la ecuación y = –2x + 3, ¿cuál es el valor de la coordenada que intercepta el eje y?

(0, 0) (0, 3) (2, 3) (3, –2)

6) En la ecuación de la recta y + 2 = 4x + 6, ¿cuál es el valor de la pendiente?

1 2 4 6

7) Si la ecuación de una recta es y – 4 = –2(x + 8), ¿por qué punto en el eje de coordenadas pasa la recta?

(2, 4) (4, –2) (–4, 8) (–8, 4)

8) ¿Qué pendiente tiene una recta que pasa por los puntos (0, 0) y (2, 6)?

2 3 6 8 Matemática − Semana 26

155

Actividad 2.


A. Escriba en la línea la ecuación punto pendiente de la recta que cumpla con las condiciones dadas. Tiene un ejemplo. y – 4 = 3(x + 3)

0) m = 3, P(–3, 4)

4) m = 5, P(9, 4)

1) m = – 4, P(5, 2)

5) m = –3, P(– 4, –2)

2) m = 8, P(–1, –2)

6) m = 6, P(2, 1)

1 , P(–3, 4) 3

3) m = –

7) m =

2 , P(3, 6) 5

B. Preste atención a la ecuación de cada recta y grafíquela en el plano. 1) y = 4

2) x = –2

y

–6 –5 –4 –3 –2 –1

3) x = 9 y

5

4

3

3

2

2

1

1

0 –1

1 2

3

4

5

6

x

156

0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

–5

–5

4) y = –5 5

y

2

3

1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

1 –1

2

3

4

5 6

7

8

9 10

x

0 –1 –2 –3

–2 –3

–4

–4

–6

–5

–7

IGER − Polochic

1 2

3

4

5

6

1 2

3

4

5

6

x

3

4

1 0

5

4

2

–2 –1

y

–5

x

C. Trace en el plano la recta que pasa por los puntos indicados. Luego, encuentre la ecuación punto pendiente y escríbala en la línea. Tiene un ejemplo. Realice las operaciones en hojas aparte o en su cuaderno. 0) (–2, –3) y (4, 2)

1) (–5, 4) y (6, 0)

y

y

5

5

4

4

3

3

2

2

1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1 2

3

4

5

6

x

1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–2

5

6

1 2

3

4

5

6

1 2

3

4

5

6

x

–4

–5

–5

5 y – 2 = (x – 4) 6

Ecuación

2) (–3, 1) y (5, 5)

3) (–1, –4) y (5, 0) y

y

5

5

4

4

3

3

2

2

1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1 1 2

3

4

5

6

x

0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

–5

–5

Ecuación 4) (0, 0) y (4, –3)

x

Ecuación 5) (–6, 4) y (3, –3) y

Ecuación

4

–3

–4

–6 –5 –4 –3 –2 –1

3

–2

–3

Ecuación

1 2

y

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0 –1

1 2

3

4

5

6

x

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

–5

–5

x

Ecuación


157

Agilidad de cálculo mental Resuelva los ejercicios respetando la jerarquía de las operaciones. Tiene un ejemplo para cada caso. A.

B.

C.

0) 3 Í 16 ÷ 4 =

12

9) 15 ÷ 5 Í 4 =

1) 2 Í 18 ÷ 9 =

10) 20 ÷ 2 Í 5 =

2) 3 Í 12 ÷ 3 =

11) 35 ÷ 7 Í 3 =

3) 5 Í 10 ÷ 2 =

12) 15 ÷ 5 Í 4 =

4) 6 Í 12 ÷ 4 =

13) 25 ÷ 5 Í 8 =

5) 4 Í 25 ÷ 5 =

14) 36 ÷ 9 Í 4 =

6) 3 Í 15 ÷ 5 =

15) 50 ÷ 2 Í 6 =

7) 2 Í 16 ÷ 4 =

16) 60 ÷ 4 Í 7 =

8) 7 Í 10 ÷ 5 =

17) 36 ÷ 9 Í 8 = 24

0) 4 + 5 Í 4

=

1) 6 + 7 Í 3

=

10) 12 Í 2 + 5 =

2) 4 + 6 Í 9

=

11) 10 Í 7 + 6 =

3) 5 + 8 Í 6

=

12) 17 Í 2 + 3 =

4) 9 + 5 Í 7

=

13) 15 Í 3 + 5 =

5) 9 + 9 Í 9

=

14) 50 Í 4 + 7 =

6) 8 + 6 Í 4

=

15) 25 Í 6 + 8 =

7) 3 + 2 Í 6

=

16) 20 Í 8 + 10 =

8) 9 + 8 Í 3

=

17) 40 Í 3 + 60 =

0) 5 + 18 ÷ 3

=

1) 9 + 12 ÷ 4

=

10) 12 – 16 ÷ 2 =

2) 8 + 15 ÷ 3

=

11) 60 – 20 ÷ 4 =

3) 6 + 30 ÷ 2

=

12) 50 – 64 ÷ 8 =

4) 3 + 16 ÷ 8

=

13) 45 – 24 ÷ 3 =

5) 9 + 24 ÷ 3

=

14) 20 – 15 ÷ 5 =

6) 8 + 45 ÷ 5

=

15) 90 – 40 ÷ 4 =

7) 7 + 40 ÷ 8

=

16) 18 – 25 ÷ 5 =

8) 5 + 36 ÷ 6

=

17) 85 – 14 ÷ 2 =

158

IGER − Polochic

11

9) 7 Í 6 + 5

=

9) 60 – 90 ÷ 3 =

Razonamiento lógico Con las condiciones dadas para cada problema, encuentre una ecuación y grafíquela en un plano coordenado. Realice las operaciones en hojas aparte o en su cuaderno. 1) El dueño de un taller compró una máquina de soldar por Q15,000.00 Después de diez años la máquina se ha deteriorado y carece de valor. Escriba una ecuación lineal e indique su valor durante los primeros 4 años de uso. 2) Ana trabaja en una empresa que se dedica a la venta de ladrillos. Ella tiene un salario base de Q2,500.00, pero además recibe una comisión del 5 % sobre cualquier venta que haga. a. Escriba una ecuación que relacione el salario s cuando tiene ventas que le generan x ingreso. b. ¿Cuál es el salario de Ana si esta semana vendió Q15,000? c. ¿Cuánto debe vender para tener un ingreso de Q4,800.00? 3) Una carretera fue construida de acuerdo con la ecuación 2y + 4x = 24. Ahora se desea construir otra carretera paralela con las mismas características. ¿Cuál sería la ecuación para la nueva carretera? 4) En una librería se sacan fotocopias y cobran 25 centavos por 1 fotocopia. Pero si se sacan 100 fotocopias cobran 20 quetzales. Supongamos que la relación entre el número de copias x y el precio y es lineal, encuentre la ecuación que relaciona ambas variables y úsela para calcular el costo de 250 copias. 5) La administradora de un hotel dispone de 100 habitaciones dobles. Si el alquiler es de Q90.00, todas las habitaciones se ocupan; pero cuando el alquiler es de Q125.00, el promedio de habitaciones ocupadas es de 90. Si la relación entre el alquiler x y la demanda y es lineal, escriba la ecuación para encontrar la demanda y en función de la renta x, y úsela para predecir el número de habitaciones ocupadas si el alquiler es de Q100.00. 6) La compañía de teléfonos A ofrece una cuota fija de Q25.00 al mes más Q1.50 por cada minuto adicional a otras compañías de teléfono. La compañía B ofrece pagar solo Q2.25 por cada minuto a cualquier compañía. a. Escriba una ecuación que determine el costo para cada compañía. b. Grafique ambas funciones en un plano y determine con cuántos minutos el costo es igual para ambas compañías. c. Si una persona habla 50 minutos al mes, ¿qué compañía le conviene utilizar? Matemática − Semana 26

159

Desarrolle nuevas habilidades Complete la matriz Este ejercicio aumentará su capacidad de observación y cálculo espacial. Examine las figuras que se encuentran en la matriz. Luego, observe las opciones que se encuentran a la derecha, seleccione el diseño que completa la matriz y dibújelo en el espacio correspondiente.

1)

2) A

C

E

J

L

N

R

T

p o s ñ

3)

4) 6

• 2

4

•




160


Interpreto la pendiente como una razón de cambio. Deduzco las ecuaciones de la recta a partir de condiciones dadas. Determino si dos rectas son paralelas o perpendiculares. Resuelvo operaciones combinadas con agilidad. Elijo la figura que completa cada matriz

IGER − Polochic


5

y

4 3 2 1 0 1

x2

2

3

+ y2

4

x

27

–1 = i

= r2

La circunferencia y la parábola ¿Qué encontrará esta semana? Cholqíj, el calendario sagrado de los mayas La circunferencia y la parábola Ejercicios de radicación y potenciación Ejercicio de razonamiento visual

Esta semana logrará:  Conocer el calendario sagrado de los mayas.  Identificar las ecuaciones de la circunferencia y de la parábola.  Graficar circunferencias y parábolas de acuerdo con las condiciones dadas.  Resolver con agilidad operaciones de radicación y potenciación.  Identificar el número de triángulos que hay en una figura. 


161

¡Para comenzar! Cholqíj, el calendario sagrado de los mayas

El pueblo maya de Mesoamérica sintió la necesidad de medir el tiempo porque lo consideraba una expresión de la divinidad. A través de la observación de los astros y la matemática, el pueblo maya logró establecer un sistema calendárico muy exacto, compuesto por un conjunto de calendarios que organizaban la vida comunitaria, el destino individual y la relación con el Creador y Formador. De todos los calendarios que crearon, el sagrado o más importante es el cholqíj que quiere decir "orden de los días". Este calendario consta de 260 días, dividido en 13 periodos de 20 días cada uno, y cada día representado con una figura llamada glifo. Hoy día, consideramos que los mayas crearon su calendario más importante a partir de dos ruedas, porque después de acoplarse cada día con su periodo, es decir transcurridos 260 días, el ciclo se repite indefinidamente. Observe en la imagen de arriba que la rueda de adentro contiene los números del 1 al 13 que corresponden a los periodos y la rueda de afuera marca la sucesión de los días.

¡A trabajar! Investigue el nombre de otros calendarios creados por los mayas y compare su respuesta con la de sus compañeros.

162

IGER − Polochic

El mundo de la matemática 1. La circunferencia El calendario, que vimos en la sección anterior, está formado por dos ruedas. Se cree que los mayas ya conocían la importancia de la circunferencia, aunque no explotaron su utilización. Hoy en día la circunferencia y el círculo se utilizan en la polea, los engranajes, los vehículos de transporte y muchos otros mecanismos que se derivan de esta. Es por ello que la circunferencia y otras figuras tienen un trato especial en matemática; la rama que se encarga de su estudio se llama geometría analítica y relaciona el álgebra y las figuras que se pueden trazar en un sistema de coordenadas. La circunferencia es el conjunto de puntos en el plano que se encuentran equidistantes de un punto fijo llamado centro, y la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio. y En la imagen de la derecha, describimos las partes que forman la circunferencia, donde el centro se representa con las letras C(h, k), las letras h y k representan las coordenadas de ese punto y el radio es la distancia que va del centro a un punto P(x, y) cualquiera de la periferia.

P(x, y) r C(h, k) x

Para obtener la ecuación de la circunferencia calculamos la distancia de C a P que está dada por: (x – h)2 + ( y – k)2 = r Como (x – h)2 + ( y – k)2 nunca será negativo, se obtiene una ecuación equivalente cuando se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuación. De aquí se obtiene la ecuación estándar de la circunferencia, que está dada por: (x – h)2 + ( y – k)2 = r 2 Básicamente podemos utilizar esta ecuación para resolver dos clases de problemas relacionados con la circunferencia: • Dadas las coordenadas del centro y del radio, hallar la ecuación. • Dada la ecuación de la circunferencia, hallar el centro y el radio. Practiquemos en la página siguiente cómo obtener la ecuación de la circunferencia cuando se da un punto y el radio, así como su gráfica en el plano. Matemática − Semana 27

163

Ejemplo: Determinemos la ecuación y grafiquemos la circunferencia que tiene centro en (3, 2) y radio 5.

Tome en cuenta que al ingresar los valores de h y k en la ecuación, estos cambian de signo.

• Escribimos la ecuación estándar de la circunferencia.

(x – h)2 + ( y – k)2 = r 2

• Sustituimos los valores de h, k y r.

(x – 3)2 + ( y – 2)2 = 52

• La ecuación de esa circunferencia es:

(x – 3)2 + ( y – 2)2 = 25 y

• Ubicamos las coordenadas del centro. Luego, trazamos un radio de 5 unidades; de preferencia en sentido vertical u horizontal y dibujamos la circunferencia.

7 6 5 4 3

r

2 1 –2 –1

0 –1 –2 –3

1

2

3

4

5

6

7 8

x

Otro ejemplo: Escribamos la ecuación y grafiquemos la circunferencia con centro en (–2, 4) que pasa por el punto (2, 4). En este caso tenemos dos puntos, necesitamos encontrar el radio. Para encontrarlo utilizamos la fórmula de la distancia entre estos dos puntos. • Escribimos la fórmula de la distancia.

r = (x – h)2 + ( y – k)2

• Sustituimos los valores.

r = (2 + 2)2 + (4 – 4)2

• Realizamos las operaciones y obtenemos el valor de r.

r = ± 16 = 4


(x + 2)2 + ( y – 4)2 = 42

• La ecuación de esta circunferencia es:

(x + 2)2 + ( y – 4)2 = 16 y

• Ubicamos las coordenadas del centro. Luego, trazamos el radio que va del centro al punto dado y dibujamos la circunferencia.

8 7 6 5

r

4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

164

IGER − Polochic

0 –1 –2

1

2

3

4

x

Un ejemplo más: Encontremos la ecuación y grafiquemos la circunferencia que tiene centro en (–2, – 4) y radio 3. • Escribimos la ecuación de la circunferencia.

(x – h)2 + ( y – k)2 = r 2


(x + 2)2 + ( y + 4)2 = 32

• La ecuación de esa circunferencia es:

(x + 2)2 + ( y + 4)2 = 9

• Ubicamos las coordenadas del centro, trazamos un radio de 3 unidades y dibujamos la circunferencia.

y

1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

x

–2

r

–3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

Ejercicio 1 Encuentre la ecuación estándar de la circunferencia, dados el centro y el radio. Luego, en el plano grafíquela. y

1) Centro en C(2, 4) y radio r = 4

9 8 7 6 5 4 3 2 1

–5 –4 –3 –2 –1

0

2) Centro en C(0, 0) y radio r = 5

1 –1

y

2

3

4

6

7

8

1

2

3

4

5

6

x

5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

x

–2 –3 –4 –5


165

2. La parábola En la semana veinticuatro aprendimos que la gráfica de una función de la forma f (x) = ax2 + bx + c describe una curva llamada parábola. Ahí determinamos que el punto máximo y mínimo corresponde al vértice de la parábola. Ahora estudiaremos sus diferentes ecuaciones y su representación gráfica. Antes de comenzar con este tema hagamos memoria de los elementos principales. y 6 5 4


Eje de simetría

3 2


1 –4 –3 –2 –1 0

1 –1 –2

2

3 4

5

6

7

8

x

Vértice

–3

Recordemos que la parábola básica es generada por la ecuación y = x2 y que: y

• Para obtener el vértice de la parábola sustituimos 0 por x en la ecuación y obtenemos el punto (0, 0) que corresponde al vértice.

9 8 7 6 5 4

• Sustituimos otros valores diferentes de 0 en la ecuación para obtener otras parejas de coordenadas y trazamos la curva.

3 2 1 –4 –3 –2 –1

0 –1

a. Ecuación de la forma y = ax2

1

2

3

4

x

Veamos la ecuación de la forma y = ax2 donde a es una constante diferente de cero. Esta gráfica tiene la particularidad de que si la constante |a| > 1, la parábola se angosta y si |a| < 1, la parábola se ensancha. En la gráfica de abajo hacemos una comparación entre la parábola básica y = x2 y y una de la forma y = ax2 9 Tracemos la gráfica de y = 3x2

8

• Sustituimos 0 por x en la ecuación y obtenemos el punto (0, 0) que corresponde al vértice.

6


166

IGER − Polochic

7 5

y = x2

4 3

y = 3x2

2 1 –4 –3 –2 –1

0 –1

1

2

3

4

x

Tracemos la gráfica de y = 12 x2

y

9

• Sustituimos 0 por x en la ecuación y obtenemos (0, 0) que corresponde al vértice.

8 7 6


5 4 3 2 1 0

–4 –3 –2 –1

Tracemos la gráfica de y = –2x2

–1

y


2

3

4

1

2

3

4

x

2 0

–4 –3 –2 –1

1

–2

x

–4


–6 –8 –10 –12 –14 –16 –18

En general, la gráfica de una ecuación cuadrática de la forma y = ax2 tiene su vértice en el origen (0, 0) y abre hacia arriba si a es positiva y abre hacia abajo si a es negativa. La parábola es más angosta que la parábola básica si |a| > 1 y más ancha si |a| < 1.

Ejercicio 2 Con las ecuaciones siguientes grafique las parábolas en los planos. 1) y = 13x2

2) y = –3x2 y

18 16

–4 –3 –2 –1

14

2 0 –2

1

8

–8

6

–10

4

x

–12

4

–14

2 –2

3

–6

10

0

2

–4

12

–12 –10 –8 –6 –4 –2

y

2

4

6

8 10 12

x

–16 –18


167

b. Ecuación de la forma y = x2 + k La diferencia entre la ecuación anterior y esta, es que la ecuación está acompañada por la constate k que puede representar cualquier valor. Practiquemos con un ejemplo. y 18

Grafiquemos la ecuación y = x2 + 2

16


14


8

12 10 6 4 2 0

–4 –3 –2 –1

y

Grafiquemos la ecuación y = x2 – 3

–1

1

2

3

4

2

3

4

5

x

6 5

• Sustituimos 0 por x en la ecuación y obtenemos (0, –3) que corresponde al vértice.

4 3 2 1


–3 –2 –1

0 –1

1

6

x

–2 –3

La gráfica de una ecuación cuadrática de la forma y = x2 + k es la misma que la de y = x2, pero trasladada |k| unidades hacia arriba o hacia abajo, dependiendo si k es positiva o negativa.

Ejercicio 3 Con las ecuaciones siguientes, grafique las parábolas en los ejes de coordenadas. 1) y = x2 – 4

2) y = –3x2 + 5

y

5

y

8 6

4

4

3

2

2 1 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1 –2 –3 –4

168

IGER − Polochic

1

2

3

4

5

x

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –2

1

–4 –6 –8 –10 –12

2

3

4

5

6

x

c. Ecuación de la forma y = (x – h)2 Continuemos nuestro estudio con la gráfica de ecuaciones cuadráticas. Ahora veamos la forma y = (x – h)2, donde h es una constante diferente de cero y reemplaza el valor de x en la ecuación, al igual que en la ecuación de la circunferencia. y Grafiquemos la ecuación y = (x + 3)2 16

• Observemos que h = –3, por lo tanto la gráfica está trasladada 3 unidades hacia la izquierda. Su vértice es (–3, 0).

14

• Sustituimos otros valores diferentes de –3 en la ecuación para obtener otras parejas de coordenadas y trazamos la gráfica.

6

12 10 8 4 2 0

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

Grafiquemos la ecuación y = (x – 2)

y

2

–1

1

x

2

9

• Notemos que h = 2, por lo tanto la gráfica está trasladada 2 unidades hacia la derecha. Su vértice está en (2, 0).

8 7 6 5 4

• Sustituimos otros valores diferentes a 2 en la ecuación para obtener otras parejas de coordenadas y trazamos la gráfica.

3 2 1 –2 –1

0 –1

1

2

3

4

5

x

6

La gráfica de una ecuación cuadrática de la forma y = (x – h)2 es la misma que la de y = x2, pero trasladada |h| unidades hacia la derecha si h es positiva o trasladada |h| unidades a la izquierda si h es negativa.

Ejercicio 4 Con las ecuaciones siguientes, grafique las parábolas en los ejes de coordenadas. 1) y = (x + 4)2

2) y = (x – 3)2 y

y

12

12

10 8

10 8

6

6

4

4

2 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1 –1

2

3

2

x –3 –2 –1

0 1 –1

2

3

4

5 6

7

8

9


x

169

d. Ecuación de la forma y = a(x – h)2 + k Como hemos visto en los casos anteriores, las ecuaciones de la forma y = x2 + k y y = ax2 son simétricas respecto al eje y, por lo tanto, en una ecuación de la forma y = a(x – h)2 + k se combinan los procedimientos que hemos aprendido para crear su gráfica.

y

Grafiquemos la ecuación y = 2(x – 1)2 – 3 • El coeficiente 2 indica que la parábola abre hacia arriba y la hace más angosta. h = 1 traslada la parábola 1 unidad a la derecha y k = –3 traslada la parábola 3 unidades hacia abajo. Por lo tanto, su vértice es está en (1, –3). • Sustituimos otros valores diferentes de x = 1 en la ecuación para obtener otras parejas de coordenadas y trazamos la curva.

7 6 5 4 3 2 1

–3 –2 –1

0 –1

1

2

3

x

–2 –3 Grafiquemos la ecuación y = – 1 (x + 4)2 + 2 2 1 • El coeficiente – abre la parábola hacia 2 abajo y la ensancha. h = – 4 traslada la parábola cuatro unidades a la izquierda. k = 2 traslada la parábola dos unidades hacia arriba. Su vértice es (– 4, 2).

y

3 2 1

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

• Sustituimos otros valores diferentes de x = – 4 en la ecuación para obtener otras parejas de coordenadas y trazamos la curva.

0

1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

En general, podemos decir que: • y = x2 genera la parábola básica con centro en el origen. • y = ax2 indica hacia dónde abre la parábola y afecta su ancho. • y = x2 + k traslada la parábola hacia arriba o hacia abajo. • y = (x – h)2 traslada la parábola hacia la izquierda o hacia la derecha.

170

IGER − Polochic

x

Resumen 1. La circunferencia es el conjunto de puntos en el plano que se encuentran equidistantes de un punto fijo, llamado centro, y la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio. y En la circunferencia el centro se representa con C(h, k), donde P(x, y) las letras h y k representan las coordenadas de ese punto. El radio es la distancia que va del centro a un punto P(x, y) r cualquiera de la periferia. C(h, k) La ecuación estándar de la circunferencia está dada por: x (x – h)2 + ( y – k)2 = r 2 2. La parábola es la gráfica que describe la ecuación de la forma y = ax2 + bx + c

Las diferentes ecuaciones para esta gráfica son: • y = x2 genera la parábola básica con centro en el origen. • y = ax2 indica hacia dónde abre la parábola y afecta su ancho. • y = x2 + k traslada la parábola hacia arriba o hacia abajo. • y = (x – h)2 traslada la parábola hacia la izquierda o hacia la derecha.

Sus elementos principales son:

y 6 5 4


Eje de simetría

3 2


1 –4 –3 –2 –1 0

1 –1 –2

2

3 4

5

6

7

8

x

vértice

–3

Investigue en la red... Amplíe sus conocimientos sobre la circunferencia y otros elementos que la acompañan. Estudie el contenido que aparece en la página http://goo.gl/LXTE4p Luego de haber estudiado la información de la página anterior, está listo para responder el cuestionario que se encuentra en http://goo.gl/k36VVu


171



A. Dada la ecuación de la circunferencia, determine el centro y el radio. Tiene un ejemplo. 0) (x – 3)2 + ( y – 4)2 = 5

C=

(3, 4)

3) (x – 5)2 + ( y – 5)2 = 25 5

r=

1) (x + 5)2 + ( y – 2)2 = 16

C=

r=

C=

r=

4) (x + 8)2 + ( y – 7)2 = 4

2) (x + 6)2 + ( y + 9)2 = 64

C=

C=

r=

5) (x – 9)2 + ( y – 12)2 = 12

r=

C=

r=

B. Escriba en la línea, la ecuación de la circunferencia, con las condiciones dadas. Tiene un ejemplo. 0) C(– 4, 9) r = 3

3) C(–3, –2) r = 6

(x + 4)2 + ( y – 9)2 = 9

1) C(2, 5)

4) C(8, 5)

r=4

r=1

2) C(–3, 4) r = 8

5) C(3, –5) r = 6

Actividad 2.


A. Con el centro y radio dados, determine la ecuación de la circunferencia y grafíquela en el plano. 1) C(0, 0)

2) C(–2, 3) r = 5

r=4 y

y

5

8

4 3

7 6

2

5 4

1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

1

2

3

4

5

6

3

x

2 1

–2 –3 –4 –5

172

IGER − Polochic

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1 –2

1

2

3

4

x

3) C(0, –2) r = 4

4) (x + 5)2 + ( y – 2)2 = 16

y

y

3

9

2

8

1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

5

7

x

6

6

–2

5 4

–3

3

–4

2

–5

1

–6

–11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–7

0 –1

x

1

B. Con las ecuaciones dadas, grafique las parábolas en el plano. 1) y = 5x2

2) y = x2 + 4

y

y

45

16

40

14

35

12

30

10

25

8

20

6

15

4

10

2

5 –5 –4 –3 –2 –1

0 –5

1

2

3

4

5

x

3) y = (x – 3)2

–5 –4 –3 –2 –1

–2

1

2

3

4

5

7

8

x

4) y = –2(x – 3)2 + 4 y

y

9

6

8

5

7

4

6

3

5

2

4

1

3 2

–1

1 –3 –2 –1

0

0 –1

1

2

3

4

5

6

x

0 –1

1

2

3

4

5

6

x

–2

–3 Matemática − Semana 27

173

Agilidad de cálculo mental A. Obtenga la raíz indicada en cada ejercicio. Escriba la respuesta sobre la línea. Fíjese en el ejemplo. 3

=

10)

3

64x12

=

11)

3

27x15

=

=

12)

3

125x3

=

4) 25x2y2 =

13)

3

64x6y6

=

5) 49x4y6 =

3 14) 216x3y6

=

6) 100x6y6 =

12 15 15) 27x y

=

7) 36x6y4z2 =

3 16) 64x9y12z15 =

8) 81x12y6z8 =

17)

9) 8x6

=

2) 64x8

=

3) 16x12

=

1) 9x6

11x2

0) 121x4

3

3

125x6y9z3 =

B. Desarrolle las potencias de forma directa. Hay un ejemplo. 25x8

0) (5x4)2 =

8) (4x2)3

=

1) (2x2)2 =

9) (2x7)3

=

2) (8x6)2 =

10) (5x3)3

=

3) (4x10)2

=

11) (4xy2)3

=

4) (5x5)2 =

12) (2x4y5)3

=

5) (2x6)2 =

13) (10x2y6)3

=

6) (10x2y3)2 =

14) (5x2mn)3

=

7) (20x2y6)2 =

15) (10x4y3z2)3 =

C. Desarrolle las potencias de los binomios de forma directa. Hay un ejemplo.

174

0) (5x – 2y)2

2 2 = 25x – 10xy + 4y

6) (x – y)2

=

1) (3x + 5y)2

=

7) (2x + y)2

=

2) (4x – 7y)2

=

8) (x2 + y2)2

=

3) (2x2 + 2y2)2

=

9) (x4 – 2y)2

=

4) (8x3 + 2y4)2

=

10) (5x2 – 3y3)2

=

5) (5x3 – 2y5)2

=

11) (x4 + 2y6)2

=

IGER − Polochic

Razonamiento lógico Realice en su cuaderno o en hojas aparte lo que se le pide en cada apartado. A. Con las condiciones dadas, escriba la ecuación de la circunferencia y grafíquela. 1) C(2, 3) r = 3 5) C(0, 0) r = 6 2) C(5, –4) r = 5

6) C(0, 5)

r=2

3) C(–5, –2) r = 4

7) C(5, 0)

4) C(8, 6)

8) C(0, 0)

r=4 r=3 2

r=7

B. Determine el centro y radio de las ecuaciones de la circunferencia y grafíquela. 1) (x – 3)2 + ( y – 2)2 = 16

5) (x + 8)2 + ( y – 6)2 = 36

2) (x + 2)2 + ( y – 1)2 = 9

6) (x + 4)2 + ( y – 2)2 = 81

3) (x – 5)2 + ( y – 4)2 = 4

7) (x – 5)2 + ( y + 4)2 = 36

4) (x + 1)2 + ( y – 5)2 = 25

8) (x – 9)2 + ( y + 2)2 = 64

C. Con las condiciones dadas, determine la ecuación de la circunferencia y grafíquela. 1) Tiene como centro (5, 0) y pasa por el punto (0, 0) 2) Pasa por el punto (–1, 4), con centro en (1, 1) 3) Pasa por el punto (3, –2), con centro en (2, 5) 4) Tiene un diámetro cuyos extremos son (–2, 8) y (4, –5) D. De las ecuaciones siguientes encuentre el vértice, los puntos de intersección con los ejes x e y si los hay. Luego, grafique la parábola correspondiente. 1) y = 3x2

8) y = 3x2 – 8

2) y = –2x2 3) y = 1 x2 2 4) y = – 5 x2 4 2 5) y = x + 3

9) y = (x + 2)2 10) y = (x – 6)2 11) y = (x – 8)2 + 3 12) y = (x + 2)2 – 5

6) y = x2 – 5

13) y = 2(x – 5)2 + 4

7) y = –x2 + 6

14) y = –3(x + 3)2 – 6

E. Aplique lo aprendido sobre la circunferencia para resolver el problema. El Insivumeh detectó un sismo con coordenadas 12 km al este y 4 km al norte de la cabecera de Santa Rosa, con un radio de 6 km. a. Determine la ecuación de la circunferencia del área afectada. b. Grafique la circunferencia. c. Si un municipio se encuentra a 15 km al este y 14 km al norte de la cabecera, ¿fue sensible el sismo en este municipio? Matemática − Semana 27

175

Desarrolle nuevas habilidades El razonamiento visual se utiliza en matemática como un método para determinar la capacidad de ver detalles y relaciones de objeto o figuras donde hay otras similares. Se utiliza con mayor frecuencia en diagramas y modelos geométricos. Ponga a prueba su razonamiento visual. Observe con atención la figura de abajo donde hay varios triángulos y realice lo que se le pide. A

B

C

D

I

H

J

E

G

F

1)

¿Cuántos triángulos logra observar?

2)

Nombre cada triángulo que encuentre. Hay un ejemplo.

ADF,

3)

¿Ahora cuántos triángulos encontró?




176


Conozco el calendario sagrado de los mayas. Identifico las ecuaciones de la circunferencia y de la parábola. Grafico circunferencias y parábolas de acuerdo con las condiciones dadas. Resuelvo con agilidad operaciones de potenciación y radicación. Identifico el número de triángulos que hay en una figura. IGER − Polochic


5

y

4 3 2 1 0 1

x2

2

3

+ y2

4

x

28

–1 = i

= r2

Secciones cónicas ¿Qué encontrará esta semana? Figuras cónicas La elipse y la hipérbola Factorización de expresiones algebraicas Problemas de razonamiento lógico

Esta semana logrará:  Reconocer cómo se forman las figuras cónicas.  Identificar la ecuación de la elipse, la hipérbola y graficar estas figuras cónicas en el plano.  Factorizar expresiones algebraicas con agilidad.  Resolver problemas con operaciones aritméticas y algebraicas.  Desarrollar el razonamiento abstracto con la relación de figuras. 


177

¡Para comenzar! Figuras cónicas

círculo

elipse

parábola

hipérbola

En la antigüedad, el matemático griego, Apolonio de Perga (262 a. C. – 190 a. C.) fue el primero en estudiar en profundidad las figuras cónicas. Él era conocido como El Gran Geómetra; sus trabajos tuvieron gran influencia en el desarrollo de las matemáticas, en especial su libro Las cónicas, en el que introdujo los nombres de parábola, elipse e hipérbola. Hoy en día la hipérbola es de gran utilidad en la elaboración de focos, lámparas, antenas receptoras y transmisoras de señal satelital, arcos de puentes, instrumentos de medicina y música, por mencionar algunos casos. La elipse también ha sido de gran utilidad en el estudio de la traslación de los planetas y el movimiento de los cometas alrededor del Sol, etc. En las figuras de arriba puede observar que los conos son cortados por un plano y conforme el ángulo de corte cambia, se genera una figura cónica.

¡A trabajar! Visite la dirección de internet http://goo.gl/HR3OIZ Lea el contenido y responda las preguntas. 1. De acuerdo con las ilustraciones de arriba, ¿qué figura cónica describe la órbita de la Tierra alrededor del Sol? 2. ¿Cómo se llaman los puntos donde la Tierra coincide con los extremos del eje mayor? 3. ¿Cómo se llaman los puntos donde la Tierra coincide con los extremos del eje menor?

178

IGER − Polochic

El mundo de la matemática 1. Secciones cónicas La semana anterior aprendimos sobre las ecuaciones y las gráficas de dos figuras: la circunferencia y la parábola. Ahora estudiaremos la elipse y la hipérbola.

1.1 La elipse La elipse es una figura geométrica curva y cerrada con forma de círculo achatado en uno de los ejes coordenados. La ecuación general de una elipse está dada por: ax 2 + by 2 = c donde a ≠ b. Para graficar elipses con centro en el origen, debemos seguir los pasos que se describen en la tabla: a. Verificar que en la ecuación ax2 + by 2 = c, a no sea igual a b (a ≠ b) y que ambos coeficientes tengan igual signo. b. Encontrar los puntos de intersección con los ejes x e y. c. Graficar la cónica de acuerdo con los puntos de intersección encontrados en el paso anterior. En este curso no practicaremos las elipses trasladadas, pero antes de seguir daremos un vistazo a las ecuaciones y a las gráficas de este tipo. 4(x – 5)2 + 16( y – 4)2 = 64

4(x + 5)2 + 16( y – 4)2 = 64

y

y

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

x

4( y + 5)2 + 16(x + 4)2 = 64 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

–11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1

x

4( y + 5)2 + 16(x – 4)2 = 64 y –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

y

x

0

1

2

3 4

5

6 7

8

9 10 11

x

–1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9


179

Ahora practiquemos cómo se grafican las elipses con centro en el origen. Preste atención a los ejemplos siguientes. Tracemos la gráfica de 9x 2 + 4y 2 = 36

Interceptos con el eje y • Sustituimos x = 0 en la ecuación original para obtener los puntos de intersección con el eje y.

9(0)2 + 4y 2 = 36 4y 2 = 36

• Despejamos y 2.

y2 =

36 ; y 2 = 9 4 y2 = ± 9 ; y = ± 3

• Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación. • Los punto de intersección con el eje y son:

(0, 3) y (0, –3)

Interceptos con el eje x • Sustituimos y = 0 en la ecuación original para obtener los puntos de intersección con el eje x.

9x2 + 4(0)2 = 36 9x2 = 36

• Despejamos x2.

x2 =

36 ; x 2 = 4 9 x2 = ± 4 ; x = ± 2

• Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación. • Los puntos de intersección con el eje x son:

(2, 0) y (–2, 0)

• Localizamos en el plano los puntos de intersección con los ejes x e y. Luego, graficamos la elipse. y

4 3

(0, 3)

2 1

(–2, 0) –5

–4

–3

–2

–1

(2, 0)

0

1 –1 –2

(0, –3)

–3 –4

180

IGER − Polochic

2

3

4

5

x

Tracemos la gráfica de 4x 2 + 25y 2 = 100

Interceptos con el eje y

• Sustituimos x = 0 en la ecuación original para obtener los puntos de intersección con el eje y.

4(0)2 + 25y 2 = 100 25y 2 = 100

• Despejamos y 2.

y2 =

100 ; y 2 = 4 25

• Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación.

y2 = ± 4 ;

• Los punto de intersección con el eje y son:

(0, 2) y (0, –2)

y = ±2


4x 2 + 25(0)2 = 100 4x 2 = 100

• Despejamos x2.

x2 =


100 ; x 2 = 25 4

x2 = ± 25 ;

• Los puntos de intersección con el eje x son:

x = ±5

(5, 0) y (–5, 0)

• Localizamos en el plano los puntos de intersección con los ejes x e y. Luego, graficamos la elipse. y

4 3 2

(0, 2)

1

(–5, 0) –5

–4

–3

–2

–1

(5, 0)

0

1

2

3

4

5

x

–1 –2

(0, –2)

–3

–4


181

Ejercicio 1 Siga los pasos de los ejercicios anteriores para encontrar los interceptos en los ejes x e y. Luego, grafique la elipse de cada ecuación. y

1) x 2 + 4y 2 = 36

)2 + 4y2 = 36

(

6

Interceptos en x

Interceptos en y

x 2 + 4(

5 4

)2 = 36

3

x =

4y = 2

2

2

;

y2 =

y2 =

1

x2 = ±

–7 –6 –5 –4

0

–3 –2 –1

x=±

y2 = ±

1 –1

2

3

4

5

6

2

3

4

5

6

x

–2 –3 –4

y=±

–5

,

(

)y(

,

,

) (

)y(

,

–6 –7

) y

2) 25x 2 + 4y 2 = 100 Interceptos en y )2 + 4y2 = 100

25( 4y2 =

Interceptos en x

6

25x 2 + (

4

)2 = 100

3

25x 2 = ;

y2 =

y2 =

x2 = ±

y=±

x=±

,

)y(

,

2 1

; x2 =

x2 =

y2 = ±

(

5

–7 –6 –5 –4

–3 –2 –1

)2 + 9x2 = 144

9x =

–5

) (

,

)y(

,

)

–6 –7 y 6

16y 2 + 9(

5 4

)2 = 144

3

16y =

2

2

2

;

x = 2

x =

1

; y =

y =

2

2

2

x2 = ±

y2 = ±

x=±

y=±

–7 –6 –5 –4

–3 –2 –1

0

1 –1 –2 –3 –4 –5

(

182

,

)y(

,

IGER − Polochic

x

–3 –4

Interceptos en y

Interceptos en x

1 –1 –2

3) 16y 2 + 9x 2 = 144

16(

0

) (

,

)y(

,

)

–6 –7

x 2

3

4

5

6

1.2 La hipérbola La hipérbola es otra figura cónica formada por dos ramas abiertas y dirigidas en sentidos opuestos. La ecuación general que describe una hipérbola es de la forma: ax 2 – by 2 = c donde a y b tienen signo contrario. Preste atención a los pasos que debemos seguir para graficar una hipérbola. a. Verificar que en la ecuación ax 2 – by 2 = c, los coeficientes a y b tengan signo contrario. b. Encontrar los puntos de intersección con los ejes x e y. c. Igualar la ecuación original a una de las variables donde no exista solución en los números reales. d. Construir una tabla para obtener otros puntos de la gráfica. e. Graficar la cónica de acuerdo con los puntos de intersección. Así como las elipses pueden estar trasladadas respecto del origen, las hipérbolas también lo pueden estar. Observe cada ecuación y su correspondiente gráfica. (x – 5)2 – ( y – 4)2 = 4

y

(x + 5)2 – ( y – 4)2 = 4 y

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2 1

1

0 –1

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

x

–11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

x

0 –1 –2

–2

( y – 5)2 – ( x – 4)2 = 4

4( y + 5)2 – ( y – 4)2 = 4 y

y

–4.5 –3 –1.5

12

1.5 3 4.5

6 7.5 9 10.5 12 13.5

x

–1.5

10.5 9

–3

7.5

–4.5

6

–6

4.5

–7.5

3

–9

1.5 –4.5 –3 –1.5

0

–10.5

0

1.5 3 4.5

6 7.5 9 10.5 12 13.5

x

–12 –13.5


183

Practiquemos cómo se grafican las hipérbolas con centro en el origen. Tracemos la hipérbola que describe la ecuación x2 – y2 = 16


x 2 – (0)2 = 16 x 2 = 16


x2 = ± 16 ;

• Los puntos de intersección con el eje x son:

(4, 0) y (–4, 0)

x = ±4

Interceptos con el eje y • Sustituimos x = 0 en la ecuación original para obtener los puntos de intersección con el eje y.

(0)2 – y 2 = 16 –y 2 = 16

• Cambiamos el signo en ambos miembros de la ecuación.

y 2 = –16

• Como y 2 = –16 no tiene solución dentro de los números reales, esto indica que la hipérbola no corta al eje y, por lo tanto debemos despejarla de la ecuación original.

x 2 – y 2 = 16 –y 2 = 16 – x 2 y 2 = –16 + x 2 y 2 = x 2 – 16 y = ± x2 – 16

• Encontremos otros puntos, sustituyendo valores iguales y mayores a la coordenada x en la ecuación y = ± x 2 – 16 , los resultados se muestran en la tabla siguiente.

x ±4 ±5 ±6 ±7

y 0 ±3 ≈ ±4.47 ≈ ±5.74

• Trazamos los puntos en el plano y graficamos la hipérbola. y 6 5 4 3 2

Observe que la hipérbola abre en dirección de la variable positiva.

1 –8

–7

–6 –5 –4

–3 –2

–1

0

1 –1 –2 –3 –4 –5 –6

184

IGER − Polochic

2

3

4

5

6

7

8

x

Tracemos la gráfica de 4y 2 – 2x 2 = 16

Interceptos con el eje y 4y 2 – 2(0)2 = 16 4y 2 = 16 y 2 = 16 = 4 4

• Sustituimos x = 0 en la ecuación original para obtener los puntos de intersección con el eje y. • Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación.

y2 = ±

y = ±2

(0, 2) y (0, –2)

• Los puntos de intersección con el eje y son:

4 ;


4(0) 2 – 2x 2 = 16 – 2x 2 = 16

• Despejamos x 2.

x 2 = – 16 = –8 2

• Como –8 no tiene solución dentro de los números reales, esto indica que la hipérbola no corta el eje x, por lo tanto debemos despejarla de la ecuación original.

4y 2 – 2x 2 = 16 –2x 2 = 16 – 4y 2 2x 2 = 4y 2 – 16 4y 2 – 16 x2 = 2 2 x = ± 2y – 8

• Encontremos otros puntos, sustituyendo valores iguales y mayores a la coordenada y en la ecuación x = ± 2y 2 – 8 , los resultados se muestran en la siguiente tabla.

y ±2 ±3 ±4 ±5

x 0 ±3.16 ±4.90 ±6.48

• Trazamos los puntos en el plano y graficamos la hipérbola. y 5 4 3 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1 –1 –2

2

3

4

5

6

7

x

Observe que aquí sustituimos valores de y para obtener x.

–3 –4 –5


185

Ejercicio 2 Siga los pasos de los ejercicios desarrollados en las páginas anteriores para completar las operaciones y grafique la hipérbola. 1) x 2 – y 2 = 25 Interceptos en x

Interceptos en y

x2 – (

(

)2 = 25

x2 =

Despeje la variable y x 2 – y 2 = 25

)2 – y 2 = 25

y2 =

–y 2 =

x2 = ±

y2 =

y2 = ±

x=±

y=±

,

(

)y(

,

) y

Sustituya los valores de x que aparecen en la tabla para encontrar otros puntos de la gráfica en y.

5 4 3 2

x

±5

±6

±7

1

±8 –12 –10 –8

y

0

–6 –4 –2

2 –1

4

6

8

10 12

x

–2 –3 –4 –5

2) 4x 2 – y 2 = 36 Interceptos en x

Interceptos en y

4x2 – (

4(

)2 = 36

x2 = x2 = ±

)2 – y 2 = 36

,

)y(

,

4x 2 – y2 = 36

–y2 =

–y 2 =

y2 =

y2 =

x=± (

Despeje la variable y

y=

)

4x 2 – 36 y

Sustituya otros valores para x, escríbalos en la tabla y encuentre otros puntos de la gráfica en y.

10 8 6 4

x

±

y

±

±

2

± –12 –10 –8 –6 – 4

–2

0

2 –2 –4 –6 –8 –10

186

IGER − Polochic

4

6

8

10 12

x

3) 16x 2 – 4y 2 = 1 Interceptos en x

Interceptos en y

16x2 – 4(

16(

)2 = 1

Despeje la variable y

)2 – 4y 2 = 1

16x2 – 4y 2 = 1

16x2 =

– 4y 2 =

– 4y 2 =

x2 =

y2 =

y2 =

x2 = ±

y=±

x=± ,

(

)y(

,

)

Sustituya otros valores para x, escríbalos en la tabla y encuentre otros puntos de la gráfica en y.

10 8 6 4

x

±

±

±

2

± –12 –10 –8

y

0

–6 –4 –2

2 –2

4

6

8

10 12

–4 –6 –8 –10

4) y 2 – 4x 2 = 4 Interceptos en y

Interceptos en x

y 2 – 4(

(

)2 = 4

y2 =

Despeje la variable y y 2 – 4x2 = 4

)2 – 4x 2 = 4

– 4x 2 =

y2 = ±

– 4x 2 =

x2 =

x2 =

y=± ,

(

)y(

,

x=±

)

Sustituya otros valores para y, escríbalos en la tabla y encuentre otros puntos de la gráfica en x.

y

5 4 3 2

y x

±

±

±

1

± –6

–5 –4

–3 –2 –1

0

1 –1

2

3

4

5

6

x

–2 –3 –4 –5


187

Resumen 1. Las secciones cónicas que estudiamos esta semana son la elipse y la hipérbola. 1.1 La elipse es una figura geométrica curva y cerrada con forma de círculo achatado en uno de los ejes coordenados. La ecuación general de una elipse está dada por: ax 2 + by 2 = c donde a ≠ b.

Los pasos para graficar la elipse son: a. Verificar que en la ecuación ax2 + by 2 = c, a no sea igual a b (a ≠ b) y que ambos coeficientes tengan igual signo. b. Encontrar los puntos de intersección con los ejes x e y. c. Graficar la cónica de acuerdo con los puntos de intersección encontrados en el paso anterior.

1.2 La hipérbola es la figura cónica formada por dos ramas abiertas y dirigidas en sentidos opuestos.

La ecuación general que describe una hipérbola es de la forma: ax 2 – by 2 = c

donde a y b tienen signo contrario.

Los pasos para graficar una hipérbola son: a. Verificar que en la ecuación ax 2 – by 2 = c, los coeficientes a y b tengan signo contrario. b. Encontrar los puntos de intersección con los ejes x e y. c. Igualar la ecuación original a una de las variables donde no exista solución en los números reales. d. Construir una tabla para obtener otros puntos de la gráfica. e. Graficar la cónica de acuerdo con los puntos de intersección.

Investigue en la red... Para comprobar sus gráficas, anímese a utilizar un programa que le permite realizar gráficas en la computadora. Ingrese a https://goo.gl/ou1hgN • Siga estas instrucciones: en la parte superior izquierda, donde aparece el puntero escriba la ecuación y automáticamente la gráfica se traza en la cuadrícula.

188

IGER − Polochic



A. Escriba una "X" en el cuadro de la opción que completa cada enunciado de forma correcta. 1) La gráfica que no corresponde a las secciones cónicas es la…

recta elipse hipérbola circunferencia

2) La definición: figura geométrica curva y cerrada con forma de círculo achatado corresponde a la…

elipse parábola hipérbola circunferencia

3) La figura cónica formada por dos ramas abiertas y dirigidas en sentidos opuestos corresponde a la…

elipse parábola hipérbola circunferencia

4) De las opciones siguientes, la ecuación que describe una elipse es…

y = ax2 + b x2 – y 2 = r2 ax2 – by 2 = c ax2 + by 2 = c

5) De las opciones siguientes, la ecuación general que describe una hipérbola es…

y = mx + b x2 – y 2 = r 2 ax2 – by 2 = c ax2 + by 2 = c

B. Observe cada ecuación y escriba en la línea de la derecha si corresponde a una: recta, parábola, hipérbola, elipse o circunferencia. 1) y = –8x + 3

2) y = 3x + 6

x2 + y 2 = 16

x2 + y 2 = 82

y 2 – x2 = 100

5y 2 – 6x2 = 4 y = 5x2 + 2x

4x2 + 3y 2 = 64

3) x2 – y 2 = 25

4) y = 4x2

y = –5x – 12

2x2 + 2y 2 = 16

y = 5x2 + 2 x + 6

x2 + y 2 = 62

y = 6x + 7

3y 2 – 5x2 = 49 Matemática − Semana 28

189

Actividad 2.


A. Utilice los planos de coordenadas para graficar cada elipse. Realice los procedimientos en hojas aparte o en su cuaderno. 1) x2 + 4y 2 = 36

2) x2 + 4y 2 = 16 y

y

5

5

4

4

3

3

2

2

1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1 1

2

3

4

5

6

x

0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

–5

–5

3) 9x2 + y 2 = 36

y

10

3

4

5

6

2

3

4

5

6

4

6

8 10 12

x

5

8

4

6

3

4

2

2 0

–12 –10 –8 –6 –4 –2

–2

1 2

4

6

8 10 12

x

0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–4

–2

–6 –8

–3

–10

–5

1

x

–4

5) 4y 2 + 16x 2 = 49

6) y 2 + 4x 2 = 64 y

–3 –2.5 –2 –1.5 –1 –0.5

IGER − Polochic

2

4) 16y 2 + 9x 2 = 144 y

190

1

y

2.5

0

10

2 1.5

8

1

4

0.5

2

0.5 1 2.5 2 2.5 3 –0.5

6

x

–12 –10 –8 –6 –4 –2

0 –2

2

–1

–4

–1.5 –2

–6 –8

–2.5

–10

x

B. Utilice los planos de coordenadas para graficar cada hipérbola. Realice los procedimientos en hojas aparte o en su cuaderno. 1) x2 – y 2 = 1

2) x2 – y 2 = 4 y

y

5

5

4

4

3

3

2

2

1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1 1

2

3

4

5

6

x

0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

–5

–5

3) x2 – 4y 2 = 9

2

3

4

4

6

8 10 12

4

6

8 10 12

5

6

x

4) 5y 2 – 2x2 = 15 y

y

5

10

4

8

3

6

2

4

1

2

0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

5

6

x

0

–12 –10 –8 –6 –4 –2

–2

2

–2

–4

–3 –4

–6 –8

–5

–10

5) 25y 2 – 15x2 = 75

x

6) 16y 2 – 25x2 = 25 y

y

5

10

4

8

3

6

2

4

1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

1

0 –1

2 1

2

3

4

5

6

x

–12 –10 –8 –6 –4 –2

0 –2

2

–2

–4

–3

–6

–4

–8

–5

–10

x


191

Agilidad de cálculo mental Calcule mentalmente el factor o los factores que completan cada factorización, de acuerdo al caso presentado. Escriba la respuesta sobre la línea. Fíjese en los ejemplos. A. Trinomio cuadrado perfecto (3x + 2)2 0) (3x + 2)(3x + 2) =

7) (x2 – 5)(x2 – 5)

=

1) (x – 3)(x – 3)

=

8) (x – 2y)(x – 2y)

=

2) (x – 4)(x – 4)

=

9) (x2 + 8)(x2 + 8)

=

3) (x + 9)(x + 9)

=

10) (2x + y)(2x + y)

=

4) (x + 1)(x + 1)

=

11) (x2 – 3y3)(x2 – 3y3)

=

5) (x + 8)(x + 8)

=

12) (x2 + 4y2)(x2 + 4y2)

=

6) (x – 10)(x – 10)

=

13) (3x2 + 2y2)(3x2 + 2y2) =

B. Trinomio de la forma x2 + bx + c

0) x2 + 5x + 6

=

(x + 3) (x + 2)

1) x2 – 3x –10

=

(x + 2)

8) x2 + 12x + 27 = (x + 9)

2) x2 – 4x – 12

=

(x + 2)

9) x2 – 8x + 15 = (x – 3)

3) x2 + 2x – 48

=

(x – 6)

10) x2 – 4x – 45 = (x – 9)

4) x2 – 7x + 16

=

(x – 1)

11) x2 + 3x – 18 = (x + 6)

5) x2 + 6x – 10

=

(x – 2)

12) x2 – 2x – 120 = (x + 10)

6) x2 – 10x –16

=

(x – 8)

13) x2 – 17x + 60 = (x – 12)

C. Trinomio de la forma a2 – b2 = (2x + 5y)(2x + 5y) 0) 4x2 – 25y 2

192

7) x2 – x – 20

8) 9x2 – 1

= (x – 5)

=

1) x2 – y 2 =

9) x2 – 4y 2 =

2) x2 – 4

=

10) 25x2 – y 2 =

3) x2 – 64

=

11) 49x2 – 9y 2

4) y 2 – 16

=

12) 100x2 – y 2 =

5) y 2 – 25

=

13) 16x2 – 25y 2 =

6) y 2 – 81

=

14) 64x2 – 25y 2 =

7) y 2 – 100

=

15) 49x2 – 100y 2 =

IGER − Polochic

=

Razonamiento lógico Lea con atención cada enunciado y las posibles respuestas. Luego, seleccione una respuesta y marque con una "X" el cuadro de la opción. 1) En un tonel hay 2 1 quintales de maíz, en otro tonel hay 3 de quintal. 4 4 ¿Cuántos quintales hacen falta para que haya la misma cantidad de maíz en ambos toneles?

1 2

1 1 2 2 1 4

2) ¿Cuál es el número cuya tercera parte es igual a los 2 de 12? 3

2 8 12 24

3) Una sala de cine tiene 15 filas de 18 asientos cada una. En una función quedaron 3 asientos libres en cada fila. ¿Cuántos asientos se ocuparon?

125 175 225 270

4) En un supermercado anuncian la promoción siguiente: "Lleve 5 paquetes de galletas y pague solo 4". ¿Qué porcentaje corresponde a la rebaja?

5 % 20 % 25 % 80 %

5) El precio de un teléfono celular es de Q1,200.00 sin Iva. ¿Cuánto hay que pagar por él si el Iva es del 12 %?

Q1,212.00 Q1,250.00 Q1,344.00 Q1,350.00

6) Las dimensiones de una tabla de forma rectangular son 12 cm y 16 cm; si las medidas se reducen a la mitad, ¿cuánto se reduce el área de la tabla?

48 cm2 96 cm2 144 cm2 192 cm2

7) De una manguera salen 40 litros de agua en 5 minutos. ¿Cuántos litros de agua saldrán en 1 hora?

96 L 120 L 144 L 240 L


193

Desarrolle nuevas habilidades El razonamiento abstracto es la capacidad y habilidad de establecer las diferencias o similitudes entre diversos elementos. Este razonamiento se aplica en los exámenes de admisión a la universidad, entrevistas de trabajo, etc. Para poner en práctica el razonamiento abstracto, observe los sólidos y las figuras desdobladas que están debajo de ellos. Seleccione la o las opciones que generan cada sólido y enciérrelas en un círculo. Tiene un ejemplo. 0)

1)

a.

b.

c.

3)

2)

a.

b.

c.

4)

a.

b.

c.

a.

b.

c.

b.

c.

5)

a.

b.

c.

a.




194


Reconozco cómo se forman las figuras cónicas. Identifico la ecuación de la elipse, la hipérbola y grafico estas figuras cónicas en el plano. Factorizo expresiones algebraicas con agilidad. Resuelvo problemas con operaciones aritméticas y algebraicas. Desarrollo el razonamiento abstracto con la relación de figuras.

IGER − Polochic


5

y

4 3 2 1 0 1

x2

2

3

+ y2

4

x

29

–1 = i

= r2

Teorema de Pitágoras ¿Qué encontrará esta semana? Pitágoras de Samos Teorema de Pitágoras Despeje de ecuaciones de primer y segundo grado Problemas de mecánica y física básica

Esta semana logrará:  Reconocer el teorema de Pitágoras y su corolario.  Comprender una de las demostraciones del teorema de Pitágoras.  Emplear el teorema de Pitágoras para resolver problemas de aplicación.  Resolver problemas lógicos de mecánica.  Despejar ecuaciones lineales y cuadráticas en función de una variable dada.  Practicar la memoria visual. 


195

¡Para comenzar! Pitágoras de Samos Pitágoras nació aproximadamente en el año 569 a. C. en la isla de Samos, perteneciente al archipiélago griego. Fue un filósofo y sabio que llegó a ser considerado el primer matemático puro. Hizo grandes contribuciones sobre las relaciones numéricas en las áreas de la geometría y la aritmética.

Pitágoras de Samos 570 a. C. – 495 a. C.

Este matemático griego fue fundador de la Hermandad Pitagórica, una comunidad cuyo principal objetivo era la purificación ritual de sus miembros. Esta hermandad era prominentemente religiosa, pero la consecución se realizaba a través del cultivo de las ciencias, en las que la música y la matemática tenían un papel destacado. Para estudiar las ciencias hacían uso de la filosofía, la cual tomaban en el sentido de "amor a la sabiduría". A sus seguidores se les conocía como pitagóricos, y la Hermandad tenía como reglas principales: • En su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza matemática. • La filosofía puede emplearse para alcanzar la purificación espiritual. • El alma puede perfeccionarse para llegar a unirse con lo divino. • Todos los miembros de la hermandad debían tener absoluta lealtad, no podían tener pertenencias materiales y se limitaban a ser vegetarianos. Los pitagóricos solían darle el crédito a su fundador de todos los hallazgos que hacían, por lo que en ocasiones resulta difícil distinguir entre los trabajos del mismo Pitágoras y el de sus seguidores. Pese a lo anterior, uno de los descubrimientos más conocidos es el teorema de Pitágoras, el cual trataremos esta semana. Aún hasta nuestros días, este teorema se sigue empleando para mediciones en arqueología, arquitectura, ingeniería, economía, y muchas otras ciencias.

¡A trabajar! Responda la pregunta que se le plantea. Si hubiera vivido en la época de Pitágoras, ¿habría formado parte de la Hermandad Pitagórica? Explique su respuesta.

196

IGER − Polochic

El mundo de la matemática 1. Teorema de Pitágoras Como mencionamos en la sección anterior, uno de los aportes de este matemático griego fue el teorema que lleva su nombre. El teorema de Pitágoras hace una relación entre los lados de un triángulo rectángulo, su corolario dice: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Por tanto, si designamos los catetos de un triángulo rectángulo como a y b, y su hipotenusa como c, representamos el teorema como:

c2 = a2 + b2

A partir de la fórmula c2 = a2 + b2 podemos hacer despejes y calcular la medida de alguno de los catetos.

c

a b

1.1 Demostración del teorema El teorema de Pitágoras es una de las proposiciones que tiene mayor cantidad de demostraciones con diferentes procedimientos. Esto es debido, en buena parte, a que en la Edad Media se pedía a los estudiantes una nueva explicación del teorema para poder alcanzar determinado título universitario. Veamos un ejemplo: • Formamos un cuadrado con cuatro triángulos como el de la figura.

Cada lado del cuadrado grande mide a + b, por lo que su área total debería ser:

b

A t = (a + b)(a + b) • El área total también se puede calcular sumando todas las áreas "pequeñas":

El área del cuadrado más pequeño, que está inscrito: A = c2

C

a

b a

c

c

B

D

a

c

c b

A

b a

El área de los cuatro triángulos:

( )

A = 4 ab 2


197

( )

• Podemos decir entonces que el área del cuadrado grande (A t ) es igual al área del cuadrado inscrito más el área de los 4 triángulos.

A t = c2 + 4 ab 2

• Igualamos ambas fórmulas, dado que ambas representan el área total. Luego, las simplificamos.

(a + b)(a + b) = c2 + 4 ab 2

• Operamos la fracción.

(a + b)(a + b) = c2 + 4 ab 2 (a + b)(a + b) = c2 + 2ab

• Desarrollamos el cuadrado de un binomio.

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

• Eliminamos 2ab porque está en ambos miembros con el mismo signo.

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

• Llegamos a la fórmula del teorema de Pitágoras, el cual queda demostrado.

a2 + b2 = c2 c2 = a2 + b2

( ) ( )

Veamos un ejemplo numérico del uso de este teorema. 6m Confirmemos que las medidas del triángulo rectángulo que está a la derecha sean correctas. Para lograrlo, debemos comprobar que la igualdad propuesta por Pitágoras se cumpla.

10 m

• Identificamos la medidas de los catetos (a y b) y de la hipotenusa (c).

a = 6 m

• Despejamos c y sustituimos los valores de los catetos en la fórmula. Luego, operamos.

c2 = a2 + b2

b = 8 m c = 10 m

c = a2 + b 2 c = (6 m)2 + (8 m)2 c = 36 m2 + 64 m2 c = 100 m2

Este cálculo nos da un resultado igual a la medida que tiene la hipotenusa (10 m).

• Confirmamos que las medidas del triángulo son correctas.

198

IGER − Polochic

c = 10 m

8m

Otro ejemplo, ahora con un cateto desconocido. x

• Se solicita hallar la medida de x, por lo que debemos despejar de la fórmula original alguno de los catetos (a o b).

12 m 35 m

c2 = a2 + b2 c2 – b2 = a2 a = c2 – b2 • Identificamos la medida del cateto y de la hipotenusa.

a = x

• Ahora, sustituimos los valores en la ecuación que despejamos arriba y resolvemos.

a = c2 – b2

b = 12 m c = 35 m

x = (35 m)2 – (12 m)2 x = 1081 m2 x ≈ 32.88 m

• Llegamos a la respuesta.

La medida del cateto x es de 32.88 m.

Ejercicio 1 Encuentre la medida desconocida en cada triángulo. Escriba su respuesta en el espacio en blanco. Aproxime a dos decimales cuando sea necesario. 1)

2)

14.5 cm x

28 m

x

18 cm

11.5 m

3)

4) 35 m

20 m x

x

25 m

15 m


199

1.2 Aplicaciones Mencionamos al inicio de esta semana que el teorema de Pitágoras se aplica en áreas como la arquitectura, la ingeniería, la economía, la arqueología, entre muchas otras. Como usted ya sabrá, algo muy importante al enfrentarse a un problema es saber distinguir correctamente los datos y poder sintetizar correctamente la información esencial. Ponga atención a unos ejemplos: En Petén se encuentra la ciudad maya de El Mirador. Entre sus ruinas, de forma imponente, se alza la pirámide más alta de América, llamada La Danta. Los arqueólogos encargados del proyecto están en el proceso de actualizar la información de la estructura, entre los datos está la altura. Pongamos atención al procedimiento:

Extienden un cable, con un largo ya determinado, desde la cima de la estructura hasta un punto en el suelo, y lo anclan al mismo. Luego, miden la distancia desde el punto en que el cable toca el suelo hasta la mitad de la pirámide. Puede verlo en la figura.

78

m

• Los arqueólogos emplean el teorema de Pitágoras para hallar la altura.

x

30 m

• El cateto desconocido (x) corresponde a la altura de la pirámide. Para hallar su medida, se despeja un cateto del teorema de Pitágoras.

c2 = a2 + b2 c2 – b2 = a2 a = c2 – b2

• Se sustituye la medida del cable correspondiente a la hipotenusa (c) y de la distancia en el suelo (b).

a = c2 – b2

Luego, se resuelve la ecuación.

x = 5184 m2 x = 72 m

La altura de La Danta es de 72 m.

x = (78 m)2 – (30 m)2

Es importante notar que sin el teorema de Pitágoras, la medición de este tipo de estructuras arqueológicas sería muy difícil y muy costosa.

200

IGER − Polochic

Otro ejemplo: Las pantallas de los dispositivos móviles (como los celulares) y de las pantallas de los televisores se miden a través de una línea diagonal que atraviesa desde una esquina inferior a una esquina superior. Esto quiere decir que cuando se dice que una pantalla mide 4.5 in, significa que la línea diagonal tiene esa medida. Podrá verlo con más claridad en la imagen que se presenta en el problema. Una empresa de electrónicos, está diseñando un nuevo smartphone1 para lanzarlo al mercado guatemalteco. Para saber las medidas de la pantalla, se emplea el teorema de Pitágoras.

x

El símbolo aceptado internacionalmente para referirse a las pulgadas (equivalentes a 2.54 cm) es in. Proviene de su traducción al inglés (inches).

6 in

2.75 in

Se desea que la pantalla mida 6 in y tenga una base de 2.75 in, por lo que hay que calcular la altura necesaria para cumplir con dichos requerimientos. Para mejor comprensión, observe la imagen de arriba. • Primero, se despeja la ecuación en función de uno de los catetos.

c2 = a2 + b2 a = c2 – b2

• Se sustituye la medida de la línea diagonal, correspondiente a la hipotenusa (c) y la medida qué debe tener la base de la pantalla (b). Luego, se resuelve la ecuación.

x = (6 in)2 – (2.75 in)2 x = 28.4375 in2 x = 5.33 in

El alto de la pantalla para este nuevo smartphone deberá ser de 5.33 pulgadas (13.54 cm aproximadamente), para cumplir con los requerimientos establecidos. Ahora, cada vez que vea su teléfono celular o las ofertas en alguna tienda de electrónicos, ya sabrá cómo se mide el tamaño de las pantallas en dispositivos tecnológicos. 1

smartphone: teléfono celular con un sistema operativo avanzado y una mayor capacidad de almacenar datos y realizar actividades. Tiene funciones similares a las de una minicomputadora. Matemática − Semana 29

201

Ejercicio 2 Resuelva los problemas siguientes. Escriba su respuesta en las líneas correspondientes, puede utilizar su cuaderno para los procedimientos. Aproxime su solución a dos decimales de ser necesario. 1) Un edificio tiene 35 m de altura, y su sombra proyectada en el pavimento tiene un largo de 22 m. Si en un extremo de la sombra se para una persona, ¿cuál es la distancia entre la persona y la terraza del edificio?

35 m

22 m 2) Dos torres de apartamentos están una al lado de la otra, separadas por una distancia de 20 m. Un cable de electricidad que pasa de la terraza de un edificio al otro y mide 20.62 m. La torre de la izquierda tiene una altura de 24 m. Halle la altura del edificio de la derecha.

20.62 m 24 m

20 m 3) Una torre de telefonía tiene una altura de 28 m y se debe asegurar por cuatro cables de acero que van desde su parte más alta hasta el suelo. Cada uno estará fijado a 18 m de la base. Calcule cuántos metros de cable de acero se deben comprar para sujetar la torre.

28 m

18 m 4) El Ministerio de Comunicaciones, Infraestructura y Vivienda está planeando construir un puente colgante sobre un río. Tendrá dos columnas principales que darán soporte a la estructura, ambas tienen la misma altura. Cada columna se conectará al piso del puente por cuatro cables de acero (o sea, 8 en total). Halle la medida total de cable que se necesitará. Guíese por la ilustración.

202

IGER − Polochic

30 m 20 m

10 m

18 m

Resumen 1. El teorema de Pitágoras hace una relación entre los lados de un triángulo rectángulo.

Este teorema dice que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esta fórmula con sus despejes es: c2 = a2 + b2 a2 = c2 – b2

c

a

b2 = c2 – a2

b

1.1. El teorema de Pitágoras es una de las proposiciones que tiene mayor cantidad de demostraciones con diferentes procedimientos. Esto es debido, en buena parte, a que en la Edad Media se pedía a los estudiantes una nueva demostración del teorema para poder alcanzar determinado título universitario. 1.2. Esta relación que se le atribuye a Pitágoras tiene diversas aplicaciones en áreas como la arquitectura, la ingeniería, la economía, la arqueología, entre muchas otras.

Lo esencial al enfrentarse a un problema es saber distinguir correctamente los datos y poder sintetizar correctamente la información que se nos presenta.

Investigue en la red... Si desea aprender más sobre el tema que tratamos esta semana, le invitamos a que visite la siguiente página de internet. • Explicación del teorema en video: goo.gl/eSfvPt También le invitamos a que siga practicando con sus conocimientos del teorema de Pitágoras. En las siguientes páginas de internet encontrará problemas y ejercicios. • Ejercicios de aplicación: goo.gl/CvDDbW • Ejercicios y problemas: goo.gl/VRpVE0 • Ejercicios interactivos: goo.gl/X2diRG Matemática − Semana 29

203



Realice las actividades que se le solicitan a continuación. 1) Responda: ¿Qué afirma el corolario del teorema de Pitágoras? Escriba también la ecuación que representa el teorema. 2) Apoyándose en la figura de la derecha, replique la demostración del teorema de Pitágoras que aprendimos esta semana. Hágalo de forma breve. C

a b

b a

c

c

B

D

a

c

c b

Actividad 2.

b a

A


A. Resuelva los ejercicios siguientes. Escriba su respuesta en el espacio en blanco. Aproxime a dos decimales cuando sea necesario. 1)

2)

35 m

x

40 m

x

17 m

8m

204

IGER − Polochic

3)

4)

41.23 m

35 km

26 m

x

55 km

x

B. Resuelva los problemas siguientes empleando el teorema de Pitágoras. 1) El tanque de una avioneta lleva suficiente combustible para volar una distancia de 320 km. La aeronave tiene que hacer un viaje que consiste en el circuito siguiente: Ciudad de Guatemala – Cobán – Quetzaltenango – Ciudad de Guatemala.

Estas tres ciudades forman un triángulo rectángulo, como puede ver en el mapa. La distancia, en línea recta, de Ciudad de Guatemala a Cobán es de 89.59 km y de Cobán a Quetzaltenango 139.61 km. Halle la distancia que hay entre Quetzaltenango y la Ciudad de Guatemala. Luego, responda: ¿la avioneta tiene suficiente combustible como para completar el circuito sin rellenar el tanque? m 1k 6 . 139 89.59 km

2) Un avión que acaba de despegar del aeropuerto está a una distancia de 690 m de la parte más alta de un edificio y a 530 m en forma horizontal respecto de la vista de un observador. El edificio tiene una altura de 60 m. Calcule la altura del avión respecto al suelo. 690

m

530 m 60 m


205

Agilidad de cálculo mental A. Despeje la ecuación en función de la variable dada. El ejemplo cero le sirve de guía. Simplifique cuando sea necesario. 4x 3 0) 5x – 6y = –3x y= 11) – 4x + 7 y = 0 x= 8

1) 3x + 2y = 0 y =

12) 9x + 6y = y x=

2) –8x – y = 2x

y=

13) 4x – 5 y = 0 2

x=

3) –7x + 6y = 0

y=

14) –6x + 9y = 3

x=

4) 1 x + 7y = 0 y= 2 5) –9x – 1 y = –6x y = 3

15) –x – 4y = 0 x = 16) 2x + 9 y = –8y 5

x=

6) 7x – 4y = 4 y =

17) 5x + 8y = –y

x=

7) 4x – 3y = 4x

y=

x=

8) –6x + 5 y = 2

18) 4x + 3 y = 0 2

y=

19) 8x – 7y = 0 x =

9) 4x + y = 0 y =

20) 5x + y = –5x

10) –8x – 3y = 6

21) 4x – 7y = 0 x =

y=

x=

B. Despeje la ecuación en función de la variable dada.

1) x 2 + 3y – 5 = 1

y=

12) x 2 + 8y + 9 = 8

x=

2) x 2 + 2y – 8 = 8

y=

13) x 2 – 6y + 5 = –3y

x=

3) x 2 – 6y + 6 = –6y

y=

14) x 2 – 6y + 4 = –2

x=

4) x 2 + 8y + 4 = 7

y=

15) x 2 + 7y + 6 = 2y

x=

5) x 2 – 4y + 11 = –8y

y=

16) x 2 + 2y + 5 = 8

x=

6) x 2 – 3y + 2 = –1

y=

17) x 2 – 3y + 7 = 9y

x=

7) x 2 + 2y + 6 = –7

y=

18) x 2 + 5y + 1 = 0

x=

8) x 2 – 8y + 8 = 5y

y=

19) x 2 – 9y + 2 = 7y

x=

9) x 2 + 9y + 2 = 1

y=

20) x 2 + 4y + 5 = 5

x=

10) x 2 – y + 1 = 3

y=

21) x 2 + 8y + 6 = 6

x=

11) x 2 + 2y + 3 = 11y

y=

22) x 2 – 2y + 8 = –8y

x=

206

IGER − Polochic

Razonamiento lógico A continuación, se le presenta una serie de problemas de mecánica. Este tipo de problemas hace una combinación de física básica y conocimientos de mecanismos de objetos que podemos encontrar en la vida cotidiana. Rodee con una línea la opción que responda correctamente la pregunta planteada. Deberá hacer uso de su observación, análisis y razonamiento. 1) ¿Qué farol tiene mayor resistencia?

a)

b)

c)

a)

b)

c)

2) ¿Cuál de las puertas es más resistente?

3) ¿Qué automóvil subirá con más facilidad la rampa?

a)

b)

c)

4) ¿Cuál de las canoas tardará menos en llegar a la meta?

a)

b)

c)

5) ¿Qué candelabro tiene mayor estabilidad?

a)

b)

c)

d)

b)

c)

d)

6) ¿Qué velero llegará antes al puerto?

a)


207

Desarrolle nuevas habilidades Su capacidad de recuerdo y retención visual preserva en su memoria algunas características de situaciones que usted percibe a través de la vista. Este recuerdo de imágenes le sirve para reconocer lugares, escenas, formas y hasta para identificar la cara de sus familiares y amigos. En esta sección pondremos a prueba su memoria visual. A continuación se le presenta una imagen, en la cual centrará su atención y tratará de determinar la mayor cantidad de detalles sobre la misma. Luego, siguiendo la instrucción al pie de la letra, cubrirá la ilustración y deberá responder las preguntas que se le plantean.

1. En la imagen, ¿aparece un paisaje rural o urbano? 2. ¿Cuántas vacas había? 3. ¿Qué hay al fondo del paisaje?




Reconozco el teorema de Pitágoras y su corolario. Comprendo una de las demostraciones del teorema de Pitágoras. Empleo el teorema de Pitágoras para resolver problemas de aplicación. Resuelvo problemas lógicos de mecánica. Despejo ecuaciones lineales y cuadráticas en función de una variable dada. Practico la memoria visual.

208

IGER − Polochic


5

y

4 3 2 1 0 1

x2

2

3

+ y2

4

x

30

–1 = i

= r2

Teorema de Tales, congruencia y semejanza de triángulos ¿Qué encontrará esta semana? Razones y proporciones Teorema de Tales, congruencia y semejanza de triángulos Cálculo de porcentajes Problemas de segmentos de rectas y triángulos semejantes

Esta semana logrará:  Recordar el planteamiento de razones y resolver proporciones.  Aplicar el teorema de Tales, la congruencia y semejanza de triángulos.  Calcular el porcentajes.  Resolver problemas de la vida diaria en los que se aplica el teorema de Tales, la congruencia y semejanza de triángulos.  Seleccionar y dibujar la figura que continúa en la serie. 


209

¡Para comenzar! Razones y proporciones Las razones y proporciones son dos operaciones matemáticas que estudiamos en grados anteriores. Esta semana haremos un recordatorio de las partes que las componen y de cómo encontrar un término desconocido, ya que serán de mucha utilidad en los temas de esta semana. Una razón es el cociente indicado entre dos números. Los términos que la componen se llaman: antecedente y consecuente. 3 5

antecedente consecuente

Esta razón se lee: tres es a cinco. Una proporción es la igualdad entre dos razones y se representa así: 3 = 6 5 10 La proporción mostrada se lee: tres es a cinco, como seis es a diez. Toda proporción tiene cuatro términos; dos extremos y dos medios. • Los extremos son el numerador de la primera razón y el denominador de la segunda.

3 = 6 5 10

• Los medios son el denominador de la primera razón y el numerador de la segunda.

3 = 6 5 10

• La propiedad fundamental de las proporciones establece que el producto de los extremos es igual al producto de los medios. • Si en una proporción hay un término desconocido, esta propiedad permite encontrarlo como en el caso siguiente.

3 = 6 5 10

5 Í 6 = 30 30 3 Í 10

x = 9 x= 8Í9 = 6

8 6 72 = 12 6

¡A trabajar! Copie las proporciones en su cuaderno y encuentre el valor del término desconocido. Luego, escriba en cada línea el valor de x. 1)

x = 45 8 3

x=

x=

210

2)

IGER − Polochic

4 = 14 5 x

3) x=

2 = 4 x 10

4) x=

10 = x 12 48

El mundo de la matemática 1. Teorema de Tales Tales de Mileto fue un filósofo y matemático griego, que elaboró una serie de teoremas y razonamientos, específicamente de geometría. Uno de ellos corresponde a la proporcionalidad entre segmentos de recta que dice: Si dos rectas cualesquiera son cortadas por varias rectas paralelas, las medidas de los segmentos en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra recta. Veamos en la gráfica la exposición de este teorema. Si las rectas L1 y L2 son cortadas por las rectas paralelas AA', BB', CC ', podemos afirmar que la medida de los segmentos AB, BC, AC que están en la recta L1 son proporcionales a la medida de los segmentos A'B', B'C', A'C ' de la recta L2.

L1

L2

A

A'

B

B' C'

C

Entonces, con el teorema de Tales se cumplen estas proporciones: AB AC BC = = A'B' A'C ' B'C ' Ejemplo: Encontremos el valor del segmento x, si las rectas horizontales son paralelas. • Planteamos la proporción. • Despejamos el valor desconocido. 5 cm

• Realizamos la división y encontramos el valor de x.

4 cm 10 cm

x

Otro ejemplo: Si las rectas AA', BB', CC ' son paralelas, encontremos el valor del segmento y. • Planteamos la proporción.

A

B 10 cm

• Despejamos la variable. • Realizamos la división y encontramos el valor de y.

C 8 cm

y

C'

12 cm B' A' Matemática − Semana 30

211

1.1 Teorema de Tales en un triángulo El teorema de Tales también se puede aplicar a triángulos que son cortados por otra línea paralela a uno de sus lados; en este caso nuevamente se cumple que los segmentos son proporcionales. Veamos la demostración del teorema en el triángulo siguiente: A

Si se traza una recta paralela B'C' a la base del triángulo ABC, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales al triángulo ABC.

C'

B'

C

B

De ahí que algunas de las proporciones que podemos formar a partir del teorema de Tales son: AC BC AB = = AC ' B'C ' AB' Apliquemos el teorema de Tales en los triángulos siguientes. Calculemos el valor de x en el triángulo, si la recta B'C' es paralela a BC. • Planteamos la proporción.

x = 28 12 14

• Despejamos la variable.

x = 28 Í 12 14

• Realizamos la división y encontramos el valor de x.

x = 336 = 24 14

A 28

x B'

C' C

B 12

14

Calculemos el valor de x en el triángulo. • Planteamos la proporción.

x = x+4 5 7

• Multiplicamos extremos y medios. 7x = (x + 4)(5) • Realizamos las operaciones y encontramos el valor de x.

7x = 5x + 20 7x – 5x = 20 2x = 20 x = 20 = 10 2

A x

5

D x+4 B

Una vez encontrado el valor de x decimos que el segmento AD mide 10 y el segmento BD mide 14.

212

IGER − Polochic

12

E

C

Ejercicio 1 Aplique el teorema de Tales en cada uno de los apartados. A. Encuentre el valor del segmento desconocido en cada figura. 1) x

8 cm 24 cm

15 cm

x+1

x+4

2)

3

2

x=

x=

B. Si en los triángulos, la recta A'B ' es paralela a la recta AB, encuentre el valor del segmento desconocido en cada figura. 1)

12 cm

A 3 cm A'

x

B

B'

9 cm

y

20 cm

C

x=

y=

x=

y=

B

2)

B' 12 cm y

18 cm x C

A 6 cm A' 20 cm


213

2. Triángulos congruentes En matemática se llaman figuras congruentes a las que tienen la misma forma y el mismo tamaño; se puede decir que una es copia de la otra. Los triángulos que se encuentran al lado derecho son congruentes, porque tienen la misma forma y sus lados y sus ángulos correspondientes miden lo mismo.

A

A'

C

C'

B'

La congruencia de triángulos se representa simbólicamente ∆ABC se lee: el triángulo ABC es congruente con el triángulo A'B'C '.

∆A'B'C ' y

B

Por lo tanto, podemos decir que: dos triángulos son congruentes si sus lados y sus ángulos correspondientes son iguales.

Ejercicio 2 Los triángulos de cada inciso son congruentes, complete las medidas que faltan en cada uno y exprese su congruencia en forma simbólica, en la línea de la derecha. A

1)

A' 17.20 cm

14 cm B

C

10 cm

C'

B'

Q

2)

Q' 4.5 m 4.75 m

P

3m

G

3)

20 cm F

R'

G'

214

P'

R

16 cm

IGER − Polochic

14 cm H

F'

H'

2.1 Criterios de congruencia de triángulos Los criterios de congruencia son las condiciones que deben cumplir dos o más triángulos para que se consideren congruentes. Estas propiedades son:

a. Lado – lado – lado (LLL) Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son iguales. C

A

B

AC = A'C' AB = A'B' BC = B'C'

C'

A'

B'

b. Lado – ángulo – lado (LAL) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes iguales y el ángulo determinado por ellos es igual. C

a

A

C'

AB = A'B' AC = A'C' B

a = a'

A'

a'

B'

c. Ángulo – lado – ángulo (ALA) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos correspondientes iguales y el lado común a ellos también es igual. C

A

a

C'

a = a' b = b' b

B

AB = A'B'

A'

a'

b'

B'

d. Lado – lado – ángulo (LLA) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados correspondientes iguales y el ángulo opuesto al mayor de ellos también es igual. C

A

a

C'

AC = A'C' BC = B'C' B

a = a'

A'

a'

B'


215

3. Triángulos semejantes Los triángulos semejantes son los que tienen sus ángulos correspondientes iguales y sus lados homólogos proporcionales. Es decir, tienen la misma forma, pero tamaño diferente.

Homólogo: que es semejante a otro por tener características comunes.

Preste atención a los triángulos de la derecha, estos son semejantes. Por lo tanto, podemos formar las proporciones: C C' 55º

AC BC AB = = A'C ' B'C ' A'B'

80º

45º

A

55º

B

80º

45º

A'

La semejanza de triángulos se representa de forma simbólica ∆ABC se lee: el triángulo ABC es semejante al triángulo A'B'C'.

B'

∆A'B'C' y

El orden en el que se escriben los vértices y los lados de cada triángulo es muy importante en la semejanza de triángulos, porque establece los ángulos y los lados homólogos. En los triángulos anteriores se tiene que: El vértice A es homólogo con el vértice A'

El lado AB es homólogo con lado A'B'

El vértice B es homólogo con el vértice B'

El lado AC es homólogo con lado A'C'

El vértice C es homólogo con el vértice C'

El lado BC es homólogo con lado B'C'

Otro aspecto importante en la semejanza de triángulos es que cada uno de los lados correspondientes son proporcionales. Preste atención a lados de los triángulos siguientes y note que si dividimos el valor de los lados homólogos el resultado es 2, este valor recibe el nombre de razón y es igual en todos los lados. 10 ÷ 5 = 2

c = 10 cm

6÷3=2

c' = 5 cm

a = 6 cm

8÷4=2

a' = 3 cm

b' = 4 cm

b = 8 cm

Ejercicio 3 Escriba la razón de lados homólogos y compruebe que guardan la misma razón. =

=

=

10.5 cm

9 cm

6 cm 7 cm 6 cm

216

IGER − Polochic

4 cm

3.1 Criterios de semejanza de triángulos Para que dos triángulos sean semejantes, deben cumplir al menos con uno de los criterios siguientes:

a. Ángulos iguales Los ángulos homólogos de triángulos semejantes son iguales. B

C

A

B'

< A = < A' < B = < B'
C'

A'

b. Lados proporcionales Los lados homólogos de triángulos semejantes son proporcionales. C

c A

C'

a B

b

a c b = = a' b' c'

a'

c' A'

B'

b'

c. Dos lados proporcionales y los ángulos correspondientes iguales Los lados del primer triángulo son proporcionales a los lados homólogos del segundo y el ángulo de uno de ellos es igual al ángulo del otro. B

c

a

a c = a' c' < B = < B'

B'

a'

c'

3.2 Aplicaciones La semejanza de triángulos sirve para hallar valores desconocidos en figuras que podemos trazar en papel, pero también es útil en aplicaciones de la vida diaria donde es muy difícil obtener las medidas de forma directa. Veamos primero un ejemplo en triángulos sencillos, luego algunas aplicaciones de casos reales.

C C' 20 A

32º 32

B

15 A'

32º

x

B'

Ejemplo: hallemos el valor de x en el triángulo más pequeño. • Escribimos la proporción. • Despejamos la variable. • Realizamos la división y encontramos el valor de x. El lado A'B' mide 24 unidades.

x = 15 32 20 x = 15 Í 32 20 480 x= = 24 20


217

Ejemplo: Los datos que pudo calcular de forma directa una persona se proporcionan en la imagen. Determine la altura del muro. h 1.70 m 15 m

3m h = 15 1.70 3 h = 15 Í 1.70 3 25.5 = 8.5 h= 3

• Escribimos la proporción. • Despejamos h. • Realizamos la división y encontramos el valor de h. El muro tiene 8.5 m de alto.

Un ejemplo más: A cierta hora del día un edificio proyecta una sombra de 20 metros, al mismo tiempo un poste cercano de 6 metros de alto produce una sombra de 2 metros. ¿Cuál es la altura del edificio?

h

6m 2m

20 m

h = 20 6 2 h = 20 Í 6 2 h = 120 = 60 2

• Escribimos la proporción. • Despejamos h. • Realizamos la división y encontramos el valor de h. El edificio tiene 60 metros de altura.

Ejercicio 4 Aplique la semejanza de triángulos para calcular la altura del templo del Gran Jaguar, en Tikal, que a determinada hora proyecta una sombra de 14.10 m y un árbol de 10 m de altura, que se encuentra cerca, produce una sombra de 3 m. h h= h= El templo del Gran Jaguar mide

218

IGER − Polochic

metros de alto.

= 14.10 Í

=

Resumen 1. El teorema de Tales establece que: si dos rectas cualesquiera son cortadas por varias rectas paralelas, las medidas de los segmentos en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra recta. 2. Dos o más triángulos son congruentes si sus lados y sus ángulos correspondientes son iguales. 2.1 Para que dos triángulos sean congruentes deben cumplir con uno de los criterios siguientes: a. lado – lado – lado (LLL) C

C'

AB = A'B' AC = A'C'

A

B

b. lado – ángulo – lado (LAL)

BC = B'C' A'

a = a'

a A

b

AB = A'B' A'

a'

B

a = a'

a'

A'

AC = A'C'

C

b

C' B'

d. lado – lado – ángulo (LLA)

C'

b = b' B

a

A

B'

c. ángulo – lado – ángulo (ALA) C

AB = A'B' AC = A'C'

C

BC = B'C'

a

A

B'

C'

B

a = a'

A'

a'

B'

3. Los triángulos semejantes tienen la misma forma pero diferente tamaño. 3.1 Para que dos triángulos sean semejantes deben cumplir con los criterios siguientes: a. Ángulos iguales C A

B

< A = < A' < B = < B'
b. Lados proporcionales

C'

C'

C

a

c B'

A'

A

B

b

a = b = c a' b' c'

a'

c' A'

b'

B'

c. Lados proporcionales y ángulos correspondientes iguales B

c

a

a c = a' c' < B = < B'

B'

c'

a'

Investigue en la red... Para afianzar sus conocimientos sobre congruencia y semejanza de triángulos, responda las preguntas y resuelva los ejercicios planteados en las direcciones siguientes: • http://goo.gl/SHRj4L • http://goo.gl/ZzoP0R Matemática − Semana 30

219



A. Escriba una "X" en el cuadro de la opción que completa cada enunciado. 1) Por simple inspección, el valor de x que cumple con la proporción 2 = 4 es… 3 x

5 6 7 8

2) Si el lado AB de un triángulo mide 5 cm, su lado homólogo A'B' en otro triángulo mide 10 cm, la razón entre los lados es…

2 cm 4 cm 5 cm 10 cm

3) Si traza un triángulo equilátero semejante a otro, cuyos lados miden 4.5 cm y aplica una razón de 3, los lados del nuevo triángulo deben medir…

1.5 cm 0.67 cm 10.5 cm 13.5 cm

4) A los triángulos que tienen sus ángulos correspondientes iguales y sus lados homólogos proporcionales se les llama…

iguales isósceles semejantes congruentes

5) En matemática, a los triángulos que tienen sus lados y sus ángulos correspondientes iguales se les llama…

idénticos semejantes rectángulos congruentes

B. Los triángulos siguientes son congruentes, complete el valor de los lados que hacen falta en cada uno. 1)

2) 8.2 6.8

4.5

220

IGER − Polochic

7.07

6

4

Actividad 2.


A. Aplique el teorema de Tales para encontrar el valor de los segmentos indicados entre las rectas. Realice las operaciones en su cuaderno. 2)

1)

x

21 cm

x 8 cm

4m

14 m

7 cm

3)

16 m

4) B 6 cm

C

4 cm

D

2x – 1

b

m

x+2

2c

A

6 cm 4 cm

8 cm

E

F a

B. Aplique la semejanza de triángulos y encuentre el valor de los segmentos indicados en cada triángulo. Realice las operaciones en su cuaderno. 1)

2)

h

54 cm

4.5 m

40 cm

6.5 m

2.5 m

x

50 cm

3)

y

20 cm

4)

13 m

12 m

y

36 m

h 2m

5m

x

3m

1.5 m


221

Agilidad de cálculo mental Realice mentalmente las operaciones de porcentaje que se indica en cada inciso. Tiene un ejemplo para cada caso. A. Encuentre el 50 % de las cantidades siguientes. 0) 50 % de 80 =

40

8) 50 % de 18 =

1) 50 % de 24 =

9) 50 % de 84 =

2) 50 % de 56 =

10) 50 % de 150 =

3) 50 % de 88 =

11) 50 % de 444 =

4) 50 % de 74 =

12) 50 % de 896 =

5) 50 % de 92 =

13) 50 % de 250 =

6) 50 % de 70 =

14) 50 % de 952 =

7) 50 % de 66 = 15) 50 % de 884 = B. Encuentre el 25 % de las cantidades siguientes. 0) 25 % de 80 =

20

8) 25 % de 100 =

1) 25 % de 60 =

9) 25 % de 360 =

2) 25 % de 48 =

10) 25 % de 320 =

3) 25 % de 40 =

11) 25 % de 200 =

4) 25 % de 88 =

12) 25 % de 600 =

5) 25 % de 36 =

13) 25 % de 500 =

6) 25 % de 28 =

14) 25 % de 240 =

7) 25 % de 32 = 15) 25 % de 800 = C. Encuentre el 75 % de las cantidades siguientes. 0) 75 % de 80 =

222

60

7) 75 % de 56 =

1) 75 % de 20 =

8) 75 % de 100 =

2) 75 % de 40 =

9) 75 % de 120 =

3) 75 % de 32 =

10) 75 % de 400 =

4) 75 % de 36 =

11) 75 % de 800 =

5) 75 % de 28 =

12) 75 % de 160 =

6) 75 % de 44 =

13) 75 % de 900 =

IGER − Polochic

Razonamiento lógico A. Aplique el teorema de Tales para encontrar los segmentos de recta indicados. Puede realizar las operaciones en su cuaderno o en hojas aparte. x

4 cm

2 cm

3 cm

x=

x+5

x+1

x+3

x

x=

B. Resuelva los problemas. 1) Los peldaños de la grada representada en la figura son paralelos. Calcule la longitud de x e y.

7 cm 10 cm y

5 cm x 11 cm

2) Calcule la altura de un árbol que proyecta una sombra de 7.22 m en el momento en el que otro árbol pequeño de 1.60 m da una sombra de 0.67 m.

1.60 m 7.22 m

0.67 m

3) Calcule la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m, a la misma hora en el que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.9 m.

4.5 m 0.9 m

6.5 m

4) Una persona de 1.65 m de estatura parada cerca de un poste de alumbrado público proyecta una sombra de 1.5 m. Si la distancia de la persona al poste es de 2.5 m, ¿cuál es la altura del poste?

5) Preste atención a las medidas de los triángulos y utilícelas para hallar cuánto mide los lados x e y.

1.65 m 2.5 m

24 m

26 m

1.5 m

52 m

y x

10 m

6) Utilice los datos del dibujo para encontrar la altura del árbol.

1.5 m 6m

2m


223

Desarrolle nuevas habilidades Complete las figuras Para el desarrollo del razonamiento abstracto y lógico se emplean pruebas en las que, dada una serie de opciones, se debe determinar la figura que continúa en una serie. En las figuras siguientes hace falta la figura que completa la serie. En las opciones del lado derecho elija el diseño que continúa. Luego, dibújelo en el cuadro que está en blanco. 1)

2)

3)

4)




224


Recuerdo el planteamiento de razones y resuelvo proporciones. Aplico el teorema de Tales, la congruencia y semejanza de triángulos. Calculo porcentajes. Resuelvo problemas de la vida diaria en los que aplico el teorema de Tales, la congruencia y semejanza de triángulos. Selecciono y dibujo la figura que continúa en la serie.

IGER − Polochic


5

y

4 3 2 1 0 1

x2

2

3

+ y2

4

x

31

–1 = i

= r2

Cuerpos geométricos I ¿Qué encontrará esta semana? Pirámide de La Danta Cuerpos geométricos Cálculo de porcentajes Réplica de un patrón lineal

Esta semana logrará:  Comprender el concepto de cuerpo geométrico.  Conocer las partes que forman los prismas y las pirámides.  Resolver problemas para determinar el área y el volumen de prismas y pirámides.  Calcular porcentajes.  Replicar un patrón dentro de un plano.  Utilizar su razonamiento para resolver problemas de la vida cotidiana. 


225

¡Para comenzar! Pirámide de La Danta En un remoto lugar de la densa selva de Petén, el municipio de San Andrés, muy cerca de la frontera con México, se levanta el sitio arqueológico de El Mirador. Lo que en la actualidad parecen pequeñas montañas cubiertas por maleza, en realidad son construcciones que alguna vez formaron una de las ciudades mayas más grandes e importantes en su época de esplendor. ¿Recuerda que ya habíamos hablado de esta construcción? En la semana 29 calculamos la altura de una de sus partes con el teorema de Pitágoras.

Este sitio mide cinco veces el área del Parque Nacional Tikal y de entre todos sus montículos sobresale uno, la pirámide de La Danta, nombrada así por el tapir o danta, animal que habita en la selva petenera. La Danta es de hecho un complejo de estructuras con forma piramidal constituida por varias secciones. Su construcción fue hecha en piedra caliza y se caracteriza porque va por "niveles" y en cada nivel hay varios edificios de distintas alturas. Esta pirámide es la más alta de América descubierta hasta el momento, y el complejo entero llega a medir un máximo de 72 m de altura aproximadamente. Observemos la altura de algunas estructuras que se encuentran en la ciudadd de Guatemala y de algunas pirámides mayas. 75 m

72 m

72 m 47 m

Tikal Futura, zona 11

Torre del Reformador, zona 9

La Danta

Templo I Gran Jaguar

Como comprobamos una vez más, la civilización Maya logró grandes avances en varias áreas, como la matemática y la ingeniería, lo que nos hace sentir orgullosos por haber nacido y crecido en esta tierra tan rica y multicultural.

¡A trabajar! Responda: ¿cómo cree que los mayas pudieron subir los materiales a alturas tan grandes? Explique brevemente.

226

IGER − Polochic

El mundo de la matemática 1. Cuerpos geométricos I Un cuerpo geométrico es una figura tridimensional, es decir, que tiene tres dimensiones: longitud, altura y profundidad. Una pirámide, como La Danta, sobre la que leíamos en el apartado anterior, es un ejemplo de cuerpo geométrico.

1.1 Clasificación de los cuerpos geométricos Estas figuras se clasifican en poliedros y en cuerpos redondos. Esta semana, nosotros veremos los primeros. En la semana siguiente, trataremos los cuerpos redondos. Es momento de iniciar, ¡vamos, con ánimo! Poliedros Un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas "caras" son figuras planas, es decir, está limitado por polígonos. Algunos ejemplos son el prisma, en el cual sus caras son rectangulares; y la pirámide, cuyas caras laterales son triángulos, como las figuras de abajo.

A su vez, los poliedros se dividen en regulares e irregulares. Poliedros regulares: como su nombre lo indica son los que están formados por polígonos regulares. Es decir, todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida. Hay cinco poliedros regulares. Veamos: Tetraedro

4 triángulos equiláteros

Hexaedro (cubo)

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

6 cuadrados


12 pentágonos regulares



227

Poliedros irregulares: son aquellos cuyas caras no son polígonos regulares y/o sus ángulos no son iguales. Las figuras más conocidas dentro de este tipo de poliedros son los prismas y las pirámides, de las cuales aprenderemos a calcular el área y el volumen.

1.2 Prismas Un prisma es un poliedro que tiene dos caras paralelas e iguales llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos. Su altura es la distancia que hay entre las bases. Veamos en la ilustración las partes que forman un prisma. base (b) cara lateral (Cl)

altura (h)

base (b) apotema (a) Los prismas se pueden clasificar según el polígono que forma su base. Los más comunes son: Prisma triangular

Sus bases son triángulos Prisma pentagonal

Sus bases son pentágonos

228

IGER − Polochic

Prisma cuadrangular

Sus bases son cuadriláteros Prisma hexagonal

Sus bases son hexágonos

Área y volumen de un prisma Para calcular el área de un prisma empleamos las fórmulas siguientes: • Primero, calculamos el área lateral (A l ) multiplicando el perímetro de una de las bases (P b) por la altura (h).

A l = Pb • h

• Ahora, para calcular el área total (A t) sumamos el área lateral (A l) más el doble del área de una base (A b).

A t = A l + 2Ab

Apliquemos este procedimiento, encontremos el área del prisma que aparece abajo: 8 cm 8 cm

6.24 cm 22 cm

10 cm • Calculemos el perímetro de la base (P b).

P b = 8 cm + 8 cm + 10 cm P b = 26 cm

• Calculemos el área lateral (A l).

Al = Pb • h A l = (26 cm)(22 cm) A l = 572 cm2

• Ahora, calcule el área de la base (A b). La ht de esta fórmula se refiere a la altura del triángulo que forma la base.

Ab =

b • ht 2

Ab =

(10 cm)(6.24 cm) 2

A b = 31.2 cm2 • Por último, hallemos el área total (A t ).

A t = A l + 2A b A t = 572 cm2 + 2(31.2 cm2) A t = 634.4 cm2

El área total del prisma es de 634.4 cm2.


229

Ahora, para calcular el volumen de un prisma empleamos la fórmula siguiente: Recuerde que la apotema (a) es la distancia del centro de la base al punto medio de uno de los lados.

V = Ab • h En donde Ab es el área de una base y h es la altura del prisma. Apliquemos la fórmula, calculemos el volumen del prisma del ejemplo anterior: • Del apartado anterior ya conocemos el área de una base (Ab).

A b = 31.2 cm2

• Empleamos la fórmula de volumen.

V = Ab • h V = (31.2 cm2)(22 cm) V = 686.4 cm3

El volumen del prisma es de 686.4 cm3.

Ejercicio 1 Le recordamos las fórmulas para el área de diferentes polígonos. Estas le serán útiles para calcular el área de las bases de los prismas del ejercicio siguiente. Triángulo

A=

Cuadrilátero

base • altura

2

A = base • altura

Pentágono

A=

Hexágono

perímetro • apotema

2

A=

perímetro • apotema

2

Calcule el área y el volumen de los prismas siguientes. De ser necesario, aproxime sus respuestas a dos decimales. 1)

2) 22 m

6.35 m

22 m

5.5 m 27 m

45 m

31.11 m

3)

4)

9m

12 cm

12 cm

6.19 m 42 m

230

IGER − Polochic

25 cm

1.3 Pirámides Luego de los prismas, las pirámides son las siguientes figuras que se destacan. Una pirámide es un poliedro, cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, el cual es el vértice de la pirámide. vértice (v) altura de la pirámide (h)

Importante: para no confundirnos, se ha nombrado a la altura de la pirámide como h y a la altura que tiene cada cara lateral de la pirámide como hc .

altura de la cara (hc )

cara lateral (Cl ) base (b)

apotema (a)

Área y volumen de una pirámide Para calcular el área de una pirámide empleamos la fórmula siguiente: • El área total (A t) de la pirámide será igual a la suma del área lateral (A l) más el área de la base (A b).

A t = A l + Ab

Veamos un ejemplo, calculemos el área de la pirámide que aparece abajo:

15 m

7.5 m

5.2 m

• Calculemos el perímetro de la base (P b).

P b = (7.5 m)(6) P b = 45 m

• Hallemos el área de la base (A b). Es un hexágono, por lo que utilizamos la fórmula correspondiente. En ella se utiliza el perímetro (P b) y la apotema (a).

Ab =

• Encontremos el área lateral (A l). Como está formada por una serie de triángulos, calculamos el área de uno y la multiplicamos por el número de lados que tenga la base. Continuemos en la página siguiente.

Pb • a 2

(45 m)(5.2 m) 2 2 A b = 117 m Ab =

Al = 6

(

b • hc 2

) Matemática − Semana 31

231

• Falta encontrar la altura del triángulo que forma la cara lateral (hc ).

Note que hc resulta ser la hipotenusa del triángulo rectángulo que se forma con la apotema y la altura de la pirámide.

Entonces para hallarla hacemos uso del teorema de Pitágoras.

hc

h

h

a

hc =

a

h 2 + a2

2 2 hc = (15 m) + (5.2 m)

hc ≈ 15.88 m 6(7.5 m)(15.88 m) 2 A l = 357.3 m2

• Ahora sí, pasamos al área lateral.

Al =

• Sumemos A b y A l para hallar el área total (A t ).

A t = 117 m2 + 357.3 m2 A t = 473.3 m2

El área total de la pirámide es de 473.3 m2.

Para calcular el volumen de una pirámide empleamos la fórmula de la derecha.

• Del apartado anterior ya conocemos el área de la base (Ab). Entonces, calculemos el volumen.

V=

Ab • h 3

(117 m2)(15 m) 3 3 V = 585 m V=

El volumen de la pirámide es de 585 m3.

Ejercicio 2 Halle el área total y el volumen de las pirámides siguientes. Puede trabajar en su cuaderno. 1)

2) 28 m

125 cm

16 m

30.51 cm

232

IGER − Polochic

21 cm

16 m

hc

16 m

Resumen 1. Un cuerpo geométrico es una figura tridimensional, es decir, que tiene tres dimensiones: longitud, altura y profundidad. 1.1 Los cuerpos geométricos se clasifican en poliedros y en cuerpos redondos. Esta semana vimos los primeros. Un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas "caras" son figuras planas, es decir, está limitado por polígonos. A su vez, estos se dividen en poliedros regulares e irregulares. Los poliedros regulares son los que están formados por polígonos regulares. Es decir, todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida. Hay cinco poliedros regulares. Los poliedros irregulares son aquellos cuyas caras no son polígonos regulares. Destacan los prismas y las pirámides. 1.2 Un prisma es un poliedro que tiene dos caras paralelas e iguales llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos. Volumen de un prisma Área de un prisma A l = Pb • h

V = Ab • h

A t = A l + 2Ab 1.3 Una pirámide es un poliedro, cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, el cual es el vértice de la pirámide. Área de una pirámide A t = A l + Ab

Volumen de una pirámide V=

Ab • h 3

Investigue en la red... Si desea saber más sobre la clasificación de los poliedros, le recomendamos visitar la siguiente página de internet: goo.gl/WORAvn Puede ver más ejemplos para calcular el área y el volumen de prismas y pirámides, visite la dirección de internet siguiente: goo.gl/PViBgS Encontrará ejercicios y problemas interactivos en la siguiente página web: goo.gl/w7Nr97


233



A. Escriba sobre la línea el nombre de cada prisma, de acuerdo con la base que lo forma. 1)

2)

3)

4)

B. Escriba el nombre de los poliedros regulares siguientes.

1)

2)

3)

C. Identifique las partes que caracterizan a los prismas y a las pirámides. Escriba el nombre correspondiente sobre cada línea. 1)

234

2)

IGER − Polochic

Actividad 2.


A. Calcule el área y el volumen de los prismas siguientes. Puede trabajar en su cuaderno. 1)

0.5 m

2)

20 cm

0.75 m

78 cm

17.32 cm

0.5 m 3)

4) 25 cm

4.12 m

9m 75 cm

12 m

17.20 cm

16 m

B. Calcule el área y el volumen de las pirámides siguientes. Puede trabajar en su cuaderno. 1)

2) 18 cm

15cm

8.7 cm 10 cm

25 cm

20 cm

C. Resuelva los problemas siguientes. 1) Una empresa de comida para animales compra un silo de almacenamiento en forma de prisma hexagonal. Sus medidas son 13.50 m de altura, 4.3 m por lado y 3.72 m de apotema. Con la información anterior resuelva lo siguiente: a) Se debe pintar con el color de la empresa. Si cada cubeta de pintura cuesta Q850.00 y cubre 190 m2, calcule cuántas cubetas se deben comprar y el costo total. b) Halle cuál es la capacidad del depósito. 2) Un empaque de cartón para dulces tiene forma de pirámide pentagonal. Sus medidas son 12 cm de altura, 3.5 cm por lado y 2.41 cm de apotema. Calcule la cantidad de cartón necesario para su elaboración y su capacidad. Matemática − Semana 31

235

Agilidad de cálculo mental A. Calcule el 10 % de las siguientes cantidades. Luego, escriba su respuesta en la línea correspondiente.

1) 10

12) –55

23) –8

2) 0

13) 78

24) –89

3) –12

14) –25

25) 36

4) 15

15) –70

26) 60

5) 100

16) 42

27) –100

6) –25

17) 87

28) 79

7) 50

18) 63

29) –38

8) 65

19) –13

30) 40

9) 99

20) 5

31) 88

10) –1000

21) –74

32) –90

11) 1

22) –52

33) 20

B. Calcule el 25 % de las siguientes cantidades. Luego, escriba su respuesta en la línea correspondiente.

236

1) –236

11) –88

21) 192

2) 100

12) 80

22) –120

3) 25

13) –156

23) 124

4) –140

14) 200

24) 204

5) 112

15) 36

25) 236

6) – 4

16) 8

26) 132

7) 48

17) 44

27) 0

8) 12

18) –72

28) –25

9) 104

19) 64

29) 260

10) –32

20) –1000

30) –20

IGER − Polochic

Razonamiento lógico El ejercicio siguiente le ayudará a perfeccionar su motricidad fina y su habilidad espacial. Se le presenta una serie de patrones con líneas. Usted debe replicar cada figura en la zona de puntos correspondiente. El ejemplo le sirve de guía. 1)

2)

3)

4)


237

Desarrolle nuevas habilidades Resolución de conflictos Un conflicto sucede cuando nos encontramos con personas que no comparten nuestras opiniones y forma de pensar; estos pueden surgir tanto en el entorno laboral como personal. Para superarlos, hacemos uso de nuestra habilidad en la resolución de conflictos, la cual es el conjunto de conocimientos y capacidades para abordar e intervenir en un desacuerdo o conflicto y resolverlo de forma pacífica. Esta habilidad abarca muchas áreas, desde la matemática, pasando por la psicología y llegando hasta la biología humana. A continuación, se le presentan dos casos de conflicto. Usted debe realizar lo que se le pide debajo de cada situación. 1) En una organización, usted tiene bajo su cargo a 15 empleados. Entre dos de ellos, Andrea y Haroldo, surge una discordia. Haroldo casi siempre le entrega los trabajos tarde a Andrea, lo que hace que ella se atrase.

Andrea ya ha llegado a enojarse con su compañero y no desea seguir trabajando con él. Le ha dado la queja a usted y le pide que haga algo.

¿Qué haría en esta situación? Explique su respuesta.

2) Un vecino está acusando a otro vecino de haberle robado una bicicleta. El acusado está seguro de no haber hecho nada, ni siquiera se encontraba en casa cuando sucedió el hurto.

¿Qué le aconsejaría al vecino acusado para demostrar su inocencia y resolver el conflicto pacíficamente?




Comprendo el concepto de cuerpo geométrico. Conozco las partes que forman los prismas y las pirámides. Resuelvo problemas para determinar el área y el volumen de prismas y pirámides. Calculo porcentajes. Replico un patrón dentro de un plano. Utilizo mi razonamiento para resolver problemas de la vida cotidiana.

238

IGER − Polochic


5

y

4 3 2 1 0 1

x2

2

3

+ y2

4

x

32

–1 = i

= r2

Cuerpos geométricos II ¿Qué encontrará esta semana? El número pi El cilindro, el cono y la esfera Cálculo de porcentajes Problemas relacionados con el área y el volumen de cuerpos geométricos redondos

Esta semana logrará:  Conocer el origen y calcular de forma aproximada el valor de pi.  Aplicar las fórmulas de área y volumen del cilindro, cono y esfera.  Resolver problemas de área y volumen de cuerpos geométricos redondos.  Calcular porcentajes con agilidad.  Determinar la continuidad de una línea en un patrón. 


239

¡Para comenzar! El número pi (π)

Papiro matématico de Rhind, dinastía XII El 14 de marzo de cada año se celebra en muchos países el día del número pi: mes 3, día 14 al igual que los primeros tres dígitos del número.

El número pi, que se representa con la letra griega π, es una de las constantes más utilizada en matemática para calcular el perímetro, área y volumen de diferentes cuerpos geométricos. También es utilizado con bastante frecuencia en otras ciencias como física e ingeniería. El hallazgo más antiguo del número pi se encuentra en el Papiro de Rhind, que data del año 1650 a. C., el cual contiene información sobre la matemática egipcia y presenta la solución a 87 problemas sobre fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, regla de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica. 256 ≈ 3.1605. En el año 81 250 a. C., Arquímedes, matemático griego, enunció un valor más preciso, que

El valor del número pi empleado en el papiro era

aún utilizamos en la actualidad. Afirmaba que el número estaba comprendido entre 3.1408 y 3.1452. Por otra parte, se cuenta que él empleó el valor 211 875 ≈ 3.14163..., en sus escritos. 67 441 El valor de pi con sus primeros decimales es: (3.14159265358979…) y se obtiene al relacionar el perímetro de una circunferencia y la longitud de su diámetro, esto da como resultado un número irracional con infinitos decimales, pero nosotros para facilitarnos las operaciones utilizaremos 3.14.

¡A trabajar! Calcule un valor aproximado a pi. Para ello, consiga tres objetos con base redonda, por ejemplo: un vaso, una moneda, una lata, etc. Mida con la mayor precisión posible su circunferencia y su diámetro. Anótelos en los espacios indicados, realice la división y escriba sus resultados. Guíese por el ejemplo. p p = 7.86 cm = 3.131 c. = = a. d d 2.51 cm p p b. = = d. = = d d De los valores que obtuvo, ¿cuál se aproxima más a pi?

240

IGER − Polochic

El mundo de la matemática 1. Cuerpos geométricos II La semana anterior estudiamos el área y el volumen de cuerpos geométricos, formados por varias caras planas. Ahora aprenderemos a obtener estas medidas en cuerpos geométricos, formados por alguna superficie redonda. Estos cuerpos pueden ser oblicuos, es decir, que tienen cierto grado de inclinación y rectos; estos últimos serán nuestro tema de estudio. En los cuerpos geométricos redondos rectos alguna de sus caras es curva y se forma al hacer girar una figura plana sobre un eje. En la tabla de abajo se muestran los tres que estudiaremos esta semana. Cilindro

Cono

Esfera

Se forma al hacer girar un rectángulo sobre un eje.

Se forma al hacer girar un triángulo rectángulo sobre un cateto.

Se forma al girar un semicírculo sobre un eje que pase por su centro.

1.1 El cilindro Como vimos en la ilustración superior, el cilindro es un cuerpo geométrico formado por un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados. Este rectángulo forma una superficie lateral curva y dos círculos iguales que son las bases. Los elementos que forman el cilindro son:

base (b)

• Dos bases (b) son los círculos que lo cierran. • Altura (h) distancia entre las dos bases.

altura (h)

• Radio (r) distancia del centro de la base a un punto de la circunferencia. • Generatriz (g) línea exterior al rectángulo que genera el cilindro.

generatriz (g) base (b)

radio (r)


241

a. Área del cilindro El área de un cilindro está compuesta por dos figuras planas, un rectángulo que forma el área lateral y los círculos que forman las bases. Calculemos cada una de estas áreas de la forma siguiente: El área lateral es la superficie curva que describe la generatriz. En la imagen de la derecha se puede observar que para obtener el área lateral utilizamos la base del rectángulo que es igual al perímetro del círculo (2πr) multiplicado por (h) que corresponde a la altura del cilindro.

r (h) 2πr

(h)

r

Entonces el área lateral del cilindro es: A l = 2πrh El área de las bases es bastante fácil encontrarla, ya que corresponde al área de los dos círculos que cierran el cilindro. A b = 2πr2 Entonces el área total del cilindro resulta de la suma del área lateral más el área de las dos bases. A t = Al + Ab A = 2πrh + 2πr2 Como pi y el radio (πr) aparece dos veces en la fórmula, podemos aplicar el factor común para expresar el área total del cilindro de una forma más simple. A = 2πr(h + r) Practiquemos con el área total del cilindro: Calculemos la cantidad de hojalata que se necesita para fabricar un bote cilíndrico cerrado de 5 cm de radio y 15 cm de alto. • Copiamos la fórmula del área total.

A = 2πr(h + r)


A = 2(3.14)(5 cm)(15 cm + 5 cm)


A = (31.4 cm)(20 cm) A = 628 cm2

Se necesitan 628 cm2 de hojalata para fabricar el bote cilíndrico.

242

IGER − Polochic

Otro ejemplo: Calculemos la cantidad de cartón que se necesita para elaborar un recipiente cilíndrico cerrado en una de sus bases. Las medidas son: 1.20 m de alto y 0.15 m de radio. Preste atención a la fórmula que utilizaremos, porque calcularemos al área lateral y solo el área de una base. • Escribimos la fórmula.

A = 2πrh + πr2


A = 2(3.14)(0.15 m)(1.20 m) + (3.14)(0.15 m)2


A = (0.942 m)(1.20 m) + (3.14)(0.0225 m2) A = 1.130 m2 + 0.071 m2 A = 1.201 cm2

Para construir el cilindro se necesitan 1.201 m2 de cartón.

b. Volumen del cilindro El volumen de un cilindro se utiliza para saber la cantidad de espacio que ocupa un objeto con esta forma o la cantidad de líquido que puede contener. El volumen de un cilindro se obtiene al multiplicar el área de la base por la altura y su fórmula es: V = πr2h Ejemplo: ¿Cuántos litros de agua caben en un tonel que mide 30 cm de radio y 100 cm de alto?

• Copiamos la fórmula del volumen del cilindro.

V = πr2h


V = (3.14)(30 cm)2(100 cm)


V = (3.14)(900 cm2)(100 cm) V = 282 600 cm3

Para saber cuánto litros de agua caben en el tonel, planteamos una regla de tres simple directa, sabiendo que 1000 cm3 = 1 litro. 1000 cm3

1 litro

282 600 cm3

x litros

282 600 cm3 Í 1 litro 1000 cm3 x = 282.6 litros

x=

Al tonel le caben 282.6 litros de agua. Matemática − Semana 32

243

Ejercicio 1 A. Preste atención a las medidas de los cilindros cerrados. Sustitúyalas en cada fórmula para obtener el área total y el volumen. 1)

5 cm

A = 2πr(h + r)

V = πr2h

12 cm

A= 2)

V=

A = 2πr(h + r)

40 cm

V = πr2h

100 cm

A=

V=

B. Resuelva el problema siguiente.

Calcule la cantidad de lámina que se necesita para fabricar una lata cilíndrica de aluminio con las medidas que se muestra en la imagen. También determine el volumen de jugo que puede contener.

• Fórmula del área total del cilindro

A = 2πr(h + r)

• Sustituya los valores.

A=

• Realice las operaciones.

A= A=

Para construir la lata necesitan

cm2 de aluminio.

• Fórmula del volumen del cilindro.

V = πr2h

• Sustituya los valores.

V=

• Realice las operaciones.

V= V=

El cilindro puede contener

244

IGER − Polochic

cm3 de jugo.

3 cm 12 cm

1.2 El cono El cono es el cuerpo geométrico que se obtiene al hacer girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos. En su giro, el otro cateto forma un círculo que corresponde a la base del cono. Los elementos del cono son: • Vértice (v) es el punto donde el cono alcanza su mayor altura.

vértice (v)

• Generatriz (g) une el vértice del cono con un punto cualquiera de la circunferencia de la base. Este segmento genera el cono.

altura (h)

• Base (b) círculo que cierra el cono.

generatriz (g)

• Radio (r) corresponde al radio del círculo que forma la base. base (b)

radio (r)

• Altura (h) segmento que une el vértice del cono con el centro de la base.

a. Área del cono g

El área del cono, al igual que la del cilindro, está compuesta por dos figuras; un sector circular que forma la superficie curva y un círculo que es su base. Preste atención a la ilustración que describe las áreas.

g 2πr

r

r

El área lateral es la superficie curva que forma el sector circular. La fórmula para obtenerla es: Al = πrg El área de la base corresponde al área del círculo que cierra el cono. Ab = πr2 Entonces el área total del cono es igual al área lateral más el área de la base. At = Al + Ab A = πrg + πr2 Como la constante pi y el radio (πr) aparecen una vez en cada término del miembro derecho, podemos extraer el factor común y expresar la fórmula de una forma más simple. A = πr(g + r) Matemática − Semana 32

245

Realicemos algunos ejemplos para encontrar el área lateral y total del cono. Calculemos el área total de un cono que mide 5 cm de radio y 8 cm de generatriz. • Copiamos la fórmula del área del cono.

A = πr(g + r)


A = (3.14)(5 cm)(8 cm + 5 cm)


A = (15.7 cm)(13 cm)

El área total del cono es 204.1 cm2.

A = 204.1 cm2

Otro ejemplo: ¿Qué cantidad de papel se necesita para elaborar un ciento de vasos cónicos que midan 3 cm de radio y 10 cm de generatriz? Mucha atención, en este caso solo utilizaremos el área lateral, ya que los vasos son abiertos, es decir, carecen de papel en la base. • Copiamos la fórmula del área lateral.

A = πrg


A = (3.14)(3 cm)(10 cm)


A = (9.42 cm)(10 cm) A = 94.2 cm2

Con este resultado solo hemos encontrado la cantidad de papel necesaria para un vaso. Para obtener el resultado que nos pide el problema, debemos realizar la operación siguiente y responder.

A = (94.2 cm2)(100) A = 9420 cm2

Para elaborar 100 vasos se necesitan 9420 cm2 de papel. Las dos variables que intervienen en el área del cono son el radio y la generatriz, pero en algunos ejercicios aparecen el radio y la generatriz. Para hallar la altura, aplicamos el teorema de Pitágoras y una vez obtenido este dato podemos utilizar la fórmula del área sin dificultad. r

Hagamos un ejemplo: h

g

Determinemos la cantidad de lámina que se necesita para fabricar un embudo de 5 cm de radio y 10 cm de altura. En este caso necesitamos encontrar el área lateral, pero desconocemos el valor de la generatriz, entonces aplicamos el teorema de Pitágoras para encontrarla. • Copiamos la fórmula del teorema de Pitágoras. c2 = a2 + b2

246

IGER − Polochic

• Reemplazamos las variables.

g2 = h2 + r2


g2 = (10 cm)2 + (5 cm)2


g2 = 125 cm2 g = ± 125 cm2 = 11.18 cm

Ahora que ya encontramos el valor de la generatriz, podemos encontrar el área lateral. • Copiamos la fórmula del área lateral.

Al = πrg


Al = (3.14)(5 cm)(11.18 cm)


Al = (3.14)(55.9 cm2) Al = 175.53 cm2

Para fabricar el embudo se necesitan 175.53 cm2 de lámina.

b. Volumen del cono Recuerde que el volumen de un cilindro se obtiene al multiplicar el área de la base por la altura, pues esta fórmula se encuentra muy relacionada con el volumen del cono. La diferencia es que el cono solo ocupa un tercio del volumen del cilindro, por lo tanto la fórmula es: V=

πr2h 3

Ejemplo: Al descargar arena de un camión se formó un cono de 1.5 m de radio y 0.75 m de altura. ¿Qué cantidad de arena se descargó? πr2h V= • Copiamos la fórmula del volumen. 3 (3.14)(1.5 m)2(0.75 m) V= • Sustituimos los valores. 3 (2.355 m)(2.25 m2) V= • Realizamos las operaciones. 3 3 5.30 m V= = 1.77 m3 3 3 Del camión se descargaron 1.77 m de arena.

Ejercicio 2 Preste atención a las medidas del cono abierto. Sustitúyalas en cada fórmula para obtener el área lateral y el volumen. 15 cm

Al = 2πrg

V=

πr2h 3

45 cm

Al =

V=


247

1.3 La esfera En la vida diaria hay muchos ejemplos de esferas: un cinco o canica corresponde a una esfera maciza; una pelota plástica es una esfera hueca. La esfera es una superficie cerrada, tal que cada punto de la superficie se encuentra a la misma distancia del centro. Los elementos que la forman son: • Centro (C) punto interior que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la superficie.

diámetro (d) centro (C)

• Radio (r) distancia del centro a un punto de la superficie. • Diámetro (d) segmento que pasa por el centro y toca dos puntos de la superficie.

radio (r)

a. Área de la esfera Arquímedes, dentro de sus aportes a la matemática también demostró que el área de una esfera es igual al área lateral de un cilindro. En la ilustración siguiente hacemos esta relación. Recordemos que el área lateral del cilindro se obtiene al multiplicar la base por la altura.

2r

2πr

Al = 2πr Í 2r Como el área lateral del cilindro es igual al área de la esfera, podemos escribir esta misma fórmula de la manera siguiente:

2r

A = 4πr2 Practiquemos el área de la esfera con los ejercicios siguientes. El radio promedio de la Tierra es de 6371 km. Si consideramos que la superficie es lisa, ¿cuál sería su área? • Copiamos la fórmula del área.

A = 4πr2


A = 4(3.14)(6371 km)2


A = (12.56)(40 589 641 km2)

• Obtenemos la respuesta.

A = 509 805 891 km2

La Tierra tendría un área de 509 805 891 km2.

248

IGER − Polochic

b. Volumen de la esfera Al igual que en las figuras anteriores, el volumen de una esfera sirve para: determinar el espacio que ocupa, saber la cantidad de material que se necesita para construirla o calcular cuánto líquido o sólido puede contener. En estos casos la fórmula que utilizaremos para encontrar el volumen es: 4πr3 3

V=

Practiquemos el volumen de la esfera con los ejemplos siguientes. ¿Qué cantidad de agua se necesita para llenar una pecera esférica de 5 cm de radio? • Copiamos la fórmula del volumen. • Sustituimos los valores. • Realizamos las operaciones. La pecera se llena con 523.33 cm3 de agua.

4πr3 3 4(3.14)(5 cm)3 V= 3 (12.56)(125 cm3) 1570 cm3 V= = 3 3 V = 523.33 cm3

V=

Otro ejemplo: La empresa La Luz elabora veladoras de forma esférica de 3 cm de radio. ¿Qué cantidad de parafina se necesita para hacer cada veladora? 4πr3 V= • Copiamos la fórmula del volumen. 3 4(3.14)(3 cm)3 V= • Sustituimos los valores. 3 (12.56)(27 cm3) 339.12 cm3 • Realizamos las operaciones. V= = 3 3 V = 113.04 cm3 Para elaborar una veladora se necesitan 113.04 cm3 de parafina.

Ejercicio 3 Resuelva el problema siguiente: En una plaza hay un monumento esférico que simboliza la esperanza ecológica. Esta esfera maciza tiene 1.25 m de radio, ¿cuál es el área y volumen del monumento? A= A = 4( A=( A=

V= )( )( m2

)2

V=

m 2)

V= V=

3 3 3

=

3 m3


249

Resumen 1. Los cuerpos geométricos redondos se diferencia de los planos porque tienen una superficie lisa en una de sus caras y se generan al girar una figura plana sobre un eje. Estos cuerpos pueden ser oblicuos, es decir, que tienen cierto grado de inclinación y rectos.

La tabla siguiente presenta los cuerpos redondos rectos más conocidos y las fórmulas para calcular el área y el volumen. Cuerpo geométrico

Área lateral

Área total

Volumen

A l = 2πrh

A = 2πrh + 2πr2 A = 2πr(h + r)

V = πr2h

Cilindro

Cono A l = πrg

A = πrg + πr2 A = πr(g + r)

V=

πr2h 3

A = 4πr2

V=

4πr3 3

Esfera

Investigue en la red... Para conocer otros elementos relacionados con la esfera, visite la dirección siguiente: http://goo.gl/S0KWUy

250

IGER − Polochic



Escriba una "X" en el cuadro de la opción que completa de forma correcta cada enunciado. 1. Cuerpo geométrico que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje.

cono esfera cilindro pirámide

2. Distancia entre las bases del cilindro y de igual tamaño que la generatriz.

radio altura diámetro generatriz

3. Cuerpo geométrico donde todos los puntos de la superficie están a la misma distancia del centro.

cono esfera cilindro triángulo

Actividad 2.


A. Preste atención a las medidas de cada figura geométrica. Calcule en su cuaderno o en hojas aparte el área total y el volumen. Luego, escriba su resultado en cada línea. 1)

a.

10 cm

b.

c.

25 cm

8 cm

25 cm

5 cm

A= 2)

a.

V=

0.5 m

A=

V=

A=

b.

c.

1.5 m

V=

15 m

50 cm 20 cm

A=

V=

A=

V=

A=

V=


251

Agilidad de cálculo mental Realice mentalmente las operaciones de porcentaje que se indican en cada apartado. Hay un ejemplo para cada caso. A. 100 % 3) El 50 % es 16

6) El 50 % es 150

el 100 % es

el 100 % es

1) El 50 % es 15

4) El 50 % es 54

7) El 50 % es 200

el 100 % es

el 100 % es

el 100 % es

2) El 50 % es 80

5) El 50 % es 14

8) El 50 % es 600

el 100 % es

el 100 % es

el 100 % es

0) El 100 % es 450 225 el 50 % es

3) El 100 % es 34

6) El 100 % es 900

el 50 % es

el 50 % es

1) El 100 % es 80

4) El 100 % es 100

7) El 100 % es 220

el 50 % es

el 50 % es

el 50 % es

2) El 100 % es 90

5) El 100 % es 250

8) El 100 % es 760

el 50 % es

el 50 % es

el 50 % es

3) El 100 % es 72

6) El 100 % es 120

el 25 % es

el 25 % es

1) El 100 % es 60

4) El 100 % es 12

7) El 100 % es 300

el 25 % es

el 25 % es

el 25 % es

2) El 100 % es 40

5) El 100 % es 100

8) El 100 % es 500

el 25 % es

el 25 % es

el 25 % es

0) El 50 % es 25 el 100 % es

50

B. 50 %

C. 25 % 0) El 100 % es 80 el 25 % es

252

IGER − Polochic

20

Razonamiento lógico Resuelva en su cuaderno los ejercicios siguientes. 1) Un cilindro cerrado tiene un diámetro de 14 cm. Si la altura es igual que el diámetro, ¿cuál es el área lateral, el área total y el volumen del cilindro? 2) Calcule la cantidad de hojalata que se necesita para elaborar 15 botes de forma cilíndrica de 4.5 cm de radio y 12 cm de alto. 3) En un vaso cilíndrico de 6 cm de radio y 10 cm de alto se echan 6 cubitos de hielo de 2 cm de arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan los cubitos? 4) Calcule el área lateral, el área total y el volumen de un cono cuya altura mide 12 cm y el radio de la base es de 6 cm. 5) Luisa elaboró 20 gorritos de cartón de forma cónica que miden 12 cm de diámetro y 20 cm de generatriz. ¿Qué cantidad de cartón utilizó Luisa? 6) Calcule el área lateral y el volumen de un cono de arena que mide 0.60 m de radio y 0.75 m de alto. 7) Encuentre la medida del radio de una pompa de jabón que tiene un volumen 15 cm3. 8) Una persona pintará la parte exterior de una cúpula semiesférica. El pintor cobra Q5.00 por cada metro cuadrado que pinte, ¿cuánto se le debe pagar si la cúpula mide 5 m de radio? 9) En un cubo como el que se muestra en la imagen, se introduce un cono que encaja perfectamente en el ancho y el alto del cubo. Si el espacio vacío se llena con agua, ¿qué volumen de agua cabría? 10 cm

10) De acuerdo con las medidas de la figura formada por un cilindro y una semiesfera, calcule el área y volumen de la figura compuesta.

12 cm 14 cm

11) Calcule el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura. Luego, divida el área de la esfera entre el área del cilindro y determine su relación. Haga lo mismo con el volumen.

1m

2m


253

Desarrolle nuevas habilidades Un laberinto es una figura con la entrada y salida en distintos lugares. Al recorrer el laberinto se encuentran caminos o líneas que se cruzan intencionalmente para confundir a quien se adentre en él. Los laberintos más comunes son de dos tipos: los que permiten recorrer toda el área hasta llegar al centro mediante un único camino, en este tipo no se puede tomar otro camino. El otro grupo corresponde a los laberintos que presentan caminos con diferentes alternativas y podemos tomar el camino correcto o incorrecto en el intento por llegar a la salida. En el ejercicio siguiente determine cuál de las líneas atraviesa correctamente el laberinto. Las letras a, b, c y d son las opciones por donde puede iniciar; la flecha que está al lado derecho es la salida.

a. b.

c.

d.




254


Conozco el origen y calculo de forma aproximada el valor de pi. Aplico las fórmulas de área y volumen del cilindro, cono, y esfera. Resuelvo problemas de área y volumen de cuerpos geométricos redondos. Calculo porcentajes con agilidad. Determino la continuidad de una línea en un patrón.

IGER − Polochic


5

y

4 3 2 1 0 1

x2

2

3

+ y2

4

x

33

–1 = i

= r2

Razones trigonométricas ¿Qué encontrará esta semana? Hiparco de Nicea y la trigonometría Razones trigonométricas Ángulos complementarios y suplementarios Problemas de aplicación de razones trigonométricas

Esta semana logrará:  Reconocer las partes de un triángulo rectángulo.  Determinar las razones trigonométricas a partir de las partes conocidas.  Encontrar los valores de lados y ángulos haciendo uso de las razones trigonométricas.  Resolver problemas aplicando las razones trigonométricas.  Encontrar el valor del ángulo complementario y suplementario.  Resolver problemas de razonamiento y pensamiento lateral. 


255

¡Para comenzar! Hiparco de Nicea y la trigonometría Hiparco de Nicea fue un reconocido astrónomo, geógrafo y matemático. Se cree que nació en el año 190 a. C. en la ciudad de Nicea, antiguamente perteneciente a Grecia. Entre las aportaciones de este sabio griego está la elaboración del primer catálogo de estrellas, el cual contenía la posición de aproximadamente 850 estrellas. Hizo más precisa la medición de la distancia entre la Tierra y la Luna.

Hiparco de Nicea (190 a. C.)

También propuso la división de todos los días del año en 24 horas, pues antiguamente la duración de los mismos dependía de la época y las estaciones. Por último, debemos mencionar que Hiparco es considerado el inventor de la trigonometría, ya que su manejo y cálculos le fueron muy útiles en la Astronomía. En términos generales, esta rama de la matemática tiene como objeto relacionar las medidas de los ángulos de un triángulo rectángulo con las medidas de sus lados. El nombre "trigonometría" proviene del griego y su significado etimológico es "la medida de los triángulos". Esta rama de la matemática posee numerosas aplicaciones, entre las que se pueden mencionar las técnicas de triangulación, las cuales son el proceso de determinar la ubicación de un punto tomando como referencia los ángulos y medidas de dos puntos conocidos. La triangulación es utilizada en astronomía para medir las distancias entre estrellas; también es empleada para la medición de distancias entre puntos geográficos en la Tierra y en algunos sistemas de navegación global que ayudan a embarcaciones a seguir su ruta en el mar sin desviarse.

¡A trabajar! Busque en internet o en alguna otra fuente al menos dos contribuciones más que haya realizado Hiparco de Nicea a la ciencia. Escriba sus hallazgos y una breve explicación en las líneas siguientes.

256

IGER − Polochic

El mundo de la matemática 1. Razones trigonométricas fundamentales La trigonometría, rama de la matemática de la que hablamos en la sección anterior, estudia la relación entre los lados y los ángulos de triángulos rectángulos, con las razones trigonométricas: seno, coseno, tangente; cotangente, secante y cosecante. Antes de pasar directamente a estas razones, hemos de entender muy bien los componentes de un triángulo rectángulo.

α

Hipotenusa (c)

Cateto (b) β Cateto (a) En la figura anterior, α y β son dos ángulos cualquiera que sumados deben ser iguales a 90°. Recuerde también, que cuando se habla de un cateto opuesto nos referimos al cateto que está "frente" al ángulo analizado. En tanto que un cateto adyacente, es el que está directamente "a la par" del ángulo estudiado. Por ejemplo, si tomamos como referencia al ángulo α, el cateto opuesto es a y el cateto adyacente sería b. La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Con lo anterior, ya podemos profundizar en el tema de la semana. Decíamos al inicio que las razones trigonométricas son seis, que a su vez se clasifican en dos grupos: razones fundamentales (seno, coseno, tangente) y razones recíprocas (cotangente, secante y cosecante).

1.1 Seno El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa. Si tomamos como referencia el ángulo α del triángulo siguiente, esta razón sería:

α

c

b

sen α =

Con las razones trigonométricas podemos hallar la medida de dos lados desconocidos de un triángulo rectángulo con solo conocer un ángulo y la medida de un lado.

cateto opuesto a = c hipotenusa

β a Matemática − Semana 33

257

Si le agregamos valores, el procedimiento para determinar la medida de algún lado desconocido sería el siguiente. Hallemos el valor de x en el triángulo: • Solo conocemos el valor de la hipotenusa, por lo que no podemos utilizar el teorema de Pitágoras para hallar x. Entonces, utilizaremos la razón seno. Para ello tomaremos como referencia el ángulo de 40°.

40º

15.62 m

y

50º x

• Escribimos la razón trigonométrica y sustituimos los valores.

sen 40º =

cateto opuesto hipotenusa

0.6428 =

x 15.62 m

0.6428(15.62 m) = x

• Despejamos la variable x y operamos.

x = 10.04 m La medida del lado x es de 10.04 m

Ejercicio 1 Utilice la razón seno para encontrar la medida del lado x en los triángulos siguientes. En caso de ser necesario aproxime su respuesta a dos decimales. Si no tiene calculadora, puede apoyarse en la tabla de razones trigonométricas que se encuentra al final de esta semana. 1)

2)

59º

28 m

y

x 48º y 24.79 cm

31º

42º

x

3)

4) 25º

22.4 m 65º

258

y

x

49º x 41º

y

IGER − Polochic

4.5 km

1.2 Coseno El coseno de un ángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Si tomamos como referencia el ángulo α del triángulo siguiente, esta razón sería:

α

c

b

cos α =

cateto adyacente b = c hipotenusa

β a

Veamos un ejemplo, el procedimiento es muy similar al que empleamos en la razón seno. Encontremos la medida del lado x. 24.4 cm

• Debemos hallar la medida de la hipotenusa, pero solo conocemos el valor de un cateto. Por lo que tomamos como referencia el ángulo de 36º para utilizar la razón coseno.

36º y x

54º


cos 36º =

cateto adyacente hipotenusa

0.8090 = • Despejamos la variable x y operamos.

Para encontrar el coseno de un ángulo, puede hacerlo con su calculadora científica. Debe presionar la tecla "cos" y luego ingresar la medida del ángulo.

x=

24.4 cm x

24.4 cm 0.8090

x = 30.16 cm La medida de la hipotenusa (x) es 30.16 cm

Ejercicio 2 Encuentre la medida del lado x de los triángulos siguientes. Para ello, utilice la razón coseno. 1)

2)

41º y

x 49º 30 cm

61º

15.44 m 29º

x

y


259

1.3 Tangente La tangente de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. Si tomamos como referencia el ángulo α del triángulo siguiente, esta razón sería:

Para encontrar la tangente de un ángulo, puede hacerlo con su calculadora científica. Debe presionar la tecla "tan" o "tg" y luego, ingresar la medida del ángulo.

α

c

b

tan α =

cateto opuesto =a cateto adyacente b

β a

Veamos un ejemplo. Hallemos la medida del lado x. • Podemos tomar como referencia cualquiera de los dos ángulos, en este caso tomaremos el ángulo de 51º.

39º 16 m 51º

Un truco para recordar las relaciones de estas 3 razones trigonométricas fundamentales es: SOH CAH TOA donde SOH es la abreviatura de sen α =

x


tan 51º =

cateto opuesto cateto adyacente

1.2350 =

Opuesto Hipotenusa


y así sucesivamente. Al leer este truco, sonaría como "socatoa".

y

x 16 m

1.2350(16 m) = x x = 19.76 m

La medida del lado x es de 19.76 m

Ejercicio 3 Encuentre la medida del lado x de los triángulos siguientes. Para ello, utilice la razón tangente. 1)

2)

x

32º 8 km

y

20º

y

12.5 m

58º 70º x

260

IGER − Polochic

2. Razones trigonométricas recíprocas Las razones trigonométricas recíprocas son tres, como mencionamos al inicio. Se llaman "recíprocas" porque parten de las razones fundamentales que vimos anteriormente y corresponden a su inverso multiplicativo, es decir, surgen cuando se invierten los lados que forman la razón. Si no le queda claro, no se preocupe, en este apartado lo irá aprendiendo poco a poco. Aunque no son tan utilizadas como las razones fundamentales, es importante que las conozca: cosecante (csc), recíproca de la razón seno; secante (sec), recíproca de la razón coseno; y cotangente (cot), recíproca de la razón tangente. Tomando el ángulo α como referencia, sus fórmulas son las siguientes: csc α = α

c

b

β a

Para hallar alguna de las razones trigonométricas recíprocas de un ángulo, puede hacerlo con su calculadora científica. Debe presionar: 1/sen para la cosecante 1/cos para la secante 1/tan para la cotangente

1 = hipotenusa = c sen α cateto opuesto a

sec α =

1 = hipotenusa =c cos α cateto adyacente b

cot α =

1 = cateto adyacente = b cateto opuesto a tan α

El procedimiento para hallar alguna medida desconocida en un triángulo rectángulo es el mismo que empleamos en las razones fundamentales. Hallemos el lado x en el ejemplo siguiente: • En este caso, tomamos como referencia el ángulo de 59º y empleamos la razón cotangente.

31º y

x

59º 9m



cateto adyacente cot 59º = cateto opuesto 0.6009 = 9 m x x= 9m 0.6009 x = 14.98 m

La medida del lado x es de 14.98 m ¿Lo notó? El procedimiento es el mismo, por eso es que estas razones no se utilizan comúnmente.


261

3. Razones trigonométricas inversas Las seis razones trigonométricas que estudiamos en los apartados anteriores nos sirven para encontrar los lados desconocidos de un triángulo rectángulo, en cambio las razones trigonométricas inversas sirven para encontrar los ángulos cuando conocemos al menos dos lados de un triángulo rectángulo. Estas razones son usadas ampliamente en ingeniería, navegación, física y geometría, entre otras áreas. Nosotros trabajaremos con las primeras tres razones inversas, las correspondientes a seno, coseno y tangente. Estas se expresan colocando un –1 como –1 –1 –1 exponente a la razón correspondiente: sen , cos y tan . Veamos cómo se utilizan con un ejemplo. Hallemos el valor del ángulo β: 14 m

• No conocemos el valor de los ángulos α y β, pero sí sabemos la medida de los catetos, por lo que recurrimos a las razones trigonométricas inversas.

• Como queremos averiguar la medida del ángulo β y conocemos la medida de ambos catetos, hacemos uso de la razón tangente. • Escribimos la razón trigonométrica y sustituimos los valores. • Realizamos la división. Para encontrar ángulos con la tabla que está al final de la semana, debe hacer el procedimiento contrario. Primero, localice el número decimal más próximo en la columna correspondiente a la razón. Luego, busque el ángulo que corresponde.

262

IGER − Polochic

β 16 m

α

cateto opuesto tan β = cateto adyacente

tan β =

16 m 14 m

tan β = 1.1429

• Pasamos la razón tangente al otro lado del signo igual. Esta pasa haciendo su operación inversa, por lo que la repre–1 sentamos como tan .

–1 β = tan (1.1429)

• Operamos y obtenemos la medida del ángulo beta (β).

β = 48.81º

El ángulo β mide 48.81°. Note que con las razones inversas hallamos los ángulos de un triángulo, en lugar de la medidas de sus lados.

Veamos otro ejemplo. Resolvamos el triángulo rectángulo siguiente. Esto quiere decir, encontremos las medidas de todos sus lados y de todos sus ángulos. • Primero, debemos encontrar la medida de uno de los ángulos, ya sea α o β. Nosotros empezaremos con α; empleamos entonces la razón seno.

β

32.02 m

25 m

α x


sen α =

cateto opuesto hipotenusa 25 m 32.02 m

sen α = • Realizamos la división.

sen α = 0.7808

• Pasamos la razón seno al otro lado del signo igual. Esta pasa haciendo su operación inversa, por lo que la representamos –1 como sen .

α = sen 0.7808

• Operamos y obtenemos la medida del ángulo alfa (α).

α = 51.33º

–1

El ángulo α mide 51.33°. • Ahora, calculemos el ángulo β. Como los ángulos internos de un triángulo deben sumar 180°, hacemos un despeje simple.

El ángulo β mide 38.67°. • Ya conocidos ambos ángulos (α y β), pasamos a calcular la medida del cateto desconocido. Utilizamos seno del ángulo β.

α + β + 90° = 180° 51.33° + β + 90° = 180° β = 180° – 90° – 51.33° β = 38.67° x sen 38.67º = 32.02 m 0.6248 =

Para encontrar el lado x podemos utilizar el teorema de Pitágoras o bien las razones trigonométricas. Nosotros elegimos este último método

x 32.02 m

x = (0.6248)(32.02 m) El lado x mide 20.01 m

x = 20.01 m

¡Listo! Hemos resuelto el triángulo ya que hallamos todas las medidas que desconocíamos. Matemática − Semana 33

263

Ejercicio 4 A. Halle la medida del lado x en los triángulos siguientes. Utilice cualquiera de las razones trigonométricas recíprocas (sec, csc, cot). 1)

2)

x

α

β

x

12.81 cm 19.10 m

51º 47º 3.4 m

3)

4)

x

α

β

41º

x

30 cm

25 km

42º 17 cm

B. Resuelva los triángulos siguientes. No utilice el teorema de Pitágoras. Puede usar su cuaderno para el procedimiento, si fuera necesario. 1)

2) x

α

x

15 m

β

10.30 cm

β

25 m

3)

9 cm

4) α

x

65.29 m

x

41.5 m

β

45º 13 cm

264

α

IGER − Polochic

β y

4. Aplicaciones Como mencionamos anteriormente, las razones trigonométricas tienen diversas aplicaciones en áreas como ingeniería, arquitectura y navegación, entre muchas otras. Recuerde que algo muy importante en cualquier problema es identificar correctamente los datos que nos dan. Veamos un ejemplo: La Estación Espacial Internacional es un centro de investigación que se encuentra en el espacio exterior y tiene una órbita alrededor de la Tierra. La estación tiene un brazo robótico, llamado Canadarm 2, el cual ayuda a los tripulantes a regresar hacia la nave cuando terminan de hacer reparaciones en el exterior. Pero se necesitan hacer cálculos con las razones trigonométricas para enganchar correctamente al astronauta. Una astronauta se encuentra a una distancia de 5.36 m en diagonal desde la unión del brazo y la nave. La extremidad tiene dos secciones acopladas por una articulación, la primera mide 4.5 m y la segunda 7 m. Halle la medida del ángulo α en que la extremidad debe doblarse para enganchar a la astronauta adecuadamente. La ilustración nos muestra esta situación. 5.36 m

β

90º 7m

4.5 m α

• El problema presenta las medidas de todos los lados del triángulo que se forma con la posición del brazo y la distancia a la que está la astronauta. Debemos averiguar la medida del ángulo (α) que se debe formar en la articulación. • Escribimos la razón seno y sustituimos los valores. • Realizamos la división. • Seno pasa al otro lado de la ecuación como su razón inversa.

7m

β 5.36 m

α 4.5 m

sen α =


sen α = 5.36 m 7m sen α = 0.7657 –1

α = sen (0.7657) α = 49.97º

El ángulo debe formar el brazo para enganchar correctamente a la astronauta es de 49.97°. Matemática − Semana 33

265

Ejercicio 5 Resuelva los problemas siguientes. No utilice el teorema de Pitágoras. De ser necesario, puede utilizar su cuaderno para el procedimiento. Redacte su respuesta en las líneas correspondientes. 1) En la danza del Palo Volador, en Chichicastenango, se emplea un poste de 21 m de altura. La cuerda con que se ata al danzante "volador" mide 14.04 m. En determinado momento del vuelo, el danzarín forma un ángulo de 68° con la horizontal. a. Calcule el ángulo α que forma la cuerda del danzante con el poste. b. Encuentre la altura a la que se encuentra el "volador" respecto al suelo.

2) Un avión está volando a 2300 m de altura. El piloto divisa la ciudad donde debe aterrizar y calcula, que en ese momento, el avión forma un ángulo de depresión de 71° respecto a la horizontal. a. Calcule el ángulo β que forma el avión respecto al suelo. b. Halle la distancia en diagonal a la que se encuentra la aeronave respecto a la ciudad.

3) Calcule cuánto mide cada lado y la apotema de un octágono regular inscrito en una circunferencia 15 cm de radio.

266

IGER − Polochic

Resumen 1. La trigonometría estudia la relación entre los lados y los ángulos de triángulso rectángulos. Las razones trigonométricas son: seno, coseno, tangente; cotangente, secante y cosecante. Estas muestran las relaciones que podemos establecer entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo.

Razones trigonométricas fundamentales: 1.1 El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa. 1.2 El coseno de un ángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. 1.3 La tangente de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. seno sen α =


coseno cos α =


tangente tan α =


2. Las razones trigonométricas recíprocas son: cosecante (csc), recíproca de la razón seno; secante (sec), recíproca de la razón coseno; y cotangente (cot), recíproca de la razón tangente. cosecante csc α =

hipotenusa cateto opuesto

secante sec α =

hipotenusa cateto adyacente

cotangente cot α =

cateto adyacente cateto opuesto

3. Las razones trigonométricas inversas sirven para encontrar los ángulos cuando conocemos al menos dos lados de un triángulo rectángulo. Se expresan colocando un –1, como exponente a –1 –1 –1 la razón correspondiente: sen , cos y tan . 4. Las razones trigonométricas tienen diversas aplicaciones en áreas como ingeniería, arquitectura y navegación, entre muchas otras. Recuerde que algo muy importante en cualquier problema es identificar correctamente los datos que nos dan.

Investigue en la red... Puede ver con atención los videos siguientes, le pueden ayudar a resolver alguna duda: • Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo: goo.gl/B3ffCr • Solución de triángulos rectángulos: goo.gl/Z9plA3 También, encontrará más ejercicios en la dirección siguiente: goo.gl/vZpCkT


267



Basándose en el triángulo de abajo, complete los datos de las razones trigonométricas presentadas. Observe el ejemplo. 9m 51º 11 m

sen α =

cos α =

tan α =

sen β =

cos β =

tan β =

csc α =

sec α =

cot α =

csc β =

sec β =

cot β =

14.21 m 39º

Actividad 2.


A. Resuelva los triángulos siguientes. No utilice el teorema de Pitágoras. Puede usar su cuaderno para el procedimiento, si wfuera necesario. 1)

2)

15.4 cm

α

β 30.23 m

12 cm

25 m

x

β

α

17 m

3) β

4)

x

α

x

2.4 km

4.24 km α

y

35º 65 m

268

IGER − Polochic

B. Resuelva los problemas siguientes. No utilice el teorema de Pitágoras. De ser necesario, puede emplear su cuaderno para el procedimiento. Recuerde escribir su respuesta en las líneas correspondientes. 1) Un radar de 12.5 m de altura detecta un helicóptero que se encuentra a una distancia en diagonal de 2322 m y forma un ángulo de 46° respecto a la horizontal. Halle la altura a la que se encuentra la aeronave respecto al suelo.

2) Un terreno ubicado en una esquina de la carretera tiene forma de triángulo rectángulo. Dos de sus lados miden 27 m y 34 m, y entre ellos se forma un ángulo de 65°.

a. Halle la medida del lado desconocido.

b. Calcule el área del terreno.

3) Un albañil necesita colocar vigas de soporte en un muro. Cada viga de madera mide 2.3 m y las necesita anclar al suelo a una distancia de 1.4 m desde la base del muro.

a.

Halle el ángulo que forma la viga respecto del suelo.

b. Determine la altura a la que se debe fijar la viga en la pared.


269

Agilidad de cálculo mental A. Determine y escriba el ángulo complementario de cada uno de los ángulos siguientes.

1) 51º

12) 41º

23) 17º

2) 74º

13) 23º

24) 23º

3) 9º

14) 53º

25) 20º

4) 30º

15) 68º

26) 1º

5) 29º

16) 54º

27) 11º

6) 19º

17) 62º

28) 89º

7) 48º

18) 72º

29) 34º

8) 22º

19) 83º

30) 55º

9) 28º

20) 87º

31) 18º

10) 32º

21) 81º

32) 46º

11) 47º

22) 88º

33) 80º

B. Determine y escriba el ángulo suplementario de cada uno de los ángulos siguientes.

270

1) 13º

11) 88º

21) 64º

2) 149º

12) 80º

22) 120º

3) 75º

13) 156º

23) 124º

4) 26º

14) 100º

24) 125º

5) 165º

15) 36º

25) 90º

6) 154º

16) 8º

26) 132º

7) 151º

17) 158º

27) 0º

8) 12º

18) 122º

28) 25º

9) 46º

19) 76º

29) 79º

10) 3º

20) 111º

30) 178º

IGER − Polochic

Razonamiento lógico Es importante practicar para fijar los aprendizajes de esta semana. Para ello, resuelva los problemas siguientes. No utilice el teorema de Pitágoras. De ser necesario, puede emplear su cuaderno para el procedimiento. Recuerde escribir su respuesta en las líneas correspondientes. 1) Un piloto de carreras está practicando en una pista con forma de triángulo isósceles, cuya altura es de 1.8 km y de la mitad del lado más corto hacia la esquina del camino hay 0.8 km. Si al automóvil que conduce le queda suficiente combustible para recorrer 30 km, ¿cuántas vueltas completas a la pista podrá dar?

2) Un poste se asegura al suelo con cuatro cables. Los cuales van desde la punta del pilar hasta anclarse al terreno con un ángulo de 49°. Si cada cable mide 12.5 m, calcule:

a. La altura del poste.

b. La distancia desde la base del poste hasta donde se ancla cada cable al suelo.

3) Una escalera que mide 6.5 m está apoyada sobre pared y se asienta en el suelo a una distancia de 2 m desde la base del muro. Halle los ángulos que forma respecto al terreno y respecto a la pared.


271

Desarrolle nuevas habilidades A continuación, encontrará varias preguntas que pondrán a prueba su razonamiento desde varias perspectivas y el pensamiento lateral. Reflexione y escriba su respuesta en la línea correspondiente. 1) ¿Cuántos números 9 hay del 1 al 100? 2) Se tienen 2000 patos, se meten dos en un cajón. ¿Cuántos picos y cuántas patas hay dentro del cajón? 3) ¿Cuántos cumpleaños tuvo una persona que vivió 77 años? 4) ¿Cuántos lapiceros de dos quetzales hay en una docena? 5) En una habitación hay cinco velas encendidas, si se apagan cuatro. ¿Cuántas quedan? 6) Si una flor crece el doble de su tamaño cada día y el día 28 cubre toda la laguna. ¿Qué día ha cubierto la mitad de la laguna?




Reconozco las partes de un triángulo rectángulo. Determino las razones trigonométricas a partir de las partes conocidas. Encuentro los valores de lados y ángulos haciendo uso de las razones trigonométricas. Resuelvo problemas aplicando las razones trigonométricas. Encuentro el valor del ángulo complementario y suplementario. Resuelvo problemas de razonamiento y pensamiento lateral.

272

IGER − Polochic


Tabla de razones trigonométricas ángulo

seno

coseno

tangente

ángulo

seno

coseno

tangente

0º 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º 15º 16º 17º 18º 19º 20º 21º 22º 23º 24º 25º 26º 27º 28º 29º 30º 31º 32º 33º 34º 35º 36º 37º 38º 39º 40º 41º 42º 43º 44º 45º

0 0.018 0.035 0.052 0.07 0.087 0.105 0.122 0.139 0.156 0.174 0.191 0.208 0.225 0.242 0.259 0.276 0.292 0.309 0.326 0.342 0.358 0.375 0.391 0.407 0.423 0.438 0.454 0.47 0.485 0.5 0.515 0.53 0.545 0.559 0.574 0.588 0.602 0.616 0.629 0.643 0.656 0.669 0.682 0.695 0.707

1 1 0.999 0.999 0.998 0.996 0.995 0.993 0.99 0.988 0.985 0.982 0.978 0.974 0.97 0.966 0.961 0.956 0.951 0.946 0.94 0.934 0.927 0.921 0.914 0.906 0.899 0.891 0.883 0.875 0.866 0.857 0.848 0.839 0.829 0.819 0.809 0.799 0.788 0.777 0.766 0.755 0.743 0.731 0.719 0.707

0 0.018 0.035 0.052 0.07 0.088 0.105 0.123 0.141 0.158 0.176 0.194 0.213 0.231 0.249 0.268 0.287 0.306 0.325 0.344 0.364 0.384 0.404 0.425 0.445 0.466 0.488 0.51 0.532 0.554 0.577 0.601 0.625 0.649 0.675 0.7 0.727 0.754 0.781 0.81 0.839 0.869 0.9 0.933 0.966 1

46º 47º 48º 49º 50º 51º 52º 53º 54º 55º 56º 57º 58º 59º 60º 61º 62º 63º 64º 65º 66º 67º 68º 69º 70º 71º 72º 73º 74º 75º 76º 77º 78º 79º 80º 81º 82º 83º 84º 85º 86º 87º 88º 89º 90º

0.719 0.731 0.743 0.755 0.766 0.777 0.788 0.799 0.809 0.819 0.829 0.839 0.848 0.857 0.866 0.875 0.883 0.891 0.899 0.906 0.914 0.921 0.927 0.934 0.94 0.946 0.951 0.956 0.961 0.966 0.97 0.974 0.978 0.982 0.985 0.988 0.99 0.993 0.995 0.996 0.998 0.999 0.999 1 1

0.695 0.682 0.669 0.656 0.643 0.629 0.616 0.602 0.588 0.574 0.559 0.545 0.53 0.515 0.5 0.485 0.47 0.454 0.438 0.423 0.407 0.391 0.375 0.358 0.342 0.326 0.309 0.292 0.276 0.259 0.242 0.225 0.208 0.191 0.174 0.156 0.139 0.122 0.105 0.087 0.07 0.052 0.035 0.018 0

1.036 1.072 1.111 1.15 1.192 1.235 1.28 1.327 1.376 1.428 1.483 1.54 1.6 1.664 1.732 1.804 1.881 1.963 2.05 2.145 2.246 2.356 2.475 2.605 2.747 2.904 3.078 3.271 3.487 3.732 4.011 4.331 4.705 5.145 5.671 6.314 7.115 8.144 9.514 11.43 14.3 19.081 28.64 57.289 infinito


273

5

y

4 3 2 1 0 1

x2

2

3

+ y2

4

x

34

–1 = i

= r2

Repaso: semanas 26 a 33 Esta semana logrará:  Repasar los contenidos de la semana 26 a la 33.  Resolver los ejercicios de repaso para evaluarse en la prueba final.  Prepararse bien para la prueba final. 


275

Querida y querido estudiante: Se aproxima la prueba final y debe prepararse adecuadamente, repasando los contenidos de las semanas 26 a la 33. Para aprovechar este repaso, le damos estas recomendaciones: • Haga un plan de lo que estudiará cada día y trate de cumplirlo. Dedique más tiempo a los temas que le resulten difíciles. • Busque un lugar tranquilo, iluminado y silencioso para estudiar. • Lea los resúmenes de cada semana y escriba las ideas más importantes en su cuaderno. • Escuche la clase radial de sus semanas de estudio. Sus maestros locutores le acompañarán y le ayudarán a resolver algunos ejercicios. • Compruebe que haya realizado bien los autocontroles. Si tiene dudas, vuelva a leer las semanas, ahí encontrará explicaciones y ejemplos.

¿Cómo será la prueba de evaluación? La prueba final evalúa los mismos contenidos y de la misma forma en que los ha trabajado semana a semana. En la prueba encontrará: • Una serie de agilidad mental para medir su destreza y rapidez de cálculo en un tiempo límite de tres minutos. • Diferentes ejercicios que evalúan lo aprendido en las ocho semanas. Estos ejercicios serán semejantes a los que usted resolvió en las actividades del autocontrol. Se le pedirá:  responder preguntas,  marcar con una equis "X" el cuadro de la opción correcta,  resolver operaciones y  resolver problemas. • Cuando resuelva ejercicios y problemas, debe dejar constancia de su procedimiento. • Muy importante: cada serie contiene instrucciones exactas de lo que debe realizar en cada apartado, así como la valoración asignada. Si usted se prepara con tiempo y dedicación, el resultado será satisfactorio.

Le recordamos prepararse para la prueba final y entrenarse para la prueba del Mineduc. Para lograrlo, practique con los ejercicios que se encuentran al final de su libro en el Taller matemático.

276

IGER − Polochic

El mundo de la matemática Ecuaciones de la recta 1. Una recta es una línea formada por una serie continua de puntos en una misma dirección que no tiene curvas ni ángulos y cubre la menor distancia posible entre dos puntos. Existen diferentes ecuaciones para determinar la ecuación de una recta. a. Ecuación de una recta horizontal, esta recta tiene pendiente cero (0) y la ecuación está dada únicamente por la intersección con el eje y. y=b b. Ecuación de una recta vertical, la recta vertical no tiene pendiente definida. Esta tiene como intercepto un punto con el eje x y corresponde a la constante a. x=a c. Ecuación de la forma punto pendiente, esta ecuación se genera de la fórmula de la pendiente y se utiliza cuando conocemos un punto y la pendiente. y – y1 = m(x– x1) d. Ecuación de la forma pendiente intercepto, se utiliza cuando se conoce la pendiente y el intercepto en y, que en la fórmula está representado por la constate b. Su ecuación es: y = mx + b 2. En las aplicaciones de la de la recta intervienen magnitudes directamente proporcionales. La pendiente nos informa de la rapidez de la variación de una magnitud con respecto a otra; el intercepto en y nos informa sobre las condiciones iniciales. 3. Hay dos relaciones importantes entre rectas: m1 = m2

a. Si son rectas paralelas, sus pendientes son b. Si son rectas perpendiculares, su pendiente es:

m1 • m2 = – 1 o m1 = –

1 1 y m2 = – m1 m2

Ejercicio 1 A. En las ecuaciones de la recta, encuentre la pendiente (m) y la intersección con el eje y. Tiene un ejemplo. 0) y = –4x + 6 1) y = 2x – 5 2) y = 8x + 12 2 3) y = 9 x – 1

m = –4, (0, 6)

4) y = – 3 x + 6 4 5) y = 6x – 6 6) y = 4x – 3 7) y = –5x + 4 Matemática − Semana 34

277

B. Encuentre la ecuación punto pendiente que pasa por el punto dado y que tiene la pendiente indicada. Luego, escriba su respuesta sobre la línea. Haga las operaciones en hojas aparte o en su cuaderno. Tiene un ejemplo. y – 2 = 3(x + 1) 0) (–1, 2), m = 3 4) (0, 0), m = 4 1) (5, 3), m = 2

5) (0, 4), m = –1

2) (– 4, 8), m = –3

6) (3, 6), m = – 1 4 7) (–6, –3), m = 3 2

3) (–3, –2), m = –5

C. Determine la recta que pasa por los puntos dados y tiene la pendiente indicada. Realice las operaciones correspondientes para expresar la ecuación de la forma ordenada origen. Luego, escriba su respuesta sobre la línea. Tiene un ejemplo. 0) (3, 5) y (0, 11)

y = –2x + 11

4) (2, 1) y (5, 6)

1) (2, 1) y (5, 6)

5) (2, 6) y (2, –3)

2) (3, 4) y (6, 5)

6) (–3, –4) y (1, 5)

3) (–3, 7) y (7, –3)

7) (8, –4) y (–1, –2)

D. Realice en su cuaderno lo que se pide en cada problema. 1) En una zapatería la venta diaria promedio es de 15 pares a Q50.00 el par, y 10 pares a Q75.00 cada par. Para hacer una relación lineal entre el precio P de un par de zapatos y el número N de zapatos vendidos: a. Encuentre la ecuación que relaciona el precio y el número de pares vendidos. b. Determine el número de pares vendidos a un precio de Q40.00 cada par.

2) Elena compró un vehículo en Q35,000.00 y este se deprecia linealmente hasta que a los 15 años tendrá un valor de Q5,000.00. a. Escriba la ecuación que determine el precio P después de t años. b. Calcule el precio del vehículo después de 5, 10 y 12 años de haberlo comprado. c. Grafique la función P contra t y escriba los puntos para el precio después de 5, 10 y 12 años. 3) El ritmo cardiaco de una persona es de N latidos por minuto y se relaciona de manera lineal con la edad de la persona. El ritmo cardiaco máximo de una persona de 20 años es de 200 latidos por minuto, y el de una persona de 50 años es de 170 latidos por minuto. a. Escriba una ecuación que exprese N en términos de t. b. Utilice la ecuación obtenida para predecir el ritmo cardiaco de personas de 30 y 45 años. c. Grafique la ecuación y marque los puntos con las edades indicadas en el problema.

278

IGER − Polochic

La circunferencia y la parábola 1. La circunferencia es el conjunto de puntos en el plano que se encuentran equidistantes de un punto fijo, llamado centro, y la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio.

y

En la circunferencia el centro se representa con C(h, k), donde las letras h y k representan las coordenadas de ese punto. El radio es la distancia que va del centro a un punto P(x, y) cualquiera de la periferia.

P(x, y) r

La ecuación estándar de la circunferencia está dada por:

C(h, k) x

(x – h)2 + ( y – k)2 = r 2 2. La parábola es la gráfica que describe la ecuación de la forma y = ax2 + bx + c

Las diferentes ecuaciones para esta gráfica son: • y = x2 genera la parábola básica con centro en el origen. • y = ax2 indica hacia dónde abre la parábola y afecta su ancho. • y = x2 + k traslada la parábola hacia arriba o hacia abajo. • y = (x – h)2 traslada la parábola hacia la izquierda o hacia la derecha. y 6 5 4


Eje de simetría

3 2


1 –4 –3 –2 –1 0

1 –1 –2

2

3 4

5

6

7

8

x

vértice

–3

Ejercicio 2 A. Preste atención a cada ecuación de la circunferencia. Luego, por simple inspección determine el centro, el radio y escríbalo en la línea. Hay un ejemplo. 0) x2 + y2 = 4

C=

(3, 4)

3) (x + 2)2 + ( y – 4)2 = 625 r=

1) x2 + y2 = 16

C=

C=

C=

r=

4) (x – 5)2 + ( y – 8)2 = 9 r=

2) x2 + y 2 = 25

5

C=

r=

5) (x + 8)2 + ( y + 7)2 = 25 r=

C=

r= Matemática − Semana 34

279

B. En el eje coordenadas elabore la gráfica que describe cada ecuación. Realice las operaciones en hojas aparte o en su cuaderno. 1) x2 + y 2 = 9

2) (x + 2)2 + ( y – 3)2 = 16 y

y

5

10

4

8

3

6

2

4

1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

2 1

2

3

4

5

6

x

–2

2

–2

–4

–3 –4

–6 –8

–5

–10

3) y = –2x2 + 5

4

6

8 10 12

2

3

4

x

4) y = (x –2)2 – 3 y

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0

–12 –10 –8 –6 –4 –2

y

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0 –1

1

2

3

4

5

6

x

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

–2

–2

–3 –4

–3 –4

–5

–5

1

5

6

x

C. Realice en su cuaderno o en hojas aparte la gráfica de cada ecuación. 1) x2 + y2 = 9

7) (x – 5)2 + ( y – 6)2 = 25

13) y = –2x2 + 5

2) x2 + y2 = 16

8) (x – 7)2 + ( y + 7)2 = 6

1 14) y = 2 x2 – 3

3) x2 + y2 = 10

9) (x + 2)2 + ( y + 1)2 = 25

15) y = (x + 1)2 – 4

4) x2 + y2 = 25

10) y = x2 – 6

16) y = (x – 5)2 + 3

5) (x + 2)2 + ( y + 1)2 = 9

11) y = x2 + 2

17) y = 4(x + 6)2 – 6

6) (x + 6)2 + ( y – 4)2 = 16

12) y = –x2 + 8

18) y = –2(x – 3)2 + 8

280

IGER − Polochic

Secciones cónicas 1. Las secciones cónicas como la elipse y la hiperbola también las podemos identificar por una ecuación, tal como lo hicimos con la circunferencia y la parábola. 1.1 La elipse es una figura geométrica curva y cerrada con forma de círculo achatado en uno de los ejes coordenados. La ecuación general de una elipse está dada por: ax 2 + by 2 = c donde a ≠ b.

Los pasos para graficar la elipse son: a. Verificar que en la ecuación ax2 + by 2 = c, a no sea igual a b (a ≠ b) y que ambos coeficientes tengan igual signo. b. Encontrar los puntos de intersección con los ejes x e y. c. Graficar la cónica de acuerdo con los puntos de intersección encontrados en el paso anterior.

1.2 La hipérbola es la figura cónica formada por dos ramas abiertas y dirigidas en sentidos opuestos.

La ecuación general que describe una hipérbola es de la forma: ax 2 – by 2 = c

donde a y b tienen signo contrario.

Los pasos para graficar una hipérbola son: a. Verificar que, en la ecuación ax 2 – by 2 = c, los coeficientes a y b tengan signo contrario. b. Encontrar los puntos de intersección con los ejes x e y. c. Igualar la ecuación original a una de las variables donde no exista solución en los números reales. d. Construir una tabla para obtener otros puntos de la gráfica. e. Graficar la cónica de acuerdo con los puntos de intersección.

Ejercicio 3 A. Escriba en la línea de la derecha de cada ecuación, si corresponde a una elipse o a una hipérbola.

1) 4x2 – 5y 2 = 16

4) 100x2 + y 2 = 4

2) 6x2 + 8y 2 = 25

5) 25x2 + 9y 2 = 25

3) 9x2 – 4y 2 = 100

6) 16x2 – 8y 2 = 64 Matemática − Semana 34

281

B. En el eje coordenadas grafique la elipse que describe cada ecuación. Realice las operaciones en hojas aparte o en su cuaderno. 1) 9x2 + 3y 2 = 36

2) 16x2 + 25y 2 = 400 y

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

y

5

–1

1

2

3 4

5

6

x

0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

–5

–5

3) 9y 2 + 16x2 = 576

y

10 8

4

6

3

4

2

0 –2

6

1

2

3 4

5

6

2

4

6 8 10 12

x

2

4

6 8 10 12

0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

–4

–2

–6

–3

–8

–4

–10

–5

x

6) 4y 2 – 12x2 = 49 y

IGER − Polochic

5

1

x

5) 5x2 – 15y 2 = 45

282

3 4

5

2

–6 –5 –4 –3 –2 –1

2

4) 9y 2 – 16x2 = 81

y

–12 –10 –8 –6 –4 –2

1

y

5

10

4

8

3

6

2

4

1

2

0 –1

1

2

3 4

5

6

x

–12 –10 –8 –6 –4 –2

0 –2

–2

–4

–3

–6

–4

–8

–5

–10

x

Teorema de Pitágoras 1. El teorema de Pitágoras hace una relación entre los lados de un triángulo rectángulo.

Este teorema dice que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Esta ecuación con todos sus despejes es: c2 = a2 + b2

c

a

a2 = c2 – b2 b2 = c2 – a2

b

1.1. El teorema de Pitágoras es una de las proposiciones que tiene mayor cantidad de demostraciones con diferentes procedimientos. Esto es debido, en buena parte, a que en la Edad Media se pedía a los estudiantes una nueva demostración del teorema para poder alcanzar determinado título universitario. 1.2. Esta relación que se le atribuye a Pitágoras tiene diversas aplicaciones en áreas como la arquitectura, la ingeniería, la economía, la arqueología, entre muchas otras.

Lo esencial al enfrentarse a un problema es saber distinguir correctamente los datos y poder sintetizar correctamente la información que se presenta.

Ejercicio 4 A. Aplique el teorema de Pitágoras para hallar el valor del lado desconocido. 2)

1)

c

35 m

a

15 cm 25 cm

12 m


283

B. Aplique el teorema de Pitágoras para hallar el valor del lado desconocido en los triángulos rectángulos. Haga las operaciones en su cuaderno. Luego, escriba su resultado en la línea. 2)

1)

16.5 m

12 cm

x

19.25 m

x 8 cm x=

x= 4)

3)

6.36 km

100 in

x 400 in

5.50 km

x x=

x=

C. Resuelva en hojas aparte o en su cuaderno lo que se le pide en los problemas siguientes. 1) Una escalera de 4 m de longitud está apoyada contra una pared y el pie de la escalera se encuentra a 1.5 m de la base de la pared. a. ¿A qué altura de la pared se apoya la parte superior de la escalera? b. ¿A qué distancia de la pared habrá que colocar el pie de la escalera para que la parte superior se apoye en la pared a una altura de 3.5 m? 2) Una aldea se encuentra a 20 km al oeste de la cabecera. Otra aldea se ubica a 12 km al norte de la cabecera. Si se pudiera viajar en línea recta, ¿cuál sería la distancia entre las dos aldeas? 3) Una cancha de fútbol mide 125 metros de largo y las diagonales miden 150 metros. ¿Cuál es el ancho del campo de juego?

4) Con las medidas mostradas en el dibujo, encuentre el área del hexágono. 10 cm

10 cm 10 cm 5 cm

284

IGER − Polochic

Teorema de Tales, congruencia y semejanza de triángulos 1. El teorema de Tales establece que: si dos rectas cualesquiera son cortadas por varias rectas paralelas, las medidas de los segmentos en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra recta. 2. Dos o más triángulos son congruentes si sus lados y sus ángulos correspondientes son iguales. 2.1 Para que dos triángulos sean congruentes deben cumplir con uno de los criterios siguientes: a. lado – lado – lado (LLL) C

C'

AB = A'B' AC = A'C'

A

B

b. lado – ángulo – lado (LAL)

BC = B'C' A'

B'

a = a'

a A

B

AB = A'B' A'

a'

A'

AC = A'C'

C

b

a = a'

B

C'

a'

B'

d. lado – lado – ángulo (LLA)

C'

b = b'

b

a

A

c. ángulo – lado – ángulo (ALA) C

AB = A'B' AC = A'C'

C

B'

A

C'

BC = B'C'

a

B

A'

a = a'

a'

B'

3. Los triángulos semejantes tienen la misma forma, pero diferente tamaño. 3.1 Para que dos triángulos sean semejantes deben cumplir con los criterios siguientes: a. Ángulos iguales

< A = < A' < B = < B'
C A

B

C'

B'

A'

b. Lados proporcionales C'

C

a

c A

B

b

a c b = = a' b' c'

a'

c' A'

B'

b'

c. Lados proporcionales y ángulos correspondientes iguales B

c

a

a c = a' c' < B = < B'

B'

c'

a'


285

Ejercicio 5 A. Aplique el teorema de Tales para hallar el valor del segmento desconocido. Realice las operaciones en su cuaderno. Luego, escriba la respuesta en el espacio correspondiente. 1)

2)

3)

15 cm

x

4x + 1

m

3

10 cm

8c

16 cm 8 cm

y

x

2

24 cm

3x

20 cm

x=

x=

y=

x=

B. Emplee la semejanza de triángulos para encontrar las medidas de los lados expresados con variables. Escriba el valor en cada línea. 1) 2)

y

x

20 cm

10 cm

15 cm

x=

16.67 cm

y=

5.4 km

x

3.6 km

1.2 km

x=

1.6 km

y

y=

C. Aplique la semejanza de triángulos para resolver los ejercicios siguientes. Haga las operaciones en su cuaderno o en hojas aparte. 1) Calcule la altura de un edificio que a determinada hora proyecta una sombra de 11.25 m, al mismo tiempo que una persona de 1.65 m de estatura proyecta una sombra de 0.75 m. 2) Los catetos de un jardín que tiene forma de triángulo rectángulo miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

3) En un triángulo rectángulo se inscribe un rectángulo cuya base es dos veces su altura. Los catetos del triángulo miden 5 cm y 7 cm respectivamente. Halle las dimensiones del rectángulo.

5 cm a 2a 7 cm

286

IGER − Polochic

Cuerpos geométricos I 1. Un cuerpo geométrico es una figura tridimensional, es decir, que tiene tres dimensiones: longitud, altura y profundidad. 1.1 Los cuerpos geométricos se clasifican en poliedros y en cuerpos redondos.

Un poliedro es un cuerpo geométrico cuyas "caras" son figuras planas, es decir, está limitado por polígonos. A su vez, estos se dividen en poliedros regulares e irregulares.

Los poliedros regulares son los que están formados por polígonos regulares. Es decir, todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida. Hay cinco poliedros regulares.

Los poliedros irregulares son aquellos cuyas caras no son polígonos regulares. Destacan los prismas y las pirámides.

1.2 Un prisma es un poliedro que tiene dos caras paralelas e iguales llamadas bases y sus caras laterales son paralelogramos. Volumen de un prisma Área de un prisma A l = Pb • h

V = Ab • h

A t = A l + 2Ab 1.3 Una pirámide es un poliedro, cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, el cual es el vértice de la pirámide. Área de una pirámide A t = A l + Ab

Volumen de una pirámide V=

Ab • h 3

Ejercicio 6 A. Identifique la base de cada poliedro. Luego, escriba el nombre correspondiente sobre la línea.


287

B. Encuentre el área total y el volumen de los cuerpos geométricos. Preste atención a las medidas de cada uno. Realice las operaciones en su cuaderno o en hojas aparte y escriba la respuesta en el espacio correspondiente. 1)

8 cm

2)

20 cm

15 cm

50 cm

9.66 cm

At = V= 3)

At = V=

4)

30 cm

14 cm

20 cm

15

cm

At = V=

6.88 cm 10 cm

At = V=

C. Resuelva lo que se le pide en cada ejercicio. Realice las operaciones en su cuaderno o en hojas aparte. 1) Una piscina tiene 6 m de largo, 4 m de ancho y 2 m de profundidad. Pintar la piscina tiene un costo de Q15.00 el metro cuadrado, que incluye la pintura y la mano de obra.

a.

¿Cuál es el costo de pintar la piscina?

b. ¿Cuántos litros de agua se necesitan para llenarla, si 1 m3 equivale a 1000 L? 2) Las dimensiones de un empaque para leche con forma de prisma rectangular son: 20 Í 6 Í 9 cm. a. ¿Cuál es el área total del empaque y qué cantidad de leche cabe? b. Si el fabricante quiere cambiar las medidas del empaque, reduciendo un 5 % cada lado de la base y aumentando en un 8 % la altura, ¿cuál es el área total y el volumen del nuevo empaque? 3) En una empresa fabrican trofeos de mármol con forma de pirámide. Un cliente pide un trofeo con forma de pirámide triangular de 8 cm por lado y 14 cm de alto. a. ¿Cuál es el área total? b. ¿Qué volumen de mármol se utilizó en la construcción del trofeo?

288

IGER − Polochic

Cuerpos geométricos II 1. Los cuerpos geométricos redondos tienen una superficie lisa en una de sus caras y se generan al girar una figura plana sobre un eje. Estos cuerpos pueden ser oblicuos, es decir, que tienen cierto grado de inclinación y rectos.

La tabla siguiente presenta los cuerpos redondos rectos más conocidos y las fórmulas para calcular el área y el volumen. Cuerpo geométrico

Área lateral

Área total

Volumen

A l = 2πrh

A = 2πrh + 2πr2 A = 2πr(h + r)

V = πr2h

Cilindro

Cono A = πrg + πr2

A l = πrg

A = πr(g + r)

V=

πr2h 3

A = 4πr2

V=

4πr3 3

Esfera

Ejercicio 7 A. Encuentre el área total y el volumen de los cuerpos geométricos redondos. Preste atención a las medidas de cada uno. Realice las operaciones en su cuaderno o en hojas aparte y escriba la respuesta en el espacio correspondiente. 1)

2) 24 cm

1.5 m

2 m

At = V=

30 cm

At = V=


289

3)

4)

1.5 m

10 cm 6 cm

5)

0.25 m

At =

V=

6)

10 cm

At = V=

6 cm

At =

At =

V=

V=

B. Resuelva los problemas de área y volumen de los ejercicios siguientes. Realice las operaciones en su cuaderno o en hojas aparte. 1) Un pichel cilíndrico de 5 cm de radio y 20 cm de alto viene acompañado de 5 vasos cilíndricos de 6 cm de radio y 9 cm de alto. Si se llena el pichel con limonada, ¿cuántos vasos se pueden llenar con este refresco? 2) Calcule la cantidad de hojalata que necesita un herrero para fabricar 20 botes cilíndricos con tapadera, cuyas medidas son: 30 cm de diámetro y 20 cm de alto. 3) Para una fiesta de carnaval le han encargado a Lucía 50 gorros de cartulina de forma cónica. ¿Cuánto cartón debe utilizar Lucía, si las dimensiones de cada gorro son 16 cm de radio y 28 cm de generatriz? 4) Una pecera con forma de cubo mide 20 cm de arista y está llena de agua. Para limpiarla se desea trasladar el agua a un recipiente esférico de 15 cm de radio. ¿Cabrá el agua en este otro recipiente? 5) El cilindro de la ilustración se encontraba lleno de agua antes de introducir la esfera, ¿qué volumen de agua queda dentro del cilindro después de sumergir la esfera?

290

IGER − Polochic

1m

2m

Razones trigonométricas 1. La trigonometría, estudia la relación entre los lados y los ángulos de triángulos rectángulos. Las razones trigonométricas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Estas muestran las relaciones que podemos establecer entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo.

Razones trigonométricas fundamentales: 1.1 El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa. 1.2 El coseno de un ángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. 1.3 La tangente de un ángulo es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. seno sen α =


coseno cos α =

tangente


tan α =


2. Las razones trigonométricas recíprocas son: cosecante (csc), recíproca de la razón seno; secante (sec), recíproca de la razón coseno; y cotangente (cot), recíproca de la razón tangente. cosecante csc α =

hipotenusa cateto opuesto

secante sec α =

cotangente

hipotenusa cateto adyacente

cot α =

cateto adyacente cateto opuesto

3. Las razones trigonométricas inversas sirven para encontrar los ángulos cuando conocemos al menos dos lados de un triángulo rectángulo. Se expresan colocando un –1 como exponente a la –1 –1 –1 razón correspondiente: sen , cos y tan . 4. Las razones trigonométricas tienen diversas aplicaciones en áreas como ingeniería, arquitectura y navegación, entre muchas otras. Recuerde que algo muy importante en cualquier problema es identificar correctamente los datos que dan.

Ejercicio 8 A. Preste atención a las medidas de los triángulos y escriba las medidas que completan las razones trigonométricas. Hay un ejemplo. 1)

α

9 sen α = 15 15

12

β

sen β =

cos α =

tan α =

cos β =

tan β =

9 Matemática − Semana 34

291

2)

18

α

sen α =

15

23.43

sen β =

β

cos α =

tan α =

cos β =

tan β =

B. Aplique una la razón trigonométrica para encontrar el valor de cada lado en los triángulos. Realice las operaciones en su cuaderno o en hojas aparte y escriba la respuesta. 1)

2) α

α

y

12 cm

3)

15 cm 45º

30º x x=

y=

x=

y

x

y

60º 1.5 km

x y=

β

x=

y=

C. Utilice las razones trigonométricas para resolver los problemas siguientes. Realice las operaciones en su cuaderno o en hojas aparte. 1) Un avión que vuela a 900 m de altura observa el aeropuerto donde debe aterrizar. El ángulo entre la pista de aterrizaje y el avión en ese momento es de 25°. a. ¿A qué distancia horizontal del aeropuerto se encuentra el avión? b. ¿Cuál es la distancia diagonal entre el aeropuerto y el avión? 2) Una persona se encuentra a 3 m de distancia de un árbol que mide 5 m de altura. a. ¿Cuál es el ángulo de elevación, entre el suelo y la parte más alta del árbol? b. Si la persona se retira 2 m y ahora se encuentra a 5 m de distancia, ¿cuál es el nuevo ángulo de elevación? 3) Un rectángulo ABCD tiene como base AB = 3.5 cm y altura BC = 2.8 cm. a. Trace el dibujo del rectángulo indicado. b. Halle la medida del ángulo que forma la base y la altura. c. ¿Cuál es la medida de la diagonal? 4) Un poste de 5 m está sujetado por dos cables como se muestra en el dibujo. a. Halle la longitud de cada cable. b. Encuentre la distancia de un cable al otro, a nivel del suelo.

292

IGER − Polochic

5m 55º

45º

Agilidad de cálculo mental Factorice las expresiones de acuerdo al caso descrito en cada apartado. Guíese por los ejemplos. A. Trinomio cuadrado perfecto (5x + 2)2

7) 0.25y 2 + y + 1

=

=

8) 4m2 – 6mn + 2.25n2

=

=

9) 0.09x2 + 1.8xy + 9y2

=

0) 25x2 + 20x + 4

=

1) 64y 2 – 80y – 25 2) 36w2 + 12w + 1

3) 9m2 + 54m + 81 =

10) 2.25w2 + 21wx + 49x2 =

81 4) 49w2 – 63w + 4 = 5) 16 z2 – 24 z + 9 = 49 7 25 9 5 6) x2 – x + 9 = 16 2

11) 81 z2 – 18z + 4 4 25 12) y 2 + 10y + 4 4 13) 49 a2 – 35 a + 25 9 6 16

= = =

B. Trinomio de la forma a2 – b2 (9x + 6)(9x – 6)

7) 0.25x2 – 16

=

=

8) 0.04y 2 – 81

=

2) 64w2 – 1

=

9)

3) z2 – 100

=

10) 0.16w2 – 0.25

4) y 2 – 144

=

11) 25 a2 – 0.64b2 = 4

0) 81x2 – 36

=

1) 9y 2 – 25

16 4 2 – x = 9 9

12) 9 y 2 – 16 13) 64 x2 – 49

5) 36 – 25m2 = 6) (121 – 5n2) =

=

25 z2 49

=

81 y 2 4

=

C. Trinomio de la forma x2 + bx + c (x – 8)(x + 6)

8) z2 – 2z – 8

=

1) y 2 + y – 6 =

9) w2 + 4w – 5

=

2) m2 – 5m + 6 =

10) y 2 + 9y + 8

=

3) w2 + w – 30 =

11) m2 – 5m – 50

=

4) r 2 + 3r – 10 =

12) x2 – 5x – 150

=

5) z2 + 5z – 24 =

13) z2 + 13z – 48

=

6) x2 – 2x + 24 =

14) w2 – 12w + 45 =

7) t 2 + 7t – 18 =

15) y 2 + 22y + 120 =

0) x2 – 2x – 48 =


293






Domino los contenidos de la semana 26 a la 33. Resuelvo los ejercicios de repaso para evaluarme en la prueba final. Me siento bien preparado para la prueba final.

Orientaciones sobre la prueba final ¡Llegó el momento de la prueba! Ya está listo para su prueba final de Matemática. Le presentamos las últimas recomendaciones que pueden ayudarle a la hora del examen.

Al recibir la prueba, y antes de empezar a resolverla, escriba su nombre, número de carné, número de círculo de estudio y fecha. Lea atentamente las instrucciones antes de contestar. Si tiene duda, consulte a su orientador(a).

Grupo: Polochic Materia: Matemática

Prueba: final A – 2016 Segundo semestre

Punteo:

Nombre: IGER

polochic

Carné: Círculo de estudio N.º:

Fecha:

i serie 1 punto cada respuesta correcta. Total 5 puntos. INSTRUCCIONES: Marque con una "X" el cuadro de la respuesta correcta. 1) ¿Cuál es la factorización correcta de x2 + 3x – 54?

(x + 9)(x – 6) (x + 6)(x – 9) (x + 9)(x + 6) (x – 9)(x – 6)

No se "atasque" en ningún ejercicio. Empiece por las preguntas que sepa mejor y le quedará más tiempo para pensar en las que tenga dudas. Al finalizar su examen, relea todas sus respuestas y vea si algo se le pasó por alto. Presente su prueba limpia y ordenada. ¡ánimo! El resultado de su examen será el producto de su esfuerzo.

294

IGER − Polochic

Taller matemático Prueba B

Taller matemático

295

Taller matemático Repaso para la prueba de graduandos del Mineduc Estimada (o) estudiante del grupo Polochic: Le saludamos con cariño y esperamos que esté estudiando con entusiasmo este segundo semestre de bachillerato. El Ministerio de Educación realiza cada año pruebas de matemática y de comprensión lectora a todos los estudiantes que están cursando el último año del ciclo básico o el último año de diversificado. El propósito de estas pruebas es obtener información que permita mejorar la calidad educativa de nuestro país. Consecuentes con esta mejora educativa, hemos incluido en este libro una sección llamada Taller matemático, el cual contiene dos pruebas liberadas que hemos descargado del portal del Mineduc. Estas le servirán para que se vaya preparando poco a poco. ¿Qué contenidos se repasan en este taller? Cada prueba presenta 20 ítems que abarcan contenidos vistos en las semanas 18 a la 34 y temas como: operaciones aritméticas, razonamiento lógico, expresiones algebráicas y ecuaciones de primer grado. ¿Cómo se evaluarán estos contenidos? • En la primera prueba parcial se evaluarán los contenidos de la prueba A. • En la prueba final se incluyen los contenidos de la prueba B. Los temas que no aparecen en este libro los encontrará en el material de matemática de los grupos Quiriguá, Utatlán y Zaculeu o también puede investigar en internet.

296

IGER − Polochic

MATE GRAD-B


EVALUACIÓN CORTA DE MATEMÁTICAS

Graduandos

FORMA MATE GRAD-B INSTRUCCIONES: 1. Use este folleto para practicar. 2. Lea cada pregunta o enunciado así como las cuatro posibles respuestas u opciones que la completan. 3. Seleccione la correcta. Solamente una de las cuatro opciones corresponde a la respuesta correcta.

EJEMPLOS: A. Sume 2.3 + 5.1 + 4.7 =

a) 12.1 b) 11.1 c) 1.21 d) 1.11

B. En la expresión 2x - 4 = 6, ¿cuál es el valor de x? a) –1 b) 1 c) 2 d) 5

Taller matemático

297

298

IGER − Polochic

MATE GRAD-B


5. La tabla representa el número de mujeres y hombres inscritos en el curso de Geometría que se imparte en las secciones A y B. Si se elige a un estudiante de este curso al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre y esté en la sección A? Sección “A” 31 17 48

Mujeres Hombres a) 17/48 b) 17/90

Sección “B” 24 18 42

Total 55 35 90

c) 17/35 d) 48/90

es: 6. La interpretación verbal de a) Los 3/5 del cuadrado de x más el triplo de y al cuadrado. b) Los 3/5 de la suma de x al cuadrado más 3y elevada al cuadrado. c) Los 3/5 del cuadrado de la suma de x al cuadrado más 3y. d) El producto de los 3/5 del cuadrado de x sumado con 3y. 7. ¿Cuál es el área del piso que no está sombreada, si el bloque que se tomó de muestra ABCD, tiene forma cuadrada de 12 metros por lado?

a) 36 m2 b) 48 m2

-DIGEDUCA-

B

C

A

D

c) 72 m2 d) 144 m2


Taller matemático

4

299

MATE GRAD-B

Evaluación corta de Matemáticas 8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) 5 2 + 2 5 = 7 7 b) 5 2 ⋅ 5 5 = 510

c) 5 2 ⋅ 5 5 = 5 7 d) 5 2 ⋅ 2 5 = 10 7

9. Si a=3x–5 y b=5x+2, ¿cuál es el valor de a2+b2? a) 34x2–21 b) 34x2+29 10.Resuelva la siguiente operación:

a)

5 3 2 ÷ −  16  8 5 

15 16

b) −

34x2–10x+29 34x2–5x+29

c) d)

c) −

4 50

d)

11. ¿Cuál es el valor de a) 314 b) 294

25 2

25 2

si x = 2ey = –3? c) d)

284 264

12.Roberto recibe una herencia e invierte 2/5 de la misma en un negocio. Del resto le presta a su hermana Q10, 000.00 y le quedan Q50, 000.00. ¿De cuánto fue la herencia que recibió? a) Q100, 000.00 b) Q150, 000.00

c) Q125, 000.00 d) Q60, 000.00 ?

13. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación a) 1/3 b) 73/23

-DIGEDUCA-

300

IGER − Polochic

c) 13/27 d) 73/27


5

MATE GRAD-B

Evaluación corta de Matemáticas 14. ¿Cuál de las siguientes desigualdades es verdadera? a)

c)

b)

d)

15. Para poder completar una parte de la vía del tren, se va a construir a través de una montaña un túnel rectangular. La entrada a la montaña debe medir 5 metros de alto y 9 metros de ancho. Si se calcula que la longitud del túnel será de 25 metros, ¿cuántos metros cúbicos de tierra se deben remover para poder construirlo? a) 45 m3 b) 125 m3

c) 225 m3 d) 1,125 m3

16. Un tanque de combustible con capacidad de 1,000 litros, tiene ahora 240 litros de gasolina. ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque si se usa una manguera para llenar lo que bombea a 25 litros por minuto? La ecuación que resuelve el problema es: a) 1, 000 + 25t = 240 b) 25t = 1, 240

c) 240 + 25t = 1, 000 d) 240 (t + 25) = 1, 000

17. Soraya fue a una entrevista de trabajo y se perdió en el edificio. Empezó en el primer piso y luego decidió subir 4 pisos. Después bajó 3 pisos, luego subió otros 7; y por último bajó otro piso hasta dar con la oficina donde la habían citado. Tomando en cuenta que cada bajada de piso le lleva 26 segundos y cada subida le toma 34 segundos, ¿cuánto tiempo tardó Soraya en encontrar la oficina que buscaba? a) 5 minutos con 18 segundos b) 7 minutos con 58 segundos

c) 8 minutos con 36 segundos d) 7 minutos con 26 segundos

18. La distancia entre dos ciudades es de 42 km. Usualmente toma 28 minutos ir de una ciudad a otra pero, debido a las reparaciones que se están haciendo en la carretera, el viaje toma ahora 14 minutos más de tiempo. Encuentre la velocidad a la que se puede manejar ahora. (Recuerde d = vt) a) 90 km/h b) 60 km/h

-DIGEDUCA-

c) 30 km/h d) 180 km/h


6

Taller matemático

301


MATE GRAD-B

19. Un supermercado oferta esta semana una marca de leche a Q7.95 el litro, pero una persona puede llevar como máximo 6 litros a precio de oferta, el resto de litros los puede comprar a precio normal de Q10.25. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el total a pagar si una persona compra más de 6 litros de leche? a)T = 7.95 (6) + 10.25 (n - 6) b) T = 7.95n + 10.25 (n - 6)

c) T = 10.25n + 7.95 (n - 6) d) T = 10.25n + 7.95 (6)

20. Un comerciante vendió 2 automóviles, un automóvil modelo 2009, cuyo precio original era de Q78, 500.00, fue vendido en las 3/4 de su precio. El otro, un automóvil modelo 2011, fue vendido a 7/9 de su precio, el cual era de Q90, 000.00. ¿Cuánto dinero perdió el vendedor? a) Q128, 875.00 b) Q39, 625.00

c) Q20, 000.00 d) Q19, 625.00

Nota: las respuestas correctas de esta prueba las encontrará en un archivo adjunto con el nombre de “Solución de la evaluación corta de Matemáticas forma GRAD-B” en la página web http://www.mineduc.gob.gt/digeduca/.

-DIGEDUCA302 IGER − Polochic


7

Hoja de respuestas B Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES • Rellene con lapicero negro. • Borre bien los errores. Puede utilizar corrector. 1. a.

b.

c.

d.

2. a.

b.

c.

d.

3. a.

b.

c.

d.

4. a.

b.

c.

d.

5. a.

b.

c.

d.

6. a.

b.

c.

d.

7. a.

b.

c.

d.

8. a.

b.

c.

d.

9. a.

b.

c.

d.

10. a.

b.

c.

d.

11. a.

b.

c.

d.

12. a.

b.

c.

d.

13. a.

b.

c.

d.

14. a.

b.

c.

d.

15. a.

b.

c.

d.

16. a.

b.

c.

d.

17. a.

b.

c.

d.

18. a.

b.

c.

d.

19. a.

b.

c.

d.

20. a.

b.

c.

d.

Taller matemático

303

Bibliografía AGUILAR, A. (2009). Aritmética y Álgebra. México: Pearson. Allen R. Angel. (2007). Álgebra elemental. México: Pearson. Dennis G. Zill/Jacqueline M. Dewar. (2001). Álgebra y trigonometría. México: McGraw Hill. Earl W. Swokowski/Jeffery A. Cole. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México: CENGAGE Learning. FORESMAN, S. Y WESLEY, A. Matemáticas, actividades de enriquecimiento, grado 5. Estados Unidos de América: SFAW. GOODMAN, A. Y HIRSCH, L. (2002). Álgebra y geometría con trigonometría analítica. México: Prentice – Hall. INSTITUTO GUATEMALTECO DE EDUCACIÓN RADIOFÓNICA. (2013). Matemática 8, Utatlán I y II. Guatemala: IGER. INSTITUTO GUATEMALTECO DE EDUCACIÓN RADIOFÓNICA. (2013). Matemática 9, Zaculeu I y II. Guatemala: IGER. Jerome E. Kaufmann/Karen Schwitters. (2003). Álgebra intermedia. México: Thomson. Ponce, L. García, F. Cruces, B. Martín, M & Rodríguez, M. (2008). Tests Psicotécnicos. Colombia: Mad, S.L. SULLIVAN, M. (2006). Álgebra y trigonometría. México: Pearson.

Páginas Web consultadas: Aritmética: http://goo.gl/kfIqaS Diccionario de la Real Academia Española: http://goo.gl/KUUuR Ejercicios interactivos de semejanza: http://goo.gl/SHRj4L Errores históricos: http://goo.gl/jPmxyJ Estatusquasar, acertijos lógicos: http://goo.gl/vdsl3 Fundación Wikimedia. Wikipedia en español: http://goo.gl/DVgA4E Juegos de lógica y estrategia: http://goo.gl/B0gYFw Matemáticas recreativas: http://goo.gl/FPYS1B Prismas: http://goo.gl/LicIQK Proyecto Biósfera: http://goo.gl/l3EBT Proyecto Descartes: http://goo.gl/U5K12 Recursos de educación y matemáticas: http://goo.gl/eV1Sh7 Vadenumeros.es: http://goo.gl/tl3Q6

Matemática − Bibliografía

305

le cambiará la vida Siga los pasos...

Lea el contenido de la semana Escuche la clase radial con los cinco sentidos Después de la clase radial… estudio y autocontrol Consulte sus dudas Participe en un círculo de estudio

Matemática - 4.º Bachillerato - Grupo Polochic - Segundo semestre - IGER

Estudiar

Matemática

Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, Grupo Radial ¡uy, uy, uy! y Radio Sónica 106.9 Tel: 2305 1010 www.iger.edu.gt [email protected]

10

10

4.º Bachillerato - Grupo Polochic Segundo semestre - IGER

=r 2

2 y x + 2

5 4 3 2 1 0 1

2

3

4

Matemática

Claves para estudiantes

10

4.º Bachillerato – Grupo Polochic Segundo semestre – IGER

Semana 18 ¡A trabajar!

x1 = 2 + 10 x2 = 2 – 10 Usted debió haber investigado más información en x1 = 6 x2 = –4 internet sobre los signos matemáticos. Si aún no lo ha 2) 3x2 + 5x = 0 hecho, le invitamos a que lo haga. – (5) ± (5)2 – 4(3)(0) x = Ejercicio 1 2(3) –5 + 5 x1 = x2 = –5 – 5 Coeficiente 6 6 a b c x1 = 0 x2 = – 53 –1 0 –9 3) 5x2 – 3x – 2 = 0 1 –8 0 – (–3) ± (–3)2 – 4(5)(–2) 4 2 1 x = 2(5) 24 –65 21 3 + 7 x1 = x2 = 3 – 7 2 1 –4 7 10 10 x1 = 1 x2 = – 2 5 Ejercicio 2 1) x2 – 2x = 8 x2 – 2x – 8 = 0 (x – 4)(x + 2) = 0 x1 = 4 x2 = –2 2) x2 + 25 = 10x x2 – 10x + 25 = 0 (x – 5)(x – 5) = 0 x1 = 5 x2 = 5 3) x2 = 8x – 15 x2 – 8x + 15 = 0 (x – 5)(x – 3) = 0 x1 = 5 x2 = 3 4) x2 – 16 = 6x x2 – 6x – 16 = 0 (x – 8)(x + 2) = 0 x1 = 8 x2 = –2 5) 2x2 – 7x + 3 = 0 (x – 3)(2x – 1) = 0 x1 = 3 x2 = 12 6) 2x2 – 4x – 6 = 0 (x – 3)(2x + 2) = 0 x1 = 3 x2 = –1

Ejercicio 3 1) x2 – 2x = 24 x2 – 2x – 24 = 0 2 x = – (–2) ± (–2) – 4(1)(–24) 2(1)

2

IGER − Polochic

4) x2 – 4x – 21 = 0 – (–4) ± (–4)2 – 4(1)(–21) 2(1) 4 + 10 x1 = x2 = 4 – 10 2 2 x1 = 7 x2 = –3 x =

5) 3x2 – 4x – 15 = 0 x =

– (–4) ± (–4)2 – 4(3)(–15) 2(3)

x1 = 4 + 14 x2 = 4 – 14 6 6 5 x1 = 3 x2 = – 3 6) 9x2 = 3x + 20 9x2 – 3x – 20 = 0 – (–3) ± (–3)2 – 4(9)(–20) x = 2(9) x1 = 3 + 27 x2 = 3 – 27 18 18 5 x1 = x2 = – 4 3 3 7) 2x2 + 36 = 17x 2x2 – 17x + 36 = 0 – (–17) ± (–17)2 – 4(2)(36) x = 2(2) x1 = 17 + 1 x2 = 17 – 1 4 4 9 x1 = x2 = 4 2

8) 4x2 + 9 + 12x = 0 4x2 + 12x + 9 = 0 – (12) ± (12)2 – 4(4)(9) x = 2(4) x1 = –12 + 0 x2 = –12 – 0 8 8 3 3 x1 = – x2 = – 2 2 2 9) 6x + 10 = 19x 6x2 – 19x + 10 = 0 2 x = – (–19) ± (–19) – 4(6)(10) 2(6) 19 + 11 x1 = x2 = 19 – 11 12 12 x1 = 5 x2 = 2 2 3 2 10) 5x + 24x + 16 = 0

6) 9x2 = 3x 9x2 – 3x = 0 3x(3x – 1) 3x = 0 3x – 1 = 0 x1 = 0 x2 = 1 3

7) 2x2 = 17x 2x2 – 17x = 0 x(2x – 17) = 0 x = 0 2x – 17 = 0 x1 = 0 x2 = 17 2

8) 6x2 = 18x 6x2 – 18x = 0 6x(x – 3) = 0 6x = 0 x – 3 = 0 x1 = 0 x2 = 3

9) 4x2 + 12x = 0 4x(x + 3) = 0 4x = 0 x + 3 = 0 x1 = 0 x2 = –3

Ejercicio 5

x = – (24) ± (24) – 4(5)(16) 2(5) x1 = –24 + 16 x2 = –24 – 16 10 10 4 x1 = – x2 = – 4 5 11) 9x2 + 29x + 6 = 0 2 x = – (29) ± (29) – 4(9)(6) 2

2(9) –29 + 25 x1 = x2 = –29 – 25 18 18 2 x1 = – x2 = – 3 9 12) 10x2 + 9x – 9 = 0 2 x = – (9) ± (9) – 4(10)(–9)

1) x2 – 64 = 0 x = ± 64 x2 = –8 x1 = 8

2) x2 – 100 = 0 x = ± 100 x2 = –10 x1 = 10

3) 4x2 = 16 x = ± 16 4 x=± 4 x1 = 2

4) 9x = 25 x = ± 25 9 x1 = 5 3

5) x2 = 6 x=± 6 x1 = 6

x2 = –2

x2 = – 5 3

6) 6x2 – 24 = 0 x = ± 24 6 x=± 4 x2 = –2 x1 = 2

x2 = – 6


2(10) x1 = –9 + 21 x2 = –9 – 21 20 20 x1 = 3 x2 = – 3 5 2

Ejercicio 4 1) x – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x = 0 x–2=0 x1 = 0 x2 = 2

2) 3x + 5x = 0 x(3x + 5) = 0 x = 0 3x + 5 = 0 x1 = 0 x2 = – 5 3

3) 2x2 – 3x = 0 x(2x – 3) = 0 x = 0 2x – 3 = 0 x1 = 0 x2 = 3 2

4) x2 = 2x x2 – 2x = 0 x(x – 2) = 0 x = 0 x–2=0 x1 = 0 x2 = 2

2

5) 2x2 = 5x 2x2 – 5x = 0 x(2x – 5) = 0 x = 0 2x – 5 = 0 x1 = 0 x2 = 5 2

2

1) A1 = x2

A2 = (x + 2)2

2) 1 = 6 cm A1 = 36 cm2

A2 = 64 cm2 A3 = 121 cm2

3) 1 = 10 cm A1 = 100 cm2

= 12 cm A2 = 144 cm2

2

2

= 8 cm

A3 = (x + 5)2 3

= 11 cm

= 15 cm A3 = 225 cm2 3

Matemática − Claves

3

Semana 19 ¡A trabajar! Usted pudo haber escrito cualquier caso en que se apliquen las desigualdades matemáticas. Algunos ejemplos pueden ser: la altura máxima que pueden tener las construcciones en el área donde vive, el mínimo de jugadores que debe tener algún equipo para practicar algún juego, etc.

Ejercicio 1 1) 5x – 12 > 3x – 4 5x – 3x > –4 + 12 2x > 8 8 x> 2 x > 4 (4, ∞) 2) x – 5 < 2x – 6 x – 2x < –6 + 5 –x < –1 (–1)(–x) > (–1)(–1) x > 1 (1, ∞) 3) 2(3x + 1) – 3(2x – 2) > x + 6 6x + 2 – 6x + 6 > x + 6 8 > x + 6 8–6>x 2 > x x < 2 (–∞, 2) 4) (x – 1)2 – 11 < (x – 2)2 x2 – 2x + 1 – 11 < x2 – 4x + 4 4x – 2x < 4 + 10 2x < 14 x < 7 (–∞, 7)

8) 4x ≤ 2x + 1 ≤ 3x + 2 4x ≤ 2x + 1 4x – 2x ≤ 1 2x ≤ 1 1 x≤ 2

–(13) ± (13)2 – 4(1)(40) 2(1) –13 – 3 y1 = –13 + 3 y2 = 2 2 y1 = –5 y2 = –8

y=

(–∞, –8] U [–5, ∞) 2) 3x 2 – 3x – 6 < 0 –(–3) ± (–3)2 – 4(3)(–6) x= 2(3) x1 = 3 + 9 x2 = 3 – 9 6 6 x1 = 2 x2 = –1 –1 < x < 2 (–1, 2)

6) 3x + 1 – 2 – 4x ≥ –5x – 4 + 7x 7 3 14 6 18x + 6 – 28 + 56x ≥ –15x – 12 + 49x 42 42

4) x 2 – 3x ≥ –2 x2 – 3x + 2 ≥ 0

4

IGER − Polochic

1) y 2 + 13y + 40 ≥ 0

3) x 2 – 9x + 20 > 0

[ )

( )

Ejercicio 2

x(x + 2) 5) (x + 3)(x + 2) – 4 < 3 3 (x + 3)(x + 2) – 12 x(x + 2) < 3 3 x2 + 5x + 6 – 12 < x2 + 2x 5x – 6 < 2x 5x – 2x < 6 3x < 6 x < 2 (–∞, 2)

74x – 22 ≥ 34x – 12 74x – 34x ≥ –12 + 22 40x ≥ 10 1 1 x ≥ 4 4, ∞

3 – 5x > 10 – 7x 7x – 5x > 10 – 3 2x > 7 7 x > 7 2, ∞ 2

7) 4x + 1 ≥ 3 – 5x > 10 – 7x 4x + 1 ≥ 3 – 5x 4x + 5x ≥ 3 – 1 9x ≥ 2 2 x≥ 9

–(–9) ± (–9)2 – 4(1)(20) 2(1) 9+1 9–1 x1 = x2 = 2 2 x1 = 5 x2 = 4

x=

(–∞, 4) U (5, ∞)

2 x = –(–3) ± (–3) – 4(1)(2) 2(1) 3+1 3–1 x1 = x2 = 2 2 x1 = 2 x2 = 1 (–∞, 1] U [2, ∞)

2x + 1 ≤ 3x + 2 2x – 3x ≤ 2 – 1 –x ≤ 1 (–1)(–x) ≥ (–1)(1) x ≥ –1 1 1 –1 ≤ x ≤ 2 –1, 2

[ ]


5) 2x 2 – 17x ≤ –30 2x2 – 17x + 30 ≤ 0

Las respuestas variarán de acuerdo al criterio de cada estudiante. Le damos unos ejemplos: Economía, geología, mecánica y muchas áreas de la ingeniería.

x = –(–17) ± (–17) – 4(2)(30) 2(2) x1 = 17 + 7 x2 = 17 – 7 4 4 5 x1 = 6 x2 = 2 5 5 ≤ x ≤ 6 2, 6 2 2

Ejercicio 1 Recuerde que utilizando cualquiera de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones, usted escoge la variable con la que le resulte más fácil trabajar. En cada uno de los incisos siguientes, le mostramos uno de los procedimientos posibles.

[ )

6) –35x < –4x2 – 24 4x2 – 35x + 24 < 0

2 x = –(–35) ± (–35) – 4(4)(24) 2(4) 35 + 29 35 – 29 x1 = x2 = 8 8 3 x1 = 8 x2 = 4 3 3 < x < 8 4, 8 4

( )

Desarrolle nuevas habilidades Este es un problema ético–moral y se dice que se usó por primera vez en una entrevista laboral. De todos los razonamientos que dieron los aspirantes, abajo expondremos el más creativo, sin embargo, el estudiante pudo haber respondido de acuerdo a su opinión.

A. 1) 7x – 13 = –4y –2y = 19 – 5x 7x – 13 = –4y –2y = 19 – 5x –4y + 13 2y + 19 x = x = 7 5 –4y + 13 2y + 19 = 7 5 5(– 4y + 13) = 7(2y + 19) –20y + 65 = 14y + 133 –20y – 14y = 133 – 65 –34y = 68 y = –2 2(–2) + 19 x= 5 x=3

“Le daría las llaves del carro a mi amigo y le pediría que llevara a la anciana al hospital. Mientras tanto, yo me x = 3 y = –2 quedaría esperando el bus con el hombre/mujer de 2) 2x + 3y – 13 = 0 quien estoy enamorada(o)”. 4x = 5 + y 2x + 3y – 13 = 0 4x = 5 + y 13 – 2x y = y = 4x – 5 3 13 – 2x = 3(4x – 5) 13 – 2x = 12x – 15 13 + 15 = 12x + 2x 28 = 14x x=2

y = 4(2) – 5 y=3 x = 2 y = 3


5

3) 6y = –x + 27 7x – 9 = 3y 6y = –x + 27 7x – 9 = 3y –x + 27 7x – 9 y = y = 6 3 –x + 27 7x – 9 = 6 3 3(–x + 27) = 6(7x – 9) –3x + 81 = 42x – 54 –3x – 42x = –54 – 81 –45x = –135 x=3 7(3) – 9 y = 3 y=4 x = 3 y = 4 4) 2 + 3x = 2y

5x + 60 + 8y = 0

2 + 3x = 2y 5x + 60 + 8y = 0 2y – 2 –8y – 60 x = x = 3 5 2y – 2 –8y – 60 = 3 5 5(2y – 2) = 3(–8y – 60) 10y – 10 = –24y – 180 10y + 24y = –180 + 10 34y = –170 y = –5 (–8)(–5) – 60 x= 5 x = –4 x = –4 y = –5 B. 1) –7 + 5y = –3x 2x + 4 = y –7 + 5y = –3x 2x + 4 = y –7 + 5(2x + 4) = –3x –7 + 10x + 20 = –3x 13 = –3x – 10x 13 = –13x x = –1 y = 2(–1) + 4 y=2 x = –1 y = 2 2) –5 – 4y + 7x = 0 9x = 13 – 8y –5 – 4y + 7x = 0 9x = 13 – 8y –5 – 4y + 7x = 0 5 + 4y x= 7

6

IGER − Polochic

9(5 + 4y) = 13 – 8y 7

9(5 + 4y) = 7(3 – 8y)

45y + 36y = 91 – 56y 92y = 46 1 y= 2 5+4 1 2 x= 7 x=1 x=1 y= 1 2

( )

3) 32x = 13 + 25y 15y + 16x – 1 = 0 32x = 13 + 25y 13 + 25y x= 32

(

15y + 16x – 1 = 0

)

15y + 16 13 + 25y – 1 = 0 32 13 + 25y 15y + –1=0 2 30y + 13 + 25y – 2 = 0 2 55y + 11 =0 2 55y + 11 = 0 55y = –11 1 y=– 5 13 + 25 – 1 5 x= 32 13 – 5 x= 32 1 x = 4 x= 1 y=– 1 4 5

( )

4) 4x = 5 – 5y 7 – 4x = 10y

4x = 5 – 5y 7 – 4x = 10y 5 – 5y x= 4 5 – 5y 7–4 = 10y 4 7 – 5 + 5y = 10y

(

5y + 2 = 10y 2 = 10y – 5y 2 = 5y y= 2 5

)

( )

10x = 52 – 8y 16y = 14 – 5x 10x + 8y = 52 5x + 16y = 14 –2(10x + 8y = 52)

5–5 2 5 x= 4 x= 3 4 x= 3 y= 2 4 5

5x + 16y = 14 –20x – 16y = –104 –15x = –90 –5x + 14 y= 16 –5(6) + 14 y= 16

5) x = 2 + 3y –5y = 6 – 2x x = 2 + 3y –5y = 6 – 2x –5y = 6 – 2(2 + 3y) –5y = 6 – 4 – 6y 6y – 5y = 2 y=2

3) 18x + 14y + 126 = 0 9x = –63 – 28y 18x + 14y + 126 = 0 18x + 14y = –126 –2(9x + 28y = –63)

x = 2 + 3(2) x=8 x=8 y=2

18x + 14y = –126 –18x – 56y = 126 – 42y = 0

6) 0 = –163 – 11x + 13y –8x + 7y – 94 = 0

–8x + 7y – 94 = 0 94 + 8x y= 7 94 + 8x 0 = –163 – 11x + 13 7 1222 + 104x 0 = –163 – 11x + 7 0 = –1141 – 77x + 1222 + 104x

(

)

–3(6x + 22y = 59) 18x + 2y = 145 –18x – 66y = –177 –64y = –32 –22y + 59 6 1 + 59 –22 2 x= 6 5) 8y = 37 – 9x 27x + 4y = 1

x = 6(–2) + 24 4

y=0

x = –7

18x + 2y = 145 18x + 2y = 145

y= 1 2

x=

( )

C. 1) 4x = 24 + 6y –3y = 42 – 12x 4x = 24 + 6y –3y = 42 – 12x 4x – 6y = 24 12x – 3y = 42 –3(4x – 6y = 24)

x = 6y + 24 4

9x = –63 – 28y 9x + 28y = –63

x=

6x + 22y – 59 = 0 6x + 22y = 59

–81 = 27x x = –3 94 + 8(–3) y= 7 y = 10 x = –3 y = 10

y = –1

4) 6x + 22y – 59 = 0 18x + 2y = 145

1141 – 1222 = 104x – 77x

12x – 3y = 42 –12x + 18y = –72 15y = –30

–14y – 126 18 –14(0) – 126 x= 18

x=6

x=8

8y = 37 – 9x 27x + 4y = 11 9x + 8y = 37 27x + 4y = 11 –3(9x + 8y = 37)

y = –2

x=3

27x + 4y = 11 –27x – 24y = –111 –20y = –100

y=5

x=

– 4y + 11 27 – 4(5) +11 x= 27

x=– 1 3

2) 10x = 52 – 8y 16y = 14 – 5x


7

6) 10x = 17 – 3y 20x – 9y + 101 = 0 10x = 17 – 3y 20x – 9y + 101 = 0 10x + 3y = 17 20x – 9y = –101 3(10x + 3y = 17) 20x – 9y = –101 30x + 9y = 51 50x = –50 10x + 17 3 –10(–1) + 17 y= 3

x = –1

y =

y=9

3) x2 + y2 = 50 3x + y = 20 x2 + y2 = 50 3x + y = 20 y = 20 – 3x 2 2 x + (20 – 3x) = 50 x2 + 400 – 120x + 9x2 = 50 10x2 – 120x + 350 = 0 –(–120) ± (–120)2 – 4(10)(350) x= 2(10) 120 ± 20 x= x1 = 7 20 x2 = 5

Ejercicio 2

y1 = 20 – 3(7) y2 = 20 – 3(5)

y1 = –1 y2 = 5

Recuerde que con sistemas no lineales, usted escoge la 2 2 variable con la que le resulte más fácil trabajar. En cada 4) x + 2y = 153 uno de los incisos siguientes, le mostramos uno de los x + 3y = 27 procedimientos posibles. x + 3y = 27 x2 + 2y2 = 153 x = –3y + 27 1) x2 + y2 = 61 (–3y + 27)2 + 2y 2 = 153 x + y = 11 2 2 9y2 – 162y + 729 + 2y2 = 153 x + y = 61 x + y = 11 x = –y + 11 11y 2 – 162y + 576 = 0 (–y + 11)2 + y 2 = 61 –(–162) ± (–162)2 – 4(11)(576) y= y 2 – 22y + 121 + y 2 = 61 2(11) 2y 2 – 22y + 60 = 0 162 ± 30 96 y= 22 y1 = 11 –(–22) ± (–22)2 – 4(2)(60) y= y2 = 6 2(2) 9 x1 = –3 96 + 27 x1 = 11 y = 224± 2 y1 = 6 11 y2 = 5 x2 = –3(6) + 27 x2 = 9

( )

x1 = –6 + 11 x2 = –5 + 11

x1 = 5 x2 = 6

2) 3x2 + y2 = 201 x + y = 11 3x2 + y2 = 201

x + y = 11 x = –y + 11

3(– y + 11)2 + y 2 = 201 3(y2 – 22y + 121) + y 2 = 201 3y2 – 66y + 363 + y 2 = 201 4y 2 – 66y + 162 = 0

–(–66) ± (–66)2 – 4(4)(162) 2(4) 66 ± 42 y1 = 27 y= 8 2 y=

( )

y2 = 3

x1 = – 27 + 11 2

x1 = – 5 2

x2 = –3 + 11

x2 = 8

8

IGER − Polochic

Ejercicio 3 Usted puede utilizar las variables que le parezcan. Nosotros utilizaremos x e y. 1) x = precio por libra de cebolla y = precio por libra de papa 2x + 5y = 20 4x + 2y = 16 2x + 5y = 20 4x + 2y = 16 16 – 2y 20 – 5y x = x = 4 2 20 – 5y 16 – 2y = 2 4 4(20 – 5y) = 2(16 – 2y)

80 – 20y = 32 – 4y 80 – 32 = –4y + 20y 48 = 16y y=3 20 – 5(3) x = 2.5 x = 2 El precio de una libra de cebolla es de Q2.50 y el de una libra de papa es Q3.00


2) x = cajas de 2 litros y = cajas de 5 litros x + y = 120 2x + 5y = 300

La respuesta variará de acuerdo a la imaginación de cada estudiante. Le presentamos unos ejemplos: No podríamos ver en perspectiva, porque no existiría la profundidad. Tampoco podríamos comer o beber agua porque nuestro aparato digestivo se asemeja a tubos, los cuales, sin una tercera dimensión, serían incapaces de transportar los fluidos.

x + y = 120 2x + 5y = 300 x = 120 – y = 300

2(120 – y) + 5y = 300 240 – 2y + 5y = 300 3y + 240 = 300 3y = 60

x = 120 – (20)

Ejercicio 1

y = 20

1) x + 4y – z = 6

x = 100

2x + 5y – 7z = –9

3x – 2y + z = 2

–2(x + 4y – z = 6) Se utilizaron 100 cajas de dos litros y 20 cajas de –2x – 8y + 2z = –12 5 litros para envasar la leche. 2x + 5y – 7z = –9 –2x – 8y + 2z = –12 3) 1 = chorro A 5 –3y – 5z = –21 1 = chorro B –3(x + 4y – z = 6) 2 3x – 2y + z = 2 1 = los dos chorros abiertos –3x – 12y + 3z = –18 x –14y + 4z = –16 1 + 1 = 1 x 5 2 –3y – 5z = –21 –14y + 4z = –16 1 7 = 5z – 21 – 4z – 16 10 x y = y = –14 –3 7x = 10 – 4z – 16 5z – 21 = –14 –3 x = 10 –14(5z – 21) = –3(–4z – 16) 7 –70z + 294 = 12z + 48 Si se abren los dos chorros, el tanque se llena en 246 = 82z z=3 10 horas. 5(3) – 21 7 y=2 y = –3 x = – 4y + z + 6 Desarrolle nuevas habilidades x = – 4(2) + (3) + 6 x=1 1) c

2) a 3) b 4) a

2) x + y + z = 12

2x – y + z = 7

x + 2y – z = 6

–2(x + y + z = 12) –2x – 2y – 2z = –24 2x – y + z = 7 –2x – 2y – 2z = –24 –3y – z = –17

–1(x + y + z = 12) –x – y – z = –12

x + 2y – z = 6 –x – y – z = –12 y – 2z = –6


9

–3y – z = –17 z – 17 y= –3 z – 17 = 2z – 6 –3 z – 17 = –3(2z – 6) z – 17 = –6z + 18 z + 6z = 18 + 17 7z = 35 y = 2z – 6 y = 2(5) – 6

y = 2z – 6

–33m +123 –55m + 206 = 14 23 23(–33m + 123) = 14(–55m + 206) –759m + 2829 = –770m + 2884 –759m + 770m = 2884 – 2829 11m = 55 m=5

z=5

x + y + z = 12 x = – y – z + 12 x = – 4 – 5 + 12

x=3

3) x + y + z = 6

x – y + 2z = 5

x – y – 3z = –10

–1(x – y + 2z = 5) –x + y – 2z = –5

x+y+ z=6 –x + y – 2z = –5 2y – z = 1

–1(x – y + 2z = 5) –x + y – 2z = –5

–15 z = –5 2y – z = 1 z+1 y= 2 3+1 y= 2

z=3

x+y+z=6 x = –y – z + 6 x = –2 – 3 + 6

x=1

4) 6m + 3n + 2w = 12 9m – n + 4w = 37 10m + 5n + 3w = 21 3(9m – n + 4w = 37) 27m – 3n + 12w = 111 6m + 3n + 2w = 12 27m – 3n + 12w = 111 33m + 14w = 123 5(9m – n + 4w = 37) 45m – 5n + 20w = 185 10m + 5n + 3w = 21 45m – 5n + 20w = 185 55m + 23w = 206

IGER − Polochic

n = –4

3w + 6x + 8z = 14

4w + 2x – 7z = –11

3(4w + 2x – 7z = –11) 12w + 6x – 21z = –33

2w – 6x + z = –15 12w + 6x – 21z = –33 14w – 20z = –48

y=2

10

w = –3

2w – 6x + z = –15 3w + 6x + 8z = 14 5w + 9z = –1

33m + 14w = 123 14w = –33m + 123 –33m +123 w= 14

w=

5) 2w – 6x + z = –15

x – y – 3z = –10 –x + y – 2z = –5 – 5z = –15

–33m + 123 14

–33(5) + 123 14 9m – n + 4w = 37 –n = –9m – 4w + 37 n = 9m + 4w – 37 n = 9(5) + 4(–3) – 37 n = 45 – 12 – 37

y=4

w=

55m + 23w = 206 23w = –55m + 206 –55m + 206 w= 23

5w + 9z = –1 14w – 20z = –48 5w = –9z –1 14w = 20z – 48 –9z – 1 20z – 48 w= w= 5 14 –9z – 1 20z – 48 = 5 14 14(–9z – 1) = 5(20z – 48) –126z – 14 = 100z – 240 –126z – 100z = –240 + 14 –226z = –226 z=1 –9z – 1 5 –9(1) – 1 w = 5 2w – 6x + z = –15 –6x = –2w – z –15 w =

6x = 2w + z +15 2w + z +15 x = 6 2(–2) + 1 + 15 x = 6

w = –2

x=2

6) –2x + 5y – 3z = –2 6x – 10y + 9z = 6

4x – 9y – 6z = –44

3(–2x + 5y – 3z = –2) –6x + 15y – 9z = –6

6x – 10y + 9z = 6 –6x + 15y – 9z = –6 =0 5y

5y = 0

–4x – 3y – 2z = –1 –2x + 3y – 7z = –5

( –6y +58z –1 ) – 3y – 2z = –1

y – 12z = –48

–4

24y – 32z + 4 – 3y – 2z = –1 5 24y – 32z + 4 – 15y – 10z = –5 5 9y – 42z + 9 =0 5 9y – 42z + 9 = 5(0) 9y – 42z + 9 = 0

z=4

6x – 10y + 9z = 6 6x = 10y – 9z + 6

z=5

–4x – 3y – 2z = –1

–12z = –y – 48

x = –3

5x – 6y + 8z = –1 5x = –6y + 8z – 1 –6y + 8z –1 x= 5

2(–2x + 5y – 3z = –2) –4x + 10y – 6z = –4

12z = y + 48 y + 48 z= 12 0 + 48 z = 12

z = 7x + 2y + 28 z = 7(–3) + 2(–1) + 28

2) 5x + 6y – 8z = –1

y=0

4x – 9y – 6z = –44 –4x + 10y – 6z = –4 y – 12z = –48

–20y – 155 45 –20(–1) – 155 x= 45 x=

10y – 9z + 6 6 10(0) – 9(4) + 6 x= x = –5 6

x=

(

Ejercicio 2 1) –4x + 6y + 7z = 41 8x – 5y +11z = 36

–2x + 3y – 7z = –5 –6y + 8z – 1 –2 + 3y – 7z = –5 5 12y – 16z + 2 + 3y – 7z = –5 5 12y – 16z + 2 + 15y – 35z –25 = 5 5 12y – 16z + 2 + 15y – 35z = –25 27y – 51z + 27 = 0

–7x – 2y + z = 28

–7x – 2y + z = 28 z = 7x + 2y + 28 –4x + 6y + 7(7x + 2y + 28) = 41 –4x + 6y + 49x + 14y + 196 = 41 45x + 20y = –155

)

9y – 42z + 9 = 0 9y = 42z – 9 42z – 9 y = 9 42z – 9 51z – 27 = 9 27

8x – 5y + 11(7x + 2y + 28) = 36 8x – 5y + 77x + 22y + 308 = 36 85x + 17y = 36 – 308 85x + 17y = –272

27y – 51z + 27 = 0 27y = 51z – 27 51z – 27 y= 27

27(42z – 9) = 9(51z – 27) 1134z – 243 = 459z – 243 1134z – 459z = –243 + 243 675z = 0 z=0 42z – 9 y= 9 42(0) – 9 y = –1 y= 9

45x + 20y + 155 = 0 85x + 17y + 272 = 0 45x = –20y – 155 85x = –17y – 272 –20y – 155 –17y – 272 x = x = 45 85 –20y – 155 –17y – 272 = 45 85 85(–20y – 155) = 45(–17y – 272) –1700y – 13175 = –765y – 12240 –1700y + 765y = –12240 + 13175 –935y = 935 y = –1

–6y + 8z – 1 5 –6(–1) + 8(0) – 1 x = 1 x= 5

x=


11

3) 2x + 4y + 3z = 3 10x – 8y – 9z = 0 4x + 4y – 3z = 2 2x + 4y + 3z = 3 2x = –4y – 3z + 3 –4y – 3z + 3 x= 2 10x – 8y – 9z = 0 –4y – 3z + 3 – 8y – 9z = 0 10 2 –20y – 15z + 15 – 8y – 9z = 0 –28y – 24z + 15 = 0

(

)

4x + 4y – 3z = 2 –4y – 3z + 3 + 4y – 3z = 2 4 2 –8y – 6z + 6 + 4y – 3z – 2 = 0 –4y – 9z + 4 = 0

(

)

–28y – 24z + 15 = 0

–4y – 9z + 4 = 0

–28y = –24z – 15 –4y = 9z – 4 9z – 4 24z – 15 y= y= –4 –28 24z – 15 9z – 4 = –28 –4 –4(24z – 15) = –28(9z – 4) –96z + 60 = –252z + 112 –96z + 252z = 112 – 60 156z = 52 z= 1 3 9z – 4 y = –4 1 –4 9 3 y= y= 1 4 –4 –4y – 3z + 3 x = 2 1 –3 1 +3 –4 4 3 x= x= 1 2 2

( )

( ) ( )

4) – 1 x + 5y – 3z = 15 4x – 1 y + 5z = 18 2 3 3x – 4y + 9z = –3 3x = 4y – 9z – 3 4y – 9z – 3 x = 3 – 1 x + 5y – 32 = 15 2 4y – 9z – 3 + 5y – 3z = 15 – 1 2 3 –4y + 9z + 3 + 5y – 3z – 15 = 0 6 –4y + 9z + 3 + 30y – 18z – 90 =0 6 26y – 9z – 87 =0 6 4x – 1 y + 5z = 18 3

(

12

)

IGER − Polochic

4

( 4y – 39z – 3 ) – 13 y + 5z = 18

16y – 36z – 12 1 – y + 5z – 18 = 0 3 3 16y – 36z – 12 – y + 15z – 54 =0 3 15y – 21z – 66 =0 3 5y – 7z – 22 = 0

26y – 9z – 87 = 0 6 26y – 9z – 87 = 0

26y = 9z + 87 9z + 87 y = 26 9z + 87 7z + 22 = 26 5 5(9z + 87) = 26(7z) + 22 45z + 435 = 182z + 572 45z – 182z = 572 – 435 –137z = 137 z = –1 7z + 22 5 7(–1) + 22 y= 5 4y – 9z – 3 x = 3 4(3) – 9(–1) – 3 x= 3

5y – 7z – 22 = 0 5y = 7z + 22 7z + 22 y= 5

y =

y=3

x=6

Ejercicio 3 1) x = número de empleados que gana Q19.00 y = número de empleados que gana Q18.00 z = número de empleados que gana Q17.00 x + y + z = 100 y 3x – 4y + 9z = –3 x = 2 19x + 18y + 17z = 1788 2x = y x + (2x) + z = 100 3x + z = 100 19x + 18y + 17z = 1788 19x + 18(2x) + 17z = 1788 55x + 17z = 1788 3x + z = 100 z = –3x + 100 55x + 17z = 1788 55x + 17(–3x + 100) = 1788 55x – 51x + 1700 = 1788 4x + 1700 – 1788 = 0 4x – 88 = 0


88 x = 22 4 z = –3x + 100 z = –3(22) + 100 z = 34

y = 2x y = 2(22)

Ejercicio 1

x=

1) Entre Guatemala y España hay 8 horas de diferencia. 2) En China serán las 9:00 de la noche.

y = 44

y

22 empleados ganan Q19.00 la hora, 44 ganan Q18.00 la hora y 34 ganan Q17.00 la hora.

8 7

C(0, 6)

6

A(4, 5)

5

2) x = películas infantiles y = películas cómicas z = películas de terror

4

F(–5, 3)

3 2 1

0.6x + 0.5y = 0.3(x + y + z) 0.2x + 0.6y + 0.6z = 0.5(x + y + z) 100 + x = y

–5

–4

–3

D(–4, –2)

–2

–1

0

1

–1

2

3

4

–2 –3

B(3, –4)

–4 –5

0.6x + 0.5y = 0.3x + 0.3y + 0.3z 0.2x + 0.6y + 0.6z = 0.5x + 0.5y + 0.5z 100 + x = y

E(5, –5)

–6 –7 –8

Ejercicio 2

0.3x + 0.2y – 0.3z = 0 –0.3x + 0.1y + 0.1z = 0 100 + x = y

1) A(–3, 4) y B(1, 1) d(A, B) = (1 – (–3))2 + (1 – 4)2 d(A, B) = (1 + 3)2 + (1 – 4)2 d(A, B) = (4)2 + (–3)2 d(A, B) = 16 + 9 d(A, B) = 25 d(A, B) = 5

0.3x + 0.2(100 + x) – 0.3z = 0 –0.3x + 0.1(100 + x) + 0.1z = 0 0.3x + 20 + 0.2x – 0.3z = 0 –0.3x + 10 + 0.1x + 0.1z = 0 0.5x – 0.3z + 20 = 0 –0.2x + 0.1z + 10 = 0 0.3z – 20 –0.1z – 10 x = x= 0.5 –0.2 0.3z – 20 –0.1z – 10 = 0.5 –0.2

y

9 8 7 6 5

A

4 3 2 0 –1

2) C(1, 5) y D(–1 , –4) d(C, D) = (–1 – 1)2 + (–4 – 5)2 0.3(900) – 20 d(C, D) = (–2)2 + (–9)2 x = x = 500 0.5 d(C, D) = 4 + 81 y = 100 + (500) y = 600 d(C, D) = 85 El vendedor cuenta con 500 películas infantiles, d(C, D) ≈ 9.22 600 películas cómicas y 900 filmes de terror.

Desarrolle nuevas habilidades 4) = 5) ≠ 6) ≠

7) = 8) ≠ 9) =

B

1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–0.2(0.3z – 20) = 0.5(–0.1z – 10) 4 – 0.06z = –0.05z – 5 –0.06z + 0.05z = –5 – 4 –0.01z = – 9 z = 900

1) = 2) ≠ 3) =

x

5

10) ≠ 11) = 12) =

13) ≠ 14) ≠

1

y

2

3

4

5

6

x

C

5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

1

2

3

4

5

6

x

–2

D

–3 –4 –5


13

Ejercicio 3

3) E(–5, –3) y F(5, –3)

A. A(–2, –4) y B(4, 10) d(A, B) = (4 + 2)2 + (10 + 4)2 d(A, B) = (6)2 + (14)2 d(A, B) = 36 + 196 d(A, B) = 232 d(A, B) ≈ 15.23

( ( )

–2 + 4 , –4 + 10 M= 2 2 2 6 M= , 2 2 M = (1, 3) B. P(–3, 6) y Q(5, – 4) –3 + 5 , 6 – 4 M= 2 2 2 2 M= , 2 2 M = (1, 1)

( ( )

)

y

B

10

8 6 4

M

2 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–2

A

1

2

3

4

5

x

6

–4

–6 –10

)

3 2

)

1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

4

5

6

x

F

–5

5 4

D 3

6

2

2

M

0 –2

1

2

3

4

5

x

6

A

B

1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

Q

–4 –6

0 –1

1

2

3

4

5

6

x

–2

C

–3

E

–4 –5

c. Pensaron ubicar sus viviendas para ser las puntas de una estrella de cinco picos. d. AB: 6 m, BC: 6.4 m, CD: 6.32, DE: 6.32, EA: 6.4 m e. El vecino que queda más cerca del punto (0, 0) es el de la casa D. Se deben recorrer 3 metros. y

5

A

4 3 2 1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

M

–1

1

2

3

4

5

x

6

–2 –3

B

–4 –5

)

y

5

D

4 3 2

M –6 –5 –4 –3 –2 –1

1 0 –1 –2

C

3

–4

4

( ) ( ) ( )

2

–2

8

–6 –5 –4 –3 –2 –1

1

M –3

E

y

P

1) A(–4, 4) y B(5, –4) (–4) + 5 , 4 + (–4) M= 2 2 1 0 M= , 2 2 1 M= ,0 2 –4 – 4 m= 5+4 8 m=– 9

IGER − Polochic

4

10

Ejercicio 4

14

(

5


d(P, Q) = (5 + 3)2 + (–4 – 6)2 d(P, Q) = (8)2 + (–10)2 d(P, Q) = 64 + 100 d(P, Q) = 164 d(P, Q) ≈ 12.81

( ( ) ( ) ( )

M = (0, –3) –3 + 3 m= 5+5 0 m= 10 m=0

y

–8

y

2) C(–5, –4) y D(2, 4) –5 + 2 , –4 + 4 M= 2 2 –3 0 M= , 2 2 1 M = , 0 2 4+4 m= 2+5 8 m= 7

(–52+ 5, –32– 3 ) 0 –6 M=( , ) 2 2 M=

–3 –4 –5

1

2

3

4

5

6

x


Ejercicio 2

Si el bus hubiera viajado 10 horas recorrería 600 ki- 1) D = {x/x ∈ R}; R = {y/y ∈ R} lómetros. Y si hubiera viajado 15 horas recorrería 900 2) D = {x/x ∈ R}; R = {y/y ∈ R} kilómetros. 3) D = {x ∈ R/x ≠ 3}; R = {y ∈ R/y ≠ 0} 4) D = {x/x ∈ R}; R = {y/y ∈ R} Ejercicio 1 5) D = {x/x ∈ R}; R = {y/y ∈ R} A. 6) D = {x ∈ R/x ≠ 0}; R = {y ∈ R/y ≠ 0} 1) afín 2) afín 3) lineal 4) afín 5) afín 6 lineal 7) afín 8) lineal

Ejercicio 3

1) a. f(x) = 45 + 0.25x; en donde x es el número de kilómetros recorridos al día en el picop. b. y = 45 + 0.25(314) y = 123.5 Ese día el alquiler del picop habría costado Q123.50

B. 1) f (x) = 3x y

2) Siendo x el número de minutos hablados al mes: • Compañía A: 100 + 0.20x • Compañía B: 0.95x

10

x

y

–2

–6

–1

–3

0

0

1

3

–4

2

6

–8

8 6 4

y

2 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–2

1

2

3

4

5

6

x

200 175

–6

150 125

–10

2) f (x) =

100

1 x –3 2

75

y

50

10

x

y

–2

–4

–1

–3.5

0

–3

1

–2.5

–4

2

–2

–8

8

25

6

0

4 2 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –2

1

2

3

4

5

6

• Compañía C: 75 + 0.35x Costo del plan para el cliente: • Compañía A: 100 + 0.20(210) = 142 • Compañía B: 0.95(210) = 199.5 • Compañía C: 75 + 0.35(210) = 148.5 Si el cliente habla 210 minutos o más al mes, le conviene el plan que ofrece la compañía A.

–10

3) f (x) = 11x + 2 y

y

–2

–20

–1

–9

0

2

1

13

2

24

20 16 12


8 4 –3 –2.5 –2 –1.5 –1 –0.5

x

x

–6

x

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

0

0.5 –4

1 1.5

2 2.5

3

–8 –12 –16 –20

x

Las respuestas variarán de acuerdo al criterio de cada estudiante. Revise que cualquiera sea la respuesta, no se involucre violencia, sino que se proceda de una manera pacífica para resolver conflictos.


15

Semana 24 y

¡A trabajar!

5

La respuesta variará de acuerdo a cada estudiante. Le damos el ejemplo siguiente: Una piedra, un zapato, un lapicero o cualquier objeto que no ofrezca una resistencia muy grande al viento.

4 3 2 1

Ejercicio 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

1) f (x) = x + x – 6 –1 xv = 2(1) xv = –0.5 yv = (–0.5)2 + (–0.5) – 6 yv = –6.25 V(–0.5, –6.25) –(1) ± (1)2 – 4(1)(–6) x= 2(1) –1 ± 5 x1 = 2 x = 2 x2 = –3 y = (0)2 + (0) – 6 y = –6 y 2

0

1 –1

2

3

4

5

x

6

–2 –3 –4 –5

Ejercicio 2 A.

y

20000 15000

10 8

10000

6 4

5000

2 –12 –10 –8 –6 – 4

–2

0

2 –2

4

6

8

10 12

x

0

10 20 30 40

50

60 70 80 90 100 110

x

–4 –6 –8 –10

2) f (x) = – 4x2 + 4 –0 xv = 2(–4) xv = 0 yv = – 4(0)2 + 4 yv = 4 V(0, 4) –(0) ± (0)2 – 4(–4)(4) 2(–4) 0±8 x = –8 y = –4(0)2 + 4 x =

x1 = –1 x2 = 1 y=4

B. 1 5 1) y = – 60 x2 + x; donde y son los kilómetros que se 2 pueden recorrer y x es la velocidad del vehículo. –5 2 xv = 75 xv = 1 2 – 60 1 yv = 93.75 yv = – (75)2 + 5 (75) 60 2 V(75, 93.75) 5 2 – 4 – 1 (0) – 5 ± 60 2 2 x = 1 2 – 60 –5 ± 5 x = 2 2 x1 = 0 – 1 x = 150 30 2

( )

( ) ( ) ( ) ( )

16

IGER − Polochic

1 y = – 60 (0)2 + 5 (0) 2

y=0

Semana 25 y

Ejercicio 1

120

A. 1) x2 + 3x = 54 x2 + 3x – 54 = 0 (x + 9)(x – 6) x + 9 = 0 x–6=0 x1 = –9 x2 = 6

105 90 75 60 45 30 15 0

15 30 45 60

75

90 105 120 135 150 165

x

Dado que el vértice de esta función es el punto máximo; la x en este punto es la velocidad que optimiza el consumo de combustible, por tanto esta será de 75 km/h. 2) y = – 4.88x2 + 36x + 25; donde y es la altura respecto al suelo y x es el tiempo en segundos que pasa la pelota en el aire. a. y = – 4.88(3)2 + 36(3) + 25 y = 89.08 A los 3 segundos de haber sido lanzada, la pelota estará a una altura de 89.08 metros respecto al suelo. –(36) b. xv = 2(–4.88) xv = 3.69 yv = –4.88(3.69)2 + 36(3.69) + 25 yv = 91.39 V(3.69, 91.39) La altura máxima a la que llega la pelota es de 91.39 metros, y la alcanza en 3.69 segundos. 3) x = precio It = ingreso total

Gt = ganancia total Ct = costo total

It = x(y) It = x(–150x + 3000) It = –150x2 + 3000x

Gt = It – Ct Gt = –150x2 + 3000x – 3000 3000 xv = – 2(–150) xv = 10 yv = 12 000 yv = –150(10)2 + 3000(10) – 3000 V(10, 12 000) El precio al que la empresa maximiza sus ganancias es de Q10.00, con el que obtendrá una ganancia máxima de Q12,000.00

Desarrolle nuevas habilidades 0) b 1) e 2) b 3) a

2) –18x = –x2 – 77 x2 – 18x + 77 = 0 (x – 11)(x – 7) x – 11 = 0 x–7=0 x1 = 11 x2 = 7 B. 1) x2 + 4.5 = 9.5x x2 – 9.5x + 4.5 = 0

–(–9.5) ± (–9.5)2 – 4(1)(4.5) 2(1) 9.5 ± 8.5 x= 2 x1 = 9 x2 = 0.5 x=

2) 3x2 – 11x = 4 3x2 – 11x – 4 = 0 –(–11) ± (–11)2 – 4(3)(–4) 2(3) 11 ± 13 x= 6 1 x1 = 4 x2 = – 3

x =

C. 1) 10x2 = 5x 10x2 – 5x = 0

–(–5) ± (–5)2 – 4(10)(0) 2(10) 5±5 x= 20 x1 = 0.5 x2 = 0 x=

2) –36 = –4x2 4x2 – 36 = 0 4x2 = 36 36 x2 = 4 x=± 9 x1 = 3

x2 = –3


17

D. 1) x = número de personas; y = pago de cada una xy = 9000 (x – 3)(y + 100) = 9000 (x – 3)(y + 100) = xy xy + 100x – 3y – 300 = xy 100x – 3y – 300 = 0 3y + 300 x= 100 xy = 9000 3y + 300 y = 9000 100 3y2 + 300y = 9000 100 3y2 + 300y – 900000 = 0

(

)

–(300) ± (300)2 – 4(3)(–900000) 2(3) –300 ± 3300 y= 6 y1 = 500 y2 = –600 300 + 3y x= 100 300 + 3(500) x= 100 x = 18 Si van todos a la excursión, serían un total de 18 personas y cada una pagaría Q500.00. Si desisten 3, irían 15 personas y pagarían Q600.00 cada uno.

y=

B. 1) 3x + 8 ≤ 9 – x 3x + x ≤ 9 – 8 4x ≤ 1 1 1 x≤ –∞, 4 4

( ]

2) 2(8x – 10) > 12x – 5 – 4(2x) 16x – 20 > 12x – 5 – 8x 16x – 12x + 8x > –5 + 20 12x > 15 5 5 x> ,∞ 4 4

( )

3) 7x + 2x + 2 ≥ 14x – 28 9x – 14x ≥ –28 – 2 –5x ≥ –30 x ≤ 6 (–∞, 6] 4) 1 < 3(x + 4) – 3 < 5 1 < 3(x + 4) – 3 1 < 3x + 12 – 3 1 + 3 – 12 < 3x –8 < 3x 8 –
(

)

5) 4 + 7x ≤ 5x + 6 ≤ 16 – 3x 4 + 7x ≤ 5x + 6 7x – 5x ≤ 6 – 4 2x ≤ 2 x≤1 5x + 6 ≤ 16 – 3x 5x + 3x ≤ 16 – 6 8x ≤ 10 5 x≤ (–∞, 1] 4 2 2 6) x – 2 > 2x – 3 > 6 + x 3 3 2 x – 2 > 2x – 3 3 2 x – 2x > –3 + 2 3 Ancho = x = 57.619 m 4 – x > –1 Largo = 2x = 2(57.519 m) = 115.038 m 3 –4x > –3 El terreno mide 57.519 m de ancho y 115.038 m 3 3 x< ∞, de largo. 4 4 2 2x – 3 > 6 + x Ejercicio 2 3 2x A. >6+3 2x – 3 1) > 5) < 9) < 13) < 17) < 21) > 4x >9 2) < 6) < 10) > 14) > 18) > 3 3) > 7) > 11) > 15) < 19) < 27 3 27 ∞, U ,∞ x> 8) > 12) > 16) > 20) > 4) > 4 4 4 2) Ancho = x Largo = 2x A = x(2x) A = 2x2 2A = (2x + 28)(x + 35) 2(2x2) = 2x2 + 98x + 980 4x2 – 2x2 – 98x – 980 = 0 2x2 – 98x – 980 =0 2 x2 – 49x – 490 = 0 –(–49) ± (–49)2 – 4(1)(–490) x = 2(1) 49 ± 66.038 x= 2 x1 = 57.519 x2 = –8.519

(– )

(– ) (

18

IGER − Polochic

)

C. 1) 4x2 + 2 < 6x 4x2 – 6x + 2 < 0

6)

–(–6) ± (–6)2 – 4(4)(2) x= 2(4) 6±2 x= 8 1 x1 = 1 x2 = 2 1 ,1 2

48x2 – 3x + 9x2 + 3 – 9x > 80x2 – 80x 57x2 – 12x + 3 > 80x2 – 80x 57x2 – 80x2 – 12x – 80x + 3 > 0 –23x2 + 68x + 3 > 0

( )

2) x2 – 5x ≤ – 6 x2 – 5x + 6 ≤ 0

–(–5) ± (–5)2 – 4(1)(6) 2(1) 5±1 x= 2 x1 = 3 x2 = 2 [2, 3]

x=

A. 1) 3x + 9y + 3 = 0 3x = –9y –3

–(7) ± (7)2 – 4(–1)(18) 2(–1) –7 ± 11 x= –2 x1 = –2 x2 = 9 [–2, 9] x=

2

x = 11y – 13

1 11y –13 = – y + 73 2 8 1 8(11y –13) = – y + 73 2 y 88y – 104 = – + 73 2 1 88y + y = 73 + 104 y = 2 2

5) 5 – 1 < 1 x x+2 5(x + 2) – 1(x) <1 x(x + 2) 5x + 10 – x < x(x + 2) 4x + 10 < x2 + 2x 0 < x2 – 2x – 10 –(–2) ± (–2)2 – 4(1)(–10) x= 2(1) 2 ± 2 11 x= 2 x1 = 1 + 11 x2 = 1 – 11

1 y = 73 2 1 8x = – y + 73 2 1 x = – y + 73 2 8

2) x = –13 + 11y 8x +

–(–14) ± (–14) – 4(2)(24) 2(2) 14 ± 2 x= 4 x1 = 4 x2 = 3 (3, 4)

x=

–10x = –62 + 6y –10x = 6y – 62 6y – 62 x= –10

x = –3y – 1 6y – 62 –3y – 1 = –10 –10(–3y – 1) = 6y – 62 30y + 10 = 6y – 62 24y + 72 = 0 24y = –72 y = –3 x = –3y – 1 x = –3(–3) – 1 x=8

4) x2 + (7 – x)2 < 25 x2 + 49 – 14x + x2 < 25 2x2 – 14x + 24 < 0

–(68) ± (68)2 – 4(–23)(3) 2(–23) –68 ± 70 x= –46 1 1 x1 = – x2 = 3 (– ∞, – ) U (1, 3) 23 23 x=

Ejercicio 3

3) 18 ≥ 6x + x(x – 13) 18 ≥ 6x + x2 – 13x –x2 + 7x + 18 ≥ 0

4x 2 20x – 1 – 3x > 4 3 x–1 2 12(4x ) – 3(x – 1)(1 – 3x) 4(x – 1)(20x) > 12(x –1) 12(x –1)

x = 11y – 13 x = 11(2) – 13

x=9

B. 1) 14x – 114 = –9y –11y = –18 + 7x 14x = –9y + 114 114 – 9y x= 14

(–∞, 1 – 11 ) U (1 + 11 , ∞)


19

–11y = –18 + 7x 7(114 – 9y) –11y = –18 + 14 (114 – 9y) –11y = –18 + 2 –22y = –36 + 114 – 9y –22y + 9y = –36 + 114 –13y = 78 y = –6 114 – 9y x= 14 114 – 9(–6) x= x = 12 14 2)

3 1 y = 2 + x 2 2 3 y = 2(2 + x) 2 y = 3x + 4

1 x + 50 = –6y 2

1 x + 50 = –6y 2

1 x + 50 = –6(3x + 4) 2

x + 50 = –18x – 24 2

x + 18x = –24 – 50 2

37x = –74 2 37x = –148 y = 3x + 4 y = 3(–4) + 4

x = 14 – (5)

–12x – 45 = 9y 9y + 45 x= –12 9(3) + 45 x= –12

x = –4 y = –8

IGER − Polochic

x=9

x = 13 – y 5x + 6.5y = 77 5(13 – y) + 6.5y = 77 65 – 5y + 6.5y = 77 1.5y = 12

y=8 x=5

x = 13 – (8)

El primer día, se vendieron 9 libras de manzana nacional y 5 libras de manzana importada. El segundo día, se vendieron 5 libras de manzana nacional y 8 libras de manzana importada.

2) x = costo de la estufa y = costo de la mesa y=3

x = –6

2) 18y = 45 – 15x –3y + 6 = 3x –3x – 3y = –6 6(–3x – 3y = –6) –18x – 18y = –36

20

Día 2: x + y = 13 5x + 6.5y = 77

C. 1) –12x – 45 = 9y 4x – 18y + 78 = 0 3(4x – 18y + 78 = 0) 12x – 54y + 234 = 0 –12x – 9y = 45 12x – 54y = –234 –63y = –189 –189 y= –63

D. 1) x = libras de manzana nacional y = libras de manzana importada Día 1: x + y = 14 5x + 6.5y = 77.5 x = 14 – y 5(14 – y) + 6.5y = 77.5 70 – 5y + 6.5y = 77.5 1.5y = 7.5 y=5

15x + 18y = 45 –18x – 18y = –36 –3x =9 9 x = x = –3 –3 –3x – 3y = –6 –3y = 3x – 6 3x – 6 y= –3 y = –x + 6 y = –(–3) + 2 y=5

x + y = 1450 1.12x + 1.05y = 1568

x = 1450 – y 1.12(1450 – y) + 1.05y = 1568 1624 – 1.12y + 1.05y

1624 – 0.07y = 1568

x = 1450 – y x = 1450 – 800

y = 800 x = 650

La estufa le costó Q650.00 y la mesa Q800.00.

Ejercicio 4

3) a. y = ancho de la parcela z = largo de la parcela

A. 1) 12x + 25y – 20z = 171; 3x + 5y – 5z = 39; –24x – 50y – 10z = –42

yz = 990 2y + 2z = 134 990 y= z 2y + 2z = 134 990 2 + 2z = 134 z 1980 + 2z = 134 z 2z2 + 1980 = 134z 2z2 – 134z + 1980 = 0

–4(3x + 5y – 5z = 39) –12x – 20y + 20z = –156

( )

12x + 25y – 20z = 171 –12x – 20y + 20z = –156 5y = 15

y=3

8(3x + 5y – 5z = 39) 24x + 40y – 40z = 312 –24x – 50y – 10z = –42 24x + 40y – 40z = 312 –10y – 50z = 270

–(–134) ± (–134)2 – 4(2)(1980) 2(2) 134 ± 46 z= 4 z1 = 45 z2 = 22 990 y1 = z 990 y1 = y1 = 22 45 990 y2 = y2= 45 22

El ancho de la parcela es de 22 metros y su largo es de 45 metros.

–22x + 9y – 12z = –10 22x – 4y + 12z = 10 5y = 0 –x + 18(0) + 24z = –25 11x – 2(0) + 6z = 5

z=

–10(3) – 50z = 270 –50z = 300

z = –6

12x + 25y – 20z = 171 12x + 25(3) – 20(–6) = 171 12x = –24

x = –2

2) –x + 18y + 24z = –25; 11x – 2y + 6z = 5; –22x + 9y – 12z = –10 2(11x – 2y + 6z = 5) 22x – 4y + 12z = 10

b. Ancho: 22 m 2(22 m) = 264 m 3 Í Q125.00 = Q375.00

–x + 24z = –25

Largo = 45 m 2(45 m) = 90 m

11x + 6z = 5 5 – 6z x= 11

x = 24z + 25 5 – 6z 90 Í Q32.00 = Q2,880.00 24z + 25 = 11 Costo total = Q375.00 + Q2,880.00 = Q3,255.00 11(24z + 25) = 5 – 6z El granjero en total gastará Q3,255.00 para cercar 264z + 275 = 5 – 6z 270z = –270 toda la parcela.

y=0

x = 24z + 25 x = 24(–1) + 25

4) x = respuestas buenas y = respuestas incorrectas x + y = 25 x – 2y = 16

x = 25 – y (25 – y) – 2y = 16 25 – 3y = 16 –3y = 16 – 25

2(–5x – 10y – 6z = 58) –10x – 20y – 12z = 116 y=3

x = 25 – (3)

x = 22

El estudiante acertó en 22 respuestas y tuvo 3 –5(2x + 5y + 24z = –41) incorrectas. –10x – 25y – 120z = 205

z = –1 x=1

3) 10x + 20y – 12z = –104; 2x + 5y + 24z = –41; –5x – 10y – 6z = 58

10x + 20y – 12z = –104 –10x – 20y – 12z = 116 –24z = 12

z=–

1 2


21

–5y + 4z = –2 –y + 3z = –18

10x + 20y – 12z = –104 –10x – 25y – 120z = 205 –5y – 132z = 101

–5(–y + 3z = –18) 5y – 15z = 90

( )

–1 –5y – 132 = 101 2 –5y + 66 = 101 –5y = 101 – 66 2x + 5y + 24z = –41 –5y – 24z – 41 x= 2 –1 –5(–7) – 24 – 41 2 x= 2

( )

y = –7

x=3

–5y + 4z = –2 5y – 15z = 90 –11z = 88

z = –8

–y + 3z = –18 y = 3z + 18 y = 3(–8) + 18

y = –6

x=5

x = –2y + z + 1 x = –2(–6) + (–8) + 1

4) 5x – 3y – 12z = –18; 10x + 27y – 6z = 69; 5x – 9y + 18z = –26

2) 8x + 23y – 2z = 64; –28x + 31y + 13z = –61; 24x – 25y – 26z = 204

–1(5x – 3y – 12z = –18) –5x + 3y + 12z = 18

5x – 9y + 18z = –26 –5x + 3y + 12z = 18 – 6y + 30z = –8

–2(5x – 9y + 18z = –26) –10x + 18y – 36z = 52

10x + 27y – 6z = 69 –10x + 18y – 36z = 52 45y – 42z = 121

–6y + 30z = –8 45y – 42z = 121 42z + 121 –30z – 8 y= y= 45 –6 –30z – 8 42z + 121 = –6 45 45(–30z – 8) = –6(42z + 121) –1350z – 360 = –252z – 726 1 –1098z = –366 z= 3 1 –30 –8 3 y = y=3 –6

()

5x – 9y + 18z = –26 5x = 9y – 18z – 26 1 – 26 9(3) – 18 3 x= 5

()

B. 1) 3x + y + z = 1; x + 2y – z = 1 x + 2y – z = 1 x = –2y + z + 1 3(–2y + z + 1) + y + z = 1 (–2y + z + 1) + y + 2z = –17

22

IGER − Polochic

23y – 32 2 –28x + 31y + 13z = –61 23y – 32) = –61 –28x + 31y + 13(4x + 2 299y –28x + 31y + 52x + – 416 = – 61 2 361y 24x + = 355 2 48x + 361y = 710 –361y + 710 x= 48 24x – 25y – 26z = 204 23y – 32) = 204 24x – 25y – 26(4x + 2 24x – 25y – 104x – 299y + 832 = 204 –80x – 324y = –628 324y – 628 x = –80 –361y + 710 324y – 628 = 48 –80 –80(–361y + 710) = 48(324y – 628) 28 880y – 56 800 = 15 552y – 30 144 13 328y = 26 656 y = 2

x = –1 x + y + 2z = –17

z = 4x +

–361y + 710 48 –361(2) + 710 x= 48 x=

23y = –32 2 1 23(2) z=4 – + – 32 4 2

x=–

1 4

z = 4x +

( )

z = –10

x y z x + + = 21; 3 4 3 5 y z x = – – + 21 4 3 3 y z x = 3 – – + 21 4 3 3y x = – – z + 63 4 x y z + – =0 5 6 3 3y – – z + 63 4 y + – 5 6 z 63 y 3y – + + – 5 6 20 5 8z 48 y – + =0 5 60 15 y – 32z + 756 = 0 60 y – 32z + 756 = 0 3)

(

+

y z x y z – = 0; + – =3 6 3 10 3 6

)

107x + 24y + 5z = 179.10 y = 10x z = 5y z y= 5 z = 10x z = 50x 5 107x + 24y + 5(50x) = 179.10 107x + 24y + 250x = 179.10 357x + 24y = 179.10 357x + 24(10x) = 179.10 597x = 179.10 x = 0.3

y = 32z – 756 x y z + – =3 10 3 6 3y – – z + 63 4 y z + – =3 10 3 6 z 63 y z 3y – + + – =3 – 40 10 10 3 6 31y 4z 33 – + =0 120 15 10 31y – 32z + 396 =0 120

y = 32z – 756 y = 32(24) – 756

z = 18

C. 1) x = precio de cada tornillo; y = precio de cada abrazadera; z = precio de cada rollo de cinta de aislar

z =0 3 z – =0 3

31y – 32z + 396 = 0 31(32z – 756) – 32z + 396 = 0 992z – 23 436 – 32z + 396 = 0 960z = 23 040

5z + 18 = 9(z – 6) 5z + 18 = 9z – 54 5z – 9z = –54 – 18 –4z = –72 y=z–6 y = 18 – 6 y = 12 x = 2y – z x = 2(12) – 18 x=6

z = 50y z = 50(0.3) z = 15 z y= 5 15 y= y = 3 5 El precio de un tornillo es Q0.30, de una abrazadera es Q3.00 y de un rollo de cinta es Q15.00.

2) x = turistas norteamericanos; y = turistas europeos; z = turistas centroamericanos z = 24

x + y + z = 10436 10 350x + 9867y + 7638z = 94 419 234 x = 2y

y = 12

3y – z + 63 4 3(12) – 24 + 63 x = 30 x=– 4 x y z x y z x y z 4) + – = 3; + – = –5; – + = 0 3 6 2 6 3 6 2 2 3 x y z – + =0 6 3 6 5y – 5z = –30 5y = 5z – 30 5z – 30 y= 5 y=z–6 5z + 18 =z–6 9

x=–

2y + y + z = 10 436 3y + z = 10 436 z = –3y + 10 436 10 350(2y) + 9867y + 7638(–3y + 10 436) = 94 419 234 20 700y + 9867y – 22 914y + 79 710 168 = 94 419 234 7653y = 14 709 066 y = 1922

z = –3y + 10 436 z = –3(1922) + 10 436

z = 4670

x = 2y x = 2(1922)

x = 3844

En diciembre de 2015, visitaron el país 3844 turistas norteamericanos, 1922 europeos y 4670 centroamericanos.


23

Ejercicio 5

B. 1) f (x) = 6x – 5

A. 1) B(–5, 2) y C(4, 7) d(B, C) = (4 + 5)2 + (7 – 2)2 d(B, C) = (9)2 + (5)2 d(B, C) = 81 + 25 d(B, C) = 106 d(B, C) ≈ 10.30

(–52+ 4, 2 +2 7 ) 1 9 M = (– , ) 2 2

y

8 7 6 5

M

4 2

(–22+ 9, 4 –2 4 ) 7 M = ( , 0) 2

B. 1) C(1, –7) y D(5, –7) –7 + 7 m= 5–1 0 m= 4 m = 0

(

)

2

3

4

5

6

x

8 6

J

4 2

M

0

–12 –10 –8 –6 –4 –2

–2

2

4

6

8 10 12

x

K

–4 –6 –8 –10

y

2 1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

5

6

x

–2 –3 –4 –5 –6 –7

C

D

(

y

)

10

G

8 6 4 2

–6 –5 –4 –3 –2 –1

H

0 –2

1

2

3

4

–4 –6 –8 –10

Ejercicio 6 A. 1) lineal 2) afín 3) afín 4) lineal

24

5) afín 6) lineal 7) afín 8) lineal

IGER − Polochic

–17

–1

–11

0

–5

–1

1

1

–3

2

7

2 1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

1 2

3

4

5

2

4

5

6

6

x

–2 –4 –5

1 x 3

y

5

x

y

–2

–2/3

–1

–1/3

0

0

1

1/3

–2

2

2/3

–4

4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

1

3

x

–3 –5

C. 1) D = {x ∈ R}; R = {y ∈ R} 2) D = {x ∈ R / x ≠ 9}; R = {y ∈ R / y ≠ 0} 3) D = {x ∈ R / x ≤ 0}; R = {y ∈ R / y ≥ 0} 4) D = {x ∈ R}; R = {y ∈ R} 5) D = {x ∈ R / x ≥ 0}; R = {y ∈ R / y ≥ 0} 6) D = {x ∈ R / x ≠ 0}; R = {y ∈ R / y ≠ 0} D. t = 35 – 0.004h a. t = 35 – 0.004(1500) t = 29° En verano, la temperatura en la ciudad capital es de 29°. b. t = 35 – 0.004(2380) = 25.48° t = 35 – 0.004(0) = 35° t = 35 – 0.004(3100) = 22.6° En verano, la temperatura de Xela es de 25.48°, en el Puerto de San José es de 35° y en Todos Santos Cuchumatán es de 22.6°.

–8

2) G(–2, 8) y H(–1, –3) –3 – 8 m= –1 + 2 –11 m= 1 m = –11

–2

2) f (x) =

10

M =

1

–1 –2

y

3

y

–6

0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

4

x

1

2) J(–2, 4) y K(9, – 4) d(J, K) = (9 + 2)2 + (–4 – 4)2 d(J, K) = (11)2 + (–8)2 d(J, K) = 121 + 64 d(J, K) = 185 d(J, K) ≈ 13.60

3

B

M =

C

y

9) lineal 10) afín 11) afín 12) afín

5

6

x

Ejercicio 7 A. 1) hacia abajo 2) hacia arriba 3) hacia arriba 4) hacia abajo

5) hacia arriba 6) hacia abajo 7) hacia arriba 8) hacia abajo

B. 1) y = x2 + 2x – 3 –2 xv = 2(1) xv = –1 yv = (–1)2 + 2(–1) – 3 yv = –4 V(–1, –4)

b. y = –200(29)2 + 12 700(29) – 9500 = Q190,600 y = –200(35)2 + 12 700(35) – 9500 = Q190,000 Las ganancias son menores. 2) f (x) = a. xv =

–(2) ± (2) – 4(1)(–3) 2(1) –2 ± 4 x = 2 x1 = 1; x2 = –3

x=

y = (0)2 + 2(0) – 3 y = –3

v

5 4

3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

(0, 3)

1

2

3

4

5

6

x

–2 –3

–(0) 1 2 50

xv = 0

–5

2

v

La altura mínima respecto al suelo a la que llega el cable es de 5 metros.

( 501 ) (6) + 5 = 5.72 1 y = ( ) (–6) + 5 = 5.72 50

b. y =

–4

2) y = 6x2 – 1 –(0) xv = 2(6)

2

( ) 1 y = ( ) (0) + 5 y =5 50 V(0, 5)

2

y

( 501 ) x + 5

2

2

Ambos postes tienen una altura de 5.72 metros.

xv = 0 yv = 6(0)2 – 1 yv = –1 V(0, –1) –(0) ± (0)2 – 4(6)(–1) 2(6) ±2 6 x= 12 x=

y

8 7 6 5

x1 = 0.41; x2 = –0.41 y = = 6(0)2 – 1 y = –1

4 3 2 1 –3 –2.5 –2 –1.5 –1 –0.5

C. 1) a. y = 12 700 – 200x It = x(12 700 – 200x) It = 12 700x – 200x2 Gt = –200x2 + 12 700x – 9500 –(12 700) xv = 2(–200)

0

0.5 1 1.5 2 2.5 3 –1

x

–2

xv = 31.75

yv = –200(31.75)2 + 12 700(31.75) – 9500 yv = 192 112.5 V(31.75, 192 112.5)

y = 12 700 – 200(31.75)

Las ganancias máximas posibles son de Q192,112.50; estas se logran al vender 6350 unidades a un precio de Q31.75.

y = 6350


25


5) x = 8

y

Le invitamos a que analice y evalúe otros casos en los cuales se aplique la pendiente.

5 4 3

Ejercicio 1 1) y = 8

2 1 –12 –10 –8 –6 –4 –2

y

10

1

2

3

4

5

x

6

–6 –8 –10

2) y – y1 = m(x – x1) y – 8 = –8(x + 3)

5

3) y – y1 = m(x – x1) y + 2 = 1 (x – 3) 2

4 3 2 1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

5

x

6

–3 –4 –5

y

5 4 3 2 1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

5

x

6

–3 –4 –5 y

3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5

26

IGER − Polochic

2

1

m=

y – y1 = m(x – x1)

y – 1 = 5 (x – 0) 4

m= 5 4

y–1= 5x 4

Ejercicio 4

(

5 4

–6 –5 –4 –3 –2 –1

y2 – y1

(x – x ) ( 64 –– 10 )

1) y = 2x + 3 m=2 Interceptos y = 2(0) + 3 0 = 2x+3 y=3 2x = –3 (0, 3) x = –3 2 3 – ,0 2

–2

4) x = –2

Ejercicio 3 m =

–2

3) x = 6

Ejercicio 2 1) y – y1 = m(x – x1) y – 5 = 2(x – 2)

–4

y

6

–5

2

2) y = –3

4

–4

4

–2

2

–3

6

0

–1 –2

8

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1

2

3

4

5

6

x

)

2) y = – 4x + 4 m = – 4 Interceptos y = –4(0) + 4 0 = –4x + 4 y=4 4x = 4 (0, 4) x=1 (1, 0)

8 10 12

x

3) y = 1 x – 5 m = 1 3 3 Interceptos y = 1 (0) – 5 0 = 1x – 5 3 3 1x = 5 y = –5 3 (0, –5) x = 5(3) x = 15 (15, 0)

x+ 2 y=9 3 2 y = –x + 9 2y = –3x + 6 3 y = –x + 9 y = –3x + 6 2 2 3 3 3 y = – x + 27 y = – x + 3 2 2 2 Las pendientes m1 = – 3 y m2 = – 3 son iguales, 2 2 entonces las rectas son paralelas.

4) y = – 8x + 2

Ejercicio 6

2) 3x + 2y = 6

m = –8

Interceptos y = –8(0) + 2 y=2 (0, 2)

( ) 5) y = 0.5x – 9 Interceptos y = 0.5(0) – 9 y = –9 (0, –9)

6) y = – 1 x – 8 4 Interceptos y = – 1 (0) – 8 4 y = –8 (0, –8)

1 y = 15 2 y = –x + 15 x + 15 1 2 y = – 1 x + 5 y = 2x + 15(2) 6 2 1 – (2) = –1 y = 2x + 30 2 El resultado es –1, entonces podemos determinar que las rectas son perpendiculares.

1) 3x + 6y = 5

0 = –8x + 2 8x = 2 x= 2 8 x= 1 4 1, 0 4

m = 0.5

y

y

x– 6y = –3x + 5 –1 2 y = –3x + 5 y = 6

( )

x+ 3y=9 2 3 y = –x + 9 2y = 3x + 6 2 y = 3x + 6 y = –x + 9 3 2 2 y = 3 x + 3 y = – 2x + 6 2 3 3 – 2 = –1 2 3 El resultado es –1, entonces podemos determinar que las rectas son perpendiculares. 2) –3x + 2y = 6

0 = 0.5x – 9 0.5x = 9 x= 9 0.5 x = 18 (18, 0)

y

( )( )

m=–1 4 0 = – 1x – 8 4 1 x = –8 4 x = (–8)(4) x = –32 (–32, 0)

Desarrolle nuevas habilidades 1) P 2) 3)

4)

Ejercicio 5 1) 3x + 15y = 5 y 15y = –3x + 5 y = –3x + 5 15 y = – 1 x + 1 5 3

x + 5y = 5 5y = –x + 5 y = –x + 5 5 y = – 1x + 1 5 1 Las pendientes m1 = – y m2 = – 1 son iguales, 5 5 entonces las rectas son paralelas.


27


2) y = –3x2 y = –3(0)2 Investigue en los medios que tiene a su alcance para y=0 poder conocer diferentes calendarios creados por los V(0, 0) mayas, le invitamos a que lo realice y lo comparta con sus compañeros.

Ejercicio 1

y

–4 –3 –2 –1

2 0

1) (x – h)2 + ( y – k)2 = r2 (x – 2)2 + ( y – 4)2 = 42 (x – 2)2 + ( y – 4)2 = 16 y

9 8

–12

7

–14 –16

4

Ejercicio 3 1) y = x2 – 4 y = (0)2 – 4 y = –4 V(0, – 4)

1 1 –1

2) (x – h)2 + ( y – k)2 = r2 (x – 0)2 + ( y – 0)2 = 52 x2 + y2 = 25

–18

2

2

3

4

5

6

7

x

y y

5 4

5 4

3

3

2

2

1

1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

5

6

x

–5 –4 –3 –2 –1

0 –1

–2

–5

3

4

5

2

3

4

5

x

2) y = –3x2 + 5 y = –3(0)2 + 5 y=5

V(0, 5) y

8 6

y

18

4

16

2

14

–6 –5 –4 –3 –2 –1

12 10

–8

4

–10

2 –2

–2

1

–6

6

0

0 –4

8

–12 –10 –8 –6 –4 –2

2

–3 –4

Ejercicio 2

1) y = 1 x2 3 y = 1 (0)2 3 y=0 V(0, 0)

1

–2

–3 –4

IGER − Polochic

x

4

–8 –10

3

28

3

–6

5

–5 –4 –3 –2 –1

2

–4

6

0

1

–2

2

4

6

8 10 12

x

–12

6

x

Semana 28 Ejercicio 4

¡A trabajar!

1) y = (x + 4)2 h = –4

Usted debe ingresar al link que se le proporciona para poder responder de forma correcta las preguntas, le invitamos a que lo haga.

y 12

Ejercicio 1

10 8

1) x2 + 4y2 = 36 Interceptos en y (0)2 + 4y2 = 36 4y2 = 36 36 y2 = 4 y2 = 9 y2 = ± 9 y = ±3 (0, 3) y (0, –3)

6 4 2 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1 –1

2

x

3

2) y = (x – 3)2 h=3 y

Interceptos en x x2 + 4(0)2 = 36 x2 = 36 x2 = ± 36 x = ±6 (6, 0) y (–6, 0) y

12 10 8

6

6

3

5 4 2

4

1

2

–3 –2 –1

0 1 –1

2

3

4

5 6

7

8

9

–7 –6 –5 –4

x

–3 –2 –1

0

1 –1

2

3

4

5

6

x

–2 –3 –4 –5

Desarrolle nuevas habilidades 1) Las respuestas pueden variar. 2) ADF, ABI, ACJ, ADE, AIH, AJG, AEF, AIC, AJD, AIG, AJF, BCI, CIJ, CDJ, DJE, HIG, JGI, GFJ, FJE, CIG, DJF, ABH, ACG, ADF. 3) 23

–6 –7

2) 25x2 + 4y2 = 100 Interceptos en y 25(0)2 + 4y2 = 100 4y2 = 100 100 y2 = 4 2 y = 25 y2 = ± 25 y = ±5 (0, 5) y (0, –5)

Interceptos en x 25x2 + 4(0)2 = 100 25x2 = 100 100 x2 = 25 x2 = 4 x2 = ± 4 x = ±2 (2, 0) y (–2, 0) y 6 5 4 3 2 1

–7 –6 –5 –4

–3 –2 –1

0

1 –1

2

3

4

5

6

x

–2 –3 –4 –5 –6 –7


29

3) 16y2 + 9x2 = 144 Interceptos en x 16(0)2 + 9x2 = 144 9x2 = 144 144 x2 = 9 2 x = 16 x2 = ± 16 x = ±4 (4, 0) y (–4, 0)

Interceptos en y 16y2 + 9(0)2 = 144 16y2 = 144 144 y2 = 16 y2 = 9 y2 = ± 9 y = ±3 (0, 3) y (0, –3)

2) 4x2 – y2 = 36 Interceptos en x Interceptos en y 4x2 – (0)2 = 36 4(0)2 – y2 = 36 36 x2 = –y2 = 36 4 x2 = ± 9 y2 = –36 x = ±3 (3, 0) y (–3, 0)

y

6 5

±4

±5

±6

y

0

≈ ±5.29

±8

≈ ±10.39

y 10

2

8

1

0

y2 = 4x2 – 36 y = ± 4x2 – 36

±3

3

–3 –2 –1

–y2 = 36 – 4x2

x 4

–7 –6 –5 –4

Despeje la variable y 4x2 – y2 = 36

1 –1

2

3

4

5

x

6

6

–2

4

–3 –4

2

–5

–12 –10 –8 –6 – 4

–6 –7

–2

0

2 –2

4

6

8

10 12

x

–4 –6

Ejercicio 2

–8

1) x – y = 25 Interceptos en x Interceptos en y x2 – (0)2 = 25 (0)2 – y2 = 25 x2 = 25 –y2 = 25 x2 = ± 25 y2 = –25 x = ±5 (5, 0) y (–5, 0) 2

–10

2

x

±5

y

0

±6

±7

Despeje la variable y x2 – y2 = 25 y2 = x2 – 25 y2 = ± x2 – 25 y = ± x2 – 25

±8

≈ ±3.32 ≈ ±4.90 ≈ ±6.24 y 5

3) 16x2 – 4y2 = 1 Interceptos en x Interceptos en y 16x2 – 4(0)2 = 1 16(0)2 – 4y2 = 1 2 16x = 1 –4y2 = 1 1 1 x2 = y2 = – 16 4 x2 = ± 1 16 1 x=± 4 1 1 ,0 y – ,0 4 4 x

3 2 1 –6 –4 –2

0

2 –1

4

6

8

10 12

y2 = 16x – 1 4 2 16x –1 y=± 4 2

( ) ( )

4

–12 –10 –8

Despeje la variable y 16x2 – 4y2 = 1 –4y2 = 1 – 16x2

y

±

1 4

0

±1

±2

±3

±1.94 ±3.97 ±5.98 y

–2 –3 –4

10

–5

8 6 4 2 –12 –10 –8 –6 – 4

–2

0

2 –2 –4 –6 –8 –10

30

IGER − Polochic

4

6

8

10 12

x

Semana 29 4) y2 – 4x2 = 4 Interceptos en y Interceptos en x y2 – 4(0)2 = 4 (0)2 – 4x2 = 4 2 y = 4 –4x2 = 4 y2 = ± 4 x2 = –1 4

Despeje la variable y y2 – 4x2 = 4 –4x2 = 4 – y2 y2 – 4 x2 = 4 2 y –4 x=± 4

y = ±2 y

±2

x

0

±3

±4

±5

±1.12 ±1.73 ±2.29 y 5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 – 2

–1

0

1 –1

2

3

4

5

6

–2 –3 –4 –5

Desarrolle nuevas habilidades 0) b. 1) a. b. c. 2) a. b. 3) a. 4) a.b. 5) a.

x

¡A trabajar! Respuestas variadas de acuerdo al criterio de cada estudiante.

Ejercicio 1 1) a = 14.5 cm b = 18 cm c2 = a2 + b2 x = (14.5 cm)2 + (18 cm)2 x = 210.25 cm 2 + 324 cm2 x = 534.25 cm2 x ≈ 23.11 cm

c=x

2) a = x b = 11.5 m a2 = c2 – b2 x = c2 – b2 x = (28 m)2 – (11.5 m)2 x = 784 m2 – 132.25 m 2 x = 651.75 m 2 x ≈ 25.53 m

c = 28 m

3) a = 20 m b = x b2 = c2 – a2 x = c2 – a2 2 2 x = (35 m) – (20 m)

c = 35 m

x = 1225 m2 – 400 m2 x = 825 m2 x ≈ 28.72 m

4) a = 15 m b = 25 m c2 = a2 + b2 x = (15 m)2 + (25 m)2 x = 225 m2 + 625 m2 x = 850 m2 x ≈ 29.15 m

c=x

Ejercicio 2 1) a = 35 m b = 22 m c=x c2 = a2 + b2 x = (35 m)2 + (22 m)2 x = 1225 m2 + 484 m2 x = 1709 m2 x ≈ 41.34 m La distancia entre la persona y la terraza del edificio es de 41.34 metros.


31

Semana 30 2) a = x b = 20 m c = 20.62 m a2 = c2 – b2 x = c2 – b2 x = (20.62 m)2 – (20 m)2 x = 425.18 m2 – 400 m2 x = 25.18 m2 x ≈ 5 m (Diferencia de alturas entre los edificios) Altura del edificio de la derecha 24 m – 5 m = 19 m El edificio de la derecha mide 19 m. 3) a = 28 m b = 18 cm c2 = a2 + b2 2 2 x = (28 m) + (18 m)

x = 784 m 2 + 324 m2 x = 1108 m2 x ≈ 33.29 m Cantidad de cable 4(33.29 m) ≈ 133.16 m Se deben comprar 133.16 m de cable para sujetar la torre.

4) Triángulo pequeño a = 30 m b = 10 m c2 = a2 + b2 x = (30 m)2 + (10 m)2 x = 900 m2 + 100 m2 x = 1000 m2 x ≈ 31.62 m Triángulo grande a = 30 b = 20 m c2 = a2 + b2 2 2 x = (30 m) + (20 m)

c=x

c=x

c=x


32

4) c 5) b 6) d IGER − Polochic

2 4 x 45 1) = 3) 3 x = 10 8 45 × 8 x= 2 × 10 = 4x 3 2 × 10 x = 120 x = 4 x = 5 10 4 14 x 2) = 4) x 12 = 48 5 14 × 5 x= 10 × 48 = 12x 4 10 × 48 x = 17.5 x = 12 x = 40

Ejercicio 1 A. 8 x 1) = 15 24 8 × 15 x= 24 x = 5 cm (x + 1) 2 2) (x + 4) = 3 3(x + 1) = 2(x + 4) 3x + 3 = 2x + 8 3x – 2x = 8 – 3 x = 5 cm B.

x = 900 m2 + 400 m2 x = 1300 m2 x ≈ 36.06 m Cantidad de cable 4(31.62 m) + 4(36.06 m) 126.48 m + 144.24 m = 270.72 m Se necesitarán 270.72 m de cable para la construcción del puente.

1) b 2) c 3) a

¡A trabajar!

1)

2)

9 x = 12 9 + 3 9 x = 12 12 9 × 12 x= 12 x = 9 cm

9 y = 20 9 + 3 9 y = 20 12 9 × 20 y= 12 y = 15 cm

20 – 6 x = 20 18 14 x = 18 20 14 × 18 x= 20 x = 12.6 cm

20 – 6 y = 20 12 14 y = 12 20 14 × 12 y= 20 y = 8.4 cm


Ejercicio 2 1)

17.20 cm

14 cm B

10 cm

2)

B

17.20 cm

14 cm

C′

B'

10 cm

Q 4.5 m

P

4.75 m

R

3m

P′

∆PQR

4.5 m

14 cm

20 cm 16 cm

H

F′

P'Q'R'

20 cm 16 cm

H′

∆FGH

F'G'H'

Ejercicio 3 10.5 3 7 = 2

9 3 6 = 2

6 3 4 = 2

14.10 h 10 = 3 14.10 Í 10 3 h = 47 m El templo del Gran Jaguar mide 47 metros de alto. h=

Desarrolle nuevas habilidades 2)

3)

4)

Ejercicio 1 1) = 6.35 m Al = Pb • h Pb = 6(6.35 m) Pb = 38.1 m

a = 5.5 m

h = 27 m

Pb • a 2 (38.1 m)(5.5 m) Ab = 2 Ab = 104.77 m2 Ab =

At = Al + 2Ab At = 1028.7 m2 + 2(104.77 m 2) At = 1238.24 m2

Ejercicio 4

1)

Respuestas variadas de acuerdo a la consideración de cada estudiante.

Al = (38.1 m)(27 m) A l = 1028.7 m2

G′

14 cm

A'B'C'

R′

3m

G

F

∆ABC

Q′

4.75 m

3)

A'

A

V = Ab • h V = (104.77 m 2)(27 m) V = 2828.79 m3

2) = 22 m, 31.11 m h = 45 m Al = Pb • h Pb = 2(22 m) + 31.11 m Pb = 75.11 m Al = (75.11 m)(45 m) A l = 3379.95 m2 b • ht Ab = 2 ht = (22)2 – (15.55)2 ht = 484 – 241.80 ht = 242.20 ht = 15.56 m (31.11 m)(15.56 m) 2 Ab = 242.04 m2

Ab =

At = Al + 2Ab At = 3379.95 m 2 + 2(242.04 m 2) At = 3864.03 m2

V = Ab • h V = (242.04 m 2)(45 m) V = 10 891.80 m3


33

3) = 9 m Al = Pb • h Pb = 5(6.19 m) Pb = 30.95 m

h = 42 m

a = 6.19 m

Al = (30.95 m)(42 m) A l = 1299.90 m2 P•a Ab = 2 (30.95 m)(6.19 m) Ab = 2 Ab = 191.58 m2

At = 9667.85 cm 2 + 1601.78 cm 2) At = 11 269.63 cm2 Ab • h V= 3 (1601.78 cm 2)(125 cm) V= 3 V = 66 740.83 cm3

At = Al + 2Ab At = 1299.90 m2 + 2(191.58 m 2) At = 1683.06 m2

2) h = 28 m At = Al + Ab P •h A = b c 2 Pb = 3(16 m) Pb = 48 m

V = Ab • h V = (191.58 m 2)(42 m) V = 8046.36 m3

4) = 12 cm Al = Pb • h Pb = 4(12 cm) Pb = 48 cm

h = 25 cm

Al = (48 cm)(25 cm) A l = 1200 cm2 2

Ab = Ab = (12 cm)2 Ab = 144 cm2 At = Al + 2Ab At = 1200 cm2 + 2(144 cm 2) At = 1200 cm2 + 288 cm 2 At = 1488 cm2

( b •2h )

Al = 5

Altura del triángulo base hb = (16 m)2 – (8 m)2 hb = 256 m2 – 64 m2 hb = 192 m2 hb = 13.86 m

Altura de la cara hc = (28 m)2 + (6.93 m)2 hc = 784 m2 + 48.02 m2

5(30.51 cm)(126.75 cm) Al = 2 A l = 9667.86 cm2 IGER − Polochic

hc = 832.02 m2 hc = 28.84 m

(16 m)(13.86 m) 2 Ab = 110.88 m2

Ab = a = 21 cm

At = 692.16 m 2 + 110.88 m 2) At = 803.04 m2

c

h c = h2 + a2 hc = (125 cm)2 + (21 cm)2 hc = 15 625 cm2 + 441 cm 2 hc = 16 066 cm 2 hc = 126.75 cm

34

(48 m)(28.84 m) 2 A l = 692.16 m2

Ejercicio 2 = 30.51 cm

= 16 m

Al =

V = Ab • h V = (144 cm 2)(25 cm) V = 3600 cm3

1) h = 125 cm At = Al + Ab

Pb • a 2 Pb = 5(30.51 cm) Pb = 152.55 cm (152.55 cm)(21 cm) Ab = 2 Ab = 1601.78 cm2 Ab =

Ab • h 3 (110.88 m2)(28 m) V= 3 V = 1034.88 m3 V=

Desarrolle nuevas habilidades Las respuestas variarán de acuerdo al criterio de cada estudiante. Revise que cualquiera sea la respuesta, no se involucre violencia, sino que se proceda de una manera pacífica para resolver conflictos.

Semana 32 ¡A trabajar! Respuestas varias dependiendo de la precisión en las medidas que realizó cada estudiante.

Ejercicio 1 A. 1) r = 5 cm h = 12 cm A = 2πr(h + r) A = 2(3.14)(5 cm)(12 cm + 5 cm) A = (31.4 cm)(17 cm) A = 533.8 cm2

Ejercicio 3 A = 4πr2 A = 4(3.14)(1.25 m)2 A = (12.56)(1.56 m2) A = 19.59 m2

V = πr2h V = (3.14)(5 cm)2(12 cm) V = (3.14)(25 cm2)(12 cm) V = 942 cm3

4πr3 3 4(3.14)(1.25 m)3 V= 3 (12.56)(1.95 m3) V= 3 V=

2) r = 40 cm h = 100 cm A = 2πr(h + r) A = 2(3.14)(40 cm)(100 cm + 40 cm) A = (251.2 cm)(140cm) A = 35 168 cm2

πr2h 3 (3.14)(15 cm)2(42.43 cm) V= 3 (133.23 cm)(225 cm2) V= 3 V = 9992.25 cm3 V=

V = 8.16 m3

V = πr2h V = (3.14)(40 cm)2(100 cm) V = (314 cm)(1600 cm2) V = 502 400 cm3

Desarrolle nuevas habilidades La línea que inicia en b atraviesa correctamente el laberinto.

B. r = 3 cm h = 12 cm A = 2πr(h + r) A = 2(3.14)(3 cm)(12 cm + 3 cm) A = (18.84 cm)(15 cm) A = 282.60 cm2 Para construir la lata necesitan 282.60 cm2 de aluminio.

V = πr2h V = (3.14)(3 cm)2(12 cm) V = (37.68 cm)(9 cm2) V = 339.12 cm3 El cilindro puede contener 339.12 cm3 de jugo.

Ejercicio 2 r = 15 cm g = 45 cm Al = πrg Al = (3.14)(15 cm)(45 cm) Al = 2119.5 cm2 h = (45 cm)2 – (15 cm)2 h = 1800 cm2 h = 42.43 cm


35


Ejercicio 3

Le invitamos a que busque en internet dos contribuciones distintas que aportó Hiparco de Nicea a la ciencia y compruebe sus resultados con los de sus compañeros.

1) tan 58° =

B. 15 m 1) tan β = 25 m

tan β = 0.6

β = tan–1 0.6 β = 30.96º

Ejercicio 1

x 28 m 0.857 = x 28 m (0.857)(28 m) = x x = 24 m 1) sen 59° =

x 24.79 cm x 0.669 = 24.79 cm (0.669)(24.79 cm) = x x = 16.58 cm 2) sen 42° =

x 3) sen 65° = 22.4 m x 0.906 = 22.4 m (0.906)(22.4 m) = x x = 20.29 m x 4.5 km 0.755 = x 4.5 km (0.755)(4.5 km) = x x = 3.40 km

4) sen 49° =

Ejercicio 2

1) cos 49° = 30 cm x 0.656 = 30 cm x 30 cm x= 0.656 x = 45.73 cm x 2) cos 61° = 15.44 m x 0.485 = 15.44 m x = (0.485)(15.44 m) x = 7.49 m

36

IGER − Polochic

x 8 km x 1.600 = 8 km x = (1.600)(8 km) x = 12.8 km

x 12.5 m x 0.364 = 12.5 m x = (0.364)(12.5 m) x = 4.55 m

2) tan 20° =

Ejercicio 4

A. 1) cot 51° = 12.81 cm x 12.81 cm 0.81 = x x = 12.81 cm 0.81 x = 15.81 cm 2) sec 47° = x 3.4 m 1.466 = x 3.4 m x = (1.466)(3.4 m) x = 4.98 m 3) csc 41° = 25 km x 25 km 1.524 = x x = 25 km 1.524 x = 16.40 km x 4) sec 42° = 17 cm x 1.346 = 17 cm x = (1.346)(17 cm) x = 22.88 cm

β + α + 90º = 180º 30.96º + α + 90º = 180º α = 180º – 30.96º – 90º α = 59.04° sen 30.96º = 15 m x 0.514 = 15 m x x = 15 m 0.514 x = 29.18 m 2) sen α =

9 cm 10.30 cm

sen α = 0.874 α = sen–1 0.874

α = 60.93º

β + 60.93º + 90º = 180º β = 180º – 60.93º – 90º α = 29.07° x cos 60.90º = 10.30 cm (0.486)(10.30 m) = x x=5m

3) sen α = 41.5 m 65.29 m sen α = 0.636

α = sen–1 0.636 α = 39.49º

β + 39.49º + 90º = 180º β = 180º – 39.49º – 90º α = 50.51° x cos 39.49º = 65.29 m (0.772)(65.29 m) = x x = 50.40 m

β

y tan 45º = 13 cm y 1 = 13 cm

Ángulo de cada triángulo = 360º 8 = 45° β + 90° + 22.5° = 180° β = 180° – 22.5° – 90° β = 67.5°

β + 45º + 90º + 180º β = 180º – 45º – 90º β = 45º

a. b.

2)

x 15 cm (0.383)(15 cm) = x x = 5.74 cm Lado del triángulo = 2x

sen 22.5º =

α + 90° + 68° – 180° α = 180° – 68° – 90º α = 22° x sen 68° = 14.04 m x 0.927 = 14.04 m (0.927)(14.04) = x x = 13.01 m h = 21 m – 13.01 m h = 7.99 m

α x 21 m

14.04 m

= 2(5.74 cm) = 11.48 cm

cos = 22.5º =

68º

h

a 15 cm

a 15 cm (0.924)(15 cm) = a a = 13.86 cm

0.924 =

Cada lado del octágono mide 11.48 cm y la apotema 13.86 cm

El “volador” se encuentra a 7.99 m de altura Desarrolle nuevas habilidades respecto del suelo. Las respuestas a las preguntas 1 y 2 serán de acuerdo a cómo el estudiante analice cada pregunta. Las posibles respuestas son: 71º

15 cm

x

Ejercicio 5 1)

22.5º

a

y = 13 cm

15

cm

3)

13 cm y 13 cm 0.707 = y 13 cm x = 0.707 x = 18.39 cm

4) cos 45º =

x

β

1) 1 20 2) 2 picos y 4 patas 2 picos y 0 patas (por el sexo) 3) 77 4) 12 5) 5 6) El día 27

2300 m

a. β + 90° + 71º = 180° β = 180°– 71°– 90° β = 19° m b. sen 71° = 2300 x m 0.945 = 2300 x m x = 2300 0.945 x = 2433.86 m La aeronave se encuentra a 2433.86 m de la ciudad.


37

Semana 34 Ejercicio 1 A.

2) y = 8(0) + 12 y = 12 m = 8, (0, 12)

4) y = – 34 x + 6 y = – 3 (0) + 6 4 y=6 m= – 3 , (0, 6) 4 5) y = 6x – 6 y = 6(0) – 6 y = –6 m = 6, (0, – 6)

3) y = 29 (0) – 1 y = –1 m = 29 , (0, –1)

6) y = 4x – 3 y = 4(0) – 3 y = –3 m = 4, (0, –3)

0) y = –4(0) + 6 y=6 m = –4, (0, 6) 1) y = 2(0) – 5 y=–5 m = 2, (0, –5)

B. 0) (–1, 2), m = 3 y – 2 = 3(x + 1) 1) (5, 3), m = 2 y – 3 = 2(x – 3) 2) (–4, 8), m = –3 y – 8 = –3(x + 4) 3) (–3, –2), m = –5 y + 2 = –5(x + 3) 4) (0, 0), m = 4 y – 0 = 4(x – 0) y = 4x

2) (3, 4) y (6, 5) 5–4 = 1 m= 3 6–3 7) y = –5x + 4 y – 4 = 1 (x – 3) 3 y = –5(0) + 4 1x – 1 + 4 y = y=4 3 m = –5, (0, 4) y = 1x + 3 3

5) (0, 4), m = –1 y – 4 = –1(x – 0) y – 4 = –x 6) (3, 6), m = – 1 4 y – 6 = – 1 (x – 3) 4 7) (–6, –3), m = 3 2 y + 3 = 3 (x + 6) 2

C. 0) (3, 5) y (0, 11)

(

)

11 – 5 = 6 –3 0–3 m = –2

m=

1) (2, 1) y (5, 6)

( )

6–1 = 5 3 5–2

m=

y – 1 = 5 (x – 2) 3 5 y – 1 = x – 10 3 3 5 10 y= x– +1 3 3 y = 5x – 7 3 3

38

IGER − Polochic

y – 5 = –2(x – 3) y = –2x + 6 + 5 y = –2x + 11

( )

3) (–3, 7) y (7, –3) –3 – 7 m= = –10 = –1 7+3 10 y – 7 = –1(x + 3) y = –x –3 + 7 y = –x + 4

(

)

4) (3, 1) y (5, 6) 6–1 m= = 5 2 5–3 y – 1 = 5 (x – 3) 2 y = 5 x – 15 + 1 2 2 13 5 y= x– 2 2

( )

5) (2, 6) y (4, –3)

(

)

–3 – 6 =–9 2 4–2 y – 6 = – 9 (x – 2) 2 y = – 9 x + 9 + 6 2 y = – 9 x + 15 2

m=

6) (–3, –4) y (1, 5) 5+4 m= =9 4 1+3 y + 4 = 9 (x + 3) 4 9 y = x + 27 – 4 4 4 9 y = 4 x + 11 4

(

)

7) (8, –4) y (–1, –2) –2 + 4 = 2 m= 9 –1 – 8 y + 4 = 2 (x – 8) 9 2 x – 16 – 4 y= 9 9 52 2 x– y= 9 9

(

)

D. 1) a. x = precio n = cantidad P1 (50, 15) P2 (75, 10) 10 – 15 = –1 m= 75 – 50 5 1 y – 15 = – (x – 50) 5 y = – 1 x + 10 + 15 5 y = – 1 x + 25 5 1 b. y = – (40) + 25 5 y = – 40 + 25 5 y = –8 + 25 y = 17 El número de pares vendidos a un precio de Q40.00 cada par es de 17.

(

)

A. 0) C(0, 0) r = 2 1) C(0, 0) r = 4 2) C(0, 0) r = 5 3) C(–2, 4) r = 25 4) C(5, 8) r = 3 5) C(–8, 7) r = 5 B. 1) C(0, 0) r = 9 = 3 y

5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

2

1

4

3

x

6

5

–2

2) a. P = precio t = tiempo A(0, 35 000) y B(15, 5000) 500 – 35 000 m= 15 m = –2000 P = 35 000 – 2000t

(

Ejercicio 2

–3 –4

)

–5

2) C(–2, 3) r = 16 = 4 y

10 8

b. P = 35 000 – 2000(5) = Q25,000.00 P = 35 000 – 2000(10) = Q15,000.00 P = 35 000 – 2000(12) = Q11,000.00 c. P

6 4 2 –12 –10 –8 –6 –4 –2

35 000 30 000 25 000 20 000 15 000 10 000 5000

0 –2

2

4

6

8 10 12

1

2

3

x

–4 –6 –8 –10

0

2

4

6

8

10

12

14

3) y = –2x2 + 5 y = –2(0)2 + 5 y=5 vertice (0, 5)

t

16

3) a. N = latidos por minuto t = tiempo A(20, 200) y B(50, 170) 170 – 200 m = 50 – 200 m = –1 N – 200 = –1(t – 20) N – 200 = –t + 20 N = –t + 220 b. N = –30 + 220 = 190 N = –45 + 220 = 175 c. N

(

)

210 180 150 120 90 60 30

y

5 4 3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

4

5

6

x

–2 –3 –4 –5

0

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

t


39

4) y = (x – 2)2 – 3 h=2 k = –3 vertice (2, –3)

4) C(0, 0) r = 25 = 5 y

5 4 3

y

2

5

1

4 3

0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

2

–1

1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

1

–1

2

3

4

–2

5

6

x

5

6

2

3

4

5

6

x

–5

–5

9 =3

y

5 4 3

9 =3 y

2 1

5 4

0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

3

–3

0

1

–1

2

3

4

5

6

–4

x

–5

–2

6) C(–6, 4) r = 16 = 4

–3

y

–4

10

–5

2) C(0, 0) r = 16 = 4 y

8 6 4

5 4

2

3

0

–12 –10 –8 –6 –4 –2

2

–2

1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

5

6

–10

–4

–5

7) C(5, 6) r = 25 = 5 y

10 8

5

6

4

4

3

2

2

–12 –10 –8 –6 –4 –2

1 0 –1

6 8 10 12

–8

3) C(0, 0) r = 10 ≈ 3.16

–6 –5 –4 –3 –2 –1

4

–6

–3

y

2

–4

x

–2

x

–2

1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

1

–1

2

1

2

3

4

5

6

x

–3 –4 –5

IGER − Polochic

0 –2

2

–4 –6

–2

40

4

–4

5) C(–2, –1) r =

–4

3

–3

–3

C. 1) C(0, 0) r =

2

–2

0

1

–8

–10

4

6 8 10 12

x

x

8) C(7, –7) r =

6 ≈ 2.45 y

12) y = –x2 + 8 y = –(0)2 + 8 y=8 V(0, 8)

10 8 6 4

y

10

2 0

–12 –10 –8 –6 –4 –2

–2

2

4

6 8 10 12

8

x

6 4

–4

2

–6

0

–12 –10 –8 –6 –4 –2

–8

–2

–10

2 1 2

3

4

5

6

x

y

–2

5

6

1

2

3

4

5

6

4

–4

3

–5

10) y = x2 – 6 y = (0)2 – 6 y = –6 V(0, –6)

4

5

–3

3

13) y = –2x2 + 5 y = –2(0)2 + 5 y=5 V(0, 5)

3

1

2

–10

–1

1

–8

4

–6 –5 –4 –3 –2 –1

x

–6

5

0

6 8 10 12

–4

9) C(–2, –1) r = 25 = 5 y

4

2

2 1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

x

–2 –3

y

–4

10 8

14) y = 1 x2 – 3 2 y = 1 (0)2 – 3 2 y = –3 V(0, –3)

4 2 0

–12 –10 –8 –6 –4 –2

–2

–5

6

2

4

6 8 10 12

x

–4 –6 –8

y

5

–10

4 3

11) y = x2 + 2 y = (0)2 + 2 y=2 V(0, 2)

2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

y

0 –1

x

–2

10

–3

8

–4

6

4

–5

2 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –1

1

2

3

4

5

6

x


41

15) y = (x + 1)2 – 4 h = –1 k = –4 V(–1, –4)

18) y = –2(x – 3)2 + 8 h=3 k=8 V(3, 8) y

y

10

5

8

4

6

3

4

2

2

1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

4

3

6

5

x

–6 –5 –4 –3 –2 –1

0

–5

10 8 6 4 2 4

x

6

A. 1) Hipérbola 2) Elipse 3) Hipérbola 4) Elipse 5) Elipse 6) Hipérbola

y

3

5

Ejercicio 3

12

2

4

–10

16) y = (x – 5)2 + 3 h=5 k=3 V(5, 3)

1

3

–8

–4

2

–6

–3

0

1

–4

–2

–2

5

6

8

7

B. 1) 9x2 + 3y 2 = 36

x

17) y = 4(x + 6)2 – 6 h = –6 k = –6 V(–6, –6)

Interceptos en y

Interceptos en x

9(0) + 3y = 36 3y 2 = 36 y 2 = 36 3 y = ± 12 ≈ ± 3.46

9x2 + 3(0)2 = 36 9x2 = 36 x 2 = 36 9 x=± 4 =±2

2

y

10

2

(0, 3.46) y (0, –3.46)

8

(2, 0) y (–2, 0)

y

5

6

4

4

3

2 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0

1 2 –2

3

2

x

1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–4 –6

–1

1

2

3

4

5

6

x

–2

–8

–3

–10

0

–4 –5

2) 16x2 + 25y2 = 400 Interceptos en y

Interceptos en x

16(0) + 25y = 400 25y 2 = 400 y 2 = 400 25 y = ± 16 = ±4

16x2 + 25(0)2 = 400 16x2 = 400 x 2 = 400 16 x = ± 25 = ±5

(0, 4) y (0, –4)

(5, 0) y (5, 0 )

2

42

IGER − Polochic

2

y

5

5) 5x2 – 15y2 = 45

4

Interceptos en x

Interceptos en y

5x2 – 15(0)2 = 45 x2 = 45 5 x = ± 9 = ±3

5x 2 – 15y 2 = 45

3 2 1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

1

2

3

4

5

6

x

–15y 2 = 45 – 5x 2 15y2 = 5x2 – 45 y = ± 1 x2 – 3 3

(3, 0) y (–3, 0)

–2 –3 –4

y

–5

5 4

3) 9y2 + 16x2 = 576

3

Interceptos en y

Interceptos en x

9y2 + 16(0)2 = 576 9y 2 = 576 y 2 = 576 9 y = ± 64 = ±8

9(0)2 + 16x2 = 576 16x2 = 576 x 2 = 576 16 x = ± 36 = ±6

(0, 8) y (0, –8)

(6, 0) y (–6, 0 ) y

1 0

–6 –5 –4 –3 –2 –1

–1

4 2 0

2

–2

4

6

8 10 12

x

–4 –6 –8

3

4

5

6

x

–2 –3 –4

Interceptos en y

Interceptos en x

4y2 – 12(0)2 = 49 y2 = 49 4 y = ± 49 = ±3.5 4 (0, 3.5) y (0, –3.5)

4y 2 – 12x2 = 49 –12x2 = 49 – 4y2 12x2 = 4y2 – 49 x = ± 1 y2 – 49 3 12 y

–10

10 8

4) 9y – 16x = 81 2

Interceptos en y

Interceptos en x

9y2 – 16(0)2 = 81 9y2 = 81 y 2 = 81 9 y=± 9 =±3

9y2 – 16x2 = 81 –16x2 = –9y2 + 81 16x 2 = 9y2 – 81 2 x = ± 9y – 81 16

(0, 3) y (0, –3)

6 4 2 –6 –5 –4 –3 –2 –1

0 –2

1

2

3

4

5

6

x

–4 –6 –8 –10

y

5

Ejercicio 4

4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1

2

6) 4y2 – 12x2 = 49

10 6

2

1

–5

8

–12 –10 –8 –6 –4 –2

2

0 –1

1

2

3

4

5

6

x

–2 –3 –4

A. 1) c2 = a2 + b2 c = (15 cm)2 + (25 cm)2 c = 225 cm2 + 625 cm 2 c = 850 cm2 c = 29.15 cm 2) a2 = c2 – b2 a = (35 m)2 – (12 m)2 a = 1225 m2 – 144 m2 a = 1081 m2 a = 32.88 m

–5


43

B. 1) a2 = c2 – b2 x = (12 cm)2 – (8 cm)2 x = 144 cm2 – 64 cm 2 x = 80 cm2 x = 8.94 cm

3) a2 = c2 – b2 x = (150 m)2 – (125 m)2 x = 22 500 m2 – 15 625 m2 x = 6875 m2 x = 82.92 m

2) c2 = a2 + b2 x = (19.25 m)2 + (16.5 m)2 x = 370.56 m2 + 272.25 m2 x = 642.81 m 2 x = 25.35 m

El área total del hexágono es de 259.8 cm2

A. 1) x = 8 15 24 x = 8Í15 24 x = 5 cm

a2 = c2 – b2 4m x x = (4 m)2 – (1.5 m)2 x = 16 m2 – 2.25 m 2 1.5 m x = 13.75 m 2 x = 3.71 m La parte superior de la escalera se apoya a 3.71 m de altura.

b. b2 = c2 – a2 x = (4 m)2 + (3.5 m)2 x = 16 m2 + 12.25 m2 x = 3.75 m 2 x = 1.94 m

Ejercicio 5

2

C. 1) a.

El ancho del campo de juego es de 82.92 m

A= 6(10 cm)(8.66 cm) 2 A = 259.8 cm2

4) a = c – b x = (6.36 km)2 – (5.50 km)2 x = 40.45 km2 – 30.25 km 2 x = 10.20 km2 x = 3.19 km 2

4m

3.5 m x

10 + x = 16 10 8 8(10 + x) = 16Í10 80 + 8x = 160 8x = 160 – 80 8x = 80 x = 10 cm 2)

44

IGER − Polochic

16 = 20 8 y 20Í8 y= 16 y = 10 cm

3) 4x + 1 = 3x 3 2 2(4x + 1) = 3(3x) 8x + 2 = 9x 9x – 8x = 2 x=2

Se debe de colocar a 1.94 m de la pared para B. que la parte superior se apoye en la pared a 1) 15 = x 10 16.67 una altura de 3.5 m. 15Í16.67 x= 10 2) c2 = a2 + b2 x = 25 cm x x = (20 km)2 + (12 km)2 2 2 y x = 400 km + 144 km 10 12 km = 15 2 20 x = 544 km 20 km x = 23.32 km y = 10Í20 15 La distancia entre las dos aldeas si se viaja en y = 13.33 cm línea recta es de 23.32 km.

125 m

4) A= P Í a 2 a = (10 cm)2 – (5 cm)2 a = 100 cm2 – 25 cm2 a = 75 cm2 a = 8.66 cm

3) b2 = c2 – a2 x = (400 in)2 – (100 in)2 x = 160 000 in2 – 10 000 in2 x = 150 000 in2 x = 387.30 in 2

150 m

x 2) = 1.6 5.4 3.6 x = 1.6Í5.4 3.6 x = 2.4 km y 1.6 = 3.6 12 y = 1.6Í12 3.6 y = 0.53 km

x

C. 1)

A t = 3000 cm2 + 2(173.2 cm2) A t = 3346.4 cm2

h = 11.25 1.65 0.75 x = 11.25Í1.65 0.75 x = 24.75

El edificio tiene una altura de 24.75 m.

2) c2 = a2 + b2 c = (10 m)2 + (24 m)2 c = 100 m2 + 576 m2 c = 676 m2 c = 26 m x = 52 24 26 x = 52Í24 26 x = 48 m

V = Ab • h V = (173.2 cm2)(50 cm) V = 8660 cm3

2) a = 9.66 cm At = Al + Ab Al = Pb • h

= 8 cm h = 15 cm

Pb = 8(8 cm) Pb = 64 cm Al = (64 cm)(15 cm) Al = 960 cm2

y 52 = 10 26 52Í10 y= 26 y = 20 m

Ab = P • a 2 (64 cm)(9.66 cm) Ab = 2 Ab = 309.12 cm2

Los catetos del triángulo semejante deben ser de At= 960 cm2 + 2(309.12 cm2) 48 m y 20 m. At= 1578.24 cm2 7 – 2a a 3) = V = Ab • h 5 7 V = (309.12 cm2)(15 cm ) 7a = 5(7 – 2a) V = 4636.8 cm3 7a = 35 – 10a 17a = 35 3) b1 = 15 cm b2 = 20 cm h = 30 cm a = 2.06 cm At = Al + Ab b • hc 2(2.06 cm) = 4.12 cm Al = 2 Las dimensiones del rectángulo son 2.06 y 4.12 cm. h = (30 cm)2 + (10 cm)2 c hc = 900 cm2 + 100 cm2 Ejercicio 6 hc = 1000 cm2 A. hc = 31.62 cm Prisma hexágonal. hc = (30 cm)2 + (7.5 cm)2 Pirámaide cuadrada. hc = 900 cm2 + 56.25 cm 2 B. hc = 956.25 cm 2 1) = 20 cm h = 50 cm hc = 30.92 cm At = Al + Ab b • hc b • hc +2 Al = 2 Al = Pb • h 2 2 A = (15 cm)(31.62 cm) + (20 cm)(30.92 cm) l Pb= 3(20 cm) Al = 474.3 cm2 + 618.4 cm2 Pb = 60 cm Al = 1092.7 cm2

Al = (60 cm)(50 cm) Al = 3000 cm2 b • ht Al = 2 ht = (20 cm)2 – (10 cm)2 ht = 900 cm2 – 100 cm2 ht = 300 cm2 ht = 173.2 cm (20 cm)(17.32 cm) Ab = 2 Ab = 173.2 cm2

(

) (

)

Ab = b1 • b2 Ab = (15 cm)(20 cm) Ab = 300 cm2 At = 1092.7 cm2 + 300 cm2 At = 1392.7 cm2 A •h V= b 3 (300 cm2)(30 cm) V= 3 V = 3000 cm3


45

4) = 10 cm a = 6.88 cm h = 14 cm At = Al + Ab b • hc Al = 6 2

(

)

hc = (14 cm)2 + (6.88 cm)2 hc = 196 cm2 + 47.33 cm2 hc = 243.33 cm2 hc = 15.60 cm 10 cm • 15.60 cm Al = 6 2 Al = 468 cm2 Ab = Pb • a 2 Pb = 5(10 cm) Pb = 50 cm (50 cm)(6.88 cm) Ab = 2 Ab = 172 cm2

(

)

At = 468 cm2 + 172 cm2 At = 640 cm2 A •h V= b 3 (172 cm2)(14 cm) V= 3 V = 802.67 cm3 C. 1) 1 = 6 m 2 = 4 m h = 2 m At = Al + Ab Al = Pb • h a. Pb = 2(6 m) + 2(4 m) Pb = 20 m Al = (20 m)(2 m) Al = 40 m2 Ab = (6 m)(4 m) Ab = 24 m2 At = 40 m2 + 24 m2 At = 64 m2 costo = (15)(64) = Q960.00 El costo de pintar la piscina es de Q 960.00 b. V = Ab • h V = (24 m2)(2 m) V = 48 m3

1 m3 48 m3

x=

46

1000 L x

48 m3Í100 L 1 m3 x = 48 000 L

2) 1 = 6 cm 2 = 90 cm h = 20 cm At = Al + Ab Al = Pb • h a. Pb = 2(9 cm) + 2(6 cm) Pb = 30 cm Al = (30 cm)(20 cm) Al = 600 cm2 Ab = 1 • 2 Ab = (9 cm)(6 cm) Ab = 54 cm2 At = 600 cm2 + 2(54 cm2) At = 708 cm2

V = Ab • h V = (54 cm2)(20 cm) V = 1080 cm3

El área total es de 600 cm2 y la cantidad de leche que le cabe es de 1080 cm3

b.

= 6 cm – 6 cm(0.05) 1 = 5.70 cm 1

2 2

= 9 cm – 9 cm(0.05) = 8.55 cm

h = 20 cm + 20 cm(0.08) h = 21.60 cm

At = Al + Ab Al = Pb + h Pb = 2(5.70 cm) + 2(8.55 cm) Pb = 28.5 cm Al = (28.5 cm)(21.60 cm) Al = 615.6 cm2 Ab = 1 • 2 Ab = (5.70 cm2)(8.55 cm2) Ab = 48.73 cm2 At = 615.6 cm2 + 2(48.73 cm2) At = 713.06 cm2

V = Ab • h V = (48.73 cm2)(21.60 cm) V = 1052.57 cm3

El área total es de 713.06 cm2 y el volumen nuevo es de 1052.57 cm3

3) = 8 cm h = 14 cm At = Al + Ab b • hc Al = 3 2 Se necesitan 48 000 litros de agua para llenar la piscina. IGER − Polochic

(

)

At = (3.14)(6 cm)(11.66 cm + 6 cm ) At = (18.84 cm)(17.66 cm) At = 332.71 cm2

hc = (14 cm)2 + (4 cm)2 hc = 196 cm2 + 16 cm 2 hc = 212 cm 2 hc = 14.56 cm Pb = (8 cm)(3) Pb = 24 cm 8 cm • 14.56 cm Al = 3 2 Al = 174.72 cm2 b • ht Ab = 2 ht = (8 cm)2 – (4 cm)2 ht = 64 cm 2 – 16 cm 2 ht = 48 cm2 ht = 6.93 cm (8 cm)(6.93 cm) Ab = 2 Ab = 27.72 cm2

(

)

πr2h 3 (3.14)(6 cm)2(10 cm) V= 3 (31.4 cm)(36 cm2) V= 3 V=

V = 376.8 cm3

4) r = 0.25 m h = 1.5 m A = πr(g + r) g = (1.5 m)2 + (0.25 m)2 g = 1.52 cm A = (3.14)(0.25 m)(1.52 m + 0.25m ) A = (0.785 m)(1.77 m2) A = 1.40 m2

At = 174.72 cm2 + 27.72 cm2 At = 202.44 cm2 A •h V= b 3 (27.72 cm2)(14 cm) V= 3 V = 129.36 cm3

πr2h 3 (3.14)(0.25 m)2(1.5 m) V= 3 (4.71)(0.0625 m2) V= 3 V=

V = 0.098 m3

El área total es de 202.44 cm2 y el volumen de 5) r = 10 cm A = 4πr2 mármol utilizado es de 129.36 cm3 A = 4(3.14)(10 cm)2 A = (12.56)(100 cm2) Ejercicio 7 A = 1256 cm2 A. 4πr3 1) r = 1.5 m h = 2 m V= 3 A = 2πr(h + r) 4(3.14)(10 cm)3 A = 2(3.14)(1.5 m)(2 m + 1.5 m) V= 3 A = (9.42 m)(3.5 m) (12.56)(1000 cm3) 2 A = 32.97 m V= 3 V = πr2h V = 4186.67 cm3 V = (3.14)(1.5 m)2(2 m) V = 14.13 m3 6) A = 4πr2 A = 4(3.14)(6 cm)2 2) r = 12 cm h = 30 cm A = (12.56)(36 cm2) A = 2πr(h + r) A = 452.16 cm2 A = 2(3.14)(12 cm)(30 cm + 12 cm) 4πr3 A = (75.36 cm)(42 cm) V= 3 A = 3165.12 cm2 4(3.14)(6 cm)3 V= 3 V = πr2h (12.56)(216 cm3) 2 V = (3.14)(12 cm) (30 cm) V= 3 V = 13 564.7 cm3 V = 904.32 cm3 B. 3) r = 6 cm h = 10 cm 1) r1 = 5 cm h1 = 20 cm A = πr(g + r) r2 = 6 cm h2 = 9 cm g = (10 cm)2 + (6 cm)2 V1 = πr2h V1 = (3.14)(5 cm)2(20 cm) g = 11.66 cm


47

V1 = (62.8 cm)(25 cm2) V1 = 1570 cm3 V2 = πr2h V2 = (3.14)(6 cm)2(9 cm) V2 = (28.26 cm)(36 cm2) V2 = 1017.36 cm3

Número de de vasos =

Ejercicio 8 A. 1) sen α = sen β =

1570 = 1.54 vasos 1017.36

9 15

cos α =

12 15

tan α =

9 12

12 15

cos β =

9 15

tan β =

12 9

cos α =

18 23.43

tan α =

15 18

cos β =

15 23.43

tan β =

18 15

15 Se podría llenar un vaso únicamente y aproxima- 2) sen α = 23.43 damente la mitad de otro 18 sen β = 2) r = 15 cm h = 20 cm 23.43 A = 2πr(h + r) A = 2(3.14)(15 cm)(20 cm + 15 cm) B. 12 A = (94.2 cm)(35 cm) 1) tan 30° = x 2 A = 3297 cm 0.577 = 12 Area total = (20)(3297 cm2) x 2 Area total = 65 940 cm 12 x= 0.5774 Se necesitan 65 940 cm2 de hojalata para hacer los x = 20.80 cm 20 botes .

3) n = 50 r = 16 cm g = 28 cm Al = πrg Al = (3.14)(16 cm)(28 cm) Al = 1406.72 cm2 Cantidad de carton = (1406.72 cm2)(50) Cantidad de carton = 70 336 cm2 4) = 20 cm r = 15 cm 3 Vc = Vc = (20 cm)3 Vc = 8000 cm3 4πr3 Ve = 3 4(3.14)(15 cm)3 Ve = 3 (12.56)(3375 cm3) Ve = 3 Ve = 14 130 cm3

8000 cm < 14 130 cm . Por lo que el agua cabe en el otro recipiente. 3

3

5) r = 1 m h = 2 m Vc = πr2h Vc = (3.14)(1 m)2(2 m) Vc = 6.28 m3 4πr3 Ve = 3 4(3.14)(1 m)3 Ve = 3 Ve = 4.19 m3

Volumen restante = 6.28 m3 – 4.19 m3 Volumen restante = 2.09 m3

48

IGER − Polochic

sen 30° = 12 y 0.5 = 12 y y = 12 0.5 y = 24 cm

2) cos 45° = x 15 0.707 = x 15 (15)(0.707) = x x = 10.60 cm

y sen 45° = 45 y 0.707 = 15 (0.707)(15) = y y = 10.61 cm

x 3) cos 60° = 1.5 0.5 = x 1.5 (1.5)(0.5) = x x = 0.75 km

y sen 60° = 1.5 y 0.866 = 1.5 (0.866)(1.5) = y y = 1.299 km

C. 1)

a. tan 25° = 900

x 900 0.466 = x x = 900 0.466 x = 1931.33 m El avión se encuentra a 1931.33 m del aeropuerto.

b. sen 25°= 900 y 900 y= 0.423 y = 2127.66 m La distancia diagonal del avión al aeropuerto es de 2127.66 m.

2)

a. tan α = 5 3 –1 5 α = tan 3 α = 59.04° El ángulo de elevación entre el suelo y la parte más alta del árbol es de 59.04°.

()

b. tan θ = 5 5 3)

()

θ= tan–1 5 5 θ = 45° Si la persona se retira 2 m más, el nuevo ángulo de elevación es de 45°.

a. D

tan 45º = 5 x 5 1= x x=5m distancia total = 5 m + 3.5 m La distancia entre los postes es de 8.5 m.

C x

A

b. tan 55º = 5 x 5 1.428 = x 5 x1 = 1.428 x = 3.5 m

α 3.5 cm

2.8 cm B

b. El ángulo es de 90° ya que es un rectángulo. c. tan α = 2.8 3.5 4)

( )

α = tan–1 2.8 3.5 α = 38.66°

sen 38.66º = 2.8 x 0.625 = 2.8 x x = 2.8 0.625 x = 4.48 cm

a. sen 55° = 5 c1 5 0.819 = c1 5 c1 = 0.819 c1 = 6.10 m sen 45° = 5 c2 5 0.707 = c2

5 0.707 c2 = 7.07 m c2 =


49

IGER Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, Grupo Radial ¡uy, uy, uy! y Radio Sónica 106.9 Tel: 2305 1010 www.iger.edu.gt [email protected]

Libro Polochic Matemática 2 º Semestre 2016

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