´´Año de la Diversifcación Productiva y del Fortalecimiento Fortalecimiento de la Educación´´ Solucionario del examen parcial de matemática 5
Interantes! Vivar Zavaleta, Joshua
20132011D
Olsen Candiotti, Francisco 20132185B Roles !orres, !orres, "erson "erson 20130302# Castro $lonto%, Jose 2013&1'2J
Docente! Arevalo "illanueva #anuel Periodo! 2015( )
$ima % Per& '()5
2 π
∫ e−
2sin θ
1. Indique el valor de
cos ( 2cos θ −nθ ) dθ
0
Solución. Utilizamos la fórmula de la integral de Cauchy para derivadas superiores. n+1
z − z 0 ¿
¿ ¿ f ( z ) dz ¿ n! f ( n) ( z )= 0
f ( z )=e , z 0=0 2 z
Donde:
y
2 πi
γ : ‖ z‖=1
∮¿
y n es entero; como
dentro de la curva: ( n)
(n )
f ( z )= e → f 2 z
( 0 )=2n
n +1
z − z0 ¿
¿ n+ z ¿ ¿ ¿
1
2 z
e dz
¿ ¿ f ( z ) dz ¿ n ! n 2 = ∮¿ 2 πi
π
i( θ + ) Ya que z ∈ γ escri!imos z = e 2 de lo que o!tenemos:
( ).e ( + ) π
2cos θ+
∮
I =−
e
2
e
2i sin θ
( )
¿ θ+
π 2
π 2
2 π
∫
dθ =−
0
−2sin θ
e
2 i cos θ
.e
π
¿( θ + )
e
2
dθ
z 0=0 está
2 π
∫
−2sin θ
I =−
e
.e
i ( 2cos θ −nθ −
π 2
)
dθ
0
2
n +1
πi
n! 2
n +1
2 π
=−∫ e−2sin θ 0
πi
n!
[ (
cos 2cos θ −nθ −
)+ (
nπ 2
i sin 2cos θ−nθ −
)]
nπ 2
dθ
2 π
=−∫ e−2sin θ [ sin ( 2cos θ− nθ )−i cos ( 2cos θ −nθ )] dθ 0
"gualamos las partes imaginarias de am!as partes de la igualdad: θ − nθ 2cos
2 π
¿ ¿
∫ e−
¿
2sin θ
∴
cos
¿
0
2. Determine una función armónica
satisface la siguiente condición
u ( x ; y ) en el semiplano superior que
1 , x <−1 u ( x , 0 )= 2 , −1 ≤ x≤ 3 . 3 , x> 3
Solución. #artimos de sa!er que una función armónica
u ( x ; y ) es la que cumple la
ecuación de $aplace tal que: 2
2
δ u δ u + 2 =0 2 ∂x ∂ y %ntonces por inspección pensamos en una función de la forma: u ( x , y )= cte. + xy
Definimos:
1 + xy , x <−1 , y =1 u ( x , y )=2 + xy ,−1 ≤ x≤ 3, y =2 3 + xy , x > 3, y =3
De lo que se comprue!a fácilmente el cumplimiento de todas las condiciones dadas.
∞
( x ) dx ∫ xsen ( x + 1)
3. Evalúe
2
−∞
2
Solución: F ( z )=e , z = x + iy inz
F ( z )=e
¿ ( x + iy )
= e−ny∗e−i (nx )= e−ny cos ( nx ) + i e−ny sen ( nx )
%ntonces tenemos: −ny
V ( x , y )= e
sen ( nx )
&a!emos por #oisson para el semiplano: V (a , b)=
1
−∞
b V X , 0 dx
( ) ∫ π ( x − a ) + b 2
2
∞
%ntonces tenemos: V ( x , 0)= sen ( nx ) 'eemplazando tenemos: − nb
e
sen ( na )=
−∞
bsen ( nx ) dx ∫ π ( x − a ) + b 1
2
∞
Derivando respecto a ((a)):
2
( x −a ) 2 ( x −a )∗b∗sen ( nx ) dx (¿ ¿ 2 + b2 )2 − nb
n∗e
cos ( na )=
1
−∞
∫¿
π ∞
%ntonces para nuestro pro!lema; a*+ n*, y !*,. ∞
( x ) π dx = ∫ xsen 2e ( x + 1) 2
2
−∞
{ f ´ ´ ( e ) }=36 iθ
4. Si e
2
cos ( 2 θ )+ 25 cs ( θ )+ 4 ; f ´ ( 0 )=3 y f ( 0 )= 0, entonces la
función anal!tica m"s general es# $%se coordenadas polares&. &olución: &a!emos: f ´ ´ ( z )= " XX + i V XX # ( 1 ) y en coordenadas polares está dado por:
" XX =" cos ( 2 θ )+ V sen ( 2 θ ) pero si se hace constante la varia!le " X =
( )= ( )=
du d dx d
" XX =
du dx d d
d ( cos (θ ) " ) dx
cos
( θ) "
=cos ( θ )2 " # ( 2 )
'eemplazando -/ en -,/: 2
2
cos ( θ ) " =36 cos ( 2 θ ) + 24 cs ( θ )+ 4
"ntegrando dos veces respecto a ((r)): cos
2
( θ ) " =12
3
(
cos 2 θ
) + 12
2
cos
(θ )+ 4 + % θ
" ( ,θ )=( 3 cos ( 2 θ ) + 6 cos ( θ )+ 2 + & θ + 'θ )∗cos ( θ ) 4
3
2
0plicando las condiciones iniciales: & θ=3 , 'θ=0
−2
θ
θ= 0
1inalmente haciendo r*z y 4
3
2
F ( =3 z + 6 z + 2 z + 3 '.( Evalúe la siguiente integral) usando el teorema de *oisson 2 π
3 θdθ ∫ csθcs ( a +bcsθ ) 3
0
Solución: 1
i)
&a!emos f -z/*f-r e ¿ *
( * − ) f ( * e iθ) dθ
2 π
2
2
∫ * −2 *c!s ( ) −θ ) +
2 π
2
2
0
2. -"/
2 π
dθ ∫ a + bcsθ
#rimero veamos que 3'r*! 4*+ y f-' e
comparando con -"/ tenemos *
0
iθ
2
/ *,. De estas relaciones concluimos * −
2
2
2
+ = a
*
√ a −b 2
2
¿ y f-r e i 0 ¿=1
∫ √ a −b
1 2 π
1inalmente ,*
2 π
0
2
2
dθ a + bcs ( θ ) 5
2 π
∫ 0
dθ a + bcsθ *
2 π
2.-""/
√ a −b 2
2
0hora derivamos -""/ dos veces respecto !. a
(¿ ¿ 2−b 2)5 /2 2 π 2 2 2 2 ( csθ ) dθ ( 2 b + a ) 2 π . 2-"""/ ∫ (a + bcsθ )3 = ¿ 0 2 π
2
(csθ ) dθ De forma similar comparamos ∫ a + bcsθ comparando con -"/ tenemos 0
csθ *
2
*
2
2
+ = a 3'r*! 4*+ y f-' e − * 2
√ a −b
1inalmente ,*
2
2
iθ
/*
¿ ¿ ¿
. De estas relaciones concluimos
i0
y f-r e ¿=1
∫ √ a −b
1 2 π
2 π
0
2
2
2
csθ dθ 5 a + bcs ( θ )
2 π
∫ 0
2
csθ dθ a + bcsθ *
2 π
√ a −b 2
2
2.-"6/
0hora derivamos -"6/ dos veces respecto !. a
(¿ ¿ 2− b2)5 /2 2 π 4 2 2 2 ( csθ ) dθ ( 2 b + a ) 2 π 2..-6/ ∫ (a + bcsθ)3 = ¿ 0 2 4 Dando forma la integral pedida cos θ cos7 θ * 8 ( csθ ) 37 ( csθ )
2 π
4
( csθ ) dθ ∫ 'eemplazando en la integral tenemos ( a + bcsθ ) 3 4
3
0
a
a
2 π
3
0
a
2 5 /2
(¿ ¿ 2−b ) (¿ ¿ 2 −b ) (¿ ¿ 2− b ) / ( 2 b + a ) 4 π 3 ( 2 b + a ) 3 π * ( 2 b + a ) π ¿ ¿ ¿ 2
2 5/ 2
2
2
2 π
∫
Concluimos que
0
2 5 2
2
2
2
a
(¿ ¿ 2− b ) / ( 2 b + a ) π ¿
2 5 2
csθcs 3 θdθ ( a + bcsθ )3 *
2
2
+. use el teorema de cauc,- para evaluar la siguiente integral ∞
− x . e ∫ −
x
2
2
(
cos 2 bx
) dx
∞
#or el teorema de cauchy sa!emos que: a
∫
0=
− x 2
e
b
dx + i .
−a
∫
−(a+ iy )2
e
−a
dy +
∫
0
−( x + ib)2
e
dx + i
a
0
∫
−(−a + iy )2
e
dy
0
Como la parte imaginaria de la integral se anuloan entonces : a
∫e
− x 2
0=
− b2
dx −e
−a
a
∫e
− x2
−a2
cos ( 2 bx ) dx + 2 e
−a
(∫ e
2
− x
−∞
2
dx )
∞
=∫ e
− x
−∞
∫e
y
0
0hora !asandonos en el hecho de que: ∞
b
∞
2
dx .
∫ −
∞
− y
e
2
dy
2
sen ( 2 ay ) dy
2
) dθ ∫ (a(+csθ bcsθ ) 3
x ∞
∫ e−(¿¿ + 2
y
2
)
dxdy
−∞
∞
¿∫ ¿ −∞
∞
∫ e−(¿¿ ) ddθ 2
0 2 π
¿∫ ¿ 0
∞
dθ
∫ e−(¿¿ ) d 2
0 2 π
¿∫ ¿ 0
2
( ){ =− ( − ) =
− e − π
∞
⇒
∫
2
∞
π 0 1
2
0
− x2
dx = √ π
e
−∞
π
$uego haciendo - + /que
a → ∞ la ultima integral se anulara por lo tanto
tenemos : − x
e
2
cos ( 2 bx ) dx
−b
=¿ e
2
∞
∫ −
− x
2
e
dx
∞
∞
¿ ∫ − ∞
∞
− e ∫ −
x
2
cos ( 2 bx ) dx
= √ π b e−b
2
∞
Derivando dos veces nos resulta ∞
x . e ∫ − 2
∞
− x
2
cos ( 2 bx ) dx
−b
= √ π e
2
2
( −2 b ) 1
2b
f ( z )=i z´
2
f : % → % tal que
. Sea
. %se la definicion de la diferencia/ilidad)
f no es diferencia/le en todo el plano
para demostrar que
z ) e0cepto en
f es analitica en el origen. ustifique su
el origen donde si lo es. Es respuesta. z = x + y . i z´ = x − y .i x
(¿ ¿ 2 − y ) i f ( z )= 2. x . y +¿ 2
f = lim ( I
z → 0
f ( z + z )− f ( z ) ) z
'eemplazando en la función
´
i ( z +´ z ) −i z f = lim ( ) z z → 0 I
I
f = lim (
(
2
´
I
)
i z´ + 2 z´ ( z´ )+ ´ z −i z´ 2
z
z → 0
f = lim (
2
( 2 z´ i+ z) z´ z
z → 0
2
2
)
)
Como sa!emos que el siguiente limite no e9iste entonces esta función no es ( z´ ) I f lim = ( ) diferencia!le en el punto -++/ z → 0 z 0hora confirmaremos que esta función es analtica por lo cual procederemos a utilizar la condición de cauchy rieman para analizar su analiticidad u ( x , y )=−2 xy - ( x , y )= x − y 2
2
Cumpliendo las ecuaciones de cauchy rieman por lo tanto esta función es analtica.
cos
( z ) dz ∨¿ 2
❑
¿∫ ¿
.( Encuentre una cota para
) siendo c la circunferencia de
c
radio 4 alrededor del origen. Solución: F ( z ) dz ∨¿ ❑
¿∫ ¿
&a!emos por propiedades de las integrales curvilneas
<$c
c
=al que
¿ F ( z )∨¿ < y $c es la longitud de la curva.
Comencemos acotando 1-z/ &ea > * 8 e
2
entonces cos- z ¿ *
2
|
( z 2)∨¿=
iz
2
−i z2
e +e 2
| | |+¿ ≤
2
2 iθ
−i z2
e +e
2-"/
2
| X + . |≤| X |+¿ . ∨¿
e
iz
2
−i z2
e
2
∨¿
2
¿ cos ¿
1 ∨ cos ( z 2) −isen ( z 2)∨¿ * 2
2
( * ,? e iz
e +e
Conocemos por desigualdad triangular
0plicando a -"/
entonces
−iz
iz
&e sa!e que cos-z/ *
iθ
1
* 2 ∨ cos ( z ) + isen( z )∨¿ @ 2
2
1 1 + 2 2 * ,
2
Concluimos que
¿ cos( z )∨≤ 1 2 π
2 π
∫ ¿ ( ´ (t )∨dt =∫ √ x / (t ) + y / ( t ) dt 2
0hora calculemos la longitud de la curva: $c*
0
0
2-""/ 2
2
#ero C: X + *8 >-t/*-8cos-t/8sen-t// +tA >B-t/*-38sen-t/8cos-t// 5 'eemplazando en -""/ 2 π
$c*
∫ 4 dt = 8 π 0
*<
|( ( t )|=√ 4 sen ( t ) + 4cos ( t ) = 4 /
2
2
2
1inalmente en: F ( z ) dz ∨¿
❑
❑
¿∫ ¿
<$c 5
¿∫ cos ( z 2 ) dz ∨≤ A-,/ c
c
cos ( z ) dz ∨¿ 2
#or lo tanto la integral
❑
¿∫ ¿ c
está acotada por A
C: '*8
