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Sistemas Dinámicos "Péndulo Doble" Se llama dinámicos a aquellos sistemas complejos que experimentan variaciones de sus valores, cantidades o propiedades, con el tiempo. Dichos sistemas pueden ser físicos, químicos, biológicos, sociológicos, etc. El modelo matemático que representa un sistema dinámico es una ecuación diferencial, en muchos de los casos son necesarias varias ecuaciones diferenciales para describir el sistema en forma adecuada. La mayor parte de de las veces. la resolución de las ecuaciones diferenciales correspondientes no será posible por los métodos matemáticos exactos, por lo que se procederá a la solución por métodos numéricos para encontrar por ejemplo las trayectorias físicas mediante las cuales determinar puntos estacionarios. averiguar periodicidad de los procesos etc. Han dado lugar a importantes descubrimientos, como la existencia de caos.
Modelado de sistemas dinámicos La ecuación diferencial diferencial del sistema dinámico, es un modelo matemático que que representa la relación entre las variables de entrada del sistema y las variables de salida para una característica del sistema en particular, como una función del tiempo. Gráficamente,
̇ ̈ ̇ ̈
En esta clase se estudia el caso de un péndulo doble, como un ejemplo simple
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de un sistema físico que puede exhibir un comportamiento caótico. Se utiliza el formalismo de Lagrange para obtener las ecuaciones diferenciales de movimientos asociadas a los ángulos y respectivamente, se determinan estas ecuaciones diferenciales que resultan ser ordinarias de segundo orden no lineales y acopladas, las que se resuelven numéricamente utilizando LabVIEW. Se desarrolla un código en LabVIEW que permite representar el movimiento del sistema mediante una animación en el espacio real, con lo cual se logra analizar y describir directamente el comportamiento del sistema en términos de los parámetros relevantes que son las masas y las longitudes de los péndulos. Para cada caso investigado se presentan los gráficos que dan cuenta de cómo se comportan los ángulos y en función del tiempo. Las figuras que se presentan y que corresponden a las animaciones durante un tiempo t, muestran las trayectorias reales seguidas por cada uno de los péndulos, observándose que éstos últimos pueden realizan tanto movimientos rotatorios como oscilatorios, dando cuenta de esta forma de la complejidad del movimiento. También en estas figuras se observa el evidente cambio que se produce en el comportamiento del sistema al cambiar los valores de las masas y de las longitudes.
Péndulo doble ideal Un péndulo doble consiste en sistema formado por un péndulo que está atado a otro péndulo, tal como se muestra en la figura. Este es un ejemplo de un sistema físico que puede exhibir un comportamiento caótico.
⃗
Consideremos un péndulo doble inmerso en un campo gravitatorio , en el cual las masas y están atadas por alambres rígidos de masas despreciables y de longitudes y respectivamente.
Ecuaciones del movimiento Las posiciones de las masas están dadas por:
La energía del sistema es la suma de la energía potencial y de la energía cinética de las dos partículas. Situamos el nivel cero de energía potencial en el punto de suspensión del primer péndulo. La energía potencial es
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El módulo de la velocidad del primer péndulo es
̇
(velocidad angular
por el radio de la circunferencia que describe), sus componentes son
⃗ ̇ ̂ ̇ ̂ ⃗ ̇ ̂ ̇ ̂
El módulo de la velocidad de la segunda partícula en un sistema de referencia que se mueve con la velocidad de la primera partícula es . Sus componentes son
̇
La velocidad de la segunda partícula respecto al sistema de referencia inercial situado en el punto de suspensión del primer péndulo es la suma vectorial de ambas velocidades
⃗ ⃗ ( ̇ ̇ )̂ ( ̇ ̇ )̂ Calculamos los módulos de las velocidades de las dos partículas. La energía cinética del sistema es
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ Las ecuaciones del movimiento de Lagrange nos llevan al sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden. El Lagrangiano está dado por
̇ ̇ ̇ ̇ ̇
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Tenemos dos coordenadas generalizadas y por tanto dos ecuaciones de Lagrange, que toman la forma
̇ ̇ ̇ ̇ ̈ ̈ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̈ ̈ ̇
̇ ̇ ̇ ̇ ̈ ̈ ̇( ̇ ̇) ̇ ̇ ̇ ̈ ̈ ̇ la solución de este par de ecuaciones es:
̈ ( ) ̇ ̇ ̈ ( ) ̇ ̇ Profesora: Lucelly Reyes H Msc Física
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Hagamos el siguiente cambio de variable
̇ ̇ ( ) ̇ ̇ [ ] ( ) Programación en LabVIEW En esta programación lo mejor es utilizar todas las herramientas del modulo Control diseño y simulación.
Inicie LabVIEW y seleccione File» New VI para crear un nuevo VI. En el Laboratorio utilizaremos el Modulo Control Design & Simulation.
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Haciendo click en Simulation tenemos a disposicion todas la herramientas de simulacion del paquete.
Haga clic en el icono de simulación de bucle, que se muestra en la figura siguiente. Mueva el cursor sobre el diagrama de bloques. Haga clic para colocar la esquina superior izquierda del bucle, arrastre el cursor diagonalmente para establecer el tamaño del bucle y vuelva a hacer clic para colocar el bucle en el diagrama de bloques. El diagrama de la simulación es el área encerrada por el bucle de simulación. Observe que el diagrama de simulación tiene un fondo de color amarillo pálido para distinguirlo del resto del diagrama de bloques. Puede cambiar el tamaño arrastrando sus fronteras.
El diagrama Control&Simulation Loop contiene una serie de controles como son el numero de iteraciones, el algoritmo de solución de alguna ecuación diferencial que se defina dentro del loop, graficas en tiempo real y muchas otras funciones que se podrán observar cuando inicialicemos el modulo.
El lazo de control y simulación tiene un nodo de entrada y un nodo de salida. Utilice el nodo de entrada para configurar los parámetros de simulación de programación. También puede configurar estos parámetros de forma interactiva mediante la simulación de los parámetros de Configuración del cuadro de diálogo. Tienes acceso a este cuadro de diálogo haciendo doble clic en el nodo de entrada o haciendo clic derecho en la frontera y la selección de los parámetros de simulación Configurar en el menú contextual. Tenga en cuenta que los parámetros de programación que se configuran utilizando el nodo de entrada reemplaza cualquier configuración que realice en la simulación de los parámetros de Configuración del cuadro de diálogo. El control y simulación de lazo tiene una entrada de error en el nodo de entrada y una salida de error en el nodo de salida. Estos terminales de error enviar información de error a través del diagrama de simulación. Si la entrada de error detecta un error, el diagrama de simulación devuelve la información de error en la salida de error y no se ejecuta la simulación. Si ocurre un error mientras que el control y simulación de bucle se está ejecutando, la simulación se detiene y devuelve la información de error en la salida de error. Profesora: Lucelly Reyes H Msc Física
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Configurando los parámetros de simulación El bucle de simulación contiene los parámetros que definen cómo se ejecuta la simulación. Complete los pasos siguientes para ver y configurar estos parámetros de simulación. 1. Haga doble clic en el nodo de entrada, adjunta a la parte izquierda de la repetición de simulación, para iniciar el cuadro de diálogo Configurar parámetros de simulación. También puede con el botón derecho del raton hacer clic en la frontera de bucle y seleccione Configurar parámetros de simulación en el menú contextual.
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2. El valor del Final Time de control numérico especifica el tiempo total que dura la simulación. 3. Haga clic en la lista de pull-down ODE Solver para ver la lista de los algoritmos de resolución ODE que incluye el módulo de simulación. Si el término (variable) aparece junto a un solucionador ODE, este tiene un tamaño de paso variable. Los otros algoritmos de resolución ODE tienen un tamaño de paso fijo. Si por ejemplo se 23 de Runge-Kutta (variable) debe especificarse el tamaño de paso mínimo y el tamaño del paso Máximo. 4. Haga
clic
en
Timing
Parameters
da acceso al control de la frecuencia de ejecución de la simulación. 5. Asegúrese de que la casilla de verificación de Temporización de software contiene una marca de verificación. Esta opción especifica que la simulación se ejecuta sin ninguna restricción de t iempo. 6. Haga clic en el botón Aceptar para guardar los cambios y volver al diagrama de simulación. El siguiente paso es construir la simulación. Tenga en cuenta que se puede colocar la mayoría de las funciones de simulación sólo en el diagrama de la simulación. Complete los pasos siguientes para construir la simulación de este sistema dinámico. En Labview se utilizo la estructura NODE y el modulo de simulación para resolver las ecuaciones de movimiento del sistema.
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En el panel deberán aparecer los controles de masa, longitud y ángulo. La aceleración puede ser un control o una constante.
El objetivo es utilizar el módulo de simulación de LabVIEW para el cálculo de y(t), v(t) utilizando integraciones sucesivas.
∫
∫
La realización de estas integraciones durante un período de tiempo, requiere un solucionador de ecuación diferencial ordinaria (EDO). LabVIEW incluye varios algoritmos de resolución EDO que se puede utilizar en una simulación.
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Veamos algunos de estos modulos
Seleccione la paleta de Aritmética de señal y coloque una función de multiplicación en el diagrama de la simulación. Utilizará esta función para hacer una division.
Haga doble clic en la función de multiplicación para iniciar el cuadro de diálogo de Configuración de multiplicación. Puede hacer doble clic la mayoría de las funciones de simulación para ver y cambiar los parámetros de esa función.
Actualmente, la función muestra dos símbolos de × en el lado izquierdo del cuadro de diálogo. Esta opción especifica que ambas señales entrantes se multiplican juntos. Haga clic en el símbolo de × inferior para cambiar a un símbolo ÷. Esta función de multiplicación ahora divide la señal superior por la señal de la parte inferior.
Haga clic en el botón Aceptar para guardar los cambios y volver al diagrama de simulación.
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Volver a la pantalla de Diagram y haga clic sobre el modulo ControlSimulation Loop, pulse el botón derecho del ratón para volver a la paleta de simulación y seleccione la “Simulation Palette”.
Seleccione “Continuous Linear Systems”. Coloque una función de integración en el diagrama de la simulación. Utilizará esta función para calcular la velocidad mediante la integración de aceleración.
Esta función de integración Calcular la velocidad angular.
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Una segunda integración nos dará el ángulo
Por último tendremos la animación en picture de los dos péndulos.
Viene la parte de mayor interés, que es el análisis del sistema dinámico. Aquí se presentan las graficas de velocidades en el tiempo, diagramas de fase, figuras de Lissajous, etc
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Diagramas de fase los diagramas de fase son una de las herramientas más importantes para la ubicación de atractores en un sistema y para tener información del régimen en el que se encuentra; estos se obtienen graficando las velocidades generalizadas contra las posiciones.
En esta figura se puede observar la existencia de puntos constantemente visitados por el sistema en los que este no quedará atrapado debido a que en el sistema no se incluyeron términos disipativos. Profesora: Lucelly Reyes H Msc Física
