LA IMPORTANCIA DEL CALCULO INTEGRAL EN LA INGENIERIA PETROLERA Cristo Nephtalí Sánchez Castillo
14 DE MAYO DE 2016 FACULTAD DE INGENIERIA UNAM Ing. Erik Castañeda de Isla Puga, Grupo 11, Calculo Integral
La importancia del cálculo integral en la ingeniería petrolera
E
l objetivo de este trabajo es presentar los conceptos usados en la ingeniería petrolera en los cuales está aplicado el cálculo integral como parte esencial para el análisis de resultados que se manejan en esta rama de la ingeniería.
Para comenzar, cabe recordar la definición general del cálculo, para poder analizar y comprender los conceptos que se usan en diversas aplicaciones en la ingeniería. El cálculo es una rama de las matemáticas que estudia el cambio de una cantidad con respecto de otra, es decir, estudia el cambio y el dinamismo de las c antidades (la variación), ya que el cálculo es una rama muy dinámica con respecto al álgebra y la geometría, por ejemplo, las cuales conforman la parte estática de las matemáticas. El cálculo se divide en dos ramas: el cálculo diferencial y el cálculo integral, aunque posteriormente existe el cálculo vectorial o de varias variables. El cálculo diferencial estudia la razón de cambio que se tiene de una variable con respecto a otra, la cual toma por objeto el problema de la recta tangente a una curva, y el operador fundamental es la derivada. En este trabajo nos enfocamos en el cálculo integral, que estudia las antiderivadas o primitivas de funciones a través del área bajo la curva, de la cual surge el operador integral, de la cual surgen diferentes aplicaciones dentro de la misma como, por ejemplo, el área de curva, el volumen de superficies de revolución, entre otros. Como en este trabajo no es necesario entrar en rigores matemáticos para poder explicar cada una de las ramas del cálculo, cabe mencionar que, como toda rama de las matemáticas, tiene muchas aplicaciones, ya sea en la mecánica clásica, el electromagnetismo, la termodinámica, la física cuántica, la probabilidad, la estadística, las ciencias sociales, raramente en las artes, entre otros, pero sobretodo en la ingeniería, y en e sta última nos enfocaremos. En la ingeniería, muchas de las ciencias exactas tienen aplicaciones, como, por ejemplo, la mecánica clásica es de mucha utilidad para los ingenieros civiles y mecánicos. En la ingeniería petrolera, nos es de mucha utilidad la geología, por decir algún campo del conocimiento. Pero hay alguien que realiza esta inquietante pregunta: “Cálculo integral, ¿para qué?”. Como muchos de nosotros nos ha surgido la inquietante interrogativa a la hora de estudiar matemáticas, desde la primaria, de que para que nos sirven las matemáticas en sí, si nosotros no vamos a ser matemáticos o físicos, hasta que nos dimos cuenta que la matemática nos sirve para muchas cosas, sobre todo en lo cotidiano. En la ingeniería petrolera, esto nos será de uso cotidiano, ya que podemos trabajar en laboratorios haciendo cálculos, por ejemplo. Ya volviendo al tema, el cálculo integral nos es de mucha utilidad para determinar la cantidad de hidrocarburo que necesitemos explotar, y no solo eso, sino también para predecir qué ocurriría al yacimiento si, por ejemplo, perforamos a una cierta profundidad, es como si nosotros nos preguntamos ¿existirá algún riesgo geológico al momento de perforar? Esta pregunta tiene una solución: por calculo integral. Y como todo ingeniero, tenemos una forma infalible para resolver un problema: ¡PENSAR!
Entre muchas aplicaciones que tiene esta rama del cálculo en cuanto a la ingeniería, tenemos los siguientes: Modelado de Pozos Petroleros Cabe mencionar que en las aplicaciones que mencionaremos en el presente trabajo usan cuando mucho los métodos numéricos, en las cuales se involucran las integrales, derivadas parciales y ordinarias, así como muchos problemas relacionados al álgebra, al álgebra lineal, la geometría, las ecuaciones diferenciales y muchas otras ramas de la matemática. Es decir, el análisis numérico se encarga de estudiar los métodos numéricos, los cuales tienen por objetivo dar soluciones aproximadas de todos los problemas que se relacionen con las matemáticas, de las cuales la matemática básica no puede dar solución exacta o cuya naturaleza del resultado se desconoce en el ámbito de las matemáticas comunes que conocemos. En esta rama de la matemática aplicada, podemos aproximar cuanto queramos a un resultado dando un valor arbitrario, y dar un error en cuanto a los resultados. Estos cálculos a veces pueden llegar a ser tan engorrosos, por lo que tenemos que recurrir a ciertos paquetes de computación, como por ejemplo Maple, Mathlab, Wolfram, etc., pero sin dejar de lado la teoría. En esto, tenemos que dar modelos matemáticos y ecuaciones aproximadas que se representen a la naturaleza. Así se puede llegar a una solución no del todo exacta, pero aproximada y con el mínimo error en nuestros resultados. En esta aplicación, se tiene que modelar el yacimiento mediante ecuaciones, muchas de ellas involucran integrales y derivadas parciales (ecuaciones en derivadas parciales). Esto se aplica a yacimientos fracturados, no fracturados y turbidíticos, de acuerdo a su clasificación geológica. Se necesita por lo menos mediciones de muestras de roca del yacimiento y la calibración necesaria para una aproximación razonable. Esto aumenta con el tiempo, ya que al tener más mediciones, la incertidumbre poco a poco disminuye y la calibración llega a se r la adecuada. Con base a ello, se realizan ensayos ya sean geológicos, económicos y técnicas para asegurar la explotación del yacimiento, los cuales, al terminar estas pruebas, dichos resultados se entregan a la Administración de Yacimientos. Ecuaciones de simulación o modelado:
kk kk xm o ro po 0 D ym g rg p g g D qo* o xm q g * g ym o xm S o g ym S g o g t ˆ
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Esto se aplica también al modelado de yacimientos de aceite negro.
Simulación de yacimientos La simulación numérica de yacimientos nos ayuda a inferir el c omportamiento real del yacimiento a partir de modelos matemáticos.
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Un simulador de yacimiento no es más que un conjunto de programas de computación que resuelve los modelos matemáticos que representan al yacimiento. En los últimos años, la simulación numérica de yacimientos ha ganado gran aceptación en la industria petrolera, ya que actualmente los simuladores permiten modelar de una manera más realista la amplia variedad de yacimientos existentes en el mundo. Todo modelo de simulación, al igual que cualquir proyecto que se realice, debe estar acondicionado a una serie de etapas, entre las que destacan: 1.Definición del problema. 2.Revisión de los datos. 3.Adquisición de los datos adicionales. 4.Selección del enfoque. 5.Descripción del yacimiento y diseño del modelo. 6.Ajuste histórico. 7.Predicciones. 8.Edición y análisis 9.Elaboración del informe. Algunas de éstas etapas, requieren más tiempo de estudio. En el caso del aj uste histórico, éste debe ser lo más minucioso posible. ¿Qué ecuaciones se tienen para modelar un yacimiento? Como tal, las ecuaciones que se usan para simular un yacimiento usan una combinación de conceptos de mecánica de fluidos, las cuales se mencionan la ley de Darcy, el principio de Pascal, el caudal, etc. Dichas ecuaciones son:
E ( B (t ), t )
dE dt
( x, t ) dx
B ( t )
d
( x, t )dx q( x, t )dx ( x, t ) ndS dt B ( t )
B ( t )
S ( t )
( v ) dx qdx dx t B ( t ) B ( t ) B ( t )
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Bibliografía
http://www.mmc.geofisica.unam.mx/mmc/tesis/RobertoCarlos/TesisRoberto-II.pdf ; cons. 15 de mayo 2016 http://mmc.igeofcu.unam.mx/smc-2004-2005/Archivos/MIYP.pdf ; cons. 15 de mayo 2016
