MONOGRAFIA LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SANCHEZ CARRIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL, SISTEMAS E INFORMÁTICA ESCUELA ACADÉMICA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

“LA TRANSFORMADA DE LAPLACE”

Curs! Matemática IV D"#$%#! Valverde Flores Cosme Ulises C&"'! IV A'u($)! Loarte Sana Kimberly

HUACHO * +-.

Aplicaciones de Analisis de Varianza UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCE! CARRI"N FACULTAD DE IN#ENIER$A INDUSTRIAL SISTE%AS E INFOR%ÁTICA

DEDICATORIA Este trabajo

está dedicado a nuestros padres que siempre nos están

apoyando incondicionalmente en la parte econmica y moral para poder lle!arnos a reali"ar como e#celentes pro$esionales% & nuestros $amiliares que nos motivan' ayudan y que por sus e#periencias a lo lar!o de su vida nos brindan consejos para reali"ar todo de la mejor manera posible% &nte todo a (ios que nos da la vida' le otor! una $amilia la cual cada d)a nos comporta sus ense*an"as y $ortale"as para se!uir desempe*ando dando siempre lo mejor%

AGRADECIMIENTO LA TRANSFOR%ADA DE LA&LACE

2


+uiero a!radecer a todos mis maestros ya que ellos me ense*aron valorar los estudios y a superarme cada d)a' tambi,n a!rade"co a mis padres porque ellos estuvieron en los d)as más di$)ciles de mi vida como estudiante% - a!rade"co a (ios por darme la salud que ten!o' por tener una cabe"a con la que puedo pensar muy bien y además un cuerpo sano y una mente de bien Estoy se!uro que mis metas planteadas darán $ruto en el $uturo y por ende me debo es$or"ar cada d)a para ser mejor en el cole!io y en todo lu!ar sin olvidar el respeto que en!randece a la persona%

LA TRANSFOR%ADA DE LA&LACE

'


INDICE DEDICATORIA AGRADECIMIENTO INTRODUCCIÓN CAPÍTULO I! ANTECEDENTES O/JETIVOS! IMPORTANCIA! CAPÍTULO II! /REVE RESE0A HISTÓRICA /REVE RESE0A HISTORICA! CAPÍTULO III! MARCO TEÓRICO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE PROPIEDADES OPERACIONALES PRIMER TEOREMA DE TR ASLACION FUNCION ESCALON UNITARIO SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACION CAPITULO IV! DESARROLLO EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIOS PROPUESTOS CONCLUSIONES /I/LIOGRAFÍA


(


INTRODUCCIÓN La .rans$ormada de Laplace es un caso especial de lo que se denomina .rans$ormacin Inte!ral% Su utilidad para resolver problemas $)sicos /ace que sea' junto con la .rans$ormada de Fourier' una de las /erramientas más 0tiles para estos e$ectos% En particular destaca su utilidad para resolver ecuaciones di$erenciales ordinarias como las que sur!en al anali"ar' por ejemplo' circuitos electrnicos% El m,todo de Laplace consiste en aplicar esta trans$ormada a ecuaciones di$erenciales de di$)cil resolucin' convirti,ndolas as) en problemas al!ebraicos simples' que pueden ser resueltos de manera sencilla% Este m,todo se puede ilustrar con el si!uiente esquema1 El objetivo del m,todo es que modi$icar el problema usando la trans$ormada de Laplace y posteriormente usar la .rans$ormada Inversa' sea más $ácil que resolver la ecuacin di$erencial por m,todos directos% Esto resulta particularmente 0til cuando las $unciones involucradas no son continuas%

2ara poder /acer e$ectivo este m,todo se requiere de varios resultados previos' junto con presentar la trans$ormada de Laplace y utili"arla para obtener la trans$ormada de $unciones básicas' como las potencias o la $uncin e#ponencial' estudiamos qu, caracter)sticas debe tener una $uncin para que e#ista su trans$ormada% 2osteriormente' para poder utili"ar la trans$ormada de Laplace en la resolucin de ecuaciones di$erenciales' estudiamos diversos teoremas relacionados con la derivada y la inte!ral de $unciones%


)


CAPÍTULO I: ANTECEDEN TES


*


O/JETIVOS!  Comprender la teor)a de la trans$ormada inversa de Laplace' as) como

tambi,n encontrar y entender la relacin que entre cada una de las propiedades para resolver ejercicios%  &plicar la trans$ormada de Laplace y su trans$ormada inversa para resolver ecuaciones di$erenciales lineales%  En este trabajo se pueden apreciar los teoremas de Laplace' as) como al!unos problemas y ejemplos de los mismos y una breve e#plicacin

de los mismos%  &nali"ar la utili"acin de los di$erentes propiedades operaciones de

Laplace%

IMPORTANCIA! La aplicacin de la trans$ormada de la place en la in!enier)a se aplica de di$erentes $ormas entre entre las cuales podemos mencionar varias de ellas tales como1 El control de procesos que lo podemos aplicar por ejemplo en1 El ámbito dom,stico 3para controlar temperaturas' /umedad' en edi$icios4' en la transportacin 3para controlar que autos o aviones se muevan de un lu!ar a otro de $orma se!ura y e#acta4' en la industria 3para controlar un sin n0mero de variables en los procesos En el caso de la in!enier)a Industrial tienen especial importancia en el control de procesos% En control de procesos es necesario obtener las $unciones de trans$erencia de los distintos elementos de un la"o de control' estas $unciones de trans$erencia se e#presan en el dominio de Laplace porque es muc/o más $ácil operar en este dominio y predecir cmo se va a comportar el elemento en cuestin% 5tra aplicacin podr)a darse en el estudio de la cin,tica de reacciones complejas' donde pueden e#istir sistemas de ecuaciones di$erenciales $ácilmente resolubles por Laplace%


+


CAPÍTULO II: BREVE RESEÑA


,


/REVE RESE0A HISTÓRICA! (e

6un b reve r elato d e l a / istoria d e l as m atemáticas7 3 8 9 edicin' :;<=4 por >all ?? @ouse% 2ierre Simon Laplace naci en >eaumontAenA&u!e' en Bormand)a el D de mar"o de :8;' y muri en 2ar)s el  de mar"o de :=% Gl era el /ijo de un aldeano peque*o o tal ve" un trabajador del campo' y deb)a su educacin al inter,s despertado en al!unos vecinos ricos

por

sus capacidades y presencia atractiva%

Muy poco se sabe de sus primeros a*os' ya que cuando ,l se distin!ui tuvo la me"quindad de mantener a s) mismo al mar!en tanto de sus parientes y de los que le /ab)an ayudado% &l parecer' se!0n un alumno se convirti en un ujier en la escuela de >eaumont' pero' despu,s de /aber adquirido una carta de presentacin a (H&lembert' se $ue a 2ar)s para impulsar su $ortuna% Un documento sobre los principios de la mecánica emocionado (H&lembert inter,s' y en su recomendacin de un lu!ar en la escuela militar se o$reci a Laplace% &se!ure de una competencia' Laplace a/ora se lan" a la investi!acin ori!inal' y en los pr#imos diecisiete a*os' ::A:=' produjo !ran parte de su obra ori!inal en la astronom)a% Esto comen" con un libro de memorias' ley ante la &cademia Francesa en :D' en la que mostr que los movimientos planetarios se mantuvieron estables' y reali" la prueba en cuanto a los cubos de las e#centricidades e inclinaciones% Esto $ue se!uido por varios art)culos sobre los puntos del cálculo inte!ral' di$erencias $initas' ecuaciones di$erenciales' y la astronom)a% (urante los a*os :=8A:= se produjo al!unas memorias de un poder e#cepcional% Entre ellos se destaca una lectura en :=8' y reimpreso en el tercer volumen de la Celeste M,c/anique' en la que determina totalmente la atraccin de un es$eroide sobre una part)cula $uera de ella%


-


CAPÍTULO III: MARCO TEÓRICO LA TRANSFOR%ADA DE LA&LACE

./


12-2- L) %r)$s3r()4) 4# ')5')"# 72odemos mirar el estado presente del universo como el e$ecto del pasado y la causa de su $uturo% Se podr)a condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabr)a todas las que animan naturale"a y las $uer"as posiciones de los laseres que la componen' si este intelecto $uera lo su$icientemente vasto para someter los datos al análisis' podr)a condensar en una simple $rmula el movimiento de los !randes cuerpos del universo y del átomo más li!ero para tal intelecto nada podr)a ser incierto y el $uturo as) como el pasado estar)an $rente sus ojos%7

12-2+ D#3&$&"&6$ 4# Tr)$s3r()4) 4# L)5')"# Sea f(t) una $uncin de$inida para t ≥ 0, su trans$ormada de Laplace se de$ine como1

L{ f (t )} = F ( s ) = donde s es una variable compleja

s =σ

∫

∞

0

f (t ) e − st dt

+ iw.

Se dice que la trans$ormada de Laplace de f(t) e#iste si la inte!ral conver!e%

Se observa que la trans$ormada de Laplace es una inte!ral impropia' uno de sus l)mites es in$inito1


..


Botacin1

12-21 C$4&"&$#s su3&"&#$%#s 4# #7&s%#$"&) 4# ') TL

L{ f (t )} = F ( s ) =

∫

∞

0

f (t ) e − st dt

Si $3t4 es continua a tro"os en J<' 4 y

| f (t ) |≤ Me at , ∀t ∈ [0, ∞) Es decir' $3t4 es de orden e#ponencial en el in$inito1

∃b ∈ ℜ

tq lim | f (t )e − bt |= 0 t →∞

Entonces1 L$3t4 N F3s4 e#iste ∀s O a

12-28 U$&"&4)4 4# ') TL Si $:3t4 y $3t4 poseen la misma .L1

L{f (t) } = L{f (t) }= F(s), 1 2 entonces el teorema de Lerc/ !aranti"a que


.2



.'

Aplicaciones de Analisis de Varianza UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCE! CARRI"N FACULTAD DE IN#ENIER$A INDUSTRIAL SISTE%AS E INFOR%ÁTICA a

∫ N (t )dt = 0 0

∀a > 0 ! la funcin nula N(t) definida por : N (t ) = f1 (t ) − f 2 (t )

12+2 PROPIEDADES OPERACIONALES Una ve" estudiada la de$inicin de .rans$ormada de Laplace y caracteri"adas al!unas condiciones para que una $uncin f ten!a .rans$ormada de Laplace LJfP de$inida en un dominio del plano comp lejo ( f' pasamos a estudiar al!unas propiedades básicas de esta trans$ormada inte!ral% La primera propiedad que vamos a estudiar es la linealidad%

12+2- L&$#)'&4)4 Esta propiedad será muy 0til para resolver ecuaciones di$erenciales lineales con coe$icientes constantes' a la ve" que permitirá el cálculo de la trans$ormada de al!unas $unciones% .eorema:1 Sean $' ! ∈ E y a ' b ∈ C% Entonces para todo " ∈ ($ Q (! se veri$ica que L Ja$ R b!P3"4 N a L J$P3"4 R b L J!P3"4% +∞

L[ af

+ #$][ ]

z

=

∫e

− zt

( af (t ) + bg (t ))dt

0

x

L[ af

+ #$][ ]

z

e − zt (af (t ) + bg (t ))dt = xlim →+∞ ∫ 0

x

x

− zt

L[ af

+ #$][ ] ][ ] L[ af + #$

z z

→+∞ e ( f (t ) + b xlim →+∞ e = a xlim ∫0 ∫0 = aL[ f "( z ) + bL[ g "( z )

− zt

g (t ))dt

La demostracin se si!ue

inmediatamente de la linealidad de la inte!ral% Consideremos1


.(



.)


& partir de la linealidad de la .rans$ormada de Laplace podemos obtener nuevas .rans$ormadas de $unciones elementales' como muestran los si!uientes ejemplos% Ejemplos1 Funcin seno% Sea  ∈ @ y consideremos la $uncin f ( t )= sen ( wt ) =

− iwt

iwt

e −e 2i

e

¿

e

[¿¿−iwt ]( z ) [¿ iwt ¿] ( z )− L ¿ L¿ L [ f ] z=

L [ f ] z=

L [ f ] z=

1 2i

1

¿

(−

1

2i

z iw

−

1

z + iw

)

w 2 2 z +w

Funcin seno /iperblico% Sea  ∈ @ y consideremos la $uncin f ( t )=sinh ( wt )=

− wt

wt

e −e 2

e

¿

e [¿¿−wt ]( z ) [¿ wt ¿] ( z )− L ¿ L¿ 1

L[f ] z= ¿ 2


.*

Aplicaciones de Analisis de Varianza UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCE! CARRI"N FACULTAD DE IN#ENIER$A INDUSTRIAL SISTE%AS E INFOR%ÁTICA L [ f ] z=

L [ f ] z=

1 2

(−

1

z w

−

1

z+ w

)

w 2

z −w

2

Se dice que la $uncin $ ∈ E es derivable a tro"os si es continua' e#isten las derivadas laterales de $ en cada punto de J<'R4 y en cada subintervalo Ja' bP ⊂ J<'R4 e#isten a lo sumo una cantidad $inita de puntos donde $ no es

derivable% Si $ es derivable a tro"os' de$inimos $<1 J<'R4 T C como $<3#4 N $ajo las condiciones anteriores se veri$ica para todo " ∈ (

%$[ f ' ] z = z [ f ] ( z )− f ( 0 ) Sean " ∈ ($ y # O < y consideremos <  #:  # %%%  #n:  # Los puntos de discontinuidad de $< en el intervalo 3<' #4 y $ijemos #< N < y Wn N W% Entonces' dividiendo el intervalo de inte!racin y utili"ando la $rmula de inte!racin por partes%


.+


.omando l)mites cuando # T R' y teniendo en cuenta que " ∈ ( ∗$ y que por tanto e#isten &'> ∈ @' & O <' R e" O >' tales que1

3:%4 2rocediendo por induccin a partir de la $rmula 3:%4 se prueba una $rmula !eneral para la derivada XA,sima de la $uncin $ en el caso de que $X:4 sea derivable a tro"os para X ∈ B% Esta $rmula viene dada para todo " ∈ (∗$ por

3:%Y4 (onde las derivadas sucesivas de $ en < se entienden como derivadas por la derec/a% Las $rmulas :% y :%Y serán claves para resolver ecuaciones y sistemas di$erenciales lineales con coe$icientes constantes' como veremos en el apartado de aplicaciones de este tema%

12+2+ Tr)$s3r()4) 4# ') &$%#9r)' Sea $ ∈ E y de$inamos la $uncin t

∫ f ( s) ds

g ( t )=

0

+ue obviamente está bien de$inida y es continua para todo t ∈ J<'R4% La relacin entre las .rans$ormadas de Laplace de ambas $unciones viene dada por el si!uiente resultado% .eorema D1 En las condiciones anteriores' para todo " ∈ (∗$ Q" ∈ C 1 R e" O < se veri$ica L [ g ] ( z )=

L[ f ]( z ) z

Sea # O < y consideremos < N #<  #:  %%%  #n:  #n N # de manera que $ no es continua en #i para :Z i  n% 5bviamente ! es derivable en 3#i' #iR:4 2ara : Z i  n% Entonces


.,


.eniendo en cuenta la continuidad de ! y !3<4 N <% Vamos a comprobar que

lim g ( x)e − zx

x →+∞

2ara ello y dado que $ ∈ E' e#istirán reales > y & O < de manera que [$3t4[ Z &e>t para todo t \ <% Sea

12+21 Tr)$s3r()4) 4# ') "$:'u"&6$ Sean $' ! ∈ E y de$inamos $3t4 N !3t4 N < para tod o t  <% Se de$ ine la convolucin de $ y ! como la $uncin

2uede verse con el camb io de varia ble y N t  s que $ ] ! N ! ] $% El principal inter,s de la convolucin respecto a la .rans$ormada de Laplace se concreta en el si!uiente resultado% .eorema 81 En las condiciones anteriores' para toda " ∈ ($ Q (! se veri$ica la $rmula


.-

Aplicaciones de Analisis de Varianza UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCE! CARRI"N FACULTAD DE IN#ENIER$A INDUSTRIAL SISTE%AS E INFOR%ÁTICA L J$ ] !P3"4 N

L J$P3"4 L J!P3"4%

En primer lu!ar' e#isten n0meros reales > y &i O <' i N :' ' de manera que para todo t \ < se veri$ica [$3t4[ Z &:e>t y [!3t4[ Z & e>t% Entonces para todo t \ <

1212 PRIMER TEOREMA DE TR ASLACIÓN Si F ( s )= L { f ( t ) } y aescaualquier numeroreal ,entonces L { e f ( t ) = F ( s −a )} at

& veces es 0til' para en$ati"ar' emplear el simbolismo

L { e f ( t ) }= L {f ( t )} at

Ejemplo1 a4

L { e t }= L { t }=

b4

L {e

5t

−2 t

3

3

3! 4

s

=¿

( ) }= L { cos ( 4 t ) }

cos 4 t

a = −2

∴ s − a = s − ( − 2) = s + 2


2/

Aplicaciones de Analisis de Varianza UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCE! CARRI"N FACULTAD DE IN#ENIER$A INDUSTRIAL SISTE%AS E INFOR%ÁTICA L { cos ( 4 t ) }=

s =¿ 2 s + 16

1212- Fr() &$:#rs) 4#' 5r&(#r %#r#() 4# %r)s')"&6$ −1

Si f ( t ) = L

{F (s ) }

La $orma inversa del teorema es1 −1

−1

L { F ( s − a )= L {}=e f ( t ) at

Ejemplo1 a4 Completar el cuadrado para determinar

−1

L

s

− Eval0e L { s + 6 s +¿  1

2

2

S'u"&6$2 Si

s + 6 s +¿

tuviera $actores reales' emplear)amos $racciones

parciales pero como este t,rmino cuadrático no se $actori"a' completamos su cuadrado%


2.


b4 Completar el cuadrad y linealidad 1

−1

L

1

− Eval0e L { ( s −3 ) + s + 2 s −8  1

3

2

SOLUCIÓN Completamos el cuadrado en el se!undo denominador y aplicamos la linealidad como si!ue1

1282 FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO Fu$"&6$ #s")'6$ u$&%)r& En in!enier)a se presentan con muc/a $recuencia $unciones que pueden estar êncendidas_ o âpa!adas_% 2or ejemplo' una $uer"a e#terna que act0a sobre un sistema mecánico o un voltaje aplicado a un circuito se pueden apartar despu,s de cierto tiempo% 2or ello' es conveniente de$inir una $uncin especial' llamada 3u$"&6$ #s")'6$ u$&%)r&2

La $uncin

se de$ine como si!ue1

La 3u$"&6$ #s")'6$ 4# H#):&s&4# ' tambi,n llamada 3u$"&6$ #s")'6$ u$&%)r&' debe su no mbre a 5liver èaviside% Es una $uncin continua cuyo valor es < para cualquier ar!umento ne!ativo' y : para cualquier ar!umento positivo1


22


.iene aplicaciones en in!enier)a de control y procesamiento de se*ales' representando una se*al que se enciende en un tiempo espec)$ico' y se queda prendida inde$inidamente% Es la inte!ral de la $uncin delta de (irac%

Funcin escaln considerando u3<4 N : El valor de u3<4 es causa de discusin% &l!unos lo de$inen como u3<4 N <' otros u3<4 N :% u3<4 N : es la opcin usada más co/erente' ya que ma#imi"a la

simetr)a de la $uncin' y permite una representacin de la misma a trav,s de la $uncin si!no1


2'


2uede especi$icarse con un sub)ndice el valor que se va a usar para u3<4' de la si!uiente $orma1

Una $orma de representar esta $uncin es a trav,s de la inte!ral

La $uncin escaln unitario o $uncin de èaviside

se de$ine

como

O;s#r:)"&6$!la $uncin de /eaviside se de$ini sobre el intervalo

' pues

esto es su$iciente para la trans$ormada de Laplace% En un sentido más !eneral para

%

Ejemplo1 .ra"ar la !rá$ica de la $uncin

%


2(


S'u"&6$ La $uncin

está dada por

y su !rá$ica se muestra en la $i!ura

Cuando la $uncin de èaviside

de$inida para

se multilplica por una $uncin

' ,sta $uncin se desactivaen el intervalo

'

' como

muestra en si!uiente ejemplo% Ejemplo1 .ra"ar la !rá$ica de la $uncin

%

S'u"&6$ La $uncin está dada por


2)


La $uncin de èaviside puede utili"arse para e#presar $unciones continuas a tro"os de una manera compacta' como se muestra en el si!uiente ejemplo% Ejemplo1 Use la $uncin de èaviside para reescribir la $uncin

S'u"&6$ 2ara reescribir la $uncin basta usar la de$inicin de la $uncin èaveside

O;s#r:)"&6$! la $uncin


2*


Se escribe usando la $uncin de èaviside como

12< SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACION

Si F ( s )= L { f ( t ) } y a > 0, entonces − as

L { f ( t −a ) A ( t − a ) }= e

F ( s )}

Ejemplo1 3

L { ( t − 2 ) A ( t −2 ) }

Eval0e

S'u"&6$2 Identi$icamos aN' entonces se!0n el teorema tenemos1

{

}

3

−2 s

L ( t − 2 ) A ( t −2 ) =e

−2 s 3 !

L { t }=e 3

s

4

6

= e−

2s

4

s

Con $recuencia se desea /allar la trans$ormada de Laplace slo de la $uncin escaln unitario% Esto se puede /ace' partiendo del

se!undo teorema de

traslacin% Si identi$icamos $3t4 N : entonces $3t A a4 N :' F3s4 N L  :  N :s y as)1

L { A ( t − a ) }=

− as

e

s


2+


Fr() )'%#r$)%&:) 4#' s#9u$4 %#r#() 4# %r)s')"&6$ Con $recuencia sucede que debemos determinar la trans$ormada de Laplace de un producto de una $uncin ! por una $uncin escaln unitario

A

3t A a4'

cuando la $uncin ! carece de la $orma $3t A a4 despla"ada que se requiere en el se!undo teorema de traslacin% 2ara /allar la trans$ormada de Laplace de !3t4

A

3t A a4 es posible ârre!lar_ a !3r4 con manipulaciones al!ebraicas'

para $or"arla a adquirir la $orma deseada $3t A a4 pero como esas maniobras son tediosas y a veces no son obvias' es más sencillo contar con una versin A

alternativa al teorema Emplearemos

3t A a4 y la sustitucin u N r A a' para

obtener1 ∞

− st

e

g ( t ) dt =¿

∫ e− ( + ) g (u +a ) u su a

0

∞

∫

L { g ( t ) A ( t −u ) }= ¿ a

Esto es' − as L { g ( t ) A (t −u ) }=e L { g ( t + u )}

Ejemplo1 Eval0e

L { sen ( t ) A ( t −2 π ) }

S'u"&6$2 àcemos !3t4 N sen 3t4' a N ; π sen t

y tenemos !3t R  π 4 N sen 3t R  π

N

porque la $uncin seno tiene periodo  π % (e acuerdo con la ecuacin

con la $orma alternativa del teorema de traslacin L { sen (t ) A ( t −2 π ) }= e

−2 πs

L { sen ( t ) }=

2 πs

e− 2 s +1

12<2- Fr() &$:#rs) 4#' %#r#() 4# %r)s')"&6$


2,

Aplicaciones de Analisis de Varianza UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCE! CARRI"N FACULTAD DE IN#ENIER$A INDUSTRIAL SISTE%AS E INFOR%ÁTICA −1

f ( t )= L { f ( s )}

Si

' la $orma inversa del se!undo teorema de traslacin'

cuando aO<' es1 L− { e− F ( t )=f ( t −a ) A ( t − u ) } 1

as

Ejemplo1 − πs / 2

Eval0e

−1 e L { s2+9 }

12.

12.2DERIVADA - D#3&$&"&6DE $ UNA TRANSFORMADA DE LAPLACE


2-


Sea $3t4 continua en 3<'4 y de orden e#ponencial a y sea $ seccionalmente continua en J<'4% Entonces [f´(t)] = s F(s) - f(0 +),

(s > α )

Si se cumplen las condiciones anteriores' salvo que $3t4 tiene discontinuidad por salto en t N a O < ' entonces 1

[ f´(t)] = s F(s) - f(0 +) - e-as [f(a+)-f(a-)]

&nálo!o si e#isten varias discontinuidades por salto%

3nA:4

Si $' $ ' %%% ' $

son continuas en 3<'4 y de orde n e#ponencial  y $

3n4

es

seccionalmente continua en J<'4' entonces 1 [f(n) (t)] (s) = sn F(s) - sn-1 f(0+) - sn-2 f’(0 +) - ··· - f (n-1) (0+) , (s > α )

&s) para n N 

Jf 3t4P N s ⇒

JfP A f 3


⇒

F3s4 A s $ 3

'/


En !eneral' induccin% &qu) se intuye la utilidad de la trans$ormada de Laplace para resolver problemas de valor inicial% Se reempla"a la ^derivacin respecto a t ^' por ^multiplicacin por s_' trans$ormándose una ecuacin di$erencial con coe$icientes constantes' en una al!ebraica%

Ejemplo1 Calcular

JsenatP 'usando la e#presin para

J f ^P

12.2+ Tr)$s3r()4) 4# L)5')"# 4# ')s 4#r&:)4)s 4# u$) 3u$"&6$ La trans$ormada de Laplace de la derivada de una $uncin está dada por1 L{ f % (t )} = sF ( s ) − f (0)

donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0. La trans$ormada de Laplace de la se!unda derivada de una $uncin está dada por1 L{ f % % (t )} = s 2 F ( s ) − sf (0) − f % (0)

En $orma similar1 L{ f ( n ) (t )} = s n F ( s ) − s n −1 f (0) − s n − 2 f % (0) −  − f ( n −1) (0)

(emostracin1


'.

Aplicaciones de Analisis de Varianza UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCE! CARRI"N FACULTAD DE IN#ENIER$A INDUSTRIAL SISTE%AS E INFOR%ÁTICA lim ( e − st f (t ) ) = 0 t →∞

∞

L{ f % (t )}

∞

∞

= ∫ e − st f % (t )dt = e − st f (t ) 0 − ∫ ( − se − st ) f (t )dt 0

0

∞

= − f (0) − s ∫ e − st f (t )dt = sF ( s) − f (0) 0

Supon!amos que1 L{ f ( n −1) (t )} = s n −1 F ( s ) − s n − 2 f (0) − s n −& f % (0) −  − f ( n − 2 ) (0)

Entonces1 lim ( e − st f ( n −1) (t ) ) = 0 t →∞

L}{ f ( n ) (t )

∞

∞

∞

= ∫ e − st f ( n) (t )dt = e) −( st f ( n−1) (t ) 0 − ∫ − se − st 0

= − f ( n −1) (0) − s

f ( n −1) (t ) dt

0

∞

e − st f ( n −1) (t ) dt = sL{ f ( n ) (t )} − f ( n −1) (0) =

∫ 0

s n F ( s ) − s n−1 f (0) − s n− 2 f % (0) −  − f ( n−1) (0)


'2


CAPITULO IV LA TRANSFOR%ADA DE LA&LACE

''


EJERCICIOS (0. E1ercicios resel3os .@&BSF5@M&(&S (E L&2L&CE 3:er% .E5@EM& (E .@&SL&CIB41 f (T )

= e 2T cos 2T

-=

e 2T cos 2T

{ cos 2T } S →S −2 =

=

L

S S2

L

f (T )

+  S → S −2

=

S −2

( S − 2) 2 + 

=

S2

S −2 − S + '

= e T sen&T

+=

{ sen&T } S → S −1 =

{e T sen&T } = L

L

&

S2

&

&

= = +  S →S −1 ( S − 1) 2 +  S 2 − 2S + 10


'(


.@&BSF5@M&(&S IBVE@S&S 3:er% .E5@EM& (E .@&SL&CIB41

1=LA:

 1  =  &   ( S + 2) 

1 2*

LA:

1  =  2  S − +S + 10   A: L

  1  = 2 ( & ) 1 S − +   A:

<= L

= S →S +2

1  =  2  S − +S + 10 − 1 + 1  A:

8= L

L

1  2*  = T2 S &    S →S +2 2

LA:

L

2

T 2 e − 2T

1  =  2  S − +S +  + 1  A: L

 1   S 2 + 1   S → S −&

1    S 2 2S   = + +   A:

1

N

e &T senT

1  =  2  S + 2 S + 1 +    A:

L

  1  = 2 ( ) S + 1 +    A:

1 2

 2  1 −T S 2 +    S → S +1 = 2 e sen2T

LA:

(E@IV&(& (E .@&BSF5@M&(&1

( − 1)

{T cos 2T } .=L

N

  − s2    ( S 2 +)  (2  =)  

d dS S2

( − 1) 

S2

{Tsenh&}T( ) = − 1 >= L

{T

2

senhT } = ( − 1)

?= L

{T cos 2T } L

d  S   ()  = dS  S 2 +  

N

{ senh}&( )T = − 1

d  &  ( ) = dS  S 2 −  

L

d2 dS 2

{ senhT } ( =) − 1 2

d2 dS

2

L

( S − 2S + 1)( − 2 ) − 'S ( S − 1) = − 2( S )− 1 (+ 'S) (S ) −1 ( S − 1) 2

2

2

 2− − 2 − 1  S 2  22S  =  ( S + ) 

− 2 +

d dS

2

() − 1

2

2

2

2



 ( )  − 1  − 2& 2S 2  =  ( S −)  (  )

+S

S

2

−

2

 1  = d  − 2S  =  2   S − 1  dS  ( S 2 − 1) 2  2

S2

−1

( )

=

+2 & −1

+S 2

S2


')


{Te

2T

sen+T } = ( − 1)

@= L

d  +  dS  ( S − 2 ) 2

( − 1)

d dS

{e T sen+T } = ( − 1) 2

L

 ) (−1 = + &+ 

d   dS  S 2

d  +    dS  S 2 + &+  S → S − 2

=

 = − 1  − +( 2S − )  =   ( S 2 − S + 0 ) 2  − S + 0    +

)(

12S − 2

( S − S + 0) 2

2

.@&BSF5@M&(&S (E L&2L&CE 3do% .E5@EM& (E .@&SL&CIB41

{ u ( T − a )} = e

{1} =

− aS

-=L

L

e −aS S

{Tu ( T − a )} = { ( T − a +() a u) T − a } = { ( T −)(a u T) − a } + { au( T − a )} = --= L

L

L

e e

{T } +

− aS

L

ae

− aS

L

− aS

{1} = S 2

+ ae

L

− aS

S

.@&BSF5@M&(&S IBVE@S&S 3do% .E5@EM& (E .@&SL&CIB41

-+=LA: 1 2

 e −2 S   S&  =  

LA:

 2* e − 2 S = 1 T 2 e −2 S = 1 T 2 u ( T − 2) =  & 2 2 S 

( T −) 2( 2 u) T − 2

-1= LA:

L

L

 1 e −2 S = 1  & 2* S  A:

 (1 + e − 2 S ) 2   =  S + 2 

 1 e −  S = S + 2   A:

e −2T

LA:

1 + 2e − 2 S + e −  S    S+2  

NL

 1 +2 S + 2   A:

L

 1 e − 2 S + S + 2   A:

+ 2e −2T u ( T −) 2 + (e − 2)T u T −  =


'*

Aplicaciones de Analisis de Varianza UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ FAUSTINO SÁNCE! CARRI"N FACULTAD DE IN#ENIER$A INDUSTRIAL SISTE%AS E INFOR%ÁTICA e − 2T

82+

+ 2e − 2 ( T − 2 ) u ( T − 2 ) + e − 2 ( T −  ) u ( T −  )

E1ercicios propes3os

.@&BSF5@M&(&S IBVE@S&S 3:er% .E5@EM& (E .@&SL&CIB41

 2S +   =  S 2 + +S + &    -= LA: 2e −&T cos T

−

R

+= L

1 

e −&T senT

 2S − 1   2 &  S ( S + 1)   A:  −T

− e −T − Te −T −

R

& 2

T 2 e −T

(E@IV&(& (E .@&BSF5@M&(&1 Te −&T cos &T 1= L

S2

+ +S

( S + +S + 1') 2

2

R

{T

&

e −T senhT }

8= L

&+ S &

+ 10' S 2 + 10' S + &+ ( S 2 + 2S ) +

R

.@&BSF5@M&(&S (E L&2L&CE 3do% .E5@EM& (E .@&SL&CIB41


'+


{ &u ( T − 2)} <= L e −2 S

R

{ &} =

&e −2 S

S

L

{ ( T −)(1 u T) − 1 } .= L

e

R

{T } =

−S

L

e −S S2

{e −T u ( T − 2 ) } = 2

>= L −2S

e −T { e − ( T − ) u ( T − 2 ) } = e − S {e } = S + 1 2

R L

2

L

{ ( &T +)( 1 u )T − & } = ?= L &e −& S

S

R

2

+

10e −& S

S

{Te T − u ( T − ,)} = ,

@= L

e − S R

( S − 1)

2

+

e − S

S −1

( T −) 1 & e( T −1)u T − 1 -= L +e R

−S

( S − 1) 

.@&BSF5@M&(&S IBVE@S&S 3do% .E5@EM& (E .@&SL&CIB41


',


--= LA:

 e −S  S S +1  )  (

u(T

− 1) − e −( T −1) u ( T − 1)

R

 e −2 S   2 = S ( S − 1)  A:  -+= L

−u ( T −) (2 −() T −) 2 u T( − 2) + e T −2 u T − 2 R


'-


CONCLUSIONES  La trans$ormada de Laplace es denominada as) en /onor a 2ierreASimon

Laplace%  La trans$ormada de Laplace es una Inte!ral Impropia%  La $uncin Escaln Unitario tambi,n es conocida como $uncin èaviside%  &l proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le conoce como trans$ormada inversa de Laplace%  2ara calcular la trans$ormada inversa de Laplace se utili"a la inte!ral de o inte!ral de FourierAMellin%  >romfic/ La linealidad es una propiedad muy 0til para resolver ecuaciones di$erenciales lineales con coe$icientes constantes' a la ve" permitirá el cálculo de la trans$ormada de al!unas $unciones%


(/


/I/LIOGRAFÍA  (ennis g% hill Se#ta Edicin' Y<; pá!inas' M,#ico  /ttp1repositorio%uned%ac%crreunedbitstream:<=<;8:MC<:;<

Ecuaciones

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MONOGRAFIA LA TRANSFORMADA DE LAPLACE.docx

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