La función de producción con un insumo variable
Es difícil que una empresa pueda hacer variar su capital en el corto plazo, pero sí puede modificar con más facilidad la mano de obra. En el siguiente análisis, el capital permanece fijo mientras varía la mano de obra. Q=f(L,K) Producción media y marginal
El producto medio es el promedio de la producción. Se obtiene al dividir l a producción entre el número de trabajadores: PMe= Q/L El producto marginal proporciona información acerca de cuánto produce cada trabajador adicional que se contrata. El producto marginal se obtiene a través de la medición del incremento en la producción cuando se contrata un trabajador más:
Ejemplo Si la función de producción está dada por
2
z 4 xy x 3 y
2
Solución: la productividad marginal de x es
la productividad marginal de y es
z x
4 y 2 x
z y
4 x 2 y
por consiguiente tanto para x como para y, la productividad marginal aumenta y luego disminuye a medida que se incremente el insumo. Determine la productividad marginal dada la función de producción 2 2 2 z 4 x 5 y 12xy 0 , donde z es la cantidad producida, y x, y son las cantidades de los insumos. empleando la diferenciación implícita
F x
F
8 x 12 y
y
F
10 y 12 x
z
2 z
F
la productividad marginal de x es
z
x
8 x 12 y x F 2 z
6 y 4 x z
z
F
la productividad marginal de y es
z y
y F
10 y 12 x
2 z
6 x 5 y z
z
1. La función de producción de cierta empresa está dada por 2
2
P 5 L 2 L 3 LK 8K 3K
en donde L es el insumo mano de obra medido en miles de horas-hombre por semana, K es el monto de capital invertido medido en miles de dólares por semana y P es la producción semanal en miles de artículos. Determine las productividades marginales cuando L=5 y K=12 e interprete el resultado.
Solución: las productividades marginales son P L
P K
cuando L=5 y K=12
5 4 L 3K
3 L 8 6 K
P
5 4((5) 3(12) 61
3(5) 8 6(12) 95
L
P K
es decir, si se emplean 5000 horas-hombre por semana y el monto del capital invertido es de US$12.000 a la semana,
-
-
La producción se incrementa en 6100 artículos por semana por cada 1000 horas-hombre adicionales de mano de obra empleada cuando K se mantiene fija La producción se incrementa en 9500 artículos por semana por cada US$1000 adicionales de incremento en el monto semanal del capital invertido cuando L se mantiene fijo.
Función de producción con rendimientos constantes Rendimientos constantes significa que cada trabajador que se contrata incrementa la producción en la misma proporción. Si un trabajador produce 10 artículos, dos trabajadores 20 artículos y tres trabajadores 30 artículos, la producción es de rendimientos constantes y se representa con una línea de 45 grados. PMe=Q/L= 10/1=10 20/10=10
30/3=10
PMg=ΩQ/ΩL=10/1=10
Rendimientos crecientes
Cuando al contratar un trabajador adicional se incrementa la producción más que proporcionalmente se tienen rendimientos crecientes. Por ejemplo, si un trabajador produce 10 artículos y al contratar otro trabajador la producción se incrementa a 30 artículos, esto se debe a se generan economías de escala. Conforme se contraten más trabajadores, la producción crece más que proporcionalmente. PMe=Q/L= 10/1=10 60/3=20
30/2=15
PMg=ΩQ/ΩL=10/1=10
20/1=20
30/1=30
El producto marginal se ubica por encima del producto medio; es decir, se debe seguir contratando personal ya que la producción se incrementa más que proporcionalmente al incrementarse el número de trabajadores. Rendimientos decrecientes Cuando al contratar un trabajador adicional se incrementa la producción menos que proporcionalmente se tienen rendimientos decrecientes. Ejemplo. Si un trabajador produce 10 artículos y al contratar otro éste produce 9 artículos; y un tercero produce solo 7, la producción sigue creciendo menos que proporcionalmente
Elasticidad de la Demanda La elasticidad es la sensibilidad que tienen los consumidores antes las variaciones en los precios. Por lo general, los cambios en el precio de un artículo provocan modificaciones en la cantidad demandada. La elasticidad precio de la demanda determina la magnitud de este cambio.
La elasticidad de la demanda es el grado de respuesta de las cantidades demandadas ante cambios en el precio del bien. La elasticidad precio de la demanda se define formalmente de la siguiente manera: Ed=Cambio porcentual de de la Qd= Ω%Q Cambio porcentual en el P
Ω%P
Los precios y las cantidades guardan una relación inversa, por lo que la elasticidad de la demanda tiene signo negativo (aunque toma su valor absoluto, ya que lo relevante para el análisis es la magnitud del cambio). Elasticidad de las curvas de demanda lineales La función de la demanda lineal está dada por: Qd=ƒ(p)= a-bp
En la ecuación la pendiente se expresa como –b; como se trata de una línea recta esta es constante. Sin embargo, la elasticidad toma valores diferentes a lo largo de la función. Lo anterior se ilustra mejor si se recurre a la fórmula de una curva de demanda lineal. E= pSq= -bp Qsp= a-bp Ejemplo: si la función de la demanda está determinada por la siguiente ecuación: Qd= 14- 7p Se presentan tres casos: Si el precio es p=2 Ed=-bp = -7(2) = -14 = ∞ a-bp 14-7(2) 0 Ed>1
Si el precio es igual a p=1 Ed=-bp = -7(1) = -7 = |-1|= 1 a-bp 14-7(1) 7
Si el precio es p=0
Ed=1
Ed=-bp = -7(0) = 0 = 0 a-bp 14-7(0) 14
Ed<1
Ed>1 Elástica Ed=1 Unitaria Ed<1 Inelástica Adicionalmente existen dos casos extremos, en donde la función de demanda puede perfectamente elástica o perfectamente inelástica. Demanda Elástica En la demanda elástica un cambio en el precio genera un gran cambio en la cantidad demandada. Al precio de P0 se demanda Q 0 productos. Si el precio aumenta muy poco, como P1 se deja de consumir más que proporcionalmente los productos Q 1. Si el precio baja a P 2, aumenta el consumo más que proporcionalmente Q 2. Demanda Inelástica En la demanda inelástica un gran cambio porcentual en el precio provoca solo un pequeño cambio en la cantidad demandada. Si el precio de un bien aumenta o disminuye, la cantidad demandada no experimenta grandes variaciones. AL precio P 0, se demanda Q 0 si el precio aumenta a P 1, se demanda Q 1, La cantidad disminuye menos que proporcionalmente que el aumento en el precio. Si el precio baja a P 2, la cantidad demandada se incrementa menos que proporcionalmente Q 2. Demanda unitaria La demanda es unitaria cuando un cambio porcentual en el precio provoca un cambio porcentual de la misma magnitud en la cantidad demandada. Determinantes de la Demanda
Los principales factores que tienen influencia sobre la elasticidad de la demanda son:
Porcentaje del ingreso. Los bienes que representan una gran parte del ingreso tienen una demanda más elástica que aquellos que representan una pequeña proporción del mismo. Bienes sustitutos. Los bienes que tienen buenos sustitutos son más elásticos que aquellos que no los tienen. Carácter de un bien. El carácter del bien determina la elasticidad precio de la demanda.
Todos los productos, en n tiempo largo, pueden pasar de ser inelásticos a elásticos. Incremento excesivos en los precios. Si un bien inelástico incrementa su precio en gran proporción, el consumidor puede decidir no comprarlo y, de ser totalmente inelástico, pasa a ser totalmente elástico.
La elasticidad punto sirve para medir con precisión la elasticidad en un punto de la curva de demanda; es decir, a un precio y a una cantidad determinados. La publicidad es muy importante para incrementar las ventas, dar a conocer al público un nuevo artículo, cambios o innovaciones efectuadas. La elasticidad de las ventas debida a la publicidad muestra la sensibilidad de las mismas a un aumento en los gastos de publicidad. Con esta elasticidad se demuestra si fue o no efectiva la publicidad empleada. Las expectativas económicas influyen en la cantidad demandada de un producto; estas pueden estar determinadas por las fluctuaciones de mercado de acciones, acontecimientos políticos, previsiones con respecto a la disponibilidad o falta de ella de algún producto, etcétera. Elasticidad y precio total Los beneficios que se obtienen se determinan de acuerdo al ingreso por producto vendidos menos los costos totales erogados. B=IT-CT MEDICIONES DE LA DEMANDA Elasticidad Punto La elasticidad punto sirve para medir con precisión la elasticidad en un punto de la curva de la demanda; es decir, a un precio y a una cantidad determinados. Se calcula con la siguiente fórmula. EP=∂Q * P ∂P Q El cálculo de la elasticidad punto se realiza al derivar la ecuación de demanda con respecto al precio y multiplicar el resultado por el precio entre la cantidad. Ejemplo. Para obtener la elasticidad en un punto de la curva se necesita, en primer lugar, conocer el precio y la cantidad del artículo. En este caso se utilizará el punto de equilibrio con las siguientes ecuaciones: Qd=77-2P
Qs=5P Se igualan las ecuaciones Qd=Qs 77-2P=5P 77=7P P=11 Se sustituye el precio Qd=77-2P ∂Q=-2 ∂P
Al aplicar la fórmula EP=∂Q * P= -2*11=-22=-.4 ∂P Q 55 55
Elasticidad Arco o segmento La elasticidad arco mide la elasticidad en un segmento de la curva de demanda; es decir, cuando se conocen dos precios y dos cantidades. La fórmula para obtener la elasticidad arco es: EA=ΩQ/ΩP Q P ΩQ= Cambio porcentual en la cantidad (Q 1-Q2) Q= Cantidad promedio Q 1+Q0 /2=0 inicial, 1=Final ΩP=Cambio en el precio (P1-P0) P=Precio promedio P 1+P2 2 Ejemplo Se tiene una ecuación de demanda y una de oferta tal que: Qd=144-6P Qs=18P Se igualan las ecuaciones para obtener el precio y la cantidad de equilibrio Qd=Qs
144-6P=18P 144=24P P=144/24 P=6 Qd=144-6(6)=108 P*=6 Q*=108 Si el precio se incrementa a 8, la cantidad disminuye: Qd= 144-6(8)=96 Al sustituir en la fórmula EA=ΩQ/ΩP= -12/102=.11= -.39=E d<1 inelástica Q P 2/7 .28 La elasticidad de la oferta muestra la capacidad de los productores de incrementar y reducir la cantidad ofrecida ante variaciones en los precios. La elasticidad de la oferta se ve afectada por las siguientes determinantes.
Costo de almacenamiento. La elasticidad de la oferta de bienes que cuesta mucho almacenar, de aquellos que son perecederos, es totalmente inelástica. Capacidad de sustitución de insumos. Si los factores de producción (tierra, trabajo y capital) son fáciles de sustituir, la elasticidad de la oferta será mayor que si son difíciles de sustituir. Tiempo. El factor tiempo es determinante para la elasticidad de la oferta. Se analizará la elasticidad de la oferta en 3 periodos: el momentáneo, el corto y el largo plazo.
En el equilibrio momentáneo, la cantidad ofrecida es constante; esto quiere decir que si se incrementa la demanda no hay un incremento en la cantidad ofrecida, solo en el precio. Esto ocurre cuando el incremento de la demanda es repentino y no hay tiempo de contratar trabajadores o adquirir los insumos necesarios para incrementar la producción. En el corto plazo, las empresas pueden incrementar la producción contratando más personal o comprando insumos o materia prima que sean fáciles de conseguir. Este incremento en la cantidad ofrecida se dará sin alterar el tamaño de planta.
