Lezione 5 Eq Stato Circuiti I Ord Ok

Lezione 5 – Equazioni di stato per circuiti del I ordine

Lezione n.5

Equazioni di stato per circuiti del I ordine 1. 2. 3.

Equazione di stato per circuiti del I ordine Dimensione fisica dei coefficienti dell’equazione di stato Esercizi 3.1 RC serie e parallelo 3.2 RL serie e parallelo 3.3 Configurazioni critiche 3.4 RC con due resistenze 3.5 RL con due resistenze 3.6 RC con tre resistenze

In questa lezione dedichiamoci ad acquisire esperienza nella individuazione delle equazioni di stato. Cominciamo con i circuiti del I ordine, circuiti cioè con una sola variabile di stato. Dopo la prima sezione nella quale individueremo la formula generale di una equazione differenziale del I ordine, nella terza faremo degli esercizi.

Corso di Introduzione ai Circuiti – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2009/10

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1. Equazione di stato per circuiti del I ordine Abbiamo lasciato la Lezione n.4 con il sistema di equazioni di stato Dx& (t ) = − Hx(t ) + g(t )

t>t0.

(1)

In questa lezione ci occuperemo di specificare il sistema (1) per un circuito del I ordine. In questo caso basta semplicemente sostituire al vettore x(t) una sola incognita x(t), alla matrice H un coefficiente h, alla matrice D il coefficiente d e al vettore g(t) la funzione nota g(t). Avremo: dx& (t ) = − hx (t ) + g(t )

t>t0.

(2)

La (2) rappresenta l’equazione di stato di un circuito del I ordine. Essendo l’ordine uno, in questo caso l’equazione di stato coincide con l’equazione differenziale da risolvere come vedremo nella Lezione n. 8.

2. Dimensione fisica dei coefficienti dell’equazione di stato Quando troviamo le equazioni di stato per il circuito che intendiamo risolvere è buona abitudine fare un controllo sulle dimensioni fisiche di ogni singolo termine della equazione. In questo modo possiamo controllare se abbiamo commesso qualche errore! Consideriamo la (2). I casi possono essere due: 1) l’incognita è una tensione e i termini dell’equazione sono omogenei ad una corrente. Pertanto: d è una capacità h è una conduttanza equivalente g(t) è la funzione (nota) con dimensioni di corrente 2) l’incognita è una corrente e i termini dell’equazione sono omogenei ad una tensione. Pertanto: d è una induttanza h è una resistenza equivalente g(t) è la funzione (nota) con dimensioni di tensioni Verifica negli esercizi che seguono le dimensioni delle equazioni trovate nei vari casi. Un'altra cosa molto importante è sempre verificare la correttezza dei segni dei coefficienti d ed h. Questi DEVONO essere sempre positivi in quanto rappresentano rispettivamente una capacita o induttanza e una resistenza equivalente che sono valori sempre positivi.


2


3. Esercizi In questo paragrafo cominciamo ad esaminare sistematicamente i circuiti di semplice struttura. Durante il corso la sezione sugli esercizi sarà organizzata in modo da prendere in esame tutte le possibili configurazioni di connessione dati i bipoli costituenti il circuito. In questa lezione cominciamo con il trovare le equazioni di stato e quindi l’equazione differenziale del I ordine che risolvono il circuito. 3.1 RC serie e parallelo Cominciamo con i circuiti RC serie ed RC parallelo.

v2 i2

I

i1 e( t )

II

i3

R

v3

C

v1

III

Fig.1 – (a) Circuito “RC serie”. I

i1 j (t )

i2

i3 v3

v2

v1 R

C

II

Fig.1 – (b) Circuito “RC parallelo”. Sottolineamo che in questi appunti useremo rappresentare nelle figure le grandezze incognite di un circuito senza esplicitare la dipendenza dal tempo. Ricordiamo che quando le grandezze sono utilizzate con lettere minuscole sono sempre dipendenti dal tempo. Al contrario quando sono costanti il simbolo è maiuscolo.


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I circuiti in Fig.1-(a) e Fig.1-(b), come vedremo nel seguito, sono detti “circuiti di carica di un condensatore” quando si sceglie un opportuno tipo di funzione del generatore (vedi paragrafo 1 della Lezione n.11). Il Sistema Globale per il circuito in Fig.1-(a), avente una unica maglia ed escludendo il nodo III, risulta essere:

i1 (t ) - i2 (t ) = 0 i (t ) - i (t ) = 0 3 2 v1 (t ) - v2 (t ) - v3 (t ) = 0  v1 (t ) = e(t )  v2 (t ) = Ri2 (t )  dv3 (t ) i3 (t ) = C dt 

(3)

Osserviamo che tutte le grandezze che compaiono nel sistema (3) e in quelli che seguiranno dipendono dal tempo, tuttavia per alleggerire la notazione nel seguito non indicheremo esplicitamente la dipendenza dal tempo se non per i generatori. La variabile di stato del circuito è la tensione sul condensatore v3 (t ) . Pertanto dal sistema (3) dobbiamo eliminare tutte le incognite tranne la tensione v3 (t ) . Cominciamo con il sostituire le relazioni caratteristiche nelle equazioni algebriche che derivano dalle leggi di Kirchhoff. Otteniamo:

i1 - i2 = 0  dv 3  =0 i2 - C dt  e(t ) - Ri2 - v3 = 0

(4)

A questo punto eliminiamo i1 (t ) e i2 (t ) . Questo si ottiene eliminando la prima e la seconda equazione del sistema (4) e sostituendo la corrente i2 (t ) dalla seconda equazione del sistema nella terza. Otteniamo un’unica equazione che scriviamo sotto forma di equazione di stato

C

dv3 v e(t ) = - 3 + dt R R

t >t0,

(5)

con t0 istante iniziale. L’equazione (5) deve avere tutti i termini di dimensione equivalente ad una corrente. Abbiamo così ottenuto quello che cercavamo. E’ chiaro che la (5) sarà definita nell’intervallo temporale in cui vogliamo studiare il circuito. L’equazione (5) è una Corso di Introduzione ai Circuiti – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2009/10

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equazione differenziale del I ordine lineare tempo invariante nella incognita la variabile di stato v3 (t ) . Vedremo nelle prossime lezioni come risolvere l’equazione (5), vedremo che sarà necessario utilizzare delle “condizioni iniziali” per formulare un problema ben posto che ammetta un’unica soluzione. Una volta determinata la variabile di stato nell’intervallo temporale che ci interessa, possiamo passare a calcolare in ogni istante di quell’intervallo tutte le altre grandezze del circuito. Ad esempio la corrente i2 (t ) la otteniamo dalla seconda equazione del sistema (4). Una volta nota la i2 (t ) possiamo poi calcolare la i1 (t ) dalla prima equazione del sistema (4). E così via per le altre grandezze. Il sistema globale per il circuito in Fig.1-(b), essendoci due maglie ed escludendo il nodo II, risulta essere:

i1 - i2 - i3 = 0 v - v = 0  1 2 v2 - v3 = 0  i1 = j (t )  v2 = Ri2  dv3 i3 = C dt 

(6)

Operando in modo analogo al sistema (3) otteniamo l’equazione di stato

C

dv3 v = - 3 + j (t ) dt R

t>t0,

(7)

con t0 istante iniziale. Confrontando la (5) e la (7) osserviamo che le due equazioni si equivalgono se poniamo j = e R . Questa “equivalenza” la osserveremo più approfonditamente in seguito quando studieremo i teoremi del generatore equivalente.

3.2 RL serie e parallelo Sostituiamo al posto del condensatore un induttore. Consideriamo i circuiti che abbiamo rappresentato in Fig.2.: i noti circuiti RL serie ed RL parallelo. Come vedremo nel seguito, allo stesso modo dei circuiti RC, gli RL sono detti “circuiti di carica di un induttore”, quando si sceglie un opportuno tipo di funzione del generatore (vedi paragrafo 1 della Lezione n.11).


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I

i1

i2

i3 v3

v2

v1

j (t )

R

L II

Fig.2 – (a) Circuito RL parallelo.

v2 i2

i3

i1) e(t )

II

R v1

v3

L

III

Fig. 2 – (b) Circuito RL serie.

Il Sistema Globale per il circuito in Fig 2-(a), essendoci due maglie ed avendo escluso il nodo II, risulta essere:

i1 - i2 - i3 = 0 v - v = 0  1 2 v2 - v3 = 0  i1 = j (t )  v2 = Ri2  di3 v3 = L dt 

(8)

La sua equazione di stato risulterà essere: Corso di Introduzione ai Circuiti – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2009/10

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L

di3 = - Ri3 + R j (t ) dt

t>t0.

(9)

L’equazione (9) ha i termini di grandezza fisica omogenea ad una tensione. Il Sistema Globale per il circuito in Fig.2- (b), essendoci una sola maglia ed avendo escluso il nodo III, risulta essere:

i1 - i2 = 0 i - i = 0 2 3 v1 - v2 - v3 = 0  v1 = e(t )  v2 = Ri2  di3 v3 = L dt 

(10)

La sua equazione di stato:

L

di3 = - Ri3 + e(t ) dt

t>t0.

(11)

Osserviamo che anche in questo caso abbiamo una equivalenza tra l’equazione (9) e l’equazione (11) se poniamo j = e R ! 3.3 Configurazioni critiche Perché non abbiamo considerato circuiti del tipo rappresentati rispettivamente in Fig. 1 (c) e 2 (c)? Cosa c’è che non va in questi sistemi? Se determiniamo le equazioni di stato dei due circuiti, operando analogamente a quanto fatto per i circuiti (a) e (b) otteniamo per quello di Fig. 1 (c)

C

dv3 = j (t ) dt

t>t0,

(12)

t>t0.

(13)

e per quello di Fig. 2 (c)

L

di3 = e(t ) dt

Osserviamo che le equazioni (12) e (13) sono di tipo particolare: mancano del termine in cui compare la resistenza. Le equazioni ottenute si potrebbero ottenere Corso di Introduzione ai Circuiti – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2009/10

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anche dai circuiti rispettivamente di Fig.1 - (d) e Fig. 2 - (d). Queste equazioni possono essere comunque risolte e daranno delle soluzioni indipendenti dalla presenza delle resistenze. Il motivo è che nel primo caso abbiamo un generatore di corrente in serie all’elemento dinamico condensatore, nel secondo caso abbiamo il generatore di tensione in parallelo all’elemento dinamico induttore. v2

i2

I

i1 j (t )

i3

R v1

II

v3

C

III

Fig. 1 – (c) Circuito RC con resistenza serie e generatore di corrente. I

i1 j (t )

i2 v1

v2

C

II

Fig.1 – (d) Circuito capacitivo ideale privo di resistenza. Sottolineamo che l’assenza di una resistenza nel circuito considerato (Fig. 1 (d) e Fig. 2 (d)) rende il circuito considerato “eccessivamente idealizzato”. Infatti in questo caso non avremmo tenuto conto, nel nostro modello di circuito, della presenza, nel circuito reale, di effetti resistivi, nei generatori e nel condensatore o induttore. Nel nostro modello matematico dei circuiti possiamo trascurare la presenza degli effetti resistivi dei bipoli (mai completamente trascurabili) solo rispetto a resistenze opportunamente inserite nel nostro circuito. Per sintetizzare possiamo dire che è lecito trascurare la resistenza se al generatore di tensione e quindi considerarlo ideale se nel nostro modello – circuito utilizziamo un resistenza in serie al generatore, viceversa trascuriamo la resistenza del generatore di corrente se consideriamo in parallelo al generatore una opportuna resistenza. Corso di Introduzione ai Circuiti – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2009/10

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I

i1 e(t )

i2

i3 v3

v2 L

v1

II

Fig.2 – (c) Circuito RL con resistenza parallela e generatore di tensione. I

i1 e(t )

i2 v1

v2

L

II

Fig. 2 – (d) Circuito induttivo ideale privo di resistenza.

In conclusione la presenza di un resistore nei circuiti visti sino ad ora è fondamentale. Questo fatto lo vedremo meglio nella Lezione n.11 quando useremo questi circuiti come circuiti di carica di condensatori e induttori. Ai casi di Fig. 1 (d) e Fig. 2 (d) dobbiamo aggiungere altri che, in assenza di almeno una resistenza, possiamo incorrere perfino in sistemi di equazioni che danno luogo ad un problema mal posto e quindi ad una criticità del modello che utilizzano generatori ideali. Osserviamo, ad esempio, il circuito RC serie di Fig. 1 (e): avremmo che la tensione sul condensatore, che, come vedremo nella prossima Lezione, è la variabile di stato, uguaglierebbe in ogni istante la tensione sul generatore ideale di tensione. Questo fatto darebbe luogo ad un problema per il quale non si può scrivere l’equazione di stato nella forma che abbiamo conosciuto. In questo caso, grazie all’assenza di resistenze, le eventuali discontinuità della funzione e(t ) del generatore ideale di tensione darebbero luogo a discontinuità della tensione del condensatore. Ma questa, essendo variabile di stato, non possiamo ammettere che sia discontinua (vedi Lezione n.7). Lo stesso discorso vale per il circuito di Fig. 2 (e). Quanto detto lo possiamo generalizzare: un circuito in cui vi sono generatori di tensione ideali in parallelo a condensatori o generatori di corrente in serie ad induttori Corso di Introduzione ai Circuiti – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2009/10

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danno luogo ad un problema mal posto. In questi circuiti “troppo” idealizzati abbiamo “esagerato” nel trascurare l’esistenza di effetti resistivi interni ai generatori. I

i1

i2

e(t )

v1

v2

C

II

Fig.1 – (e) Circuito degenere. I

i2 i1 j (t )

v1

v2

L

II

Fig.2 – (e) Circuito degenere.

3.4 RC con due resistenze Fino ad ora abbiamo visto circuiti del I ordine semplicissimi. Proviamo a complicare un pò le cose inserendo una resistenza nel circuito serie RC di Fig.1-(a) ottenendo il circuito di Fig. 3. Consideriamo il circuito di Fig.3. E’ facile verificare che, essendoci solo due maglie ed escludendo il nodo III, in questo caso il sistema globale risulta:


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i1 − i2 = 0 i - i - i = 0 2 3 4 v1 - v2 - v3 = 0  v3 - v4 = 0 v1 = e(t )  v2 = R1i2 v4 = R2 i4  i = C dv3  3 dt

(14)

v2 i2

I

i1

II

i4

i3 R1

e(t

v1

C

v3

v4 R2

III

Fig.3 – Esempio di circuito del I ordine. Nel sistema (14) sostituiamo le relazioni caratteristiche nelle leggi di Kirchhoff:

i1 − i2 = 0  i2 - C dv3 - i4 = 0 dt  e(t ) - R1i2 - v3 = 0  v3 - R2 i4 = 0

(15)

A noi interessa trovare una sola equazione nella incognita la variabile di stato v3 (t ) . Allora eliminiamo dal sistema (15) le incognite i1 (t ) , i2 (t ) e i4 (t ) . Cominciamo da i1 (t ) :


11


dv3  i2 - C dt - i4 = 0  e(t ) - R1i2 - v3 = 0 v - R i = 0  3 24 

(16)

Procediamo con i2 (t ) :

dv3  - R1i4 - v3 = 0 e(t ) - R1C dt  v3 - R2 i4 = 0

(17)

Eliminiamo infine i4 (t ) e mettiamo l’equazione sotto forma di equazione di stato

C

dv3 1 1 = v3 + e(t ) dt Req R1

t>t0,

(18)

dove Req = R1 R2 (R1 + R2 ) è la “resistenza equivalente” che dobbiamo considerare al posto della semplice resistenza R del caso di Fig.1-(a). Questo fatto ci sarà chiaro in seguito quando studieremo la resistenza equivalente serie e la resistenza equivalente parallelo (paragrafo 2 della Lezione n. 10).

3.5 RL con due resistenze Affrontiamo lo studio del circuito duale a quello di Fig. 3 con un induttore. Consideriamo il circuito di Fig. 4. ottenuto inserendo una resistenza nel circuito di Fig.2-(a).

v4 i4

I

i1

II

i2

i3 R2

j (t )

v2

v1

v3

R1 III

Fig.4 – Esempio di circuito del I ordine. Corso di Introduzione ai Circuiti – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2009/10

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Anche in questo caso, essendoci solo due maglie ed escludendo il nodo III, il sistema globale risulta:

i1 − i2 − i3 = 0 i - i = 0 3 4 v2 - v3 - v4 = 0  v1 - v2 = 0 i1 = j (t )  v2 = R1i2 v4 = R2 i4  v = L di3  3 dt

(19)

Nel sistema (19) sostituiamo le relazioni caratteristiche nelle leggi di Kirchhoff:

 j (t ) − i2 − i3 = 0 i - i = 0  3 4  di3  Ri2 - L dt - Ri4 = 0  v1 - R2 i2 = 0

(20)

A noi interessa trovare una sola equazione nella incognita la variabile di stato i3 (t ) . Allora eliminiamo dal sistema (20) le incognite v1 (t ) , i2 (t ) e i4 (t ) . Cominciamo da v1 (t ) :  i 2 = j (t ) − i3  i3 - i4 = 0  di  R1 j (t ) − R1i3 - L 3 - R2 i4 = 0 dt 

(21)

Procediamo con i2 (t ) : i3 - i4 = 0  di3   R1i3 + L dt + R2 i4 − R1 j (t ) = 0 


(22)

13


Eliminiamo infine i4 (t ) e mettiamo l’equazione sotto forma di equazione di stato

L

di3 = - Req i3 + R1 j (t ) dt

t>t0,

(23)

dove Req = R1 + R2 è la “resistenza equivalente” che dobbiamo considerare al posto della semplice resistenza R del caso di Fig.2-(a). Questo fatto ci sarà chiaro in seguito quando studieremo la resistenza equivalente serie e la resistenza equivalente parallelo (paragrafo 2 della Lezione n. 10). Si osservi la dualità tra la (18) e la (23).

3.6 RC con tre resistenze Consideriamo il circuito di Fig.5. Il circuito è stato ottenuto inserendo in serie al condensatore del circuito di Fig. 3 un’altra resistenza. E’ facile verificare che, essendoci ancora solo due maglie ed escludendo il nodo IV, in questo caso il sistema globale risulta:

i1 − i2 = 0 i - i - i = 0 2 3 5 i3 − iC = 0  v1 - v2 - v3 - vC = 0 v3 + vC - v4 = 0  (24) v1 = e(t )  v2 = R1i2 v3 = R2 i3  i = C dvC C dt  v5 = R3i5 Nel sistema (24) sostituiamo le relazioni caratteristiche nelle leggi di Kirchhoff:

i1 − i2 = 0 i - i - i = 0 2 3 5  dvC =0 i3 - C dt  e(t ) - R1i2 - R2 i3 - vC = 0   R2 i3 + vC - R3 i5 = 0 Corso di Introduzione ai Circuiti – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2009/10

(25)

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v2 i2

I

v3

R1

i1 e(t )

II

v1

III

R2

i5

v5

iC C

vC

IV

Fig.5 – Esempio di circuito del I ordine con tre resistenze. A noi interessa trovare una sola equazione nella incognita la variabile di stato vC (t ) . Allora eliminiamo dal sistema (25) le incognite i1 (t ) , i2 (t ) , i3 (t ) e i5 (t ) . Cominciamo da i1 (t ) : i2 - i3 - i5 = 0  i3 - C dvC = 0 dt  e(t ) - R1i2 - R2 i3 - vC = 0   R2 i3 + vC - R3 i5 = 0

(26)

Procediamo con i2 (t ) : dvC  i C =0 3  dt  e(t ) - R1i3 - R1i5 - R2 i3 - vC = 0 R i + v - R i = 0 C 3 5  23 

(27)

Eliminiamo ora i3 (t ) :


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dvC  e(t ) - (R1 + R2 )C dt - R1i5 - vC = 0   R C dvC + v - R i = 0 C 3 5  2 dt

(28)

e infine, eliminando i5(t) mettiamo l’equazione sotto forma di equazione di stato:

C

dvC R1 + R3 R3 = vC + e(t ) dt R1 R3 + R1 R2 + R2 R3 R1 R3 + R1 R2 + R2 R3

t>t0.

(29)

Si osservi come ogni termine dell’equazione (29) sia omogeneo ad una corrente.


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