PERSAMAAN LINIER SIMULTAN
BAB 4 A. PENDAHUL PENDAHULUAN UAN
Pada Pada
ab ini akan akan dibah dibahas as tent tentang ang pers persam amaan aan lin linie ierr simu simulat latan an,, sehi sehing ngga ga
diharapakan diharapakan mahaiswa akan mampu menyelesaikan menyelesaikan persamaan persamaan linier simultan simultan yang yang munc muncul ul dari dari perma permasa salah lahan an tekn teknik ik kimia. kimia. Mahas Mahasis iswa wa juga juga diha diharap rapka kan n mampu menyusun suatu persamaan linier simultan dari peristiwa fisis atau kimia dalam teknik kimia dan menyelesaikan persamaan tersebut dengan MATLAB. Topi To pik k ini ini sang sangat at pent pentin ing g untu untuk k dipe dipelaj lajari ari kare karena na dalam dalam perm permas asala alaha han n peny penyus usun unan an nera neraca ca ma mass ssaa dan dan ener energi gi seri sering ng dite ditemu muka kan n pers persam amaa aan n yang yang menc mencer ermin minkan kan peril perilaku aku dari dari sist sistem em beru berupa pa sepe seperan rangk gkat at pers persama amaan an lin linie ierr simultan yang kompleks. Untuk memperdalam pemahaman mahasiswa tentang topik ini disarankan untuk membaca kembali buku rujukan yang digunakan dalam kuliah ini.
B. PENYAJIAN MATERI
Analisis matematis dari sistem fisika-kimia linier sering menghasilkan model yang yang terd terdiri iri dari dari sepe seperan rangk gkat at pers persam amaan aan aljaba aljabarr lin linie ier. r. Selai Selain n itu, itu, meto metode de peny penyele elesa saian ian
dari dari sist sistem em per persa sama maan an nonli nonlini nier er dan dan pers persama amaan an
dife difere rens nsial ial
menggunakan teknik dari model linierisasi, sehingga membutuhkan penyelesaian erulang erulang dari seperangka seperangkatt persamaan persamaan aljabar linier. Masalah-masal Masalah-masalah ah ini dapat erupa persamaan persamaan dengan kompleksitas kompleksitas yang tinggi yaitu dari seperangkat seperangkat yang terdir terdirii dari dua persam persamaan aan linear linear aljabar aljabar simult simultan an sampai sampai seperan seperangka gkatt yang yang melibatkan 1.000 atau bahkan 10.000 persamaan. Penyelesaian dari seperangkat dua sampai tiga persamaan persamaan aljabar linear dapat diperoleh dengan mudah dengan metode eliminasi aljabar atau dengan penerapan aturan Cramer. Namun, untuk sistem yang melibatkan lima atau lebih persamaan, metode eliminasi aljabar menjadi terlalu kompleks, dan aturan Cramer membutuhkan sejuml jumlah ah oper operas asii arit aritma mati tika ka ting tinggi gi,, terl terlal alu u bes besar
Heri Rustamaji
ahka ah kan n untu untuk k saat aat ini ini
Teknik Kimia Unila
41
dibutuhkan kecepatan komputer digital yang tinggi. Dalam bagian ini, kami memberikan
eberapa contoh dari sistem yang menggambarkan aplikasi dari
teknik kimia yang menghasilkan seperangkat persamaan aljabar linier simultan. Neraca massa dan energi adalah tools utama tersebut
misalnya
diterapkan
pada
proses
adi insinyur kimia. Neraca distilasi
ertingkat
atau
multikomponen yang menghasilkan seperangkat persamaan yang dapat berupa persaman
diferensial atau aljabar. Seringkali sistem yang dianalisis adalah
persamaan nonlinier, sehingga menghasilkan seperangkat persamaan nonlinier. Namun, anyak prosedur telah dikembangkan dengan linearisasi persamaan dan menerapkan teknik iteratif konvergensi untuk sampai pada penyelesaian dari sistem persamaan nonlinier. Sebuah contoh klasik dari penggunaan teknik ini adalah dalam analisis kolom distilasi, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.1. Neraca massa
steady state diterapkan pada bagian rektifikasi kolom menghasilkan
persamaan berikut: v ji
Total kondensor
loi Reflux drum j = 0
j =1
v ji
l j-1,i
d i D
j
v j+1,i
l ji
j +1
v f-1,1 F zi F
vFi
lFi v ji
l f-1,i l j-1,i
v j+1,i l ji
j = f-1 j = f j j +1
j =N-1
Reboiler parsial
j =N
bi B
Gambar 4.1 Kolom distilasi
Heri Rustamaji
Teknik Kimia Unila
42
Neraca massa sekitar kondensor: V 1y1i = L o1xoi + D xDi
(4.1)
Neraca massa di atas tahap j: V j y ji = L j-1x j-1 + D xDi Asumsi bahwa tahap
(4.2)
earada dalam kesetimbangan dan kolom meggunakan
kondensor total sehingga hubungan kesetimbangan berikut berlaku: y ji = K ji x ji
(4.3)
persamaan (4.3) disubtitusikan ke persamaan (4.1) dan (4.2) dan semuanya dibagi dengan D x Di maka dihasilkan persamaan : V 1 y1i D x1i
L0 z jF F D x1i
x1i 1
(4.3)
L j 1 V j 1 y j 1,i 1 D x1i K j 1,i D x1i V j y j
(4.3)
Laju alir molal komponeen tunggal didefinisikan sebagai: v ji = V 1y1i
(4.6)
di = D xDi
(4.7)
untuk beberapa tahap j, rasio adsorpsi didefinisikan sebagai: A1i
L j
(4.8)
K jV j
dan untuk kondenser total A0 i
L0
(4.9)
D
Subtitusi persamaan (4.6)-( 4.8) ke persamaan (4.4) dan (4.5) dihasilkan: v1i A0i 1 d i
Heri Rustamaji
(4.10)
Teknik Kimia Unila
43
v1i y A j 1,i j 1,i 1 d i d i
(4.11)
Untuk setiap perhitungan percobaan yang diberikan
A
dianggap sebagai
konstanta. Yang tidak diketahui dalam persamaan di atas adalah kelompok v ji /di. Jika hal ini diganti dengan x ji dan subskrip i, komponen menunjukkan komponen i yang dijatuhkan, seperangkat persamaan berikut dapat ditulis untuk kolom yang berisi lima tahap kesetimbangan di atas tahap/plat umpan.
x1
= Ao + 1
-A1x1 + x2
=1
-
2x 2
+ x3
=1
-A3x3 + x4 +
=1
-A4x4 + x 5 +
=1
Ini adalah seperangkat persamaan aljabar linier simultan. Ini sebenarnya adalah seperangkat khusus yang hanya memiliki persyaratan ukan nol pada diagonal dan satu elemen yang berdekatan. Ini adalah satu set matrik
idiagonal.
Bentuk umum persamaan linier simultan adalah: a11x1 + a12x2 + a13x3 + …. + a1nxn = c 1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + …. + a2nxn = c 2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + …. + a3nxn = c 3 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1x1 + a n2x2 + an3x3 + …. + annxn = cn di mana semua koefisien aij, dapat gerupa nilai yang
ukan nol. Seperangkat
persamaan ini biasanya sering dinyatakan dalam vektor matrix dengan notasi sebagai erikut: x = c
dimana A adalah koefisien matriks
Heri Rustamaji
Teknik Kimia Unila
44
ଵଵ
ଵଶ .
.
.
ଵ
ଶଵ
ଶଶ
.
.
.
ଶ
.
.
=
⎢ ⎣ x adalah
.
.
ଵ
ଶ
.
.
.
.
.
.
⎥ ⎦
vektor dari variable yang tidak diketahui nilainya
ଵ
ଶ .
=
. .
⎣
⎦
dan c adalah vektor konstanta ଵ
ଶ .
=
. .
⎣ Ketika vektor
c
⎦
adalah vektor nol, maka seperangkat persamaan di atas disebut
homogen.
Di dalam MATLAB, jenis persamaan-persamaan di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan fasilitas yang sudah tersedia yaitu operasi
matrix .
Contoh 4.1 Mencari beberapa variabel persamaan linier simultan
Diketahui sebuah sistem persamaan linier sbb. : 5 x1 3 x 2 x 3
5
x1 2 x 2 3 x 3 x 4 1
Heri Rustamaji
3 x 2 5 x 3 6 x 4
5
x1 2 x3 x 4
0
Teknik Kimia Unila
45
Sistem persamaan linier ini dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks :
0 x1 5 5 3 1 1 1 2 3 1 x 2 0 3 5 6 x3 5 2 1 x 4 0 1 0
Penyelesaian pada Matlab :
» A = [5 -3 1 0; 1 2 -3 1; 0 3 -5 6; -1 0 2 -1]
A = 5
-3
1
0
1
2
-3
1
0
3
-5
6
-1
0
2
-1
-5
0
» b = [5 1 -5 0] b = 5
1
» x = A\b' x = 1.3165 0.5823 0.1646 -0.9873 » A*x ans = 5.0000 1.0000 -5.0000 0
Heri Rustamaji
Teknik Kimia Unila
46
Contoh 4.2 : Neraca Massa Linier Rangkaian Proses.
Suatu bahan A akan dikonversikan menjadi B dalam sebuah reaktor. Produk B keluar bersama reaktan A yang tidak bereaksi menuju pemisah sehingga reaktan A dapat dikembalikan ke reaktor. Gambar skema proses tesebut ditunjukkan pada gambar di bawah.
Produk berupa zat A murni dengan laju 100 kmol/jam. Kendala proses adalah : 1. 80 % dari A dan 40 % dari B di dalam alur 2 di daur-ulang. 2. Perbandingan mol A terhadap B di dalam alur 1 adalah 5 : 1. Neraca massa Pencampur : NA1 – N A3 = 100 NB1 – N B3 = 0 Neraca massa reaktor : - N A1 + N A2 + r = 0 - N B1 – N B2 – r = 0 (r = laju reaksi) Neraca massa pemisah : - N A2 + N A3 + N A4 = 0
Heri Rustamaji
Teknik Kimia Unila
47
- N B2 + N B3 + N B4 = 0 Kendala-kendala : Porsi cabang :
0.8 NA2 + N A3 = 0 -0.4 NB2 + N B3 = 0
Hubungan komposisi alur :
NA1 – 5 NB1 = 0
Ada 9 persamaan linier dengan 9 variabel yang tak diketahui : NA1, N B1, N A2, N B2, N A3, N B3, N A4, N B4 dan r. Persamaan-persamaan di atas dapat dituliskan kembali dalam bentuk matriks sbb. : 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0.8 0 1 0 0 0 0.4 0 1 0 1 5 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0 N A1
100 0 0 N A 2 1 N A3 0 1 N A 4 0 0 N A 5 0 0 N A 6 0 0 N A 7 0 N 0 A8 0 0 N A9 0
Script Matlab untuk menyelesaikan sistem persamaan ini adalah : % Penyelesaian persamaan neraca massa : neraca.m
A = [1 0
0 1
-1 0
0
-1
1
0
2
0
0 -1
0 0
0 1
0
0
0 -1 0
0
0
0
0
0;
0
0
0;
0
1;
0
1
0
0
0
0
-1;
0
-1
0
1
0
1
0
0;
0
0
0
-1
0
1
0
1
0;
3
0
0
-0.8
4
0
0
0
5
1
-5
Heri Rustamaji
0
0
1
0
0
0
0;
-0.4
0
1
0
0
0;
0
0
0
0
0
0]
Teknik Kimia Unila
48
b = [100 0 0 0 0 0 0 0 ]' x = A\b
» neraca A = Columns 1 through 7
1.0000
0
0
0
-1.0000
0
0
1.0000
0
0
0
-1.0000
-1.0000
0
1.0000
0
0
0
0
-1.0000
0
1.0000
0
0
0
0
-1.0000
0
1.0000
0
0
0
0
-1.0000
0
1.0000
0
0
-0.8000
0
1.0000
0
0
0
0
-0.4000
0
1.0000
1.0000
-5.0000
0
0
0
0
0
0
0
0
1.0000
0
0
0
0 Columns 8 through 9
0
0
0
0
0
1.0000
0
-1.0000
0
0
1.0000
0
0
0
0
0
0
0
b =
Heri Rustamaji
Teknik Kimia Unila
49
100 0 0 0 0 0 0 0 0 x = 227.2727 45.4545 159.0909 113.6364 127.2727 45.4545 31.8182 68.1818 68.1818
C. RANGKUMAN
Persamaan aljabar linier simultan dapat dinyatakan dalam vektor matrik Untuk dapat dinyatakan dalam bentuk vector/matrik jumlah variable yang tidak diketahui harus sama dengan jumlah persamaan Matriks yang terbentuk dari persamaan linier simultan adalah matrik nbujur sangkar Persaman aljabar linier simultan dapat diselesaiakan dengan MATLAB menggunakan operasi matriks
D.LATIHAN Latihan 4.
Xylene (1), styrene (2), toluene (3) dan benzene (4) akan dipisahkan menggunakan 3 buah menara distilasi sebagaimana ditunjukkan oleh gambar di bawah. Masingmasing yaitu : F, D, B, D1, B1, D2, dan B2 adalah laju alir molar dalam mol/menit.
Heri Rustamaji
Teknik Kimia Unila
50
Diketahui :
F
= 70 mol/menit
x ,1
= 0.15 ; x f,2
xd1,1
= 0.07 ; xd1,2 = 0.04 ; xd1,3 = 0.54 ; x d1,4 = 0.35
xb1,1
= 0.18 ; xb1,2 = 0.24 ; xb1,3 = 0.42 ; xb1,4 = 0.16
xd2,1
= 0.15 ; xd2,2 = 0.10 ; xd2,3 = 0.54 ; xd2,4 = 0.21
xb2,1
= 0.24 ; xb2,2 = 0.65 ; xb2,3 = 0.10 ; xb2,4 = 0.01
Heri Rustamaji
= 0.25 ; x f,3
= 0.40 ; x f,4
= 0.20
Teknik Kimia Unila
51
(a) Hitung laju alir molar untuk aliran D1, D2, B1 dan B2 ? (b) Hitung laju alir molar dan komposisi aliran D dan B ?
Petunjuk Penyelesaian :
Neraca massa komponen untuk keseluruhan rangkaian MD x d 1,1D 1 x b 1,1B 1 x d 2,1D 2 x b 2,1B 2 x f ,1F x d 1,2D 1 x b 1,2B 1 x d 2,2D 2 x b 2,2B 2 x f ,2F x d 1,3D 1 x b 1,3B 1 x d 2,3D 2 x b 2,3B 2 x f ,3F x d 1,4D 1 x b 1,4B 1 x d 2,4D 2 x b 2,4B 2 x f ,4F
Neraca massa overall dan komponen untuk MD-02 D D 1 B 1 x d ,1D x d 1,1D 1 x b 1,1B 1 x d ,2D x d 1,2D 1 x b 1,2B 1 x d ,3D x d 1,3D 1 x b 1,3B 1 x d ,4D x d 1,4D 1 x b 1,4B 1
Neraca massa overall dan komponen untuk MD-03 B D 2 B 2 x b ,1B x d 2,1D 2 x b 2,1B 2 x b ,2B x d 2,2D 2 x b 2,2B 2 x b ,3B x d 2,3D 2 x b 2,3B 2 x b ,4B x d 2,4D 2 x b 2,4B 2
E. RUJUKAN
1) Constantinidis dan Mustoufi,1999, Numerical Methodes for Chemical Engineers with MATLAB Application, hal 63-69. Prentice-Hall: Englewood Cfiffs, NJ 2) Dan Hanselman dan Bruce Littlefield, 1997. MATLAB: Bahasa Komputasi dan Teknis. hal 71-76. Andi. Yokyakarta 3) Cutlip, M. B., Shacham, M., 1999, Problem Solving in Chemical Engineering with Numerical Methods. Hal 15-16. Prentice-Hall: Englewood C fiffs, NJ.
Heri Rustamaji
Teknik Kimia Unila
52
