LAPORAN PRAKTIKUM KOMPUTASI PROSES PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDINER JENIS INITIAL VALUE PROBLEM (IVP) DENGAN RUNGE KUTTA
Disusun Oleh:
Nama
: Indah Eka Septiani
NIM
: 10 521 019
Kelas
: A
JURUSAN TEKNIK KIMIA FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA YOGYAKARTA 2012
BAB I PENDAHULUAN A. Tujuan Percobaan Agar mahasiswa dapat menyelesaikan bentuk penyelesaian differensial ordiner jenis initial value problem menggunakan penyelesaian numerik.
B. Dasar Teori Persoalan yang muncul dalam bidang fisika matematika sering dapat diturunkan ke dalam suatu persamaan diferensial. Persamaan diferensial merupakan salah satu cabang matematika yang termasuk dalam kelompok analisis. Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan fungsi yang belum diketahui, dan atau persamaan itu mungkin juga melibatkan fungsi itu sendiri dan konstanta. Persamaan ini diperkenalkan pertama kali oleh Leibniz pada tahun 1676. Persamaan diferensial seringkali muncul dalam model matematika yang mencoba menggambarkan keadaan kehidupan nyata. Banyak hukum-hukum alam dan hipotesa-hipotesa dapat diterjemahkan kedalam persamaan yang mengandung turunan melalui bahasa matematika. Sebagai contoh, turunan-turunan dalam fisika muncul sebagai kecepatan dan percepatan sedangkan dalam geometri sebagai kemiringan. Persamaan diferensial juga dapat didefinisikan sebagai persamaan matematis yang mengandung satu variabel bebas, variabel terikat dan turunan-turunan variabel terikat terhadap variabel bebasnya. Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai: 1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) dan persamaan diferensial parsial ( partial differential equation). Persamaan diferensial biasa didefinisikan sebagai suatu persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan biasa suatu fungsi yang tidak diketahui dengan dua atau lebih peubah bebas. Sedangkan persamaan diferensial parsial didefinisikan sebagai suatu persamaan yang mengandung satu atau lebih turunan parsial suatu fungsi yang tidak diketahui dengan dua atau lebih peubah bebas. 2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang
adalah orde satu. ada dalam persamaan. adalah orde tiga ; adalah orde dua;
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi. Sebagai contoh:
adalah persamaan diferensial
biasa, orde tiga, derajat dua. Persamaan diferensial Sturm-Liouville adalah persamaan diferensial biasa berorde dua yang diperkenalkan oleh ahli matematika Jacques C.F Sturm(1803-1855) dan Joseph Liouville (1809-1882). Persamaan diferensial ini dapat diselesaikan dengan menggunakan metode numerik. Sasaran akhir dari analisis numerik yang dilakukan dalam metode numerik adalah diperolehnya metode yang terbaik untuk memperoleh jawaban yang berguna dari persoalan matematika. Berdasarkan persoalan syarat atau nilainya, persamaan diferensial ordiner dibedakan menjadi: a. Persamaan diferensial dengan persoalan syarat/nilai awal (intial value problem, IVP). Yakni jika semua syarat diberikan pada satu nilai perubah bebas (yakni pada nol atau x) Misal:
dengan: y(0) = 2 dan y’(0) = -1
b. Persamaan diferensial dengan persoalan syarat/nilai batas (boundary value problem, BVP). Yakni jika syarat-syarat diberikan pada lebih dari satu nilai perubah bebas. Misal:
dengan: y(0) = 2 dan y’(3π/2) = 1
Menyelesaikan atau mengintegrasi persamaan diferensial: dengan syarat awal:
... (1)
secara numerik berarti menentukan atau menghitung
nilai-nilai pendekatan y1, y2, y 3, dst. dari penyelesaian eksak y1#, y2#, y3#, dst. pada x = x 1, x = x 2, x = x 3, dst. (y1#, y2#, y3#, dst. sendiri biasanya justru tidak diketahui nilainya). Titik (x0, y0) digunakan sebagai titik tolak pengintegrasian. Sebuah Persamaan Diferensial Ordiner (PDO) disebut stabil, jika dalam arah integrasi, penyelesaiannya bersifat konvergen. Dan sebaliknya, PDO disebut tidak stabil, jika dalam arah integrasi, penyelesaiannya bersifat divergen. Dua jenis metode penyelesaian numerik persamaan diferensial ini: 1. Metode satu langkah (one-step methods) a. Metode Euler (eksplisit) b. Penyempurnaan atau perbaikan metode Euler (Metode Heun, Metode Titik Tengah)
c. Metode Runge-Kutta 2. Metode banyak langkah (multi-steps methods) Metode numerik yang digunakan untuk persamaan diferensial biasa dan merupakan metode yang akurat untuk sebagian besar kasus adalah metode Runge Kutta. Namun metode ini memiliki orde suku lebih tinggi yang mengakibatkan perhitungan perhitungan yang lebih rumit dan lebih mendalam walaupun hasilnya akan memiliki galat yang kecil. Metode Runge Kutta merupakan metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dengan ketelitian dan kestabilan yang cukup tinggi. Metode ini sangat umum digunakan untuk menyelesaikan bentuk persamaan diferensial biasa, baik linear maupun nonlinear dengan permasalahan kondisi awal. Persamaan dengan metode Runge Kutta adalah:
Secara umum persamaannya dapat dituliskan dalam bentuk:
∑
∑
Bentuk penyelesaian metode Runge Kutta dilakukan berdasarkan orde (pangkat): 1.
Orde dua:
Dengan nilai dari
:
2.
Orde tiga:
Dengan nilai dari
3.
:
( )
Orde empat:
Dengan nilai dari
:
( )
Pada metode Runge Kutta, semakin tinggi ordenya, semakin tinggi pula tingkat ketelitian (akurasi) yang akan didapatkan. Di sisi lain, parameter yang diperlukan juga akan lebih banyak. Pada umumnya, penyelesaian persamaan diferensial biasa akan menggunakan metode Runge Kutta orde empat. Bentuk :
dy dx
f ( x, y )
....... (4.1)
I.C. : x = xo; y = yo
Rumus untuk mencari harga-harga pada : i + 1, berdasar harga-harga pada i : Xi+1 = xi + ∆x Yi+1 = yi + {(k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4)/6} Dengan: k 1 = f(xi, yi).∆x k 2 = f(xi + ∆x/2 , yi + k 1/2).∆x k 3 = f(xi + ∆x/2 , yi + k 2/2).∆x k 4 = f(xi + ∆x , yi + k 3).∆x
Algoritma
1) Definisikan
2) Menentukan nilai x0, y0, xn, i 3) Mencari nilai ∆x=
Mencari nilai ( ) Mencari nilai ( ) Mencari nilai Mencari nilai Mencari nilai Iterasi hingga
4) Mencari nilai
5)
6)
7)
8)
9)
BAB II PERSOALAN DAN PENYELESAIAN
A. LATIHAN
1.
dy dx
x1.5 y
X0
1
Y0
1,5
∆x (?)
0,2
Xn
3
I
10
Tentukan Y, sampai X=3 i
Xi
Yi
k1
k2
k3
k4
∆y
Yi+1
0
1,000
1,500
0,445
0,493
0,495
0,545
0,494
1,994
1
1,200
1,994
0,545
0,598
0,599
0,653
0,599
2,593
2
1,400
2,593
0,653
0,709
0,711
0,768
0,710
3,304
3
1,600
3,304
0,768
0,827
0,829
0,890
0,828
4,132
4
1,800
4,132
0,890
0,952
0,953
1,017
0,953
5,085
5
2,000
5,085
1,017
1,082
1,083
1,149
1,083
6,167
6
2,200
6,167
1,149
1,217
1,218
1,287
1,218
7,385
7
2,400
7,385
1,287
1,357
1,358
1,430
1,358
8,743
8
2,600
8,743
1,430
1,502
1,504
1,577
1,503
10,246
9
2,800
10,246
1,577
1,652
1,653
1,729
1,653
11,899
10
3,000
11,899
1,729
1,806
1,807
1,885
1,807
13,706
Jadi pada saat X = 3, harga Y yang didapat = 11,899 2.
dy dx
x 2.5 y 0.5
X0
2
Y0
2,5
∆x
0,25
Xn (?)
4,5
I
10
Tentukan Y, sampai X=Xn
i
Xi
Yi
k1
k2
k3
k4
∆y
Yi+1
0
2,000
2,500
1,809
2,107
2,117
2,436
2,115
4,615
1
2,250
4,615
2,436
2,777
2,786
3,151
2,785
7,401
2
2,500
7,401
3,151
3,540
3,548
3,962
3,548
10,949
3
2,750
10,949
3,962
4,403
4,410
4,877
4,411
15,360
4
3,000
15,360
4,877
5,371
5,378
5,899
5,379
20,739
5
3,250
20,739
5,899
6,448
6,455
7,033
6,457
27,195
6
3,500
27,195
7,033
7,640
7,647
8,284
7,649
34,844
7
3,750
34,844
8,284
8,951
8,957
9,655
8,959
43,803
8
4,000
43,803
9,655
10,383
10,390
11,150
10,392
54,194
9
4,250
54,194
11,150
11,942
11,948
12,772
11,950
66,145
10
4,500
66,145
12,772
13,630
13,636
14,526
13,638
79,783
Jadi pada saat X = 4,5, harga Y yang didapat = 66,145 3.
dy dx
2 x 2 y 2 xy
X0
0,5
Y0
1
∆x (?)
0,1
Xn
1,5
I
10
Tentukan Y, sampai X=1,5 i
Xi
Yi
k1
k2
k3
k4
∆y
Yi+1
0
0,500
1,000
0,150
0,183
0,186
0,228
0,186
1,186
1
0,600
1,186
0,228
0,279
0,284
0,350
0,284
1,470
2
0,700
1,470
0,350
0,432
0,443
0,551
0,442
1,912
3
0,800
1,912
0,551
0,688
0,709
0,896
0,707
2,619
4
0,900
2,619
0,896
1,136
1,181
1,520
1,175
3,793
5
1,000
3,793
1,517
1,960
2,055
2,702
2,041
5,835
6
1,100
5,835
2,696
3,552
3,763
5,068
3,732
9,567
7
1,200
9,567
5,051
6,802
7,295
10,083
7,221
16,788
8
1,300
16,788
10,039
13,837
15,042
21,390
14,865
31,653
9
1,400
31,653
21,271
30,046
33,163
48,612
32,717
64,370
10
1,500
64,370
48,278
69,966
78,539
118,900
77,365
141,735
Jadi pada saat X = 1,5, harga Y yang didapat = 64,370
B. TUGAS dy dx dy dx
1
2 x
2
2 x
2
xy
y 3
xy
20 xy
X0
4
Y0
1,75
∆x
0,4
Xn
12
I (?)
20
20 xy 1
y3
Tentukan Y, sampai X=12 i
Xi
Yi
k1
k2
k3
k4
∆y
Yi+1
0
4,000
1,750
14,519
15,952
16,011
18,083
16,088
17,838
1
4,400
17,838
18,088
20,242
20,312
22,542
20,290
38,128
2
4,800
38,128
22,541
24,851
24,912
27,307
24,896
63,023
3
5,200
63,023
27,306
29,787
29,843
32,414
29,830
92,854
4
5,600
92,854
32,413
35,074
35,127
37,879
35,116
127,969
5
6,000
127,969
37,878
40,722
40,774
43,710
40,763
168,733
6
6,400
168,733
43,710
46,739
46,789
49,912
46,780
215,512
7
6,800
215,512
49,912
53,128
53,178
56,488
53,169
268,681
8
7,200
268,681
56,488
59,893
59,942
63,441
59,933
328,614
9
7,600
328,614
63,441
67,035
67,083
70,771
67,074
395,689
10
8,000
395,689
70,771
74,554
74,602
78,480
74,594
470,283
11
8,400
470,283
78,480
82,453
82,501
86,569
82,493
552,775
12
8,800
552,775
86,569
90,732
90,780
95,038
90,772
643,547
13
9,200
643,547
95,038
99,392
99,439
103,888
99,431
742,979
14
9,600
742,979
103,888
108,433
108,479
113,119
108,472
851,451
15
10,000
851,451
113,119
117,855
117,901
122,732
117,894
969,345
16
10,400
969,345
122,732
127,658
127,705
132,727
127,698
1097,042
17
10,800
1097,042
132,727
137,844
137,891
143,104
137,883
1234,926
18
11,200
1234,926
143,103
148,412
148,458
153,863
148,451
1383,377
19
11,600
1383,377
153,862
159,362
159,409
165,004
159,401
1542,778
20
12,000
1542,778
165,004
170,695
170,741
176,528
170,734
1713,512
Jadi pada saat X = 12, harga Y yang didapat = 1542,778
BAB III PENUTUP A. KESIMPULAN Adapun kesimpulan yang dapat diperoleh antara lain: a. Persamaan diferensial merupakan salah satu cabang matematika yang termasuk dalam kelompok analisis. b. Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang melibatkan satu atau lebih turunan fungsi yang belum diketahui, dan atau persamaan itu mungkin juga melibatkan fungsi itu sendiri dan konstanta. c. Klasifikasi persamaan diferensial: 1.
Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa (ordinary differential equation) dan persamaan diferensial parsial ( partial differential equation).
2.
Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi
adalah yang ada dalam persamaan. adalah orde tiga ; adalah orde dua; orde satu. 3.
Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.
d. Berdasarkan persoalan syarat atau nilainya, persamaan diferensial ordiner dibedakan menjadi: 1. Persamaan diferensial dengan persoalan syarat/nilai awal (intial value problem, IVP). 2. Persamaan diferensial dengan persoalan syarat/nilai batas (boundary value
problem, BVP) e. Dua jenis metode penyelesaian numerik persamaan diferensial ordiner, antara lain: 1.
Metode satu langkah (one-step methods) a)
Metode Euler (eksplisit)
b)
Penyempurnaan atau perbaikan metode Euler (Metode Heun, Metode Titik Tengah)
c) 2.
Metode Runge-Kutta
Metode banyak langkah (multi-steps methods)
f. Metode Runge Kutta merupakan metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dengan ketelitian dan kestabilan yang cukup tinggi dan paling banyak digunakan. g. Pada metode Runge Kutta, semakin tinggi ordenya, semakin tinggi pula tingkat ketelitian (akurasi) yang akan didapatkan. Di sisi lain, parameter yang diperlukan juga akan lebih banyak. h. Pada umumnya, penyelesaian persamaan diferensial biasa akan menggunakan metode Runge Kutta orde empat. i.
Hasil yang diperoleh dari metode Runge Kutta memiliki galat yang kecil.
j.
Melalui aplikasi Metode Runge Kutta dalam penyelesaian persamaan diferensial ordiner jenis initial value problem pada praktikum kali ini, diperoleh hasil: 1. Diketahui persamaan diferensial :
√
Pada saat x = 3, harga y yang didapat adalah 11,899 2. Diketahui persamaan diferensial :
Pada saat x = 4,5, harga y yang didapat adalah 66,145 3. Diketahui persamaan diferensial :
Pada saat x = 1,5, harga y yang didapat adalah 64,370 4. Diketahui persamaan diferensial :
√
Pada saat x = 12, harga y yang didapat adalah 1542,778
B. SARAN 1. Dalam penyelesaian persamaan diferensial ordiner jenis Initial Value Problem (IVP) dengan metode Runge Kutta, harus memerlukan ketelitian yang tinggi sebab dalam penggunana microsoft excel apabila proses input data ke dalam formula tidak sesuai atau ada penempatan tanda kurung maupun posisi angka yang tidak pas, maka program tersebut bisa salah mengartikan solusinya dan harga penyelesaian yang dicapai akan berbeda dari yang seharusnya. Bahkan bisa saja ter jadi galat/error. 2. Sebaiknya melakukan perbandingkan antara hasil yang dicapai dengan cara numerik dengan hasil yang dicapai dengan cara analitis terutama untuk fungsi-fungsi sederhana. Jika selisih dari kedua cara tersebut mendekati nol, maka proses penyelesaian dengan cara Runge Kutta sudah tepat. 3. Untuk mengefisienkan waktu dalam mengerjakan persoalan dari persamaan diferensial ordiner jenis Initial Value Problem (IVP) dengan metode numerik, sebaiknya praktikan memanfaatkan shortcut-shortcut yang terintegrasi dalam program windows.
Daftar Pustaka
Tim Laboratorium Komputasi Proses, 2004, Modul Praktikum Komputasi Proses, Jurusan Teknik Kimia, Yogyakarta: Universitas Islam Indonesia. http://diyarkholisoh.files.wordpress.com/2008/12/penyelesaian-pdb-ivp-doc-dy.pdf [Download, 21 November 2012] http://eecafedotnet.files.wordpress.com/2011/08/persamaan-diferensial-orde-11.pdf [Download, 27 November 2012] http://kk.mercubuana.ac.id/files/14076-12-568038049378.doc
[Download, 27 November
2012] http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/21794/4/Chapter%20I.pdf [Download, November 2012]
27
