Cap¶³tulo 2 M¶ etodos de resoluci¶ on para ecuaciones de primer orden
2.1
Separaci¶ on de variables.
.c
(2.1)
ic
a1
g(x) dy = ; dx h(y)
om
2.1.1 De¯nici¶ on.- Se dice que una ecuaci¶on diferencial de la forma
em at
con h no id¶enticamente nula, es separable o que tiene variables separables (o separadas).
h(y) dy =
Z
g(x) dx + C
ww w.
M
Z
at
¶ n: La familia de funciones de¯nida impl¶³citamente por la ecuaci¶on resolucio
constituye la soluci¶on general de nuestra ecuaci¶on. ( C es una constante arbitraria). En efecto, escribamos la ecuaci¶on en la forma h(y)
dy = g(x) dx
(2.2)
Llamando H(y) y G(x) a dos primitivas de las funciones h(y) y g(x) respectivamente, si la funci¶on y = f (x) es soluci¶on de 2.2 en el intervalo I, tendremos que h(f (x))f 0 (x) = g(x) 8x 2 I, por tanto dos primitivas cualesquiera de esta funci¶on diferir¶an en una constante, H(f (x)) es una primitiva del primer miembro, y se tendr¶a H(f (x)) = G(x) + C, o lo que es lo mismo y = f (x) veri¯ca la ecuaci¶on H(y) = G(x) + C. Rec¶³procamente, es inmediato que si y = f (x) viene de¯nida por la ecuaci¶on H(y) = G(x) + C
14
entonces es soluci¶on de la ecuaci¶on diferencial. Ejercicio: Pruebe que la soluci¶on de y 0 = y es y(x) = Cex . 3 Observaci¶ on: Al igual que ocurre con el c¶alculo de primitivas, no es necesario escribir Z Z h(y)dy + C1 = g(x)dx + C2 puesto que C1 y C2 son constantes arbitrarias y esto podemos escribirlo como Z
h(y)dy =
Z
g(x)dx + (C2 ¡ C1 )
Una constante puede presentarse de diferentes formas: C, C 2 , eC , 1=C, log(C) ... En el proceso de separaci¶on de variables pueden perderse soluciones, o introducirse soluciones \¯cticias"
2.2
Ecuaciones homog¶ eneas.
a1
.c o
m
2.2.1 De¯nici¶ on.- Una funci¶on f : A µ R2 7 ¡! R se dice que es homog¶enea de grado n si para cada x; y; t 2 R, tales que (x; y) 2 A y (tx; ty) 2 A, se tiene que f (tx; ty) = tn f (x; y).
M
at
em
at
ic
p Ejemplos: f1 (x; y) = x + y y f2 (x; y) = xy + y son homog¶eneas de grado uno. p p x x f3 (x; y) = y f4 (x; y) = ln son homog¶eneas de grado cero. f5 (x; y) = 2x + 3y y y 1 es homog¶enea de grado . 2
ww w.
2.2.2 De¯nici¶ on.- A una ecuaci¶on diferencial de la forma M(x; y) dx + N (x; y) dy = 0
(2.3)
tal que M (x; y) y N (x; y) son funciones homog¶eneas del mismo grado, se le llama ecuaci¶on diferencial homog¶enea. ¶ n: Por transformaci¶on mediante un cambio de variable a una de resolucio variables separadas. Teniendo en cuenta que si h(x; y) es homog¶enea de grado n se veri¯ca que à ! µ ¶ y x n n h(x; y) = x h 1; =y h ;1 : x y Podemos, entonces, escribir la ecuaci¶on diferencial (2.3) como µ
¶
y ¡M 1; x¶ µ y0 = y : N 1; x
15
(2.4)
y se tiene que y = zx, y por tanto y 0 = xz 0 + z. Con x lo que la ecuaci¶on diferencial (2.4) se transforma en Ahora, haciendo z = z(x) =
z0 =
¡
M(1; z) ¡z N (1; z) ; x
(2.5)
que ya es de variables separadas. La soluci¶on ¯nal se obtiene integrando y luego y sustituyendo z por (deshaciendo el cambio de variable). x 4 Observaci¶ on: El proceso de conversi¶on de la ecuaci¶on diferencial homog¶enea en una de variables separables descrito anteriormente es equivalente, desde un punto de vista operativo, a realizar la sustituci¶on dy = zdx + xdz;
a1
.c
om
que se deduce de la igualdad y = zx. Entonces, la transformaci¶on de la ecuaci¶on (2.3) en una ecuaci¶on en las variables z y x, mediante un c¶alculo operacional elemental, conduce a la ecuaci¶on de variables separadas (2.5).
em
at
ic
Nota: La ecuaci¶on (2.3) tambi¶en puede resolverse con el cambio de variable x z = z(y) = . y
ww w.
M
at
Las dos opciones para resolver (2.3) sugieren el planteamiento de la pregunta: >qu¶e cambio de variable, z(x) = y=x o z(y) = x=y, ser¶a el que ocasione operaciones m¶as sencillas para encontrar la soluci¶on?. Aunque la respuesta a esta pregunta depende de la ecuaci¶on particular a resolver, generalmente si N (x; y) tiene una expresi¶on sencilla ser¶a adecuado el cambio z(x) = y=x, y si es M (x; y) el que tiene una expresi¶on simple es probable que el cambio z(y) = x=y sea el m¶as indicado. La raz¶on de esta idea proviene de la igualdad d(uv) = u dv + v du, con lo que m¶as vale complicar un \ poco" lo que es sencillo, que complicar m¶as lo que ya es complicado. Ejemplo: (x2 ¡ 2y 2 ) dx + xy dy = 0 (homog¶enea de grado 2). N (x; y) = xy es m¶as sencillo que M (x; y) = x2 ¡ y 2 , por lo que con el cambio z(x) = y=x se tendr¶a:
0
y =
2
µ ¶2
y x
y x
¡1
z2 ¡ 1 )z = : zx 0
Obteniendo, al integrar esta u ¶ltima ecuaci¶on diferencial de variables separadas y luego deshaciendo el cambio de variable, z 2 ¡ 1 = Cx2 ) y 2 = Cx4 + x2 :
16
Ejercicio: Resuelva la ecuaci¶on del ejemplo anterior empleando el cambio de variable z(y) = x=y.
2.3
Ecuaciones diferenciales exactas.
2.3.1 De¯nici¶ on.- Sean M(x; y) y N (x; y) funciones continuas en un abierto conexo 2 V µ R . Una ecuaci¶on diferencial del tipo M (x; y) dx + N (x; y) dy = 0;
(2.6)
se dice que es exacta en V , si el campo vectorial (M (x; y); N (x; y)) admite en V una funci¶on de potencial.
em
at ic
a1
.c om
¶ n: resolucio Si la funci¶on de potencial es F , las soluciones de la ecuaci¶on diferencial exacta (2.6) son de la familia de curvas de¯nidas impl¶³citamente por la ecuaci¶on F (x; y) = C, donde C es una constante arbitraria. En efecto, supongamos que la funci¶on y = f (x); x 2 I es una curva de dicha familia, para un cierto valor de la constante C. Esto signi¯ca que F (x; f (x))¡C = 0 8x 2 I. Derivando con respecto de x, por la regla de la cadena, la funci¶on h(x) = F (x; f (x))¡ C, obtenemos
at
D1 F (x; f (x)) + D2 F (x; f (x))f 0 (x) = 0 8x 2 I
ww
w.
M
y como D1 F = M ; D2 F = N , tenemos que f (x) es soluci¶on de la ecuaci¶on diferencial 2.6. De manera rec¶³proca, si y = f (x) es soluci¶on de 2.6, deducimos que se veri¯ca D1 F (x; f (x)) + D2 F (x; f (x))f 0 (x) = 0 8x 2 I Como I es un intervalo, una primitiva del primer miembro ser¶a constante en el intervalo I; es decir, F (x; f (x)) = D 8x 2 I, y la funci¶on y = f (x) viene de¯nida impl¶³citamente por una una curva de la familia F (x; y) = C. Ejercicio: Aplique este resultado a la ecuaci¶on diferencial y dx + x dy = 0, para la que F (x; y) = xy. Dado que para la ecuaci¶on diferencial (2.6), la funci¶on F (x; y) no resultar¶a inmediata de las expresiones de M(x; y) y de N (x; y), se plantean dos preguntas: >Cu¶ando una ecuaci¶on diferencial es exacta?, y en caso de que la ecuaci¶ on diferencial sea exacta, >c¶omo obtener F (x; y)?. Como normalmente trabajaremos con ecuaciones del tipo (2.6) tales que M y N son
17
de clase 1 en el abierto V , recordemos que es condici¶on necesaria para que exista la funci¶on potencial que @N @M (x; y) = (x; y) @y @x
8x 2 V
Esta condici¶on tambi¶en es su¯ciente cuando trabajamos en conjuntos V simplemente conexos, como es el caso muy frecuente de R2 . ¶ n: Recordemos dos caminos alternativos para encontrar la funci¶on de resolucio potencial, en caso de que exista. 1. Se puede obtener considerando la integral de l¶³nea desde cierto punto ¯jo a lo largo de cualquier camino contenido en el conjunto. En muchos casos, si es posible, se tomar¶a como origen el origen de coordenadas y como camino, segmentos paralelos a los ejes coordenados.
.c
a1
Z
M(x; y) dx + f (y);
(2.7)
ic
F (x; y) =
om
@F = M (x; y), mediante la integraci¶on 2. Si existe una funci¶on F (x; y) tal que @x respecto de x, considerando y constante, obtenemos:
M at
em at
donde en f (y) ya englobamos la constante que produce el c¶alculo de la primitiva @F de M (x; y) respecto de x. Para determinar f (y) empleamos que = N (x; y), @y con lo que al calcular la parcial respecto de y en (2.7) se llega a que
ww
w.
N (x; y) =
@ @y
µZ
¶
M (x; y) dx + f 0 (y):
(2.8)
Finalmente, al despejar f 0 (y) de (2.8), nos debe quedar una funci¶on que u ¶nicamente depende de la variable y, por lo que f (y) se calcula integrando dicha funci¶on respecto de y (de hecho ser¶a una nueva ecuaci¶on diferencial auxiliar de variables separadas). Una vez hallada la expresi¶on de f (y), se lleva a (2.7) y se obtiene la expresi¶on de F (x; y). Nota: Al igual que con las ecuaciones diferenciales homog¶eneas, hay un camino paralelo de soluci¶on que consiste en integrar primero respecto de y y derivar despu¶es respecto de x. L¶ogicamente debe elegirse un camino u otro en funci¶on de la simplicidad de los c¶alculos que haya que realizar, principalmente al hallar primitivas.
5 Observaci¶ on: Como ya se ha indicado, la soluci¶ on de la ecuaci¶on exacta se expresa como F (x; y) = C, para C constante arbitraria, y no simplemente como
18
F (x; y), pues F (x; y) es la expresi¶on de una funci¶on de dos variables (que no puede ser soluci¶on de ninguna ecuaci¶on diferencial). En cambio, F (x; y) = C, expresa en forma impl¶³cita que y es funci¶on de x, o que x es funci¶on de y, lo cual de¯ne una funci¶on (o varias) de una u ¶nica variable que es perfectamente coherente con el concepto de soluci¶on de una ecuaci¶on diferencial. Ejercicio: Compruebe que son exactas y resuelva las ecuaciones diferenciales siguientes: a) (y ¡ x2 ) dx + (x + y 3 ) dy = 0: b) (x3 + xy 2 ) dx + (x2 y + y 3 ) dy = 0:
Factores integrantes. En ocasiones una ecuaci¶on diferencial del tipo M (x; y) dx + N (x; y) dy = 0 no exacta puede convertirse en exacta multiplic¶ andola por una funci¶on adecuada. Por ejemplo, y dx ¡ x dy = 0 no es exacta, pero tras multiplicarla por y ¡2 , s¶³ lo ser¶a.
at ic
a1
.c
om
2.3.2 De¯nici¶ on.- Una funci¶on ¹(x; y) de¯nida en un abierto V µ R2 continua y no id¶enticamente nula se dice que es un factor integrante de la ecuaci¶on diferencial M (x; y) dx + N (x; y) dy = 0, si la ecuaci¶on diferencial ¹(x; y)M(x; y) dx + ¹(x; y)N (x; y) dy = 0
em
es exacta.
ww
w.
M
at
2.3.3 Teorema.- Sean M (x; y) y N (x; y) dos funciones con parciales continuas en un abierto simplemente conexo V contenido en R2 . Una funci¶on ¹(x; y), no id¶enticamente nula y con parciales continuas en V , es un factor integrante de la ecuaci¶on diferencial M (x; y) dx + N (x; y) dy = 0 si, y s¶olo si, Ã
@M @N ¹(x; y) ¡ @y @x
!
=N
@¹ @¹ ¡M ; @x @y
(2.9)
para todo (x; y) 2 V . Ejercicio: Demuestre el teorema anterior directamente a partir de la de¯nici¶on 2.3.2 y de la condici¶on necesaria para la existencia de funci¶on potencial. 6 Observaci¶ on: La ecuaci¶on (2.9) constituye un problema de ecuaciones en derivadas parciales, en general mucho m¶as dif¶³cil de resolver que la propia ecuaci¶on diferencial original. Sin embargo en algunos casos ser¶a u ¶til, por ejemplo, en situaciones del tipo que se detallar¶a a continuaci¶on. Nota: Para simpli¯car la notaci¶on emplearemos x e y como sub¶³ndices, para indicar las respectivas parciales de una funci¶on respecto de x e y.
19
Factores integrantes que dependen s¶ olo de x. Si existe un factor integrante ¹(x; y) que depende s¶olo de x, es decir, ¹(x; y) = ¹(x), @¹ @¹ entonces ¹y = = 0 y ¹x = = ¹0 , por lo que (2.9) se puede escribir como @y @x (ln ¹)0 =
My ¡ Nx : N
(2.10)
Como el miembro de la izquierda en (2.10) es s¶olo funci¶on de x por hip¶otesis, entonces, el miembro de la derecha en (2.10) tambi¶en ser¶a funci¶on u ¶nicamente de x, as¶³ que, con la notaci¶on f (x) =
My ¡ Nx ; N
(2.11)
se tendr¶a que ¹(x) = e
R
f (x)dx
:
(2.12)
ic a
1.c
om
Por otra Rparte se puede probar que si MyN¡Nx es una funci¶on s¶olo de x, f (x), entonces ¹(x) = e f (x)dx es un factor integrante. Ejemplo: Para la ecuaci¶on y dx ¡ x dy = 0, se tiene que
em at
My ¡ Nx ¡2 = ; N x
que es s¶olo funci¶on de x. Por ello
at
R ¡2
x
dx
=
1 x2
ww w.
M
¹(x; y) = ¹(x) = e
es un factor integrante para la ecuaci¶on dada. La constante arbitraria C la hemos tomado C = 0. En general las constantes las tomaremos de forma que el factor integrante resulte lo m¶as simpli¯cado posible (es obvio que nos basta con encontrar uno).
7 Observaci¶ on: Una vez que a una ecuaci¶on diferencial la multiplicamos por un factor integrante, tenemos ya una ecuaci¶on diferencial exacta. Se espera que las soluciones de esta nueva ecuaci¶on sean tambi¶en soluciones de la ecuaci¶on de partida. Un caso en el que esto est¶ a garantizado es cuando ¹(x; y) 6 =0 para todo (x; y) 2 V , pues entonces de: ¹(x; y)[M(x; y)dx + N (x; y)dy] = 0 se deduce que M (x; y)dx + N (x; y)dy = 0. Si ¹(x; y) se anula en algunos puntos de V , pueden estarse a~ nadiendo soluciones a la ecuaci¶on diferencial. Tambi¶en puede ocurrir que ciertas soluciones de la ecuaci¶ on de partida se \pierdan" al multiplicar por el factor integrante. Veremos unos ejemplos:
20
1. La ecuaci¶on y(2y 2 ¡ 3x2 )dx + 2x3 dy = 0 no es exacta y admite como factor integrante ¹(x; y) = y13 . La familia de soluciones de la nueva ecuaci¶on es : 2x ¡
x3 =C y2
que no incluye la soluci¶on y = 0 de la ecuaci¶on de partida. 2
2. La ecuaci¶on (x + y)dx + ( x2y + 2x)dy = 0 no es exacta y admite como factor integrante ¹(x; y) = y. La familia de soluciones de la nueva ecuaci¶on es: yx2 + y2x = C 2 Se observa que y = 0 est¶a inclu¶³da en esta familia de soluciones, pero sin embargo no es soluci¶on de la ecuaci¶on de partida.
Ecuaciones lineales de primer orden. .c om
2.4
a1
2.4.1 De¯nici¶ on.- Una ecuaci¶on diferencial de la forma y 0 + P (x)y = Q(x)
at
ic
(2.13)
em
se le llama ecuaci¶on diferencial lineal de primer orden.
ww
w.
M
at
Nota: Habitualmente se exige que P (x) y Q(x) sean funciones continuas en un intervalo I. De esta forma se tiene garant¶³a de existencia y unicidad globales de las soluciones para toda condici¶on inicial y(x0 ) = y0 , con x0 2 I (ver teorema de existencia y unicidad).
Las ecuaciones diferenciales lineales aparecen frecuentemente en la pr¶actica. En numerosas ocasiones modelos complicados se aproximan por modelos lineales, porque su estudio es m¶as sencillo y porque se tiene la esperanza de que la soluci¶on a la ecuaci¶on lineal aproxime a la soluci¶on del problema original. Por ejemplo, si en el problema y 0 = f (x; y), con y(x0 ) = y0 , la funci¶on f (x; y) resulta ser muy complicada, podemos aproximarla por su desarrollo de Taylor de primer orden en un entorno del punto (x0 ; y0 ). Con ello obtendr¶³amos el problema 8 > < y0 > :
= f (x0 ; y0 ) + (x ¡ x0 )
@f @f (x0 ; y0 ) + (y ¡ y0 ) (x0 ; y0 ) @x @y
y(x0 ) = y0
; (2.14)
que es \ parecido" al inicial, pero mucho m¶as sencillo, al tener una ecuaci¶on diferencial lineal de primer orden.
21
¶ n: Se deja como ejercicio comprobar que las ecuaciones diferenciales resolucio lineales poseen un factor integrante ¹ = ¹(x) que depende s¶olo de x. La forma de conseguir la soluci¶onR es, por tanto, multiplicar los dos miembros de la expresi¶on (2.13) por el t¶ermino e P (x) dx , que es un factor integrante. Con ello se consigue la ecuaci¶on
ic a
1.c
om
R d ³ R P (x) dx ´ ye = e P (x) dx Q(x) ; dx que es una ecuaci¶on diferencial cuya soluci¶on se obtiene f¶acilmente mediante una primitiva. Finalmente se recupera y(x) despejando. Observemos que, en este caso, el factor integrante es continuo y no nulo en el conjunto donde lo sean P (x) y Q(x). Por tanto, todas las soluciones de la ecuaci¶on exacta son soluciones de la ecuaci¶on de partida. Nota: Obs¶ervese que en la ecuaci¶on diferencial (2.13) y 0 tiene por coe¯ciente un 1, por lo que para resolver una ecuaci¶on diferencial lineal del tipo R(x)y 0 + P (x)y = Q(x), antes de aplicar el m¶etodo de resoluci¶on es preciso dividir la ecuaci¶on dada por R(x), con lo que habr¶a que ser cautos con los intervalos de de¯nici¶on de las funciones resultantes.
em at
Ecuaci¶ on de Bernouilli.
Las ecuaciones de Bernouilli responden a la forma general: (2.15)
M at
y 0 + P (x)y = Q(x)y n
ww
w.
para n 6 =0yn6 = 1 (si n = 0 o¶ n = 1 la ecuaci¶on diferencial es directamente lineal). Si en (2.15) dividimos ambos miembros de la igualdad por y n , \ salta a la vista" el cambio de variable 1 w(x) = : (y(x))n¡1 Con este cambio se tiene que w0 = (1 ¡ n)y ¡n y 0 y sustituyendo en (2.15) se llega a la ecuaci¶on diferencial lineal w0 + P (x)w = Q(x): 1¡n Finalmente se resuelve esta u ¶ltima ecuaci¶on diferencial lineal y posteriormente se deshace el cambio de variable. 8 Observaci¶ on: Se~ nalemos que en el m¶etodo de soluci¶on indicado para la ecuaci¶on diferencial (2.15) en cierto momento se divide por y n por lo que, si n > 0, habr¶a que a~ nadir la soluci¶on y ´ 0 de la ecuaci¶on diferencial original, que hemos \perdido". Ejercicio: Pruebe que y ´ 0 y 1 = y 2 (Cx2 ¡ x4 ) proporcionan las soluciones de la ecuaci¶on diferencial xy 0 + y = x4 y 3 .
22
2.5
Curvas ortogonales.
Hasta ahora hemos visto que la soluci¶on de una ecuaci¶on diferencial de primer orden se suele poder expresar como F (x; y; C) = 0, donde C es una constante arbitraria. La ecuaci¶on F (x; y; C) = 0 proporciona para cada valor de C una curva o trayectoria en el plano XY tal que en cada punto de la curva se satisface la relaci¶ on dada por la ecuaci¶on diferencial entre el valor de la abscisa x, la ordenada y y la pendiente y 0 (x) en dicha abscisa. El problema tambi¶en puede plantearse de forma inversa: dada una familia uniparam¶etrica de curvas F (x; y; C) = 0, encontrar una ecuaci¶on diferencial cuya soluci¶on nos permita recuperar la familia original. 2.5.1 Ejemplo.- La expresi¶on x2 + y 2 = C 2 es la familia uniparam¶etrica de circunferencias centradas en (0; 0). Derivando la ecuaci¶on de la familia respecto a x se tiene la ecuaci¶on diferencial de la familia: x + yy 0 = 0.
.c
om
En ocasiones la simple derivaci¶on respecto a x no es su¯ciente.
em
at
ic
a1
2.5.2 Ejemplo.- Para la familia de rectas y = Cx + 4, se tiene que y 0 = C depende de C y la soluci¶on de y 0 = C incluye a m¶as rectas que las de la familia original. Sin embargo, utilizando que, de la ecuaci¶ on inicial de la familia de rectas, C = (y ¡4)=x, la ecuaci¶on diferencial es ahora y 0 = (y ¡ 4)=x.
d F (x; y; C) = 0. dx
ww
1.
w.
M
at
El proceso seguido en el ejemplo anterior es general. Dada una familia de curvas F (x; y; C) = 0, podemos obtener su ecuaci¶on diferencial siguiendo los pasos:
2. Eliminando C entre las ecuaciones: 8 d > > < > > :
dx
F (x; y; C) = 0
F (x; y; C)
= 0
Entonces, la ecuaci¶on diferencial obtenida se denomina ecuaci¶on diferencial de la familia dada. 2.5.3 De¯nici¶ on.- Dos curvas C1 y C2 se dice que son ortogonales si lo son las rectas tangentes a cada una en cada punto donde se corten.
23
a1
.c
om
2.5.4 De¯nici¶ on.- Dos familias de curvas F (x; y; C) = 0 y G(x; y; C) = 0, para C constante arbitraria, se dice que son ortogonales si cada curva de la primera familia es ortogonal a todas las de la segunda.
ww w.
M
at
em
at
ic
Por ejemplo, las familias de curvas y = mx y x2 + y 2 = c son dos familias de curvas ortogonales; la primera representa las rectas que pasan por el origen, y la segunda es la familia de circunferencias centradas en el origen. (V¶ease el siguiente dibujo).
El problema que trataremos ahora es: Dada una familia de trayectorias F (x; y; C) = 0, encontrar una familia G(x; y; C) = 0, tal que las familias F (x; y; C) = 0 y G(x; y; C) = 0 sean ortogonales.
24
¶trico: Dado un punto (x; y) de la familia F (x; y; C) = 0, planteamiento geome su recta tangente tendr¶a por vector director (1; y 0 ). Por lo tanto, para encontrar la familia ortogonal G(x; y; C) = 0, debemos plantear que en ese punto (x; y) la recta tangente tenga por vector director uno que sea ortogonal a (1; y 0 ), por ejemplo ¡1 ¡1 el vector (1; 0 ). (N¶otese que (1; y 0 ) y (1; 0 ) son ortogonales, pues su producto y y escalar es cero.) As¶³ pues, la soluci¶on al problema planteado se obtiene siguiendo los pasos: 1. Hallar la ecuaci¶on diferencial de la familia F (x; y; C) = 0. 2. Si la ecuaci¶on diferencial del apartado anterior es f (x; y; y 0 ) = 0, la ecuaci¶on ¡1 diferencial de la familia buscada ser¶a f (x; y; 0 ) = 0. y 3. Resolver la ecuaci¶on diferencial f (x; y;
¡1 ) = 0. y0
ww
w.
M
at
em
at ic
a1
.c om
Ejercicio: Halle la familia ortogonal a la familia de curvas dadas por la ecuaci¶on y = ln(tan x + C), con C constante arbitraria.
25
2.6
Ejercicios
1. Para ciertos valores de la constante n, la funci¶on enx es soluci¶on de la ecuaci¶on diferencial y 000 ¡ 3y 00 ¡ 4y 0 + 12y = 0. Determinar los valores de n. 2. Para ciertos valores de la constante n, la funci¶on xn es soluci¶on de la ecuaci¶on diferencial x3 y 000 + 2x2 y 00 ¡ 10xy 0 ¡ 8y = 0. Determinar los valores de n. 3. Demostrar que una ecuaci¶on diferencial de la forma y 0 = f (ax + by + c), con b6 = 0 se puede reducir a una ecuaci¶ on separable con el cambio u = ax + by + c. Aplicaci¶on: resolver 1¡x¡y y0 = x+y 4. Demostrar que una ecuaci¶on diferencial de la forma 0
y =f
Ã
ax + by + c Ax + By + C
!
a1
x=u+h y =v+k
at ic
(
.c
om
con aB ¡ bA 6 = 0 se puede reducir a una ecuaci¶ on homog¶enea mediante el cambio
em
donde h y k son constantes que se determinar¶an.
M
at
5. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
ww
w.
(1 + x)y dx = ¡(1 ¡ y)x dy ydx ¡ (x + y)dy = 0 (2x3 + 4y)dx + (4x + y + 2)dy = 0 dy = y¡x dx y+x 2x2 ydy = (1 + x2 )dx dy + 2y = e¡x dx (1 + x2 )xdy = (1 + y 2 )dx 2y dy ¡ 1+x = (x + 1)3 dx p xdy ¡ ydx ¡ x2 ¡ y 2 dx = 0 (2x + 3y)dx + (y ¡ x)dy = 0 (x ¡ y ¡ 3) dx ¡ (x + y ¡ 1) dy = 0 xy 00 + 4y 0 = 0
dy dx
=x+y = y(y 2 + 3x2 ) (x ¡ y) dx ¡ x dy = 0 dy + ytg(x)dx = 0 (x2 + y 2 )dx ¡ 2xydy = 0 dy ¡ y = xy 5 dx dy + xy = x3 dx p (a2 + y 2 )dx = 2x ax2 ¡ a2 dy y 0 + 4y = y 2 ( sen x + cos x) dy (x + 1) dx = x(1 + y 2 ) (x + y ¡ 6) dx + (y ¡ x) dy = 0 dy 2x3 dx 2
6. Considerar la ecuaci¶on diferencial (4x + 3y 2 )dx + 2xydy = 0. (a) Demostrar que no es exacta y encontrar un factor integrante de la forma xn para la ecuaci¶on.
26
(b) Resolver la ecuaci¶on. 7. Dada la ecuaci¶on M(x; y)dx + N (x; y)dy = 0, demostrar que si @N @x
¡
@M @y
M
= g(y) R
es una funci¶on que depende s¶olo de y, entonces ¹(y) = exp( g(y)dy)) es un factor integrante. 8. Resolver la ecuaci¶on (2xy 2 + x2 y ¡ y + 2x)dx + (2x2 y ¡ x3 ¡ x + 2y)dy = 0 encontrando un factor integrante de la forma ¹(xy). 9. Resolver la ecuaci¶on
om
(4xy 2 + 6y)dx + (5x2 y + 8x)dy = 0
a1
.c
encontrando un factor integrante de la forma xq y p .
em
at
ic
10. Resolver (3 y 2 + 10 xy)dx + (5xy + 12x2 )dy = 0, sabiendo que tiene un factor integrante de la forma xm y n .
M at
11. Resolver la ecuaci¶on
w.
(3x + 2y + y 2 ) dx + (x + 4xy + 5y 2 ) dy = 0
ww
buscando un factor integrante de la forma ¹ = '(x + y 2 ). 12. Determinar el valor de n para que xn + y n = C sean las trayectorias ortogonales a la familia x y= 1 ¡ Dx 13. Una familia de curvas es autoortogonal si su familia de trayectorias ortogonales coincide con la propia familia. Demostrar que y 2 = 2Cx + C 2 es autoortogonal. 14. Demostrar que la ecuaci¶on diferencial xy 0 ¡3y = 0 tiene una familia de soluciones de la forma y = Cx3 . Demostrar que la funci¶on y=
(
A x3 B x3
si si
x·0 x¸0
es tambi¶en una soluci¶on. Existen entonces dos soluciones que pasan por el punto (1; 1).
27
15. Considere el problema de valor inicial: y 0 + P (x) y = x y(0) = 1
)
donde P (x) =
(
1 3
si si
0·x·2 x>2
(a) Encontrar la soluci¶on general para 0 · x · 2. (b) Determinar la constante de la soluci¶on obtenida en a) para la cual se satisface la condici¶on inicial. (c) Encontrar la soluci¶on general para x > 2. (d) Escoger la constante de la soluci¶on general obtenida en c) para que ambas soluciones coincidan para x = 2. De esta manera se obtiene una soluci¶on continua del problema de valor inicial. 16. Determinar una soluci¶on continua para el problema de valor inicial: )
donde Q(x) =
(
2 ¡2
si si
0·x·3 x>3
.c
om
y 0 + 2 y = Q(x) y(0) = 0
ic
a1
17. Trace un esbozo de cada una de las siguientes familias de curvas, encuentre las trayectorias ortogonales y a~ na¶dalas al dibujo:
em
at
(a) xy = C. (c) y = Cex .
ww w.
(d) y 2 = 4C(x + C).
M at
(b) y = Cx2 .
18. Encontrar las curvas que satisfagan cada una de las condiciones geom¶etricas siguientes: (a) La parte de la tangente cortada por los ejes est¶a bisecada por el punto de tangencia. (b) La proyecci¶on sobre el eje OX de una parte de la normal entre (x; y) y el eje OX tiene longitud 1. (c) La proyecci¶on sobre el eje OX de una parte de la tangente entre (x; y) y el eje OX tiene longitud 1. 19. Las leyes de Kircho® establecen que la suma de las ca¶³das de voltaje a trav¶es de cada uno de los elementos de un circuito es igual a la tensi¶ on E(t) aplicada. Las ca¶³das de voltaje a trav¶es de: Inductor
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di d2 q L =L 2 dt dt
1 q C
Condensador
Resistencia
iR =
dq R dt
donde L,C,y R son constantes, i(t) es la intensidad en cada instante y q(t) es la carga. (a) Un circuito en serie contiene una resistencia y un inductor. Determinar la intensidad si R = 10, L = 3H y la tensi¶on aplicada es de 100V . (b) Un circuito en serie contiene una resistencia y un condensador. Determinar la carga si R = 6 y C = 5F siendo el voltaje suministrado de 110V .
at
em
at
ic a
1.c
om
20. (Ley de Torricelli) Sup¶ongase que un tanque de agua tiene en el fondo un agujero de a¶rea a por el cual el agua est¶a saliendo. En condiciones ideales la velocidad con que el agua sale a trav¶es del agujero es la que adquirir¶³a una gota de agua al caer libremente desde la super¯cie del l¶³quido hasta el agujero. En condiciones reales, la velocidad es proporcional a la anterior (con una constante comprendida entre 0 y 1 y que generalmente es 0.6). Suponiendo condiciones ideales, si el tanque es hemisf¶erico, tiene un radio m¶aximo de 4m. y est¶a lleno de agua en t=0, y en ese momento se abre un agujero en el fondo de 1cm de di¶ametro, >cu¶anto tiempo tarda en vaciarse?
ww w.
M
21. La ley del enfriamiento de Newton sostiene que la variaci¶on de la temperatura de un cuerpo es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas del medio ambiente (supuesta constante) y la del cuerpo. Justamente antes del mediod¶³a el cuerpo de una v¶³ctima aparente de un homicidio se encuentra en un cuarto que se conserva a temperatura constante de 70 F. A mediod¶³a, la temperatura del cuerpo es de 80 F y a la 1 p.m. es de 75 F. Si la temperatura del cuerpo en el momento de la muerte es de 98.6 F y si el cuerpo se ha enfriado de acuerdo con la ley de Newton, >cu¶al fue la hora de la muerte? 22. La intensidad de la luz a una profundidad de x metros satisface la ecuaci¶on diferencial I 0 = (¡1:4)I; (a) >A qu¶e profundidad la intensidad es la mitad que en la super¯cie (donde x=0)? (b) >Cu¶al es la intensidad a una profundidad de 10 m.? (c) > A qu¶e profundidad la intensidad ser¶a la cent¶esima parte de la de la super¯cie?. 23. Un gran dep¶osito contiene 1000 l de salmuera en la que est¶an disueltos 200Kg de sal. A partir del instante t=0 se introduce agua pura a raz¶on de 3l/minuto
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y la mezcla (que se mantiene homog¶enea) sale del dep¶osito a raz¶on de 2 l/min.. >Cu¶anto tiempo se necesitar¶a para reducir la cantidad de sal a la mitad? 24. Un dep¶osito est¶a lleno inicialmente con 100 m3 de agua salada, cuya concentraci¶on es de 1.5 Kg. de sal por m3 . Una tuber¶³a empieza a verter en este dep¶osito agua salada, de concentraci¶on 1 Kg de sal por m3 , a raz¶on de 2m3 =min, a la vez que por un ori¯cio del fondo sale la mezcla con la misma velocidad. Suponiendo que la mezcla se mantiene homog¶enea en cada instante, calcular la concentraci¶on de sal en el agua del dep¶osito al cabo de una hora.
a1
.c
om
25. La velocidad de disoluci¶on de un s¶olido es proporcional a la cantidad de s¶olido sin disolver y a la diferencia entre las concentraciones de saturaci¶on de la sustancia y a la que tiene en un instante t cualquiera. En un dep¶osito que contiene 60 Kg. de disolvente se introducen 10 Kg. de soluto y al cabo de 12 minutos se observa que la concentraci¶on es de 1 parte de soluto por 30 de disolvente. Determinar la cantidad de soluto que existe en la soluci¶on en un instante cualquiera t, si la concentraci¶on de saturaci¶on es de 1 parte de soluto en 3 de disolvente. ( Tomaremos como concentraci¶on la cantidad de kilogramos de soluto dividida entre los kilogramos de disolvente).
at
em
at
ic
26. Se ha descubierto que una bola de naftalina que ten¶³a originalmente un radio de 1/4 de pulgada, tiene un radio de 1/8 pulgada al cabo de un mes. Suponiendo que se evapora a un ¶³ndice proporcional a su super¯cie, encuentre el radio en funci¶on del tiempo. >Despu¶es de cu¶antos meses desaparecer¶a por completo?
ww
w.
M
27. Un medicamento se inyecta en el °ujo sangu¶³neo de un paciente con una intensidad constante de r grs./seg. Simult¶aneamente la sustancia se elimina con una rapidez proporcional a la cantidad de sustancia x(t) presente en cada instante. Halle, y resuelva, la ecuaci¶on diferencial que rige la cantidad x(t).
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