Laporan
REGRESI LINEAR
Disusun Oleh Kelompok 7 : Riatna (H22115013) Muslima (H22115006) Ade Soraya Putri (H22115001) Reski kurniati (H22115023) (H22115023)
MATAKULIAH METODE NUMERIK DEPARTEMEN GEOFISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN MAKASSAR 2017
1
KATA PENGANTAR
Dengan memanjatkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT karena dengan rahmat dan karunia-Nyalah kami dapat menyelesaikan tugas pembuatan Makalah yang berjudul Regresi Linear. Makalah ini kami tulis bertujuan guna memenuhi salah satu tugas Mata Kuliah “Metode Numerik ”. Disamping itu makalah ini diharapkan dapat menjadikan sarana pembelajaran serta dapat menambah wawasan dan pengetahuan. Disamping itu kami juga menyadari akan segala kekurangan dan ketidaksempurnaan, baik dari segi penulisan maupun dari cara penyajiannya. Oleh karena itu kami dengan senang hati menerima kritik dan saran demi perbaikin makalah ini di masa yang akan datang. Kami berharap mudah-mudahan makalah ini dapat bermanfaat khususnya bagi kami dan pembaca.
2
DAFTAR ISI
SAMPUL ......................................................................................................... 1 KATA PENGANTAR......................................................................................2 DAFTAR ISI .................................................................................................... 3 BAB I PENDAHULUAN ................................................................................ 4 A. Latar Belakang ..................................................................................... 4 B. Tujuan .................................................................................................. 5 BAB II PEMBAHASAN ................................................................................. 6 A. Pengertian ............................................................................................ 6 B. Regresi vs Korelasi .............................................................................. 8 C. Korelasi ................................................................................................ 8 D. Regresi linear sederhana ...................................................................... 10 BAB III METODELOGI ................................................................................. 11 A. Ms Excel............................................................................................... 11 B. Matlab .................................................................................................. 13 BAB IV PEMBAHASAN................................................................................ 15 BAB V PENUTUP........................................................................................... 16 A. Kesimpulan .......................................................................................... 16 B. Saran .................................................................................................... 16 PEMBAGIAN TUGAS KELOMPOK ............................................................ 17
3
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Analisis regresi merupakan alat statistik yang banyak digunakan dalam berbagai bidang. Istilah "regresi" pertama kali diperkenalkan oleh Sir Francis Galton pada tahun 1886. Galton menemukan adanya tendensi bahwa orang tua yang memiliki tubuh tinggi, memiliki anak-anak yang tinggi pula dan orang tua yang pendek memiliki anak-anak yang pendek pula. Kendati demikian, ia mIstilah "regresi" pertama kali diperkenalkan oleh Sir Francis Galton pada tahun 1886. Galton menemukan adanya tendensi bahwa orang tua yang memiliki tubuh tinggi, memiliki anak-anak yang tinggi pula dan oran g tua yang pendek memiliki anak-anak yang pendek pula. Kendati demikian, ia mengamati ada kecenderungan bahwa tinggi anak bergerak menuju rata-rata tinggi populasi secara keseluruhan. Dengan kata lain ketinggian anak yang amat tinggi atau orang tua yang amat pendek cenderung ber gerak ke arah ratarata tinggi populasi. Inilah yang disebut hukum Galton mengenai regresi universal. Dalam bahasa Galton ia menyebutnya sebagai regresi menuju medikritas (Maddala, 1992).
Interpretasi modern mengenai regresi agak berlainan dengan regresi versi Galton. Secara umum. analisis regresi pada dasarnya adalah studi mengenai ketergantungan variabel dependen (terikat) dengan satu atau lebih variabel independen (variabel penjelas/bebas), dengan tujuan untuk mengestimasi dan/atau memprediksi rata-rata populasi atau nilai rata-rata variabel dependen berdasarkan nilai variabel independen yang diketahui (Gujarati, 2003). Hasil analisis regresi adalah berupa koefisien untuk masing-masing variabel independen. Koefisien ini diperoleh dengan cara memprediksi nilai variabel dependen dengan suatu persamaan; Koefisien regresi dihitung dengan dua tujuan sekaligus: Fertama, meminimumkan penyimpangan antara nilai aktual dan nilai estimasi variabel dependen berdasarkan data yang ada (Tabachnick, 1996) Ada tiga macam tipe dari analisis regresi. Tipe yang pertama adalah regresi linier sederhana yang berfungsi untuk mengetahui hubungan linier antara dua variabel, satu variabel dependen dan satu variabel independen. Tipe kedua adalah regresi linier berganda yang merupakan model regresi linier dengan satu variabel dependen dan lebih dari satu variabel independen. Tipe ketiga adalah regresi non linier yang berasumsi bahwa hubungan antara variabel
4
dependen dan variabel independen tidak linier pada parameter regresinya (Yan and Gang Su, 2009).
B. Tujuan
Adapun tujuan dari pembuatan laporan ini agar mahasiswa dapat memahami materi Regresi Linear dan bagaimana menyelesaikannya menggunakan Ms excel dan Matlab serta diharapkan mahasiswa dapat memahami penggunaan regresi linear dalam geofisika.
5
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Pengertian Istilah regresi pertama kali dalam konsep statistik digunakan oleh Sir Francis Galton dimana yang bersangkutan melakukan kajian yang menunjukkan bahwa tinggi badan anak-anak yang dilahirkan dari para orang tua yang tinggi cenderung bergerak (regress) kearah ketinggian rata-rata populasi secara keseluruhan. Galton memperkenalkan kata regresi (regression) sebagai nama proses umum untuk memprediksi satu variabel, yaitu tinggi badan anak dengan menggunakan variabel lain, yaitu tinggi badan orang tua. Pada perkembangan berikutnya hukum Galton mengenai regresi ini ditegaskan lagi oleh Karl Pearson dengan menggunakan data lebih dari seribu. Pada perkembangan berikutnya, para ahli statistik menambahkan isitilah regresi berganda (multiple regression) untuk menggambarkan proses dimana beberapa variabel digunakan untuk memprediksi satu variabel lainnya. Regresi dalam pengertian moderen menurut Gujarati (2009) ialah sebagai kajian terhadap ketergantungan satu variabel, yaitu variabel tergantung terhadap satu atau lebih variabel lainnya atau yang disebut sebagai variabel – variabel eksplanatori dengan tujuan untuk membuat estimasi dan / atau memprediksi rata – rata populasi atau nilai rata-rata variabel tergantung dalam kaitannya dengan nilai – nilai yang sudah diketahui dari variabel ekslanatorinya. Selanjutnya menurut Gujarati meski analisis regresi berkaitan dengan ketergantungan atau dependensi satu variabel terhadap variabel – variabel lainnya hal tersebut tidak harus menyiratkan sebab – akibat (causation). Dalam mendukung pendapatnya ini, Gujarati mengutip pendapat Kendal dan Stuart yang diambil dari buku mereka yang berjudul “The Advanced Statistics” yang terbit pada tahun 1961 yang mengatakan bahwa,” suatu hubungan statistik betapapun kuat dan sugestifnya tidak akan pernah dapat menetapkan hubungan sebab akibat (causal connection); sedang gagasan mengenai sebab akibat harus datang dari luar statistik, yaitu dapat berasal dari teori atau lainnya”. Sedang menurut Levin & Rubin (1998:648), regresi digunakan untuk menentukan sifat – sifat dan kekuatan hubungan antara dua variabel serta memprediksi nilai dari suatu variabel yang belum diketahui dengan didasarkan pada observasi masa lalu terhadap variabel tersebut dan variabel-variabel lainnya. Selanjutnya dalam regresi kita akan mengembangkan persamaan estimasi (estimating equation), yaitu rumus matematika yang menghubungkan variabel-variabel yang diketahui dengan variabel-variabel yang tidak diketahui. Setelah dipelajari pola hubungannya, kemudian kita dapat
6
mengaplikasikan analisis korelasi (correlation analysis) untuk menentukan tingkatan dimana variabel – variabel tersebut berhubungan. Kesimpulannya, analisis korelasi mengungkapkan seberapa benar persamaan estimasi sebenarnya menggambarkan hubungan tersebut. Lebih lanjut Levin & Rubin mengatakan bahwa: “ Kita sering menemukan hubungan sebab akibat a ntar variabel – variabel; yaitu variabel bebas ‘menyebabkan’ variabel tergantung berubah. Sekalipun demikian mereka melanjutkan bahwa: “penting untuk kita perhatikan bahwa yang kita anggap hubungan (relationship) yang diketemukan melalui regresi sebagai hubungan asosiasi (relationship of association) tetapi tidak selalu harus sebab dan akibat (cause and effect). Kecuali kita mempunyai alasan – alasan khusus untuk percaya bahwa (perubahan pada) nilai – nilai variabel tergantung disebabkan oleh nilai – nilai variabel (variabel) bebas; jangan menyimpulkan (infer) hubungan sebab akibat dari hubungan yang diketemukan dalam regresi. Karena Levin & Rubin dalam mendefinisikan regresi juga menggunakan istilah “analisis korelasi”, maka sebaiknya dalam bagian ini penulis perlu menjelaskan perbedaan antara regresi dan korelasi. Menurut Gujarati (2009: 20) analisis korelasi bertujuan untuk mengukur kekuatan (strength) atau tingkatan (degree) hubungan linier (linear association) antara dua variabel. Untuk mengukur kekuatan hubungan linier ini digunakan koefesien korelasi. Sebaliknya dalam regresi kita tidak melakukan pengukuran seperti itu. Dalam regresi kita membuat estimasi atau memprediksi nilai rata-rata satu variabel didasarkan pada nilai – nilai tetap variabel – variabel lain. Perbedaan yang mendasar antara regresi dan korelasi ialah dalam regresi terdapat (hubungan) asimetri dalam kaitannya dengan perlakuan terhadap variabel tergantung dan variabel bebas. Variabel tergantung diasumsikan statistitikal, acak atau stokhastik, yaitu mempunyai distribusi probabilitas. Sedang variabel bebas / prediktornya diasumsikan mempunyai nilai – nilai tetap. Sebaliknya dalam korelasi kita memperlakukan dua variabel atau variabel – variabel apa saja secara simetris, yaitu tidak ada perbedaan antara variabel bebas dan variabel tergantung. Sebagai contoh korelasi antara nilai ujian matematik dan statistik sama dengan korelasi nilai ujian statistik dan matematik. Lebih lanjut dalam korelasi kedua variabel diasumsikan random. Banyak permasalahan yang datanya dinyatakan oleh lebih dari sebuah variabel. Mengingat analisis kumpulan data yang terdiri atas banyak variabel pada dasarnya merupakan perluasan dari analisis yang datanya terdiri atas dua variabel, maka di sini terutama akan dibicarakan penelaahan kumpulan data yang dilukiskan oleh dua variabel saja. Untuk keperluan penelaahan, kepada kedua variabel itu digunakan simbul yang lazim dipakai, ialah X dan Y yang dapat diberi indeks menurut keperluannya yaitu :
7
12 , ,..., n x x x dan 12 , ,..., n y y y Atau pasangan (xi,yi) , i = 1,2, … , n Sehingga sampel yang berukuran n itu terdiri atas n buah pasang data. Hal-hal yang akan dipelajari mengenai kumpulan data yang terdiri at as dua variabel yaitu : a. Mempelajari derajat asosiasi antara kedua variabel. Bagian ini dalam statistika dikenal dengan nama ANALISIS KORELASI. Hubungan korelasional ini tidak menjelaskan apakah suatu variabel menjadi penyebab dari variabel yang lainnya. b. Mempelajari hubungan yang ada di antara variabel-variabel sehingga dari hubungan yang diperoleh dapat menaksir variabel yang satu apabila harga variabel lainnya diketahui. Bagian ini dikenal dengan nama ANALISIS REGRESI. B. Regresi vs Korelasi
Analisis korelasi bertujuan untuk mengukur kekuatan asosiasi (hubungan) linear antara dua variabel. Korelasi tidak menunjukkan hubungan fungsional atau dengan kata lain, analisis korelasi tidak membedakan antara variabel dependen dengan variabel independen. Dalam analisis regresi, selain mengukur kekuatan hubungan antara dua variabel atau lebih, juga menunjukkan arah hubungan antara variabel dependen dengan variabel independen. Variabel dependen diasumsikan random/stokastik, yang berarti mempunyai distribusi probabilistik. Variabel independen/bebas diasumsikan memiliki nilai tetap (dalam pengambilan sampel yang berulang). Teknik estimasi variabel dependen yang melandasi analisis regresi disebut Ordinary Least Squares (pangkat kuadrat terkecil biasa). Metode OLS diperkenalkan pertama kali oleh Carl Friedrich Gauss, seorang ahli matemati ka dari Jerman. Inti metode OLS adalah mengestimasi suatu garis regresi dengan jalan meminimalkan jumlah dari kuadrat kesalahan setiap observasi terhadap garis tersebut. C. Korelasi
Korelasi menyatakan derajat hubungan antara dua variabel tanpa memperhatikan variabel mana yang menjadi peubah. Karena itu hubugan korelasi belum dapat dikatakan sebagai hubungan sebab akibat.
8
bentuk hubungan
Keterangan : 1) Hubungan positif menyatakan hubungan semakin besar nilai pada variabel X, diikuti pula perubahan dengan semakin besar nilai pada variabel Y 2) Hubungan negatif menyatakan hubungan semakin besar nilai pada variabel X, diikuti pula perubahan dengan semakin kecil nilai pada variabel Y. 3) r = 1,00 menyatakan hubungan yang sempurna kuat; r = 0,50 menyatakan hubungan sedang; dan 0,00 menyatakan tidak ada hubungan sama sekali (dua variabel tidak berhubungan).
Korelasi Product Moment
RUMUS:
9
Keterangan: rxy = hubungan variabel X dengan Variabel Y X
= Nilai variabel X
Y
= Nilai variabel Y
D. REGRESI LINEAR SEDERHANA Tujuan utama materi ini adalah bagaimana menghitung suatu perkiraan atau persamaan regresi yang akan menjelaskan hubungan antara dua variabel. Regresi merupakan suatu alat ukur yang juga digunakan untuk mengukur ada atau tidaknya korelasi antarvariabelnya. Istilah regresi itu sendiri berarti ramalan atau taksiran.Persamaan yang digunakan untuk mendapatkan garis regresi pada data diagram pencar disebut persamaan regresi. Untuk menempatkan garis regresi pada data yang diperoleh maka digunakan metode kuadrat terkecil, sehingga bentuk persamaan regresi adalah sebagai berikut: Y’ = a + b X Kesamaan di antara garis regresi dan garis trend tidak dapat berakhir dengan persamaan garis lurus. Garis regresi (seperti garis trend dan nilai tengah aritmatika) memiliki dua sifat matematis berikut : ∑(Y – Y’) = 0 dan ∑(Y – Y’)2 = nilai terkecil atau terendah. Dengan perkataan lain, garis regresi akan ditempatkan pada data dalam diagram sedemikian rupa sehingga penyimpangan (perbedaan) positif titik-titik terhadap titik-titik pencar di atas garis akan mengimbangi penyimpangan negatif titik-titik pencar yang terletak di bawah garis, sehingga hasil pinyimpangan keseluruhan titik-titik terhadap garis lurus adalah nol. Untuk tujuan diatas, perhitungan analisis regresi dapat dipermudah dengan menggunakan rumus sebagai berikut :
10
BAB III METODELOGI A. Ms Excel
Berikut ini data yang akan digunakan untuk menghitung nilai regresi linear: no
x
y
1
0
2
2
1
4
3
2
6
4
3
7
5
4
9
6
5
10
7
6
12
8
7
13
9
8
15
Kemudian menghitung jumlah nilai x,y,xx,yy dan xy di Ms excel no
x
y
x^2
y^2
xy
1
0
2
0
4
0
2
1
4
1
16
4
3
2
6
4
36
12
4
3
7
9
49
21
5
4
9
16
81
36
6
5
10
25
100
50
7
6
12
36
144
72
8
7
13
49
169
91
9
8
15
64
225
120
jumlah
36
78
204
824
406
Kemudian untuk menentukan persamaan regresi linearnya terlebih dahulu kita mencari nilai a dan b pada persamaan y=ax+b, adapun rumus untuk mencari nilai a dan b yaitu:
11
Setelah melakukan perhitungan di excel di peroleh nilai a dan b yaitu:
a=
2,4
b=
1,56666667
y=
a+bx
=((C11*D11)-(B11*F11))/((9*D11)-B12)
=((9*F11)-(B11*C11))/((9*D11)-B12)
2,4+1,566x
Setelah menentukan persamaan regresi linearnya, hal yang dilakukan selanjutnya yaitu menghitung nilai koefisien regresi adapun rumusnya yaitu:
Adapun hasil yang diperoleh yaitu:
r=
0,997519
=((9*F11)-(B11*C11))/SQRT((9*D11-B12)*(9*E11C12))
12
B. Matlab
Berikut ini script yang digunakan untuk mencari persamaan regresi linear dan korelasi linear di matlab: disp '(PROGRAM MENGHITUNG REGRESI LINEAR)' disp disp disp x=[0
'(=================================)' ' Oleh Kelompok 7 ' '(=================================)' 1 2 3 4 5 6 7 8];
y=[2 4 6 7 9 10 12 13 15]; n=9; sxy=0; sxx=0; syy=0; sx=0; sy=0; for i=1:n; sxy=sxy+x(i)*y(i); sxx=sxx+x(i)^2; syy=syy+y(i)^2; sx=sx+x(i); sy=sy+y(i); end a=(n*sxy-(sx*sy))/(n*sxx-sx^2); b=sy/n-a*sx/n; fprintf ('\tx=%d ',x); fprintf ('\ny=%d',y); fprintf ('\nnilai sxy=%d ',sxy); fprintf ('\nnilai sxx=%d',sxx); fprintf ('\nnilai syy=%d',syy); fprintf ('\nY=%7.4fx+%7.4f' ,a,b); %berikut script di bawah untuk menentukan koefisien kolerasi r=((n*sxy)-(sx*sy))/sqrt((n*sxx-sx^2)*((n*syy-sy^2))); fprintf ('\nnilai koefisian korelasi=%7.4f' ,r);
adapun keluarannya di command window yaitu:
13
>> grafik dari persamaan regresi linear
Ms excel 16 14 12 10 y
8 6 4 2 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x y
Linear (y)
Matlab
14
BAB IV PEMBAHASAN
Analisis korelasi bertujuan untuk mengukur kekuatan asosiasi (hubungan) linear antara dua variabel, dalam hal ini variabel x dan y. Begitupun dengan Korelasi juga menyatakan derajat hubungan antara dua variabel tanpa memperhatikan variabel mana yang menjadi peubah. Karena itu hubugan korelasi belum dapat dikatakan sebagai hubungan sebab akibat. Berdasarkan hasil perhitungan di Ms excel dan Matlab diperoleh hasil perhitungan yang sama ini menandakan bahwa script yang digunakan di Matlab sudah sesuei dengan hasil perhitungan di excel. Pada grafik jika kita amati menghasilkan hubungan korelasi positif yang artinya menyatakan bahwa hubungan semakin besar pada nilai pada variabel x, diikuti pula perubahan dengan semakin besar nilai pada variabel y. Ini dibuktikan dengan hasil perhitungan nilai korelasi regresi yaitu r =0,997 dan juga di peroleh persamaan regresi linearnya yaitu y=2,4+1,566x.
15
BAB V PENUTUP A. Kesimpulan
Adapun kesimpulan dari laporan ini yaitu bahwa korelasi regeresi sangat penting digunakan dimana kita dapat menyatakan suatu hubungan dari varibel-variabel dan tentunya ini sangat bermanfaat di gunakan dalam dunia geofisika. B. Saran
Kritik dan saran sangat kami perlukan untuk pengembangan laporan ini karena masih banyak kekurangan pada penulisan maupun dalam pengerjaan di ms excel dan matlab.
16
PEMBAGIAN TUGAS KELOMPOK 7 Riatna : mengerjakan hasil perhitungan regresi linear di Ms excel dan Matlab, membuat power point, dan menyusun laporan. Muslima
: membuat power point
Ade soraya
: membuat power point
Reski kurniati: membuat power point
17
