La superposición de ondas La forma de onda resultante resultante de la superposición superposición de ondas se obtiene sumando sumando algebraicamente algebraicamente cada una de las ondas senoidales que componen ese movimiento complejo. Si superponemos ondas senoidales de igual frecuencia, aunque con eventuales distintas amplitudes y/o fases, obtendremos otra onda o nda senoidal con la misma frecuencia, pero con distinta amplitud y fase. Eventualmente esas ondas pueden cancelarse, cancelarse, por ejemplo si tuvieran igual amplitud pero una diferencia de fase de 180º. En algunos campos de la acústica puede resultar también interesante el caso de la superposición de ondas senoidales que se desarrollan sobre ejes perpendiculares. No estudiaremos estudiaremos aquí esos casos. casos. De particular interés resulta el caso de superposición de ondas senoidales de distinta frecuencia y eventual distinta amplitud amplitud y fase (por constituir el caso descrito por Fourier para la descomposición de los movimientos complejos). complejos). Si bien la descomposición de todo movimiento complejo en una superposición de distintas proporciones de movimientos armónicos simples es estrictamente estrictamente cierta para el caso de movimientos movimientos complejos periódicos, periódicos, determinadas determinadas aproximaciones aproximaciones matemáticas matemáticas nos permiten descomponer también todo movimiento no periódico en un conjunto de movimientos simples. Si superponemos parciales no armónicos obtendremos una forma de onda no periódica.
Onda compleja no periódica 1
La superposición de ondas senoidales cuyas frecuencias guarden una relación sencilla de números enteros (es decir, armónicos) resultará en un movimiento complejo periódico. Las próximas figuras muestran la resultante de la superposición de distintos armónicos de una serie. La resultante de superponer el segundo y el tercer armónico de una seria, es decir dos sonidos separados por un intervalo de quinta.
Resultante de la superposición superposición del segundo y tercer armónico armónico
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La resultante de la superposición del cuarto y quinto armónico de una serie, es decir sonidos separados por un intervalo de tercera mayor.
Resultante de la superposición superposición del cuarto y quinto armónico
La superposición de sonidos separados por un intervalo de octava, es decir el primer y segundo armónico armónico de la la serie.
Resultante de la superposición superposición del primer y segundo armónico armónico
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Resultante de la superposición superposición del primer y segundo armónico armónico pero con diferentes amplitudes y ángulos de fase
Nótese que la la forma de onda resultante en todos todos estos casos casos varía en función función de la amplitud y la fase de cada una de las ondas senoidales que superponemos. La Figura 05 muestra las resultantes de superponer octavas con distintas amplitudes y fases. Es notoria no toria la diferencia de las formas de ondas resultantes. Las Figuras 06 y 07 muestran cómo varía la resultante en función de variaciones en el ángulo de fase de las componentes del movimiento complejo. La única diferencia entre ambas figuras es el ángulo de fase del segundo y tercer armónicos. Mientras que en la Figura 06 todas las componentes tienen igual ángulo de fase, en la Figura 07 el segundo armónico tiene una diferencia de fase de 90º con respecto a la fundamental, mientras que la diferencia de fase del tercer armónico con la fundamental es de 180º. La forma de onda resultante de esencialmente esencialmente distinta en uno y otro caso. Lo curioso es que en este caso nuestro sistema auditivo será incapaz de distinguir diferencia alguna entre ambos sonidos correspondientes correspondientes a cada una de d e las resultantes. Por más que las formas de onda son radicalmente distintas, para nosotros el sonido será exactamente el mismo. 4
Suma de los tres primeros armónicos con igual fase
Suma de los tres primeros armónicos con distintas fase 5
PULSACIONES La superposición de ondas de frecuencias ƒ1 y ƒ2 muy cercanas entre sí
produce un fenómeno fenómeno particular particular denominado pulsación pulsación (o batido). En esos casos nuestro sistema auditivo no es capaz de percibir separadamente separadamente las dos frecuencias presentes, sino que se percibe una frecuencia única promedio (ƒ1 + ƒ2) / 2, pero que cambia en amplitud a una frecuencia de ƒ2 - ƒ1.
Es decir, si superponemos dos ondas senoidales de 300 Hz y 304 Hz, nuestro sistema auditivo percibirá un único sonido cuya altura corresponde a una onda de 302 Hz y cuya amplitud varía con una frecuencia de 4 Hz (es decir, cuatro veces por segundo).
Pulsaciones producida por la la superposición de dos ondas de frecuencias muy cercanas
Las pulsaciones se perciben para diferencias en las frecuencias de hasta aproximadamente aproximadamente 15-20 Hz. Diferencias mayores de 15-20 Hz le dan al sonido percibido un carácter áspero, mientras que si la diferencia aumenta comienzan nuevamente nuevamente a percibirse las dos ondas simultánea y separadamente.
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OSCILACIONES
Oscilación libre
En el caso en que un sistema reciba una única fuerza y oscile libremente hasta detenerse por causa de la amortiguación, recibe el nombre de oscilación libre. Éste es por ejemplo el caso cuando pulsamos la cuerda de una guitarra.
Oscilación libre. La envolvente dinámica muestra fases de ataque y caída
Oscilación amortiguada
Si en el caso de una oscilación libre nada perturbara al sistema en oscilación, éste seguiría vibrando indefinidamente. indefinidamente. En la naturaleza existe lo que se conoce como fuerza de fricción (o rozamiento), que es el producto del choque choque de las partículas partículas (moléculas) (moléculas) y la consecuente transformación de determinadas cantidades de energía en calor. Ello resta cada vez más energía al movimiento (el sistema oscilando), produciendo finalmente que el movimiento se detenga. 7
Esto es lo que se conoce como oscilación amortiguada.
Oscilación amortiguada
En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma varía en el tiempo (según una curva exponencial), haciéndose cada vez más pequeña hasta llegar a cero. Es decir, el sistema (la partícula, el péndulo, la cuerda de la guitarra) se detiene finalmente en su posición de reposo. La representación matemática es , donde es el coeficiente de amortiguación. amortiguación. Notemos que la amplitud es también una función del tiempo (es decir, varía v aría con el tiempo), mientras que a y son constantes que dependen de las condiciones de inicio del movimiento.
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No obstante, la la frecuencia de oscilación oscilación del sistema (que depende de propiedades intrínsecas del sistema, es decir, es característica del sistema) no varía (se mantiene constante) a lo largo de todo el proceso. (Salvo que se estuviera ante una amortiguación amortiguación muy grande.) Oscilación autosostenida
Si logramos continuar introduciendo energía al sistema, reponiendo la que se pierde debido a la amortiguación, logramos lo que se llama una oscilación autosostenida. Éste es por ejemplo el caso cuando en un violín frotamos la cuerda con el arco, o cuando soplamos sostenidamente una flauta.
Oscilación autosostenida. La envolvente dinámica presenta una fase casi estacionaria estacionaria (FCE), además de las fases de ataque y caída
La acción del arco sobre la cuerda repone la energía perdida debido a la amortiguación, amortiguación, logrando una fase (o estado) casi estacionaria. Preferimos llamarla fase casi estacionaria -y no estado estacionario, como suele encontrarse en alguna literatura- debido a que, en condiciones prácticas, resulta sumamente difícil que la energía que se introduce al sistema sea exactamente igual 9
a la que se pierde producto de la amortiguación. En consecuencia, consecuencia, la amplitud durante dur ante la fase casi estacionaria estacionaria no es en rigor constante, sino que sufre pequeñas variaciones, cuya magnitud dependerá de nuestra habilidad para compensar la energía perdida. Si la energía que se repone al sistema en oscilación es menor a la que se pierde producto de la fricción obtenemos una oscilación con amortiguación amortiguación menor, cuyas características características dependen de la relación existente entre la energía perdida y la que se continúa introduciendo. También en este caso el sistema termina por detenerse, aunque aunque demore más más tiempo. (En música música lo llamaríamos decrescendo .) .) Por el contrario, si la energía que introducimos al sistema es mayor que la que se pierde por la acción de la fricción, la amplitud de la oscilación crece en dependencia de la relación existente entre la energía perdida y la que se continúa introduciendo. (En música lo llamaríamos crescendo .) .) Oscilación forzada
Las oscilaciones forzadas resultan de aplicar una fuerza periódica y de magnitud magnitud constante constante (llamada generador G) sobre un sistema oscilador (llamado resonador R ). ). En esos casos puede hacerse que el sistema oscile en la frecuencia del generador (ƒg), y no en su frecuencia natural (ƒr). Es decir, la frecuencia de oscilación del
sistema será igual a la frecuencia de la fuerza que se le aplica. Esto es lo que sucede por ejemplo en la guitarra, cuando encontramos que hay cuerdas que no pulsamos pero que vibran "por "por simpatía" Debe tenerse en cuenta cuenta que no siempre que se aplica una fuerza periódica sobre un sistema se produce una oscilación forzada. forzada. La generación de una oscilación forzada dependerá de las características características de amortiguación del sistema generador y de las del resonador, en particular su relación.
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Resonancia
Si, en el caso de una oscilación forzada, la frecuencia del generador (ƒg) coincide con la frecuencia natural del resonador (ƒr), se dice que el sistema está en resonancia.
La amplitud de oscilación del sistema resonador R depende depende de la magnitud de la fuerza periódica que le le aplique el generador generador G, pero también de la relación existente entre ƒg y ƒr.
Cuanto mayor sea la diferencia ente la frecuencia fr ecuencia del generador y la frecuencia del resonador, menor será la amplitud de oscilación del sistema resonador (si se mantiene invariable la magnitud de la fuerza periódica que aplica el generador). O, lo que es lo mismo, cuanto mayor sea la diferencia entre las frecuencias del generador y el resonador, mayor cantidad de energía se requerirá para generar una determinada amplitud en la oscilación forzada (en el resonador). Por el contrario, en el caso en que la frecuencia del generador y la del resonador coincidieran (resonancia), una fuerza de pequeña magnitud aplicada por el generador G puede lograr grandes amplitudes de oscilación del sistema resonador R . La Figura 04 muestra la amplitud de oscilación del sistema resonador, para una magnitud constante de la fuerza periódica aplicada y en función de la relación entre la frecuencia del generador ƒg y la frecuencia del resonador ƒr.
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Curva de resonancia a = f (t) ƒg/ƒr = 1 => Resonancia
En un caso extremo el sistema resonador puede llegar a romperse. Esto es lo que ocurre cuando un cantante rompe una copa de cristal emitiendo un sonido con la voz. La ruptura de la copa no ocurre solamente debido a la intensidad del sonido emitido, sino fundamentalmente fundamentalmente debido a que el cantante emite emite un sonido so nido que contiene una frecuencia igual a la frecuencia natural de la copa de cristal, haciéndola entrar en resonancia. Si las frecuencias no coincidieran, el cantante debería generar intensidades mucho mayores, y aun así sería dudoso que lograra romper la copa. El caso de resonancia r esonancia es importante en el estudio de los instrumentos musicales, musicales, dado que muchos de ellos tienen lo que se conoce como resonador, como por ejemplo la caja en la guitarra. Las frecuencias propias del sistema resonador (caja de la guitarra) conforman lo que q ue se denomina la curva de respuesta del resonador. Los parciales cuyas cuyas frecuencias frecuencias caigan dentro dentro de las zonas de de resonancia de la caja de la guitarra serán favorecidos frente a los que no, de manera que el resonador altera el timbre de un sonido.
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PROPAGACIÓN DEL SONIDO Una oscilación que se propaga en un medio (con velocidad finita) recibe el nombre de onda. Dependiendo de la relación que exista entre el sentido de la oscilación y el de la propagación, hablamos hablamos de ondas longitudinales, transversales, de torsión. En el aire el sonido se propaga en forma de ondas longitudinales, es decir, el sentido de la oscilación coincide con el de la propagación de la onda. Medio
Podemos definir a un medio como un conjunto de osciladores capaces de entrar en vibración por la acción de una fuerza. Cuando hablemos de un medio, y a no ser que se indique específicamente específicamente otra cosa, nos no s estaremos refiriendo al aire. Esto se debe nuevamente a razones prácticas, en la medida en que el aire es el medio más usual en el que se realiza la propagación del sonido en los actos comunicativos por medio de sistemas acústicos entre seres humanos, ya sea mediante el habla o la música. Para que una onda sonora se propague en un medio, éste debe cumplir como mínimo tres condiciones fundamentales: fundamentales: ser elástico, tener masa e inercia. Las ondas sonoras no se propagan en el vacío, pero hay otras ondas, como las electromagnéticas, electromagnéticas, que sí lo hacen. El aire en tanto medio posee además otras características características relevantes para la propagación del sonido:
la propagación es lineal , que quiere decir que diferentes ondas sonoras (sonidos) pueden propagarse por el mismo espacio al mismo tiempo sin afectarse mutuamente. mutuamente. es un medio no di spe perr si vo , por lo que las ondas se propagan a la misma misma velocidad velocidad independientemente independientemente de su su frecuencia o amplitud. 13
n eo , de manera que el sonido es también un medio h om ogé se propaga esféricamente, es decir, en todas las direcciones, generando lo que se denomina un campo sonoro.
Propagación
Como ya mencionáramos, un cuerpo en oscilación pone en movimiento a las moléculas de aire (del medio) que lo rodean. Éstas, a su vez, transmiten ese movimiento a las moléculas vecinas y así sucesivamente. Cada molécula de aire entra en oscilación en torno a su punto de reposo. Es decir, el desplazamiento desplazamiento que sufre cada molécula es pequeño. Pero el movimiento se propaga a través del medio. Entre la fuente sonora (el cuerpo en oscilación) y el receptor (el ser humano) tenemos entonces una transmisión de energía pero no un traslado de materia. No son las moléculas de aire que rodean al cuerpo en oscilación las que hacen entrar en movimiento al tímpano, sino las que están junto al mismo, que fueron puestas en movimiento a medida que la onda se fue propagando en el medio. El (pequeño) desplazamiento (oscilatorio) que sufren las distintas moléculas de aire genera zonas en las que hay una mayor concentración concentración de moléculas (mayor densidad), zonas de condensación, condensación, y zonas en las que hay una menor concentración de moléculas (menor densidad), zonas de rarefacción. Esas zonas de mayor o menor densidad generan una variación alterna en la presión estática estática del aire (la presión del aire aire en ausencia ausencia de sonido). Es lo que se conoce como presión sonora.
La distancia entre las las barras representa las zonas zonas de mayor o menor presión sonora 14
Si el cuerpo que genera la oscilación realiza un movimiento armónico simple, las variaciones de la presión en al aire pueden representarse por medio de una onda sinusoidal. Por el contrario, si el cuerpo realiza un movimiento complejo, las variaciones de presión sonora deberán deberán representarse representarse por medio de una forma de onda igual a la resultante de la proyección en el tiempo del movimiento del cuerpo. Ver Figura 02.
Variaciones de presión en el aire (condensación y rarefacción) en el caso de un movimiento armónico simple. Los puntos representan representan las moléculas de aire.
Como dijimos, en el aire el sonido se propaga esféricamente, es decir en todas direcciones. Podemos imaginarnos imaginarnos al sonido propagándose como como una esfera cuyo cuyo centro es la la fuente sonora y que se va haciendo cada vez más grande. O, lo que es lo mismo, que va aumentando cada vez su radio. Por razones de comodidad, 15
para estudiar el sonido podremos hacerlo desde desde uno de esos dos puntos de vista, a veces como una esfera creciendo, creciendo, o como un un radio (eventualmente todos los radios) de la misma (rayos). Imaginemos entonces una cadena de partículas (moléculas) entre la fuente sonora y el receptor (un rayo). Entre el instante en que la fuente sonora pone en movimiento a la partícula más cercana y el instante en que la primer partícula transmite su movimiento a la segunda transcurre un tiempo determinado. Es decir, cuando la primer partícula entra en movimiento, movimiento, la tercera tercera -por ejemplo- aún está en su posición de reposo. Recordemos también que las partículas de aire aire sólo oscilan oscilan en torno a su posición de reposo. reposo. Podemos decir entonces que cada partícula se encontrará en una situación distinta del movimiento oscilatorio. Es decir, cada partícula tendrá tendrá una situación de de fase (ángulo de fase) distinta. distinta. En algún lugar de la cadena encontraremos una partícula cuya situación de fase coincide con la de la primera, aunque la primer partícula estará estará comenzando comenzando su segundo ciclo ciclo oscilatorio, oscilatorio, mientras que la otra recién estará comenzando su primer ciclo. La distancia que existe entre dos partículas consecutivas en igual situación situación de fase fase se se llama llama longitud longitud de onda ( ). Tambié Tambiénn podemos definir la la longitud de onda onda como la distancia distancia que recorre recorre una onda en un período de tiempo T. La longitud de onda está relacionada con la frecuencia f (inversa del período T) por medio de la velocidad de propagación del sonido (c), de manera que c = · f. Las ondas sonoras tienen longitudes de onda de entre 2 cm y 20 m aproximadamente. aproximadamente. No debemos confundir confundir la velocidad velocidad de propagación propagación de la onda con la velocidad de desplazamiento desplazamiento de las partículas. Éstas realizan un movimiento oscilatorio muy rápido, cuya velocidad es distinta a la velocidad de propagación de la onda. La velocidad de propagación de la onda sonora (velocidad del sonido) depende de las características del medio en el que se realiza dicha propagación y no de las características de la onda o de la fuerza que la genera. En el caso de un gas (como el aire) es directamente proporcional a su temperatura específica y a su presión estática estática e inversamente inversamente proporcional a su densidad. Dado que si varía la presión, varía también la densidad del gas, la 16
velocidad de propagación permanece constante ante los cambios de presión o densidad del medio. Pero la velocidad del sonido sí varía ante los cambios de temperatura del aire (medio). Cuanto mayor es la temperatura del aire mayor es la velocidad velocidad de propagación. La velocidad del sonido en el aire aumenta 0,6 m/s por cada 1º C de aumento en la temperatura. La velocidad del sonido en el aire es de aproximadamente 344 m/s a 20º C de temperatura, temperatura, lo que equivale a unos 1.200 km/h (1.238,4 km/h, para ser precisos). Es decir que necesita unos 3 s para recorrer 1 km. (Como posible referencia referencia recordemos recordemos que la velocidad de la luz es de 300.000 km/s.) El sonido se propaga a diferentes velocidades en medios de distinta densidad. En general, se propaga a mayor velocidad en líquidos y sólidos que en gases (como el aire). La velocidad de propagación del sonido sonido es, por ejemplo, ejemplo, de unos 1.440 m/s m/s en el agua y de unos 5.000 m/s en el acero. Ondas estacionarias
Hasta ahora hemos hablado de ondas propagándose en un medio, es decir ondas viajeras. Las ondas estacionarias son el resultado de la interferencia de dos ondas viajeras iguales propagándose p ropagándose en direcciones contrarias. Por ejemplo, una onda que llega perpendicularmente perpendicularmente a una pared y se refleja sobre sí misma. La característica de las ondas estacionarias es que se generan puntos (eventualmente (eventualmente líneas líneas o planos) en los cuales cuales la amplitud amplitud de oscilación es siempre cero (nodos) y otros en los que es siempre máxima (antinodos o vientres). La distancia entre dos nodos será la mitad de la longitud de onda de la onda estacionaria ( / 2).
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Dada una frecuencia que genera una onda estacionaria, los múltiplos de dicha frecuencia (es decir los armónicos) también producirán ondas estacionarias. estacionarias. El orden del armónico determinará determinará la cantidad de nodos que se producen. Por ejemplo, ejemplo, el primer armónico armónico generará generará un nodo, el segundo dos y así sucesivamente. sucesivamente. Las ondas estacionarias son relevante r elevantess en el funcionamiento de los instrumentos musicales (las cuerdas, las columnas de aire encerradas en un tubo), pero también en las resonancias modales (los modos de resonanci r esonancia) a) de las habitaciones.
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