Se conecta un solenoide provisto de un núcleo de hierro, a una fuente de corriente alterna de frecuencia f frecuencia f =50 =50 Hz y se observa que el anillo de radio a flota en el aire a una altura z altura z de de equilibrio, aquella en la que se anula el peso del anillo con la fuerza media que ejerce el campo magntico del solenoide sobre la corriente inducida en el anillo! "n esta p#gina, no se va a estudiar la din#mica del anillo, c$mo asciende impulsado por la fuerza magntica, incluso a alturas considerables si el anillo se enfr%a previamente en nitr$geno l%quido! &alcularemos la fuerza que ejerce el campo magntico sobre el anillo cuando est# quieto a una altura determinada sobre el solenoide!
"sta fuerza se puede medir con un dinam$metro, o si le damos la vuelta al dispositivo y apoyamos el anillo sobre una balanza electr$nica, que medir# la suma de su peso m#s la fuerza que ejerce el campo magntico, vase los art%culos citados en las referencias referencias!!
Ley de Faraday 'a corriente alterna que circula por el solenoide produce un campo magntico que var%a con el tiempo! "l flujo Φ de dicho campo a travs del anillo es Φ =M·I s
donde M donde M es es el coeficiente de inducci$n mutua del sistema formado por el solenoide y el anillo, I anillo, I s es de la intensidad de la corriente en el solenoide que var%a con el tiempo de la forma! ω t) I s=I 0s sen( ω t) 0s·sen( ω =)π f . "n "uropa f= (onde I (onde I 0s frecuencia angular ω = "uropa f=50 50 Hz y en 0s es la amplitud y ω frecuencia "stado *nidos f *nidos f =+0 =+0 Hz! ijado el solenoide, el coeficiente de inducci$n mutua M mutua M , es una funci$n del radio del anillo a y de su posici$n z posici$n z sobre sobre el solenoide! -plicando la ley de araday, araday, se obtiene la fem inducida V a en el anillo como resultado del cambio del flujo que lo atraviesa con el tiempo! -plicando la ley de 'enz, se determina el sentido de la corriente inducida!
'a corriente inducida I inducida I a en el anillo de resistencia R resistencia R es es
Fuerza sobre el anillo
&omo podemos observar en el applet que dibuja las l%neas del campo magntico producido por un solenoide! "l campo magntico es paralelo al eje en el interior del solenoide, pero fuera del solenoide las l%neas de campo divergen tal como se observa en la figura "l campo magntico del solenoide tiene simetr%a cil%ndrica, y en la posici$n z que ocupa el anillo de radio a, el campo tiene dos componentes una a lo largo del eje ., B z y otra a lo largo de la direcci$n radial Br !
'a fuerza magntica sobre el anillo es
"n la figura vemos que la fuerza sobre un elemento de corriente dl tiene dos componentes /! *na a lo largo del eje ., dF z =-I a·Br ·dl¸ la corriente es positiva cuando circula en el sentido contrario a las agujas del reloj, el opuesto al que se muestra en la figura1 )! 2tra a lo largo de la direcci$n radial, dF r= -I a·B z ·dl.
'as componentes radiales de la fuerza se anulan de dos en dos mientras que las componentes a lo largo del eje . se suman! 'a fuerza resultante que ejerce el campo magnticoB producido por el solenoide sobre la corriente inducida I a en el anillo tiene la direcci$n del eje . y su m$dulo vale F z =-)π a·I a·Br ! &omo Br es proporcional a la corriente en el solenoide I s es decir a sen( ω t), y la corriente inducida en el anillo I a es proporcional – cos( ω t). 'a fuerza sobre el anillo es proporcional a sen( ω t)·cos( ω t), o bien , F z =c3sen)ω t 1, donde c es una constante de proporcionalidad. "l valor medio en el tiempo de la fuerza sobre la anillo, ser# por tanto, cero!
(urante medio periodo, P=π 4ω,€ la fuerza es atractiva y durante el otro medio periodo la fuerza es repulsiva! 'a fuerza neta sobre el anillo es su propio peso, por lo que no es posible que el anillo se eleve, aunque la eperiencia nos indique que si lo hace! 6or tanto, la aplicaci$n directa de la ley de araday es la condici$n necesaria pero no suficiente para eplicar el fen$meno de la levitaci$n magntica del anillo!
El anillo como circuito R-L conectado a una fem alterna 6ara que la fuerza repulsiva sea mayor que la fuerza atractiva tiene que eistir un desfase entre la corriente inducida en el anillo y la fem en el mismo!
Supongamos que el anillo es un circuito 78' en serie conectado a una fem alterna de la forma V a = -V 0a cosω t 1!
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'a diferencia de potencial en los etremos de la autoinducci$n L est# adelantada 90: respecto de la intensidad que circula por ella! 'a relaci$n de am plitudes es V L=I 0·ω L!
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'a diferencia de potencial entre los etremos de la resistencia R est# en fase con la intensidad! 'a relaci$n de amplitudes es V R=I 0·R.
&omo vemos en la figura la fem V a , est# adelantada un #ngulo φ respecto de la intensidad I a!
'as epresiones de la fem y de la intensidad de la corriente inducida en el anillo en funci$n del tiempo son, respectivamente;
&omo V 0a=M·I 0s·ω la corriente estacionaria I a inducida en el anillo es
'a fuerza sobre el anillo se obtiene multiplicando el campo magntico Br proporcional a senω t 1 , por la corriente en el anillo proporcional a
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"l primer trmino, sen( ω t)·cos( ω t), viene de la parte de la corriente en el anillo que est# en fase con la fem y por tanto, desfasada 90: con la corriente en el solenoide! 6roduce una fuerza que oscila con una frecuencia ) ω y por tanto, su promedio en el tiempo es cero, tal como demostramos en el apartado anterior!
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"l segundo trmino, sen( ω t)·sen( ω t), proviene de la parte inductiva de la corriente que tiene un desfase de 90: respecto de la fem y en fase con la corriente en el solenoide, y es la que produce la fuerza de elevaci$n sobre el anillo!
-s% pues, para que la fuerza sobre el anillo tenga un valor medio no nulo, tiene que eistir un desfase φ entre la fem en el anillo y la corriente inducida en el mismo, y este desfase se produce si consideramos que el anillo tiene una autoinducci$n L no nula! Ejemplo:
"n el laboratorio disponemos de un anillo de aluminio de +) mm de di#metro, /5 mm de longitud y / mm de espesor! 'a resistencia del anillo se calcula mediante la f$rmula
6ara el anillo de aluminio de las dimensiones sealadas ρ =)!>3/08> Ω 3m, =/ mm3 /5 mm1=/53/08+ m), y l =π 3+) mm= π 3+)3/08? m! R=?!+?3/08@ Ω !
"iste una f$rmula que nos permite calcular la autoinducci$n L de un anillo de forma toroidal de di#metro medio !, y cuya secci$n es un c%rculo de di#metro d
"l #rea de la secci$n rectangular del anillo, es equivalente al #rea de la secci$n circular de una anillo toroidal de di#metro d tal que /53/=Ad "4@
d =@!?B mm
6ara una fem de frecuencia f =50 Hz, ω=)A f =/00A rad4s el desfase es
"l valor medio de la fuerza C F z D sobre el anillo es proporcional a 8senφ )4)=80!05
Actividades Se introduce •
"l desfase φ de la intensidad y de la fem inducida en el anillo en grados
Se pulsa el bot$n titulado Dibuja "n el applet se representan tres gr#ficas /! "n la parte superior, se representa el campo magntico Br en funci$n del tiempo! Br es proporcional a la corriente en el solenoide I s es decir a sen( ω t)! )! "n la parte media, se representa la fem V a , que es proporcional a
Corriente inducida en el anillo Ecuaci!n del circuito "n este apartado, vamos a obtener la intensidad I a de la corriente inducida en el anillo de forma alternativa!
&onsiderando de nuevo el anillo como un circuito formado por una resistencia y una autoinducci$n conectado a una fem alterna! 'a ecuaci$n del circuito se escribir#; suma de fems igual a intensidad por resistencia
'a soluci$n de esta ecuaci$n diferencial tiene la siguiente forma
'os dos primeros trminos, corresponden a la soluci$n particular, y el tercer trmino a la soluci$n homognea de la ecuaci$n diferencial! "l trmino # se halla a partir de las condiciones iniciales, pero no es necesario calcularlo ya que al cabo de muy poco tiempo la eponencial tiende a cero al ser RDD L! "n el estado estacionario, solamente nos queda la soluci$n particular I a=$cos( ω t)% Bsen( ω t)! Entroduciendo la epresi$n de I a en la ecuaci$n diferencial obtenemos los valores de $ y B!
Fuerza media sobre el anillo en el estado estacionario &omo ya se ha eplicado, la fuerza sobre el anillo viene dada por la f$rmula F z =-)π a·I a·Br ! "l campo magntico producido por el solenoide en la posici$n z que ocupa el anillo de radio a, es proporcional a la corriente I s que circula por l mismo! Br =& z 1·I s! ijado el solenoide, el coeficiente de inducci$n mutua M del anillo de radio a es funci$n de la posici$n z del anillo sobre el solenoide!
Famos a analizar la dependencia de la fuerza media con la intensidad que circula por el solenoide, la frecuencia y la distancia entre el anillo y el solenoide! •
uerza media en funci$n de la intensidad que circula por el solenoide I s
"l valor medio de la fuerza es proporcional al cuadrado de la amplitud de la intensidad que circula por el solenoide I 0s,
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uerza media en funci$n de la frecuencia ω de la corriente que circula por el solenoide I s
6ara analizar su comportamiento frente a la frecuencia ω ,! nos fijaremos en el trmino entre parntesis!
&uando la frecuencia de la corriente en el solenoide es pequea frente a R'L la fuerza C F z D sobre el anillo es proporcional al cuadrado de la frecuencia ω , e inversamente proporcional al cuadrado de la resistencia R! &uando la frecuencia ω es mucho m#s grande que R'L, la fuerza C F z D sobre el anillo tiende hacia un valor constante, e independiente de la resistencia del anillo!
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uerza media en funci$n de la frecuencia de la distancia z entre el solenoide y el anillo
'a fuerza media disminuye r#pidamente con la distancia z entre el solenoide y el anillo!
Actividades
"n el programa interactivo de esta p#gina, se ha sustituido el solenoide por una bobina, ya que es m#s sencillo de calcular el campo magntico creado por una bobina, que por un solenoide! "l resultado final del GeperimentoG no cambia desde el punto de vista cualitativo! Se calcula la fuerza que ejerce una bobina de /00 vueltas sobre un anillo situado a una altura regulable z ! 6ara modificar la distancia z , basta arrastrar con el rat!n la flec"a "orizontal de color azul situada en el borde izquierdo del applet! Se introduce •
'a frecuencia f de la corriente que circula por la bobina, en el control de edici$n titulado Frecuencia!
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'a amplitud de la intensidad I s0 que circula por la bobina, en el control de edici$n titulado #ntensidad
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'a resistencia R del anillo en unidades /0 8@ 1, en el control de edici$n titulado Resistencia
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'a autoinducci$n L del anillo en unidades /0 8B H1, en el control de edici$n titulado Autoinducci!n
Se pulsa el bot$n titulado #nicio para establecer el estado inicial y a continuaci$n, el bot$n titulado Empieza para dar comienzo a la animaci$n! - partir de las dimensiones del anillo y del material del que est# hecho, podr%amos calcular su resistencia y autoinducci$n! Sin embargo, en el programa interactivo introducimos directamente estas dos magnitudes, para poder ensayar todas las posibilidades, un anillo con o sin resistencia, con o sin autoinducci$n! "l programa calcula y representa la intensidad de la corriente inducida en el anillo y la fuerza sobre el mismo! 6ermite por tanto, eaminar la fuerza magntica sobre el anillo cambiando los distintos par#metros! "l programa permite visualizar, el movimiento de las cargas en color rojo1 en el solenoide y en el anillo, d#ndonos una idea del sentido de la corriente inducida! ! "n la parte derecha, se representa la corriente en el solenoide en color azul1, en el anillo en color rojo1, y la fuerza sobre el anillo en color negro1 en funci$n del tiempo! (esactivando la casilla titulada intensidades solamente se representa la fuerza sobre el anillo! (ado que la intensidad de la corriente inducida en el anillo, y la fuerza cambian notablemente a medida que se modifica alguno de los par#metros, se
proporciona un control de selecci$n titulado Escalas para modificar la escala vertical de la representaci$n gr#fica!
Arrastrar con el puntero del rat!n la flec"a de color azul
E$perimentos Representaci!n %r&fica /! uerza sobre el anillo en funci$n de la amplitud de la intensidad I 0s de la corriente en el solenoide 6odemos comprobar, que la fuerza sobre el anillo es proporcional al cuadrado de la intensidad de la corriente que circula en el solenoide! recuencia f = (istancia z = #ntensidad I 0 Fuerza media 'F ( m) s
/ ) ? @ 5 + B > 9 /0 )! uerza en funci$n de la frecuencia f de la corriente que circula en el solenoide 'a frecuencia con la que se realiza el eperimento de laboratorio es de 50 Hz, el programa permite variar la frecuencia en un amplio rango de /0 a /50 Hz! 6odremos observar que la fuerza crece r#pidamente con la frecuencia, y tiende hacia un valor constante cuando la frecuencia se hace grande! Entensidad I 0s=
(istancia z = Frecuencia Fuerza media 'F ( m) f
/0 ?0 50 B0 90 //0 /?0 /50 ?! 'a fuerza en funci$n de la distancia z entre el anillo y el etremo superior del solenoide! 'a inducci$n mutua M disminuye r#pidamente cuando se incrementa z , la distancia entre el solenoide y el anillo! 'a componente radial del campo magntico producido por el solenoide Br tambin disminuye con z ! (ado que no podemos proporcionar epresiones simples para la dependencia de estas dos magnitudes con z ! "l resultado final como podr# comprobar el lector es que la fuerza C F z D disminuye r#pidamente a medida que se incrementa z ! Entensidad I 0s= recuencia f = Distancia Fuerza media 'F ( m) z
/!0 )!0 ?!0 @!0 5!0 +!0 B!0 >!0 9!0 /0!0 "l applet que viene a continuaci$n, nos permite representar los resultados de cada una de las eperiencias, y observar la dependencia funcional de la fuerza media sobre el anillo con los tres par#metros que hemos mencionado •
Entensidad de la corriente en el solenoide I s0!
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recuencia f de la corriente alterna ω =)π f .
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&on la distancia z entre el anillo y el solenoide
6or ejemplo, si queremos eaminar la dependencia de la fuerza C F z D con la distancia z entre la bobina y el anillo! Se activa el bot$n de radio titulado Distancia Se introduce en los controles de edici$n del lado izquierdo, bajo la etiqueta *, las distancias z, y en los controles de edici$n situados en el lado derecho, el valor de C F z D proporcionado por el programa interactivo previo! inalmente, se pulsa en el bot$n titulado +r&fica! Se obtendr#n representaciones gr#ficas similares a las
