Nombre: TEMA NO. 1 (30%) ÁNGULOS La figura mosra!a es u"a semi#ir#u"fere"#ia. Si B es u" $u"o a"ge"e a ea & seagesimaes. AD = DB = BE = EC ' #a#ue a me!i!a !e R BCA e" gra!os seagesimaes.
Sou#i":
� Del triángulo isósceles BOC se tiene :
90º
270º
b
=
+
a
90º
-
+
� Del triángulo isósceles AOB se tiene :
+
+
( 180º - b )
=
180º
DC &
EF
b = 180º
a
a
+
a
+ =
2a
+
( 90º + a )
3a
=
90º
\
a
b = 180º 180º
a = 30º
TEMA NO. * (30%) LONG+TU, ,E LA -+-UN/EEN-+A Si ABCD es u" #ua!ra!o' F es $u"o me!io !e a!o o"giu! !e a #ir#u"fere"#ia.
=
4cm ' #a#ue a
Sou#i": G
A
B
b
a E
2 x
a b D x
C
F
Nótese que los triángulos ADF y EFG son semejantes, por lo cual :
A
F a
a
b D
� AF
AF
b F
=
( 2x)
2
=
( 2 x )
2
=
5 x
=
5x
+
( x)
2
+
( x)
2
E
G �
2
AD AF 2 x 5 x 2 5
x
� Circunferencia
=
2p R
Circunferencia
=
2 5p cm.
\
=
=
=
=
EF FG 4 2 x 2
x 5 cm.
�
x = RCircunferencia
TEMA NO. 3 (30%) SEGMENTO -+-ULA Si #o" os $u"os A, B y C se 6a forma!o u" ri7"guo e8ui7ero' uego se o 6a i"s#rio e" u" #9r#uo !e #e"ro O #o" OA = 2cm ' #a#ue e 7rea !e segme"o #ir#uar.
Sou#i":
!ara la solución "e este ejercicio , emplearemos la propie"a" "e "a relación entre un ángulo central y uno inscrito ", entonces :
� Da"o que el triángulo ABC es un triángulo equiláero , se tiene : � Emplean"o la pripie"a" cita"a al inici o, se tiene :
b
=
b
� Del triángulo AOC , se tiene :
2w
+
=
a = 60º
2a 120º
b = 180º
2w = 180º
-
120º
w = 30º A#ector circular
A#ector circular
=
1 2
b r 2
A$riángulo
=
1� 2p � 2 ( 2) � � 2 �3 �
=
�2p � 2� � �3 �
=
%� &
=
A$riángulo
=
2
( 2 3 ) ( 1) 2 3
4p 3
sen ( w ) 1 2
&
=
=
OA & 2
& =1
� A#egmento circular
=
=
\
=
A#egmento circular
=
A#ector circular 4p 3 4p
-
-
3
-
A$riángulo
3 3 3
cm 2
% cos ( w ) 3 2
%
=
=
=
2
OA % 4 2 3
TEMA NO. (10%) OL;GONOS +NS-+TOS -aifi8ue a siguie"e $ro$osi#i" #omo 4er!a!era o fasa.
Sou#i": b
b
b
b
r
r
a b
a
a
r
b
r
b
a
a
b
a
r
r
b b
b
b
!ara ayu"arnos a "eterminar la 'ali"e( "e la proposición utili(amos el siguiente proce"imiento : 1) $ra(amos segmentos "e recta entre los ')rtices opuestos "el &exágono. 2 ) Determinamos la me"i"a "el ángulo a forma"o por la intersección "e "ic&as rectas. 6a
=
360�� a = 60�
3 ) #e pue"e afirmar que ca"a uno "e los triángulos forma"os en el *nterior "el &exágono es isósceles. 4 ) Determinamos la me"i"a "el ángulo b . 2b 2b
+
a = 180�
=
180�- 60� �
b = 60 �
4 ) A&ora se pue"e afirmar que ca"a uno "e los triángulos forma"os en el interior "el &exágono es
equilátero.
� a longitu" "e ca"a uno "e sus l a"os es la misma. \
