Introducción:
En el presente texto se mostrará una semblanza general de el modelo matemático que usamos para representar cantidades físicas llamado vectores, esta será desde su historia, pasando por elementos como lo son sus operaciones algebraicas, su representación geométrica y una aplicación la cual es en un tema novedoso.
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1. LOS VECTORES COMO UN MODELO MATEMÁTICO. Los vectores como los conocemos hoy en día no son más que un modelo matemático que ha resultado muy útil para describir en su mayoría fenómenos físicos que en matemáticas han dado pie a un sinfín de investigaciones y avances meramente abstractos los cuales por convención han ido construyendo a lo largo de la historia de las matemáticas una rama de suma utilidad. Sin embargo no hay que olvidar que son meramente modelos matemáticos los cuales han sido aceptados por convención ya que para describir fuerzas, torcas, desplazamiento etc. Se podrían emplear otros modelos matemáticos diferentes pero por su manejo, efectividad y transportación a la geometría plana ( R 2), polar, tridimensional (R 3) y en general para el espacio en R n el cual es meramente imaginario pero que en matemáticas y específicamente en geometría toma sentido. Esta combinación de elementos a favor de este modelo le ha valido que hoy en día sea por excelencia la mejor manera de representar cantidades físicas que gozan de tener una magnitud y una dirección, son los vectores. Pero alguna ves se ha preguntado ¿de dónde salieron? ¿Quién los invento? Las preguntas a estas y más preguntas se enlistan a continuación: Al hablar de una teoría o modelo matemático no se puede hablar de un descubrimiento ya que los vectores nunca estuvieron ahí para ser descubiertos sino mas bien surgen de una idea meramente abstracta y sirven para representar de manera analítica lo que si es real. El que desarrollo este modelo fue el físico y matemático estadounidense Josiah Willard Gibbs (1839-1903) . 1.1. Josiah Willard Gibbs (1839 New Haven, EE.UU.- 1903 Connecticut, EE.UU.) El padre de J Willard Gibbs, también llamado Josiah Willard Gibbs, era profesor de literatura en la Universidad de Yale. La familia de Gibbs era originaria de 2
Warwickshire en Inglaterra pero se había mudado a Boston en 1658. Gibbs se educó en la escuela local donde se le describía como agradable pero retraído. Su total dedicación al trabajo académico junto con su delicada salud no le permitieron involucrase demasiado en la vida social de la escuela. En 1854 ingresó en Yale, donde consiguió premios a la excelencia en latín y Matemáticas. Estando allí, Gibbs comenzó a investigar en Ingeniería, escribiendo una tesis en la que usaba métodos geométricos para estudiar el diseño de los engranajes. Cuando consiguió el doctorado en Yale en 1863 se convirtió en el primer doctor en Ingeniería de los Estados Unidos. Después de ello, trabajó como tutor en Yale durante tres años, enseñando Latín durante los dos primeros años y Filosofía en el tercero. No le faltaba el dinero, sin embargo, desde la muerte de su padre en 1861 y después de la de su madre, Gibbs y sus dos hermanas heredaron una considerable fortuna. Desde 1866 hasta 1869 Gibbs estudió en Europa. Fue con sus hermanas y pasó el invierno de 1866-67 en París, seguido de un año en Berlín y terminando en Heidelberg en el periodo 1868-69, donde conoció a Kirchhoff y Helmholtz. Volvió a Yale en junio de 1869 y, dos años depués en 1871, fue nombrado catedrático de Física matemática. Sorprendentemente su nombramiento se produjo antes de que hubiera publicado ningún trabajo. Como sorprendente fue que Gibbs no publicara ningún trabajo hasta los 34 años.
En 1873 Gibbs publicó “Graphical Methods in the
Thermodynamics of Fluids” y
“Method of Geometrical Representation of the
Thermodynamic Properties of Substances by Means of Surfaces”. En 1876 Gibbs publicó la primera parte del trabajo por el que se hizo famoso, “On the Equilibrium
of Heterogeneous Substances”, publicando la segunda parte de este trabajo en 1878. En la primera parte describía los diagramas de la termodinámica y en la segunda parte extendió estos diagramas a tres dimensiones. Su trabajo impresionó
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tanto a Maxwell que construyó un modelo tridimensional de la superficie termodinámica de Gibbs. El trabajo de Gibbs en el análisis vectorial fue muy importante para la ciencia matemática. Usando las ideas de Grassmann, Gibbs produjo un sistema mucho más fácil de aplicar a la Físicaque el de Hamilton. Aplicó sus métodos vectoriales para calcular la órbita de un cometa a partir de tres observaciones. Entre 1882 y 1889 se publicó una serie de cinco artículos de Gibbs sobre la teoría electromagnética de la luz. Su trabajo en mecánica estadística fue también muy importante proveyendo un marco matemático para la teoría cuántica y para las teorías de Maxwell. De hecho , su última publicación fue “Elementary Principles in Statistical Mechanics”.
Excepto durante sus primeros años de vida y los tres años que viajó a Europa, Gibbs pasó toda su vida viviendo en la misma casa que su padre había construido cerca de la escuela a la que fue Gibbs, el Colegio donde estudió y la Universidad donde trabajó siempre. Sencillo en sus modales, genial y bondadoso en sus relaciones con sus compañeros, nunca mostraba impaciencia o irritación, carecía de ambición personal, pero llegó muy lejos siguiendo sus ideales cristianos desinteresados. En la mente de aquellos que le conocieron, la grandeza de sus logros intelectuales no podrá ensombrecer la belleza y dignidad de su vida. La American Mathematical Society denominó a una serie de conferencias en honor a Gibbs y cada año, desde 1923, un distinguido matemático ofrece una de ellas.
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2. VECTORES 2.1.
Magnitudes escalares y vectoriales.
La física estudia los objetos o sistemas materiales caracterizándolos mediante propiedades susceptibles de ser medidas, llamadas magnitudes . Deben ser mensurables, es decir traducibles a números, para poder establecer relaciones matemáticas entre ellas. Así, cuando decimos que un cuerpo tiene extensión y sustancia evocamos conceptos muy abstractos; sin embargo, expresar su volumen y su masa numéricamente nos permitirá calcular la densidad. Un concepto abstracto pasa a ser una magnitud física cuando se da una definición operacional que especifica la manera precisa en que puede medirse. La definición tiene que hacer referencia a un patrón arbitrario o unidad e indicar el procedimiento para comparar la magnitud en cuestión con el patrón. La medida es el resultado numérico de dicha comparación y su valor depende de la unidad utilizada, por lo que es necesario especificarla siempre (figura 1). [ l ] = unidad
P
Q l = PQ = 6 [ l ] Figura 1
Una magnitud también puede obtenerse indirectamente a partir de otras. Para ello es preciso disponer de la definición constitutiva , que establece su valor en función de las otras. Por ejemplo, la densidad se define constitutivamente como el cociente entre la masa del cuerpo y su volumen. 5
Es posible definir todas las magnitudes físicas en función de unas pocas, que se toman como fundamentales o dimensiones . En el ejemplo anterior, las dimensiones de la densidad serán masa/longitud 3 = ML -3 si tomamos masa y longitud como fundamentales. Esta elección es en cierto modo arbitraria, pero las dimensiones tienen que ser independientes entre sí. En el Sistema Internacional (SI) las magnitudes fundamentales y sus unidades son: longitud (metro), masa (kilogramo), tiempo (segundo), corriente eléctrica (amperio), temperatura (kelvin) e intensidad luminosa (candela). A ellas se añade el mol, un número puro, como medida de cantidad de sustancia. Algunas magnitudes como el tiempo, la masa o la temperatura, al medir, quedan perfectamente determinadas por un número real y la unidad correspondiente; son escalares . Otras requieren varios números para definirlas porque, por su propia naturaleza, además del valor o módulo hay que especificar la dirección y sentido en el que actúan; son vectores. Por ejemplo, el desplazamiento de una partícula desde un punto P 1 a otro P 2, con independencia de la trayectoria que haya seguido , se representa por el segmento orientado r = P 1P 2 con origen en P 1 y extremo en P 2. P 2
s 1 s 2
r =
P 1 P 2 s 3
P 1 Figura 2
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La distancia escalar s 1, s 2, ... recorrida en cada caso por la partícula es distinta, pero el efecto neto del movimiento es un cambio de posición que queda completamente determinado por la distancia en línea recta de P 1 a P 2 y la dirección del desplazamiento. Los vectores de la Física no son todos segmentos orientados; pero siempre tienen los atributos de módulo, dirección y sentido y sus propiedades son las mismas. El carácter vectorial de una magnitud se suele simbolizar mediante una flecha sobre la letra que la designa o bien escribiendo ésta en tipografía negrita. Para referirse al módulo se usa la misma letra en cursiva o el símbolo del vector colocado entre barras verticales:
vector : v
v ; módulo : v v
(1)
En cuanto a la dirección, se especifica dando un vector uv , que tenga módulo unidad (vector unitario) y la misma dirección y sentido que v. Para estudiar las propiedades de los vectores es preciso empezar por aclarar cuándo entendemos que dos vectores son iguales. Atendiendo a la definición de igualdad hay tres tipos de vectores: - Libres: Son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. - Deslizantes: Son iguales si además actúan sobre la misma recta. - Fijos: Son iguales si tienen el mismo módulo dirección y sentido y el mismo punto de aplicación.
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a
vector libre
a = a'
a'
b'
vector deslizante
b = b' b
c
vector fijo
c=c P Figura 3
Cada magnitud vectorial, según su naturaleza, será representada por un tipo u otro de vector; incluso puede cambiar dependiendo de la circunstancia. Por ejemplo, una fuerza es un vector libre si atendemos a la aceleración que produce en un cuerpo Sin embargo, debemos considerarlo como deslizante si de lo que se trata es de calcular su momento respecto de un punto. En lo sucesivo se supondrá siempre que estamos hablando de vectores libres, a menos que se especifique lo contrario.
3. ÁLGEBRA VECTORIAL Como muchas magnitudes tienen carácter vectorial es necesario conocer las propiedades de las operaciones entre vectores. Por el momento nos serviremos de segmentos orientados para representarlos, definir las operaciones y estudiar sus propiedades. 3.1.
Suma geométrica de vectores
Sean los vectores a = MN y b = OP. La suma s = a + b se construye llevando el origen de b al extremo de a: b = OP = NS . Uniendo el origen de a con el extremo de b se obtiene s:
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S
P
s= a+ b b
M
b
a
N
O
Figura 4
La suma de vectores tiene las propiedades siguientes:
a) Conmutativa:
a+b=b+a
(2)
Sean a = MN y b = NS los vectores de la figura 5. Por la definición anterior de suma, a + b = MS. a
P
S b+ a
b a+ b
N a
M
Figura 5
3.2.
Resta de vectores
Se define la resta de dos vectores a y b como la suma del primero con el opuesto del segundo: a - b = a + (-b)
(6) 9
a- b
a + (- b ) a
a
-b
b Figura 8
3.3.
Multiplicación por un escalar
El producto de un vector a por un número real m es un nuevo vector m ·a que tiene la misma dirección y cuyo módulo es m veces el del primero: m ·a || a
;
|m ·a| = |m | |a| (7) El sentido de m ·a es el mismo que el de a cuando m > 0 y es el opuesto si m < 0. En particular, para m = -1 se verifica: -1·a = - a (8) El producto de un vector por un número cumple las siguientes propiedades: a) Asociativa: m ·(n ·a) = (mn )·a
(9)
Es claro que los dos vectores de esta igualdad tienen la misma dirección (que es la de a) y el mismo sentido (el de a si mn > 0 o el opuesto si mn < 0). También tienen el mismo módulo, ya que: |m ·(n ·a)| = |m | |n ·a| = |m | (|n | |a|) = |mn | |a| |(mn )·a| = |mn | |a| b) Distributiva respecto a la suma de escalares:
(m + n )·a = m ·a + n ·a
(10)
10
Los dos vetores tienen la misma dirección (la de a) y sentido (el de a si m + n > 0 ; el opuesto si m + n < 0). También se demuestra que tienen módulos iguales. Por ejemplo, si m y n son del mismo signo tenemos: |(m + n )·a| = |m + n | |a| = (|m | + |n |) |a| = = |m | |a| + |n | |a| = |m ·a| + |n ·a| = |m ·a + n ·a|
Para el último paso se ha tenido en cuenta que m ·a y n ·a son colineales.
c) Distributiva respecto a la suma de vectores: m ·(a + b) = m ·a + m ·b
(11)
En efecto, los dos vectores de la igualdad tienen la misma dirección y sentido, como puede verse en la figura 9, donde MN = a + b y PQ = m ·a + m ·b. Q
m ·(a + b ) N
m· a + m· b
m· b b
a+ b a
O
M P
m· a Figura 9
En cuanto al módulo, los triángulos de la figura son semejantes ya que tienen dos lados proporcionales (|PO| = m |MO | ; |OQ| = m |ON | ) y el ángulo comprendido entre ellos igual. El tercer lado estará en la misma proporción y por tanto: |PQ | = m |MN
m ·a + m ·b| = m |a + b|
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d) Elemento neutro:
1·a = a
(12)
Cualquier conjunto V en el que se puedan definir operaciones de suma interna y de multiplicación por un escalar, si cumplen las propiedades que acabamos de estudiar para los segmentos orientados, se dice que es un espacio vectorial . Las magnitudes vectoriales de la Física no son todas segmentos orientados; pero las propiedades de su suma y del producto por un número son las mismas, aunque dichas operaciones estén definidas de otra manera. Ésta es la razón de que se puedan representar las fuerzas, por ejemplo, mediante segmentos e incluso calcular y razonar con ellos como si lo fuesen. 3.4. Producto punto o producto escalar de dos vectores Dados dos vectores a y b, el producto escalar , a·b , es un número igual al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman: a·b = |a|·|b|·cos = a b cos
(32)
b
Q
a || O
a ur
a r
P r
Figura 12
Como se ve en la figura 12, |b|·cos = OP es la proyección de b en la dirección de a ; también |a
OQ es la proyección de a en la dirección de b. Por tanto,
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puede decirse que el producto escalar de dos vectores es el módulo de cualquiera de ellos por la proyección del otro sobre el primero: a·b = a b = b a
(33)
De esto se deduce que para proyectar un vector a sobre una dirección cualquiera r , basta multiplicarlo escalarmente por el vector unitario en dicha dirección, ur : a r = a cos
a·ur
(34)
En particular, las componentes rectangulares de a resultan de multiplicar por los vectores de la base, i , j , k : a x = a·i ; a y = a· j ; a z = a·k (35) Si se multiplica escalarmente un vector por sí mismo se obtiene su norma , que es
el cuadrado del módulo: a·a = a·a·cos 0 = a 2 = a x 2 + a y 2 + a z 2
(36)
Algunas propiedades del producto escalar son las siguientes: a) Conmutativa:
a·b = b·a
(37)
b) Asociativa para el producto por un número:
(m ·a)·b = m ·(a·b) = a·(m ·b)
(38)
a·(b + c) = a·b + a·c
(39)
c) Distributiva respecto de la suma:
d) No asociativa:
a·(b·c) (a·b)·c
(40) 13
3.5.
Ángulo formado por dos vectores
A partir de la definición de producto escalar, a·b = a b cos , conociendo las componentes de los vectores se deduce el ángulo que forman entre sí: cos
a
•
b
a b
a x b x
a y b y
a z b z
a b
(44)
Ahora bien, según (26), los cosenos directores de a y b son: cos a = a x /a , cos /b , cos a = a y /a , ... etc. Sustituyendo en la igualdad anterior: b = = b x cos = = cos acos b + cos acos b + cos acos b (45) Por otra parte, vimos que los cosenos directores de un vector son las componentes del vector unitario de su misma dirección: ua = (cos a , cos a , cos a) ub = (cos b , cos b , cos b) Así que la igualdad (45) no es más que el producto escalar: cos = ua·ub
(46)
Si dos vectores son perpendiculares su producto escalar es cero, ya que cos /2 = 0: ab
a·b = a b cos /2 = 0
(47)
Recíprocamente, si a·b = 0 deben ser perpendiculares a menos que a = 0 o b = 0. Una consecuencia de esto es que no siempre se puede simplificar una igualdad entre productos escalares; es decir: a c b c •
•
/ a b
(48)
En efecto, pasando el término b·c al otro lado de la igualdad y sacando factor común resulta (a - b)·c = 0 . Pero de aquí no se deduce que a - b = 0 (o sea, a = b) ya que también puede cumplirse si (a - b) c . 3.6.
Producto cruz o producto vectorial de dos vectores. 14
El producto vectorial de dos vectores a y b es otro vector, a b , cuyo módulo vale: |a b| = |a|·|b|·sen = a b sen
(49)
La dirección es perpendicular a los dos vectores y, por tanto, al plano que determinan: aba ; abb (50) En cuanto al sentido, es el que resulta de aplicar la regla del tornillo o de la mano derecha al giro que lleva a sobre b por el camino más corto; es decir, los vectores a , b y a b tomados por este orden, con un origen común, deben formar un triedro directo o dextrógiro.
axb
b
S
h
a bx a
Figura 13
Geométricamente, el producto vectorial representa el área del paralelogramo que forman los dos vectores. Como se ve en la figura 13, b sen = h es la altura; por tanto: |a b| = a b sen = b·h = S
(51)
Algunas propiedades importantes del producto vectorial son las siguientes: a) Anticonmutativa:
ab=-ba
(52)
b) Asociativa para el producto por un número:
(m· a) b = a (m· b) = m· (a b)
(53)
c) Distributiva respecto de la suma: 15
a (b + c) = a b + a c
(54)
(a b) c a (b c)
(55)
d) No asociativa:
3.7.
Sistemas de coordenadas
La posición de un punto del espacio queda determinada por el vector de posición, que va del origen de coordenadas al punto en cuestión. Las coordenadas cartesianas de P son las componentes del vector de posición r : P (x , y , z ) r = x i + y j + z k (62)
En ocasiones interesa usar otro sistema de coordenadas que se ajuste mejor al problema estudiado.
r sen
z
r
y
O
x
P
r sen
y Figura 14
En coordenadas esféricas se utiliza la distancia del punto al origen, r ; el ángulo del vector de posición con el eje Oz, y el ángulo que forma con el eje Ox la proyección de r sobre el plano xy : P (x , y , z) (r , , ). Estas coordenadas se 16
usan, por ejemplo, para localizar un punto sobre la superficie de la Tierra (altura, latitud, longitud). Las ecuaciones que relacionan los dos sistemas de coordenadas son (figura 14): r x 2 y 2 z 2 x r sen cos 2 2 y r sen sen arctg x y z z r cos arctg y / x
1 / 2
1 / 2
(63)
Para aquellos problemas en los que todo ocurre en un plano es conveniente orientar los ejes Ox y Oy de forma que sean coplanarios con el vector de posición r. Así quedan reducidos a dos dimensiones. P r y
y
x
O Figura 15
Podemos dar la posición de P por las coordenadas rectangulares x (abscisa) e y (ordenada); o bien mediante la longitud r del vector y su orientación respecto al eje Ox P (x , y ) (r , )
Las coordenadas (r , ) se denominan polares planas y están relacionadas con las cartesianas por las ecuaciones siguientes: r x 2 y 2 y r sen arctg y / x x r cos
(64)
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En estos cambios de coordenadas se mantiene el mismo origen O y, por tanto, es el mismo vector r el que designa la posición de P . z'
P r' z
O' j
R
k
O
k
r
y'
i x' j
y
i x
Figura 16
Cuando se cambia a un sistema de referencia centrado en otro origen, O ' , el vector de posición r' y las coordenadas (x ' , y ' , z ') son distintos. Si R = (x o , y o , z o) es el vector con origen en O y extremo en O ' se cumplirá que:
r = R + r' (65) Y suponiendo que los ejes no han girado y que, por tanto, los vectores de la base son los mismos, la relación entre las coordenadas cartesianas en O y las de O ' será: x x o x
x x x o y y o y y y y o z z z z z o z o
(66)
Para sumar el vector a al b hacemos: b + a = NS + SP = NP Ahora bien, MS = NP por ser lados opuestos de un paralelogramo, con lo que se cumple la igualdad (2). b) Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
(3)
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C b c
B b+ c a
a+ b
D
a + b+ c
A Figura 6
Consideremos los tres vectores a , b y c de la figura y calculemos el primer miembro de la igualdad (3): a + b = AC ; AC + c = (a + b) + c = AD Por otra parte: b + c = BD ; a + BD = a + (b + c) = AD Evidentemente se obtiene el mismo resultado, así que puede prescindirse de los paréntesis en la suma. Esto permite sumar un número cualquiera de vectores poniéndolos origen con extremo y uniendo el origen del primero con el extremo del último. c) Elemento neutro:
a:
a+0=a
(4)
El elemento neutro de la suma de vectores es un segmento de longitud nula. d) Elemento simétrico:
a
-a / a + (-a) = 0
(5)
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a a + (- a ) = 0 -a
Figura 7
El elemento simétrico de un vector a es otro de igual módulo y dirección pero de sentido opuesto, que se designa por -a. Por tener estas propiedades, se dice que el conjunto de vectores V es un grupo abeliano respecto a la operación de sumar.
4. Aplicaciones de vectores. Los vectores tienen un sinfín de aplicaciones en campo de la física ya que como lo hemos visto anteriormente son por excelencia el modelo matemático que usamos para describir magnitudes físicas, pero no debemos dejar de lado la idea central de este texto la cual es que son sólo eso, un modelo matemático que como ya lo vimos tienen sus propias reglas, operaciones, procesos y representaciones gráficas. Más que una aplicación re realizará un análisis de cómo se podría tratar, usando la teoría de vectores las velocidades de partículas elementales como lo son fotones, neutrinos, protones y quarks de cualquier espín. La idea de esto comenzó con un descubrimiento el cual a continuación lo citaré textualmente; “Los neutrinos alcanzan una velocidad superior a la de la luz, según 20
los primeros resultados avanzados hoy en París de la experiencia internacional OPERA después de unas pruebas realizadas en el laboratorio de física CERN. Así lo adelantó el Centro Francés de Investigaciones Científicas (CNRS), que da cuenta de la prueba llevada a cabo desde las instalaciones del CERN en Ginebra, con el lanzamiento de neutrinos, partículas subatómicas, disparadas hacia un laboratorio italiano a 730 kilómetros de distancia. El centro galo califica el resultado con los neutrinos de "sorprendente" aunque titula su comunicado, a la espera de la presentación oficial de los resultados en la ciudad suiza, entre interrogantes: "¿más rápido que la luz?". Los neutrinos llegaron a su destino, en Gran Sasso, 60 nanosegundos más rápidos que la luz, que cubre esa distancia en 2,4 milisegundos, explicó Dario Autiero, director del equipo e investigador en el CNRS. "Hemos puesto en marcha un dispositivo entre el CERN (Centro Europeo de Investigación Nuclear) y el Gran Sasso que nos permitió una sincronización a nivel de nanosegundos y hemos medido la distancia entre los dos sitios con (una precisión de) veinte centímetros", explicó Autiero en un comunicado del CNRS. "Estas mediciones presentan escasas dudas y una estadística tal que concedemos una gran confianza a nuestros resultados", estimó. Más de un siglo después de que Albert Einstein enunciara la teoría de la relatividad, en 1905, "la experiencia OPERA da testimonio de un resultados 21
totalmente inesperado: los neutrinos llegan a Gran Sasso con una ventaja pequeña, pero significativa, con relación al tiempo que la luz hubiera necesitado para cubrir el mismo recorrido en el vacío". Los resultados se basan sobre la observación de más de 15.000 neutrinos, precisó la institución francesa. Hasta ahora, la velocidad de la luz ha sido considerada como un límite infranqueable y si no fuera así, "eso podría abrir perspectivas teóricas completamente nuevas", agregó el CNRS que, no obstante, estima que harán falta "mediciones independientes para que el efecto observado pueda ser refutado o formalmente confirmado". Y añadió que esa es la razón por la cual los investigadores del programa OPERA han decidido abrir el resultado de las pruebas "a un examen más amplio por parte de la comunidad de físicos. La experiencia comenzó en 2006 para estudiar las transformaciones raras (oscilaciones) de los neutrinos muónicos en neutrinos tauónicos, una de las cuales pudo observarse en 2010, lo que dio testimonio de la capacidad única del programa para detectar esas señales. En el laboratorio de física más grande del mundo se trabaja desde hace años para tratar de averiguar si es posible registrar velocidades superiores a la de la luz – 299.792 kilómetros por segundo –, lo que va en contra de un pilar teórico de la física. Los resultados de los exámenes que se realizan son presentados al resto de la comunidad científica, principalmente a laboratorios similares en EEUU y Japón, para confirmar los resultados.
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Presentación en el CERN El CERN ha presentado los pruebas en un seminario él, Dario Auterio, miembro Física de Lyon (Francia)
resultados de especializado. del Instituto e integrante
las En de de
OPERA, ha confirmado que "las mediciones indican una velocidad de los neutrinos, superior a la de la velocidad de la luz". Ante un seminario reunido en el Centro Europeo de Investigación Nuclear (CERN), con sede en Ginebra, Auterio añadió que después de muchas evaluaciones "no podemos explicar los efectos observados en términos de las incertidumbres sistemáticas conocidas".”(Libertad digital; 28/9/11) Este hecho nos da mucho a que pensar, en primera porque pone en riesgo una teoría muy importante la cual es la de la relatividad, realizada por Albert Einstein en el siglo XX y en segunda por que nos deja muchas incógnitas por resolver, ya que la velocidad de la luz se venía tomando como una constante, es decir sin componentes vectoriales, pero bien podemos tomarla como un vector , por que si bién su velocidad es constante, por la curvatura del espacio su proyección en dimensiones en distancias muy grandes (distancias de años luz) esa trayectoria se hace curva, es entonces que podemos manejar la velocidad de la luz como un vector. Por otra parte, si los neutrinos viajan a velocidades superiores a la luz, se pueden tratar de igual manera como un vector, pero a ésta se le agrega un componente, el cuál es el tiempo, 23
entonces citando la teoría de espacios vectoriales, los neutrinos están en R 4, es decir el espacio de cuatro dimensiones, ya que solo la velocidad de la luz respeta lacurvatura espacio-tiempo (Albert Einstein, 1909). Es por ello que según la teoría de la relatividad, los neutrinos viajando a velocidades superiores de las de la luz, pueden desplazarse no solo en las tres dimensiones conocidas, si no también en la cuarta que es el tiempo, es decir, viajan entre el pasado, el presente y el futuro, siendo estas solo definiciones subjetivas en la teoría de la relatividad. Por lo cuál la teoría de la relatividad está sujeta a ser comprobada, revocada o reformulada para que se cumpla lo anterior. No debemos dejar de lado que los vectores no son más que un modelo matemático que nos sirve para describir magnitudes en el campo de la física, por ello debemos hacer un análisis del “si conviene o no” tratar la velocidad relativa de la luz, así como la velocidad relativa de los neutrinos como vectores ya que como se vio con anterioridad también pueden tomarse como constantes o hacer otro modelo matemático, el cuál nos sirva para desarrollar las nuevas teorías respecto a esto.
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CONCLUSIONES En el presente texto se dio una semblanza general acerca de los vectores; desde sus inicios hasta sus últimas posibles aplicaciones, su naturaleza algebraica y sus propiedades geométricas. Pero es importante considerar la idea principal que consiste en que “son un modelo matemático” creado a través del tiempo por la mente humana, con sus peculiaridades y sus indeterminaciones, pero a fin de cuentas nos es muy útil. Tal es el impacto, que hoy en día se siguen realizando desarrollos en este campo, los cuáles son meramente abstractos y matemáticamente puros, como lo son las independencias lineales y los espacios vectoriales en R n, etc. Todo esto nos ha permitido avanzar en todos los campos de la ciencia, es por eso que no debemos dejar de tomarlos en cuenta para las nuevas investigaciones y desarrollos tecnológicos que se llevan a cabo en todo el mundo y seguir trabajando con ellos para seguir fomentando el desarrollo en el campo de las matemáticas, ya que si bien es el modelo por excelencia para describir los procesos físicos, pienso que es mejor perfeccionarlo que buscar otros alternos o bien hacer otros modelos alternos a partir de los vectores.
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BIBLIOGRAFÍA
G. Fuleer & D. Tarware Geometría analítica Séptima edición Editorial: Ebook Serge Lang Algebra superior Cuarta edición Editorial: Fondo educativo interamericano. Página web Vitotur Consultada el día 9 de Octubre de 2011 URL: http://www.vitutor.com/geo/vec/a_1.html Página web: Enlace de noticia. Consultada el día 10 de Noviembre de 2011 URL: http://www.libertaddigital.com/ciencia/2011-09-23/el-cern-detectaneutrinos-mas-rapidos-que-la-velocidad-de-la-luz-1276436131
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