Libro Zaculeu Matemática 1er. Semestre

Matemática

9

3º Básico - Grupo Zaculeu Primer semestre - IGER

Matemática 9 Primer semestre

© Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, iger. Es una obra producida por el Departamento de Redacción y Diseño, para el Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. 11 avenida 18-45, Ciudad Nueva, zona 2 Ciudad de Guatemala. PBX: 2412 6666 Fax: 2412 6704 Correo electrónico: [email protected] Página web: www.iger.edu.gt Edición 2013 Impreso en IGER talleres gráficos

Código: 1110904201 ISBN 9789929614079

Reservados todos los derechos. Queda rigurosamente prohibida la reproducción total o parcial de este material educativo, por cualquier medio o procedimiento, sin la autorización del Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. Según artículo 42 de la Constitución Política de Guatemala que se refiere a la autoría.

Índice Índice ................................................................................................................................................................ I

¡Bienvenida y bienvenido! ..................................................................................................................... 1

Semana 1

Suma y resta con números mayas II..................................................................... 13 ¡Para comenzar! Estelas mayas................................................................................................................................ 14 El mundo de la matemática 1. Numeración maya............................................................................................................................................. 15

1.1 Conversión de numeración maya al sistema decimal.............................................................. 16

2. Suma con números mayas............................................................................................................................ 17 3. Resta con números mayas............................................................................................................................. 19 Resumen............................................................................................................................................................................ 21 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 22 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 24 Razonamiento lógico ................................................................................................................................................ 25 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 26

Semana 2

Multiplicación y división con números mayas....................................... 27 ¡Para comenzar! El cero maya ................................................................................................................................. 28 El mundo de la matemática 1. Multiplicación con números mayas........................................................................................................... 29 2. División con números mayas........................................................................................................................ 32 Resumen............................................................................................................................................................................ 33 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 34 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 36 Razonamiento lógico ................................................................................................................................................ 37 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 38

Matemática − Índice

I

Semana 3

Lógica de proposiciones............................................................................................................. 39 ¡Para comenzar! Un problema de lógica.............................................................................................................. 40 El mundo de la matemática 1. La lógica................................................................................................................................................................ 41

1.1 Las proposiciones y su representación.......................................................................................... 41

1.2 Negación de proposiciones................................................................................................................ 42

2. Clasificación de las proposiciones.............................................................................................................. 43

2.1 Proposición simple cerrada................................................................................................................ 43

2.2 Proposición simple abierta................................................................................................................. 43

Resumen............................................................................................................................................................................ 44 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 44 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 45 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 48 Razonamiento lógico.................................................................................................................................................. 49 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 50

Semana 4

Conectivos lógicos y tablas de verdad............................................................. 51 ¡Para comenzar! Práctica de un lenguaje nuevo............................................................................................... 52 El mundo de la matemática 1. Proposición compuesta.................................................................................................................................. 53 2. Conectivos lógicos............................................................................................................................................ 54

2.1 Conjunción: (/)........................................................................................................................................ 54

2.2 Disyunción: (0)......................................................................................................................................... 54

2.3 Condicional: (→)...................................................................................................................................... 55

2.4 Bicondicional: (↔)................................................................................................................................... 55

3. Valores de verdad (v, f)................................................................................................................................... 56

3.1 Tablas de verdad..................................................................................................................................... 57


II

IGER − Zaculeu

Semana 5

Reglas de los conectivos lógicos............................................................................... 65 ¡Para comenzar! Parejas de baile............................................................................................................................ 66 El mundo de la matemática 1. Reglas de los conectivos lógicos................................................................................................................. 67

1.1 Regla de la conjunción (/).................................................................................................................. 67

1.2 Regla de la disyunción (0)................................................................................................................... 69

1.3 Regla del condicional (→).................................................................................................................... 71

1.4 Regla del bicondicional (↔)................................................................................................................ 72

Resumen............................................................................................................................................................................ 73 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 74 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 76 Razonamiento lógico.................................................................................................................................................. 77 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 78

Semana 6

Medidas de dispersión................................................................................................................... 79 ¡Para comenzar! La media aritmética.................................................................................................................... 80 El mundo de la matemática 1. Medidas de dispersión.................................................................................................................................... 81

1.1 Rango o amplitud (R) .......................................................................................................................... 81

1.2 Desviación (d).......................................................................................................................................... 83

1.3 Desviación media (DM)........................................................................................................................ 85


Semana 7

Probabilidades.............................................................................................................................................. 93 ¡Para comenzar! Historia de la probabilidad...................................................................................................... 94 El mundo de la matemática 1. La probabilidad.................................................................................................................................................. 95 2. ¿Cómo medimos la probabilidad?............................................................................................................. 96 Matemática − Índice

III


Semana 8 Repaso: semanas 1 a 7.................................................................................................................. 103 El mundo de la matemática Suma y resta con números mayas II................................................................................................................. 105 Multiplicación y división con números mayas.............................................................................................. 109 Lógica de proposiciones........................................................................................................................................ 111 Conectivos lógicos y tablas de verdad............................................................................................................. 113 Reglas de los conectivos lógicos........................................................................................................................ 115 Medidas de dispersión........................................................................................................................................... 117 Probabilidades........................................................................................................................................................... 121 Agilidad de cálculo mental................................................................................................................................... 123 Orientaciones sobre la prueba parcial............................................................................................................... 124

Semana 9

Progresión aritmética...................................................................................................................... 125 ¡Para comenzar! Las fases de la Luna.................................................................................................................... 126 El mundo de la matemática 1. Progresión aritmética...................................................................................................................................... 127

1.1 El último término de una progresión aritmética........................................................................ 128

1.2 El primer término, el número de términos y la diferencia de términos............................ 130

1.3 Suma de los términos en una progresión aritmética............................................................... 132


IV

IGER − Zaculeu

Semana 10

Progresión geométrica.................................................................................................................. 141 ¡Para comenzar! La reproducción de las células................................................................................................ 142 El mundo de la matemática 1. Progresión geométrica.................................................................................................................................... 143

1.1 Último término de una progresión geométrica......................................................................... 144

1.2 Primer término de una progresión geométrica.......................................................................... 145

1.3 Suma de los términos de una progresión..................................................................................... 146


Semana 11

Interés simple............................................................................................................................................... 153 ¡Para comenzar! Repaso de porcentaje................................................................................................................. 154 El mundo de la matemática 1. Interés (i)............................................................................................................................................................... 155

1.1 Cálculo del interés simple................................................................................................................... 156

1.2 Capital, tasa y unidad de tiempo...................................................................................................... 158


Semana 12

Reparto proporcional....................................................................................................................... 167 ¡Para comenzar! Los representantes del pueblo................................................................................................. 168 El mundo de la matemática 1. Reparto proporcional...................................................................................................................................... 169

1.1 Reparto directamente proporcional................................................................................................ 169

1.2 Reparto inversamente proporcional............................................................................................... 171


V


Semana 13

Regla de tres simple y compuesta.......................................................................... 179 ¡Para comenzar! Repaso de la proporcionalidad directa e inversa.............................................................. 180 El mundo de la matemática 1. Regla de tres simple......................................................................................................................................... 181

1.1 Regla de tres simple directa............................................................................................................... 181

1.2 Regla de tres simple inversa............................................................................................................... 182

2. Regla de tres compuesta................................................................................................................................ 183 Resumen............................................................................................................................................................................ 186 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 186 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 187 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 190 Razonamiento lógico.................................................................................................................................................. 191 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 192

Semana 14

El cono....................................................................................................................................................................... 193 ¡Para comenzar! El programa Apolo...................................................................................................................... 194 El mundo de la matemática 1. El cono .................................................................................................................................................................. 195

1.1 Área del cono........................................................................................................................................... 196

a. Área lateral (Al)................................................................................................................................ 196

b. Área de la base (Ab)....................................................................................................................... 196

c. Área total del cono (At)................................................................................................................ 196

1.2 Volumen del cono.................................................................................................................................. 199


VI

IGER − Zaculeu

Semana 15

El prisma................................................................................................................................................................ 207 ¡Para comenzar! La descomposición de la luz y el prisma de Newton...................................................... 208 El mundo de la matemática 1. El prisma............................................................................................................................................................... 209

1.1 Elementos del prisma............................................................................................................................ 209

1.2 Clasificación de los prismas................................................................................................................ 210

2. Área del prisma.................................................................................................................................................. 211

a. Área de la base (Ab)....................................................................................................................... 211

b. Área lateral (Al)................................................................................................................................ 211

c. Área total (At)................................................................................................................................... 211

3. Volumen del prisma......................................................................................................................................... 214 Resumen............................................................................................................................................................................ 216 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 216 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 217 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 220 Razonamiento lógico.................................................................................................................................................. 221 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 222

Semana 16

Cuerpos geométricos compuestos........................................................................... 223 ¡Para comenzar! El monasterio de Glendalough ............................................................................................... 224 El mundo de la matemática 1. Cuerpos geométricos compuestos............................................................................................................ 225 2. Área de cuerpos compuestos....................................................................................................................... 226 3. Volumen de cuerpos compuestos.............................................................................................................. 229 Resumen............................................................................................................................................................................ 232 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 233 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 236 Razonamiento lógico.................................................................................................................................................. 237 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 238


VII

Semana 17 Repaso: semanas 9 a 16.............................................................................................................. 239 El mundo de la matemática Progresión aritmética.............................................................................................................................................. 241 Progresión geométrica........................................................................................................................................... 244 Interés simple............................................................................................................................................................. 247 Reparto proporcional.............................................................................................................................................. 251 Regla de tres simple y compuesta..................................................................................................................... 254 El cono.......................................................................................................................................................................... 258 El prisma....................................................................................................................................................................... 261 Cuerpos geométricos compuestos.................................................................................................................... 264 Agilidad de cálculo mental................................................................................................................................... 267 Orientaciones sobre la prueba parcial............................................................................................................... 268

Claves ................................................................................................................................................................ 269 Bibliografía .................................................................................................................................................... 295

VIII

IGER − Zaculeu

¡Bienvenida y bienvenido! Hoy continúa su recorrido por el fascinante mundo de las matemáticas en el grupo Zaculeu. A lo largo de treinta y cuatro semanas desarrollará las competencias marcadas por el Currículo Nacional Base (Cnb) y que responden a esta competencia superior: Desarrolle su habilidad para utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y el razonamiento matemático tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como para ampliar su conocimiento y aplicarlos a la realidad de su vida cotidiana. Antes de seguir profundizando en las competencias que desarrollará durante este año de estudio, platiquemos sobre la portada de su libro. ¿Qué ve? El objetivo es que esta imagen nos transmita algunas ideas, sentimientos y sueños que debemos tener presentes. Por ejemplo: El mundo de la portada nos recuerda que somos parte del planeta Tierra y que en él, la matemática es una herramienta que nos ayuda a descubrir, aprender y saborear las ciencias, las artes y la cultura. Los números mayas nos recuerdan que pertenecemos a un pueblo multiétnico e intercultural, con un conocimiento matemático que debemos valorar y conservar. La mano dando un clic nos invita a explorar, descubrir y compartir conocimientos con el resto del mundo a través de internet. La imagen de un grupo de manos alrededor de un corazón nos habla de establecer relaciones con las personas que nos rodean. Intercambiamos formas de sentir, pensar y ver la vida. La riqueza de estas relaciones y la manera en que aprendemos a resolver nuestras diferencias nos convierten en mejores personas.

Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido!

1

¿Cómo alcanzará esa competencia matemática? Nos enfocaremos en cinco competencias específicas. Para saber si las ha alcanzando, el Currículo Nacional Base propone indicadores de logro, estos criterios son como un termómetro que mide su desempeño en cada competencia. Iremos avanzando paso a paso. Vaya fijándose qué secciones del libro hacen posible que usted desarrolle cada competencia que presentamos a continuación.

Competencia de grado 1. Produce patrones aritméticos, algebraicos y geométricos, aplicando propiedades y relaciones.

Indicador de logro 1.1 Aplica la factorización de polinomios al simplificar fracciones algebraicas y dividir polinomios. 1.2 Resuelve problemas que involucran cálculo de medidas y aplicación de propiedades de figuras planas y cuerpos sólidos. 1.3 Aplica la trigonometría a la resolución de problemas.

2. Construye modelos matemáticos que le permiten la representación y análisis de relaciones cuantitativas.

2.1 Emite juicios en discusiones ofreciendo argumentos y justificando sus pasos y resultados. 2.2 Reconoce las ideas matemáticas abstractas que simboliza, grafica e interpreta. 2.3 Utiliza diferentes métodos en la resolución de ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones.

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IGER − Zaculeu

Sección del libro

El mundo de la matemática

Razonamiento lógico

Agilidad de cálculo mental Desarrolle nuevas habilidades



Agilidad de cálculo mental

Autocontrol

Competencia de grado 3. Utiliza los diferentes tipos de operaciones en el conjunto de números reales, aplicando sus propiedades y obteniendo resultados correctos.

Indicador de logro 3.1 Utiliza eficientemente los diferentes tipos de operaciones en el conjunto de números reales, aplicando sus propiedades y verificando que sus resultados son correctos. 3.2 Utiliza eficientemente las cuatro operaciones básicas en el conjunto de números complejos, verificando que sus resultados son correctos y representándolos en el plano cartesiano.

4. Emite juicios referentes a preguntas que se ha planteado buscando, representando e interpretando información de diferentes fuentes.

4.1 Analiza conjuntos de datos aplicando medidas de tendencia central, posición y dispersión. 4.2 Utiliza conceptos probabilísticos al resolver problemas.

Sección del libro




Autocontrol

¡Para comenzar!


Investigue en la red

Razonamiento lógico Desarrolle nuevas habilidades

5. Aplica métodos de razonamiento, el lenguaje y la simbología matemática en la interpretación de situaciones de su entorno.

5.1 Realiza operaciones en sistemas diferentes al decimal convirtiendo de un sistema a otro. 5.2 Propone modificaciones en el mejoramiento de estrategias de resolución de problemas.

Autocontrol

¡Para comenzar! El mundo de la matemática Razonamiento lógico Agilidad de cálculo mental Desarrolle nuevas habilidades

Autocontrol


3

Con su esfuerzo, podrá conquistar estas competencias a través de tres tipos de contenidos:  Declarativos: Los contenidos declarativos le aportarán el conocimiento de los distintos aspectos teóricos, conceptuales y científicos del área.  Procedimentales: Como indica su nombre, los contenidos procedimientales se desarrollarán a base de ejercicios, procedimientos o análisis de problemas en los cuales pueda demostrar el dominio y la puesta en práctica de los conocimientos declarativos.  Actitudinales: Los contenidos actitudinales son todo aquello que tiene que ver con su actitud ante el estudio y ante la vida, en general. En el libro encontrará actividades y reflexiones sobre situaciones cotidianas donde interviene la matemática.

Nuestro planteamiento La matemática está presente en todas las áreas de la vida. A diario hacemos cuentas, pagamos pasajes, recibimos el vuelto y medimos el tiempo. Esta materia nos ayuda a comprender el lenguaje y los conocimientos científicos en general.

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•

Valorarnos a nosotros mismos Valorarse a sí mismo implica reconocer las habilidades propias y saber apreciar las de los otros. Realizaremos actividades para comprobar nuestros conocimientos y enriquecerlos con los de la comunidad educativa.

•

Valorar a los demás Las ideas de los otros nos permiten conocer puntos de vista distintos, ampliar nuestras perspectivas de vida y encontrar soluciones coherentes a la realidad. Aplicaremos los conocimientos matemáticos a situaciones cotidianas de nuestro país y aprenderemos a resolverlos respetando la diversidad de los pueblos que conviven en Guatemala.

•

Convivir en sociedad El conocimiento solo tiene significado si se aplica a la realidad y se comparte con los demás. Proponemos contenidos y actividades que le ayudarán a desarrollar su responsabilidad ciudadana y convertirse en un agente de cambio en su comunidad.

IGER − Zaculeu

¡Conozcamos nuestro libro! ÌQGLFH ÌQGLFH

Este libro mantiene la misma estructura que los anteriores.

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Inicia con un índice de contenidos generales al principio y termina con las claves o soluciones de los ejercicios, al final.

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Usar las claves con responsabilidad le permitirá desarrollar autonomía en su aprendizaje.

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Cada semana contiene cuatro secciones principales y otras que se van intercalando.

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Hagamos un recorrido:

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Portada Muestra el mosaico de imágenes que identifica nuestro curso de Matemática.

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Indica el número de la semana, el título del tema y los contenidos que estudiará.

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Logros de la semana

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Los logros son metas que alcanzará al finalizar el estudio de cada semana. La lista termina con una línea en blanco para que escriba un logro personal que le gustaría alcanzar.


5

¡Para comenzar! Para entrar en el tema Un trampolín ayuda a los clavadistas a tomar altura y entrar con suavidad en el agua.

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La sección ¡Para comenzar! nos propone:

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• recordar conocimientos previos, • conocer datos curiosos relacionados con el tema,

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• presentar la vida de matemáticos destacados.

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Estas actividades servirán "de acceso" y nos ayudarán a entrar con suavidad en el tema.

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El mundo de la matemática El propósito de esta sección es aprender, practicar y aplicar los fundamentos de la matemática. Conoceremos especialmente los principios de la lógica, la estadística, el álgebra y la geometría.

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También encontrará recuadros con recordatorios o explicaciones que enriquecen el contenido y espacios vacíos para hacer anotaciones, escribir ideas importantes, preguntas, etc.

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Resuelva los ejercicios y repítalos, así fijará en su memoria los conceptos nuevos y le dará seguridad en lo que aprende.

Anote sus dudas y resalte lo que debe recordar o prestar atención.

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IGER − Zaculeu

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¿Cómo saber que está alcanzando los logros que le llevan a desarrollar las competencias?

Resolver los ejercicios durante la clase radial con la ayuda de sus maestros locutores le permitirá comprobar si comprende los contenidos propuestos y por lo tanto si va alcanzando los logros.

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Tenga presente que la matemática "entra por el lápiz". Resolver todos los ejercicios y hacerlo cuantas veces sea necesario le ayudará a ir ganando seguridad y agilidad.

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Investigue en la red

• Refiérase siempre a las instituciones conocidas: universidades, ministerios de educación, organismos mundiales, etc.

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El resumen recoge brevemente todo el contenido de la semana. Esta sección le ayuda a recordar de un golpe de vista, todo lo estudiado.

VHXQHQPHGLDQW HFR

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8QD SURS RVLF 'LV\ LyQF XQF LyQ R RPSXHVWDFRQVWDGHGRVS OyJLFRV URSRVLFLRQHVV

Resumen

Internet es un recurso que ya no puede quedar fuera de la vida de un estudiante. Esta sección le sugiere direcciones de internet para ampliar los temas. Para una investigación provechosa:

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• Lea e intente interpretar la información. No se limite a copiar y pegar el texto. • Indique siempre la fuente de consulta que utilizó. • Trate de visitar internet, al menos, una vez por semana.


7

El autocontrol Practicar, practicar y practicar ¿Sabe manejar bicicleta? Si puede hacerlo, sabe que tuvo que practicar mucho y sufrir algún raspón para aprender la técnica y convertirse en un ciclista experto.

PHUROHVLUYHGH DGDHQXQFLDGR(OQ~ OHWDFRUUHFWDPHQWHF ODRSFLyQTXHFRPS ' 5HOOHQHHOFtUFXORGH HMHPSOR 9DORUGHYHUGDG RVLFLRQHV IRUPDGD SRU GRV SURS &RQHFWLYRVOyJLFRV /D SURSRVLFLyQ 3URSRVLFLyQDWyPLFD VLPSOHVVHOODPD D 3URSRVLFLyQFRPSXHVW

Lo mismo sucede con la matemática. En el autocontrol encontrará dos secciones:

OHVLUYHGH LDGR(OQ~PHUR 6LPSOH

RPSOHWDFRUUHFWDPHQWHFDGDHQXQF

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Demuestre lo aprendido Es una serie de ejercicios en los que practicará contenidos básicos con actividades sencillas.

$ 5HSDVHPRV HO FRQWHQLGR GH ORV DSDUWDGRV DQWHULRUHV &RPSOHWH HO VLJXLHQWH RUJDQL]DGRU JUiILFR / 7LHQHXQHMHPSOR VDOJRµ GH ORV 6LPSOH $ 5HSDVHPRV HO FRQWHQLGR DSDUWDGRV DQWHULRUHV &RPSOHWH HO VLJXLHQWH RUJDQL]DGRU JUiILFR 0 HQWRQFHVQR DEDMR ´6LWU PLWp\ILUPDURQHODFWD LFLyQHV F6HUHXQLyHO&R $WyPLFD SRVLFLyQ GRHQODSURSRVRGHSUR VDOWD 7LHQHXQHMHPSOR ମ YRUH (OFR QHFWL (OHQXQFLDGRDQWHULRUHVXQHMHPSO 'LV\XQFLyQ ର &RPSXHVWD &RQHFWLYR &RQMXQFLyQ

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Le proporciona la práctica de diferentes ejercicios con distintos niveles de dificultad.

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8

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Agilidad de cálculo mental Pensar rápido, pensar mejor

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IGER − Zaculeu

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6tPEROR

3UDF WLTX DG $FWLYLG LGDG3UDFWLTXHORDSUHQGLGR $FWLY

Practique lo aprendido

$JLOLGDGGHFiOFXORPHQWDO

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\

Usted necesita dominar el cálculo mental y hacerlo muy rápido. La agilidad y la velocidad de cálculo son dos habilidades muy apreciadas en matemática. Si usted logra realizar operaciones básicas como la multiplicación, división, suma o resta, con agilidad, su cerebro se estará entrenando en pensar de forma ordenada y en hacer conexiones con más facilidad.

Razonamiento lógico Resolver problemas

Razonamiento lógico A. Calculemos el área de figuras sombreadas. Este tipo de ejercicios son comunes en las pruebas del Mineduc. Resolverlas le ayudará a desarrollar su habilidad espacial. Lea la información y observe con atención la figura. Luego, responda a la pregunta.

Los expertos en educación indican que la resolución de problemas es el mejor camino para desarrollar competencias matemáticas ya que nos obliga a utilizar capacidades como: • leer comprensivamente,

Si el cuadrado de la figura mide 4 cm por lado, ¿cuánto mide el área de la región sombreada?

4 cm

Para resolver el problema siga estos pasos: 1) Escriba cuántos triángulos forman la figura 2) Escriba cuántos triángulos están sombreados 3) Calcule la razón entre el número de triángulos sombreados y el total de triángulos. (El tema de razones y proporciones lo estudió en la semana 29 del grupo Quiriguá). Exprese su respuesta como una fracción y simplifíquela hasta su mínima expresión.

2 4) Calcule el área total del cuadrado. Recuerde A = , .

• reflexionar,

5) Multiplique el resultado del inciso 4 por la fracción que obtuvo en el inciso 3. El resultado que obtenga será el área de la región sombreada de la figura. B. Siga los pasos que aprendió en el ejercicio anterior para calcular el área de la región sombreada de cada figura. Hágalo en su cuaderno.

• establecer un plan de trabajo y • verificar que la respuesta es correcta.

10 cm

figura 1

La sección Razonamiento lógico le ayudará a entrenarse y a aplicar los conocimientos matemáticos a la resolución de problemas.

8 cm

figura 2

10 cm

12 cm

figura 3

figura 4

Matemática − Semana 1

25

'HVDUUROOHQXHYDVKDELOLGDGHV &RPRXVWHG\DVDEHODVDQDORJtDVPX HVWUDQXQDUHODFLyQHQWUHSDODEUDVXRE MHWRV $FRQWLQXDFLyQOHSURSRQHPRVXQHMH UFLFLRHQHOTXHGHEHFRPSOHWDUDQ DORJtDV FRQ ÀJXUDV JHRPpWULFDV 5HVROYH UOR OH D\XGDUi D GHVDUUROODU VX UD]RQDP LHQWR YLVXDO\HVSDFLDO 0DUTXHFRQXQD; ODÀJXUDGHODFRO XPQDGHUHFKDTXHFRPSOHWDFRUUHFWDP HQ WHFDGDDQDORJtD)tMHVHHQHOHMHPSOR 'HVDUUROOHQXHYDVKDELOLGDGHV &RPRXVWHG\DVDEH HVD ODVDQDORJtDVPXHVWU ORTXHDQXQDUHOD HVD

FLyQHQWUHSDODEUDVXREMHWRV $FRQWLQXDFLyQOHSURSRQHPRVXQHMHUFLFL RHQHOTXHGHEHFRPSOHWDUDQDORJtDV FRQ ÀJXUDV JHRPpWULFDV 5HVROYHUOR OH D\XGDUi D GHVDUUROODU VX UD]RQDPLH QWR YLVXDO\HVSDFLDO

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HVD

ORTXH

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Desarrolle nuevas habilidades Y por último la sección Desarrolle nuevas habilidades que supone un reto porque debe aplicar su ingenio para adquirir nuevas destrezas. Para ello, debe combinar sus conocimientos previos con los que aprendió durante la semana.

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HVD

5HYLVHVXDSUHQGL]DMH

5HYLVHVXDSUHQGL]DMH

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0DUTXHFRQXQFKHTXH ODFDVLOODT XHPHMRULQGLTXHVXUHQGLPLHQ 5HSDVRODPHGLDDULWPpWLFD

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HQ QR SURFHVR ORJUDGR

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5HSDVRODPHG LDDULWP pWLFD 3UDFWLFRH OFiOFXORP

HQWDOFRQRSHUDFLRQHVFRPELQDGDV

$SOLFRHOFiOFX 5HVXHOYRD QDORJtDVF ORGHOD RQÀJXUDVJHR VPHGLG DVGHGPpWULFDV LVSHUVLyQDODUHVROXFLyQGHFDVRV VHQFLOORV

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3UDFWLFRHOFiOFXORPHQWDOFRQRSHUDF

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5HVXHOYRDQDORJtDVFRQÀJXUDVJHRPp

WULFDV

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ORJUDGR

HQ QR SURFHVR ORJUDGR

Revise su aprendizaje En este último apartado le proponemos que haga un alto y reflexione sobre su aprendizaje. Es muy importante que usted mismo evalúe sus logros y determine en qué ha fallado para superarlo.

Conteste con toda sinceridad y, posteriormente, consulte con su tutor las dudas que tenga.


9

Libro, clase radial y círculo de estudio ¡Su equipo de trabajo! El libro, con ser una buena herramienta, no lo es todo. Para que usted alcance el nivel de competencia deseado, nuestro sistema pone a su disposición: el libro, la clase radial y la invitación a participar en un círculo de estudio.

• El libro cumple cuatro funciones: a. Texto, en el que encuentra la información y el desarrollo de los contenidos a estudiar. b. Pizarrón, para que durante la clase radial subraye ideas importantes o realice distintas actividades. c. Cuaderno de trabajo, con ejercicios para practicar lo aprendido. d. Herramienta de autoevaluación, cuando resuelve su autocontrol cada semana.

• La clase radial tiene como función principal explicar y facilitar la comprensión de los temas tratados en el libro.

Puede escuchar la clase radial en una emisora de su localidad, descargarlas en nuestra página www.iger.edu.gt o adquirirlas en cd en la coordinación regional.

• El círculo de estudio es el lugar para compartir y aprender juntos.

Aproveche estos recursos y apóyese en personas de su comunidad para resolver sus dudas.

10

IGER − Zaculeu

Nuestra metodología paso a paso Para facilitar su aprendizaje y aprovechar más y mejor el estudio cada semana, siga estos pasos. ¡No se salte ninguno!

1

Lea el contenido de la semana

2

Escuche la clase radial Con los 5 sentidos

Leer el contenido nos permite tener una idea general del tema: qué sabemos, con qué lo relacionamos, etc. Este primer contacto también nos hará caer en la cuenta del esfuerzo a realizar para aprender lo nuevo y nos pondrá "en onda" para la clase radial.

La clase radial es nuestra maestra. De ahí que el programa se llame "El Maestro en Casa". Las maestras y maestros locutores explican el contenido, proponen ejercicios y otros ejemplos para ampliar el tema.

3

Después de la clase radial, su trabajo personal Estudio y autocontrol Finalizada la clase radial es el momento de su trabajo personal. Distribuya su tiempo: es mejor un poco cada día, que todo la víspera.

4

Consulte sus dudas Un estudiante inteligente sabe cuándo pedir ayuda Consulte los temas que no le han quedado claros en otros libros, en internet, con familiares o amigos. Seguro que encontrará personas dispuestas a ayudarle.

5

Participe en un círculo de estudio Aprender juntos Póngase de acuerdo con otros estudiantes y organicen un círculo de estudio. Soliciten la ayuda de alguna persona voluntaria de la comunidad. Eso les ayudará a resolver dudas y reforzar lo aprendido. Además, tendrán la oportunidad de intercambiar aprendizajes, ideas y sentimientos. Recuerde que siempre puede acudir a su tutor asignado.


11

¿Cómo aprovechar mejor su estudio? • Busque un lugar cómodo y con buena iluminación. Es importante que se aleje del ruido y de las distracciones. • Elija un horario para trabajar y estudiar. La constancia y la disciplina son sus mejores compañeras de estudio. • Lea con atención las instrucciones de los ejercicios antes de resolverlos. • Consulte sus dudas con otras personas de su comunidad que puedan ayudarle.

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IGER − Zaculeu

1 Suma y resta con números mayas II ¿Qué encontrará esta semana? Estelas mayas Numeración maya Tablas de multiplicar del 1 al 10 Área sombreada de figuras geométricas

Esta semana logrará:  Descifrar la fecha inscrita en una estela maya.  Convertir números del sistema maya al sistema decimal.  Sumar y restar números en el sistema de numeración maya.  Practicar la agilidad de cálculo mental con la multiplicación.  Calcular el área de la región sombreada en figuras geométricas.  Identificar el elemento que no guarda relación en una serie de figuras. 


13

¡Para comenzar! Estelas mayas introducción

Las estelas son monumentos que los antiguos mayas elaboraban para conmemorar eventos importantes como la llegada de un nuevo rey o la victoria de algún guerrero importante. La lectura de una estela se comienza en la parte superior con un glifo introductorio que anuncia: “aquí viene una fecha importante”. Siempre es el mismo, solo cambia la cabeza del centro, que varía según el mes. Luego, leyendo de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha, cada glifo representa un periodo de tiempo en este orden: 1 bak'tun (144 000 días), 1 k'atun (7200 días), 1 tun (360 días), 1 winal (20 días) y 1 k'in (1 día). Cada uno de estos glifos lleva por delante un número maya que denota cuántos periodos se consideran en cada fila. Si un glifo no tiene número, se toma como cero. Estela 1

De esta manera la fecha que vemos en la estela 1 se lee así: 9 bak'tun + 15 k'atun + 10 tun + 0 winal + 0 k'in Esta fecha indica el número de días que ha transcurrido desde el inicio de la era Maya, 12 de agosto de 3114 a.C. Finalmente, suelen aparecer otros glifos que describen datos del calendario lunar, ciclos rituales, nombre del nuevo soberano, etc. El último glifo de la estela 1 es 3 ajaw que indica el tercer periodo ajaw del calendario de la cuenta larga.

¡A trabajar! Con la información que acaba de leer descubra la fecha que se describe en la estela 2. Escriba sobre la línea el número que corresponde a cada período de tiempo. Siga el orden indicado por las líneas punteadas.

bak'tun +

k'atun

tun

winal

k'in

+

¿Qué fecha es? Muy bien, es el 13 bak'tun que ocurrió el 21 de diciembre de 2012.

14

IGER − Zaculeu

Estela 2

El mundo de la matemática 1. Numeración maya Comencemos este nuevo curso recordando la numeración maya que estudiamos en el grupo Utatlán. Esta semana repasaremos la suma y la resta. Recuerde que la numeración maya se basa en un sistema vigesimal (base 20) y emplea tres símbolos para representar todas las cantidades.

= 1 5

• La concha o caparazón representa el cero. • El punto representa al uno. • La barra horizontal representa el cinco.

= 0 = 1 = 5

Los primeros 19 números son: = 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

!

"

#

$

%

&

/

(

)

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

El sistema de numeración maya, además de vigesimal, también es posicional. Eso quiere decir que el valor de un número depende de su posición vertical. Las posiciones siguen el orden de abajo hacia arriba. La tabla siguiente muestra los valores posicionales hasta la cuarta posición. posición valor posicional 4

203 = 8000

3

202 = 400

2

201 = 20

1

200 = 1

Recuerde: Las cantidades que van formando las diferentes cifras en el sistema vigesimal se toman en grupos de 20.

Ejercicio 1 Escriba sobre la línea el número del sistema decimal que representa cada símbolo maya. Tiene un ejemplo. 0)

"=

1)

6=

2)

==

12

3) /=

6)

#=

4)

8=

7)

4=

5)

%=

8 ) 7 = Matemática − Semana 1

15

1.1 Conversión de numeración maya al sistema decimal

De base 20 a base 10

En el grupo Utatlán aprendimos a convertir los números mayas al sistema decimal. Lo hicimos con números que ocupaban hasta la tercera posición. Esta semana añadiremos un nivel más, operaremos con números hasta la cuarta posición. Para operar debemos seguir los mismos pasos que aprendimos. Recordémoslos. • Multiplicamos el valor posicional por el número decimal que representa la cifra maya. • Sumamos los resultados. Fíjese en los ejemplos.

2 5 6 "

5 " % 8

8000 x 2 = 16 000 400 x 5 =

2000

20 x 6 =

120

1 x 12 =

12

8000 x 5 = 40 000 400 x 12 =

4800

20 x 15 =

300

1x8=

8

+ 18 132

+ 45 108

Ejercicio 2 Convierta los números mayas a sistema decimal. Guíese por el ejemplo. 0)

3 5 9 (

8000 x 3 = 24 000 1) 400 x 5 =

2000

20 x 9 =

180

1 x 18 =

18

2 3 5 "

+ 26 198

2)

16

5 2 = 3 IGER − Zaculeu

3)

0 5 " (

8000 x

=

400 x

=

20 x

=

1x

=

2. Suma con números mayas Como le indicamos en el apartado anterior, esta vez vamos a operar con un nivel más en la numeración maya. Sumaremos con números hasta la cuarta posición. Recordemos los pasos: • Escribir los sumandos en una tabla en su posición correspondiente. • Sumar símbolos iguales, desde la primera posición hacia arriba. • Realizar las transformaciones necesarias. Recuerde: – Cinco puntos forman o se convierten en una barra en la misma posición. – Cuatro barras forman un punto en la posición inmediata superior. Refresquemos nuestra memoria con un ejemplo de la suma de dos números hasta la tercera posición como vimos en el grupo Utatlán. Esta vez haremos las transformaciones necesarias en la misma tabla añadiendo una columna a la derecha. Sumemos

2 7 0

+

4 3 5

• Escribimos los sumandos en una tabla y sumamos los números en la cuarta columna.

400

• Los cinco puntos se convierten en una barra en la misma posición.

1

20

1 6 2 4 4 7 3 4 5 0 0 5 % %

Veamos ahora el ejemplo de una suma de números hasta la cuarta posición. Preste atención a las cuatro barras que se convierten en un punto en la posición inmediata superior. Sumemos

5 6 2 %

+

2 6 1 5


8000

• Cuatro barras se convierten en un punto en la posición inmediata superior.

20

5 2 7 7 6 6 " " 2 1 3 4

1

% 5

400

= Matemática − Semana 1

17

Veamos otro ejemplo. Sumemos

1 8 = 5

+

6 3 9 4 8000


400 20

• Cinco puntos se convierten en una barra en la misma posición.

1

1 8 = 5

6 3 9 4

Ejercicio 3 Aplique el procedimiento que aprendió para resolver las sumas con números mayas. 1)

1 4 7 3

+

3 6 1 2 8000

•

Escriba los sumandos en una tabla y sume los números en la cuarta columna.

•

Cinco puntos se convierten en una barra en la misma posición.

2)

18

1 = 1 %

+

20 1

1 5 = 5

•

Escriba los sumandos en una tabla y sume los números en la cuarta columna.

•

Cuatro barras se convierten en un punto en la posición inmediata superior.

IGER − Zaculeu

400

8000 400 20 1

7 1 4 5 9 9

7 ! 9 9

3. Resta con números mayas El sentido de la resta es quitar una cantidad menor de otra mayor. Para restar en numeración maya, seguimos los pasos que hemos aprendido. Veamos: • Escribir en una tabla minuendo y sustraendo. • Restar símbolos iguales en cada posición, de abajo hacia arriba. • Si la cantidad de puntos en el minuendo es menor que en el sustraendo, hay que transformar una barra en cinco puntos. Como el procedimiento es bastante sencillo, esta vez comenzaremos el primer ejemplo de la resta con números hasta la cuarta posición. Fíjese: Restemos

3 8 4 6

–

2 6 1 5

• Escribimos minuendo y sustraendo en una tabla y restamos números iguales en ambas partes. • Escribimos en la última columna los números que no se eliminaron y ese es el resultado.

8000 400 20 1

3 8 4 6

2 6 1 5

1 2 3 1

Veamos un ejemplo de cuando la cantidad de puntos en el minuendo es menor que en el sustraendo. Preste atención. Restemos

5 0 7 "

–

3 6 2 0

• Escribimos minuendo y sustraendo en una tabla. Hay que transformar en los dos niveles superiores una barra en cinco puntos. • Escribimos en la última columna los números que no se eliminaron y ese es el resultado.

8000 400 20 1

4 3 2 4 5 6 4 7 2 5 " 0 2

Observe que en la tercera y cuarta posición escribimos cinco puntos en el minuendo, en vez de la barra horizontal, para restar la cantidad de puntos que hay en el sustraendo. Matemática − Semana 1

19

Ejercicio 4 Aplique el procedimiento que aprendió y resuelva las restas con números mayas que se presentan a continuación. Tiene un ejemplo. 0)

5 3 8 0 •

Escriba minuendo y sustraendo en una tabla. Reste en ambas partes.

•

Escriba en la última columna los números que no se eliminaron y ese es el resultado.

1)

% 5 7 3 •

•

2)

•

–

8000 400 20 1

5 3 6 3

Escriba minuendo y sustraendo en una tabla, transformando una barra en cinco puntos para restar.

8000

Escriba en la última columna los números que no se eliminaron y ese es el resultado.

20

5 7 3 " •

20

–

3 1 5 5

–

1

4 2 = 5

Escriba minuendo y sustraendo en una tabla, transformando una barra en cinco puntos para restar. Escriba en la última columna los números que no se eliminaron y ese es el resultado.

IGER − Zaculeu

400

8000 400 20 1

4 3 8 0

3 1 5 5

2 2 3 5

Resumen 1.

El sistema de numeración maya se basa en un sistema vigesimal que utiliza tres símbolos para representar todas las cantidades. • La concha o caparazón representa el cero. • El punto representa el uno. • La barra horizontal representa el cinco.

= 1 5

= 0 = 1 = 5

Además de vigesimal, el sistema de numeración maya también es posicional. Esto quiere decir que el valor de un número depende del lugar que ocupa en la tabla de posiciones. posición valor posicional 4

203 = 8000

3

202 = 400

2

201 = 20

1

200 = 1

1.1 Conversión de numeración maya a sistema decimal

8000 x 1 = 8000

1 2 9 5

• Multiplicamos el valor posicional por el número decimal que representa la cifra maya. • Sumamos los resultados.

400 x 2 = 800 20 x 9 = 180 1x5=

5

+ 8985 2.

Suma con números mayas

Para sumar números mayas, escribimos los sumandos en una tabla. Sumamos números iguales, teniendo en cuenta estas reglas: – Cinco puntos se convierten en una barra en la misma posición. – Cuatro barras se convierten en un punto en la posición inmediata superior.

3.

Resta con números mayas

Para restar, escribimos minuendo y sustraendo en una tabla, restamos símbolos iguales en ambas columnas. Si la cantidad de puntos en el minuendo es menor que en el sustraendo, se transforma una barra en cinco puntos.

7

+

( 1 5

20

7 (

1

0 ( 20 1

–

7 3

4 5 7 3 ( 3 % Matemática − Semana 1

21

Autocontrol Actividad 1.

Demuestre lo aprendido

Escriba los números mayas en números del sistema decimal. Tiene un ejemplo. 0)

3=

4)

#=

8) % =

1)

==

5)

4=

9) 7 =

2)

6=

6)

8=

10)

&=

3)

9=

7)

!=

11)

5=

3

Actividad 2.


A. Convierta los números mayas a sistema decimal. Tiene un ejemplo. 0)

6 0 % )

8000 x 6 = 48 000 1) 2 400 x 10 =

4000

20 x 15 =

300

1 x 19 =

19

6 0 "

+ 52 319 2)

3) %

0 4 7 "

= 0 $

B. Realice las sumas con números mayas. Tiene un ejemplo. 0)

5 2 6 5 8000 400 20

22

1

+

5 2 6 5

IGER − Zaculeu

5 2 3 7 5 2 3 7

1) 3

2 5 = 0 4 9 "

8000 400 20 1

+

1 5 1 4

2)

1 0 3

3) 0

= "

400

400

20

20

1

4)

4 = 5 %

+

4 2 3

+

6 % 5 5

1

5) 3

= " &

8000

8000

400

400

20

20

1

+

5 1 #

+

2 8 3 7

–

4 2 5

–

" 6 = "

1

C. Realice las restas con números mayas. 1)

3 " 6

–

2 7 5

5 "

400

400

20

20

1

1

3)

2) 7

9 8 ! 6

–

6 5 7 5

4)

% 8 " )

8000

8000

400

400

20

20

1

1


23

Agilidad de cálculo mental ¡A ponerse en forma! Recupere la velocidad de cálculo mental. Escriba el resultado de las multiplicaciones lo más rápido que pueda, no utilice calculadora ni tablas. A. 0) 6 x 3 =

18

8) 5 x 5 =

16) 7 x 7 =

1) 2 x 4 =

9) 6 x 4 =

17) 4 x 8 =

2) 7 x 5 =

10) 3 x 5 =

18) 9 x 9 =

3) 4 x 9 =

11) 2 x 9 =

19) 8 x 2 =

4) 3 x 8 =

12) 4 x 3 =

20) 5 x 6 =

5) 6 x 2 =

13) 7 x 1 =

21) 4 x 4 =

6) 9 x 6 =

14) 9 x 5 =

22) 3 x 7 =

7) 8 x 7 =

15) 5 x 7 =

23) 9 x 3 =

B. 4

= 24

8) 7 x

= 42

16) 6 x

= 30

1) 3 x

= 21

9) 8 x

= 64

17) 5 x

=0

2) 9 x

= 27

10) 9 x

= 36

18) 4 x

= 32

3) 7 x

= 28

11) 4 x

= 16

19) 7 x

= 14

4) 5 x

= 30

12) 6 x

= 18

20) 9 x

= 45

5) 8 x

= 40

13) 9 x

=9

21) 2 x

= 16

6) 4 x

= 36

14) 7 x

=7

22) 5 x

= 35

7) 3 x

= 24

15) 9 x

= 81

23) 8 x

= 48

0) 6 x

C.

24

5

x 7 = 35

8)

x 9 = 27

16)

x 6 = 30

1)

x 6 = 36

9)

x 3 = 12

17)

x 5 = 25

2)

x 4 = 20

10)

x 9 = 81

18)

x 7 = 21

3)

x 8 = 48

11)

x 6 = 42

19)

x 8 = 56

4)

x 4 = 24

12)

x 5 = 25

20)

x 4 = 12

5)

x 5 = 45

13)

x 7 = 70

21)

x 9 = 54

6)

x 9 = 36

14)

x 8 = 72

22)

x 6 = 60

7)

x 7 = 56

15)

x1=8

23)

x 1 = 50

0)

IGER − Zaculeu

Razonamiento lógico A. Calculemos el área de figuras sombreadas. Este tipo de ejercicios son comunes en las pruebas del Mineduc. Resolverlas le ayudará a desarrollar su habilidad espacial. Lea la información y observe con atención la figura. Luego, responda a la pregunta.

Si el cuadrado de la figura mide 4 cm por lado, ¿cuánto mide el área de la región sombreada?

4 cm

Para resolver el problema siga estos pasos: 1) Escriba cuántos triángulos forman la figura. 2) Escriba cuántos triángulos están sombreados. 3) Calcule la razón entre el número de triángulos sombreados y el total de triángulos. (El tema de razones y proporciones lo estudió en la semana 29 del grupo Quiriguá). Exprese su respuesta como una fracción y simplifíquela hasta su mínima expresión. 4) Calcule el área total del cuadrado. Recuerde A = , 2. 5) Multiplique el resultado del inciso 4 por la fracción que obtuvo en el inciso 3. El resultado que obtenga será el área de la región sombreada de la figura. B. Siga los pasos que aprendió en el ejercicio anterior para calcular el área de la región sombreada de cada figura. Hágalo en su cuaderno.

10 cm

8 cm

figura 1

figura 2

10 cm

12 cm

figura 3

figura 4


25

Desarrolle nuevas habilidades Relacione figuras. Esta actividad le ayudará a desarrollar su capacidad de observación. Las figuras de cada serie guardan una relación entre sí. Usted debe distinguir la que no cumple con esa relación. Marque con una equis (x) la figura que no se relaciona con las demás. El inciso 0 es un ejemplo. 0)

a.

b.

c.

d.

Todas las figuras de la serie tienen una flecha que apunta a las esquinas del cuadro. La figura del inciso c no cumple con esta condición, porque la flecha apunta hacia el centro de uno de los lados. 1)

2)

3)

4)

5)

6)

a.

b.

c.

d.

a.

b.

c.

d.

a.

b.

c.

d.

a.

b.

c.

d.

a.

b.

c.

d.

a.

b.

c.

d.

Revise su aprendizaje

Después de estudiar...

Marque con un cheque

26

la casilla que mejor indique su rendimiento.

Descifro la fecha inscrita en una estela maya. Convierto números del sistema maya al sistema decimal. Sumo y resto números en el sistema de numeración maya. Practico la agilidad de cálculo mental con la multiplicación. Calculo el área de la región sombreada en figuras geométricas. Identifico el elemento que no guarda relación en una serie de figuras. IGER − Zaculeu

en no logrado proceso logrado

2 Multiplicación y división con números mayas ¿Qué encontrará esta semana? El cero maya Multiplicación y división con números mayas Divisiones exactas Acertijos matemáticos

Esta semana logrará:  Calcular el valor posicional de las cifras en los números mayas.  Multiplicar y dividir con exactitud números mayas.  Practicar el cálculo mental resolviendo divisiones exactas.  Multiplicar con el método Tzeltal. 


27

¡Para comenzar! El cero maya Un punto de partida Sin duda, uno de los aportes más importantes de los mayas fue el descubrimiento del valor del cero. Este número se puede representar de maneras distintas. La más conocida es la figura de la concha que hemos empleado hasta ahora en nuestro curso. Otra forma de representarlo es mediante la figura de una flor que significa un punto de partida, un origen común. Esto es porque, al contrario del concepto occidental de cero como vacío, en la matemática maya se entiende como el todo, la plenitud, el principio, el cierre de un ciclo. Observe en la ilustración los signos y glifos con los que los mayas expresaban el valor del cero. Las figuras de la fila superior son comunes en los códices, las de la fila inferior se observan más en las estelas y en los edificios.

¡A trabajar! En la estela C de Quiriguá hay glifos que indican el inicio de la cuenta larga del 13 bak'tún. Le mostramos algunos en las imágenes de abajo. ¿Puede identificar la figura que representa al cero? Rodéela con una línea.

28

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. Multiplicación con números mayas ¿Recuerda cómo se leen las estelas mayas? En la semana 1 vimos que estos monumentos representan fechas importantes que se interpretan multiplicando números por jeroglíficos que simbolizan distintos periodos de tiempo. Aprendamos a multiplicar, como lo hacían los antiguos mayas. Veamos un ejemplo y sigamos los pasos para resolverlo: Multipliquemos

1 3

x

1 2

• Escribimos los factores en la parte externa de la tabla. El multiplicando al lado izquierdo en posición vertical y respetando el orden posicional: la veintena sobre la unidad.

1 3 Multiplicando Multiplicador

• Escribimos el multiplicador en la parte superior en posición horizontal. La veintena se coloca a la izquierda sobre la primera columna. La unidad se coloca a la derecha sobre la segunda columna. • Multiplicamos cada número del multiplicando por la veintena del multiplicador. Escribimos los resultados de abajo hacia arriba.

• Luego, multiplicamos cada número del multiplicando por la unidad del multiplicador. Escribimos los resultados de abajo hacia arriba.

• Sumamos los resultados de forma diagonal y escribimos el total en la tabla de posiciones.

1 2 1 3 1 2

La multiplicación con números mayas se opera igual que en el sistema decimal. 1 x 1 = 1 x =

1 1 3 3

1 2 1 1 2

1 x 3 = 3 x =

3 3 6 1 2 1 1 2

5

3 3 6

6

1 Resultado o producto


29

Un caso especial A veces la multiplicación se realiza con números que solo tienen cifras en la posición de la unidad. Multipliquemos

2 5

x

3

• Para mantener el orden se coloca un cero en la posición de la veintena que está desocupada. Luego, se siguen los pasos para multiplicar que vimos en el ejemplo anterior. Fíjese. • Multiplicamos cada número del multiplicando por la veintena del multiplicador. Escribimos los resultados de abajo hacia arriba.

• Luego, multiplicamos cada número del multiplicando por la unidad del multiplicador. Escribimos los resultados de abajo hacia arriba.

• Sumamos los resultados de forma diagonal y escribimos el total en la tabla de posiciones.

= 3 2 5 = 3 2 = 5 = = 3 2 = 6 5 = % = 3

=

2 = 6

6

5 = %

%

Ejercicio 1 1) Multiplique

30

1 7

x

2 1 2 1

•

Escriba los factores en la parte externa de la tabla.

•

Multiplique cada número de la columna por cada número de la fila, de abajo hacia arriba.

1

•

Sume los productos en forma diagonal y escriba el resultado en la tabla de posiciones.

7

IGER − Zaculeu

2) Multiplique

1 3

x

1 1

•


•


•


3) Multiplique

5 5

x

2

•


•


•

Sume los productos en forma diagonal y escriba los resultados en la tabla de posiciones.

4) Multiplique

1 3 5

x

3 1

•


•


•


5) Multiplique

1 3 1

x

3 5

•


•


•



31

2. División con números mayas El sentido de la división es repartir una cantidad en otra. Sigamos los pasos para dividir como lo hacían los mayas. Los mayas operaban la división siguiendo este procedimiento: Dividamos

2 2

÷

2

• Escribimos en la tabla el dividendo y fuera de ella el divisor.

Divisor

2 1 2 2

• Dividimos la unidad y escribimos el resultado a la derecha.

2 1 2 1 2

Dividamos

0 0

÷

2 1 2 1 2

Cociente

5

• Escribimos en la tabla el dividendo y fuera de ella el divisor.

• Dividimos el número de la veintena y escribimos el resultado a la derecha.

• Dividimos la unidad y escribimos el resultado a la derecha.

• Los resultados de la derecha forman el cociente de la división.

IGER − Zaculeu

2 2 2

• Dividimos el número de la veintena y escribimos el resultado a la derecha.

• Los resultados de la derecha forman el cociente de la división.

32

Dividendo

0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 0 5

2

2 2 2 2

Ejercicio 2 Resuelva las divisiones de números mayas. 1) Divida

5 %

÷

5

•

Escriba en la tabla el dividendo y fuera de ella el divisor.

•

Divida el número de la veintena y escriba el resultado a la derecha.

•

Divida la unidad y escriba el resultado a la derecha.

2) Divida

4 8

÷

5 % 5

4

•

Escriba en la tabla el dividendo y fuera de ella el divisor.

•

Divida el número de la veintena y escriba el resultado a la derecha.

•

Divida la unidad y escriba el resultado a la derecha.

4 8 4

Resumen 1. Multiplicación con números mayas

Para multiplicar números mayas, escribimos los factores en la parte externa de la tabla, multiplicamos el número de la columna por cada número de la fila, sumamos los productos en forma diagonal, escribimos el resultado en una tabla de posiciones.

= 5

=

1 = 5

5

2 = 0

0

2. División con números mayas

Para dividir números mayas, escribimos en una tabla el dividendo y debajo del dividendo, fuera de la tabla, el divisor. Dividimos el número de la veintena y escribimos el resultado en la tabla de posiciones, dividimos la unidad y escribimos el resultado en la tabla de posiciones.

% 0 5

3 2


33



A. Aplique el procedimiento que aprendió para multiplicar con números mayas y resuelva cada operación. Tiene un ejemplo. 0)

2)

1 7

x

2

= 2 1 = 2 7 = $ 2 3

x

4

1 4

x

4 2

5 1

x

7

= 7 1 2

3) 5

4

5) 2

1

2 3

7) 4

2

34

= 2 $

x

x

2 1

x

3 5

x

3 2

6)

2

4)

1) 1

IGER − Zaculeu

B. Aplique el procedimiento que aprendió para dividir con números mayas y resuelva cada operación. Tiene un ejemplo. 0)

3 9

3 1 9 3 3

2)

% 0

3

÷

÷

÷

3

5

÷

6

3)

" (

0 %

÷

5

5)

& 8

÷

8

÷

2

6)

6

4)

1) "

( 8

÷

2

7)

" &


35

Agilidad de cálculo mental Los ejercicios de cálculo mental le ayudan a mejorar sus capacidades de memoria, concentración y atención. A continuación le proponemos dos series de operaciones matemáticas: la primera de multiplicaciones y la segunda de divisiones. Resuélvalas en el menor tiempo posible. ¡Comience ahora! A. 64

12) 5 x 3 =

24) 4 x 11 =

1) 4 x 9 =

13) 8 x 7 =

25) 8 x 6 =

2) 5 x 6 =

14) 6 x 2 =

26) 6 x 10 =

3) 2 x 9 =

15) 7 x 7 =

27) 4 x 12 =

4) 3 x 8 =

16) 5 x 9 =

28) 3 x 13 =

5) 6 x 1 =

17) 6 x 7 =

29) 10 x 10 =

6) 8 x 4 =

18) 4 x 7 =

30) 25 x 10 =

7) 0 x 6 =

19) 8 x 5 =

31) 60 x 10 =

8) 3 x 7 =

20) 9 x 3 =

32) 36 x 10 =

9) 9 x 9 =

21) 2 x 8 =

33) 12 x 10 =

10) 6 x 4 =

22) 7 x 4 =

34) 48 x 10 =

11) 7 x 9 =

23) 9 x 6 =

35) 50 x 10 =

12) 45 ÷ 5 =

24) 60 ÷ 10 =

1) 42 ÷ 7 =

13) 81 ÷ 9 =

25) 44 ÷ 11 =

2) 18 ÷ 2 =

14) 36 ÷ 6 =

26) 45 ÷ 15 =

3) 15 ÷ 5 =

15) 63 ÷ 7 =

27) 60 ÷ 20 =

4) 21 ÷ 7 =

16) 40 ÷ 5 =

28) 90 ÷ 30 =

5) 49 ÷ 7 =

17) 15 ÷ 3 =

29) 48 ÷ 12 =

6) 65 ÷ 1 =

18) 14 ÷ 2 =

30) 25 ÷ 25 =

7) 72 ÷ 9 =

19) 36 ÷ 9 =

31) 45 ÷ 5 =

8) 28 ÷ 4 =

20) 27 ÷ 3 =

32) 100 ÷ 10 =

9) 64 ÷ 8 =

21) 63 ÷ 9 =

33) 100 ÷ 25 =

10) 32 ÷ 4 =

22) 50 ÷ 5 =

34) 400 ÷ 40 =

11) 54 ÷ 9 =

23) 16 ÷ 8 =

35) 800 ÷ 80 =

0) 8 x 8 =

B. 0) 25 ÷ 5 =

36

IGER − Zaculeu

5

Razonamiento lógico A continuación le proponemos una serie de acertijos matemáticos. Resolverlos le ayudará a desarrollar el pensamiento lógico y a mejorar la capacidad de razonar. Determine el número que cumple con las condiciones que se dan en cada inciso. 0) a. El número es menor que 50

c. El número es un múltiplo de 8

b. El número es mayor que 32

d. Es divisible entre 10

El número es:

La primera y la segunda premisas indican que el número está entre 50 y 32

La tercera y cuarta, señalan que los múltiplos en este rango son 40 y 48, pero solo 40 es divisible entre 10, por lo tanto el número es 40

40

1) a. El número es menor que 150

c. El número es un múltiplo de 25


d. La suma de sus dígitos es igual a 8

El número es:

2) a. El número es múltiplo de 4

c. No es divisible entre 7

b. Es un número de dos dígitos


El número es:

3) a. El número está entre 350 y 400

c. Cada dígito es impar

b. El número es divisible entre 5

d. La suma de sus digitos es igual a 15

El número es:

4) a. El número es menor que 60

c. La suma de sus dígitos es igual 11


d. El número es un múltiplo de 8

El número es:

5) a. Es un número menor que 151

c. Es un número primo

b. Es un número mayor que 131


El número es:

6) a. Es un número de 3 dígitos

c. Es divisor de 1000

b. Es múltiplo de 2, 4, 5 y 10


El número es: Matemática − Semana 2

37

Desarrolle nuevas habilidades Método Tzeltal de multiplicación El método Tzeltal de multiplicación ofrece una manera fácil de multiplicar utilizando una red de rayas y puntos que facilitan el procedimiento. Aprendamos este método multiplicando 3 x 2. Preste atención. • Trazamos 3 líneas horizontales para representar el multiplicando. Observe la figura. • Trazamos 2 líneas verticales para representar el multiplicador.

6

• Contamos los puntos de la intersección para obtener el resultado 6. Ahora le toca a usted. Multiplique 4 x 3. Le ayudamos con las rectas que representan al número 4.

Revise su aprendizaje Marque con un cheque



Calculo el valor posicional de las cifras en los números mayas. Multiplico y dividido con exactitud números mayas. Practico el cálculo mental resolviendo divisiones exactas. Multiplico con el método Tzeltal.

38

IGER − Zaculeu


3 Lógica de proposiciones ¿Qué encontrará esta semana? Un problema de lógica La lógica, las proposiciones y su representación, clasificación de las proposiciones Tablas de multiplicar del 1 al 10 Problemas de lógica

Esta semana logrará:  Conocer el campo de estudio de la lógica.  Distinguir una proposición de una expresión que no es proposición.  Utilizar el lenguaje simbólico de la lógica para representar información.  Representar proposiciones en forma simbólica y realizar su negación.  Utilizar el pensamiento lógico para determinar el valor de verdad de situaciones cotidianas.  Practicar el cálculo mental. 


39

¡Para comenzar! Un problema de lógica Un buen razonamiento a través de la lógica, nos permite tomar la decisión correcta. Para entrar al mundo del razonamiento, vamos a practicar. Lea con atención. Cuatro amigos, Marta, Susana, Carlos y Roberto, forman el comité de vecinos. Los cargos en el comité son: presidente, vicepresidente, secretario y tesorero. Sabemos que: 1. La persona que está sentada frente a Carlos es secretario. 2. A la derecha de Carlos está situada la persona que es presidente. 3. Roberto y Marta están sentados uno al lado del otro y ninguno de los dos tiene cargo en la presidencia. 4. El tesorero es mujer. Determine como están sentados e indique qué cargo tiene cada uno de ellos. Vamos a ordenar nuestro pensamiento. Con la información que nos da el problema y el esquema, podemos encontrar la solución. En la línea superior debemos escribir el nombre y en la línea de abajo el cargo que ocupa cada persona. Le ayudamos con un ejemplo. Carlos

Con la información del esquema, podemos ver cómo están ubicados. 1. La persona que tiene el cargo de presidente es: 2. La persona que tiene el cargo de vicepresidente es: 3. Frente a Carlos está sentado: 4. Marta ocupa el cargo de:

40

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. La lógica

Razonamiento correcto

Si en el titular de una noticia leyera: Los seres humanos pertenecen a la familia de las aves, su sentido de la lógica le advertiría inmediatamente de que es una afirmación falsa. La lógica es una ciencia que estudia métodos, procedimientos y técnicas para distinguir el razonamiento correcto o verdadero del incorrecto o falso.

La palabra lógica proviene de la palabra griega logos, que significa pensamiento o razón.

Esta ciencia utiliza un lenguaje propio representado por enunciados llamados proposiciones.

1.1 Las proposiciones y su representación Una proposición es una oración o enunciado que se puede calificar como verdadero o falso. Cada proposición se puede representar con cualquier letra minúscula, las más usadas son: p, q, r, s, t… Algunos ejemplos de proposiciones son: q: El año comienza con el mes de enero. r: Un cuadrado tiene cuatro lados iguales. ¡Atención! No son proposiciones las expresiones como: ¿Qué tal?, ¡Adiós!, ¿Qué hora es?, porque de ellas no podemos sacar una conclusión. Tampoco son proposiciones las oraciones imperativas (que indican una orden): Cierre la puerta; ni las desiderativas (que expresan un deseo): Ojalá que llueva.

Ejercicio 1 Lea atentamente cada expresión y clasifíquela como proposición o no proposición. Escriba una equis (x) en la columna correspondiente. Tiene un ejemplo. Expresión p: El manatí es un animal acuático.

Proposición

No proposición

x

b: ¿Le gusta la matemática? q: Guatemala es un país productor de azúcar. m: ¡Ayuda! c: Para cuidar el planeta es necesario reciclar la basura. d: El respeto es un valor.


41

1.2 Negación de proposiciones

No, es falso, no es cierto

En lógica podemos negar una proposición. La negación se representa escribiendo el signo negador “~” antes de la letra minúscula que representa la proposición. Este signo se puede leer como: "no", "es falso que", "no es cierto que". Observe los ejemplos: Proposición

Negación de las proposiciones

p: Los sapos cantan.

~p: Los sapos no cantan. ~p: Es falso que los sapos cantan. ~p: No es cierto que los sapos cantan.

q: El doble de 8 es 15.

~q: El doble de 8 no es 15. ~q: Es falso que el doble de 8 es 15. ~q: No es cierto que el doble de 8 es 15.

~r: Todo triángulo no tiene tres ángulos internos. ~r: Es falso que todo triángulo tiene tres ángulos r: Todo triángulo tiene tres ángulos internos.

internos.

~r: No es cierto que todo triángulo tiene tres ángulos internos.

Ejercicio 2 Lea cada proposición y escríbala debajo en forma negativa. Recuerde que puede utilizar cualquiera de las expresiones, "no", "es falso que" y "no es cierto que". El inciso 0 le sirve de ejemplo. 0) r: Solo los niños varones tienen derecho a la educación.

~r: No es cierto que solo los niños varones tienen derecho a la educación. 1) q: La vitamina A fortalece los huesos.

2) p: Miguel Ángel Asturias ganó el Premio Nobel de la Paz.

3) s: 3 al cuadrado es 9.

4) t: A menos árboles, más oxígeno.

42

IGER − Zaculeu

2. Clasificación de las proposiciones Las proposiciones lógicas se clasifican en simples y compuestas. Todas las proposiciones que hemos visto hasta ahora son simples. Estudiaremos las proposiciones compuestas la próxima semana.

2.1 Proposición simple cerrada Una proposición simple cerrada es un enunciado que se califica directamente como verdadero o falso. Preste atención a los ejemplos. p: Todos los humanos son mortales. Es una proposición verdadera (v). s: 4 por 8 es igual a 12. Es una proposición falsa (f).

2.2 Proposición simple abierta Una proposición simple abierta es un enunciado que depende del valor asignado a la variable para convertirse en verdadero o falso. Por ejemplo, la expresión: x es el mes que sigue a marzo, solo será verdadera si el valor de x es abril, porque abril es el mes que sigue a marzo. Será falsa si a x se le asigna un valor distinto, como enero o diciembre. En conclusión podemos decir que una proposición simple abierta se transforma en simple cerrada y verdadera si se sustituye la variable por el valor correcto.

Ejercicio 3 Rellene el círculo del valor que transforma las proposiciones abiertas en proposiciones cerradas y verdaderas. Luego, escríbala sobre la línea. Fíjese en el ejemplo. 0) r: v es una escritora guatemalteca.

Rosa Montero

Gioconda Belli

Carmen Matute

r: Carmen Matute es una escritora guatemalteca. 1) p: x es un país de Centroamérica.

Italia

México

Guatemala

Martes

Bisiesto

p: 2) q: y es un día de la semana.

Enero

q: Matemática − Semana 3

43

Resumen La lógica Es:

la ciencia que estudia métodos, procedimientos y técnicas para distinguir el razonamiento correcto o verdadero del incorrecto o falso. Se expresa mediante:

proposiciones Que son:

oraciones o enunciados que se pueden clasificar como verdaderos o falsos. Se representan con cualquier letra minúscula como p, q, r, s… Se clasifican en:

proposiciones simples cerradas

proposiciones simples abiertas

Son:

Son:

enunciados que se califican directamente como verdaderos o falsos.

enunciados que dependen del valor asignado a la variable para convertirse en verdaderos o falsos.

Por ejemplo:

Por ejemplo:

w: El trigo es un cereal.

p: 3 + x = 7

Investigue en la red... Ingrese a YouTube y vea este video en el que varios científicos explican qué es la lógica y sus aplicaciones: http://www.youtube.com/watch?v=0Y5g49moRrE En el enlace siguiente podrá divertirse con algunos juegos de razonamiento matemático. www.areaciencias.com/Razonamiento-matematico.htm

44

IGER − Zaculeu



A. Rellene el círculo de la respuesta correcta a cada pregunta para comprobar si conoce las definiciones de lógica, proposiciones y su representación. El número 0 le sirve de ejemplo. 0) ¿A cuál de las opciones corresponde la definición: Oración o enunciado que se puede clasificar como verdadero o falso?

Lógica Variable Proposición

1) ¿Cuál de las expresiones siguientes es una proposición?

Hermosa noche ¿Qué tal te ha ido? 7 es un número primo

2) ¿Cuál de las expresiones siguientes no es proposición?

Ponte los zapatos Junio tiene 30 días Marte es un planeta

3) ¿Qué símbolos utilizamos para representar proposiciones?

Letras minúsculas Letras mayúsculas Números naturales

4) ¿Qué ciencia se encarga de estudiar métodos y procedimientos para determinar el razonamiento correcto del incorrecto?

Física Lógica Biología

5) ¿Cuál de las expresiones siguientes no es proposición?

f: 5x = 25 p: ¡Auxilio! t: Iré mañana

6) De las opciones siguientes, ¿cuál es una proposición falsa?

d: 5 + 4 = 9 l: 3 es un número par m: 23 es un número impar

7) ¿Cuál de las proposiciones simples es abierta?

r: 2 + 3 = 5 v: 7 x 9 = 63 s: (–x)3 = –125

8) ¿Cuál de las proposiciones simples es cerrada?

e: x4 = 16 f: 18 ÷ b = 6 p: 144 = 12 Matemática − Semana 3

45

B. Lea cada expresión y clasifíquela como proposición o no proposición. Guíese por el ejemplo. 0) u: Todo número negativo es divisible.

Proposición

1) s: El antónimo de claro es oscuro. 2) j: ¿Escuchaste la clase radial? 3) w: La honestidad es un valor. 4) r: 9 es divisor de 36. 5) p: Apaga la luz. C. Escriba cuatro proposiciones. Tiene un ejemplo. 0)

p : Los bosques son fuente de oxígeno.

1)

:

2)

:

3)

:

4)

:

D. Escriba cuatro expresiones que no sean proposiciones. Le ayudamos con la primera. 0)

r : ¡Suerte!

1)

:

2)

:

3)

:

4)

:

E. Niegue las proposiciones con cualquiera de las formas: "no", "es falso que", "no es cierto que". Tiene un ejemplo. 0) p: Todos los metales son reciclables.

~p: No es cierto que todos los metales son reciclables.

1) q: Solo las vitaminas nos mantienen sanos. 2) m: Los niños deben trabajar en las coheterías. 3) c: 30 es múltiplo de 0.

46

IGER − Zaculeu

Actividad 2.


A. Como hemos estudiado esta semana, toda ecuación se puede considerar una proposición simple abierta. Resuelva las ecuaciones de la tabla y averigüe el valor de la variable para convertir cada proposición abierta en cerrada verdadera. Tiene un ejemplo. Proposición abierta

Valor de la variable

x=8

p: 8x = 64

Cerrada verdadera

p: 8(8) = 64

t: 4 = b 2

q: x ÷ 7 = 5 r: 10x = 60 s: 12 + 5 – b = 6 m: x2 = 100 w: 400 ÷ n = 40 u: 49 = a a: 3x = 27 d: 53 = y

B. Convierta las proposiciones abiertas en proposiciones cerradas verdaderas. Luego, niéguelas con cualquiera de las formas: "no", "es falso que", "no es cierto que". Tiene un ejemplo. 0) p: x es un sitio turístico de Guatemala. x = Atitlán

p: Atitlán

es un sitio turístico de Guatemala.

~p: Atitlán no

es un sitio turístico de Guatemala.

1) q: y es un nombre de mujer. y=

q: ~q:

2) n: z es una fruta cítrica. z=

n: ~n:

3) t: u es un órgano del sistema circulatorio. u=

t: ~t:

4) k: g es un número natural mayor que 5 y menor que 7. g=

k: ~k: Matemática − Semana 3

47

Agilidad de cálculo mental ¡A ponerse en forma! Recupere la velocidad de cálculo mental. Escriba el resultado de las multiplicaciones lo más rápido que pueda, no utilice calculadora ni tablas. A. 1) 2 x 4 =

9) 7 x 3 =

17) 8 x 5 =

2) 3 x 9 =

10) 2 x 8 =

18) 9 x 2 =

3) 1 x 6 =

11) 4 x 6 =

19) 6 x 8 =

4) 8 x 2 =

12) 6 x 9 =

20) 5 x 3 =

5) 5 x 5 =

13) 5 x 8 =

21) 1 x 2 =

6) 9 x 1 =

14) 1 x 0 =

22) 4 x 9 =

7) 4 x 4 =

15) 3 x 0 =

23) 3 x 4 =

8) 2 x 7 =

16) 3 x 7 =

24) 9 x 6 =

B. 1) 2 x

= 18

9) 5 x

= 50

17) 9 x

=9

2) 5 x

=5

10) 3 x

=9

18) 4 x

= 20

3) 9 x

= 54

11) 9 x

= 45

19) 9 x

= 81

4) 1 x

= 10

12) 4 x

= 16

20) 7 x

= 21

5) 3 x

= 21

13) 9 x

= 18

21) 8 x

= 48

6) 8 x

= 64

14) 7 x

= 28

22) 3 x

= 15

7) 4 x

= 20

15) 1 x

=4

23) 8 x

= 56

8) 9 x

= 90

16) 2 x

= 16

24) 4 x

= 40

C.

48

1)

x 5 = 40

8)

x 5 = 30

15)

x 10 = 80

2)

x 6 = 60

9)

x 6 = 30

16)

x 10 = 10

3)

x 9 = 63

10)

x 8 = 56

17)

x 10 = 50

4)

x3=3

11)

x1=1

18)

x 10 = 90

5)

x 4 = 20

12)

x 6 = 12

19)

x 10 = 20

6)

x 5 = 35

13)

x 3 = 15

20)

x 10 = 70

7)

x 4 = 16

14)

x 8 = 32

21)

x 10 = 100

IGER − Zaculeu

Razonamiento lógico A. Resuelva los problemas siguientes utilizando la lógica y las operaciones aritméticas. 1) Con tres frutas diferentes: papaya, sandía y piña se preparan jugos deliciosos. ¿Cuántos sabores diferentes de jugo se podrán preparar con estas frutas? Ayúdese completando la tabla. 1 fruta 2 frutas 3 frutas

En total se pueden preparar

sabores diferentes.

2) A un señor se le pregunta la hora y contesta: "dentro de 20 minutos mi reloj marcará las 10:30". Si el reloj está adelantado 5 minutos, ¿qué hora fue hace 10 minutos exactamente? 3) Andrea, Braulio, Berta y Roberto están sentados alrededor de una mesa. En una ronda de números Andrea dice 52, Braulio 51, Berta 50, Roberto 49; así sucesivamente. ¿Quién dirá el número 1? B. Complete la tabla de 3 filas por 3 columnas, con los números del 1 al 9 y un número en cada cuadro, teniendo en cuenta que: a. 3, 6, 8, están en la horizontal superior. b. 5, 7, 9, están en la horizontal inferior.

8

6 1

c. 1, 2, 3, 6, 7, 9, no están en la vertical izquierda. d. 1, 3, 4, 5, 8, 9, no están en la vertical derecha. C. En esta actividad le invitamos a divertirse resolviendo algunos acertijos lógicos. La mayoría se resuelven aplicando el sentido común. Responda lo más rápido que pueda. 1) Imagine que está en una carrera y adelanta al segundo lugar. ¿En qué posición va ahora? 2) Indique cuántas veces se puede restar 10 de 100. 3) ¿Por qué una persona que vive en Escuintla no puede ser enterrada en Petén?


49

Desarrolle nuevas habilidades Ejercite su inteligencia espacial, le ayudará a estimar volúmenes a golpe de vista. Para ello debe contar lo más rápido posible y escribir el número de cubos en cada pila. Tiene un ejemplo. ¡Atención! Algunos cubos de enfrente tapan parcial o totalmente a los de atrás.

2)

1)

Solución

3)

Solución

4)

Solución

5)

13

Solución

6)

Solución

Solución




50


Conozco el campo de estudio de la lógica. Distingo una proposición de una expresión que no es proposición. Utilizo el lenguaje simbólico de la lógica para representar información. Represento proposiciones en forma simbólica y realizo su negación. Utilizo el pensamiento lógico para determinar el valor de verdad de situaciones cotidianas. Practico el cálculo mental. IGER − Zaculeu


4 Conectivos lógicos y tablas de verdad ¿Qué encontrará esta semana? Practicar los símbolos que representan los conectivos lógicos Proposición compuesta Operaciones combinadas Secuencias lógicas

Esta semana logrará:  Practicar la escritura de los conectivos lógicos.  Distinguir proposiciones simples y compuestas.  Emplear conectivos lógicos para construir proposiciones compuestas.  Analizar información para determinar el valor de verdad de proposiciones.  Construir tablas de verdad.  Completar secuencias lógicas. 


51

¡Para comenzar! Práctica de un lenguaje nuevo La lógica matemática tiene un lenguaje especial que utiliza símbolos propios. Esta semana aprenderemos los signos de los conectivos lógicos. Para familiarizarnos con ellos y trazarlos con precisión, los vamos a practicar. Tome su lápiz y siga las flechas. Y (conjunción)

O (disyunción)

Entonces (condicional)

Si y solo si (Bicondicional)

52

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. Proposición compuesta

Dos o más proposiciones

La semana anterior estudiamos las proposiciones simples. Vimos que son enunciados que pueden ser verdaderos o falsos. En lenguaje simbólico se pueden representar con las letras p y q. p: La Tierra es un planeta. v q: El Sol es un satélite. f Si se fija, estas proposiciones son independientes, pero pueden unirse para formar una proposición compuesta. Por ejemplo: La Tierra es un planeta y el Sol es un satélite. p nexo q

El nexo "y" une las dos proposiciones anteriores. p y q

Una proposición compuesta consta de dos proposiciones simples que se unen mediante conectivos lógicos.

Recuerde del curso de Comunicación y Lenguaje que para unir dos o más oraciones se utilizan los nexos: y, o, ni…

Estudiaremos estos conectivos en el apartado siguiente.

Ejercicio 1 Lea cada proposición de la izquierda y escriba sobre la línea si es simple o compuesta. Tiene un ejemplo. compuesta 0) Hace frío o hace calor. 1) Tengo un hijo de seis años y una hija de tres. 2) Venus es una estrella visible desde la Tierra. 3) El jaguar es un carnívoro y el venado es un herbívoro. 4) Llamo por teléfono o envío un mensaje de texto. 5) La limonada está hecha con limón. 6) Come sano y crece bien. 7) Las abejas fabrican miel a partir del néctar de las flores. 8) A diario reviso Facebook y el correo electrónico.


53

2. Conectivos lógicos

Para unir proposiciones

Los nexos que permiten conectar proposiciones simples para formar proposiciones compuestas son los conectivos lógicos. Se llaman "conectivos" porque conectan o unen proposiciones. Los conectivos lógicos más empleados son: conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Se los presentamos a continuación.

2.1 Conjunción: (/) En lógica, la conjunción corresponde a la conjunción copulativa "y", que estudió en la semana 2 de Comunicación y Lenguaje. Tiene como función unir dos proposiciones. Observe en la tabla cómo se construye una proposición compuesta con este conectivo. Hemos resaltado en rojo el símbolo de la conjunción y cómo se lee. Conectivo

Símbolo

Ejemplo

Se escribe

Se lee

Conjunción

/

Carmen estudia leyes y Antonio estudia pedagogía.

p/q

pyq

2.2 Disyunción: (0) La disyunción se comporta como la conjunción "o" de idioma español. Su función es unir proposiciones para darles un sentido de elección entre dos o más elementos. Vea en la tabla cómo se representa y cómo se lee el símbolo de la disyunción. Conectivo

Símbolo

Ejemplo

Se escribe

Se lee

Disyunción

0

Gabriela juega fútbol o juega baloncesto.

p0q

poq

Ejercicio 2 Escriba la representación simbólica de cada proposición como está en el ejemplo. 0) Voy al cine y después voy al estadio. 1) Andrés comerá tamales o comerá chuchitos. 2) Para cultivar la tierra se debe arar y abonar. 3) Nueve es un número primo o nueve es un número par.

54

IGER − Zaculeu

p/q

2.3 Condicional: ( ) El condicional también se conoce como implicación. Está formado por dos proposiciones. La primera es requisito indispensable para que se cumpla la segunda. En la tabla puede ver cómo se representa y cómo se lee el condicional. Conectivo

Símbolo

Condicional

Ejemplo

Se escribe

Se lee

Si la noticia es verdadera, entonces los hechos son reales.

p→q

Si p entonces q

2.4 Bicondicional: (

)

El conectivo bicondicional expresa la relación de equivalencia entre dos proposiciones. La primera se cumple solo si se cumple la segunda y la segunda se cumple solo si se cumple la primera. Vea en la tabla cómo se escribe y cómo se lee el conectivo bicondicional. Conectivo

Símbolo

Bicondicional

Ejemplo

Se escribe

Se lee

Esteban aprobará el grado si y solo si tiene buenas calificaciones.

p↔q

p si y solo si q

Ejercicio 3 Represente las proposiciones usando las letras p, q y empleando el conectivo lógico que corresponde. Tiene un ejemplo. 0) Si como tamal, entonces tomo chocolate. p → q 1) Iré a la fiesta si y solo si tengo descanso. 2) Si Ana es guatemalteca, entonces es centroamericana. 3) 16 es múltiplo de 4 si y solo si 16 es divisible entre 4. 4) Si está nublado, entonces lloverá. 5) Aprobarás el examen si y solo si estudias. 6) Si Pedro nació en Petén, entonces es guatemalteco. 7) Ganaré la carrera si y solo si entreno a diario. 8) Si no se demuestran los cargos, entonces es inocente. Matemática − Semana 4

55

3. Valores de verdad (v, f ) Los valores de verdad son los valores posibles que se puede asignar a una proposición. La lógica matemática solo admite dos valores de verdad: verdadero y falso. • Si una proposición es verdadera, se dice que tiene valor de verdad positivo y se representa con la letra v. • Si una proposición es falsa, se dice que tiene valor de verdad negativo y se representa con la letra f. ¡Atención! El valor de verdad de una proposición cambia cuando se antepone el signo negador “~”. Por ejemplo:

p: las plantas son seres vivos. v

~p: No es cierto que las plantas son seres vivos. f

q: Cobán es un municipio de Quetzaltenango. f

~q: Cobán no es un municipio de Quetzaltenango. v

¿Las plantas tienen vida o son seres inanimados? Correcto, las plantas tienen vida. Por eso la proposición p es verdadera. La negación de la proposición p es falsa, porque las plantas sí son seres vivos. Como usted sabe, Cobán es un municipio y cabecera departamental de Alta Verapaz. Por lo tanto la proposición q es falsa. La negación de la proposición q es verdadera, porque es cierto que Cobán no es un municipio de Quetzaltenango.

Ejercicio 4 Determine el valor de verdad de las proposiciones, escriba una v si es verdadera o una f si es falsa. Tiene un ejemplo. 0) w: Todo triángulo tiene tres lados.

~w: No es cierto que todo triángulo tiene tres lados.

1) g: Viejo es sinónimo de nuevo.

~g: Viejo no es sinónimo de nuevo.

2) j: El número 15 es divisor de 4.

56

~j: El número 15 no es divisor de 4. IGER − Zaculeu

v f

3.1 Tablas de verdad Como usted ya sabe, las proposiciones simples pueden ser verdaderas o falsas. Determinar el valor de verdad o falsedad en las proposiciones compuestas no es tan sencillo, pero lo podemos establecer mediante las tablas de verdad. Una tabla de verdad es una representación gráfica de los valores de verdad o falsedad de una proposición. La tabla de verdad de una proposición compuesta por dos proposiciones simples p y q se construye siguiendo estos pasos: 1. Dibujamos una tabla de dos columnas y cinco filas. 2. En la fila superior escribimos las proposiciones p y q. 3. A la proposición p, le asignamos en su columna las posibilidades de verdadero y falso de dos en dos. 4. A la proposición q, le asignamos las posibilidades de verdadero y falso de uno en uno.

p

q

v

v

v

f

f

v

f

f

Los pasos 3 y 4 son una estrategia para asegurarnos de que escribimos todos los valores de verdad posibles para cada proposición El número de columnas de la tabla puede aumentar hacia la derecha. En cada columna nueva se anotará el valor de verdad que resulta de operar cada conectivo lógico.

p

~p

q

~q

v

f

v

f

v

f

f

v

Por ejemplo, la negación de las proposiciones p, q se escribe en dos columnas nuevas.

f

v

v

f

f

v

f

v

Esta información nos servirá para comprender el tema de la próxima semana. Repáselo con atención.

Ejercicio 5 Escriba la negación de las proposiciones r, s. Luego, complete la tabla de verdad. r: Marte es un planeta del sistema solar. r

~r

s

~r:

v

f

v

v

f

f

f

v

f

f

s: La Luna es el satélite de la Tierra.

~s:

~s


57

Resumen Una proposición compuesta consta de dos proposiciones simples que se unen mediante conectivos lógicos. Los conectivos lógicos son símbolos que se utilizan para formar proposiciones compuestas. Son cuatro: Símbolo

Representación lógica

Se lee

Conjunción y

/

p/q

pyq

Disyunción o

0

p0q

poq

Condicional si...entonces

→

p

→q

Si p entonces q

Bicondicional si y solo si

↔

p

↔q

p si y solo si q

Conectivo

Los valores de verdad son los valores posibles que se pueden asignar a las proposiciones. La lógica matemática solo admite dos valores de verdad: verdadero (v) y falso (f). El valor de verdad de una proposición cambia cuando se antepone el signo negador "~". Una tabla de verdad es una representación gráfica de los valores de verdad o falsedad de una proposición. Se construye siguiendo estos pasos: 1. Dibujamos una tabla de dos columnas y cinco filas. 2. En la primera fila escribimos las proposiciones p y q. 3. A la proposición p, le asignamos las posibilidades de verdadero y falso de dos en dos. 4. A la proposición q, le asignamos las posibilidades de verdadero y falso de uno en uno.

p

q

v

v

v

f

f

v

f

f

Investigue en la red... En esta dirección de YouTube podrá ver un video que explica los conectivos lógicos y sus valores de verdad mediante tablas de verdad. http://www.youtube.com/watch?v=kANelfBRR9Y

58

IGER − Zaculeu



A. Repasemos el contenido de los apartados anteriores. Complete el siguiente organizador gráfico. Tiene un ejemplo.

Conectivo: Conjunción

Conectivo:

Símbolo:

Símbolo:

/

Los conectivos lógicos son símbolos que permiten:

Conectivo:

Conectivo:

Símbolo:

Símbolo:

B. Repase el símbolo de cada conectivo, escriba cómo se llama y cómo se lee. Tiene un ejemplo. 0)

conjunción

se lee:

1)

se lee:

2) 3)

y

se lee:

se lee:

C. Lea cada proposición y rellene el círculo que corresponde al conectivo resaltado. Tiene un ejemplo. 0) Estudio y trabajo.

/

0

→

↔

1) Estudio si y solo si trabajo.

/

0

→

↔

2) Estudio o trabajo.

/

0

→

↔

3) Si estudio, entonces trabajo.

/

0

→

↔ Matemática − Semana 4

59

D. Rellene el círculo de la opción que completa correctamente cada enunciado. El número 0 le sirve de ejemplo. 0) La proposición formada por dos proposiciones simples se llama:

Valor de verdad Conectivos lógicos Proposición atómica Proposición compuesta

1) c: Se reunió el Comité y firmaron el acta. El enunciado anterior es un ejemplo de proposición:

Simple Atómica Disyunción Compuesta

2) “Si trabajo, entonces no salgo”. El conectivo resaltado en la proposición es:

/ 0

→ ↔

3) “Iré y jugaré el partido”. El conectivo resaltado en la proposición es:

/ 0

→ ↔

4) “Compraré pan o tortillas”. El conectivo resaltado en la proposición es:

/ 0

→ ↔

5) “Viajaré a México si y solo si encuentro boleto”. El conectivo resaltado en la proposición es:

Actividad 2.

/ 0

→ ↔


A. Complete la tabla de verdad para las proposiciones indicadas. Recuerde que el valor de verdad cambia cuando se antepone el signo negador "~". p

60

IGER − Zaculeu

~p

q

~q

r

~r

s

~s

B. Represente las proposiciones usando las letras p, q y empleando el conectivo lógico que corresponde. El inciso 0 le sirve de ejemplo. proposición

Se escribe

p→q

0) Si rotas los cultivos, entonces tendrás buena cosecha. 1) El molino funcionará con energía eólica o con energía solar. 2) Ingresaré a la universidad si y solo si gano el examen de admisión. 3) Escribo un blog y publico en el periódico local. 4) Si vacuna a sus hijos, entonces crecerán sanos.

C. Un árbol genealógico es un esquema gráfico que representa el parentesco entre los miembros de una familia. Permite entender con un vistazo quién es padre de quién, hermano, tío, etc. Se lee de abajo hacia arriba y de izquierda a derecha. En cada ramificación los hombres se colocan a la izquierda y las mujeres a la derecha.

Luis

Elena

Héctor

Pablo

Beatriz

Marta

Gustavo

Observe la información que presenta el árbol genealógico de Gustavo. Escriba el valor de verdad de cada proposición. Tiene un ejemplo. p: Gustavo es hijo de Pablo.

v

q: Marta es nieta de Luis. r: Beatriz es madre de Marta. s: Gustavo es nieto de Elena. t: Luis es padre de Marta. z: Marta es hija de Héctor y Beatriz. Matemática − Semana 4

61

Agilidad de cálculo mental ¡Siga practicando su agilidad de cálculo! Escriba el resultado de las operaciones lo más rápido que pueda, no utilice calculadora ni tablas. A.

1) 5 x 2 =

9) 9 x 9 =

17) 7 x 9 =

2) 3 x 5 =

10) 6 x 8 =

18) 8 x 1 =

3) 3 x 6 =

11) 4 x 9 =

19) 0 x 3 =

4) 6 x 7 =

12) 3 x 4 =

20) 9 x 3 =

5) 8 x 5 =

13) 9 x 8 =

21) 10 x 2 =

6) 9 x 2 =

14) 5 x 6 =

22) 9 x 9 =

7) 3 x 6 =

15) 5 x 7 =

23) 4 x 2 =

8) 7 x 4 =

16) 2 x 3 =

24) 7 x 2 =

B. 1) 4 x

=8

9) 3 x

= 15

17) 5 x

= 15

2) 8 x

= 56

10) 8 x

= 24

18) 6 x

= 12

3) 7 x

= 21

11) 7 x

= 35

19) 7 x

= 28

4) 6 x

= 30

12) 6 x

= 36

20) 8 x

= 64

5) 8 x

= 48

13) 9 x

= 18

21) 9 x

=9

6) 6 x

= 18

14) 4 x

= 16

22) 2 x

=6

7) 2 x

= 14

15) 3 x

=3

23) 4 x

=4

8) 9 x

= 72

16) 4 x

= 24

24) 6 x

= 42

1)

x 9 = 45

9)

x 4 = 20

17)

x 6 = 60

2)

x 8 = 40

10)

x 7 = 42

18)

x 7 = 63

3)

x 2 = 12

11)

x 8 = 56

19)

x 9 = 72

4)

x 7 = 28

12)

x 3 = 21

20)

x2=8

5)

x 9 = 81

13)

x2=6

21)

x 5 = 10

6)

x 6 = 54

14)

x 9 = 27

22)

x 4 = 20

7)

x 2 = 16

15)

x1=1

23)

x 5 = 45

8)

x 4 = 32

16)

x3=0

24)

x3=9

C.

62

IGER − Zaculeu

Razonamiento lógico Lea con atención cada texto y los enunciados que le acompañan. Luego, escriba en la línea de la derecha una v si el enunciado es verdadero o una f, si es falso. Tiene un ejemplo. 0)

Una empresa de productos plásticos fabrica dos tipos de envases. El pequeño tiene una capacidad de 3 litros y el grande tiene una capacidad de 4 litros.

a. Tres envases grandes tienen la misma capacidad que cuatro envases pequeños.

v

b. Cuatro envases grandes tienen una capacidad mayor que seis envases pequeños.

f

c. La capacidad del envase pequeño es igual a la mitad de la capacidad del envase grande.

f

1)

Un jardinero riega sus plantas todos los días. Los días pares riega las plantas interiores. Los días impares riega las plantas exteriores.

a.

b. El primer día de cada mes, el jardinero riega sus plantas exteriores.

El jardinero riega sus plantas diariamente.

c. Si el jardinero riega una planta interior, entonces es un día par. 2)

Una maestra de baile enseña a sus estudiantes ritmos distintos en la semana. Los lunes, miércoles y viernes da clases de salsa. Los martes y jueves da clases de merengue o de bachata.

a.

b. Si la clase de hoy es de salsa, entonces hoy es martes.

c.

3)

La maestra de baile enseña ritmos diferentes en la semana.

Si la clase de hoy es de bachata, entonces mañana será de merengue.

Un comedor ofrece un menú semanal. Los lunes hay caldo de mariscos. Los martes y los jueves pollo con loroco. Los miércoles y los viernes sirven pepián.

a. El menú ofrece un platillo diferente para cada día de la semana. b. Si hoy sirven pollo con loroco, entonces mañana servirán pepián. c. Si ayer sirvieron caldo de mariscos, entonces hoy es martes.


63

Desarrolle nuevas habilidades ¿Qué figura sigue? Los ejercicios de secuencias lógicas son comunes en las pruebas de matemática del Mineduc y en las de ingreso a la universidad. Para este tipo de ejercicios debemos descubrir cuál es la característica que varía en una misma figura o de una figura a otra. Resolverlos le ayudará a mejorar su capacidad de pensamiento abstracto y a desarrollar destrezas lógicas. Siga las instrucciones. Marque con una equis (x) la opción que completa correctamente cada secuencia. Tiene un ejemplo. ¿Cuál es la figura que sigue en la serie?

0)

a. b.

c.

En este caso observamos que el número de lados de las figuras de la izquierda aumenta de uno en uno y el de las figuras de la derecha disminuye de uno en uno. Entonces, la figura que continúa la serie es:

a. Ahora le toca a usted. Observe la secuencia y marque con una (x) la figura que la completa correctamente. Le damos una pista: analice el giro de las figuras que se encuentran en el interior de la figura mayor.

1)

a. b.

c.




64


Practico la escritura de los conectivos lógicos. Distingo proposiciones simples y compuestas. Empleo conectivos lógicos para construir proposiciones compuestas. Analizo información para determinar el valor de verdad de proposiciones. Construyo tablas de verdad. Completo secuencias lógicas. IGER − Zaculeu


5 Reglas de los conectivos lógicos ¿Qué encontrará esta semana? Parejas de baile Reglas de los conectivos lógicos Multiplicaciones y operaciones combinadas Razonamiento espacial

Esta semana logrará:  Reconocer las reglas de los conectivos lógicos.  Determinar el valor de verdad de proposiciones compuestas a través de las reglas de los conectivos lógicos.  Practicar la agilidad de cálculo mental con multiplicaciones y operaciones combinadas.  Analizar información para resolver problemas de razonamiento espacial. 


65

¡Para comenzar! Esta semana seguimos ejercitando el pensamiento lógico para deducir información. A continuación le proponemos un juego. Se trata de saber quienes fueron las parejas en un baile.

Parejas de baile A la fiesta de un pueblo asistieron tres amigas y tres amigos: Marta, Cecilia, Julia, Juan, Pedro y José. Durante la velada: • Marta no baila con Pedro. • Julia no baila con Juan. • Marta está vestida de rojo. • Cecilia está vestida de verde. • José baila con una dama vestida de blanco. Lea cada hecho. Marque en la tabla con una x las negaciones y marque con un  las afirmaciones. Baila con Juan Marta

Pedro

Vestido de color José

x

verde

rojo

blanco



Cecilia Julia

Después de haber realizado estos pasos, algunas respuestas serán claras y otras las podrá deducir. Le ayudamos con el caso de Marta. Marta no baila con Pedro y está vestida de rojo. ¡A trabajar! Utilice los resultados de la tabla para responder a estas preguntas. • ¿Quiénes son las parejas de baile? • ¿De qué color están vestidas las mujeres? Marta baila con Cecilia Julia

66

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. Reglas de los conectivos lógicos La semana anterior aprendimos qué son los conectivos lógicos. Esta semana estudiaremos las reglas que los rigen y cómo se aplican para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta. Cada conectivo lógico tiene una regla que se cumple siempre y se representa en una tabla de verdad.

1.1 Regla de la conjunción (/) El valor de verdad de las proposiciones unidas por la conjunción se calcula siguiendo esta regla: El valor de la proposición compuesta unida por la conjunción / es verdadero, solo cuando los valores de las dos proposiciones p y q son verdaderos. La tabla de verdad de la conjunción es: p v v f f

q v f v f

p/q v f f f

Comprobemos la regla con un ejemplo. Para que haya luz, el foco y el interruptor deben estar encendidos. De esta afirmación extraemos dos proposiciones: p: El foco debe estar encendido. q: El interruptor debe estar encendido. El foco está encendido. p (v) El interruptor está encendido. q (v) El foco está encendido. p (v) El interruptor no está encendido. ~q (f) El foco no está encendido. ~p (f) El interruptor está encendido. q (v) El foco no está encendido. ~p (f) El interruptor no está encendido. ~q (f)

La proposición es verdadera. Se cumplen las dos condiciones para que haya luz.

Recuerde: si una proposición es verdadera, su negación (~) es falsa.

La proposición es falsa. Para que haya luz, el interruptor también debe estar encendido. La proposición es falsa. No hay luz, porque el foco está apagado. La proposición es falsa. No se cumple ninguna de las condiciones para que haya luz. Matemática − Semana 5

67

¡Otro ejemplo! Calculemos el valor de verdad de la proposición compuesta p / q que se forma a partir de estas proposiciones simples: p: Para hacer tortillas se necesita masa de maíz. q: Para hacer tortillas se necesita un comal. p / q: Para hacer tortillas se necesita masa de maíz y se necesita un comal. v v En este caso, el valor de verdad de p / q es verdadero, porque se cumple con las dos condiciones para hacer tortillas. ¿Pero qué ocurre con el valor de verdad de p / q, si negamos la proposición p? Fíjese. ~p: Para hacer tortillas no se necesita masa de maíz. q: Para hacer tortillas se necesita un comal. p / q: Para hacer tortillas no se necesita masa de maíz y se necesita un comal. f v El valor de p / q es falso, porque no se cumple con la primera condición. Sin masa de maíz, no se pueden hacer las tortillas.

Ejercicio 1 Lea las proposiciones siguientes y conteste a las preguntas. Tiene un ejemplo.

p: La Luna es redonda.

q: La Luna es de queso.

0) ¿Cómo se representa de manera simbólica la proposición?

La Luna es redonda y la Luna es de queso.

p/q

1) ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición p? 2) ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición q? 3) ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición p / q? Explique su respuesta. 4) ¿Cuáles el valor de verdad de la proposición p / ~q? Explique su respuesta.

68

IGER − Zaculeu

1.2 Regla de la disyunción (0) ¿Recuerda las oraciones disyuntivas? El conectivo o se comporta como la conjunción "o" que estudió en Comunicación y Lenguaje. Como sabe, su función es unir proposiciones para darles un sentido de elección. En lenguaje matemático se escribe "p 0 q" y se lee "p o q". El valor de verdad de las proposiciones unidas por el conectivo de la disyunción se calcula siguiendo esta regla: El valor de la proposición compuesta unida por la disyunción 0 es verdadero siempre que una de las dos proposiciones simples sea verdadera. La tabla de verdad de la disyunción es: p

q

p0q

v

v

v

v

f

v

f

v

v

f

f

f

Verifiquemos la regla de la disyunción con un ejemplo. Para cobrar un cheque, este debe ir firmado por Inés o por Pablo. De esta afirmación extraemos dos proposiciones: p: El cheque debe ir firmado por Inés. q: El cheque debe ir firmado por Pablo. Basta con que una de las proposiciones simples sea verdadera para que el valor de verdad de la proposición compuesta sea verdadero. Preste atención. Inés firma el cheque. p (v) Pablo firma el cheque. q (v) Inés firma el cheque. p (v) Pablo no firma el cheque. ~q (f) Inés no firma el cheque. ~p (f) Pablo firma el cheque. q (v) Inés no firma el cheque. ~p (f) Pablo no firma el cheque. ~q (f)

La proposición es verdadera. El Banco paga el cheque porque tiene las dos firmas. La proposición es verdadera. El Banco paga el cheque porque tiene una de las dos firmas. La proposición es verdadera. El Banco paga el cheque. Cumple con el requisito de llevar una de las dos firmas. La proposición es falsa. El Banco rechaza el cheque porque no hay una firma válida. Matemática − Semana 5

69

Veamos otro ejemplo. Calculemos el valor de verdad de la proposición compuesta p 0 q que se forma a partir de estas proposiciones simples: p: Ganaré el grado si apruebo las materias. q: Ganaré el grado si supero las recuperaciones.

p 0 q: Ganaré el grado si apruebo las materias o supero las recuperaciones. v v

En este caso, el valor de p 0 q es verdadero, porque p y q son verdaderas. Las dos opciones permiten ganar el grado. ¿Pero qué ocurre con el valor de verdad de p v q si las dos proposiciones son falsas? ~p: Ganaré el grado si no apruebo las materias. ~q: Ganaré el grado si no supero las recuperaciones. p v q: Ganaré el grado si no apruebo las materias o no supero las recuperaciones. f f El valor de p 0 q es falso. Es necesario cumplir con una de las dos condiciones para ganar el grado.

Ejercicio 2 Lea las proposiciones dadas en cada numeral y rellene el círculo de la opción en la que p 0 q es falsa. Tiene un ejemplo. 0) p: La Tierra es redonda. q: La Luna es su satélite.

La Tierra es redonda o la Luna es su satélite. La Tierra es redonda o la Luna no es su satélite. La Tierra no es redonda o la Luna no es su satélite.

1) p: Iré al cine. q: Iré a comer.

Iré al cine o iré a comer. No iré al cine ni iré a comer. No iré al cine o no iré a comer.

2) p: Los patos tienen pico. q: Los patos son aves.

70

IGER − Zaculeu

Los patos tienen pico o los patos son aves. Los patos tienen pico o los patos no son aves. Los patos no tienen pico o los patos no son aves.

1.3 Regla del condicional ( ) Consideremos esta proposición compuesta: Si compramos boletos, entonces podemos entrar al teatro. Está formada por estas proposiciones simples: p: Compramos boletos. q: Podemos entrar al teatro. Ambas proposiciones se unen mediante el conectivo condicional. En lenguaje matemático se escribe: "p → q" y se lee: "si p entonces q". El valor de verdad de estas proposiciones se calcula con esta regla: Una proposición compuesta, unida por el condicional →, es verdadera cuando:

El condicional "si" funciona igual que en las oraciones subordinadas condicionales que estudiará esta semana en Comunicación y Lenguaje.

• Las dos proposiciones simples son verdaderas. • La segunda proposición es verdadera. • Las dos proposiciones simples son falsas. La tabla de verdad del condicional es: p

q

p→ q

v

v

v

v

f

f

f

v

v

f

f

v

Veamos con un ejemplo cuando se cumple la regla del conectivo condicional. Si José nació en Petén, entonces es guatemalteco. p: José nació en Petén. q: José es guatemalteco. Si José nació en Petén, p (v) entonces es guatemalteco. q (v). Si José nació en Petén, p (v) entonces no es guatemalteco. ~q (f). Si José no nació en Petén, ~p (f) entonces es guatemalteco. q (v). Si José no nació en Petén, ~p (f) entonces no es guatemalteco ~q (f).

La proposición es verdadera. Las personas nacidas en Petén son guatemaltecas. La proposición es falsa, porque José es guatemalteco por nacimiento. La proposición es verdadera. José pudo haber nacido en otro departamento de Guatemala. No se puede probar que la afirmación sea falsa. Por lo tanto, la proposición es verdadera. Matemática − Semana 5

71

1.4 Regla del bicondicional (

)

Leamos esta proposición compuesta: Seré la presidenta del comité si y solo si obtengo la mayoría de votos. Está formada por dos proposiciones simples: p: Seré la presidenta del comité. q: Obtengo la mayoría de votos. El enunciado del ejemplo afirma que p es verdadero si y solo si q también es verdadero. Se trata de un enunciado bicondicional que simbólicamente se representa como: "p ↔ q" y se lee: "p si y solo si q". Su valor de verdad se determina siguiendo esta regla: El valor del bicondicional es verdadero cuando ambas proposiciones simples son verdaderas o ambas son falsas. Se representa con esta tabla de verdad: p

q

p↔q

v

v

v

v

f

f

f

v

f

f

f

v

Comprobemos la regla del conectivo bicondicional con un ejemplo. Clara viajará si y solo si tiene descanso. Las dos proposiciones simples que componen el enunciado son: p: Clara viajará. q: Clara tiene descanso. Clara viajará. p (v) Clara tiene descanso. q (v) Clara viajará. p (v) Clara no tiene descanso. ~q (v) Clara no viajará. ~p (v) Clara tiene descanso. q (v) Clara no viajará. ~p (v) Clara tiene no descanso. ~q (v)

72

IGER − Zaculeu

La proposición es verdadera. Se cumple la condición para viajar. La proposición es falsa. La condición para viajar es tener descanso. La proposición es falsa. Contradice la condición, tiene descanso y no viajará. La proposición es verdadera. Si no tiene descanso, no puede viajar.

Ejercicio 3 En las tablas de verdad se puede operar más de un conectivo lógico a la vez. Siga los pasos que se explican a continuación y complete la tabla. Le ayudamos con el paso 1. Paso 1: • Escriba las cuatro combinaciones de verdad o falsedad para las proposiciones p y q.

1

Paso 2: • Primero aplique la regla del conectivo ↔. • Luego, aplique la regla del conectivo /. • Continúe con la regla del conectivo 0.

2

p

q

p↔q

p/q

p0q

p→q

v

v

v

v

v

v

v

f

f

v

f

f

• Por último, aplique la regla del conectivo →.

Resumen Regla de la conjunción p / q es verdadera cuando las dos proposiciones simples son verdaderas. p q p/ q v v f f

Regla del bicondicional p ↔ q es verdadera cuando ambas proposiciones simples son verdaderas o falsas a la vez. p q p↔ q v v f f

v f v f

v f f v

v f v f

v f f f

Reglas de los conectivos lógicos

Regla de la disyunción p 0 q es verdadera si una de las dos proposiciones simples es verdadera. p q p0 q v v f f

v f v f

v v v f

Regla del condicional p → q es verdadera cuando: • Ambas proposiciones simples son verdaderas. • La segunda proposición es verdadera. • Las dos proposiciones simples son falsas. p q p→ q v v f f

v f v f

v f v v


73



A. Complete la tabla. Escriba los valores de verdad de las proposiciones indicadas en cada columna. 1

2

p

q

v

v

v

f

f

v

f

f

p/q

p0q

p→q

p↔q

B. Recuerde las reglas de los conectivos lógicos. Lea cada enunciado y rellene el círculo de la opción que lo completa correctamente. Tiene un ejemplo. 0) Saturno es un planeta y es redondo. La proposición es verdadera si Saturno…

no es un planeta, pero sí es redondo.

es un planeta y también es redondo.

es un planeta pero no es redondo.

no es un planeta, ni es redondo.

1) Si ganan el partido, entonces serán campeones. La proposición es falsa en el caso de que...

no ganen el partido.

ganen el partido y no sean campeones.

no ganen y sean campeones.

no ganen y no sean campeones.

2) 8 es múltiplo de 2 y 8 es divisible entre 2. La proposición es verdadera cuando...

8 es múltiplo de 2, pero no es divisible entre 2.

8 no es múltiplo de 2, pero sí es divisible entre 2.

8 es múltiplo de 2 y también es divisible entre 2.

8 no es múltiplo de 2, ni es divisible entre 2.

3) Carlota visitará Petén o Alta Verapaz. La proposición es falsa cuando Carlota…

visita Petén, pero no Alta Verapaz.

visita Petén y también visita Alta Verapaz.

no visita Petén, ni Alta Verapaz.

no visita Petén, pero sí Alta Verapaz.

74

IGER − Zaculeu

Actividad 2.


A. Lea las proposiciones simples k y l. Luego, escriba las proposiciones compuestas indicadas y su valor de verdad. Tiene un ejemplo. k: El trigo es un cereal. (v) j: El trigo es comestible. (v) 0) k / j:

El trigo es un cereal y es comestible.

1) ~k → j:

2) k ↔ ~j:

3) k 0 j:

v

B. Determine el valor de verdad de las proposiciones simples. Luego, aplique las reglas de los conectivos lógicos que aprendió en la semana para determinar el valor de verdad de las proposiciones compuestas. Tiene un ejemplo. v

p / q:

f

q: 7 es divisible entre 2. f

p → q:

f

p ↔ q:

f

0) p: 10 es número par.

1) r: El triángulo tiene dos lados. s: El cuadrado tiene cuatro lados.

r ↔ s: r / s:

r → s: 2) k: Un minuto tiene 60 segundos. y: Dos minutos tienen 90 segundos.

k 0 y:

k / y:

k ↔ y: 3) h: "Árbol" es una palabra grave. j: "Árbol" lleva tilde en la última sílaba.

h → j: h 0 j:

h / j:

4) t: Un ángulo agudo mide 60°. z: 60° es menor que 90°.

t 0 z: t → z:

t ↔ z: Matemática − Semana 5

75

Agilidad de cálculo mental A. Recuerde la ley de signos y resuelva las multiplicaciones. Escriba la respuesta sobre la línea. 1) 5 x 4 =

9) 2 x (– 4) =

17) (– 8) x 4 =

2) 3 x 9 =

10) 5 x (– 3) =

18) (– 3) x 9 =

3) 2 x 3 =

11) 7 x (– 1) =

19) (– 1) x 6 =

4) 9 x 4 =

12) 2 x (– 9) =

20) (– 8) x 7 =

5) 3 x 6 =

13) 4 x (– 6) =

21) (– 6) x 9 =

6) 7 x 8 =

14) 0 x (– 5) =

22) (– 4) x 0 =

7) 6 x 5 =

15) 8 x (– 6) =

23) (– 3) x 7 =

8) 2 x 7 =

16) 5 x (– 7) =

24) (– 9) x 9 =

B. Escriba en la línea el factor que falta para completar correctamente la multiplicación. 1) 2 x

= 16

9) 5 x

= 25

17)

x 9 = 18

2) 3 x

= 21

10) 9 x

= 36

18)

x 7 = 63

3) 4 x

= 12

11) 3 x

= 15

19)

x 4 = 24

4) 6 x

= 30

12) 6 x

= 48

20)

x 8 = 32

5) 7 x

= 28

13) 4 x

= 20

21)

x 1 = 10

6) 1 x

=5

14) 7 x

= 42

22)

x7=0

7) 8 x

= 24

15) 8 x

= 64

23)

x 6 = 36

8) 3 x

= 18

16) 5 x

= 30

24)

x 7 = 56

C. Recuerde la jerarquía de las operaciones y resuelva las operaciones combinadas siguientes. Tiene un ejemplo.

76

0) (2 x 3) + 4 = 10

5) (3 x 5) + 3 =

10) 1 + (2 x 6) =

1) (1 x 4) + 2 =

6) (4 x 4) + 4 =

11) 3 + (4 x 2) =

2) (4 x 5) + 3 =

7) (6 x 3) + 1 =

12) 4 + (5 x 3) =

3) (7 x 3) + 4 =

8) (2 x 8) + 5 =

13) 2 + (6 x 4) =

4) (6 x 2) + 2 =

9) (5 x 6) + 3 =

14) 3 + (4 x 3) =

IGER − Zaculeu

Razonamiento lógico A. Ejercite su pensamiento lógico resolviendo analogías. Una analogía es la relación de semejanza o de parecido entre dos o más ideas o conceptos distintos. Rellene el círculo de la opción correcta que completa cada analogía. Recuerde que la primera oración siempre da la pista de cómo completar la segunda. Le ayudamos con el ejemplo. 0) Blanco es a negro, como calor es a…

frío

húmedo

templando

1) Atardecer es a amanecer, como malo es a…

justo

mejor

bueno

2) Automóvil es a piloto, como barco es a…

timón

capitán

embarcación

3) Junio es a mayo, como seis es a…

seis

siete

cinco

B. Lea el enunciado. Analice la información y aplique lo que aprendió esta semana para descubrir dónde está el tesoro.

En uno de los tres cofres hay un tesoro. La única pista que le dan para descubrirlo es que uno y solo uno de los tres rótulos es falso. ¿En cuál de los tres cofres está el tesoro?

1

2

3

El tesoro está aquí.

El tesoro no está aquí.

El tesoro no está en el segundo cofre.

Para averiguarlo, asigne valores de verdad a cada letrero según las suposiciones siguientes. Le ayudamos con la primera. 1. Suponga que el tesoro está en el cofre 1.

2. Suponga que el tesoro está en el cofre 2.

3. Suponga que el tesoro está en el cofre 3.

rótulo 1

rótulo 2

rótulo 3

v

v

v

rótulo 1

rótulo 2

rótulo 3

rótulo 1

rótulo 2

rótulo 3

¿En cuál de las suposiciones se cumple la condición: "uno y solo uno de los tres rótulos es falso"? Entonces, ¿en qué cofre está el tesoro? Matemática − Semana 5

77

Desarrolle nuevas habilidades La capacidad de percibir correctamente el espacio sirve para orientarse en planos y mapas. Además, permite dibujar y construir estructuras tridimensionales. Encontrará actividades como esta en las pruebas de aptitud para ingresar a la universidad y en algunas evaluaciones de selección de personal. Consiga 18 palillos o palitos cortos y utilícelos para formar las figuras que se presentan a continuación. Siga las indicaciones.

1) Mueva cuatro palillos y cámbielos de lugar para formar ocho cuadrados iguales.

2) Mueva dos palillos y cámbielos de lugar para formar cuatro cuadrados y un triángulo.

3) Mueva seis palillos y cámbielos de lugar para formar una estrella de seis puntas.




78


Reconozco las reglas de los conectivos lógicos. Determino el valor de verdad de proposiciones compuestas a través de las reglas de los conectivos lógicos. Practico la agilidad de cálculo mental con multiplicaciones y operaciones combinadas. Analizo información para resolver problemas de razonamiento espacial. IGER − Zaculeu


6 Medidas de dispersión ¿Qué encontrará esta semana? Repaso de la media aritmética Medidas de dispersión: rango, desviación y desviación media Operaciones combinadas Analogías con figuras geométricas

Esta semana logrará:  Repasar la media aritmética.  Aplicar el cálculo de las medidas de dispersión a la resolución de casos sencillos.  Practicar el cálculo mental con operaciones combinadas.  Resolver analogías con figuras geométricas. 


79

¡Para comenzar! La media aritmética Comencemos esta semana con un repaso de la media aritmética. ¿La recuerda? Es una de las medidas de tendencia central que representa el promedio de los datos de una distribución. Veamos un ejemplo. Los meteorólogos del Insivumeh quieren averiguar cuál de los dos departamentos, San Marcos o Petén, tiene una temperatura más constante. Para calcularlo, registraron las temperaturas máximas en grados centígrados (°C) durante cinco días. Los resultados se muestran en la tabla.

Días lunes martes miércoles jueves viernes

Temperaturas San Marcos 32 ºC 32 ºC 31 ºC 30 ºC 30 ºC

Petén 34 ºC 29 ºC 36 ºC 27 ºC 29 ºC

Obtengamos la media de las temperaturas de cada departamento. Recuerde que la media es un promedio que se calcula con esta fórmula: X=

!x N

32 + 32 + 31 + 30 + 30 155 = = 31 5 5

San Marcos

X=

X = 31 ºC

Petén

X=

X = 31 ºC

34 + 29 + 36 + 27 + 29 155 = = 31 5 5

Observe que los dos departamentos tienen la misma temperatura media ( x = 31 °C). Pero este dato no nos permite responder cuál tiene la temperatura más constante, porque como puede ver en la tabla, las temperaturas varían durante la semana. Para medir esa variación y saber cuál es el que tiene la temperatura más constante, necesitamos las medidas de dispersión, el tema que estudiaremos esta semana.

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IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. Medidas de dispersión

¿Cómo varían los datos?

Acabamos de ver que las medidas de tendencia central no son suficientes para describir adecuadamente una distribución de datos. Caeríamos en un error si nos guiáramos solo por el valor de la media para indicar la constancia de un valor determinado. Para describir correctamente los datos, debemos emplear otras mediciones estadísticas que se llaman medidas de dispersión o variabilidad. Las medidas de dispersión son aquellos valores que indican cuánto se acerca o se aleja un conjunto de datos de la media, la mediana y la moda. Esta semana estudiaremos tres de estas medidas: rango, desviación y desviación media.

1.1 Rango o amplitud (R)

El dato mayor menos el dato menor

El rango o amplitud relaciona todos los valores de una distribución, sin entrar en detalles. Mide la diferencia entre el dato mayor y el dato menor en una distribución. Se representa con la letra (R) y se calcula con esta fórmula: R = dato mayor – dato menor Aunque los valores de distintas distribuciones tengan la misma media, el rango nos permite ver las diferencias. Un rango alto indica que los valores en la distribución están muy alejados entre sí y por lo tanto de la media. Un rango bajo indica que los valores están muy cercanos entre sí y del valor central. Veamos un ejemplo. Calculemos el rango de temperatura de los departamentos de San Marcos y de Petén que vimos en el apartado anterior, así sabremos cuál de los dos mantiene una temperatura más constante. Rango de San Marcos

Rango de Petén

R = valor más alto – valor más bajo


R = 32 – 30

R = 36 – 27

R = 2 R = 9 San Marcos tiene el rango menor. Esto significa que la temperatura varía menos que en Petén, por lo tanto es el departamento que tiene la temperatura más constante. Matemática − Semana 6

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Veamos otro ejemplo con una aplicación. Un almacén quiere averiguar con qué banco le conviene trabajar el crédito a sus clientes. En la tabla se muestran los días que tardan dos bancos del sistema en autorizar un crédito, según una muestra de cuatro clientes. Días para autorizar el crédito Cliente Pérez Quilá Morán Suc

Banco Quetzal 12 14 20 14

Banco Tecún Umán 15 16 14 15

La media es X = 15 Calculemos el rango de cada banco y determinemos cuál le conviene más al almacén. Rango banco Quetzal Rango banco Tecún Umán R = valor más alto – valor más bajo R = valor más alto – valor más bajo R = 20 – 12 R = 16 – 14 R = 8 R=2 El banco Tecún Umán tiene el rango menor. Esto significa que el tiempo para autorizar el crédito varía menos que en el banco Quetzal, por lo tanto es el banco que más le conviene al almacén.

Ejercicio 1 Un agricultor quiere averiguar con qué transportista le conviene enviar su producto a la cabecera departamental. La tabla muestra las horas que tarda cada transportista en llevar el producto, según una muestra de dos clientes. La media de ambos es de 6 horas (X = 6). Tiempo para llevar el producto Cliente A B

Transportista 1 7 hrs 5 hrs

Transportista 2 4 hrs 8 hrs

Calcule el rango. Luego, indique qué transportista le conviene más al agricultor. Rango transportista 1 Rango transportista 2 R = valor más alto – valor más bajo


R = 7 – 5 R = R=

R =

El transportista que más le conviene al agricultor es:

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IGER − Zaculeu

1.2 Desviación (d) Otra medida de dispersión es la desviación. A diferencia del rango, esta medida permite ver la variación de cada elemento de la distribución, con respecto a la media. En estadística, la desviación se define como la diferencia entre los valores observados (x) y la media (X). Esta medida puede tener valores positivos o negativos. Se calcula con esta fórmula: d=x–X Veamos un ejemplo. Según la Organización Mundial de la Salud (Oms), la estatura media de niños sanos de 7 años es de 120 cm (X = 120). El Ministerio de Salud tomó una muestra de seis niños de esa edad para determinar si su crecimiento está dentro de ese valor. Los resultados se muestran en la tabla.

Niño(a)

Estatura en cm

Juana

110

Ester

108

Francisco

110

Pedro

109

Rolando

120

Mariana

112

Los resultados de la desviación nos dirán cuánto se acercan o se alejan los valores de la estatura media. Si los valores se acercan, significa que el crecimiento de los niños es normal. Si se alejan, quiere decir que los niños evaluados tienen problemas de crecimiento. En este caso, la desviación es la diferencia entre los valores observados (x) y la media establecida por la Oms (X = 120 cm). • Calculamos la desviación (d) para cada niño: d = x – X

Juana

d = 110 – 120 = –10

Ester

d = 108 – 120 = –12

Francisco d = 110 – 120 = –10

Pedro

d = 109 – 120 = –11

Rolando

d = 120 – 120 = 0

Mariana

d = 112 – 120 = –8

• Los datos indican que solo Rolando cumple con la estatura media establecida por la Oms. Los demás niños están por debajo de esa medida. El Ministerio de Salud deberá formular soluciones para mejorar la salud alimentaria y nutricional de los niños del país. Matemática − Semana 6

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¡Otro ejemplo! La tabla muestra la esperanza de vida en cuatro países de Centroamérica. País

Esperanza de vida

Guatemala

71.2

El Salvador

73.6

Nicaragua

70.0

Costa Rica

76.4

Calculemos la desviación de cada país con respecto a la media de la región X = 73.6 años. Luego, respondamos: ¿Qué países están por encima de la media? ¿Qué países están por debajo de la media? • Calculamos la desviación (d) de cada país: d = x – X

Guatemala d = 71.2 – 73.6 = –2.4

El Salvador d = 73.6 – 73.6 = 0

Nicaragua

Costa Rica d = 76.4 – 73.6 = 2.8

d = 70.0 – 73.6 = –3.6

El país que está por encima de la media es Costa Rica. El Salvador está justo en la media. El resto está por debajo de la media. Estos resultados pueden servir al gobierno de cada país para implementar programas que ayuden a aumentar la esperanza de vida de sus habitantes.

Ejercicio 2 La tabla registra la cantidad de vitamina A que contiene el azúcar de cuatro productores distintos. El control de calidad acepta una media de 22 kg de vitamina (X =22) por cada 100 kg de azúcar, con una desviación de 2 kg. Los productores que no cumplan con este requerimiento serán multados. Calcule la desviación para cada valor. Luego, responda las preguntas.

d=x–X

Productor

Vitamina A

1

24 kg

Productor 1

d=

2

19 kg

Productor 2

d=

3

23 kg

4

22 kg

Productor 3

d=

Productor 4

d=

1) ¿Qué productores cumplen con los requerimientos de control de calidad? 2) ¿Qué productores serán multados?

84

IGER − Zaculeu

1.3 Desviación media (DM) La desviación media es el promedio de las desviaciones de una distribución, expresadas en valor absoluto. A diferencia de las otras medidas que hemos estudiado, la desviación media toma en cuenta todos los datos y permite conocer, en promedio, la distancia de cada valor con respecto a la media aritmética. Se calcula con esta fórmula: DM =

! |d| N

Donde: DM = desviación media

! |d| = sumatoria de las desviaciones (d) expresadas en valores absolutos N = número total de datos Lo entenderemos mejor con un ejemplo.

El valor absoluto de un número representa la distancia que separa a ese número del cero en la recta numérica, sin tomar en cuenta el signo. |–5| = 5 |+5| = 5

La tabla muestra el peso en libras de cinco niños que asisten a un centro de salud. Calculemos cuánto varía cada dato respecto a la media (X = 25 libras) que establece el Ministerio de Salud. Niño (a)

Peso en libras

Ana

27

Ernesto

34

Luisa

28

Azucena

19

Natalia

30

• Calculamos la desviación (d) para cada valor.

d=x–X

Ana

d = 27 – 25 = 2

Ernesto

d = 34 – 25 = 9

Luisa

d = 28 – 25 = 3

Azucena d = 19 – 25 = – 6

Natalia

• Aplicamos la fórmula de la desviación media.

d = 30 – 25 = 5 DM = DM =

! |d| N

2+9+3+6+5 25 = 5 5

DM = 5 El valor de la desviación media indica que el peso de los niños de la muestra varía entre 5 libras más o 5 libras menos, con respecto al promedio. Las autoridades del centro de salud deberán actuar sobre los niños, como Azucena, que tienen bajo peso y como Ernesto que tiene sobrepeso. Matemática − Semana 6

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¡Otro ejemplo! La tabla presenta el registro de los tiempos de tres corredores en cuatro carreras de 200 metros planos. El entrenador quiere conocer la desviación media de esos tiempos, para seleccionar al corredor que representará al equipo en la competencia nacional. Tiempo en segundos por carrera Corredor 1 2 3 Hilda 19 21 20 Carlos 18 20 22 Aura 19 21 18

4 20 20 22

• La media de los tiempos de cada corredor es la misma: X = 20 segundos.

Hilda X =

19 + 21 + 20 + 20 80 = 4 4

X = 20 segundos

Carlos X =

80 18 + 20 + 22 + 20 = 4 4

X = 20 segundos

Aura X =

80 19 + 21 + 18 + 22 = 4 4

X = 20 segundos

• Calculamos la desviación (d) de los tiempos con respecto a la media de cada corredor.

Hilda Carlos Aura

d = 19 – 20 = –1

d = 18 – 20 = –2

d = 19 – 20 = –1

d = 21 – 20 = 1

d = 20 – 20 = 0

d = 21 – 20 = 1

d = 20 – 20 = 0

d = 22 – 20 = 2

d = 18 – 20 = –2

d = 20 – 20 = 0

d = 20 – 20 = 0

d = 22 – 20 = 2

• Calculamos la desviación media para saber qué corredor es el más constante. El atleta elegido será el que obtenga la desviación menor. Recuerde que para expresar el valor absoluto de un número no se toma en cuenta el signo. |–2| = 2 |+2| = 2

Hilda

DM =

2 1+1+0+0 = 4 4

DM = 0.5

Carlos

DM =

4 2+0+2+0 = 4 4

DM = 1

Aura

DM =

6 1+1+2+2 = 4 4

DM = 1.5

El atleta elegido es Hilda, porque presenta la desviación media menor (DM = 0.5). Esto significa que su tiempo varía menos que el de los otros corredores. Terminará la carrera 0.5 segundos antes o después del tiempo promedio (X = 20). Carlos no fue elegido porque con una DM = 1, puede terminar la carrera 1 segundo antes o después del tiempo medio. Tampoco Aura, porque con una DM = 1.5 puede terminar la carrera 1.5 segundos antes o después del tiempo promedio.

86

IGER − Zaculeu

Ejercicio 3 Una cooperativa de mujeres fabrica jaleas artesanales y las envasa en recipientes de 100 g. El departamento de control de calidad acepta que los frascos sean llenados con un mínimo de 98 g y un máximo de 102 g. Si los frascos se llenan con más o menos producto, entonces la cooperativa deberá ajustar el proceso de llenado para alcanzar el peso medio.

La tabla presenta el peso en gramos de 5 recipientes llenos de jalea. Peso en gramos 100

97

99

100

99

• Calcule la desviación (d) de cada recipiente de la muestra con respecto a la media. Luego, con los resultados que obtenga, calcule la desviación media (DM). d = 100 – 100 =

0

d = 97 – 100 =

–3

d = 99 – 100 =

DM =

d = 100 – 100 = d = 99 – 100 = ¿Se está cumpliendo con los requisitos de control de calidad? ¿Se deben hacer ajustes en el proceso de llenado?

Resumen 1. Las medidas de dispersión son aquellos valores que indican cuánto se acerca o se aleja un conjunto de datos de las medidas de tendencia central: media, mediana y moda. 2. El rango (R) también se conoce como amplitud. Mide la diferencia entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor.

R = dato mayor – dato menor

3. La desviación (d) es la diferencia entre los valores observados (x) y la media (X).

d=x–X

4. La desviación media (DM) es el promedio de las desviaciones (d) en valor absoluto.

DM =

! |d| N


87



A. Calcule el rango y tome decisiones.

Un panadero quiere averiguar con qué tienda del sector le conviene distribuir el pan que produce. Las dos tiendas consultadas ofrecen un promedio de Q0.20 por pan, según una muestra de tres panaderos que les distribuyen producto. Precio del pan en centavos Panadero

Tienda Esperanza

Tienda Del Barrio

Alberto

Q0.20

Q0.20

Mónica

Q0.18

Q0.21

Raúl

Q0.22

Q0.19

Calcule el rango y diga qué tienda se acerca más a ese precio. Tienda Esperanza Tienda Del Barrio R=

R =

R=

R =

La tienda que más conviene al panadero es: B. La tabla muestra la cantidad de goles anotados por jugador en los dos últimos partidos del campeonato de papi fútbol. La media de goles anotados es X = 4. El capitán del equipo quiere saber qué jugadores están por debajo de la media, para reforzar su entrenamiento. Calcule la desviación y diga qué jugadores necesitan refuerzo. Jugador

Partido 1

Partido 2

Carlos

4

6

Lucía

5

2

Eduardo

4

3

Flora

6

5

Elena

4

4

Carlos Lucía

Eduardo Flora

Elena

d=4–4=

d=5–4=

d=4–4=

d=6–4=

d=4–4=

d=6–4=

d=2–4=

d=3–4=

d=5–4=

d=4–4=

Los jugadores que necesitan reforzar su entrenamiento son:

88

IGER − Zaculeu

Actividad 2.


Lea cada enunciado y realice las actividades. Una distribuidora de café quiere saber qué caficultor ofrece el peso exacto para seguir comprando su producto. La decisión se basará en la exactitud del peso ofrecido con respecto a la media aceptada, que es de 105 libras por costal. La tabla presenta los registros del peso en libras de 5 costales de café de tres caficultores distintos. Calcule el rango (R), la desviación (d) y la desviación media (DM). Luego, indique a qué caficultor se le seguirá comprando producto. Peso en libras por costal de café Caficultor 1 Caficultor 2 Caficultor 3 103 106 103 105 105 102 105 105 104 104 103 106 103 104 105

1) Calcule el rango (R) de los pesos de cada caficultor.

2) Calcule la desviación (d) de los pesos con respecto a la media aceptada por la distribuidora (X = 105).

3) Calcule la desviación media. El caficultor elegido será el que obtenga el menor valor.

Respuesta: Matemática − Semana 6

89

Agilidad de cálculo mental Aplique la jerarquía de las operaciones para resolver los ejercicios siguientes. Recuerde que primero se efectúan las multiplicaciones y divisiones, por último las sumas y restas. Tiene un ejemplo para cada caso. A. 0) (2 x 6) + 3 =

15

11) (3 x 5) – 4 =

22) 3 + (4 x 3) =

1) (5 x 4) + 8 =

12) (6 x 6) – 6 =

23) 3 + (4 x 2) =

2) (4 x 9) + 4 =

13) (8 x 0) – 3 =

24) 2 + (1 x 4) =

3) (9 x 2) + 2 =

14) (1 x 9) – 6 =

25) 6 + (7 x 9) =

4) (8 x 3) + 4 =

15) (5 x 1) – 1 =

26) 4 + (8 x 4) =

5) (3 x 8) + 2 =

16) (8 x 5) – 1 =

27) 9 – (2 x 4) =

6) (6 x 2) + 5 =

17) 8 + (5 x 2) =

28) 8 – (1 x 3) =

7) (9 x 1) + 2 =

18) 2 + (9 x 4) =

29) 5 – (2 x 2) =

8) (6 x 3) + 0 =

19) 5 + (4 x 5) =

30) 6 – (4 x 1) =

9) (7 x 4) – 5 =

20) 1 + (2 x 8) =

31) 9 – (3 x 3) =

10) (2 x 9) – 9 =

21) 5 + (3 x 9) =

32) 7 – (5 x 0) =

11) 9 + (25 ÷ 5) =

22) (9 ÷ 3) – 2 =

1) (25 ÷ 5) + 4 =

12) 5 + (12 ÷ 3) =

23) 8 – (4 ÷ 2) =

2) (14 ÷ 7) + 9 =

13) 8 + (15 ÷ 5) =

24) 5 – (12 ÷ 4) =

3) (16 ÷ 2) + 7 =

14) 6 + (24 ÷ 8) =

25) 9 – (81 ÷ 9) =

4) (36 ÷ 9) + 4 =

15) 4 + (72 ÷ 9) =

26) 7 – (35 ÷ 7) =

5) (49 ÷ 7) + 5 =

16) 3 + (27 ÷ 3) =

27) 6 – (20 ÷ 5) =

6) (12 ÷ 3) – 2 =

17) (3 ÷ 3) + 3 =

28) 9 – (48 ÷ 6) =

7) (64 ÷ 8) – 4 =

18) (4 ÷ 2) + 2 =

29) 9 + (6 ÷ 3) =

8) (18 ÷ 3) – 6 =

19) (7 ÷ 7) + 1 =

30) 7 + (3 ÷ 3) =

9) (50 ÷ 2) – 5 =

20) (4 ÷ 2) + 7 =

31) 3 + (8 ÷ 4) =

10) (42 ÷ 7) – 3 =

21) (2 ÷ 1) – 1 =

32) 6 + (6 ÷ 3) =

B. 0) (18 ÷ 6) + 3 =

90

IGER − Zaculeu

6

Razonamiento lógico Aplique lo que aprendió sobre las medidas de dispersión para resolver los problemas. 1) La tabla muestra el número de personas que se recuperaron con los medicamentos A y B en los meses de enero, febrero y marzo. Calcule el rango y determine cuál es el medicamento más efectivo. Mes

Medicamento A Medicamento B

enero

30

45

febrero

42

37

marzo

38

43

2) La energía renovable es aquella que se obtiene de fuentes naturales que, inicialmente, no se pueden agotar. Lea los datos que presenta la gráfica de la inversión en energías renovables por países en América Latina, durante el año 2010. Luego, responda: Honduras 4%

a. ¿Cuál es el porcentaje más alto de inversión y qué país lo tiene?

Brasil 56%

Perú 4% Chile 4%

b. ¿Cuál es el porcentaje más bajo de inversión y qué países lo tienen?

Panamá 8%

México 24%

c. ¿Cuál es el rango de inversión en energía renovable en América Latina?

3) La gráfica muestra el consumo de energía eléctrica en kilovatios de la familia Boror, durante los meses indicados. Calcule la DM. Luego, haga una predicción de cuántos kilovatios consumirán en el mes de junio, si su consumo no registra variaciones significativas.

Consumo de energía eléctrica en kW de la familia Boror 100 90 80 70

90

80

60

75 60

50

70

40 30 20 10 0

enero

febrero

marzo

abril

mayo


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Desarrolle nuevas habilidades Como usted ya sabe, las analogías muestran una relación entre palabras u objetos. A continuación le proponemos un ejercicio en el que debe completar analogías con figuras geométricas. Resolverlo le ayudará a desarrollar su razonamiento visual y espacial. Marque con una (X) la figura de la columna derecha que completa correctamente cada analogía. Fíjese en el ejemplo. 0)

es a

lo que

es a

La analogía se completa con el cuadrado sin textura, porque la relación es: un triángulo con textura es a un triángulo sin textura, lo que un cuadrado con textura es a un cuadrado sin textura.

1) es a

lo que

es a

2)

es a

lo que

es a

3)

es a

lo que

es a

lo que

es a

4)

es a

Revise su aprendizaje Después de estudiar...


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Repaso la media aritmética. Aplico el cálculo de las medidas de dispersión a la resolución de casos sencillos. Practico el cálculo mental con operaciones combinadas. Resuelvo analogías con figuras geométricas. IGER − Zaculeu


7 Probabilidades ¿Qué encontrará esta semana? Historia de la probabilidad Probabilidad, medición de la probabilidad Porcentajes Problemas de probabilidad

Esta semana logrará:  Explicar qué es la probabilidad.  Clasificar sucesos en imposibles, posibles y seguros.  Distinguir entre casos posibles y casos favorables.  Aplicar la fórmula de Laplace para calcular la probabilidad.  Practicar el cálculo mental operando porcentajes.  Utilizar el cuadro de Punnett para calcular la probabilidad de las características físicas de plantas. 


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¡Para comenzar! Historia de la probabilidad Tres matemáticos y un jugador Durante la época del Renacimiento (siglos XV y XVI), en Europa, los juegos de azar eran populares. Algunas personas pasaban el tiempo haciendo apuestas e inventando estrategias para ganar.

Pierre Laplace (1749 – 1827)

Cuenta la historia que un jugador de nombre Cardano se interesó en desarrollar un método que le permitiera salir vencedor la mayoría de veces que jugaba a las cartas o a los dados. La inquietud de Cardano fue seguida por dos matemáticos: Pierre Fermat y Blaise Pascal, quienes intentaron solucionar algunos problemas sobre las posibilidades que se presentaban en los juegos de azar. Pero fue hasta el siglo XIX cuando el matemático Pierre Laplace formuló la base de la Teoría de la Probabilidad, que trata de calcular numéricamente las posibilidades de que un suceso ocurra. El cálculo se realiza con una expresión matemática conocida como fórmula de Laplace. La estudiaremos en las siguientes páginas. Con el tiempo, la Teoría de la Probabilidad se aplicó a distintas ramas de la matemática, las ciencias sociales y las ciencias naturales. En la actualidad, además de aplicarse a cuestiones científicas, también se aplica a situaciones cotidianas tan variadas como el pronóstico del clima o la estimación de las cosechas.

¡A trabajar! Responda las preguntas. 1) ¿Cuál es el nombre de los matemáticos que participaron en el desarrollo de la Teoría de la Probabilidad? 2) ¿En qué situaciones de la vida diaria ha escuchado que se utilice el término probabilidad? Escriba dos.

94

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. La probabilidad

El estudio de las posibilidades

―¿Qué tan posible es que en su círculo de estudio haya un compañero que cumpla años el mismo día que usted? ―¿Qué tan probable es que usted se siente a la par de una persona conocida en la camioneta? Estas preguntas se refieren a sucesos o hechos de la vida que parecen cuestión de azar, pero su ocurrencia se puede explicar y hasta pronosticar mediante el cálculo de probabilidades. La probabilidad es una herramienta matemática que permite predecir, de forma numérica, la posibilidad de que un suceso ocurra. Tiene aplicaciones en contextos tan diversos como la toma de decisiones, las ciencias, el juego o las relaciones personales. La probabilidad se puede calcular en tres tipos distintos de sucesos: • Sucesos imposibles: este tipo de sucesos tiene resultados improbables, es decir, que nunca ocurren. Por ejemplo, es un suceso imposible que usted saque un dulce de menta de una bolsa que solo contiene dulces de coco. • Sucesos posibles: son acontecimientos que pueden presentar más de un resultado. Por ejemplo, en cada nacimiento que se registra solo hay dos posibilidades: que el bebé que nazca sea hombre o mujer. • Sucesos seguros: son los hechos que van a dar siempre un resultado conocido. Por ejemplo, es seguro que vamos a sacar una moneda de cinco centavos de una bolsa que solo contiene monedas de cinco centavos.

Ejercicio 1 Escriba sobre la línea el tipo de suceso al que se refiere cada texto de la izquierda. Tiene un ejemplo. 0) Ganar la lotería sin tener un billete.

Suceso imposible

1) Que al lanzar un dado salga el número 3. 2) Sacar un cinco rojo de una bolsa de cincos rojos. 3) Que al lanzar una moneda caiga escudo. 4) Que al lanzar un dado salga un número mayor que 7. 5) Ganar el grado sin aprobar las materias. Matemática − Semana 7

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2. ¿Cómo medimos la probabilidad?

Fórmula de Laplace

En la medición de la probabilidad intervienen dos variables: casos posibles y casos favorables. • Casos posibles (N): son todos los resultados que se pueden obtener. Por ejemplo, al lanzar una moneda al aire, puede caer cara o puede caer escudo. Los casos posibles son dos. (N = 2) • Casos favorables (F): son los resultados que cumplen con la condición que estamos buscando. Por ejemplo, si queremos que al lanzar la moneda caiga escudo, entonces solo tendremos un caso favorable. (F = 1)

El cálculo se realiza aplicando la fórmula de Laplace:

P(A) =

F N

Donde:

P(A) = probabilidad

F = número de casos favorables

N = número de casos posibles

Apliquemos la fórmula para calcular la probabilidad en estos ejemplos: En un examen hay cuatro variantes de una prueba: forma A, forma B, forma C y forma D. ¿Cuál es la probabilidad de que a un estudiante le corresponda la forma B?

Al calcular la probabilidad resultan números muy pequeños, por eso los expresamos en forma de porcentaje.

96

IGER − Zaculeu

• Establecemos el número de casos posibles (N). Hay 4 variantes de prueba, entonces:

N=4

• Establecemos el número de casos favorables (F). Hay 1 posibilidad de que le toque la forma B, entonces:

F=1 1 F = = 0.25 4 N

• Sustituimos en la fórmula y operamos.

P(A) =

• Expresamos el resultado como porcentaje.

P(A) = (0.25)(100) = 25%

La probabilidad de que al estudiante le corresponda la forma B es del 25%.

Veamos otro ejemplo. Para la rifa de un carro se colocan 20 tarjetas dentro de un sobre: 8 tienen dibujado un carro, 12 están en blanco. Gana la primera persona que saque una de las tarjetas con el dibujo del carro. Calculemos la probabilidad de que al sacar la primera tarjeta salga premiada. • Establecemos el número de casos posibles (N). Hay 20 tarjetas, entonces:

N = 20

• Establecemos el número de casos favorables (F). Hay 8 tarjetas con premio, entonces:

F=8


P(A) =


P(A) = 0.4 x 100 = 40%

8 4 F = = = 0.4 20 10 N

La probabilidad de ganar el carro al sacar la primera tarjeta es del 40%.

Ejercicio 2 Aplique la fórmula de Laplace para encontrar la probabilidad del suceso siguiente. 1) En una feria hay un juego de ruleta dividido en seis áreas. Los premios están distribuidos así: Área 1: plato Área 2: nada Área 3: palangana

3

Área 4: nada

2

Área 5: tinaja

4 1

5 6

Área 6: nada

Calcule la probabilidad de ganar un premio

• Establecemos el número de casos posibles.

N=

• Establecemos el número de casos favorables.

F =


P(A) =


P(A) =

La probabilidad de ganar un premio es del

F = N

= x 100 =

. Matemática − Semana 7

97

2) El registro de una agencia de viajes muestra que de 60 turistas que ingresaron al país: 30 visitaron Antigua Guatemala, 15 visitaron Panajachel, 6 visitaron Tikal y 9 visitaron Río Dulce. a. Calcule la probabilidad de que otro grupo con la misma cantidad de turistas visiten Antigua Guatemala.

• Establezca el número de casos posibles.

N=

• Establezca el número de casos favorables.

F =

• Sustituya en la fórmula y opere.

P(A) =

• Exprese el resultado como porcentaje.

P(A) =

F = N

x 100 =

La probabilidad de que los turistas visiten Antigua Guatemala es del

.

b. Calcule la probabilidad de que los turistas visiten Panajachel.

• Establezca el número de casos posibles.

N=

• Establezca el número de casos favorables.

F=

• Sustituya en la fórmula y opere.

P(A) =

•

P(A) =

Exprese el resultado como porcentaje.

La probabilidad de que los turistas visiten Panajachel es del

F = N x 100 = .

Resumen 1. La probabilidad es una herramienta matemática que permite predecir, de forma numérica, la posibilidad de que un suceso ocurra. Hay tres tipos de sucesos: imposibles, posibles y seguros.

En el cálculo de la probabilidad intervienen dos variables:

Casos posibles (N): son todos los resultados que se pueden obtener.

Casos favorables (F): son los resultados que cumplen con la condición que estamos buscando.

2.

La probabilidad se calcula con la fórmula de Laplace. P(A) =

Donde:

98

P(A) = probabilidad



IGER − Zaculeu

F N



Complete la tabla escribiendo el tipo de suceso al que corresponde cada enunciado. Para escoger los números de una placa de cuatro dígitos se siguen estas reglas: • El primer número es menor que 10 y mayor que 8 • El segundo número es menor que 9 y mayor que 1 • El tercer número es menor que 8 y mayor que 5 • El cuarto número es menor que 7 y mayor que 1 Suceso

Que el primer dígito de la placa sea 9

Tipo de suceso

seguro

Que el segundo número sea menor que 6 Que el tercer número sea 11 Que el cuarto número sea mayor que 2

Actividad 2.


Aplique sus conocimientos de probabilidad para resolver el problema siguiente. En una venta de licuados, se vendieron: 8 licuados de fresa, 10 de papaya, 6 de melón y 16 licuados de frutas mixtas. Calcule la probabilidad de que el próximo licuado que se venda sea de: a. Fresa

b. Papaya

c. Melón

d. Frutas mixtas


99

Agilidad de cálculo mental Siga practicando su agilidad de cálculo con porcentajes. Recuerde que el 50% equivale a la mitad, el 25% a la cuarta parte y el 10% a un décimo. A. Encuentre el 50% de las cantidades siguientes. 0) 50% de 80 =

40

8) 50% de 14 =

16) 50% de 48 =

1) 50% de 40 =

9) 50% de 28 =

17) 50% de 60 =

2) 50% de 86 =

10) 50% de 50 =

18) 50% de 90 =

3) 50% de 42 =

11) 50% de 46 =

19) 50% de 44 =

4) 50% de 70 =

12) 50% de 88 =

20) 50% de 22 =

5) 50% de 66 =

13) 50% de 72 =

21) 50% de 18 =

6) 50% de 68 =

14) 50% de 54 =

22) 50% de 56 =

7) 50% de 30 =

15) 50% de 36 =

23) 50% de 82 =

B. Encuentre el 25% de las cantidades siguientes. 0) 25% de 60 =

15

7) 25% de 84 =

14) 25% de 240 =

1) 25% de 40 =

8) 25% de 8 =

15) 25% de 400 =

2) 25% de 80 =

9) 25% de 12 =

16) 25% de 200 =

3) 25% de 32 =

10) 25% de 24 =

17) 25% de 320 =

4) 25% de 16 =

11) 25% de 48 =

18) 25% de 440 =

5) 25% de 20 =

12) 25% de 120 =

19) 25% de 360 =

6) 25% de 44 =

13) 25% de 160 =

20) 25% de 280 =

C. Encuentre el 10% de las cantidades siguientes. 4.8

7) 10% de 66 =

14) 10% de 87 =

1) 10% de 20 =

8) 10% de 10 =

15) 10% de 200 =

2) 10% de 90 =

9) 10% de 12 =

16) 10% de 400 =

3) 10% de 40 =

10) 10% de 23 =

17) 10% de 250 =

4) 10% de 80 =

11) 10% de 52 =

18) 10% de 760 =

5) 10% de 96 =

12) 10% de 50 =

19) 10% de 650 =

6) 10% de 25 =

13) 10% de 31 =

20) 10% de 710 =

0) 10% de 48 =

100

IGER − Zaculeu

Razonamiento lógico Aplique la fórmula de Laplace y calcule la probabilidad de cada suceso. 1) En un avión viajan 34 pasajeros guatemaltecos, 18 salvadoreños, 10 británicos y 50 mexicanos. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer pasajero que salga del avión sea salvadoreño? 2) Se extrae una bola de una urna que contiene 4 bolas rojas, 10 blancas y 6 negras. Calcule la probabilidad de que la bola: a. Sea roja b. Sea blanca c. No sea blanca 3) En una bolsa hay 50 vejigas de colores diferentes: 16 rojas, 20 blancas, 14 amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera vejiga que se extraiga sea de color. a. Rojo b. Blanco c. Amarillo 4) En una tienda, las monedas para dar el vuelto están en una gaveta sin divisiones. En total hay 80 monedas: 24 de Q0.05, 15 de Q0.10, 8 de Q0.25, 20 de Q0.50 y 13 de Q1.00. Cuál es la probabilidad de que al tomar una moneda al azar esta sea de:

a. Q0.01

b. Q0.10

c. Q1.00

5) En una reunión de 60 personas hay 6 hombres que son médicos, 24 hombres que no son médicos, 24 mujeres médicas y 6 que no son médicas. Calcule la probabilidad de que al seleccionar una persona al azar:

a. Sea médico o médica

b. Sea mujer y no sea médica

6) Encuentre la probabilidad de que al lanzar un dado al aire salga:

a. Un número par

b. Un número impar

7) Según el departamento de control de calidad de una fábrica de bombillas, de cada 125 bombillas, en promedio 5 se queman antes del tiempo estimado. ¿Cuál es la probabilidad que al comprar una bombilla se queme antes del tiempo? 8) El registro del aeropuerto indica, que durante el mes de junio, los vuelos procedentes de México han llegado: 9 veces antes de tiempo, 15 veces a tiempo, y 6 veces después del tiempo estimado. ¿Cuál es la posibilidad de que un día cualquiera el vuelo procedente de México llegue: antes de tiempo, a tiempo, después del tiempo estimado? Matemática − Semana 7

101

Desarrolle nuevas habilidades El cuadro de Punnett es un diagrama diseñado por el científico Reginald Punnett. Los biólogos lo utilizan para calcular la probabilidad de las características de un nuevo ser a partir de las características de sus progenitores. Veamos. ¿Cuál es la probabilidad de que al cruzar dos plantas con flores de pétalos rojos y manchas blancas se obtengan flores con manchas blancas? Para calcularlo, procedemos así: 1) Asignamos una letra a cada rasgo: R = Pétalos rojos; B = Manchas blancas 2) Elaboramos una tabla como la que está a la derecha y realizamos el cruzamiento siguiendo la dirección de las flechas:

R

B

R

B

R

R

RR RB

B

B

RB BB

3) Calculamos la probabilidad por simple inspección. En este caso la probabilidad es de 3/4 = 0.75. Es decir, del 75%, porque tres de las cuatro posibilidades tienen el rasgo B. (manchas blancas). Ahora le toca a usted. Calcule la probabilidad de que al cruzar dos plantas con flores de pétalos amarillos y manchas rojas se obtengan flores con pétalos amarillos y sin manchas. A R

A = Pétalos amarillos

R = Manchas rojas

A R

La probabilidad de obtener flores con pétalos amarillos y sin manchas es:




102


Explico qué es la probabilidad. Clasifico sucesos en imposibles, posibles y seguros. Distingo entre casos posibles y casos favorables. Aplico la fórmula de Laplace para calcular la probabilidad. Practico el cálculo mental operando porcentajes. Utilizo el cuadro de Punnett para calcular la probabilidad de las características físicas de plantas. IGER − Zaculeu


8 Repaso: semanas 1 a 7 Esta semana logrará:  Repasar los contenidos de la semana 1 a la 7.  Resolver los ejercicios de repaso para evaluarse en la primera prueba parcial.  Prepararse bien para la primera prueba parcial. 


103

Querida y querido estudiante: Se aproxima la primera prueba parcial y debe prepararse adecuadamente, repasando los contenidos de las semanas 1 a la 7. Para aprovechar este repaso le recomendamos: • Haga un plan de lo que estudiará cada día y trate de cumplirlo. Dedique más tiempo a los temas que le resulten difíciles. • Busque un lugar tranquilo, iluminado y silencioso para estudiar. • Lea los resúmenes de cada semana y escriba las ideas más importantes en su cuaderno. • Escuche la clase radial. Sus profesores locutores le acompañarán en este repaso y le ayudarán a resolver algunos ejercicios. • Compruebe que haya realizado bien los autocontroles. Si tiene dudas, vuelva a leer las semanas, ahí encontrará explicaciones y ejemplos.

¿Cómo será la prueba de evaluación? La prueba parcial evalúa los mismos contenidos y de la misma forma en que los ha trabajado semana a semana. En la prueba encontrará: • Una serie de agilidad mental para medir su destreza y rapidez de cálculo en un tiempo límite de tres minutos. • Diferentes ejercicios que evalúan lo aprendido en las ocho semanas. Estos ejercicios serán semejantes a los que usted resolvió en las actividades del autocontrol. Se le pedirá:  responder preguntas,  rellenar el círculo de la opción correcta,  resolver operaciones y  resolver problemas. • Cuando resuelva ejercicios y problemas, debe dejar escrito el procedimiento. • Muy importante: cada serie contiene instrucciones exactas de lo que debe realizar en cada apartado, así como la valoración asignada. Si usted se prepara con tiempo y dedicación, el resultado será satisfactorio.

104

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática Suma y resta con número mayas II 1.

El sistema de numeración maya se basa en un sistema vigesimal que utiliza tres símbolos para representar todas las cantidades. • La concha o caparazón representa el cero. • El punto representa el uno. • La barra horizontal representa el cinco.

= 1 5

= 0 = 1 = 5

Además de vigesimal, el sistema de numeración maya también es posicional. Esto quiere decir que el valor de un número depende del lugar que ocupa en la tabla de posiciones. posición valor posicional 4

203 = 8000

3

202 = 400

2

201 = 20

1

200 = 1

1.1 Conversión de numeración maya a sistema decimal

8000 x 1 = 8000

1 2 9 5

• Multiplicamos el valor posicional por el número decimal que representa la cifra maya. • Sumamos los resultados.

400 x 2 = 800 20 x 9 = 180 1x5=

5

+ 8985 2.

Suma con números mayas

Para sumar números mayas, escribimos los sumandos en una tabla. Sumamos números iguales, teniendo en cuenta estas reglas: – Cinco puntos se convierten en una barra en la misma posición. – Cuatro barras se convierten en un punto en la posición inmediata superior.

3.

Resta con números mayas

Para restar, escribimos minuendo y sustraendo en una tabla, restamos símbolos iguales en ambas columnas. Si la cantidad de puntos en el minuendo es menor que en el sustraendo, se transforma una barra en cinco puntos.

7

+

( 1 5

20

7 (

1

0 ( 20 1

–

7 3

4 5 7 3 ( 3 % Matemática − Semana 8

105

Ejercicio 1 Convierta los números del sistema decimal a numeración maya o viceversa. Guíese por los ejemplos. decimal

15

maya

%

maya

3

decimal

3

1

14

9

18

5

0

2

20

8

0

6

"

&

)

4

#

7

!

Ejercicio 2 Convierta los números mayas al sistema decimal. Tiene un ejemplo. 0)

6 8

1) 20 x 6 = 120 5

20 x

=

3

1x

=

1x8=

8

+ 128

2)

7 9 4

3)

0 7 %

4)

5 3 2 &

5)

0 6 " 8

6)

1 2 = %

7)

2 5 0 8

106

IGER − Zaculeu

Ejercicio 3 A. Aplique el procedimiento que aprendió para sumar con números mayas y resuelva cada operación. Tiene un ejemplo. 0)

6 0 5 8 8000 400

2)

4)

20 1

0 8 7

+

6 0 5 8

+

7 2 8 !

1)

" 6 =

7 # 2 " 8 # ! ) 8 ! 6

3) 6

4 0 8

400

+

20 1

5)

# 0 4 5

8000

8000

400

400

20 1

+

1

20

5 = 3 2

6 1 " 6

20

8000

# & = /

+

7 0 8 !

400

400

1

+

2 9 "

20 1


107

B. Aplique el procedimiento que aprendió para restar con números mayas y resuelva cada operación. El ejercicio 0 es un ejemplo. 0)

( 9 ( 7 8000 400

2)

20 1

$ 8 #

–

( 9 ( 7

–

3 1 " 2

9 2 6

–

0 5 6

–

5 ! 8

–

3 5 3 /

400 20 1

3)

% ) 9

400

400

20

20

1

1

9 $ ! (

–

7 4 5 8

5)

# & 4 (

8000

8000

400

400

20

20

1

1

108

8 "

3 % 1 8 " 6 2 5

4)

1) %

IGER − Zaculeu

Multiplicación y división con números mayas 1. Multiplicación con números mayas

Para multiplicar números mayas, escribimos los factores en la parte externa de la tabla, multiplicamos el número de la columna por cada número de la fila, sumamos los productos en forma diagonal, escribimos el resultado en una tabla de posiciones.

= 5

=

1 = 5

5

2 = 0

0

2. División con números mayas

% 0 5

Para dividir números mayas, escribimos en una tabla el dividendo y debajo del dividendo, fuera de la tabla, el divisor. Dividimos el número de la veintena y escribimos el resultado en la tabla de posiciones, dividimos la unidad y escribimos el resultado en la tabla de posiciones.

3 2

Ejercicio 4 A. Aplique el procedimiento que aprendió para multiplicar con números mayas y resuelva las operaciones. El ejercicio 0 es un ejemplo. 0)

2)

3 4 =

x

1 3 3 4 4 = = 3 2

x

1 4 4 " & = 6 =

1) 6

3 3 & & =

x

2 2

x

2 1

3) 9

=


109

3 5

4)

3 1

x

5) 3

2

x

3 4

x

2 1

÷

5

÷

4

4 5

6)

2 2

x

7) 7

3

B. Divida con números mayas. El ejercicio 0 es un ejemplo. 0)

" 6 (

1)

2)

6 "

110

3

÷

" 4 6 2 ( 6 3

IGER − Zaculeu

% 0

÷

6

3)

& "

Lógica de proposiciones La lógica Es:

la ciencia que estudia métodos, procedimientos y técnicas para distinguir el razonamiento correcto o verdadero del incorrecto o falso. Se expresa mediante:

proposiciones Que son:

oraciones o enunciados que se pueden clasificar como verdaderos o falsos. Se representan con cualquier letra minúscula como p, q, r, s… Se clasifican en:

proposiciones simples cerradas

proposiciones simples abiertas

Son:

Son:

enunciados que se califican directamente como verdaderos o falsos.

enunciados que dependen del valor asignado a la variable para convertirse en verdaderos o falsos.

Por ejemplo:

Por ejemplo:

w: El trigo es un cereal.

p: 3 + x = 7

Ejercicio 5 Lea cada expresión y clasifíquela como proposición o no proposición, escribiendo un cheque  en la columna correspondiente. Tiene un ejemplo. Expresión p: ¡Qué gusto!

Proposición

No proposición



r: Los sapos son anfibios. s: ¿Qué fecha es mañana? t: La longitud del río Motagua es 486 km. u: ¡Qué alegre! n: La energía solar es un recurso renovable.


111

Ejercicio 6 Lea cada proposición y determine su valor de verdad escribiendo en la columna de la derecha una v si es verdadera o una f si es falsa. Tiene un ejemplo. Proposición

Valor de verdad

f: Los derechos humanos son aplicables a todas las personas.

v

k: Guatemala tiene 22 departamentos. s: Todos los días son despejados y calurosos. w: Todas las fábulas nos dejan una moraleja. p: Los romboides tiene 4 lados iguales. o: 2, 3, 4 son tres números primos consecutivos. r: Todos los niños y las niñas tienen derecho a la educación.

Ejercicio 7 Lea las proposiciones y escriba su valor de verdad. Luego niéguelas con cualquiera de las formas no, es falso que, no es cierto que y escriba el valor de verdad de la negación. 0) y: Siempre que está nublado llueve.

~y: Es falso que siempre que está nublado llueve. 1) m: Todos los números tienen raíz cuadrada exacta.

f

2) h: Los hongos pertenecen al reino de las plantas.

3) k: Un número primo es divisible entre sí mismo.

4) r: Tubo y tuvo son palabras homófonas.

5) s: La Tierra tiene dos satélites naturales.

6) t: Las nubes están formadas por vapor de agua.

7) v: Todos los animales vertebrados nacen de huevos.

112

IGER − Zaculeu

v

Conectivos lógicos y tablas de verdad Una proposición compuesta consta de dos proposiciones simples que se unen mediante conectivos lógicos. Los conectivos lógicos son símbolos que se utilizan para formar proposiciones compuestas. Son cuatro: Símbolo

Representación lógica

Se lee

Conjunción y

/

p/q

pyq

Disyunción o

0

p0q

poq

Conectivo

Condicional si...entonces

→

p

→q

Si p entonces q

Bicondicional si y solo si

↔

p

↔q

p si y solo si q

Los valores de verdad son los valores posibles que se pueden asignar a las proposiciones. La lógica matemática solo admite dos valores de verdad: verdadero (v) y falso (f). El valor de verdad de una proposición cambia cuando se antepone el signo negador "~". Una tabla de verdad es una representación gráfica de los valores de verdad o falsedad de una proposición. Se construye siguiendo estos pasos: 1. Dibujamos una tabla de dos columnas y cinco filas.

p

q

v

v

3. A la proposición p, le asignamos las posibilidades de verdadero y falso de dos en dos.

v

f

f

v

4. A la proposición q, le asignamos las posibilidades de verdadero y falso de uno en uno.

f

f

2. En la primera fila escribimos las proposiciones p y q.

Ejercicio 8 Escriba el nombre de cada símbolo y cómo se lee. Tiene un ejemplo.

0) 1)

2) 3)

si y solo si

se lee:

bicondicional se lee:

se lee: se lee:


113

Ejercicio 9 Escriba sobre la línea si cada proposición se clasifica como simple o compuesta. 1) Si hoy es sábado, entonces mañana será domingo.

2) El año bisiesto tiene 366 días.

3) Inés estudia matemática y Lucas estudia ciencias naturales. 4) La luz se encenderá si y solo si presiono el interruptor.

Ejercicio 10 Escriba a la derecha de cada proposición su representación simbólica. Tiene un ejemplo. Proposición

Se escribe

p→q

Si ahorro, entonces tendré dinero disponible. Un automóvil funciona si y solo si tiene combustible. Ahorro el dinero o lo invierto. 10 es divisor de 100 y es múltiplo de 5. Si practico ortografía, entonces escribiré correctamente. Escucho la clase por la radio o la escucho en internet.

Ejercicio 11 Escriba la negación de cada proposición. Luego, complete la tabla de verdad. 1) p: El papel se obtiene de los árboles.

q: Los árboles son un recurso renovable.

p

~p

q

~q

v

f

v

f

r

~r

s

~s

~p: ~q:

2) r: La epidermis es la capa externa de la piel.

s: La piel es un tejido que protege al cuerpo.

~r: ~s:

114

IGER − Zaculeu

Reglas de los conectivos lógicos Regla de la conjunción p / q es verdadera cuando las dos proposiciones simples son verdaderas. p q p/ q v v f f

Regla del bicondicional p ↔ q es verdadera cuando ambas proposiciones simples son verdaderas o falsas a la vez. p q p↔ q v v v v f f f v f f f v

v f v f

v f f f

Regla de la disyunción p 0 q es verdadera si una de las dos proposiciones simples es verdadera. p q p0 q

Reglas de los conectivos lógicos

v v f f

v f v f

v v v f

Regla del condicional p → q es verdadera cuando: • Ambas proposiciones simples son verdaderas. • La segunda proposición es verdadera. • Las dos proposiciones simples son falsas. p q p→ q v v v v f f f v v f f v

Ejercicio 12 Determine el valor de verdad de cada proposición simple. Luego, aplique las reglas de los conectivos lógicos para determinar el valor de verdad de las proposiciones compuestas. Tiene un ejemplo. v p 0 q

v

q: El rojo es un color primario. v p → q

v

0) p: Los colores primarios son tres.

1) r: El número 10 es divisible entre dos.

s: El número 10 es número par.

2) t: Los peces son anfibios.

r 0 s

r ↔ s

t / u

u: Los peces pueden vivir fuera del agua.

t 0 u

3) m: Todos los centroamericanos son guatemaltecos.

m / n

n: Todos los guatemaltecos son centroamericanos.

m ↔ n


115

Ejercicio 13 Lea las proposiciones simples de los incisos 1 y 2. Luego, escriba las proposiciones compuestas indicadas y su valor de verdad. Tiene un ejemplo. 1) p: 4 es el cuadrado de 2. (v)

q: La raíz cuadrada de 4 es 2. (v) Si 4 es el cuadrado de 2, entonces la raíz cuadrada de 4 es 2.

•

p → q:

•

p / q:

•

p ↔ q:

•

p 0 q:

v

2) p: El 10 es divisor de 100. (v)

q: El 10 es múltiplo de 2. (v) •

p / q:

•

p 0 q:

•

p → q:

•

p ↔ q:

Ejercicio 14 Complete las tablas con los valores de verdad de cada proposición. Guíese por la primera fila de cada tabla. 1)

3)

116

2) r p 0 q

s

r→s

r↔s

v

v

v

v

f

v

f

f

v

f

v

f

f

f

f

p

q

p/q

v

v

v

v

v

j

k

j/k

j0k

j→k

v

v

v

v

v

IGER − Zaculeu

j ↔ k 4) l

v

v

m

v

~l ~ l / m ~l 0 m ~ l → m f

f

v

v

Medidas de dispersión 1.

Las medidas de dispersión son aquellos valores que indican cuánto se acerca o se aleja un conjunto de datos de las medidas de tendencia central: media, mediana y moda.

2.

El rango (R) también se conoce como amplitud. Mide la diferencia entre el dato de mayor valor y el dato de menor valor.

R = dato mayor – dato menor

3.

La desviación (d) es la diferencia entre los valores observados (x) y la media (X).

d=x–X

4.

La desviación media (DM) es el promedio de las desviaciones (d) en valor absoluto.

DM =

! |d| N

Ejercicio 15 A. Rellene el círculo de la respuesta correcta a cada pregunta. 1) ¿Qué medidas estadísticas se emplean para determinar la variación de los datos respecto al valor central?

De simetría De dispersión De tendencia central

2) ¿Qué medida de dispersión se obtiene con la diferencia entre el dato mayor y el dato menor de una distribución?

Rango Desviación Desviación media

3) ¿Qué medida de dispersión se obtiene con el promedio de las desviaciones?


4) ¿Cuál es el rango de la serie de datos: 10, 15, 24, 36?

10 26 36

5) ¿Qué medida de dispersión debemos aplicar si queremos conocer cuánto varía cada dato de una distribución respecto a la media?


6) ¿Qué medida de dispersión debemos aplicar si queremos conocer la variación promedio de las notas obtenidas por un grupo de estudiantes?

Rango Desviación Desviación media Matemática − Semana 8

117

B. Aplique lo que aprendió sobre medidas de dispersión para resolver los problemas. 1) La tabla muestra el número de llamadas atendidas por tres operadores de un centro de llamadas (call center) durante cuatro turnos.

El departamento de recursos humanos quiere saber cuál de los tres operadores es el más constante para entregarle una bonificación. Operadores Mario

Cristina

Andrea

Turno 1

35

22

33

Turno 2

28

36

42

Turno 3

42

62

54

Turno 4

40

35

40

Mario Cristina Andrea

R=

R=

R=

R=

R=

R=

Respuesta: 2) La tabla muestra el promedio de las temperaturas registradas en la capital durante los primeros seis meses del año 2012. La media es X = 19 ºC. Mes

enero

febrero

marzo

abril

mayo

junio

Temperatura

18 ºC

18 ºC

19 ºC

20 ºC

21 ºC

20 ºC

Adaptado de: www.tutiempo.net

a. Determine cuál es la desviación de las temperaturas.

d=x–X enero d = 18 – 19 = –1 d= d= d= d= d=

b. ¿Qué mes tiene la menor variación respecto a la media?

118

IGER − Zaculeu

3) La tabla muestra la estatura de seis niños al cumplir 1 año. Calcule cuánto varía cada dato respecto a la media (X = 75 cm) que establece el Ministerio de Salud. niño(a)

estatura en cm

Rosario

75

Fernando

73

Ramiro

72

Paola

76

Gabriela

70

Carlos

74

a. Calcule la desviación (d) para cada valor d = x – X

Rosario

d=

Fernando

d=

Ramiro

d=

Paola d =

Gabriela

d=

Carlos

d=

b. Calcule la desviación media (DM).

DM =

DM =

DM =

! |d| N

6

=

=

c. Responda las preguntas.

1) ¿Cuánto varía la estatura de los niños de la muestra con respecto a la media?

2) Tomando en cuenta el valor de la desviación media (DM), ¿qué niños tienen una estatura normal?

3) ¿Qué niños tienen baja estatura?


119

Ejercicio 16 La tabla muestra el registro del tiempo en segundos de tres nadadores, en tres competencias de 100 metros estilo libre. El entrenador quiere conocer la desviación media de esos tiempos, para seleccionar al nadador que representará al equipo en los juegos nacionales. Competencia Nadador

1

2

3

Ana

53 s

62 s

59 s

Pablo

50 s

66 s

58 s

Rebeca

48 s

69 s

57 s

Con la información de la tabla calcule: a. La media de cada nadador. X=

=

=

X =

Pablo X =

=

=

X =

Rebeca

=

=

X =

Ana

X=

b. La desviación (d) de cada nadador respecto de la media. Ana Pablo

Rebeca

d=

=

d=

=

d=

=

d=

=

d=

=

d=

=

d=

=

d=

=

d=

=

c. Calcule la desviación media (DM).

Ana

DM =

=

DM =

Pablo

DM =

=

DM =

Rebeca

DM =

=

DM =

d. ¿Qué nadador debe representar al equipo?

120

IGER − Zaculeu

Probabilidades 1.

La probabilidad es una herramienta matemática que permite predecir, de forma numérica, la posibilidad de que un suceso ocurra. Hay tres tipos de sucesos: imposibles, posibles y seguros.

En el cálculo de la probabilidad intervienen dos variables:

Casos posibles (N): son todos los resultados que se pueden obtener.

Casos favorables (F): son los resultados que cumplen con la condición que estamos buscando.

2.

La probabilidad se calcula con la fórmula de Laplace. P(A) =

F N

Donde:

P(A) = probabilidad



Ejercicio 17 Escriba en la línea derecha de cada enunciado, si corresponde a un suceso seguro, posible o imposible. Tiene un ejemplo. 0) Que todos los meses del año inicien el día lunes.

1) Sacar un cinco azul de una bolsa con cincos azules.

2) Que el producto de dos números impares sea par.

3) Obtener 100 puntos en Física Fundamental.

imposible

4) Que todos los números pares tengan raíz cuadrada exacta.

Ejercicio 18 Escriba el número de casos posibles y el número de casos favorables para cada suceso. Tiene un ejemplo. Suceso

Casos posibles (N)

Casos favorables (F)

Obtener el número premiado en una tómbola con 20 números.

20

1

De 8 opciones, elegir 1 carrera para seguir estudiando. Que llueva 3 días en 1 semana. Que al lanzar una moneda caiga cara. Ganar uno de los 7 premios de una rifa.


121

Ejercicio 19 Aplique el procedimiento que aprendió para calcular la probabilidad en los siguientes casos. 1) El registro de visitantes del zoológico La Aurora indica que, de cada 200 personas que ingresan, 85 son niños, 55 son adolescentes, 50 adultos y 10 son personas de la tercera edad. Según este registro, ¿cuál es la probabilidad de que el próximo visitante sea adulto o sea de la tercera edad? a. visitante adulto b. visitante de la tercera edad

F = 50

N = 200 N=

P(A) =

P(A) = 0.25 x 100 = 25%

La probabilidad es del 25%.

F=

F 50 = = 0.25 N 200

P(A) =

F = N

P(A) =

= =

La probabilidad es del

.

2) En una tómbola hay 8 bolas rojas, 4 bolas blancas y 4 bolas negras. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bola que se extraiga sea, roja o sea negra? a. bola roja b. bola negra

F=

F=

N=

N=

P(A) =

P(A) =


F = N

= x 100 =

P(A) =

F = N

P(A) =

= =

. La probabilidad es del

.

3) Encuentre la probabilidad de que al lanzar un dado al aire salga un número par o un número impar. a. número par b. número impar

122

F=

F=

N=

N=

P(A) =

P(A) =


F = N

IGER − Zaculeu

= x 100 =

P(A) =

F = N

P(A) =

. La probabilidad es del

= = .

Agilidad de cálculo mental A. Escriba en la línea el resultado de cada multiplicación. 1) 5 x 6 =

10) 8 x 4 =

19) 12 x 6 =

2) 9 x 4 =

11) 5 x 9 =

20) 30 x 4 =

3) 7 x 2 =

12) 2 x 3 =

21) 12 x 3 =

4) 6 x 3 =

13) 4 x 4 =

22) 25 x 4 =

5) 7 x 8 =

14) 8 x 5 =

23) 60 x 2 =

6) 0 x 6 =

15) 9 x 0 =

24) 20 x 5 =

7) 9 x 9 =

16) 3 x 7 =

25) 20 x 6 =

8) 8 x 6 =

17) 5 x 5 =

26) 15 x 4 =

9) 5 x 3 =

18) 2 x 9 =

27) 12 x 5 =

B. Escriba en la línea el resultado de las operaciones combinadas. 1) 5 x 5 + 8 =

10) 8 x 2 + 4 =

19) 6 x 1 + 9 =

2) 9 x 3 + 2 =

11) 9 x 4 + 2 =

20) 7 x 4 + 2 =

3) 6 x 9 + 5 =

12) 5 x 6 + 9 =

21) 2 x 2 + 6 =

4) 9 x 7 + 4 =

13) 7 x 3 + 5 =

22) 9 x 8 + 1 =

5) 8 x 5 + 9 =

14) 9 x 5 + 3 =

23) 4 x 5 + 8 =

6) 7 x 8 + 4 =

15) 7 x 9 + 7 =

24) 6 x 0 + 6 =

7) 5 x 2 + 8 =

16) 3 x 5 + 4 =

25) 9 x 2 + 9 =

8) 9 x 9 + 9 =

17) 8 x 8 + 3 =

26) 5 x 3 + 7 =

9) 3 x 7 + 0 =

18) 5 x 9 + 8 =

27) 1 x 9 + 6 =

C. Calcule el 25% de las cantidades siguientes. Recuerde que el 25% es igual a la cuarta parte de una cantidad. 1) 25% de 8 =

6) 25% de 16 =

11) 25% de 36 =

2) 25% de 4 =

7) 25% de 28 =

12) 25% de 44 =

3) 25% de 12 =

8) 25% de 32 =

13) 25% de 48 =

4) 25% de 60 =

9) 25% de 20 =

14) 25% de 80 =

5) 25% de 24 =

10) 25% de 40 =

15) 25% de 100 =


123






Repaso los contenidos de la semana 1 a la 7. Resuelvo los ejercicios de repaso para evaluarme en la primera prueba parcial. Me siento bien preparado o preparada para la prueba de evaluación.

Orientaciones sobre la prueba parcial ¡Llegó el momento de la prueba! Ya está listo para su primera prueba de Matemática. Le presentamos las últimas recomendaciones que pueden ayudarle a la hora del examen.

Grupo: Zaculeu Materia: Matemática Prueba: parcial A-2014

Al recibir la prueba, y antes de empezar a resolverla, escriba su nombre, número de carné, número de centro y fecha. Lea atentamente las instrucciones antes de contestar. Si tiene duda, consulte a su orientador(a).

i serie. 1 punto cada respuesta correcta. Total 6 puntos. INSTRUCCIONES: Rellene el círculo que corresponde al resultado correcto.

1) ¿Cuál de las expresiones siguientes es una proposición?

Hermosa noche ¿Qué tal te ha ido? 7 es un número primo

No se "atasque" en ningún ejercicio. Empiece por las preguntas que sepa mejor y le quedará más tiempo para pensar en las que tenga dudas. Al finalizar su examen, relea todas sus respuestas y vea si algo se le pasó por alto. Presente su prueba limpia y ordenada.

¡ánimo! El resultado de su examen será el producto de su esfuerzo.

124

IGER − Zaculeu

9 Progresión aritmética ¿Qué encontrará esta semana? Las fases de la Luna Progresión aritmética Operaciones con porcentajes: 10%, 25% y 50% Secuencias lógicas en fichas de dominó

Esta semana logrará:  Reconocer una progresión aritmética.  Determinar el patrón que sigue una progresión aritmética.  Aplicar las ecuaciones de la progresión aritmética en la solución de problemas.  Calcular con agilidad el 10%, 25% y 50% de cantidades distintas.  Determinar la secuencia lógica que sigue una serie de figuras. 


125

¡Para comenzar! Las fases de la Luna de siete en siete

La Luna es un astro que siempre ha fascinado a los seres humanos. Desde la Tierra la observamos con formas distintas que se conocen como fases de la Luna. Podemos ver una fase diferente cada siete días como se presenta en el esquema. Luna nueva día 7

Cuarto menguante día 28

Cuarto creciente día 14

Luna llena día 21

La sucesión de las fases de la Luna se puede representar mediante esta serie de números ordenados, en la que cada fase se obtiene sumando siete días a la fase anterior: 7, 14, 21, 28 En matemáticas, estas series de números ordenados, se conocen como sucesiones numéricas. Algunas, como la del ejemplo, se forman sumando o restando cantidades fijas a cada uno de los términos y otras multiplicando o dividiendo. A lo largo de esta semana y la siguiente estudiaremos dos tipos de sucesiones numéricas. Estos temas son un cimiento para comprender mejor el contenido de álgebra que estudiará más adelante. ¡A trabajar! Calcule en qué fecha ocurrirán las fases de la Luna. En el calendario de la derecha está marcado el inicio de la Luna nueva. Recuerde que entre cada fase hay una diferencia de 7 días. 1) ¿En qué fecha iniciará el cuarto creciente? 2) ¿En qué fecha comenzará la Luna llena? 3) ¿En qué fecha iniciará el cuatro menguante?

126

IGER − Zaculeu

6

7

1

2

3

4

5

8

9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

El mundo de la matemática 1. Progresión aritmética En la sección anterior vimos que podemos expresar las fases de la Luna mediante una sucesión numérica en la que cada término se obtiene sumando 7 al término anterior. Este tipo de sucesiones se llaman progresiones aritméticas. primer término

7

14 +7

21 +7

28

último término

+7

Una progresión aritmética es una serie numérica en la que cada término se obtiene sumando o restando una cantidad fija al término anterior. Esa cantidad fija se llama diferencia y se representa con la letra (d). Las progresiones aritméticas se componen siempre de estos elementos: • Primer término (a).

En la progresión aritmética de nuestro ejemplo, el primer término es 7, entonces a = 7.

• Último término (u).

En nuestro ejemplo, el último término es 28, u = 28.

• Número de términos (n). La Luna tiene solamente cuatro fases que se expresan en los cuatro términos de la progresión. Entonces n = 4. Entre cada fase de la Luna hay una diferencia de 7 días, por lo tanto d = 7.

• Diferencia (d).

A lo largo de la semana identificaremos los datos en una tabla como esta:

a 7

u 28

n 4

d 7

Ejercicio 1 Observe la progresión aritmética y conteste a las preguntas. Tiene un ejemplo. 9, 15, 21, 27, 33 0) ¿Cuál es el primer término de la progresión?

a=

1) ¿Cuál es el último término de la progresión?

u=

2) ¿Cuál es el número de términos?

n=

3) ¿Cuál es el valor de la diferencia?

d=

9


127

1.1 El último término de una progresión aritmética Para calcular el último término de una progresión aritmética, sin necesidad de escribir toda la serie numérica, utilizamos esta ecuación:

u = a +^ n - 1 h d Donde:

u = el último término

a = el primer término n = el número de términos d = diferencia entre cada término Practiquemos la fórmula con un ejemplo. Calculemos el último término de una progresión aritmética, cuyo primer término es 20, el número de términos es 15 y su diferencia es 2. Para resolver el problema, seguimos estos pasos: • Escribimos los valores conocidos y desconocidos en una tabla Recuerde: Por jerarquía en las operaciones debemos resolver el producto antes de sumar.

• Sustituimos los valores en la ecuación y operamos

a

u

n

d

20

?

15

2

u = a + ^n - 1h d u = 20 + ^15 - 1h 2 u = 20 + ^14h 2 u = 20 + 28 u = 48

• El último término de la progresión es 48. Otro ejemplo La familia Alquijay abre una cuenta de ahorro con Q100.00 y deposita Q50.00 cada mes. ¿Cuánto dinero ha ahorrado después de 6 meses? • Escribimos los valores conocidos y desconocidos en una tabla • Sustituimos los valores en la ecuación y operamos

a

u

n

d

100

?

6

50

u = a + ^n - 1h d u = 100 + ^6 - 1h 50 u = 100 + ^5h 50 u = 100 + 250 u = 350

• La familia Alquijay ha ahorrado Q350.00 después de 6 meses.

128

IGER − Zaculeu

Ejercicio 2 Encuentre el último término de las progresiones aritméticas indicadas en cada numeral. 1) Un agricultor siembra 4 árboles por hora. Hasta el momento ha plantado 30 árboles. ¿Cuántos árboles tendrá sembrados al cabo de 7 horas? •

Escriba los datos conocidos y desconocidos en una tabla

•

Sustituya los valores en la ecuación y opere

•

El agricultor tendrá sembrados

a

u

n

d

30 u = a + ^n - 1h d u = ..................................................................... u = .................................................................... u = ....................................................... u = ..........................

árboles.

2) Un maratonista inicia su entrenamiento corriendo 3 km y aumenta 2 km cada semana. ¿Cuántos kilómetros correrá en la décima semana? •

Escriba los valores conocidos y desconocidos en una tabla

•


•

El maratonista correrá

a

u

n

d

u = a + ^n - 1h d u = ..................................................................... u = .................................................................... u = ....................................................... u = ..........................

kilómetros en la décima semana.

3) Si compramos una estufa en 12 pagos, de modo que el primer pago es Q100.00 el segundo Q110.00 y así sucesivamente, ¿cuánto debemos cancelar en el último pago? •

Escriba los valores conocidos y desconocidos en una tabla

•


a

u

n

d

u = a + ^n - 1h d u = ..................................................................... u = .................................................................... u = ....................................................... u = ..........................

•

En el último pago debemos cancelar Q

. Matemática − Semana 9

129

1.2 El primer término, el número de términos y la diferencia de términos Con la ecuación que hemos aprendido: u = a + (n - 1)d, podemos encontrar el valor de cualquier término desconocido en una progresión aritmética. Solo tenemos que despejar la variable correcta. Fíjese. Primer término (a)

a = u - (n - 1) d

Número de términos (n) Diferencia de términos (d )

n=

u -a d +1

u -a d = n -1

Veamos un ejemplo Calculemos el primer término de una progresión aritmética de 15 términos, con una diferencia entre ellos de 3 y cuyo último valor es 75. Para resolver este problema seguimos los mismos pasos que hemos estudiado. • Escribimos los valores conocidos y desconocidos en una tabla

Atención: Para elegir la ecuación que resuelve el problema, nos guiamos por el valor desconocido.

• Elegimos la ecuación que resuelve el problema, sustituimos los valores y operamos

a

u

n

d

?

75

15

3

a = u - ^n - 1h d a = 75 - ^15 - 1h 3 a = 75 - ^14h 3 a = 75 - 42 a = 33

• El primer término de la progresión es 33. Un ejemplo más Un estudiante elabora un plan de lectura. El primer día leerá 30 páginas de un libro y cada día leerá 2 páginas más que el anterior. Si el último día se propone leer 42 páginas, ¿en cuántos días terminará de leer el libro? • Escribimos los valores conocidos y desconocidos en una tabla

a

u

n

d

30

42

?

2

• Elegimos la ecuación que resuelve u - a u -a = u -a +1 n = d + 1n el problema, sustituimos los valores n = dd + 1 y operamos 4212- 30 42 - 30

n= 2 n =7

12 n = 42 -+ = + = 6 +1 = 7 301 + + =116 = + 112 7 11 = 2=+ n 1== 22 + 6 +1 = 7 2 2 n =7 n =7

• El estudiante terminará de leer el libro en 7 días.

130

IGER − Zaculeu

Un último ejemplo Las edades de cuatro hermanos están en progresión aritmética. El menor y el mayor tienen 16 y 25 años, respectivamente. ¿Cuántos años de diferencia hay entre cada hermano? • Escribimos los valores conocidos y desconocidos en una tabla • Elegimos la ecuación que resuelve el problema, sustituimos los valores y operamos

a

u

n

d

16

25

4

?

u -a u d-= a 1 d = n - 1 nu -a d = 25 9 n --1 16 =16 25d 4= - 19 ==3 3 = 3 d = 4 - 125 9 3 d = 3 - 16 4 -1 = 3 = 3 d =3 d =3

• Entre cada hermano hay 3 años de diferencia.

Ejercicio 3 Aplique las ecuaciones de la progresión aritmética para resolver los problemas. 1) Si abrimos una cuenta de ahorro con Q200.00 y depositamos Q100.00 en los meses siguientes, ¿en cuántos meses tendremos Q1,500.00? •

•


a

u

n

d

1500

Elija la ecuación que resuelve el problema, u -a sustituya los valores y opere n = d + 1

n=

u -a d +1

n = ................................................ + 1 = ................................. + 1 = n = ................................................ + 1 = ................................. + 1 = .......................... = ..........................

•

Tendremos Q1,500.00 en

meses.

2) Un alfarero tiene un encargo de 60 ollas de barro. Lleva 15 fabricadas y debe completar el resto dentro de 6 días. ¿Cuántas ollas debe fabricar por día para cumplir con el pedido? •


•

Elija la ecuación que resuelve el problema, sustituya los valores y opere

•

El alfarero debe fabricar

a

u

n

d

u -a u -a d = n -1 d = n -1 d = ................................................. = ................................... = .................... ................................................. d= = ................................... = ............................

ollas por día.


131

1.3 Suma de los términos en una progresión aritmética En una progresión aritmética podemos conocer la suma de todos los términos aplicando esta fórmula:

s=

â + uhn

2

La letra s representa la suma de todos los términos. Las letras a, u y n representan los términos que ya conocemos. Por ejemplo Calculemos la suma de los 4 términos que tiene una progresión aritmética, en la cual, el primer término es 2 y el último es 8. • Escribimos los datos conocidos y desconocidos en una tabla

s

a

u

n

?

2

8

4

â + uh n 2 s= 2 s = â + uh n ^2 +28 h 4 ^10 h 4 40 ^2 + 8 hs4= ^10 h 4 =40 = 2 = 20 2 2 s= = 20 = = ^2 +28 h 4 2^10 h 4 40 2 â + u hsn=


= 20 2 ss = s = 20

s = 20

=

2

= 2 = 20

• La suma de los cuatro términos de la progresión es 20. Otro ejemplo Un equipo de ciclismo inicia un plan de entrenamiento que consiste en recorrer 10 kilómetros el primer día, y después de 15 días, terminar con 24 kilómetros por día. ¿Cuántos kilómetros recorre en total durante los 15 días de entrenamiento? • Escribimos los datos conocidos y desconocidos en una tabla • Sustituimos los valores en la ecuación y operamos

s=

â + uh n

s

a

u

n

?

10

24

15

2 ^10 + 24 h 15 s= 2 s = 255

s=

â + uh n

â +2u h n s = ^102+ 24h 15 ^34h 15 510 s= = 2 = ^34h 15 2 510 = 2 = ^210 += ^34 h 15 24h215 = 255 510

ss = = 255 2 s = 255

=

2

• El equipo de ciclismo recorre 255 km en los 15 días de entrenamiento.

132

IGER − Zaculeu

= 2 =

Ejercicio 4 Aplique la fórmula de la suma de términos de una progresión aritmética para resolver los problemas. 1) Una trabajadora abre una cuenta de ahorro con Q100.00. Luego, mensualmente deposita Q10.00 más que en el mes anterior. Si en el sexto mes depositó Q150.00, ¿cuánto dinero tiene ahorrado en total? •

•


s

Sustituya los valores en la ecuación y opere â + u h n

s=

s=

2

s=

u

n

â + uh n

2

............................... ................................................. =s..................................................... = 2 = = s = .........................

2

s = ......................... •

a

La trabajadora tiene ahorrado en total Q

.

2) Un estudiante que aprende q'eqchi' memoriza 5 palabras en la primera semana del curso. Luego, cada semana memoriza 2 palabras más que en la anterior. Si en la semana 10 memoriza 23 palabras, ¿cuántas palabras ha memorizado en total? •


s

â + uh n • Sustituya los valores en la ecuación y opere s=

s=

2

s=

El estudiante ha memorizado

u

n

â + uh n

2

................................................. ............................... = =s..................................................... 2 = =

2

s = .........................

s = ......................... •

a

palabras en total.

3) Un automóvil, que inicialmente se desplaza a 10 metros por segundo, acelera durante 5 segundos hasta alcanzar una velocidad de 20 metros por segundo. ¿Cuánto metros se desplaza durante la aceleración? •


•

Sustituya los valores en la ecuación y opere â + u h n

s=

s

2

s= s = ......................... •

El automóvil se desplaza

2

a

u

n

â + uh n = â +2uh n ss = 2

................................................. = = ................................................. = = =ss..................................................... 2 = ............................... 2

= ......................... ......................... ss =

metros. Matemática − Semana 9

133

Resumen 1. La progresión aritmética es una serie numérica en la que cada término se obtiene sumando o restando al término anterior la misma cantidad llamada diferencia.

Una progresión aritmética se compone siempre de: primer término (a), último término (u), número de términos (n) y diferencia de términos (d).

2.

Para calcular el último término de una progresión aritmética utilizamos la ecuación:

u = a +^ n - 1 h d 3.

Para calcular cualquier término desconocido en una progresión aritmética, aplicamos las ecuaciones: •

Primer término (a)

•

Número de términos (n)

•

Diferencia de términos (d)

a = u -^ n - 1 h d n=

u -a d +1

u -a d = n -1

4. Para calcular la suma de los términos de una progresión aritmética, aplicamos la ecuación siguiente:

s=

â + uhn

2

Investigue en la red... Ingrese a la dirección de internet que se indica abajo. Ahí encontrará un video que explica cómo se obtiene la ecuación para hallar el último término de una progresión aritmética. http://www.youtube.com/watch?v=-3hlfPyuqtg

134

IGER − Zaculeu



A. Observe la progresión aritmética y rellene el círculo de la opción que completa correctamente cada enunciado. Tiene un ejemplo. 12, 20, 28, 36, 44, 52 0) El último término de la progresión es…

12 20 52

1) La diferencia entre términos es…

8 12 20

2) El primer término de la progresión es…

52 12 8

3) El número de términos de la progresión es…

6 8 12

4) Si continuamos con la serie, el número que sigue a 52 es…

53 58 60

B. Lea con atención cada enunciado. Luego, escriba la progresión aritmética indicada. Tiene un ejemplo. 0) Escriba una progresión aritmética en la que el primer término es 4, el último es 20 y la diferencia es 4.

4, 8, 12, 16, 20

1) Escriba una progresión aritmética de 8 términos en la que el primer término es 12 y la diferencia entre términos es 6. 2) Escriba una progresión aritmética en la que el primer término es 9, el último es 24 y la diferencia es 3. 3) Escriba una progresión aritmética de 7 términos en la que el primer término es 56, el último es 8 y la diferencia es 8. Matemática − Semana 9

135

Actividad 2.


A. Aplique la ecuación adecuada para hallar el término desconocido en cada progresión aritmética. Guíese por el ejemplo. 0)

a

u

n

d

3

39

?

6

1)

a

u

n

d

7

?

12

4

u -a d +1 39 - 3 36 n = 6 +1 = 6 +1 = 6 +1 = 7 n =7 n=

2)

4)

136

a

u

n

3) a d

u

n

d

4

40

?

3

3

25

12

?

a

u

n

5) s d

a

u

n

?

112

36

3

?

3

8

6

IGER − Zaculeu

B. Resuelva los problemas. Aplique las ecuaciones de la progresión aritmética que aprendió en la semana. 1) El sueldo inicial de una empleada es Q3,200.00 mensuales. La empresa ofrece un aumento de Q75.00 por cada año laborado. ¿Cuál será el sueldo de la empleada después de 6 años?

a

u

n

d

Respuesta: 2) Un atleta principiante sigue un plan de entrenamiento de 6 semanas. La primera semana corre 15 minutos sin parar. ¿Cuántos minutos más debe correr cada semana para que en la última corra 45 minutos seguidos?

a

u

n

d

Respuesta: 3) Hace 18 meses un trabajador abrió una cuenta de ahorro. Se propuso depositar Q75.00 cada mes. Si lleva Q2,075.00 ahorrados, ¿con qué cantidad de dinero abrió la cuenta?

a

u

n

d


137

Agilidad de cálculo mental Esta semana seguimos practicando con porcentajes. Recuerde que el 10% de una cantidad equivale a la décima parte, el 25% es la cuarta parte y el 50% es la mitad de la misma cantidad. A. Calcule el 50% de las cantidades siguientes. Tiene un ejemplo. 10

7) 50% de 38 =

14) 50% de 118 =

1) 50% de 10 =

8) 50% de 56 =

15) 50% de 121 =

2) 50% de 24 =

9) 50% de 34 =

16) 50% de 126 =

3) 50% de 16 =

10) 50% de 72 =

17) 50% de 132 =

4) 50% de 30 =

11) 50% de 92 =

18) 50% de 141 =

5) 50% de 42 =

12) 50% de 102 =

19) 50% de 152 =

6) 50% de 74 =

13) 50% de 114 =

20) 50% de 164 =

0) 50% de 20 =

B. Calcule el 10% de las cantidades siguientes. Tiene un ejemplo. 0) 10% de 20 =

7) 10% de 90 =

14) 10% de 45 =

1) 10% de 10 =

8) 10% de 15 =

15) 10% de 61 =

2) 10% de 40 =

9) 10% de 25 =

16) 10% de 74 =

3) 10% de 70 =

10) 10% de 75 =

17) 10% de 46 =

4) 10% de 80 =

11) 10% de 18 =

18) 10% de 92 =

5) 10% de 30 =

12) 10% de 26 =

19) 10% de 77 =

6) 10% de 60 =

13) 10% de 33 =

20) 10% de 89 =

2

C. Calcule el 25% de las cantidades siguientes. Tiene un ejemplo. 0) 25% de 8 =

2

7) 25% de 40 =

14) 25% de 200 =

1) 25% de 20 =

8) 25% de 48 =

15) 25% de 240 =

2) 25% de 12 =

9) 25% de 24 =

16) 25% de 320 =

3) 25% de 60 =

10) 25% de 80 =

17) 25% de 400 =

4) 25% de 32 =

11) 25% de 100 =

18) 25% de 600 =

5) 25% de 16 =

12) 25% de 120 =

19) 25% de 800 =

6) 25% de 28 =

13) 25% de 160 =

20) 25% de 1000 =

138

IGER − Zaculeu

Razonamiento lógico Lea cada enunciado y aplique las ecuaciones de la progresión aritmética para responder a las preguntas. 1)

Los jugadores de un equipo de futbol deciden ahorrar Q10.00 diarios para comprar un balón que cuesta Q300.00. Si comienzan el ahorro con Q40.00: a. ¿Cuántos quetzales tendrán ahorrados en 30 días? b. ¿En cuántos días completarán el dinero?

2)

La cooperativa Tres Pinos depositó Q3,000.00 a plazo fijo. Después de 4 años esa cantidad aumentó a Q3,270.00: a. ¿Cuántos quetzales de interés obtuvo la inversión por cada año? b. ¿A cuántos quetzales aumentará la inversión en el quinto año?

3)

Una empresa perforadora de pozos paga a sus trabajadores según los metros cavados. Por el primer metro paga Q50.00 y cada metro que sigue paga Q15.00 más que el anterior. Si la profundidad de un pozo es de 8 metros: a. ¿Cuánto pagará la empresa por el último metro excavado? b. ¿Cuál fue el costo total de la excavación del pozo?

4)

El último graderío de un estadio tiene capacidad para 1000 aficionados, el penúltimo para 960, y así sucesivamente. Si el estadio tiene 15 graderíos: a. ¿Cuál es la diferencia de la capacidad entre cada graderío? b. ¿Cuál es la capacidad del primer graderío? c. ¿Cuál es la capacidad total del estadio?

5)

Un estudiante decide aprovechar sus vacaciones para hacer ejercicio. Elije un plan de entrenamiento de 8 semanas. La primera semana corre 1500 metros y cada semana aumenta 500 metros a su recorrido: a. ¿Cuántos metros correrá en la última semana de entrenamiento? b. ¿Cuántos metros correrá en total durante el entrenamiento?

6)

Un comerciante obtiene Q100.00 de ganancia el primer día de diciembre, Q110.00 en el segundo y así sucesivamente: a. ¿Cuántos quetzales obtiene de ganancia el 15 de diciembre? b. ¿Cuántos quetzales obtiene de ganancia el 24 de diciembre? c. ¿Cuántos quetzales gana en total del 15 al 24 de diciembre?


139

Desarrolle nuevas habilidades En esta actividad le proponemos completar una serie de secuencias lógicas. Resolverlas le ayudará a ordenar el pensamiento y mejorar su inteligencia visual espacial. ¡Anímese! Secuencias lógicas El ejercicio consiste en marcar con una (X) la ficha de dominó que completa correctamente cada secuencia. Fíjese en el ejemplo.

a.

b.

c.

a.

b.

c.

a.

b.

c.

a.

b.

c.

?

?

1)

?

?

0)

?

?

2)

?

?

3)




140


Reconozco una progresión aritmética. Determino el patrón que sigue una progresión aritmética. Aplico las ecuaciones de la progresión aritmética en la solución de problemas. Calculo con agilidad el 10%, 25% y 50% de cantidades distintas. Determino la secuencia lógica que sigue una serie de figuras. IGER − Zaculeu


10 Progresión geométrica ¿Qué encontrará esta semana? La reproducción de las células Progresión geométrica Operaciones con la unidad seguida de ceros Problemas de progresiones geométricas

Esta semana logrará:  Calcular el primer término, el último y la suma en una progresión geométrica.  Resolver problemas aplicando las ecuaciones de la progresión geométrica.  Practicar el cálculo mental operando con decimales.  Completar secuencias lógicas. 


141

¡Para comenzar! La reproducción de las células Las células que forman nuestro cuerpo se reproducen mediante un proceso de división celular llamado mitosis. En cada mitosis el número de células se duplica. Todo inicia con una célula madre que se divide en dos partes iguales para generar dos células hijas. Luego, estas células hijas se dividen para formar otras cuatro células y así sucesivamente. Este proceso continúa durante toda la vida, permitiendo la renovación celular y el crecimiento del organismo. Vea la ilustración. 1

2

4

8 Podemos representar esta multiplicación celular mediante una serie numérica en la que cada término es el doble del anterior: 1, 2, 4, 8… Las series numéricas de este tipo se conocen como progresiones geométricas. Nuestro tema de la semana. ¡A trabajar! A. Responda a las preguntas. Ayúdese con la información que acaba de leer. 1) ¿Cuántas células se obtienen en la segunda división?

2) ¿Cuántas células se obtienen en la tercera división? B. Escriba los tres términos que siguen en la serie numérica. 1

142

IGER − Zaculeu

2

4

8

El mundo de la matemática 1. Progresión geométrica En la actividad anterior vimos que las células se duplican en cada mitosis. La serie numérica siguiente muestra la cantidad de células que se producen desde la primera hasta la cuarta división. primer término

1

2

4

x2

x2

8

último término

x2

Observe que cada valor se obtiene multiplicando por 2 el término anterior. Una serie como esta se llama progresión geométrica. Una progresión geométrica es una serie de números en la que cada resultado se obtiene multiplicando o dividiendo el término anterior por una misma cantidad llamada razón (r). Las progresiones geométricas siempre se componen de: • Primer término (a) • Último término (u) • Número de términos (n) • La razón (r) (se calcula dividiendo dos términos consecutivos) Le presentamos los componentes de la progresión de nuestro ejemplo en la tabla. Observe que, a diferencia de la progresión aritmética, el último elemento es (r).

a

u

n

r

1

8

4

2

Ejercicio 1 Complete cada progresión geométrica con los términos correspondientes. Luego, escriba el elemento correcto en la tabla de la derecha. 1)

2

2)

3)

4

15

10

30

16

45

a

u

2

16

a

u

n

r

n

r

4

a

u

n

270

4

r


143

1.1 Último término de una progresión geométrica Hallar el valor del último término de una progresión geométrica sirve, entre otras aplicaciones, para proyectar el crecimiento de la población de un lugar o el crecimiento de los cultivos de bacterias en los exámenes de laboratorio clínico. También es útil para calcular los beneficios de los ahorros y proyectar las ganancias de una inversión o negocio. Se calcula con esta ecuación:

u = a : r_ n - 1 i Veamos un ejemplo En una muestra de laboratorio, se observa que el número de bacterias se duplica cada hora. Si al inicio de la observación hay 500 bacterias, ¿qué cantidad habrá después de 6 horas? • Ordenamos los datos en la tabla

Recuerde: Por jerarquía de operaciones debemos resolver la potencia antes de multiplicar.

a

u

n

r

500 ?

6

2

_

i

u = a : r n-1 i _ u = 500 : 2 6 - 1 _ i u = 500 : 2 5 u = 500 : 32 u = 16 000


• Después de 6 horas habrá 16 000 bacterias.

Ejercicio 2 Los miembros de una cofradía deciden ahorrar para la fiesta patronal del pueblo. El primer día depositan Q1.00 en una alcancía y cada día duplican la cantidad depositada el día anterior. ¿Cuánto dinero tendrán que depositar el séptimo día? • Ordene los datos en una tabla

a

• Sustituya los valores en la ecuación y opere u =

u=

u=

• El séptimo día tendrán que depositar Q

144

IGER − Zaculeu

u

n _

u = a : r n-1

r i

u = ............................ : ........................... u = ............................ : .................. u = ............................ : .................. u = .................................................... .

1.2 Primer término de una progresión geométrica Para obtener el primer término de una progresión geométrica, despejamos la variable a de la ecuación que ya conocemos y obtenemos:

a=

r

_

u

n - 1i

Resolvamos juntos este ejemplo Un empleado triplicó sus ahorros durante 6 meses. Si en el último mes depositó Q2,430.00, ¿cuánto depositó el primer mes? • Ordenamos los datos en la tabla


a

u

n

r

?

2430

6

3

u a = ( n - 1) r 2430 a = ( 6 - 1) 3 2430 a= 5 3 2430 a = 243 a = 10

• El primer mes depositó Q10.00.

Ejercicio 3 Calcule el término inicial en la progresión geométrica siguiente. La población de pollos de una granja avícola se duplica cada semana. Si después de 6 semanas hay 1280 pollos, ¿cuántos había inicialmente? • Ordene los datos en la tabla

a

u

n

r

u

a = _n - 1i • Sustituya los valores en la ecuación r y opere a = a = a = • Inicialmente había

=

pollos. Matemática − Semana 10

145

1.3 Suma de los términos de una progresión Al igual que en la progresión aritmética, en la progresión geométrica también podemos obtener la suma de los términos aplicando esta fórmula:

s=

u^ r h - a r -1

Veamos un ejemplo Un comerciante duplicó diariamente sus ganancias durante una semana de trabajo. El lunes ganó Q20.00 y el sábado Q640.00. ¿Cuánto ganó en la semana? • Ordenamos los datos en la tabla

s ?

a

u

r

20 640 2

u^ r h - a r -1 640 ^2h - 20 s= 2 -1


s=

1260 1 s = 1260 s=

• De lunes a sábado el comerciante ganó un total de Q1,260.00.

Ejercicio 4 Calcule la suma de los términos en las progresiones geométricas siguientes. 1) Los miembros de un comité de vecinos triplicaron sus ahorros semanalmente durante cuatro semanas. La primera semana depositaron Q10.00 y la cuarta semana Q270.00. ¿Cuánto ahorraron en total de la primera a la cuarta semana?

•

Ordene los datos en la tabla

•


s

a

s=

u

r

u(r) - a r-1

s= s= s=

146

•

Los miembros del comité ahorraron Q

IGER − Zaculeu

= .

2) En la primera semana de clases, un estudiante de mecanografía logró escribir 4 líneas de corrido y sin errores. Cada semana duplicó la cantidad de líneas escritas hasta que en la quinta semana logró escribir un párrafo de 64 líneas.

¿Cuántas líneas escribió en total de la primera a la quinta semana? •

Ordene los datos en la tabla

•


s

a

s=

s= s=

u

r

u^ r h - a r -1

s = .............................. s = .............................. s = ............................

s= s= •

El estudiante escribió un total de

líneas.

Resumen 1.

Una progresión geométrica es una serie de números en la cual cada término se obtiene multiplicando o dividiendo el término anterior por una cantidad constante llamada razón.

Una progresión geométrica se compone siempre de: primer término (a), último término (u), número de términos (n) y razón entre términos (r).

2.

Para calcular un término desconocido en una progresión geométrica, utilizamos las ecuaciones: • Último término (u) • Primer término (a)

• Suma de los términos (s)

u = a : r_ n - 1 i a=

s=

r

_

u

n - 1i

u^ r h - a r -1 Matemática − Semana 10

147



Rellene el círculo de la opción que completa correctamente cada enunciado. 1) De las siguientes secuencias numéricas, la que representa una progresión geométrica es…

1, 2, 3, 4, 5

1, 2, 3, 5, 8

1, 2, 4, 8, 16

Explique por qué:

2) En la progresión 4, 16, 64… la razón entre los términos es…

1

2

4

Explique por qué:

3) En la progresión 5, 15, 45, 135… la razón entre los términos es…

1

2

3

Explique por qué:

4) En la progresión x, 8, 32, 128… el valor del término x es…

4

2

3

Explique por qué:

5) En la progresión 5, 25, 125, x… el valor del término x es…

150

225

625

148

Explique por qué:

IGER − Zaculeu

Actividad 2.


Aplique las fórmulas que aprendió en la semana para calcular el término desconocido de cada progresión geométrica. Tiene un ejemplo. 0)

a

u

n

r

1) a

u

n

r

8

?

6

2

10

?

4

3

u

n

r

1944

5

3

u

n

r

1000

4

10

u = a : r^n - 1h u = 8 : 2^6 - 1h u = 8 : 2^5h u = 8 : 32 u = 256 2)

4)

6)

a

u

n

r

3) a

5

?

5

6

?

a

u

n

r

5) a

?

320

7

2

?

s

a

u

r

7) s

a

u

r

?

5

320

4

?

9

2187

3


149

Agilidad de cálculo mental A. Resuelva las siguientes multiplicaciones con decimales. Recuerde que para multiplicar estas cantidades debe correr el punto decimal a la derecha, tantos lugares como ceros sigan a la unidad. Tiene un ejemplo. 0) 2.5 x 10 =

25

11) 5.6 x 100 =

22) 0.5 x 1000 =

1) 6.0 x 10 =

12) 6.9 x 100 =

23) 3.4 x 1000 =

2) 3.6 x 10 =

13) 0.3 x 100 =

24) 5.2 x 1000 =

3) 1.2 x 10 =

14) 0.1 x 100 =

25) 44.6 x 1000 =

4) 0.8 x 10 =

15) 3.96 x 100 =

26) 18.9 x 1000 =

5) 0.5 x 10 =

16) 4.98 x 100 =

27) 25.69 x 1000 =

6) 15.8 x 10 =

17) 0.37 x 100 =

28) 0.568 x 1000 =

7) 24.9 x 10 =

18) 6.82 x 100 =

29) 0.981 x 1000 =

8) 13.6 x 10 =

19) 17.9 x 100 =

30) 1.642 x 1000 =

9) 5.89 x 10 =

20) 25.8 x 100 =

31) 3.184 x 1000 =

10) 35.4 x 10 =

21) 34.7 x 100 =

32) 35.49 x 1000 =

B. Resuelva las siguientes divisiones. Recuerde que para dividir estas cantidades debe correr el punto decimal a la izquierda, tantos lugares como ceros sigan a la unidad. Tiene un ejemplo. 0.18

11) 387 ÷ 100 =

22) 68.7 ÷ 1000 =

1) 5.4 ÷ 10 =

12) 253 ÷ 100 =

23) 34.9 ÷ 1000 =

2) 9.6 ÷ 10 =

13) 698 ÷ 100 =

24) 518 ÷ 1000 =

3) 2.4 ÷ 10 =

14) 44.7 ÷ 100 =

25) 236 ÷ 1000 =

4) 71.6 ÷ 10 =

15) 23.9 ÷ 100 =

26) 51.33 ÷ 1000 =

5) 94.1 ÷ 10 =

16) 6.48 ÷ 100 =

27) 44.64 ÷ 1000 =

6) 56.5 ÷ 10 =

17) 9.95 ÷ 100 =

28) 236.5 ÷ 1000 =

7) 19.4 ÷ 10 =

18) 491.3 ÷ 100 =

29) 452.3 ÷ 1000 =

8) 6.21 ÷ 10 =

19) 132.6 ÷ 100 =

30) 489.7 ÷ 1000 =

9) 3.87 ÷ 10 =

20) 14.36 ÷ 100 =

31) 23.61 ÷ 1000 =

10) 9.45 ÷ 10 =

21) 0.174 ÷ 100 =

32) 94.28 ÷ 1000 =

0) 1.8 ÷ 10 =

150

IGER − Zaculeu

Razonamiento lógico A. Calcule por simple inspección los términos que completan cada progresión geométrica. Luego, escriba en la tabla cada término en el lugar correspondiente. Tiene un ejemplo. 0)

1)

2)

3)

4)

5)

162

6

18

54

486

5

25

125

3125

7

14

28

112

96

48

1/5

1/10

1/20

1/112

1/56

1/28

12

1/80

a

u

n

r

486

5

3

a

u

n

r

a

u

n

r

a

u

n

r

a

u

n

r

a

u

n

r

6

B. Aplique lo aprendido en la semana para resolver los problemas. 1) El virus de la gripe Ah1n1 se duplica cada veinticuatro horas. Si tomamos una muestra de 10 virus, ¿cuántos virus habrá al cabo de 8 días? 2) La población de conejos en una granja se duplica cada 4 meses. Si al inicio había 20 conejos, ¿cuántos habrá después de 12 meses? 3) Una colonia de bacilos búlgaros utilizada para hacer yogur casero se triplica cada día. Si al principio de la observación hay 400 bacilos, ¿qué cantidad habrá después de 4 días? 4) Un corredor principiante elige un plan de entrenamiento de 6 semanas, en el que cada semana duplica el recorrido de la semana anterior. Si en la última semana de entrenamiento corre 6400 metros, ¿cuántos metros corrió en la primera semana? 5) Una trabajadora duplicó sus ahorros cada semana, durante 6 semanas. La primera semana depositó Q5.00 y en la sexta semana Q160.00. ¿Cuánto dinero ahorró en total? 6) La primera semana de clases, un estudiante de idioma inglés aprendió el significado de 6 palabras. Cada semana duplicó la cantidad de palabras aprendidas hasta que en la cuarta semana logró aprender 48 palabras. ¿Cuántas palabras aprendió en total de la primera a la tercera semana? Matemática − Semana 10

151

Desarrolle nuevas habilidades ¡Siga desarrollando su pensamiento abstracto! Resuelva las secuencias lógicas. Recuerde que debe descubrir cuál es la característica que varía en una misma figura o de una figura a otra. Marque con una equis (X) la opción que completa correctamente cada serie. Fíjese en el ejemplo.

0)

a.

b.

c.

d.

En este caso cada triángulo gira 90° en sentido contrario a las manecillas del reloj. Entonces la figura que completa la serie es el triángulo b.

1)

a. 2)

b.

c.

d.

b.

c.

d.

9

10

11

12

36

40

44

48

b.

c.

d.

a. 3)

2

5

8

8

20

32

a.




152


Calculo el primer término, el último y la suma en una progresión geométrica. Resuelvo problemas aplicando las ecuaciones de la progresión geométrica. Practico el cálculo mental operando decimales. Completo secuencias lógicas. IGER − Zaculeu


11 Interés simple ¿Qué encontrará esta semana? Repaso de porcentaje El interés simple Operaciones con porcentajes de 10%, 25% y 50%. Problemas sobre interés simple

Esta semana logrará:  Calcular el porcentaje de descuento aplicado a mercaderías.  Calcular el interés, el capital, la tasa o el tiempo en problemas de interés simple.  Aplicar las fórmulas de interés simple para resolver problemas de la vida real.  Reconocer los símbolos utilizados en un diagrama de flujo. 


153

¡Para comenzar! Repaso de porcentaje ¿Recuerda qué es un porcentaje? La palabra porcentaje es un término que escuchamos con frecuencia en los descuentos que ofrecen los almacenes o para referirse a las ganancias que generan los ahorros en las cuentas bancarias. El porcentaje se define como una cantidad que representa una parte de cada cien. Se expresa con el símbolo % y se lee: "por ciento". Por ejemplo: 15% se lee: "quince por ciento" y significa que tomaremos 15 partes de cada 100. También lo podemos expresar: como fracción 15/100

como número decimal 0.15

En algunos casos podemos calcular el porcentaje de una cantidad a simple vista. Por ejemplo, el 50% equivale a la mitad, el 25% a la cuarta parte y el 10% a un décimo. Por lo tanto, solo hay que dividir entre 2, 4 y 10 respectivamente. Por ejemplo, del número 40, el 50% es 20 (40 ÷ 2 = 20)

el 25% es 10 (40 ÷ 4 = 10)

el 10% es 4 (40 ÷ 10 = 4)

¡A trabajar! Lea la información que presenta el anuncio. Luego responda a las preguntas. Realice los cálculos a simple vista. Tiene un ejemplo. "25% de descuento en playeras y 10% de descuento en blusas" 0) ¿Cuántos quetzales de descuento tiene una playera que cuesta Q60.00?

La playera tiene Q15.00 de descuento, porque el 25% de 60 es 15 (60 ÷ 4 = 15)

1) ¿Cuántos quetzales de descuento tiene una blusa que cuesta Q80.00? 2) ¿Cuántos quetzales de descuento tiene una playera que cuesta Q100.00?

154

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. Interés (i)

Ganancia, provecho, utilidad

Cuando depositamos dinero en una cuenta de ahorro, el banco nos paga un porcentaje por el dinero depositado. Ese porcentaje se llama interés. Así mismo, cuando solicitamos un préstamo al banco debemos pagar un porcentaje por el uso que hagamos del dinero prestado. Ese porcentaje también es un interés. El interés es un porcentaje que se paga o se recibe por utilizar o prestar una cantidad de dinero durante un tiempo determinado. Simbólicamente se representa con la letra i. En el cálculo del interés intervienen estos elementos: • Capital: es la cantidad de dinero que representa el total de un préstamo o de una inversión. Se representa con la letra C. • Tasa: es el porcentaje que se paga por el dinero prestado. También se conoce como rédito, por eso se representa con la letra r. • Tiempo: es el periodo durante el cual se presta o se invierte el dinero. Se representa con la letra t. Existen dos clases de interés: • Interés simple: el interés es simple cuando la ganancia que produce un capital siempre es la misma, al final de cada periodo de tiempo. • Interés compuesto: el interés es compuesto cuando la ganancia producida, después de un periodo de tiempo, se acumula al capital inicial para generar más ganancias. En las páginas siguientes estudiaremos cómo calcular el interés simple.

Ejercicio 1 Escriba sobre la línea el concepto que se describe en cada enunciado. Tiene un ejemplo. 0) Cantidad de dinero que representa el total de un préstamo o de una inversión.

Capital

1) Periodo durante el cual se presta o se invierte dinero. 2) Porcentaje que se paga por unidad de dinero prestado. Matemática − Semana 11

155

1.1 Cálculo del interés simple El interés que produce un capital por lo general se calcula después de un mes, después de tres meses o después de cada año. Para calcularlo, empleamos esta fórmula: i = (C)(r)(t) 100(n) Donde i representa el interés, C el capital, r la tasa y t el tiempo. La letra n indica el número de periodos que hay en un año. Puede tomar los valores 1, 12 o 360 según estas condiciones: • Si el tiempo (t) está expresado en años, entonces n = 1 El año comercial tiene 360 días.

• Si el tiempo (t) está expresado en meses, entonces n = 12 • Si el tiempo (t) está expresado en días, entonces n = 360 Veamos un ejemplo ¿Qué interés producirá un capital de Q2,000.00 si se deposita a una tasa anual del 4% durante 2 años? • Ordenamos los datos del problema en una tabla. Como el tiempo t está dado en años, entonces n = 1

Simplificamos la división eliminando la misma cantidad de ceros en el numerador y denominador.

i

C

r

t

n

?

2000

4%

2

1

i=

• Sustituimos los valores de la tabla en la fórmula y operamos i=

(C)(r)(t) 100(n)

(2000)(4)(2) 160 = = 160 1 100(1)

Un capital de Q2,000.00 producirá Q160.00 de interés. Otro ejemplo Un estudiante deposita Q200.00 en una cooperativa de ahorro que ofrece una tasa del 6% anual. ¿Cuánto de interés recibirá después de 10 meses? • Ordenamos los datos del problema en una tabla. Como el tiempo t está dado en meses, entonces n = 12

i

C

r

t

n

?

200

6%

10

12

• Sustituimos los valores de la tabla en la fórmula y operamos

i= i=

(C)(r)(t) 100(n)

(200)(6)(10) 120 = = 10 100(12) 12

El estudiante recibirá Q10.00 de interés después de 10 meses.

156

IGER − Zaculeu

Un ejemplo más Un empleado pide un préstamo de Q3,000.00 a una tasa del 20% anual. Si el préstamo lo devuelve en un plazo de 60 días, ¿cuánto pagará de interés? • Ordenamos los datos del problema en una tabla. Como el tiempo t está dado en días, entonces n = 360

i ?

• Sustituimos los valores de la tabla en la fórmula y operamos

C

3000 20%

i=

i=

r

t

n

60

360

(C)(r)(t) 100(n)

(3000)(20)(60) 3600 = = 100 100(360) 36

El empleado pagará Q100.00 de interés.

Ejercicio 2 Utilice la fórmula de interés simple para resolver los problemas. 1) ¿Cuál es el interés que produce un capital de Q5,000.00 depositados a una tasa del 5% anual durante 3 años? •

•

Ordene los datos del problema en una tabla. Como el tiempo t está dado en años, entonces n = 1

i

C

Sustituya los valores de la tabla en la fórmula y opere

El capital produce Q

t

n

5000

i = (C)(r)(t) 100(n) i=

r

=

=

de interés.

2) Una persona deposita Q800.00 en una cooperativa que ofrece una tasa anual del 4%. ¿Cuánto recibirá de interés después de 9 meses? •

Ordene los datos del problema en una tabla. Como el tiempo t está dado en meses, entonces n = 12

•

Sustituya los valores de la tabla en la fórmula y opere

i

La persona recibirá Q

r

t

n

i = (C)(r)(t) 100(n) i=

C

=

=

de interés. Matemática − Semana 11

157

1.2 Capital, tasa y unidad de tiempo En algunos casos, además de calcular el interés, también necesitamos conocer el capital, la tasa o el plazo de tiempo al que se debe invertir cierta cantidad de dinero para generar ganancias. Estos valores los podemos encontrar con la misma fórmula de interés simple que aprendimos en el apartado anterior. Solo debemos despejar la variable correcta. Fíjese: Capital

Tasa

Tiempo

C = (i)(100)(n) (r)(t)

r = (i)(100)(n) (C)(t)

t = (i)(100)(n) (C)(r)

Hagamos un ejemplo Calculemos los años en los que debemos depositar un capital de Q4,000.00 a una tasa del 5% anual para que produzca Q200.00 de interés.

Atención: Para elegir la fórmula que resuelve el problema nos guiamos por el valor desconocido de la tabla.

• Ordenamos los datos del problema en una tabla

i

C

200 4000

• Sustituimos los valores de la tabla en la fórmula que resuelve el problema y operamos

t=

t=

r

t

n

5%

?

1

(i)(100)(n) (C)(r)

(200)(100)(1) 20 = =1 (4000)(5) 20

Debemos depositar el capital durante 1 año. Otro ejemplo ¿Qué capital debemos depositar en un banco que ofrece el 4% de interés anual para que en 2 años produzca Q360.00 de interés? • Ordenamos los datos del problema en una tabla • Sustituimos los valores de la tabla en la fórmula que resuelve el problema y operamos

Debemos depositar Q4,500.00 de capital. IGER − Zaculeu

C

r

t

n

360

?

4%

2

1

C=

C=

158

i

(i)(100)(n) (r)(t)

(360)(100)(1) 36 000 = = 4500 (4)(2) 8

Un ejemplo más Si depositamos Q1,000.00 en una cooperativa, después de 18 meses habremos ganado Q75.00 de interés. Calculemos la tasa de interés que ofrece la cooperativa. • Ordenamos los datos del problema en una tabla • Sustituimos los valores de la tabla en la fórmula que resuelve el problema y operamos

i

C

r

t

n

75

1000

?

18

12

r= r=

(i)(100)(n) (C)(t)

(75)(100)(12) 900 90 = = =5 (1000)(18) 180 18

La cooperativa ofrece una tasa del 5% anual.

Ejercicio 3 Lea con atención cada enunciado e identifique el dato desconocido. Luego, aplique la fórmula correcta para resolver los problemas. 1) Un agricultor solicitó un préstamo a una tasa del 20% anual durante 6 meses. Al finalizar ese periodo devolvió el préstamo más Q400.00 de interés. ¿Cuánto dinero pidió prestado? •


•

Sustituya los valores de la tabla en la fórmula que resuelve el problema y opere

i

C

C= C=

r

t

(i)(100)(n) (r)(t) =

El agricultor pidió un préstamo de Q

n

=

.

2) ¿Cuántos meses debemos esperar para que un capital de Q3,000.00 depositados al 10% anual produzca Q200.00 de interés? •


•

Sustituya los valores de la tabla en la fórmula que resuelve el problema y opere

i

Debemos esperar

r

t

n

t = (i)(100)(n) (C)(r) t=

C

=

=

meses. Matemática − Semana 11

159

Resumen 1.

El interés es un porcentaje que se paga o se recibe por utilizar o prestar una cantidad de dinero durante un tiempo determinado. Simbólicamente se representa con la letra i.

En el cálculo del interés intervienen estos elementos: •

Capital (C): representa el total de un préstamo o una inversión.

•

Tasa (r): porcentaje que se paga por unidad de dinero prestado.

•

Tiempo (t): periodo durante el cual se presta o se invierte el dinero.

1.1 Para calcular el interés simple, utilizamos esta fórmula: i = (C)(r)(t) 100(n) Donde: i representa el interés, C el capital, r la tasa, t el tiempo. La letra n representa el número de periodos que hay en un año, puede tomar los valores 1, 12 o 360 según estas condiciones: •

Si el tiempo t está dado en años, entonces n = 1

•

Si el tiempo t está dado en meses, entonces n = 12

•

Si el tiempo t está dado en días, entonces n = 360

1.2 Para calcular el capital, la tasa y el tiempo utilizamos estas fórmulas.

• Capital:

C = (i)(100)(n) (r)(t)

• Tasa:

r = (i)(100)(n) (C)(t)

• Tiempo:

t = (i)(100)(n) (C)(r)

Investigue en la red... ¿Sabe cuáles son los beneficios de ahorrar? Conózcalos en este video: http://goo.gl/oM5IFD

160

IGER − Zaculeu



Rellene el círculo del concepto que se describe en cada enunciado. Tiene un ejemplo. 0) Porcentaje que se paga o se recibe por utilizar o prestar una cantidad de dinero por un tiempo determinado.

capital interés monto

1) Periodo durante el cual se presta o se invierte el dinero.

tiempo etapa tasa

2) Cantidad de dinero que representa el total de un préstamo o una inversión.

interés monto capital

3) Porcentaje que se paga por unidad de dinero prestado.

ganancia interés tasa

Actividad 2.


A. Aplique la ecuación adecuada para calcular el valor desconocido. Tiene un ejemplo. 0)

i

C

r

t

n

?

8000

5%

2

1

i=

(C)(r)(t) 100(n)

i=

(8000)(5)(2) 800 = = 800 1 100(1)

1)

i

C

r

t

n

?

5000

8%

3

1

C

r

t

n

4000

15%

?

12

i = Q800.00 2)

i

C

r

t

n

450

?

10%

9

12

3) i 300


161

B. Aplique las ecuaciones correctas para resolver los problemas. Tiene un ejemplo. 0) Un empleado depositó Q6,000.00 a una tasa del 4% anual por 6 meses. ¿Cuánto de interés recibió?

i

C

r

t

n

?

6000

4%

6

12

i=

(C)(r)(t) (100)(n)

i=

(6000)(4)(6) = (100)(12)

Respuesta: El empleado recibió Q120.00 de interés.

1440 12

= 120

1) ¿Cuánto de interés producirá un capital de Q4,500.00 depositado al 6% anual durante 2 años? i

C

r

t

n

Respuesta: 2) Si depositamos Q5,000.00 en una cuenta de ahorro, después de 9 meses habrá ganado Q300.00 de interés. ¿Calcule la tasa a la cual estuvo depositado el capital? i

C

r

t

n

Respuesta: 3) ¿Qué capital debemos depositar en una cooperativa que ofrece una tasa del 5% anual para que en 6 meses recibamos Q360.00 de interés? i

Respuesta:

162

IGER − Zaculeu

C

r

t

n

4) Una persona solicita un préstamo por Q10,000.00 al 12% anual y se compromete a devolverlo dentro de 3 años. ¿Cuánto pagará de interés? i

C

r

t

n

Respuesta: 5) ¿Cuántos meses debe estar depositado un capital de Q6,500.00 al 3% anual para que genere Q975.00 de interés? i

C

r

t

n

Respuesta: 6) Si un banco ofrece una tasa anual de 5% en cuentas de ahorro, ¿qué capital se debe depositar para que en 9 meses produzca Q150.00 de interés? i

C

r

t

n

Respuesta: 7) ¿Qué interés produce un capital de Q8,000.00 al 4% anual depositado durante 6 meses? i

C

r

t

n


163

Agilidad de cálculo mental Mejore su agilidad de cálculo con porcentajes. Recuerde que el 50% equivale a la mitad, el 25% a la cuarta parte y el 10% a un décimo. Calcule mentalmente el porcentaje indicado en cada número. Fíjese en los ejemplos. A.

6

7) 50% de 18 =

14) 50% de 40 =

1) 50% de 26 =

8) 50% de 16 =

15) 50% de 14 =

2) 50% de 20 =

9) 50% de 28 =

16) 50% de 56 =

3) 50% de 30 =

10) 50% de 32 =

17) 50% de 34 =

4) 50% de 24 =

11) 50% de 38 =

18) 50% de 52 =

5) 50% de 36 =

12) 50% de 54 =

19) 50% de 70 =

6) 50% de 22 =

13) 50% de 62 =

20) 50% de 48 =

7) 25% de 24 =

14) 25% de 160 =

1) 25% de 8 =

8) 25% de 36 =

15) 25% de 200 =

2) 25% de 16 =

9) 25% de 40 =

16) 25% de 280 =

3) 25% de 12 =

10) 25% de 80 =

17) 25% de 240 =

4) 25% de 32 =

11) 25% de 60 =

18) 25% de 320 =

5) 25% de 28 =

12) 25% de 100 =

19) 25% de 400 =

6) 25% de 20 =

13) 25% de 120 =

20) 25% de 360 =

0) 10% de 28 = 2.8

7) 10% de 68 =

14) 10% de 31 =

1) 10% de 10 =

8) 10% de 40 =

15) 10% de 50 =

2) 10% de 15 =

9) 10% de 55 =

16) 10% de 82 =

3) 10% de 25 =

10) 10% de 36 =

17) 10% de 65 =

4) 10% de 30 =

11) 10% de 44 =

18) 10% de 73 =

5) 10% de 16 =

12) 10% de 52 =

19) 10% de 90 =

6) 10% de 14 =

13) 10% de 70 =

20) 10% de 81 =

0) 50% de 12 =

B. 0) 25% de 4 =

1

C.

164

IGER − Zaculeu

Razonamiento lógico Aplique lo que aprendió esta semana sobre interés simple para resolver los problemas. 1) Un comerciante decide ampliar su negocio. Para ello, solicita un préstamo por Q25,000.00 a una tasa 20% anual. Se compromete a devolverlo después de 18 meses. ¿Cuánto debe pagar de interés? 2) Una trabajadora decide ahorrar Q1,000.00 de su aguinaldo. Lo deposita en una cooperativa que le ofrece una tasa del 10% anual. Si retira el dinero después de 9 meses, ¿cuánto recibe de interés? 3) ¿Cuántos meses deben pasar para que un capital de Q3,500.00 depositados al 8% anual produzca Q420.00 de interés? 4) Si depositamos Q2,000.00 durante 9 meses en una cooperativa que ofrece a una tasa del 10% anual, ¿cuánto recibiremos de interés? 5) Una cooperativa ofrece una tasa anual del 8% en cuentas de ahorro. ¿Cuánto dinero debemos depositar en la cuenta si queremos recibir dentro de 6 meses Q400.00 de interés? 6) ¿Qué tasa de interés es necesario aplicar a un capital de Q8,000.00 para que genere Q2,400.00 de interés en 3 años? 7) Una persona recibe un préstamo por Q12,000.00 y se compromete a devolverlo después de 18 meses pagando Q2,700.00 de interés. ¿Qué tasa de interés cobró el prestamista? 8) Después de 10 meses, un trabajador recibió Q800.00 de interés por depositar su dinero en un banco que ofrece una tasa del 6% anual. ¿Qué capital invirtió? 9) Un granjero pidió un préstamo por Q15,000.00 al 20% anual. Si se compromete a devolverlo en 8 meses, ¿cuánto deberá cancelar en total? Tome en cuenta que deberá cancelar el capital prestado más el interés. 10) ¿Cuántos meses tardará un capital de Q6,000.00 invertido al 10% anual para que se convierta en Q8,250.00 con intereses incluidos? 11) ¿Qué tasa de interés permite que un capital de Q15,000.00 genere Q5,400.0 de interés en 3 años? 12) Un capital de Q8,000.00 estuvo depositado a una tasa del 10% anual. Generó Q600.00 de interés. ¿Cuántos meses estuvo depositado el capital? 13) Una persona deposita Q5,000.00 en una cooperativa que le ofrece el 8% anual. ¿Cuántos meses debe esperar para que reciba Q200.00 de interés? 14) ¿Qué capital genera Q525.00 de interés después de 9 meses si se deposita al 10% anual? Matemática − Semana 11

165

Desarrolle nuevas habilidades Diagramas de flujo. Un diagrama de flujo es la representación gráfica del procedimiento general que se sigue para realizar una actividad determinada. Por ejemplo, el procedimiento para inscribirse en la universidad o el procedimiento para abrir una cuenta de ahorro. Los símbolos utilizados para representar los pasos de la actividad son: Símbolo

Nombre

Acción

Inicial o terminal

Representa el inicio o el fin de un proceso.

Proceso

Representa todas las acciones o cálculos que se deben realizar.

Decisión

Representa la valoración de dos o más acciones.

Línea de flujo de información

Indica el sentido de la información obtenida y su uso en el siguiente proceso.

Conector

Permite identificar la continuación de la información, si el diagrama es muy extenso.

Lea cada texto y marque con una (X) el símbolo de la respuesta correcta a cada pregunta. 1) El primer paso para abrir una cuenta de ahorro en un banco es acudir al departamento de cuentas de ahorro. ¿Qué símbolo se utiliza para representar este paso?

2) El segundo paso para abrir la cuenta es llenar la solicitud con los datos personales que se soliciten. ¿Qué símbolo se utiliza para representar este paso?

Revise su aprendizaje Después de estudiar...


166


Calculo el porcentaje de descuento aplicado a mercaderías. Calculo el interés, el capital, la tasa o el tiempo en problemas de interés simple. Aplico las fórmulas de interés simple para resolver problemas de la vida real. Reconozco los símbolos utilizados en un diagrama de flujo. IGER − Zaculeu


12 Reparto proporcional ¿Qué encontrará esta semana? Los representantes del pueblo Reparto proporcional: directo e inverso Operaciones combinadas de suma, resta y multiplicación Aplicaciones del reparto proporcional

Esta semana logrará:  Repartir proporcionalmente una cantidad.  Resolver problemas de reparto proporcional directo e inverso.  Practicar el cálculo mental con operaciones combinadas.  Interpretar el diagrama de flujo del procedimiento para ingresar a la universidad. 


167

¡Para comenzar! Los representantes del pueblo Diputados y diputadas

Quetzaltenango 624 716 habitantes 7 diputados

Guatemala

Jutiapa

4 103 865 habitantes 11 diputados

426 497 habitantes 4 diputados

En Guatemala se llama diputado o diputada a la persona integrante del Congreso de la República. Su trabajo consiste en discutir y aprobar las leyes que rigen a nuestro país. La Ley Electoral señala que el número de diputados se debe distribuir de manera proporcional al número de habitantes. De tal manera que los departamentos con más población tengan más diputados. Esta forma de distribución responde a una operación matemática llamada reparto proporcional. La estudiaremos esta semana.

¡A trabajar! 1) ¿Sabe cuántos diputados representan a su departamento? Averígüelo. 2) Si usted fuera diputado, ¿qué haría por el bien de su comunidad?

168

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. Reparto proporcional

Distribución de una cantidad

Imagine que se asocia con una compañera para abrir un negocio. Usted pone el 40% de la inversión y ella el 60% restante. ¿Cómo se debe repartir la ganancia? ¿A quién le toca la mayor parte? ¿Qué cantidad debe cobrar? Este tipo de situaciones se resuelven mediante el reparto proporcional. El reparto proporcional es la operación que consiste en distribuir una cantidad entre varias partes, de manera que los resultados obtenidos sean equitativos. El reparto puede ser directamente proporcional o inversamente proporcional.

1.1 Reparto directamente proporcional

El mayor recibe más

El reparto es directamente proporcional cuando a la cantidad mayor aportada le corresponde la cantidad mayor repartida y viceversa. Por ejemplo, en un negocio, a quien hace la mayor inversión le corresponde la mayor parte de la ganancia y a quien invierte menos, le toca la menor parte. Este tipo de repartos se resuelve siguiendo estos pasos: 1. Calculamos la constante de proporcionalidad k que representa la relación entre la cantidad a repartir, a la que llamaremos n, y las cantidades entre las que se va a repartir (a, b, c). La obtenemos con esta fórmula: k=

n a+b+c

Donde:

k es la constante de proporcionalidad

n, la cantidad a repartir

a, b, c… las partes en las que se debe repartir n

2. Multiplicamos el valor de la constante k por cada una de las partes en las que n se va a repartir. El resultado es lo que corresponde a cada cantidad.

k(a) k(b) k(c)

3. Comprobamos el resultado. Si el reparto es correcto, se cumple que la suma de las cantidades repartidas es igual a n. k(a) + k(b) + k(c) = n Matemática − Semana 12

169

Veamos un ejemplo Ana, Sergio y Jacinta ponen un negocio en el que cada uno invierte lo siguiente: Ana Q2,000.00, Sergio Q4,000.00, Jacinta Q6,000.00. Si al final de un año obtuvieron una ganancia de Q24,000.00, ¿qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno, según lo que invirtió? Veamos cómo resolver el problema. • Calculamos el valor de la constante k dividiendo la cantidad a repartir, 24 000, entre la suma de las cantidades invertidas: (2000 + 4000 + 6000 = 12 000). k =

n a+b+c

k =

24 000 24 000 = =2 12 000 2000 + 4000 + 6000

• Multiplicamos el valor de k por la cantidad que cada persona invirtió

Sergio: 2(4000) = 8000

• Comprobamos el resultado

4000 + 8000 + 12 000 = 24 000

Ana:

2(2000) = 4000

Jacinta: 2(6000) = 12 000

A Ana le corresponden Q4,000.00 a Sergio Q8,000.00 y a Jacinta Q12,000.00.

Ejercicio 1 Aplique el procedimiento que aprendió para resolver el problema. Tres agricultores alquilaron una máquina para desgranar maíz por Q1,000.00. El alquiler lo van a pagar de acuerdo a los días que cada uno la utilizó. Si Amalia la usó 2 días, Pedro 3 días y Ester 5 días, ¿cuánto tiene que pagar cada uno? •

Calcule la constante de proporcionalidad k

k=

n a+b+c

k= •

•

170

Multiplique k por cada cantidad

Compruebe el resultado

Amalia deberá pagar Q IGER − Zaculeu

=

Amalia: 100(

)=

Pedro: 100(

)=

Ester:

)=

100( +

, Pedro Q

y Ester Q

=

+

= .

1.2 Reparto inversamente proporcional

El mayor recibe menos

Un reparto es inversamente proporcional cuando a la cantidad mayor aportada le corresponde la cantidad menor repartida y viceversa. Para resolverlo seguimos estos pasos: 1. Calculamos la constante de proporcionalidad k. En este caso representa la relación entre la cantidad a repartir n y la suma de los inversos de las cantidades entre las que se va a repartir (a, b, c). La calculamos con esta fórmula: k=n÷

Recuerde que el inverso multiplicativo de un número es 1 dividido la cantidad. Por ejemplo, el inverso multiplicativo 1 de 4 es . 4

( 1a + b1 + 1c )

2. Multiplicamos el valor de k por cada inverso para calcular lo que corresponde a cada cantidad.

( 1a ) k( b1 )

k

k

( 1c )

Apliquemos el procedimiento en este ejemplo. Dos meseros se reparten una propina de Q136.00 de forma inversamente proporcional al número de horas que descansaron en el día. Carmen descansó 3 horas y Samuel 5 horas, ¿cuánto dinero le corresponde a cada uno? Preste atención al procedimiento. • Calculamos k dividiendo la cantidad a repartir entre la suma de los inversos

k = 136 ÷

Para facilitarnos la operación, primero sumamos los inversos de las horas mcm (3,5) = 15

Repase el procedimiento para sumar fracciones de distinto denominador en la semana 21 del grupo Quiriguá.

( 13 + 15 ) =

5+3= 8 15 15

k = 136 ÷

8 (136)(15) = = 255 15 8 k = 255

( 13 ) = 2553 = 85 1 255 Samuel: 255( ) = = 51 5 5

• Multiplicamos el valor de k por cada uno de los inversos

Carmen: 255


85 + 51 = 136

A Carmen le corresponden Q85.00 y a Samuel Q51.00. Matemática − Semana 12

171

Un ejemplo más Una empresa repartió un bono de Q4,500.00 entre tres trabajadores en proporción inversa a los días que faltaron al trabajo durante el año. Flor faltó 3 días, Manuel 4 días y Carolina 6 días. ¿Cuánto recibió cada uno? • Calculamos k dividiendo la cantidad a repartir entre la suma de los inversos

k = 4500 ÷

Para facilitarnos la operación, primero sumamos los inversos de las faltas

( 13 + 14 + 16 ) = 4+3+2 = 9 = 3 12 12 4

k = 4500 ÷

mcm (3,4,6) = 12

3 (4500)(4) = = 6000 4 3 k = 6000

( 13 ) = 2000 1 Manuel: 6000( ) = 1500 4 1 Carolina: 6000( ) = 1000 6

• Multiplicamos el valor de k por cada uno de los inversos

Flor:

6000


2000 + 1500 + 1000 = 4500

Flor recibió Q2,000.00, Manuel Q1,500.00 y Carolina Q1,000.00.

Ejercicio 2 Aplique el procedimiento que aprendió para resolver los problemas. 1) En una carrera de obstáculos se reparte un premio de Q500.00 entre dos atletas: Karla y Rubén, de manera inversamente proporcional a las faltas cometidas. Si Karla cometió 2 faltas y Rubén 3 faltas, ¿cuánto recibe cada uno? 1 1 • Calcule la constante de proporciok = 500 ÷ + = 2 3 nalidad k 3 + 2 = 5

(

)

6

k = 500 ÷ •

Multiplique k por cada inverso

172

+

Compruebe el resultado Karla recibe Q

IGER − Zaculeu

y Rubén Q

.

5 = 6

=

( 12 ) = ( 13 ) =

Karla: Rubén:

•

6

=

2) Don José decidió repartir una herencia de Q12,000.00 entre sus nietos de manera inversamente proporcional a la edad que tienen: Luisa tiene 12 años, Gustavo, 6 años y Mariela, 4 años. ¿Cuánto dinero recibirá cada uno? •

Calcule la constante de proporcionalidad k

k = 12 000 ÷

( 121 + 16 + 14 ) =

k = 12 000 ÷ •

Multiplique k por cada inverso

Mariela: Compruebe el resultado

Luisa recibirá Q

=

=

+ , Gustavo Q

=

( 121 ) = ( 16 ) = ( 14 ) =

Luisa: Gustavo:

•

=

+

y Mariela Q

= .

Resumen 1. Un reparto proporcional es la operación que consiste en distribuir una cantidad entre varias partes, de manera que los resultados obtenidos sean equitativos. El reparto puede ser directa o inversamente proporcional. 1.1 El reparto es directamente proporcional cuando a la cantidad mayor aportada le corresponde la cantidad mayor repartida y viceversa. Este tipo de repartos se resuelve siguiendo estos pasos: n k= 1. Obtenemos la constante de proporcionalidad k. a+b+c 2. Multiplicamos el valor de k por cada parte en las que n k(a) k(b) k(c) se va a repartir. 3. Comprobamos que la suma de las cantidades repartidas coincida con el valor de n. 1.2 Un reparto es inversamente proporcional cuando a la cantidad mayor aportada le corresponde la cantidad menor repartida y viceversa. Para resolverlo, seguimos estos pasos: 1. Obtenemos la constante de proporcionalidad k. 2. Multiplicamos el valor de k por cada inverso.

( 1a + b1 + 1c ) 1 1 1 k( ) k( ) k( ) a b c

k=n÷

3. Comprobamos que la suma de las cantidades repartidas coincida con el valor de n. Matemática − Semana 12

173



A. Escriba sobre la línea si el problema que se describe en cada texto se trata de un reparto proporcional directo o inverso. Tiene un ejemplo. 0) El Ministerio de Educación reparte libros entre varias escuelas con la condición de que la escuela con más estudiantes reciba la mayor cantidad de libros.

reparto proporcional directo

1) Distribuir el tiempo de riego entre tres terrenos, de tal manera que el terreno con mayor superficie se le asigne más tiempo. 2) Don Julián repartió la herencia entre sus hijos de manera que el menor recibió la mayor cantidad. 3) Se reparte un bono entre los trabajadores de una fábrica con la condición de que el trabajador que menos faltas haya cometido reciba la mayor cantidad. B. Rellene el círculo de la respuesta correcta a cada pregunta. 1) El premio mayor de la lotería es de Q200,000.00. De 16 cachitos, Julia tenía 4, Pedro tenía 7 y Fabiola 5 cachitos del billete ganador. ¿Quién de los tres recibirá la mayor parte del premio?

Julia Pedro Fabiola

2) Una empresa reparte un bono a los trabajadores que hayan entregado menos piezas defectuosas. Andrea entregó 400 piezas defectuosas, Lesbia entregó 200 piezas defectuosas y Carlos 100 piezas defectuosas. ¿Quién recibirá la menor cantidad?

Andrea Lesbia Carlos

3) Si se reparten Q1,000.00 en partes inversamente proporcionales a la edad de tres personas de 15, 18 y 20 años, ¿quién recibe mayor cantidad de dinero?

La de 15 años La de 18 años La de 20 años

4) Una herencia se reparte de manera directamente proporcional entre los miembros de una familia, de acuerdo al número de hijos. ¿Quién recibe la menor parte?

El que tiene 3 hijos El que tiene 4 hijos El que tiene 2 hijos

174

IGER − Zaculeu

Actividad 2.


Aplique el procedimiento que aprendió en la semana para resolver estos problemas. 1) Roberto, Paola y Andrés invierten en un negocio Q3,000.00, Q5,000.00 y Q8,000.00 respectivamente. Al cabo de 6 meses, obtienen una ganancia de Q8,000.00, ¿qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno según lo que invirtió?

•

Escriba la respuesta:

2) En un concurso de ortografía se repartirá un premio de Q2,200.00 entre los tres finalistas. El reparto se hará de acuerdo al número de errores que cada uno cometió en la prueba. Si Octavio cometió 1 error, Iris 2 y David 3, ¿cuánto dinero recibirá cada uno?

•

Escriba la respuesta: Matemática − Semana 12

175

Agilidad de cálculo mental Practique el cálculo mental con operaciones combinadas. Recuerde que, por jerarquía de operación, primero se resuelven las multiplicaciones, luego las sumas y restas. Procure hacerlo en el menor tiempo posible. Fíjese en los ejemplos. A. 17

7) 3 x 9 + 2 =

14) 9 x 4 + 2 =

1) 2 x 8 + 3 =

8) 7 x 4 + 3 =

15) 6 x 3 + 5 =

2) 3 x 4 + 1 =

9) 5 x 6 + 5 =

16) 7 x 5 + 6 =

3) 6 x 2 + 3 =

10) 2 x 9 + 4 =

17) 4 x 4 + 4 =

4) 2 x 7 + 4 =

11) 8 x 4 + 6 =

18) 3 x 2 + 9 =

5) 8 x 3 + 3 =

12) 6 x 6 + 3 =

19) 7 x 8 + 6 =

6) 4 x 5 + 7 =

13) 3 x 7 + 6 =

20) 9 x 6 + 2 =

7) 2 + 6 x 5 =

14) 6 + 9 x 3 =

1) 5 + 4 x 4 =

8) 6 + 5 x 4 =

15) 4 + 3 x 8 =

2) 6 + 3 x 5 =

9) 4 + 4 x 2 =

16) 9 + 9 x 2 =

3) 7 + 2 x 6 =

10) 6 + 7 x 4 =

17) 5 + 4 x 6 =

4) 5 + 4 x 8 =

11) 5 + 8 x 5 =

18) 7 + 9 x 4 =

5) 6 + 2 x 9 =

12) 2 + 4 x 3 =

19) 3 + 7 x 6 =

6) 3 + 8 x 3 =

13) 7 + 5 x 4 =

20) 9 + 8 x 8 =

7) 6 x 5 – 2 =

14) 9 x 6 – 2 =

1) 2 x 5 – 4 =

8) 9 x 4 – 6 =

15) 4 x 7 – 4 =

2) 3 x 2 – 1 =

9) 5 x 5 – 4 =

16) 8 x 6 – 5 =

3) 4 x 4 – 5 =

10) 6 x 3 – 5 =

17) 3 x 9 – 6 =

4) 6 x 5 – 7 =

11) 8 x 5 – 4 =

18) 7 x 7 – 5 =

5) 4 x 3 – 2 =

12) 2 x 7 – 6 =

19) 8 x 6 – 4 =

6) 8 x 4 – 3 =

13) 6 x 4 – 3 =

20) 6 x 7 – 6 =

0) 3 x 5 + 2 =

B. 0) 3 + 2 x 3 =

9

C. 0) 6 x 3 – 2 =

176

IGER − Zaculeu

16

Razonamiento lógico Aplique el procedimiento que aprendió en la semana para resolver estos problemas. 1) Tres obreros se reparten un pago de Q3,600.00 de forma directamente proporcional al número de días que han trabajado: 3, 4 y 5 días. ¿Cuánto recibe cada uno? 2) Tres vendedores de bienes raíces obtuvieron una ganancia de Q24,000.00. Uno trabajó 10 días, otro 6 días y el tercero 4 días. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno? 3) Hay que repartir 150 libras de maíz entre tres familias en partes proporcionales al número de hijos. La primera familia tiene 1 hijo, la segunda, 2 y la tercera, 3. ¿Cuántas libras de maíz le corresponden a cada familia? 4) Tres estudiantes alquilaron una computadora por Q375.00. El alquiler lo van a pagar de acuerdo a los días que cada uno la utilizó. El primero la usó 6 días, el segundo 5 y el tercero 4. ¿Cuánto deberá pagar cada uno? 5) Dos socios tuvieron una ganancia anual de Q12,000.00. ¿Cuánto le corresponde a cada uno si el primero invirtió Q10,000.00 y el segundo Q14,000.00? 6) Andrés, Rocío y Magdalena reciben Q2,500.00 por traducir un texto. El pago se realiza de manera inversamente proporcional al tiempo empleado en hacer el trabajo. Si tardaron 15, 12 y 10 horas respectivamente, ¿cuánto dinero recibió cada uno? 7) En una empresa se repartió un bono de Q5,041.00 para premiar a las 3 personas que menos han faltado al trabajo. Ana faltó 5 días, Rosario faltó 3 días y Mirna faltó 7 días. ¿Cuánto recibió cada una de ellas? 8) En una tienda de música, Manuel compra 2 discos, Guadalupe 3 y Gabriela 5. ¿Cuánto paga cada uno si todos los discos valen lo mismo y el costo total fue de Q500.00? 9) Una empresa decide repartir Q4,000.00 entre sus tres empleados de acuerdo al tiempo que llevan trabajando en la empresa: 6, 9 y 10 años. ¿Qué cantidad le corresponde a cada uno? 10) En la Olimpiada Nacional de Matemática se reparte una beca de Q750.00 entre cuatro estudiantes con la condición de que cada uno reciba una cantidad inversamente proporcional a los errores que cometió en la prueba final. Si los errores son 2, 3, 4 y 6, ¿cuánto dinero recibirá cada uno? 11) El señor Alejandro Paz dejó una herencia de Q416,000.00. La mitad le corresponde a su esposa y la otra mitad se distribuye de manera inversamente proporcional a la edad de sus tres hijos de 10, 15 y 20 años. 12) En una carrera de obstáculos se destina Q330.00 para repartirlos entre los tres primeros lugares de acuerdo al puesto que ocupan (1, 2, y 3). ¿Cuánto recibe cada ganador? Matemática − Semana 12

177

Desarrolle nuevas habilidades Interprete diagramas de flujo. La semana pasada aprendió los símbolos utilizados en un diagrama de flujo. Esta semana aprenderá a interpretarlos. Observe el esquema con atención. Luego, responda a las preguntas. Procedimiento para ingresar a la universidad Estudiante aspirante

Departamento de información "Bienestar Estudiantil"

Inicio Se presenta a Bienestar estudiantil y pide información de las carreras y de las pruebas de admisión.

Explica al estudiante las pruebas a realizar

Consulta las dudas que tenga

Entrega al estudiante trifoliares sobre información de carreras Responde las dudas y agrega información adicional

Informa sobre el plan de becas de estudio

Fin

0) ¿Cuál es el primer paso del procedimiento para ingresar a la universidad?

El estudiante se presenta a Bienestar Estudiantil y pide información de las carreras y de las pruebas de admisión.

1) ¿Cuál es el segundo paso? 2) ¿Cuál es el último paso?




178


Reparto proporcionalmente una cantidad. Resuelvo problemas de reparto proporcional directo e inverso. Practico el cálculo mental con operaciones combinadas. Interpreto el diagrama de flujo del procedimiento para ingresar a la universidad. IGER − Zaculeu


13 Regla de tres simple y compuesta ¿Qué encontrará esta semana? Repaso de la proporcionalidad directa e inversa Regla de tres simple y compuesta Operaciones combinadas Aplicaciones de la regla de tres simple y compuesta

Esta semana logrará:  Distinguir relaciones de proporcionalidad directa e inversa.  Calcular el valor desconocido en una regla de tres simple directa e inversa.  Resolver problemas aplicando la regla de tres simple o compuesta.  Practicar el cálculo mental con operaciones combinadas.  Construir un diagrama de flujo sobre la preparación de mermelada. 


179

¡Para comenzar! Repaso de la proporcionalidad directa e inversa Esta semana aplicaremos la proporcionalidad a problemas que se resuelven mediante una regla de tres. Para ello, debemos distinguir la diferencia entre proporcionalidad directa e inversa.

Proporcionalidad directa Dos cantidades son directamente proporcionales cuando: Al aumentar una cantidad, la otra también aumenta. • Si compramos más productos, gastamos más dinero. • Si caminamos más tiempo, recorremos más distancia. Al disminuir una cantidad, la otra también disminuye. • Si consumimos menos electricidad, pagamos menos dinero. • Si trabajamos menos tiempo, sembramos menos maíz.

Proporcionalidad inversa Dos cantidades son inversamente proporcionales cuando: Al aumentar una cantidad, la otra disminuye, o por el contrario, al disminuir una cantidad, la otra aumenta. • Si queremos ahorrar más, tenemos que gastar menos. • Si viajamos a menos velocidad, tardaremos más tiempo en llegar.

¡A trabajar! Lea cada oración, analice y responda las preguntas. Tiene un ejemplo. 0) Un chorro llena una pila en 20 minutos. Si abrimos un chorro más, ¿la pila se llenará en menos o en más tiempo? ¿La relación es directa o inversa?

Al abrir un chorro más, la pila se llenará en menos tiempo. La relación es inversa.

1) Media docena de naranjas cuesta Q5.00. ¿Una docena de naranjas cuesta más o menos dinero? ¿La relación es directa o inversa? 2) Dos albañiles construyen una casa en tres meses. ¿Cinco albañiles construirán la casa en más o en menos tiempo? ¿La relación es directa o inversa?

180

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. Regla de tres simple La regla de tres simple se emplea en muchas actividades de la vida diaria como calcular el precio de artículos para la venta o el tiempo necesario para realizar un trabajo. La regla de tres simple es una operación que busca hallar el término desconocido en una proporción cuando se conocen los otros tres términos. Dependiendo de la relación de proporcionalidad, una regla de tres simple puede ser directa o inversa. Las estudiaremos a continuación.

1.1 Regla de tres simple directa La regla de tres simple directa sirve para hallar el término desconocido en una proporción directa. Veamos un ejemplo. Una propiedad valorada en Q100,000.00 paga Q900.00 de Impuesto Único Sobre Inmuebles (Iusi). ¿Cuánto de impuesto se debe pagar por una propiedad valorada en Q25,000.00? La regla de tres es directa porque a menos valor, menos impuesto. • Planteamos la regla de tres. Los datos de la misma clase los escribimos en una misma columna. • Para calcular el valor de x, multiplicamos en forma cruzada y dividimos entre la tercera cantidad conocida.

Q

I

100 000 25 000

900

x

x = (25 000)(900) = 225 = 225 100 000

1

Se deben pagar Q225.00 de impuesto.

Ejercicio 1 Una factura de luz indica que el consumo de 75 kW de electricidad cuesta Q90.00. ¿Cuántos kW de electricidad se deben consumir si se quiere pagar Q60.00? • Plantee la regla de tres

• Calcule el valor de x. Multiplique en forma cruzada y divida entre la tercera cantidad conocida Se deben consumir

x=

Q

kW

90

75

=

=

kW de electricidad. Matemática − Semana 13

181

1.2 Regla de tres simple inversa Como veíamos en el repaso inicial, las magnitudes inversas se comportan de forma contraria a las magnitudes directas, de tal manera que cuando una aumenta, la otra disminuye y, al contrario, cuando una disminuye, la otra aumenta. La regla de tres simple inversa nos permite calcular el término desconocido de una proporción inversa. Veamos un ejemplo Una persona gasta el 75% de su salario y ahorra Q600.00. ¿Cuánto ahorrará si solo gasta el 60%? El problema se resuelve con una regla de tres inversa porque a menos gasto, más ahorro. • Planteamos una regla de tres. Los datos de la misma clase los escribimos en una misma columna. • Para calcular el valor de x, multiplicamos en forma horizontal y dividimos entre la tercera cantidad conocida.

g

a

75% 60%

600

x

x = (75)(600) = 4500 = 750 60

6

Si gasta el 60% de su salario, puede ahorrar Q750.00.

Ejercicio 2 Aplique una regla de tres simple inversa para resolver los problemas. 1) Si 3 personas construyen un tanque en 12 días, ¿cuántas personas se necesitan para construir el tanque en 9 días? •

Plantee una regla de tres con los datos del problema

p

d

3

12

x •

Calcule el valor de x

Se necesitan

x=

=

=

personas.

2) Un atleta olímpico corre a una velocidad de 5 m/s y termina una carrera en 36 segundos. ¿En cuánto tiempo terminará la carrera si aumenta su velocidad a 6 m/s? •

Plantee una regla de tres con los datos del problema

•

Calcule el valor de x

Terminará la carrera en

182

IGER − Zaculeu

x= segundos.

v

t

5

36

=

=

2. Regla de tres compuesta Algunos problemas comprenden más de tres datos que se relacionan entre sí. Para resolverlos se emplea una regla de tres compuesta, en la cual se aplican dos o más reglas de tres simple a la vez. La regla de tres compuesta es un sistema de resolución de problemas que sirve para hallar el término desconocido de dos o más proporciones, que están en relación directa o inversa, cuando se conocen cinco o más términos. Veamos un ejemplo 6 trabajadores construyen una pared de 12 metros en 5 días. ¿Cuántos metros de pared similar pueden construir 15 trabajadores en 3 días? Para resolverlo seguimos estos pasos: • Planteamos una regla de tres compuesta con los datos del problema. Los datos de la misma clase los escribimos en la misma columna. Fíjese. t

m

d

6 15

12

5 3

x

• Comparamos las proporciones de dos en dos, cada columna de datos conocidos con la columna que tiene la incógnita. Luego, determinamos si la relación es directa o inversa y despejamos la x en cada una. Más trabajadores construirán más metros de pared. La relación es directa. Despejamos x.

Más trabajadores tardarán menos tiempo en construir la pared. La relación es inversa. Despejamos x.

t

m

6 15

12

m

d

12

5 3

x

x

x = (15)(12) 6

x = (12)(5) 3

Atención: El paso siguiente es el más importante para resolver la regla de tres compuesta.

• Para hallar el valor de x, combinamos las dos proporciones en una sola operación. Copiamos numerador y denominador. El número 12 que se repite en ambas proporciones lo copiamos solo una vez.

x=

900 (15) (12) (5) = = 50 18 (6) (3)

15 trabajadores pueden construir 50 metros de pared en 3 días. Matemática − Semana 13

183

Otro ejemplo Una empresa de transporte cobra Q5,000.00 por trasladar 30 toneladas de hierro a una distancia de 100 km. ¿Cuánto cobrará por transportar 10 toneladas de hierro a una distancia de 150 km? • Planteamos una regla de tres compuesta con los datos del problema. Q

tn

km

5000

30 10

100 150

x

• Comparamos las proporciones de dos en dos y despejamos x. Q

A mayor peso, mayor costo. La 5000 x relación es directa.

A mayor distancia, mayor costo. 5000 x La relación es directa.

tn

30 10

Q

x = (5000)(10) 30

km

100 x = (5000)(150) 150 100

• Para hallar el valor de x, combinamos las dos proporciones y operamos.

x=

(5000) (10) (150) 7500 = = 2500 (30) (100) 3

La empresa cobrará Q2,500.00.

Un ejemplo más 4 trabajadores confeccionan 30 camisas en 3 horas. ¿Cuántas camisas confeccionan 8 trabajadores en 2 horas? • Planteamos una regla de tres compuesta con los datos del problema. t

c

h

4 8

30

3 2

x

• Comparamos las proporciones de dos en dos y despejamos x. t

c

Más trabajadores harán más camisas. La relación es directa.

4 8

30

En menos horas se producen menos camisas. La relación es directa.

h

c

3 2

30

x

x

x = (8)(30) 4

x = (2)(30) 3

• Para hallar el valor de x, combinamos las dos proporciones y operamos.

x=

184

IGER − Zaculeu

(8) (30) (2) 480 = = 40 (4) (3) 12

8 trabajadores confeccionan 40 camisas en 2 horas.

Ejercicio 3 Aplique el procedimiento que aprendió para resolver los problemas. 1) Si 2 carpinteros fabrican 8 sillas en 1 día, ¿cuántas sillas pueden fabricar 4 carpinteros en 3 días? •

Plantee una regla de tres compuesta con los datos del problema. c

s

d

2

1

4 •

Compare las proporciones de dos en dos y determine si son directas o inversas. Despeje x. c

Más carpinteros fabrican más sillas.

x=

.

La relación es

d

En más días se fabrican más sillas.

x=

Halle el valor de x combinando las dos proporciones en una sola operación.

x=

s

.

La relación es •

s

=

=

4 carpinteros pueden fabricar

sillas en 3 días.

2) 8 obreros trabajan 6 horas diarias durante 2 días para construir un muro. ¿Cuántos días tardarán en construir un muro similar, 6 obreros trabajando 4 horas diarias? •

Plantee una regla de tres compuesta con los datos del problema. o

d

h

8

2

6

x •

Compare las proporciones de dos en dos y determine si son directas o inversas. Despeje x. A menos obreros, más días de trabajo.

x=

A menos horas, más días de trabajo.

d

h

x=

.

La relación es

Halle el valor de x combinando las dos proporciones en una sola operación.

x=

d

.

La relación es

•

o

6 obreros tardarán

=

=

.


185

Resumen 1.

La regla de tres simple es una operación que busca hallar el término desconocido en una proporción cuando se conocen los otros tres términos. Puede ser directa o inversa.

1.1 La regla de tres simple directa sirve para hallar el término desconocido de una proporción directa. Se resuelve siguiendo estos pasos: • •

Planteamos la regla de tres. Calculamos el valor de x multiplicando en forma cruzada y dividiendo entre la tercera cantidad conocida.

8

4 15

x

x = (15)(8) = 120 = 30 4

4

1.2 La regla de tres simple inversa nos permite calcular el término desconocido de una proporción inversa. Se resuelve siguiendo estos pasos: • •

2.

Planteamos la regla de tres. Calculamos el valor de x multiplicando en forma horizontal y dividiendo entre la tercera cantidad conocida.

12

4 8

x

x = (4)(12) = 48 = 6 8

8

La regla de tres compuesta es un sistema de resolución de problemas que sirve para hallar el término desconocido de dos o más proporciones, que están en relación directa o inversa, cuando se conocen cinco o más términos. Para resolverla seguimos estos pasos: • •

Planteamos una regla de tres compuesta. Comparamos las proporciones de dos en dos. Luego, determinamos si la relación es directa o inversa y despejamos x en cada una.

8 20

Para hallar el valor de x, combinamos las dos proporciones en una sola operación. El número que se repite en ambas proporciones lo copiamos solo una vez.

x

8 20

12

12

5 10

x •

12

x=

x

5 10

x = (20)(12) 8

x = (12)(5) 10

(20) (12) (5) 120 = = 15 (8) (10) 8

Investigue en la red... Abajo le proponemos una dirección de internet donde puede ver otro método para resolver la regla de tres compuesta. Compare los resultados con el método que aprendió esta semana. http://goo.gl/H8CFSI

186

IGER − Zaculeu



Escriba sobre la línea si cada problema se resuelve con una regla de tres simple directa o inversa. Explique su respuesta. Tiene un ejemplo. 0) Un galón de pintura cubre 45 m2 de pared. ¿Cuántos metros cuadrados cubren 3 galones de pintura?

Se resuelve con una regla de tres directa, porque más pintura cubre más superficie de pared.

1) 6 trabajadores construyen una pared en 8 días. ¿Cuántos días tardarán 4 trabajadores en construir la misma pared? 2) El precio de 3 almuerzos es de Q45.00. Si compramos 2 almuerzos, ¿cuánto debemos pagar?

Actividad 2.


A. Aplique la regla de tres directa para hallar el valor desconocido en cada proporción. Tiene un ejemplo. 5) 4 x = (5)(8) = 40 = 20

0) 2 5

8

1) 4 2

6

2) 10 4

15

3) 9 6

3

4) 5 3

10

x

2

2

x

x

x

x

5

8

x

6) 3 6

2

7) 4 10

6

8) 20 30

4

9) 6 8

12

x

x

x

x


187

B. Aplique la regla de tres inversa para hallar el valor desconocido en cada proporción. Tiene un ejemplo. 0)

4 16

8

x

5) 12 x = (4)(8) = 32 = 2 16

16

1) 8 6

3

2)

3 15

10

3) 10 8

4

4) 9 6

8

x

x

x

x

9

3

x

6) 8 10

5

7) 9 3

5

8) 15 10

4

9) 20 12

9

x

x

x

x

C. Lea los problemas y aplique una regla de tres simple o compuesta para resolverlos. 1) Para preparar 2 litros de naranjada se necesitan 10 naranjas. ¿Cuántas naranjas se necesitan para preparar 5 litros de naranjada?

Escriba la respuesta: 2) 3 trabajadores construyen una casa en 8 meses. ¿Cuántos trabajadores se necesitan para construir la casa en 6 meses?


188

IGER − Zaculeu

3) En un terreno, 3 agricultores pueden sembrar 60 filas de maíz en 2 horas. ¿Cuántas horas tardarán 4 agricultores en sembrar 40 filas de maíz?

Escriba la respuesta: 4) 20 jornaleros pueden cargar 10 camiones en 3 días. ¿Cuántos camiones pueden cargar 30 jornaleros en 5 días?


189

Agilidad de cálculo mental Siga practicando el cálculo mental con operaciones combinadas. Recuerde que, por jerarquía de operación, primero debe resolver las multiplicaciones y divisiones, después las sumas y las restas. Fíjese en los ejemplos. A. Multiplicación y sumas 13

7) 6 x 3 + 5 =

14) 6 x 4 + 2 =

1) 6 x 2 + 1 =

8) 3 x 5 + 9 =

15) 5 x 5 + 4 =

2) 3 x 4 + 2 =

9) 2 x 9 + 5 =

16) 6 x 8 + 1 =

3) 5 x 3 + 6 =

10) 4 x 4 + 3 =

17) 9 x 4 + 6 =

4) 2 x 8 + 5 =

11) 2 x 7 + 4 =

18) 2 x 7 + 5 =

5) 9 x 3 + 2 =

12) 8 x 3 + 5 =

19) 6 x 0 + 8 =

6) 7 x 2 + 4 =

13) 9 x 4 + 3 =

20) 8 x 7 + 3 =

7) 2 + 1 x 8 =

14) 3 + 9 x 3 =

1) 3 + 3 x 1 =

8) 6 + 7 x 2 =

15) 4 + 2 x 8 =

2) 5 + 2 x 4 =

9) 4 + 3 x 4 =

16) 5 + 4 x 5 =

3) 4 + 9 x 2 =

10) 7 + 8 x 1 =

17) 8 + 8 x 6 =

4) 2 + 4 x 4 =

11) 2 + 5 x 4 =

18) 6 + 2 x 5 =

5) 3 + 2 x 6 =

12) 6 + 3 x 5 =

19) 4 + 6 x 6 =

6) 5 + 6 x 3 =

13) 4 + 6 x 4 =

20) 2 + 7 x 8 =

7) 20 ÷ 5 + 2 =

14) 21 ÷ 3 + 6 =

1) 8 ÷ 4 + 6 =

8) 16 ÷ 4 + 5 =

15) 24 ÷ 6 + 2 =

2) 6 ÷ 2 + 8 =

9) 24 ÷ 8 + 3 =

16) 20 ÷ 4 + 9 =

3) 9 ÷ 9 + 7 =

10) 15 ÷ 3 + 1 =

17) 30 ÷ 6 + 8 =

4) 5 ÷ 1 + 6 =

11) 12 ÷ 4 + 6 =

18) 32 ÷ 8 + 6 =

5) 12 ÷ 3 + 4 =

12) 10 ÷ 2 + 9 =

19) 36 ÷ 4 + 3 =

6) 18 ÷ 6 + 3 =

13) 14 ÷ 7 + 8 =

20) 42 ÷ 7 + 9 =

0) 2 x 5 + 3 =

B. Sumas y multiplicación 0) 1 + 2 x 4 =

9

C. División y sumas 0) 9 ÷ 3 + 2 =

190

IGER − Zaculeu

5

Razonamiento lógico Aplique el procedimiento que aprendió en la semana para resolver los problemas. 1) El dueño de una ferretería vende 35 metros de malla por un valor de Q525.00, ¿En cuánto vende 10 metros de malla? 2) Si una pulgada equivale a 2.54 cm, ¿cuántos centímetros hay en 50 pulgadas? 3) Un atleta recorre 300 km entrenando 20 días a razón de 3 horas diarias. Si en los próximos 10 días solo dispone de 2 horas diarias para entrenar, ¿cuántos km recorrerá? 4) Para pavimentar una calle de 6 metros de ancho por 40 metros de largo se necesitan 8 camionadas de piedrín. ¿Cuántas camionadas de piedrín se necesitan para pavimentar una calle de 4 metros de ancho por 30 metros de largo? 5) 4 personas tardan 9 horas para cosechar una cantidad de maíz. ¿Cuántas horas tardarán 6 personas para cosechar la misma cantidad de maíz? 6) 10 personas tardan 4 días en pintar una casa. ¿Cuántos días tardarán 8 personas en pintar la misma casa? 7) 8 obreros tardan 6 días para abrir una zanja de 80 metros de largo. ¿Cuántos obreros se necesitan para abrir una zanja de 60 metros en 4 días? 8) Dos personas alquilan una finca de 50 manzanas de terreno. La primera ocupa 15 manzanas y paga Q1,350.00 mensuales, ¿Cuánto pagará la persona que ocupa el resto de la finca? 9) 4 bombas de agua llenan un tanque en 24 minutos. ¿Cuántos minutos tardarán 3 bombas en llenar el tanque? 10) Para adoquinar una calle de 60 metros de largo y 10 metros de ancho se han utilizado 5000 adoquines. ¿Cuántos se necesitan para adoquinar una calle de 80 metros de largo y 6 metros de ancho? 11) En una granja, 2 terneros consumen 1 quintal de afrecho en 2 semanas. ¿Cuántos quintales de afrecho se necesitan para alimentar a 4 terneros durante 3 semanas? 12) Una empresa de transporte cobra Q300.00 por trasladar un paquete de 2 libras a una distancia de 50 kilómetros. ¿Cuánto cobra la empresa por transportar un paquete de 3 libras a una distancia de 20 kilómetros? 13) Para pintar 500 metros cuadrados de pared se necesitan 2 botes de pintura de 5 galones cada uno. ¿Cuántos metros cuadrados de pared se pintan con 3 botes de pintura de 1 galón cada uno? 14) Para asfaltar un camino de 10 metros de largo por 3 metros de ancho se necesitan 5 camionadas de asfalto. ¿Cuántas camionadas se necesitan para asfaltar un camino de 12 metros de largo por 4 metros de ancho? Matemática − Semana 13

191

Desarrolle nuevas habilidades Construcción de un diagrama de flujo. La semana pasada aprendimos a leer e interpretar un diagrama de flujo. Esta semana aprenderemos a construirlos. Complete el diagrama de flujo para preparar mermelada de manzana. Para ello, copie los pasos de la izquierda en los símbolos correspondientes. Diagrama de flujo para preparar mermelada de manzana. 1) Inicio

Inicio

2) Selección de la fruta 3) Lavado 4) Pelado 5) Troceado 6) Cocción 7) Envasado

Descartar

No

¿la fruta está en buenas condiciones?

8) Fin

Sí

Fin




192


Distingo relaciones de proporcionalidad directa e inversa. Calculo el valor desconocido en una regla de tres simple directa e inversa. Resuelvo problemas aplicando la regla de tres simple o compuesta. Practico el cálculo mental con operaciones combinadas. Construyo un diagrama de flujo sobre la preparación de mermelada. IGER − Zaculeu


14 El cono ¿Qué encontrará esta semana? El programa Apolo El cono: área y volumen Sumas y restas algebraicas Problemas de área y volumen del cono

Esta semana logrará:  Conocer la forma de la nave Apolo.  Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un cono.  Aplicar las fórmulas de área y volumen del cono para resolver problemas.  Resolver con agilidad sumas y restas algebraicas.  Construir un cono de papel. 


193

¡Para comenzar! El programa Apolo ¡El hombre a la Luna! En 1969 ocurrió uno de los hechos históricos más sobresalientes de la humanidad, tres astronautas viajaron a la Luna, dos caminaron sobre ella y todos regresaron a la Tierra sanos y salvos. Esta increíble hazaña fue posible gracias al programa Apolo, un conjunto de misiones espaciales que tuvieron como objetivo explorar la superficie lunar. La nave en la que viajaron los astronautas estaba compuesta por varios módulos. El más importante era el módulo de mando, un vehículo encargado de transportar a los astronautas hasta la Luna, mantenerlos allí y regresarlos a la Tierra.

http://goo.gl/fo2yLX

Este módulo tenía forma de cono, con una altura de 3.18 metros y una base de 3.90 metros de diámetro. Se construyó con esta forma porque ayudaba a dispersar el calor generado por el roce con las capas de la atmósfera terrestre. Además, reducía la velocidad del vehículo al reentrar en la Tierra.

Módulo de mando

¡A trabajar! Responda las preguntas. 1) ¿Cuál es el nombre del programa de misiones que llevó al hombre a la Luna? 2) ¿Qué forma tenía el módulo de mando?

¿Le gustaría viajar a la Luna? Desde hace un tiempo se promueve el turismo espacial. Escriba un relato corto que responda a estas preguntas: ¿Cómo sería el viaje? ¿Qué le gustaría ver?

194

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. El cono

eje de giro

En la sección anterior vimos que el módulo principal de la nave Apolo tenía forma de cono. En nuestro entorno, podemos encontrar varios objetos con este mismo diseño: embudos, conos para helado y conos para la señalización de caminos. El cono se define como un cuerpo geométrico formado por un triángulo rectángulo que gira alrededor de la línea que determina su altura. El triángulo, al girar, forma una superficie lateral curva y un círculo que da origen a la base.

Elementos del cono En un cono se pueden distinguir los elementos siguientes: • Eje de giro: es una línea imaginaria vertical fija sobre la cual gira el triángulo rectángulo.

eje de giro v

• Base (b): círculo sobre el que descansa el cono. • Radio (r): distancia del centro de la base a cualquier punto de la circunferencia.

g

h

• Vértice (v): es la cúspide del cono. • Generatriz (g): es la línea trazada desde el vértice hasta un punto del contorno de la base.

r

b

• Altura (h): distancia que va del centro de la base hasta el vértice.

Ejercicio 1 Escriba el nombre de los elementos del cono señalados en el esquema. Tiene un ejemplo. 2)

3)

1)

0)

radio

4)


195

1.1 Área del cono

sector circular

Para conocer el área total del cono necesitamos descomponerlo en las partes que lo forman. Al extender el cono sobre un plano se obtienen dos áreas, un círculo y un sector circular. Fíjese en la figura de la derecha.

g

g

Para calcular el área del cono, debemos averiguar la medida de ambas figuras: el área lateral, que es el área del sector circular, y el área de la base, que es el área del círculo.

círculo

r

a. Área lateral (Al) Es el área del sector circular que forma el cono y la obtenemos con la fórmula: Al = rg La fórmula se lee: el área lateral de un cono es igual a pi por el radio y por la generatriz. = 3.14 r = radio del círculo de la base g = generatriz

b. Área de la base (Ab) Es el área del círculo donde descansa el cono. Como el área de un círculo es r2, entonces el área de la base del cono es: Ab = r2 La fórmula se lee: el área de la base es igual a pi por la medida del radio al cuadrado.

c. Área total del cono (At) El área total se obtiene al sumar el área lateral y el área de la base. At = Al + Ab At = rg + r2 Como el valor de pi y del radio ( r) aparece dos veces podemos aplicar el factor común para expresar el área total del cono de una forma más simple: At = r(g + r) La fórmula se lee: el área total del cono es igual a pi por el radio y por la suma del valor de la generatriz más el radio.

196

IGER − Zaculeu

Resolvamos un ejemplo de aplicación del área total del cono. Se desea elaborar un cono cerrado de dos colores. El área lateral de color rojo y la base de color azul. Si el radio mide 10 cm y la generatriz 15 cm, ¿qué cantidad de cartulina de cada color se necesita? ¿Cuál es el total de la cartulina empleada?

g

h r

• Calculamos el área lateral

Al = rg

Al = (3.14)(10 cm)(15 cm)

Sustituimos los datos en la fórmula y operamos

Al = (3.14)(150 cm2)

Cartulina roja

Al = 471 cm2

• Calculamos el área de la base

Ab = r2

Ab = (3.14)(10 cm)2


Cartulina azul

Al = (3.14)(100 cm2) Al = 314 cm2

Para saber qué cantidad de cartulina se ha empleado hallamos el área total. • Como ya sabemos el área lateral y de la base, aplicamos esta fórmula

At = Al + Ab

At = 471 cm2 + 314 cm2

Cartulina total empleada

At = 785 cm2 5 cm

Otro ejemplo Una copa con forma de cono mide 10 cm de generatriz y 5 cm de radio en la circunferencia superior. Cada vez que se limpia, ¿qué superficie de vidrio hay que limpiar?

10 cm


Atención: el problema se resuelva hallando solo el área lateral porque la copa está abierta, es decir, no tiene base. • Calculamos el área lateral

Al = rg

Al = (3.14)(5 cm)(10 cm)


Al = (3.14)(50 cm2)

Al = 157 cm2

Hay que limpiar 157 cm2 de vidrio. Matemática − Semana 14

197

Veamos un ejemplo en el que aplicaremos directamente la fórmula del área total del cono. Calculemos el costo de producción de una cisterna de acero con forma de cono invertido que mide 1 metro de radio y 2 metros de generatriz. El metro cuadrado de acero cuesta Q1,500.00. • Calculamos el área total

At = r(g + r)

At = (3.14)(1 m)(2 m + 1 m)


At = (3.14)(1 m)(3 m) At = (3.14)(3 m2) At = 9.42 m2

• Multiplicamos el resultado por el precio de cada metro cuadrado de acero

(9.42)(1500) = 14 130

El costo de producción de la cisterna es de Q14,130.00.

Ejercicio 2 Aplique el procedimiento que aprendió para resolver el problema.

Un ingeniero debe construir un silo de almacenamiento con forma cónica de 3 metros de radio y 4 metros de generatriz. a. ¿Qué cantidad de aluminio necesita? •

Calcule el área total

At = r(g + r)

Sustituya los datos en la fórmula y opere

At = (3.14)(

)(

At = (3.14)(

)(

) )

At = (3.14)(

)

La cantidad de aluminio que necesita es At =

b. Si quiere reforzar la base con acero inoxidable, ¿qué cantidad de acero necesita? •

Calcule el área de la base

Ab = r2

Sustituya el dato en la fórmula y opere

Ab = (3.14)(

Ab = (3.14)(

198

La cantidad de acero que necesita es Ab =

IGER − Zaculeu

)2 )

1.2 Volumen del cono Observe estos cuerpos geométricos. El cilindro está vacío y el cono está lleno de agua. Tanto la altura y el radio del cilindro como los del cono miden lo mismo.

h

Si vaciamos el líquido que está en el cono dentro del cilindro, llenaremos solo una tercera parte de la capacidad del cilindro. Eso quiere decir que el volumen del cono es la tercera parte del volumen de un cilindro.

Bases iguales

Por eso, la fórmula para calcular el volumen del cono es la misma que utilizamos para calcular el volumen del cilindro, solo que dividido entre tres. V=

(Ab)(h) 3

Ab = el área de la base del cono h = altura del cono Pero podemos hallar el volumen tomando un camino más corto. Como la base siempre es un círculo, el área de la base tiene que ser la de un círculo (Ab = r2). Si sustituimos Ab por r2, la fórmula del volumen del cono queda así: V=

r2h 3

Hagamos un ejemplo Los vasos utilizados en una venta de granizadas tienen forma de cono. El radio mide 4 cm y la altura 10 cm. ¿Cuál es el volumen de cada vaso? r2h 3

• Copiamos la fórmula

V=

• Sustituimos los valores en la fórmula y operamos

V=

(3.14)(4 cm)2(10 cm) 3

V=

(3.14)(16 cm2)(10 cm) 3

V=

(3.14)(160 cm3) 3

V=

502.4 cm3 3

El volumen de cada vaso es

V = 167.47 cm3 Matemática − Semana 14

199

Otro ejemplo En una fábrica de dulces se elaboran chupetes con forma cónica de 1 cm de radio y 6 cm de altura. ¿Cuántos chupetes se producen por cada litro de miel, sabiendo que 1 litro equivale a 1000 cm3? Para resolver el problema primero debemos hallar el volumen de cada chupete. • Copiamos la fórmula

V=

• Sustituimos los datos y operamos

V= V= V= V=

El volumen es

r2h 3 (3.14)(1 cm)2(6 cm) 3 (3.14)(1 cm2)(6 cm) 3 (3.14)(6 cm3) 3 18.84 cm3 3

V = 6.28 cm3

Para calcular la cantidad de chupetes dividimos el volumen total de la miel entre el volumen de cada chupete. (1 l = 1000 cm3) 1000 cm3 ÷ 6.28 cm3 = 159.23 Se producen 159 chupetes por cada litro de miel.

Ejercicio 3 Aplique el procedimiento que aprendió para resolver el problema.

Los vasos utilizados en una fiesta tienen forma de cono. Miden 3 cm de radio y 10 cm de altura. a. ¿Cuál es la capacidad de cada vaso? •

Copie la fórmula

V=

•

Sustituya los datos en la fórmula y opere

V= V= V= V= V=

200

La capacidad de cada vaso es de

IGER − Zaculeu

cm3.

r2h 3 (3.14)(

3

(3.14)( (3.14)(

3

3 3

)2(

)

)(

)

)

b. ¿Cuántos vasos se pueden llenar con 10 litros de jugo? Recuerde que 1 l equivale a 1000 cm3. •

Convierta los 10 litros en centímetros cúbicos

•

Calcule el número de vasos, dividiendo el resultado anterior entre el volumen de cada vaso

(

)(1000 cm3) =

÷

=

vasos.

Se pueden llenar

Resumen El cono se define como un cuerpo geométrico formado por un triángulo rectángulo que gira alrededor de la línea que determina su altura. El triángulo al girar forma una superficie lateral curva y un círculo que da origen a la base. Los elementos de un cono son: vértice (v)

altura (h) generatriz (g)

radio (r)

base (b)

Para hallar el área y el volumen del cono, utilizamos las fórmulas siguientes: Área lateral

Área de la base

Área total

Volumen

g

h

r

Al = rg

Ab = r2

At = r(g + r)

V=

r2h 3


201



Escriba sobre la línea los elementos del cono señalados en el esquema. 3)

4)

2)

5)

1)

Actividad 2.


A. Calcule el área total y el volumen de cada cono con las medidas indicadas. 1)

Área total

Volumen

Área total

Volumen

3m

2.8 m 1m

2) 20 cm 19 cm 6 cm

202

IGER − Zaculeu

B. Aplique el procedimiento que aprendió en la semana para resolver los problemas. 1) Un artesano fabrica embudos de hojalata de 9 cm de radio y 18 cm de generatriz. ¿Qué cantidad de material necesita para cada embudo? ¿Cuántos embudos se pueden obtener de una plancha de hojalata que mide 5000 cm2?

2) La Nasa necesita construir un módulo de mando en forma cónica para una nave espacial. Debe tener 2 m de radio y 4 m de generatriz. ¿Cuál será el costo de producción del módulo si el metro cuadrado de acero cuesta Q5,000.00?

3) Un joyero elabora aretes de jade con forma de cono que miden 0.5 cm de radio y 1 cm de altura. ¿Cuál es el volumen de cada arete? ¿Cuántos aretes se pueden obtener de una piedra de jade que tiene 5 cm3 de volumen?


203

Agilidad de cálculo mental Practique el cálculo mental con operaciones algebraicas. A. Sume monomios. Recuerde que para resolver se suman los coeficientes numéricos y se copia la parte literal. Tiene un ejemplo. 0) 2x + 2x =

7) 4h + 7h =

14) 6y + 17y =

1) y + y =

8) 7k + 6k =

15) 8x + 19x =

2) 9x + x =

9) 9x + 11x =

16) 9y + 21y =

3) 5x + 3x =

10) 3x + 12x =

17) 6h + 25h =

4) 7y + 8y =

11) 5y + 14y =

18) 5y + 19y =

5) 6b + 9b =

12) 9k + 15k =

19) 12x + 12x =

6) 8x + 6x =

13) 7b + 12b =

20) 15h + 14h =

4x

B. Reste monomios. Recuerde que para resolver se restan los coeficientes numéricos y se copia la parte literal. Tiene un ejemplo. 7) 5y - 2y =

14) 12x - 5x =

1) 9y - 2y =

8) 11h - 4h =

15) 17k - 9k =

2) 6x - 6x =

9) 15y - 6y =

16) 10y - 2y =

3) 8h - 3h =

10) 13k - 9k =

17) 19x - 7x =

4) 7x - 2x =

11) 16x - 7x =

18) 21y - 8y =

5) 9y - 5y =

12) 14y - 8y =

19) 25h - 9h =

6) 7x - 4x =

13) 18h - 7h =

20) 23x - 7x =

0) 7x - 3x =

4x

C. Complete la suma escribiendo el monomio correcto. Tiene un ejemplo. 0) 2x +

= 8x

7) 9x +

= 12x

14) 9x +

= 12x

1) 4x +

= 7x

8) 5h +

= 11h

15) 7y +

= 15y

2) 2x +

= 9x

9) 6k +

= 14k

16) 8b +

= 20b

3) 6y +

= 13y

10) 3y +

= 12y

17) 9x +

= 22x

4) 7b +

= 12b

11) 9x +

= 15x

18) 6y +

= 21y

5) 8x +

= 15x

12) 8k +

= 17k

19) 10h +

= 23h

6) 6y +

= 18y

13) 6h +

= 16h

20) 13k +

= 17k

204

6x

IGER − Zaculeu

Razonamiento lógico Lea detenidamente cada enunciado para saber si debe calcular el área total o solo el área lateral o el volumen y resuelva los problemas. 1) Se desea fabricar un cono abierto que tenga estas medidas: 10 cm de radio y 18 cm de generatriz. ¿Cuántos cm2 de cartón se necesitan? 2) El techo de una casa tiene forma de cono. Sus medidas son: 2 metros de radio y 3 metros de generatriz. Calcule el área lateral de la superficie del techo de la casa. 3) En un puesto del mercado entregan las especies en conos de papel periódico. Las medidas del cono son 6 cm de radio y 10 de generatriz. ¿Cuánto papel se necesita para fabricar cada cono? 4) El techo de un tanque cilíndrico es un cono de 1 metro de radio y 1.5 metros de generatriz. ¿Cuál la superficie lateral del techo? 5) Los encargados de una fiesta de cumpleaños quieren fabricar 20 gorros de cartón con forma de cono. Las medidas de cada gorro son: 12 cm de radio y 20 cm de generatriz. ¿Cuánto cartón necesitan en total? 6) El área de la base de un cono mide 400 cm2. Si la altura mide 50 cm, ¿cuál es el volumen del cono? 7) En una heladería, los conos tienen estas medidas: 4 cm de radio y 15 cm de altura. ¿Si la bola de helado se derrite, cuántos cm3 de helado caben en cada cono? 8) Un filtro para agua tiene forma de cono invertido. Sus medidas son 40 cm de radio y 15 cm de altura. ¿Cuál es la capacidad del filtro? 9) Un trabajador acomodó un montón de arena y necesita saber el volumen que ocupa. Sabe que tiene forma de cono con un radio de 2 metros y una altura de 1 metro. ¿Cuál es el volumen de la arena? 10) ¿Cuántos cm2 de lámina se necesita para fabricar un embudo de 5 cm de radio y 9 cm de generatriz? 11) Un herrero debe fabricar el techo de una chimenea con la forma de un cono. Las medidas deben ser: 30 cm de radio y 70 cm de generatriz. ¿Cuántos cm2 de lámina necesita? 12) Una copa tiene la forma de un cono invertido. Sus medidas son: 5 cm de radio, 8 cm de altura y 9 cm de generatriz.

a. ¿Cuál es la superficie lateral de la copa?

b. ¿Cuál es la capacidad de la copa? Matemática − Semana 14

205

Desarrolle nuevas habilidades Construya un cono de papel • Tenga a la mano cartulina o papel grueso, regla, compás, tijeras, pegamento y lápiz. • Observe el dibujo de abajo y trace sobre la cartulina una figura semejante con las medidas indicadas. • Dibuje pestañas en los lados indicados en la figura. • Recorte, doble y aplique pegamento en las pestañas. • Arme el cono.

r = 5 cm

g = 15 cm




206


Conozco la forma de la nave Apolo. Calculo el área lateral, el área total y el volumen de un cono. Aplico las fórmulas de área y volumen del cono para resolver problemas. Resuelvo con agilidad sumas y restas algebraicas. Construyo un cono de papel. IGER − Zaculeu


15 El prisma ¿Qué encontrará esta semana? La descomposición de la luz y el prisma de Newton El prisma Multiplicación y división de monomios Problemas de área y volumen de prismas

Esta semana logrará:  Identificar los elementos que componen un prisma.  Clasificar prismas según el polígono de la base.  Calcular el área y el volumen de un prisma para resolver problemas cotidianos.  Practicar el cálculo mental con el producto y cociente de monomios.  Resolver problemas de área y volumen de prismas. 


207

¡Para comenzar! La descomposición de la luz y el prisma de Newton

luz blanca

prisma de vidrio

En 1667, Isaac Newton, físico y matemático inglés, demostró que la luz es una mezcla de siete colores diferentes: rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil y violeta. Veamos cómo lo hizo. Newton se instaló en un cuarto oscuro en el que solo entraba un rayo de sol. Colocó un prisma delante del rayo y el resultado fue la gama de los siete colores que mencionamos. Pensó en dos explicaciones: o bien el prisma daba color a la luz, o bien la luz era la mezcla de todos los colores diferentes que se descomponían al atravesar el prisma. Años más tarde se comprobó que la luz viaja a una velocidad de 300 000 km/s y por eso es imposible ver los colores que la componen. Pero cuando atraviesa otro medio, como un prisma de vidrio, disminuye su velocidad y los colores, visibles ante el ojo humano, salen reflejados por caminos diferentes. Este mismo proceso ocurre cuando se forma un arco iris en el cielo después de la lluvia. Adaptado de: http://www.astromia.com/astronomia/newtonluz.htm

¡A trabajar! Después de leer el experimento de Newton sobre la descomposición de la luz, responda a las preguntas. 1) ¿Qué objeto utilizó Newton para realizar su experimento? 2) ¿Cuál fue la conclusión de Newton sobre la descomposición de la luz?

208

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. El prisma En la lectura inicial vimos que Newton empleó un prisma para su experimento sobre la descomposición de la luz. Un prisma es un cuerpo geométrico formado por dos bases iguales con forma de polígono regular y varias caras laterales que pueden ser cuadrados o rectángulos.

1.1 Elementos del prisma Todos los prismas, cualquiera que sea su forma, tienen en común estos elementos: • Base superior e inferior: son dos polígonos iguales sobre los cuales se apoya el prisma. Las bases pueden ser triángulos, cuadrados, pentágonos, etc. • Caras laterales (Cl): un prisma tiene tantas caras como lados tiene el polígono de la base. Las caras pueden tener forma de cuadrados o de rectángulos.

base superior

altura caras laterales

h

base inferior

• Altura (h): es la distancia que separa las dos bases del prisma.

Ejercicio 1 Repase lo que acaba de aprender. Escriba el nombre de las partes del prisma señaladas en el esquema.

3)

2)

4)

1)


209

1.2 Clasificación de los prismas Los prismas se clasifican de acuerdo al polígono que forma la base. Preste atención a las formas, porque le ayudará a visualizar las estructuras que se presentan en los ejemplos y ejercicios. prisma

base

Prisma triangular 2 triángulos como bases

Emplearemos las letras ht para referirnos a la altura del triángulo.

ht

3 caras laterales

Prisma cuadrangular 2 cuadrados como bases 4 caras laterales

Prisma pentagonal 2 pentágonos como bases

a

5 caras laterales

Prisma hexagonal 2 hexágonos como bases

a

6 caras laterales

Ejercicio 2 Escriba el nombre de cada prisma según el polígono de la base. Tiene un ejemplo.

210

IGER − Zaculeu

prisma hexagonal

2. Área del prisma

La superficie que ocupa

Para conocer el área de un prisma necesitamos descomponerlo en las partes que lo forman. Al extender el prisma sobre un plano se obtienen dos áreas, el polígono que forma la base y los rectángulos que forman las caras laterales. área de la base

Para hallar el área del prisma, debemos averiguar las medidas de ambas figuras: el área de la base que es el área del polígono y el área lateral que es el área de los rectángulos.

área lateral

a. Área de la base (Ab) La fórmula que utilizamos depende del polígono de la base: triángulo Ab =

(b)(ht) 2

cuadrado Ab =

2

Recuerde: n representa el número de lados y a, la apotema de un polígono regular.

polígono regular Ab =

(n)( )(a) 2

b. Área lateral (Al) prisma triangular (3 caras, n = 3)

El área lateral es el área que comprende las caras del prisma. La obtenemos multiplicando el número de caras (n) por el área de una cara (Ac). Al = n(Ac) Como las caras del prisma son rectángulos, entonces el área de una cara debe ser la de un rectángulo Ac = (b)(h). Si sustituimos Ac por (b)(h), la fórmula queda así:

h

base (b)

Al = n(b)(h)

c. Área total (At) Se obtiene sumando el área de las dos bases (2Ab) más el área lateral (Al): At = 2Ab + Al La fórmula se lee: el área total de un prisma es igual al doble del área de la base más el área lateral. Matemática − Semana 15

211

Apliquemos las fórmulas a un ejemplo ¿Cuántos pliegos de papel de regalo se necesitan para envolver una caja con forma de prisma cuadrangular que mide 50 cm por lado y 60 cm de alto? Nota: Un pliego de papel de regalo mide 7000 cm2.

h = 60 cm

= 50 cm

• Calculamos el área de una base, como es un cuadrado la fórmula es

Ab =

Ab = (50 cm)2


2

Ab = (50 cm)(50 cm) Ab = 2500 cm2

• Calculamos el área lateral Atención: Los lados ( ) de la base de un prisma miden lo mismo que la base (b) de las caras.

Sustituimos los datos en la fórmula y operamos Tiene 4 caras, n = 4

• Calculamos el área total


Al = n(b)(h) Al = 4(50 cm)(60 cm) Al = 4(3000 cm2) Al = 12 000 cm2 At = 2Ab + Al At = 2(2500 cm2) + 12 000 cm2 At = 5000 cm2 + 12 000 cm2 At = 17 000 cm2

Calculamos la cantidad de pliegos de papel. Dividimos el área de la caja entre el área del papel de regalo.

Para empacar la caja se necesitan 2.43 pliegos de papel de regalo.

17 000 cm2 ÷ 7000 cm2 = 2.43

Otro ejemplo

= 12 cm

Una fábrica de botes de aluminio debe producir recipientes en forma de prisma hexagonal cuyas medidas sean 12 cm por lado de la base y 10 cm de apotema. La altura debe medir 20 cm. ¿Qué cantidad de aluminio se necesita para cada recipiente? Ab =

(n)( )(a) 2


Ab =

(6)(12 cm)(10 cm) 2

Tiene 6 caras, n = 6

Ab =

6(120 cm2) 2

720 cm2 2 Ab = 360 cm2 Ab =

IGER − Zaculeu

a = 10 cm

• Calculamos el área de una base con la fórmula del polígono regular

212

h = 20 cm

• Calculamos el área lateral

Al = n(b)(h)


Al = 6(12 cm)(20 cm)

h = 20 cm

Al = 6(240 cm ) 2

Al = 1440 cm2

= 12 cm

• Calculamos el área total Copiamos la fórmula At = 2Ab + Al

At = 2(360 cm2) + 1440 cm2


At = 720 cm2 + 1440 cm2 At = 2160 cm2

Se necesitan 2160 cm2 de aluminio.

Ejercicio 3 ht = 43 cm

Siga los pasos que se indican para resolver el problema.

= 50 cm

Un carpintero fabrica esquineras de madera con forma de prisma triangular. La altura mide 100 cm y el triángulo de la base mide 50 cm por lado y 43 cm de altura. ¿Cuánta madera necesita para fabricar cada esquinera? • Calcule el área de una base, como es un triángulo la fórmula es

Ab =

Sustituya los datos en la fórmula y opere Ab =

h = 100 cm

(b)(h) 2 (

)(

)

Ab = Ab = • Calcule el área lateral

Al = n(b)(h)

Sustituya los datos en la fórmula y opere Al = 3(50 cm)(100 cm)

Tiene 3 caras, n = 3

Al =

Al = • Calcule el área total.

At = 2Ab + Al

Sustituya los datos en la fórmula y opere At = 2(

cm2) +

cm2

At = At =

Se necesitan

de madera. Matemática − Semana 15

213

3. Volumen del prisma El volumen de un prisma es la cantidad de espacio que ocupa. La fórmula para calcularlo es: V = (Ab)(h)

h

La fórmula se lee: volumen de un prisma es igual al área de la base por la altura. base (b)

Ab = área de la base del polígono h = altura del prisma

Para aplicar la fórmula del volumen primero debemos calcular el área de la base.

Ejemplo

a = 2.4 cm

¿Con cuánto jugo de naranja se puede llenar un vaso, cuya base es un prisma octagonal? La altura del vaso es de 10 cm y la base mide 2 cm por lado y 2.4 cm de apotema.

h = 10 cm

Para resolver el problema seguimos estos pasos:

= 2 cm

• Calculamos el área de una base, como es un polígono regular la fórmula es

Ab =

(n)( )(a) 2

Ab =

(8)(2 cm)(2.4 cm) 2

Sustituimos los datos y operamos Tiene 8 caras, n = 8

Ab =

Ab =

8(4.8 cm2) 2 38.4 cm2 2

Ab = 19.2 cm2 • Calculamos el volumen

V = (Ab)(h)

Sustituimos los datos y operamos

V = (19.2 cm2)(10 cm)

V = 192 cm3

El vaso se puede llenar con 192 cm3 de jugo de naranja.

¡Un reto más! ¿Cuántos vasos se necesitan para repartir 1920 cm3 de jugo? • Dividimos el volumen a repartir entre el volumen de un vaso.

214

IGER − Zaculeu

Se necesitan 10 vasos.

1920 cm3 ÷ 192 cm3 = 10

Otro ejemplo Un bebedero para pollos tiene forma de prisma triangular con las medidas que se muestran en la figura. ¿Cuál es la capacidad del bebedero?

b = 25 cm ht = 22 cm h = 50 cm

• Calculamos el área de una base, como es un triángulo la fórmula es

(b)(ht) Ab = 2

Ab =


Ab =

(25 cm)(22 cm) 2 550 cm2 2

Ab = 275 cm2 • Calculamos el volumen

V = (Ab)(h)


V = (275 cm2)(50 cm)

V = 13 750 cm3 El bebedero tiene una capacidad de 13 750 cm3.

Ejercicio 4 Calcule cuánta mermelada se puede envasar en un frasco con forma de prisma hexagonal. El frasco mide 15 cm de altura y el polígono de la base 6 cm por lado y 5 cm de apotema.

Ab =

Sustituya los datos y opere

Ab =

• Calcule el área de una base

(n)( )(a) 2 (6)(

Ab =

2

)(

)

2

Ab = • Calcule el volumen

V = (Ab)(h)

V= (

V=

Se pueden envasar

)(

)

cm3 de mermelada.

¡Un reto más! ¿Cuántos frascos se necesitan para envasar 8100 cm3 de mermelada? • Dividimos el volumen a envasar entre el volumen del frasco

Se necesitan

8100 cm3 ÷

=

frascos. Matemática − Semana 15

215

Resumen 1.

Un prisma es un cuerpo geométrico formado por dos bases iguales con forma de polígono regular y varias caras laterales que pueden ser cuadrados o rectángulos.

Los elementos que componen un prisma son: base superior

altura caras laterales base inferior

1.1 Dependiendo del polígono que forma la base, un prisma puede ser: triangular, cuadrangular, pentagonal, etc. 2.

Para calcular el área de un prisma:

•

Hallamos el área de la base (Ab). La fórmula que utilizamos depende del polígono de la base. triángulo Ab =

(b)(ht) 2

cuadrado Ab =

2

•

Hallamos el área lateral (Al)

Al = n(b)(h)

•

Hallamos el área total (At)

At = 2Ab + Al


(n)( )(a) 2

3. El volumen de un prisma se calcula con esta fórmula: V = (Ab)(h)

Investigue en la red... Le invitamos a ver un video que explica el experimento de Newton sobre la descomposición de la luz en esta dirección de internet: http://goo.gl/M3g3LK

216

IGER − Zaculeu



A. Escriba sobre la línea los elementos del prisma señalados en la ilustración. Luego, responda las preguntas. 3)

2)

4)

1) a. ¿Cuántas caras tiene el prisma de la figura? b. ¿Qué nombre recibe?

Actividad 2.


A. Calcule el área total de cada prisma con las medidas indicadas. 1) Prisma cuadrangular 2) Prisma pentagonal lados de la base = 10 cm altura del prisma = 50 cm

lados de la base =30 cm apotema = 20 cm altura = 60 cm


217

B. Aplique el procedimiento que aprendió en la semana para solucionar los problemas. 1) Un puente se sostiene con 8 columnas de concreto con forma de prisma octagonal. La altura de cada columna es de 8 m y la base mide 1 m por lado y 1.2 m de apotema. a. Calcule la cantidad de concreto que se necesita para fabricar una columna.

Respuesta: b. Calcule el costo de cada columna si el metro cúbico de concreto cuesta Q900.00.

Respuesta: 2) Realice los cálculos necesarios para la fabricación de una pecera. a. Calcule cuánto vidrio se necesita para fabricar una pecera con tapadera que tiene forma de prisma cuadrangular. La altura mide 100 cm y el polígono de la base mide 70 cm por lado.

Respuesta: b. Para vivir en condiciones adecuadas, un pez necesita 1 litro de agua por cada centímetro que mide. ¿Cuántos peces de 7 cm caben en la pecera del ejemplo? (1 litro = 1000 cm3)

Respuesta:

218

IGER − Zaculeu

3) Realice los cálculos necesarios para la construcción de un silo. a. Calcule cuánta hojalata se necesita para construir un silo con forma de prisma pentagonal. La altura debe medir 2 metros y la base 3 metros por lado y 2 metros de apotema.

Respuesta: b. Calcule el costo del silo si el metro cuadrado de hojalata cuesta Q360.00.

Respuesta: c. Calcule cuánto maíz se puede almacenar en el silo si 680 kg de maíz ocupan un metro cúbico. (680 kg/m3)


219

Agilidad de cálculo mental La rapidez en el cálculo de las operaciones algebraicas se logra con la práctica. Resuelva las multiplicaciones y divisiones de monomios lo más rápido que pueda. A. Producto de monomios semejantes. Recuerde que para operar se copia la base y se suman los exponentes. Tiene un ejemplo. 0) (y3)(y5) =

7) (y5)(y7) =

14) (h15)(h7) =

1) (x2)(x) =

8) (k6)(k4) =

15) (a12)(a6) =

2) (a2)(a2) =

9) (w2)(w9) =

16) (x13)(x8) =

3) (b4)(b) =

10) (x7)(x8) =

17) (w16)(w12) =

4) (x2)(x2) =

11) (y9)(y5) =

18) (y14)(y13) =

5) (h3)(h2) =

12) (k6)(k3) =

19) (m9)(m16) =

6) (b5)(b8) =

13) (b8)(b11) =

20) (g18)(g4) =

y8

B. Producto de monomios con coeficientes diferentes. Recuerde que para operar se multiplican los coeficientes numéricos, se copia la base y se suman los exponentes. 0) (2x)(4x2) = 8x3

7) (9y2)(3y4) =

14) (5h2)(7h5) =

1) (5w)(3w) =

8) (4k2)(3k) =

15) (4x3)(7x2) =

2) (6h2)(4h) =

9) (5h3)(3h4) =

16) (8y2)(8y6) =

3) (3x2)(x3) =

10) (7x2)(8x3) =

17) (7x4)(6x3) =

4) (7b2)(4b) =

11) (6x4)(4x2) =

18) (9y5)(8y4) =

5) (2h)(9h3) =

12) (9y3)(6y3) =

19) (4z2)(3z8) =

6) (4b3)(2b2) =

13) (3b4)(3b3) =

20) (5w4)(3w2) =

C. División de monomios. Recuerde que para resolver se dividen los coeficientes numéricos, se copia la base y se restan los exponentes. Tiene un ejemplo. 0) (6h3) ÷ (2h) = 3h2

7) (4x2) ÷ (4x) =

14) (28x5) ÷ (4x2) =

1) (x) ÷ (x) =

8) (8h6) ÷ (2h4) =

15) (32b8) ÷ (8b5) =

2) (k2) ÷ (k) =

9) (6k2) ÷ (3k) =

16) (24x6) ÷ (8x4) =

3) (x6) ÷ (x2) =

10) (10h7) ÷ (2h5) =

17) (40y9) ÷ (5y3) =

4) (h9) ÷ (h3) =

11) (12k6) ÷ (4k3) =

18) (36k3) ÷ (9k3) =

5) (y5) ÷ (y5) =

12) (20x9) ÷ (5x4) =

19) (18p10) ÷ (3p2) =

6) (9b2) ÷ (3b) =

13) (24y7) ÷ (6y6) =

20) (20c18) ÷ (4c9) =

220

IGER − Zaculeu

Razonamiento lógico A. Aplique el procedimiento que aprendió esta semana para resolver los problemas de área y volumen de prismas. 1) Se desea construir un prisma hexagonal de cartón con estas medidas: 60 cm de altura, 50 cm por lado de la base y 40 cm de apotema. ¿Cuántos cm2 de cartón se necesitan? 2) Un recipiente tiene forma de prisma cuadrangular. La base mide 50 cm por lado y la altura 80 cm. Si queremos empacarlo con papel de regalo, ¿cuántos cm2 de papel necesitamos? 3) ¿Cuántos metros cúbicos de concreto se necesitan para construir una columna con forma de prisma cuadrangular de 3 metros de altura si la base mide 0.5 metros por lado? 4) Una empresa fabrica cajas en forma de prisma octagonal. La base mide 2 cm por lado y 2.5 cm de apotema y la altura de la caja mide 30 cm. ¿Cuántos cm2 de cartón se necesitan para fabricar cada caja? 5) Un tanque para almacenar agua tiene forma de prisma pentagonal. Las bases miden 2 metros por lado y 1 metro de apotema. La altura del tanque mide 2 metros. ¿Cuál es su capacidad? 6) Un agricultor necesita construir un granero en forma de prisma hexagonal con las medidas siguientes: 2 metros de altura, 2 metros por lado de la base y 1.5 metros de apotema. ¿Cuántos metros cuadrados de madera necesita? 7) Calcule cuántos cm3 de parafina se necesitan para fabricar una vela con forma de prisma pentagonal. Las medidas son: 10 cm de altura, 4 cm por lado de la base y 3 cm de apotema. 8) Observe las medidas de la figura y determine la cantidad de agua que puede contener el recipiente. b = 10 cm ht = 9 cm h = 100 cm

B. Anímese a dar un paso más poniendo a prueba su razonamiento lógico. En los problemas siguientes se le pide que calcule el área, el lado de la base o la altura del prisma cuando se conoce el volumen o el área total. 1) Calcule el volumen de un prisma cuadrangular, sabiendo que el perímetro de la base mide 160 centímetros y la altura 60 centímetros. 2) ¿Cuál es la altura de un prisma hexagonal si su capacidad es de 3600 cm3 y el área de la base 360 cm2? 3) Calcule el área de una cara lateral de un prisma rectangular sabiendo que mide 288 m2 de superficie total y la base es un cuadrado que mide 5 m por lado. Matemática − Semana 15

221

Desarrolle nuevas habilidades Construya un prisma hexagonal. Reúna estos materiales: cartulina o papel grueso, lápiz, regla, tijeras y pegamento. • Copie en su cartulina el hexágono de abajo con las medidas indicadas. • Dibuje un rectángulo que tenga la misma medida del lado del hexágono y 10 cm de altura. • Copie cinco rectángulos iguales al del paso anterior, como se muestra en la figura. • Dibuje pestañas sobre cada rectángulo como se muestra en la imagen. • Recorte, doble y aplique pegamento en las pestañas. • Arme el prisma hexagonal. = 3 cm

a = 2.6 cm

10 cm

3 cm




222


Identifico los elementos que componen un prisma. Clasifico prismas según el polígono de la base. Calculo el área y el volumen de un prisma para resolver problemas cotidianos. Practico el cálculo mental con el producto y cociente de monomios. Resuelvo problemas de área y volumen de prismas. Construyo un prisma hexagonal. IGER − Zaculeu


16 Cuerpos geométricos compuestos ¿Qué encontrará esta semana? El monasterio de Glendalough Área y volumen de cuerpos geométricos compuestos Operaciones combinadas Resolver problemas de área y volumen de cuerpos geométricos compuestos.

Esta semana logrará:  Analizar y descomponer un cuerpo geométrico compuesto en figuras más simples.  Calcular el área de cuerpos geométricos compuestos.  Calcular el volumen de cuerpos geométricos compuestos.  Resolver problemas de área y volumen de cuerpos compuestos.  Practicar el cálculo mental con operaciones combinadas.  Identificar figuras en posiciones diferentes. 


223

¡Para comenzar!

Tomado de: http://goo.gl/S1ZnZH

El monasterio de Glendalough Una maravilla en ruinas

Glendalough, que significa valle de los dos lagos, es un conjunto de edificios monásticos situado en Irlanda. Fue construido por San Kevin en el siglo VI como lugar de retiro espiritual. Cuando el santo murió, en 618, el monasterio estaba firmemente establecido y continuó su labor monástica hasta el siglo XV. Una de las estructuras más significativas es la Torre circular, el edificio más conocido de Glendalough, que mide 30 metros de altura. Se compone de cinco plantas y un techo cónico. La planta más alta tiene cuatro ventanas, cada una con vista hacia uno de los puntos cardinales. Además de puesto de vigilancia, también servía como campanario. A pocos metros de esta torre se encuentra la catedral, la iglesia que vemos en el primer plano de la imagen. Cuenta con un techo en forma de prisma triangular y un campanario con las mismas características de la torre descrita en el párrafo anterior. ¡A trabajar! Observe nuevamente la imagen de la catedral de Glendalough y relacione las partes de la construcción con las figuras geométricas que conoce. Ayúdese con las palabras resaltadas en negritas. Fíjese en el ejemplo. El techo de la catedral tiene la forma de un prisma triangular.

224

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática 1. Cuerpos geométricos compuestos

Dos o más figuras diferentes

¿Ha observado el kiosco de los parques de algún pueblo o ciudad? Estas estructuras están formadas por figuras geométricas diferentes: cilindro, pirámide, prisma… Fíjese en la imagen que está a la derecha. pirámide

Si desarmáramos el kiosco, veríamos que está formado por cilindros, que son las columnas, una pirámide de base octagonal, que forma el techo, y un prisma en la parte inferior, que representa la base. De la misma manera podemos observar a nuestro alrededor una serie de obras, esculturas o construcciones formadas por dos o más cuerpos geométricos, como la catedral de Glendalough que vimos en la sección anterior. Este tipo de figuras se llaman cuerpos geométricos compuestos.

cilindro

prisma

Un cuerpo geométrico compuesto es aquel que se puede descomponer en dos o más figuras geométricas diferentes.

Ejercicio 1 Integre lo aprendido. Identifique las figuras geométricas que forman las estructuras siguientes. Tiene un ejemplo. 0)

1)

prisma cuadrangular paralelepípedo 2)

3)


225

2. Área de cuerpos compuestos Para conocer el área de un cuerpo geométrico compuesto necesitamos hallar el área de cada figura que lo compone. Para hacerlo seguimos estos pasos: • Identificamos los cuerpos geométricos que componen la figura. • Calculamos el área de cada uno. • Sumamos todas las áreas para hallar el área total. Veamos un ejemplo

g=

m

r = 32 m

h = 20 m

cono

36

r = 30 m

cilindro

El edificio de la Bóveda Imperial del Templo del Cielo, ubicado en Pekín, China, tiene estas características: los muros forman un cilindro que mide 30 metros de radio y 20 metros de alto. El techo es un cono que mide 36 metros de generatriz y 32 metros de radio. ¿Cuántos metros cuadrados de construcción tiene este edificio?

• Identificamos los cuerpos geométricos que componen la figura: un cilindro y un cono. • Calculamos el área de cada figura El problema se resuelve hallando solo las áreas laterales porque no consideramos el suelo ni la base del techo.

Área lateral de cilindro

Al = 2 rh


Al = 2(3.14)(30 m)(20 m)

Al = 6.28(600 m2)

Al = 3768 m2

Área lateral del cono

Al = rg


Al = (3.14)(32 m)(36 m)

Al = 3.14(1152 m2)

Al = 3617.28 m2

• Sumamos todas las áreas para hallar el área total At = 3768 m2 + 3617.28 m2 = 7385.28 m2

226

IGER − Zaculeu

La obra tiene 7385.28 m2 de construcción.

Otro ejemplo La cúpula de una basílica está formada por un prisma de base octagonal y una semiesfera. r=

¿Cuántos galones de pintura se necesitan para pintar la superficie exterior, si con un galón se cubren 40 m2 de superficie?

m

h=3m

La base mide 2 metros por lado y 3 metros de altura. La semiesfera mide 5 metros de radio.

5

semiesfera

prisma octagonal =2m

• Identificamos los cuerpos geométricos que componen la figura: un prisma octagonal y una semiesfera.

Recuerde que el área de una esfera se calcula con la fórmula: A = 4 r2. Como la semiesfera es la mitad de la esfera, la fórmula es: A = 2 r2.

• Calculamos el área de cada figura

Al igual que el ejemplo anterior, solo necesitamos calcular las áreas laterales porque la cúpula no tiene base.

Área lateral del prisma Al = n(b)(h)


Al = 8(2 m)(3 m)

Al = 8(6 m2)

Al = 48 m2

Área lateral de la semiesfera

A = 2 r2


A = 2(3.14)(5 m)2

A = 6.28(25 m2)

A = 157 m2

• Sumamos todas las áreas para obtener el área total. At = 48 m2 + 157 m2 = 205 m2

Para saber la cantidad de galones de pintura dividimos el área de la cúpula entre la superficie que cubre cada galón. 205 m2 ÷ 40 m2 = 5.125

Se necesitan 5.125 galones de pintura. Matemática − Semana 16

227

Ejercicio 2 Siga el procedimiento que aprendió para resolver el problema.

El dueño de un circo quiere saber cuánta lona necesita para fabricar una carpa como la de la figura. El cilindro debe medir 10 metros de radio y 3 metros de altura. El cono del techo 12 metros de generatriz y un radio igual que el del cilindro. Si el metro cuadrado de lona cuesta Q125.00, ¿cuál será el costo total de la carpa?

=

12

m

r = 10 m h=3m

g

cono

r = 10 m

cilindro

.

• Identifique los cuerpos geométricos que componen la figura: un cilindro y • Calcule el área de cada figura, aplicando la fórmula correcta.

Para resolver el problema solo necesita calcular las áreas laterales de cada figura porque no se considera el suelo ni la base del techo.

Área lateral de cilindro Al = 2 rh


Al = 2(3.14)(

Al = (6.28)(

Al =

Área lateral del cono Al = rg


)( )

Al = (3.14)(

)(

Al = (3.14)(

)

Al =

• Sume todas las áreas para hallar el área total At =

+

=

Para fabricar la carpa se necesitan

Para hallar el costo de la carpa multiplique el área total por Q125.00. (

228

)(

El costo total de la carpa es Q IGER − Zaculeu

m2 de lona.

)= .

)

)

3. Volumen de cuerpos compuestos Para calcular el volumen de una figura compuesta seguimos estos pasos: • Identificamos los cuerpos geométricos que componen la figura. • Calculamos el volumen de cada uno. • Sumamos todos los volúmenes para hallar el volumen total. Veamos un ejemplo

prisma cuadrangular

h = 300 cm

Una columna de concreto como la de la imagen sirve para soportar las cargas de una construcción. La base mide 50 cm de ancho, 60 cm de largo y 20 cm de altura; y la columna 30 cm por lado de la base y 300 cm de altura. Si con una bolsa de cemento se preparan 125 000 cm3 de concreto, ¿cuántas bolsas de cemento se necesitan para construir la columna y la base?

= 30 cm

paralelepípedo

c = 20 cm b=

60

cm

5 a=

m

0c

• Identificamos los cuerpos geométricos que componen la figura

En este caso, un prisma cuadrangular y un paralelepípedo.

• Calculamos el volumen de cada figura

Volumen de la base

V = (Ab)(h)


V = (50 cm)(60 cm)(20 cm)

V = (3000 cm2)(20cm)

V = 60 000 cm3

a = ancho b = largo

Volumen de la columna

V = (Ab)(h)


V = (30 cm)(30 cm)(300 cm)

V = (900 cm2)(300 cm)

V = 270 000 cm3

Recuerde: El área de la base de un paralelepípedo es igual al área del rectángulo. A = a x b.

• Sumamos todos los volúmenes para hallar el volumen total Vt = 60 000 cm3 + 270 000 cm3 = 330 000 cm3

Para calcular las bolsas de cemento dividimos el volumen total entre el volumen de concreto que se prepara por cada bolsa. 330 000 cm3 ÷ 125 000 cm3 = 2.64

Se necesitan 2.64 sacos de cemento. Matemática − Semana 16

229

Otro ejemplo

semiesfera h=3m

r=2m

r=2m

cilindro

Un tanque de agua tiene la forma que se muestra en la imagen. El cilindro mide 2 m de radio y 3 m de altura. La semiesfera de la parte superior tiene un radio de 2 m. Si la comunidad consume 10 000 litros de agua al día, ¿para cuántos días alcanzará un tanque de agua lleno?

• Identificamos los cuerpos geométricos que componen la figura: un cilindro y una semiesfera. • Calculamos el volumen de cada cuerpo

Volumen del cilindro

V = r2h


V = 3.14(2 m)2(3 m)

V = 3.14(4 m2)(3 m)

V = 3.14(12 m3)

V = 37.68 m3

Volumen de la semiesfera

V=

2 r3 3


V=

2(3.14)(2 m)3 3

V=

(6.28)(8 m3) 3

V=

50.24 m3 3

V = 16.75 m3

• Sumamos todos los volúmenes para hallar el volumen total Vt = 37.68 m3 + 16.75 = 54.43 m3 Convertimos el volumen en litros. (1 m3 = 1000 l) (54.43)(1000) = 54 430

Dividimos el resultado anterior entre la cantidad de litros diarios que consume la comunidad. 54 430 ÷ 10 000 = 5.44

230

IGER − Zaculeu

El tanque de agua alcanzará para 5.44 días.

Ejercicio 3 Aplique el procedimiento que aprendió para resolver los problemas. cilindro h=2m

1) Una cisterna tiene la forma que se muestra en la imagen. Si el cilindro mide 1 m de radio y 2 m de altura; y el cono 1 m de altura y el radio igual que el del cilindro, ¿cuántos envases de 3 litros se pueden llenar con el líquido de la cisterna?

r=1m cono h=1m

• Identifique los cuerpos geométricos que componen la figura: un cilindro y un

.

• Calcule el volumen de cada figura.

Volumen del cilindro

V = r2h


V = (3.14)(

)2(

V = (3.14)(

)(

V = (3.14)(

)

V=

Volumen del cono

V=


V=

V=

V=

V=

V=

r2h 3 (3.14)( (3.14)( (3.14)( 3

3 3

) )

)2(

)

)(

)

)

3

• Sume los volúmenes para hallar el volumen total. At =

+

=

Convierta el volumen en litros. (1 m3 = 1000 l) )(

(

Divida el resultado anterior entre el volumen de cada envase.

Se pueden llenar

)= ÷

=

envases de tres litros. Matemática − Semana 16

231

2) Se necesita construir una columna cilíndrica de 15 cm de radio y 100 cm de altura. En la base debe tener un paralelepípedo de 40 cm de ancho, 40 cm de largo y 50 cm de alto. ¿Cuántas bolsas de cemento se necesitan si con cada bolsa se preparan 125 000 cm3 de concreto? Volumen del cilindro

V = r2h


V = (3.14)(

)2(

V = (3.14)(

)(

V = (3.14)(

)

V=

Volumen del paralelepípedo

V = (Ab)(h)


V = (40 cm) (40 cm) (

V=(

V=

Volumen total

V=

Para calcular el número de bolsas de cemento divida el volumen total entre el volumen que se prepara por cada bolsa. Se necesitan

) )

)

)(

)

+

÷

=

=

bolsas de cemento.

Resumen 1.


2.

Para calcular el área de una figura compuesta, seguimos estos pasos: • Descomponemos la figura en cuerpos geométricos conocidos. • Calculamos el área de cada cuerpo. • Sumamos todas las áreas para hallar el área total.

3.

Para calcular el volumen de una figura compuesta, seguimos estos pasos. • Descomponemos la figura en cuerpos geométricos conocidos. • Calculamos el volumen de cada figura. • Sumamos todos los volúmenes para hallar el volumen total.

232

IGER − Zaculeu



Observe con atención cada imagen y escriba sobre las líneas las figuras geométricas en que se puede descomponer. Tiene un ejemplo. 1)

0)

2)

Un prisma triangular

un paralelepípedo

Actividad 2.


A. Calcule el área de la figura del inciso 1 y el volumen de la figura del inciso 2, con las medidas indicadas.

1)

2)

r = 1.3 m

h = 20 cm

30 cm

h=3m

a = 9 cm

=1m = 10 cm

Área lateral del prisma octagonal

Área de la semiesfera

Volumen de la pirámide hexagonal

Área total

Volumen total

Volumen del prisma hexagonal


233

B. Aplique el procedimiento que aprendió en la semana para resolver los problemas. 1) La estructura de un molino de viento está formada por un cilindro y un cono. El cilindro mide 5 metros de radio y 10 metros de altura. El cono tiene una generatriz de 6 metros y un radio igual al del cilindro. ¿Cuál fue el costo del molino si el valor del metro cuadrado de construcción fue de Q200.00?

2) Un tanque de agua está formado por un cilindro y una semiesfera. El cilindro mide 1 metro de radio y 3 metros de altura. La semiesfera tiene un radio igual al del cilindro. ¿En cuánto tiempo se llena por completo el tanque si se vierten 90 litros de agua cada minuto? Recuerde que 1 m3 = 1000 l.

234

IGER − Zaculeu

3) Un matraz de aforo es un instrumento que se utiliza en los laboratorios de química para medir y preparar soluciones. Calcule la capacidad de un matraz de aforo compuesto por una esfera que forma la base y un cilindro que sirve de cuello. La esfera mide 6 cm de radio y el cilindro 2 cm de radio y 10 cm de altura.

C. Los arquitectos y constructores diseñan estructuras con distintas figuras geométricas. Conviértase en un arquitecto y diseñe un kiosco para el parque de su comunidad.


235

Agilidad de cálculo mental Siga practicando el cálculo mental con operaciones algebraicas. Resuelva las multiplicaciones y divisiones de monomios lo más rápido que pueda. A. Producto de monomios semejantes. Recuerde que para operar se copia la base y se suman los exponentes. Tiene un ejemplo. 7) (x2)(x8) =

14) (y10)(y8) =

1) (w3)(w4) =

8) (y7)(y4) =

15) (x15)(x6) =

2) (x6)(x2) =

9) (w3)(w9) =

16) (y11)(y8) =

3) (b4)(b) =

10) (b7)(b8) =

17) (c13)(c12) =

4) (y2)(y5) =

11) (x8)(x5) =

18) (x15)(x13) =

5) (x3)(x2) =

12) (y3)(y3) =

19) (y12)(y18) =

6) (t4)(t8) =

13) (h8)(h9) =

20) (h16)(h14) =

0) (y2)(y7) =

y9

B. Producto de monomios con coeficientes diferentes. Recuerde que para operar se multiplican los coeficientes numéricos, se copia la base y se suman los exponentes. 0) (8x)(5x3) = 40x4

7) (7x2)(2x4) =

14) (8b2)(7b5) =

1) (2y)(7y) =

8) (9k2)(3k) =

15) (9x3)(7x2) =

2) (9x2)(3x) =

9) (2y3)(4y4) =

16) (6y2)(8y6) =

3) (5h2)(h3) =

10) (6x2)(5x3) =

17) (9x4)(9x3) =

4) (3b2)(4b) =

11) (3p4)(5p2) =

18) (8w5)(3w4) =

5) (2h)(6h3) =

12) (6x3)(6x3) =

19) (7x8)(7x7) =

6) (2d3)(5d2) =

13) (7h4)(3h3) =

20) (6y9)(9y8) =

C. División de monomios. Recuerde que para resolver se dividen los coeficientes numéricos, se copia la base y se restan los exponentes. Tiene un ejemplo. 0) (6h3) ÷ (2h) = 3h2

7) (9h2) ÷ (3h) =

14) (28x5) ÷ (4x2) =

1) (m2) ÷ (m) =

8) (12h6) ÷ (3h4) =

15) (36b8) ÷ (9b5) =

2) (x3) ÷ (x) =

9) (20x2) ÷ (4x) =

16) (24x6) ÷ (3x4) =

3) (y6) ÷ (y2) =

10) (18h7) ÷ (2h5) =

17) (42y9) ÷ (6y3) =

4) (h9) ÷ (h3) =

11) (15k6) ÷ (3k3) =

18) (20k3) ÷ (4k3) =

5) (x5) ÷ (x5) =

12) (24x9) ÷ (8x4) =

19) (54x10) ÷ (9x3) =

6) (8y2) ÷ (y) =

13) (32y7) ÷ (4y6) =

20) (48h12) ÷ (8h7) =

236

IGER − Zaculeu

Razonamiento lógico Aplique el procedimiento que aprendió en la semana para resolver los problemas. 1) Calcule cuántos centímetros cuadrados de aluminio se necesitan para fabricar un tanque formado por un cilindro y un cono en la parte superior. Las medidas del cilindro deben ser: 80 cm de radio y 200 cm de altura. La generatriz del cono debe medir 100 cm y el radio 80 cm. 2) Un panadero desea construir un horno con forma de cilindro y semiesfera. El cilindro tiene 3 metros de radio y 1 metro altura. La semiesfera tiene 3 metros de radio. ¿Cuántos metros cuadrados tendrá la construcción? 3) Se desea pintar la parte externa de una cúpula con forma de prisma octagonal y una semiesfera en la parte superior. Las medidas del prisma son: 60 cm por lado de la base y 120 cm de altura; el radio de la semiesfera mide 80 cm. ¿Qué área se debe cubrir? 4) Un rancho tiene la forma de un prisma octagonal que mide 2 metros por lado y 4 metros de altura. El techo es una pirámide que mide 2 metros de lado de la base y 3 metros de altura de la cara lateral. ¿Cuál es el área del rancho? 5) Calcule la capacidad de un envase de vidrio que está formado por un cilindro, que mide 5 cm de radio y 15 cm de altura y un cono que mide 6 cm de altura y radio igual que el del cilindro. 6) Calcule cuántos metros cúbicos de agua caben en un tanque formado por un cilindro de 1 metro de radio y 2 metros de altura y una semiesfera que mide 1 metro de radio. 7) ¿Cuál es el volumen que ocupa una torre con forma de prisma cuadrangular de 3 metros por lado y 10 metros de altura. El techo es una pirámide de base cuadrangular que mide 3 metros por lado y 4 metros de altura? 8) ¿Qué cantidad de yeso se necesita para construir una columna cilíndrica de 10 cm de radio y 80 cm de altura? La columna debe tener dos prismas cuadrangulares, uno en la base y otro en la parte superior con estas medidas: 30 cm por lado y 10 cm de altura. 9) Un cántaro está formado por una esfera y un cilindro. Si la esfera mide 20 cm de radio y el cilindro, 5 cm de radio y 10 cm de altura, ¿cuántos litros de agua caben en el cántaro? Recuerde que 1 l = 1000 cm3. 10) Una refinadora de petróleo necesita saber la capacidad de un tanque de almacenamiento. La cisterna tiene una forma de prisma cuadrangular que mide 4 m por lado y 20 m de altura; está conectado a la superficie por un conducto cilíndrico de 2 m de radio y 12 m de altura. Encuentre su capacidad total. 11) Una empresa productora de botes de basura desea saber cuánto plástico empleará en un nuevo diseño. El recipiente consta de un cilindro de 65 cm de altura y 20 cm de radio, con una tapadera semiesférica del mismo radio. Calcule la cantidad de material a utilizar. 12) Calcule la cantidad de concreto que se necesita para construir la base y la columna de un puente. La base es un paralelepípedo de 1.5 metros de ancho, 1.2 metros de largo y 0.5 metros de alto. La columna tiene forma de prisma cuadrangular de 1 metro por lado y 5 metros de alto. Matemática − Semana 16

237

Desarrolle nuevas habilidades El razonamiento visual es la habilidad de poder identificar formas, patrones o figuras en posiciones diferentes a las dadas. Con este ejercicio podrá desarrollar su razonamiento visual. Marque con una (X) la figura de la derecha que se forma al combinar todas las figuras de la izquierda. (No importa el orden al combinar las figuras). Fíjese en el ejemplo. 0)

1)

2)

3)




238


Analizo y descompongo un cuerpo geométrico compuesto en figuras más simples. Calculo el área de cuerpos geométricos compuestos. Calculo el volumen de cuerpos geométricos compuestos. Resuelvo problemas de área y volumen de cuerpos compuestos. Practico el cálculo mental con operaciones combinadas. Identifico figuras en posiciones diferentes. IGER − Zaculeu


17 Repaso: semanas 9 a 16 Esta semana logrará:  Repasar los contenidos de la semana 9 a la 16.  Resolver los ejercicios de repaso para evaluarse en la segunda prueba parcial.  Prepararse bien para la segunda prueba parcial. 


239

Querida y querido estudiante: Se aproxima la segunda prueba parcial y debe prepararse adecuadamente, repasando los contenidos de las semanas 9 a la 16. Para aprovechar este repaso le recomendamos: • Haga un plan de lo que estudiará cada día y trate de cumplirlo. Dedique más tiempo a los temas que le resulten difíciles. • Busque un lugar tranquilo, iluminado y silencioso para estudiar. • Lea los resúmenes de cada semana y escriba las ideas más importantes en su cuaderno. • Escuche la clase radial. Sus profesores locutores le acompañarán en este repaso y le ayudarán a resolver algunos ejercicios. • Compruebe que haya realizado bien los autocontroles. Si tiene dudas, vuelva a leer las semanas, ahí encontrará explicaciones y ejemplos.

¿Cómo será la prueba de evaluación? La prueba parcial evalúa los mismos contenidos y de la misma forma en que los ha trabajado semana a semana. En la prueba encontrará: • Una serie de cálculo que mide su destreza, agilidad y rapidez para operar en un tiempo límite de tres minutos. • Diferentes ejercicios que evalúan lo aprendido en las ocho semanas. Estos ejercicios serán semejantes a los que usted resolvió en las actividades del autocontrol. Se le pedirá:  responder preguntas,  rellenar el círculo de la opción correcta,  resolver operaciones y  resolver problemas. • Cuando resuelva ejercicios y problemas, debe dejar escrito el procedimiento. • Muy importante: cada serie contiene instrucciones exactas de lo que debe realizar en cada apartado, así como la valoración asignada. Si usted se prepara con tiempo y dedicación, el resultado será satisfactorio.

240

IGER − Zaculeu

El mundo de la matemática Progresión aritmética 1.

La progresión aritmética es una serie numérica en la que cada término se obtiene sumando o restando al término anterior la misma cantidad llamada diferencia.

Una progresión aritmética se compone siempre de: primer término (a), último término (u), número de términos (n) y diferencia de términos (d).

2.

Para calcular el último término de una progresión aritmética utilizamos la ecuación:

3.

4.

u = a +^ n - 1 h d

Para calcular cualquier término desconocido en una progresión aritmética, aplicamos las ecuaciones:

a = u -^ n - 1 h d

•

Primer término (a)

•

Número de términos (n)

•

Diferencia de términos (d)

n=

u -a d +1

u -a d = n -1

Para calcular la suma de los términos de una progresión aritmética, aplicamos la ecuación siguiente:

s=

â + uhn

2

Ejercicio 1 Complete cada progresión aritmética. Luego, rellene la tabla de la derecha. Tiene un ejemplo. 0)

5

1)

2)

24

8

11

20

30

14

17

a

u

n

d

5

17

5

3

a

u

n

d

5 12

8

a

u

n

d 4


241

Ejercicio 2 A. Aplique las ecuaciones que aprendió en la semana 9 para hallar el término desconocido de las progresiones aritméticas. Tiene un ejemplo. 0)

a

u

n

1) a d

u

n

d

8

?

6

4

?

54

8

2

u = a + (n - 1) d u = 8 + (6 - 1) 4 u = 8 + (5) 4 u = 8 + 20 u = 28

2)

4)

242

a

u

n

3) a d

u

n

d

24

?

12

2

3

28

?

5

a

u

n

5) s d

a

u

n

64

154

10

?

18

96

14

IGER − Zaculeu

?

B. Con la información de los problemas, complete las tablas y utilice las ecuaciones de la progresión aritmética para encontrar el valor desconocido. 1) Una persona abre una cuenta de ahorro con Q100.00 y cada mes deposita Q10.00 más que el mes anterior. Si en el doceavo mes deposita Q210.00, ¿cuánto dinero tendrá ahorrado?

s ?

a

u

n

100 210

Respuesta: 2) Un estudiante leyó un libro de 220 páginas de acuerdo al plan siguiente. El primer día leyó 15 páginas, el segundo 16, el tercero 17 y así sucesivamente hasta que el último día leyó 25 páginas. ¿Cuántos días le tomó al estudiante leer el libro?

a

u

n

25

?

d

Respuesta: 3) Un pequeño teatro tiene 135 butacas distribuidas en 6 filas, en la primera hay 15 y en cada una de las filas siguientes hay 3 butacas más que en la anterior. ¿Cuántas butacas tiene la última fila?

a

u

n

d


243

Progresión geométrica 1.

Una progresión geométrica es una serie de números en la cual cada término se obtiene multiplicando o dividiendo el término anterior por una cantidad constante llamada razón.

Una progresión geométrica se compone siempre de: primer término (a), último término (u), número de términos (n) y razón entre términos (r).

2.

Para calcular un término desconocido en una progresión geométrica, utilizamos las ecuaciones:

u = a : r_ n - 1 i

• Último término (u) • Primer término (a)

a=

• Suma de los términos (s)

s=

r

_

u

n - 1i

u^ r h - a r -1

Ejercicio 3 Observe la progresión geométrica y rellene el círculo de la opción que responde correctamente cada pregunta. 1

2

4

8

16

32

1) ¿Cuál es la razón entre los términos de la progresión?

2 4 8

2) ¿Cuál es el último término?

1 16 32

3) ¿Cuántos términos forman la progresión?

1 6 16

4) ¿Cuál es la suma de los términos?

15 32 63

5) ¿Cuál sería el término siguiente?

33 64 96

244

IGER − Zaculeu

Ejercicio 4 A. Aplique la ecuación correspondiente para hallar el término desconocido de cada progresión geométrica. Tiene un ejemplo. 0)

a

u

n

r

1) a

u

n

r

5

?

4

3

6

?

3

4

u

n

r

486

5

3

u = a : r (n - 1) u = 5 : 3 (4 - 1) u = 5 : 3 (3) u = 5 : 27 u = 135

2)

4)

a

u

n

r

3) a

?

2560

5

4

?

s

a

u

r

5) s

a

u

r

?

1

100

10

?

9

288

2


245

B. Con la información de los problemas, complete las tablas y utilice las ecuaciones de la progresión geométrica para encontrar el valor desconocido. 1) En una granja la población de conejos se duplica cada 6 meses. Si al inicio hay 5 conejos, ¿cuántos habrá luego de 24 meses?

a

u

n

r

?

Respuesta: 2) Una persona duplica sus ahorros cada mes, durante 6 meses. El primer mes ahorró Q50.00 y el último Q1,600.00. ¿Cuánto dinero ahorró en total?

s

a

u

r

?

Respuesta: 3) Una persona deja caer una pelota y en su primer rebote alcanza una altura de 100 centímetros. Cada vez que golpea el piso, la pelota alcanzar 0.6 veces la altura anterior. ¿Qué altura alcanzará la pelota en el tercer rebote?

a

u ?

Respuesta:

246

IGER − Zaculeu

n

r

Interés simple 1.

El interés es un porcentaje que se paga o se recibe por utilizar o prestar una cantidad de dinero durante un tiempo determinado. Simbólicamente se representa con la letra i.

En el cálculo del interés intervienen estos elementos: •

Capital (C): representa el total de un préstamo o una inversión.

•

Tasa (r): porcentaje que se paga por unidad de dinero prestado.

•

Tiempo (t): periodo durante el cual se presta o se invierte el dinero.

1.1 Para calcular el interés simple, utilizamos esta fórmula: i = (C)(r)(t) 100(n) Donde: i representa el interés, C el capital, r la tasa, t el tiempo. La letra n representa el número de periodos que hay en un año, puede tomar los valores 1, 12 o 360 según estas condiciones:

•

Si el tiempo t está dado en años, entonces n = 1

•

Si el tiempo t está dado en meses, entonces n = 12

•

Si el tiempo t está dado en días, entonces n = 360

1.2 Para calcular el capital, la tasa y el tiempo utilizamos estas fórmulas.

• Capital:

C = (i)(100)(n) (r)(t)

• Tasa:

r = (i)(100)(n) (C)(t)

• Tiempo:

t = (i)(100)(n) (C)(r)

Ejercicio 5 Lea el problema y escriba a la par de cada elemento la cantidad que le corresponde. Tiene un ejemplo.

Usted realizó un depósito de Q3,000.00 en la cooperativa de la comunidad. Le han indicado que la tasa de interés es del 8% y que al finalizar un periodo de 18 meses obtendrá Q3,360.00.

i = Q360.00

C=

r=

t=


247

Ejercicio 6 A. Revise las fórmulas de la página anterior y aplique la que corresponde para hallar el término desconocido. Tiene un ejemplo. 0)

i

C

r

t

n

?

600

5%

3

1

i=

(C)(r)(t) 100(n)

i=

(600)(5)(3) 90 = 100(1) 1

i = Q90.00

2)

4)

248

i

C

r

t

n

120

?

5%

3

12

i

C

r

t

n

90

1000

?

18

12

IGER − Zaculeu

1)

3)

5)

i

C

r

t

n

?

5000

6%

4

1

i

C

r

t

n

250

?

5%

1

1

i

C

r

t

n

400

5000

4%

?

12

B. Lea los problemas, traslade los datos a la tabla y utilice la fórmula correcta para resolverlo. 1) ¿Qué capital se debe depositar en una cooperativa que ofrece una tasa del 5% anual, para recibir Q420.00 de interés en 12 meses? i

C

r

t

n

Respuesta:

2) ¿Cuánto interés producen Q5,000.00 depositados al 4% anual durante 18 meses? i

C

r

t

n

Respuesta: 3) Una persona solicita un préstamo por Q28,000.00 para invertir en su taller y lo devuelve después de 10 meses, pagando Q3500.00 de interés. ¿Qué tasa de interés le aplicaron por el préstamo? i

C

r

t

n


249

4) El valor de un terreno se incrementó a razón del 10% anual. Si el precio actual es de Q60,000.00, ¿cuánto valdrá dentro de 5 años? i

C

r

t

n

Respuesta:

5) El precio de una refrigeradora es de Q4,500.00 si se paga al contado, pero si se paga durante 24 meses el costo es de Q5,220.00. ¿Qué tasa de interés le aplicaron al precio? i

C

r

t

n

Respuesta: 6) Un vehículo con un precio inicial de Q40,000.00 sufre una depreciación anual del 8%. ¿Cuál será su precio dentro de 5 años? i

Respuesta:

250

IGER − Zaculeu

C

r

t

n

Reparto proporcional 1.

Un reparto proporcional es la operación que consiste en distribuir una cantidad entre varias partes, de manera que los resultados obtenidos sean equitativos. El reparto puede ser directa o inversamente proporcional.

1.1 El reparto es directamente proporcional cuando a la cantidad mayor aportada le corresponde la cantidad mayor repartida y viceversa. Este tipo de repartos se resuelve siguiendo estos pasos: 1. Obtenemos la constante de proporcionalidad k.

k=

2. Multiplicamos el valor de k por cada parte en las que n se va a repartir.

n a+b+c

k(a) k(b) k(c)

3. Comprobamos que la suma de las cantidades repartidas coincida con el valor de n. 1.2 Un reparto es inversamente proporcional cuando a la cantidad mayor aportada le corresponde la cantidad menor repartida y viceversa. Para resolverlo, seguimos estos pasos: 1. Obtenemos la constante de proporcionalidad k.

( 1a + b1 + 1c ) 1 1 1 k( ) k( ) k( ) a b c

k=n÷

2. Multiplicamos el valor de k por cada inverso.

3. Comprobamos que la suma de las cantidades repartidas coincida con el valor de n.

Ejercicio 7 A. Lea con atención el problema, identifique los términos del reparto y calcule lo que se le pide.

Tres personas se asocian para instalar un taller de carpintería. El primero aporta Q2,500.00, el segundo Q3,000.00 y el tercero Q3,500.000. La ganancia obtenida luego de cierto tiempo de operaciones es Q13,500.00. ¿Qué cantidad de dinero le corresponde a cada uno según lo que invirtió? 1) Escriba sobre las líneas el valor de:

n=

a = b = c = 2) Calcule el valor de la constante k. k=

k=

n a+b+c =

=

3) ¿Qué cantidad le corresponde a la persona que aportó Q3,000.00? Inversor b =

(3000) = Matemática − Semana 17

251

B. Resuelva los problemas de reparto directamente proporcional. 1) El costo de construir un puente es de Q1,300,000.00. El pago se realizará entre tres comunidades de acuerdo al número de habitantes de cada una: La Esperanza tiene 30 000 habitantes, San José 25 000 y El Carmen 10 000. ¿Cuánto debe pagar cada comunidad?

2) Para regar un terreno se utilizan tres aspersores iguales que se abren en tiempos distintos. El primero se abre 100 minutos, el segundo 80 minutos y el tercero 20 minutos. Si en total descargan 12 600 litros, ¿cuántos litros ha descargado cada uno?

252

IGER − Zaculeu

C. Resuelva los problemas de reparto inversamente proporcional. 1) El premio de una maratón departamental es de Q5,500.00, que será repartido entre los tres primeros lugares (1, 2 y 3) de tal manera que el que llegue primero sea quien reciba más. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno de los ganadores?

2) Un abuelo reparte a sus nietos un premio de Q15,000.00, de tal manera que el menor reciba más. Si los nietos tienen 6, 8, 12 y 24 años. ¿Cuánto recibe cada uno?


253

Regla de tres simple y compuesta 1.

La regla de tres simple es una operación que busca hallar el término desconocido en una proporción cuando se conocen los otros tres términos. Puede ser directa o inversa.

1.1 La regla de tres simple directa sirve para hallar el término desconocido de una proporción directa. Se resuelve siguiendo estos pasos: 8

•

Planteamos la regla de tres.

4 15

•

Calculamos el valor de x multiplicando en forma cruzada y dividiendo entre la tercera cantidad conocida.

x = (15)(8) = 120 = 30

x 4

4

1.2 La regla de tres simple inversa nos permite calcular el término desconocido de una proporción inversa. Se resuelve siguiendo estos pasos:

2.

•

Planteamos la regla de tres.

•

Calculamos el valor de x multiplicando en forma horizontal y dividiendo entre la tercera cantidad conocida.

12

4 8

x

x = (4)(12) = 48 = 6 8

8

La regla de tres compuesta es un sistema de resolución de problemas que sirve para hallar el término desconocido de dos o más proporciones, que están en relación directa o inversa, cuando se conocen cinco o más términos. Para resolverla seguimos estos pasos: • •

•

Planteamos una regla de tres compuesta.

8 20

Comparamos las proporciones de dos en dos. Luego, determinamos si la relación es directa o inversa y despejamos x en cada una.

12

x

8 20

12

12

5 10

x

x

Para hallar el valor de x, combinamos las dos proporciones en una sola operación. El número que se repite en ambas proporciones lo copiamos solo una vez.

x=

5 10

x = (20)(12) 8

x = (12)(5) 10

(20) (12) (5) 120 = = 15 (8) (10) 8

Ejercicio 8 A. Aplique la regla de tres directa para hallar el valor de x en cada proporción. Tiene un ejemplo. 2) 4 x = (4)(16) = 64 = 32

0) 2 4

16

1) 5 3

15

254

IGER − Zaculeu

x

x

2

2

10

3) 1 5

8

x 25

x

B. Aplique la regla de tres directa para hallar el dato desconocido en cada ejercicio. 1) ¿Cuál es el precio de 200 lapiceros si la caja de 25 unidades cuesta Q16.00?


2) En un mapa, 5 cm equivalen a una distancia real de 10 km, ¿cuál es la distancia real entre dos puntos que están separados por 18 cm en el mapa?


3) Un automóvil recorre 120 kilómetros por cada 3 galones de gasolina. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido cuando ha consumido 7 galones de gasolina?


4) Para hacer 2 cortinas se necesitan 5 yardas de tela. ¿Cuántas yardas de tela se necesitan para hacer 8 cortinas?


255

Ejercicio 9 A. Aplique la regla de tres inversa para hallar el valor de x en cada proporción. Tiene un ejemplo. 3) 8 12

0) 15 9

3

1) 16 4

2

2) 40 10

5

x

x = (15)(3) = 45 = 5 9

9

x

x

15

x

4) 6 3

1

5) 8 5

15

x

x

B. Aplique la regla de tres inversa para hallar el dato desconocido en cada ejercicio. 1) 5 obreros construyen un muro en 3 días. ¿Cuántos días tardan 3 obreros en construir el muro?


2) Un autobús tarda 4 horas en viajar de una ciudad a otra a una velocidad de 60 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en realizar el mismo recorrido a una velocidad de 40 km/h?


3) 12 trabajadores tardan 10 días en pavimentar una calle. ¿Cuántos días tardarán 8 trabajadores en pavimentar esa misma calle?

256

Escriba la respuesta: IGER − Zaculeu

Ejercicio 10 Aplique la regla de tres compuesta para hallar el dato desconocido en cada problema. 1) Para construir una pared de 24 m2 se requieren 2 albañiles que trabajen durante 8 horas. ¿Cuántas horas deben trabajar 3 albañiles para construir una pared de 45 m2?

2) En una finca cafetalera 35 recolectoras obtienen 60 quintales del fruto en 2 días, ¿en cuántos días obtendrán 120 quintales 20 recolectoras?


257

El cono El cono se define como un cuerpo geométrico formado por un triángulo rectángulo que gira alrededor de la línea que determina su altura. El triángulo al girar forma una superficie lateral curva y un círculo que da origen a la base. Los elementos de un cono son: vértice (v)

altura (h) generatriz (g)

radio (r)

base (b)

Para hallar el área y el volumen del cono, utilizamos las fórmulas siguientes: Área lateral

Área de la base

Área total

Volumen

g

h

r

Al = rg

Ab = r2

At = r(g + r)

V=

r2h 3

Ejercicio 11 Recuerde los elementos que componen el cono. Lea cada enunciado y rellene el círculo del concepto al que hace referencia. Tiene un ejemplo. 0) Línea trazada desde el vértice del cono hasta un punto del contorno de la base.

radio altura generatriz

1) Representa el punto más alto del cono.

base altura vértice

2) Figura geométrica que forma siempre la base del cono.

elipse círculo polígono

258

IGER − Zaculeu

Ejercicio 12 Calcule el área total y el volumen de cada cono. Guíese por el ejemplo. área total

0)

At = r(g + r)

g = 8 cm h = 6 cm

At = (3.14)(5 cm)(8 cm + 5 cm) At = (3.14)(5 cm)(13 cm) r = 5 cm

At = (3.14)(65 cm2) At = 204.1 cm2

volumen V= V= V= V= V=

r2h 3 (3.14)(5 cm)2(6 cm) 3 (3.14)(25 cm2)(6 cm) 3 (3.14)(150 cm3) 3 471 cm3 3

V = 157 cm3

1)

área total

volumen

g = 75 cm h = 74 cm

r = 10 cm

2)

área total

volumen

g=4m h = 3.5 m

r = 1.5 m


259

Ejercicio 13 Lea cada enunciado e identifique si debe calcular el área total, el área lateral o el volumen para resolver los problemas. 1) Un vaso de papel tiene forma de cono invertido con 3 cm de radio y 5 cm de generatriz. a. ¿Qué cantidad de papel se invirtió en la elaboración?

b. ¿Qué cantidad de agua le cabe al vaso?

2) La parte inferior de una cisterna tiene forma de cono invertido. Si el radio es de 1 m y la generatriz 1.5 m, ¿qué cantidad de lámina se gastó en su elaboración?

3) Una veladora aromática tiene forma de cono. Si la altura mide 6 cm y el radio 6 cm, ¿qué cantidad de parafina se necesitó para elaborarla?

260

IGER − Zaculeu

El prisma 1.

Un prisma es un cuerpo geométrico formado por dos bases iguales con forma de polígono regular y varias caras laterales que pueden ser cuadrados o rectángulos.

Los elementos que componen un prisma son: base superior

altura caras laterales base inferior

1.1 Dependiendo del polígono que forma la base, un prisma puede ser: triangular, cuadrangular, pentagonal, etc. 2.

Para calcular el área de un prisma:

•

Hallamos el área de la base (Ab). La fórmula que utilizamos depende del polígono de la base. triángulo Ab =

(b)(ht) 2

cuadrado Ab =

2

•

Hallamos el área lateral (Al)

Al = n(b)(h)

•

Hallamos el área total (At)

At = 2Ab + Al

3.

El volumen de un prisma se calcula con esta fórmula:


(n)( )(a) 2

V = (Ab)(h)

Ejercicio 14 Observe las figuras, ponga atención al polígono de la base y escriba el nombre de cada prisma. Tiene un ejemplo.

prisma triangular


261

Ejercicio 15 Con las medidas de cada prisma calcule el área total. 1) Prisma cuadrangular área de la base

área lateral

área total

h = 9 cm

= 3 cm

2) Prisma triangular área de la base

área lateral

área total

h = 10 cm

b = 4 cm

h = 3 cm

3) Prisma hexagonal

h = 12 cm

= 8 cm

262

a = 5 cm

IGER − Zaculeu

área de la base

área lateral

área total

Ejercicio 16 Aplique las fórmulas de área y volumen del prisma para resolver los problemas. 1) Un albañil desea colocar azulejo en una columna que tiene forma de prisma cuadrangular de 0.20 m por lado y 3 m de alto. ¿Cuántos azulejos debe comprar si cada uno mide 0.10 m por lado?

Escriba la respuesta: 2) Una caja para jugo mide 10 cm de largo, 7 cm de ancho y 15 cm de alto. ¿Qué cantidad de jugo puede contener la caja?

Escriba la respuesta: 3) ¿Qué cantidad de margarina contiene una barra que tiene forma de prisma cuadrangular de 12 cm de largo y 3 cm por lado de la base?


263

Cuerpos geométricos compuestos 1.


2.

Para calcular el área de una figura compuesta, seguimos estos pasos: • Descomponemos la figura en cuerpos geométricos conocidos. • Calculamos el área de cada cuerpo. • Sumamos todas las áreas para hallar el área total.

3.

Para calcular el volumen de una figura compuesta, seguimos estos pasos. • Descomponemos la figura en cuerpos geométricos conocidos. • Calculamos el volumen de cada figura. • Sumamos todos los volúmenes para hallar el volumen total.

Ejercicio 17 Observe con atención cada imagen y escriba sobre las líneas los cuerpos geométricos en los que se puede descomponer. Tiene un ejemplo. 0)

1)

2)

Un cilindro

un cono

3)

4)

5)

264

IGER − Zaculeu

Ejercicio 18 Calcule el volumen de las figuras compuestas. Tome en cuenta las medidas indicadas. 1) h=1m

h=3m

b=

a=m

6m

Volumen total:

2) h = 15 cm

h = 25 cm a = 5 cm = 10 cm

Volumen total:

3)

g=2m

h = 1.5 m

h=3m r = 1.5 m

Volumen total: Matemática − Semana 17

265

Ejercicio 19 Resuelva los problemas aplicando el procedimiento que aprendió en la semana 16. 1) La cúpula de una iglesia está formada por un prisma octagonal y una semiesfera. El prisma mide 3 m de alto, 1 m por lado y 1.20 m de apotema. La semiesfera mide 1.20 m de radio. Si un galón de pintura cubre 40 m2, ¿cuántos galones de pintura se necesitan para pintar la cúpula?

r = 1.20 m h=3m =1m

2) Una herrero quiere saber cuánta lámina se necesita para fabricar una chimenea con forma de cono y cilindro. El cono mide 0.2 m de radio y 0.3 m de generatriz. El cilindro mide 2 m de altura y 0.2 m de radio. g = 0.3 m r = 2.0 m h=2m

r = 0.2 m

3) Calcule cuántos m3 de concreto se necesitan para construir una columna cilíndrica de 0.5 m de radio y 5 m de altura. La base es un prisma cuadrangular de 1 m por lado y 0.4 m de alto. r = 0.5 m

h=5m

h = 0.4 m =1m

266

IGER − Zaculeu

Agilidad de cálculo mental Practique la agilidad de cálculo mental resolviendo las operaciones lo más rápido que pueda. A. Operaciones combinadas. Recuerde que de acuerdo a la jerarquía de las operaciones primero debe multiplicar y luego sumar o restar. Tiene un ejemplo. 30

7) 4 x 9 + 2 =

14) 5 x 4 – 6 =

1) 3 x 8 + 5 =

8) 6 x 3 + 5 =

15) 8 x 3 – 4 =

2) 6 x 2 + 4 =

9) 8 x 2 + 4 =

16) 2 x 9 – 8 =

3) 9 x 3 + 1 =

10) 9 x 4 + 2 =

17) 6 x 6 – 4 =

4) 5 x 5 + 6 =

11) 6 x 6 + 3 =

18) 4 x 8 – 3 =

5) 6 x 4 + 3 =

12) 7 x 5 + 6 =

19) 7 x 6 – 1 =

6) 8 x 2 + 5 =

13) 6 x 8 + 2 =

20) 3 x 9 – 8 =

0) 4 x 7 + 2 =

B. Suma y resta de monomios. Recuerde que se suman o se restan los coeficientes numéricos y se copia la parte literal. Tiene un ejemplo. 0) 2x + 9x = 11x

7) 9x + 11x =

14) 15x - 8x =

1) 6b + 4b =

8) 6y + 15y =

15) 12y - 3y =

2) 9x + 7x =

9) 7b + 12b =

16) 21h - 6h =

3) 5y + 6y =

10) 9h + 18h =

17) 18x - 4x =

4) 8h + 7h =

11) 5x + 16x =

18) 22y - 7y =

5) 9x + 9x =

12) 8k + 19k =

19) 25b - 6b =

6) 6y + 8y =

13) 9h + 24h =

20) 19x - 7x =

C. Multiplicación de monomios. Recuerde que se multiplican los coeficientes numéricos, se copia la parte literal y se suman los exponentes. Tiene un ejemplo. 2 0) (2x)(3x) = 6x

7) (9x)(4x2) =

14) (2x2)(8x4) =

1) (6y)(2y) =

8) (8y)(2y3) =

15) (6b3)(6b3) =

2) (4b)(3b) =

9) (6x)(9x5) =

16) (4y4)(5y6) =

3) (8h)(5h) =

10) (7y)(7y2) =

17) (7b2)(3b5) =

4) (7k)(4k) =

11) (4h)(8h4) =

18) (9y2)(8y7) =

5) (4y)(5y) =

12) (9x)(5x6) =

19) (6x4)(7x3) =

6) (5x)(5x) =

13) (3y)(9y3) =

20) (9h3)(9h4) = Matemática − Semana 17

267






Repaso los contenidos de la semana 9 a la 16. Resuelvo los ejercicios de repaso para evaluarme en la segunda prueba parcial. Me siento bien preparado o preparada para la prueba de evaluación.

Orientaciones sobre la prueba parcial ¡Llegó el momento de la prueba! Ya está listo para su segunda prueba de Matemática. Le presentamos las últimas recomendaciones que pueden ayudarle a la hora del examen.

Grupo: Zaculeu Materia: Matemática Prueba: segunda A-2014

Al recibir la prueba, y antes de empezar a resolverla, escriba su nombre, número de carné, número de centro y fecha. Lea atentamente las instrucciones antes de contestar. Si tiene duda, consulte a su orientador(a).

i serie. 1 punto cada respuesta correcta. Total 6 puntos. INSTRUCCIONES: Rellene el círculo que corresponde al resultado correcto.

1) De las siguientes secuencias numéricas, la que representa una progresión geométrica es…

1, 2, 3, 4, 5 1, 2, 3, 5, 8 1, 2, 4, 8, 16

No se "atasque" en ningún ejercicio. Empiece por las preguntas que sepa mejor y le quedará más tiempo para pensar en las que tenga dudas. Al finalizar su examen, relea todas sus respuestas y vea si algo se le pasó por alto. Presente su prueba limpia y ordenada.

¡ánimo! El resultado de su examen será el producto de su esfuerzo.

268

IGER − Zaculeu

Claves

Matemática − Claves

269

Semana 1 ¡A trabajar!

Ejercicio 3

13 bak’tun + 0 k’atun + 0 tun + 0 winal + 0 k’in

1) 8000

Ejercicio 1 0) 12 1) 6 2) 0 3) 17 4) 8

5) 15 6) 13 7) 4 8) 7

Ejercicio 2 0)

3 8000 x 3 = 24 000

400 x 5 = 2000 20 x 9 = 180 1 x 18 = 18 + 26 198

5

9 ( 1)

2 8000 x 2 = 16 000

400 x 3 = 1200 20 x 5 = 100 1 x 12 = 12 + 17 312

3 5 " 2)

5 8000 x 5 = 40 000

2 =

400 x 2 = 800 20 x 0 = 0 1x3= 3 + 40 803

3 3)

0 8000 x 10 = 80 000 5 "

400 x 5 = 2000 20 x 12 = 240 1 x 18 = 18 + 82 258

(

270

IGER − Zaculeu

1 400 4 20 7 3 1

3 4 4 6 0 1 8 8 2 5

2) 8000

1 1 2 2 400 = 5 5 5 20 1 = 1 2 % 5 = 1

Ejercicio 4 0) 8000

3 400 3 1 20 8 5 0 5 1

1) 8000

% 5 3 400 20 7 6 3 3 1

2) 8000

4 400 7 2 20 3 = " 5 1

2 2 3 5 0 2 1 = 1 5 3 7

Desarrolle nuevas habilidades 1) b. Las figuras de la serie tienen 4 lados. La figura del inciso b tiene 5 lados. 2)

c.

Los círculos de cada figura se alternan en blanco y negro. La figura c tiene dos círculos blancos seguidos. 3)

d.

Las figuras más pequeñas de la serie están pegadas a un lado de las figuras más grandes. La figura pequeña del inciso c está justamente en el centro. 4)

c.

Las figuras de la serie tienen una flecha que apunta en una esquina y un círculo en uno de los lados. La figura del inciso c está al contrario. 5)

c.

Todas las figuras tienen un círculo externo. La figura del inciso c tiene un triángulo externo. 6)

d. El número de lados de la figura del centro es igual al número de lados de la figura exterior. La figura del inciso d tiene un triángulo en el centro y un cuadrado en la figura exterior.

Semana 2

Semana 3

¡A trabajar!

¡A trabajar! Carlos vicepresidente Susana presidente

Ejercicio 1 1)

2)

3)

4)

5)

2 1 1 2 1 7 $ 7

2 % 7

1 1 1 1 1 3 3 3

1 4 3

= 5 = 5 =

2 0 0

Roberto secretario 1) La persona que tiene el cargo de presidentes es: Susana 2) La persona que tiene el cargo de vicepresidente es: Carlos 3) Frente a Carlos está sentado: Roberto 4) Marta ocupa el cargo de: tesorero

Ejercicio 1

= 0 0

3 1 1 3 1 3 9 3 5 % 5

3 0

3 5 1 3 5 3 9 % 1 3 5

3

Expresión p: El manatí es un animal acuático.

Proposición No proposición

x x

b: ¿Le gusta la matemática? q: Guatemala es un país productor de azúcar.

x x

m: ¡Ayuda!

( 5

$

c: Para cuidar el planeta es necesario reciclar la basura.

x

d: El respeto es un valor.

x

Ejercicio 2

( 5

Ejercicio 2 1)

Marta tesorero

5 1 2) 4 1 % 3 8 2 5 4

Desarrolle nuevas habilidades 12

0) r: Solo los niños varones tienen derecho a la educación. ~r: No es cierto que solo los niños varones tienen derecho a la educación. 1) q: La vitamina A fortalece los huesos. ~q: No es cierto que la vitamina A fortalece los huesos. 2) p: Miguel Ángel Asturias ganó el Premio Nobel de la Paz. ~p: Miguel Ángel Asturias no ganó el Premio Nobel de la Paz. 3) s: 3 al cuadrado es 9. ~s: 3 al cuadrado no es 9. 4) t: A menos árboles, más oxígeno. ~t: Es falso que a menos árboles, más oxígeno.


271

Ejercicio 3 0) 1) 2)

Carmen Matute es una escritora guatemalteca. Guatemala es un país de Centroamérica. Martes es un día de la semana.

Desarrolle nuevas habilidades 1) 13 2) 17 3) 15

4) 20 5) 22 6) 25

Semana 4 ¡A trabajar! Revise que su trazo sea correcto. Valor el trabajo limpio y ordenado.

Ejercicio 1 0) Compuesta 1) Compuesta 2) Simple 3) Compuesta 4) Compuesta

5) Simple 6) Compuesta 7) Simple 8) Compuesta

Ejercicio 2 0) p / q 1) p 0 q 2) p / q 3) p 0 q

Ejercicio 3 5) p ↔ q 6) p → q 7) p ↔ q 8) p → q

0) p → q 1) p ↔ q 2) p → q 3) p ↔ q 4) p → q

Ejercicio 4 0) w: v ~w: f 1) g: f ~g: v 2) j: f ~j: v

Ejercicio 5 • ~r: Marte no es un planeta del sistema solar. • ~s: La Luna no es el satélite de la Tierra.

r v v f f

~r f f v v

s v f v f

~s f v f v

Desarrolle nuevas habilidades 1)

Todas las figuras se mueven un lugar siguiendo el sentido de las agujas del reloj. c

272

IGER − Zaculeu

Semana 5

Semana 6

¡A trabajar!

Ejercicio 1

Baila con Juan Pedro José Marta

Vestido de color verde rojo blanco

x

Cecilia

 x



Rango transportista 1 R = valor más alto – valor más bajo R=7–5 R=2

De la tabla deducimos: • Marta baila con Juan y está vestida de rojo. • Cecilia baila con Pedro y está vestida de verde. • Julia baila con José y está vestida de blanco.

Rango transportista 2 R = valor más alto – valor más bajo R=8–4 R=4 El transportista que más conviene a el productor es: el transportista 1.

Ejercicio 1

Ejercicio 2

0) p / q 1) verdadera 2) falsa 3) La proposición es falsa porque la proposición q es falsa. 4) La proposición es verdadera porque la negación de la proposición q es verdadera.

d=x–X Productor 1 d = 24 – 22 = 2 Productor 2 d = 19 – 22 = –3 Productor 3 d = 23 – 22 = 1 Productor 4 d = 22 – 22 = 0 1) Los productores 1, 3 y 4 cumplen con los requisitos de control de calidad. 2) El productor 2 será multado.

Julia

x



Ejercicio 2 0) La Tierra no es redonda o la luna no es su satélite. 1) No iré al cine ni iré a comer. 2) Los patos no tiene pico o los patos no son aves.

Ejercicio 3 p

q

p↔q

v v f f

v f v f

v f f v

p/ q v f f f

p0 q v v v f

p→q v f v v


Ejercicio 3 d = 100 – 100 = 0 d = 97 – 100 = –3 d = 99 – 100 = – 1 d = 100 – 100 = 0 d = 99 – 100 = –1 5 =1 DM = 0 + 3 + 1 + 0 + 1 = 5 5 R/ Se está cumpliendo con los requisitos de control de calidad. No se deben hacer ajustes en el proceso de llenado.


2) 1)

La relación es: un triángulo con textura es a un triángulo sin textura, lo que un cuadrado con textura es a un cuadrado sin textura.

3) La relación es: un cuadrado pequeño es a un cuadrado grande, lo que un triángulo pequeño es a un triángulo grande.


273

2)

La relación es: un triángulo pequeño con textura es a un círculo pequeño gris, lo que un triángulo grande con textura es a un círculo grande gris.

3)

La relación es: un círculo grande sin textura es a un cuadrado pequeño sin textura, lo que un círculo grande con textura es a un cuadrado pequeño con textura.

4)

La relación es: un círculo grande sin textura es a un círculo pequeño gris, lo que un rectángulo grande sin textura es a un rectángulo pequeño gris.

Semana 7 ¡A trabajar! 1) Pierre Fermat, Blaise Pascal y Pierre Laplace. 2) Las respuestas pueden ser variadas, cualquiera donde se aplique la probabilidad es correcta. Un ejemplo es: la probabilidad de que llueva y de llegar puntual a una reunión.

Ejercicio 1 0) suceso imposible 1) suceso posible 2) suceso seguro

3) suceso posible 4) suceso imposible 5) suceso imposible

Ejercicio 2 1) N = 6 F=3 P(A) = 3 = 1 = 0.5 6 2 P(A) = 0.5 x 100 = 50% La probabilidad de ganar un premio es del 50%. 2) a. N = 60 F = 30 P(A) = 30 = 0.50 60 P(A) = 0.50 x 100 = 50% La probabilidad que los turistas visiten Antigua Guatemala es del 50%. b. N = 60 F = 15 P(A) = 15 = 5 = 1 = 0.25 60 20 4 P(A) = 0.25 x 100 = 25% La probabilidad que los turistas visiten Panajachel es del 25%.

Desarrolle nuevas habilidades A

R

A

AA AR

R

RA

RR

La probabilidad de obtener flores con pétalos amarillos y sin manchas es del 25%.

274

IGER − Zaculeu

Semana 8 Ejercicio 1 decimal 15

1

7) 14

9

18

5

0

2

20

8

maya

% 1 $ 9 ( 5 = 2

maya

3 0 6 " & ) 4 # 7 !

decimal 3

10

6

12 16 19

4

13

Ejercicio 2 0)

6 20 x 6 = 120 1x8= 8 8 + 128

1)

5 20 x 5 = 100 1x3= 3 3 + 103

2)

0 400 x 10 = 4000 20 x 7 = 140 7 1 x 15 = 15 + 4155 %

4)

5 8000 x 5 = 40 000 400 x 3 = 1200 4 20 x 2 = 40 1 x 16 = 16 2 &

5)

6)

7

11

Ejercicio 3 A. 0) 8000

6 400 0 20 5 8 1

2)

400 20 1

7 400 x 7 = 2800 20 x 9 = 180 9 1x4= 4 + 2984 4

3)

8

2 8000 x 2 = 16 000 400 x 5 = 2000 5 20 x 10 = 200 0 1x8= 8 + 18 208 8

7 2 8 !

# 1) 400 " 2 $ 20 6 9 % " 1 # = " " )

0 8 ( 3) 8000 6 7 # 8 ! ) 400 4 0 $ 20 0 8 ( 7 6 # 8 ! ) 1

# 5 ( 5) 8000 # 6 ) 400 & = & 400 0 1 ! 20 = 3 3 20 4 " & 5 6 ! 1 1 / 2 )

4) 8000

B. 0)

+ 41 256

0 8000 x 10 = 80 000 400 x 6 = 2400 6 20 x 12 = 240 1x8= 8 " + 82 648 8

1) 400 % 0 5 ( 3 % 20 8 5 3 400 9 1 8 1 " 6 6 20 ( " 6 7 2 5 1

8000

2) 400 20 1 4) 8000

$ 9 5 3) 400 % 5 0 8 2 6 20 ) ! 8 9 8 1 1 # 6 7

9 7 400 $ 4 20 ! 5 1 ( 8

1 8000 x 1 = 8000 400 x 2 = 800 2 20 x 0 = 0 1 x 15 = 15 = + 8815 %

2 5) 8000 # 0 400 & 20 4 6 0 1 (

3 0 5 ! 3 1 / 1


275

Ejercicio 4 A. 0)

2)

4)

6)

B. 0)

2)

1 4 3 3 " 4 4 & = = = 6 = 3 ( = 2 " =

Ejercicio 6 3

1)

2 2 6 " " 3 6 6

& & = ( " =

3)

2 1 9 ( 9 = = =

" ( 6

( 9 =

Proposición

Valor de verdad

f: Los derechos humanos son aplicables a todas las personas.

v

k: Guatemala tiene 22 departamentos.

v

s: Todos los días son despejados y calurosos.

f

w: Todas las fábulas nos dejan una moraleja.

v

p: Los romboides tiene 4 lados iguales.

f

o: 2, 3, 4 son tres números primos consecutivos.

f

r: Todos los niños y las niñas tienen derecho a la educación.

v

3 1 3 9 3 5 % 5

3 4 9 5) 3 9 " ( 5 2 6 8

9 ( 8

Ejercicio 7

2 2 4 8 8 5 0 0

8 7) 2 1 7 $ 7 ( 0 3 6 3

$ # 3

0) y: Siempre que está nublado llueve. ~y: Es falso que siempre que está nublado llueve.

f v

1) m: Todos los números tienen raíz cuadrada exacta. ~m: No es cierto que todos los números tienen raíz cuadrada exacta.

f

% 3 " 4 1) 6 2 0 2 5 ( 6 3

2) h: Los hongos pertenecen al reino de las plantas. ~h: Los hongos no pertenecen al reino de las plantas.

6 1 3) & 4 " 3 " 2 4 6

Proposición

p: ¡Qué gusto! r: Los sapos son anfibios. t: La longitud del río Motagua es 486 km.

  

u: ¡Qué alegre! n: La energía solar es un recurso renovable.

276

IGER − Zaculeu

No proposición



s: ¿Qué fecha es mañana?

 

v f v

3) k: Un número primo es divisible entre sí mismo. v ~k: No es cierto que un número primo sea divisible entre sí mismo. f 4) r: Tubo y tuvo son palabras homófonas. v ~r: Es falso que tubo y tuvo son palabras f homófonas.

Ejercicio 5 Expresión

La negación puede ser con cualquiera de las opciones que estudió en la semana, aquí le presentamos una.

5) s: La Tierra tiene dos satélites naturales. ~s: La Tierra no tiene dos satélites naturales.

f v

6) t: Las nubes están formadas por vapor de agua. ~t: Es falso que las nubes están formadas por vapor de agua.

v

7) v: Todos los animales vertebrados nacen de huevos. ~v: No todos los animales vertebrados nacen de huevos.

f

f

v

Ejercicio 8 0) bicondicional 1) conjunción 2) condicional 3) disyunción

Ejercicio 13 se lee: si y solo si se lee: y se lee: si…entonces se lee: o

1) • p → q: Si 4 es el cuadrado de 2, entonces la raíz cuadrada de 4 es 2.

Ejercicio 9 1) Compuesta 2) Simple

3) Compuesta 4) Compuesta

Ejercicio 10 Se escribe p↔q p0q p/q p→q p0q

Ejercicio 11 1) ~p: El papel no se obtiene de los árboles. ~q: Los árboles no son un recurso renovable.

~p f f v v

q v f v f

~q f v f v

2) ~r: La epidermis no es la capa externa de la piel. ~s: La piel no es una capa que protege al cuerpo.

r v v f f

~r f f v v

s v f v f

~s f v f v

Ejercicio 12 0) v v 1) v v 2) f f 3) f v

• p / q: 4 es el cuadrado de 2 y la raíz cuadrada de 4 es 2.

v

• p ↔ q: 4 es el cuadrado de 2 si y solo si la raíz cuadrada de 4 es 2.

v

• p 0 q: 4 es el cuadrado de 2 o la raíz cuadrada de 4 es 2.

v

2) • p / q: El 10 es divisor de 100 y el 10 v es múltiplo de 2. • p 0 q: El 10 es divisor de 100 o el 10 v es múltiplo de 2. • p → q: Si el 10 es divisor de 100, entonces v el 10 es múltiplo de 2. • p ↔ q: El 10 es divisor de 100 si y solo si v el 10 es múltiplo de 2.

p→q

p v v f f

v

p 0 q v p → q v r 0 s v r ↔ s v t / u f t 0 u f m / n f m ↔ n f

Ejercicio 14 1) p v v f f

q v f v f

p/ q v f f f

p0q v v v f

2) r v v f f

s v f v f

r→s v f v f

r↔s v f f v

3) j v v f f

k v f v f

j/k v f f f

j0k v v v f

4) l v v f f

m ~l v f f f v v f v

~l / m

j→ k v f v v

j↔k v f f v

~l 0 m ~ l → m

f f v f

v f v v

v v v f

Ejercicio 15 A. 1) 2) 3)

De dispersión El rango La desviación media

4) 5) 6)

26 Desviación Desviación media


277

B. 1) Mario R = 42 – 28 R = 14

Cristina R = 62 – 22 R = 40

Andrea R = 54 – 33 R = 21

El operador más constante es Mario.

2) a. d = x – X Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

b. El mes que tiene la menor variación es marzo. d = 75 – 75 = 0 d = 73 – 75 = – 2 d = 76 – 75 = 1 d = 72 – 75 = –3 d = 70 – 75 = –5 d = 74 – 75 = –1

Ejercicio 17 0) imposible 1) seguro 2) imposible

DM =

0+2+1+3+5+1 = 12 6 6

DM = 2 c. 1) La estatura de los niños varía entre 2 cm más y 2 cm menos con respecto a la media. De 73 cm a 77 cm. 2) Rosario, Fernando, Paola y Carlos. 3) Ramiro y Gabriela.

Ejercicio 16 174 X = 53 + 62 + 59 = 3 3 50 + 66 + 58 174 Pablo X = = 3 3 Rebeca X = 48 + 69 + 57 = 174 3 3 Ana

X = 58 X = 58 X = 58

b. La desviación de cada atleta respecto de la media.

Ana d = 53 – 58 = –5 d = 62 – 58 = 4 d = 59 – 58 = 1

Pablo d = 50 – 58 = –8 d = 66 – 58 = 8 d = 58 – 58 = 0

278

IGER − Zaculeu

Casos posibles (N)

Casos favorables (F)

20 8 7 2 7

1 1 3 1 1

Ejercicio 19 1) a. F = 50 N = 200 P(A) = F = 50 = 0.25 N 200

a. La media de cada equipo.

3) posible 4) imposible

Ejercicio 18

! |d| b. DM = N

Rebeca d = 48 – 58 = –10 d = 69 – 58 = 11 d = 57 – 58 = –1

c. Calcule la desviación media. 10 DM = 3.33 Ana DM = 5 + 4 + 1 = 3 3 16 DM = 5.33 Pablo DM = 8 + 8 + 0 = 3 3 22 DM = 7.33 Rebeca DM = 10 + 11 + 1 = 3 3 d. El nadador que debe representar al equipo es Ana.

d = 18 – 19 = –1 d = 18 – 19 = –1 d = 19 – 19 = 0 d = 20 – 19 = 1 d = 21 – 19 = 2 d = 20 – 19 = 1

3) a. Rosario Fernando Ramiro Paola Gabriela Carlos

P(A) = 0.25 x 100 = 25%

b. F = 10 N = 200 P(A) = F = 10 = 0.05 N 200

P(A) = 0.05 x 100 = 5%

2) a. F = 8 N = 16

P(A) = F = 8 = 0.5 N 16

P(A) = 0.5 x 100 = 50% b. F = 4 N = 16 P(A) = F = 4 = 0.25 N 16

P(A) = 0.25 x 100 = 25%

Semana 9

3) a. F = 3 N=6 P(A) = F = 3 = 0.5 N 6

¡A trabajar!

P(A) = 0.5 x 100 = 50%

1) El día 10. 2) El día 17. 3) El día 24.

b. F = 3 N=6 3 P(A) = F = = 0.5 6 N

Ejercicio 1

P(A) = 0.5 x 100 = 50%

0) a = 9 1) u = 33 2) n = 5 3) d = 6

Agilidad de cálculo mental A. 1) 30 2) 36 3) 14 4) 18 5) 56 6) 0 7) 81 8) 48 9) 15

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18)

32 45 6 16 40 0 21 25 18

19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27)

72 120 36 100 120 100 120 60 60

B. 1) 33 2) 29 3) 59 4) 67 5) 49 6) 60 7) 18 8) 90 9) 21

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18)

20 38 39 26 48 70 19 67 53

19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27)

15 30 10 73 28 6 27 22 15

C. 1) 2 2) 1 3) 3 4) 15 5) 6

6) 7) 8) 9) 10)

4 7 8 5 10

11) 12) 13) 14) 15)

9 11 12 20 25

Ejercicio 2 1)

a

u

n

d

30

?

7

4

u = a + (n - 1) d u = 30 + (7 - 1) 4 u = 30 + (6) 4 u = 30 + 24 u = 54

R/ El agricultor tendrá sembrados 54 árboles. 2)

a

u

n

d

3

?

10

2

u = a + ^n - 1h d u = 3 + ^10 - 1h 2 u = 3 + ^9h 2 u = 3 + 18 u = 21

R/ El maratonista correrá 21 kilómetros en la décima semana. 3)

a

u

n

d

100

?

12

10

u = a + (n - 1) d u = 100 + (12 - 1) 10 u = 100 + (11) 10 u = 100 + 110 u = 210

R/ En el último pago debemos cancelar Q210.00.

Ejercicio 3 1)

a 200

u 1500

n ?

d 100

u -a d +1 1500 - 200 1300 n= + 1 = 100 + 1 = 13 + 1 = 14 100 n=

R/ Tendremos Q1,500.00 en 14 meses.


279

2)

a 15

u 60

n 6

Semana 10

d ?

u -a d = n -1 60 - 15 45 d = 6 -1 = 5 = 9

¡A trabajar!

R/ El alfarero debe fabricar 9 ollas por día.

Ejercicio 4 1)

s ?

a 100

s=

â + uh n

A. 1) Se obtienen 4 células en la segunda división. 2) Se obtienen 8 células en la tercera división. B.

u 150

1

n 6

2

4

16

8

1) 2)

2

4

8

16

5

15

45

135

10

30

90

270

a 2

u 16

n 4

r 2

a 5

u 135

n 4

r 3

a 10

u 270

n 4

r 3

R/ La trabajadora tendrá ahorrados Q750.00. s ? s=

a 5

u 23

3)

n 10

Ejercicio 2

â + uh n

2 ^ 5 + 23h 10 ^ 28h 10 280 = = 2 s= 2 2 s = 140

a 1

R/ El estudiante ha memorizado 140 palabras en total. 3)

s ? s=

s=

a 10

u 20

n 5

=

^30h 5

â + uh n

2

^ 10 + 20h 5

2

2

150 = 2

r 2

u = a : r ^n - 1h u = 1 : 2 ^7 - 1h u = 1 : 2 ^6h u = 1 : 64 u = 64

a ?

2)

u n 1280 6

r 2

u r ^n - 1 h 1280 a = ^6 - 1 h 2 1280 a= 25 1280 a = 32 a = 40 a=


n 7

Ejercicio 3

R/ El automóvil se desplaza 75 metros.

u ?

R/ El séptimo día tendrán que depositar Q64.00.

s = 75

0)

3)

b. b. c. a.

R/ Inicialmente había 40 pollos.

280

IGER − Zaculeu

64

Ejercicio 1

2 ^ 100 + 150h 6 ^250h 6 1500 = = 2 s= 2 2 s = 750

2)

32

Semana 11

Ejercicio 4 1)

s ?

a 10

u 270

r 3

¡A trabajar!

u (r) - a s = r -1 270 (3) - 10 s= 3 -1 810 - 10 s= 2 s = 800 = 400 2

0) La playera tiene Q15.00 de descuento, porque el 25% de 60 es 15 (60 ÷ 4 = 15) 1) La blusa tiene Q8.00 de descuento, porque el 10% de 80 es 8 (80 ÷ 10 = 8) 2) La playera tiene Q25.00 de descuento, porque el 25% de 100 es 25 (100 ÷ 4 = 25)

R/ Los miembros del comité ahorraron Q400.00.

Ejercicio 1

2)

0) Capital 1) Tiempo 2) Tasa

s ?

a 4

u 64

r 2

u^ r h - a r -1 64 ^2h - 4 s = 2 -1 128 - 4 s= 1 124 s= 1 s = 124

Ejercicio 2

s=

1)

R/ El estudiante escribió un total de 124 líneas.


1)

a.

3)

44

t

n

?

5000

5%

3

1

i=

(C)(r)(t) 100(n)

i=

(5000)(5)(3) 750 = = 750 100(1) 1

El capital produce Q750.00 de interés.

2)

i

C

r

t

n

?

800

4%

9

12

i=

(C)(r)(t) 100(n)

i=

(800)(4)(9) 288 = = 24 100(12) 12

La persona recibe Q24.00 de interés.

1)

c. 11

r

Ejercicio 3

2)

C

b.

i

c.

i

C

r

t

n

400

?

20%

6

12

(i)(100)(n) (r)(t)

C=

C=

El agricultor pidió un préstamo de Q4,000.00.

(400)(100)(12) 48 000 = = 4000 (20)(6) 12


281

2)

i

C

r

t

n

200

3000

10%

?

12

(i)(100)(n) (C)(r)

t=

t=

Debemos esperar 8 meses.

(200)(100)(12) 24 = =8 (3000)(10) 3

Semana 12 ¡A trabajar! Para conocer el número de diputados de su departamento, visite la página del Congreso de la República: www.congreso.gob.gt

Desarrolle nuevas habilidades

Ejercicio 1

1)

k=

2)

Amalia 100(2) = 200 Pedro 100(3) = 300 Ester 100(5) = 500 200 + 300 + 500 = 1000 Amalia deberá pagar Q200.00, Pedro Q300.00 y Ester Q500.00.

1000 1000 = = 100 2+3+5 10

Ejercicio 2 1) k = 500 ÷

5 (500)(6) = = 600 6 5

( 12 ) = 300 1 Rubén 600( ) = 200 3

Karla 600

300 + 200 = 500

Karla recibe Q300.00 y Rubén Q200.00.

2) k = 12 000 ÷

(12 000)(2) 1 = = 24 000 1 2

( 121 ) = 2000 1 Gustavo 24 000( ) = 4000 6 1 Mariela 24 000( ) = 6000 4

Luisa

24 000

2000 + 4000 + 6000 = 12 000

Luisa recibirá Q2,000.00, Gustavo Q4,000.00 y Mariela Q6,000.00.

Desarrolle nuevas habilidades 0) El estudiante se presenta a Bienestar estudiantil y pide información de las carreras y de las pruebas de admisión. 1) Bienestar estudiantil explica al estudiante las pruebas a realizar. 2) Bienestar estudiantil informa sobre el plan de becas de estudio.

282

IGER − Zaculeu

Semana 13 ¡A trabajar! 0) Al abrir un chorro más la pila se llenará en menos tiempo. La relación es inversa. 1) Una docena de naranjas costará más dinero. La relación es directa. 2) Cinco albañiles construirán la casa en menos tiempo. La relación es inversa.

x=

4 carpinteros pueden fabricar 48 sillas.

2)

Ejercicio 1 Q 90 60

kW 75 x

(60)(75) 450 = = 50 x= 90 9 Se deben consumir 50 kW de electricidad.

o 8 6

d 2 x

h 6 4

A menos obreros, más o 8 días de trabajo. La 6 relación es inversa.

d 2 x

x = (8)(2) 6

A menos horas, más días de trabajo. La relación es inversa.

h 6 4

x = (2)(6) 4

Ejercicio 2

x=

1) p 3 x

d 12 9

(4)(8)(3) = 96 = 48 (2)(1) 2

(8)(2)(6) 16 = =4 (4)(6) 4

6 obreros tardarán 4 días.

Desarrolle nuevas habilidades

(3)(12) 36 = =4 9 9 Se necesitan 4 personas.

Inicio

x =

2) v 5 6

d 2 x

Selección de la fruta

t 36 x

Descartar

(5)(36) 180 = = 30 6 6 Terminará la carrera en 30 segundos.

No

¿la fruta está en buenas condiciones?

x =

Sí Lavado

Ejercicio 3 1) c 2 4

s 8 x

d 1 3

Pelado Troceado

Más carpinteros fabrican más sillas. La relación es directa.

c 2 4

s 8 x

En más días se fabrican más sillas. La relación es directa.

d 1 3

s 8 x

x=

(4)(8) 2

Cocción Envasado

x=

(3)(8) 1

Fin


283

Semana 14

Semana 15

¡A trabajar!

¡A trabajar!

1) Programa Apolo 2) Forma de cono

1) Un prisma 2) Newton concluyó que la luz estaba formada por siete colores que se descomponían al atravesar el prisma.

Respuesta personal. Cuide su redacción y ortografía. Puede averiguar sobre los viajes turísticos espaciales en esta página: http://goo.gl/Ni5k2x

Ejercicio 1

1) base inferior 2) altura 3) base superior 4) cara lateral

2) vértice 3) altura

1) generatriz

0) radio

Ejercicio 1

Ejercicio 2

4) base

Ejercicio 2 a. At = r(g + r) At = (3.14)(3 m)(4 m + 3 m) At = (3.14)(3 m)(7 m) = (3.14)(21 m2) At = 65.94 m2 R/ Se necesitan 65.94 m2 de aluminio. b. Ab = r2 Ab = (3.14)(3 m)2 Ab = (3.14)(9 m2) Ab = 28.26 m2 R/ La cantidad de acero que necesita es 28.26 m2.

Ejercicio 3 r2h 3 (3.14)(3 cm)2(10 cm) V= 3 (3.14)(9 cm2)(10 cm) V= 3 (3.14)(90 cm3) 282.6 cm3 V= = 3 3

a. V =

V = 94.2 cm3

R/ La capacidad de cada vaso es de 94.2 cm3. b. (10)(1000 cm ) = 10 000 cm 3

3

10 000 cm3 ÷ 94.2 cm3 = 106.16

R/ Se pueden llenar 106 vasos.

284

IGER − Zaculeu

prisma triangular

prisma hexagonal

prisma octagonal

Ejercicio 3 Calcule el área de la base (b)(h) Ab = 2 (50 cm)(43 cm) Ab = 2 (2150 cm2) Ab = 2 Ab = 1075 cm2 Calcule el área lateral Ac = n(b)(h) Ac = 3(50 cm)(100 cm) Ac = 3(5000 cm2) Ac = 15 000 cm2 Calcule el area total At = 2Ab + Ac At = 2(1075 cm2) + 15 000 cm2 At = 2150 cm2 + 15 000 cm2 At = 17 150 cm2 Se necesitan 17 150 cm2 de madera.

Semana 16

Ejercicio 4 (n)( )(a) 2 (6)(6 cm)(5 cm) Ab = 2 180 cm2 Ab = 2 Ab =

¡A trabajar! Puede identificar distintas figuras. Algunas ideas son: El techo de la catedral tiene la forma de un prisma triangular. La torre circular forma un cilindro. El techo de la torre es un cono.

Ab = 90 cm2 V = (Ab)(h) V = (90 cm2)(15 cm) V = 1350 cm3

Ejercicio 1

Se pueden envasar 1350 cm3 de mermelada. 8100 cm3 ÷ 1350 cm3 = 6 Se necesitan 6 frascos.

0) prisma cuadrangular paralelepípedo 1) cono cilindro 2) pirámide prisma hexagonal 3) semiesfera cilindro

Ejercicio 2 Un cilindro y un cono Área lateral del cilindro Al = 2 rh Al = 2(3.14)(10 m)(3 m) Al = (6.28)(30 m2) Al = 188.4 m2 Área lateral del cono Al = rg Al = (3.14)(10 m)(12 m) Al = (3.14)(120 m2) Al = 376.8 m2 At = 188.4 m2 + 376.8 m2 = 565.2 m2 Para fabricar la carpa se necesitan 565.2 m2 de lona. Para calcular el costo de la carpa multiplicamos el área total por el valor de cada metro cuadrado de lona. (565.2)(125) = 70 650 El costo total de la carpa es Q70,650.00.

Ejercicio 3 1) Un cilindro y un cono Volumen del cilindro V = r2h V = (3.14)(1 m)2(2 m) V = (3.14)(1 m2)(2 m) V = (3.14)(2 m3) V = 6.28 m3


285

Volumen del cono r2h V= 3 (3.14)(1 m)2(1 m) V= 3 (3.14)(1 m2)(1 m) V= 3 3 ) V = (3.14)(1 m 3 3 V = 3.14 m 3

V = 1.05 m3 Vt = 6.28 m3 + 1.05 m3 = 7.33 m3 (4.33)(1000 l) = 7330 litros 7330 ÷ 3 = 2443.33 Se pueden llenar 2443 envases de tres litros. 2) Volumen del cilindro V = r2h V = (3.14)(15 cm)2(100 cm) V = (3.14)(225 cm2)(100 cm) V = (3.14)(22 500 cm3) V = 70 650 cm3

Volumen del paralelepípedo V = (Ab)(h) V = (40 cm)(40 cm)(50 cm) V = (1600 cm2)(50 cm) V = 80 000 cm3

Volumen total V = 70 650 cm3 + 80 000 cm3 V = 150 650 cm3 150 650 cm3 ÷ 125 000 cm3 = 1.20 Se necesitan 1.20 bolsas de cemento.


1)

Semana 17 Ejercicio 1 0) 1) 2)

5

8

11

14

17

10

20

30

40

50

24

20

16

12

8

Ejercicio 2 A. 0)

a 8

u ?

n 6

d 4

u = a + (n - 1) d u = 8 + (6 - 1) 4

u = 8 + (5) 4 u = 8 + 20 u = 28

1)

a ?

u 54

n 8

d 2

a = u - (n - 1) d a = 54 - (8 - 1) 2

a = 54 - (7) 2 a = 54 - 14 a = 40

2)

a 24

u ?

n 12

d 2

u = a + (n - 1) d u = 24 + (12 - 1) 2 2)

3)

u = 24 + (11) 2 u = 24 + 22 u = 46

286

IGER − Zaculeu

a 5

u 17

n 5

d 3

a u 10 50

n 5

d 10

a 24

n 5

d 4

u 8

3)

a 3 n n

n n

u n d ? 28 5 u -a = d +1 28 - 3 = +1 5 25 = 5 +1 = 5 +1

2)

a 15 n n

n n

n =6 4)

s ? s= s=

n = 11

a u n 64 154 10 u -a d = n -1 154 - 64 d = 10 - 1 90 d= 9 d = 10

5)

s=

a 18

u 96

â + uh n

d ?

s ?

s s s

a 6

u ?

n 6

n 14

(3 - 1 )

u =6:4

( 2)

u = 96 2)

a ?

a

2

2

^114h 14

u = 15 + 15

a 3)

(a + u) n 2 (100 + 210) 12 = 2 (310) 12 = 2 3720 = 2 = 1860

a ? a=

1) 2) 3) 4) 5)

a

2 32 6 63 64

a a a

4)

A. 0)

a 5

u ?

u =a:r

n 4 (4 - 1)

u =5:3

(3)

u = 5 : 27

n 5

r 4

(n - 1)

u 486 u

n 5

r 3

u 100

r 10

(n - 1)

r 486 = (5 - 1) 3 486 = 4 3 486 = 81 =6

s ?

a 1

u (r) - a r -1 100 (10) - 1 = 10 - 1 1000 - 1 = 9 999 = 9 = 111

s=

(n - 1)

u =5:3

u = 135

r 3

u 2560 u

r 2560 = (5 - 1) 4 2560 = 4 4 2560 = 256 = 10

Ejercicio 3

Ejercicio 4 n 12

a a

R/ En la última fila hay 30 butacas.

r 4

(n - 1)

u =6:4

u = 15 + (5) 3

u = 30

n 3

u = 6 : 16

d 3

u = 15 + (6 - 1) 3

u ?

u =a:r

a= a 15

s= s

1)

u = a + (n - 1) d

^18 + 96 h 14

a u 100 210

R/ El estudiante leyó el libro en 11 días. 3)

2 1596 s= 2 s = 798

B. 1)

u n d ? 25 1 u -a = d +1 25 - 15 = +1 1 10 = 1 +1 = 10 + 1

s

s s s

R/ Luego de un año tendrá Q1,860.00.


287

5)

s ? s s

s s s

B. 1)

a 9

Ejercicio 5

r 2

i = Q360.00 C = Q3,000.00 r = 8% t = 18 meses

u (r) - a = r -1 288 (2) - 9 = 2 -1 576 - 9 = 1 567 = 1 = 567 a 5

u ?

u =a:r

u 288

n 5

Ejercicio 6 A. 0)

r 2

i

C

r

t

n

?

600

5%

3

1

i=

(C)(r)(t) 100(n)

i=

(600)(5)(3) 90 = = 90 100(1) 1

i = Q90.00

(n - 1)

u =5:2

(5 - 1)

u =5:2

( 4)

1)

u = 5 : 16 u = 80 R/ Después de 24 meses hay 80 conejos. 2)

s ? s s

s s s

a 50

u 1600

r 2

u (r) - a = r -1 1600 (2) - 50 = 2 -1 3200 - 50 = 1 3150 = 1 = 3150

R/ Después de 6 meses tiene ahorrados Q3,150.00. 3)

a 100

u ?

u =a:r

n 3

u = 100 : 0.6

( 3 - 1)

u = 100 : 0.6

( 2)

u = 100 : 0.36 u = 36 R/ En el tercer rebote alcanzará 36 cm.

288

IGER − Zaculeu

C

r

t

n

?

5000

6%

4

1

i=

(C)(r)(t) 100(n)

i=

(5000)(6)(4) 1200 = = 1200 100(1) 1

i = Q1,200.00

2)

i

C

r

t

n

120

?

5%

3

12

C=

(i)(100)(n) (r)(t)

C=

(120)(100)(12) = 144 000 = 9600 (5)(3) 15

C = Q9,600.00

3)

r 0.6

(n - 1)

i

i

C

r

t

n

250

?

5%

1

1

C=

(i)(100)(n) (r)(t)

C=

(250)(100)(1) = 25 000 = 5000 (5)(1) 5

C = Q5,000.00

4)

i

C

90 1000

r

t

n

?

18

12

4)

i ?

C

r

60 000 10%

t

n

5

1

r=

(i)(100)(n) (C)(t)

i=

(C)(r)(t) 100(n)

r=

(90)(100)(12) 108 = =6 (1000)(18) 18

i=

(60 000)(10)(5) 30 000 = = 30 000 100(1) 1

r = 6%

i = Q30,000.00 Precio en 5 años = 60 000 + 30 000 R/ El terreno en 5 años valdrá Q90,000.00.

5)

i

C

r

400 5000 4%

(i)(100)(n) t= (C)(r)

t=

t = 24

B. 1)

t

n

?

12

5)

i

C

r

t

n

420

?

5%

12

12

C=

C

r

t

n

?

5000

4%

18

12

i=

(5000)(4)(18) 3600 i= = = 300 100(12) 12

i = Q300.00 R/ Produce Q300.00 de interés.

3500 28 000

?

24

12

(i)(100)(n) (C)(t)

r=

(720)(100)(12) 8640 = =8 (4500)(24) 1080

i

C

r

40 000 8%

t

n

5

1

i=

(C)(r)(t) 100(n)

i=

(40 000)(8)(5) 16 000 = = 16 000 100(1) 1

i = Q16,000.00 Precio en 5 años = 40 000 – 16 000 R/ El vehículo tendrá un valor de Q24,000.00.

Ejercicio 7

(C)(r)(t) 100(n)

C

n

r=

?

(420)(100)(12) 42 000 = = 8400 (5)(12) 5

i

t

6)

i

3)

r

r = 8% R/ La tasa aplicada es del 8%.

C = Q8,400.00 R/ Se debe depositar un capital de Q8,400.00. 2)

C

720 4500

(400)(100)(12) 480 = = 24 (5000)(4) 20

(i)(100)(n) C= (r)(t)

i

r

t

n

?

10

12

A. 1) n = 13 500 a = 2500 b = 3000 c = 3500 2) k =

3) Inversor b = 1.5(3000) = Q4.500.00

(i)(100)(n) (C)(t)

r=

(3500)(100)(12) 420 r= = = 15 (28 000)(10) 28

r = 15% R/ La tasa de interés fue del 15%.

13 500 = 13 500 = 1.5 2500 + 3000 + 3500 9000

B. 1) k =

1 300 000 = 1 300 000 = 20 30 000 + 25 000 + 10 000 65 000

(20)(30 000) = 600 000 La Esperanza Q600,000.00. (20)(25 000) = 500 000 San José Q500,000.00. (20)(10 000) = 200 000 El Carmen Q200,000.00. Matemática − Claves

289

12 600 = 12 600 = 63 100 + 80 + 20 200

2) k =

(63)(100) = 6300 (63)(80) = 5040 (63)(20) = 1260

1er aspersor 6300 litros. 2do aspersor 5040 litros. 3er aspersor 1260 litros.

C. 1 1 1 1) k = 5500 ÷ + + 1 2 3

(

k = 5500 ÷

)

11 (5 500)(6) 33 000 = = = 3000 6 11 11

( 11 ) = 3000 Primer lugar Q3,000.00. 1 (3000)( ) = 1500 Segundo lugar Q1,500.00. 2 1 (3000)( ) = 1000 Tercer lugar Q1,000.00. 3 1 1 1 1 2) k = 15 000 ÷ ( + + + 6 8 12 24 ) (3000)

5 (15 000)(12) 180 000 = = = 36 000 12 5 5

k = 15 000 ÷

( ) 1 (36 000)( ) = 4500 El de 8 años Q4,500.00. 8 1 (36 000)( ) = 3000 El de 12 años Q3,000.00. 12 1 (36 000)( ) = 1500 El de 24 años Q1,500.00. 24

1 (36 000) = 6000 El de 6 años recibe Q6000.00. 6

Ejercicio 8 A. 0) x = 1) x = 2) x = 3) x =

(4)(16) 2 (3)(15) 5 (10)(8) 4 (5)(25) 1

B. 1) u 200 25

= 64 = 32 2 45 = =9 5 = 80 = 20 4 = 125 = 125 1 Q

x 16

x = (16)(200) = 3200 = 128 25 25

R/ 200 lapiceros cuestan Q128.00.

290

IGER − Zaculeu

2) cm 5 18

km 10

x = (18)(10) = 180 = 36 5

5

x

R/ La distancia es de 36 kilómetros. 3) km 120

x

gal 3 7

x = (7)(120) = 840 = 280 3

3

R/ Ha recorrido 280 kilómetros. 4) c 2 8

yd 5

x = (8)(5) = 40 = 20 2

x

2

R/ Se necesitan 20 yardas.

Ejercicio 9 A. 0) x = 1) x = 2) x = 3) x = 4) x = 5) x = B. 1) o 5 3

(15)(3) 45 = =5 9 9 (16)(2) 32 = =8 4 4 (40)(5) 200 = = 20 10 10 (8)(15) 120 = = 10 12 12 (6)(1) = 6 =2 3 3 (8)(15) 120 = = 24 5 5 d 3

x=

(5)(3) = 15 = 5 3 3

x=

(4)(60) = 240 = 6 40 40

x=

(12)(10) 120 = = 15 8 8

x

R/ Tardarán 5 días. 2) t 3

x

v 60 40

R/ Tardará 6 horas. 3) t 12 8

d 10

x

R/ Tardará 15 días.

Ejercicio 10 1) m2 24 45

a 2 3

A más superficie, más horas. La relación es directa.

m2 24 45

Más albañiles tardan menos horas. La relación es inversa.

a 2 3

h 8 x h 8 x h 8 x

(45)(8) (2)(8) x= 24 3 (45)(8)(2) x= = 720 = 10 (24)(3) 72

x=

q 60 120

d 2 x

Menos recolectoras tardan más días. La relación es inversa. Más quintales requieren más días. La relación es directa.

r 35 20

d 2 x

q 60 120

d 2 x

(35)(2) (120)(2) x= 20 60 (35)(2)(120) x= = 840 = 7 (20)(60) 120

x=

V = 157 cm3

volumen r2h V= 3 (3.14)(10 cm)2(74 cm) V= 3 (3.14)(100 cm2)(74 cm) V= 3 (3.14)(7400 cm3) V= 3 23 236 cm3 V= 3 V = 7745.33 cm3

2) área total At = r(g + r) At = (3.14)(1.5 m)(4 m + 1.5 m) At = (3.14)(1.5 m)(5.5 m) At = (3.14)(8.25 m2) At = 25.90 m2

R/ Obtendrán 120 quintales en 7 días.

Ejercicio 11 0) 1) 2)

1) área total At = r(g + r) At = (3.14)(10 cm)(75 cm + 10 cm) At = (3.14)(10 cm)(85 cm) At = (3.14)(850 cm2) At = 2669 cm2

R/ Deben trabajar durante 10 horas. 2) r 35 20

volumen r2h V= 3 (3.14)(5 cm)2(6 cm) V= 3 (3.14)(25 cm2)(6 cm) V= 3 (3.14)(150 cm3) V= 3 471 cm3 V= 3

generatriz vértice círculo

Ejercicio 12

0) área total At = r(g + r) At = (3.14)(5 cm)(8 cm + 5 cm) At = (3.14)(5 cm)(13 cm) At = (3.14)(65 cm2) At = 204.1 cm2

volumen r2h V= 3 (3.14)(1.5 m)2(3.5 m) V= 3 (3.14)(2.25 m2)(3.5 m) V= 3 (3.14)(7.87 m3) V= 3 24.73 m3 V= 3 V = 8.24 m3 Matemática − Claves

291

Ejercicio 13

Ejercicio 15

1) a. Al = rg Al = (3.14)(3 cm)(5 cm) Al = (3.14)(15 cm2) Al = 47.1 cm2 R/ Se invirtió 47.1 cm2 de papel.

1) Ab = 2 Ab = (3 cm)2 Ab = 9 cm2 Al = n(b)(h) Al = 4(3 cm)(9 cm) Al = 4(27 cm2) Al = 108 cm2

r2h 3 (3.14)(3 cm)2(4 cm) V= 3 (3.14)(9 cm2)(4 cm) V= 3 (3.14)(36 cm3) V= 3 113.04 cm3 V= 3 V = 37.68 cm3

b. V =

At = 2Ab + Al At = 2(9 cm2) + 108 cm2 At = 18 cm2 + 108 cm2 At = 126 cm2

R/ Al vaso le caben 37.68 cm3 de agua.

2) Al = rg Al = (3.14)(1 m)(1.5 m) Al = (3.14)(1.5 m2) Al = 4.71 m2 R/ Se gastó 4.71 m2 de lámina en su elaboración. r2h 3 (3.14)(6 cm)2(6 cm) V= 3 (3.14)(36 cm2)(6 cm) V= 3 (3.14)(216 cm3) V= 3 678.24 cm3 V= 3 V = 226.08 cm3

3) V =

(b)(h) 2 (4 cm)(3 cm) Ab = 2 (12 cm2) Ab = 2 Ab = 6 cm2 2) Ab =

Al = n(b)(h) Al = 3(4 cm)(10 cm) Al = 3(40 cm2) Al = 120 cm2 At = 2Ab + Al At = 2(6 cm2) + 120 cm2 At = 12 cm2 + 120 cm2 At = 132 cm2 (n)( )(a) 2 (6)(8 cm)(5 cm) Ab = 2 (6)(40 cm2) Ab = 2 (240 cm2) Ab = 2 Ab = 120 cm2 3) Ab =

R/ Se necesitó 226.08 cm3 de parafina.

Ejercicio 14

Al = n(b)(h) Al = 6(8 cm)(12 cm) Al = 6(96 cm2) Al = 576 cm2 At = 2Ab + Al At = 2(120 cm2) + 576 cm2 At = 240 cm2 + 576 cm2 At = 816 cm2

prisma triangular

292

prisma cuadrangular

IGER − Zaculeu

prisma pentagonal

Ejercicio 16

Volumen del paralelepípedo Ab = (a)(b) Ab = (4 m)(6 m) Ab = 24 m2

1) Al = n(b)(h) Al = 4(0.20 m)(3 cm) Al = 4(0.6 m2) Al = 2.4 m2

Para saber cuántos azulejos se deben comprar, dividimos el área lateral de la columna entre el área de un azulejo. Área de un azulejo A= 2 A = (0.10 m)2 A = 0.01 m2

V = (Ab)(h) V = (24 m2)(3 m) V = 72 m3

Volumen total V = 12 m3 + 72 m3 Volumen total: 84 m3

2) Volumen de la pirámide (n)( )(a) 2 (6)(10 cm)(5 cm) Ab = 2 (6)(50 cm2) Ab = 2 (300 cm2) Ab = 2 Ab = 150 cm2 Ab =

Cantidad de azulejos 2.4 m2 = 240 0.01 m2 R/ Debe comprar 240 azulejos. 2) V = (Ab)(h) V = (10 cm)(7 cm)(15 cm) V = (70 cm2)(15 m) V = 1050 cm3 R/ La caja puede contener 1050 cm3 de jugo.

(Ab)(h) 3 (150 cm2)(15 cm) V= 3 2250 cm3 V= 3

3) V = (Ab)(h) V = (3 cm)(3 cm)(12 cm) V = (9 cm2)(12 m) V = 108 cm3 R/ La barra contiene 108 cm3 de margarina.

Ejercicio 17

V = 750 cm2

Volumen del prisma V = (Ab)(h) V = (150 cm2)(25 cm) V = 3750 cm3

Volumen total V = 750 cm3 + 3750 cm3 Volumen total: 4500 cm3

0) Un cilindro, un cono 1) prisma octagonal, semiesfera 2) paralelepípedo, prisma cuadrangular 3) prisma hexagonal, pirámide hexagonal 4) cilindro, semiesfera 5) paralelepípedo, prisma triangular

Ejercicio 18 1) Volumen del prisma (b)(h) Ab = 2 (4 m)(1 m) Ab = 2 4 m2 Ab = 2 Ab = 2 m2

V=

r2h 3 (3.14)(1.5 m)2(1.5 m) V= 3 (3.14)(2.25 m2)(1.5 m) V= 3 (3.14)(3.37 m3) V= 3 10.58 m3 V= 3 V = 3.53 cm3

3) V =

V = (Ab) (h) V = (2 m2)(6 m) V = 12 m3


293

Volumen del cilindro V = r2h V = (3.14)(1.5 m)2(3 m) V = (3.14)(2.25 m2)(3 m) V = (3.14)(6.75 m3) V = 21.19 m3

Volumen total V = 3.53 m3 + 21.19 m3 Volumen total: 24.72 m3

Vt = 3.92 m3 + 0.4 m3 = 4.32 m3

1) Área lateral prisma Al = (n)( )(a) Al = 8(1 m)(3 m) Al = 8(3 m2) Al = 24 m2 Área de la semiesfera Al = 2 r2 Al = 2(3.14)(1.20 m)2 Al = (6.28)(1.44 m2) Al = 9.04 m2 Área total At = 24 m2 + 9.04 m2 At = 33.04 m2 Galones de pintura =

Área total Área x galón

Galones de pintura =

33.04 m = 0.83 40 m2

Se necesita 1 galón de pintura.

2) Área lateral del cono Al = rg Al = 3.14(0.2 m)(0.3 m) Al = 3.14(0.06 m2) Al = 0.19 m2 Área lateral del cilindro Al = 2 rh Al = 2(3.14)(0.20 m)(2 m) Al = (6.28)(0.40 m2) Al = 2.51 m2 Área total At = 0.19 m2 + 2.51 m2 At = 2.70 m2

Utilizará 2.70 m2 de lámina.

3) Volumen de la columna V = r2h V = 3.14(0.5 m)2(5 m) V = 3.14(0.25 m2)(5 m) V = 3.14(1.25 m3) V = 3.92 m3

294

IGER − Zaculeu

Se necesitan 4.32 m3 de concreto.


Ejercicio 19

Volumen de la base V = (Ab)(h) V = (1 m)(1 m)(0.4 m) V = (1 m2)(0.4 m) V = 0.4 m3

2

A. 0) 30 1) 29 2) 16 3) 28 4) 31 5) 27 6) 21

7) 38 8) 23 9) 20 10) 38 11) 39 12) 41 13) 50

14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)

14 20 10 32 29 41 19

B. 0) 11x 1) 10b 2) 16x 3) 11y 4) 15h 5) 18x 6) 14y

7) 20x 8) 21y 9) 19b 10) 27h 11) 21x 12) 27k 13) 33h

14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)

7x 9y 15h 16x 15y 19b 12x

C. 0) 6x2 1) 12y2 2) 12b2 3) 40h2 4) 28k2 5) 20y2 6) 25x2

7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)

14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)

16x6 36b6 20y10 21b7 72y9 42x7 81h7

36x3 16y4 54x6 49y3 32h5 45x7 27y4

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Matemática − Bibliografía

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Medidas de dispersión: http://goo.gl/e1LXr7 ONU. Objetivos del milenio: http://goo.gl/3WsCJK Prismas: http://goo.gl/LicIQK Probabilidad: http://goo.gl/vwn6EA Problemas de progresiones: http://goo.gl/aGJHtO Proyecto Descartes: http://goo.gl/U5K12 Recursos de educación y matemáticas: http://goo.gl/eV1Sh7 Sistemas de numeración: http://goo.gl/UPCTy0 Sucesiones numéricas: http://goo.gl/hfeHi4

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IGER − Zaculeu

Libro Zaculeu Matemática 1er. Semestre

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