Stanisław KUŚ Prof. zw. Politechniki Rzeszowskiej
SZYBKIE METODY SPRAWDZANIA SIŁ WEWNĘTRZNYCH W KONSTRUKCJACH 1. WPROWADZENIE WPROWADZENIE W ciągu jednego pokolenia działalności zawodowej konstruktorów nastąpił niezmierny przeskok w zakresie zakresie narzędzi ułatwiających ułatwiających projektowanie projektowanie i obliczanie konstrukcji. Od okresu dominacji zagadnień mechaniki i uproszczonych uproszczonych metod obliczeń przy użyciu suwaka logarytmicznego przeszliśmy w erę elektroniki i dominacji komputerowych programów obliczeniowych. SAD, PC, CAD i CADD – tak często w literaturze li teraturze anglosaskiej skrótowo określa się poszczególne fazy tej transformacji. Slide aided design, personal computer aided design i computer aided design and drawings. Od suwaka z 3 cyframi znaczącymi do potężnych stert wydruków z dowolną liczbą cyfr niewiele znaczących, aż do pełnych rysunków roboczych konstrukcji. Konsekwencje Konsekwencje pozytywne tej transformacji są oczywiste: kilkutygodniowe, lub nawet kilkudniowe terminy opracowań projektu konstrukcyjnego, sukcesywne dostarczanie projektów na trwającą od chwili urzędowej decyzji formalnej budowę, a nawet całodobowe projektowanie z wykorzystaniem internetu i różnic stref czasowych na kuli ziemskiej. Ale równocześnie także zautomatyzowanie projektowania wprowadza wprowadza również konsekwencje konsekwencje negatywne. negatywne. Zanika twórczość konstrukcyjna, a konstruktor staje się w coraz większym stopniu specjalistą nie od kształtowania konstrukcji wraz z architektem, a od operowania programami i obsługi komputera dla realizacji tych konstrukcji, o których formie zdecydował klient, zleceniodawca zadania i architekt, który w przetargu czy konkursie podjął decyzję narzucającą rodzaj konstrukcji. Konstruktor staje się analitykiem i obliczeniowcem, obliczeniowcem, często nie znającym istoty istot y zastosowanego programu obliczeniowego. Więcej, niedoświadczony konstruktor nie jest w stanie śledzić przebiegu sił wewnętrznych wewnętrznych w konstrukcji i ocenić ocenić jej efektywność, efektywność, a nawet spełnienie warunków warunków równowagi. „Tak mi wyszło z komputera” lub „takie dostałem polecenie od architekta”– jest częstą odpowiedzią na pytanie czy nie można by zaprojektować inaczej, lepiej. W tej sytuacji istnieją dwie okoliczności w których szybkie metody sprawdzenia obliczeń mają istotne znaczenie dla właściwego doboru konstrukcji oraz dla oceny prawidłowości wydruków wydruków obliczeniowych obliczeniowych lub nawet komputerowych komputerowych rysunków. Pierwszą z nich jest faza wstępnego kształtowania konstrukcji, okres w którym zwykle wraz z architektem odpowiedzialnym za funkcję projektowanego obiektu trzeba znaleźć najbardziej
1
racjonalną, a więc logiczną, ekonomiczną i estetyczna formę konstrukcji, spełniającą wymagania użytkowe i możliwości finansowe klienta. Drugą natomiast jest konieczność szybkiego, przybliżonego sprawdzenia wyników komputerowych obliczeń, zwykle zawartych w arkuszach wydruków. Tym trudniej je sprawdzić, gdy są one zakamuflowane w najbardziej zaawansowanej formie, to jest na rysunkach lub nawet na dyskietkach. Istotą takiego pamięciowego pamięciowego lub tylko tylko kalkulatorowego sprawdzenia jest zrozumienie pracy statycznej konkretnego rodzaju konstrukcji, syntetyczne ujęcie i liczbowe określenie wartości najważniejszych strumieni sił ściskających i rozciągających oraz zapewnienie ich równowagi pod działaniem różnych kombinacji obciążeń zewnętrznych.
2. ZAŁOŻENIA -
-
Oczywiście sprawdzane konstrukcje muszą spełniać warunki równowagi i założenia wytrzymałości materiałów. Znacznie korzystniej jest operować całkowitym obciążeniem działającym na konstrukcję, niż obciążeniem działającym na jednostkę długości czy powierzchni. Wielkie konstrukcje przestrzenne, płaskie i liniowe można sprowadzić do uproszczonych schematów pozwalających na określenie wartości sił ściskających i rozciągających rozciągających wynikających z przepływu sił wewnętrznych. wewnętrznych. Decydującym Decydującym o wartości tych sił jest ramię sił wewnętrznych wewnętrznych mieszczące się w zakresie 2 d z 0,9d , gdzie „d” jest użyteczną wysokością wysokością przekroju. 3 Wartości ściskań „C” muszą być równe rozciąganiom rozciągan iom „T”, jednak ocena sposobu ich przeniesienia w konkretnym materiale jest różna, gdyż w betonie wobec jego niskiej wytrzymałości wymagany jest duży przekrój ściskany, a w stali zabezpieczenia przed utratą stateczności niewielkiego przekroju wymaga odpowiednich usztywnień. Zwykle ściskania przenoszą obciążenia grawitacyjne aż do fundamentów, oczywiście zawsze zrównoważone przez rozciągania, odpowiednio zakotwione. Warunki równowagi to Mz M w
T C
(1) Mz z
gdzie Mz – moment sił zewnętrznych Mw – moment sił wewnętrznych T – suma rozciągań ściskań ań C – suma ścisk
-
Bezpieczeństwo Bezpieczeństwo konstrukcji może być uwzględnione zarówno po lewej stronie nierówności jako globalny współczynnik 1,5 s 2,0 2,5 , zwiększający obciążenia, jak i po prawej stronie, gdy obciążenia Q z są wartościami charakterystycznymi (miarodajnymi), a wytrzymałości materiałów są obniżone do wartości naprężeń dopuszczalnych dop
f k
. W metodzie częściowych współczynników, współczynniki
bezpieczeństwa bezpieczeństwa są po obu stronach. Do obciążeń stałych wprowadza się G 1,35 , a do
2
obciążeń zmiennych Q 1,5 , redukują te wartości współczynnik jednoczesności 0,7 lub współczynnik redukcyjny =0,75. Natomiast po prawej stronie wprowadza się M 1,5 dla betonu i M 1,15 dla stali. Tym niemniej najwygodniej sprowadzić jest, przy obliczaniu momentu maksymalnego, współczynniki częściowe do globalnego współczynnika bezpieczeństwa. Warto zwrócić uwagę, że wprowadzenie współczynników częściowych, choć oczywiście lepiej określa wymagania bezpieczeństwa konstrukcji, rozmywa jednak w projektowaniu jego jednoznaczną treść. Warto również przypomnieć, że bezpieczeństwo w systemie Eurokodów jest nieco wyższe niż w poprzednich normach PN/B.
3. MOMENT OD OBCIĄŻEŃ ZEWNĘTRZNYCH 3.1. Maksymalne wartości momentów w rozpatrywanych schematach mieszczą się w zakresie: QL QL do 4 12
(2)
gdzie Q jest całkowitym obciążeniem, L rozpiętością
3.2. Maksymalny moment jest iloczynem połowy całkowitego obciążenia przez odległość środka ciężkości x tej połowy od podpory M max
Q x 2
(3)
3.3. Obciążenie Q można sprowadzić do obciążenia zastępczego Q takiego, aby mianownik wynosił „8” wg wzoru (4) Q Q l
4
2Q l Q 3 2
4
(4)
gdzie: Q - obciążenie zastępcze dające cyfrę „8” w mianowniku, a 1 4 , 1 2 , 3 4 - obciążenia w odpowiednim przekroju rozpiętości L. Zestawienie wartości momentów maksymalnych jako ilustracji stosowania zasady określonej w p.3.2. (3) przedstawione zostało na rysunku 1.
3
Q qL
M
qL2 QL 24 8
M
qL2 QL q 3 7,8
M
qL L 2 QL 2 2 2 3 6
M
Q
qL 2
qL L qL2 QL 2 2 4 16 8
Q
qL 2
M
qL 1 L qL2 QL 2 2 3 2 24 12
Q
qL 2
M
P L PL 2 2 4
Q P
M
3PL QL 4 8
Q 6P
M
Q QL x 2 8
Rys. 1. Zestawienie maksymalnych momentów jako ilustracje zasady (3) Wszystkie wartości momentów są iloczynem połowy całkowitego obciążenia przez odległość jej środka ciężkości od podpory. Zasadę stosowania obciążenia zamiennego Q przedstawiono na rysunkach 2a, 2b, 2c dla trzech różnych obciążeń
4
a) Q Q(1/ 4) 2Qs Q( 3 / 4) qL 2qL qL qL Q 4 4 4 QL 8
M
b) Q Q(1 / 4) 2Q(1 / 2) Q(3 / 4)
M M
2 qL 7 11 2 qL qL 8 32 16 Q L 11 2 qL2 qL 8 128 12
qL2 QL 12 6
0,086 0,083
M 1,03 M
c) M
PL qL L PL qL2 4 8 2 4 16
Q = O + 2(P + = 2P +
M=
1 1 qL) + qL = 8 4
1 qL 2
Q L 2PL 1 2 PL qL2 = + qL = + 8 8 16 4 16
M =M
Rys. 2. Sprawdzenie zasady stosowania obciążenia zamiennego Q (4) a - dla obciążenia równomiernego, b – dla obciążenia trójkątnego, c – dla obciążenia dowolnego Wykorzystanie tych zasad dla szybkiego sprawdzenia niezbędnego zbrojenia płyt i belek żelbetowych zostało przedstawione na rysunku 3.
5
założenia QL MZ 8
A
MW T .Z T AS f y
a)
7 QL s ASf y h 8 8
b)
L. s h AS Q . 7 f y
A A-A h
Q
L fc lub f cd C
d
Z T bezpieczeństwo: – metoda naprężeń
L 10 h
c)
L 15 h L 20 h
Przyjęto f y 41kN / cm 2 s 1,5 dla innych gatunków stali i innych wartości "s" odpowiednio dostosować mianownik AS
Q (cm 2 ) Q – kN 19 Q AS (cm 2 ) (5) 13 Q AS (cm 2 ) 10 AS
dopuszczalnych metoda globalnego współczynnika bezpieczeństwa
dop
f k
MZ = MZ∙s
s Q∙M – metoda stanów granicznych SG
fcd =
f
M
fsd = f y . K ~ 1,51,6 a = 1,11,3 /1,31,5/ c = 1,51,8; s = 1,15 s 1,3∙1,15 = 1,5 h 1 1 1 ; ; L 10 15 20 7 Z h 8
1
M
Rys. 3. Zbrojenie płyt i belek żelbetowych A s a – równanie wyjściowe, b – zbrojenie, c – wzór uproszczony Uproszczony i wygodny wzór (5) należy dostosować do konkretnego gatunku stali zbrojeniowej oraz odpowiedniego współczynnika bezpieczeństwa zgodnie z uwagami zamieszczonymi we wprowadzeniu. Przykład zastosowania zasady (3) dla szybkiego określenia zbrojenia płyty kołowej przedstawiono na rys. 4. W płycie kołowej występują momenty radialne M r i prostopadłe do nich momenty styczne (kołowe) M . Zbrojenie ortogonalne jest jednak korzystniejsze w wykonawstwie i spełnia warunki wytrzymałościowe. Zwykle z konieczności stosuje się je na środku płyty. Maksymalne wartości obu momentów są równe sobie w środku rozpiętości: M M r 0,1978 q r 2 ; 6
Równocześnie M r 0 , a M 0,1042 q r 2 na krawędzi obwodu, na podporze. Identyczną wartość sumaryczną M wzdłuż średnicy L=2r otrzymujemy metodą przybliżoną wykorzystując zasadę (3) (rys. 5). Pozwala to na szybkie określenie ortogonalnych zbrojeń płyty, gdy sumaryczny moment w przekroju A-A (rys. 4) wynosi: Q qr 2 M AA M BB 2 2 0,212r 0,332qr 3
Założenia:
D – środek ciężkości półkola A-B-A obciążenia Q/2 2 2r D . 0,425 r 3 P – środek ciężkości podpory A-B-A (półokręgu A-B-A) 2r 0,637 r P 0,637 r 0,425 r 0, 212 r
B r A
A D P
L Q .L. s AS 2 14,14 h f y
Q
q h
r AS 4 AS
r
AS 4
Gdy: s = 1,5 f y = 41 kN/cm
B
qr 2 . Q. MAA MBB 0,212r 0,332qr 3 (6) 2 2 Q. 1 3 0,212r AS . f y . . h 2 s 4 . . . Q 4 0 212 r.s Qr . s AS (7) 2 f y .3.h 7,07 h f y r
(6)
2
MAA
Q AS (cm 2 ) 20
L 20 h z 34h
MBB 1/ AS 4
AS
1/ AS 4
L
to suma rozciągań na całej szerokości płyty L = 2r wyniesie: T
a wymagane zbrojenie
Q Q r 4r 0, 212 (kN) 2 3 h 7,07 h Q L s 14, 4 h f y Q As (cm 2 ) 20
(8) (9)
As
w obu kierunkach prostopadłych
Rys. 4. Zbrojenie płyty kołowej A s
7
Przykład q 15 kN / cm 2 , L 5,0m, h 25cm Q 14,4cm 2 308 Q 289,38kN A s 20 Przyjęto: na środkowej szerokości 2,5m 8 co 12,5cm dodatkowo na skrajach szerokości 1,25m 8 co 25cm oraz na obwodzie 4 8 jako As (uwzględniając zmniejszone ramię sił wewnętrznych d < h i trudność zakotwienia krótkich prętów). a)
b)
M
qD
2
40
Rys. 5. Uzasadnienie metody przybliżonej dla płyty kołowej – porównanie momentów na średnicy L=2r a – schematy, wykres momentów M , b - zbrojenie Sprawdzenie prawidłowości metody obliczenia płyty kołowej polega na porównaniu wartości momentu stycznego M wzdłuż średnicy 2r z momentem obliczonym metodą przybliżoną (3). Jak wynika z rysunku 5 łączna wartość momentu M wzdłuż średnicy L=2r składa się z prostokątnego wykresu o wartości M 0,1042 qr 2 oraz parabolicznego o rzędnej M (0,1978 0,1042) . Daje to łączną średnią wartość momentu: M AA 0,3358 q r 3 0,332q r 3
5. ŁUPINY WALCOWE KRÓTKIE I DŁUGIE Podobnie w uproszczony sposób można określić siły wewnętrzne w łupinie walcowej krótkiej i długiej, jak również konoidalnej lub konoidalnej ściętej. Różni się ona od obu walcowych łupin głównie tym, że obciążenie Q z obu sąsiednich łupin przekazuje się na łuk i ściąg jednej przepony, a nie tylko na łuk w przypadku łupin jednoprzęsłowych (rys.6, rys.7, rys.8).
8
a) a) łupina walcowa długa
c)
b) łupina walcowa krótka b)
d)
e)
M A A
QL1
8
M B B
QL 2
8
Rys. 6. Schematy łupin walcowych krótkich i długich
9
a – łupina walcowa długa, b – łupina walcowa krótka, c – przekroje poprzeczne łupiny długiej oraz tarczownicy długiej: właściwy i zamienny przekrój obliczeniowy, d - przekrój poprzeczny łupiny walcowej krótkiej e – widok z góry i przekroje podłużne przepony i powłoki krótkiej. Zestawienie oznaczeń obliczeniowych: L1- rozpiętość wzdłuż tworzącej walca (L 1-krótka, L2- długa) L 2 2 L1 łupina długa L 2 0,5L1 łupina krótka q – obciążenie na jednostkę powierzchni łupiny q / cos2 obciążenie na jednostkę rzutu poziomego średni kąt pochylenia powłoki f – strzałka łupiny Łupina krótka Powłoka ta jest bardziej ekonomiczna niż łupina długa ze względu na większe ramię sił z f ) q L1 L 2 obciążenie na 2 przepony łukowe Q cos 2 Q L1 kierunek „x” – M x max x 8 Q L 1 siła rozciągająca i ściskająca w przeponie C1 T1 H 1 p 1 (10) 8f 2 qL21 siła ściskająca w górnej części powłoki p 8f pL22 kierunek „y” – ściskanie i rozciąganie w obu tarczach skrajnych Ty C y 8 0,67 L 2 belka skrajna obliczona na 0,5 ciężaru tarczy o szerokości L 2 Charakterystycznym przykładem łupiny walcowej krótkiej są typowe niegdyś przekrycia hal przemysłowych prefabrykowanych i sprężonych. Złożone z oddzielnych dźwigarów f 1 w fazie montażowej łukowych o dużym promieniu R = 1,875L i stałym stosunku L 15 były oddzielnymi dźwigarami obciążonymi płytami żebrowymi. Po zmontowaniu i zespoleniu płyt z pasem górnym dźwigara i precyzyjnym wypełnieniu styków wzdłużnych między płytami przekrycia dachowego stawały się dla dalszych poza ciężarem własnym obciążeń przeponami łupin walcowych krótkich. O nośności decydował wtedy rozciągany pas dolny – ściąg, gdyż strefą ściskaną stawała się łukowa powłoka. W obliczeniach uwzględniano dla bezpieczeństwa jedynie zespolony pas górny przepony bez współpracy łukowej powłoki.
10
G = 26 kN
KBO-15
G = 36 kN
KBO-18
G = 38 kN
KBOS-18
G = 65 kN
KBOS-21
G = 85,6 kN
KBOS-24
G = 52 kN
KBLS-21-lekki
G = 72,8 kN
KBLS-24-lekki
w ó t n e m g e s z e n a d a / l k s y r a ig , wz d
Rys. 7. Dźwigary kablobetonowe jako przepony łupin walcowych krótkich po zespoleniu z płytami Łupina długa Model rozkładu sił wewnętrznych jest zbliżony do rozkładu sił w belce. Wysokość belki odpowiada wysokości przekroju łupiny lub tarczownicy, a szerokość – sumie szerokości obu łuków ich przekroju poprzecznego „b”. Przy tej samej wysokości f, ramię sił wewnętrznych jest znacznie mniejsze niż w łupinie krótkiej qL L obciążenie na 2 przepony Q p 12 2 cos Q L2 moment w przęśle M x 8 sił ściskających rozciągających w powłoce (rozciągających na 2 krawędziach) QL 2 QL 2 TC 2 8 f 5,3f 3 moment działający na 1 przeponę My -
QL1 1 8 2
(11)
M y Q p L1 8f 8f M QL 2 6 3 QL 2 krawędziowe naprężenia ściskające w powłoce x W 8 bf 2 4 bf 2 ściskanie w łuku i rozciąganie ściągu Ty H y
11
Konoida ścięta Konoida geometryczna jest ustrojem niekorzystnym, gdyż obciążenie z powłoki przekazywane na słup w narożu ( 0,25Q) płaskim (przy prostej kierownicy wywołuje jej zginanie. Korzystniejszy jest schemat pochylonej powłoki walcowej ściętej (rys. 8), gdyż załamana łukowa krawędź powłoki skierowuje ściskania do podpory. Również ściąg powinien być nie prosty a zakrzywiony. Obciążenie całkowite Q = suma obciążeń powłoki łukowej przepony i świetlika QL Moment działający na przeponę M 1 8 QL1 1,1 Siła w łuku przepony C (12) 8f f cos QL1 1,1 Siła w ściągu T 8f f f strzałka konstrukcyjna ściągu dla odprowadzenia wody z przekrycia i wywołania naciągu wieszaków; f 0,1f , T 1,1T Strzałka wywołuje również przyrost siły w ściągu i łuku. Tarcze skrajne wzdłuż rozpiętości L 2 pracują podobnie jak w łupinie walcowej krótkiej i wymagają belek brzegowych.
Rys. 8.”Konoida ścięta” – schemat
12
6. POWŁOKI I TARCZOWNICE KRZYŻOWE, KLASZTORNE, SEKTORIALNE Pomocnym wprowadzeniem do szybkiego syntetycznego obliczenia sił wewnętrznych w wymienionych w tytule powłokach jest zrozumienie wpływu kształtu na podstawowe siły wewnętrzne w tych konstrukcjach. Pomocna jest analogia do łuku trójprzegubowego, którego schemat odpowiada sztywnościom przekrojów przekątnych. Na rysunku 9 przedstawiono schematy różnych łuków trójprzegubowych jako wprowadzenie do zagadnienia analogii. a)
b)
c)
d)
tg
tg
tg
2 f L
4 f L
4 f 4 f 2 L L
Rys. 9. Łuk trójprzegubowy jako wprowadzenie do rozkładu sił w powłokach sektorialnych a- schematy łuków: prosty, paraboliczny, kołowy i eliptyczny, b- wykres momentów w każdym schemacie, c- wykres sił na podporze, d- kąt pochylenia łuków.
13
a)
c)
b)
d)
Rys. 10. Powłoki i tarczownice krzyżowe i klasztorne (ostrosłup) a – widok aksonometryczny sklepienia krzyżowego, b – j.w. klasztornego c – rzut i przekroje, obciążenia z obszaru zacieniowanego przypadają na 0,5 przekątnej d – schemat obciążenia Łuk trójprzegubowy jest dlatego charakterystyczny, gdyż jeżeli przeprowadzimy przekroje prostopadłe do przekątni powłok (rys. 10c) widzimy, że sztywność przekrojów w zworniku i wezgłowiu jest dużo mniejsza niż w przęśle. I zwornika I wezgłowia I przęsła 14
Niska sztywność działa w konstrukcji jak przegub, co pozwala na łatwe przybliżone obliczenie sił wewnętrznych. Wzdłuż krawędzi przekątnych koncentrują się ściskające siły podłużne „N” zapewniające przekazanie odpowiednich obciążeń do podpór, gdzie są równoważone przez obwodowe rozciągania. Jeżeli kształt przekątnej (np. elipsa dla kołowego sklepienia krzyżowego) różni się od krzywej sznurowej (np. paraboli) to pojawiają się dodatkowe momenty przęsłowe dodatnie lub ujemne (rys. 9b), oraz siły poprzeczne przy podporze (rys. 9c). Rosnący kąt pochylenia przekątni przy podporze od prostej do elipsy informuje o możliwości betonowania, gdyż przy 30 ze względu na spływanie betonu konieczne jest podwójne deskowanie, lub stosowanie betonu natryskowego. Tak więc łuki trójprzegubowe o różnym kształcie mają te same wartości podstawowych sił.
RA
QL QL 1 ; HA , N A H A , 2 8f cos
ale VA 0 lub VA 0
(13)
Przykładami zastosowania są sklepienia lub tarczownice przedstawione na rysunku 10 i 11. Na 1 łuk trójprzegubowy przypada „trójkątne” obciążenie Q z powierzchni 2A L2 A 4 qL2 2 Q 2 4 cos gdzie q – obciążenie na 1m 2 pochyłej powłoki (kN/m2) 2QL 2 QL 2 H f H T 8 4f
(14)
Ściąg na siłę rozporu H=T można zastosować wzdłuż obu przekątnych, lub wokół obwodu QL Hx H y 4f Ściskanie wzdłuż przekątni: N H / cos f - dodatkowy moment ujemny M N (w przypadku tarczownicy) dla usztywnienia 4 powłoki. - dodatkowe belki brzegowe M 0 9w przypadku elipsy) Analogicznie można wstępnie określić siły w powłoce sektorialnej na dowolnym wielokącie na przykład jak na rysunku 11 z tym ze wtedy na 1 łuk przekątni przypada obciążenie: Q
2QA 8
15
H y
H
Hx A
0 0 , 0 1
H
Rys. 11. Powłoka sektorialna 8 falowa Kształt fali ma znaczenie drugorzędne: zakrzywione są trudniejsze w realizacji, ale korzystniejsze statycznie i estetycznie (cylinder, HP) fałdy proste bywają stosowane w przypadku konstrukcji metalowej.
7. KOPUŁY OBROTOWO SYMETRYCZNE Korzystając z poprzednich rozważań można szybko określić główne siły w kopułach (Rys.12)
Rys. 12. Siły wewnętrzne w kopułach, stożkach i paraboloidach obrotowych
16
Siły powłokowe są w istotnym stopniu zależne od krzywizny południków. Można je jednak analogicznie zestawić dla kopuł kulistych, stożków paraboloid i elipsoid obrotowych, gdyż o łącznej wartości równoleżnikowych ściskań „C” i rozciąganiu pierścienia dolnego „T” decyduje suma obciążenia i ramię sił wewnętrznych, a nie pochylenie południka przy podporze stąd: obciążenie kopuły kulistej Q 2qR 2 1 cos obciążenie kopuły stożkowej Q qr 2 / cos2 R
2 r 2 4f 2
8f 2r 2 R 8f cos Środek ciężkości obciążenia 2 2r (półkola A-A) SCO 3 Środek ciężkości podpory 1 2r (półokręgu A-A) SCO 3 Q 2 1 2r Qr M AA 2 3 3 3
..(15) (koło) (parabola)
3 z f 4 TC
4Q r Q r 63 f 14,1 f
(16)
Sprawdzenie 2r 30m f 4,20m q 3,0kN/m2Q 2285kN r 3,57 T C 578,8kN f obliczenie ścisłe: T 591kN T 12,9kN 2,1% Stożek j.w. Q 2185kN T 553kN W analogiczny sposób można określić siły wewnętrzne w rozciąganych kolejnych współśrodkowych pierścieniach kopuł cięgnowych (rys.13) /tensegrity dome/ Podstawowym elementem ściskanym jest w nich pierścień obwodowy wsparty zwykle na słupach, oraz kolejne słupki przekazujące obciążenie grawitacyjne do kolejnych pierścieni rozciąganych. Ramieniem sił wewnętrznych „z” jest każdorazowa wysokość słupków od górnych do dolnych (rys.13). Łatwo udowodnić, że w kopule jednakowa teoretycznie jest objętość ściągów radialnych i ściągu obwodowego V (rys. 13b, c) jak również mieszanych cięgien radialnych i współśrodkowych VT (rys. 13d). Stąd też i kolejne (kratowe zwykle) poziome pierścienie dwupasowe czaszy cięgnowej (rys. 13e) podwieszane są do niższych ukośnymi cięgnami radialnymi. Siła ściskająca w górnym pasie pierścieni jest zmniejszana lub likwidowana przez naciąg radialny cięgien górnych, również kotwionych w tym samym skrajnym pierścieniem ściskanym. Otrzymuje więc on 17
ściskanie od poziomej składowej ukośnego nośnego cięgna dolnego T 3 oraz składową cięgna napinającego. Na rysunku 13 cięgna pierścieniowe nośne oznaczono , natomiast ich pierścieniowe pasy górne . Dla usztywnienia styku słupków z górnym pasem stosuje się cięgnowe górne usztywnienia przez ukośne górne cięgna zastępujące radialne (rys. 13g). Cechą tych konstrukcji są duże odkształcenia wywołane śniegiem, gdyż to obciążenie jest zwykle około 3 razy większe niż ciężar własny ( 0,3 kN / m 2 ) . a)
Q 2
Q 2
C
z1
3 z~ 4 h
h
z2
T
2r 2r 3
Q 1 Q2 Q3 Q
e)
z3
2 2r 3 1 2r 2r 3
SCO
r
, , pierscien , sciskany
SCP Q 2 r r M - = 2 . 3 = Q . 3
b)
, pierscienie dwupasmowe
f)
1 2T = 2C = z . M - Q. r
Q r
T = C = 6 .z ~ 15 h
(1)
Q . r 2r 2 r2 V(T) = 6 .z . f = 6 Q . z.f t t
(2)
wieszaki
g)
T
ciegna , , pierscieniowe , , pierscien , sciskany
VT , , pierscien rozciagany ,
wieszaki górne i dolne
h)
T
ciegna , radialne / slupki
, VT sciagi , radialne
c)
C T
VTb = VTc = VTd VT =
const
(3)
, pierscien , sciskany
d) T 3 T 2 T 1
, , sciagi , i pierscienie rozciagane ,
Rys. 13. Porównanie rozkładu sił wewnętrznych w kopule i czaszy cięgnowej a – kopuła, b – czasza cięgnowa
18
8. WSKAŹNIK EFEKTYWNOŚCI PRZEKROJU Podobne szybkie metody obliczeń przybliżonych można oczywiście wyprowadzić dla różnych ukształtowań konstrukcji. Użyteczne jest natomiast porównanie efektywności przekroju o różnych ukształtowaniach, a o tej samej wysokości „d” i tej samej powierzchni przekroju „A”
Ix Ad 2
(17)
gdzie Ix – moment bezwładności a) x
C
A/ 2
A/2
x
z
d
Jx = Jo + Ad2 = Ad2
T A/2
A/ 2
b)
A = const A
x
A
0,04
Jx 2 Ad
Jo
0
Wx = 2.Ad A A/ 2
~0,01
=
d = const A
M = Mx 2 Ad Wx
x =
0,08
A/2 A/ 2
~0,16
A/ 2
~0,20 Jx Ad2
W x=2 Ad
dHEB
1/ Ad 2 4
1/ A d 2
0,25 = 1/4
1,0 0 d
0,5 d
d
~1/6 Ad 2
1/ Ad 3
0,167 = 1/6
0,89 d
0,41 d
d
~1/9 Ad 2
1/ 4,5 Ad
0,11 = 1/9
0,77 d
0,33 d
d
1/ Ad 2 12
1/ Ad 6
0,08 = 1/12
0,67 d
0,29 d
d
2 ~1/13 Ad
1/ 6,5 Ad
0,077 = 1/13
0,65 d
0,28 d
d
1/ Ad 2 16
1/ Ad 8
0,063 = 1/16
0,59 d
0,25 d
d
1/ Ad 2 24
1/ Ad 12
0,042 = 1/24
0,50 d
0,20 d
1/ Ad 2 24
1/ Ad 12
0,042 = 1/24
0,67 d
0,20 d
d
z
J
Jx
=
M z=M = C T
d
r= A =
d
Rys. 14. Porównanie efektywności przekrojów wskaźnikiem 19
Porównanie wskazuje, że przy tej samej ilości materiału „A” można uzyskać 6 krotne większą nośność symetrycznego przekroju. Najkorzystniejsze są przekroje dwupasowe (bez środnika) dostosowane kształtem do wykresu momentów zginających, kratownice dwupasowe (rys. 7), profile HEB, a najmniej profile o materiale skoncentrowanym wzdłuż osi obojętnej. Przekrój krzyżowy jest jedynie porównawczym przekrojem fikcyjnym. Jeżeli natomiast pominiemy założenie o stałej wysokości jednakowego przekroju A to przekroje dwupasowe są 20 razy korzystniejsze (rys. 14b). Sprawdzenie: 2070 0,167 2 30,9 20 1520 0,162 PN I 200 23,4 202 5700 0,182 HEB 200 78,1 202 PN I 200
Podsumowując, można uważać, że przedstawione szybkie uproszczone metody sprawdzania obliczeń są zbyt proste, wynikają właściwie z podstawowych założeń mechaniki budowli, doświadczenie projektowe wskazuje jednak że jako syntetyczne określenie sił wewnętrznych, dobieranie przekrojów i określenie ich sztywności do modelu komputerowego bywają użyteczne.
20
