LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA EN UN SISTEMA DE CONTROL La función de trasferencia de un sistema lineal e invariante en el tiempo (LTI), se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida y la transformada de Laplace de la entrada, bajo la suposición de que las condiciones iniciales son nulas.
LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
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FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA QUÍMICA Y METALÚRGICA METALÚRGICA “Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y l a Seguridad Alimentaria”
IX Ing. Rodríguez Espinoza Ronald
Cadillo Baltazar, Katherine Zumiko
Castillejo Corcino, Fredy
Salcedo Gil, Aleny Miraida
LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
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FACULTAD DE INGENIERÍA INGENIERÍA QUÍMICA Y METALÚRGICA METALÚRGICA “Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y l a Seguridad Alimentaria”
IX Ing. Rodríguez Espinoza Ronald
Cadillo Baltazar, Katherine Zumiko
Castillejo Corcino, Fredy
Salcedo Gil, Aleny Miraida
LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
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RESUMEN
La ingeniería de control formula leyes matemáticas para el gobierno de sistemas físicos conforme a una serie de especificaciones. Esta disciplina es esencial para el desarrollo y automatización de procesos industriales. Los avances en el control automático brindan los medios adecuados para lograr el funcionamiento óptimo de cualquier sistema dinámico. Resulta muy conveniente que los ingenieros posean un amplio conocimiento de esta materia. La presente monografía describe las características básicas de la función de transferencia para el control de sistemas continuos en el tiempo, es decir, aquellos sistemas en los que se puede medir y actuar en todo instante. Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada o excitación (también modelada). En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo.
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TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN CAPITULO I: LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA 1.
DEFINICION:
2.
DESCRIPCION MATEMATICA:
3.
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA 3.1 Elementos De La Función De Transferencia 3.2 Modelamiento Matemático De Sistemas Dinámicos
3.3 Sistemas Lineales Y No Lineales 3.3.1 Sistemas Lineales 3.3.2 Sistemas No Lineales 3.4 Linealización 3.5 Variables De Desviación 3.6 Función De Transferencia De Los Elementos De Un Sistema De Control 3.7 Polos Y Ceros De La Función De Transferencia 3.8 Ganancias Al Estado Estacionario 3.9 Función De Transferencia De Lazo Laz o Abierto Y Función De Transferencia Directa 3.10 Función De Transferencia De Lazo Laz o Cerrado 3.11 Sistemas Sometidos A Una Perturbación De Carga 3.12 Operación Para Análisis De Sistemas De Control CAPITULO II: DIAGRAMAS DE BLOQUE 1.
SISTEMAS EN SERIE
2.
SISTEMAS EN PARALELO
3.
SISTEMAS CON ATRASO 3.1 SISTEMAS DE PRIMER ORDEN 3.2 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN 3.2.1
sistemas sobre amortiguados ,
≥1
3.2.2
sistemas sub-amortiguados, sub-amortiguados, 0 ≤ ≤ 1
CAPITULO III: LA TRANSFORMADA DE LAPLACE EJEMPLO 1 EJEMPLO 2 1.
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA TRANSFORMADA DE LAPLACE 1.1 Primera propiedad: UNICIDAD 1.2 Propiedad de LINEALIDAD EJEMPLO 3 1.3 Propiedad de DIFERENCIACIÓN DIFERENCIACIÓN 1.4 Propiedad de INTEGRACION
Pág. 5 6 6 8 8 8 10 12 12 13 13 14 15 16 17 17 19 20 21 22 22 23 24 24 26 26 27 29 29 30 31 31 31 32 33 33
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1.5 Propiedad de TRASLACION 1.6 Propiedad de transformación de una ECUACION DIFERENCIAL a) Caso de Ecuación diferencial: b) Caso ecuación Integro diferencial 1.7 Propiedad de transformación TEOREMA DE CONVOLUCIÓN
2.
1.8 Propiedad de Transformación de los ELEMENTOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS FUNCIÓN DE RED EN EL DOMINIO DE LAPLACE
BIBLIOGRAFIA
34 35 35 36 36 37 39 40
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LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
5 INTRODUCCIÓN
Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada o excitación (también modelada). En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relaciones de entrada y salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo. Nuestro principal uso de las transformaciones da Laplace en control de procesos involucra la representación de la dinámica del proceso en términos de “Funciones de Transferencia”. Estas son relación salida-entrada y se obtienen mediante la transformada de Laplace de ecuaciones algebraicas y diferenciales. En general un proceso recibe una entrada u (t ) y genera una salida y (t ). Si llevamos estas señales al dominio de Laplace tendremos una entrada U ( s) que genera una salida Y ( s). La función que relaciona salida con entrada se denomina función de transferencia g ( s).
u(s) De modo que:
G(s)
Y(s)
Y ( s) = g ( s) ×U ( s).
Para determinar la función de transferencia, consideremos un caso general en el cual las señales de entrada y salida de un sistema se expresarán mediante ecuaciones diferenciales lineales (una ecuación diferencial lineal es la formada por la suma de términos lineales, es decir por la suma de términos que son de primer grado con relación a las variables independientes). El valor de la salida se obtiene multiplicando la entrada por la función de transferencia.
LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
CAPITULO I LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA 1. DEFINICION:
La podemos definir formalmente como: L a fu nci ón de trasferencia de un sistema l ineal e invari ante en el tiempo (L TI ), se defin e como el cociente entr e la tran sfor mada de L aplace de la sali da y la tr ansform ada de L aplace de la entr ada, bajo l a suposici ón de que las condi cion es ini cial es son nul as.
El pico formado por los modelos de la señal de salida respecto de la señal de entrada, permite encontrar los ceros y los polos, respectivamente. Y que representan las raíces en las que cada uno de los modelos del cociente se iguala a cero. Es decir, representa la región frontera a la que no debe llegar ya sea la respuesta del sistema o la excitación al mismo; ya que de lo contrario llegará ya sea a la región nula o se irá al infinito, respectivamente. Considerando la temporalidad; es decir, que la excitación al sistema tarda un tiempo en generar sus efectos en el sistema en cuestión y que éste tarda otro tiempo en dar respuesta. Esta condición es vista a través de un proceso de convolución, formado por la excitación de entrada convolucionada con el sistema considerado, dando como resultado, la respuesta dentro de un intervalo de tiempo. Ahora, en ese sentido (el de la convolución), se tiene que observar que la función de transferencia está formada por la deconvolución entre la señal de entrada con el sistema. Dando como resultado la descripción externa de la operación del sistema considerado. De forma que el proceso de contar con la función de transferencia del sistema a través de la deconvolución, se logra de forma matricial o vectorial, considerando la pseudoinversa de la matriz o vector de entrada multiplicado por el vector de salida, para describir el comportamiento del sistema dentro de un intervalo dado. Pareciera un proceso complicado, aunque solo baste ver que la convolución discreta es representada por un producto de un vector o matriz fija respecto de una matriz o vector móvil, o que en forma tradicional se observa como una sumatoria. 2. DESCRI PCION M ATEMATI CA:
Uno de los primeros matemáticos en describir estos modelos fue Laplace, a través de su transformación matemática. En general un proceso recibe una entrada x ( t ) y genera una salida y (t ). Si llevamos estas señales al dominio de Laplace tendremos una entrada X ( s) que genera una salida Y ( s). La función que relaciona salida con entrada se denomina función de transferencia g ( s).
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LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
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X(s)
G(s
Y(s)
De modo que: Y ( s) = g ( s) ×X( s).
Por definición una función de transferencia se puede determinar según la expresión:
Donde H (s) es la función de transferencia (también notada como G (s)); Y (s) es la transformada de Laplace de la respuesta y X (s) es la transformada de Laplace de la señal de entrada. La función de transferencia también puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a un impulso como señal de entrada:
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
Y la respuesta como función del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s):
Cualquier sistema físico (mecánico, eléctrico, etc.) se puede traducir a una serie de valores matemáticos a través de los cuales se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos. Por ejemplo, en análisis de circuitos eléctricos, la función de transferencia se representa como:
LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
3. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Cuando tenemos un sistema dinámico lineal y le aplicamos Transformadas de Laplace a las entradas y salidas se formas dos polinomios en S asociados a ellas. Si arreglamos convenientemente la expresión, tendremos:
Se define a la Función de Transferencia (FT) como el cociente entre las salidas y las entradas en el plano de Laplace y expresadas como variables de desviación.
Otra forma de escribir la Función de Transferencia es en términos de pares de binomios que forman los polinomios en el denominador y el numerador.
Un sistema dinámico lo podemos representar esquemáticamente como un bloque el cual genera una salida Y producto de la interacción de la función de transferencia G con la entrada U. Luego se puede decir que: Y ( s) = g ( s) ×u( s)
u(s)
G(s
Y(s)
3.1 ELEMENTOS DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
Para una ecuación que describe un sistema físico real, el orden del lado derecho, m, no puede ser mayor que el orden del lado izquierdo, n. Este criterio para una realizabilidad física es: n≥m
Esta condición puede ser determinada intuitivamente por el siguiente razonamiento. Tomando un caso donde m = 1 y n = 0.
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LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
Esta ecuación dice que tenemos un proceso cuya salida y depende del valor de la entrada r y el valor de la derivada de la entrada. Entonces el proceso debe ser capaz de diferenciar, perfectamente, la señal de entrada. Pero es imposible para todo sistema real diferenciar perfectamente. Esto tomaría que un cambio de escalón en la entrada produzca una punta infinita en la salida. Esto es físicamente imposible. Este ejemplo puede ser generalizado a cualquier caso donde m ³ n para mostrar que diferenciación debe requerir. Por lo tanto, n siempre debe ser mayor o igual a m. La transformada de Laplace de la Ec. anterior da:
Este es un adelanto de primer orden. Esto no es físicamente realizable; es decir, un dispositivo no puede ser construido que tenga exactamente esta función de transferencia. Considerar el caso donde n = m = 1.
(*)
Esto aparece que una derivada de la entrada es nuevamente requerida. Pero la Ec. anterior puede ser arreglada agrupando los términos de derivada juntos:
(**)
El lado derecho de esta ecuación contiene funciones del tiempo pero no derivadas. Esta EDO puede ser integrada mediante la evaluación del lado derecho (la derivada) en cada punto en el tiempo e integrando para conseguir z en el nuevo punto en el tiempo. Entonces, el nuevo valor de y es calculado a partir del valor conocido de r : y = ( z + b1 r )/a1
No se requiere diferenciación y esta función de transferencia es físicamente realizable. La transformada de Laplace de la Ec. (**) Da la función de transferencia salida/entrada.
Este es llamado un elemento de adelanto- retraso (lead-lag) y contiene un retraso de primer orden y un adelanto de primer orden.
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LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
Los sistemas de procesos fluidos y térmicos, manifiestan varias características dinámicas distintas, pero muchas de ellas se pueden describir por combinaciones de cinco funciones de transferencia.
K Elemento proporcional
Elemento de capacitancia Elemento de primer orden Elemento de segundo orden e-Ls Elemento de tiempo muerto (retardo en el tiempo) Elemento de adelanto-retraso
3.2 MODELAMIENTO MATEMÁTICO DE SISTEMAS DINÁMICOS Para estudiar los sistemas de control una etapa principal es modelar y analizar las características dinámicas del proceso a ser controlado. Un modelo matemático de un sistema dinámico se define como un juego de ecuaciones que representan la dinámica del sistema con exactitud, o al menos, razonablemente bien. Un sistema dado puede tener muchos modelos matemáticos. La dinámica de muchos sistemas se pueden describir en términos de ecuaciones diferenciales, y la respuesta del sistema a una entrada se puede obtener si se resuelven las ecuaciones diferenciales que modelan dicho sistema.
Por ejemplo 1: Modelamiento Matemático De Un Intercambiador De Calor.
Sistema de control de un intercambiador de calor
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LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
Para ilustrar el modelamiento del proceso, consideraremos el caso de control de temperatura en un intercambiador de calor de doble tubo. En un sistema de intercambio de calor, generalmente se tiene como objetivo calentar (o enfriar) un fluido de proceso hasta una temperatura determinada Tp (de salida) para ser alimentado a una etapa posterior en el proceso, para cumplir con este objetivo se debe usar una corriente de fluido de calentamiento (o enfriamiento) el cual debe operar en un rango de temperaturas entre la entrada Tco y la salida Tc y a una velocidad de flujo Fc, la cual depende de los requerimientos del proceso. Si el objetivo del proceso de transferencia de calor es el calentamiento (o enfriamiento) de la corriente de proceso, el objetivo del sistema de control es mantener la temperatura de salida de la corriente de proceso en un valor especificado o en estado estacionario ante cualquier perturbación que pueda alterar el proceso. Con lo expuesto anteriormente podemos establecer que la variable controlada es la temperatura de salida del fluido de proceso ( Tp), y la variable manipulada es la velocidad de flujo del fluido de calentamiento ( Fc). Las perturbaciones pueden presentarse debido a cambios en la temperatura de entrada (Tpo), la velocidad de flujo ( Fp) del fluido de proceso, variación de temperatura del medio ambiente, resistencias a las incrustaciones, etc.
Dónde:
[ ] *( ) + Tc = temperatura de salida del fluido caliente Tc0 = temperatura de entrada del fluido caliente Tp = temperatura de salida del fluido de proceso
(variable que se va a
controlar) Tp0 = temperatura de entrada del fluido de proceso Fc = flujo de masa del fluido caliente (variable que se va a manipular) Fp = flujo de masa del fluido de proceso U = coeficiente total de transferencia de calor A = área de transferencia de calor DT = diferencia verdadera de temperaturas Cpc = capacidad calorífica del fluido caliente Cpp = capacidad calorífica del fluido de proceso Mc = masa del fluido caliente dentro del intercambiador Mp = masa del fluido de proceso dentro del intercambiador t = tiempo
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LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
T = (Tc, TCo, Tp, Tpo ) es un vector de temperaturas de los fluidos de entrada y salida, D T (T ) es la diferencia media efectiva de temperaturas,
la cual puede ser la diferencia media aritmética de temperaturas (DMAT). DT(T) = [(Tp - Tco) + (Tpo -Tc)]/2 O como en la mayoría de los casos prácticos, la diferencia media logarítmica de temperaturas (DMLT).
)( ) (( )( ) La dependencia del tiempo del coeficiente de transferencia de calor es importante para variaciones en el área de transferencia de calor. En este caso asumimos que U(t) ¹ 0, t ³ 0 y Tco > Tpo ó (Tco < Tpo respectivamente). Las asunciones precedentes implican que bajo condiciones normales de operación, Tco > Tc o (Tco < Tc respectivamente), de modo que el sistema de control está bien definido para todo t > 0.
3.3 SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES 3.3.1 Sistemas lineales Un sistema en el que se aplica el principio de superposición se denomina lineal. El principio de superposición establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones excitadoras (perturbaciones) distintas, es la suma de las respuestas individuales. Por lo tanto, para sistemas lineales la respuesta a diversas entradas se puede calcular tratando una entrada a la vez, y añadiendo o sumando los resultados. La primera interrogante que debe ser contestada es justamente cuando una ecuación diferencial es lineal. Básicamente es la que contiene variables solamente elevadas a la primera potencia en cualquiera de los términos de la ecuación. Ejemplo de EDO lineal:
donde ao y a1 son constantes o funciones del tiempo solamente, no de las variables dependientes o sus derivadas.
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LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
3.3.2 Sistemas no lineales Los procesos reales generalmente se modelan mediante ecuaciones algebraicas y/o diferenciales no lineales. Si en la ecuación aparecen raíces cuadradas, cuadrados, exponenciales, productos de variables, etc., la ecuación, es no lineal. Ejemplos de EDO no lineal:
Donde x1 y x2 son variables dependientes.
3.4 LINEALIZACIÓN Matemáticamente, una ecuación diferencial lineal es una para la cual se cumplen las siguientes propiedades: 1. Si x(t) es una solución, entonces cx(t) es también una solución, donde c es una constante. 2. Si x1 es una solución y x2 es también una solución, entonces x1 + x2 es una solución. La linealización es muy simple. Todo lo que se tiene que hacer es tomar las funciones no lineales, expandirlas en una serie de expansión de Taylor alrededor de la operación al estado estacionario, y despreciar todos los términos después de las primeras derivadas parciales. Asumiendo que tenemos una función no lineal de variables del proceso x1 y x2: f ( x1, x2). Por ejemplo, x1 podría ser fracción molar o temperatura o razón de flujo. Denotando los valores de estas variables al estado estacionario como: x1s = valor al estado estacionario de x1 x2s = valor al estado estacionario de x2
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LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
Ahora expandiendo la función f ( x1, x2) alrededor de sus valores al estado estacionario f ( x1s, x2s).
./ La linealización consiste en truncar las series después de las primeras derivadas parciales.
Hemos aproximado la función real a una función lineal.
3.5 VARIABLES DE DESVIACIÓN Nosotros encontraremos de mucha utilidad en prácticamente todos los casos de estudio de dinámica y control de sistemas lineales tomar la variable de desviación del estado estacionario en lugar de las variables absolutas.
Variables de desviación
Como las variables totales son funciones del tiempo, x(t), su desviación de los valores del estado estacionario xs también serán funciones del tiempo como muestra la figura anterior. Esta desviación del estado estacionario se denomina desviación o variables de desviación. Nosotros usaremos letras mayúsculas para denotar las variables de desviación. Entonces, la variable de desviación X es definida como: X = x(t ) - xs
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LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
Las ecuaciones que describen al sistema lineal pueden ser ahora expresadas en términos de estas variables de desviación. Cuando se hace esto, dos resultados muy útiles ocurren: 1. Los términos en la ecuación diferencial ordinaria tienen las constantes fuera. 2. las condiciones iniciales para las variables de desviación son todas iguales a cero si el punto de inicio es la condición de operación al estado estacionario.
3.6 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LOS ELEMENTOS DE UN SISTEMA DE CONTROL Para el análisis de sistemas de control, se considera la carga constante y se varia el setpoint , y el sistema de control debe llevar el valor de la variable de salida al valor dado del setpoint. Con esta consideración, el sistema de control del intercambiador de calor dado en el Ejemplo 1. Puede representar mediante un diagrama de bloques para una operación servo (discutida en el punto *)
Diagrama de bloques del sistema de control
Como se puede observar en la Fig. anterior, el sistema de control es un sistema de lazo cerrado con retroalimentación en el cual se mide la variable controlada (salida) para compararlo con el valor deseado de esta variable (valor de referencia), esto se hace en el comparador y debido a que en la comparación la variable medida entra con signo negativo, este sistema se conoce como " feedback negativo". Para un sistema de retr oali mentación (feedback) negativo , la señal medida proveniente del sensor ingresa con signo negativ o al comparador por lo que el error está dado por: Error = valor de referencia o al E.E. (setpoint) - señal medida
En este texto usaremos la siguiente nomenclatura:
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LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
a) En el dominio del tiempo
r (t ) = setpoint ym(t ) = variable medida e(t ) = error e(t) = r (t) - ym(t)
b) En el dominio de Laplace y usando las variables de desviación:
R(s) = setpoint Ym(s) = variable medida E (s) = error E (s) = R(s) - Ym(s)
Si hay diferencia se produce una señal de error la cual va al controlador para accionar la válvula de control y regular el flujo del fluido de calentamiento según lo requerido por el proceso. Como muestra este sistema de control, los elementos básicos son:
Proceso Elemento de medida (Sensor) Controlador Elemento final de control (Válvula) Elementos de transporte de señal
Siendo estos los elementos del sistema, veremos en el presente capítulo como deducir las funciones de transferencia de cada elemento.
3.7 POLOS Y CEROS DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Considerando un sistema descrito por la Ec. (6.1), tomando la transformada de Laplace y resolviendo para la razón de salida Y (s) a la entrada X (s), la función de transferencia del sistema G(s) será:
El denominador es un polinomio en s que es igual que en la ecuación característica del sistema. Recordando que la ecuación característica es obtenida a partir de la EDO homogénea, y haciendo el lado derecho de la Ec. (6.1) igual a cero.
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LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
Las raíces del denominador son denominadas los polos de la función de transferencia. Las raíces del numerador son denominados los ceros de la función de transferencia (estos valores de s hacen a la función de transferencia igual a cero). Factorizando numerador y denominador se tiene:
Dónde:
z i = ceros de la función de transferencia pi = polos de la función de transferencia
Las raíces de la ecuación característica, las cuales son los polos de la función de transferencia, deben ser reales o deben ocurrir como pares de complejos conjugados. En adición, las partes reales de todos los polos deben ser negativas para que el sistema sea estable.
"Un sistema es estable si todos sus polos se ubican en el lado izquierdo del plano s" La ubicación de los ceros de la función de transferencia no tiene ningún efecto sobre la estabilidad del sistema. Ellos ciertamente afectan la respuesta dinámica, pero no afectan la estabilidad.
3.8 GANANCIAS AL ESTADO ESTACIONARIO La ganancia al estado estacionario es la razón de la salida en el estado estacionario sobre la perturbación de entrada. En el proceso de dos tanques con calentamiento dado en el Ejemplo 6.11, las dos funciones de transferencia son dadas por la Ec. (6.123). la ganancia al estado estacionario entre la temperatura de entrada T 0 y la salida T 1 se ha encontrado a ser 1 oF/oF cuando s es establecido igual a cero. Esto dice que cuando cambia un grado en la temperatura de entrada variara la temperatura de salida un grado, lo cual es razonable. La ganancia al estado estacionario entre T 2 y el calor de entrada Q1 es 1/2160 oF/ Btu.min. Se debe tener cuidado en las unidades de la ganancia. Algunas veces se tienen unidades de ingeniería, como en este ejemplo, otras veces son usadas ganancias adimensionales.
3.9 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LAZO ABIERTO Y FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DIRECTA Al representar un sistema de control mediante un diagrama de bloques, se debe colocar en cada bloque la función de transferencia correspondiente al elemento del sistema. Así para el sistema de control de lazo cerrado.
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LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
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Diagrama de bloques de un sistema de control de lazo cerrado
Como se verá más adelante, el diagrama de la Fig. Anterior se puede reducir a la forma dada en la Fig. a y b.
Sistema de lazo cerrado
a) H(s) ¹ 1 b) H(s) = 1 La salida Y(s) es alimentada nuevamente al punto de suma, donde se compara con la entrada de referencia R(s). La salida Y(s), se obtiene en este caso, multiplicando la función de transferencia G(s) por la entrada al bloque E(s). Al inyectar nuevamente la salida al punto de suma para compararla con la entrada, es necesario convertir la forma de la señal de salida a la forma de la señal de entrada. Por ejemplo, en un sistema de control de temperatura, la señal de salida es generalmente la temperatura controlada. La señal de salida, que tiene la dimensión de una temperatura, debe convertirse a una fuerza, posición o voltaje antes de compararla con la señal de entrada. Esta conversión lo realiza el elemento de retroalimentación (medidor), cuya función de transferencia es H(s).
LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
La función del elemento de retroalimentación es modificar la salida antes de compararla con la entrada. En la mayoría de los casos el elemento de retroalimentación es un sensor que mide la salida del proceso. La salida del sensor se compara con la entrada (valor de referencia) y así se genera la señal de error. En este ejemplo la señal de retroalimentación que se envía de vuelta al punto de suma para su comparación con la entrada es Ym(s) = H(s) Y(s). Con referencia a la Fig. 6.28, la relación entre la señal de retroalimentación Ym(s) y la señal de error actuante E(s), se denomina función de transferencia de lazo abierto. Es decir: Función de transferencia de lazo abierto =
La relación entre la salida Y(s) y la señal de error actuante E(s) se denomina función de transferencia directa, de modo que: Función de transferencia directa =
Si la función de transferencia de retroalimentación H(s) es la unidad, la función de transferencia de lazo abierto y la función de transferencia directa son lo mismo.
3.10 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE LAZO CERRADO Para el sistema que se muestra en la Fig. 6.28, la salida Y(s) y la entrada R(s) están relacionadas como sigue: Y(s) = G(s) E(s) E(s) = R(s) - Ym(s) = R(s) - H(s)
Eliminando E(s) de ésta ecuación se tiene Y(s) = G(s) R(s) - H(s) Y(s)
O
La función de transferencia que relaciona Y(s) con R(s), se denomina función de transferencia de lazo cerrado. Esta función de transferencia relaciona la dinámica del sistema de lazo cerrado con la dinámica de los elementos de acción directa y los de la retroalimentación.
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LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
De la Ec. anterior se obtiene Y(s) por:
Así la salida del sistema de lazo cerrado depende claramente tanto de la función de transferencia de lazo cerrado como de la naturaleza de la entrada.
3.11 SISTEMAS SOMETIDOS A UNA PERTURBACIÓN DE CARGA En la Fig. 6.29, se ve un sistema sometido a una perturbación. Cuando dos entradas (la señal de referencia y la perturbación) están presentes en un sistema lineal, cada entrada puede tratarse independientemente de la otra; y las salidas correspondientes se pueden sumar a cada una de las entradas individuales, para obtener la salida total. En el punto de suma se indica, ya sea por medio de un signo más o un signo menos, la forma en que cada entrada se introduce al sistema. Considere el sistema que aparece en la Fig. 6.29. Al examinar el efecto de la perturbación N (s), se puede suponer que el sistema está inicialmente en reposo, con error cero, entonces se puede calcular la respuesta CN(s) debida a la perturbación solamente. Se puede hallar entonces que:
Sistema de lazo cerrado sujeto a una perturbación
Por otro lado, considerando la respuesta a la entrada de referencia R(s), se puede suponer que la perturbación es cero. Entonces es posible obtener la respuesta YR(s) a la entrada de referencia R(s) de:
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LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
La respuesta a la aplicación simultánea de la entrada de referencia y de la perturbación se puede obtener sumando las dos respuestas individuales. En otras palabras, la respuesta Y(s) debida a la aplicación simultánea de la entrada de referencia R(s) y la perturbación L(s) está dada por: Y(s) = YR(s) + YL(s)
3.12 OPERACIÓN PARA ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL Convencionalmente para el diseño de sistema de control, se somete el sistema a variaciones del setpoint ( R) y determinar si la variable controlada sigue a los valores del setpoint y en qué tiempo alcanza estos valores. En consecuencia para esta caso la función de transferencia reguladora se hace cero, por lo que los sistemas dados en las Fig. 6.31 y 6.32 se transforman en:
Diagrama de bloques para operación servo para dos tanques con calentamiento a) Total b) Simplificado.
Esta será la forma de representación que usaremos en la mayoría de nuestros análisis de sistemas de control.
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LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
CAPITULO II DIAGRAMAS DE BLOQUE Las Funciones de transferencia son útiles para representar uno o más procesos interconectados entre sí. La base es el "Álgebra de Bloques" que entrega las reglas de interacción, basadas en el principio de los sistemas lineales. Mediante este mecanismo podemos representar sistemas En serie, En Paralelo, con reciclos, con múltiples entradas y salidas, con atrasos.
Reglas básicas del álgebra de bloques.
1. SISTEMAS EN SERIE Se tiene un sistema en serie cuando la salida de un sistema es la entrada al siguiente. Esta configuración es típica en el lazo de control cuando se quiere asociar en un solo sistema el elemento de medida al transductor y transmisor. También es muy utilizada para representar sistemas que son espacialmente distribuidos tales como los procesos térmicos, columnas de flotación y otros. La Figura 2.3 muestra la representación de un proceso en serie y la derivación de la función de transferencia global para el proceso en serie.
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LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
v(s
F0(s)
T1(s
GS(s)
GT1(s)
v(s
T2(s
GT(s)
G(s)
T 23
GV(s)
TSAL(s)
Representación de un proceso en serie
2. SISTEMAS EN PARALELO En un sistema en paralelo una señal de entrada se distribuye entre múltiples funciones de transferencia generando una salida equivalente a la suma algebraica de las salidas de cada función. El esquema en paralelo es muy utilizado para desacoplar efectos dinámicos internos de los procesos tales como histéresis o respuesta inversa. También es útil para representar procesos que son físicamente distribuidos en forma paralela como por ejemplo bypass, las corrientes en celdas electrolíticas o flujos en pilas de lixiviación.
Esquema de procesos en paralelo
LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
La función de transferencia equivalente tiene la forma:
3. SISTEMAS CON ATRASO El atraso aparece comúnmente en los sistemas dinámicos y de control producto de la lentitud en el proceso de medición (sensor con dinámica lenta), el tiempo de transporte de la variable desde el punto de medida al punto de aplicación (por ejemplo medición en correas transportadoras) o simplemente el tiempo de análisis necesario en el medidor (analizadores de tamaño). Como el atraso es una de las principales causas de inestabilidades y pérdidas de eficacia en los lazos de control es necesario incluirlo en el análisis para tratar de compensar los efectos. Un atraso puro puede ser representado en términos de una Función de Transferencia Dada por:
= Tiempo muerto Esquema de un atraso puro
3.1 SISTEMAS DE PRIMER ORDEN Los sistemas de primer son los más utilizados para representar dinámicas simples en la que una señal de salida varía desde un valor inicial a otro nuevo en un cierto tiempo describiendo una trayectoria monotónica (sin oscilación). Un sistema lineal es descrito por una ecuación diferencial según:
Dónde:
K : Ganancia estática, que es la relación entre la variación de salida con respecto a la variación de la entrada en el estado estacionario , es decir K=( Y/ u)s
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LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
: Constante de tiempo (t) , que es una medida del tiempo de respuesta temporal del sistema
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La solución en el tiempo cuando se aplica una entrada de tipo escalón de magnitud A resulta ser una función exponencial dada por:
)
Aplicando transformadas de Laplace, la correspondiente Función Transferencia es:
de
Una representación de la respuesta temporal de un sistema de primer orden se muestra en la Figura 2.6 cuando se le aplica una entrada de tipo escalón.
Salida Monotonica sin 1. 1.
Máxim endient
1.
“t=0”
1.
Nuevo E Y=K u
63% del E E cuando t=
1 0. 0
2
4
6
8
10
12
8
10
12
tim
Cambio 2
1.
u = Escalón en 1
0. 0
2
4
6 tim
Respuesta de un sistema de primer orden frente a un cambio tipo escalón
A partir de los resultados obtenidos, se puede afirmar lo siguiente:
Los sistemas de 1º orden generan respuestas exponenciales sin oscilación entre un estado estacionario y otro.
La respuesta temporal depende de la constante de tiempo del sistema. A mayor constante de tiempo, mayor será el tiempo que demora el sistema en llegar al nuevo estado estacionario.
LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
En términos cuantitativos se puede afirmar que un sistema de primer orden alcanza un 63,2% de la respuesta final en un tiempo igual a una constante de tiempo. Demora un tiempo de t= 5* en llegar al 99% de la repuesta, por lo que la constante de tiempo es una medida directa de la rapidez de respuesta del sistema.
3.2 SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN Los sistemas de segundo orden son muy comunes en los procesos dinámicos y están asociados principalmente a los sistemas de balance de fuerzas y a los sistemas con interacción y retroalimentación, por lo que un sistema bajo control resulta habitualmente ser de 2º orden. Un sistema de 2º orden este descrito pos la siguiente ecuación diferencial:
Si aplicamos Transformadas de Laplace, la correspondiente función de transferencia es
La respuesta de un sistema de 2º orden depende del valor del factor de amortiguación. Según el valor de se tendrán distintos patrones de comportamiento que se analizaran a continuación.
3.2.1 Sistemas Sobre Amortiguados ,
≥1
Cuando el factor de amortiguación es mayor o igual a 1 la solución a la ecuación es una combinación de soluciones exponenciales, equivalentes a 2 sistemas de 1º orden en serie. La respuesta es sin oscilaciones según se muestra en la Figura siguiente. A medida que el factor de amortiguación crece, la respuesta se hace más lenta. Cuando el factor de amortiguación vale 1 el sistema se llama “Críticamente Amortiguado”. Valores
oscilatorio.
menores hacen al sistema
26
LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
27
Respuesta de un sistema sobre-amortiguado
3.2.2 Sistemas Sub-Amortiguados, 0 ≤ ≤ 1 Cuando el factor de amortiguación está entre 0 y 1 las soluciones presentan componentes imaginarias por lo que la salida es una superposición entre funciones exponenciales y sinusoidales. De esta manera el comportamiento es una señal oscilante con amplitud decreciente que tiende a un valor estable. A este comportamiento se le llama sub-amortiguado. A modo de ejemplo, la respuesta en el tiempo a un escalón de magnitud A en la entrada está dada según:
√ ;
Respuesta de un sistema sub-amortiguado
LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
Se puede apreciar que mientras más cerca de cero es el factor de amortiguación, la oscilación aumenta y el sistema demora más en estabilizarse. Por otro lado se advierte que la salida presenta valores temporales superiores al valor de estabilización de estado estacionario. Este sobresalto (overshoot) es relevante ya que en algunos procesos no es permitido superar ciertos valores límites. El comportamiento sub-amortiguado se observa principalmente en los sistemas con control retroalimentado donde las características de oscilación, sobresalto, y tiempo de respuesta son importantes en el desempeño del lazo de control. Dada la relevancia de este comportamiento es importante caracterizar la respuesta subamortiguada de acuerdo a figura siguiente.
Caracterización de una respuesta sub-amortiguada
En base a la Figura anterior se definen los siguientes parámetros de comportamiento:
Sobresalto (Overshoot) : Medida del sobresalto (peek) en la primera oscilación
Razón de decaimiento : Medida de la amortiguación (ideal 4:1)
Tiempo de despegue: estacionario
. / √ . / √
tiempo en cruzar por primera vez el valor de estado
√
Período de oscilación: Tiempo de una oscilación.
√
28
LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
CAPITULO III LA TRANSFORMADA DE LAPLACE La transformada de Laplace es una herramienta fundamental para el análisis de sistemas lineales invariantes, como por ejemplo redes y circuitos eléctricos, no tiene aplicación en sistemas variantes y /o no lineales. La transformada de Laplace es un operador matemático que toma una función lineal e invariante en el dominio del tiempo f (t) y la transforma en una función F(s) que toma la forma de un cociente de polinomios en termino del parámetro s (denominada como frecuencia compleja s). Dada una función transformable f(t) su transformada toma la forma
() Los límites son fijos y definidos entre 0 e parámetro s
; el resultado no depende de t solo del
Se hace notar que el límite inferior está definido desde 0 lo que se hace para enfatizar el hecho que la integración se realiza considerando el tiempo t = 0 y lo que ocurra con la f (t) en ese instante. Así la integración ocurre para todo tiempo t 0 , considerando que generalmente la función f (t) es exactamente igual a cero para todo t 0 . Respecto del parámetro s, puede ocurrir que tome valores reales, complejos o imaginarios puros su forma general será entonces
EJEMPLO 1 Si f (t) es un escalón (t ) tal que s es real positivo, entonces la aplicación de la transformada resulta una integral decreciente, se entiende que el escalón vale 1 para todo tiempo mayor que cero.
29
LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
2 3
Luego:
()
Para 0
Así el área bajo la curva resulta ser finita, sin embargo si el parámetro s es un número real negativo el área bajo la curva definida por la integral resulta ser una exponencial creciente con resultado infinito. Si el parámetro s es complejo con parte real
Si:
Luego:
0 la integral resulta ser finita.
Para Re(s) > 0
EJEMPLO 2 Sea la exponencial e at donde a es un número real o complejo su transformada de Laplace resulta ser
23 Así
30
LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
Así
para Re (s-a) > 0
1. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Las propiedades de la Transformada de Laplace operaciones de funciones relativamente complicadas.
son utilizadas para resolver
1.1 Primera propiedad: UNICIDAD La propiedad de Unicidad significa que si se tiene una función transformable en el dominio del tiempo, f (t), la transformada de Laplace de ella corresponde a una función en el dominio de la frecuencia compleja. F(s) y si se conoce la función su transformada inversa corresponde en forma unívoca a la misma función en el tiempo. Sea
()
una función transformable
Luego
()
entonces
Sin perjuicio de lo anterior no todas las funciones tienen su transformada, por lo que la transformada es válida solo para funciones F (t) que sean transformables. Una función es transformable cuando la función resultante genere un valor finito cuando t . La propiedad de Unicidad permite construir tablas de transformadas que evitan tener que aplicar la integral de transformada cada vez que se necesita obtenerla.
F(t)
F(s)
f(t)
f (t ) e
F ( s)
0
(t )
st
dt
1 s
e at
1 s a
1.2 Propiedad de LINEALIDAD Esta propiedad reviste gran importancia en el concepto que la transformada de Laplace es una función lineal, la propiedad de linealidad puede probarse aplicando las propiedades de homogeneidad y aditividad que satisfacen una función lineal.
Sean arbitrarias Y sea
y
dos funciones en el tiempo y C 1 y C2 dos constantes
31
LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
Aplicando transformada de Laplace
() () () Como C1 y C2 son constantes
() () () () Con lo que queda demostrada la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace.
EJEMPLO 3 Obtener la Transformada de Laplace
de la función coseno, Sea
, 2 32 32 3
Se sabe que Entonces
aplicando linealidad se cumple
32
LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
1.3 Propiedad de DIFERENCIACIÓN La tercera propiedad de la Transformada de Laplace corresponde demostrar la relación simple que existe entre de Transformada de Laplace de una f(t) y la transformada de su derivada. Sea
{ } { }
El argumento de la integral presenta el producto de dos funciones de modo que la resolución de la integral se debe realizar usando integración por parte.
{ } { } ,- )
El método puede ser aplicado también para conocer la transformada de la nésima derivada de una función f(t) cuya expresión general resulta ser de la forma
{ } { }
1.4 Propiedad de INTEGRACION La tercera propiedad de la Transformada de Laplace corresponde demostrar la relación simple que existe entre de Transformada de Laplace de una f (t) y la transformada de su derivada. Sea
∫
33
LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
2 3 2 3 El argumento de la integral presenta el producto de dos funciones de modo que su resolución se debe realizar usando integración por parte.
2 30 1 2 3 2 3 El método puede ser aplicado también para conocer la transformada de la nésima integral de una función f (t) cuya expresión general resulta ser de la forma
1.5 Propiedad de TRASLACION Esta propiedad de la Transformada de Laplace tiene que ver con la relación que tiene la transformada de La place de una función desplazada respecto de una no desplazada Sea f (t) una función en el tiempo que se inicia en t = 0. Mientras que
La misma función f (t) que se inicia en t Así la Sea
∫ t` t ;
t t `
;
dt dt `
Si t entonces Mientras que si
t 0
Entonces t `
t `
34
LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
Sin embargo la integral de Laplace se define solo para t 0 y no tiene sentido para t 0 de esta forma el límite inferior de la integral se define para t 0 , dentro de los límite de integración el escalón siempre es uno y la exponencial se puede descomponer en el producto de dos exponenciales
1.6 Propiedad de transformación de una ECUACION DIFERENCIAL La aplicación más recurrente de la Transformada de Laplace corresponde a la transformación de una ecu ación diferencial de orden “n” o integro diferencial en una ecuación algebraica en función de “s” con coeficientes constantes
Para ello basta con aplicar la Transformada a todos los términos de la ecuación usando las propiedades descrita anteriormente.
a) Caso de Ecuación diferencial: Sea Ecuación diferencial de primer orden de la forma obtenida a partir de un circuito R;L conectados en serie y alimentados por una fuente de voltaje f(t)
En esta ecuación y para el circuito dado la variable x (t) corresponde a la corriente de la malla i (t) Aplicando Laplace a toda la ecuación se tiene
2 3 Aplicando algebraica
linealidad y diferenciación se tiene la siguiente
( )
ecuación
35
LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
b) Caso ecuación Integro diferencial Sea ecuación Integro diferencial obtenida desde un circuito R; L; C conectados en serie y alimentados por una fuente de voltaje f (t)
En esta ecuación la variable x (t) corresponde a la corriente de la malla i (t) Aplicando Transformada y sus propiedades se obtiene la siguiente ecuación en función de “s”
Se puede observar que en ambos casos la respuesta de la variable de salida queda expresada en función de la función de entrada, F(s) y de las condiciones iniciales Xo y Vo
1.7 Propiedad de transformación TEOREMA DE CONVOLUCIÓN Sean f 1 (t) y f 2 (t) dos funciones en el tiempo y F 1(s) y F2(s) sus respectivas transformadas de Laplace Sea f (t) la convolución de las funciones f 1 (t) y f 2 (t) y F(s) su transformada de Laplace, tal que
Así:
36
LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
2 3 ∫ ,∫ -
37
Para resolver la doble integral con dos diferenciales se procede primero en agrupar de manera que quede un producto de integrales con variables de integración consistentes.
Introduciendo en la segunda integral el término exponencial integrales quedan presentadas de la forma siguiente:
las
= ∫ ∫ Haciendo cambio de variables de modo que t ` t y dt ` dt y t puede ser lo suficientemente grande que se acerque a infinito luego el límite superior para t’ se puede considerar en t ` y el límite inferior en cero en atención a que las funciones f 1(t) y f 2(t) pueden considerarse como cero cuando sus argumentos son negativos de modo que para t fijo f (t ) es igual a cero para t luego t` = 0
Cada integral y su argumento corresponden a la forma de la transformada de Laplace de las funciones f 2 (t) y f 1 (t) respectivamente por lo que la expresión final de la transformada queda expresada de la forma de producto de las respectivas transformadas de Laplace
1.8 Propiedad de Transformación de los ELEMENTOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS Las redes eléctricas están formada principalmente por tres elementos Resistencia, Capacitares, Inductores y al menos una fuente, ellos pueden ser expresados en el dominio de Laplace de acuerdo a una función de la frecuencia compleja, s
LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
Un resistor lineal e invariante en el dominio del tiempo tiene la forma V (t) = R * i (t)
Al aplicar la transformada de Laplace se cumple
De modo que se puede definir
En el caso de un Capacitor Lineal e invariante, sin condición inicial, en el dominio del tiempo se cumple la siguiente expresión
Al aplicar la transformada de Laplace se cumple
De modo que se puede definir
En el caso de un Inductor Lineal e invariante, sin condición inicial, en el dominio del tiempo se cumple la siguiente expresión:
Al aplicar la transformada de Laplace se cumple
De modo que se puede definir
La fuente tendrá una forma específica en el dominio de Laplace según sea la forma que tiene la función en el tiempo que la representa. Así si f (t) es la función que define la fuente entonces
Para convertir un red eléctrica que originalmente se encuentra en el dominio del tiempo basta con cambiar en cada elemento la representación en el tiempo por su representación en Laplace, la fuente por su transformada las variables por su transformada y aplicar las leyes generales de circuitos para obtener la ecuación algebraica que resuelve la situación específica. Sea una red lineal e invariante formada por un condensador, una resistencia y una inductancia conectadas en serie y alimentadas por una fuente f(t) se define la corriente i(t) como la corriente de malla. Así se cumple
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LA FUNCIÓN TRANSFERENCIA
2. FUNCIÓN DE RED EN EL DOMINIO DE LAPLACE La Función de Red o de transferencia, H(s), es una función que define el comportamiento de una red eléctrica en el dominio de Laplace y corresponde al cociente entre la transformada de Laplace de la salida o respuesta de la red, Y(s), y la transformada de Laplace de la Entrada o excitación, X(s), cuando las condiciones iniciales de la red son todas exactamente iguales a cero.
Propiedad de transformación de la respuesta completa. Se sabe que la respuesta completa de una variable en una red está dada como la suma de la respuesta de estado cero más la respuesta de entrada cero, en el dominio de Laplace se cumple Re spuesta Re spuesta Re spuesta L L L completa de estado cero de entrada cero.
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