La Transposición Didáctica: Un Modelo Teórico para investigar los estatus de los objetos matemáticos
Por Roberto Vidal Cortés
Resumen
En este artículo, se pretende dar una revisión general pero necesaria de la Didáctica de la Matemática para comprender por qué hoy es una disciplina autónoma y emergente, y que adquiere cada vez una mejor aproximación a los fenómenos fenómenos que se suscitan en el aula de matemáticas. Para tal efecto, exploramos brevemente el origen de la palabra didáctica, luego de la didáctica de la Matemática, sus paradigmas anglosajón y europeo, para luego centrarnos en La Teoría de la Transposición Didáctica del Dr. Yves Chevallard, el que corresponde a uno de los Modelos Teóricos provenientes de la Didáctica Francesa que ha traspasado las diferencias paradigmáticas. Finalmente, se da cuenta de algunas investigaciones con este apoyo teórico en los distintos niveles básico, medio y superior, algunas críticas a la teoría y sus aportes a la formación de profesores.
Palabras claves: Didáctica de la Matemática, Transposición Didáctica, Educación Matemática, Saber.
Introducción
Para enseñar matemáticas no es suficiente con dominar el contenido científico. No basta con un gusto por la enseñanza o buena intuición para seleccionar contenidos, organizar programas y evaluar el aprendizaje de los estudiantes. Se requiere de profesores que sientan la necesidad de evaluar los efectos de nuevas propuestas o hipótesis de aprendizaje, de determinar errores, dificultades y obstáculos, aprovecharlos para su propia preparación del escenario de enseñanza aprendizaje, en que el saber entra en juego, jue go, formando una terna al integrarse a la dupla irreductible enseñanza – aprendizaje1. Aquí es donde entra en juego la Didáctica de la Matemática, pero ¿Qué ¿Qué entendemos por ello?. Primero, revisemos brevemente los usos de la palabra didáctica, para introducirnos al terreno de la Didáctica de la Matemática, sus paradigmas y desde ahí, trabajar con el tema central de este artículo: la Transposición Didáctica.
Esta descripción de lo “necesario” nos parece débil, pues como lo notarán en el desarrollo de este artículo, se agregarán otros elementos para preparar los escenarios a los que hago referencia. Aún así, creo que es importante destacarlo.
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Sin duda al hablar de “enseñanza de las matemáticas”, está presente la palabra didáctica. Ian Amos Comenuis2 introdujo esta palabra en su obra “Didáctica Magna”, dándole el significado de “arte de enseñar”. De la misma forma aparece en el diccionario de la Real Academia Española. En el Petit Larousse Ilustrada de 1980, la definición es la siguiente: “Ciencia que tiene por objeto los métodos de enseñanza” . Hasta ahora, podemos ver que la Didáctica se reduce a la Metodología. Entrando en el terreno de la Didáctica de la Matemática, para el pedagogo alemán Heinz Griesel, “La Didáctica de la Matemática es la ciencia del desarrollo de las planificaciones realizables en la enseñanza de la Matemática”. Una interpretación que da importancia a los programas, a las secuencias de enseñanza, elaboración de manuales. Nuevamente reducida al método. Otras interpretaciones relacionadas con la innovación de propuestas de enseñanza se encuentran en la “Didattica della matematica” de Emma Castelnuovo y “Didáctica matemática heurística” de Pedro Puig. Guy Brousseau, didacta francés, considerado como Padre de la Didáctica de la Matemática Francesa, concibe tres interpretaciones de la palabra didáctica: como sinónimo de enseñanza, en que se forja un proyecto social para que un sujeto se apropie un saber, como conjunto de medios que sirven para enseñar, asociada a la metodología y como el conocimiento del arte de enseñar, describiendo y estudiando la actividad de una disciplina disc iplina científica. Desde la década de los años 80 se ha intentado concebir la Didáctica de la Matemática como una Ciencia preocupada de la comunicación de conocimientos y de sus transformaciones, por medio de una epistemología experimental que intenta teorizar sobre la producción y circulación de los saberes. Su campo de estudio corresponde a los fenómenos que ocurren en la enseñanza de la matemática, relacionados con los alumnos, los contenidos matemáticos y los agentes educativos. Pero la Didáctica de la Matemática es una Ciencia Experimental que se desarrolla relacionándose con otras áreas del saber como la Epistemología y Filosofía de las Matemáticas, la Sociología y la Psicología. En especial, esta última, proporcionó los marcos teóricos por mucho tiempo para la Didáctica entendida como metodología. En efecto, desde los años 60 en E.E.U.U. y en países occidentales se puso mayor énfasis en la enseñanza de las matemáticas, siendo la psicología la que por largo tiempo diera las directrices, apareciendo la corriente conductista basada en acciones de tipo estímulo – respuesta, donde el avance o retroceso se expresaba en conductas observables. Armendáriz, Azcarate y Deulefeu (1993), señalan al respecto “se da una gran 2
Ian Amos Comenius (1592 – 1570). Teólogo, Filósofo y Pedagogo Nacido en la República Checa. Es llamado el Padre Padre de la Pedagogía, por establecer sus primeros principios principios fundamentales.
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importancia a la práctica y a la ejercitación de rutinas con la consiguiente hipertrofia de lo sintáctico. Las secuencias en el aprendizaje son enormemente rígidas” .
Sin embargo, en la actualidad, el principio explicativo más compartido sobre el aprendizaje en general es el de la importancia de la actividad mental constructivista del alumno, en una mirada renovada que como hemos dicho, considera la Didáctica de la Matemática como Disciplina experimental. ex perimental. Por su juventud, ha desarrollado sus paradigmas y controversias, recientemente. En los países anglosajones en lugar de Didáctica de la Matemática como se denomina en el continente europeo, se habla de Educación Matemática. Al respecto, Jeremy Kilpatrick reconocido didacta de las matemáticas en los países anglosajones, no encuentra más que una diferencia en los nombres, ya que ambos paradigmas de investigación se nutren según él, en los aportes de la sociología, la lingüística, la psicología y la antropología. En el contexto latinoamericano, suele hablarse de Matemática Educativa. En Chile en tanto, encontramos un Programa de Magíster en Didáctica de la Matemática, impartido por la Pontifica Universidad Católica de Chile y también postgrados a ese nivel en Educación Matemática. En 1984, en el “International Congreso on Mathematical Education” celebrado en Adelaida, se constituyó un grupo de trabajo denominado “Theory en Mathematics Education (TME)” para elaborar las bases teóricas de la Educación Matemática, para darle el estatus de ciencia. Así es como Steiner (1985), creador del grupo, llega a establecer que existen dos paradigmas acerca de la Didáctica de la Matemática: Aquellos que la ven como un arte, y por tanto no puede convertirse en un campo científico y aquellos que ven la ven como posible ciencia, por medio de la acción de reducir los problemas a objetos de estudio específicos tales como el contenido, desarrollo de las destrezas del alumno, métodos de enseñanza, interacción en el aula, etc. La Didáctica de la Matemática, puede verse hoy como una disciplina emergente, con características propias y multidisciplinar, con un campo teórico – práctico específico que no se traduce en la ingenua suma de las áreas del conocimiento con que se relaciona, siendo cada vez una mejor aproximación para describir y explicar los fenómenos del aula. Una de los Modelos Teóricos en Didáctica de la Matemática, originado dentro del paradigma de la Escuela Francesa y que ha repercutido fuerte en el enfoque anglosajón es el desarrollado por el Doctor Yves Chevallard que denominó Transposición Didáctica, al cual nos referiremos a continuación.
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La Transposición Didáctica.
Para presentar la Teoría de la Transposición Didáctica, nos ha parecido conveniente por la claridad y el nivel sintético que presenta, apoyarnos en el enfoque de Michel Henry del IREM 3 el que complementaremos con los elementos que creemos suficientes para una primera aproximación a este modelo teórico que aún está en desarrollo. La Trasposición Didáctica tiene por objeto de estudio el saber, en nuestro caso, el saber matemático que tiene un lugar en el Edificio Matemático (saber sabio), que no es el mismo en el que se sitúa en la matemática escolar (Saber enseñado). La distancia que hay entre ambos saberes, se produce por la serie de transformaciones que los hacen accesible a un determinado nivel. Estas transformaciones las estudia la Teoría de la Transposición Didáctica de Yves Chevallard (1985). Considerando que el saber del profesor y su relación con el saber sabio es base de este estudio, Chevallard dice: “El profesor tiene que enseñar una parte del “saber sabio o erudito”, del cual los matemáticos profesionales e investigadores puros son sus poseedores y fabricantes. La sociedad demanda enseñar una parte de este saber, lo que supone que ella debe tener utilidad social. Para responder a esta demanda, es necesario transformar el conocimiento para que se vuelva enseñable a un nivel dado. Este punto es clave en cuanto a que el profesor debe cuestionarse acerca de su relación con el saber a 4
enseñar, así como con el saber erudito” .
Los 5 actos de la transposición didáctica
Es claro que el Saber Sabio (de los matemáticos) y el Saber Escolar (de los estudiantes) no es el mismo. Henry, considera el proceso de transposición Didáctica por medio de 5 actos como en una obra teatral, pues inciden distintos personales como protagonistas, desde que se transforma el saber matemático en un saber del alumno. 1º acto: Los protagonistas de este primer acto son los matemáticos, quienes tienen por misión crear nuevos conocimientos que les permitan resolver problemas que con sus conocimientos previos no les es posible. Construye o reconstruye herramientas, escoge lo que es útil y comunica su descubrimiento haciéndolo lo más general posible, borrando todos los pasos en falso, errores y falsas conclusiones. Estos nuevos aportes son publicados por la comunidad científica manteniendo de este modo al día el “libro del Saber”. De este modo, el Saber Sabio que es legitimado por la 3
Michel Henry, matemático francés que ha trabajado durante muchos años en la formación de profesores de matemáticas en Francia en el l’Institut de Recherches sur l’Enseignement des Mathématiques IREM. 4 La Transposición Didáctica: Del saber sabio al saber enseñado.
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comunidad científica, es un saber despersonalizado y descontextualizado, pues no sólo se ha dejado atrás todos los episodios personales del autor, sino también se ha olvidado el contexto inicial para hacerlo un producto lo más general posible, de modo que ingrese a la lógica de los saberes eruditos de la comunidad. 2º acto: La noosfera (sistema social de enseñanza), da cuenta de todos los conocimientos existentes, aquellos que son pertinentes para la formación matemática de los jóvenes, lo que depende de varios factores tales como tipo de sociedad, nivel de desarrollo, tipo de sistema educativo, etc. el Ministerio de Educación es el agente que decide junto a su equipo de expertos cuáles son los objetos a enseñar. Una vez lista la selección de los objetos a enseñar, se elabora “el texto del saber a enseñar”, el que debe integrarse en el currículo en secuencias de hipótesis de aprendizaje. Así se tendrá el manual del profesor. En él aparecen indicaciones del tratamiento de los temas, jerarquía de los conocimientos, etc. Para hacer un texto de saber a enseñar, los expertos deben re-escribir las definiciones, propiedades y demostraciones para lograr una articulación lógica, coherente y accesible a los estudiantes. 3º acto: Generalmente los profesores prefieren preparar sus clases utilizando textos que ofrece el mercado o aquellos distribuidos por el ministerio de educación, en lugar de emplear los propios manuales. El 3º acto de la transposición didáctica se refiere a la elaboración del Saber Escolar, que es difundido por los textos del alumno. Las diversas editoriales presentan sus textos proponiendo una organización del programa, aportan ilustraciones de los temas, ejercicios de entrenamiento y problemas. Estas obras servirán durante un tiempo como referencia a la comunidad: profesores, alumnos y apoderados. De estos textos se desprende un cierto saber que contribuye a la instalación de una cultura particular, integrada por todos aquellos contemporáneos de una misma época escolar. Este trabajo de selección corresponde a la NOOSFERA, conjunto de agentes político - educativos de una nación. La Transposición hasta aquí dice Chevallard es externa, ya que no hay participación del enseñante en estas decisiones 4º acto: El protagonista en este acto es el profesor, quien tiene la responsabilidad de administrar esta transposición didáctica, adaptar a sus conocimientos, los objetos a enseñar, insertarlos en el saber escolar y organizarlos en el tiempo. Se trata de una transposición interna , pues él ahora toma decisiones decisiones importantísimas, porque ellas incidirán en la percepción del saber de los estudiantes. El docente participa con la transposición transformando el objeto a enseñar en objeto enseñado, para lo cual recontextualiza y personaliza el saber, de modo que los alumnos lo hagan propio. Es en cierta manera, el trabajo inverso del que hace el investigador. i nvestigador.
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5º acto: Lo que el profesor enseña no es lo mismo que finalmente retienen sus alumnos. Aquí hay otra transformación de la que se hacen cargo los estudiantes. Ellos protagonizan el 5º acto de la transposición didáctica: transforman el saber enseñado a saber del alumno. En esta parte de la metamorfosis del saber, los estudiantes tienen que hacer un trabajo similar al del matemático, en relación a los episodios en que despersonaliza y descontextualiza el saber para darle un estatus general. La evolución de un objeto matemático
El primer acto de la transposición didáctica se observa en el quehacer de los matemáticos, que construyen sus objetos de saber científico que contiene una historia de los mismos, hasta que llegan al sitial que los define en su rigor. Chevallard, acerca de este proceso, indica: “El estudio de la transposición didáctica implica una “vigilancia epistemológica”, esto es, examinar la distancia, vista por la deformación que existe entre el objeto de saber (del saber erudito) y el objeto de enseñanza (del saber a enseñar). A veces no queda más que una nomenclatura en común y en el peor de los casos, un lenguaje seudo-erudito. En casos extremos se habla de “ruptura epistemológica”, por lo que convendrá averiguar los motivos de estas rupturas”.
Para analizar el discurso de un texto matemático, se deben tener presentes los tratamientos de las nociones que allí aparecen. Se define como noción matemática aquella que aparece como útil al trabajo matemático y como objeto de estudio. Una noción paramatemática , es aquella que aparece en el entorno del trabajo matemático, matemático, generalmente como medio o herramienta para estudiar otro objeto de saber matemático. Claro que el estatus de un mismo objeto matemático, varía según sea al ámbito en que sea tratado, en algunos momentos puede ser un objeto de saber y por tanto toma su estatus matemático, pero si se le considera sólo como una herramienta para desarrollar otros objetos de estudio, su estatus es netamente paramatemático. Así la frontera que separa estas nociones, es absolutamente variable y dependiente del nivel en que se emplee. Por último decimos que un objeto que de herramienta ha pasado a objeto de estudio, construyendo y preparando su noción matemática, ocupa el estatus de noción protomatemática.
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Cabe señalar que existen ciertos cuestionamientos a la Transposición Didáctica, que por motivos de espacio no trataremos aquí 5. Chevallard consiente de ello, levanta posterormente una nueva teoría que incluye a la Transposición y en la que resuelve algunos de los cuestionamientos, incorporando el análisis de los “saberes institucionales” y sus praxeologías en la Teoría Antropológica de lo Didáctico. La Transposición Didáctica en los niveles educativos.
Como el saber erudito circula en la comunidad científica que lo legitima, y ya se produce incluso en ese entorno el primer acto de transposición didáctica, con mayor razón se produce en cada uno de los niveles educativos: el nivel básico, el nivel medio y el nivel superior. Pero, ¿Cómo participamos de esta transposición, profesores y alumnos?, ¿Es independiente el nivel respecto al proceso?. ¿Está “más distante” el objeto de saber del correspondiente objeto de enseñanza del nivel básico en que aparece por primera en comparación con los otros niveles? O dicho de otra forma, ¿Estará “más cerca” un objeto de saber enseñado de su respecto objeto de saber erudito en la educación superior que en los otros niveles?. Esta pregunta pareciera ser fácil, y optar ligeramente por una respuesta afirmativa, pero pensamos que al poner cuidado sobre la esperable respuesta, es necesario revisar el estatus que posee el objeto de enseñanza (aquí variable) en un determinado nivel, esto es, una noción paramatemática, protomatemática o matemática. No pretendemos dar respuesta a estas interrogantes que planteamos, pues es la idea para levantar la reflexión, pero si creemos en una aproximación, respecto a que en el nivel básico, las matemáticas escolares están más asociadas a transposiciones de modelos matemáticos de primera generación6, en cambio, cambio, en otros niveles aparecen en su mayoría transposiciones de modelos de segunda generación. Sea cualquiera el nivel, los objetos de saber traspuestos para organizar la matemática escolar que los contiene como objetos de saber enseñado, deben cuidar su proceso evolutivo dentro de ella misma. Profundicemos algo al respecto en cada nivel para ilustrar con ejemplos.
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Para una mayor referencia consultar: “La interpretación histórico – cultural de la Transposición Didáctica como puente de emancipación del aprendizaje y la enseñanza” de T. Díaz, y “Reflexiones críticas sobre el concepto de Transposición Didáctica Didáctica de Chevallard” de J. Cardelli. Disponibles en: www.revistapraxis.cl/ediciones/numero3/diaz www.revistapraxis. cl/ediciones/numero3/diaz_praxis_3.htm _praxis_3.htm y www.scielo.org.ar/pdf/cas/n19/n19a04.pdf
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El concepto de modelos matemáticos de primera y segunda generación está siendo estudiado por la Dra. Ismenia Guzmán y el Dr. Héctor Hévia, en el Instituto de Matemáticas PUCV, Chile. En una aproximación restringida, a modo de dar una idea, un modelo de primera generación generación se identifica identifica por “provenir del mundo real ” como lo son la geometría euclideana y el conjunto de los números naturales, en cambio, los modelos de segunda generación se “construyen en el mundo matemático” como ocurre con el conjunto de los números enteros, los logaritmos, logaritmos, los espacios topológicos, etc.
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La Transposición Didáctica en el Nivel Básico.
Aparecen en la enseñanza básica una serie de objetos que serán más adelante retomados desde perspectivas más generales, por lo que las definiciones y propiedades iniciales, no pueden desviar el camino que la vigilancia epistemológica ha trazado, siendo necesario - e insistimos en ello - el conocimiento del la epistemología del objeto a enseñar por parte del profesor para evitar inadecuadas creaciones didácticas que den origen a objetos auxiliares de saber que originen bifurcaciones en el camino descrito y por tanto en el mejor de los inconvenientes casos, aumenten la distancia entre el saber escolar y el erudito, pues en el peor, llegaría hasta la deformación mutilación del objeto. Veamos algunos ejemplos al respecto, para mayor claridad. El concepto inicial de ángulo recto, en la matemática escolar, hace alusión a su medida, de modo que “ángulo recto es aquel que mide 90 grados (sexagesimales)” . Más que una suerte de bifurcación, se produce una mutilación del saber en este caso, ya que los alumnos se quedan con esta definición y no evoluciona, convirtiéndose probablemente en obstáculo cuando en trigonometría miden ángulos en radianes. Ésta definición inicial, como otras que veremos, quedan instaladas y se resisten a su propio proceso evolutivo, en que posteriormente el ángulo recto no se define en función de su medida, sino, en relación con el ángulo extendido cómo el que mide la mitad de él o bien como la cuarta parte de un ángulo completo, lo que paradójicamente aparece en el primer ciclo básico, al identificar los ángulos con “vueltas”, de modo que un ángulo recto se representa por “un cuarto de vuelta”. El concepto de Potencia aparece inicialmente en el trabajo con números naturales, y por tanto proveniente de una multiplicación de factores iguales. Sin embargo, nuevamente, muchos estudiantes terminan la enseñanza básica y lo que es peor la enseñanza media, sin un concepto más general. En efecto, los estudiantes recuerdan las potencias y en el mejor de los casos hacen correctamente los cálculos resumidos en 56, pero no logran conceptualizar las potencias como megaconcepto, esto es, en una definición que les permita comprender lo que indica
a
b
, siendo a y
b números reales cualesquiera, y por tanto, admitiendo incluso con justificación aquellas restricciones, pongamos por caso cuando a y b son a la vez cero. Chevallard, denomina autorregulación del sistema didáctico a la consecuencia a la que llevan las transacciones que por lo general se manifiestan en la algoritmización y que pueden ser analizadas de manera específica en los textos escolares que interpretan el texto del saber. Da como ejemplo que: “diversos estudios han mostrado que hasta que ingresan a la secundaria, un porcentaje no despreciable de alumnos no saben mencionar ningún número comprendido entre 2,16 y 2,17… En particular los alumnos escribirán que ]2; 2,17[ ∩ ]2,16; 4[ = ∅ ”
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Examina los manuales y advierte que los ejercicios propuestos sólo se basan operaciones conjuntistas con intervalos de números reales que no aprovecha la densidad de ¡ en ¡ , o al menos de ¤ en ¤ . Una similar situación se da al final del nivel básico y en en los inicios del nivel medio, en ese ese período de transición en que se estudian las ecuaciones de primer grado. Al observar el tratamiento de este objeto matemático, es poco frecuente encontrar ejercicios que lleven a los alumnos a reflexionar sobre las proposiciones x+1=x+1 o también x+5=x+2. La Transposición Didáctica en el Nivel Medio
Quizá sea bueno reflexionar un instante acerca de la mecanización o algoritmización como un tipo de transacción de la que se ha abusado en este nivel. La enseñanza del álgebra por ejemplo, que ocupa la mayor parte de los programas de NM1 a NM4, ha estado por mucho tiempo referida sino toda, al menos en la mayor parte a la reproducción de técnicas de cálculo. cálc ulo. Una mirada a los manuales puede ser útil para comprender otro proceso de autorregulación del sistema de enseñanza en el lenguaje de Chevallard. En Ciencias Experimentales es habitual que los alumnos demuestren una buena “manipulación de fórmulas” y aunque como se evidencia en los textos más clásicos de álgebra, hay una ruptura entre el tratamiento de las ecuaciones y las fórmulas. Los estudiantes aprenden a resolver ecuaciones, pero no aprenden a “despejar variables” de una fórmula sencilla. En la enseñanza de la Geometría Ge ometría similar a lo que sucede con conceptos como el de ángulo recto que ilustramos en el nivel básico, que no evolucionan, al revisar el concepto de “congruencia de figuras planas”, se revela ya no un estancamiento conceptual, sino una fusión que conduce a la confusión entre dos cuerpos axiomáticos distintos pero que versan sobre los mismos contenidos: nos referimos a la geometría euclideana plasmada en Los Elementos y Los Fundamentos de la Geometría de D. Hilbert, tensionando así la noción de igualdad y la de congruencia. En el nivel básico aprenden que un triángulo equilátero es aquel que tiene sus tres lados iguales, en el estatus erudito, tomando los elementos de Euclides, estaremos de acuerdo, pues la congruencia es utilizada a modo de sinónimo de igualdad. Sin embargo, bajo la axiomática de Hilbert, estos dos conceptos se diferencian, precisamente por la incorporación que hace éste último de la Teoría de Conjuntos. Es importante destacar que a veces el saber erudito obedece a un paradigma o escuela determinada y entonces las convenciones se fijan en esas instituciones, ¿cuál es el primer número natural?, ¿cómo se define un ángulo?, o ¿existe diferencia entre círculo y circunferencia?, son interrogantes que nos remiten a lo que Chevallard precisamente agrega o extiende extiende al elaborar en 1999 su teoría antropológica de lo didáctico que hemos esbozado ligeramente en este artículo. Volvamos al ejemplo inicial entre congruencia e igualdad. Examinando libros de texto, habíamos
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llegado en una tesis7 a encontrar que se mezclaban estos conceptos en una misma frase como cuando se define el triángulo equilátero, de modo que si no se hace una diferencia entre los conceptos igual e igual medida se infiere lo siguiente: 1. 2. 3. 4.
Los lados del triángulo equilátero son trazos. Lados iguales del triángulo, triángulo, quiere decir entonces, entonces, trazos trazos iguales del triángulo. triángulo. Según la corriente geómetra geómetra - conjuntista, un trazo es un conjunto de puntos. Como los tres trazos del triángulo son iguales, cada trazo contiene exactamente los mismos puntos de los otros dos. 5. El triángulo triángulo equilátero es igual a un trazo. trazo. A B’
C
B A’ ¡¡Lo que es una contradicción!! Esta fina interpretación se produce por mezclar las nociones de igualdad de trazos, que muestran las perspectivas del lenguaje cotidiano y del lenguaje conjuntista. con juntista. Lo anterior justifica entonces, la necesidad de elaborar el concepto de congruencia, que elimina las posibilidades de inexactitud en la comunicación e intercambio de ideas. Primero, la noción de figuras congruentes como aquellas que al superponer se ajustan perfectamente (existe una coincidencia punto a punto), para lo cual, se define la congruencia de trazos, trazos, por medio de la la igualdad de la medida de estos, y del mismo modo para los ángulos. Sin embargo, se han detectado algunos textos que a pesar de contener un capítulo sobre congruencia de figuras, emplea en otras unidades el concepto de igualdad en vez del de congruencia. Otros definen triángulos congruentes sin haber previamente conceptualizado trazos congruentes y ángulos congruentes. Se podrá encontrar con la siguiente definición: “...Diremos, entonces, que dos o más figuras son iguales o congruentes cuando al realizar movimientos de traslación, rotación o simetría coinciden completamente”. La Transposición Didáctica también permite que sobre un mismo objeto de enseñanza, podemos realizar varias investigaciones. Es el caso de la “Raíz Cuadrada”, que ha sido estudiada por a lo menos 2 investigadores distintos mostrando problemáticas diferentes. Sólo para ejemplificar el amplio campo que abre la Transposición Didáctica, he aquí algunas de las investigaciones que ha sustentado esta teoría:
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Vidal, R. (2001) Estudio de algunos Errores en la Enseñanza de las Matemáticas. Tesis para optar al Título de Profesor de Matemática e Informática Educacional. Universidad Metropolitana Metropolitana de Ciencias de la Educación. Santiago de Chile.
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1. Assude T. didactique, enseñanza secundaria
(1994) (1994) en su tesis doctoral8 “Un Phénomène d’arret de la transposition Ecologie de l’objet “Racine Carrée” un analyse su currículo”, estudia la de la raíz cuadrada y sus propiedades en los programas de la enseñanza en Francia. Este análisis le lleva a concluir que: "aparentemente la raíz
cuadrada es un objeto con el que se hacen multiplicaciones y divisiones. La finalidad de las operaciones con radicales en los libros es simplificar "
(p. 52). Otros fines de la enseñanza de los radicales, es la obtención de números aproximados, que teóricamente son más sencillos de obtener después de simplificar la expresión. Sin embargo, esta autora considera que esta justificación resulta obsoleta, por la existencia de calculadoras y programas computacionales que hacen inútiles estas simplificaciones para aproximar números. 2. Vidal, R. (2006) analiza en su Tesis de Magíster9 “Las concepciones de los Profesores de Matemáticas de Enseñanza Media, acerca del objeto de enseñanza Raíz Cuadrada”. Pone en evidencia la existencia de confusiones conceptuales y del tratamiento de la Raíz cuadrada, haciendo un análisis epistemológico y luego analizando los textos escolares como entrevistando docentes del área en un estudio de casos. Alguno de los hallazgos principales son los siguientes:
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Los profesores tienen distintas concepciones de raíz cuadrada, las que generalmente mezclan. Existe confusión entre los conceptos de raíz cuadrada de un número real no negativo y raíz de una ecuación. El aceptar el error del doble signo, trasciende a la extracción de raíces de números imaginarios. Los profesores no utilizan por lo general las restricciones numéricas a las que posee la función raíz cuadrada. Al trabajar con las propiedades de multiplicación y división de raíces, en la matemática escolar se utilizan seudo-demostraciones basadas en las propiedades de potencias, atribuyendo dos errores: La extensión de propiedades para exponentes enteros, a exponentes fraccionarios sin justificación alguna y un cambio de notación de las raíces a exponente de forma fraccionaria. Por lo general, una misma propiedad aparece presentada como dos propiedades diferentes, en que se descuida entonces la simetría de la igualdad. Por ejemplo, “multiplicación de raíces de igual índice” y “raíz de un producto”.
Tesis Doctoral en Didactiques des Mathématiques et de l’informatique. Université Joseph Fourier, Grenoble I. Francia.
Tesis de Magíster en D idáctica de la Matemática. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile.
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La resolución de ecuaciones con radicales, generalmente, se enseña sin utilizar el recorrido de la función raíz cuadrada. Los años de experiencia docente o la institución formadora, no son datos que influyan en el fenómeno en estudio, sino más bien un tradicionalismo propagado por textos escolares muy antiguos.
Existen muchos otros estudios que son propiciados desde la Transposición Didáctica. Bolea, Bosch y Gascón (2001)10 ; toma como marco teórico la Teoría Antropológica de lo Didáctico, Didácti co, explicando los procesos transpositivos sobre las restricciones matemático – didácticas que afectan el proceso de algebrización en las instituciones por medio de la proporcionalidad, mostrando que la transposición didáctica actúa sobre praxeologías matemáticas complejas en constante reorganización. Ferrari, M. (2001)11: en su Tesis doctoral desarrolla en el capítulo IV, un análisis didáctico de la Función Logaritmo comparando lo que indican los “textos del saber” en distintas épocas desde su origen en el siglo XVII con Napier dando cuenta de las distancias entre saber erudito y saber enseñado. La Transposición Didáctica en el Nivel Superior
En la educación superior, Marcolini y Perales12 (2005) analizan la epistemología de la Serie de Taylor, llegando a elaborar una propuesta de enseñanza evidenciando su estatus evolutivo desde sus orígenes hasta su actual estatus en el edificio matemático. Font, V. 13 (2001), aunque no completa un análisis didáctico bajo la transposición, si deja bastante avanzado al revisar las justificaciones de las técnicas que se utilizaban en el siglo XVII para construir tangentes y normales a curvas y aplicarlo en la enseñanza del cálculo diferencial. Su propuesta de enseñanza aquí, considera una transposición interna como diría Chevallard. En la Educación superior, por lo general las matemáticas son presentadas axiomáticamente, como ocurre en los programas de cálculo o álgebra moderna. Los números reales son presentados desde los axiomas de cuerpo, los de orden y el axioma de completitud, o de igual manera con los espacios vectoriales en álgebra lineal. Estas presentaciones poco compresibles para los estudiantes, anulan todo episodio de su construcción y alimentan la imagen de las matemáticas tortuosas y “bien terminadas”. Por esto, es que la Transposición Didáctica pensamos, tiene un terreno muy fecundo en este nivel. 10
Bolea, M.; Bosch, M. ; Gascón, J. (2001): La transposición didáctica de organizaciones matemáticas en proceso de algebrización: el caso de la proporcionalidad. Universidad de La Rioja, España. 11 Ferrari, M. (2001): Una visión socio-epistemológica: Estudio de al Función Logaritmo. Centro de Investigación y estudios avanzados del Instituto Politécnico Nacional. 12 Marcolini, J.; Perales, J. (2005): La Noción de predicción: Análisis y propuesta didáctica para la educación universitaria. En Revista RELIME Vol. 8, Núm. 1, pp. 25 – 68. 13 Font, V. (2005): Construcció de tangents I normals en el període 1630 – 1660. Aplicacions a l’ensenyament del calcul diferencial en el batxillerat. en El valor de la ciencia (pp. 255-263). El viejo Topo: Barcelona.
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Conclusiones y proyecciones de la Transposición Didáctica en la formación inicial y continua de profesores
La toma de conciencia de la existencia de la transposición didáctica, de conocer e indagar (y si se quiere investigar) acerca de la diferencia entre los contenidos de saber matemático y los contenidos de saber de las matemáticas escolares, en el lenguaje de Chevallard, distinguir las construcciones del saber sabio y las del saber a enseñar, puede permitir a los profesores en formación inicial o continua, trabajar sobre una compleja realidad de la enseñanza de las matemáticas, desmitificando creencias y concepciones que se acumulan con el tiempo como la inocente y a veces inconsciente aceptación de un ficticio isomorfismo entre estos saberes. Por ejemplo, el involucrarse con la transposición didáctica, requiere del análisis epistemológico de los objetos de enseñanza, que hagan del docente un agente activo y crítico frente a la forma en que él decida interpretar el programa y preparar los escenarios en que participarán. La epistemología de los profesores ya sea en formación inicial o continua, da el hilo conductor de la preparación de las clases en que ellos participan, pues como indica Brousseau14, es su medio: de lectura de las matemáticas, de concebirlas como conocimientos proyectados a los alumnos como distanciamientos con respecto a esta norma y para concebir una intervención .
Uno de los mayores aportes de la transposición didáctica, está en mostrar la tensión entre el tiempo legal de enseñanza que está dado por los programas en relación a las diferencias entre éste y la multiplicidad de tiempos de aprendizaje, dejando fuera la posibilidad de un isomorfismo ficticio entre ellos, que probablemente nos parece, puede ser una creencia de los profesores. Por otra parte, el saber enseñado se ordena en el tiempo, en completa linealidad, por capítulos, en cambio el saber del alumno, no responde a este modelo, pues tiene avances y retrocesos. Un estudiante por ejemplo puede quedarse con varias ideas ide as sueltas que logra concretar muchas veces en posterioridad a la finalización de la unidad temática que trabajo en el aula. El profesor sabe desde antes que el alumno, hay una diferencia en los tiempos de saber entre los roles de enseñante y enseñado, (cronogénesis) y tiene entonces la posibilidad de anticiparse. Chevallard también hace alusión a la diferencia en la Topogénesis, esto es, que el profesor se sitúa en el lado de la teoría, mientras que el alumno está al lado de la práctica. Sin embargo, nos parece en este punto que siendo bastante claro que el profesor está en la teoría, los estudiantes a modo que avanzan en sus niveles, disminuyen la brecha topogenética. Sucede por ejemplo con la enseñanza
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Brousseau, G. (1999) Educación y Didáctica de las Matemáticas.
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de la demostración en el nivel medio y más aún en el superior, claro está cuando se hace matemática y no matematecnia 15. Bibliografía
ARMENDARIZ, M., AZCÁRATE C., DEULOFEU, J. (1993). Didáctica de las Matemáticas y Psicología. Revista Infancia y Aprendizaje. 62 – 63, 77 - 99 ASSUDE, T. (1992). Un phénomène d’arrêt de la trasnposition didactiuque. Ecologie d’object «Racine Carrée» et analyse du curriculum. Tesis para optar al grado de Doctor en
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El término Matematecnia lo he utilizado para identificar lo que realmente se enseña en las aulas. Por ejemplo, si los alumnos siguen las indicaciones para resolver ecuaciones de segundo grado, sin ningún tipo de razonamiento auxiliar. Los profesores al comenzar la clase, dictan o colocan e l título del tema que tratarán en la pizarra, luego indican en qué consiste, cómo se resuelve y luego de algunos pocos ejemplos, da un listado de ejercicios. Evalúa posteriormente la aprehensión de la o las técnicas que permiten resolver los ejercicios del tipo que mostró. Lamentable es que la matematecnia, haga pensar a la gente que el éxito en las matemáticas está en ser un hábil calculador y un rápido reproductor de técnicas o reglas que la mayoría ni siquiera conoce su razón de existencia.
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La Transposición Didáctica: Un Modelo Teórico para investigar los estatus de los objetos matemáticos
Por Roberto Vidal Cortés
Resumen
En este artículo, se pretende dar una revisión general pero necesaria de la Didáctica de la Matemática para comprender por qué hoy es una disciplina autónoma y emergente, y que adquiere cada vez una mejor aproximación a los fenómenos fenómenos que se suscitan en el aula de matemáticas. Para tal efecto, exploramos brevemente el origen de la palabra didáctica, luego de la didáctica de la Matemática, sus paradigmas anglosajón y europeo, para luego centrarnos en La Teoría de la Transposición Didáctica del Dr. Yves Chevallard, el que corresponde a uno de los Modelos Teóricos provenientes de la Didáctica Francesa que ha traspasado las diferencias paradigmáticas. Finalmente, se da cuenta de algunas investigaciones con este apoyo teórico en los distintos niveles básico, medio y superior, algunas críticas a la teoría y sus aportes a la formación de profesores.
Palabras claves: Didáctica de la Matemática, Transposición Didáctica, Educación Matemática, Saber.
Introducción
Para enseñar matemáticas no es suficiente con dominar el contenido científico. No basta con un gusto por la enseñanza o buena intuición para seleccionar contenidos, organizar programas y evaluar el aprendizaje de los estudiantes. Se requiere de profesores que sientan la necesidad de evaluar los efectos de nuevas propuestas o hipótesis de aprendizaje, de determinar errores, dificultades y obstáculos, aprovecharlos para su propia preparación del escenario de enseñanza aprendizaje, en que el saber entra en juego, jue go, formando una terna al integrarse a la dupla irreductible enseñanza – aprendizaje1. Aquí es donde entra en juego la Didáctica de la Matemática, pero ¿Qué ¿Qué entendemos por ello?. Primero, revisemos brevemente los usos de la palabra didáctica, para introducirnos al terreno de la Didáctica de la Matemática, sus paradigmas y desde ahí, trabajar con el tema central de este artículo: la Transposición Didáctica.
Esta descripción de lo “necesario” nos parece débil, pues como lo notarán en el desarrollo de este artículo, se agregarán otros elementos para preparar los escenarios a los que hago referencia. Aún así, creo que es importante destacarlo.
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Sin duda al hablar de “enseñanza de las matemáticas”, está presente la palabra didáctica. Ian Amos Comenuis2 introdujo esta palabra en su obra “Didáctica Magna”, dándole el significado de “arte de enseñar”. De la misma forma aparece en el diccionario de la Real Academia Española. En el Petit Larousse Ilustrada de 1980, la definición es la siguiente: “Ciencia que tiene por objeto los métodos de enseñanza” . Hasta ahora, podemos ver que la Didáctica se reduce a la Metodología. Entrando en el terreno de la Didáctica de la Matemática, para el pedagogo alemán Heinz Griesel, “La Didáctica de la Matemática es la ciencia del desarrollo de las planificaciones realizables en la enseñanza de la Matemática”. Una interpretación que da importancia a los programas, a las secuencias de enseñanza, elaboración de manuales. Nuevamente reducida al método. Otras interpretaciones relacionadas con la innovación de propuestas de enseñanza se encuentran en la “Didattica della matematica” de Emma Castelnuovo y “Didáctica matemática heurística” de Pedro Puig. Guy Brousseau, didacta francés, considerado como Padre de la Didáctica de la Matemática Francesa, concibe tres interpretaciones de la palabra didáctica: como sinónimo de enseñanza, en que se forja un proyecto social para que un sujeto se apropie un saber, como conjunto de medios que sirven para enseñar, asociada a la metodología y como el conocimiento del arte de enseñar, describiendo y estudiando la actividad de una disciplina disc iplina científica. Desde la década de los años 80 se ha intentado concebir la Didáctica de la Matemática como una Ciencia preocupada de la comunicación de conocimientos y de sus transformaciones, por medio de una epistemología experimental que intenta teorizar sobre la producción y circulación de los saberes. Su campo de estudio corresponde a los fenómenos que ocurren en la enseñanza de la matemática, relacionados con los alumnos, los contenidos matemáticos y los agentes educativos. Pero la Didáctica de la Matemática es una Ciencia Experimental que se desarrolla relacionándose con otras áreas del saber como la Epistemología y Filosofía de las Matemáticas, la Sociología y la Psicología. En especial, esta última, proporcionó los marcos teóricos por mucho tiempo para la Didáctica entendida como metodología. En efecto, desde los años 60 en E.E.U.U. y en países occidentales se puso mayor énfasis en la enseñanza de las matemáticas, siendo la psicología la que por largo tiempo diera las directrices, apareciendo la corriente conductista basada en acciones de tipo estímulo – respuesta, donde el avance o retroceso se expresaba en conductas observables. Armendáriz, Azcarate y Deulefeu (1993), señalan al respecto “se da una gran 2
Ian Amos Comenius (1592 – 1570). Teólogo, Filósofo y Pedagogo Nacido en la República Checa. Es llamado el Padre Padre de la Pedagogía, por establecer sus primeros principios principios fundamentales.
2
importancia a la práctica y a la ejercitación de rutinas con la consiguiente hipertrofia de lo sintáctico. Las secuencias en el aprendizaje son enormemente rígidas” .
Sin embargo, en la actualidad, el principio explicativo más compartido sobre el aprendizaje en general es el de la importancia de la actividad mental constructivista del alumno, en una mirada renovada que como hemos dicho, considera la Didáctica de la Matemática como Disciplina experimental. ex perimental. Por su juventud, ha desarrollado sus paradigmas y controversias, recientemente. En los países anglosajones en lugar de Didáctica de la Matemática como se denomina en el continente europeo, se habla de Educación Matemática. Al respecto, Jeremy Kilpatrick reconocido didacta de las matemáticas en los países anglosajones, no encuentra más que una diferencia en los nombres, ya que ambos paradigmas de investigación se nutren según él, en los aportes de la sociología, la lingüística, la psicología y la antropología. En el contexto latinoamericano, suele hablarse de Matemática Educativa. En Chile en tanto, encontramos un Programa de Magíster en Didáctica de la Matemática, impartido por la Pontifica Universidad Católica de Chile y también postgrados a ese nivel en Educación Matemática. En 1984, en el “International Congreso on Mathematical Education” celebrado en Adelaida, se constituyó un grupo de trabajo denominado “Theory en Mathematics Education (TME)” para elaborar las bases teóricas de la Educación Matemática, para darle el estatus de ciencia. Así es como Steiner (1985), creador del grupo, llega a establecer que existen dos paradigmas acerca de la Didáctica de la Matemática: Aquellos que la ven como un arte, y por tanto no puede convertirse en un campo científico y aquellos que ven la ven como posible ciencia, por medio de la acción de reducir los problemas a objetos de estudio específicos tales como el contenido, desarrollo de las destrezas del alumno, métodos de enseñanza, interacción en el aula, etc. La Didáctica de la Matemática, puede verse hoy como una disciplina emergente, con características propias y multidisciplinar, con un campo teórico – práctico específico que no se traduce en la ingenua suma de las áreas del conocimiento con que se relaciona, siendo cada vez una mejor aproximación para describir y explicar los fenómenos del aula. Una de los Modelos Teóricos en Didáctica de la Matemática, originado dentro del paradigma de la Escuela Francesa y que ha repercutido fuerte en el enfoque anglosajón es el desarrollado por el Doctor Yves Chevallard que denominó Transposición Didáctica, al cual nos referiremos a continuación.
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La Transposición Didáctica.
Para presentar la Teoría de la Transposición Didáctica, nos ha parecido conveniente por la claridad y el nivel sintético que presenta, apoyarnos en el enfoque de Michel Henry del IREM 3 el que complementaremos con los elementos que creemos suficientes para una primera aproximación a este modelo teórico que aún está en desarrollo. La Trasposición Didáctica tiene por objeto de estudio el saber, en nuestro caso, el saber matemático que tiene un lugar en el Edificio Matemático (saber sabio), que no es el mismo en el que se sitúa en la matemática escolar (Saber enseñado). La distancia que hay entre ambos saberes, se produce por la serie de transformaciones que los hacen accesible a un determinado nivel. Estas transformaciones las estudia la Teoría de la Transposición Didáctica de Yves Chevallard (1985). Considerando que el saber del profesor y su relación con el saber sabio es base de este estudio, Chevallard dice: “El profesor tiene que enseñar una parte del “saber sabio o erudito”, del cual los matemáticos profesionales e investigadores puros son sus poseedores y fabricantes. La sociedad demanda enseñar una parte de este saber, lo que supone que ella debe tener utilidad social. Para responder a esta demanda, es necesario transformar el conocimiento para que se vuelva enseñable a un nivel dado. Este punto es clave en cuanto a que el profesor debe cuestionarse acerca de su relación con el saber a 4
enseñar, así como con el saber erudito” .
Los 5 actos de la transposición didáctica
Es claro que el Saber Sabio (de los matemáticos) y el Saber Escolar (de los estudiantes) no es el mismo. Henry, considera el proceso de transposición Didáctica por medio de 5 actos como en una obra teatral, pues inciden distintos personales como protagonistas, desde que se transforma el saber matemático en un saber del alumno. 1º acto: Los protagonistas de este primer acto son los matemáticos, quienes tienen por misión crear nuevos conocimientos que les permitan resolver problemas que con sus conocimientos previos no les es posible. Construye o reconstruye herramientas, escoge lo que es útil y comunica su descubrimiento haciéndolo lo más general posible, borrando todos los pasos en falso, errores y falsas conclusiones. Estos nuevos aportes son publicados por la comunidad científica manteniendo de este modo al día el “libro del Saber”. De este modo, el Saber Sabio que es legitimado por la 3
Michel Henry, matemático francés que ha trabajado durante muchos años en la formación de profesores de matemáticas en Francia en el l’Institut de Recherches sur l’Enseignement des Mathématiques IREM. 4 La Transposición Didáctica: Del saber sabio al saber enseñado.
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comunidad científica, es un saber despersonalizado y descontextualizado, pues no sólo se ha dejado atrás todos los episodios personales del autor, sino también se ha olvidado el contexto inicial para hacerlo un producto lo más general posible, de modo que ingrese a la lógica de los saberes eruditos de la comunidad. 2º acto: La noosfera (sistema social de enseñanza), da cuenta de todos los conocimientos existentes, aquellos que son pertinentes para la formación matemática de los jóvenes, lo que depende de varios factores tales como tipo de sociedad, nivel de desarrollo, tipo de sistema educativo, etc. el Ministerio de Educación es el agente que decide junto a su equipo de expertos cuáles son los objetos a enseñar. Una vez lista la selección de los objetos a enseñar, se elabora “el texto del saber a enseñar”, el que debe integrarse en el currículo en secuencias de hipótesis de aprendizaje. Así se tendrá el manual del profesor. En él aparecen indicaciones del tratamiento de los temas, jerarquía de los conocimientos, etc. Para hacer un texto de saber a enseñar, los expertos deben re-escribir las definiciones, propiedades y demostraciones para lograr una articulación lógica, coherente y accesible a los estudiantes. 3º acto: Generalmente los profesores prefieren preparar sus clases utilizando textos que ofrece el mercado o aquellos distribuidos por el ministerio de educación, en lugar de emplear los propios manuales. El 3º acto de la transposición didáctica se refiere a la elaboración del Saber Escolar, que es difundido por los textos del alumno. Las diversas editoriales presentan sus textos proponiendo una organización del programa, aportan ilustraciones de los temas, ejercicios de entrenamiento y problemas. Estas obras servirán durante un tiempo como referencia a la comunidad: profesores, alumnos y apoderados. De estos textos se desprende un cierto saber que contribuye a la instalación de una cultura particular, integrada por todos aquellos contemporáneos de una misma época escolar. Este trabajo de selección corresponde a la NOOSFERA, conjunto de agentes político - educativos de una nación. La Transposición hasta aquí dice Chevallard es externa, ya que no hay participación del enseñante en estas decisiones 4º acto: El protagonista en este acto es el profesor, quien tiene la responsabilidad de administrar esta transposición didáctica, adaptar a sus conocimientos, los objetos a enseñar, insertarlos en el saber escolar y organizarlos en el tiempo. Se trata de una transposición interna , pues él ahora toma decisiones decisiones importantísimas, porque ellas incidirán en la percepción del saber de los estudiantes. El docente participa con la transposición transformando el objeto a enseñar en objeto enseñado, para lo cual recontextualiza y personaliza el saber, de modo que los alumnos lo hagan propio. Es en cierta manera, el trabajo inverso del que hace el investigador. i nvestigador.
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5º acto: Lo que el profesor enseña no es lo mismo que finalmente retienen sus alumnos. Aquí hay otra transformación de la que se hacen cargo los estudiantes. Ellos protagonizan el 5º acto de la transposición didáctica: transforman el saber enseñado a saber del alumno. En esta parte de la metamorfosis del saber, los estudiantes tienen que hacer un trabajo similar al del matemático, en relación a los episodios en que despersonaliza y descontextualiza el saber para darle un estatus general. La evolución de un objeto matemático
El primer acto de la transposición didáctica se observa en el quehacer de los matemáticos, que construyen sus objetos de saber científico que contiene una historia de los mismos, hasta que llegan al sitial que los define en su rigor. Chevallard, acerca de este proceso, indica: “El estudio de la transposición didáctica implica una “vigilancia epistemológica”, esto es, examinar la distancia, vista por la deformación que existe entre el objeto de saber (del saber erudito) y el objeto de enseñanza (del saber a enseñar). A veces no queda más que una nomenclatura en común y en el peor de los casos, un lenguaje seudo-erudito. En casos extremos se habla de “ruptura epistemológica”, por lo que convendrá averiguar los motivos de estas rupturas”.
Para analizar el discurso de un texto matemático, se deben tener presentes los tratamientos de las nociones que allí aparecen. Se define como noción matemática aquella que aparece como útil al trabajo matemático y como objeto de estudio. Una noción paramatemática , es aquella que aparece en el entorno del trabajo matemático, matemático, generalmente como medio o herramienta para estudiar otro objeto de saber matemático. Claro que el estatus de un mismo objeto matemático, varía según sea al ámbito en que sea tratado, en algunos momentos puede ser un objeto de saber y por tanto toma su estatus matemático, pero si se le considera sólo como una herramienta para desarrollar otros objetos de estudio, su estatus es netamente paramatemático. Así la frontera que separa estas nociones, es absolutamente variable y dependiente del nivel en que se emplee. Por último decimos que un objeto que de herramienta ha pasado a objeto de estudio, construyendo y preparando su noción matemática, ocupa el estatus de noción protomatemática.
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Cabe señalar que existen ciertos cuestionamientos a la Transposición Didáctica, que por motivos de espacio no trataremos aquí 5. Chevallard consiente de ello, levanta posterormente una nueva teoría que incluye a la Transposición y en la que resuelve algunos de los cuestionamientos, incorporando el análisis de los “saberes institucionales” y sus praxeologías en la Teoría Antropológica de lo Didáctico. La Transposición Didáctica en los niveles educativos.
Como el saber erudito circula en la comunidad científica que lo legitima, y ya se produce incluso en ese entorno el primer acto de transposición didáctica, con mayor razón se produce en cada uno de los niveles educativos: el nivel básico, el nivel medio y el nivel superior. Pero, ¿Cómo participamos de esta transposición, profesores y alumnos?, ¿Es independiente el nivel respecto al proceso?. ¿Está “más distante” el objeto de saber del correspondiente objeto de enseñanza del nivel básico en que aparece por primera en comparación con los otros niveles? O dicho de otra forma, ¿Estará “más cerca” un objeto de saber enseñado de su respecto objeto de saber erudito en la educación superior que en los otros niveles?. Esta pregunta pareciera ser fácil, y optar ligeramente por una respuesta afirmativa, pero pensamos que al poner cuidado sobre la esperable respuesta, es necesario revisar el estatus que posee el objeto de enseñanza (aquí variable) en un determinado nivel, esto es, una noción paramatemática, protomatemática o matemática. No pretendemos dar respuesta a estas interrogantes que planteamos, pues es la idea para levantar la reflexión, pero si creemos en una aproximación, respecto a que en el nivel básico, las matemáticas escolares están más asociadas a transposiciones de modelos matemáticos de primera generación6, en cambio, cambio, en otros niveles aparecen en su mayoría transposiciones de modelos de segunda generación. Sea cualquiera el nivel, los objetos de saber traspuestos para organizar la matemática escolar que los contiene como objetos de saber enseñado, deben cuidar su proceso evolutivo dentro de ella misma. Profundicemos algo al respecto en cada nivel para ilustrar con ejemplos.
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Para una mayor referencia consultar: “La interpretación histórico – cultural de la Transposición Didáctica como puente de emancipación del aprendizaje y la enseñanza” de T. Díaz, y “Reflexiones críticas sobre el concepto de Transposición Didáctica Didáctica de Chevallard” de J. Cardelli. Disponibles en: www.revistapraxis.cl/ediciones/numero3/diaz www.revistapraxis. cl/ediciones/numero3/diaz_praxis_3.htm _praxis_3.htm y www.scielo.org.ar/pdf/cas/n19/n19a04.pdf
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El concepto de modelos matemáticos de primera y segunda generación está siendo estudiado por la Dra. Ismenia Guzmán y el Dr. Héctor Hévia, en el Instituto de Matemáticas PUCV, Chile. En una aproximación restringida, a modo de dar una idea, un modelo de primera generación generación se identifica identifica por “provenir del mundo real ” como lo son la geometría euclideana y el conjunto de los números naturales, en cambio, los modelos de segunda generación se “construyen en el mundo matemático” como ocurre con el conjunto de los números enteros, los logaritmos, logaritmos, los espacios topológicos, etc.
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La Transposición Didáctica en el Nivel Básico.
Aparecen en la enseñanza básica una serie de objetos que serán más adelante retomados desde perspectivas más generales, por lo que las definiciones y propiedades iniciales, no pueden desviar el camino que la vigilancia epistemológica ha trazado, siendo necesario - e insistimos en ello - el conocimiento del la epistemología del objeto a enseñar por parte del profesor para evitar inadecuadas creaciones didácticas que den origen a objetos auxiliares de saber que originen bifurcaciones en el camino descrito y por tanto en el mejor de los inconvenientes casos, aumenten la distancia entre el saber escolar y el erudito, pues en el peor, llegaría hasta la deformación mutilación del objeto. Veamos algunos ejemplos al respecto, para mayor claridad. El concepto inicial de ángulo recto, en la matemática escolar, hace alusión a su medida, de modo que “ángulo recto es aquel que mide 90 grados (sexagesimales)” . Más que una suerte de bifurcación, se produce una mutilación del saber en este caso, ya que los alumnos se quedan con esta definición y no evoluciona, convirtiéndose probablemente en obstáculo cuando en trigonometría miden ángulos en radianes. Ésta definición inicial, como otras que veremos, quedan instaladas y se resisten a su propio proceso evolutivo, en que posteriormente el ángulo recto no se define en función de su medida, sino, en relación con el ángulo extendido cómo el que mide la mitad de él o bien como la cuarta parte de un ángulo completo, lo que paradójicamente aparece en el primer ciclo básico, al identificar los ángulos con “vueltas”, de modo que un ángulo recto se representa por “un cuarto de vuelta”. El concepto de Potencia aparece inicialmente en el trabajo con números naturales, y por tanto proveniente de una multiplicación de factores iguales. Sin embargo, nuevamente, muchos estudiantes terminan la enseñanza básica y lo que es peor la enseñanza media, sin un concepto más general. En efecto, los estudiantes recuerdan las potencias y en el mejor de los casos hacen correctamente los cálculos resumidos en 56, pero no logran conceptualizar las potencias como megaconcepto, esto es, en una definición que les permita comprender lo que indica
a
b
, siendo a y
b números reales cualesquiera, y por tanto, admitiendo incluso con justificación aquellas restricciones, pongamos por caso cuando a y b son a la vez cero. Chevallard, denomina autorregulación del sistema didáctico a la consecuencia a la que llevan las transacciones que por lo general se manifiestan en la algoritmización y que pueden ser analizadas de manera específica en los textos escolares que interpretan el texto del saber. Da como ejemplo que: “diversos estudios han mostrado que hasta que ingresan a la secundaria, un porcentaje no despreciable de alumnos no saben mencionar ningún número comprendido entre 2,16 y 2,17… En particular los alumnos escribirán que ]2; 2,17[ ∩ ]2,16; 4[ = ∅ ”
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Examina los manuales y advierte que los ejercicios propuestos sólo se basan operaciones conjuntistas con intervalos de números reales que no aprovecha la densidad de ¡ en ¡ , o al menos de ¤ en ¤ . Una similar situación se da al final del nivel básico y en en los inicios del nivel medio, en ese ese período de transición en que se estudian las ecuaciones de primer grado. Al observar el tratamiento de este objeto matemático, es poco frecuente encontrar ejercicios que lleven a los alumnos a reflexionar sobre las proposiciones x+1=x+1 o también x+5=x+2. La Transposición Didáctica en el Nivel Medio
Quizá sea bueno reflexionar un instante acerca de la mecanización o algoritmización como un tipo de transacción de la que se ha abusado en este nivel. La enseñanza del álgebra por ejemplo, que ocupa la mayor parte de los programas de NM1 a NM4, ha estado por mucho tiempo referida sino toda, al menos en la mayor parte a la reproducción de técnicas de cálculo. cálc ulo. Una mirada a los manuales puede ser útil para comprender otro proceso de autorregulación del sistema de enseñanza en el lenguaje de Chevallard. En Ciencias Experimentales es habitual que los alumnos demuestren una buena “manipulación de fórmulas” y aunque como se evidencia en los textos más clásicos de álgebra, hay una ruptura entre el tratamiento de las ecuaciones y las fórmulas. Los estudiantes aprenden a resolver ecuaciones, pero no aprenden a “despejar variables” de una fórmula sencilla. En la enseñanza de la Geometría Ge ometría similar a lo que sucede con conceptos como el de ángulo recto que ilustramos en el nivel básico, que no evolucionan, al revisar el concepto de “congruencia de figuras planas”, se revela ya no un estancamiento conceptual, sino una fusión que conduce a la confusión entre dos cuerpos axiomáticos distintos pero que versan sobre los mismos contenidos: nos referimos a la geometría euclideana plasmada en Los Elementos y Los Fundamentos de la Geometría de D. Hilbert, tensionando así la noción de igualdad y la de congruencia. En el nivel básico aprenden que un triángulo equilátero es aquel que tiene sus tres lados iguales, en el estatus erudito, tomando los elementos de Euclides, estaremos de acuerdo, pues la congruencia es utilizada a modo de sinónimo de igualdad. Sin embargo, bajo la axiomática de Hilbert, estos dos conceptos se diferencian, precisamente por la incorporación que hace éste último de la Teoría de Conjuntos. Es importante destacar que a veces el saber erudito obedece a un paradigma o escuela determinada y entonces las convenciones se fijan en esas instituciones, ¿cuál es el primer número natural?, ¿cómo se define un ángulo?, o ¿existe diferencia entre círculo y circunferencia?, son interrogantes que nos remiten a lo que Chevallard precisamente agrega o extiende extiende al elaborar en 1999 su teoría antropológica de lo didáctico que hemos esbozado ligeramente en este artículo. Volvamos al ejemplo inicial entre congruencia e igualdad. Examinando libros de texto, habíamos
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llegado en una tesis7 a encontrar que se mezclaban estos conceptos en una misma frase como cuando se define el triángulo equilátero, de modo que si no se hace una diferencia entre los conceptos igual e igual medida se infiere lo siguiente: 1. 2. 3. 4.
Los lados del triángulo equilátero son trazos. Lados iguales del triángulo, triángulo, quiere decir entonces, entonces, trazos trazos iguales del triángulo. triángulo. Según la corriente geómetra geómetra - conjuntista, un trazo es un conjunto de puntos. Como los tres trazos del triángulo son iguales, cada trazo contiene exactamente los mismos puntos de los otros dos. 5. El triángulo triángulo equilátero es igual a un trazo. trazo. A B’
C
B A’ ¡¡Lo que es una contradicción!! Esta fina interpretación se produce por mezclar las nociones de igualdad de trazos, que muestran las perspectivas del lenguaje cotidiano y del lenguaje conjuntista. con juntista. Lo anterior justifica entonces, la necesidad de elaborar el concepto de congruencia, que elimina las posibilidades de inexactitud en la comunicación e intercambio de ideas. Primero, la noción de figuras congruentes como aquellas que al superponer se ajustan perfectamente (existe una coincidencia punto a punto), para lo cual, se define la congruencia de trazos, trazos, por medio de la la igualdad de la medida de estos, y del mismo modo para los ángulos. Sin embargo, se han detectado algunos textos que a pesar de contener un capítulo sobre congruencia de figuras, emplea en otras unidades el concepto de igualdad en vez del de congruencia. Otros definen triángulos congruentes sin haber previamente conceptualizado trazos congruentes y ángulos congruentes. Se podrá encontrar con la siguiente definición: “...Diremos, entonces, que dos o más figuras son iguales o congruentes cuando al realizar movimientos de traslación, rotación o simetría coinciden completamente”. La Transposición Didáctica también permite que sobre un mismo objeto de enseñanza, podemos realizar varias investigaciones. Es el caso de la “Raíz Cuadrada”, que ha sido estudiada por a lo menos 2 investigadores distintos mostrando problemáticas diferentes. Sólo para ejemplificar el amplio campo que abre la Transposición Didáctica, he aquí algunas de las investigaciones que ha sustentado esta teoría:
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Vidal, R. (2001) Estudio de algunos Errores en la Enseñanza de las Matemáticas. Tesis para optar al Título de Profesor de Matemática e Informática Educacional. Universidad Metropolitana Metropolitana de Ciencias de la Educación. Santiago de Chile.
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1. Assude T. didactique, enseñanza secundaria
(1994) (1994) en su tesis doctoral8 “Un Phénomène d’arret de la transposition Ecologie de l’objet “Racine Carrée” un analyse su currículo”, estudia la de la raíz cuadrada y sus propiedades en los programas de la enseñanza en Francia. Este análisis le lleva a concluir que: "aparentemente la raíz
cuadrada es un objeto con el que se hacen multiplicaciones y divisiones. La finalidad de las operaciones con radicales en los libros es simplificar "
(p. 52). Otros fines de la enseñanza de los radicales, es la obtención de números aproximados, que teóricamente son más sencillos de obtener después de simplificar la expresión. Sin embargo, esta autora considera que esta justificación resulta obsoleta, por la existencia de calculadoras y programas computacionales que hacen inútiles estas simplificaciones para aproximar números. 2. Vidal, R. (2006) analiza en su Tesis de Magíster9 “Las concepciones de los Profesores de Matemáticas de Enseñanza Media, acerca del objeto de enseñanza Raíz Cuadrada”. Pone en evidencia la existencia de confusiones conceptuales y del tratamiento de la Raíz cuadrada, haciendo un análisis epistemológico y luego analizando los textos escolares como entrevistando docentes del área en un estudio de casos. Alguno de los hallazgos principales son los siguientes:
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9
Los profesores tienen distintas concepciones de raíz cuadrada, las que generalmente mezclan. Existe confusión entre los conceptos de raíz cuadrada de un número real no negativo y raíz de una ecuación. El aceptar el error del doble signo, trasciende a la extracción de raíces de números imaginarios. Los profesores no utilizan por lo general las restricciones numéricas a las que posee la función raíz cuadrada. Al trabajar con las propiedades de multiplicación y división de raíces, en la matemática escolar se utilizan seudo-demostraciones basadas en las propiedades de potencias, atribuyendo dos errores: La extensión de propiedades para exponentes enteros, a exponentes fraccionarios sin justificación alguna y un cambio de notación de las raíces a exponente de forma fraccionaria. Por lo general, una misma propiedad aparece presentada como dos propiedades diferentes, en que se descuida entonces la simetría de la igualdad. Por ejemplo, “multiplicación de raíces de igual índice” y “raíz de un producto”.
Tesis Doctoral en Didactiques des Mathématiques et de l’informatique. Université Joseph Fourier, Grenoble I. Francia.
Tesis de Magíster en D idáctica de la Matemática. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, Chile.
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La resolución de ecuaciones con radicales, generalmente, se enseña sin utilizar el recorrido de la función raíz cuadrada. Los años de experiencia docente o la institución formadora, no son datos que influyan en el fenómeno en estudio, sino más bien un tradicionalismo propagado por textos escolares muy antiguos.
Existen muchos otros estudios que son propiciados desde la Transposición Didáctica. Bolea, Bosch y Gascón (2001)10 ; toma como marco teórico la Teoría Antropológica de lo Didáctico, Didácti co, explicando los procesos transpositivos sobre las restricciones matemático – didácticas que afectan el proceso de algebrización en las instituciones por medio de la proporcionalidad, mostrando que la transposición didáctica actúa sobre praxeologías matemáticas complejas en constante reorganización. Ferrari, M. (2001)11: en su Tesis doctoral desarrolla en el capítulo IV, un análisis didáctico de la Función Logaritmo comparando lo que indican los “textos del saber” en distintas épocas desde su origen en el siglo XVII con Napier dando cuenta de las distancias entre saber erudito y saber enseñado. La Transposición Didáctica en el Nivel Superior
En la educación superior, Marcolini y Perales12 (2005) analizan la epistemología de la Serie de Taylor, llegando a elaborar una propuesta de enseñanza evidenciando su estatus evolutivo desde sus orígenes hasta su actual estatus en el edificio matemático. Font, V. 13 (2001), aunque no completa un análisis didáctico bajo la transposición, si deja bastante avanzado al revisar las justificaciones de las técnicas que se utilizaban en el siglo XVII para construir tangentes y normales a curvas y aplicarlo en la enseñanza del cálculo diferencial. Su propuesta de enseñanza aquí, considera una transposición interna como diría Chevallard. En la Educación superior, por lo general las matemáticas son presentadas axiomáticamente, como ocurre en los programas de cálculo o álgebra moderna. Los números reales son presentados desde los axiomas de cuerpo, los de orden y el axioma de completitud, o de igual manera con los espacios vectoriales en álgebra lineal. Estas presentaciones poco compresibles para los estudiantes, anulan todo episodio de su construcción y alimentan la imagen de las matemáticas tortuosas y “bien terminadas”. Por esto, es que la Transposición Didáctica pensamos, tiene un terreno muy fecundo en este nivel. 10
Bolea, M.; Bosch, M. ; Gascón, J. (2001): La transposición didáctica de organizaciones matemáticas en proceso de algebrización: el caso de la proporcionalidad. Universidad de La Rioja, España. 11 Ferrari, M. (2001): Una visión socio-epistemológica: Estudio de al Función Logaritmo. Centro de Investigación y estudios avanzados del Instituto Politécnico Nacional. 12 Marcolini, J.; Perales, J. (2005): La Noción de predicción: Análisis y propuesta didáctica para la educación universitaria. En Revista RELIME Vol. 8, Núm. 1, pp. 25 – 68. 13 Font, V. (2005): Construcció de tangents I normals en el període 1630 – 1660. Aplicacions a l’ensenyament del calcul diferencial en el batxillerat. en El valor de la ciencia (pp. 255-263). El viejo Topo: Barcelona.
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Conclusiones y proyecciones de la Transposición Didáctica en la formación inicial y continua de profesores
La toma de conciencia de la existencia de la transposición didáctica, de conocer e indagar (y si se quiere investigar) acerca de la diferencia entre los contenidos de saber matemático y los contenidos de saber de las matemáticas escolares, en el lenguaje de Chevallard, distinguir las construcciones del saber sabio y las del saber a enseñar, puede permitir a los profesores en formación inicial o continua, trabajar sobre una compleja realidad de la enseñanza de las matemáticas, desmitificando creencias y concepciones que se acumulan con el tiempo como la inocente y a veces inconsciente aceptación de un ficticio isomorfismo entre estos saberes. Por ejemplo, el involucrarse con la transposición didáctica, requiere del análisis epistemológico de los objetos de enseñanza, que hagan del docente un agente activo y crítico frente a la forma en que él decida interpretar el programa y preparar los escenarios en que participarán. La epistemología de los profesores ya sea en formación inicial o continua, da el hilo conductor de la preparación de las clases en que ellos participan, pues como indica Brousseau14, es su medio: de lectura de las matemáticas, de concebirlas como conocimientos proyectados a los alumnos como distanciamientos con respecto a esta norma y para concebir una intervención .
Uno de los mayores aportes de la transposición didáctica, está en mostrar la tensión entre el tiempo legal de enseñanza que está dado por los programas en relación a las diferencias entre éste y la multiplicidad de tiempos de aprendizaje, dejando fuera la posibilidad de un isomorfismo ficticio entre ellos, que probablemente nos parece, puede ser una creencia de los profesores. Por otra parte, el saber enseñado se ordena en el tiempo, en completa linealidad, por capítulos, en cambio el saber del alumno, no responde a este modelo, pues tiene avances y retrocesos. Un estudiante por ejemplo puede quedarse con varias ideas ide as sueltas que logra concretar muchas veces en posterioridad a la finalización de la unidad temática que trabajo en el aula. El profesor sabe desde antes que el alumno, hay una diferencia en los tiempos de saber entre los roles de enseñante y enseñado, (cronogénesis) y tiene entonces la posibilidad de anticiparse. Chevallard también hace alusión a la diferencia en la Topogénesis, esto es, que el profesor se sitúa en el lado de la teoría, mientras que el alumno está al lado de la práctica. Sin embargo, nos parece en este punto que siendo bastante claro que el profesor está en la teoría, los estudiantes a modo que avanzan en sus niveles, disminuyen la brecha topogenética. Sucede por ejemplo con la enseñanza
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Brousseau, G. (1999) Educación y Didáctica de las Matemáticas.
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de la demostración en el nivel medio y más aún en el superior, claro está cuando se hace matemática y no matematecnia 15. Bibliografía
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El término Matematecnia lo he utilizado para identificar lo que realmente se enseña en las aulas. Por ejemplo, si los alumnos siguen las indicaciones para resolver ecuaciones de segundo grado, sin ningún tipo de razonamiento auxiliar. Los profesores al comenzar la clase, dictan o colocan e l título del tema que tratarán en la pizarra, luego indican en qué consiste, cómo se resuelve y luego de algunos pocos ejemplos, da un listado de ejercicios. Evalúa posteriormente la aprehensión de la o las técnicas que permiten resolver los ejercicios del tipo que mostró. Lamentable es que la matematecnia, haga pensar a la gente que el éxito en las matemáticas está en ser un hábil calculador y un rápido reproductor de técnicas o reglas que la mayoría ni siquiera conoce su razón de existencia.
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