Segmento de Recta

IES MARIA AUXILIADORA - PUNO

“EL ÉXITO ES TANGIBLE COMO EL SOL Y LAS ESTRELLAS; TU PUEDES ALCANZARLO” FJAC

IES “MARIA AUXILIADORA” CUAR CUARTO AÑO AÑO DE SECUNDARIA

Prof. Fredy Junior Apaza Cruz


c! $i los puntos etremos etremos de

GEOMET Para

dos

y , entonc entonces, es, su punto punto medio tiene por coordenada(

puntos AB





cualesquiera A y B, el segmento es el conjunto de los puntos A y B y de todos los puntos que están entre A y B. Los puntos A y B se denominan etremos. Segmentos Segmentos consecutivo consecutivos: s: !os o más segm segmen ento toss se llam llaman an conse consecu cuti ti"o "os, s, cuando cada uno tiene con el siguiente un etr etrem emo o com# com#n. n. Los Los segm segmen ento toss consecuti"os pueden pertenecer a una misma recta o a una poligonal. Congruencia de segmentos: $e dice que dos segmen segmentos tos son congru congruent entes es cuando tienen la misma longitud.

 m

$e dice dice que que el punto punto %&' de punto medio. $i( A&)&B a A





-

-

!istancia entre A y B( AB



-





OPERAC&ONES CON SEGMENTOS A! Suma de Segmen Segmentos: tos: B

A

Punto Medio o Punto Bisector de un segmento: AB

, es deci decir( r(

B = x2

A = x 1

SEGMENTO DE RECTA Defnición:

tienen

x1  x 2

por por coor coorde dena nada dass



AB

!

C

AB + BC + CD = AD

es un B! Resta de Segmentos: Segmentos:

a

B

A

!

C

B

& A& )&B ) a

AB = AD − BD

PROB%EMAS RES'E%TOS Oservaciones: a! *odo *odo segmento tiene eactamente un punto medio. ! $i los puntos etremos de un

()*

5n una una rect recta a se encu encuen entr tran an los los

puntos puntos consecut consecuti"os i"os A, B, C donde donde

P+

segmento

,

tienen

( , y )

por (  -, y- )

coordenadas y , entonc entonces es su punto punto medio medio tiene tiene por por coordenada m/n0.  m





-

-

y n

y



-

-

Donde: / E"em#$o: $i( P)-/10 y +)2,30 4all 4allar ar la coor coorde dena nada da de su punt punto o medio. 1 3 - 2 2 m 1 n So$ución: / %uego: &) 1,20

AC

mide 6 y segmento

AB

a0 6 d0 16

BC

, 16. 4allar la medida del

. 70 -6 e0 96

c0 86

So$ución: $ea la recta( A

B

C 6

16 AB = AC − BC

AB = "! − 1!

AB = #!

C$ave +C,



c! $i los puntos etremos etremos de

GEOMET Para

dos

y , entonc entonces, es, su punto punto medio tiene por coordenada(

puntos AB





cualesquiera A y B, el segmento es el conjunto de los puntos A y B y de todos los puntos que están entre A y B. Los puntos A y B se denominan etremos. Segmentos Segmentos consecutivo consecutivos: s: !os o más segm segmen ento toss se llam llaman an conse consecu cuti ti"o "os, s, cuando cada uno tiene con el siguiente un etr etrem emo o com# com#n. n. Los Los segm segmen ento toss consecuti"os pueden pertenecer a una misma recta o a una poligonal. Congruencia de segmentos: $e dice que dos segmen segmentos tos son congru congruent entes es cuando tienen la misma longitud.

 m

$e dice dice que que el punto punto %&' de punto medio. $i( A&)&B a A





-

-

!istancia entre A y B( AB



-



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OPERAC&ONES CON SEGMENTOS A! Suma de Segmen Segmentos: tos: B

A

Punto Medio o Punto Bisector de un segmento: AB

, es deci decir( r(

B = x2

A = x 1

SEGMENTO DE RECTA Defnición:

tienen

x1  x 2

por por coor coorde dena nada dass



AB

!

C

AB + BC + CD = AD

es un B! Resta de Segmentos: Segmentos:

a

B

A

!

C

B

& A& )&B ) a

AB = AD − BD

PROB%EMAS RES'E%TOS Oservaciones: a! *odo *odo segmento tiene eactamente un punto medio. ! $i los puntos etremos de un

()*

5n una una rect recta a se encu encuen entr tran an los los

puntos puntos consecut consecuti"os i"os A, B, C donde donde

P+

segmento

,

tienen

( , y )

por (  -, y- )

coordenadas y , entonc entonces es su punto punto medio medio tiene tiene por por coordenada m/n0.  m

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-

-

y n

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-

-

Donde: / E"em#$o: $i( P)-/10 y +)2,30 4all 4allar ar la coor coorde dena nada da de su punt punto o medio. 1 3 - 2 2 m 1 n So$ución: / %uego: &) 1,20

AC

mide 6 y segmento

AB

a0 6 d0 16

BC

, 16. 4allar la medida del

. 70 -6 e0 96

c0 86

So$ución: $ea la recta( A

B

C 6

16 AB = AC − BC

AB = "! − 1!

AB = #!

C$ave +C,


IES MARIA AUXILIADORA - PUNO (-* Los Los punt puntos os coli coline neal ales es y consecuti"os A, B, C y !/ son tales que( A!

) 3,

B!

)8 y

a0 2 d0 ;

AC

CD

) -. 4allar BC

70 : e0 9

c0 3

So$ución: A

− A B = 2

C$ave +B, (/* Los puntos colineales y consecuti"os son tales que( AB = BC ) 9/ BC + C! = :/ AB + C! = -6

C 8

B -

!

/ >allar AB ? BC

= C! a0 e0 2

3 C! A!

CD − AB = 2! − x − 1' + x

70 8

c0 1

So$ución: C

B

A

C! 2.......... ..0

c

7

a

AC

C! 3 -

!

01! a = 7 ) 9 ........0 01! 7 = c ) : .......-0 .......-0 01! a = c ) -6 ........80 $umando( 0 = -0 = 80( -a=7=c0 ) 9-

BC 8 2

a=7=c0 ) -2⇒

BC B! C!......-0

BC

C$ave +B, (.* 5n una recta se encuentran los puntos A, B, C y ! consecuti"os tal AC

4allar

a );

:

:

) = (

que

d0 9

) 3 y

B!

C$ave +C,

) -6.

(2* P, + y < son 8 puntos consecuti"os de una una recta recta P+ ) -+< -+< =  y P< ) 8. 4allar +<.

C! AB

a0  d0 1

70 e0 9

c0 8

So$ución: B 3

a0 ; d0 -

70 6 e0 8

c0 

So$ución:

 A

* = 11

Luego( y Por tanto( a ? 7 = c ) ; ? 2 =  ) 1 1

C

!

a P

7 +

<

-6 AB = AC − BC

AB = 1' − x $$$$$$$%1& CD

= BD − BC

CD = 2! − x $$$$$$$%2&

!el enunciado tenemos( a ) -7 = .......0 a = 7 ) 8 .......-0
C$ave +B,

CD − AB = 2! − x − %1' − x&


IES MARIA AUXILIADORA - PUNO (3* $o7r $o7re e una una l@ne l@nea a rect recta a se u7ic u7ican an ordenadamente los puntos A, B, C y !, si AB ) 8BC ) 1C! y A!);m. BC

Calcular la longitud de a0 1 d0 :

c0 2

So$ución: a

7

A

c

B

∴ AB = 0 = 2

!

C

C$ave: +B, (5* $o7r $o7re e una una l@ne l@nea a rect recta a se u7ic u7ican an ordenadamente los puntos A, B, C, ! y 5/ si AC = B! = C5 C5 ) 8- y ade además(

!el enunciado( 0 a ) 87 ) 1c )  ...... 0 0 a = 7 =c ) ; ..........-0 !e 0

7=c); ......10

.

70 9 e0 3

-9 = 7=c)11

B! =

8A5 9

. Calcular la longitud de

a) 

a0 6 d0 16

8

7) 

1

- #

+

- "

a

= 1,

A

 ) Por tanto( BC = 7 =

 8

=

c

7 B

C

d !

5

AC + BD + CE = #2

8

0 + ) + ) + * + * + / = #2 0 + 2 ) + 2* + / = #2

C$ave: +A, (4* $o7r $o7re e una una l@ne l@nea a rect recta a se u7ican los puntos consecuti"os( A, B, C, ! y 5. $i AC = B! = C5 ) 11, A5 ) -9 y

!5 ) -AB. Calcular la longitud de 70 e0 9

c0 8

AB

.

...... 0

Además( 7+ c =

8 9

( a + 7 + c + d)

97 + 9c = 8a + 87 + 8c + 8d 2 ) + 2* = #0 + #/$$$$$$%2&

So$ución: a A

c0 86

!el !ato(

∴ BC = "

a0  d0 1

.

So$ución:

c)
70 -6 e0 96

AE

c

7 B

C

d !

0 + / = '$$$$$$$$%#&

5

!el !ato( 0 a = 7 = 7 = c = c = d ) 11 a = -7 =-c = d ) 11 ....... 0 AE = 0 + ) + * + / = 2.$$$$$

-0 DE = 2AB ⇒ / = 20$$$$$

80

$umando 80 y 10(


IES MARIA AUXILIADORA - PUNO 0 + )+ * + / = 2!

- 

AE = 2!

C$ave: +B, (6* A, C, ! y 5 son puntos colineales y consecuti"os tal que ! sea punto medio

+

- '

= ".

 ) 23 Luego( BC = ) =

- '

1( '

=

'

∴ BC = 21

CE

de

y AC =A5 ) 96. 4allar A!.

a0 -9 d0 -6

70 -.9 e0 .a.

C$ave: +D, PR7CT&CA DE C%ASE

c0 96 ()*

AC = B! ) 16 cm . 4allar ( P+ x

So$ución: a

7

7

C

A

!

a

A

P

a

b

C

B

Q

b D

5

a0 9 d0 -6

!el enunciado( AC + AE = .!

70 6 e0 -9

c0 9

(-* AB ) 26 cm / BC ) 16 cm A& ) &C . Calcular %' x

C

0 + 0 + 2 ) = .!

N

B

M

A

2%0 + )& = .!

a0 96 d0 9

0 + ) = 2.

AD = 0 + ) = 2.

C$ave: +A,

70 ; e0 .a.

c0 -8

So$ución: a

x A

a0 1 d0 :

B

C

B

C

70 6 e0 3

7

A

a=

 :

∧

7=

+<

+$

(/* = 2 mts. Calcular ( %'

) -6 mts

)

x P

:a = 37 = ........ 0

!e 0(

D

c0 -

P<

!el enunciado, tenemos(

0 + ) = ".$$$$$$$$$$$$$%2&

c0 -6

(.* A! ) -1 cm , AC ) 9 cm / B! ) : cm. 4allar % '

)(* A, B y C son puntos colineales y consecuti"os, tales que :AB )3BC y AC ) 19, >allar BC.

a0 -9 d0 -

70 86 e0 9

a0 1 d0 6

Q

70  e0 ;

R

S

c0 8

 3

PC P! PB (2* : ) - = 9 -A! = 9AB ) 1 mts. Calcular %'


IES MARIA AUXILIADORA - PUNO x

x

a0 d0 3

A&

D<

E

= EA< ) -E

AD

a0  d0 1

c0 8

x

a0 8 d0 6

C

(5* AC ) 8 mts / AB . AC ) Calcular %' x B

c0 3

a0 :

70 1

M

AC

C

c0 2

70 8e0 -1

. 4allar &B/ si AB ? c0 3

a0 9 d0 ;

70 2 e0 :

D

d0 ;

E AP = - E AB =  E A+ / AP

c0 3

70  e0 1

c0 -

15. S3 :343 567 894:67 A> B> C  D> *65430537  *6473*9:<67> :05 93 AB@"  AB$BD @ AC$CD$ C05*950? “CD”$

x B

)-* Los puntos consecuti"os A, &, B y C pertenecen a la misma recta. & es el

a0 6 d0 8

(6* A& ) &! / AB = C! ) 6 mts B&  &C ) - mts. calcular %' A

c0 :

14. S304 567 894:67 *65430537  *6473*9:<67= A> B> C  D$ C05*950? “AD” 7 = AC @  ; BD @ ,  BC @ "$

C

70 9 e0 ,9

D

).* 5n una recta se tienen los puntos consecuti"os A, B, C y ! cumpliendo la relaciGn( A! ? B! ? -C! ) . 4allar A!, si AB ) 8 y AC ) 9.

c0 3 - AB- − BC - 0

a0 d0 8

70  e0 6,3

a0 3 d0 2

D

70 2 e0 :

A

C

punto medio de BC ) 8-.

) -E9. 4allar %' B

B

a0 ; d0 -

BC  CD

A

/

B! = -B! − 

R

O

C! ) AB = BC / A! ) 6

(4* mts

-

x

A

70 e0 9

Q

c0 8

AC + C!

))* Calcular ( %'

. 4allar %'

M

70 e0 9

AB =

) 2 mts

x A

B

a0  d0 1

c0 1

) 1 mts ,

P

A

D

70 : e0 2

(3*

A&

C

B

A

P

e0 -

- -

0& 2

)&

*& "

/& (

3& '

) - mts

)(* B+

) 8 mts. Calcular ( %'

16. S6)?3 940 ?3*:0 73 :3434 567 894:67 *6473*9:<67 A> B  C /3 :05 043?0 93 = ACAB@1' ; 7 “M” 37 894:6 3/6 /3

BC

$ C05*950? “AM”$



0& 12

)& ,

/& >.

3& (

02. E4 940 ?3*:0 73 :604 567 894:67 *6473*9:<67 A> B> C> D> E> :05 93 ACBE @ 2! $ 0550? BC> 7 AE@BC12$

*& '

17. S6)?3 940 ?3*:0 73 :604 567 894:67 *6473*9:<67 A> B> C  D :05 93 “M” 37 894:6 3/6 /3 “N” 37 894:6 3/6 /3 @(  BD @ '$ 0& 

)& ,

/& 1!

3& .

C!

AB

$ C05*950? “MN” 7 AC

/& "

3& .

*& #>.

C05*950? 50 /7:04*0 /3 “M” 05 894:6 3/6 /3 $ )& .

/& '

3& 1!

AB

S34/6 CD @ #AB  AD @ #BC @ (!$ 0550? “AC”$ )& #!

/& 1!

3& 2!

*& 1.

PROBLEMAS PROPUESTOS 01. S3 :343 567 894:67 *65430537 A> B> C  D$ AC@2BD$ C05*950? “BC”$ S=

2AB  ' @ #BC  "CD

0& '

)& 12

/& 1!

3& 11

03. S6)?3 940 ?3*:0 73 /04 567 894:67 *6473*9:<67 A> BC

$

0& µ

)& 1"µ

/& #>.µ

3& N$A$

*& 2'µ

04. S6)?3 940 ?3*:0 73 :604 567 894:67 *6473*9:<67 A> B> C  D> *9854/673 93 AC  BD @ 1!µ  BC@#µ$ 0550? AD$ 0& (µ

)& µ

/& ,µ

3& N$A$

*& 'µ

05. E4 940 ?3*:0 73 34*934:?0 567 894:67 *6473*9:<67 A> B> C> D  *98534 50 7934:3 ?350*4= "AB - BD - 2CD @ " µ ; AB @ # µ ; AC @ . µ 0550? AD= 0& .µ

)& (µ

/& 'µ

3& N$0$

*& µ

*& (

20. S6)?3 940 ?3*:0 73 9)*04 567 894:67 *6473*9:<67 A> B> C  D$

0& ".

3& '

0550? AM> 7= ABAC@1"µ$

*& 12

19. S6)?3 940 ?3*:0 73 /04 :?37 894:67 *6473*9:<67 M> A B , :05 93 AB @ 2  MB $ MA @ 2"$

0& "

/& .

*& "

B> C$ L936 73 :60 35 894:6 3/6 “M” /3

C05*950? “BC”$ )& #

)& #



18. S6)?3 940 ?3*:0 73 :604 567 894:67 *6473*9:<67 A> B> C>  D /3 043?0 93 AC @ '> BD @   AD @ "BC$

0& 2>.

0& (

06. S6)?3 940 5H430 ?3*:0 73 0?*04 567 894:67 *6473*9:<67 A> B> C  D /3 6/6 93 AB> BC  CD 37:4 34 8?6?374 0?::*0$ S AD @ 2  CD @ AB  ($ 0550? AB 0& 2

)& "

/& '

3& 1!

*& (

07. T?37 7334:67 :3434 797 564:9/37 8?686?*640537 0 567 43?67 .> '  12$ S 35 06? :343 .( 94/0/37 7 93 35 346?> 34:64*37 50 564:9/ /35 7334:6 93 46 37 06? 4 346? 37= 0& 2!

)& #2

/& 2

3& '(

*& ("

*& ,


IES MARIA AUXILIADORA - PUNO 08. S3 :3434 567 7334:67 *6473*9:<67 *65430537 AB , BC y C!

$ E5 8?3?6 37 35 *9/?9853 /35 AC

7394/6  35 :3?*3?6 37 35 /6)53 /3 $ S AD @ #!$ 0550? 50 /7:04*0 34:?3 567 894:67 3/67 /3

AB y C!

13. S6)?3 940 ?3*:0 73 /04 567 894:67 *6473*9:<67 A> B  C$ 0550? AM2 K BM2$ S0)34/6 93 AB x AC @ 1(  93 M 37 894:6 3/6 /3 BC$ 0& '

)& 1!

/& 1"

3& 1(

*& 12

14. S6)?3 940 ?3*:0 73 :604 567 894:67 A> B> C> D$

$

C05*950? AD> 7= BC @ ( 0& '

)& 12

/& 1(

3& 1'

AB

*& 1.

C!

09. E4 940 ?3*:0 73 :604 567 894:67 *65430537 O> A> B$

DA + DB = 8m. S

=

8 -

0& #(

)& #'

/& .(

3& ("

/

AB BC

=

A! C!

*& "2

C05*950? 50 /7:04*0 /3 “O” 05 894:6 3/6 /3 AB$ 0& .

)& (

/& (>.

3& >.

15. E4 940 ?3*:0 73 :604 567 894:67 *6473*9:<67 A> B> C> D> 0550? AD> SH=

*& .>.

AB -

=

BC 8

=

C! 1

 AC @ "  CD

10. E4 940 ?3*:0 73 :3434 567 894:67 *6473*9:<67 A> B> C> D$ S AB @ 2CD; BC 905 0 .CD  BC @ #$ C05*950?

AB

$

0& "

)& 1(

/& #(

3& ".

*& 2

TAREA DOMICILIARIA 0& 1>2

)& (

/& 1>"

3& 1>(

*& 2>'

01. S3 :3434 567 894:67 *6473*9:<67= “M” > “A”> “O”  “B”> 734/6 “O” 894:6 3/6 /3 AB$ C05*950?

11. S6)?3 940 ?3*:0 73 :604 567 894:67 *6473*9:<67 A> B  D /3 6/6 93 AC @ CD$

AB1

OM> 70)34/6 93

 MA $ MB @ '1

C05*950? BC> S= AB @ (  BD @ 1" 0& 1

)& 2

/& .

3& "

*& #

12. E4 940 ?3*:0 73 :3434 567 894:67 *6473*9:<67 A> B> AB

=

BC -

=

C!

C  D /3 6/6 93= 2"$ C05*950? AB$ 0& 2

)& "

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3& ,

*& (

02. S3 :343 567 894:67 *6473*9:<67 “P”> “+”> “R”  “S” /3 043?0 93= PR  +S @ 2!> 7 +R @ (> 0553 PS

$ S AD @

*& (

0& 1!

)& 12

/& 1(

3& 2!

*& 1"

03. S3 :343 567 894:67 *6473*9:<67 A> B> C  D; 734/6 B 894:6 3/6 /3 AC$ C05*950? AB> 7=


IES MARIA AUXILIADORA - PUNO B! 1

=

AC

y A! = --m

8

0& #

)& "

*& .

/& (

3& 12

Defnición: 5s la reuniGn de dos rayos que tienen un punto etremo com#n, es decir tienen el mismo origen. Los dos rayos son los lados del ángulo y el punto etremo com#n se llama HI<*C5 del ángulo. A

04. S6)?3 940 ?3*:0 73 9)*04 567 894:67 *6473*9:<67 A> B> C> D>  E 0550? BE> 7=

θ

AB BC C! !5 = = = , A5 = 9 8 9 :

0& (

)& ,

*& 2"

/& #(

3& ".

)& (

/& '

3& ,

*& 

1

06. S6)?3 940 ?3*:0 XX 73 /04 567 894:67 O> A> C> B /3 :05 043?0 93 OA @ (*> OB @ 1.*  AC CB2> 73 8/3 /3:3?40? 50 564:9/ OC$ 0& '

)& ,

/& 

3& .

)& 1"

/& 1(

3& 1

C05*950? AE 7 AC @ (

/& 2.

3& 1'

DA

∪ 1. otaciGn( ∠ ADB ) 9. &edida( m ∠ ADB ) θ

DB

7ngu$os congruentes* ≡0

!os o más ángulos son congruentes si tienen igual medida. A

P

D

∝ B

D

+

∠ADB ≅ ∠PD+

*& 1.

AB @ BC2 @ CD# @ DE"$

)& 21

. Lados( y -. HKrtice( %D' 8. $im7olog@a( ∠ ADB, ADB/ ∠ ADB

∝

08. S6)?3 940 ?3*:0 73 :604 567 894:67 *6473*9:<67 A> B> C> D  E /3 :05 043?0 93 73 *9850=

0& 2!

DB

*& 1!

07. S6)?3 940 ?3*:0 73 /04 567 894:67 A>B> C> D> E  F *6473*9:<034:3 /3 6/6 93 BE @ .'$ AF  AC  BD  CE  DF @ 2($ 0550? 35 <056? /3 AF 0& 1#*

B

E$ementos de$ 8ngu$o* DA

05. S6)?3 940 ?3*:0 73 /04 567 894:67= A> B> C> D /3 6/6 93 AC @ 12> BD @ 1.> BC @ CD2> *05*950? 35 <056? /3 AB$ 0& .

D

Bisectri9 de un 8ngu$o* La 7isectriz de un ángulo es el rayo que partiendo del "Krtice di"ide al ángulo en dos ángulos congruentes. DM

• ( es 7isectriz del ∠ ADB • m∠ADM )∠ MDB ) θ • ∠ADM )∠ MDB

*& 2"

ÁNGULOS


IES MARIA AUXILIADORA - PUNO A

θ

/* 7ngu$o Recto: 5s aquel medida es igual a ;6

ángulo cuya



θ

A

D

B

θ

C$asifcación de $os 8ngu$os* Los ángulos se clasiNcan seg#n su medida, de acuerdo a su posiciGn y seg#n sus caracter@sticas. I. SEGÚN SU MEDIDA

)* 7ngu$o Agudo: 5s aquel ángulo cuya medida es menor que ;6 pero mayor que 6.

D

θ = ;6°

2* 7ngu$o Nu$o o Pergono: 5s aquel ángulo cuya medida se considera igual a 6. A D

A

B

B

m∠ADB = 6°

θ D

B

II. SEGÚN LA POSICIÓN DE SUS LADOS 1. Ángulos adyacentes:

D°∠ θ ∠;6°

-* 7ngu$o Otuso: 5s aquel ángulo cuya medida es mayor que ;6 pero menor que 36. A

Se dice que dos ángulos son adyacentes cuando tienen el mismo vértice y un lado común tal que los lados se encuentren a otro y otro lado del lado común. A

D

α lado com#n B θ

α D

C

B

;6°∠ α ∠36°

.* 7ngu$o %$ano o recti$neo: 5s aquel ángulo cuyos lados son dos rayos opuestos/ es decir son colineales y su medida es 36.

Los ángulos: AOB y BOC son adyacentes (* dos o más ángulos serán adyacentes consecutivos cuando cada uno de ellos es adyacente con su inmediato.

. Ángulos o!uestos !o" el #$"t%ce: Son dos ángulos determinados al tra!ar dos rectas secantes.

A

θ

36 D m∠ADB = 36°

C

B

!

∠ AOB ≡ ∠ CO" m∠ AOB # m ∠ CO"



36  α0  ;6  α0 ) 2α

III. SEGÚN SUS CA&AC'E&(S'ICAS.

;6 ) 2α

1. Ángulos adyacentes co)!le)enta"%os: Se dice que dos ángulos son adyacentes com$lementarios% cuando tienen el mismo vértice y cuyos lados tienen el mismo vértice y cuyos lados no comunes &orman un ángulo recto.

A

$i a un ángulo se le resta (-* su complemento es igual a la cuarta parte de su suplemento. 4allar dic>o ángulo.

B

θ D

α = 9°

C

Los ángulos AOB com$lementarios.

y

BOC

son

adyacentes

a0 36

70 19

d0 26

e0 :9

c0 9

α + β = ;6°

. Ángulos adyacentes su!le)enta"%os: Se dice que dos ángulos son adyacentes su$lementarios% cuando tienen el mismo vértice y cuyos lados tienen el mismo vértice y cuyos lados no comunes &orman un ángulo recto.

So$ución

$ea el ángulo %α' Luego( α 

;6  α0 E1 36  α0

B

-α  ;6 ) E1 36  α0

θ C

D

A

3α  826 ) 36  α ;α ) 916 α=

P&O*LE+AS &ESUEL'OS

26°

,1. La di&erencia entre el su$lemento y el com$lemento del ángulo 'α% es igual a ) veces el ángulo 'α. allar dic+o ángulo.

a0 86

70 ;6

d0 9

e0 .a

c0 26

$i a uno de - ángulos (.* suplementarios se le disminuye 89 para agregarle al otro, este nue"o resulta ser 3 "eces mayor de lo que era el primero. 5l menor de los ángulos suplementarios mide(

So$ución

$ea el ángulo %α' Por da(

a0 96

70 19

d0 99

e0 .a.

c0 -9

0 $uplemento ) 36  α 0 Complemento ) ;6  α Planteando la ecuaciGn(

So$ución:

$ean los ángulos %α' y %θ'



Por dato α = θ )

C

B

<

36 ............................. 0

P α α

$i se agrega y disminuye 89, se tiene(

γ

θ θ

D

A

!

θ = 890) 3 α  890 θ =

89 ) 3α  -36

P+< ) 26

3α  θ )89 .............................. -0

α = γ = θ )

26 ......................... 0

Además( $umando 0 = -0

α = θ = α = γ = θ0

α = θ )

α = θ

36

=

) 36

26

3α  θ ) 89

) 36

α = θ )

-6 ........... -0

1α ) 1;9 α )

99

θ )

-9

C$ave: +D,

-6 = γ ) 26

γ )

(/*5n la Ngura( DP y D< son 7isectrices ∧

26

16 C$ave: +B,

∧

P + < = 26, B D C = O

5n la Ngura( ADC ) 16, (2* BD! ) -6,

C

B

< P

BDC ) O D

A

a0 36 d0 -6

70 16

!

B

c0 66

C

A

D

!

e0 .a.

So$ución:

a0 36

70 96

!e la gráNca(

d0 26

e0 .a.

c0 :6

So$ución:



So$ución:

!e la gráNca(

!el dato tenemos( B

C

ADC ) ADB = BDC β

α

BD! ) CD! = BDC

θ

D

A

!

ADC=BD!) ADB=BDC=CD!=BDC $e tiene, seg#n los datos( ADC ) α = β ) 16 ............... 0

BD! ) β = θ ) -6  -0

96 = 6 ) 36 = BDC

Además(

BDC )36

α = β= θ )

36 ... 80

$umando 0 y -0 y reemplazando en 80 β+β+α+θ) β=

36 ) -26

BDC ) β ) 36 C$ave: +A, (3* 5n la Ngura( ADC ) 96, BD! ) 6.

Calcular( BDC

!

a0 36

70 ;6

d0 99

e0 .a.

a0 82, 26, 31 31

70 6, 26,

c0 26, -6, :6 36

c0 16, 96,

e0 .a. Cinco ángulos situados (-* alrededor de un punto están en progresiGn aritmKtica. Calcular el mayor de los ángulos si los menores están en relaciGn de 1 es a 9.

B

D

PR7CT&CA DE C%ASE ()* *res ángulos consecuti"os, situados a un mismo lado de una recta están en progresiGn aritmKtica. Calcular los ángulos, si el menor y el mayor están en relaciGn de 8 es a :.

-26

C

C$ave: +A,

A

c0 39

a0 31

70 13

d0 16

e0 .a.

c0 ;2

5n el siguiente gráNco (.* B! es 7isectriz del ángulo CB5 y la



suma de los ángulos ABC = AB5 ) 32. Q Cuál es el "alor de los ángulos AB!O

ADC  BDC ) 16 D! → Bi se ctrizde ADC. 4allar!DB

A

C B

a0 3

70 2

d0 9

e0 6

c0 9

!

5

a0 19

70 89

d0 13

e0 26

(/*

c0 18

$a7iendo que(

$e tiene tres ángulos (3* consecuti"os ADB, BDC y CD! de tal manera que las 7isectrices de los ángulos ADB y CD! son perpendiculares y el ángulo BD! mide 36. Calcular la m ∠ ADC.

D+ → Bi se ctrizde ADB D< → Bi se ctrizde ADC y BDC = 13°

Calcular +D<

a0 66

70 96

d0 36

e0 .A

c0 :6

(4*$i los puntos A, D y B es una recta,

A

D+

+

es 7isectriz del ángulo AD& y

<

m ∠ +D 9 = m ∠ +D B :

D B

. 4allar la medida del ángulo DB.

C

a0 1

70 -1

d0 -2

e0 6

c0 - & 

(2* 5n el siguiente gráNco( A

A

!

D

D

a0 3

70 -9

d0 19

e0 26

B

c0 86

B C

(5*5n la Ngura, calcular la medida del ángulo formando por la 7isectriz del ángulo ADB y CD!.

ADC = BDC ) 66 Prof. Fredy Junior Apaza Cruz


d0 86

e0 89

C

))*!e que ángulo se de7e restar su complemento para o7tener 6.

-6

B :6

D

A

!

a0 39

70 ;6

d0 66

e0 69

-6

D

7isectriz del ángulo

D&

AD+. 7isectriz del ángulo ADP. Calcular %'

C

d0 26

e0 :6

c0 96

)-*$i el suplemento del suplemento del suplemento de la medida de un ángulo se la aRade el complemento del complemento del complemento del do7le de la medida de dic>o ángulo, se o7tiene el triple de la medida del ángulo mencionado. Calcular dic>o ángulo.

a0 26

70 19

d0 99

e0 96

c0 86

A

).*$e tiene los ángulos consecuti"os ADB, BDC y CD!. $e trazan las

  P

70 16

c0 ;9

(6*5n la Ngura si( medida del ángulo

BD) -6

a0 86

D

+

7isectrices

DP

y

D+

a0 9

70 9-

d0 91

e0 99

de los ángulos ADB y CD! respecti"amente. $i m ∠ PD+ ) :6 y m∠ BD! ) -6. 4allar la medida del ángulo ADC.

c0 98

)(*$e tienen los ángulos adyacentes D&

suplementarios ADB y BDC . $i es 7isectriz del ángulo ADB. Calcular la medida del ángulo BD&. $iendo además m∠ BDC  m ∠ ADB ) 16.

a0 26

70 -6

d0 96

e0 86

)/*!ados los ángulos consecuti"os & S+ D

y a0 16

70 -6

c0 16

,

DM

es 7isectriz del

S &D

S D

,

c0 6



DT

S+ D

, es 7isectriz del

,

DU

es

a0 66

70 36

d0 26

e0 16

c0 96

S T MD

7isectriz del . $i m∠ D+  m ∠ &D ) 26. Calcular m∠ DU( a0 -6

70 9

d0 -9

e0 .a

c0 86

)2*$a7iendo que los ángulos

superpuestos

SB AD

y

SC AD

complementarios, siendo , 7isectriz del ángulo BDC, entonces el ángulo ADM mide( 70 8:

d0 98

e0 19

a0 16

70 96

d0 -6

e0 :6

c0 36

son DM

a0 86

)5* $e tienen los ángulos consecuti"os ADB y BDC/ el primero es mayor que el segundo en 16. $e traza la 7isectriz DM del ángulo ADC. Calcular la m BDM.

c0 26

)3*!e la Ngura( 4allar %'(

- 

$o7re una l@nea se tiene )6* cinco ángulos consecuti"os, los cuales se encuentran en progresiGn aritmKtica. $i el mayor de los ángulos ecede al menor en -6. 4allar el menor de dic>os ángulos. a0 -6

70 96

d0 16

e0 :6

c0 82

4allar %'. $i( m AD! ) -(* --6/ m BD!)-86, m ADC ) -16. a0 6

70 -6

d0 16

e0 96

c0 86

PROB%EMAS PROP'ESTOS

a0 86

70 26

d0 98

e0 82

c0 19

)4* $e tiene los ángulos consecuti"os ADB BDC y CD! tal que DC es 7isectriz del ángulo BD!/ además se cumple(

5ncontrar la mitad de la ()* tercera parte del complemento del suplemento de un ángulo que mide ;2. a0 

70 -

d0 1

e0 .a.

c0 8

m ADB =m AD! ) 66. 4allar m ADC $i a un ángulo se le resta (-* su complemento es igual a la cuarta Prof. Fredy Junior Apaza Cruz


parte de su suplemento/ calcular dic>o ángulo. a0 36

70 19

d0 26

e0 .a.

c0 9

DC 7isectriz de BD5 DC 7isectriz de CD5 $i BD! ) 82. 4allar AD5 B C

!ados los ángulos (.* consecuti"os ADB, BDC y CD!, calcular la suma de ADC y BD! si el ángulo formado por las 7isectrices "de ADB y Cod es de ;6 a0 96

70 89

d0 36

e0 .a.

c0 26

La diferencia de dos (/* ángulos adyacentes es ;6. QCuál s la diferencia de los ángulos formados por sus 7isectricesO a0 16

70 96

d0 86

e0 .a.

A

B

<

P

T

 α

β

a0 96

70 16

d0 -6

e0 .a.

(3*

α

M

! 5

a0 ;2

70 :-

d0 -1

e0 .a.

c0 13

5n la Ngura ADC y BDC (4* son suplementarios. ADB ) 36. 4allar ADC. B C

c0 19

4allar %' en la Ngura, si (2* PD+ ) 66.

β

A

D

a0 66

70 6

d0 86

e0 .a.

A

c0 -6

La suma del (5* complemento de un ángulo %α' con el suplemento de un ángulo do7le es igual a 8E- del complemento de un ángulo %β' y α  β ) -1. Calcular el complemento del ángulo de %α'.

c0 86 a0 82

70 3

d0 19

e0 83

c0 -1

5n la Ngura(

DB 7isectriz de AD5 Prof. Fredy Junior Apaza Cruz


(6*

5n la Ngura AD& ) BDM

BD ) --.BDM ) O

m∠ +D 9 = m∠ +DB :

del ángulo AD& y la medida del ángulo DB.

D es 7isectriz de ADM

. 4allar

D& es 7isectriz de ADM

&

A

&

B



+ 

α α

MV

D

a0 -3

70 1

d0 ;9

e0 2;

M

c0 92

Calcular la medida de un )(* ángulo, sa7iendo que su complemento es a su suplemento como  es a 6. a0 36

70 :9

d0 ;9

e0 2;

A

B

D

a0 3

70 -9

d0 19

e0 26

c0 86

5n la Ngura la medida del ).* ángulo formado por la 7isectriz del ángulo ADB y CD!.

c0 :6

C B -6 :6 A

$e tienen tres ángulos ))* consecuti"os, ADB, BDC y CD! de tal manera que las 7isectrices de los ángulos ADB y CD! son perpendiculares y el ángulo BDd mide 36. Calcular la m A!C. a0 66

70 96

d0 36

e0 .a.

c0 :6

B

D

a0 39

70 ;6

c0 ;9

d0 66

e0 69

5n la Ngura si( m BD ) )/* -6. D 7isectriz del ángulo AD+, D& 7isectriz del ángulo ADP. Calcular %'

A

&

B

$i los puntos A, D y B )-* están en una recta, D+ es 7isectriz



 P

 D

+



a0 9

70 9-

d0 91

e0 99

c0 98

$e tienen los ángulos )2* adyacentes suplementarios ADB y BDC. $i D& es 7isectriz del ángulo ADB. Calcular la medida del ángulo BD&, siendo además m BDC  m ADB ) 16 a0 16

70 -6

d0 86

e0 89

c0 6

TAREA DOM&C&%&AR&A

$e tiene los ángulos ()* consecuti"os suplementarios ADB y BDc que se diferencian en 83. Calcular la medida del ángulo formado por la 7isectriz del ángulo ADC y el rayo DB. a0 :2

70 83

d0 ;

e0 -1

(-*

$e tiene los ángulos (.* consecuti"os ADB , BDC y CD!, siendo -ADB0 ) 8CD!0/ ADC ) ;- y BD! ) :2. 4allar la medida de BDC. a0 -1

70 2

d0 11

e0 21

c0 91

5l do7le de la medida de (/* un ángulo es igual al triple de la media de su complemento. 4allar la medida del ángulo. a0 91

70 82

d0 -:

e0 93

c0 11W

$i a la medida de un (2* ángulo se le resta dos grados mas que a la tercera parte de su complemento, resulta un cuarto del suplemento del ángulo, disminuido en un grado. QCuánto mide dic>o ánguloO

c0 -6

4allar %'



86

a0 19

70 12

d0 13

e0 83

c0 11

Alrededor de un punto D, (3* en sentido >orario, en forma consecuti"a se trazan los rayos AD, DB, DC y D!

, siendo DA ⊥ DB y DC ⊥ D!

a0 86

70 26

d0 96

e0 -9

c0 :6

. 4allar la medida del ángulo que forman las 7isectrices de ADC y BD!.



a0 89

70 19

d0 96

e0 ;6

c0 -6

$e tiene los ángulos (4* consecuti"os( ADB, BDC y CDd de tal modo que AD! ) 66 y BDC ) 26. Calcular el ángulo que forman las 7isectrices de los ángulos ADB y CD!. a0 26

70 :6

d0 ;6

e0 39

70 16

d0 86

e0 -6

c0 16

La tercera parte de la )(* mitad del suplemento de la medida de un ángulo ecede de - a los 8E9 del complemento de la medida del mismo ángulo.

c0 36

$ean los ángulos ADB y (5* BDC adyacentes, suplementarios d modo que BDC  ADB ) 11. $e trazan(

a0 :6

a0 26

70 86

d0 -6

e0 19

c0 6

Yngulos formados por dos rectas paralelas. $i L EE La d

DM( Bisectriz del ángulo BDC

b c

L

DT( Bisectriz del ángulo ADM m q

DU( Bisectriz del ángulo MDT 4allar el suplemento del complemento de la medida del ángulo BDU. a0 -1

70 -1 86X c0 -9

d0 -: 86X e0 9 (6*

n p

L

5ntonces( . ∠ nternos ......................................... ........................................................... ........................................................... ........................................................... -.

∠ 5ternos

........................................ ........................................................... ........................................................... ...........................................................

Los rayos

DA , DB, DC, D! y D5

y se encuentran u7icados en un mismo plano de modo que la 7isectriz del ángulo DM del ángulo ADB es perpendicular a la 7isectriz D! del ángulo BD5. $i MD5 ) 26. Calcular el complemento del ángulo BD!

8.

∠ Alternos

nternos ................. ............................... ............................... 5ternos ............... ............................... ...............................



AB EE 5F / !5

(/* 5n la Ngura,

es AC

nternos ........... ............................ ............................ 5ternos ............. ............................ ............................

1.

∠

Conjugados

9.

∠ Correspondientes ...........................

............................................................ ............................................................ ............................................................

perpendicular a y α y β son entre si como - es a :. 4allar β - α B

A

β

! C

α

F

5

a0 66 d0 26

70 36 e0 16

()* 5n la Ngura, L EE L- y α  β @ 26. 4allar θ

. 4allar 86

X

α

Y

a0 89 d0 99

70 16 e0 36

Y'

86

L2

a0 86 d0 -6

70 26 e0 96

c0 ;6

c0 96

(-* 4allar el ángulo en la Ngura, si L EE L8E-

X'

L1

β

MM V EE TT V

(3* 5n la Ngura mostrada !eterminar α  β

L1

α





α

θ

∧

MM V EE TT V

(2* 5n la Ngura

Practica de C$ase:

α

c0 6

.

-6

X

89

X'

α



L2

β

Y

a0 11 d0 82

70 91 e0 12

c0 81 a0 :9 d0 99

MM V EE TT V

(.* $i

70 39 e0 ;9

.4allar β - α$ M

66

c0 29

MM V EE TT V

66

MV

α

(4* 5n la Ngura y ABC! es un cuadrado. 4allar el ángulo α$

β T

Y'

96

B

83

-6

TV

X'

X A C

a0 :- d0 8-

70 8- e0 6

c0 6

α

Y

Y'

!

a0 26 d0 9

70 86 e0 .a.

c0 19



(5* 5n la Ngura L EE L-. 4allar la medida de

8

L1



∧

-

! 5 F si A! ⊥ BC y A! ⊥ !5

a a

A α

L2

L1

α

a0 9 d0 96

B F

40°



C

70 19 e0 26

c0 86

5 L2

!

AB , C! y 5F

).* 5n la Ngura adjunta

a0 9 d0 86

70 6 e0 16

c0 -9

∧

entonces

26

) 29 y

5 B!

) 9,

∧

(6* 5n la Ngura L EE L- y L8 EE L1. Calcular Ey y

F5B

paralelas,

son ∧

C!B

es igual a(

L1 5

F

16

C

L2 

a0 Ed0 E1

L3

L4

A

70 -E8 e0 E8

c0 8E1

)(* 5n la Ngura( L EE L-. Clacular la medida ∧

del ángulo



! 

sa7iendo que( α - β @ 26

a0 6 d0 96

70 19 e0 26

c0 86

)/* 5n la Ngura, determinar el suplemento de 7, si se sa7e que L  EE L- y además 1a  7 ) 86

L1

β

B

1a

L1 α

7 

L2

L2

a0 89 d0 8;

70 16 e0 96

))* 5n la Ngura L EE L-. $i el triángulo ABC es equilátero, >allar α  β B

a

c0 96

β

L1

a0;6 d0 89

70 69 e0 86

c0 -6

)2* !el gráNco, calculae el "alor de %'. $i L EE L-( 9α

α

L2

L1



A C

a0-16 d0 -6

70 36 e0 866

c0 -6

L2

8α

1α

)-* 5n la Ngura, >allar %a'. $i L  EE L-


IES MARIA AUXILIADORA - PUNO a0 6 d0 36

70 96 e0 .a.

c0 :6

d0 86

e0 .a.

-(* $i L EE L-, >allar %'(

y − 0 8

3

L1

)3* $i L EE L-. 4allar(



89

L1



L2

 y L2

86

a0 9 d0 6

70 2 e0 .a.

a0 19 c0 86 d0 -9

c0 :

70 -6 e0 3


)4* 5n la Ngura mostrada, L EE L-. Calcular %'

()* $i L EE L-. 4allar %' L1 8

m

L1

α

α

m

- 

8β 

-β

n n

a0 66 d0 36

θ

θ

70 89 e0 -66

L2

c0 16

)5 5n la Ngura, calcular %'. $i L  EE Lβ

Z

α

a

L2

L1

c d

c0 96

L1

a0 6 c0 -6

(-* $i L EE L-. 4allar %', $i a = 7 = c = d ) 16

7

)6* $eg#n el gráNco, L EE L-. Calcular el "alor de %'(



e0 86



β

70 16 e0 .a.

θ θ

70 3



Z

a0 82 d0 -6

a0 9 c0 - d0 -6

L1

α

8

L2

a0 86 c0 96 d0 26

L2

70 16 e0 :6

(.* 4allar %' si L EE L-

α α

86

L2

70 9W


IES MARIA AUXILIADORA - PUNO L1

7 7 

70 66 e0 96

c0 36

(4* $i L EE L-. 4allar %'( L1

a a

L2

a0 26 c0 69 d0 89

70 :9

-

1

L2

e0 .a. a0 9 d0 19

(/* $i L EE L-, >allar %'

L1

a0 -6 d0 6



70 -6 e0 26

c0 86

(5* 5n la Ngura AB, Cd y 5F so paralelas m∠ F5B ) 29, m∠ 5B! ) 9. 5ntonces m∠ C!B

-a

F

5

6

L2

a

C

!

B

A

a0 16 c0 36 d0 66

70 26 e0 .a.

(2* $i L EE L-. 4allar %'. $i a = 7 = c = d ) -- L1

7

c

a0 -9 d0 19

70 86 e0 89

c0 9

(6* 4allar'', si L  EE LL1

α

-α 



-θ

d a

a0 1 d0 2

L2

70 9 e0 :

c0 26

L2

a0 86 d0 36

70 19 e0 ;6

c0 26

)(* $i L EE L-. 4allar %'

(3* 4allar %', si L  EE L-

L1

L1

θ

 -

86 θ θ

L2

1

:

8



L2

16

a0 - d0 9

70 6W e0 3

c0 ;



))* 5n la Ngura L EE L-. 4allar %'( 2α

)2* 5n la Ngura mostrada. Calcular %', si L  EE L-

L1



13α

36L

L2

a0 6 d0 3

L1

26L

6α

70 9 e0 8

α

c0 -

a0 21 d0 :6

)-* 5n la Ngura A7.BC. 4allar el ángulo %' en funciGn de %α', si F[ EE AC.

α

L2

70 23 e0 :-

c0 22

TAREA DOM&C&%&AR&A ()* $i L EE L- que se cumple

[ F



B

3b

C

L1

a m 3b

A

a0 ;6 + α E c0 ;6 = - α d0 36  α E -

70 36 − α

n

L2

a0 m  n 70 m = n ) ;6 c0 m = -n ) ;6d0 m ) -n e0 -m ) n

e0 ;6 = 8α E ∧

).* 4allar el "alor del ángulo %'. $i ) α / 3. L EE L- y L8 EE L1

a

F DC

(-* 4allar θ L EE L-

F 

2β

α

L1

α

φ

L1

α + 15 2φ 4! L2

O

a0 19 d0 86

α + 30

L4

L3

θ

70 19 c0 -:6 e0 36  -

a0 - d0 9

)/* Calcular el "alor de α L EE L-0 α

(.*

θ

c0 6

5F EE AB

L1

θ

70 9 e0 .a.

L2

. Calcular α

5α L2

a0 -86X d0 6

70 9 e0 3

c0 8


IES MARIA AUXILIADORA - PUNO "

F

α

B

θ

x

40°

a0 - d0 9

m

A

70 9 e0 .a.

α

c0 6

n

(/* $i( m EE n. Calcular θ #0°

a0 31 d0 19

F

70 96 e0 ;6

c0 8:

θ

63. 5n la Ngura L EE L-. Calcular %'

θ θ

A

2

x

L1 x

a0 36 E 8 d0 96

70 96 E 8 e0 .a.

c0 36

2

x % 2 14!° L2

(2* 5n la Ngura calcular %', si( α +θ = -:6 y m EE n

a0 86 d0 18

m

70 88 e0 .a.

c0 16

6;. $i= α + θ @ -26 y L EE L-EE L8. Calcular %'

α x

θ

L1 

θ

a0 19 d0 ;6

70 26 e0 .a.

c0 8:

L3

β α

β L2

(3* $i( L EE L- y α + θ @ 866 Calcular( α

L1

θ

a0 -6 70 86 d0 93 e0 .a. 6. 4allar “α”L EE L-

c0 96

L1

α 2α

x

L2

3α

a0 6 d0 1

70 -6 e0 .a.

(4* $i( α − θ = 2 y m EE n. Calcular %'

7α

c0 86

4α

a06 d0 96

70 -6 e0 .a.

L2

c0 86



B. P)$/&%"% %& " &%") %& *' #&(&'$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

CONGRUENCIAS, PROPORCIONAL Y SEMEAN!A DE TRIÁNGULOS

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ P

A. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS 1. C"#$# %& C$'()*&'+" %& T)-'(*$#.

A

A* Caso 0A%A! : 

B

PM= 3/0:? /3 ≅ α

A

θ

B

&

C

α

&

θ

7

P

7

≅

ABC

AB

C. P)$/&%"% %& )-'(*$ I##+&&# $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$

MNP

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ B* caso 0%A%! :

B 

B c

c

≅ α

A

C

α

&

P

7 ABC ≅

C

A

7



&P

∆ ABC 37 77*3537> AB @ BC

C* Caso 0%%%! : 

B a c C

A

B4

a

c

≅ &

P

7

7 ABC ≅

&P

-* PROP&EDADES : A* Pro#iedades de $a isectri9 de un 8ngu$o ..................................................................

.................................................................. .................................................................. A M

Altura ( &ediana ( Bisectriz &Kdiatriz

E. P)$/&%"% %& " &%"'" )&"" " " /$&'*#" $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

D. P)$/&%"% %& $# /*'$# &%$# $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

& P

O

α° α°

B N


IES MARIA AUXILIADORA - PUNO B 2!

13



&

0& S “M” 37 894:6 3/6 /3

AB

&



41

1(



40

1!

$

E4:64*37= “N” 37 894:6 3/6 /3

BC

)& S “M”  “N” 764 894:67 3/67 /3 BC

(

!

C

A

AC

24

12

AB

)

#

O#&)"+' 

B

?3783*:<034:3$ *

5ntonces ( & )

AC -

(!° 1!° A

'

C 4*

B

B. PROPORCIONALIDAD D&'+'.: S3 /*3 93 /67 43?67 %0  )& 764 8?686?*640537 0 6:?67 /67 43?67 %*  /& *904/6 50 ?04 36:?*0 /3 567 8?3?67 730 905 0 50 ?04 36:?*0 /3 567 7394/67=

C

A &

B&

= M3/040 ?350:<0 0

AC

E7 /3*?=

AC -

a 7

E4:64*37= BM @ TRIÁNGULO RECTÁNGULOS NOTABLES

c d

1. T&$)&" %& T"&# ; 4!°

m 2

m

L 2

4!°

L

2

4!°

4!°

m

L 2

2

T?37 6 7 ?3*:07 80?053507 /3:3?404 76)?3 6:?67 /67 73*04:37 0 35507 7334:67 *907 564:9/37 73?4 8?686?*640537 34:?3 7$ !

A

L



86

98

> 8 -

L

-

9\

C

8\

F

L

8

8:

26 > -

5

B

>

1\

S L1  L2  L#

A(*'$# )-'(*$# R&+-'(*$# +*$# "%$# #$' '&)$# &'&)$#

AB

BC

@

D"

5F

+amb,-n .

AB

AC

@

D"

!F


IES MARIA AUXILIADORA - PUNO $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

E= S L 1  L2  L#$ 0550? x

E= 0550? x

L



x 2 4

B

L

19

x %2

/

C

19

-



a

L

8

1 A

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

A/+"+' %& T&$)&" %& T"&# " *' )"'(*$ B

&

!

a

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

3. T&$)&" %& " #&+) E<&)$) ;

$i( & EE AC

&

a 7 m) n

B& B ) &A C



a 7

A

C

& EE AC

E= S

n

m

E= 0550? x

$ 0550?= B 2

1 

&

α+θ



 ;

A

α

θ

C

2. T&$)&" %& " B#&+) E<&)$)

PROPIEDAD B

a 7 m) n 

a

m

7



n

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

A

S

B&

- &

8 C



⇒ )73*:? 4:3?6? 

B

⇒ )73*:? 3x:3?6?



AM

&C

R350 P?0*:*0

@

B

AN

C 

&

° total = -° 8°

E= 0550? x

A

P

C

A& . B . CP ) &B . C . AP :6 -6-6

C. SEMEAN!A ; 

-

1

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

D&'+'; D67 :?49567 73?4 73304:37 *904/6 567 49567 /3 946 /3 35567 7304 90537 0 567 49567 /35 6:?6; *66 *6473*934*0$ S97 50/67 ?3783*:<67 73?4 8?686?*640537 34:?3 7=

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ A

4. T&$)&" %& M&'&"$ ;



β

β

α

θ

C &

α

θ

P

S =& S A

B

ABC ∼ ∆ MNP

S = S B

&

S=



A

B

C

⇒∆ S =P S C

P

A& . B . CP ) &B . C . AP

∴ AB = BC = AC = \ &

E= 0550? x =

P

&P

B

= ?04 /3 733040 E= L67 50/67 /3 94 :?04956 /34 2> '  12$ 0550? 35 06? 50/6 /3 6:?6 :?4956 73304:3 05 8?3?6 *96 83?H3:?6 37 1'2$

& 

A

2

* - C

5. T&$)&" %& C&"



P

CASOS DE SEMEAN!A DE TRIÁNGULOS 1. P)&) C"#$; D67 :?49567 73?4 73304:37 7 :3434 /67 4956 90537$

α

θ

α

θ



2. S&(*'%$ C"#$; D67 :?49567 73?4 73304:37 7 :3434 94 76 4956  567 50/67 93 56 Q6?04 764 8?686?*640537$

AB EE & EE C!

3. S= a7 a+ 7

a m

α

α

!

n

b

B

S =

a

7

m

=

7

 a

n

C

A

3. T&)+&) C"#$; D67 :?49567 73?4 73304:37 7 797 50/67 764 8?686?*640537 34:?3 7$

&

4. θ a

a

b m

n

θ n

p

c

S= a = 7 m n

c p

=

m

02 @  $ 4

PROPIEDADES 1. B

N

M

C

A

& EE AC

S=

2. 

& B

C

A

& EE AC

S=



PRACTICA DE CLASE

B

01. E4 50 Q9?0 67:?0/0$ S   4  : 0550? x=



[

A

m =n



0& ' /& 1"

9 l

1

0& 1>. /& 2>.

)& 1>. 3& 1>2.

)& 1! 3& 1(

A

y

0& 1 /& "

)& 2 3& .

1

C

0& . /& .

2

F

L -

9 =

0550? x$

8=-



9  9 B

L8

n -y = l

5

L

02. E4 50 Q9?0 67:?0/0$ S   4  5  ?



*& 12

05. S34/6 L1  L2  L# $0550? BC

*& 1>"2

m -

[

)& 1! 3& '

*& 1.

06. E4 50 Q9?0> *05*950? 567 <056?37 /3 “0” > “)” t

a- . 7 c

 “*”  0553 = E@ S= L1  L2  L#  L"  L.

*& # L1

a

03. E4 50 Q9?0 67:?0/0$ S   4  5$ 

3

8

AB EE C!

m  = n -

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14. I4:3?4034:3 0 94 *90/?0/6 /3 50/6 . * 9)*067 35 894:6 “P”$ S 507 /7:04*07 /3 37:3 894:6 “P” 0 /67 50/67 *6473*9:<67 /35 *90/?0/6 764 /3 2 *  1 *> *05*950? 50 790 /3 507 /7:04*07 /35 894:6 “P” 0 567 <?:*37 /35 *90/?0/6$

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12. L0 86:34970  35 *0:3:6 06? /3 94 :?4956 ?3*:4956 764 /67 43?67 34:3?67 *6473*9:<67$ S 35 6:?6 *0:3:6 37 905 0 50 :0/ /35 *0:3:6 06? /749/6 34 2 > 0550? 50 564:9/ /3 50 86:34970$ 0& 2.  /& 1! 

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06. 0550?

)& 1! 3& 1#

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AC


IES MARIA AUXILIADORA - PUNO )(* Los lados de un triángulo son 3, 6 y 1 metros, respecti"amente. 4allar la longitud de la mediana respecto al lado mayor.

B θ θ

6

3

8 A

a0

C

a =2

a

8 8

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70

m c0 1

88

a0 -/& 1'

70 -8 3& 1,

c0 -

d0

m

a0 2 d0 3

e0 -

m

CIRCUNERENCIA

DEINICI>N

B

5s el lugar geométrico de los $untos del $lano que equidistan de otro $unto llamado centro

2

A

m

:

07. E4 50 Q9?0> 0550? BM

3

-

ELEMENTOS - A?*6 = - C93?/0= - R0/6 = - D3:?6 = - T0434:3= - S3*04:3 = - F53*0 6 S0:0 =

C

& 6

70 : e0 1

c0 9

(5* 4allar la longitud de la 7isectriz. la Ngura.

B!

en

&

B

C

2

B

5



A

2

AB AB OE CD T L MN

D

! L

*

A

C

! -6

1

8

--

-8

a0

POSICIONES RELATIAS DE DOS CIRCUNERENCIAS 1



1

8

70 9 8

9

c0

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

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2. C)+*'&)&'+"# T"'(&'&# E<&)$)&# ; 3

9

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B

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A

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α m

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B

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A

A

A

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n

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6. C)+*'&)&'+"# C$'+')+"# ;

α # ABC 6 , α C

r

B

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PROPIEDADES UNDAMENTALES ; 1.

ÁNGULOS EN LA CIRCUNERENCIA 1.A'(*$ C&')"

2. A'(*$ I'#+)$

O

*

B

A

α

α

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D

 ) ;6

A B

C

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2.

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A

3. A'(*$ S&  I'#+)$ B

B

D

A

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C

C

3.

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IES MARIA AUXILIADORA - PUNO A

C

C

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O

BC

B

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B

"

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4. Si:

B

A C

AB

C"

09. P

+

<

$

AC ≅ B"

!

05.

$i P, +, < y $ ( son puntos de tangencia

$i ( `&` es un conjunt de tangencia

o

L

D&

L

P+ ) <$

10.

&

B

06.

A

$i A B C !( Cuadrilátero inscrito

α θ

C B

$i ( ABC! ( Cuadrilátero Circunscrito

α + θ =36

C

!

AB = C! ) A! = BC A

!

PRACTICA DE CLASE 07.

+P

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B

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D

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IES MARIA AUXILIADORA - PUNO /& '!W

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C

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09. E4 50 Q9?0 0& . /& 

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BC

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C

B

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C

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B

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C

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06. 0550?

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07. 0550? 35 4956

 BOA

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11. E4 50 Q9?0$ 0550?

*& # 4?

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S

7 “O” 37 35 *34:?6$


IES MARIA AUXILIADORA - PUNO C

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O

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17. S O 37 35 *34:?6 /3 50 73*?*94Q3?34*0> AO = BC

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$ 0550?

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19. E4 50 Q9?0 “O” 37 35 *34:?6 /3 50 *?*94Q3?34*0$ 0550?

>

O β α >



0) α + β )) 2α + β /& 2α + 2β 3& α − β

05. C05*950? 35 4956 ABC> 734/6 B 35 *34:?6 /3 50 *?*94Q3?34*0> 0/37

*& α + 2β

AC = A4  A4 y 4C

764 :0434:37$

PROBLEMAS PROPUESTOS NF 1

A

4

01. E4 50 Q9?0 “O” 37 35 *34:?6 /3 50 *?*94Q3?34*0$ 0550? S

 BAO

 BCO

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B

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B O

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> 7 “O” 37 35 *34:?6 /3

A

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O

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 A5C

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A

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Q

40:

TAREA DOMICILIARIA

100:

AB y AC

α

01. 0550? “ X ”$ S

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764 :0434:37=

B

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10. E4 50 Q9?0 0550? 35 4956 X> 7=

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04. C94:6 /3 35 4956 Q6?0/6 86? /67 :0434:37 :?00/07 /37/3 35 76 894:6> 7 50 *93?/0 93 943 567 894:67 /3 :0434*0 37 905 0 35 ?0/6 0& ,! /& 1'!

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37

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Segmento de Recta

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