FACUL ACULT TAD DE INGENIE INGENIERIA RIA UNAM Ing Eri! Casta"e#a #e Isla $%ga& Gr%po ''& Calc%lo Integral
LA IMPORT IMPORTA ANC NCIA IA DEL DEL CALCULO INTEGRAL EN LA INGENIERIA PETROLERA Cristo Nephtalí Sánchez Castillo
La i(portancia #el cálc%lo integral en la ingeniería petrolera
E
l o)*eti+o #e este tra)a*o es presentar los conceptos %sa#os en la ingeniería petrolera en los c%ales está aplica#o el cálc%lo integral co(o parte esencial para el análisis #e res%lta#os ,%e se (ane*an en esta ra(a #e la ingeniería
$ara co(enzar& ca)e recor#ar la #e-nici.n general #el cálc%lo& para po#er analizar / co(pren#er los conceptos ,%e se %san en #i+ersas aplicaciones en la ingeniería El cálc%lo es %na ra(a #e las (ate(áticas ,%e est%#ia el ca()io #e %na canti#a# con respecto #e otra& es #ecir& est%#ia el ca()io / el #ina(is(o #e las canti#a#es 0la +ariaci.n1& /a ,%e el cálc%lo es %na ra(a (%/ #iná(ica con respecto al álge)ra / la geo(etría& por e*e(plo& las c%ales con2or(an la parte estática #e las (ate(áticas El cálc%lo se #i+i#e en #os ra(as3 el cálc%lo #i2erencial / el cálc%lo integral& a%n,%e posterior(ente e4iste el cálc%lo +ectorial o #e +arias +aria)les El cálc%lo #i2erencial est%#ia la raz.n #e ca()io ,%e se tiene #e %na +aria)le con respecto a otra& la c%al to(a por o)*eto el pro)le(a #e la recta tangente a %na c%r+a& / el opera#or 2%n#a(ental es la #eri+a#a En este tra)a*o nos en2oca(os en el cálc%lo integral& ,%e est%#ia las anti#eri+a#as o pri(iti+as #e 2%nciones a tra+5s #el área )a*o la c%r+a& #e la c%al s%rge el opera#or integral& #e la c%al s%rgen #i2erentes aplicaciones #entro #e la (is(a co(o& por e*e(plo& el área #e c%r+a& el +ol%(en #e s%per-cies #e re+ol%ci.n& entre otros Co(o en este tra)a*o no es necesario entrar en rigores (ate(áticos para po#er e4plicar ca#a %na #e las ra(as #el cálc%lo& ca)e (encionar ,%e& co(o to#a ra(a #e las (ate(áticas& tiene (%chas aplicaciones& /a sea en la (ecánica clásica& el electro(agnetis(o& la ter(o#iná(ica& la 2ísica c%ántica& la pro)a)ili#a#& la esta#ística& las ciencias sociales& rara(ente en las artes& entre otros& pero so)reto#o en la ingeniería& / en esta 6lti(a nos en2ocare(os En la ingeniería& (%chas #e las ciencias e4actas tienen aplicaciones& co(o& por e*e(plo& la (ecánica clásica es #e (%cha %tili#a# para los ingenieros ci+iles / (ecánicos En la ingeniería petrolera& nos es #e (%cha %tili#a# la geología& por #ecir alg6n ca(po #el conoci(iento $ero ha/ alg%ien ,%e realiza esta in,%ietante preg%nta3 7Cálc%lo integral& 8para ,%59: Co(o (%chos #e nosotros nos ha s%rgi#o la in,%ietante interrogati+a a la hora #e est%#iar (ate(áticas& #es#e la pri(aria& #e ,%e para ,%e nos sir+en las (ate(áticas en sí& si nosotros no +a(os a ser (ate(áticos o 2ísicos& hasta ,%e nos #i(os c%enta ,%e la (ate(ática nos sir+e para (%chas cosas& so)re to#o en lo coti#iano En la ingeniería petrolera& esto nos será #e %so coti#iano& /a ,%e po#e(os tra)a*ar en la)oratorios hacien#o cálc%los& por e*e(plo
;a +ol+ien#o al te(a& el cálc%lo integral nos es #e (%cha %tili#a# para #eter(inar la canti#a# #e hi#rocar)%ro ,%e necesite(os e4plotar& / no solo eso& sino ta()i5n para pre#ecir ,%5 oc%rriría al /aci(iento si& por e*e(plo& per2ora(os a %na cierta pro2%n#i#a#& es co(o si nosotros nos preg%nta(os 8e4istirá alg6n riesgo geol.gico al (o(ento #e per2orar9 Esta preg%nta tiene %na sol%ci.n3 por calc%lo integral ; co(o to#o ingeniero& tene(os %na 2or(a in2ali)le para resol+er %n pro)le(a3 <$ENSAR= Entre (%chas aplicaciones ,%e tiene esta ra(a #el cálc%lo en c%anto a la ingeniería& tene(os los sig%ientes3 Mo#ela#o #e $ozos $etroleros Ca)e (encionar ,%e en las aplicaciones ,%e (encionare(os en el presente tra)a*o %san c%an#o (%cho los (5to#os n%(5ricos& en las c%ales se in+ol%cran las integrales& #eri+a#as parciales / or#inarias& así co(o (%chos pro)le(as relaciona#os al álge)ra& al álge)ra lineal& la geo(etría& las ec%aciones #i2erenciales / (%chas otras ra(as #e la (ate(ática Es #ecir& el análisis n%(5rico se encarga #e est%#iar los (5to#os n%(5ricos& los c%ales tienen por o)*eti+o #ar sol%ciones apro4i(a#as #e to#os los pro)le(as ,%e se relacionen con las (ate(áticas& #e las c%ales la (ate(ática )ásica no p%e#e #ar sol%ci.n e4acta o c%/a nat%raleza #el res%lta#o se #esconoce en el á()ito #e las (ate(áticas co(%nes ,%e conoce(os En esta ra(a #e la (ate(ática aplica#a& po#e(os apro4i(ar c%anto ,%era(os a %n res%lta#o #an#o %n +alor ar)itrario& / #ar %n error en c%anto a los res%lta#os Estos cálc%los a +eces p%e#en llegar a ser tan engorrosos& por lo ,%e tene(os ,%e rec%rrir a ciertos pa,%etes #e co(p%taci.n& co(o por e*e(plo Maple& Mathla)& >ol2ra(& etc& pero sin #e*ar #e la#o la teoría En esto& tene(os ,%e #ar (o#elos (ate(áticos / ec%aciones apro4i(a#as ,%e se representen a la nat%raleza Así se p%e#e llegar a %na sol%ci.n no #el to#o e4acta& pero apro4i(a#a / con el (íni(o error en n%estros res%lta#os En esta aplicaci.n& se tiene ,%e (o#elar el /aci(iento (e#iante ec%aciones& (%chas #e ellas in+ol%cran integrales / #eri+a#as parciales 0ec%aciones en #eri+a#as parciales1 Esto se aplica a /aci(ientos 2ract%ra#os& no 2ract%ra#os / t%r)i#íticos& #e ac%er#o a s% clasi-caci.n geol.gica Se necesita por lo (enos (e#iciones #e (%estras #e roca #el /aci(iento / la cali)raci.n necesaria para %na apro4i(aci.n razona)le Esto a%(enta con el tie(po& /a ,%e al tener (ás (e#iciones& la incerti#%()re poco a poco #is(in%/e / la cali)raci.n llega a ser la a#ec%a#a Con )ase a ello& se realizan ensa/os /a sean geol.gicos& econ.(icos / t5cnicas para aseg%rar la e4plotaci.n #el /aci(iento& los c%ales& al ter(inar estas pr%e)as& #ichos res%lta#os se entregan a la A#(inistraci.n #e ;aci(ientos
Ecuaciones de simulación o modelado:
kk ∂ ∇ • xm ρ ˆ o kk ro ( ∇ po − γ 0∇ D ) + ∇ • ym ρ ˆ g rg ( ∇ p g − γ g ∇ D ) + qo* ρ ˆ o xm + q g * ρ ˆ g ym = [φ ( ρ ˆ o xm S o + ρ ˆ g ym S g ) ] ∂t µ o µ g kk ∂ ∇ • ρ ˆ w rw ( ∇ p w − γ w ∇ D ) + q w* ρ ˆ w = [φ ρ ˆ w S w ] ∂t µ w Esto se aplica también al modelado de yacimientos de aceite negro. Si(%laci.n #e /aci(ientos La si(%laci.n n%(5rica #e /aci(ientos nos a/%#a a in2erir el co(porta(iento real #el /aci(iento a partir #e (o#elos (ate(áticos Un si(%la#or #e /aci(iento no es (ás ,%e %n con*%nto #e progra(as #e co(p%taci.n ,%e res%el+e los (o#elos ( ate(áticos ,%e representan al /aci(iento En los 6lti(os a"os& la si(%laci.n n%(5rica #e /aci(ientos ha gana#o gran aceptaci.n en la in#%stria petrolera& /a ,%e act%al(ente los si(%la#ores per(iten (o#elar #e %na (aner a (ás realista la a(plia +arie#a# #e /aci(ientos e4istentes en el (%n#o To#o (o#elo #e si(%laci.n& al ig%al ,%e c%al,%ir pro/ecto ,%e se realice& #e)e estar acon#iciona#o a %na serie #e etapas& entre las ,%e #estacan3 'De-nici.n #el pro)le(a ?Re+isi.n #e los #atos @A#,%isici.n #e los #atos a#icionales Selecci.n #el en2o,%e BDescripci.n #el /aci(iento / #ise"o #el (o#elo A*%ste hist.rico $re#icciones E#ici.n / análisis Ela)oraci.n #el in2or(e Alg%nas #e 5stas etapas& re,%ieren (ás tie(po #e est%#io En el caso #el a*%ste hist.rico& 5ste #e)e ser lo (ás (in%cioso posi)le 8%5 ec%aciones se tienen para (o#elar %n /aci(iento9 Co(o tal& las ec%aciones ,%e se %san para si(%lar %n /aci(iento %san %na co()inaci.n #e conceptos #e (ecánica #e H%i#os& las c%ales se (encionan la le/ #e Darc/& el principio #e $ascal& el ca%#al& etc Dichas ec%aciones son3
E ( B(t ), t ) =
dE dt
=
∫
ψ ( x, t )dx
B ( t )
d
ψ ( x, t )dx = ∫ q ( x, t )dx + ∫ τ ( x, t ) ⋅ ndS ∫ dt B ( t )
B ( t )
S ( t )
∂ψ + ∇ ⋅ (vψ ) dx = qdx + ∇ ⋅τ dx ∫ B(t ) ∂t ∫ B∫ ( t ) B ( t ) N
∑ S
α
=1
α =1
∫ dP = 0 ∆Q = ∆ψ ∆ χ = ∫∫ u ⋅ nˆ da ≈ u ⋅ δ a ∆τ xi φ
∆τ yi φ
∆τ zi φ
u xi + − u c x x c u ( ) x 0 x 0 x x 0 x y u yi dy 1 = ∫ = ln u y 0 + c y ( y − y0 ) c y u y 0 y z dz 1 u = ∫ = ln zi u + c z ( z − z 0 ) c z u z 0 z z 0 x1
= ∫ 0
1
0
1
0
dx
=
1
ln
k 11 k = 0 0
0 k 22 0
0 k 33 0
Bibliografía •
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http3JJJ((cgeo-sica%na((4((ctesisRo)ertoCarlosTesisRo)er toKIIp#2 cons 'B #e (a/o ?' http3((cigeo2c%%na((4s(cK?K?BArchi+osMI;$p#2 cons 'B #e (a/o ?'
