BAB I
A. TUJUAN PERCOBAAN Agar mahasiswa dapat menyelesaikan bentuk penyelesaian differensial ordiner jenis initial value problem menggunakan penyelesaian numerik.
B. DASAR TEORI Merupakan metode yang paling banyak diterapkan untuk integrasi numerik persamaan diferensial biasa dengan initial value problem, karena menghasilkan pendekatan yang cukup baik.
Metode heun
Metode poligon
Metode Euler merupakan salah satu jenis metode Runge-Kutta yang berorde satu (atau n = 1).
Metode Runge-Kutta yang paling umum digunakan adalah metode Runge-Kutta berorde 4. -
Lebih teliti daripada Metode Euler
-
Tanpa memerlukan suku derivatif
Bentuk umum penyelesaian diferensial dengan Metode Runge-Kutta adalah: Bentuk :
Mempunyai bentuk
I.C.
:
:
x = x0 ; y = y0
Rumus untuk mencari harga-harga pada : i + 1, berdasar harga-harga pada i :
Page | 1
{ } Dengan
( ) ( ) Setiap k saling terhubung dengan k yang lain
k1 muncul pada persamaan k2
dan k2 muncul pada persamaan k3 dan seterusnya. Terdapat beberapa jenis Metode Runge-Kutta yang dibedakan dari jumlah suku pada persamaan untuk menghitung k:
Runge Kutta orde 1 (first-order RK): n = 1
Runge Kutta orde 2 (second-order RK): n = 2
Runge Kutta orde 3 (third-order RK): n = 3
Runge Kutta orde 4 (fourth-order RK): n = 4
1. Metode Runge Kutta Ordo-2 Persamaan : yi+1 = yi + (a1k 1 + a2k 2) h dengan : k 1 = f( xi , yi) k 2 = f( xi + p2.h , yi + q12.k 1.h)
2. Metode Runge Kutta Ordo-3 Seperti halnya versi orde dua, maka versi Runge-Kutta ordo-3 pun ada banyak macamnya. Salah satu versi Runge Kutta ordo-3 yang dapat dipakai adalah : Persamaan : yi+1 = yi + (
+ 4k + k ) h 1 2 3 Page | 2
dengan : k 1 = f( xi , yi)
k 2 = f( xi + h , yi + h. k 1) k 3 = f( xi + h , yi - h. k 1 + 2h. k 2)
3. Metode Runge Kutta Ordo-4 Metode Runge Kutta ordo-4 ini juga terdapat dalam banyak versi, namun persamaan berikut ini yang sering dipakai, dan disebut sebagai metode RungeKutta ordo-4 klasik :
Persamaan : yi + 1 = yi + ( k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4) h dengan: k 1= f ( xi , yi)
k 3 = f( xi + h , yi + h. k 2) k 2 = f( xi + h , yi + h. k 1)
k 4 = f( xi + h , yi + h. k 3)
4. Metode Runge Kutta Ordo Tinggi Metode Runge Kutta ordo-5 diturunkan oleh Butcher (1964) sebagai berikut : Persamaan : yi+1 = yi + (
+ 32k + 12k + 32k + 7 k ) h 3 4 5 6 1
dengan : k 1= f ( xi , yi)
k 3 = f( xi + h , yi + h. k 1 + h. k 2 ) k 4 = f( xi + h , yi - h. k 2+ h. k 2) k 5 = f( xi + h , yi + h. k 1+ h. k 4) k 6 = f( xi + h , yi - h. k 1+ h. k 2 + k 2 = f( xi + h , yi + h. k 1)
h. k 3 -
h. k 4+
h. k 5)
Page | 3
Alogaritma :
1. Definisikan
= f (x,y)
2. Menentukan nilai x0, y0, xn, dan i 3. Mencari nilai
4. Mencari nilai k 1 k 1= f (xi , yi) x 5. Mencari nilai k 2 k 2 = f (x i +
, y + ) x i
k 3 = f (x i +
, y + ) x i
6. Mencari nilai k 3
7. Mencari nilai k 4 k 4 = f (xi + x , yi + k 3) x 8. Mencari nilai y y
= (k 1+2k 2+2k 3+k 4)
9. Mencari nilai yi + 1 yi + 1 =
y
+ yi
10. Diiterasi hingga xn
Page | 4
BAB II
A. LATIHAN
LATIHAN 1
dy dx
X0
2
Y0 ∆x
1 0,2
XN i
4 10
x 2 3
y
TENTUKAN Y, SAMPAI X=4 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4
yi 1,0000 1,0902 1,2281 1,4155 1,6544 1,9473 2,2972 2,7075 3,1816 3,7233 4,3364
k 1 0,0667 0,1138 0,1624 0,2127 0,2654 0,3209 0,3795 0,4416 0,5073 0,5768 0,6502
k 2 0,0907 0,1385 0,1878 0,2393 0,2933 0,3503 0,4106 0,4744 0,5420 0,6134 0,6889
k 3 0,0895 0,1373 0,1867 0,2382 0,2923 0,3493 0,4096 0,4735 0,5410 0,6125 0,6880
k 4 0,1139 0,1624 0,2128 0,2655 0,3210 0,3796 0,4416 0,5073 0,5768 0,6502 0,7277
∆y 0,0902 0,1380 0,1874 0,2389 0,2929 0,3499 0,4103 0,4741 0,5417 0,6131 0,6886
yi+1 1,0902 1,2281 1,4155 1,6544 1,9473 2,2972 2,7075 3,1816 3,7233 4,3364 5,0250
JADI NILAI Y SAMPAI X = 4 ADALAH 4.3364
LATIHAN 2
dy dx
2 xy
y 0, 2 Page | 5
X0
1
Y0 ∆x
1,5 0,2
XN i
3 10
TENTUKAN Y, SAMPAI X=3 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3
yi 1,5000 2,1228 2,8710 3,7541 4,7818 5,9640 7,3105 8,8314 10,5366 12,4361 14,5402
k 1 0,5633 0,6839 0,8140 0,9538 1,1033 1,2627 1,4320 1,6114 1,8007 2,0001 2,2097
k 2 0,6205 0,7458 0,8808 1,0254 1,1799 1,3443 1,5186 1,7030 1,8973 2,1018 2,3164
k 3 0,6243 0,7496 0,8845 1,0291 1,1835 1,3479 1,5222 1,7065 1,9009 2,1054 2,3200
k 4 0,6841 0,8142 0,9539 1,1034 1,2628 1,4321 1,6115 1,8008 2,0002 2,2098 2,4294
∆y 0,6228 0,7482 0,8831 1,0277 1,1822 1,3465 1,5209 1,7052 1,8996 2,1041 2,3187
yi+1 2,1228 2,8710 3,7541 4,7818 5,9640 7,3105 8,8314 10,5366 12,4361 14,5402 16,8589
JADI NILAI Y SAMPAI X = 3 ADALAH 14,5402
B. TUGAS
TUGAS 1
dy dx
x 2 X 3
X0
0,5
Y0 ∆x
1 0,25
XN
3
y
Page | 6
10
i
TENTUKAN Y, SAMPAI X=3 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
xi 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3
yi 1,0000 1,4086 2,0957 3,2280 5,0314 7,8066 11,9492 17,9765 26,5605 38,5724 55,1379
k 1 k 2 k 3 k 4 ∆y yi+1 0,3125 0,3982 0,4090 0,5245 0,4086 1,4086 0,5244 0,6709 0,6892 0,8780 0,6871 2,0957 0,8775 1,1082 1,1371 1,4258 1,1323 3,2280 1,4246 1,7689 1,8119 2,2342 1,8034 5,0314 2,2321 2,7270 2,7888 3,3874 2,7752 7,8066 3,3840 4,0766 4,1632 4,9924 4,1427 11,9492 4,9873 5,9380 6,0569 7,1863 6,0272 17,9765 7,1789 8,4648 8,6256 10,1444 8,5840 26,5605 10,1340 11,8540 12,0690 14,0913 12,0119 38,5724 14,0770 16,3578 16,6429 19,3152 16,5656 55,1379 19,2958 22,3000 22,6755 26,1857 22,5721 77,7100
JADI NILAI Y SAMPAI X=3 ADALAH 55,1379
TUGAS 2 2
2 yx dy X0
1
Y0 ∆x
1,5 0,1
XN i
2 10
xy 2
dx
TENTUKAN Y, SAMPAI X=2 i 0 1 2 3
xi 1 1,1 1,2 1,3
yi 1,5000 1,5238 1,5456 1,5656
k 1 0,0250 0,0227 0,0208 0,0192
k 2 0,0238 0,0217 0,0200 0,0185
k 3 0,0238 0,0217 0,0200 0,0185
k 4 0,0227 0,0208 0,0192 0,0179
∆y 0,0238 0,0218 0,0200 0,0185
yi+1 1,5238 1,5456 1,5656 1,5841 Page | 7
4 5 6 7 8 9 10
1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2
1,5841 1,6014 1,6175 1,6327 1,6469 1,6605 1,6733
0,0179 0,0167 0,0156 0,0147 0,0139 0,0132 0,0125
0,0172 0,0161 0,0152 0,0143 0,0135 0,0128 0,0122
0,0172 0,0161 0,0152 0,0143 0,0135 0,0128 0,0122
0,0167 0,0156 0,0147 0,0139 0,0132 0,0125 0,0119
0,0172 0,0161 0,0152 0,0143 0,0135 0,0128 0,0122
1,6014 1,6175 1,6327 1,6469 1,6605 1,6733 1,6855
JADI NILAI Y SAMPAI X =2 ADALAH 1,6733
BAB III
A. KESIMPULAN
Kualitatif 1. Metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan differensial ordiner jenis initial value problem (IVP) adalah -
Metode euler
-
Metode heun
-
Metode peligon
-
Metode runge kutta
2. Metode Runge-Kutta Merupakan metode yang paling banyak diterapkan untuk integrasi numerik persamaan diferensial biasa dengan initial value problem, karena menghasilkan pendekatan yang cukup baik.
Page | 8
3. Terdapat beberapa jenis Metode Runge-Kutta yang dibedakan dari jumlah suku pada persamaan untuk menghitung k: -
Runge Kutta orde 1 (first-order RK): n = 1
-
Runge Kutta orde 2 (second-order RK): n = 2
-
Runge Kutta orde 3 (third-order RK): n = 3
-
Runge Kutta orde 4 (fourth-order RK): n = 4
4. Bentuk umum penyelesaian diferensial dengan Metode Runge-Kutta adalah:
5. Alogaritma : 1. Definisikan
= f (x,y)
2. Menentukan nilai x 0, y0, xn, dan i 3. Mencari nilai
4. Mencari nilai k 1 k 1= f (xi , yi) x 5. Mencari nilai k 2 k 2 = f (x i +
, y + ) x i
k 3 = f (x i +
, y + ) x i
6. Mencari nilai k 3
7. Mencari nilai k 4 k 4 = f (xi + x , yi + k 3) x 8. Mencari nilai y y
= (k 1+2k 2+2k 3+k 4)
9. Mencari nilai yi + 1 yi + 1 =
y
+ yi
10. Diiterasi hingga xn 6. Metode Runge-Kutta yang paling umum digunakan adalah metode Runge-Kutta berorde 4. -
Lebih teliti daripada Metode Euler
-
Tanpa memerlukan suku derivatif
Page | 9
Kuantitatif 1. Dari persamaan soal latihan
dy dx
X0
2
Y0 ∆x
1 0,2
XN i
4 10
x 2 3
y
Di dapatkan Y sampai X = 4 adalah 4.3364
2.
dy dx
2 xy
X0
1
Y0 ∆x
1,5 0,2
XN i
3 10
y 0, 2
Didapatkan nilai y sampai x= 3 adalah 14,5402
3. Dari soal tugas yang diberikan
dy dx
X0
0,5
Y0 ∆x
1 0,25
XN i
3 10
x 2 X 3
y
Page | 10
Didapatkan nilai y sampai x = 3 adalah 55,1379
4. 2
2 yx dy X0
1
Y0 ∆x
1,5 0,1
XN i
2 10
xy 2
dx
Didapatkan nilai y sampai x = 2 adalah 1,6733
B. SARAN 1. Agar lebih memperhatikan apabila asisten sedang menjelaskan. 2. Agar lebih teliti dalam memasukkan rumus dan angka. 3. Agar lebih teliti dalam memberi tanda kurung.
DAFTAR PUSTAKA
-
Modul praktikum komputasi proses jurusan teknik kimia fakultas teknologi industri Universitas Islam Indonesia.
-
https://diyarkholisoh.files.wordpress.com/2008/12/penyelesaian-pdb-ivp-ppt-dy.pdf
-
https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=10&cad=rja&ua ct=8&ved=0CFIQFjAJ&url=http%3A%2F%2Frepository.unand.ac.id%2F9459%2F&ei =F01xVMzMOMS2uAS9-YCQDA&usg=AFQjCNHxE5GXQI9Gg2k_iYb9cfoah_q7w&bvm=bv.80185997,d.c2E
-
http://repository.unand.ac.id/9459/
Page | 11
