FICA / CIERCOM
TEMA:
LA TRANSFORMADA Z
OBJETIVOS: OBJETIVO GENERAL: •
Investigar acerca de la transformada z y conocer sus osi!les alicaciones"
OBJETIVOS ESPECÍFICOS: •
Determinar las diferentes alicaciones e#istentes ara esta $erramienta"
•
Determinar las caracter%sticas y roiedades de la transformada z"
MARCO CONCEPTUAL: 1. CONCEPTO La Transformada Zeta &TZ' es un modelo matem(tico )ue se emlea entre otras alicaciones en el estudio estudio del del *rocesam *rocesamien iento to de Se+ales Se+ales Digital Digitales, es, como como son el an(lisis an(lisis y royec royecto to de -ircui -ircuitos tos Digital Digitales, es, los Sistema Sistemass de Radar Radar o Telecomu elecomunic nicacio aciones nes y esecia esecialme lmente nte los Sistemas de -ontrol -ontrol de *rocesos or comutadoras" La TZ es un e.emlo m(s de Transformad Transformada, a, como lo son la Transformada Transformada de Fourier Fourier ara el caso de tiemo discreto y las Transformada de Fourier y Lalace ara el caso del tiemo continuo" La imortancia imortancia del modelo de la Transformada Z radica en )ue ermite reducir reducir /cuaciones en Diferen Diferencia ciass o ecuacio ecuaciones nes recursiv recursivas as con coefici coeficiente entess consta constantes ntes a /cuacio /cuaciones nes Alge!r Alge!raica aicass lineales"
2. El Plan Planoo Com Compl pl! !oo *ara entender la relaci0n entre la transformada de fourier y la transformada1z uno tiene )ue ver el lano comle.o o el lano1z"
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Figura 1: El plano complejo
/l lano1Z es un lano comle.o con un e.e imaginario y real )ue se refle.en eso se refiere a la varia!le comle.a z"
*. APLICACIONES •
La Transformada
Zeta
es de articular alicaci0n so!re los
Sistemas de Tiemo
Discreto Lineales e Invariantes" &TDLI' no de los sistemas de rocesado digital de se+ales m(s utilizados es el romediador m0vil )ue )ueda definido or2
Se uede demostrar )ue este sistema es el 0timo cuando )ueremos recuerar una se+al de valor constante &comonente de continua' )ue se ve afectada or una serie de interferencias varia!les con el tiemo" •
La transformada Z se utiliza en el rocesamiento de im(genes digitales" -omo or e.emlo los televisores de alta definici0n y las c(maras digitales"
•
Determinaci0n de ecuaci0n en diferencias" 3no de los usos dados a la transformada Z es determinar la e#resi0n en diferencias de un sistema )ue cumle unas determinadas condiciones4 una de las alicaciones m(s directas es la imlementaci0n de generadores de se+al mediante ecuaciones en diferencias"
•
3sando la transformada Z, un filtro digital uede ser caracterizado mediante una funci0n transferencia discreta en el tiemo, )ue .uega el mismo rol )ue la funci0n transferencia cont%nua en el tiemo ara un filtro anal0gico"
+. P'op"%a%#
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5 L"nal"%a%. La TZ de una com!inaci0n lineal de dos se+ales en el tiemo es la com!inaci0n lineal de sus transformadas en Z"
5 ,#pla-am"n$o $mpo'al. 3n deslazamiento de 6 $acia la derec$a en el dominio del tiemo es una multilicaci0n or
en el dominio de Z"
5 Conol)"0n. La TZ de la convoluci0n de dos se+ales en el tiemo es el roducto de am!as en el dominio de Z"
5 ,"'n)"a)"0n.
5. Transformada Z unilateral De forma alternativa, en los casos en )ue #7n8 est( definida 9nicamente ara n : ;, la transformada Z unilateral se define como2
/n el rocesamiento de se+ales, se usa esta definici0n cuando la se+al es causal" /n este caso, la Transformada Z resulta una serie de Laurent, con RO- del tio 4 es decir )ue converge <$acia afuera<" 3n e.emlo interesante de la TZ unilateral es la funci0n de generaci0n de ro!a!ilidades, donde x[n] es la ro!a!ilidad )ue toma una varia!le discreta aleatoria en el instante n, y la funci0n X(z) suele escri!irse como X(s), ya )ue s = z =>" Las roiedades de las transformadas Z son 9tiles en la teor%a de la ro!a!ilidad"
6. Transformada Z inversa La Transformada Z inversa se define2
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Donde contorno,
es un c%rculo cerrado )ue envuelve el origen y la regi0n de convergencia &RO-'" /l , de!e contener todos los olos de
"
3n caso esecial y simle de esta integral circular es )ue cuando es el c%rculo unidad &)ue tam!i?n uede usarse cuando la RO- incluye el c%rculo unidad', o!tenemos la transformada inversa de tiemo discreto de Fourier2
La TZ con un rango finito de n y un n9mero finito de z searadas de forma uniforme uede ser rocesada de forma eficiente con el algoritmo de @luestein" La transformada discreta de Fourier &DFT' es un caso esecial de la TZ, y se o!tiene limitando z ara )ue coincida con el c%rculo unidad"
7. Transformada z bilateral La TZ !ilateral de una se+al definida en el dominio del tiemo discreto #7n8 es una funci0n &z' )ue se define
Donde n es un entero y z es, en general, un n9mero comle.o de la forma Donde A es el m0dulo de z, y B es la frecuencia angular en radianes or segundo &radCs'"
8. Región de convergencia de la transformada z. La regi0n de convergencia, tam!i?n conocida como RO-, define la regi0n donde la transformada1z e#iste" La RO- es una regi0n del lano comle.o donde la TZ de una se+al tiene una suma finita" La RO- ara una #7n8 es definida como el rango de z ara la cual la transformada1z converge" a )ue la transformadaEz es una serie de otencia, converge cuando
es a!solutamente suma!le"
*roiedades de la Regi0n de -onvergencia2 La regi0n de convergencia tiene roiedades )ue deenden de las caracter%sticas de la se+al, #7n8"
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La RO- no tiene )ue contener alg9n olo" *or definici0n un olo es donde #7z8 es infinito" a )ue #7z8 tiene )ue ser finita ara todas las z ara tener convergencia, no uede e#istir ning9n olo ara RO-" Si #7n8 es una secuencia de duraci0n finita, entonces la RO- es todo el lano1z, e#ceto en z G; o zGH" Si #7n8 es una secuencia del lado derec$o entonces la RO- se e#tiende $acia fuera en el 9ltimo olo desde #7z8" Si #7n8 es una secuencia del lado iz)uierdo, entonces la RO- se e#tiende $acia dentro desde el olo m(s cercano en #7z8" Si #7n8 es una secuencia con dos lados, la RO- va ser un anillo en el lano1z )ue esta restringida en su interior y e#terior or un olo"
Figura 2: ROC muestra en azul, el círculo es un punto gris y el círculo
muestra del círculo.
/l -amo de -onvergencia de la Transformada Zeta es el anillo2 A(r 1 , r 2 ) = { z: r 1 < |z| < r 2 }
/n el caso de Transformada Zeta unilateral el -amo de -onvergencia es una @ola de centro H y radio r2 A(r1 , r2) = B(∞,r)
9. Función Impulso o Delta Dirac
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10. Función scalón !nitario
11. Función Rampa !nitaria
12. EJERCICIO USAN,O LA FUNCI(N IMPULSO ,E LA TRANSFORMA,A
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/ncuentre la salida de un sistema con resuesta al imulso
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Figura 3: Respuesta del sistema del ejercicio al escalón, con a=0.9.
1*. BIBLIOGRAFÍA: • • •
http://es.scribd.com/doc/57256181/16/p!icacion"de"!a"trans#ormada"$ http://materias.#i.%ba.ar/61107/p%ntes/&$00.pd# http://docencia.%dea.ed%.co/'istemas(iscretos/contenido/in)ersa.htm!
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