Comentarios sobre el Calculo de Gradientes y Laplacianos en otros Sistemas de Coordenadas Stefano Garcia
Aprendamos mediante un ejemplo heuristico.
Problema P3. Ayudantia 7: Clacule el gradiente en coordenadas polares de ln(r ) + θ + θ 2 f ( f (r, θ) = ln(r Recuerde Recuerde que polares significa: = r cos(θ cos(θ) x = r = r sin(θ sin(θ) y = r Ademas, necesitara saber que los vectores bases de las coordenadas polares son: rˆ = θˆ =
cos(θ cos(θ) sin(θ sin(θ)
sin(θ) − sin(θ cos(θ cos(θ)
= cos(θ)ˆi+sin(θ +sin(θ) jˆ
(1a)
=− = − sin(θ sin(θ)ˆi+cos(θ +cos(θ) jˆ
(1b)
Primero necesitamos entender la pregunta: "Encuentre el gradiente de f en f en coordenadas polares". Eso f ya significa: Expresar el vector ∇ f ya no en la base ˆi y ˆ j como j como estamos acostumbrados, sino que en la base rˆ y θˆ que es la base de las coordenadas polares. f en Partamos entonces con lo unico que tenemos: La forma de ∇ f en cartecianas. f = ∇ *
∂f ∂x
, ∂f ∂y
∂f ∂x
ˆi +
∂f ∂f ∂ f ∂f ˆ ∂ f ˆ = , i + j ∂x ∂y ∂x ∂y
jˆ es el vector en si (piensenlo como una flecha en f en son las coordenadas del vector ∇ f en la base cartesiana ˆi y ˆ j. j .
Note Notemo moss que que
∂f ∂y
(2) 2
R
), mientras que
Notemos ahora que si cambiamos de sistema coordenado (cambiar ˆi y jˆ por rˆ y θˆ en este f (el caso), las coordenadas que definiran al mismo vector ∇ f (el cual no se ha movido de su lugar f = ∂f ˆi + ∂f j, en el plano R2 ) cambiaran también , pero aun asi, seguira siendo verdad que ∇ jˆ, ∂x ∂y f = ∂f , ∂f . sin embargo, embargo, ahora ∇
∂x
∂y
1
** Como ejemplo, imaginen el vector a = (2, 3) en cartesianas, esto es, vectores base ˆi = (1, 0) y ˆ j = (0, 1). Ahora piensen que invierten la direccion de eje x, es decir, hacemos un cambio de coordenadas uˆ = −ˆi y vˆ = ˆ j; pues bien, bajo estas nuevas coordenadas, el vector a se escribira como (−2, 3), pero noten que el vector a no se ha movido a ningun lado durante todo este rato, es decir, sigue situado en el mismo sitio de R2, lo unico que paso, fue que sus coordenadas cambiaron. Por ende, uno puede escribir a = 2ˆi + 3 jˆ = −2ˆ u + 3ˆv ya que se trata del mismo vector. Necesitamos hallar entonces, f x y f y . Como f = f (r, θ), nos conviene dejarlas expresadas en terminos de f r y f θ . Entonces: f x = f r rx + f θ θx f y = f r ry + f θ θy
(3a) (3b)
Entonces, ahora debemos hallar r x ry θx θy . Manera 1
Usaremos que la matriz Jacobiana de una transformada es la inversa de la matriz Jacobiana de la transformada inversa. (A veces suele escribirse esto como [JF −1 ] = [JF ]−1 ). La matriz Jacobiana de la transformacion de (r, θ) −→ (x, y) es: JF =
rx ry θx θy
(4)
Mientras que la matriz Jacobiana de la transformacion de (x, y) −→ (r, θ) es: JF −1 = ⇒ [JF −1 ]−1
1 = |JF −1|
xr xθ yr yθ
cos(θ) −r sin(θ) = sin(θ) r cos(θ)
r cos(θ) r sin(θ) = − sin(θ) cos(θ)
cos(θ) sin(θ) − sin(θ)/r cos(θ)/r
(5)
Y por lo que dijimos al comienzo, comparando componente a componente las matrices (4) y (5), somos capace de establecer: rx = cos(θ) ry = sin(θ) θx = − sin(θ)/r θy = cos(θ)/r
2
(6a) (6b) (6c) (6d)
Manera 2
Otra forma hubiese sido tomar x = r cos(θ) y = r sin(θ) Y derivar abmas respecto a x para obtener el sistema lineal: 1 = r x cos(θ) − r sin(θ)θx 0 = r x sin(θ) + r cos(θ)θx Luego con Cramer obtenemos:
rx =
Idem para θ x .
1 −r sin(θ) 0 r cos(θ)
cos(θ) −r sin(θ) sin(θ) r cos(θ)
=
r cos(θ) = cos(θ) r
Para obtener r y y θ y se procede de manera analoga, solo que ahora partimos derivando respecto de y.
Ahora estamos en condiciones de reemplazar (6) en (3) y obtener: sin(θ) r cos(θ) f y = f r ry + f θ θy =⇒ f y = f r sin(θ) + f θ r
f x = f r rx + f θ θx =⇒ f x = f r cos(θ) − f θ
(7a)
(7b)
Ahora debemos reemplazar las ecuaciones (7) en (2): = ∇f
∂f ∂f , ∂x ∂y
sin(θ) cos(θ) ) , f r sin(θ) + f θ r r sin(θ) ˆ cos(θ) ˆ = f r cos(θ) − f θ i + f r sin(θ) + f θ j r r = f r cos(θ) − f θ
Lo cual seria la forma de ∇f en la base ˆi y ˆ j (cartesiana). Calculemos entonces para f (r, θ) = ln(r) + θ 2 . Se tendra: 3
(8)
f r = 1/r f θ = 2θ = =⇒ ∇f
cos(θ) sin(θ) ˆ − 2θ i + r r
sin(θ) cos(θ) ˆ + 2θ j r r
(9)
Entonces (9) es el gradiente de f en coordenadas cartesianas. Notemos que este debiese de ser el mismo resultado que conseguiriamos si reemplazasemos = (f x , f y ) = f xˆi + f y j. ˆ x = r cos(θ) y y = r sin(θ) en f (r, θ) y luego simplemente hiciesemos ∇f Encontremos ahora el gradiente de f en coordenadas polares. Para ello retomamos (8) y en ella debemos hacer aparecer los vectores base de la ecuacion (1). = ∇f
Con lo que obtenemos:
sin(θ) ˆ cos(θ) ˆ f r cos(θ) − f θ i + f r sin(θ) + f θ j r r f θ = f r cos(θ)ˆi + sin(θ) jˆ + − sin(θ)ˆi + cos(θ) jˆ r
∂f ∂f = , ∂x ∂y
rˆ
f θ ˆ f= f r rˆ + θ = r
θˆ
f r ,
f θ r
Que es el gradiente de f en coordenadas polares. Calculemos entonces para f (r, θ) = ln(r) + θ 2 . Se tendra: f r = 1/r f θ = 2θ = 1 rˆ + 2θ θˆ =⇒ ∇f (10) r r Claramente el gradiente de f en coordenadas polares es mucho más bonito que en cartesianas. Esto es porque f originalmente era una funcion simple en las variables r y θ mientras que era significativamente más compleja vista desde las valiables x y y.
4
Problema P4. Ayudantia 7: 2 f = ∇ · Hallar el laplaciano en coordenadas polares. Esto es: ∇ ∇f ≡ ∆f
Lo primero que hay que notar es que el laplaciano de una funcion es un escalar, como podemos · ∇f es ver ∇ un producto punto y como tal, un escalar. Esto implica que toda la discucion anterior de los vectores base, ect, esta fuera de lugar aqui. En otras palabras, nu usaremos nada de vectores esta vez. Tenemos que en cartesianas, el laplaciano se escribe como: ∆f =
∂ 2 f ∂ 2 f + ∂x 2 ∂y 2
(11)
Pues lo unico que tenemos que hacer entonces, es escribir (10) en terminos de r, θ y sus deribadas. De la ecuacion (7) del ejercicio anterior, tenemos ya que: f x = f r rx + f θ θx f y = f r ry + f θ θy
(12a) (12b)
Derivamos (11a) respecto de x: =⇒ f xx = (f r rx )x + (f θ θx )x = f rx rx + f r rxx + f θ x θx + f θ θxx = (f r r rx + f rθ θx )rx + f r rxx + (f θ r rx + f θθ θx )θx + f θ θxx = f rr (rx )2 + f r θ θx rx + f r rxx + f θ r rx θx + f θ θ (θx )2 + f θ θxx
(13a)
Analogamente, tan solo cambiando las x por y, obtenemos: f yy = f r r (ry )2 + f rθ θy ry + f r ry y + f θ r ry θy + f θθ (θy )2 + f θ θy y
(13b)
Nuevamente, del ejercicio anterior, ecuacion (6), sabemos que: rx = cos(θ) =⇒ rxx = (cos(θ))θ θx
sin(θ) = (− sin(θ)) − r sin2 (θ) = r ry = sin(θ) =⇒ ry y = (sin(θ))θ θy cos(θ) = (cos(θ)) r cos2 (θ) = r
5
(14a)
(14b)
sin(θ) =⇒ θxx = θx = − r
sin(θ) − r x sin(θ) sin(θ) =− rx + θx r r r θ sin(θ) cos(θ) sin(θ) =− − 2 cos(θ) + − r r r sin(θ)cos(θ) =2 r2 cos(θ) cos(θ) =⇒ θy y = θy = r r y
cos(θ) cos(θ) = ry + θy r r r θ cos(θ) sin(θ) cos(θ) = − 2 sin(θ) − r r r sin(θ)cos(θ) = −2 r2 Y ahora podemos reemplazar los valores de (14) en (13): sin(θ) cos(θ) sin2 (θ) sin(θ)cos(θ) +f r +f θθ ⇒ f xx = f r r cos (θ)−f r θ −f θr r r r
sin(θ)cos(θ) cos2 (θ) sin(θ) cos(θ) +f r +f θ r +f θθ ⇒ f y y = f r r sin (θ)+f r θ r r r
2
2
sin(θ) r
cos(θ) r
2
(14c)
(14d)
+f θ
sin(θ)cos(θ) (15a) r2
−f θ
sin(θ) cos(θ) (15b) r2
2
Y sumando las ecuaciones en (15) llegamos a: 1 1 ∆f = f xx + f yy = f r r + 0 + f r + 2 f θθ + 0 r r (16) 1 1 ∆f = f rr + f r + 2 f θ θ r r Podemos probarlo para calcular el laplaciano de f = ln(r) + θ 2 . Se tendra: f r = 1/r f rr = −1/r2 f θθ = 2 =⇒ ∆f = −
1 1 1 1 + + 2 2 = 2/r2 2 r rr r 6
(17)
