Kunci Jawaban, Silabus, Rpp Mat Xia Program Ipa 2011

r e b m r u a S j a n l e a B d t a l A i s t a u k k o a l A W

a k i t s s t i u a b t a l i S S I b a B

. h a l a s a m n a h a c e m e p m a l a d g n a u l e p t a f i s t a f i s n a d , n a h a c a c n e p h a d i a k , a k i t s i t a t s n a r u t a n a k a a k n i t u g a g m n e e M . 1 t . / . I a . . X M 1

: : : : r e t s e m e h S a / l s o a k l e e S K

i s n e t e p m o K r a d n a t S

n e m u r t s n I h o t n o C

n a i a l i n e P k n e u m t n u r e t s B n I k i n k e T n a i a p i a s c n e n t e e P p r o m o t a K k i d n I

n a r a j a l e b m e P n a t a i g e K

, , - s , a - s , a - / I , e a A r 8 e a A r 0 t 4 t 3 a A X A l I P P a l a a P a – – M s I I m e w 1 e w 1 e S a s M M i i t k K m K m a r r l a a n R r a a n a u e m n G a r a M t k a g P a i P k g P a P k K r o n m u i o n m n r g d u i r a k t P a E u k t a l a l o p P t a A a t e r S u u a I I a a i n h n h B m B m X I X I B k t M P D . 1

i s n r e a t e s p a D m o K

. 3

p j 4

m a r g a i d n a k i . t t a u h i k r r e e P b

k a s a i r m e e S M

r a b m a t a i g r r e e C B

° 0

n a l i p m

a r 2 i e t d eK i e r e p S o l k i ° s i a s S ° 0 5 n n 0 h a l a j a E ° 6 M 0 a d g 3 i a o r l b h a l a T O

. u , n - . - - . r r e a n a a k m a s . c a b l u j a l i u . 5 5 m a a p p 5 6 m b i n p r t b k m 1 1 a r e k a p u i t g e a i m p a a s d s r l s b k r . . y i e k p n e e e u p b e m a t d n d e s l l r i a e r o a 5 e p a b t e k e K s p i t . r 4 s m i e r i n h e k k a r r s s l a a a c a e r e m e e n p 5 5 5 u i 0 t a k S t k b s y 2 3 4 r 3 e a m u e k n K g a e 1 1 1 g j u a e i s a l k r n n s a b k i e u a k . . . u n o e i a k D n a K s J S b y t e a b c

n a a h d i n l i a P g

s i l u s t e r e T t i a n a k l e s c m c o b a i a a l d a p a n i a l t f b b m d e . o k . m d a m l e l u m k e a b e e t n i t e s m g t a a k n r m r g i . e g m t e b u a u n k m a u t u u a p b i p s p t d t r m a m m a n g t l m n t a a a a a e i a a a a n a M k M d b d M d d d 1 2 3 . . . 1 1 1 . . . 1 1 1 . k k k k i m m m m n h o o o s o a a l a l a l a d a l n l p p p i e p t a a a a m m . m u m s d d d d n i o l o l o k l o l . l l a l e n . l r a g a . a r e e m e f e a a a a a k i n g g g g k k k r k t s g k g r . r g r n r . a g i r i g t g r t l e e e o e o e e e i n a n a n i n b s n t b i v g b i g t u t u b t u g t u l b b i s l n t a t a a h a o a g a t e s a o t t t t a a a m p t m t a p t . t m a k a k a k a k a a r a a r a l a r d d d d n m u u u u t e d g d g d g t t a a d b a n a n a t n a a i a a i a a n k l i a a a c d c d c d c e c e c e c e s a c t a d a a b a b a b a b a a a l . k b k b k l b b b b e h b k u e j u b t u t u t m m m m t m a m m n m m n t n l a m a m a a m n l l l i e l e t e e e e e n e e s a e a e a e a e a s M i M b M b M b M b p M d M d M d M d –

/ k n a o r k j a o a P l e i r b e m t a e M P

. 2

–

–

–

–

–

–

–

–

a k i t s i t a t S , , a k t a g n u i a a t n d n d a r a t k e . n a a e c b a b g v n a d i l i b m l , g m s o e a m i l r a e a b r a n a a g g d M d t 1 . 1

Matematika Kelas XI Program IPA

1

r e b m r u a S j a n l e a B d t a l A i s t a u k k o a l A W

a k i t s s t i u a b t a l i S S I b a B

. h a l a s a m n a h a c e m e p m a l a d g n a u l e p t a f i s t a f i s n a d , n a h a c a c n e p h a d i a k , a k i t s i t a t s n a r u t a n a k a a k n i t u g a g m n e e M . 1 t . / . I a . . X M 1




n a i a l i n e P k n e u m t n u r e t s B n I k i n k e T n a i a p i a s c n e n t e e P p r o m o t a K k i d n I


, , - s , a - s , a - / I , e a A r 8 e a A r 0 t 4 t 3 a A X A l I P P a l a a P a – – M s I I m e w 1 e w 1 e S a s M M i i t k K m K m a r r l a a n R r a a n a u e m n G a r a M t k a g P a i P k g P a P k K r o n m u i o n m n r g d u i r a k t P a E u k t a l a l o p P t a A a t e r S u u a I I a a i n h n h B m B m X I X I B k t M P D . 1


. 3

p j 4

m a r g a i d n a k i . t t a u h i k r r e e P b

k a s a i r m e e S M

r a b m a t a i g r r e e C B

° 0

n a l i p m

a r 2 i e t d eK i e r e p S o l k i ° s i a s S ° 0 5 n n 0 h a l a j a E ° 6 M 0 a d g 3 i a o r l b h a l a T O

. u , n - . - - . r r e a n a a k m a s . c a b l u j a l i u . 5 5 m a a p p 5 6 m b i n p r t b k m 1 1 a r e k a p u i t g e a i m p a a s d s r l s b k r . . y i e k p n e e e u p b e m a t d n d e s l l r i a e r o a 5 e p a b t e k e K s p i t . r 4 s m i e r i n h e k k a r r s s l a a a c a e r e m e e n p 5 5 5 u i 0 t a k S t k b s y 2 3 4 r 3 e a m u e k n K g a e 1 1 1 g j u a e i s a l k r n n s a b k i e u a k . . . u n o e i a k D n a K s J S b y t e a b c


s i l u s t e r e T t i a n a k l e s c m c o b a i a a l d a p a n i a l t f b b m d e . o k . m d a m l e l u m k e a b e e t n i t e s m g t a a k n r m r g i . e g m t e b u a u n k m a u t u u a p b i p s p t d t r m a m m a n g t l m n t a a a a a e i a a a a n a M k M d b d M d d d 1 2 3 . . . 1 1 1 . . . 1 1 1 . k k k k i m m m m n h o o o s o a a l a l a l a d a l n l p p p i e p t a a a a m m . m u m s d d d d n i o l o l o k l o l . l l a l e n . l r a g a . a r e e m e f e a a a a a k i n g g g g k k k r k t s g k g r . r g r n r . a g i r i g t g r t l e e e o e o e e e i n a n a n i n b s n t b i v g b i g t u t u b t u g t u l b b i s l n t a t a a h a o a g a t e s a o t t t t a a a m p t m t a p t . t m a k a k a k a k a a r a a r a l a r d d d d n m u u u u t e d g d g d g t t a a d b a n a n a t n a a i a a i a a n k l i a a a c d c d c d c e c e c e c e s a c t a d a a b a b a b a b a a a l . k b k b k l b b b b e h b k u e j u b t u t u t m m m m t m a m m n m m n t n l a m a m a a m n l l l i e l e t e e e e e n e e s a e a e a e a e a s M i M b M b M b M b p M d M d M d M d –


. 2

–

–

–

–

–

–

–

–

a k i t s i t a t S , , a k t a g n u i a a t n d n d a r a t k e . n a a e c b a b g v n a d i l i b m l , g m s o e a m i l r a e a b r a n a a g g d M d t 1 . 1


1

r e b m r u a S j a n l e a B d t a l A i s t a u k k o a l A W n e m u r t s n I h o t n o C

n a i a l i n e P k n e u m t n u r e t B s n I

- / I , a A X A M P m I s e S s t a a l a k n u e m t k M r i n K a d g p E u a A o r e S k i B t M P D . 3

5 5 2 5 5 2 5 , 7 , 7 , 8 , 9 , 4 4 4 4 4 . . . . . a b c d e

- n i . r a t t s g u i s i k n d i e l n r a e u 2 5 8 3 1 e l b u b k e r a t i a F n a k i a l t k i a i t n m i 0 0 0 0 0 a i e l a 2 3 4 5 6 i – – – – – h 1 1 1 1 r s t N 1 a 1 2 3 4 5 e u P b M . 2

o N

a d a p . a . . t a . d h i r l a a a 5 0 5 0 5 d d 7 , 0 , 2 , 5 , 7 , s a 3 4 4 4 4 u l 3 3 3 3 3 d e o b . . . . . a a b c d e M t

1 2 3 4 5

n a a h d i l n i a P g

i u a t n a e s g . n m k e l a i t m a s a a d t l l a e p d p g t a n u t o k t i r a r n e e a B b k

i s n e u 3 4 2 1 m 7 5 k e r F ) m 3 7 1 5 9 3 7 a 0 1 1 1 2 2 r 0 2 2 2 2 2 g 2 – 2 ( – – – – – – t 0 8 2 6 0 4 0 4 a 0 1 1 2 2 r 2 2 0 2 2 2 2 2 e B

a , 1 t a m a a t d r a i r r g a 5 a , d t 8 n 1 , a r a 2 : m i t . d t n i a l e u a l a r e b k i e p m u n b a e t a s n k . . i r e a e t J t b

. 3

n a i a r U

k i n k e T n a i a p i a s c n e n t e P e p r m o t o a K k i d n I


, ) . - k k n . - - - k l - - l i l u a t u a o a t u e a t u e r i t t r t y g y e t t p d a n n e n e n n g n n b u e e l m e l k e e , e e l n ( s n p n p a o i r n u n s t e n l e e n l e e n a n t a a a e e . a . m r g p m r k m m a a d t ) r l r r d k n u g u e , t i a o u u u k n a u k i l n u k d u k p u t p u b t p u n p u n p u d r , e l m a a s m a m a m m n a i o n t u r a n r a n r l s a a t e a e a a a k a a a a e M k d d M k d ( p M k b M k b k 3 4 5 6 . . . . 3 3 3 3 . . . . 1 1 1 1 , n , , a - l - i i u t . u l t m t a l a r a r a a d a a k u , g k u a d g k g k g m g a n n a n a n a n r u j u j g t , a , a , k g a a a n n r a n g t a a , t a n b a u p t a a u a r d a p a n a k i m - u k i m a g s r g s t a k g . a a n l n , t a i , a i a l r n k j t r b j t r a r n a o g a n n g a n u a a n u a p p u k u k m m t t r g g i r g i i o a n n h t a n s l h t a g n a e g n a n a p p n a p n k e n i m a r m m e n i e i M a s s M a s d b –

–

/ n k a o r k j o a a P l e i r b e t a m e M P i s n r e a t e s p a D m o K


3

r e b m r u a S j a n l a e d B t a l A i s t u a k k o a l A W

g n a u l e P I I b a B

. h a l a s a m n a h a c e m e p m a l a d g n a u l e p t a f i s t a f i s n a d , n a h a c a c n e p h a d i a k , a k i t s i t a t s n a r u t a n a k a a k n i t u a g g m n e e M . 1 t

. / . I a . . X M 1 : : : : r e t s e m e h S a / l s o a k l e e S K 4

Silabus



n a i a l i n e P k n e u m t n u r e t B s n I k i n k e T n a i a i p s a c n e n t e P e p r m o o t a K k i d n I


, , - s , a - s , a - / I , e a A r . e a A r . t . t . a A X A l P P a l a a a M P m I I I s e w . e w . e S s . M . t M i i a a m K m K r r l k a n n a a n R G a r a a a r a a t u e m k a i P k g P P k g P M n K r o o m m d i r n E u g u i r n a u t a p k t a l k a P t a l P t a A o r e u a I a u I n a S i n B m X I h B m X I h B k t M P D . 1


. 3

p j 0 1 , n n I a 1 X s k ? I m n a a m i a a t a t t l X d k k o a s e y i t s I a g , a h t k n k a u g l a a o n m e i l r a t u X X b e u a a k s s b g d a n g a e k a e a i e m l a l n k r a p b i e e s a w k r J s a w a m k s k e . u d i s r e i u b a r s a a t e a a s b m w w n 5 w 1 h w g i s s s , a r i i e n i I s n b a s m a s s i I r i a a D 6 7 d y 5 i t s d X c

. 1

i 2 r n a a P n d a · 3 n m ! 3 P 3 0 1 i a = n a l s 2 = i = r n e C 1 2 1 + P n + n p n 6 C n . 2 a t C 9 · k p u · 0 1 u a k 2 n t t i n i r e e e . . . T s b a b c . 2

n a a d h i l n i a P g

n a i a r U

n a i a r U

, - t - a g 0 8 1 n a g r d a g n 8 4 e n p n t k a l a a a l a a l k i m i g k u 4 6 g 6 b e b n a r . . n n u s k a d e i b d e a a a y t - a t . t a y a d . a n p n g k , u a a a n a . r B g 5 s i i d y . 0 0 0 n , n d . n 2 8 6 a 4 u r a e n a h a 1 1 3 s e , i g u k l r 3 u t k g a g s s n n n u n d . . . a , i D 2 d a a a s a a a b c

. 3

s i l u s t e r e T t n / n n / n n / n a n a n a . a n a a a k a k a k k i k k n n n u k a n u i u i a t a t t k k a i n g n l n g n n g n e n u a e n u e n u n u g k n u g . n u g i g . e m g r e m g i e s e s m m n e e p m e n e n m a e t u k e a n u k u k i k k k u m m m n p a p a p a b a y y y m a r m n r a a m m n r m n r u a a a r a a a t e a a a o M b c a M b c p M b c k 1 2 3 . . . 4 4 4 . . . 1 1 1 i i . / r i . - n i n n g n r i . n s l . i u u e u o s r a t a n a e s b e i a a a e s s a r r a t r k m m m p b a m n b a i n i a u n u r r m r u k u a r t t o i y t f e n k e e l e b g u k e a t b g i g n m p p p a a l a r e n n b n p n r m n m a n e a m n n a n o u k a a n i s a o y m u t a y r p n i i a a p i a e i a t i m o t k o t u a u r t t t a l l r r e s r p k g r r r s a e s a a e e m n a u u e e r e n u o n k g o n g g t k a t u g g e g a e n m s a n s a a k r n a n d , m b n n n e u g e g y e a i u a e e e e s r n n n p r n n k n n p n p a b p p p n a a a t i n a e a n k e b u u n n k n n n . n k i d n a a a k a i d n g a t g . a a k a k a a a a . a a n a g m i a i k k . u . s k k k k n n t s s k n r g m s i e u n s s e a s t s n b n l s k n s k e a u e e l u n a a a a l l a l a l a a a e s l a k p i e l u g l g i e b l i l t u l l i e e g , b n n n m n b e e y e u e e d j e s y j . a j j a y a j j u n i m y u e . m g g n i h n n k k n n k n n n . n i n a a i n i r r r r l . s b b n r l e e e e e e e e a e s e e n e s a e s e u e a e e u e a a i a M m a M a y M a M M p M p M b p M r M t t t h M n M M h M c k –

/ n k a o r k j a o a P l e i r b e m t a e M P

. 2

–

–

g n a u l e P . n n n i - h a a s e a a i l k l d m a a i a a k s n e n r s i p a e u p t a m b g g n u m n m m n a a r r l a e t u e o a h a M a p k d c 4 . 1

–

–

–

–

–

–

–

– –

–

r e b m r u a S j a n l e a B d t a l A i s t u a k k o a l A W n e m u r t s n I h o t n o C

2

0 6 1 1

. d

4

0 5 7 1

. a


. e

. b

3

6

. c

, s i g s g k i g k i u s i n a d n a d r a n a a r d a j a a d u i i n i j s r a t u u t n g t . l l e n n o a e g ? e g e ? e e a e s r r m s p n m i p g s k a p n r u h a a r a r i a a r i g r h e h h i t a l u n o i s d p o l p o l e i g a e i r a a p e r h i , n r s p n r s p k o a d e e e r e e e r e a e e b 7 u i u B s t p B s t s r b n a t n a e k e a . . D s a k d a b . 1

. k l h t u i k g h g a h a e a a l a p u n a n r t a a u u a u o a r a c b b s b y b u e k h j l e a ; a r m e a e i s s u s u e k u u h p a i d u t n u d b a d a l l p d g i a e k i i u n l j b l b i u 9 a j b a i a m u p . s t m n t a k b a , a k a a n n 6 i i e a p u : a k a a t m g a k d s d s t d d n n a n m a r a r a e e a c . . e d e d T t P t s a a b . 2

n a i a r U

k i n k e T n a i a i p s a n c e n t e P e p r m o t o a K k i d n I


n g g n n n n n a g n n n n n n n n a i a u a i a i a i a n a n n i a a a i a a i a i a i i s p d g g a a a t t t t t i d t d t d r r r a r r n r r r y y u n i n a a a l r e u e e e e . e j e j e j a a e d e e e n n b g g h g g n n i g k g k g k s p . a a i a a i n n . i n i n n i r n . n s n a i t g a s e g d d e e e e g g e a g e s r g i g g u d n n p n j p . n p . p d p i p b n p t a j a . n a e n n g a a a a k j a e s e n e m j a e a a e n u u k u u u r l a l u k . k b l a k u e l u u e l r k . a e l p e e m e i e . g g y n n e n a p . e e a r n p p n p n d n . n n n . n a n p n n s p a a . a r f i a j . a i u n n p l g g l g s a r g a i a j a i a u n g n a g d a a a d r k i g a e a a d a k a a k l k k k k k k a k e i i t e t d h n a n . s n b s b n t i s i u t u j s i s m s n k d n . i t n V n d s s n u s s u e a t u a n b i u j u u s l b a k a a a a a t a t r s e a a a a t t t n n n n n i i i j j l l i l l i i l l l r a b a u e e n h k e i g m l e h i a e h e t a e g a h a h a h a e e i e n e i e i e g u j d a h j a y i j j n e k a y t g d b n g k j d g g j d g g j d g y u n t n a n u j u r n r n k n a n i n a n i n a n s n n n s n t m n n n g a a a j b a e a e j e l e j e l e j e r e s e u e s e b e a e j a e e e a e u e e e a i u i e e a e a e r M u M k M m M p M f s M k M g M d M k M g d M d M k M s M k M s M k M b –

/ n k a o r k j a o a P l e i r b e t m a e M P i s n r e a t e s p a D m o K

6

Silabus

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

r e b m r u a S j a n l e a B d t a l A i s t a u k k o a l A W n e m u r t s n I h o t n o C


i r t e m o n o g i r T I I I b a B

k i n k e T

. a y n n a a n u g g n e p n a d i r t e m o n o g i r t s u m u r n a a k k n i t u r a u m n e e M . 1 t . / . I a . . X M 2



n a i a p i a s c n e n t e P e p r m o o t a K k i d n I


, – , – - s , a - s , a - / I , e a A r 1 e a A r 5 a A X A t t l I P P a l 0 a a a M P m 5 I I s e e e S s w 1 M w M i i t a a m K m K n r r l k a n a a n R G a r a a a a u e m t k a r a i g P m M P k g P P k r n K o o m d i r n a E u g u t u i r n a p k t a l 4 k a P t a l P t a A o r e u a I a 4 u I n a 2 S i n B m X I h 1 B m X I h 7 B k t M P D . 1

. 2

. 3

p j 8 n n a a a k t d a . 2 5 1 5 n a α m . d n i . . p . . d e 1 a c = g = n n ) a α e l β 5 5 n d t u – a 1 3 d t α 2 3 1 5 1 2 ( a = u s n k . . . i i J β β s a b c

h = a u A b n e i s s a h k a i l J a . d a a i g t C i B g e A s

. 1

. 2

° 7 ° 5 = 0 3 . 9 1 B . . . n . a . d e t o = c C ° ° ° n ∠ a a 0 5 0 d k 3 4 6 a . . . 3 5 m a b c

= ° 5 6 1 n a 3 t 3 i r + a – 1 d i . 1 – a l i . . . . N . a b

3

3 3 + 2 – + – 2 2

. . c d

. e

. 3

n a a d h i l n i a P g

s i l u s t e r e T t - s h - s h - b - s - s n t n t n t h n n t n t i u a n a u a a u a a u a u i a d a e r a u a u u i s k s k s k n e y e + k d n u d n n l k d n i k d n i i i i n n g n l l u u u i e t u u u i . t u u u s e t u u u n e t u n p x t u u u . t g s s g s p n s g s s g a s s e s n i n n s g n n o o p s g g t g g k n r i e p e a a e s g e e e k s n n s n a s k n s n s k n u n n u n n . n s n . n . n e s n g e i e e e n d a . e u e u g e i a t e u e u a t a t n e s n e s u d g u u n n u u u a c m m m m m d d n n m s m d m n m a m s i i a d m d m n n n = m m m m u u u u u r o u u o u u a u t u h u s t r h u u t t u h u u u a a s t r u t u r p k n r a s p i n p r a s p p i a x p i n t p k n r t s n a i e l u m u i e l i e a e n l a m e n d m a t a t n m a m s m a t a t n m a m a t n d m s m a l i r i r i r i r a m a u a l i r u a l a u u a i a u u a l a o a l a u e e e e e e u M n t k j d M n t k j d M n t k j d M h l s c M n t k s M n t k s 1 3 4 6 2 5 . . . . . . 1 1 1 1 1 1 . . . . . . 2 2 2 2 2 2 t s a - h k t s . s . n i h g t h n . h n i h g u s a h u g a u u a l a i u t u t a i a a u e t l s n . d u u l s n l t d d u d k k l n l u u d u n u u . n g m m u i d i n u u t a a m u e i t s u h m m e m s e t d i u n u s u s d s u n s h n u j n s u u h i t u u u r r j h j i j t a m o u u n g n o s g e s i s s n i s t s n s k s k s g n g a n e n l a n t s u l s u u u . . . r u t a a g d a n a e a e s u e t g u t a u d n e t n t n k s u i u n e i g u n d e r k s i i i u i n u r i e s u s n u s h d u d a d e h e t n s s a d d d t o a n a m a m l l h m s s i s u s u a a u m m t l i n n m h u k n a h i t c i i i i k k u u s s s u i u u a a l a d u a m u d s n i s a m s a l s i a r l u d i i r l a g l i g d u t a a r j u l m a i l r u t u j a l u u i h i a a i g g n n s u e n n s d n e r u n u n m a n e n u c n h s g s c s u s n n l u d d a u a s g d n n g g e l a n u a e t g k r h n n t u g e m n i k n n i n n k n n a a a g h h h n m u k i n i s n u i n m s u u e s a a a k k n u u m n t i j n i i u u u s s . s t t n l a t l i i i l d g d d s o d s i t u s n l t i s t u d i u u u j u i a e i a k u o h t a a u n r h h l u r h h h l h t h t e h e j e l . . e r a u k s s t t s s s t g u k u a e e s g s g n g n s u g n i a j a g s j n l n l n l e n u u e n t e u n t n t n n n u a i n n n n n a n u a i n n d d s a a e m e a e m u i e m e m e m u i l e r o u e a e a e u a e r e r i l n e k s M e M e s u u M u M u u M M j j r d n M t d M d M g d m t t s M j d M u r d n –

–

–

–

/ n k a o r k j o a a P l e i r b e m t a e M P

i r t e m o n o g i r T


- s k i n s s a . u s u u u u t a u u u n t n i n s d s n g i k i n s a s s a h n u n e o t n a a u k o u i s d r t u k d l i d i e g s h e , n h n t a t g u a g d t s a l , u g n u n t d t e s d e m n m u u u a u u u u M r d j d s d m n s 1 . 2

–

–

–

–

–

–

–


7

r e b m r u a S j a n l e a B d t a l A i s t u a k k o a l A W 1 2


= A n a t i u h a t e k i D

i . . a l i . . N . h 6 7 a 1 3 l . . a d e = d a B ) ) B n B + − 5 a 7 6 2 7 t A A ( 1 n ( n a n . a a . . d t t a b c

n a i . a l 4 i n e P k n e u m n a t a d n u r h e t i l n i s B n P a g I k i n k e T n a i a i p s a n c e n t e P e p r m o t o a K k i d n I


n a d

I i : n I a I d n a g n k n a u , β r t 3 5 e d . ) ) – d a t n e β β t u = 7 5 k u , + – 2 i d V α α α d u I ( ( n = α s n s n i a o i r s β t u n d c s a s d a k a i o u u . . J c s d k a b

≤ g = + 1 – n a 0 ) a m x ) = ) ° y a k ) 0 + x x s t u ° 3 ° i r 0 – a e n 0 6 l i p u 3 ° + + ( 0 n i t x 3 h x . s ( ( ( n u u ° o s a n k i 0 s c r n k e 6 i o e 3 2 o u c s c t b m n e ≤ e n . . T m a x a b

. 2

. 3

n a i a r U

s i l u s t e r e T t - n n t a u a e k d n g u u u n . t n s g a p t a e n g n e n s k e g e g u m n m m n a r u u t a u p t r t n i u e n d m a t a l i r a u e M n t k s 7 . 1 . 2 t s a h x . x k i t t t t s t s t s - x s t n i n t a t h u u u u u u u u u u k u u u u d u a a ) u e d a u d i d d u d d d d d d t j α s s n n b i n n s u u m u u u m g u u m u u m i u n e o u l n s s u e s s r s r s s s r u i o u u u s s s r s h g s – c e e u a c p o s s s x b s m n n i . t n n n b ( y s s n k n s u . i u u n p n e e n l e e a a m e n u u i n s u n i n a a s a . s i . t i s i g a e g g a p e a i n i n k n m + o k d k k u k a s i h m c r s i p u n k s s s n n e k s s a a m a c u j s a a n o o a g m t a t a a g u s g = g t a n t n n n n x k i i k k n u m r n x n a k i u a i u n m s i i u a u i r a a l a u g a a s k n n m l a d a l a a u u a l a g r r . l r . l i i g n u a a l e e y n e c r i g i i g u i i r m p t c p p i n n g g g h a u o t b m r . . n n n a n n g n r m n n n ) u s a a n n t n n t n c n n c n u n u l n a a a g g k k d a α a e e e g e g g g g a h i a a d a r x a e k g s = k a b k k n n m u k g n n m m k a b n m u n m a u k i . r – k u s + s . n . t s n n n u . t u d n n t . . u s i b u j u u u u s t u x t t t t n x a e a a i u p i u u i p i u s u i p i u s n a k d u i u a p u p i e x l u h p r r n l r ( l s r p t t t h h h t n t . l a a a h a h h a h n r a n r s u i a k e u a e e t t e e u g u n n n n k g g e u j t j g i e u t s j k u k g k g s j s n u g k n n u g e e e e g d g g g g g g n n n n n n b o n n s n y n t n n n n n n n g o e u d e r n u e e e e e n e n e t r i e t r s e t r n e k c e a b e n n e d e n i n e c e n o e u e n a M r a M r a M a M a M a e t a s M e s M u e k e t a M M t b m M + k M k + M p a M r t s M r t M s M r t d r –


8

s h n t = = = a u i a f ) ) s k ) i i m α α l k s α u u r e j – – s n + n ° u ° 0 ° a n t 0 k a , n 0 7 8 a d t a 9 2 α 1 α ( α ( u r n ( n . u h d a t n s i n t a n s g a u n u i s o o a – g l s e k s c c – t i n b r e m a u e e . . . u d M j k b a b c . 1

Silabus

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

r e b m r u a S j a n l e a B d t a l A i s t u a k k o a l A W

, – , – - s , a - s , a - / I , e a A r 1 e a A r 5 a A X A t t l I P P a l 0 a a a P M I m 5 I e e s e S s w 1 M w M i i t a m K m K a n r r l k a n a a m n R G a r a a a a u e a i t k a r g P m M P k g P P k r n K o o m d u i g p u i r n a a E u t r n k t a l 4 k a P t a l o e P t a A r u a I a 4 u I n a 2 S i k n B m X I h 1 B m X I h 7 B t M P D . 1

. 3

p j 4


n a i a l i n e P k n e u m t u n r e t s B n I k i n k e T

° ° n . i . 8 8 s . 5 5 + . s n ° = i o 8 ° ° s c 5 8 8 – ° + n 7 5 ° ° 8 i 8 8 5 s 1 i n i n n s 5 5 i r i s a s n s o i d – 2 – c 0 s 2 i a ° l i 2 . . . . . N 6 a b c d e . 1

x n k i ( u . s t n i i n n ) s e i y ) b t π 3 n u + a k x k i r ( ) + a e x ) n b i n y ( a – s π 3 s h o r k x c u 2 ( – e t d n e e . . S b a b . 1


n a i a r U

s a t i t n e d i

s x = s o o 2 c x c s – ) + 2 x o x n x 5 x 6 c i s s s 2 s x o o s x x c o s o c o 3 n 3 2 c c c + a . s ( – + x 4 s k t o 1 6 x i o u 1 3 1 4 = c t k c k i r u e . . B b a b . 2

n + n q i s q a s k . o ) + 3 i t t q u c 2 q s k k 2 3 o u i s r c n b e = o i s = , b y c + = y q s a + q t x n i 2 t x a a s n n k d o e . i i s d a ( J q c i . 3

2 + q 2 2 = n 2 a y q t 2 = + s 2 o x y x c . . b c

s i l u s t e r e T t . n k n k s n k n n k n n k s n k n n k n k s a u u a u a a u a a u u a u a u a u a u k t n k t d k t d k t n k t a k t k t u k t n u n i u n u n u n i u n h t u n . t u n i t u n t t t t t e s e s e s e s e e s n e s n e n b n b n b n b n b u a o . n o u e b n e b . e k e b u e e e e n n s n n s n i n n n n i n n k n l n n i a n u e n s . e n s e e e e e n h e n u n a n i a n a n s m a m m a s a a m a i n m a n o m m m m . . a u h u s h a s h a h a s h i h k h l h s l o u a i l n i u a i u a u a u a u a u a u a j l u p . h p b m h p b a k p b l a i s p b n u i i a s p b a i u p b n b n p b u k u k u k u k u i u i u j u i s m r s m r m r m r m r m r m r u m r r r n r r n s s l l a e e a a e e i a n a e e o a e e a a e e o a e e a e n e e e M p p d M p p s M p p k M p p d M p p k M p s M p p M p s 1 2 3 4 5 6 7 8 . . . . . . . . 2 2 2 2 2 2 2 2 . . . . . . . . 2 2 2 2 2 2 2 2

n a i a p i s a n c e n t e e P p r o m o t a K k i d n I


. 2

s s a t u k d u u i j n n i i u n s s s e o o s g k k n u n a i s s t u u s s o u k m m u u r m s r . i p u u n u a r m a h k n u k t a g a r i n e n k . n a u u p u k r r i r h a a k u d t u t u n e g a d n e k k n u e i a i M j s M d r –

–

k n t k k n k k n i k n i k - i k i k k s n h k k u . u u a u s t u t u i u i u i u i u n d u n t a a u t a u t a d a d a a t t t t a e e n s t i n i i l p t l t l l j j j n l . n n n a a n n a e n a n s n a n n p n . n p e u n s l a e e n u u u k d e u k b u k e u u k e u u s i e u b s i s b h k r r i r r b r i n i s m s s e m s k m s e n s d . s e s e s e s k d o s i i p a s a k l u p u u p s u p s . u u u u j u k i e p n i u u k j t s s t n n u s n s o i u n k k k . m s d i m u a m u u m n u k m m n e a m t d n m u e u u u k s a n n k u u u u u n u u u t e d r n r e i n n r j o a s r t m r t i h i r t r b u u u m a r n i e n k j n n o b t . s s n t l s . n s i n k a s s e e s s e o m e n n i o l n b e s n b n e n b u u n b k n b n i h n u u n e e s u n a n u k n n m a a a a a a n n j n a i b a s a a h i i s b n i k h k a h i r k k h d m s i a s k h s k s k h n n k h d l h k e n a n e n a n a n a n o n a a e n a n a n n n h i d a a b b p s a n b p l b b b b s s u u k u u u s u u d u d a b a a s a r u l r u u h m r u d r u r u u k r u h k r u u l i r u a u i h u g s k u g n a u u g s i a u u g n a u g h g i n t u u g l a u g j i u u a k j n n i t n n i k n n l t n n i b n n n n n n n s n n u u s n e e l e e n n e e n e e m n e e s r e e m r e n e e s u e e s n e o i e i e o e e o e e i o u b M m u p M m m M m k d p M m s s M m s b M m k b M m j k p M m j k –

/ k n a o r k j a o a P l e i r b e t m a e M P



- i n h i a s s a l k h o i k n m s u i u j l n r e a u s s d n u . s s e m n a u u u M r d n n 2 . 2

–

–

–

–

–

–

–


9


n a i a l i n e P k n e u m t n u r e t s B n I k i n k e T n a i a p i s a n c e n t e e P p r o m o t a K k i d n I


, – , – - s , a - s , a - / I , e a A r 1 e a A r 5 a A X A t l I P a 0 t P a 5 m a l a P M I I e e s 1 e S s w w M M i i t a a m K m K n r r l k a a n R r a a a a u e m n G a r a P a g P t k a i M P k g n K r k r o P o n m d i u r g n m u u i a t t E a A o p a 4 k P a l k a P t a l t a 2 S k r e u I n a 4 u a I n h 7 B i B m X I h 1 B m X I t M P D . 1

. 2

p j 4 n i s ° 5 7 3 3 3 s . 3 3 o . 2 2 c . 2 2 + 2 + . 8 = + – 2 – 4 i ° 2 2 – 4 – a l i 5 6 . . . . . N 1 a b c d e

i r + + a ° ° d 0 i 5 0 5 a n l i s o i s N c

. 1

. 2

h a l a d a

°

° 0 0 4 4 s n o i c s

2

3 1 2 1 2 1

1 2 1 2 0 – – . 1 . . . . . . . . a b c d e

n a a d h i n l i a P g

, i . ° ° r s t 0 0 a u 4 5 o t r k e i n a n l p r i i o e s s u l b ° ° i k l s i 0 0 r a a t ° ° k h e 2 0 1 0 n 8 i n 7 h m i a o s n s n a l i p g n 4 s 4 i s o n n u i g . t a i . r a b T h t

, n a a h + s o 6 i u a a c s a d u i n n 1 2 w b i 1 2 a h h e s a l d i a a s a = n b l a a k 2 i d d i b n u a a J 1 2 s a . h p . 1 2 ) o k b a b t a g = c t i u t u t i b e k n d g n + n + i a u e i a e ( D d s s s a t

. 1

. 2

n a i a r U

s i l u s t e r e T t . n s . n s n n s n n n t n n n a a o s a u a u a o a a . a u a a u a u k k u k i k h k d n k i n k k . k h d k i n t s t u n i n t u s t u s t u u s t u a u t u u a u t t u n l n a s n n n n . n n n l d n h o a i n e m s n e i e a s e i e e u e i o e a k m l l i i n a k n l n h . n u s n i s u a a s n u n . n u e i t e j e k n e a s e l e k e l e j a n a n n d n s u r i k k e i m r m m m m m m m l d r u r e e u e a e a n u e s e u u p d u s . u p d u e i o u p d u p s u u t s p l s p l p p p p s p l p k p l p l s l l i u n l i i i s i u m i s i i i m m m m m u m u m s d s s s n n s a s s s s a a i n a a a a a a a a i n a a o a a u a a i n a a u M h s M h d M h d M h s M h k M h d M h s M h s 1 . 3 . 2

2 . 3 . 2

3 . 3 . 2

4 . 3 . 2

5 . 3 . 2

6 . 3 . 2

7 . 3 . 2

8 . 3 . 2

. a s s s n n n n n n n n . n i n a n n t n a n . a u u u a a a a a a i a s a u a u u a u a t u a a t a u k d i k k k k k n k u d n k d i n d d d d . l t l d d h i i n u u u u a u s u u s t u u d s s t s a a t t t t a t t u u u s o o n s n s k n u l n s u n s n s s k d k n u u . n r d r s n k t n n a e u e e e e e e e a m u u u i i n n h s n e e i a i u n i n n n n n n n u s s a s u n n n n . u s j i i u s p p e s e e n e o e d o e e u t a d e a a l a d m s . i n . m s k i k . i d h l u m s l u m m o t m n u m t m m i e t a s a a d a n s a s h u a u a j i s i d a n u s o a k u k a u a u . p n k n u r r r r r r r r a s d r a d i i h u l s a h s a i a t a d n n a k t l . r a n a a s a a u u u u u e n i e e a i a s p d c l d u c l s e e c i c l c i a s c o s s c n u p a c l s s n n a p a d g o n i g a u g i k u n m n l n n n n s l a a a a g u a k s a k u n k a a u g d a m n u a i g . a i h g a h g a u r s n u n t k i u n k r u n k k s n s k j u d k s n k j k k r u n s n n k i t t u s l u u i u u s n i u u s e d t s e a s e d i s r s i s n t l t t t u t a a e d i s a i p p i i a a a a a a a a e e i s s s e h d l p u h i h l e h . l p . h u l s l p u h o l n l d h d l h . . u g j p t g u j s t j e l n g k j e l e l e l e t g s j e l g t s j j j i s g i i l l n n s e n e i u n u n l i d g i u n i i g i n u i n n s n n i n n n n n n n u u u s s s s d n s n s d s d a s d s e n e s e a s n e i n e a s a u e a e a u e o e a e u e a u e u e a e u o e a e a i o i M h k M d M h s M s M h k M s M h n M d M h s M k M h M s M h s M d M h M s –

–

/ k n a o r k j a o a P l e i r b e t a m e M P



. - s n h i a a s u k l n h i a m s i n j u i s o u l k g s e n a g u s d n n m s e a u u d M r n 3 . 2

10

. 3

Silabus

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

r e b m r u a S j a n l a e d B t a l A i s t u a k k o a l A W

g n u g g n i S s i r a G n a d n a r a k g n i L n a a m a s r e P V I b a B


n a i a l i n e P k n e u m t n u r e t s B n I k i n k e T

. a y n g n u g g n i s s i r a g n a d n a r a k g n i l n a a m a s r e p a n k u i s t u a y m n e e M . 1 t

. / . I a . . X M 3 : : : : r e t s e m e h S a / l s o a k l e e S K


n a i a p i a s c n e n t e e P p r o m o t a K k i d n I


, – , – - s , a - s , a - / I , e a A r 5 e a A r 3 a A X A t t l I P P a l 4 a a P a M I I m 7 e e s e S s w 1 M w M i i t a K m K m a n r r l k a n a a n m R G a r a a a a u e a k t a r M g i P k g P P P r d n m K k o o m i i u t r n a E u r n a k g p u k t a l 4 o e P t P a l a A r u a I a 6 S i a 7 u a I t k n n B m X I h 1 B m X I h 8 B t M P D . 1


. 3

p j 4 t - . n ) r k i y y y y y k i n i n n 0 u a e X a 6 e i t r 6 6 6 6 t l a i a a . , t i s m r r t j a a t l a e t 0 g ( u u a – – – + + a i r . u e p n b k k d e . m n k m i x x x r x x 6 4 O d . g t b 2 4 8 1 6 e a m g 8 8 8 8 8 a e i a m . r i i s . . n a d n t ) d d i i u r e d l s n h = = = = = b ) s l . – 0 + 0 + 0 – a n + e b t a 4 a r s d n u a a 2 2 2 2 2 L 3 n . 2 , e 2 2 2 0 2 0 p s = = = g a . n u ) 0 a r p d l y y y y y n – u b , n a h y 6 y 6 y 6 y = y = n a n a e ) a p 1 ( a a p r a r d + + + + + r 4 u n . k u r a + 1 + 1 + 1 + 9 + 9 k a t , i m b 0 a 2 2 2 2 2 a ( g m l e a 0 e 2 2 2 2 2 t a u k n B d k g a a 2 x + x + x – x + x + t 1 B ( i t , 4 x x x x x k i g s s t d e g i n r r n 0 i g n i t t n i y e a . e a ( r . . . . . i e i n e . . . . . . a P y O j a b c d e L d n P L a b c d e T l k a b . 1

. 2

. 1


n a i a r U

s i l u s t e r e T t . n k . n s . k a n n i t y a i a a i a i t n r n a k a t k r k i t r n a r a i i u u u r a t k t t g a a n k n k n g u j - e g e n g e l n h i a r n n i n i t n n i n a e a l e n e j e a l k k a n k m a i m u p m u p a u d a u m d a u d d p a d p u p d t a m u a g a s n s m m r d h h a e a u a e r a d e r e M e M p y p M k t k t 1 2 3 . . . 1 1 1 . . . 3 3 3 i , , . k u . s k i ) - i k . t s n t u n i r 0 r b i s i m i n i r u d n i a i t d r a t n a r a t t i a ( a , r i a i a r s u j a h i k r a a t t k O k a t d r t a a a a u a t u a u . r g g g ( u s a g t m n t . i , t a . p g k s k u a s k n i n P u k i i g n u g n a e a u k a u t l l k a n g t u p g t p n a a n r i d i k y t n k t a a n a u r a g k i k n i n i t a i s e a t a r d i a i a l t k . t u i n r u u t r a i a i u l g k i a a l . s a s a d n u j t l t n n u i b a a a d a i s d a s k t g g t a s a a t d n t j s h r m . n i a k a n a a n g d n r u k r a a r m t r m a i u g p n r j l k n r a r p a a s s a n - r a a i a t . e a p i y a e i n i p r l j a n g r a a t k k r a s s a r a s r b k , u a k r u j d e r k a r s i i y i k g g y a y a a i a t g j p k i t r s e n j a g n j p k e i e n i r n i n s n t n p a a i t a g o n p r h r p u l l m a a n i k n j t p j n r l n r n n g r r i i - n r a n r n e j a r g t i p i n a - a n n a a a i a , o g a k e d k r n i n a a n k a l t t a a b r a e i k r k a k t g a u d d j a t g m u n n g g k k e k b j a u a u k a n k t p n a t u n u i u g g . u i e i u g b t u g r t n l g a b n t t a o e t a i a a h n b t m n ) l d n n i r n m e l i h d n n n n e n m n i r a e o h l 0 a n a b t s e u d g a b t a e l a y m e y e g y k g g a , a e a b e s a k m n m n i s n l n n i r m n d n y n n r n a h e k n e e a e g e s r e g d 0 e n ) e n a e e e r e e a n i n a ( a e r u a i d i t e n a p M e M i i j d d M t t d M m M a 0 M a d M p M t M l M p g M s p O –


. 2

–

–

–

–

–

–

–

–

–

–

n a n a a m r a a s k g r n e i P L n n g r g e n u a n a p a s a y i y . u m n h n n a a u a k y a r n t u e a t n s a r n r k e e g m a e t n e y i i M p l m s d 1 . 3


11


x n n g g a g 0 a . n n n 1 g t u a i u l u g ) m – n 5 k g , g e i a g d r n 1 g s n 2 n r y 0 e i u – i e g s b s ( p g + = n s k s i i n i n 2 6 a i t r a s x 6 u r i t a k i a – t n u n G d G s t i a y e n r r 6 t e a a . e . T g k + k a b

n a i . a l 5 i n e P k n e u m n t a i n u r a e t r s B n U I

. 4

3

= m n e i d a r g r e b

. L n 0 5 A r r B a g . r g e = = k o n m n o n n a t B i u o a t a o o t 8 y a i g a r m t k n k s s o – + i i d r g a a e i n d n p r k a y x d n A p g s 2 2 n k a a k n s a i n r t g s A k i i k i t a i a l e – : i . r k u t a t k u t i p x g g t i t t u u t t u a t s n u 4 i i a a n g n n b h + r o . e n n t n d e n i e i e e a a 2 a t t B T i d T a d T d k s y g o e g p n + n r n k i e 2 a e a . . . D d x d b d a b c . 6

k i n k e T n a i a i p s a n c e n t e P e p r m o t o a K k i d n I


s r s t s k i i i a i r j r a r t i a j a a s a t g e g u u g p t a n s u r e n u a g t b s . a n a e i i n u m a d d a y s g n a n a n r a s r s a a y r a g r k u e r r n a g a p k u a ) . n i n k l r g l b n g a a n n k , i u a i k k l a k a u l t g ( g a g g t u t n e i n n u s n u t l P n e u k e g i a a t n g n g u d i g a a t e i n d n t i e i a M s a p d M s p –

–



13

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Bab I Statistika Sekolah Kelas/Semester Mata Pelajaran Alokasi Waktu

: : : :

.......... XI/1 Matematika 12 × 45 menit

Standar Kompetensi : 1. Kompetensi Dasar

Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah.

: 1.1 Membaca data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, dan dan ogive . 1.2 Menyajikan data dalam bentuk tabel dan diagram batang, garis, lingkaran, ogive ,

serta penafsirannya. 1.3 Menghitung ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran data, serta penafsirannya. Indikator Pencapaian Kompetensi:

• • • • • •

Mengamati proses pencarian data. Mengamati dan membaca data. Menyajikan data. Melakukan proses menentukan ukuran pemusatan data. Melakukan proses menentukan ukuran letak data. Melakukan proses menentukan ukuran penyebaran data.

Tujuan Pembelajaran:

Peserta didik mampu 1. menjelaskan cara mencari suatu data; 2. menjelaskan dan menafsirkan data yang disajikan; 3. menyajikan data dalam bentuk diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran; 4. menentukan nilai rata-rata (mean) suatu data; 5. menentukan nilai median suatu data; 6. menentukan nilai modus suatu data; 7. menentukan kuartil suatu data; 8. menentukan desil suatu data; 9. menentukan persentil suatu data; 10. menentukan simpangan baku suatu data; 11. menentukan varian suatu data. Nilai pendidikan karakter yang ditanamkan kepada siswa: Kritis dan Cermat Materi Pembelajaran

Statistika Metode Pembelajaran

1.

2.

14

Model Pembelajaran a. Cooperative Learning (CL) b. Direct Instruction (DI) Metode a. Tanya jawab b. Diskusi c. Tugas

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

Langkah-Langkah Kegiatan Pertemuan Pertama 1.

Kegiatan Pendahuluan (5 menit) a.

Motivasi

Menyajikan beberapa data dalam bentuk gambar/diagram, kemudian siswa disuruh membaca dan memberikan deskripsi diagram tersebut. b.

Prasyarat Pengetahuan

Siswa mengetahui tentang data dan cara membaca data. 2.

Kegiatan Inti (75 menit) a.

Eksplorasi

• • • • • • b.

Guru menjelaskan tentang arti data dan jenis-jenis data. Guru menjelaskan tentang statistik dan statistika. Guru menjelaskan sampel dan populasi. Guru menjelaskan tentang cara mengumpulkan data. Guru dan siswa melakukan cara menyajikan data tunggal dalam bentuk diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran. Guru memberikan penafsiran suatu data tunggal yang telah disajikan.

Elaborasi

Guru dan siswa membuat data dalam bentuk diagram dari data yang berbentuk tabel kemudian menafsirkannya. c.

Konfirmasi

Guru menanyakan tentang hasil yang dibuat siswa dalam membuat diagram. 3.

Kegiatan Penutup (10 menit)

Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan. Pertemuan Kedua 1.


Motivasi

Guru memberikan permasalahan bari tentang data kumulatif dari suatu data berkelompok. b.


Siswa memahami cara membaca data dan menyajikan data dalam bentuk ogive . 2.

Kegiatan Inti (75 menit) a.

Eksplorasi

• • • b.

Guru menjelaskan tentang tabel di stribusi frekuensi data berkelompok. Guru menjelaskan tentang histogram dan poligon frekuensi. Guru menjelaskan tentang penyajian data.

Elaborasi

Guru bersama siswa mendemonstrasikan cara membuat penyajian data dalam bentuk histogram, poligon frekuensi, dan ogive . Guru menyuruh siswa mengerjakan soal-soal latihan. c.

Konfirmasi

Guru menanyakan hasil yang diperoleh siswa dari menggambar diagram-diagram tersebut. 3.


• •

Guru meminta siswa untuk membuat penyajian data dalam bentuk histogram, poligon frekuensi, dan ogive . Guru menyuruh siswa mengerjakan soal-soal latihan. Pertemuan Ketiga

1.


Motivasi

Guru menjelaskan tentang manfaat mempelajari ukura n pemusatan data (mean, median, modus) dalam suatu penelitian. Matematika Kelas XI Program IPA

15

b.

Prasya Prasyarat rat Penget Pengetahu ahuan an

Siswa mengetahui tentang data tunggal dan data berkelompok. 2.

Kegiatan Kegiatan Inti (75 menit) menit) a.

Ekspl Eksplor orasi asi

• • • • b.

Guru Guru menje menjelas laskan kan tent tentang ang rata-r rata-rata ata (rataa (rataan) n) data data tungga tunggal. l. Guru Guru men menje jela lask skan an ten tenta tang ng med media ian n data data tun tungg ggal al.. Guru Guru men menje jela lask skan an ten tenta tang ng mod modus us dat data a tung tungga gal. l. Guru mendemonst mendemonstrasi rasikan kan cara cara menent menentukan ukan rata-rata, rata-rata, median, median, dan modus modus suatu suatu data data tunggal tunggal..

Elab Elabor oras asii

Guru bersama-sama siswa melakukan penghitungan dan menentukan mean, median, dan modus dari suatu data tunggal. c.

Konf Konfir irma masi si

Guru menanyakan tentang hasil penghitungan yang telah dilakukan. 3.

Kegiatan Kegiatan Penutup Penutup (10 menit) menit)

Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan sebagai evaluasi belajar. Pertemuan Keempat 1.

Kegiatan Kegiatan Pendahulua Pendahuluan n (5 menit) menit) a.

Moti Motiva vasi si

Guru memberikan manfaat dari mempelajari suatu data, terutama mean, median, dan modus pada data berkelompok. b.


Siswa mengetahui tentang mean, median, dan modus suatu data tunggal. 2.



• • • • b.

Guru Guru menjel menjelask askan an tenta tentang ng ratarata-rat rata a (mean, (mean, dari dari data data berkel berkelomp ompok. ok. Guru Guru menj menjela elaska skan n tent tentang ang median median dari dari data data berkel berkelomp ompok. ok. Guru Guru menj menjela elaska skan n tent tentang ang modus modus dari dari data data berkel berkelomp ompok. ok. Guru Guru mendemon mendemonstr strasi asikan kan cara cara menentu menentukan kan ratarata-rat rata, a, median, median, dan modus modus pada pada data data berkelom berkelompok. pok.


Guru bersama-sama siswa melakukan cara menghitung rata-rata, median, dan modus pada suatu data berkelompok. c.


Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal latihan untuk dikerjakan siswa. 3.


Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal latihan untuk dikerjakan siswa. Pertemuan Kelima 1.


Moti Motiva vasi si

Guru memberikan contoh fakta/kejadian tentang pemanfaatan suatu ilmu statistik terutama ukuran letak. b.


Siswa mengetahui tentang urutan data dan cara mengurutkan data. 2.



• • • • 16

Guru Guru menj menjela elaska skan n tent tentang ang arti arti ukur ukuran an leta letakk suat suatu u data. data. Guru Guru menj menjela elaska skan n tent tentang ang kuarti kuartill suat suatu u data data tungga tunggal. l. Guru Guru menj menjela elaska skan n tent tentang ang kuarti kuartill suat suatu u data data berkel berkelomp ompok. ok. Guru Guru menjel menjelask askan an tenta tentang ng desil desil suatu suatu data data tung tunggal gal dan dan data data berkel berkelomp ompok. ok.


• • b.

Guru Guru menjela menjelaska skan n tentang tentang perse persenti ntill suatu suatu data data tunggal tunggal dan dan data data berkelo berkelompo mpok. k. Guru mendemonst mendemonstrasi rasikan kan cara cara menghitung menghitung dan menentu menentukan kan kuarti kuartil, l, desil, desil, dan persentil persentil..


Guru bersama-sama siswa menghitung nilai kuartil, desil, atau persentil secara tertuntun. c.


Guru menanyakan tentang kepemahaman siswa terhadap materi yang diajarkan. 3.


Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Keenam 1.


Moti Motiva vasi si

Guru menjelaskan tentang ukuran penyebaran suatu data dan manfaat ukuran penyebaran data dalam penelitian. b.


Siswa mengetahui tentang kuartil dan rata-rata. 2.



• • • • • • • b.

Guru Guru menj menjela elaska skan n tent tentang ang jangka jangkauan uan pada pada data data tungga tunggal. l. Guru menjelask menjelaskan an tentang tentang jangkauan jangkauan antarkuart antarkuartilil dan simpan simpangan gan kuart kuartilil pada pada data data tunggal. tunggal. Guru Guru menjela menjelaska skan n tentang tentang lang langkah kah,, pagar pagar dalam, dalam, dan dan pagar pagar luar luar pada pada data data tunggal tunggal.. Guru menjelask menjelaskan an tentan tentang g simpang simpangan an ratarata-rata rata pada data tunggal tunggal dan dan data data berke berkelompo lompok. k. Guru Guru menjel menjelask askan an tenta tentang ng ragam ragam pada pada data data tung tunggal gal dan dan data data berke berkelom lompok pok.. Guru Guru menjela menjelaska skan n tentang tentang simpa simpanga ngan n baku pada pada data data tungg tunggal al dan data data berke berkelom lompok pok.. Guru mendemonst mendemonstrasi rasikan kan cara cara menent menentukan ukan nilai-ni nilai-nilai lai ukuran ukuran penyebar penyebaran an pada pada data data tunggal tunggal maupun maupun data berkelompok.


Guru bersama-sama siswa menghitung nilai-nilai ukuran penyebaran suatu data berbentuk diagram secara tertuntun. c.


Guru mendiskusikan hasil yang diperoleh dari kegiatan tersebut. 3.


Guru mengevaluasi hasil pembelajaran dengan memberikan soal-soal latihan untuk dikerjakan siswa. Alat Sumber Belajar 1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA , Intan Pariwara, 2011 2. Buku PR Kimia Kelas XI Program IPA , Intan Pariwara, 2011 3. BSE Matematika Kelas XI Program IPA , Depdikas, 2009 Penilaian Hasil Belajar 1.

Teknik Teknik Penilaian Penilaian dan Bentuk Bentuk Instrumen Instrumen a.

Teknik Teknik Penil Penilaia aian n

Tes tertulis b.

Bentuk Bentuk Instrum Instrumen en

1) 2)

Pilihan ganda nda Uraian


17

2.

Conto Contoh h Instr Instrume umen n a.

Pilih Pilihan an ganda ganda

1) Rata-r Rata-rata ata data data pada pada tabe tabell beri berikut kut adal adalah ah ....

a. b. c.

b.

Frekuensi

xi

6 5 8 3 10 8

2 3 4 5 6 7

4,5 4,725 4,75

2)

17 Banyak Siswa 15 13 11 9 7 5

d. e.

3 1 0

4,85 4,925

0 5 – 1 4

0 6 – 1 5

0 7 – 1 6

0 8 – 1 7

0 9 – 1 8

0 0 1 – 1 9

Nilai

Histogram di atas menunjukkan bahwa siswa yang mendapat nilai lebih dari 60 sebanyak . . . anak. a. 11 d. 23 b. 16 e. 39 c . 22

Urai Uraian an

1)

0 4 – 1 3

Banyak Burung Elang

Diagr Diagram am beri berikut kut menu menunju njukka kkan n popula populasi si burun burung g elang di beberapa lokasi yang berbeda. Jika seluruh burung elang di lima lokasi tersebut 358 ekor, tentukan: a. bany banyak ak bur burun ung g elan elang g di loka lokasi si 2; 2; b. persen persentas tase e burung burung elang elang di tiga tiga loka lokasi si awal awal..

80 78 75 70 64 61 60

? 1

2)

Diameter Pipa (cm)

Frekuensi (f)

5–9 10–14 15–19 20–24 25–29 30–34

10 12 20 24 26 18

2

3

Mengetahui, Kepala SMA ______________

Guru Mata Pelajaran

........................ ___________________________ NIP _______________________

........................ ___________________________ NIP _______________________


5

Lokasi

Distribusi frekuensi diameter sejumlah pipa (dalam cm) sebagai berikut. Buatlah poligon untuk data tersebut (sumbu mendatar menyatakan tepi kelas interval, sedangkan sumbu tegak menyatakan frekuensi).

________, ______________

18

4

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Bab II Peluang Sekolah Kelas/Semester Mata Pelajaran Alokasi Waktu

: : : :

.......... XI/1 Matematika 8 × 45 menit

Standar Kompetensi : 1. Kompetensi Dasar

Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah. : 1.4 Menggunakan aturan perkalian permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah. 1.5 Menentukan ruang sampel suatu percobaan. 1.6 Menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya.

Indikator Pencapaian Kompetensi:

• • • • • • •

Menjelaskan dan menggunakan aturan perkalian untuk penghitungan. Menjelaskan dan menggunakan aturan permutasi untuk penghitungan. Menjelaskan dan menggunakan aturan kombinasi untuk penghitungan. Menentukan ruang sampel dan titik sampel suatu kejadian. Menentukan peluang suatu kejadian. Menentukan frekuensi harapan suatu kejadian. Menentukan peluang kejadian majemuk.

Tujuan Pembelajaran:

Peserta didik mampu 1. menentukan banyak cara kemungkinan menggunakan aturan perkalian; 2. menentukan banyak cara kemungkinan menggunakan aturan permutasi; 3. menentukan banyak cara kemungkinan menggunakan aturan kombinasi; 4. menentukan ruang sampel dan titik sampel suatu percobaan; 5. menentukan peluang suatu kejadian; 6. menentukan kisaran nilai peluang; 7. menentukan frekuensi harapan; 8. menentukan peluang gabungan dua kejadian saling asing; 9. menentukan peluang gabungan dua kejadian saling bebas. Nilai pendidikan karakter yang ditanamkan kepada siswa: Rasa Ingin Tahu Materi Pembelajaran

Peluang Metode Pembelajaran

1.

2.

Model Pembelajaran a. Cooperative Learning (CL) b. Direct Instruction (DI) Metode a. Tanya jawab b. Diskusi

Langkah-Langkah Kegiatan Pertemuan Pertama 1.


Motivasi

Guru memberikan contoh permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi. b.


Siswa mengetahui dan menguasai konsep faktorial.


19

2.

Kegiatan Inti (2 × 40 menit) a.

Eksplorasi

• • • • • b.

Guru menjelaskan tentang konsep aturan perkalian. Guru menjelaskan tentang konsep faktorial. Guru menjelaskan tentang aturan permutasi dan memberikan contoh-contohnya. Guru menjelaskan tentang aturan kombinasi dan memberikan contoh-contohnya. Guru melakukan penghitungan yang berkaitan dengan permutasi dan kombinasi.

Elaborasi

Guru bersama-sama siswa menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang berkaitan dengan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi. Kejadian ini dilakukan secara tertuntun. c.

Konfirmasi

Guru menanyakan kepada siswa tentang hasil kegiatan yang telah dilakukan tersebut. 3.


Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan memberikan latihan soal untuk dikerjakan siswa. Pertemuan Kedua 1.


Motivasi

Guru memberikan beberapa contoh kejadian, kemudian siswa ditunjuk untuk menentukan titik sampul dan ruang sampul. b.


Siswa mengetahui titik sampel dan ruang sampel. 2.


Eksplorasi

• • • • • b.

Guru menjelaskan tentang percobaan statistika. Guru menjelaskan tentang pengertian ruang sampel. Guru menjelaskan tentang pengertian titik sampel. Guru melakukan penghitungan terhadap titik sampel suatu kejadian. Guru menentukan anggota himpunan suatu kejadian.

Elaborasi

Guru bersama-sama siswa menyebutkan titik sampel dari suatu kejadian. c.

Konfirmasi

Guru menanyakan tentang hasil yang diperoleh dalam kegiatan tersebut. 3.


Guru mengevaluasi tentang hasil pembelajaran siswa dengan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Ketiga 1.


Motivasi

Guru menjelaskan tentang gambaran peluang dalam kehidupan sehari-hari dan menyebutkan manfaat mempelajari peluang. b.


Siswa mengetahui titik sampel dan ruang sampel suatu kejadian. 2.


Eksplorasi

• • • • •

20

Guru menjelaskan tentang kejadian dalam suatu percobaan. Guru menjelaskan tentang peluang kejadian. Guru menjelaskan tentang kisaran nilai peluang dan memberikan contoh-contohnya. Guru menjelaskan tentang hubungan frekuensi harapan dan peluang. Guru melakukan penghitungan cara menentukan nilai peluang dan frekuensi harapan.


b.

Elaborasi

Guru bersama-sama siswa menyelesaikan masalah untuk menentukan nilai peluang. c.

Konfirmasi

Guru menanyakan kepada siswa tentang kepemahamannya dalam menentukan nilai peluang suatu kejadian. 3.


Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan. Pertemuan Keempat 1.


Motivasi

Guru memberikan gambaran-gambaran atau contoh-contoh kejadian yang berkaitan dengan kejadian majemuk. Kemudian guru memberi pertanyaan kepada siswa tentang cara menentukan peluang kejadiannya. b.


Siswa mengetahui tentang peluang kejadian tunggal. 2.


Eksplorasi

• • • • • b.

Guru menjelaskan tentang peluang gabungan dua kejadian. Guru menjelaskan tentang peluang gabungan dua kejadian saling asing dan menjelaskan syaratsyaratnya. Guru menjelaskan tentang peluang gabungan dua kejadian saling bebas dan menjelaskan syaratsyaratnya. Guru menjelaskan tentang peluang gabungan dua kejadian bersyarat. Guru melakukan penghitungan nilai peluang dua kejadian majemuk di berbagai situasi.

Elaborasi

Guru bersama-sama siswa melakukan penghitungan nilai peluang kejadian majemuk secara tertuntun. c.

Konfirmasi

Guru menanyakan kepada siswa tentang hasil kegiatan tersebut. 3.


Guru mengevaluasi hasil pembelajaran siswa dengan menyuru h siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan. Guru bisa memberi tugas kepada siswa. Alat Sumber Belajar 1. Buku PG Matematika Kelas XI Program IPA , Intan Pariwara, 2011 2. Buku PR Matematika Kelas XI Program IPA , Intan Pariwara, 2011 3. BSE Matematika Kelas XI Program IPA , Depdiknas, 2009 Penilaian Hasil Belajar 1.

Teknik Penilaian dan Bentuk Instrumen a.

Teknik Penilaian

Tes tertulis b.

Bentuk Instrumen

1) 2) 2.

Pilihan ganda Uraian

Contoh Instrumen a.

Pilihan ganda

1)

Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 akan disusun suatu bilangan terdiri atas empat angka. Banyak bilangan genap yang tersusun dan tidak ada angka yang berulang adalah . . . . a. 120 d. 480 b. 180 e. 648 c. 360 Matematika Kelas XI Program IPA

21

2)

15! 12!3!

a. b. c. 3)

b.

10!

+ 6!4! = . . . 665 d. 656 e. 655

565 556

Enam buku terdiri atas 4 kamus dan 2 ensiklopedi ditempatkan pada sebuah rak secara acak. Peluang buku-buku yang sejenis ditempatkan secara berdampingan . . . . a.

2 15

d.

1 3

b.

1 5

e.

2 5

c.

4 12

Uraian

1)

Tentukan nilai n dari setiap persamaan berikut. a. 2 · 2n + 1C2 = 3! · nP2 b. n · 6P2 = nP3 c.

9 Cn 10 Cn + 1

3

= 10

2)

Dari 7 orang pengurus sebuah organisasi akan dipilih seorang ketua, sekretaris, dan bendahara. a. Berapa peluang seseorang tidak terpilih menjadi pengurus? b. Berapa peluang seseorang tidak terpilih menjadi sekretaris?

3)

Sebuah kantong berisi 6 kelereng putih, 4 kelereng hijau, dan 8 kelereng kuning. Dari kantong tersebut diambil 3 kelereng secara acak dan setiap kali kelereng yang diambil akan dikembalikan lagi ke dalam kantong. Proses pengambilan seperti itu dilakukan sebanyak 612 kali. Tentukan frekuensi harapan yang terambil: a. semua kelereng hijau, b. 2 kelereng putih dan 1 kelereng hijau, dan c. semua kelereng berbeda warna.

________, ______________ Mengetahui, Kepala SMA ________________

Guru Mata Pelajaran

........................ ___________________________ NIP _______________________

........................ ___________________________ NIP _______________________

22


Bab I

Tahun 2007: 1.000 + 5.500 = 6.500 Tahun 2008: 1.500 + 5.000 = 6.500 Tahun 2009: 2.000 + 4.000 = 6.000 Jadi, jumlah itik dan ayam terbanyak ada pada tahun 2006, yaitu sebesar 7.000 ekor.

Statistika

7. Jawaban: d

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: d Tepi bawah kelas interval = 113 – 0,5 = 112,5 2. Jawaban: c Cara yang tepat adalah melalui sensus, yaitu dengan meneliti dan mendata tingkat pendidikan setiap warga Desa Mekarsari. 3. Jawaban: b 1

1

Titik tengah = 2 × (83 + 90) = 2 × 173 = 86,5 4. Jawaban: d Peningkatan hasil pada periode 2 yaitu: 16 – 12 = 4 kuintal Peningkatan hasil pada periode 4 yaitu: 12 – 8 = 4 kuintal Peningkatan hasil pada periode 5 yaitu: 20 – 12 = 8 kuintal Jadi, peningkatan hasil ikan terbesar terjadi pada periode ke-5. 5. Jawaban: b Besar sudut buku seri keterampilan yaitu: x° = 360° – (50° + 60° + 30° + 90° + 20°) = 360° – 250° = 110° 30° 110° = Cerita Bergambar Seri Keterampilan 110° = Seri Keterampilan 45 × 110° ⇔ Seri Keterampilan = 30° = 165 Buku Seri Keterampilan yang tersisa yaitu: 165 – 30 = 135 eksemplar

⇔

30° 45

6. Jawaban: b Jumlah itik dan ayam: Tahun 2005: 2.000 + 3.500 = 5.500 Tahun 2006: 2.500 + 4.500 = 7.000

72° Banyak pedagang = 360° × 45.000 orang 1

= 5 × 45.000 orang = 9.000 orang 8. Jawaban: e Penjualan sepeda motor pada bulan pertama 290 unit. Penjualan sepeda motor pada bulan terakhir 335 unit. Total penjualan selama 2 bulan tersebut = 290 + 335 = 625 unit 9. Jawaban: e Nilai

Banyak Siswa

61–70 71–80 81–90 91–100

16 13 9 1

Jumlah

39

Jadi, siswa yang mendapat nilai lebih dari 60 sebanyak 39 anak. 10. Jawaban: c Ogive di atas merupakan ogive positif (kurang dari). Banyak kardus yang beratnya kurang dari 71 kg adalah 13 buah. B. Uraian

1. a.

b.

Banyak burung elang di lokasi 2 = 358 – (64 + 75 + 78 + 61) = 358 – 278 = 80 ekor Misalkan x = burung elang di lokasi 1, 2, dan 3. x = 64 + 80 + 75 = 219


23

219

Persentase= 358 × 100% = 61,173% Jadi, persentase banyak burung elang di 3 lokasi awal 61,173%. 2. a.

Besar sudut desa E = 360° – (151,2° + 90° + 36° + 72°) = 360° – 349,2° = 10,8° Persentase produksi padi yang dihasilkan desa E =

b.

1)

10,8 360

× 100%

= 3% Produksi padi di desa A =

151,2 360

2)

3)

= × 180 360 = 45 ton Produksi padi di desa C

4)

= 5)

= 3. a.

4.

Tabel data distribusi frekuensi: Skor

fi

41–45 46–50 51–55 56–60 61–65

2 3 5 2 7

=

× 180

= =

× 180 = 5,4 ton

∑ fi ⋅ xi

i=1 n

∑ fi

(6 × 2) + (5 × 3) + (8 × 4) + (3 × 5) + (10 × 6) + (8 × 7) 6 + 5 + 8 + 3 + 10 + 8

12 + 15 + 32 + 15 + 60 + 56 40 190 = 4,75 40

Jadi, rata-rata data tersebut 4,75. 2. Jawaban: a Data yang telah diurutkan sebagai berikut. 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20 x= x

10 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 20 9 135

= 9 = 15

Median = data ke-

26 24

= data ke-

20 18

n+1 2 10 2

= data ke-5 = 15 x – median = 15 – 15 x =0

12 10

9 – 5

4 1 – 0 1

9 1 – 5 1

4 2 – 0 2

9 2 – 5 2

Diameter Pipa (dalam cm)

24

2 5–2=3 10 – 5 = 5 12 – 10 = 2 19 – 12 = 7

i=1

Frekuensi

0

2 5 10 12 19

x = x

× 180

Penurunan angka inflasi paling tajam terjadi pada Januari 2003. Angka inflasi tertinggi = 1,99 Angka inflasi terendah = 0,57 Selisih = 1,99 – 0,57 = 1,42 Jadi, selisih angka inflasi tertinggi dan terendah 1,42.

b.

41–45 46–50 51–55 56–60 61–65

n

= 36 ton Produksi padi di desa E 10,8 360

fi

1. Jawaban: c

= 18 ton Produksi padi di desa D 72 360

fk

A. Pilihan Ganda

90

36 360

Skor

× 180

= 75,6 ton Produksi padi di desa B

=

5.

Kunci Jawaban dan Pembahasan

4 3 – 0 3

3. Jawaban: c Data terurut: 1 1 3 4 5 5 6 7

↓

Me

Me =

4+5 2

9

= 2 = 4,5 Jadi, mediannya adalah 4,5.

Median terletak di kelas interval 17–19.  1 n − fk  M 2 Median = L +  f e  · p  Me    − 25 20   = 16,5 +  6  · 3

4. Jawaban: c n

x = x

data ke-25 + data ke-26 2

Me =

∑ fi ⋅ xi

i =1 n

∑ fi

i=1

5

=

(8 × 4) + (9 × 5) + (8 × 6) + (9 × 7) + (6 × 8) 8+9+8+9+6

=

32 + 45 + 48 + 63 + 48 40

=

236 40

7. Jawaban: e

= 5,9 n1 = anak yang lebih muda dari rata-rata usia yaitu anak yang berusia 4 atau 5 tahun = 17 anak 5. Jawaban: d n = 20, x x = 36,5 Misalkan m = berat total kedelai x1 = x

Nilai

fi

xi

fi · xi

40–44 45–49 50–54 55–59 60–64 65–69 70–74 75–79

1 2 3 6 7 5 7 9

42 47 52 57 62 67 72 77

42 94 156 342 434 335 504 693

n

∑

m n

40

i=1

n1 = banyak karung yang tersisa di dalam truk = 20 – 5 = 15 n2 = banyak karung yang diturunkan =5 x1 = x

m1 n1

⇔ 34 = m1 15 ⇔ m1 = 510 kg

Berat seluruh kedelai yang diturunkan = m – m1 ⇔ m2 = 730 – 510 = 220 kg m2 n2

=

220 5

2.600

n

⇔ m = 36,5 × 20 = 730 kg

x2 = x

= 16,5 + 6 · 3 = 16,5 + 2,5 = 19 Jadi, median dari data tersebut 19.

x– = x

∑ f i ⋅ xi

i =1 n

∑ fi

6. Jawaban: b Panjang Tubuh

fi

fk

8 – 10 11 – 13 14 – 16 17 – 19 20 – 22 23 – 25 26 – 28

5 3 12 6 9 7 8

5 8 20 26 35 42 50

Jumlah

50

2.600 40

= 65

i=1

Jadi, nilai rataan dari data pada tabel adalah 65. 8. Jawaban: d Nilai

fi

fk

10–19 20–29

2 8

2 10

30–39

12

22

40–49 50–59

7 3

29 32

Jumlah

32

= 44 kg

Jadi, rata-rata berat sekarung kedelai yang diturunkan 44 kg.

=

Me =


Me terletak pada kelas interval 30–39  1 ⋅ n − fk  M 2 Me = L +  f e  · p Me    32 − 10  = 29,5 +  2 12  · 10   16 − 10

= 29,5 +

12

· 10


25

9. Jawaban: c Nilai

Frekuensi

11–20 21–30

2 5

31–40

8

41–50 51–60

3 1

Banyak siswa laki-laki = n – n 1 = 40 – 18 = 22 orang Jadi, banyak siswa laki-laki 22 orang. 2. a

d1 = 8 – 5 = 3 d2 = 8 – 3 = 5 Modus terletak di kelas interval 31–40.

⇔

3  = 30,5 +   · 10 3  +5 = 30,5 + 3,75 = 34,25 Jadi, modus dari data pada tabel adalah 34,25.

10. Jawaban: a Tinggi Gedung (m)

fi

xi

fi · x i

4–10 11–17 18–24 25–31 32–38 39–45

10 22 18 24 18 8

7 14 21 28 35 42

70 308 378 672 630 336

⇔

3 4

= =

1 (22 2

+ m) − 10 m

·4

11 + 21 m − 10 m

⇔ ⇔

3m = 44 + 2m – 40 m=4 Jadi, nilai m = 4. b.

fi

xi

fi · x i

∑ f i ⋅ xi

200–203 204–207 208–211 212–215 216–219 220–223 224–227

3 4 2 1 4 7 5

201,5 205,5 209,5 213,5 217,5 221,5 225,5

604,5 822 419 213,5 870 1.550,5 1.127,5

∑ fi

Σ

26

2.394 100

∑ fi ⋅ xi

n

= 100

∑ fi ⋅ xi = 2.394

i =1

n

Rata-rata tinggi gedung=

⇔

3 4

Berat (gram)

n

i =1

 1 n − 10  2   m  ·4    1 n − 10   ·4 3 =  2 m   

⇔ 218,5 = 215,5 +

 d  Mo = L +  1  · p  d1 + d2 

∑ fi

Median = 218,5 sehingga median terletak di kelas interval 216–219. n = 3 + 4 + 2 + 1 + m + 7 + 5 = 22 + m  1 n − fk  Me  Me = L +  2 ·p  fM e   

i=1 n

5.607

i=1

=

n

= 23,94 m

x = i = 1n x ∑ fi

=

5.607 26

= 215,65 gram

i =1

B. Uraian

Jadi, berat rata-rata sebuah apel 215,65 gram.

n

1. a.

x=

= = = b.

26

∑ fi ⋅ xi

i =1 n

∑ fi

i =1 (3 × 35) + (7 × 36) + (6 × 37) + (2 × 38) + (9 × 39) + (11× 40) + (2 × 41) 3 + 7 + 6 + 2 + 9 +1 1 + 2

105 + 252 + 222 + 76 + 351 + 440 + 82 40 1.528 = 38,2 40

Jadi, ukuran rata-rata sepatu siswa 38,2. x = 38,2 sehingga ukuran sepatu siswa perempuan yaitu 35, 36, 37, dan 38. n1 = banyak siswa perempuan = f1 + f2 + f3 + f4 =3+7+6+2 = 18 Kunci Jawaban dan Pembahasan

3. Median = 163,5; berarti median terletak pada kelas interval 161–165.  n − fk  Me = L +  2 Me  · p  fM e   

⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

 1 (m + 58) − (5 + 20)   ·5 163,5 = 160,5 +  2  m   1 5( m + 29 − 25) 2

3=

m

5 2

3m = m + 20 6m = 5m + 40 m = 40 Jadi, nilai m = 40.

4.

Tinggi Pohon (m)

Banyak Pohon

xi

fi · xi

30–33 34–37 38–41 42–45 46–49 50–53 54–57

32 23 25 42 33 36 26

31,5 35,5 39,5 43,5 47,5 51,5 55,5

1.008 816,5 987,5 1.827 1.567,5 1.854 1.443

Σ

217

2. Jawaban: d

9.503,5

Berat Badan

fi

fk

30 31 32 33 34 35

10 8 9 12 8 6

10 18 27 39 47 53

Jumlah

53

n

x= x

∑ fi ⋅ xi

i=1 n

∑ fi

=

9.503,5 217

= 43,79

n+1 Q1 = data ke- 4

i =1

Jadi, rata-rata tinggi pohon 43,79 m. 5.

Nilai

fi

fk

1–10 11–20 21–30 31–40 41–50 51–60 61–70

6 3 8 4 2 10 7

6 9 17 21 23 33 40

Jumlah

40

Me =

54

= data ke- 4

= data ke-13,5 = 31 3(n + 1) Q3 = data ke- 4 = data ke-40,5 = 34 1

Rk = 2 (Q1 + Q3) 1


Me terletak pada kelas interval 31–40  1 n − fk  Me  Me = L +  2 ·p  fM e     1 ⋅ 40 − 17   · 10 = 30,5 +  2  4  

= 30,5 +  20 − 17  · 10  4  30

= 30,5 + 4 = 38 Jadi, median dari data tersebut 38.

= 2 (31 + 34) 1

= 2 (65) = 32,5 Jadi, rataan kuartil data tersebut 32,5. 3. Jawaban: e Data tersebut diurutkan sebagai berikut. 1 2 3 3 3 4 5 5 6 6 7 7 8 9 n = 14 8

D8 = data ke- 10 (14 + 1) 4

= data ke- 5 × 15 = data ke-12 =7 Jadi, desil ke-8 data tersebut 7.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c 30 32 33 34 35 35 36 37 37 38 38 39 40 40 41 n = 15 3(n + 1) Q3 = data ke- 4 = data ke-12 = 39 Jadi, kuartil atas data tersebut 39.

4. Jawaban: d x = x

7+7+8+6+7 5

35

= 5 =7

n

∑ (x − x)2

S= =

i=1

n

(7 − 7)2 + (7 − 7)2 + (8 − 7)2 + (6 − 7) 2 + (7 − 7) 2 5


27

=

0 + 0 +1 + 1 + 0 5

=

2 5

1

= 5

×

7. Jawaban: d

5 5

10 1

Jadi, simpangan bakunya 5

10 .

Berat Badan (kg)

fi

fk

50–52 53–55

4 5

4 9

fk

31–40 41–50 51–60

5 9 15

5 14 29

61–70

10

39

71–80

1

40

Jumlah

40

56–58

3

12

59–61 62–64

2 6

14 20

Jumlah

20

→ Kelas Q3

3 ⋅ 40 + 2 4 1

= data ke-30 2 → Kelas Q2

Q3 terletak pada kelas interval 61–70  3 n − fk Q 4 Q3 = L3 +  f 3  Q3 

  ·p  

 3 ⋅ 40 − 29  = 60,5 +  4 10  · 10  


Q2 terletak di kelas interval 56–58  1n − f  kQ  2 Q2 = L2 +  f 2  · p  Q2   20 − 9  = 55,5 +  2 3  · 3   = 55,5 + 1 = 56,5 Jadi, kuartil keduanya 56,5.

= 60,5 + 1 = 61,5 Jadi, kuartil atas data pada tabel adalah 61,5. 8. Jawaban: a

6. Jawaban: d Waktu (dalam menit)

fi

fk

45–47

1

1

48–50

6

7

51–53 54–56 57–59

8 3 2

15 18 20

Jumlah

20

→ Kelas Q1

1

1

= data ke-5 2

Q1 terletak di kelas interval 48–50.  1n − f  kQ  4 Q1 = L1 +  f 1  · p  Q1   20 − 1 = 47,5 +  4  · 3  6  = 47,5 + 2 = 49,5

Jadi, kuartil bawah data tersebut 49,5.


Nilai

fi

fk

1–20 21–40 41–60 61–80 81–100

5 4 11 15 5

5 9 20 35 40

Jumlah

40

n = 40

Q1 = data ke- 4 (20 + 2)

28

Frekuensi

Q3 = data ke-

5. Jawaban: e

Q2 =

Nilai

Q3 = data ke= data ke-

3n + 2 4 3 × 40 + 2 4

= data ke-30,5 Q3 teletak di kelas interval 61–80.  1n − f  kQ 3  Q3 = L3 +  4 ·p  fQ 3    10 − 20 = 60,5 +  15  · 20 10

= 60,5 +  15  · 20 = 60,5 + 13,3 = 73,8 Jadi, kuartil atas data tersebut 73,8.

9. Jawaban: a Banyak Pengunjung

fi

fk

1–8 9–16 17–24 25–32 33–40 41–48

3 11 15 7 1 2

3 14 29 36 37 39

Jumlah

39

Q3 = data ke-

92

= data ke- 4

b.

n = 39

= data ke-23 = 19 Jadi, kuartil ketiga data tersebut 19. n+2 Q1 = data ke=

6

= data ke-8 = 15

= data ke- 10 × 40 = data ke-24 D6 terletak di kelas interval 17–24.  6 ⋅ 39 − fk  D6  10 D6 = L +   · p fD6     23,4 − 14  = 16,5 +  15  · 8 9,4    15 

1

Qd = 2 (Q3 – Q1) 1

= 2 (19 – 15) =2 Jadi, simpangan kuartil data tersebut 2. 2.

Skor

fi

fk

5 10 15 20 25 30

4 6 20 13 7 10

4 10 30 43 50 60

Jumlah

60

·8

= 16,5 + 5,01 = 21,51 Jadi, desil ke-6 data tersebut 21,51. 10. Jawaban: a P35 =

35 data ke- 100 (20

+ 1)

a.

= data ke-7,35 P35 terletak di kelas interval 31–40  35 ⋅ n − fk  P35  100 P35 = L +   · p fP35     35 ⋅ 20 − 5  = 30,5 +  100 9 − 5  · (20,5 – 10,5)   = 30,5 + 0,5 · 10 = 30,5 + 5 = 35,5 Jadi, persentil ke-35 data tersebut 35,5.

Banyak Pengunjung

fi

fk

15 16 17 18 19 20

8 5 3 6 1 7

8 13 16 22 23 30

Jumlah

30

Q2 = =

datake-30 + data ke-31 2 15 + 20 2

= 17,5 Jadi, kuartil kedua data di atas 17,5. b.

1

Q1 = data ke- 4 (60 + 1) 1

= data ke-15 4

= 15 Jadi, kuartil pertama data di atas 15. 3. a.

B. Uraian

1. a.

4 32 data ke- 4

6

D6 = data ke- 10 (39 + 1)

= 16,5 +

3n + 2 4

Q3 = data ke-

3 ⋅ 60 + 2 4 1

= data ke-45 2

= 25 Statistika lima serangkai: Q2 = 17,5 Q1 = 15

Q3 = 25

xmin = 5

xmaks = 30


29

= 33n

1

b.

Rataan tiga kuartil = 4 (Q1 + 2Q2 + Q3)

S2 =

1

fi(x i − x)2

∑

i =1

n

∑

= 4 (15 + 2 · 17,5 + 25) =

1 4

i=1

=

· 75

4. Panjang (cm)

fi

xi

fi · xi

xi – x x

fi(xi – x x)2

45–54 55–64 65–74 75–84 85–94 95–104 105–114

2 2 3 4 3 4 2

49,5 59,5 69,5 79,5 89,5 99,5 109,5

99 119 208,5 318 268,5 398 219

–32 –22 –12 –2 8 18 28

2.048 968 432 16 192 1.296 1.568

b.

S =

s2

=

50

=5 2 Jadi, simpangan baku data tersebut 5 2 . Nilai Data

fi

xi

xi – x x

fi(xi – x x)2

20–24 25–29 30–34 35–39 40–44 45–49

5 14 10 12 5 4

22 27 32 37 42 47

–11 –6 –1 4 9 14

605 504 10 192 405 784

n

20

i=1

1.630

6.520

n

∑ fi ⋅ xi

a.

x =

i=1 n

∑

fi

i=1

=

2.500 50

= 50 Jadi, variansi data tersebut 50.

= 18,75

∑

fi

n

∑

50

2.500

i=1

1.630 20

= 81,5 n

S2 =

∑

i=1

fi (x i − x)2 n

∑

i=1

=

fi

A. Pilihan Ganda

6.520 20

= 326 Jadi, variansi data tersebut 326. b. 5. a.

S = S2 = 326 ≈ 18,1 Jadi, simpangan baku data tersebut ≈ 18,1. Nilai Data

fi

xi

fi · xi

20–24 25–29 30–34 35–39 40–44 45–49

5 14 10 12 5 4

22 27 32 37 42 47

110 378 320 444 210 188

n

∑

50

i=1 n

x = x

∑ fi ⋅ xi

i=1 n

∑ fi

i =1

=

1.650 50

1.650

1. Jawaban: e Populasi penelitian tersebut yaitu seluruh susu formula dari setiap merek susu formula yang beredar di Indonesia. Sampel penelitian tersebut misalnya satu sendok susu formula dari setiap merek yang beredar di Indonesia. 2. Jawaban: c Data kontinu merupakan data yang diperoleh dengan cara mengukur (pilihan c). Pilihan a, b, d, dan e diperoleh dengan cara menghitung atau mencacah (data diskrit). 3. Jawaban: d Merek D= 360° – (72° + 57,6° + 64,8° + 86,4°) = 360° – 280,8° = 79,2° 79,2° 360°

=

merek D 500

⇔ merek D = =

500 × 79, 2° 360° 39.600 360

= 110 unit 30


4. Jawaban: d Penjualan minyak = 100% – (39% + 6% + 21% + 14%) = 100% – 80% = 20% Minyak = 1.260.000 + beras ⇔ minyak – beras = 1.260.000 ⇔ 20% – 6% = 1.260.000 ⇔ 14% = 1.260.000 100

Total penjualan = 14 × 1.260.000 = Rp9.000.000,00 Penjualan alat tulis = 21% × total penjualan 21

= 100 × 9.000.000 = Rp1.890.000,00 Jadi, hasil penjualan alat tulis sebanyak Rp1.890.000,00. 5. Jawaban: b Penurunan terendah yaitu: 2,7% – 0,9% = 1,8% Kenaikan tertinggi yaitu: 3,3 – 0,9% = 2,4%

Nilai

fi

fk

41–50 51–60 61–70 71–80 81–90 91–100

4 2 9 10 8 7

4 6 15 25 33 40

Jumlah

40

Persentase banyaknya siswa yang mempunyai nilai tidak lebih dari 80 25

= 40 × 100% = 62,5% 10. Jawaban: c Frekuensi kumulatif kurang dari 164,5 = 65. Frekuensi kumulatif kurang dari 159,5 = 25. Dari grafik terlihat selisih kedua frekuensi kumulatif ini paling besar, yaitu 65–25 = 40. Jadi, intervalnya 160–164. 11. Jawaban: d

6. Jawaban: b Persentase banyak kambing =

9. Jawaban: c

n

∑ xi

15.806 11.869 + 408 + 2.192 + 15.806 + 10.392

× 100%

15.806

= 40.667 × 100% = 38,87%

x= x

i=1

n

= 10.000 + 15.000 + 25.000 + 40.000 +10.000 5

=

7. Jawaban: e Lulusan yang belum bekerja berarti lulusan tersebut melanjutkan kuliah atau menempuh kursus. Misalkan banyak lulusan tersebut = x. x = (150 + 50) + (130 + 60) + (125 + 80) + (90 + 100) + (80 + 110) = 200 + 190 + 205 + 190 + 190 = 975 Jadi, lulusan yang belum bekerja selama tahun 2006–2010 sebanyak 975 orang. 8. Jawaban: c Jarak per Liter Bensin

fi

fk

40–45 46–51 52–57 58–63 64–69

8 12 20 11 9

8 20 40 51 60

Jumlah

60

Banyak sepeda motor yang tidak tergolong irit ada 40 unit. 40

Persentase = n × 100%

100.000 5

= 20.000

Jadi, nilai rata-rata hasil panen selama 5 bulan adalah 20.000 ton. 12. Jawaban: b Data

fi

fk

25 26 27 28 29 30

20 14 21 30 6 9

20 34 55 85 91 100

Jumlah

100

50 + 51 Me = data ke- 2 1

= data ke-50 2

= 27 Jadi, median data tersebut 27. 13. Jawaban: c Misalkan – x i = rata-rata sumbangan kelompok i, dengan i = 1, 2, 3, 4, 5

40

= 60 × 100% = 66,67% Matematika Kelas XI Program IPA

31

Sumbangan kelompok I= n1 × – x1 ⇔ x1 = 6 × 5.000 = Rp30.000,00 Sumbangan kelompok II = n2 × – x2 ⇔ x2 = 8 × 4.500 = Rp36.000,00 Sumbangan kelompok III= n3 × – x3 ⇔ x3 = 10 × 3.500 = Rp35.000,00 Sumbangan kelompok IV = n4 × – x4 ⇔ x4 = 11 × 4.000 = Rp44.000,00 Sumbangan kelompok V = n5 × – x5 ⇔ x5 = 15 × 2.000 = Rp30.000,00 Misalkan rata-rata sumbangan seluruh kelompok =– x. x– =

x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 n1 + n2 + n3 + n4 + n5

=

30.000 + 36.000 + 35.000 + 44.000 + 30.000 6 + 8 + 10 + 11+ 15

=

175.000 50

= 3.500

Jadi, rata-rata sumbangan seluruh kelompok Rp3.500,00. 14. Jawaban: a Banyak siswa kelas A = n A = 15 Banyak siswa kelas B = n B = 10 Banyak siswa kelas C = n C = 25 Rata-rata nilai gabungan = x– gabungan = 58,6 Rata-rata nilai kelas A = x–A = 62 Rata-rata nilai kelas C = x–C = 60 nA ⋅ x A + nB ⋅ xB + nC ⋅ xC – x gabungan = n +n +n A

⇔

58,6 =

B

C

15 ⋅ 62 + 10 ⋅ xB + 25 ⋅ 60 15 + 10 + 25 10x + 2 ⋅ 430

⇔ 58,6 = B 50 ⇔ 2.930 = 10x–B + 2.430 ⇔ 10x–B = 500 – ⇔ x B = 50 Jadi, rata-rata nilai kelas B adalah 50. 15. Jawaban: a Poin

fi

xi

fi · x i

8–12 13–17 18–22 23–27 28–32

12 8 7 10 13

10 15 20 25 30

120 120 140 250 390

n

∑

i=1

32

50

1.020


n

∑ fi ⋅ x i

i =1 n

Mean: x x=

∑ fi

i =1

=

1.020 50

= 20,4 16. Jawaban: c Nilai

fi

fk

1–5 6–10 11–15 16–20 21–25

4 5 9 7 5

4 9 18 → Kelas Me 25 30

Jumlah

30

Me =

datake-15 + data ke-16 2

Me terletak di kelas interval 11–15.  1 n − fk Me Me = L +  2 f  Me 

  ·p  

 1 ⋅ 30 − 9   ·5 = 10,5 +  2  9   6

= 10,5 + 9 · 5 = 10,5 + 3,33 = 13,83 Jadi, mediannya adalah 13,83. 17. Jawaban: b Mo terletak di kelas interval 58–63 karena frekuensinya paling besar.  d  Mo = L +  d +1d  · p  1 2   12 − 9 = 57,5 +   ·6 − + − (12 9) (12 7)    3  = 57,5 +   ·6  3 + 5 18

= 57,5 + 8 Jadi, modus dari data pada tabel adalah 57,5 + 18 . 8

18. Jawaban: e

1

Skor

fi

xi

fi · xi

2–4 5–7 8–10 11–13 14–16

2 5 6 4 3

3 6 9 12 15

6 30 54 48 45

n

∑

1

= 2 (8 – 4) = 2 Jadi, jangkauan dan simpangan kuartil berturutturut 9 dan 2. 22. Jawaban: d

183

20

i=1

Simpangan kuartil = 2 (Q3 – Q1)

Berat Badan

fi

fk

50–54 55–59 60–64 65–69 70–74 75–79

4 6 8 10 8 4

4 10 18 28 36 40

Jumlah

40

n

– x=

∑ ⋅ xi

fi i =1 n

∑ fi

i=1

183

= 20

= 9,15

Kuartil atas = Q 3

Jadi, rata-rata skor tersebut 9,15. 19. Jawaban: e

Q3 = data ke-

15 + 16 2 1 data ke-15 2

= data ke-30,5 Q1 terletak di kelas interval 70–74.

Median = data ke=

Median terletak di kelas interval 32–37.  1 n − fk  M Me = L +  2 f e  · p  Me    = 31,5 +  15 − 10  · 6  17 − 10 

2

= 69,5 +  8  · 5 = 69,5 + 1,25 = 70,75 Jadi, kuartil atas data tersebut 70,75.

5

20. Jawaban: c Mo terletak pada kelas interval 110–119  d  Mo = L +  1  · p  d1 + d2    35 − 14 = 109,5 +   · 10 − + − (35 14) (35 21)   21

= 109,5 + 35 · 10 = 109,5 + 6 = 115,5 Jadi, ukuran berat karung pasir yang terbanyak 115,5 kg. 21. Jawaban: d Data setelah diurutkan: 1 2 3 4 5 6 6 6 7 7 7 8 8 9 10

↓

Q1 Q2 Jangkauan = xmaks – xmin = 10 – 1 = 9

 3 n − fk  Q Q3 = L3 +  4 f 3  · p  Q3   

 30 − 28  = 69,5 +  8  · 5

= 31,5 + 7 · 6 = 31,5 + 4,29 = 35,79

↓

3n + 2 4

↓

Q3

23. Jawaban: b Nilai

fi

fk

20 25 30 35 40 45 50

2 5 9 13 11 7 3

2 7 16 29 40 47 50

Jumlah

50

→ Kelas Q1 → Kelas Q3

1

Q1 = data ke- 4 (50 + 2) = data ke-13 = 30. 3 ⋅ 50 + 2 = data ke-38 = 40. 4 1 kuartil = 2 (Q1 + Q3) 1 = 2 (30 + 40) 1 = 2 · 70

Q3 = data keRataan

= 35 Matematika Kelas XI Program IPA

33

24. Jawaban: e Tabel dari diagram tersebut sebagai berikut.

=

6

3n + 2 4

Q3 = data ke-

= data ke-18 10

152 data ke- 4

= data ke-38 Q3 terletak pada kelas interval 12–14.  3 ⋅ n − fk  Q3  Q3 = L3 +  4  · p f  Q3    3 ⋅ 50 − 31  ·3 = 11,5 +  4 9   

= 11,5 + 

6

D6 = data ke- 10 (30 + 1)

37,5 − 31  9

D6 terletak pada kelas interval 25–29  6 ⋅ 30 − fk  D6  D6 = L +  10  · p f  D6   18 − 14  = 24,5 +   ·5  10  = 24,5 + 2 = 26,5 Jadi, desil ke-6 data di atas = 26,5. 27. Jawaban: d Tinggi (Meter)

fi

xi

fi · x i

xi – – x

fi(xi – – x)2

19–21 22–24 25–27 28–30

9 4 5 2

20 23 26 29

180 92 130 58

–3 0 3 6

81 0 45 72

·3

6,5

= 11,5 + 3 = 11,5 + 2,167 = 13,667 Jadi, kuartil ketiga 13,667.

n

∑

x= x

∑ fi ⋅ xi

i=1 n

∑ fi

460

= 20 = 23

Nilai

Frekuensi

fk

i=1

40–49 50–59 60–69

7 6 10

7 13 23

∑ fi(xi − x)2

70–79

8

31

80–89

9

40

Jumlah

40

Q3 = data ke-

460

n

25. Jawaban: c

n

S2 =

i=1

198

= 20 = 9,9

n

∑ fi

→ Kelas Q3

i=1

Jadi, ragam data tersebut 9,9. 28. Jawaban: b

3 ⋅ 40 + 2 4

1

= data ke-30 2

Q3 terletak pada kelas interval 70–79  3 ⋅ n − fk  Q3  Q3 = L3 +  4 ·p  fQ3     3 ⋅ 40 − 23   · 10 = 69,5 +  4 8    7

= 69,5 + 8 · 10 = 69,5 + 8,75 = 78,25 Jadi, kuartil atas dari data pada tabel adalah 78,25. 26. Jawaban: a

34

20

i=1

Nilai

fi

fk

10–14 15–19 20–24

2 5 7

2 7 14

25–29

10

24

30–34

6

30

Jumlah

30


Nilai

fi

fk

63–67 68–72 73–77

3 5 10

3 8 18

78–82

8

26

83–87 88–92

9 5

35 40

Jumlah

40

Q2 =

→ Kelas Q2

datake-20 + datake-21 2

Q2 terletak pada kelas interval 78–82  n − fk  Q2 = L2 +  2 Q2  · p  fQ2     40 − 18   ·5 = 77,5 +  2  8   2

= 77,5 + 8 · 5 = 77,5 + 1,25 = 78,75 Jadi, kuartil kedua data tersebut 78,75.

198

29. Jawaban: d

b.

45 + 1 1 Q1 = data ke- 4 = data ke-11 2 Q1 terletak pada interval 80–84

 n − fk  Q1 = L1 +  4 Q1  · p  fQ 1   

2.

 45 − 8   ·5 4  − 15 8  

= 79,5 + 

≈ 79,5 + 2,3 ≈ 81,8 30. Jawaban: a Nilai

fi

fk

10–14 15–19 20–24 25–29 30–34 35–39

20 17 14 18 20 10

20 37 51 69 89 99

Jumlah

99

P15 = data

a.

Banyak orang yang berusia kurang dari 19 tahun = x. x = 80 + 40 = 120 Jadi, banyak orang yang berusia kurang dari 19 tahun adalah 120. Skor

fi

fk

77

5

5

78 79 80 81 82

12 10 5 10 3

17 27 32 42 45

Jumlah

45

→ Kelas P30 → Kelas Me

1

Me = data ke- 2 (45 + 1) = data ke-23 = 79 Jadi, median data tersebut 79.

b.

15 ke- 100 (99 + 1)

30

P30 = data ke- 100 (45 + 1) 4

= data ke-13 5

= data ke-15

= 78 Jadi, persentil ke-30 data tersebut 78.

P15 terletak di kelas interval 10–14.

 15 ⋅ n − fk  P15  P15 = L +  100  · p f  P

3. a.

Jumlah orang = 48 + 100 + 104 + 72 + 36 = 360

15

48

= 9,5 + = 9,5 +

 14,85 − 0   20    14,85 4

Ukuran sepatu 34–35 → 360 × 360° = 48°

·5

100

Ukuran sepatu 36–37 → 360 × 360° = 100°

= 9,5 + 3,7125 = 13,2125 Jadi, persentil ke-15 data tersebut 13,2125.

72

Ukuran sepatu 40–41 → 360 × 360° = 72°

B. Uraian

1. a.

104

Ukuran sepatu 38–39 → 360 × 360° = 104°

36

Ukuran sepatu 42–43 → 360 × 360° = 36°

Frekuensi

90 80

Ukuran sepatu 40–41 72°

70 60

Ukuran sepatu 38–39

50 40 5–11

12–18

19–25

26–32

Ukuran sepatu 42–43 36°

48° 100° 104°



33–39

Usia (dalam tahun)


35

b.

Ukuran Sepatu

fi

fk

34–35 36–37 38–39 40–41 42–43

48 100 104 72 36

48 148 252 324 360

Jumlah

360

5. a.

Me = data ke-180 + data ke-181

Nilai

fi

fk

12–14 15–17 18–20 21–23 24–26 27–29 30–32 33–35

7 4 5 6 10 7 11 10

7 11 16 22 32 39 50 60

Jumlah

60

2

Me terletak pada kelas interval 38–39.

 n − fk Me = L +  2 Me  fM  e

Me =

  ·p  

Me terletak pada kelas interval 24–26.  1 n − fk  Me  Me = L +  2 ·p  fMe    30 22 −  ·3 = 23,5 +    10 

180 − 148  = 37,5 +   ·2  104 

32

= 37,5 +   52 = 37,5 + 0,615 = 38,115 Jadi, median data tersebut 38,115. 4. a.

Nilai (xi)

fi

fi · x i

2 3 4 5 6

3 4 5 6 2

6 12 20 30 12

20

80

i=1

x= x

Σf i ⋅ x i = Σf

80 20

fi

xi – x x

2 3 4 5 6

3 4 5 6 2

–2 –1 0 1 2

4

= 29,5 + 2,4 = 31,9 Jadi, modus data tersebut 31,9. 6.

– x x)2

fi (xi x

12 4 0 6 8

n

∑

i=1

20

Modus terletak pada kelas interval 30–32.  d  Mo = L +  1  · p  d1 + d2    11 − 7 = 29,5 +  − + −  · 3 (11 7) (11 10)   = 29,5 + 5 · 3

=4

Nilai (xi)

= 25,9

Jadi, median data tersebut 25,9. b.

Jadi, rata-rata data tersebut 4. b.

24 10

= 23,5 +

n

∑


30

Upah (dalam puluhan ribu rupiah)

fi

fk

80–90 91–101 102–112 113–123 124–134 135–145 146–156

12 15 22 58 28 12 13

12 27 49 107 135 147 160

Jumlah

160

n

Ragam: S2 =

∑ fi(xi − x)2

i =1

n

∑ fi

i =1

30

= 20 = 1,5 Jadi, ragam data tersebut 1,5.

36


a.

Mo terletak pada kelas interval 113–123  d  Mo = L +  1  · p  d1 + d2   36  = 112,5 +   · 11  36 + 30  = 112,5 + 6 = 118,5 Jadi, nilai upah yang diterima mayoritas karyawan Rp1.185.000,00.

b.

Q1 = data ke-

160 + 2 4

a.

1 4

Q1 = data ke- (40 + 2)

1

= data ke-40 2

1

= data ke-10 2

Q1 terletak pada kelas interval 102–112

Q1 terletak di kelas interval 28–32

 1n − f  kQ Q1 = L1 +  4 f 1  · p  Q1   

= 101,5 +

 1 ⋅ 160 − 27  4    22  

 1 ⋅ n − fk  Q1  Q1 = L1 +  4  · p f  Q1  

· 11

 1 ⋅ 40 − 9   ·5 = 27,5 +  4  5  

= 101,5 + 6,5 = 108 Jadi, upah tertinggi dari 25% kelompok karyawan yang terendah upahnya Rp1.080.000,00. 35 + 1 7. Me = data ke- 2 = data ke-18 Me terletak pada kelas interval 65–69 n −f   2 kMe  Me = L +  f  · p  Me 

b.

= 27,5 + 1 = 28,5 Jadi, kuartil pertama data tersebut 28,5. 3 ⋅ 40 + 2 Q3 = data ke4

1

= data ke-30 2

Q3 terletak di kelas interval 43–47  3 ⋅ n − fk Q3 Q3 = L3 +  4  fQ 3 

 35 − 13   2  = 64,5 +  23 − 13  · (69,5 – 64,5)  

 3 ⋅ 40 − 23   ·5 = 42,5 +  4  10  

9 2

= 64,5 + 10 · 5 = 64,5 + 2,25 = 66,75 Jadi, median data di atas adalah 66,75 .

= 42,5 + 3,5 = 46 Jangkauan antarkuartil = Q3 – Q 1 = 46 – 28,5 = 17,5

8

8. D8 = data ke- 10 (35 + 1) 8

10. a.

= data ke-28 10

  ·p  

Tinggi Badan (cm)

fi

xi

fi · xi

150–156 157–163 164–170 171–177 178–184

16 10 16 x 20

153 160 167 174 181

2.448 1.600 2.672 174x 3.620

D8 terletak pada kelas interval 75–79  8 n−f  kD8   10 D8 = L +  f  · p D8    4 ⋅ 35 − 25  5  = 74,5 +  30 − 25  · 5  

n

∑

3

= 74,5 + 5 · 5 = 74,5 + 3 = 77,5 Jadi, desil ke-8 data tersebut 77,5. 9.

10.340 + 174x

60 + x

i=1

n

∑ fi ⋅ xi

x= x

i=1 n

∑ fi

i=1

Berat Karung (dalam kg)

fi

23–27

9

9

28–32

5

14

33–37 38–42

4 5

18 23

43–47

10

33

48–52

7

40

Jumlah

40

fk

⇔ → Kelas Q1 → Kelas Q3

168,4 =

10.340 + 174x 62 + x

⇔ 10.440,8 + 168,4x = 10.340 + 174x ⇔ 100,8 = 5,6x ⇔ x = 18 Jadi, banyak orang bertinggi badan antara 171 dan 177 cm ada 18 orang.


37

b.

Misalkan y = banyak orang yang bertinggi badan lebih dari 163 cm y = 16 + 18 + 20 = 54 orang Jadi, ada 54 orang yang bertinggi badan lebih dari 163.

Bab II

4. Jawaban: e Banyak pasangan sepatu dan kaos kaki yang dapat dipakai Agung = 2 × 3 =6 5. Jawaban: a Cara 1 menggunakan permutasi.

Penyusunan pengurus kelas memperhatikan urutan, sehingga digunakan permutasi. Banyak cara memilih 3 pengurus kelas dari 30 siswa. = 30P3

Peluang

=

1. Jawaban: eJawaban: a 15 × 14 × 13 × 12! 10 × 9 × 8 × 7 × 6! 15! 10! + = + 12! × 3 × 2 × 1 6! × 4 × 3 × 2 × 1 12!3! 6!4! = 455 + 210 = 665 2. Jawaban: c 20!

20!

13

20!

8

+ 13!7! = 12!8! × 13 + 13!7! × 8 20! × 13 20! × 8 = 13!8! + 13!8! 20!(13 + 8) = 13!8! 20! × 21 = 13!8! 21!

= 13!8! 3. Jawaban: e 3n+1C2 = 2n+2C4

⇔

3(n + 1)! 2!(n + 1− 2)!

=

2(n + 2)! 4!(n + 2 − 4)!

⇔

3(n + 1)! 2(n − 1)!

=

2(n + 2)! 24(n − 2)!

⇔

3(n + 1)! (n − 1)(n − 2)!

=

(n + 2)(n + 1)! 6(n − 2)!

⇔ 18 = (n – 1)(n + 2) ⇔ n2 + n – 2 = 18 ⇔ n2 + n – 20 = 0 ⇔ (n + 5)(n – 4) = 0 ⇔ n + 5 = 0 atau n – 4 = 0 ⇔ n = –5 atau n=4 n+1C2 mempunyai syarat n + 1 ≥ 2 atau n ≥ 1. n+2C4 mempunyai syarat n + 2 ≥ 4 atau n ≥ 2. Jadi, nilai n yang memenuhi adalah 4.

38

=

30 × 29 × 28 × 27! 27!

= 24.360

Cara 2 menggunakan kaidah pengisian tempat.

A. Pilihan Ganda

20! 12!8!

30! (30 − 3)!


Ketua

Wakil ketua

Sekretaris

30 cara

29 cara

28 cara

Ketua dapat dipilih dengan 30 cara. Wakil ketua dapat dipilih dengan 29 cara. Sekretaris dapat dipilih dengan 28 cara. Banyak cara memilin 3 pengurus = 30 × 29 × 28 = 24.360. 6. Jawaban: d Segitiga dapat dibentuk dengan menghubungkan 3 titik yang tidak segaris. Banyak segitiga yang dapat dibentuk dari 7 titik = 7C3 = 35 buah. 7. Jawaban: d Banyak cara memilih jenis bibit mangga tidak memperhatikan urutan sehingga digunakan kombinasi. Dua jenis bibit sudah pasti terpilih, sehingga permasalahan menjadi memilih (8 – 2) bibit dari (15 – 2). Banyak cara pemilihan jenis bibit mangga = 13C6 = =

13! (13 − 6)! 6!

13 × 12 × 11× 10 × 9 × 8 × 7! 7! × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1

= 1.716

8. Jawaban: b Agar menjadi bilangan genap, tempat satuan hanya dapat diisi angka genap yaitu 2, 4, dan 6 sehingga ada 3 cara untuk menyusun angka satuan. Oleh karena tidak ada angka yang berulang, ketiga tempat yang lain dapat disusun dari 6 – 1 = 5 angka yang lain sehingga ada 5P3 cara untuk menyusun 5 angka yang lain. Banyak bilangan genap yang tersusun = 5P3 × 3 = 60 × 3 = 180 Jadi, ada 180 bilangan genap yang tersusun.

9. Jawaban: c Banyak cara memilih 3 huruf dari 5 huruf hidup ada 5C3. Banyak cara memilih 3 angka dari 10 angka ada 10C3. Banyak cara menyusun 3 angka dan 3 huruf yang sudah terpilih ada 6P6 = 6!. Banyak kata sandi yang dapat disusun = 5C3 × 10C3 × 6! 10. Jawaban: a Kamar 1

Kamar 2

Kamar 3

15. Jawaban: a Ketua, wakil ketua, dan dua sekretaris dipandang sebagai 1 unsur sehingga permasalahan menjadi permutasi siklis dari 6 unsur. Banyak susunan duduk 2 sekretaris = 2P2 = 2! Banyak susunan duduk ketua dan wakil ketua = 2P2 = 2! Banyak susunan duduk dari kesembilan orang tersebut = (6 – 1)! 2P2 · 2P2 = 5!2!2! = 480 B. Uraian

8C2

cara

6C3

cara

3C3

cara

1. a.

Banyak cara penempatan peserta wisata = 8C2 × 6C3 × 3C3 = 28 × 20 x 1 = 560 cara

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ b.

(2n + 1)(2n + 1− 1)(2n + 1− 2)! (2n + 1− 2)!

3!n!

= (n − 2)! =

6n(n − 1)(n − 2)! (n − 2)!

(2n + 1) · 2n = 6n(n –1) 2n + 1 = 3n – 3 n=4 Jadi, nilai n = 4. n · 6P2 = nP3 n ⋅ 6! (6 − 2)!

⇔

12. Jawaban: a Banyak huruf = 7. Banyak huruf A = 2 Banyak susunan huruf yang dapat dibentuk 7! 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2! = 2! = = 2.520 2!

⇔

n!

= (n − 3)!

30n =

n(n − 1)(n − 2)(n − 3)! (n − 3)!

⇔ 30 = (n – 1)(n – 2) 2 ⇔ n – 3n + 2 = 30 ⇔ n2 – 3n– 28 = 0 ⇔ (n – 7)(n + 4) = 0 ⇔ n – 7= 0 atau n + 4 = 0 ⇔ n = 7 atau n = –4 P mempunyai syarat n ≥ 3. n 3

13. Jawaban: e Banyak buku = 4 + 3 + 4 = 11. Banyak cara menyusun ketiga jenis buku

Jadi, nilai n yang memenuhi 7.

11!

= 4!3!4! 11× 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4! = 4! × 3 × 2 × 1 × 4 × 3 ×2 × 1 = 11.550

c.

9 Cn

3

10 Cn + 1

= 10

⇔ 10 · 9Cn = 3 · 10Cn + 1

14. Jawaban: e Pada penyusunan objek yang berupa benda mati (misalnya: manik-manik), arah penyusunan tidak diperhatikan. Manik-manik yang berwarna sama dipandang 1 unsur. Oleh karena manik-manik terdiri atas 4 warna maka banyak manik-manik ada 4. Soal ini merupakan masalah permutasi siklis dari 4 objek. Hasil dari permutasi siklis tersebut dibagi dua karena arah penyusunan tidak diperhatikan. Banyak cara menyusun manik-manik menjadi (4 − 1)! 2

2 ⋅ (2n + 1)! 2!(2n + 1− 2)!

⇔

11. Jawaban: d Banyak cara menyusun ketiga merek motor = 3! Banyak cara menyusun motor Honda = 4! Banyak cara menyusun motor Yamaha = 3! Banyak cara menyusun motor Suzuki = 2! Banyak penyusunan barisan dengan setiap merek tidak boleh terpisah = 3! 4! 3! 2! = 1.728

sebuah gelang =

2 · 2n + 1C2 = 3! · nP2

3!

= 2 = 3.

⇔

10 ⋅ 9! n!(9 − n)!

3 ⋅ 10! = (n + 1)!(10 − n − 1)!

3 ⋅ 10 ! = (n + 1)n!(9 − n)! ⇔ n +1 = 3 ⇔ n=2 Jadi, nilai n = 2.

⇔

2.

10! n!(9 − n)!

Banyak huruf konsonan berbeda yang dapat dipilih = 6C3 6!

= 3!(6 − 3)! = 20


39

Banyak huruf vokal berbeda yang dapat dipilih = 4C2 4!

= 2!(4 − 2)! = 6 Banyak cara menyusun 3 konsonan dan 2 vokal = 5P5 = 5! = 120. Banyak susunan huruf yang dapat dibentuk = 20 × 6 × 120 = 14.400 3.

4.

Anggota tim terdiri atas 1 siswa dari kelas X, 3 siswa dari kelas XI, dan 1 siswa dari kelas XII. Banyak cara memilih 1 siswa dari kelas X = 7C1 = 7 Banyak cara memilih 3 siswa dari kelas XI = 6C3 = 20 Banyak cara memilih 1 siswa dari kelas XII = 5C1 = 5 Banyak cara membentuk tim = 7 × 20 × 5 = 700. Jumlah buku = 3 × 4 = 12 Unsur yang sama: n1 = 3, n2 = 3, n3 = 3, dan n4 = 3. Banyak cara menyusun buku dalam rak: 12!

12!

= 3!3!3!3! = 1.296 = 369.600 cara. 5.

a.

(2x + 3y)7 =

7

∑ 7 Cr (2x)7−r (3y)r

r=0

x4y3 merupakan suku keempat dan r = 3 Suku keempat = 7C3(2x)7 – 3(3y)3 = 7C3(2x)4(3y)3 = 7C3 × 24 × 33 × x4y3 = 35 × 16 × 27 × x4y3 15.120x4y3

= Jadi, koefisien x4y3 adalah 15.120. 7

b.

(x – 2y)7 =

∑

r=0

7 Cr

x 7−r ( −2y)r

x4y3 merupakan suku keempat dan r = 3 Suku keempat = 7C3 x7 – 3(–2y)3 = 7C3 x4(–2)3y3 = 7C3 × (–2)3 × x4y3 = 35 × (–8) × x4y3 = –280x4y3 Jadi, koefisien x4y3 adalah –280.

40


A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: e Banyak anggota ruang sampel pelemparan dua dadu = 6 × 6 = 36. Banyak anggota ruang sampel pelemparan satu keping uang logam = 2. Banyak anggota ruang sampel pelemparan dua dadu dan satu keping uang logam secara bersamaan = 36 × 2 = 72. 2. Jawaban: e Banyaknya hasil yang mungkin: lemparan 1

lemparan 2

lemparan 3

6 cara

6 cara

6 cara

Jadi, hasil yang mungkin ada 6 3 = 216. 3. Jawaban: e Frekuensi muncul gambar = 30 – 21 = 9. 9

Frekuensi relatif muncul gambar = 30 = 0,3. 4. Jawaban: b S = {(1, A), (2, A), (3, A), (4, A), (5, A), (6, A), (1, G), (2, G), (3, G), (4, G), (5, G), (6, G)} n(S) = 12 A = kejadian muncul mata dadu genap dan angka pada mata uang logam = {(2, A), (4, A), (6, A)} n(A) = 3 n(A)

3

1

P(A) = n(S) = 12 = 4 Jadi, peluang muncul mata dadu genap dan angka 1

pada mata uang logam adalah 4 . 5. Jawaban: a Jika buku sejenis diatur secara berdampingan maka kamus diatur dalam 4P4 cara dan ensiklopedi diatur dalam 2P2 cara. Banyak cara mengatur 2 kelompok buku = 2P2. Banyak cara mengatur 6 buku = 6P6. Peluang buku-buku yang sejenis ditempatkan secara berdampingan = =

4 P4

⋅ 2P2 ⋅ 2P2 6 P6

24 ⋅ 2 ⋅ 2 720

2

= 15

6. Jawaban: b A = kejadian terambil 1 ikan mas dari 12 ikan mas n(A) = 12C1 = 12 S = kejadian terambil 1 ikan dari jumlah ikan n(S) = 60C1 = 60

n(A)

12

1

P(A) = n(S) = 60 = 5 Jadi, peluang terambil ikan mas dalam satu kali 1

pemancingan adalah 5 .

6

1

P(A) = n(S) = 1.326 = 221 Jadi, peluang terambil dua kartu king 1 . 221

8. Jawaban: d Bilangan ratusan terdiri atas 3 angka, angka ratusan, puluhan, dan satuan. Banyak nomor undian yang terbentuk merupakan permutasi 3 dari 5. n(S) = banyak nomor undian yang terbentuk = 5P3 = 60 n(A) = banyak susunan nomor undian kurang dari 400 ratusan

puluhan

satuan

3 cara

4 cara

3 cara

Oleh karena nomor undian kurang dari 400 maka angka ratusan dapat diisi oleh angka 1, 2, dan 3 sehingga angka ratusan dapat diisi dengan 3 cara. Angka puluhan dapat diisi dengan 4 cara setelah 1 angka dipakai angka ratusan. Angka satuan dapat diisi dengan 3 cara setelah 1 angka dipakai angka ratusan dan 1 angka dipakai angka puluhan. n(A) = 3 × 4 × 3 = 36 n(A)

36

n(A)

P(A) = n(S) 10

7. Jawaban: a A = kejadian terambil dua kartu king n(A) = 4C2 = 6 S = kejadian terambil dua kartu dari 52 kartu n(S) = 52C2 = 1.326 n(A)

A = kejadian terpilih kedua angka ganjil n(A) = 5C2 = 10

3

P(A) = n(S) = 60 = 5 Jadi, peluang muncul nomor undian kurang dari 3

400 adalah 5 . 9. Jawaban: c Dua angka berjumlah genap jika terdiri atas an gka ganjil-ganjil atau genap-genap. Banyak angka berjumlah genap = banyak angka ganjil-ganjil + banyak angka genap-genap = 5C2 + 4C2 = 10 + 6 = 16 Diperoleh n(S) = 16

= 16 5

= 8 5 Jadi, peluang kedua angka bilangan ganjil 8 . 10. Jawaban: e A = kejadian terambil dua barang rusak n(A) = 20C2 = 190 n(S) = 120C2 = 7.140 n(A)

P(A) = n(S)

190

19

= 7.140 = 714 Peluang terambil barang yang tidak rusak: P(A′) = 1 – P(A) 19

695

= 1 – 714 = 714 11. Jawaban: e Banyak ruang sampel: n(S) = 2 × 2 × 6 = 24. A = kejadian muncul angka paling sedikit 1 kali A′ = kejadian tidak muncul angka = {GG1, GG2, GG3, GG4, GG5, GG6} n(A′) = 6 n(A)

6

1

P(A′) = n(S) = 24 = 4

1

3

P(A) = 1 – P(A ′) = 1 – 4 = 4 Jadi, peluang muncul angka paling sedikit satu 3

kali 4 . 12. Jawaban: c Percobaan melempar dua mata uang maka n(S) = 4 A = kejadian muncul 1 angka dan 1 gambar = {(A, G), (G, A)} n(A) = 2 n(A)

P(A) = n(S) 2

1

= 4 = 2 Frekuensi harapan muncul 1 angka dan 1 gambar: Fh(A) = n × P(A) 1

= 90 × 2 = 45 kali 13. Jawaban: a S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} n(S) = 8


41

A = kejadian jarum penunjuk menunjuk nomor prima = {2, 3, 5, 7} n(A) = 4 n(A)

2.

Ruang sampel merupakan permutasi 4 unsur dari 7 unsur. 7!

n(S) = 7P4 = (7 − 4)! = 840 Banyak kartu bernomor ganjil = 4 banyak kartu bernomor genap = 3 A = kejadian muncul 4 kartu bernomor ganjil, genap, ganjil, ganjil

4

P(A) = n(S) = 8 Fh(A) = n × P(A) 4

= 120 × 8 = 60 Jadi, frekuensi harapan jarum penunjuk menunjuk nomor bilangan prima 60 kali. 14. Jawaban: d A = kejadian tidak terambil bola putih = kejadian terambil 3 bola hijau n(A) = 4C3 = 4 Banyak bola = 5 + 4 = 9 n(S) = 9C3 = 84 n(A)

4

1

kartu 2 genap

kartu 3 ganjil

kartu 4 ganjil

4 cara

3 cara

3 cara

2 cara

n(A) = 4 × 3 × 3 × 2 = 72 P(A) =

n(A) n(S)

=

72 840

=

3 35

Jadi, peluang terambil keempat kartu bernomor 3

ganjil, genap, ganjil, ganjil 35 .

1

P(A) = n(S) = 84 = 21 A′ = kejadian terambil sekurang-kurangnya 1 bola putih Peluang terambil sekurang-kurangnya satu bola putih:

kartu 1 ganjil

3.

a.

Angka ke-10

10 cara

Angka ke-11

Angka ke-12

10 cara

10 cara

n(S) = 10 × 10 × 10 = 1.000 A = kejadian Aksin menjadi pemenang

20

1

P(A′) = 1 – P(A) = 1 – 21 = 21

P(A) = 1.000 1

20

Fh(A′) = n × P(A′) = 147 × 21 = 140 Jadi, frekuensi harapan terambil sekurangkurangnya satu bola putih adalah 140 kali.

Jadi, peluang Aksin menjadi pemenang 1.000 . b.

15. Jawaban: c Bibit yang hidup = 75 – 4 = 71 A = kejadian bibit yang disemai hidup

Angka ke-10

Angka ke-11

Angka ke-12

10 cara

10 cara

5 cara

n(S1) = 10 × 10 × 5 = 500 B = kejadian pemilik nomor hand phone yang ketiga angka terakhirnya bilangan genap menjadi pemenang

71

P(A) = 75

71

Fh(A) = n × P(A) = 4.500 × 75 = 4.260 Jadi, ada 4.260 bibit yang diharapkan hidup.

Angka ke-10

Angka ke-11

Angka ke-12

5 cara

5 cara

5 cara

n(B) = 5 × 5 × 5 = 125 B. Uraian

n(A)

1. Ruang sampel S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG} n(S) = 8 A = kejadian muncul sekurang-kurangnya dua gambar = {AGG, GAG, GGA, GGG} n(A) = 4 n(A)

4

1

P(A) = n(S) = 8 = 2 Jadi, peluang muncul sekurang-kurangnya dua 1

gambar 2 .

42


125

1

P(B) = n(S) = 500 = 4 Jadi, peluang pemilik nomor hand phone yang ketiga angka terakhirnya bilangan genap 1

4.

menjadi pemenang 4 . S = kejadian menyusun 3 orang dari 7 orang menjadi pengurus n(S) = 7P3 = 210 a. A = kejadian seseorang tidak terpilih men jadi pengurus = kejadian menyusun 3 orang dari (7 – 1) orang menjadi pengurus n(A) = 6P3 = 120

n(B)

120

4

P(A) = n(S) = 210 = 7 b.

B = kejadian seseorang terpilih menjadi sekretaris = kejadian seseorang terpilih menjadi sekretaris dan 2 orang dari 6 orang terpilih menjadi ketua dan bendahara n(B) = 1P1 × 6P2 = 1 × 30 = 30 n(B)

30

1

P(B) = n(S) = 210 = 7 P(B′) = 1 – P(B) = 1 –

1 7

6 7

=

Jadi, peluang seseorang tidak terpilih menjadi 6

sekretaris 7 . 5.

Jumlah kelereng = 6 + 4 + 8 = 18 S = kejadian terambil 3 kelereng dari 18 kelereng n(S) = 18C3 = 816 a. A = kejadian terambil 3 kelereng hijau n(A) = 4C3 = 4 4

1

P(A) = 816 = 204

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: d Dua kejadian pada pilihan a, b, dan e tidak saling asing dan tidak saling bebas. Dua kejadian pada pilihan c saling asing. Dua kejadian pada pilihan d saling bebas. 2. Jawaban: b Misal: S = kejadian terambil 1 bola dari (4 + 3 + 3) 10 bola n(S) = 10C1 = 10 A = kejadian terambil 1 bola merah dari 4 bola merah n(A) = 4C1 = 4 B = kejadian terambil 1 bola hitam dari 3 bola hitam n(B) = 3C1 = 3 A dan B merupakan dua kejadian saling asing.

1

b.

Fh(A) = n × P(A) = 612 × 204 = 3 Jadi, frekuensi harapan terambil semua kelereng hijau 3 kali. B = kejadian terambil 2 kelereng putih dan 1 kelereng hijau n(B) = 6C2 × 4C1 = 15 × 4 = 60 60

5

P(B) = 816 = 68 5

c.

Fh(B) = n × P(B) = 612 × 68 = 45 Jadi, frekuensi harapan terambil 2 kelereng putih dan 1 kelereng hijau 45 kali. C = kejadian terambil 1 kelereng putih, 1 kelereng hijau, dan 1 kelereng kuning n(C) = 6C1 × 4C1 × 8C1 =6×4×8 = 192

n(B)

4

3

4

= 17 Fh(C) = n × P(C) = 612 × 17 = 144 Jadi, frekuensi harapan terambil ketiga kelereng berbeda warna 144 kali.

7

= 10 + 10 = 10 Jadi, peluang terambil bola merah atau hitam 7

adalah 10 . 3. Jawaban: d Misal: A = {penduduk berpenghasilan rendah} B = {penduduk berpenghasilan sedang} C = {penduduk berpenghasilan lebih} n(S) = 100% n(B) = 20% n(A) = 40% n(C) = 15% Kejadian A dan B merupakan dua kejadian saling asing sehingga n(A ∩ B) = 0. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) n(A)

n(B)

= n(S) + n(S) 40%

20%

= 100% + 100% 4

192

P(C) = 816

4

n(A)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = n(S) + n(S)

2

6

= 10 + 10 = 10 = 0,6 Jadi, peluang terpilih warga yang berpenghasilan rendah atau sedang 0,6. 4. Jawaban: a Kemungkinan pasangan kelereng yang terambil adalah KKH atau KKB. n(S) = banyak cara mengambil 3 kelereng dari 12 kelereng = 12C3 = 220


43

n(KKH)= banyak cara mengambil 2 kelereng kuning dan 1 kelereng hijau = 4C2 × 3C1 = 6 × 3 = 18 n(KKB) = banyak cara mengambil 2 kelereng kuning dan 1 kelereng biru = 4C2 × 5C1 = 6 × 5 = 30 Peluang terambil 2 kelereng kuning = P(KKH) + P(KKB) n(KKH)

= n(S)

n(KKB)

+ n(S)

18

30

48

12

= 220 = 55 5. Jawaban: b S = {satu set kartu remi}, n(S) = 52 A = {kartu As}, n(A) = 4 B = {kartu hitam}, n(B) = 26 A ∩ B = { kartu As hitam}, n(A ∩ B) = 2 Peluang terambil kartu As atau kartu hitam = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) n(B) n(A) n(A ∩ B) = + – n(S) n(S) n(S) 4 26 2 + 52 – 52 52

28

6. Jawaban: e Murid Laki-Laki

Jumlah

Berambut keriting

10

5

15

Berambut lurus

10

5

15

Jumlah

20

10

30

n(B)

15

5

20

A

B 7 5

2 3

x

8 C

P(A) = n(S) = 30 B = kejadian terpilih 1 murid berambut keriting dari 15 murid berambut keriting n(B) = 15C1 = 15 P(B) = n(S) = 30 A ∩ B = kejadian terpilih 1 murid laki-laki dan berambut keriting dari 5 murid laki-laki dan berambut keriting n(A ∩ B) = 5C1 = 5 Kunci Jawaban dan Pembahasan

15

= 30

4 Murid Perempuan

S = kejadian terpilih 1 murid dari 30 murid n(S) = 30C1 = 30 A = kejadian terpilih 1 murid laki-laki dari 10 murid laki-laki n(A) = 10C1 = 10

44

10

= 30 + 30 – 30

6

10

5

= 30 Peluang terpilih murid laki-laki atau berambut keriting: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

S

7

= 52 = 13

n(A)

n(A ∩ B) n(S)

7. Jawaban: c Misalkan: A = himpunan murid yang mengikuti IMO B = himpunan murid yang mengikuti IBO C = himpunan murid yang mengikuti IChO x = banyak murid yang tidak mengikuti IMO, IBO, maupun IChO n(S) = 40 n(A) = 22 n(B) = 17 n(C) = 20 n(A ∩ B) = 12 n(A ∩ C) = 9 n(B ∩ C) = 8 n(A ∩ B ∩ C) = 5 Diagram Venn:

= 220 + 220

=

P(A ∩ B) =

n(S) = 6 + 7 + 2 + 4 + 5 + 3 + 8 + x ⇔ 40 = 35 + x ⇔ x = 40 – 35 = 5 n(x) = 5 n(x)

5

P(x) = n(S) = 40 Jadi, peluang terpilih seorang anak yang tidak mengikuti IMO, IBO, maupun IChO adalah 5 . 40

8. Jawaban: a Misal: A = kejadian harga sembako naik P(A) = 0,92 B = kejadian gaji pegawai negeri naik P(B) = 1 – P(B ′) = 1 – 0,15 = 0,85 A dan B merupakan dua kejadian saling bebas P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 0,92 × 0,85 ≈ 0,78 Jadi, peluang gaji pegawai negeri dan harga sembako naik 0,78.

9. Jawaban: d n(S) = jumlah kelereng = 5 + 3 = 8 n(M) = banyak kelereng merah = 5 n(K) = banyak kelereng kuning = 3 Kemungkinan kelereng yang terambil merah, kuning, merah (MKM) atau merah, kuning, kuning(MKK) A1 = peluang terambil pertama kelereng merah n(M)

5

3

3

P(A2) = n(S) − 1 = 8 − 1 = 7 A3 = peluang terambil ketiga kelereng merah n(M) − 1 5 −1 4 2 P(A3) = n(S) − 2 = 8 − 1 = 6 = 3 Peluang terambil kelereng MKM: P1 = P(A1) × P(A2) × P(A3)

3

K dan L merupakan dua kejadian yang saling bebas. P(K ∩ L) = P(K) × P(L) 2

3

n(K) − 1 3 −1 2 1 P(B) = n(S) − 2 = 8 − 2 = 6 = 3 Peluang terambil kelereng MKK: P2 = P(A1) × P(A2) × P(B)

×

×

5

5

18

3

2

3

18

2

3

3

18

P(T, G, G) = 5 × 5 × 5 = 125 Peluang terjadi 2 tendangan penalti gol = P(G, G, T) + P(G, T, G) + P(T, G, G) 18

18

18

= 125 + 125 + 125 54

54

tendangan penalti adalah 125 . 12. Jawaban: b Oleh karena A dan B kejadian saling bebas maka P(A ∩ B) = P(A) × P(B) 1

= 3 × 6

15

1

= 56

= 18

10. Jawaban: b S1 = kejadian terambil 1 bola dari 5 bola di kotak A K = kejadian terambil 1 bola merah dari 2 bola merah di kotak A P(K) =

2

1

= 28 + 56

n(K) n(S1)

3

= 125 Jadi, peluang untuk membuat 2 gol dalam 3 kali

1 3

= 56 Peluang terambil pertama kelereng merah dan kedua kelereng kuning: P = P1 + P2 5

3

P(G, G, T) = 5 × 5 × 5 = 125

5

=

2

P(T) = P(tidak gol) = 1 – P(gol) = 1 – 5 = 5 A = kejadian terjadi 3 kali tendangan penalti dengan 2 tendangan gol = {(G, G, T), (G, T, G), (T, G, G)} Kejadian tendangan penalti 3 kali merupakan kejadian saling bebas.

P(G, T, G) = 5 × 5 × 5 = 125

= 28 B = peluang terambil ketiga kelereng kuning

3 7

3

11. Jawaban: d

2

= 8 × 7 × 3

5 8

3

= 5 × 8 = 20 Jadi, peluang terambil 1 bola merah dari kotak A dan 1 bola biru dari kotak B adalah 20 .

A2 = peluang terambil kedua kelereng kuning pengambilan II

5

3

3

P(A1) = n(S) = 8

n(K)

C

n(K)

P(L) = n(S ) = 3 C1 = 8 8 1 2

2 C1

= C = 5 1

2 5

S2 = kejadian terambil 1 bola dari 8 bola di kotak B L = kejadian terambil 1 bola putih dari 3 bola putih di kotak B

Peluang kejadian A atau B: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 1

1

1

= 3 + 6 – 18 4

= 9

13. Jawaban: c Jumlah buku di rak = 6 + 3 + 4 = 13 n(S) = 13C3 = 286 Kemungkinan buku yang terambil (2M, 1F), (2M, 1B), atau 3M. Matematika Kelas XI Program IPA

45

A = kejadian terambil (2M, 1F) n(A) = 6C2 × 3C1 = 15 × 3 = 45 B = kejadian terambil (2M, 1B) n(B) = 6C2 × 4C1 = 15 × 4 = 60 C = kejadian terambil 3 M n(C) = 6C3 = 20 Peluang terambil paling sedikit 2 buku matematika: P = P(A) + P(B) + P(C) n(A)

n(C)

n(B)

= n(S) + + n(S) n(S) =

45 286

=

125 286

+

60 286

20 286

+

n(K) n(S)

×

n(M) n(S)

2

4

2

n(K)

2

n(A)

18

1

P(A ∩ B) =

n(A ∩ B) n(S)

=

4 36

=

1 9

B|A = kejadian muncul angka prima pada dadu pertama yang berjumlah lebih dari 8 P(A ∩ B) P(A)

1 9 1 2

=

2

= 9

n(K)

n(K)

= n(S) × n(S) × n(S) 4

2

2

n(M)

2

2

= 6 × 6 × 6 = 27 Kunci Jawaban dan Pembahasan

2

4

2

= 6 × 6 × 6 = 27 Peluang terambil satu kartu merah: P = P(M1K2K3) + P(K 1M2K3) + P(K 1K2M3) 2

2

2

2

= 27 + 27 + 27 = 9 B. Uraian

1. Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 2 × 2 × 6 = 24 A = kejadian muncul satu angka = {AG1, AG2, AG3, AG4, AG5, AG6, GA1, GA2, GA3, GA4, GA5, GA6} n(A) = 12 n(A)

12

1

n(B)

12

1

P(A) = n(S) = 24 = 2 B = kejadian muncul mata dadu genap = {AG2, AG4, AG6, AA2, AA4, AA6, GA2, GA4, GA6, GG2, GG4, GG6) n(B) = 12 P(B) = n(S) = 24 = 2 A ∩ B = kejadian muncul satu angka dan mata dadu genap = {AG2, AG4, AG6, GA2, GA4, GA6} n(A ∩ B) = 6 P(A ∩ B) =

15. Jawaban: b Banyak kartu kuning: n(K) = 2 Banyak kartu merah: n(M) = 4 Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 6 Kemungkinan kartu yang terambil M 1 K 2K 3, K1M2K3, atau K1K2M3. M1K2K3 = kejadian terambil pertama kartu merah, kedua kartu kuning, ketiga kartu kuning P(M1K2K3) = P(M1) × P(K2) × P(K 3) n(M)

n(K) n(S)

×

= 6 × 6 × 6 = 27 K1K2M3 = kejadian terambil pertama kartu kuning, kedua kartu kuning, ketiga kartu merah P(K1K2M3) = P(K1) × P(K2) × P(M 3) n(K)

P(A) = n(S) = 36 = 2 B = kejadian muncul mata dadu berjumlah lebih dari 8 = {(3,6), (4,5), (4,6), ( 5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} A ∩ B = kejadian muncul angka prima pada mata dadu pertama dan jumlah kedua mata dadu lebih dari 8 = {(3,6), (5,4), (5,5), (5,6)} n(A ∩ B) = 4

46

=

= n(S) × n(S) × n(S)

14. Jawaban: e Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 36 A = kejadian muncul angka prima pada dadu pertama = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), ( 3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} n(A) = 18

P(B|A)=

K1M2K3 = kejadian terambil pertama kartu kuning, kedua kartu merah, ketiga kartu kuning P(K1M2K3) = P(K1) × P(M 2) × P(K3)

a.

n(B ∩ B) n(S)

6

1

= 24 = 4 Peluang muncul satu angka atau mata dadu genap: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 1

1

1

= 2 + 2 – 4 3

b.

= 4 A|B = kejadian muncul satu angka jika muncul mata dadu genap P(A|B) = =

P(A ∩ B) P(B) 1 4 1 2

1

= 2

Jadi, peluang muncul satu angka jika muncul

Banyak buah = 9 + 6 = 15 buah A = kejadian terambil 2 jeruk

1

mata dadu genap 2 . 2.

P(A) =

=

P(B) =

b.

=

× 3C1

=

=

9 28

9

27

=

× 3C1 n(SB )

× 1C1 n(SB )

17

8 C1

×

14 C1

8

72

6 C1 15 C1

×

5 C1 14 C1

5

30

30

72

102

17

= 210 + 210 = 210 = 35 4.

2 ×1 2 = 15 = 15 Peluang terambil satu kubus dari kotak B: P(B) = P(B1) × P(B 2) 2

15 C1

6

2C1

2C 1

51

= 15 × 14 = 210 Peluang terambil dua buah dengan jenis yang sama = P(Q) + P(R)

2× 3 2 = 15 = 5 P(B2) = peluang terambil satu kubus dan satu limas dari kotak B

=

9 C1

9

= 14 × 28 = 392 Banyak anggota ruang sampel pada kotak B: n(SB) = 6C2 = 15 P(B1) = peluang terambil satu kubus dan satu kerucut dari kotak B =

36

= 15 × 14 = 210 Peluang terambil dua apel P(R) = P (apel pada pengambilan I) × P (apel pada pengambilan II)

Peluang terambil satu kubus dari kotak A: P(A) = P(A1) × P(A 2) 3

36

15 C2

= P(A) + P(B) = 105 + 105 = 105 = 35 Pengambilan dilakukan satu per satu tanpa pengembalian. Peluang terambil dua jeruk P(Q)= P (jeruk pada pengambilan I) × P (jeruk pada pengambilan II)

n(SA )

3×3 28

9 C2

15

× 2C1

n(SA )

3C1

15 C2

= 105 Peluang terambil dua buah dengan jenis yang sama

3×2 3 = 28 = 14 P(A2) = peluang terambil satu kubus dan satu limas dari kotak A

=

15

= 105 B = kejadian terambil 2 apel

Kemungkinan bangun yang terambil (kubus, kurucut), atau (kubus, limas). Banyak anggota ruang sampel pada kotak A: n(SA) = 8C2 = 28 P(A1) = peluang terambil satu kubus dan satu kerucut dari kotak A 3C1

6 C2

Diagram Venn: S

T

V

15

7

10

2

= 5 × 15 4

= 75 Peluang terambil sebuah kubus = P(A) × P(B) 27

4

= 392 × 75 9

= 2.450 3.

a.

Pengambilan dilakukan secara acak dua sekaligus. Kemungkinan buah yang terambil 2 apel atau 2 jeruk.

S = kejadian terpilih 3 siswa dari 32 siswa n(S) = 32C3 = 4.960 Kemungkinan siswa yang terpilih 2 siswa hanya gemar tenis dan 1 siswa gemar voli atau 2 siswa hanya gemar tenis dan 1 siswa hanya gemar voli atau 2 siswa hanya gemar tenis dan 1 siswa gemar voli dan tenis. P(A) = peluang terpilih 2 siswa hanya gemar tenis dan 1 siswa gemar voli C × C 45 × 22 990 = 10 2n(S)22 1 = 4.960 = 4.960 Matematika Kelas XI Program IPA

47

P(B) = peluang terpilih 2 siswa hanya gemar tenis dan 1 siswa hanya gemar voli C2 × 15C1 45 × 15 675 = 10 n(S) = 4.960 = 4.960 P(C) = peluang terpilih 2 siswa hanya gemar tenis dan 1 siswa gemar voli dan tenis C2 × 7C1 45 × 7 315 = 10 n(S) = 4.960 = 4.960 Peluang terpilih 2 siswa hanya gemar tenis = P(A) + P(B) + P(C) 990

675

315

1.980

99

= 4.960 + 4.960 + 4.960 = 4.960 = 248 5.

Kemungkinan hasil pelemparan yang mungkin: B = kejadian tidak pernah terjadi pelemparan dadu = kejadian selalu muncul gambar = {Gambar, Gambar, Gambar} 1

1

1

1

P(B) = 2 × 2 × 2 = 8 Jadi, peluang kejadian tidak pernah terjadi 1

pelemparan dadu 8 .

3. Jawaban: b Tempat juara I sudah terisi, sehingga ada 2 tempat yang tersisa. Banyak cara menempatkan 4 anak pada 2 tempat yang tersisa = 4P2 = 12. Jadi, ada 12 foto berbeda yang mungkin tercetak. 4 Jawaban: d Misal: A = {P, E, L, U, A, N, G} ⇒ n(A) = 7 B = himpunan bagian dari A yang memiliki anggota 3 unsur n(B) = 7C3 = 35 Jadi, ada 35 himpunan bagian dari A yang memiliki anggota 3 unsur. 5. Jawaban: c Anggap 4 pemuda sebagai satu kelompok dan 3 pemudi sebagai satu kelompok. Banyak cara duduk 4 pemuda dalam satu kelompok adalah 4P4. Banyak cara duduk 3 pemudi dalam satu kelompok adalah 3P3. Banyak cara duduk selang-seling pemuda dan pemudi. = 4P4 × 3P3 = pemuda = 4! cara = 4! × 3! = 144 = pemudi = 3! cara

6. Jawaban: e Banyak cara menyusun 2 huruf berlainan dari 24 huruf = 24P2 = 552. Banyak cara menyusun 4 angka berlainan dari 10 angka = 10P4. Banyak cara menyusun pelat nomor = 552 × 10P4.

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c A → B → C A ← B ← C Banyak cara mengadakan perjalanan dari A ke C melalui B = 4 × 5 = 20. Banyak cara mengadakan perjalanan dari C ke A melalui B dengan jalur yang berbeda = 4 × 3 = 12. Banyak cara pulang–pergi dari A ke C melalui B dengan jalur bus yang berbeda = 20 × 12 = 240. 2. Jawaban: c Angka I

Angka II

Angka III

5 cara

10 cara

9 cara

Angka I dapat ditempati angka 5, 6, 7, 8, 9 sehingga ada 5 cara. Angka II dapat ditempati semua angka sehingga ada 10 cara. Angka III dapat ditempati semua angka kecuali 0 sehingga ada 9 cara. Banyak cara menyusun nomor lebih dari 500 = 5 × 10 × 9 = 450 cara Jadi, ada 450 peserta ujian bernomor ganjil. 48


7. Jawaban: d Bilangan yang kurang dari 1.000 terdiri atas 3 angka dengan urutan diperhatikan sehingga digunakan permutasi. Banyak bilangan yang dapat disusun dari angka: a. b. c. d.

3!

0, 0, dan 6 ada 2!1! = 3 bilangan 0, 1, dan 5 ada 3! = 6 bilangan 0, 2, dan 4 ada 3! = 6 bilangan 3!

e.

0, 3, dan 3 ada 2!1! = 3 bilangan 1, 2, dan 3 ada 3! = 6 bilangan

f.

1, 4, dan 1 ada 2!1! = 3 bilangan

g.

2, 2, dan 2 ada 3!

3!

3!

= 1 bilangan ––––––––––– + 28 bilangan

Jadi, ada 28 bilangan. 8. Jawaban: b Kemungkinan susunan pimpinan ketua dari kelas XII, wakil ketua dan sekretaris dari kelas XI dan X atau ketua dari kelas XI, wakil ketua dan sekretaris dari kelas X.

Kasus I

n(A′) = 6

Ketua dari kelas XII, wakil ketua dan sekretaris dari kelas XI dan X. Jumlah anak kelas X dan XI = 4 + 5 = 9 Banyak susunan yang mungkin: = 6P1 × 9P2

n(A′) 6 1 P(A′) = n(S) = 216 = 36

Kasus II

ada angka yang sama 36 .

9. Jawaban: a L

P L

L P

P L

P

P(A) =

3 C1

× 7C2

10 C3

3 × 21 63 21 = 120 = 120 = 40 21

Jadi, peluang terpilih satu bola lampu cacat 40 .

n(A)

1

P (semuanya laki-laki) = P(LL) = n(S) = 3

Banyak cara duduk 4 laki-laki mengelilingi meja bundar (4 – 1)! = 3! Banyak cara duduk 8 perempuan mengelilingi meja bundar (8 – 1)! = 8! Banyak cara duduk 4 laki-laki dan 8 perempuan mengelilingi meja bundar dengan setiap dua orang perempuan duduk di antara dua laki-laki: = 3! × 8! = 6 × 8! 10. Jawaban: a A = kejadian terpilih 2 tiket dari 3 tiket yang dimiliki wanita tersebut menjadi pemenang n(A) = 3C2 = 3 n(S) = 25C2 = 300 n(A)

12. Jawaban: b Banyak bola lampu cacat = 3 Banyak bola lampu hidup = 7 A = kejadian terpilih satu bola lampu cacat = kejadian terpilih satu bola lampu cacat dan 2 bola lampu hidup Peluang terpilih satu bola lampu cacat:

13. Jawaban: c Ruang sampel urutan dua anak dengan satu anak laki-laki S = {LP, PL, LL} ⇒ n(S) = 3 A = kejadian 2 anak berjenis kelamin laki-laki n(A) = 1

P

P

P

35

35

Ketua dari kelas XI, wakil ketua dan sekretaris dari kelas X Banyak susunan yang mungkin: = 5P1 × 4P2 Jumlah banyak kemungkinan susunan pimpinan: = 6P1 × 9P2 + 5P1 × 4P2 = 6 × 72 + 5 × 12 = 432 + 60 = 492 Jadi, banyak kemungkinan susunan pimpinan dengan kelas asal ketua harus lebih tinggi dari kelas asal wakil ketua dan sekretaris ada 492 cara.

P

1

P(A) = 1 – P(A ′) = 1 – 36 = 36 Jadi, peluang ketiga mata dadu yang muncul tidak

3

1

P(A) = n(S) = 300 = 100 Jadi, peluang kedua tiket wanita tersebut menang 1

adalah 100 . 11. Jawaban: e S = pelemparan 3 dadu n(S) = 6 × 6 × 6 = 216 A = kejadian ketiga mata dadu muncul tidak ada angka yang sama A′ = kejadian ketiga mata dadu muncul angka yang sama = {(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6)}

1

Jadi, peluang semuanya anak laki-laki 3 . 14. Jawaban: a A = kejadian terpilih dua orang merupakan suami istri n(A) = 6C1 = 6 n(S) = banyak kemungkinan terpilih dua orang dari 6 pasangan (12 orang) = 12C2 = 66 Peluang terpilih pasangan suami istri dari 6 pasangan yang ada: n(A)

6

1

P(A) = n(S) = 66 = 11 15. Jawaban: d Kemungkinan panitia yang terbentuk 2 putri, 2 putra), (1 putri, 3 putra) atau 4 putra. Jumlah siswa = 5 + 5 = 10. Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 10C4 = 210 P(A) = peluang panitia yang terbentuk 2 putri dan 2 putra C × C = 5 2n(S)5 2 =

10 × 10 210 10

= 21


49

P(B) = peluang panitia yang terbentuk 1 putri dan 3 putra C × C = 5 1n(S)5 3 5 × 10 5 = 210 = 21 P(C) = peluang panitia yang terbentuk 4 putra C

5 4 = n(S)

=

5 210

=

1 42

Peluang panitia yang terbentuk memuat paling banyak 2 siwa putri = P(A) + P(B) + P(C) 10

5

1

= 21 + 21 + 42 31

n(S) = permutasi siklis 6 elemen = (6 – 1)! = 5! = 120 n(A)

3

18. Jawaban: c 1) Jumlah buah di keranjang pertama = 10 + 8 = 18 buah n(S1) = 18C3 = 816 A = kejadian terambil 2 buah rambutan dan 1 jeruk dari keranjang pertama n(A) = 10C2 × 8C1 = 45 × 8 = 360

2) Pelajar Pria

Pelajar Wanita

Jumlah

Memakai arloji

5

10

15

Tidak memakai arloji

5

10

15

Jumlah

10

20

30

S = kejadian terpilih dua pelajar dari 30 pelajar n(S) = 30C2 = 435 A = kejadian terpilih dua pelajar wanita dari 20 pelajar wanita n(A) = 20C2 = 190 B = kejadian terpilih dua pelajar yang memakai arloji dari 15 pelajar yang memakai arloji N(B) = 15C2 = 105 A ∩ B = kejadian terpilih dua pelajar wantia dan memakai arloji n(A ∩ B) = 10C2 = 45 Peluang terpilih pelajar wanita atau memakai arloji: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) n(B) n(A) n(A ∩ B) = + – n(S)

n(S)

= =

190 435 250 435

+ =

105 435 50 87

n(S)

–

45 435

17. Jawaban: a Lisa, Tera, dan Wisnu dipandang sebagai 1 elemen, maka permasalahan menjadi permutasi siklis 4 elemen, sedangkan cara duduk Lisa, Tera, dan Wisnu ada 3! cara. A = kejadian Lisa, Tera, dan Wisnu duduk bersebelahan n(A) = 3! × permutasi siklis 4 elemen = 3!(4 – 1)! = 36

50


3

sebelahan 10 .

= 42 16. Jawaban: a

36

P(S) = n(S) = 120 = 10 Jadi, peluang Lisa, Tera, dan Wisnu duduk ber-

n(A)

360

n(B)

20

15

P(A) = n(S ) = 816 = 34 1 Jumlah buah di keranjang kedua = 5 + 4 = 9 buah n(S2) = 9C2 = 36 B = kejadian terambil 1 buah salak dan 1 buah kedondong dari keranjang kedua n(B) = 5C1 × 4C1 = 5 × 4 = 20 5

P(B) = n(S ) = 36 = 9 2 Peluang terambil 2 buah rambutan dan 1 buah salak: P(A ∩ B) = P(A) × P(B) 15

5

= 34 × 9 25

= 102 Jadi, peluang terambil dua buah rambutan dan 25

satu buah mangga adalah 102 . 19. Jawaban: b Banyak baju putih: n(P) = 5 Banyak baju biru : n(B) = 3 Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 5 + 3 = 8 Kemungkinan baju yang terambil pertama putih– kedua biru–ketiga biru atau pertama biru–kedua putih–ketiga biru atau pertama biru–kedua biru– ketiga putih. P(A) = kejadian terambil baju pertama putih– kedua biru–ketiga biru n(P) n(B) n(B) − 1 = n(S) × × n(S) − 1 n(S) − 2 5

3

2

= 8 × 7 × 6 5

= 56 P(B) = kejadian terambil baju pertama biru–kedua putih–ketiga biru

n(B) n(P) n(B) − 1 = n(S) × n(S) 1 × n(S) 2 − −

3

5

2

= 8 × 7 × 6 5

= 56 P(C) = kejadian terambil baju pertama biru–kedua biru–ketiga putih n(B) n(B) − 1 n(P) = n(S) × × n(S) − 1 n(S) − 2 3

3

5

5

= 8 × 7 × 6 = 56 Peluang terambil satu baju putih = P(A) + P(B) + P(C) 5

5

5

= 56 + 56 + 56 =

15 56

20. Jawaban: e Banyak kelereng merah = 7 Banyak kelereng putih = 3 Jumlah kelereng = 10 Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 10C3 = 120 Kemungkinan kelereng yang terambil (3 merah) atau (1 putih, 2 merah). P(A) = peluang terambil 3 kelereng merah C

35

7 3 = n(S) = 120 P(B) = peluang terambil 1 kelereng putih dan 2 kelereng merah C × C = 3 1n(S)7 2

3 × 21 63 = 120 = 120 Peluang terambil paling banyak 1 kelereng putih = P(A) + P(B) 35

63

98

49

= 120 + 120 = 120 = 60

Cara 2

A ∩ B = kejadian terambil kartu king hitam = {king keriting, king daun hitam} n(A ∩ B) = 2 n(A ∩ B) 2 1 (A ∩ B) = n(S) = 52 = 26 22. Jawaban: a Banyak percobaan: N = 165 Jumlah uang logam dalam mangkuk = 8 + 3 = 11 Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 11C2 = 55 Kemungkinan uang logam yang terambil 2 uang logam seribuan atau 1 uang logam seribuan dan 1 uang logam lima ratusan. A = kejadian terambil 2 uang logam seribuan n(A) = 8C2 = 28 n(A)

28

n(B)

24

P(A) = n(S) = 55 B = kejadian terambil 1 uang logam seribuan dan 1 uang logam lima ratusan n(B) = 8C1 × 3C1 = 8 × 3 = 24 P(B) = n(S) = 55 Peluang terambil uang logam seribuan: 28

Cara 1

Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 52 A = kejadian terambil kartu hitam n(A) = 26 B = kejadian terambil kartu king n(B) = 4 A dan B merupakan kejadian saling bebas. Peluang terambil satu kartu king hitam: P(A ∩ B) = P(A) × P(B) n(A)

n(B)

26

4

= n(S) × n(S) 1

= 52 × 52 = 26

52

52

= 55 × 165 = 156 23. Jawaban: b A = kejadian jumlah mata dadu yang muncul kurang dari 10 = {(1, 1), ( 2, 1), ( 1, 2 ), (3, 1), (2, 2), (1, 3), (4, 1 ), ( 3, 2 ), ( 2, 3 ), ( 1, 4 ), (5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4), (1, 5), ( 6, 1 ), ( 5, 2 ), ( 4, 3 ), (3, 4 ), ( 2, 5 ), ( 1, 6 ), (6, 2), (5, 3), (4, 4), (3, 5), (2, 6), (6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6)} n(A)

21. Jawaban: a

24

P = P(A) + P(B) = 55 + 55 = 55 Frekuensi harapan terambil uang logam seribuan: Fh = P × N

30

P(A) = n(S) = 36 B = kejadian jumlah mata dadu yang muncul bilangan prima (2, 3, 5, 7, atau 11) = {(1, 1), ( 2, 1), ( 1, 2 ), ( 4, 1 ), ( 3, 2 ), ( 2, 3 ), (1, 4 ), ( 6, 1 ), ( 5, 2 ), ( 4, 3 ), ( 3, 4 ), ( 2, 5 ), (1, 6), (6, 5), (5, 6)} P(A)

n(B)

15

= n(S) = 36

A ∩ B = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (4, 1), (3, 2), (2, 3), (1, 4), (6, 1), (5, 2), (4, 3), (3, 4), (2, 5), (1, 6)} P(A ∩ B) =

n(A ∩ B) n(S)

13

= 36


51

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 30

15

n(A ∪ B) = (25 – x) + x + (21 – x) = 40 – 3 ⇔ 46 – x = 37 ⇔ x =9

13

= 36 + 36 – 36

P(A ∩ B) =

32

8

= 9 Jadi, peluang jumlah mata dadu yang muncul 8

kurang dari 10 atau bilangan prima 9 . 24. Jawaban: c Banyak bola = 3 + 2 = 5. S = kejadian terambil 2 bola dari 5 bola n(S) = 5C2 = 10 Kemungkinan bola yang terambil 2 putih atau 2 hitam. A = kejadian terambil 2 bola putih dari 3 bola putih n(A) = 3C2 = 3 n(A)

3

n(B)

1

P(A) = n(S) = 10 B = kejadian terambil 2 bola hitam dari 2 bola hitam n(B) = 2C2 = 1 P(B) = n(S) = 10 Peluang bola yang terambil berwarna sama = P (2 putih) + P (2 hitam) = P(A) + P(B) 3

1

4

2

= 10 + 10 = 10 = 5 2 Jadi, peluang bola yang terambil berwarna sama 5 . 25. Jawaban: b P(B) = 1 – P(B c) = 1 – 0,45 = 0,55 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) ⇔ 0,85 = P(A) + 0,55 – 0,45 ⇔ P(A) = 0,85 – 0,55 + 0,45 = 0,75 P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 0,75 = 0,25 26. Jawaban: e Misal: A = himpunan siswa gemar Matematika B = himpunan siswa gemar Fisika n(A ∩ B)= banyak siswa yang gemar Matematika dan Fisika = x Diagram Venn: S

A

36

3

3

27. Jawaban: d Misal: S1 = kejadian terambil 1 kelereng dari 8 kelereng n(S1) = 8C1 = 8 A = kejadian terambil 1 kelereng putih dari 2 kelereng putih n(A) = 2C1 = 2 2

1

P(A) = 8 = 4 Setelah terambil kelereng putih, kelereng putih tidak dikembalikan. Kelereng yang tersisa dalam kotak ada 7. S2 = kejadian terambil 1 kelereng dari 7 kelereng yang tersisa n(S2) = 7C1 = 7 B = kejadian terambil 1 kelereng putih dari 1 kelereng putih yang tersisa n(B) = 1C1 = 1 1

P(B) = 7 Peluang terambil 2 kelereng putih: P(A ∩ B) = P(A) × P(B) 1

1

= 4 × 7 1

= 28 Jadi, peluang terambil dua-duanya berwarna putih 1 28

.

28. Jawaban: a Banyak percobaan: N = 144 Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 6 × 6 × 2 = 72. A = kejadian muncul mata dadu berjumlah 10 = {(A,4,6), (G,4,6), (A,5,5), (G,5,5), (A,6,4), (G,6,4)} n(A) = 6 n(A)

1

= 72 = 12 Frekuensi harapan muncul mata dadu berjumlah 10:

21 – x 3

52

9C2

P(A) = n(S)

B x

n(x)

dan Fisika 65 .

6

25 – x

n(A ∩ B) n(S)

= n(S) = C = 780 = 65 40 2 Jadi, peluang terpilih dua siswa gemar Matematika

= 36


⇔ 2n – 5 = 0

Fh(A) = P(A) × N 1

3

P(A) = n(S) = 8 3

Fh(A) = n × P(A) ⇔ 27 = n × 8

3. Bentuk taman yang diinginkan I

n = 27 × 3 = 72 Jadi, percobaan melempar tiga uang logam dilakukan sebanyak 72 kali. 30. Jawaban: c Dalam kotak terdapat 4 bola lampu mati dan 16 bola lampu hidup. Peluang pengambilan pertama mendapat dua bola lampu mati: 4 C2

6

3

= 190 = 95 Dua bola lampu mati yang telah terambil tidak dikembalikan. Sekarang dalam kotak terdapat 2 bola lampu mati dan 16 bola lampu hidup. Peluang pengambilan kedua mendapat dua bola lampu hidup: P(B) =

20 C2

16 C2 18 C2

120

40

= 153 = 51 Peluang pengambilan pertama mendapat dua bola lampu mati dan pengambilan kedua mendapat dua bola lampu hidup: 3

40

8

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) = 95 × 50 = 323 B. Uraian

1. a.

b.

(n + 3)! = 6(n + 2)! ⇔ (n + 3) (n + 2)! = 6(n + 2)! ⇔ n +3 =6 ⇔ n =3 Jadi, nilai n yang memenuhi 3. 7 nP2 = 4 n + 2C3 n! (n + 2)! ⇔ 7 · (n − 2)! = 4 · 3 !(n − 1)! 2

n =5

Oleh karena n ∈ bilangan bulat maka n = 5. Jadi, nilai n yang memenuhi 5.

8

⇔

P(A) =

n = 2 2 atau

2. Ada 10 siswa (7 putra dan 3 putri). Kemungkinan tim yang terbentuk (1 siswa putra, 3 siswa putri), (2 siswa putra, 2 siswa putri), atau (3 siswa putra, 1 siswa putri). Banyak cara membentuk tim = 7C1 × 3C3 + 7C2 × 3C2 + 7C3 × 3C1 = 7 × 1 + 21 × 3 + 35 × 3 = 175

29. Jawaban: d A = kejadian keluar satu angka = {(AGG), (GAG), (GGA)} n(A) = 3 n(S) = 8 n(A)

1

⇔

= 12 × 144 = 12 Jadi, mata dadu berjumlah 10 diharapkan keluar sebanyak 12 kali.

atau n – 5 = 0

⇔ 7n(n – 1) = 3 (n + 2)(n + 1)n ⇔ 21(n – 1) = 2(n2 + 3n +2) ⇔ 21n – 21 = 2n2 + 6n + 4 ⇔ 2n2 – 15n + 25 = 0 ⇔ (2n – 5)(n – 5) = 0

II

II

II I

II II

II

I

Banyak cara menanam pohon I = (3 – 1)! = 2 Banyak cara menanam pohon II = (6 – 1)! = 5! = 120 Banyak cara menanam pohon-pohon itu: = 2 × 120 = 240 cara. 4. Banyak cara memajang bendera 8!

= 3!5! = 56 5. Banyak huruf konsonan berbeda yang dapat dipilih: = 6C2 = 15 cara Banyak huruf vokal berbeda yang dapat dipilih: = 5C3 = 10 cara. Banyak susunan kata sandi yang dapat dibentuk dari ke-5 huruf terpilih: = 5P5 = 5! = 120 cara. Banyak kata sandi yang dapat dibentuk: = 15 × 10 × 120 = 18.000 6. Banyak bola seluruhnya = 8 + 6 = 14 bola. a. Misal A′ = kejadian terambil 4 bola putih dari 6 bola putih P(A′) =

6 C4

15

= 1001 14 C4

A′ = kejadian terambil paling banyak 3 bola putih 15

986

P(A) = 1 – P(A′) = 1 – 1001 = 1001 Jadi, peluang yang terambil paling banyak 986

3 bola putih 1001 . Matematika Kelas XI Program IPA

53

b.

B′ = kejadian terambil semuanya bola merah P(B′) =

8C4

× 6C0

=

14 C4

70 1001

=

B′ = kejadian terambil sekurang-kurangnya 1 bola putih P(B) = 1 – P(B ′) =1–

133

= 1001 = 143 Jadi, peluang yang terambil sekurangkuranganya 1 bola putih

133 143

,

P(B|A) =

=

n(A ∩ B) n(S) n(A) n(S)

=

4 15 9 15

4

= 9

Jadi, peluang terambil kartu bernomor genap jika 4

kartu berwarna putih 9 . 8. a.

b.

A = ke ja dia n nas aba h tidak bermasa lah dalam angsuran kreditnya A′ = kejadian nasabah yang macet angsurannya P(A) = 0,82 P(A′) = 1 – P(A) = 1 – 0,82 = 0,18 Jadi, peluang kejadian nasabah macet angsurannya 0,18. Fh(A) = n × P(A) = 20.000 × 0,82 = 16.400 Jadi, 16.400 nasabah akan tepat waktu dalam membayar angsuran.

9. S = kejadian A memperoleh 13 kartu dari 52 kartu n(S) = 52C13 R = kejadian A memperoleh 4 kartu Jack = kejadian A memperoleh 4 kartu Jack dan 9 kartu sembarang dari48 kartu selain Jack n(R) = 4C4 × 48C9 P(R) =

54

n(R) n(S)

=

4 C4

48!

13!

= 9! × 52!

13 × 12 × 11× 10 11 = 52 × 51 × 50 × 49 = 4.165

11

× 48C9

52 C13


10. A = {pengendara memiliki SIM A} C = {pengendara memiliki SIM C} S

C

A

.

7. Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 15 A = kejadian terambil kartu berwarna putih = {7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} n(A) = 9 B = kejadian terambil kartu bernomor genap = {2, 4, 6, 8 10, 12, 14} A ∩ B = kejadian terambil kartu berwarna putih dan bernomor genap = {8, 10, 12, 14} n(A ∩ B) = 4 B|A= kejadian terambil kartu putih bernomor genap jika kartu berwarna putih P(A ∩ B P(A)

52! 39!13!

Jadi, peluang A memperoleh 4 kartu Jack 4.165 .

70 1001

931

48! 1× 39!9!

25 – 12

12 30 – 12

17

n(S)= (25 – 12) + 12 + (30 – 12) + 17 = 60 A ∪ C = n(S) – 17 = 43 Banyak pengendara yang memiliki SIM A atau SIM C ada 43 orang. Misal: S1 = kejadian terpilih 2 pengendara kendaraan bermotor dari 60 pengendara kendaraan bermotor n(S1) = 60C2 = 1.770 K = kejadian terpilih 2 pengendara kendaraan bermotor memiliki SIM A atau SIM C dari 43 pengendara kendaraan bermotor yang memiliki SIM A atau SIM C n(K) = 43C2 = 903 n(K)

903

P(K) = n(S ) = 1.770 1 Jadi, peluang terpilih 2 pengendara kendaraan 903

bermotor memiliki SIM A atau SIM C 1.770 .

Latihan Ulangan Tengah Semester A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c Banyak peternak =

persentase peternak 100%

× jumlah penduduk

Jumlah penduduk 100%

= persentase peternak × banyak peternak 100%

= 15% × 150 = 1.000 orang

2. Jawaban: b Banyak nelayan =

persentase nelayan 100%

Anak yang memilih sepak bola 3x° = 150° 28 70°

× jumlah penduduk

10%

⇔

= 100% × 1.000 orang = 100 orang

40

= 2.980 = 74,5 40

4. Jawaban: a Mean = rata-rata = x n

∑ xi ⋅ fi i x = = 1Σf i

= 2,5×41+7,5×22 +12,5 ×19 +17,5 ×8 +22,5 ×3 +27,5 ×5 +32,5 ×2 100

= 102,5 + 165 + 237,5 + 140 + 67,5 + 137,5 + 65 100

= 915 = 9,15

5. Jawaban: b Setelah data diurutkan diperoleh:

8. Jawaban: e Misalkan y = jumlah data yang dihasilk an pelambungan dadu sebanyak 29 kali y = 1 × 8 + 2 × 7+ 3 × 5 + 4 ×2 + 5 × 3 + 6 ×4 = 8 + 14 + 15 + 8 + 15 + 24 = 84 Misalkan: x = rata-rata data dari pelambungan dadu sebanyak 30 kali x30 = mata dadu yang muncul pada pelambungan ke-30 y+x x = 30 30 84 + x 30 30

3=

⇔

9. Jawaban: c

26

Median = data ke- 2 = data ke-13 = $33.45 Modus = $12.500

8

x1 =

Σ xi

i=1

8

8

6. Jawaban: d

⇔

Jumlah Anak dalam Keluarga (x1)

Frekuensi (fi)

fi · xi

0 1 2 3 4

42 92 98 104 60

0 92 196 312 240

n

396

i =1 n

= 840 = 2,12 396

i=1

7. Jawaban: b x° + 3x° = 360° – (90° + 70°) 4x° = 360° – 160° ⇔ 4x° = 200° ⇔ ⇔ x = 50

840

Σ xi = 8 × x1 i =1 = 8 × 94 = 752 kg 8

⇔

Σ

Σ fi

Jadi, jumlah anak yang memilih sepak bola 60 orang.

90 – 84 = x30 x30 = 6 ⇔ Jadi, mata dadu yang muncul pada pelambungan ke-30 adalah mata dadu 6.

Jadi, mean dari data tersebut 9,15.

i =1 n

= 60

⇔

100

x =

4.200 70

=

3. Jawaban: b (2 × 50) + (7 × 60) + (10 × 70) + (15 × 80) + (4 × 90) + (2 × 100) x = 2 + 7 + 10 + 15 + 4 + 2 = 100 + 420 + 700 + 1.200 + 360 + 200

Σ fi ⋅ xi

y

= 150° 150° × 28 y= 70°

Σ xi + x 9

x2 =

i =1

92 =

752 + x9 9

9

x9 = 9 × 92 – 752 = 828 – 752 = 76 Jadi, berat badan pemain cadangan tersebut 76 kg. ⇔

10. Jawaban: c Kuartil pertama (Q1) Q1 terletak pada interval 55 – 59


55

n

 1 n − fkQ  4 Q1 = L +  f 1  · p  Q1 

x =

Σ fi

=

− fkQ2   ·p  fQ 2  1  × 30 − 6   ·5 = 54,5 +  2   9   = 54,5 + 5 1 n 2

= 59,5 Jadi, kuartil tengahnya 59,5.

13. Jawaban: a Jangkauan semi antarkuartil 1

Qd = 2 (Q3 – Q1) 1

= 2 (66,58 – 55,33) = 5,625 14. Jawaban: d Banyak Rumah Sakit (dalam ribuan)

fi

xi

fi · xi

0 – 49 50 – 99 100 – 149 150 – 199 200 – 249

17 13 13 3 4

24,5 74,5 124,5 174,5 224,5

416,5 968,5 1.618,5 523,5 898

n

56


xi

fi

fk

41 – 50 51 – 60 61 – 70 71 – 80 81 – 90 91 – 100 101 – 110

3 6 11 24 10 4 2

3 9 20 44 54 58 60

Jumlah

60

60

= 66,58 Jadi, kuartil atasnya 66,58.

50

15. Jawaban: d

Q1 = data ke- 4 = data ke-15

12. Jawaban: d Kuartil atas (Q 3) terletak pada kelas interval 65 – 69  3 n − fkQ  3  Q3 = L +  4 ·p  fQ 3     3 × 30 − 20   ·5 = 64,5 +  4   6   = 64,5 + 2,08

i =1

4.425 50

= 88,5 Jadi, rata-rata dari data tersebut 88,5.

11. Jawaban: e Kuartil tengah (Q2) terletak pada interval 55 – 59 Q2 terletak pada interval 55 – 59

Σ

i =1 n

i =1

 1 × 30 − 6   ·5 = 54,5 +  4   9   = 54,5 + 0,833 = 55,33 Jadi, kuartil bawahnya 55,33.

 Q2 = L +   

Σ fi ⋅ xi

4425

Q1 terletak di kelas interval 61 – 70.  1 n − fkQ  1  Q1 = L +  4 ·p  fQ 1     15 − 9  = 60,5 +   · 10  11  6

= 60,5 + 11 × 10 = 60,5 + 5,455 = 65,955 3 × 60 Q3 = data ke- 4 = data ke-45 Q3 terletak di kelas interval 81 – 90.  3 n − fkQ  3  Q3 = L +  4 ·p  fQ 3     45 − 44  = 80,5 +   · 10  10  = 80,5 + 1 = 81,5 Jangkauan antarkuartil = Q3 – Q1 = 81,5 – 65,955 = 15,545 16. Jawaban: a Diperoleh tabel berikut. Tinggi Tumbuhan

fk

0 – 10 11 – 20 21 – 30 31 – 40 41 – 50 51 – 60 61 – 70

29 75 148 270 395 458 500

fi

29 75 – 29 = 46 148 – 75 = 73 270 – 148 = 122 395 – 270 = 125 458 – 395 = 63 500 – 458 = 42

Q3 = data ke-

3 × 500 4

= data ke-375 Q3 terletak di kelas interval 41 – 50.  3 ⋅ 500 − fkQ  3  Q3 = L +  4 ·p   fQ 3    375 − 270  = 40,5 +   · 10  125   105  = 40,5 +   · 10  125  = 40,5 + 8,4 = 48, 9 Jadi, kuartil atas data tersebut 48,5.

17. Jawaban: d 1

1

Letak Q1 = 4 n = 4 · 24 = 6 Jadi Q1 terletak pada interval 39 – 43. L1 = 38,5; fQ1 = 4; fkQ1 = 3, dan p = 5  1 n − fkQ  1 4 Q1 = L1 +  fQ  · p 1   6 − 3 = 38,5 +  4  · 5   = 38,5 + 3,75 = 42,25

18. Jawaban: a 1

1

Letak Q2 = 2 n = 2 · 24 = 12 Jadi Q2 terletak pada interval 44 – 48 L2 = 43,5; fQ2 = 9; fkQ2 = 7, dan p = 5  1 n − fkQ  2  2 Q2 = L2 +  fQ  ·p 2    12 − 7  = 43,5 +  9  · 5   = 43,5 + 2,78 = 46,28

19. Jawaban: c 3

3

Letak Q3 = 4 n = 4 · 24 = 18 Jadi Q2 terletak pada interval 49 – 53 L2 = 48,5; fQ3 = 6; fkQ3 = 16, dan p = 5  − fkQ  3  Q3 = L3 +  fQ  ·p 3   18 16 −   = L3 +  6  · 5   2 = 48,5 +  6  · 5   = 48,5 + 1,67 = 50,17 3 n 4

20. Jawaban: d Waktu

fi

fk

09.24 – 09.26 09.27 – 09.29 09.30 – 09.32 09.33 – 09.35 09.36 – 09.38 09.39 – 09.41

2 13 20 32 27 6

2 15 35 67 94 100

Jumlah

100

Me = data ke-

50 + 51 2

Me terletak di kelas interval 09.33 – 09.35.  n − fkM  e  Me = L2 +  2 ·p  fM e     50 − 35  = 09.32'30'' +   ·3  32   15  = 09.32'30'' +   · 3  32  = 09.32'30'' + 1,4 = 09.32'.30'' + 1'.24'' = 09.33'.54'' Jadi, median dari waktu kedatangan bus tersebut 09.33'.54''.

21. Jawaban: c Angka terakhir harus genap (2, 4, 6, dan 8) sehingga ada 4 pilihan. Dengan demikian masih sisa 8 angka untuk dipilih. Banyak pilihan untuk 4 angka yang lain ada 8P4 cara. 8! 8 × 7 × 6 × 5 × 4! = 8P4 = 4!

4!

= 8 × 7 × 6 × 5 = 1.680 Banyak pilihan bilangan yang dapat disusun = 8P4 × 4 = 1.680 × 4 = 6.720 22. Jawaban: b Banyak cara memilih 3 anak laki-laki dan 2 anak perempuan. = 10C3 × 4C2 =

10! 7!3!

=

10 × 9 × 8 × 7! 7! × 3 × 2 × 1

×

4! 2!2!

×

4 × 3 × 2! 2! × 2 × 1

= 120 × 6 = 720 Banyak cara memilih 4 anak laki-laki dan 1 anak perempuan = 10C4 × 4C1 =

10! 6!4!

×

4! 3!1!


57

=

10 × 9 × 8 × 7 × 6! 6! × 4 × 3 × 2 × 1

×

M = kejadian muncul bilangan genap pada dadu pertama dan bilangan ganjil pada dadu kedua = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (6, 1), (6, 3), (6, 5)} n(M) = 9

4 × 3! 3! × 1

= 10 × 3 × 7 × 4 = 840 Banyak cara memilih 5 anak laki-laki = 10C5 =

10! 5!5!

=

10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5! 5! 5 × 4 × 3 × 2 × 1

P(M) =

= 3 × 2 × 7 × 6 = 252 Jadi, banyaknya cara memilih paling sedikit 3 anak laki-laki disertakan adalah 720 + 840 + 252 = 1.812 cara. 23. Jawaban: b Misal: A = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu 6 B = kejadian muncul jumlah kedua mata dadu 10 A = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} B = {(4, 6), (5, 5), (6, 4)} n(A) = 5 n(B) = 3 A dan B kejadian saling lepas maka: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) =

n(A) n(S)

5

+

n(B) n(S)

3

4

24. Jawaban: d A = kejadian muncul angka 6 pada dadu pertama = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} B = kejadian muncul angka 4 pada dadu kedua = {(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4)} n(A) = 6, n(B) = 6, n(A ∩ B) = 1 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) n(A) n(B) n(A ∩ B) = + – =

n(S)

11

= 36

1 4

4 C1

4

P(A) = C = 9 9 1 27. Jawaban: a M = kejadian terambil kelereng merah pada pengambilan pertama P(M) =

3 C1 12 C1

3

1

= 12 = 4

N = kejadian terambil kelereng putih pada pengambilan kedua 4 C1 11C1

4

= 11 1

4

28. Jawaban: c Misal: A = kejadian terambil bola pertama merah B = kejadian terambil bola kedua putih Diperoleh: n(A)

6 C1

n(B)

5 C1

6

P(A) = n(S) = C = 11 11 1 Anggota ruang sampel berkurang satu karena bola sudah terambil satu. 5

10 C1

= 10

Peluang terambil bola pertama merah dan bola kedua putih P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

1

2

3

4

5

6

1

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

(1, 4)

(1, 5)

(1, 6)

2

(2, 1)

(2, 2)

(2, 3)

(2, 4)

(2, 5)

(2, 6)

= 11 × 10

3

(3, 1)

(3, 2)

(3, 3)

(3, 4)

(3, 5)

(3, 6)

= 11 × 2

4

(4, 1)

(4, 2)

(4, 3)

(4, 4)

(4, 5)

(4, 6)

= 11

5

(5, 1)

(5, 2)

(5, 3)

(5, 4)

(5, 5)

(5, 6)

6

(6, 1)

(6, 2)

(6, 3)

(6, 4)

(6, 5)

(6,6)


1

= 4 × 11 = 11

P(B) = n(S) =

25. Jawaban: c

58

=

P( M ∩ N) = P(M) × P(N)

2

= 36 + 36 = 36 = 18 = 9

n(S) n(S) 6 6 1 + 36 – 36 36

9 36

=

26. Jawaban: d Pada pengambilan pertama terambil kelereng biru, sehingga tersisa 2 kelereng merah, 3 kelereng putih, dan 4 kelereng hijau. A = kejadian terambil kelereng hijau jika pada pengambilan pertama terambil kelereng biru

P(N) = 8

n(M) n(S)

6

5

6

1

3

29. Jawaban: e n(S)= banyak cara mengambil 4 kelereng dari 12 kelereng = 12C4 12!

= 8!4! =

12 × 11× 10 × 9 × 8! 8! 4 × 2 × 3 × 1

= 11 × 5 × 9 = 495 A = kejadian terambil 3 kelereng merah dan 1 hijau n(A)= banyak cara mengambil 3 kelereng merah dan 1 hijau n(A)= 4C3 × 4C1 4!

= 1! 3! × 4 =

4 × 3! 3!

× 4 = 16

n(A)

P(A) = n(S)

33. Jawaban: b Misal B kejadian muncul mata dadu bilangan kelipatan 2. B = {2, 4, 6} ⇒ n(B) = 3 Frekuensi harapan = P(B) × n n(B)

34. Jawaban: d A = bilangan tidak ganjil maupun prima = {bilangan genap} – {2} = {4, 6, 8, . . . , 50} n(A) = 25 – 1 = 24 P(A) =

16

13 C1 24 C1

13

= 24

31. Jawaban: d Banyak bola selain bola kuning = 8 + 3 + 4 = 15 A = kejadikan terambil bola selain bola kuning

24 50

12 25

=

26

4

28

7

2

= 52 = 13 36. Jawaban: e Pada pengambilan pertama terambil kartu 10. Pada pengambilan kedua diperoleh: n2 = n – 1 = 51 A = kejadian terambil kartu angka lebih dari 5 pada pengambilan kedua n(A) = 4 × 5 – 1 = 19 P(A) =

n(A) n2

=

19 51

37. Jawaban: c A

G

A

(A, A)

(A, G)

G

(G, A)

(G, G)

15 C1 20 C1

15

= 20 32. Jawaban: a Banyak cara memilih 2 anak laki-laki dan 2 anak perempuan. = 6C2 × 9C2 6!

=

= 52 + 52 – 52

30. Jawaban: a Banyak bola = 5 + 8 + 7 + 4 = 24 Banyak bola merah dan bola putih = 5 + 8 = 13 A = kejadikan terambil baik bola merah atau bola putih

P(A) =

n(A) n(S)

35. Jawaban: c A = kejadian terambil kartu berwarna hitam n(A) = 26 B = kejadian terambil kartu berangka 10 n(B) = 4 n(A ∩ B) = 2 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= 495

P(A) =

3

= n(S) × 200 = 6 × 200 = 100

9!

= 4!2! × 7!2! 6 × 5 × 4! 9 × 8 × 7! = 4! × 2 × 1 × 7! × 2 × 1 = 3 × 5 × 9 × 4 = 540 cara

B = kejadian tidak muncul gambar atau angka pada kedua uang logam = {(A, A), (G, G)} n(B) = 2 n(B)

2

1

P(B) = n = 4 = 2

38. Jawaban: d Misal: A = kejadian muncul mata dadu bilangan prima B = kejadian muncul mata dadu bilangan ganjil


59

Diperoleh: A = {2, 3, 5} ⇒ n(A) = 3 B = {1, 3, 5} ⇒ n(B) = 3 Peluang kejadian muncul mata dadu bilangan prima atau ganjil: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) n(A) n(B) n(A ∩ B) = n(S) + n(S) – n(S) 3

3

4

2

2

= 6 + 6 – 6 = 6 = 3 39. Jawaban: a Banyak cara memilih 3 anak laki-laki dan 3 anak perempuan = 8C3 × 6C3 8!

⇔

3.

8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5! 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! = 5! 3 ⋅ 2 ⋅ 1 × 3!3 ⋅ 2 ⋅ 1

1. Akan dicari nilai x. x° + (x + 10)° + (4x + 25)° + (2x – 10)° + (2x + 25)° + (2x + 10)° = 360° = 360° ⇔ 12x° + 60° = 300° ⇔ 12x° = 25° ⇔ x Besar sudut pada merek E: (2x + 25)° = 50° + 25° = 75° Besar sudut pada merek C: (4x + 25)° = 125

⇔

60

MerekE 75° 150 75°

= =

Merek C 125° Merek C 125°


fk

3–7 8 – 12 13 – 17 18 – 22 23 – 27 28 – 32

5 10 15 25 30 15

5 15 30 55 85 100

100

i =1

Me = data ke-

50 + 51 2

Median terletak di kelas interval 18 – 22.  n − fkM  e  Me = L2 +  2 ·p  fM e     50 − 30  = 17,5 +   ·5  25  20

= 17,5 + 25 · 5 = 17,5 + 4 = 21,5 Jadi, median data tersebut 21,5.

1

B. Uraian

fi

n

40. Dua uang logam dilempar bersama-sama maka n(S) = 22 = 4. Pelemparan sebanyak 28 kali maka: N = 24 A = kejadian muncul 2 angka = {(A, A)} n(A) = 1

1

Nilai

Σ

= 56 × 20 = 1.120 cara Jadi, banyak cara memilih 3 anak laki-laki dan 3 anak perempuan adalah 1.120 cara.

fh = P(A) × N = 4 × 28 = 7

= 250

2. Frekuensi modus data = frekuensi nilai 80 = k 2 ⋅ 50 + 7 ⋅ 60 + 10 ⋅ 70 + k ⋅ 80 + 4 ⋅ 90 + 2 ⋅ 100 x = 2 + 7 + 10 + k + 4 + 2 + 80k + 360 + 200 ⇔ 74,5 = 100 + 420 + 700 25 + k ⇔ 1.862,5 + 74,5 k = 1.780 + 80 k ⇔ 5,5 k = 82,5 ⇔ k = 15 Jadi, frekuensi modus data = 15.

6!

n(A)

150 × 125 75

Jadi, komputer merek C yang terjual 250 unit.

= 5!3! × 3!3!

P(A) = n(S) = 4 Frekuensi muncul dua sisi angka:

Merek C =

4.

Ukuran

f

fk

135 – 139 140 – 144 145 – 149 150 – 154 155 – 159 160 – 164

9 12 20 14 9 6

9 21 41 55 64 70

Σ

70

3 ⋅ 70 Q3 terletak pada data urutan ke- 4 = 52,5, yaitu pada interval 150 – 154. 3 n − fkQ3 ⋅p Q3 = L + 4 fQ 3

 52,5 − 41 = 149,5 +  14  5   = 149,5 + 4,11 = 153,61

5. 1 2

1

2

3

4

5

6

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

(1, 4)

(1, 5)

(1, 6)

(2, 1)

(2, 2)

(2, 3)

(2, 4)

(2, 5)

(3, 1)

(3, 2)

(3, 3)

(3, 4)

(3, 5)

(3, 6)

4

(4, 1)

(4, 2)

(4, 3)

(4, 4)

(4, 5)

(4, 6)

5

(5, 1)

(5, 2)

(5, 3)

(5, 4)

(5, 5)

(5, 6)

6

(6, 1)

(6, 2)

(6, 3)

(6, 4)

(6, 5)

(6,6)

M = kejadian muncul bilangan kelipatan 2 dan kelipatan 3 pada dadu pertama = {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} n(M) = 6 P(M) =

6 36

=

=

1 6

6. n2 = banyak kelereng setelah diambil 1 kelereng = 8 + 5 + 2 + 4 =19 A = kejadian terambil kelereng putih 4 C1

P(A) =

n(Q)

4

= 19 Jadi, peluang terambil kelereng putih pada peng19 C1

n(R)

= n(S) + n(S)

(2, 6)

3

n(M) 36

Q dan R kejadian saling lepas, maka: P(Q ∪ R) = P(Q) + P(R)

4

5

9

1

= 36 + 36 = 36 = 4 Jadi, peluang muncul kedua mata dadu berjumlah 1

5 atau 8 adalah 4 . 10. Kotak I = 4 merah, 3 biru Kotak II = 7 merah, 3 putih Peluang terambilnya 1 bola merah dari kotak I dan 1 bola putih dari kotak II 4

3

= 7 × 10 12

6

= 70 = 35 Jadi, peluang terambil 1 bola merah dari kotak I 6

dan 1 bola putih dari kota II adalah 35 .

Bab III

Trigonometri

4

ambilan kedua 19 . 7.

A

G

A

(A, A)

(A, G)

G

(G, A)

(G, G)

x = kejadian muncul paling sedikit 1 gambar = {(A, G), (G, A), (G, G)} n(x) = 3 P(x) =

n(x) n(S)

=

3 4

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: d cos 25° cos 20° – sin 25° sin 20° = cos (25° + 20°) = cos 45° 1

= 2 2 2. Jawaban: c sin (–315°) = sin (45° – 360°) = sin 45° cos 360° – cos 45° sin 360°

Jadi, peluang muncul paling sedikit 1 gambar adalah

3 4

.

8. Jumlah kartu bridge = 52. Jumlah kartu hati = 13. Jumlah bukan bergambar kartu hati = 52 – 13 = 39 Banyak kali pengambilan = 52 kali. Frekuensi harapan = Fh 39

Fh = 52 × 52 = 39 kali 9. Q kejadian muncul kedua mata dadu berjumlah 5 R kejadian muncul kedua mata dadu berjumlah 8 Diperoleh: Q = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} → n(Q) = 4 R = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} → n(R) = 5

1

1

= 2 2 ×1– 2 2 ×0 =

1 2

2

3. Jawaban: a cos 465° = cos (360° + 105°) = cos 105° = cos (60° + 45°) = cos 60° cos 45° – sin 60° sin 45° 1

1

1

= 2 × 2 2 – 2 1

= 4

1

1

2 – 4

= 4( 2 –

1 2 3 × 2

6 6)


61

4. Jawaban: b

2

4

sin α = 5

=

3 5

cos α =

5

sin (60° + α) = sin 60° cos α + cos 60° sin α =

1 2

=

3 10

3 ×

3 5

3 +

4 10

+

1 2

×

4

3

5

12

5

y 12

4

4

sin y = 13 cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y

33

1 2

2

tan 120° + tan 45° = 1 − tan 120° tan 45°

1 2 1 2

2

− 3 +1 = 1 − (− 3) × 1

1

1− 3 1− 3 = 1+ 3 × 1− 3

α 1

=

1− 2 3 + 3 1− 3

=

4−2 3 −2

1

tan β = 3 1

sin β =

β 3

cos β =

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

62

=–

8. Jawaban: b tan 165° = tan (120° + 45°)

6. Jawaban: b tan α = 1

=

1 2

Oleh karena cos C negatif berarti sudut C merupakan sudut tumpul. Jadi, besar sudut C = 135°.

15

= – 65

=

7

25 25 2

=–

= – 65 + 65

10

1

7 3 1  4 = –  5 × 5 2 − 5 × 5 2 

=–

4 12 3 5 =  − 5  × 13 + 5 × 13

=

5 2

B

3   28 = –  25 2 − 25 2 

5

cos x = – 5

4

cos C = cos (180° – (A + B)) = –cos (A + B) = –(cos A cos B – sin A sin B)

13

3

A

1 sin B = 5 2 7 cos B = 5 2

cos y = 13

3

4 5

cotan B = 7

x

cos α =

7. Jawaban: e

cos A =

3

48

5

sin A = 5

4 5

sin x = 5 (x tumpul) 5

1 5

3

α

5. Jawaban: b

sin α =

5 5

= 2 5 ×

1 3 × – 2 10 3 1 – 20 20 2 20

1 2


1

× 10

1 10 3 10

= –2 +

3

9. Jawaban: b tan 40° = tan (45° – 5) tan 45° − tan 5° = 1 + tan 45° tan 5° 1− a = 1 + 1× a 1− a = 1+ a

10. Jawaban: e tan (A + B) tan (A − B)

=

tan A + tan B 1 − tan A t an B tan A − tan B 1 + tan A t an B

=

=

1 2

1 + 3  1  1     2  3  1 1 − 2 3  1  1     2  3 

1−

=

=

1+ 5 6 5 6

=

×

sin (a − b) sin (a − b)  cos a c os b + sin a sin b)   cos (a − b)  cos a cos b 

1 1  cos (a − b)    cos (a − b)  cos a c os b 

1 1 cos a cosb

= cos a cos b

7 6 1 6

14. Jawaban: e sin A sinB

tan A tan B = cos A cos B

=1×7 =7 11. Jawaban: d sin (p – q) = sin p cos q – cos p sin q

⇒

cos (A − B) cos (A + B)

1 6

⇔ sin p cos q = sin 30° + 1

=

1 6

sin 30° = sin p cos q –

M

60° 75° B A 300 cm

sin 75° = sin (30° + 45°) = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45° 1

1

1

1

= 2 × 2 2 + 2 3 × 2 2 1

1

= 4 2 + 4 6 AM sin 75°

=

2 2 + 3 9 2 2 − 3 9

=

8 9 4 9

4 6

12. Jawaban: a ∠AMB = 180° – (60° + 75°) = 45°

AB sin 75° = sin 45° ⇔ AM = sin 45° × AB 1 4

= =

1 (2

2+

1 4

1 2

2

+

1 2

6

3 ) × 300 3 ) cm

3 ) cm.

8

15. Jawaban: c sin A = 2 cos A ⇔ tan A = 2

sin (a − b) tan a − tan b

sin (a − b) = tan (a − b)(1 + tan a tan b)

5

1 5

⇔ cos A =

2

A 1

Perhatikan ∆ABC C C= 180° – (A + B) = 180° – 2A sin C = sin (180 – 2A) x x = sin 2A B A = sin (A + A) = sin A cos A + cos A sin A = (2 cos A) cos A + cos A (2 cos A) = 4 cos2 A 4

= 4( 5 )2 = 5 16. Jawaban: d a sin x + b cos x = sin (30° + x) = sin 30° cos x + cos 30° sin x 1

13. Jawaban: a tan a − tan b tan (a – b) = 1 + tan a tan b ⇔ tan a – tan b = tan (a – b) (1 + tan a tan b)

2

= 3

= 4 =2

1

= 150(1 + Jadi, panjang AM = 150(1 +

× 300

2 9 1 3

cos A cos B + sin A sin B = cos A cos B − sin A sin B

1

= 2 + 6 =

sin A sinB tanA tanB

⇔ cos A cos B=

1

3 sin x = 2 cos x + 2 = Diperoleh a = 1

1 2

1 2

1

3 sin x + 2 cos x 1

3 dan b = . 2 1

3

1

3( 3)+ 2 = 2 + 2 =2 a 3 +b= 2 Matematika Kelas XI Program IPA

63

17. Jawaban: b

20. Jawaban: d

a = 1; b = – 3 k= =

6 sin x –

12 + (− 3)2

a = – 2 dan b =

1+ 3

k=

= 4 =2 Jadi, nilai k = 2. 18. Jawaban: a a sin x + b cos x

1

6

1

2

2

3

3

x – 3 π = 4 π + k · 2π 17

x = 12 π + k · 2 π 17

2)

2

3

x – 3 π = – 4 π + k · 2π

⇔

1

x = – 12 π + k · 2 π 1

23

k = 1 → x = – 12 π + 2π = 12 π 17

23

Jadi, himpunan penyelesaiannya { 12 π, 12 π}. B. Uraian

π

1. a.

π + k · 2π

b.

k = 0 → x = 12 π π π x – 4 = – 6 + k · 2π

c.

π + k · 2π 1

k = 0 → x = 12 π 5

1

Jadi, nilai-nilai x yang memenuhi 12 π dan 12 π.

64

2

k = 0 → x = 12 π

cos (x – 4 ) = cos 6 π π x1 – 4 = 6 + k · 2π

1 12

2

cos (x – 3 π) = cos 4 π

2

π 6 2 cos (x – 4 ) = 2 π 3 cos (x – 4 ) = 2

⇔ x =

π

2 2 cos (x – 3 π) = –2

⇔

π

2 3

⇔

5

2)

α=

cos (x – 3 π) = – 2 2

6

5 12

6

⇔

cos x + sin x = 2

⇔ x1 =

8 =2 2

1)

π 1 tan α = 1 = 1 = tan 4 π ⇔ α= 4

1)

=

⇔

cos x + sin x = 2 a = 1 dan b = 1

⇔

2+6

⇔ – 2 cos x + 6 sin x = –2

1

19. Jawaban: c

⇔

=

⇔

= 2 2 ( 2 2 cos x + 2 2 sin x) = 2 cos x + 2 sin x = 2 sin x + 2 cos x Jadi, a = 2 dan b = 2.

⇔

(− 2)2 + ( 6)2

b

= 2 2 (cos x cos 45° + sin x sin 45°)

12 + 12 =

6

tan α = a = = – 3 (α dikuadran II) − 2

= 2 2 cos (x – 45°)

k=

2 cos x = –2


sin (90° + α) = sin 90° cos α + cos 90° sin α = 1 · cos α + 0 · sin α = cos α + 0 = cos α cos (270° – α) = cos 270° cos α + sin 270° sin α = 0 · cos α + (–1) · sin α = 0 – sin α = –sin α tan 180° − tan α tan (180° – α) = 1 tan 180 tan + ° α 0 − tan α = 1 + 0 ⋅ tan α − tan α = 1 = –tan α

2. a.

d.

sin 86° cos 26° − cos 86° sin 26° sin 49° sin 86° − cos 49° cos 86°

sin 350° = sin (330° + 20°) = sin 330° cos 20° +cos 330° sin 20°

sin 86° cos 26° − cos 86° sin 26° = −(cos 49° cos 86° − sin 49° sin 86°) sin (86° − 26°) sin 60° = −(cos (49° + 86°)) = −cos 135° 1 2

3

3 2

= − −1 2 = ( 2 ) b.

tan 25° − tan 85° 1 + tan 25° tan 85°

=

6

= tan (25° – 85°)

a.

1

1− t2

1− t2

1− t2

1

1

1− t2 – (– 2

cos A =

4 5

a.

=

4

5

tan A − tan B tan (A – B) = 1 + tan A tan B

1− t2 t

1 − ( −1)

=

1− t2

t − 1 − t2

×

t + 1 − t2

5 + 12

= 1− 3 × 5 = 4 12 b.

7 6 11 16

56

= 33

tan C = tan (180° – (A + B)) = –tan (A + B)

 3 + ( −5 )  = –  4 3 12−5   1 − 4 × ( 12 ) 

1 − t2 1 − t2 + t

 1 16 3  = –  21  = – 63  16 

1 − t2

t − 1 − t2 t − 1 − t2

2

 1   1 =  − 2 3  1− t2 –  − 2  × t 1 2

3 4

 tan A + tan B 

cos 230°= cos (210° + 20°) = cos 210° cos 20° –sin 210° sin 20°

=–

−5 − ( 12 )

= –  1 − tan A tan B 

t 2 − 2t 1 − t 2 + (1 − t 2 ) t 2 − (1 − t 2 ) 1 − 2t 1 − t 2t 2 − 1

3 4

= 1 + 3 × ( −5 ) 4 12

− 1 − t2 + t

t

12

A

sin B = 13 −5 tan B = 12

tan 135° + tan 20° 1 − tan 135° tan 20°

(−1) +

=

3 13

1

tan 155° = tan (135° + 20°)

=

2

5

3)t

1− t2 + 2 t 3

= 2

=

3 t – 1 1− t 2

B

sin 130° = sin (150° – 20°) = sin 150° cos 20° –cos 150° sin 20° 1

c.

t

20°

t

=

3 ×t

5

= 2 ×

b.

sin A =

3 5

−12 cos B = 13 B di kuadran II

t

3. sin 20° = t = 1

tan 20° =

1 2

1 2

4. tan A = 4

= tan (–60°) = –tan 60° =– 3

cos 20° =

1− t 2 +

3

1 2

=

1 2

= (– ) ×

3 1− t 2 + 1 t 2

5. Oleh karena α di kuadran III maka: cos α = – 1 − sin2

α

−3

2 = – 1− ( 5 )

=–

25 25

=–

16 25

9 − 25

4

= –5

Oleh karena β di kuadran IV maka: sin β = – 1 − cos2

β

= – 1 − ( 7 )2 25

625

49

= – 625 − 625 Matematika Kelas XI Program IPA

65

576

= – 625

⇔

24

= – 25

b.

−100 = 125

sin (x + 30)° + cos (x + 60°) = –1 ⇔ sin x cos 30° + cos x sin 30° + cos x cos 60° – sin x sin 60° = –1

−4 = 5

⇔ sin x ( 2 3 ) + cos x ×

1

−21 96 = 125 – 125 −117 = 125 sin (A + B) cos (A − B)

8. a.

=

sin A cos B + cos A sin B cos A cos B + sin A sin B

=

sin A cos B cos A s in B + cos A cos B cos A cos B cos A c os B sin A sin B + cos A cos B cos A cos B

=

sin A + cos A sin A 1+ cos A

=

tan A + tan B 1 + tan A tan B

×

1 c os A c os B 1 c os A c os B

=

cos A cos B + sin A sin B − (cos A cos B − sin A sin B) sin A cos B + cos A sin B + sin A cos B − cos A sin B

=

2 sin A sin B 2 sin A cos B

2 cos (30° + x) = cos (30° – x)

⇔ 2 cos 30° cos x – 2 sin 30° sin x = cos 30° cos x + sin 30° sin x ⇔ cos 30° cos x= 3 sin 30° sin x

⇔

sin x cosx

1 1 + 1−p 1 + p 1 1 × 1− p 1+p

1−

(1 + p) + (1 − p) (1 − p)(1 + p) (1 − p)(1+ p) − 1 (1 − p)(1 + p)

(1 + p) + (1 − p) = (1 − p)(1 + p) − 1

sinB

66

=

sin B cos B sin B ⋅ cos B

= cos B = tan B 7. a.

tan α + tan β tan (α + β) = 1 − tan α tan β

=

cos (A − B) − cos (A + B) sin (A + B) + sin (A − B)

b.

1

+ cos x × 2

– sin x × 2 3 = –1 ⇔ cos x = –1 ⇔ cos x = cos 180° 1) x = 180° + k · 360° k = 0 → x = 180° 2) x = –180° + k · 360° k = 0 → x = 180° Jadi, nilai x yang memenuhi 180°.

7  −3   −4   −24  =  5  × 25 –  5  ×  25 

6. a.

1 2

1

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

b.

1

tan x = 3 3 tan x = tan 30° x = 30° + k · 180° k = 0 → x = 30° k = 1 → x = 210° Jadi, nilai x yang memenuhi 30° dan 210°.

7  −4   −3   −24  =  5  × 25 –  5  ×  25 

−28 72 = 125 – 125

3

tan x = 3 × 1 2

⇔ ⇔ ⇔

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

a.

1 2

cos 30° = 3 sin 30°


b.

=

1 + p + 1− p 1− p2 − 1

=

2 −p2

= –2p–2 sin b cos(B – a) = sin a cos (b – B) ⇔ sin b (cos B cos a + sin B sin a) = sin a (cos b cos B + sin b sin B) ⇔ cos a sin b cos B + sin a sin b sin B = sin a cos b cos B + sin a sin b sin B ⇔ sin a cos b cos B – cos a sin b cos B = 0 ⇔ (sin a cos b – cos a sin b) cos B = 0 ⇔ sin (a – b) cos B = 0

1

9. sin A = 2

3

cos A = 2 sin B =

12

1

A

5 13

cos B =

13

2

12 13

β 5

2

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B 1

5

12

3

= 2 × 13 – 2 × 13 =

5 + 12 3 26

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: e cos 2x = 2 cos2 x – 1 cos 2x = 1 – 2 sin2 x = –2 sin2 x + 1 cos 2x = cos2 x – sin2 x = (cos x + sin x) (cos x – sin x) Jadi, bentuk trigonometri yang ekuivalen dengan cos 2x adalah II dan IV. 2. Jawaban: a 1

sin 15° cos 15° = 2 × (2 sin 15° cos 15°)

5 1 12 3 5 3 − 12 = 2 × 13 – 2 × 13 = 26 tan C = tan (180° – (A + B) = –tan (A + B) sin (A + B) = – cos (A + B)

=–

=

1

= 2 sin 30° 1

1

= 4

5 + 12 3 12 − 5 3

12 + 5 3 12 + 5 3

×

=

60 + 169 3 + 180 144 − 75

=

240 + 169 3 69

80

169

3. Jawaban: d sin α =

=

2 5

tan (α – β) = =

·

4 4 2

2 +

25 − 16 =

9 = 3 cm

+ 3 10

3 5

·

4 2

2 =

7 10

1+

−1 4 3

⋅1

=

1 3 7 3

1 25

4. Jawaban: b 3

tan α = 0,75 = 4 3

4

2

1

= 7 7

=–

sin α = 5 = 0,6

4

tan α − tan β 1 + tan α tan β 4 3

2

= 1 – 25

+ DC = 16 + 16 = 16 ⋅ 2 = 4 2 sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β =

13 5

26

3

2

4 5

13 =

cos 2α = 1 – 2 sin 2 α

DB = AB – AD = 7 – 3 = 4 cm 2

1 5

 13  =1–2×    5 

AC2 − CD2 =

BC = DB

1

= 2 × 2

5 + 12 3 26 5 3 − 12 26

= 23 + 69 10. AD =

1

= 2 × (sin (2 × 15°))

cos α = 5 = 0,8 cos 2α = cos2 α – sin2 α = (0,8)2 – (0,6)2 = 0,64 – 0,36 = 0,28

1

sin (α + β) + tan (α – β) = 10 2 + 7


67

5. Jawaban: a

8. Jawaban: c α 2x + 1 cos 2 = 4x

a

sin 17° = a = 1 1

a

tan 17° =

1 − a2

( = 1− (

a

2

α cos α = 2 cos2 2 – 1

17°

2 tan17° 1 − tan2 17°

tan 34°=

a

1 − a2

=2·

1 − a2

) )

2x + 1 4x

2x

1 − a2

2x + 1 2x

2x

1

– 2x = 2x

4x2 − 1

2

a

–1=

α 1

2a 1− a

=

2

1−

1− a

×

2

cotan α =

1 − a2 2

a 1 − a2

= 2

2

=

2a 1 − a (1 − a2 )

=

2a 1 − a2 (1 − a2 )

(1 − a ) − a 1 − a2

:

= 2a 1 − a

sin x cos x

1 3 1

2 ( 3)

= 1 − ( 1 )2 = 3

2 3 8 9

tan θ = =

3 4

=

1

3

sin α = 2 3 = 2 1 2

1

cos α = 1 – 2 sin2 ( 2 α)

⇔

1 sin ( 2 α)

= =

= =

68

1 2θ 2

1 5

dan cos 2θ =

2 5

Oleh karena θ sudut lancip maka tan θ bernilai positif.

1

7. Jawaban: d

cos α =

5

tan 2θ = 2

Diperoleh sin 2θ =

2 tan x 1 − tan2 x

tan 2x =

4x − 1

1

⇔

2

= 3

⇔ tan x =

1 2

9. Jawaban: d 2 cos2 θ = 1 + 2 sin 2θ ⇔ 2 cos2 θ – 1 = 2 sin 2θ ⇔ cos 2θ = 2 sin 2 θ

6. Jawaban: c cos x = 3 sin x

⇔

4x2 − 1

2

1 − a2 1

×

1

1 − cos α 2 1− 2 1 2

2

1 4

=

1 2


5−2 5 5+2 5

=

( 5 − 2)2 5−4

=

5 –2

1+

2 5 2 5

5 −2 5 −2 × 5+2 5 −2

=

=

1−

=

( 5 − 2)2

10. Jawaban: e 1

sin x – cos x = 2

⇔

1 2

1 − cos 2θ 1 + cos 2θ

1

(sin x – cos x) 2 = ( 2 )2

⇔ sin2 x – 2 sin x cos x + cos 2 x =

1 4

⇔

1

⇔ ⇔

1 – 2 sin x cos x = 4

1

2 sin x cos x = 1 – 4 3

sin 2x = 4

11. Jawaban: a 2 tan A + tan B = 4

× 1 2 tan A + tan B = 4

17

tan A – 3 tan B = – 2

× 2 2 tan A – 6 tan B = –17 ––––––––––––––––– – 7 tan B = 21 ⇔ tan B = 3

2 tan A + tan B = 4 ⇒ 2 tan A + 3 = 4 ⇔ 2 tan A = 1 1

⇔ tan 2A =

tan A = 2

2 tan A 1− tan2 A 2 × 21

=

1−  1 

2

 2

=

1 1−

1

=

1 4

3 4

4

= 3

tan 2A + tan B

tan (2A + B) = 1− tan 2A tan B =

4 3

+3

1− 43 × 3 13 3

13

12. Jawaban: c

⇔

3 − tan b 1 + 3 tan b

1

= 2

1

= 2 ⇔ 6 – 2 tan b = 1 + 3 tan b ⇔ –5 tan b = –5 ⇔ tan b = 1 2 Nilai tan a – tan2 b = (3)2 – (1)2 = 8. 14. Jawaban: d sin2 2x – 2 sin x cos x – 2 = 0 ⇔ (sin 2x)2 – sin 2x – 2 = 0 ⇔ (sin 2x + 1)(sin 2x – 2) = 0 ⇔ sin 2x = –1 atau sin 2x = 2 1) sin 2x = –1 = sin 270° ⇔ 2x = 270° + k · 360° ⇔ x = 135° + k · 180° k = 0 → x = 135° k = 1 → x = 315° 2) sin 2x = 2 (tidak ada x yang memenuhi) Jadi, himpunan penyelesaiannya {135°, 315°}.

1

⇔

cos θ ( − sin ( θ)) − tan θ

sin x = 2 atau sin x = –1 Pada interval 0 ≤ x ≤ 2π: π 1 5π sin x = 2 berlaku untuk x = 6 dan x = 6

− sin θ cos θ

3π sin x = –1 berlaku untuk x = 2

sin ( 21 π − θ) cos ( 21 π + θ) tan (π − θ)

=

tan a − tan b 1 + tan a tan b

15. Jawaban: b cos 2x – sin x = 0 ⇔ 1 – 2 sin2 x – sin x = 0 ⇔ 2 sin2 x + sin x – 1 = 0 ⇔ (2 sin x – 1)(sin x + 1) = 0

= −3 = – 9

=

⇔

− sin θ cos θ

π 5π 3π Jadi, himpunan penyelesaiannya { 6 , 6 , 2 }.

= cos2 θ B. Uraian

= 1 + cos 2θ 2

a

1. tan 25° = a = 1

13. Jawaban: c 3

sin 25° =

tan 2a = – 4 2 tan a 1 − tan2 a

⇔

=

3 –4

⇔ 8 tan a = –3 + 3 tan2 a ⇔ 3 tan2 a – 8 tan a – 3 = 0 ⇔ (3 tan a + 1) (tan a – 3) = 0 ⇔

cos 25° = a.

Oleh karena tan a > 0 maka nilai yang memenuhi tan a = 3. 1 2

b.

a

2

a +1 25°

1 a2 + 1

1

tan 25° = tan (2 × 25°) =

2 tan25° 1 − tan2 25

=

2a 1 − a2

1

tan a = – 3 atau tan a = 3

tan (a – b) =

a

a2 + 1

sin 50° = sin (2 × 25°) = 2 sin 25° cos 25°


69

a

=2

a2 + 1

1

·

a2 + 1

2a

= a2 + 1 c.

2

 1  = 2  a2 + 1)  – 1   2 a2 + 1

–1

1

1

= –(cos 2 × 75°)(1 – 2 (sin 2 × 75°)2)

2. cos 2a = a–1 = 1 – 2 sin2 a a. 2 cos2 67,5° – 1 = cos (2 × 67,5°) = cos 135° = cos (90 + 45)°

1

= – cos 150° (1 – 2 sin2 150°) = –(–

= –sin 45°

=

1

=–2 2 1

52,5°= = = =

cos (2 × 52,5°) cos 105° cos (60° + 45°) cos 60° cos 45° – sin 60° sin 45° 1

= 2

1

× 2 1

= 4 3. a.

sin 2α 1 − cos 2α

1 2

× 2

2 (1 –

=

2 sin α cos α 1 − (1 − 2 sin2 α )

=

2 sin α cos α 2 sin2 α

=

cos α sin α

= cotan α b.

1 + sin 2α − cos 2α 1 + sin 2α + cos 2α

=

70

2

1 + 2 sin α cos α − (1 − 2 sin2 α) 1 + 2 sin α cos α + (2 cos2 α − 1)


3)

–

1 2

1 2

3 )(1 –

1 2

1

× 4)

7

3 × 8

7 = 16 3

Jadi, nilai dari 2 cos 2 67,5° – 1 = – 2 2 . 1– 2

2 sin α (cos α + sin α ) 2 cos α (sin α + cos α )

= –(cos2 75° – sin2 75)(1)(12 – 2 (2 sin 75° cos 75°)2)

2 cos2

b.

=

4. sin8 75° – cos8 75° = (sin4 75°)2 – (cos4 75°)2 = (sin4 75° – cos4 75°)(sin4 75° + cos4 75°) = (sin2 75° – cos2 75°)(sin2 75° + cos2 75°) ((sin 2 75° + cos2 75°)2 – 2 sin2 75° cos2 75°)

2 + 1) = 2 − (a 2 a +1 1 − a2 = 2 a +1

sin2

2 sin α cos α + 2 sin2 α 2 sin α cos α + 2 cos 2 α

sin α = cos α = tan α

cos 50° = cos (2 × 25°) = 2 cos2 25° – 1

=

=

1 2

3

5. sin 4x – cos 2x = 0 ⇔ 2 sin 2x cos 2x – cos 2x = 0 ⇔ cos 2x (2 sin 2x – 1) = 0 1

⇔

cos 2x = 0 atau sin 2x = 2 1) cos 2x = 0 = cos 90° a) 2x = 90° + k · 360° ⇔ x = 45° + k · 180° ⇔ x = 45°; 225° b) 2x = –90° + k · 360° ⇔ x = –45° + k · 180° ⇔ x = 135°; 315° 2)

1

sin 2x = 2 = sin 30° a) 2x = 30° + k · 360° ⇔ x = 15° + k · 180° ⇔ x = 15°; 195° b) 2x = 150° + k · 360° ⇔ x = 75° + k · 180° ⇔ x = 75°; 255°

Jadi, himpunan penyelesaiannya {15°, 45°, 75°, 135°, 195°, 225°, 255°, 315°}

5. Jawaban: a cos 50° + cos 40° sin 50° + sin 40°

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: d 8 cos 75° sin 165° = 4 · 2 sin 165° cos 75° = 4(sin (165° + 75°) + sin (165° – 75°)) = 4(sin 240° + sin 90°)

=

=4–2 3

cos

2 cos 4 5° cos 5° 2 sin 4 5° cos 5°

=

cos 45° sin 45°

=

1 2 1 2

3π ( 8

=

1 1 π (cos 2 2

(cos

1

1

= 2 (0 + 2 =

1 4

π

+ 8 ) + cos ( + cos

1 4

3π 8

π

– 8 ))

2)

13

3

5

y

x

12

4

1

1

= –2 sin 2 (x + y + x – y) sin 2 (x + y – x + y) = –2 sin x sin y 3

1

1

1

= 2 × (– 2 3 ) × 2 2 1

= 2 sin

sin 27° + sin 63° cos 138°+ cos 102°

2 sin

= 2 cos 1 (138° + 2

1 63°) cos 2 (27° 1 102°) c os 2 (138°

2 sin 45° cos (−18°) = 2 cos 120° cos 18° sin 45°

= cos 120°

6

= – 13

2 cos

4. Jawaban: a

1 (27° + 2

5

= –2 ( 5 )( 13 )

7. Jawaban: d cos (45 − a)° + cos (45 + a)° sin (45 + a)° + sin (45 − a)°

=–2 6

−

5 12 5

1

2

5

sin y = 13 cos (x + y) – cos (x – y)

= 2 cos 2 (195° + 105°) cos 2 (195° – 105°) = 2 cos 150° cos 45°

1 2

3

sin x = 5

π)

3. Jawaban: e cos 195° + cos 105°

=

=1

2

tan y =

2

1 2

2

− 40°)

cos x = 5

) cos ( 8 )

=

40°) cos

4

π

1 2

1 2 1 (50° 2

6. Jawaban: c

2. Jawaban: d 3π ( 8

2 sin

=

1

= 4(– 2 3 + 1)

1 2 1 (50° + 2

2 cos (50° + 40°) cos (50° − 40°)

− 63°) − 102°)

1 ((45 2 1 ((45 + 2

− a)° + (45 + a)°) cos 21 ((45 − a)° − (45 + a)°) 1 a)° + (45 − a)°) cos 2 ((45 + a)° − (45 − a)°)

= cos 45° cos ( − a) sin 45° cos a

=

1 2 1 2

2 cos a 2 cos a

=1

8. Jawaban: b sin 270° cos 135° tan 135° 1

= ( 2 (sin (270° + 135°) + sin (270° – 135°)) tan 135° 1

= 2 (sin 405° + sin 135°) tan 135° 1

=– 2

= 2 (sin (360° + 45°) + sin (180° – 45°)) tan (180° – 45°) 1

= 2 (sin 45° + sin 45°) (–tan 45°)


71

1

1

= 2 (2 × 2 1

=–2

2 sin 60

2 )(–1)

= cos 60° + cos 90°

2

2×

=

9. Jawaban: e sin 58° + sin 62° – sin 178° 1

= sin 58° + 2

1 (– 2

1

1

= 2 sin 2 (x + 30° + 30° – x) cos 2 (x + 30° – 30° + x) = 2 sin 30° cos x

π

1 2 1 (x 2

= 2 sin

π 3

4π ) 3 4π ) 3

+x−

+π+x− 3

1

4π 1 ) sin (x + 3 2 4π 1 ) sin (x + 3 2

π

−x+ 3 π 3

−x+

4π ) 3 4π ) 3

1 5

= −2 sin 1 (2x − π) sin 1 ( 5 π) 2 2 3 cos (2x − π)

=

− π)

=

π

π

3

3

π

π

3

3

π

π

3

3

cos [( + A) − ( − A)] + cos [( + A) + ( – A)]

2 sin2A cos 2A + cos

2π 3

2 ⋅ 2 sin A cos A (2 cos2 A – 1) + –

1 2

4 sin A cos A 3

– 2 + 2 cos 2 A 4 5

4× 3 2

× 35

3 5

– + 2 × ( )2 48 25 –3 2

+

50

18 25

× 50 96

96

= −75 + 36 = – 39 14. Jawaban: b 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos ( α – β) 3

1

2 × 4 = 2 + cos (α – β) 3

2

1

15. Jawaban: e

π

cos ( − x) 2

1

= sin ( π − x) 2

cos α cos β = 2

⇔ ⇔

= tan x

12. Jawaban: c tan 75° – tan 15° = tan 75° + tan (–15°) =

72

3

⇔ cos (α – β) = 2 – 2 = 1 ⇔ α – β = 0° Jadi, tan (α – β) = tan 0° = 0.

= − sin (−( π − x)) 2

=

=2 3

2 sin [( + A) – ( – A)]

⇔

cos (−( π − x))

sin x cos x

=

=

2 cos (2x − π) sin ( π) 2 2 3

1 2 − sin 21 (2x

=

=

11. Jawaban: d cos (x + 3 ) − cos (x −

3 1 2

π π = tan ( 3 + A) + tan (–( 3 – A)

=

1

= 2 × 2 × cos x = cos x

π

+0

sin A = 5 ⇔ cos A = 5 π π tan ( 3 + A) – tan ( 3 – A)

10. Jawaban: b sin (x + 30°) + cos (x + 60°) = sin (x + 30°) + sin (90° – (x + 60°)) = sin (x + 30°) + sin (30° – x)

sin (x + 3 ) − sin (x −

3

13. Jawaban: a 4

) (–sin 58°)

= sin 58° + sin 58° = 2 sin 58°

2 cos (x +

=

1

= sin 58° + 2 cos 2 (62° + 178°) sin 2 (62° – 178°) = sin 58° + 2 cos 120° sin (–58°)

1 2

1 2

2 sin (75 + (− 15))  cos (75 + (−15)) + cos (75 − (− 15))


⇔ ⇔

1 2

1

(cos (α + β) + cos (( α – β)) = 2 cos (α + β) + cos (α – β) = 1 1

cos (α + β) + 2 3 = 1 1

cos (α + β) = 1 – 2 3 2− 3 = 2

cos (α + β) cos (α − β)

=

2− 3 2 3 2

2 3

=

2

–1= 3

( A 2+ B ) A +B cos ( 2 ) sin

2− 3 3

=

⇔ 3 –1

1 A + B tan  2  = 3

⇔

16. Jawaban: c Diketahui α + β = 90° maka sin α = cos β dan cos α = sin β. −2 sin 21 (2α + 2β) sin 21 (2α − 2β) cos 2α − cos 2β = sin 2α 2 sin α cos α −2 sin (α + β) sin (α − β) = 2 sin α cos α

A+B 1 sin  2  = 2

2

3 A + B cos  2  = 2

1 A +B Substitusi sin  2  = 2

3

A +B A −B 1 2 sin  2  cos  2  = 2 2

= =

−1(sin α cos β − cos α sin β ) sin α cos α

⇔

1 A −B 2 ( 2 ) cos  2 

= 2 2

sin cos β cos α sin β = − α + sin α cos α sin α cos α sin β − cos β = + cos α sin α sin β − sin α = + cos α cos β = – tan α + tan β = tan β – tan α

⇔

A −B cos  2 

= 2 2

1

= 2( 2 2 )2 – 1 = 0 20. Jawaban: a 2

1

⇔ –2 sin 2 (2x) sin

1

=

C–

–

1 2

1 ) 2

)=

1 6

18. Jawaban: d 1

3

1

1

1

4

cos 2 (A + B) = maka sin 2 (A + B) = 5 5 1

1

1

4

19. Jawaban: c

( A 2+ B ) cos ( A 2− B ) ⇔ 2 cos ( A + B ) cos ( A − B ) 2 2

2

1

–2 sin x × 2

1

3 3

1

3 = 2

3 1

⇔

sin x = – 2

⇔

1 sin x = sin  − 6 π 

1)

1

x = – 6 π + k · 2π 11

k = 1 → x= 6 π

4

2)

1

x = (π – (– 6 π)) + k · 2π

⇔ x=

1 2 2 1 6 2

1

⇔

1

1

2

(2 × 3 π) = 2

–2 sin x sin 3 π = 2

cos A – cos B = –2 sin 2 (A + B) sin 2 (A – B) = –2 × 5 × 2 = – 5

1 2

3

⇔

1

cos 2 (A – B) = 2 3 maka sin 2 (A – B) = 2

=

2

cos (x + 3 π) – cos (x – 3 π) = 2

= 2 (sin (180° – C) – sin 30°)

1 5 ( 2 6

1

A −B = 2 cos2  2  – 1

1

=

1

  A − B  cos (A + B) = cos  2  2    

cos A sin B = 2 (sin (A + B) – sin (A – B))

1 (sin 2

1

A +B 2

sin 90° sin (α − β) – sin α cos α

17. Jawaban: c A + B + C = 180° ⇔ A + B = 180° – C

sin A + sin B cos A + cos B

1 3

=

7 6

π + k · 2π 7

k = 0 → x= 6 π

2 sin

=

2 6

7

11

Jadi, nilai x yang memenuhi 6 π dan 6 π .


73

B. Uraian

1. a.

= sin (180 + 2a)° + sin 90° = –sin 2a° + 1 = 1 – sin 2a°

2 sin 75° cos 15° – 2 cos 105° sin 75° = (sin 90° + sin 60°) – (sin 180° – sin 30°) 1

b.

1

= (1 + 2 3 ) – (0 – 2 ) 3

1

= 2 + 2 3 1

b.

1

1

1

2 sin 82 2 ° cos 37 2 ° + 2 sin 127 2 ° sin 97 2 ° = (sin 120° + sin 45°) – (cos 225° – cos 30°) = sin 120° + sin 45° – cos 225° + cos 30° 1

1

1

5. a.

1

= 2 3 + 2 2 – (– 2 2 ) + 2 3 3 +

= 2. a.

1

2

1

1

1

1

1

1 1 1 1 1 =  − 2  ×  − 2  – 2 sin 124° + 2 × 2 1

– 2 cos 146

1

4 sin 10° sin 50° sin 70° = 4 sin 70° sin 50° sin 10° = 2 (2 sin 70° sin 50°) sin 10° = 2(cos 20° – cos 120°) sin 10° = 2 (cos 20° –

1 (– 2 ))

sin 10°

= 2 cos 20° sin 10° + sin 10° = (sin 30° – sin 10°) + sin 10° = sin 30° = 4. a.

74

1 2

2 sin (135 + a)° cos (45 + a)° = sin ((135 + a)° + (45 + a)°) + sin ((135 + a)° – (45 + a)°)


3

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

= 2 – 2 sin 56° – 2 (–sin 56°)

1

3 – sin 80° =

1

= 2 – 2 sin (180° – 56°) – 2 cos (90° + 56°)

= 2 – 2 sin 56° + 2 sin 56°

= (sin 100° + sin 60°) – 2 · 2 sin 80° = sin (180° – 80°) + sin 60° – sin 80° 1 2

1

= 4 + 4 – 2 sin 124° – 2 cos 146°

4 sin 20° sin 40° sin 80° = 2 (2 sin 20° sin 40°) sin 80° = 2 (cos 20° – cos 60°) sin 80° = 2 cos 20° sin 80° – 2 cos 60° sin 80° = 2 sin 80° cos 20° – 2 cos 60° sin 80°

b.

1

– 2 cos 16°

= 2 sin 2x – 4 3

= sin 80° +

1

– 2 sin 124° + 2 sin 30° – 2 cos 146°

1

1 2

1

= – 2 cos 120° + 2 cos 16°

= 2 (sin 2x – 2 3 )

3. a.

1

– sin 30°) – 2 (cos 146° + cos 16°)

1 2π = 2 (sin 2x – sin 3 )

1

1

= – 2 (cos 120° – cos 16°) – 2 (sin 124°

π π 1 = 2 (sin ((x + 3 ) + (x – 3 )) π π – sin ((x + 3 ) – (x – 3 )))

1

sin 52° sin 68° – sin 47° cos 77° – cos 65° cos 81° = – 2 (cos 120° – cos (–16°)) – 2 (sin 124° 1 + sin (–30°)) – 2 (cos 146° + cos (–16°))

2 sin (x + y) sin (x – y) = –cos ((x + y) + (x – y)) + cos ((x + y) – (x – y)) = –cos 2x + cos 2y π π cos (x + 3 ) sin (x – 3 )

b.

2 cos (135 + a)° cos (45 + a)° = cos ((135 + a)° + (45 + a)°) + cos ((135 + a)° – (45 + a)°) = cos (180 + 2a)° + cos 90° = – cos 2a° + 0 = – cos 2a°

1

b.

= 2 sin2 195° sin 75° cos 75° = (sin 195° sin 75°)(sin 195° cos 75°) 1

= – 2 (cos (195 + 75)° – cos (195 – 75)°) 1

× 2 (sin (195 + 75)° + sin (195 – 75)°) 1

= – 4 (cos 270° – cos 120°) (sin 270° + sin 120°) 1

1

1

= – 4 (0 – (– 2 )) (–1 + 2 1

1

= – 8 (–1 + 2 1

1

= 8 (1 – 2

3)

3)

3)

6. a.

π π cos (x + 2 ) – cos (x – 2 ) π ⇔ –2 sin x sin 2 =

⇔

sin x × 1 =

1 –2

1)

2 1

1

7

8. a.

1

x = (π – (– 4 π)) + k · 2 π

7

3

cos

C

B

C

sin 2 = cos 2 cos 2 B 2 B 2

B

C 2 C cos 2

= 3

C

1

sin

1

tan 2 tan 2 = 3

cos3 x sin2 x = (cos2 x sin2 x) cos x = (cos x sin x) 2 cos x

1

3

1

= 8 (sin 2x sin 3x + sin 2x sin x)

1

2 cos x × 2 2 = – 2 cos x = –1 cos x = cos π 1) x = π + k · 2π k = 0 → x= π 2) x = –π + k · 2 π k = 1 → x= π Jadi, himpunan penyelesaiannya {π}. 7. Jumlah besar sudut segitiga = 180° A + B + C = 180° ⇔ B + C = 180° – A B+C A ⇔ 2 = 90° – 2

1

1

– 2 (cos 3x – cos x)) 1

= – 16 (cos 5x – cos x + cos 3x – cos x) 1

= – 16 (–2 cos x + cos 3x + cos 5x) 1

b.

B−C cos ( 2 ) B+C B+C = 2 × 2 sin ( 2 ) cos ( 2 ) B+C 2 cos ( 2 ) B

1

A

B+C ) 2

= 16 (2 cos x – cos 3x – cos 5x) 1 + cos 2x + cos 4x + cos 6x = (1 + cos 6x) + (cos 2x + cos 4x) 1

= 2 cos2 3x + (2 cos 2 (6x) cos 2 (–2x)) = 2 cos2 3x + 2 cos 3x cos x = 2 cos 3x (cos 3x + cos x) = 2 cos 3x (2 cos 2x cos x) = 4 cos x cos 2x cos 3x

= 90° – ( 2 + C)

sin B + sin C = 2 sin A ⇔ sin B + sin C = 2 sin (180° – (B + C)) ⇔ sin B + sin C = 2 sin (B + C) B+C B−C B+C ⇔ 2 sin ( 2 ) cos ( 2 ) = 2 sin 2( 2 )

1

= 8 (– 2 (cos 5x – cos (–x))

A + B + C = 180° ⇔ B + C – 2C = 180° – A – 2C ⇔ B – C = 180° – (A + 2C) B−C 2

1

= 4 sin 2x ( 2 (sin 3x + sin x))

2 cos x sin 4 π = – 2

⇔ ⇔ ⇔

⇔ cos

C

1

3

B−C )= 2 B C cos 2 2

B

= 4 sin 2x (sin 2x cos x)

sin (x + 4 π) – sin (x – 4 π) = – 2

⇔ cos (

C

1

5

⇔ 2 sin (

C

= 4 sin2 2x cos x

Jadi, himpunan penyelesaiannya { 4 π, 4 π}.

⇔

B

1

5

⇔

C

= ( 2 sin 2x)2 cos x

π + k · 2π

k = 0 → x= 4 π

b.

sin

⇔ ⇔

x = – 4 π + k · 2π

5 4

C

B 2

⇔ 3 sin

sin x = sin (– 4 π)

⇔x=

B

+ sin 2 sin 2 + 2 sin 2 sin 2 = 0

k = 1 → x= 4 π 2)

C

cos 2 – 2 cos 2 cos 2 B

2

⇔

B 2

⇔ cos

2

–2 sin x × 1 =

⇔

B

= 2 (cos 2 cos 2 – sin 2 sin 2 )

2

=

9. x

= sin 3q + sin q 1

1

= 2 sin 2 (3θ + θ) cos 2 (3θ – θ) = 2 sin 2θ cos θ y = cos 3θ + cos θ 1

1

= 2 cos 2 (3θ + θ) cos 2 (3θ – θ) = 2 cos 2θ cos θ

C

+ sin 2 sin 2


75

x + y = 2 sin 2θ cos θ + 2 cos 2θ cos θ = 2 cos θ (sin 2θ + cos 2θ)

a. b.

x y

c.

x2

=

2 sin 2θ cos θ 2 cos 2θ cos θ

+

y2 =

(2 sin 2θ cos θ + (2 cos 2θ cos θ = 4 sin2 2θ cos2 θ + 4 cos2 2θ cos2 θ = 4 cos2 θ (sin2 2θ + cos2 2θ) = 4 cos2 θ · 1

)2

1 + cos 2θ  2

= 2 + 2 cos 2θ cos a + cos b sin a + sin b

=

1 2 1 2

cos sin

⇔

cotan

⇔ ⇔

1 (a + b) 2 1 (a + b) 2

3

=

3

1 (a 2

+ b) = cotan 30°

1 (a 2

+ b) = 30° 1 2

3.

3

1

3 – 4

= –2

1

3) 2

3

3

tan A + tan B tan (A + B) = 1 − tan A tan B 5 3

+4 = 1− 5 × 4 3 2

53

= −5 2 3 = –1 = tan (–45) (A + B) = (–45°) + k · 180° k = 1 → (A + B) = 135° Jadi, besar sudut (A + B) = 135°. 5. Jawaban: d

A. Pilihan Ganda

4

1. Jawaban: c sin 72° cos 27° – cos 72° sin 27° = sin (72° – 27°) = sin 45°

7

sin A = 5

sin B = 25 25

5

4

2

7

B 24

2. Jawaban: c tan (–15°) = tan (45° – 60°) tan 45° − tan 60° = 1 + tan 45° tan 60°

1− 3 = 1 + 1× 3 1− 3 1− 3 = 1+ 3 × 1− 3

A

3

3

A sudut lancip (kuadran I) maka cos A = 5 . 24 B sudut tumpul (kuadran II) maka cos B = – 25 . cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B 3

24

1− 2 3 + 3 1− 3

= – 125 + 125

=

4−2 3 −2

= – 125

72

44

3


4

7

= 5 × (– 25 ) + 5 × 25

=

= –2 + 76

x – 15°

4. Jawaban: d

a + b = 60°

1 2

1

3

1

=

1

cos (255° – x) = cos (240° – (x – 15°)) = cos 240° cos (x – 15°) + sin 240° sin (x – 15°)

1

Jadi, sin (a + b) = sin 60° =

=

2

3 2

cos (x – 15°) =

= –4

2

2 sin 21 (a + b) cos 21 (a − b)

⇔

sin (x – 15°) =

1

6

1 3

1 2

= (– 2 ) ( 2 ) + (– 2

2 cos 21 (a + b) cos 21 (a − b)

⇔

3

tan (x – 15°) = 3 =

sin 2θ = cos 2θ = tan 2θ

)2

=4 

10.

3. Jawaban: b

28

6. Jawaban: b

9. Jawaban: d

12

3

sin α = 13 tumpul)

co s β = – 5

(β

1

tan A = 2 sin A = cos A=

5

12

13

4

A 2

sin 2A= 2 sin A cos A 1

3

5

4

= cos 30° = 1 3

cos α = 13 sin β = 5 sin λ = sin (180° – (α + β)) = sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β 3

36 – 65 16 – 65

20 65

5

2

11. Jawaban: e sin x cos x = a ⇔ 2 sin x cos x = 2a

4

= 13 × (– 5 ) + 13 × 5 = =

+

⇔

sin 2x =

1

2a 1

1 − 4a

2a

2x

2a

tan 2x =

1 − 4a2

2

12. Jawaban: a

7. Jawaban: e

1

12

cos 2 α = 13

1

tan α – tan β = 3

⇔

sin α cos α

⇔

sin α cos β − sin β cos α cos α cos β

⇔

sin α cos β − sin β cos α 48 65

–

sin β cos β

=

1 3

=

1 3

tan

⇔ sin α cos β – cos α sin β =

16 65

⇔

16 65

sin (α – β) =

5

1 α 2

5 12

tan α =

1

1 3

1

sin 2 α = 13

= 3

⇔ sin α cos β – sin β cos α =

Dari kedua persamaan diperoleh: cos2 a + 2 cos a cos b + cos 2 b = 1 sin2 a + 2 sin a sin b + sin2 b = 2 ––––––––––––––––––––––––––––––––– + 1 + 2(cos a cos b + sin a sin b) + 1 = 3 ⇔ 2 cos (a – b) + 2 = 3 ⇔ 2 cos (a – b) = 1 cos (a – b) =

=

=

⇒ (sin a + sin b) 2 = ( 2 )2 ⇔ sin2 a + 2 sin a sin b + sin2 b = 2

1 2

=

13 1 2

2 tan

1 2

1 − tan2

α 12

α 1 2

5

α

5

48

× 65

8. Jawaban: c cos a + cos b = 1 ⇒ (cos a + cos b)2 = 12 ⇔ cos2 a + 2 cos a cos b + cos 2 b = 1 sin a + sin b = 2

⇔

4

= 5

10. Jawaban: c cos 2α = cos2 α – sin2 α cos2 15° – sin2 15°= cos (2 × 15°)

5

12

2 5

=2× 5 ×

β α

5

1

1 5 2 5

2 × 12 5

1 − (12)2 10 12 119 144

120

= 119

13. Jawaban: b cos 2α = 2 cos2 α – 1

⇔

cos α =

⇔ cos 157,5° =

cos 2α + 1 2 cos 315° + 1 2 cos 314° + 1 2

⇔ cos 157,7° =

1 2

=

2 +1 2

2+2 4

= 1

= 2

2+ 2


77

14. Jawaban: a 3π −12 sin α = 13 , π < α < 2

17. Jawaban: a 13

−5

cos α = 13

2 tan a 1 + tan2 a

3

1

2

=

3

= –1 + 2

1

3

= 2

=

1

2 13

3 13 −2 13

3

α α

1 2

⇔

1 4

cos 105° cos 75°

1

1

P A

2 tan 36 1− tan2 36 tan 36 1− tan2 36

1

= 2p

B

20. Jawaban: a f(x) = 2 – 8 sin (2x – 60°) sin 2x = 2 + 4 (–2 sin (2x – 60°) sin 2x) = 2 + 4 (cos (4x – 60°) – cos (–60°)) 1

= 2 + 4 (cos (4x – 60°) – 2 ) = 2 + 4 cos (4x – 60°) – 2 = 4 cos (4x – 60°) 21. Jawaban: c π 3 2 cos (α + 4 ) cos ( 4 π – α) + 1 π 3 π 3 = cos (α + 4 + 4 π – α) + cos (α + 4 – 4 π + α) + 1 π = cos π + cos (2α – 2 ) + 1 π = –1 + cos (2α – 2 ) + 1 π = cos (2α – 2 ) π π = cos 2α cos 2 + sin 2α sin 2 = cos 2α · 0 + sin 2 α · 1

= sin 2α 78

1

19. Jawaban: d 2 sin (x + y) cos (x – y) = sin ((x + y) + (x – y)) + sin ((x + y) – (x – y)) = sin 2x + sin 2y

C

2 tan α 1− tan2 α

tan 36 1− tan2 36

= 2 ( 3 – 2)

= 8 × 2 ( 3 – 2) = 16 ( 3 – 2)

16. Jawaban: d

p=2×

3 –1

1

3

tan 72° =

3

= 8 (2 cos 105° cos 75°)

=–2

= 2a 1 − a2

⇔

α

2

cos ∠C = 1 − a2 sin (∠APB) = sin (2 ∠ACB) = 2 sin ∠ACB cos ∠ACB = 2 sin ∠C cos ∠C

tan 2α =

cos2 a

1

13

15. Jawaban: c ∠APB merupakan sudut pusat dan ∠ACB merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap busur sama. ∠APB = 2 ∠ACB sin ∠C = a

⇒

1

3

sin 2 α = 13

tan

cos2 a 1

18. Jawaban: a 2 cos 105° cos 75 = cos (105° + 75°) + cos (105° – 75°) = cos 180° + cos 30°

1

1 α= 2

cos2 a

= 2 sin a cos a = sin 2a

2

sin 2 α = 13 .

1 sin 2 1 cos 2

cos2 a + sin2 a

=

= ± 13 = ± 13 π α 3π 3 Oleh karena π < α < 2 ⇔ 2 < 2 < 4 π maka

α=–

cos2 a

2 s in a cos a

 13 

9

sin a cosa sin2 a

2 s in a cos a

1 −  −5 

=±

cos

= 1+

α

cos α = 1 – 2 sin 2 2 α 1 α ⇔ sin 2 α = ± 1 − cos 2

1 2

2


22. Jawaban: a

26. Jawaban: b

sin 48° + sin 12° cos 78° + cos 42°

1 2 1 (78° 2

1 2 1 cos (78° 2

2 sin (48° + 12°) cos (48° − 12°)

=

2 cos

+ 42°)

− 42°)

sin 30° cos 1 8° cos 60° cos 1 8°

=

sin 30° = cos 60° =

1 2 1 2

5

5

sin C = 6 ⇔ sin (180° – (A + B)) = 6

= =

1

1

=1

sin A cos B = 2 (sin (A + B) + sin (A – B)) 1 5 1

1 2

3)

+0

2

= 3 27. Jawaban: b 1 3

= –2 3

6 sin 2x –

2 cos 2x 1

a=– 2;b= 3 6

24. Jawaban: d cos 2x − cos 4x sin2x sin3x

= = = =

−2 sin 21 (2x + 4x) sin 21 (2x − 4x)

k=

sin 2x sin 3x sin 2x

2 2 3

8 3

=

tan α =

6)2 =

1 3

6

=

6

=

− 2 −3 2 tan α = tan 150° ⇒ Jadi,

2sinx 2 sin x cos x

1 3

2+

2 6 3

2 3

6 sin 2x –

=

2

1

=–3 3

α = 150° 2

2 cos 2x = 3 6 cos (2x – 150°)

28. Jawaban: b

4

tan α = 3

3 cos x – 3 sin x =

4

sin α = 5

k =

5

4

3

cos α = 5 cos 3α + cos α

α

1

1

3

= 2 (2 ( 5 )2 – 1) ( 5 )

3

( 3)2 + (−3)2

=

3+9

=

12 = 2 3

3

= 2 cos 2 (3α + α) cos 2 (3α – α) = 2 cos 2α cos α = 2 (2 cos2 α – 1) cos α

18

8 3

−2 (− sin x)

25. Jawaban: a

= 5 ( 25 – 1) −42 = 125

1 3

= 3 6 (a negatif dan b positif maka α terletak di kuadran II) =

−2 sin 3 x s in ( −x)

1

3

( − 2)2 + (

sin 2x sin 3x

= cos x = cosec x

6

8

= 2 × 6

2 sin 300° cos 300° + cos 90° 1 2

1

= 2(6 + 2)

2 sin (195° + 105° ) cos (195° + 105°) + cos (195° − 105°)

2 × (−

sin (A + B) = 6

sin (A – B) = sin 30° = 2

23. Jawaban: e tan 195° + tan 105° =

5

⇔

tan α =

−3 3

=– 3

⇔ α = 300° 3 cos x – 3 sin x =

3

⇔ 2 3 cos (x – 300°) = 3 ⇔ ⇔ 1)

1

cos (x – 300°) = 2 cos (x – 300°) = cos 60° x – 300° = 60° + k · 360° ⇔ x = 360° + k · 360° k = 1 → x = 0°


79

2)

x2 – 300° = –60° + k · 360° x2 = 240° + k · 360° k = 0 → x = 240° Jadi, himpunan penyelesaiannya = {0°, 240°).

⇔

29. Jawaban: d cos 4x + cos 2x = 0 ⇔ 2 cos 3x cos x = 0 ⇔ cos 3x = 0 atau cos x = 0 a. Untuk cos 3x = 0 π ⇔ cos 3x = cos 2 1)

π 3x = 2 + k · 2π π 2 ⇔ x= 6 +k· 3π

2)

k=1→x=

π

k=2→x=

3 2

π

sin (2x + 50)° = 2 = sin 30° 1) 2x + 50 = 30 + k · 360 ⇔ 2x = –20 + k · 360 ⇔ x = –10 + k · 180 k = 1 ⇒ x = 170 k = 2 ⇒ x = 350 2) 2x + 50 = (180 – 30) + k · 360 ⇔ 2x = 100 + k · 360 ⇔ x = 50 + k · 180 k = 0 ⇒ x = 50 k = 1 ⇒ x = 230 Jadi, himpunan penyelesaiannya {50, 170, 230, 350}. B. Uraian

π k=0→x= 6π 5 6

1. a.

⇔ x = –6 + k · k=1→x=

2 3

1 2 1 2

= −

π

1 π 2

b.

11

k=3→x= 6 π Untuk cos x = 0 π ⇔ cos x = cos 2 1)

2)

π x = 2 + k · 2π π k=0→x= 2

2. a.

11 π,}. 6

1

sin (2x + 110)° + sin (2x – 10)° = 1

⇔ 2 sin 2 (4x + 100)° cos 2 (120°) = 1

2 sin (2x + 50)° × 2 =


1 2 1 2 1 2

1

sin a° × 2 1 2 1 2

3 + cos a° × 2 = sin a° 1

3 sin a° + 2 cos a° = sin a° 1

⇔ cos a° = sin a° – 2 3 sin a° ⇔ cos a° = (2 – 3 ) sin a° ⇔ (2 – 3 ) sin a° = cos a° sin a° cos a°

⇔

30. Jawaban: c

80

3 (–1)

sin (a + 30)° = sin a°

⇔

π π 5 7 Jadi, himpunan penyelesaiannya { 6 , 2 , 6 π, 6 π,

⇔

6

⇔ sin a° cos 30° + cos a° sin 30° = sin a° ⇔

π x = 2 + k · 2π

1

1

=– 3

3

π,

2

3 = − 3 = –3

tan2 187,5° − tan2 52,5 ° 1 − (tan187,5 tan 52,5°)2

=

k=1→x= 2π 3 2

2

(tan 187, 5° + tan 5 2, 5°)(tan 187, 5° − tan 52, 5°) = (1 − tan 1 87, 5 t an 5 2, 5°)(1 + tan 187, 5° tan 5 2, 5°) = tan (187,5° + 52,5°) tan (187,5° – 52,5°) = tan 240° tan 135°

7

k=2→x= 6π

b.

cos 67° cos 22 ° + sin 6 7° sin 2 2° sin 1 30° cos 1 10° + cos 1 30° sin 1 10° cos (67° − 22°) = sin (130° + 110°) cos 45° = sin 240°

π 3x = – 2 + k · 2π π

1

⇔

⇔ tan a° =

1 (2 − 3)

= ×

1 (2 − 3)

2+ 3 2+ 3

2+ 3

= 4−3 =2+ Jadi, tan a° = 2 +

3 3 (terbukti).

b.

sin (b + 30)° = cos b°

⇔ sin b° cos 30° + cos b° sin 30° = cos b° 1

⇔

1

a+1

sin b° × 2 3 + cos b° × 2 = cos b° 1 2

⇔ 1 2

⇔

= – a+1 = – a+1

1

cos b° =

1 2

cos b°

3 sin b°

⇔

sinb° cos b°

⇔

tan b° = 3 3

1 3

=

3 3

×

1

sin x =

1 a+1

tan x =

sinx cos x

= 3 3

1

5. a.

3. CD = =

2

=

1 a+1

−

a a+1

cos 135°+ cos 15° sin 135° − sin 15°

AC − AD 2

13 − 5

c. 13 cm

12 sin α = 13 5 cos α = 13

12

=

5

α 5 cm

6. a. B

120

24

2

=

b.

120

7. a. 3

Oleh karena 2 π < 2x < 2π ⇔ 4 < x < π maka cos x bernilai negatif.

=–

cos 2x + 1 2 a −1 +1 a +1

2

2×

1 2

3

2×1

1

= 2

3

sin 6α + sin 4α + sin 2α = sin 6α + (sin 4α + sin 2α) 1

1

sin 6α − sin 4α + sin 2α cos 6α − cos 4α + cos 2α (sin 6α + sin 2α) − sin 4α = (cos 6 + cos 2 ) cos 4 α α− α 2 sin 21 (6α + 2 α) cos 21 (6α − 2α) − sin 4 α

= 2 cos 1 (6α + 2α) cos 1 (6α − 2α) − cos 4 α 2 2 2 sin 4α cos 2α − sin 4α = 2 cos 4α cos 2α − cos 4α sin 4α (2 cos 2α − 1) sin 4α = = = tan 4α cos 4α (2 cos 2α − 1) cos 4α

= 5 × 119 = 119 4. cos 2x = 2 cos2 x – 1

⇔ cos x = –

2 sin120° cos 120 ° + cos 9 0° 2 sin90° cos 120 ° + cos 9 0°

1

25

3

3

= 2 sin 3α (2 cos 2 (3α + α) cos 2 (3α – α)) = 4 sin 3α cos 2α cos α

− 5 −119

25

2 cos 75° cos 60° 2 cos 75° sin 6 0° 1 cotan 60° = 3 2 sin 4 5° cos 25° 2 cos 45° cos 25°

= 2 sin 3α cos 3α + 2 sin 3 α cos α = 2 sin 3α (cos 3α + cos α)

24

(125 )

a

1

−2 tan α

−2 ( 125 )

1

= 2 sin 3α cos 3α + 2 sin 2 (4α + 2α) cos 2 (4α – 2α)

= 1 − tan2 α

1−

=

1

=– a =–a

= tan 45° = 1 tan 105° + tan 15° tan 105° + tan 15° = tan 105° – tan (−15°) tan 1 05° – tan 1 5°

13 cm

= 2 ( 13 )( 13 ) = 169 tan (180° – 2α) = –tan 2α

=

sin 70° + sin 20° cos 70° + cos 20°

=

α 12 tan α = 5 A 5 cm D ∠A + ∠B + ∠C = 180° ⇔ ∠C = 180° – (∠A + ∠B) ⇔ ∠C = 180° – (∠A + ∠B) ⇔ ∠C = 180° – 2α a. sin C = sin (180° – 2α) = sin (2α) = 2 sin α cos α

b.

b.

2

= 144 = 12 cm

= =

C

2

x a

1

Jadi, tan b° = 3 3 (terbukti).

1

a

a

3 sin b° + 2 cos b° = cos b°

3 sin b° = cos b° –

⇔

a − 1+ a + 1 2(a + 1)

=–

6 cos 75° cos 15° = 3 · 2 cos 75° cos 15° = 3 (cos (75° + 15°) + cos (75° – 15°)) = 3 (cos 90° + cos 60°) 1

b.

3

= 3 (0 + 2 ) = 2 cos 55° sin 25° – cos 35° cos 25° 1

1

= 2 (sin 80° – sin 30°) – 2 (cos 60° + cos 10°) 1

1

1

1

= 2 sin 80° – 2 sin 30° – 2 cos 60o + – 2 sin 80° Matematika Kelas XI Program IPA

81

1

1

sin x – 3 cos = 1 ⇔ 2 cos (x – 150°) = 1

= – 2 sin 30° – 2 cos 60° 1

1

1

1

= –2 × 2 – 2 × 2

cos (x – 150°) = 2 cos (x – 150°) = cos 60° 1) x – 150° = 60° + k · 360° ⇔ x = 210° + k · 360° k = 0 → x = 210° 2) x – 150° = –60° + k · 360° ⇔ x = 90° + k · 360° k = 0 → x = 90° Jadi, himpunan penyelesaiannya {90°, 210°}.

1

= –2 8. a.

cos 15° – cos 75° 1

1

= –2 sin 2 (15 + 75)° sin 2 (15 – 75)° = –2 sin 45 sin (–30°) 1

1

1

= –2 × 2 2 × (– 2 ) = 2 2 b.

sin 195° + sin 75° 1

1

= 2 sin 2 (195° + 75°) cos 2 (195° – 75°) = 2 sin 135° cos 60° 1

1

1

=2× 2 2 × 2 = 2 2 c.

tan =

1 67 2 °

1 1 2 sin (67 ° + 22 °) 2

=

2

1 1 1 1 cos (67 ° + 22 °) + cos (67 ° – 22 ° ) 2

=

1 ° 2

+ tan 22

2

2

2

2 sin 90° cos 90° + cos 45°

2×1 0+

1 2

×

2

2 2

=2 2 9. cos 2θ –

b.

cos (75° – x) – cos (15° – x) = 0

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

1

1

–2 sin 2 (90° – 2x) sin 2 (60°) = 0 –2 sin (45° – x) sin 30° = 0 1

–2 sin (45° – x) × 2 = 0 sin (45° – x) = 0 sin (45° – x) = sin 0° 1) 45° – x = 0° + k · 360° ⇔ –x = –45° + k · 360° ⇔ x= 45° – k · 360° k = 0 → x = 45° 2) 45° – x = 180° + k · 360° ⇔ –x = 135° + k · 360° ⇔ x= –135° – k · 360° k = –1 → x = 225° Jadi, himpunan penyelesaiannya {45°, 225°}.

3 sin 2θ = –1

⇔ cos2 θ – sin2 θ – 3 · 2 sin θ cos θ = –(cos2 θ + sin2 θ) ⇔ 2 cos2 θ – 2 3 sin θ cos θ = 0 ⇔ 2 cos θ (cos θ – 3 sin θ) = 0 ⇔ 2 cos θ = 0 atau (cos θ – 3 sin θ) = 0

Bab IV

Persamaan Lingkaran dan Garis Singgung

⇔

cos θ = 0 atau cos θ =

3 sin θ

A. Pilihan Ganda

⇔

cos θ cos θ = 0 atau sin θ =

3

⇔

cos θ = 0 atau cotan θ =

1. Jawaban: d Persamaan lingkaran berpusat di O(0, 0) dengan r = 4 adalah: x2 + y2 = r2 ⇒ x2 + y2 = 42 ⇔ x2 + y2 = 16

Jadi, nilai cotan θ = 10. a.

sin x –

3

3.

3 cos x = 1

⇔ – 3 cos x + sin x = 1 a = – 3 , b = 1, k = tan α =

b a

,

1 − 3

=

1 –3

(− 3)2 + 12 = 2 3 (α di kuadran II)

⇔ α = 150° 82

1

⇔ ⇔


2. Jawaban: e x2 + y2 – 4x + 2y – 15 = 0 ⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 15 + 4 + 1 ⇔ (x – 2)2 + (x + 1) 2 = 20 Diperoleh: r2 = 20 ⇔ r = 20 = 2 5 Jadi, jari-jari lingkaran 2 5 .

3. Jawaban: a r =

Y O

X

4 3

–3

P

Pusat: P(4, –3) Jari-jari: r = 3

L

Persamaan lingkaran L: (x – 4)2 + (y + 3)2 = 32 ⇔ x2 – 8x + 16 + y2 + 6y + 9 = 9 ⇔ x2 + y2 – 8x + 6y + 16 = 0 4. Jawaban: b Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (–2, 4) adalah (x + 2)2 + (y – 4)2 = r2. Oleh karena lingkaran melalui titik O(0, 0) maka: (0 + 2)2 + (0 – 4)2 = r2 ⇔ r2 = 4 + 16 = 20 Jadi, persamaan lingkarannya (x + 2)2 + (y – 4)2 = 20. 5. Jawaban: a Titik pusat lingkaran tepat di tengah diameter, koordinatnya:  −4 + 6 −3 + 1   = (1, –1) ,  2 2  Persamaan lingkaran: (x – 1)2 + (y + 1)2 = r2 Lingkaran melalui titik (6, 1), berarti: (6 – 1)2 + (1 + 1)2 = r2 ⇔ r2 = 25 + 4 = 29 Persamaan lingkaran: (x – 1)2 + (y + 1)2 = r2 ⇔ x2 – 2x + 1 + y2 + 2y + 1 = 29 ⇔ x2 + y2 – 2x + 2y – 27 = 0

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

3

Diperoleh: A = –

15 2

32 = 16 + 1 – p 9 = 17 – p p = 17 – 9 = 8

s1 = =

b.

(2 − 3)2 + (−1 − 4)2 (−1)2 + (−5)2 =

=0

=

(2 − 1)2 + (−1 − (−1))2 12 + 02

=1 Oleh karena s2 = 1 < r = 2 maka titik Q di dalam lingkaran L. c.

Jarak titik R(–2, 1) ke titik P(2, –1): s3 =

d.

(2 − (−2))2 + (−1− 1)2

=

42 + (−2)2

=

20

= (− 1)2

 1  3    1   15  Jari-jari: r =  − 2  − 2   +  − 2 (2)  −  − 2         145

7. Jawaban: c Lingkaran x2 + y2 – 8x + 2y + p = 0. Diperoleh A = –8, B = 2, dan C = p

+ (−1 − 2)2

+ 22 = 5

Oleh karena s4 = luar lingkaran L. e.

20 > r = 2 maka titik R di

Jarak titik N(1, 2) ke titik P(2, –1): 2 s4 = (2 − 1)

2

= 16 + 1 + 2 = 16 Luas lingkaran:  145  145 L = πr2 = π  16  = 16 π satuan luas.  

26

Oleh karena s1 = 26 > r = 2 maka titik M di luar lingkaran L. Jarak titik Q(1, –1) ke titik P(2, –1): s2 =

3 15 ; B = 2; C = – . 2 2

15

42 + (−1)2 − p

Oleh karena s3 = luar lingkaran L.

2

9

3=

8. Jawaban: b Kedudukan titik-titik di atas dapat ditentukan dengan cara membandingkan antara jarak titiktitik tersebut ke pusat lingkaran dengan panjang jari-jari lingkaran. a. Jarak titik M(3, 4) ke titik P(2, –1):

6. Jawaban: e 2x2 + 2y2 – 3x + 4y – 15 = 0

⇔ x2 + y2 – 2 x + 2y –

 − 1 A 2 +  − 1 B 2 – C  2   2     

5 > r = 2 maka titik N di

Jarak titik T(2, 1) ke titik P(2, –1): s5 = =

(2 − 2)2 + (−1 − 1)2 02 + (−2)2 = 2

Oleh karena s5 = 2 = r = 2 maka titik T terletak pada lingkaran L. Jadi, titik Q(1, –1) terletak di dalam lingkaran L.


83

9. Jawaban: e Titik pusat lingkaran: P(–2, 1). 2

2

(−2) + 1 + 4 = 3

Jari-jari lingkaran: r = a.

Diperoleh:

Jarak titik P(–2, 1) ke garis g1: x + y – 2 = 0: d1 =

−2 + 1 − 2 3 = 2 2 2 1 +1

< r = 3 maka garis g 1

memotong lingkaran L. b.

Jarak titik P(–2, 1) ke garis g2: x + 2y + 2 = 0: d2 =

−2 + 2 ⋅ 1 + 2 2 = 2 2 5 1 +2 2 5

Oleh karena d1 =


memotong lingkaran L. c.

Jarak titik P(–2, 1) ke garis g3: 2x – y + 1 = 0: d3 =

2 ⋅ ( −2) − 1 + 1 22 + (− 1)2

4 5

= 4 5

Oleh karena d1 =

2 ⋅ (−2) + 2 ⋅ 1 − 1 2

2

2 +2

Oleh karena d4 =


= 3

2 2

3 2 2

< r = 3 maka garis g4

Jarak titik P(–2, 1) ke garis g5: 3x – 4y – 5 = 0: d5 =

3 ⋅ (− 2) − 4 ⋅ 1 − 5 32 + (−4)2

=3

Oleh karena d 5 = r = 3 maka garis g 5 menyinggung lingkaran L. 10. Jawaban: c Lingkaran x2 + y 2 + px + 8y + 9 = 0 berpusat di titik – p, –4  .   r =

=

( ) 1 2 p 4

+4 –9 +7

Lingkaran menyinggung sumbu X maka r = | ordinat pusat |

84

r =

2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 1+ 1 2

2

2 + (−3)

=

2 13

jari 13 adalah: 2)2

+ (y –


1)2

2  2  =    13 

4

⇔ x2 – 4x + 4 + y 2 – 2y + 1 = 13 ⇔ 13x2 + 13y2 – 52x – 26y + 52 + 13 = 4 ⇔ 13x2 + 13y2 – 52x – 26y + 61 = 0 12. Jawaban: b Persamaan lingkaran: x2 + y2 + py + q = 0. Diperoleh A = 0 dan B = p. 1 1  1  Pusat lingkaran: – 2 A, – 2 B = 0, – 2 p .     Lingkaran menyinggung garis : 3x + 4y – 2 = 0 maka r = jarak titik pusat ke garis .

r=

1

(

)

3⋅0 + 4⋅ − 2p −2 32 + (4)2

−2p − 2 5

−2p − 2 2 5 2

1 p2 4

p2 = 9

11. Jawaban: d Lingkaran menyinggung garis g: 2x – 3y + 1 = 0 maka r = jarak titik pusat (2, 1) ke garis g

⇔ 22 =

2

+ 16 – 9 =

1 4

p2 = 36 p =±6 Jadi, pusat lingkaran adalah (3, –4) atau (–3, –4).

2=

1 2

1 2 p 2

p2 + 7 = 16

⇔ ⇔ ⇔

(x –

memotong lingkaran L. e.

1 4

 + 7  = |–4|2 

2

Jarak titik P(–2, 1) ke garis g4: 2x + 2y – 1 = 0: d4 =

2

1 p2 4

Persamaan lingkaran berpusat di (2, 1) dan berjari-

memotong lingkaran L. d.

 ⇔  

+ 7 = |–4|

⇔

3 2

Oleh karena d1 =

1 p2 4

⇔ 4 = 4p +258p + 4 ⇔ 4p2 + 8p + 4 = 100 ⇔ 4p2 + 8p – 96 = 0 ⇔ p2 + 2p – 24 = 0 ⇔ (p + 6)(p – 4) = 0 ⇔ p + 6 = 0 atau p – 4 = 0 ⇔ p = –6 atau p = 4

13. Jawaban: b x – 2y = 5 ⇔ x = 5 + 2y Substitusi x = 5 + 2y ke persamaan lingkaran x2 + y2 – 4x + 8y + 10 = 0 diperoleh: (5 + 2y)2 + y2 – 4(5 + 2y) + 8y + 10 = 0 ⇔ 25 + 20y + 4y2 + y2 – 20 – 8y + 8y + 10 = 0 ⇔ 5y2 + 20y + 15 = 0 ⇔ y2 + 4y + 3 = 0 ⇔ (y + 3)(y + 1) = 0 ⇔ y1 = –3 atau y2 = –1 y1 = –3 ⇒ x1 = 5 + 2(–3) = –1 ⇒ A(–1, –3) y2 = –1 ⇒ x2 = 5 + 2(–1) = 3 ⇒ B(3, –1) Panjang ruas garis AB =

(3 –(–1))2 + (–1–(–3))2

=

42 + 22 = 16 + 4 =

P2 r2 r 2

r1

α

b.

3

(x –

+ (y –

3

=

3

3 ) dan per-

r2

(1 − (−3))2 + ( 3 − 3)2 42 + 02

Pusat O(0, 0) Jari-jari: r = 2 × 10 = 5 Persamaan lingkaran: x2 + y2 = 52 ⇔ x2 + y2 = 25 Pusat (2, 1): (x – 2)2 + (y – 1)2 = r2 Melalui (0, 4): (0 – 2)2 + (4 – 1)2 = r2 ⇔ r2 = (–2)2 + 32 = 4 + 9 = 13 Persamaan lingkaran: (x – 2)2 + (y – 1)2 = 13 ⇔ x2 – 4x + 4 + y2 – 2y + 1 – 13 = 0 ⇔ x2 + y2 – 4x – 2y – 8 = 0

1 1 Pusat: – 2 (4), – 2 (–6)  = (–2, 3)  

Jari-jari: r =

(−2)2 + (3)2 − (−35)

=

4 + 9 + 35

=

48

= 4 3 satuan 1

Lingkaran juga menyinggung garis y = 3 x 3 . 1

3).

2. L: x2 + y2 + 4x – 6y – 35 = 0 a. A = 4; B = –6; C = –35

berarti ordinat titik pusat adalah 3 . Kedua lingkaran menyinggung sumbu Y (x = 0), maka absis pusatnya sama dengan jari-jari (r).

)2

3 ) dan P2(1,

1

Titik pusat kedua lingkaran pada garis y =

r)2

4

b2 – 4ac = 0 ⇒ (2r + 2)2 – 4 · 3 · 3 = 0 ⇔ 4r2 + 8r + 4 – 16 = 0 ⇔ 4r2 + 8r – 12 = 0 ⇔ r2 + 2r – 3 = 0 ⇔ (r + 3)(r – 1) = 0 ⇔ r = –3 atau r = 1

1. a.

X

X

Diperoleh pusat lingkaran adalah (r, samaannya:

Oleh karena lingkaran menyinggung garis, maka diskriminan (D) = 0, yaitu

B. Uraian

T2

O

– (2r + 2)x + 3 = 0

=4

y= 3x 3

y=

4 2 x 3

=

1

P

⇔

y = 2x

Y

r1

1

⇔ x2 – 2rx + r2 + 3 x2 – 2x + 3 = r 2

P1P2 =

15. Jawaban: c

P1

2 3  = r2 

Diperoleh titik pusat P1(–3, Jarak kedua titik pusat:

20 = 2 5

14. Jawaban: e Y Lingkaran L menyinggung sumbu Y di titik (0, 6) dan pusatnya di r garis y = 2x. 6 ------- P y = 6 ⇔ 2x = 6 ⇔ x=3 Pusat lingkaran P(3, 6) 0 3 dan jari-jari 3. Jadi, persamaan lingkaran L adalah (x – 3)2 + (y – 6)2 = 32 ⇔ x2 – 6x + 9 + y2 – 12y + 36 = 9 ⇔ x2 + y2 – 6x – 12y + 36 = 0

1 (x – r)2 + –  3 x 3 – 

Jadi, koordinat pusat (–2, 3) dan jari-jari 4 3 satuan.

Substitusi y = 3 x 3 ke persamaan lingkaran: Matematika Kelas XI Program IPA

85

b.

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (–2, 3) dan berjari-jari r =

1 2

+

× 8 = 4 adalah:

⇔ k < –2 5 atau k > 2 5 Jadi, batas-batas nilai k adalah k < –2 5 atau

3. x2 + y2 – 8x – 12y + n = 0 a. Lingkaran melalui titik (–1, 3) berarti: (–1)2 + 32 – 8(–1) – 12(3) + n = 0 ⇔ 1 + 9 + 8 – 36 + n = 0 ⇔ n = 18 2 2 b. x + y – 8x – 12y + 18 = 0

k>2 5. 5.

Y 3 2 1 –2 –1 0 –1

1 1  Pusat: – 2 (–8), – 2 (–12) = (4, 6)  

=

c.

–4 –5 –6

16 + 36 − 18

16 + 36 =

=

2(4) − (6) − 5 22 + ( − 1)2 8−6−5 4 +1

=

Oleh karena s =

5

3 5

=

3 5

×

5 5

=

3 5

5

5 ≈ 1,34 < r = 34 ≈ 5,83

maka garis y = 2x – 5 memotong lingkaran di dua titik. 4. : 2x + y = k ⇔ y = k – 2x Substitusi  ke persamaan lingkaran L: x2 + (k – 2x)2 = 4 ⇔ x2 + k2 – 4kx + 4x2 = 4 ⇔ 5x2 – 4kx + k2 – 4 = 0 Syarat garis  tidak memotong lingkaran L yaitu D < 0. ⇒ (–4k)2 – 4 · 5 · (k 2 – 4) < 0 ⇔ 16k2 – 20k2 + 80 < 0 ⇔ –4k2 + 80 < 0 ⇔ k2 – 20 > 0

⇔ (k – 20 )(k + 20 ) > 0 ⇔ (k – 2 5 )(k + 2 5 ) > 0

86


r

r

•

P(r, –5)

3x + 4y = 0

Titik pusat lingkaran: P(r, –5). Panjang jari-jari lingkaran = jarak titik P ke garis 3x + 4y = 0. 3r + 4 ⋅ (−5) r = 32 + 42

⇔ r2 = −3

X

52

Oleh karena d > r maka titik O(0, 0) berada di luar lingkaran. Jarak garis y = 2x – 5 ⇔ 2x – y – 5 = 0 ke titik pusat lingkaran (4, 6) adalah: s =

5 6 7 8

–3

42 + 62 − 18

42 + 62 =

1 2 3 4

–2

= 34 Jarak titik O(0, 0) ke titik pusat lingkaran (4, 6). d=

2 5

–2 5

(x + 2)2 + (y – 3)2 = 42 ⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 16 ⇔ x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0

Jari-jari: r =

+

–

3r − 20 5

2

(3r − 20)2 25

⇔ r2 =

⇔ 25r2 = 9r2 – 120r + 400 ⇔ 16r2 + 120 r – 400 = 0 ⇔ 2r2 + 15r – 50 = 0 ⇔ (2r – 5)(r + 10) = 0 ⇔

5

r = 2 atau r = –10 5 Oleh karena r > 0 maka r = 2 .

5

Persamaan lingkaran berpusat di P( 2 , 5) dan 5 berjari-jari 2 : 2 5    x –  + (y – 5)2 =  2

5   2

2

25

⇔ x2 – 5x + 4 + y2 – 10y + 25 = ⇔ x2 + y2 – 5x – 10y + 25 = 0 Jadi, persamaan lingkarannya: x2 + y2 – 5x – 10y + 25 = 0.

25 4

A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c x2 + y2 = 20 (–2, 4) ⇒ (–2)2 + 42 = 4 + 16 = 20 Titik (–2, 4) terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgungnya: –2x + 4y = 20 ⇔ 2x – 4y + 20 = 0 ⇔ x – 2y + 10 = 0 2. Jawaban: e (x + 2)2 + (y – 3)2 = 40 (4, 1) → (4 + 2)2 + (1 – 3)2 = 40 62 + (–2)2 = 40 36 + 4 = 40 Titik (4, 1) terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgungnya: (4 + 2)(x + 2) + (1 – 3)(y – 3) = 40 ⇔ 6(x + 2) – 2(y – 3) = 40 ⇔ 6x + 12 – 2y + 6 = 40 ⇔ 6x – 2y = 22 ⇔ 3x – y = 11 x = 0 ⇒ 0 – y = 11 ⇔ y = –11 Jadi, koordinat A(0, –11). 3. Jawaban: a Titik (5, 1) terletak pada lingkaran L karena 52 + 12 – 4 · 5 + 6 · 1 – 12 = 0. Persamaan garis singgung pada lingkaran L di titik (5, 1): 5x + y – 2(x + 5) + 3(y + 1) – 12 = 0 ⇔ 5x + y – 2x – 10 + 3y + 3 – 12 = 0 ⇔ 3x + 4y – 19 = 0 4. Jawaban: a Lingkaran berpusat di titik (3, 5) dan berjari-jari 5. Persamaan lingkaran: (x – 3)2 + (y – 5)2 = 25 Lingkaran memotong sumbu Y, berarti: x = 0 ⇒ (–3)2 + (y – 5) 2 = 25 ⇔ 9 + (y – 5)2 = 25 ⇔ (y – 5)2 = 16 ⇔ y – 5 = ±4 ⇔ y = 5± 4 ⇔ y = 5 + 4 = 9 atau y = 5 – 4 = 1 Diperoleh koordinat A(0, 1). Persamaan garis singgung di titik A: (0 – 3)(x – 3) + (1 – 5)(y – 5) = 25 ⇔ –3(x – 3) + (–4)(y – 5) = 25 ⇔ –3x + 9 – 4y + 20 = 25 ⇔ 3x + 4y – 4 = 0

5. Jawaban: a Persamaan lingkaran: x2 + y2 = 10. Titik (4, 2) terletak di luar lingkaran. Persamaan garis kutub: 4x + 2y = 10 ⇔ y = 5 – 2x Substitusi y = 5 – 2x ke persamaan lingkaran: x2 + (5 – 2x)2 = 10 ⇔ x2 + 25 – 20x + 4x2 – 10 = 0 ⇔ 5x2 – 20x + 15 = 0 ⇔ x2 – 4x + 3 = 0 ⇔ (x – 1)(x – 3) = 0 ⇔ x = 1 atau x = 3 Untuk x1 = 1 maka y1 = 5 – 2 · 1 = 3 Untuk x2 = 3 maka y2 = 5 – 2 · 3 = –1 Diperoleh titik singgung (1, 3) dan (3, –1). Persamaan garis singgung lingkaran di titik (1, 3) adalah x + 3y = 10. Persamaan garis singgung lingkaran di titik (3, –1) adalah 3x – y = 10. Jadi, persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 10 yang ditarik dari titik (4, 2) adalah x + 3y = 10 atau 3x – y = 10. 6. Jawaban: e Titik A(0, 1) terletak di luar lingkaran L karena (0 – 2)2 + (1 + 1)2 > 4. Persamaan garis kutub titik A(0, 1) terhadap lingkaran L: (0 – 2)(x – 2) + (1 + 1)(y + 1)= 4 ⇔ –2x + 4 + 2y + 2 = 4 ⇔ –2x + 2y = –2 ⇔ x–y =1 ⇔ y =x–1 Substitusi y = x – 1 ke persamaan lingkaran L: (x – 2)2 + (x – 1 + 1) 2 = 4 ⇔ x2 – 4x + 4 + x2 – 4 = 0 ⇔ 2x2 – 4x = 0 ⇔ 2x(x – 2) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 2 Untuk x1 = 0 maka y1 = 0 – 1 = –1. Untuk x2 = 2 maka y2 = 2 – 1 = 1 Diperoleh titik singgung (0, –1) dan (2, 1). 7. Jawaban: d x2 + y2 = 45 Persamaan garis singgung yang bergradien m = 2: y = 2x ±

45 22 + 1

⇔ y = 2x ± 45 ⋅ 5 ⇔ y = 2x ± 15 Jadi, persamaan garis singgungnya y = 2x + 15 atau y = 2x – 15. Matematika Kelas XI Program IPA

87

8. Jawaban: b x2 + y2 – 4x + 3y – 23 = 0 (–1, 3) ⇒ (–1)2 + 32 – 4(–1) + 3 · 3 – 23 = 1 + 9 + 4 + 9 – 23 = 0 Diperoleh (–1, 3) terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgung di titik (–1, 3): 4

3

–1x + 3y – 2 (x – 1) + 2 (y + 3) – 23 = 0

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

3

9

–x + 3y – 2x + 2 + 2 y + 2 – 23 = 0 –6x + 9y – 33 = 0 9y = 6x + 33 2

11

y = 3x + 3

Jadi, gradiennya

2 . 3

9. Jawaban: a Garis y – 2x + 5 = 0 mempunyai gradien m = 2. Titik pusat lingkaran: P(3, –5). Jari-jari lingkaran: r = 80 Misalkan gradien garis singgung lingkaran adalah m1. Oleh karena garis singgung lingkaran sejajar garis y – 2x + 5 = 0 maka m = m 1 = 2. Persamaan garis singgung lingkaran: y – yP = m(x – x P) ± r 1 + m2

⇔ y – (–5) = 2(x – 3) ± 80 · 1 + 22 ⇔ y + 5 = 2x – 6 ± 80 ⋅ 5 ⇔ y = 2x – 11 ± 400 ⇔ y = 2x – 11 ± 20 10. Jawaban: a Substitusi y = 3 ke persamaan garis L: (x + 1)2 + (3 – 3)2 = 9 ⇔ (x + 1)2 – 9 = 0 ⇔ (x + 1 – 3)(x + 1 + 3) = 0 ⇔ (x – 2)(x + 4) = 0 ⇔ x – 2 = 0 atau x + 4 = 0 ⇔ x = 2 atau x = –4 Diperoleh titik potong A(2, 3) dan B(–4, 3). Persamaan garis singgung di titik A(2, 3) pada lingkaran L: (2 + 1)(x + 1) + (3 – 3)(y – 3) = 9 ⇔ 3x + 3 = 9 ⇔ x=2 Persamaan garis singgung di titik B(–4, 3) pada lingkaran L: (–4 + 1)(x + 1) + (3 – 3)(y – 3) = 9 ⇔ –3x – 3 = 9 ⇔ x = –4

88


11. Jawaban: d Titik (2, –1) terletak pada lingkaran L 1. Garis singgung lingkaran L1 di titik (2, –1): : (2 – 1)(x – 1) + (–1 + 0)(y + 0) = 2 ⇔ x –1 –y –2 = 0 ⇔ x–y–3 =0 Garis  menyinggung lingkaran L2 maka jari-jari lingkaran L2 sama dengan jarak titik pusat R(3, 2) ke garis . r2 =

1⋅ 3 − 1⋅ 2 − 3 2

2

1 + (−1)

=

−2 2

=

2 2

=

2

Persamaan lingkaran L2: (x – 3)2 + (y – 2)2 = r22 ⇔ x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = ( 2 )2 ⇔ x2 + y2 – 6x – 4y + 11 = 0 12. Jawaban: e Misal titik singgung lingkaran L: (x – 2) 2 + (y + 1)2 = 13 adalah T(–1, b) maka: (–1 – 2)2 + (b + 1)2 = 13 ⇔ 9 + b2 + 2b + 1 – 13 = 0 ⇔ b2 + 2b – 3 = 0 ⇔ (b + 3)(b – 1) = 0 ⇔ b + 3 = 0 atau b – 1 = 0 ⇔ b = –3 atau b=1 Diperoleh titik singgung T1(–1, –3) dan T2(–1, 1). Persamaan garis singgung di titik T 1(–1, –3) pada lingkaran L: (–1 – 2)(x – 2) + (–3 + 1)(y + 1) = 13 ⇔ –3x + 6 – 2y – 2 = 13 ⇔ –3x – 2y – 9 = 0 ⇔ 3x + 2y + 9 = 0 Persamaan garis singgung di titik T2(–1, 1) pada lingkaran L: (–1 – 2)(x – 2) + (1 + 1)(y + 1) = 13 ⇔ –3x + 6 + 2y + 2 = 13 ⇔ –3x + 2y – 5 = 0 ⇔ 3x – 2y + 5 = 0 13. Jawaban: c Misalkan L: x2 + y2 + 3x – 4y = 0. 3  Titik pusat lingkaran L: P – 2 , 2 .  

Jari-jari lingkaran L: r =

− 3  2  

=

9 4

=

25 4

2

+ 22 − 0

+4 5

= 2 Titik A(1, –2) di luar lingkaran L. Garis AB merupakan garis singgung lingkaran L yang ditarik dari titik A.

⇔

Y 4 P B2

r

3 2 1

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2

=

r

B1

1

1 2 3 4 5

X

A

B. Uraian

1. x2 + y2 – 10x + 6y – 66 = 0 ⇔ x2 – 10x + 25 + y2 + 6y + 9 = 66 + 25 + 9 ⇔ (x – 5)2 + (y + 3)2 = 100 a.

(–1, 5) → (–1 – 5)2 + (5 + 3)2 = 100 Titik (–1, 5) terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgung di titik (–1, 5) (–1 – 5)(x – 5) + (5 + 3)(y + 3) = 100 ⇔ –6x + 30 + 8y + 24 – 100 = 0 ⇔ –6x + 8y – 46 = 0 ⇔ 3x – 4y + 23 = 0

b.

Garis singgung dengan m = 3

(x A − xP )2 + (y A − yP )2 − r 2 2

5 5 =   + ( − 4)2 −   = 16 = 4 2 2 Jadi, panjang garis AB adalah 4.

14. Jawaban: c Persamaan garis singgung pada lingkaran

4

⇔ y = –3x ± r 4

2. a.

b.

24 ± 5

Substitusi ke persamaan lingkaran: x2 + (mx)2 – 6x + 2(mx) + 5 = 0 ⇔ (1 + m2)x2 + 2(m – 6)x + 5 = 0 Garis y = mx menyinggung lingkaran, berarti: D=0 ⇒ (2m – 6)2 – 4(1 + m2) · 5 = 0 ⇔ 4m2 – 24m + 36 – 20 – 20m2 = 0 ⇔ –16m2 – 24m + 16 = 0 ⇔ 2m2 + 3m – 2 = 0

25

20

50

atau 4x – 3y – 29 – 50 = 0 ⇔ 4x – 3y + 21 = 0 atau 4x – 3y – 79 = 0

5r

15. Jawaban: d x2 + y2 – 6x + 2y + 5 = 0 Garis melalui O(0, 0): y = mx

4

y + 3 = 3 (x – 5) ± 10 9 4

25 9

r= = ±4,8 Jadi, nilai r = 4,8 atau r = –4,8.

 4 100   + 1 3

⇔ y+ 3 = 3x – 3 ± 3 ⇔ 3y + 9 = 4x – 20 ± 50 ⇔ 4x – 3y – 29 ± 50 = 0 ⇔ 4x – 3y – 29 + 50 = 0

16 9

Titik M(9, –4) terletak pada garis singgung maka: 3 · (–4) = –4 · 9 ± 5r ⇔ –12 = –36 ± 5r ⇔ 24 = ± 5r

⇔

⇔

2

⇔ y = –3x ± 3 ⇔ 3y = –4x ± 5r

2

4

4

4 ⇔ y = –3x ± r 1 +

4

y + 3 = 3 (x – 5) ±

x2 + y2 = r2 dengan gradien m = – 3 : 4  4 y = – 3 x ± r 1+  − 3   

m = 2 atau m = –2

Jadi, gradiennya 2 dan –2.

(AP)2 − r 2

2

1

⇔

Garis singgung dari titik A menyinggung lingkaran L di titik B 1 dan B2. Panjang garis AB1 = AB2 = s. s =

(2m – 1)(m + 2) = 0

c.

Lingkaran berpusat di titik O(0, 0): x2 + y2 = r2 (4, 8) ⇒ 42 + 82 = r2 ⇔ r2 = 16 + 64 = 80 Persamaan lingkaran: x2 + y2 = 80 Garis singgung di titik A(4, 8) x1x + y1y = 80 ⇒ 4x + 8y = 80 ⇔ x + 2y = 20 x + 2y = 20 ⇔ 2y = –x + 20 1

⇔ y = – 2 x + 10 1

Diperoleh gradien garis singgung: m = – 2

Persamaan garis singgung yang bergradien 1

m = – 2 adalah: 1

y = –2x ±

2

1 80   + 1  2

1

⇔ y = – 2 x ± 80

5 4

1

⇔ y = – 2 x ± 10 Matematika Kelas XI Program IPA

89

Diperoleh persamaan garis singgung 1 2

1 2

y = – x + 10 dan y = – x – 10. Persamaan garis singgung yang sejajar garis 1 2

x + 2y = 20 adalah y = – x + 10. 3. L: x2 + y2 + 4x – 2y – 8 = 0 g: 2x + y = 5 ⇔ y = 5 – 2x a. Substitusi y = 5 – 2x ke persamaan lingkaran L. x2 + (5 – 2x)2 + 4x – 2(5 – 2x) – 8 = 0 ⇔ 5x2 – 12x + 7 = 0 ⇔ (x – 1)(5x – 7) = 0 7

⇔ x = 1 atau x = 5 x = 1 ⇒ y = 5 – 2(1) = 3 7

25

7

14

11

x = 5 ⇒ y = 5 – 2  = 5 – 5 = 5 5 Jadi, koordinat titik potongnya A(1, 3) dan 7

b.

11

B( 5 , 5 ). Garis singgung di titik A(1, –3). x1x + y1y + 2(x + x1) – (y + y1) – 8 = 0 ⇒ 1x + 3y + 2(x + 1) – (y + 3) – 8 = 0 ⇔ x + 3y + 2x + 2 – y – 3 – 8 = 0 ⇔ 3x + 2y – 9 = 0 7

11

Garis singgung di titik B( 5 , 5 ). x1x + y1y + 2(x + x1) – (y + y1) – 8 = 0

⇒

7 x 5

11

7

11

11 y 5

14 5

11 5

⇔ + + 2x + –y– –8=0 ⇔ 7x + 11y + 10x + 14 – 5y – 11 – 40 = 0 ⇔ 17x + 69 – 37 = 0 c.

Eliminasi y pada kedua garis singgung: 3x + 2y – 9 = 0 × 3 9x + 6y = 27 17x + 6y – 37 = 0 × 1 17x + 6y = 37 –––––––––––– – –12x = –10

⇔

5

x= 6

5

Substitusi x = 6 3x + 2y – 9 = 0 ⇒

5

3( 6 ) + 2y – 9 = 0

⇔ ⇔ ⇔

5 2

+ 2y – 9 = 0 13

2y = 2 13 y= 4

Jadi, koordinat titik potong garis singgung 5

90


x = – 13 atau x = –6

68  67 maka y1 = –8 · –  – 47 = – . 13  13  Untuk x2 = –6 maka y2 = –8 · (–6) – 47 = 1.

Untuk x1 = –

68 13

68 67 Diperoleh titik singgung A  – , –  da n 13 13   B(–6, 1). Persamaan garis singgung lingkaran L1 di titik A: 68 13

x–

68  67   y + 5 x –  + 2 y – 13  + 19 = 0 13    

67 13

68 ⇔ – 13 x–

67 13

340

134

y + 5x – 13 + 2y – 13 + 19 = 0

⇔ –68x – 67y + 65x – 340 + 26y – 134 + 247 = 0 ⇔ –3x – 41y – 227 = 0 ⇔ 3x + 41y + 227 = 0 Persamaan garis singgung lingkaran L1 di titik B: g2: –6x + y + 5(x – 6) + 2(y + 1) + 19 = 0 ⇔ –6x + y + 5x – 30 + 2y + 2 + 19 = 0 ⇔ –x + 3y – 9 = 0 ⇔ x – 3y + 9 = 0 Jari-jari lingkaran L 2 sama dengan jarak titik P(4, –1) ke garis singgung g1 atau g2. Jari-jari lingkaran L2: r2 =

4 − 3 ⋅ (− 1) + 9 2

2

1 + (− 3)

=

16 10

Persamaan lingkaran L2: (x – 4)2 + (y + 1)2 = r22

⇔ x2 – 8x + 16 + y2 + 2y + 1 =

13

( 6 , 4 ).

68

⇔

g1: –

+ 5 y + 2(x + 5 ) – (y + 5 ) – 8 = 0

7 x 5

4. Titik T(–21, –4) di luar lingkaran L1 karena (–21)2 + (–4)2 + 10 · (–21) + 4(–4) + 19 = 250 > 0. Persamaan garis kutub di titik T(–21, –4) terhadap lingkaran L1: –21x – 4y + 5(x – 21) + 2(y – 4) + 19 = 0 ⇔ –21x – 4y + 5x – 105 + 2y – 8 + 19 = 0 ⇔ –16x – 2y – 94 = 0 ⇔ 8x + y + 47 = 0 ⇔ y = –8x – 47 Menentukan titik singgung pada L1. Substitusi y = –8x – 47 ke persamaan L 1: x2 + (–8x – 47)2 + 10x + 4(–8x – 47) + 19 = 0 ⇔ x2 + 64x2 + 752x + 2.209 + 10x – 32x – 188 + 19 = 0 ⇔ 65x2 + 730x + 2.040 = 0 ⇔ 13x2 + 146x + 408 = 0 ⇔ (13x + 68)(x + 6) = 0

⇔

43

256 10

x2 + y2 – 8x + 2y – 5 = 0

5. Titik pusat lingkaran L1: P1(–2, 2). Jari-jari lingkaran: r 1 = 5. Titik pusat lingkaran L2: P2(10, –7). Jari-jari lingkaran: r 2 = 10. Y



P1 2 –2

X

10

Q

–7

4

y + 1 = 3 (x – 2) ⇔ 3y + 3 = 4x – 8 ⇔ 4x – 3y – 11 = 0 Jadi, persamaan garis singgung di titik singgung lingkaran L1 dan L2 adalah 4x – 3y – 11 = 0.

P2

A. Pilihan Ganda

Lingkaran L1 dan L2 bersinggungan di titik Q. Garis  adalah garis singgung persekutuan lingkaran L1 dan L2. Gradien garis P1P2. yP1 − yP2 2 − (−7) 9 3 m1 = x − x = −2 − 10 = – 12 = – 4 P1 P2 Misalkan gradien garis  adalah m. Garis  tegak lurus garis P1P2 maka 3

4

m1m = –1 ⇒ – 4 m = –1 ⇔ m = 3 Menentukan koordinat titik Q. L1: x2 + y2 + 4x – 4y – 17 = 0 L2: x2 + y2 – 20x + 14y + 49 = 0 ––––––––––––––––––––––––– – 24x – 18y – 66 = 0 ⇔ 4x – 3y – 11 = 0 4x − 11 ⇔ y= 3 Substitusi y =

4x − 11 3

ke persamaan L1:

4x − 11 2 4x − 11 x2 +  3  + 4x – 4  3  – 17 = 0     2 16 44 16x 88x 121 − + ⇔ x2 + + 4x – x + – 17 = 0 3 3 9

⇔ 9x2 + 16x2 – 88x + 121 + 36x – 48x + 132 – 153 = 0 ⇔ 25x2 – 100x + 100 = 0 ⇔ x2 – 4x + 4 = 0 ⇔ (x – 2)2 = 0 ⇔ x=2 Substitusi x = 2 ke y = y=

4 ⋅ 2 − 11 3

4x − 11 : 3

= –1

Diperoleh koordinat titik Q(2, –1). Persamaan garis yang bergradien m dan melalui titik (x1, y1): y – y1 = m(x – x 1) Garis  bergradien

4 3

dan melalui titik Q(2, –1)

1. Jawaban: c Lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Koordinat titik pusat lingkaran (x + 5) 2 + (y – 3)2 = 18 adalah (–5, 3). 2. Jawaban: d Persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0): x2 + y2 = r2 (–4, 7) ⇒ (–4)2 + 72 = r2 ⇔ r2 = 16 + 49 = 65 Jadi, persamaan lingkaran: x2 + y2 = 65. 3. Jawaban: b Pusat A(–2, 1) dan r = 4. Persamaan lingkaran: (x + 2)2 + (y – 1)2 = 42 ⇔ x2 + 4x + 4 + y2 – 2y + 1 = 16 ⇔ x2 + y2 + 4x – 2y – 11 = 0 4. Jawaban: e Dari gambar diperoleh titik pusat lingkaran (2, 1) dan jari-jarinya r = 3. Persamaan lingkaran: (x – 2)2 + (y – 1)2 = 32 ⇔ (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9 5. Jawaban: e x2 + y2 + 8x – 12y + 3 = 0 Jari-jari lingkaran: 2 2 r =  − 1 (8)  +  − 1 (−12) − 3

 2

=



 2

16 + 36 − 3 =



49 = 7

6. Jawaban: c 1  Titik pusat lingkaran: P 2, – 2 p .   Lingkaran menyingung sumbu Y maka r = |absis titik pusat| 2

⇒ 22 +  − 1 p  − 25 = 2 2 



maka persamaan garis :


91

2

4 + p − 25 = 2

⇔

4

p2 4

⇔

– 21 = 22 p2 4

⇔ ⇔ ⇔

= 25

p2 = 100 p = ± 100 = ±10

Jadi, titik pusat lingkaran P 1(2, –5) atau P2(2, 5). 7. Jawaban: e 1 Pusat lingkaran: – 2 p, –2  .   Lingkaran menyinggung sumbu X maka r = | ordinat titik pusat | = | –2 | = 2 2

r=

⇒

 − 1 p  + (−2)2 − 9  2    1 2 p 4

2 =

+4−9

1

⇔

22 = 4 p2 – 5 1 ⇔ 4 p2 = 9 ⇔ p2 = 4 · 9 ⇔ p =±6 Jadi, nilai p = –6 atau p = 6. 8. Jawaban: d Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik pusat R(3, 0) ke garis 2x – y + 9 = 0. r =

2 ⋅ 0 − ( − 1) + 9 2

2

2 + ( − 1)

=

10 5

=2 5

1  Titik pusat lingkaran: Q – 2 p, –2 .   2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

r=

 − 1 p  + (−2)2 + 3  2   

4=

1 2 p 4

+4+3

1

42 = 4 p2 + 7 1 2 p 4

= 16 – 7

p2 = 9 · 4 p=±6 Jadi, titik pusat lingkaran (–3, –2) atau (3, –2). 10. Jawaban: a x2 + y2 – 7x + 3y + a = 0 (2, –7) ⇒ 22 + (–7)2 – 7(2) + 3(–7) + a = 0 ⇔ 4 + 49 – 14 – 21 + a = 0 ⇔ a = –18

92

12. Jawaban: d 2x – y + 5 = 0 ⇔ y = 2x + 5 x2 + y2 = p ⇒

x2 + (2x + 5)2 = p ⇔ + + 20x + 25 – p = 0 2 ⇔ 5x + 20x + 25 – p = 0 Garis menyinggung lingkaran, berarti: D = 0 ⇒ 202 – 4 · 5(25 – p) = 0 ⇔ 400 – 500 + 20p = 0 ⇔ 20p = 100 ⇔ p=5 x2


4x2

13. Jawaban: c Jari-jari lingkaran merupakan jarak titik pusat (–2, 3) dengan garis singgungnya 4x – 3y + 7 = 0. r=

4(−2) − 3(3) + 7 42 + (−3)2

=

−8 − 9 + 7 25

=

−10 5

= |–2| = 2

Jadi, diameter lingkaran: d = 2r = 2 × 2 = 4. 14. Jawaban: b 2x + 3y = 9 ⇔ 3y = 9 – 2x 2

⇔

9. Jawaban: d

⇒

11. Jawaban: c x2 + y2 – 8x + 5y – 17 = 0 ⇒ 0 + 0 – 0 + 0 – 17 = –17 < 0 (0, 0) ⇒ 16 + 1 – 32 + 5 – 17 = –27 < 0 (4, 1) (–4, 2) ⇒ 16 + 4 + 32 + 10 – 17 = 45 > 0 (4, –2) ⇒ 16 + 4 – 32 – 10 – 17 = –39 < 0 (–2, –2) ⇒ 4 + 4 + 16 – 10 – 17 = –3 < 0 Diperoleh titik (0, 0), (4, 1), (4, –2), dan (–2, –2) berada di dalam lingkaran serta titik (–4, 2) di luar lingkaran.

y=3– 3x Substitusi ke persamaan lingkaran: 2 2 2 x2 +  3 – 3 x  + 3x – 3  3 – 3 x  – 16 = 0     4

⇔ x2 + 9 – 4x + 9 x2 + 3x – 9 + 2x – 16 = 0 13

⇔ 9 x2 + x – 16 = 0 ⇔ 13x2 + 9x – 144 = 0 ⇔ (13x + 48)(x – 3) = 0 48 ⇔ x = – 13 atau x = 3 2

x = 3 ⇒ y = 3 – 3 (3) = 3 – 2 = 1 Koordinat salah satu titik potongnya (3, 1). 15. Jawaban: b Lingkaran menyinggung sumbu X dan sumbu Y maka panjang jari-jari: r = |absis titik pusat| atau = |ordinat titik pusat|

Misalkan koordinat titik pusat lingkaran adalah P(x1, y1) maka x1 = y1 dan jari-jari lingkaran: r = |y1|. Persamaan lingkaran: (x – x1)2 + (y – y 1)2 = r2 ⇔ (x – x1)2 + (y – y1)2 = y12 Lingkaran melalui titik T(–1, –2) maka: (–1 – y1)2 + (–2 – y1)2 = y12 ⇔ 1 + 2y1 + y12 + 4 + 4y1 + y12 = y12 ⇔ y12 + 6y1 + 5 = 0 ⇔ (y1 + 5)(y1 + 1) = 0 ⇔ y1 + 5 = 0 atau y1 + 1 = 0 ⇔ y1 = –5 atau y1 = –1 Diperoleh koordinat titik pusat P 1(–5, –5) dan P2(–1, –1). Persamaan lingkaran yang berpusat di P1(–5, – 5): (x + 5)2 + (y + 5)2 = 52 ⇔ x2 + 10x + 25 + y2 + 10y + 25 = 25 ⇔ x2 + y2 + 10x + 10y + 25 = 0 Persamaan lingkaran yang berpusat di P2(–1, – 1): (x + 1)2 + (y + 1)2 = 12 ⇔ x2 + 2x + 1 + y2 + 2y + 1 = 1 ⇔ x2 + y2 + 2x + 2y + 1 = 0 16. Jawaban: e Lingkaran yang menyinggung sumbu X dan sumbu Y berpusat di titik (a, a) atau (a, –a) dan berjari jari a. 1) Misalkan titik pusat (a, a) terletak pada garis 4x – 2y = 8, maka: 4a – 2a = 8 ⇔ 2a = 8 ⇔ a=4 Persamaan lingkaran dengan pusat (4, 4) dan berjari-jari 4 adalah (x – 4) 2 + (y – 4)2 = 42. 2) Misalkan titik pusatnya (a, –a) terletak pada garis 4x – 2y = 8, maka: 4a – 2(–a) = 8 ⇔ 4a + 2a = 8 ⇔ 6a = 8 4

⇔

a= 3 4

4

Persamaan lingkaran dengan pusat ( 3 , – 3 ) 4

dan berjari-jari 3 adalah: 4

4

2

(x – 3 )2 + (y + 3 )2 =   .  3 Jadi, persamaan lingkaran yang dimaksud 4

4

adalah (x – 4)2 + (y – 4)2 = 42 dan (x – 3 )2 + 2 4 4 (y + 3 )2 =   .  3

17. Jawaban: c Titik pusat L1: P1(5, –1)

52 + (−1)2 + 10 =

Jari-jari L1: r1 =

36 = 6

Titik pusat L2: P2(–4, 11)

(−4)2 + 112 + 7 =

Jari-jari L2: r2 =

144 = 12

Jarak kedua titik pusat: d = |P1P2| =

(xP1 − xP2 )2 + (yP1 − yP2 )2

=

(5 − (−4))2 + (−1 − 11)2

= 225 = 15 r1 + r2 = 6 + 12 = 18 |r1 – r2| = |6 – 12| = 6 Oleh karena r1 – r2 < d < r1 + r2 maka kedua lingkaran saling berpotongan. 18. Jawaban: d Misalkan lingkaran L 1 di kuadran I maka titik pusatnya: P(2, 2). Y

2 O

r1

r1 P r1

A L1

X

2 L2

Lingkaran L2 bersinggungan di dalam dengan L1 di titik A. Jari-jari L2: r2 = OP + PA =

(2 − 0)2 + (2 − 0)2 + r1

= 8 +2=2 2 +2 Persamaan L2: x2 + y2 = r22 ⇔ x2 + y2 = (2 2 + 2)2 ⇔ x2 + y2 = 8 + 8 2 + 4 ⇔ x2 + y2 = 12 + 8 2 19. Jawaban: c (x – 2)2 + (y + 4)2 = 50 (1, 3) ⇒ (1 – 2)2 + (3 + 4)2 = 1 + 49 = 50 Diperoleh titik (1, 3) terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgung di titik (1, 3):


93

(x1 – 2)(x – 2) + (y1 + 4)(y + 4) = 50 ⇒ (1 – 2)(x – 2) + (3 + 4)(y + 4) = 50 ⇔ –1(x – 2) + 7(y + 4) = 50 ⇔ –x + 2 + 7y + 28 – 50 = 0 ⇔ –x + 7y – 20 = 0 ⇔ x – 7y + 20 = 0

Pusat: (0, 0) dan jari-jari r = 3x + y – 12 = 0 ⇔ y = –3x + 12 Diperoleh gradien m = –3. Persamaan garis singgung: 40 (− 3)

y = –3x ±

40

+1

⇔ y = –3x ± 40 10 ⇔ y = –3x ± 400 ⇔ y = –3x ± 20 Salah satu persamaan garis singgungnya: y = –3x – 20 ⇔ 3x + y + 20 = 0 21. Jawaban: c Misal titik singgung lingkaran L: x2 + y2 – 4x + 8y + 15 = 0 adalah T(a, –2) maka a2 + (–2)2 – 4a + 8 · (–2) + 15= 0 ⇔ a2 + 4 – 4a – 16 + 15 = 0 ⇔ a2 – 4a + 3 = 0 ⇔ (a – 3)(a – 1) = 0 ⇔ a = 3 atau a = 1 Diperoleh titik singgung T1(1, –2) dan T2(3, –2). Persamaan garis singgung di T1 pada lingkaran L: x – 2y –

4 (x 2

+ 1) +

8 (y 2

– 2) + 15 = 0

⇔ x – 2y – 2x – 2 + 4y – 8 + 15 = 0 ⇔ –x + 2y + 5 = 0 ⇔ x – 2y – 5 = 0 Persamaan garis singgung di T2 pada lingkaran L: 4

8

3x – 2y – 2 (x + 3) + 2 (y – 2) + 15 = 0 ⇔ 3x – 2y – 2x – 6 + 4y – 8 + 15 = 0 ⇔ x + 2y + 1 = 0 22. Jawaban: e Selidiki kedudukan titik (0, 0) terhadap lingkaran L: x2 + y2 – 6x – 8y + 20 = 0. Substitusi titik (0, 0) ke persamaan lingkaran L: 02 + 02 – 6 · 0 – 8 · 0 + 20 = 0 + 0 – 0 – 0 + 20 = 20 > 0 Oleh karena hasil substitusi titik (0, 0) ke persamaan lingkaran L lebih dari nol maka titik (0, 0) terletak di luar lingkaran L. 94

6


8

0 · x + 0 · y – 2 (x + 0) – 2 (y + 0) + 20 = 0 ⇔ –3x – 4y + 20 = 0

⇔

20. Jawaban: a Lingkaran: x2 + y2 = 40

2

Terlebih dahulu menentukan persamaan garis kutub titik (0, 0) terhadap lingkaran L:

y=

20 − 3x 4

Substitusi y =

20 − 3x 4

ke persamaan lingkaran L:

20 − 3x  2  20 − 3x  x2 +   – 6x – 8  4  + 20 = 0 4     2 ⇔ x2 + 400 − 120x + 9x – 6x – 40 + 6x + 20 = 0 16

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

16x2 + 400 – 120x + 9x2 – 320 = 0 25x2 – 120x + 80 = 0 5x2 – 24x + 16 = 0 (5x – 4)(x – 4) = 0 5x – 4 = 0 atau x – 4 = 0 4

⇔

x= 5 4

Untuk x1 = 5 maka y1 = Untuk x2 = 4 maka y2 =

atau

20 − 3 ⋅ 45 4

20 − 3 ⋅ 4 4

x=4 3

22

=5– 5 = 5

=2

4 22 Diperoleh titik singgung  5 , 5  dan (4, 2).   Persamaan garis singgung pada lingkaran L:  4 22  (i) Di titik  5 , 5  :   4 22 6  4  8  22  x + 5 y – 2 x + 5  – 2 y + 5  + 20 = 0 5     4

22

12

⇔ 5 x + 5 y – 3x – 5 – 4y – ⇔ 4x + 22y – 15x – 20y = 0 ⇔ –11x + 2y = 0 ⇔ 11x – 2y = 0

88 5

+ 20 = 0

(ii) Di titik (4, 2): 6

8

4x + 2y – 2 (x + 4) – 2 (y + 2) + 20 = 0 ⇔ 4x + 2y – 3x – 12 – 4y – 8 + 20 = 0 ⇔ x – 2y = 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x – 8y + 20 = 0 di titik (0, 0) adalah 11x – 2y = 0 atau x – 2y = 0. 23. Jawaban: c Misalkan koordinat titik P(x 1, y1). Titik P di luar lingkaran L. Garis singgung di titik A melalui AP dan garis singgung di titik B melalui BP. Garis g: 7x – y = 25 merupakan garis kutub dari titik P pada lingkaran L.

Persamaan garis kutub dari titik P pada lingkaran L: x1x + y1y = 25. Sehingga diperoleh x1 = 7 dan y1 = –1. Jadi, koordinat titik P(7, –1). 24. Jawaban: b Lingkaran L berpusat di titik (2, –2), yaitu: (x – 2)2 + (y + 2)2 = r2 Lingkaran L melalui titik (3, –1) berarti: (3 – 2)2 + (–1 + 2)2 = r2 ⇔ r2 = 12 + 12 = 2 Persamaan lingkaran L: (x – 2) 2 + (y + 2) 2 = 2. Persamaan garis singgung di titik (3, –1): (x1 – 2)(x – 2) + (y1 + 2)(y + 2) = 2 ⇔ (3 – 2)(x – 2) + (–1 + 2)(y + 2) = 2 ⇔ x – 2 +y + 2 –2 = 0 ⇔ x + y– 2= 0 25. Jawaban: d

0 + 1 · y – 3(x + 0) + 2(y + 1) – 5 = 0 ⇔ y – 3x + 2y+ 2 – 5 = 0 ⇔ –3x + 3y – 3 = 0 ⇔ x – y+ 1= 0 Persamaan garis singgung di titik B: 0 – 5 · y – 3(x + 0) + 2(y – 5) – 5 = 0 ⇔ –5y – 3x + 2y – 10 – 5 = 0 ⇔ –3x – 3y – 15 = 0 ⇔ x +y +5 = 0 27. Jawaban: d Dari persamaan lingkaran x2 + y2 + 2x – 6y + 6 = 0 diperoleh: Titik pusat lingkaran: P(–1, 3). Jari-jari lingkaran: r = 2. Garis yang sejajar sumbu Y mempunyai persamaan x = a atau x – a = 0. Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P(–1, 3) ke garis x – a = 0.

Y ) 5 , 2 – ( Q

7

r =

1

B1 4 P(5, b) r B2

O

2

X

Garis singgung 1 tegak lurus PB 1 dan garis singgung 2 tegak lurus PB2. Jarak PQ =

PB12 + QB12

(x Q − xP )2 + (yQ − yP )2 =

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

(−2 − 5)2 + (5 − b)2 =

42 + 7 2 65

(–7)2 + (5 – b)2 = 65 49 + 25 – 10b + b2 = 65 b2 – 10b + 9 = 0 (b – 1)(b – 9) = 0 b = 1 atau b = 9 Jadi, nilai b = 1 atau b = 9. 26. Jawaban: d Titik pusat lingkaran: (3, –2). Jari-jari lingkaran: r = 3 2 . Lingkaran memotong sumbu Y maka x = 0. 02 + y2 – 6 · 0 + 4y – 5 = 0 ⇔ y2 + 4y – 5 = 0 ⇔ (y + 5)(y – 1) = 0 ⇔ y + 5 = 0 atau y – 1 = 0 ⇔ y = –5 atau y =1 Diperoleh titik A(0, 1) dan B(0, –5). Persamaan garis singgung di titik A:

−1 − a

= | –1 – a |

12

⇔ r2 = | –1 – a |2 ⇔ 22 = 1 + 2a + a2 ⇔ a2 + 2a – 3 = 0 ⇔ (a + 3)(a – 1) = 0 ⇔ a + 3 = 0 atau a – 1 = 0 ⇔ a = –3 atau a=1 Jadi, persamaan garis singgungnya x = –3 atau x = 1. 28. Jawaban: d g: x + y + c = 0 ⇔ y = –x – c Garis g mempunyai gradien m = –1. Lingkaran L: x2 + y2 = 9 mempunyai jari-jari r = 3. Persamaan garis singgung pada lingkaran L dengan gradien m: : y = mx ± r 1 + m2

Garis g menyinggung lingkaran L maka garis g dan  identik sehingga diperoleh: m = –1 dan c = ± r 1 + m2 c = ± 3 1 + (−1)2 = ± 3 2 Jadi, nilai c = 3 2 atau c = –3 2 . 29. Jawaban: b Misalkan garis singgung lingkaran L di titik A 1

adalah g dan gradiennya mg = – 2 . OA merupakan jari-jari lingkaran L. Persamaan garis yang melalui OA: y−0 yA − 0

x−0

= x −0 A

⇔

y 2

=

x a

⇔

y=

2 a

x


95

Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 4) dan r = 3 adalah: (x – 1)2 + (y – 4)2 = 32 ⇔ x2 – 2x + 1 + y2 – 8y + 16 = 9 ⇔ x2 + y2 – 2x – 8y + 8 = 0

2

Gradien garis yang melalui OA: m = a Garis g tegak lurus garis yang melalui OA maka mg · m = –1 2

⇒ – 21 · a = –1 ⇔ a=1

2. L: x2 + y2 + 6x – 14y + 9 = 0

Jadi, nilai a = 1.

a.

30. Jawaban: a Gradien garis g : m =

yK − yM xK − x M

=

5−1 1− 4

=

Jari-jari: r =

4 – . 3

Misal gradien garis singgung lingkaran adalah m1. Garis singgung lingkaran sejajar garis g maka

= b.

4

m1 = m = – 3 . Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik pusat Q(–1, –2) ke titik A(–4, 1). r =

(−1 − (−4))2 + (−2 − 1)2

=

32 + (−3)2

+ 1) ± 3 2 1 +

4

⇔ y + 2 = – 3 (x + 1) ± 3 2 ·

− 4  3  

2

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran 4x + 3y + 10 + 15 2 = 0 atau 4x + 3y + 10 – 15 2 = 0. B. Uraian

b.

Lingkaran dengan pusat O(0, 0): x2 + y2 = r2 (–2, 5) ⇒ (–2)2 + 52 = r2 ⇔ r2 = 4 + 25 = 29 Dari gambar diperoleh r = 3.

Y

3

4

O

96

1

4

X


Persamaan lingkaran L dengan pusat (–3, 7) dan r = 5. (x + 3)2 + (y – 7)2 = 52 ⇔ x2 + 6x + 9 + y2 – 14y + 49 – 25 = 0 ⇔ x2 + y2 + 6x – 14y + 33 = 0

Koordinat titik pusat: P3  

xP1 + xP2 2

,

yP1 + yP2   2 

0 + 4 −4 + 2 = P3  2 , 2    = P3(2, –1)

5 3

⇔ 3y + 6 = –4x – 4 ± 15 2 ⇔ 4x + 3y + 10 ± 15 2 = 0

1. a.

49 = 7

Jari-jari L 2: r2 = 13 . Oleh karena jari-jari r 1 = r2 maka titik P3 merupakan titik tengah garis P1P2.

y – yQ = m1(x – xQ) ± r 1 + m12

⇒ y+2 =

9 + 49 − 9 =

Jari-jari L 1: r1 = 13 . Titik pusat L2: P2(4, 2).

=3 2 Persamaan garis singgung lingkaran:

4 – 3 (x

(−3)2 + 72 − 9

3. Titik pusat L1: P1(0, –4).

(xQ − x A )2 + (y Q − y A )2

=

1 1 Pusat:  – 2 (6), – (–14)  = (–3, 7) 2  

Jari-jari L3: r3 = 2r1 = 2r2 = 2 13 . Persamaan lingkaran L3: (x – xP )2 + (y – y P )2 = r32 3

3

⇒ (x – + (y + 1) 2 = (2 13 )2 ⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 52 ⇔ x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0 2)2

Jadi, persamaan lingkaran L3: x2 + y2 – 4x + 2y – 47 = 0 4. Titik pusat: P(2, –2). Persamaan garis g yang melalui titik A(5, –6) dan B(6, 1): y − yA x − xA y+6 x−5 yB − y A = xB − x A ⇒ 1 + 6 = 6 − 5 ⇔ y + 6 = 7x – 35 ⇔ 7x – y – 41 = 0 Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P ke garis g . Jari-jari lingkaran: r=

7 ⋅ 2 − (−2) − 41 2

2

7 + (− 1)

=

−25 50

=

5 2

Persamaan lingkaran: (x – xP)2 + (y – yP)2 = r2

⇒

r = 5 2 ) 2 25 2

(x – 2)2 + (y + 2)2 = (

⇔ x2 – 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 9

⇔

x2 + y2 – 4x + 4y – 2 = 0 Jadi, persamaan lingkaran: x2

+

y2

– 4x + 4y –

9 2

=0

2

6. x + y = 25 a. (–3, 4) ⇒ (–3)2 + 42 = 9 + 16 = 25 Titik (–3, 4) terletak pada lingkaran. Persamaan garis singgung di titik (–3, 4) x1x + y1y = 25 ⇒ –3x + 4y = 25 b. Persamaan garis singgung dengan m = 2 y = 2x ±

25 22 + 1

⇔ y = 2x ± 5 5 Diperoleh persamaan garis singgung y = 2x + 5 5 dan y = 2x – 5 5. 7.

Y

1

2

–2

2 0 –2 R

P 2

(2 − (−2))2 + (0 − 2)2

=

42 + (−2)2

=

20 = 2 5

y −y 0 − (−2) m = xP − x Q = =1 2−0 P Q Garis 1 dan 2 adalah garis singgung lingkaran yang tegak lurus garis g . Misal gradien garis 1 dan 2 adalah m1 maka m1m = –1. m1 · 1 = –1 ⇔ m1 = –1 Persamaan garis 1 dan 2:

y – yP = m1(x – xP) ± r 1 + m12

⇒ y – 0 = –1(x – 2) ± 2 5 · 1 + (−1)2 ⇔ y = –x + 2 ± 2 10 Diperoleh persamaan: 1: y = –x + 2 + 2 10

⇔ x + y – 2 – 2 10 = 0 2: y = –x + 2 – 2 10

⇔ x + y – 2 + 2 10 = 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang tegak lurus garis g adalah x + y – 2 – 2 10 = 0 atau x + y – 2 + 2 10 = 0. 8. Ordinat titik pusat = 2. Misalkan koordinat titik pusat lingkaran P(a, 2). Garis g: x – 3y + 5 = 0 melalui titik pusat lingkaran berarti titik P(a, 2) terletak pada garis g. Sehingga: a–3·2+5=0⇔a=1 Diperoleh titik pusat: P(1, 2). Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P(1, 2) ke titik A(0, –1): r =

g Q

=

Gradien garis g :

5. L: x2 + y2 – 2x + py – 12 = 0 a. Titik A(2, –3) terletak pada lingkaran L, berarti: 22 + (–3)2 – 2(2) + p(–3) – 12= 0 ⇔ 4 + 9 – 4 – 3p – 12 = 0 ⇔ 3p = –3 ⇔ p = –1 2 2 b. L: x + y – 2x – y – 12 = 0 B(–4, 0) ⇒ (–4)2 + 02 – 2(–4) – 0 – 12 = 16 + 0 + 8 – 12 = 12 > 0 Sehingga kedudukan titik B di luar lingkaran. C(2, 3) ⇒ 22 + 32 – 2(2) – 3 – 12 = 4 + 9 – 4 – 3 – 12 = –6 < 0 Sehingga kedudukan titik C di dalam lingkaran. 2

(xP − xQ )2 + (yP − y Q )2

X

Jari-jari lingkaran sama dengan jarak titik P(2, 0) ke titik Q(–2, 2).

(xP − x A )2 + (yP − y A )2

=

(1 − 0)2 + (2 − (−1))2

=

12 + 32 =

1+ 9 =

10

⇔ r2 = 10 Persamaan lingkaran: (x – x P)2 + (y – yP)2 = r2 ⇔ (x – 1)2 + (y – 2)2 = 10 Persamaan garis singgung di titik A(0, –1): (0 – 1)(x – 1) + (–1 – 2)(y – 2) = 10 ⇔ –x + 1 – 3y + 6 = 10 ⇔ –x – 3y – 3 = 0 ⇔ x + 3y + 3 = 0 Matematika Kelas XI Program IPA

97

Jadi, persamaan garis singgung di titik A x + 3y + 3 = 0. 9. a.

Jarak garis g dari titik pusat P(2, –4) adalah 2 5 maka:

Bentuk umum persamaan lingkaran: x2 + y2 + Ax + By + C = 0 1 1  Titik pusat lingkaran: P(1, –1) = P – 2 A, – 2 B   Diperoleh:

2 5 =

1

–1= – 2 B ⇔ B = 2

Diperoleh titik singgung M(2, 0) dan N(2, – 2). Persamaan garis singgung di titik M(2, 0): 2x + 0 – (x + 2) + (y + 0) = 0 ⇔ x + y – 2 = 0 Persamaan garis singgung di titik N(2, –2): 2x – 2y – (x + 2) + (y – 2) = 0 ⇔ x – y – 4 = 0 Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik K(3, –1) adalah x + y – 2 = 0 atau x – y – 4 = 0. 10. L: x2 + y2 – 4x + 8y – 4 = 0 Titik pusat: P(2, –4) a. : x – 2y + 6 = 0 ⇔ 2y = x + 6

⇔

1

y = 2x + 3 1

Gradien garis : m = 2 Garis g tegak lurus garis  maka gradien garis g adalah m1 = –2. Persamaan garis g: y = –2x + c dengan c > 0 karena memotong sumbu Y positif. Persamaan garis g menjadi 2x + y – c = 0. 98


−c

2

5 c2

20 = 5 ⇔ c2 = 100 ⇔ c = ± 10 Oleh karena c > 0 maka c = 10. Persamaan garis g : 2x + y – 10 = 0 ⇔ y = –2x + 10

1

b.

22 + 12

⇔ (2 5 )2 = ⇔

1 = – 2 A ⇔ A = –2 Persamaan lingkaran menjadi: x2 + y2 – 2x + 2y + C = 0 Substitusi y = x ke persamaan lingkaran: x2 + x2 – 2x + 2x + C = 0 ⇔ 2x2 + C = 0 Garis y = x menyinggung lingkaran maka D = 0: b2 – 4ac = 0 → 0 – 4 · 2 · C = 0 ⇔ C = 0 Diperoleh persamaan lingkaran: x2 + y2 – 2x + 2y = 0 Titik (3, –1) di luar lingkaran karena 32 + (–1)2 – 2 · 3 + 2 · (–1) = 2 > 0 Persamaan garis kutub titik K(3, –1) terhadap lingkaran: 3x – y – (x + 3) + (y – 1) = 0 ⇔ 2x – 4 = 0 ⇔ x=2 Substitusi x = 2 ke persamaan lingkaran: 22 + y2 – 2 · 2 + 2y = 0 ⇔ 4 + y2 – 4 + 2y = 0 ⇔ y(y + 2) = 0 ⇔ y = 0 atau y = –2

2⋅2− 4 − c

b.

c.

Mencari koordinat titik potong M dan N. Substitusi y = –2x + 10 ke persamaan L: x2 + (–2x + 10)2 – 4x + 8(–2x + 10) – 5 = 0 ⇔ x2 + 4x2 – 40x + 100 – 4x – 16x + 80 – 5 = 0 ⇔ 5x2 – 60x + 175 = 0 ⇔ x2 – 12x + 35 = 0 ⇔ (x – 7)(x – 5) = 0 ⇔ x = 7 atau x = 5 Untuk x1 = 7 maka y1 = –2 · 7 + 10 = –4 Untuk x2 = 5 maka y2 = –2 · 5 + 10 = 0 Diperoleh titik M(7, –4) dan N(5, 0). Persamaan garis singgung L di titik M(7, –4): 7x – 4y – 2(x + 7) + 4(y – 4) – 5 = 0 ⇔ 7x – 4y – 2x – 14 + 4y – 16 – 5 = 0 ⇔ 5x – 35 = 0 ⇔ x=7 Persamaan garis singgung L di titik N(5, 0): 5x – 0 – 2(x + 5) + 4(y + 0) – 5 = 0 ⇔ 5x – 2x – 10 + 4y – 5 = 0 ⇔ 3x + 4y – 15 = 0 Jadi, persamaan garis singgungnya x = 7 dan 3x + 4y – 15 = 0.

Latihan Ulangan Akhir Semester A. Pilihan Ganda

1. Jawaban: c Q1 terletak pada kelas interval 45 – 49. L1 = 44,5; fQ = 5; fk = 6; dan p = 5. 1

Q1

 1 n − fk  Q1  Q1 = L1 +  4 ·p fQ1     1 ⋅ 25 − 6   ·5 = 44,5 +  4   5  

= 44,5 + 0,25 = 44,75 Q3 terletak pada kelas interval 55 – 59. L3 = 54,5; fQ = 3; fk = 18; dan p = 5. 3

Q3

 3 n − fk Q 4 Q3 = L3 +  f 3  Q3

6. Jawaban: c Simpangan rata-rata (mean deviation ) adalah jumlah mutlak setiap simpangan dibagi banyak data. n = 10 4 + 6 +... + 8 +9 – x= = 6,6

  ·p  

 3 ⋅ 25 − 18  = 54,5 +  4  · 5 3   = 54,5 + 1,25 = 55,75 Jangkauan semi antarkuartil:

Qd =

1 (Q3 2

– Q1) =

10

10

1 (55,75 – 44,75) 2

∑ | xi – x |

= 5,5

2. Jawaban: a fi

xi

fixi

2 n 30 36 18 14 6

52 57 62 67 72 77 82

104 57n 1.860 2.412 1.296 1.078 492

SR =

∑ | xi – x |

i=1

n

7. Jawaban: b n1 = 20 → – x1 = 6,50 – n2 = n → x2 = 9 – x = 7,0

67 =

7.242 + 57n 106 + n

⇔ 7.102 + 67n = 7.242 + 57n ⇔ 10n = 140 ⇔ n = 14

n x +n x – x= 1 1 2 2 ⇔ n1 + n2

Jadi, banyak mobil yang berkecepatan 55 – 59 km/jam ada 14. 3. Jawaban: d n1 = 46 → – x1 = 6,5 – n2 = 4 → x2 = 7 46(6,5) + 4(7) 327 n x +n x – x= 1 1 2 2 = = 50 = 6,54 46 + 4 n1 + n2

Jawaban: c

Modus terletak pada kelas interval 155 – 159. Lo = 154,5; d1 = 2; d2 = 2; p = 5 d1

7,0 =

20(6,5) + n ⋅ 9 20 + n

⇔ 140 + 7n = 130 + 9n ⇔ 2n = 10 ⇔ n=5

Jadi, banyak siswa yang nilainya disusulkan ada 5 anak. 8. Jawaban: c Median terletak pada kelas interval 30 – 34. L2 = 29,5; fQ = 10; fk = 15; dan p = 5. 2

 Median: Me = L2 +   

Q2 1 n 2

− fkQ  2   · p fQ2  1  ⋅ 40 − 15   ·5 = 29,5 +  2   10  



Modus: Mo = Lo +  d + d  · p  1 2

= 29,5 + 2,5 = 32

 2 

= 154,5 +  2 + 2  · 5 = 154,5 + 2,5 = 157

9. Jawaban: c 2n + 2n + 1 + 3n − 2 + n + 1 – x= 4

5. Jawaban: b 5 + 8 + 4 + 6 + 10 + 9 – x= =7 6 Σ(x – –x)2 = (5 – 7)2 + (8 – 7)2 + (4 – 7)2 + (6 – 7)2 i

14,0

= 10 = 1,4

Jadi, simpangan rata-rata data tersebut 1,4.

Σf i x i – x = Σf ⇒ i



= |4 – 6,6| + |6 – 6,6| + |7 – 6,6| + |7 – 6,6| + |5 – 6,6| + |6 – 6,6| + |5 – 6,6| + |9 – 6,6| + |8 – 6,6| + |9 – 6,6| = 2,6 + 0,6 + 0,4 + 0,4 + 1,6 + 0,6 + 1,6 + 2,4 + 1,4 + 2,4 = 14,0 n

Σfi = 106 + n Σfixi = 7.242 + 57n

4.

i =1

+ (10 – 7)2 + (9 – 7)2 = 4 + 1 + 9 + 1 + 9 + 4 = 28

Simpangan baku: s = =

Σ(x1 − x)2 n 28 6

=

14 3

=

1 3

42

⇔

8=

8n 4

8n = 32 n=4 Data menjadi: 8, 9, 10, 5 – Σ(xi – x )2 = (8 – 8)2 + (9 – 8)2 + (10 – 8)2 + (5 – 8)2 =0+1+4+9 = 14 ⇔ ⇔

Variansi: S2 =

Σ(xi − x)2 n

14

= 4 = 3,5


99

10. Jawaban: a Kuartil atas (Q 3) terletak pada kelas interval 24 – 25. L3 = 23,5; fQ = 55 – 40 = 15; fk = 40; p = 2; 3 Q3 n = 60.  3 n − fk  Q 4 = L3 +  f 3  · p  Q3    3  ⋅ 60 − 40   ·2 = 23,5 +  4   15  

Q3

2

1

= 23,5 + 3 = 24 6

11. Jawaban: d Tiga orang selalu duduk berdampingan dipandang sebagai satu orang. Berarti terdapat 8 orang yang duduk melingkar. Banyak cara duduk 8 orang = (8 – 1)! = 7! Banyak cara duduk 3 orang yang selalu berdampingan = 3! Jadi, banyak cara duduk 10 siswa = 7! × 3! = 5.040 × 6 = 30.240. 12. Jawaban: a Bilangan genap lebih dari 4.000 terdiri atas 4 angka tanpa pengulangan. Angka I dapat diisi 4, 5, 6, 7, atau 8 Angka II dapat diisi 2, 4, 6, atau 8 I

II

III

IV

4 5 6 7 8

. .. . .. . .. . .. . ..

. .. . .. . .. . .. . ..

2, 6, atau 8 2, 4, 6, atau 8 2, 4, atau 8 2, 4, 6, atau 8 2, 4, atau 6

 5P2

Banyak bilangan genap lebih dari 4.000 yang dapat dibentuk = 5P2 × 3 + 5P2 × 4 + 5P2 × 3 + 5P2 × 4 + 5P2 × 3 = 5P2 (3 + 4 + 3 + 4 + 3) = 20 × 17 = 340 13. Jawaban: b Kemungkinan kelompok yang terbentuk (3 anak perempuan, 2 anak laki-laki) atau (4 anak perempuan, 1 anak laki-laki). Banyak cara membentuk kelompok = 4C3 × 5C2 + 4C4 × 5C1 = 4 × 10 + 1 × 5 = 45 14. Jawaban: b Kemungkinan kelereng yang terambil (1 biru, 1 kuning, 1 merah) atau (1 biru, 2 kuning) atau (1 biru, 2 merah).

Jumlah kelereng dalam kotak = 3 + 5 + 4 = 12. Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 12C3 = 220 P(A) = peluang terambil 1 kelereng biru, 1 kelereng kuning, dan 1 kelereng merah C × 3C1 × 5C1 = 4 1 n(S) =

4×3×5 220

60

= 220 P(B) = peluang terambil 1 kelereng biru dan 2 kelereng kuning C 1 × 3C2 4×3 12 = 4 n(S) = 220 = 220 P(C) = peluang terambil 1 kelereng biru dan 2 kelereng merah C 1 × 5C2 4 × 10 40 = 4 n(S) = 220 = 220 Peluang terambil 1 kelereng biru = P(A) + P(B) + P(C) 60

12

40

112

15. Jawaban: a Ternak yang tidak dapat disembuhkan = (1 – 0,95) × 500 = 25 ekor 16. Jawaban: a Banyak anak yang masih harus dipilih = 5 – (1 + 2) = 2 anak Kemungkinan 2 anak yang terpilih 2 anak laki-laki atau 1 anak laki-laki dan 1 anak perempuan atau 2 anak perempuan. Banyak cara memilih 2 anak laki-laki 7! 7 ⋅ 6 ⋅ 5! = 7C2 = 5! 21 = 5 ! 2 ! = 21 Banyak cara memilih 1 anak laki-laki dan 1 anak perempuan= 7C1 × 4C1 = 7 × 4 = 28 Banyak cara memilih 2 anak perempuan 4! 4 ⋅ 3 ⋅ 2! = 4C2 = 2!2! = 2 ! 2 ! = 6 Jadi, banyak cara memilih = 21 + 28 + 6 = 55 cara. 17. Jawaban: e A = kejadian terambil kedua kartu bernomor kuadrat sempurna = {1, 4, 9, 16) A′ = kejadian terambil kedua kartu tidak bernomor kuadrat sempurna Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 20C2 = 190 n(A)

C

6

4 2 P(A) = n(S) = 190 = 190

6


184

92

P(A′) = 1 – P(A) = 1 – 190 = 190 = 95 Jadi, peluang terambil kedua kartu tidak bernomor 92

kuadrat sempurna 95 . 100

28

= 220 + 220 + 220 = 220 = 55

18. Jawaban: b Kemungkinan bola yang terambil (pertama kuning, kedua kuning, ketiga kuning) atau (pertama kuning, kedua kuning, ketiga merah) atau (pertama kuning, kedua merah, ketiga kuning) atau (pertama kuning, kedua merah, ketiga merah). P(A) = kejadian terambil bola pertama kuning, kedua kuning, dan ketiga kuning 4

3

2

1

= 9 × 8 × 7 = 21 P(B) = kejadian terambil bola pertama kuning, kedua kuning, dan ketiga merah =

4 9

×

3 8

5 7

×

P(C) = kejadian terambil bola pertama kuning, kedua merah, dan ketiga kuning =

4 9

×

5 8

3 7

×

5 42

=

P(D) = kejadian terambil bola pertama kuning, kedua merah, dan ketiga merah 4

5

4

10

A ∩ B = kejadian muncul kedua mata dadu sama dan hasil kalinya kedua angka lebih dari 20 = {(5, 5)} n(A ∩ B) 1 P(A ∩ B) = n(S) = 36 Peluang muncul angka kedua mata dadu sama atau hasil kali kedua angka mata dadu lebih dari 20: P = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 6

6

5

10

4

3

sin P = 5 maka cos P = – 5 Sudut Q di kuadran III maka nilai sin Q negatif. 5

4

19. Jawaban: c Banyak percobaan: n = 72 Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 2 × 2 × 6 = 24 A = kejadian muncul satu angka dan mata dadu prima = {(A, G, 2), (A, G, 3), (A, G, 5), (G, A, 2), (G, A, 3), (G, A, 5)} 6

1

P(A) = n(S) = 24 = 4 Fh(A) = P(A) × n =

1 4

P(A) =

=

6 36

B = kejadian muncul hasil kedua angka mata dadu lebih dari 20 = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

5

3

36

56

12

= 5 · (– 13 ) – (– 5 ) · (– 13 ) 20

= – 65 – 65 = – 65 22. Jawaban: c 8

15

cos A = 17 maka sin A = 17 5

12

sin B = 13 dan B sudut tumpul maka cos B = – 13 Jumlah sudut dalam segitiga = 180° A + B + C = 180° ⇒ C = 180° – (A + B) ⇔ ⇔ cos C = cos (180° – (A + B) = cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B 8

12

15

5

= 17 · (– 13 ) – 17 · 13

× 72 = 18

20. Jawaban: a Banyak anggota ruang sampel: n(S) = 36 A = kejadian muncul angka kedua mata dadu sama = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} n(A) n(S)

12

cos Q = – 13 maka sin Q = – 13 4

= 21 + 42 + 42 + 63 = 9

n(A)

11

21. Jawaban: a Sudut P di kuadran II maka nilai cos P negatif.

Peluang terambil bola pertama kuning: P = P(A) + P(B) + P(C) + P(D) 5

1

sin (P – Q) = sin P cos Q – cos P sin Q

= 9 × 8 × 7 = 63

1

6

= 36 + 36 – 36 = 36

5 42

=

n(B)

P(B) = n(S) = 36

171

= – 221 23. Jawaban: b 1 2

tan 2x = = =

1 2

⋅ 2 tan x 1 − tan2 x 2 3 2

1−

( 23 )

2 3

×

9 5

=

2 3 5 9

=

6 5

= 1,2


101

24. Jawaban: d cos 37,5° cos 7,5°

tan α =

3 − 2

1

= 3 3

1

a negatif dan b negatif (di kuadran III) maka

=

1 (cos 2

α = 6 π.

=

1 1 ( 2 2

=

1 4

= 2 (cos (37,5° + 7,5°) + cos (37,5° – 7,5°)) 45° + cos 30°) 1 2

2 +

( 2 +

–2 sin

= 2 cos

3)

3)

1 2

2

° + 15°) sin ° + 15°) sin

1 (75 2 1 (75 2

° – 15°) ° – 15°)

= –1

1 cos θ

= sec θ

27. Jawaban: c

⇔

sin 2θ + sin θ = 0 2 sin θ cos θ + sin θ = 0 sin θ (2 cos θ + 1) = 0 sin θ = 0 atau 2 cos θ + 1 = 0

⇔

sin θ = 0 atau

1

cos θ = – 2

Untuk sin θ = 0 maka θ = 0°, 180°, 360° 1

Untuk cos θ = – 2 maka θ = 120°, 240° Oleh karena 0° ≤ θ ≤ 180° maka himpunan penyelesaiannya {0°, 120°, 180°). 28. Jawaban: b –

3 2

cos 5x – 3 2

a=– ,b=– 3 k =  −   2

=

9 4

+

2

3 4

+

1 2

3 sin 5x = k cos (5x – α)

1 2

3

− 1 3    2 

=

3 sin 5x 7

3 cos ( 5x – 6 π)

( 3)2 + (−1)2 = 3 + 1 = 2 −1 1 tan α = 3 = – 3 3 Oleh karena koefisien cos x positif dan koefisien sin x negatif (di kuadran IV) maka α = 330°. 3 cos x – sin x = 2 cos (x – 330°) = 2 cos (x – 360° + 30°) = 2 cos (–360° + x + 30°) = 2 cos (–(360° – (x + 30°)) = 2 cos (x + 30°) 3 cos x – sin x + 3 = 0 k=

1 (75 2 1 (75 2

=

⇔

1 2

3 cos x – sin x = k cos (x – α)

26. Jawaban: b 2(cos θ + sin θ) 2(cos θ + sin θ) = sin 2θ + cos 2θ + 1 2 sin θ cos θ + 2 cos2 θ − 1 + 1 2(sin θ + cos θ) = 2 cos θ (sin θ + cos θ)

⇔

cos 5x –

29. Jawaban: c

− sin 45° = cos 45°

=

3 2

=

–2 sin 45° sin 30° = 2 cos 45° sin 30°

– 21 2

7

Jadi, –

25. Jawaban: a cos 75° – c os 15° sin 75° – sin 15°

102

− 21 3

2

3


⇔ 2 cos (x + 30°) + 3 = 0 1

⇔ cos (x + 30°) = – 2 3 = cos 150° (i)

x + 30° = 150° + k · 360° ⇔ x = 120° + k · 360° k = –1 ⇒ x = 120° – 360° = –240° (TM) k = 0 ⇒ x = 120° + 0° = 120° k = 1 ⇒ x = 120° + 360° = 480° (TM)

(ii) x + 30° = –150° + k · 360° ⇔ x = –180° + k · 360° k = 0 ⇒ x = –180° + 0° = –180° (TM) k = 1 ⇒ x = –180° + 360° = 180° k = 2 ⇒ x = –180° + 720° = 540° (TM) Oleh karena 0° ≤ x ≤ 360° maka nilai x yang memenuhi 120° dan 180°. Jadi, himpunan penyelesaiannya {120°, 180°}. 30. Jawaban: c sin α cos β + cos α sin β = sin (α + β) 8 sin 27,5° cos 32,5 + 8 sin 32,5° cos 27,5° = 8(sin 27,5° cos 32,5° + cos 27,5° sin 32,5°) = 8 sin (27,5° + 32,5°) = 8 sin 60° 1

=8× 2 3 =4 3 31. Jawaban: c Suatu garis g dikatakan menyinggung lingkaran L jika jarak titik pusat lingkaran ke garis g sama dengan panjang jari-jari lingkaran L.

Titik pusat lingkaran L: P(4, 1) Jari-jari lingkaran L:

42 + 12 − 1 = 4 Jarak titik pusat P(4, 1) ke garis pada pilihan c: r=

d=

3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 1+ 4 2

3 +4

2

=

20 5

=4

Oleh karena d = r maka garis 3x + 4y + 4 = 0 menyinggung lingkaran L. Jadi, pilihan yang sesuai c. 32. Jawaban: d 1

y = 2x + 3 ⇔ 2y = x + 6 ⇔ x – 2y + 6 = 0 Jari-jari lingkaran sama dengan jarak pusat lingkaran ke garis singgungnya yaitu 4 − 2· 2 + 6 6 r= = 5 1+ 4 Jadi, persamaan lingkarannya: 2  6  2 2 (x – 4) + (y – 2) =    5 36

⇔ x2 – 8x + 16 + y2 – 4y + 4 = 5 ⇔ 5x2 + 5y2 – 40x – 20y + 64 = 0.

33. Jawaban: a Jarak titik pusat kedua lingkaran: d = 8 d2 = (p – 1)2 + (q + 4)2 ⇔ 82 = p2 – 2p + 1 + q2 + 8q + 16 ⇔ p2 + q2 – 2p + 8q – 47 = 0 . . . (1) Panjang jari-jari lingkaran L 2: r=d–5=8–5=3 r2 = (p – 6)2 + (q + 4)2 ⇔ 32 = p2 – 12p + 36 + q2 + 8q + 16 . . . (2) ⇔ p2 + q2 – 12p + 8q + 43 = 0 2 2 Eliminasi p , q , dan q dari persamaan (1) dan (2). p2 + q2 – 2p + 8q – 47 = 0 p2 + q2 – 12p + 8q + 43 = 0 –––––––––––––––––––––– – 10p – 90 = 0 p=9 ⇔ Substitusi p = 9 ke persamaan (2). p2 + q2 – 12p + 8q + 43 = 0 ⇒ 92 + q2 – 12 · 9 + 8q + 43 = 0 ⇔ q2 + 8q + 16 = 0 (q + 4)2 = 0 ⇔ q = –4 ⇔ Diperoleh pusat lingkaran L2: (9, –4). Persamaan lingkaran L2: (x – 9)2 + (y + 4)2 = 32 2 ⇔ x – 18x + 81 + y2 + 8y + 16 – 9 = 0 x2 + y2 – 18x + 8y + 88 = 0 ⇔

34. Jawaban: d Substitusi y = –2x + 10 ke persamaan lingkaran L: x2 + y2 + px – 2y – 35 = 0 ⇒ x2 + (–2x + 10)2 + px – 2(–2x + 10) – 35 = 0 ⇔ x2 + 4x2 – 40x + 100 + px + 4x – 20 – 35 = 0 ⇔ 5x2 + (p – 36)x + 45 = 0 Oleh karena garis menyinggung lingkaran maka D = 0. b2 – 4ac = 0 ⇒ (p – 36)2 – 4 · 5 · 45 = 0 (p – 36)2 – 302 = 0 ⇔ ⇔ (p – 36 – 30)(p – 36 + 30) = 0 (p – 46)(p – 6) = 0 ⇔ ⇔ p – 46 = 0 atau p – 6 = 0 p = 46 atau p=6 ⇔ Persamaan lingkaran menjadi L1: x2 + y2 + 66x – 2y – 35 = 0 atau L2: x2 + y2 + 6x – 2y – 35 = 0 Pusat lingkaran L1: (–33, 1) Pusat lingkaran L2: (–3, 1) Jari-jari lingkaran L1: r1 =

(−33)2 + 12 + 35

= 1.125 = 15 5 Jari-jari lingkaran L2: r2 = =

(− 3)2 + 1 + 35 45 = 3 5

Jadi, jari-jari lingkaran 15 5 atau 3 5 . 35. Jawaban: d Jari-jari lingkaran L sama dengan AP atau BP. r = AP ⇒ ⇔

r=

(xP − x A )2 + (yP − y A )2

17 =

(a − 3)2 + (−2 −2)2

17 = (a – 3)2 + 16 ⇔ (a – 3)2 – 1 = 0 ⇔ (a – 3 – 1)(a – 3 + 1) = 0 ⇔ (a – 4)(a – 2) = 0 ⇔ (a – 4) = 0 atau (a – 2) = 0 a = 4 atau a=2 ⇔ Diperoleh pusat lingkaran L: P1(4, –2) atau P 2(2, –2) Persamaan lingkaran L berpusat di P1(4, –2): (x – 4)2 + (y + 2)2 = 17 ⇔ x2 – 8x + 16 + y 2 + 4y + 4 – 17 = 0 ⇔ x2 + y2 – 8x + 4y + 3 = 0 ⇔


103

Persamaan lingkaran L berpusat di P 2(2, –2): (x – 2)2 + (y + 2)2 = 17 ⇔ x2 – 4x + 4 + y 2 + 4y + 4 – 17 = 0 x2 + y2 – 4x + 4y – 9 = 0 ⇔ Jadi, persamaan lingkaran L adalah x2 + y2 – 8x + 4y + 3 = 0 atau x2 + y2 – 4x + 4y – 9 = 0. 36. Jawaban: e Garis : 3x – 2y – 22 = 0 mempunyai gradien 3

m = 2 . 3

Garis g sejajar garis  maka mg = m = 2 Persamaan garis g: y + 4 = mg(x – 2) 3

y + 4 = 2 (x – 2) 2y + 8 = 3x – 6 ⇔ ⇔ 3x – 2y – 14 = 0 Jari-jari lingkaran r sama dengan jarak titik pusat lingkaran ke garis g. ⇔

r=

3 ⋅ 1 − 2 ⋅ 1 − 14 2

3 + ( −2)

2

=

−13 13

=

13

Persamaan lingkaran L: (x – 1)2 + (y – 1) 2 = ( 13 )2 ⇔ x2 – 2x + 1 + y 2 – 2y + 1 – 13 = 0 x2 + y2 – 2x – 2y – 11 = 0 ⇔ 37. Jawaban: e L: x2 + y2 – 6x + 4y – 7 = 0 P(1, 2) ⇒ 1 + 4 – 6 + 8 – 7 = 0

1 2

(x + 3)

 −6  4 Pusat lingkaran L: –   , – 2  = (3, –2). 2     2 Jari-jari lingkaran L: r 1 = 3 + (−2)2 − (−7)

= 20 Lingkaran C konsentris (sepusat) dengan lingkaran L, maka pusat lingkaran C adalah (3, –2) dan jari jarinya: r = 2 r1 = 2 · 20 = 40 Persamaan lingkaran C: (x – 3) 2 + (y + 2) 2 = 40. 1

Substitusi persamaan garis y = 2 (x + 3) ke persamaan lingkaran C, diperoleh: 104


⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

1

x2 – 6x + 9 + 4 (x + 7)2 = 40 4x2 – 24x + 36 + x2 + 14x + 49 – 160 = 0 5x2 – 10x – 75 = 0 x2 – 2x – 15 = 0 (x – 5)(x + 3) = 0 x = 5 atau x = –3 Jadi, absis titik potong garis singgung lingkaran L di titik P(1, 2) dengan lingkaran C adalah –3 atau 5. 38. Jawaban: b x + 2y = 10 ⇔ x = 10 – 2y Substitusi x = 10 – 2y ke persamaan lingkaran L. (10 – 2y)2 + y2 – 4(10 – 2y) + 2y – 15 = 0 ⇔ 100 – 40y + 4y2 + y2 – 40 + 8y + 2y – 15 = 0 5y2 – 30y + 45 = 0 ⇔ ⇔ y2 – 6y + 9 = 0 (y – 3)2 = 0 ⇔ ⇔ y=3 Substitusi y = 3 ke persamaan x = 10 – 2y. x = 10 – 2 · 3 = 4 Diperoleh koordinat titik A(4, 3). Persamaan garis singgung lingkaran L di titik A(4, 3): 4x + 3y – 2(x + 4) + (y + 3) – 15 = 0 ⇔ 4x + 3y – 2x – 8 + y + 3 – 15 = 0 2x + 4y = 20 ⇔ 39. Jawaban: d Titik pusat lingkaran: P(1, 0)

Titik P pada lingkaran L. Persamaan garis singgung lingkaran L di titik P(1, 2) adalah g: 1 · x + 2 · y – 3(x + 1) + 2(y + 2) – 7 = 0 ⇔ x + 2y – 3x – 3 + 2y + 4 – 7 = 0 ⇔ –2x + 4y – 6 = 0

⇔ y=

1

(x – 3)2 + ( 2 (x + 3) + 2)2 = 40

Jari-jari lingkaran L: r = =

12 + 02 + 35 36 = 6

1

Gradien garis g : m = 2 Garis singgung lingkaran tegak lurus garis g maka gradiennya m1 = –2. Persamaan garis singgung lingkaran: y – yP = m1(x – xP) ± r 1 + m12

⇒ y – 0 = –2(x – 1) ± 6 1 + (−2)2 ⇔ y = –2x + 2 ± 6 5 ⇔ 2x + y – 2 ± 6 5 = 0 Jadi, persamaan garis singgungnya 2x + y – 2 + 6 5 = 0 atau 2x + y – 2 – 6 5 = 0

40. Jawaban: d Titik pusat lingkaran: P(–1, 3).

2. •

Nilai

Jari-jari lingkaran: r = (−1)2 + 32 − 6 = 4 = 2 Garis yang sejajar sumbu X mempunyai gradien m = 0. Persamaan garis singgung: y – yP = m(x – xP) ± r 1 + m2 2

⇔ y – 3 = 0(x + 1) ± 2 1 + 0 ⇔ y – 3 = ±2 ⇔ y = 3± 2 ⇔ y = 3 + 2 atau y = 3 – 2 ⇔ y=5 atau y = 1

60

≥

26,5

42

≥

31,5

29

≥

36,5

18

≥

41,5

13

≥

46,5

6

≥

51,5

0

22 – 26

60 – 42 = 18

27 – 31

42 – 29 = 13

32 – 36

29 – 18 = 11

37 – 41

18 – 13 = 5

42 – 46

13 – 6 = 7

47 – 51

6–0=6

Q1

 ⋅ n − fk  Q Q1 = L1 +  f 1  · p   Q1    1 ⋅ 60 − 0   ·5 = 21,5 +  4  18   

M od u s t er le ta k p ad a i nt er va l d en g an frekuensi terbesar, yaitu pada interval 55–57. Lo = 54,5 d1 = 11 – 10 = 1 d2 = 11 – 6 = 5

1

2

= 21,5 + 4 6 = 25 3 Q3 terletak pada kelas interval 37 – 41. L3 = 36,5; fQ = 5; fk = 42; p = 5 3

Q3

 ⋅ n − fk Q3 Q3 = L3 +  f  Q3  3 4

= 54,5 + 0,5 = 55 Jadi, modus data 55. Ukuran

xi

fi

fi · xi

46 – 48 49 – 51 52 – 54 55 – 57 58 – 60 61 – 63

47 50 51 56 59 62

3 6 10 11 6 4

141 300 510 616 354 248

40

2.169

2.169 Σf ⋅ x – x = Σi f i = 40 = 54,225 i Jadi, mean data 54,225.

Median terletak pada kelas interval 55– 57. L2 = 54,5; ; f Q = 11; fk = 19; p = 3 2

21,5

f

1

 d  Mo = Lo +  1  · p  d1 + d2   1  = 54,5 +  1 + 5  · 3

c.

≥

Kelas Interval

1 4

B. Uraian

b.

fk ≥

Q1 terletak pada kelas interval 22 – 26. L1 = 21,5; fQ = 18; fk = 0; p = 5

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran y = 5 atau y = 1.

1. a.

Sajian data dalam bentuk tabel

Q2

 ⋅ n − fk  Q2  Median: Me = L2 +  f ·p   Q2    1 ⋅ 40 − 19   ·3 = 54,5 +  2   11   1 2

3

17

= 54,5 + 11 = 54 22

  ·p  

 3 ⋅ 60 − 42   ·5 = 36,5 +  4   5   1

= 36,5 + 3 = 39 2

Jangkauan antarkuartil 1

2

5

= Q3 – Q1 = 39 2 – 25 3 = 13 6 •

fi

xi

fixi

(xi – x )2

fi (xi – x )2

18 13 11 5 7 6

24 29 34 39 44 49

432 377 374 195 308 294

81 16 1 36 121 256

1.458 208 11 180 847 1.536

Σfi xi

1.980 = 33 60 Σf (x − x)2 Ragam: S2 = i i Σfi

x = Σfi =

=

4.240 60

2 3 5 13 6

= 70

Jadi, jangkauan antarkuartil data

dan

2 3

ragam data 70 .


105

3. Bilangan kelipatan 5 mempunyai satuan 0 atau 5. Bilangan 4 angka yang satuannya 0.

6. Kemungkinan kartu yang terambil bertuliskan 2 huruf vokal atau 3 huruf vokal.

9 8 7 1 4 9

angka 0 Ada (10 – 3) angka yang mungkin. Ada (10 – 1) angka yang mungkin.

Bilangan 4 angka yang satuannya 5.

4V 5K

V 5 10

Ada (10 – 2) angka yang mungkin.

3V 5K

V

5 9

4V 4K

K

5V 5K 5 10

8 8 7 1

5 9

4V 4K

V

5V K 4K

angka 5 Ada (10 – 3) angka yang mungkin.

4 9

Ada (10 – 2) angka yang mungkin.

5V 3K

K

Tidak boleh dimulai angka 0 dan angka 5 sudah diisikan ke satuan.

Banyak bilangan kelipatan 5 yang dapat dibentuk =9×8×7×1+8×8×7×1 = 504 + 448 = 952 4. Kemungkinan susunan 5 anggota yang lain: a. 4 siswa laki-laki dan 1 siswa perempuan b. 3 siswa laki-laki dan 2 siswa perempuan c. 2 siswa laki-laki dan 3 siswa perempuan d. 1 siswa laki-laki dan 4 siswa perempuan Banyak cara membentuk tim = 3C1 × 4C2 (5C4 × 6C1 + 5C3 × 6C2 + 5C2 × 6C3 + 5C1 × 6C4) = 3 × 6(5 × 6 + 10 × 15 + 10 × 20 + 5 × 15) = 12(30 + 150 + 200 + 75) = 5.460 5.

Kotak B 3 7

Kotak A

3M 5K

M

3M 4K

Kotak B 4 7

2M 6K

K

5 8

3 8 5 8 4 8 4 8 4 8 4 8 5 8 3 8

V – VVV K – VVK

V – VKV K – VKK

V – KVV K – KVK

V – KKV K – KKK

Pengambilan I Pengambilan II Pengambilan III 5 4 3 3 P(VVV) = 10 × 9 × 8 = 36 5 4 5 5 P(VVK) = 10 × 9 × 8 = 36 5 5 4 5 P(VKV) = 10 × 9 × 8 = 36 5 5 4 5 P(KVV) = 10 × 9 × 8 = 36

Peluang terambil paling sedikit 2 kartu bertuliskan huruf vokal: P = P(VVV) + P(VVK) + P(VKV) + P(KVV) 3

5

18

1

5

5

= 36 + 36 + 36 + 36 = 36 = 2

7. cos 150° + sin 45° + K – (MK)

1 2

cotan (–330°) 1

= cos (180° – 30°) + sin 45° + 2 cotan 30° 6 8

1

= –cos 30° + sin 45° + 2 cotan 30° M – (KM)

1

1

1

=–2 3 + 2 2 + 2 3 1

Peluang pengambilan I

Peluang pengambilan II

P1 = peluang terambil bola merah dari kotak A dan bola kuning dari kotak B 3

5

15

= 7 × 8 = 56 P2 = peluang terambil bola kuning dari kotak A dan bola merah dari kotak B =

4 7

×

6 8

=

24 56

Peluang terambil satu bola kuning = P1 + P2 = 106

15 56

+

24 56

=

39 56


= 2 2 8. α + β = 90° ⇔ β = 90° – α tan α = sin α ⇔ cos α = sin α ⇔ = cos α ⇔ sin α =

⇔ ⇔

sin α = 2 sin2 α + sin α –

2 =0

2 sin β 2 sin (90° – α) 2 cos α 2 cos2 α 2 (1 – sin2 α)

⇔

sin α =

1 2

Y

10.

⇔ ( 2 sin α – 1)(sin α + 2 ) = 0 atau sin α = – 2 (TM)

⇔

sin2

2 1  1  =  2 = 2  

2

9. Misalkan titik pusat lingkaran L: P(1, n). Jari-jari lingkaran: r = jarak titik P(1, n) dan A(0, –2) atau r = jarak titik P(1, n) ke garis y = x Sehingga diperoleh: 2

(x A − xP ) + (y A − yP )

⇔ ( (0 − 1) + (−2 − n) 2

2

=

2

 1− n =  12 + (−1)2 

–7

12 + ( −1)2

  

2

2

Diperoleh titik pusat P1(1, –1) atau P2(1, –9). Untuk P1(1, –1) maka

=

=

Titik pusat L1: P(–4, 2). 6

Jari-jari L 1: r1 = 5 5 Persamaan L1: (x – xP)2 + (y – y P)2 = r12

⇔ (x +

4)2

+ (y –

2)2

6  =  5 5 

⇔ (x + 4)2 + (y – 2)2 =

2

36 5

Titik T(2, –4) di luar lingkaran L 1. Persamaan garis kutub dari titik T terhadap lingkaran L1: 36

(0 − 1)2 + (−2 − (−1))2

(x + 4)(2 + 4) + (y – 2)(–4 – 2) = 5

1+ 1

⇔

6(x + 4) – 6(y – 2) = 5

⇔

x + 4– y +2 = 5

= 2 Untuk P2(1, –9) maka r2 =

X

5

2

–3 –4

(1 − n) ⇔ 12 + 4 + 4n + n2 = 2 ⇔ 2 + 8 + 8n + 2n2 = 1 – 2n + n2 ⇔ n2 + 10n + 9 = 0 ⇔ (n + 1)(n + 9) = 0 ⇔ n + 1 = 0 atau n + 9 = 0 ⇔ n = –1 atau n = –9

r1 =

0

1− n

2

)

–4

2

2

(0 − 1) + (−2 − (−9)) 1 + 49 =

50

Persamaan lingkaran berpusat di P1(1, –1) dan jari-jari r 1 =

2:

(x – 1)2 + (y + 1) 2 = ( 2 )2

⇔ x2 – 2x + 1 + y2 + 2y + 1 = 2 ⇔ x2 + y2 – 2x + 2y= 0 Persamaan lingkaran berpusat di P2(1, –9) dan jari-jari r 2 =

50 :

(x – 1)2 + (y + 9)2 = ( 50 )2 ⇔ x2 – 2x + 1 + y2 + 18y + 81= 50 ⇔ x2 + y2 – 2x + 18y + 32 = 0 Jadi, persamaan lingkarannya x2 + y2 – 2x + 2y = 0 atau x2 + y2 – 2x + 18y + 32 = 0.

36 6 24

⇔

x–y =– 5

24

⇔

y =x+ 5 5x + 24 y = 5

⇔ Substitusi y = (x +

4)2

5x + 24 5

ke persamaan L1: 2

5x + 24 − 2  = 36 +  5  5 

⇔ 25(x2 + 8x + 16) + (5x + 14)2 = 180 ⇔25x2 + 200x + 400 + 25x2 + 140x + 196 = 180 ⇔ 50x2 + 340x + 416 = 0 ⇔ 25x2 + 170x + 208 = 0 ⇔ (5x + 8)(5x + 26) = 0 ⇔ 5x + 8 = 0 atau 5x + 26 = 0 8

⇔

26 x =− 5

x = – 5 atau 8

Untuk x1 = – 5 maka y1 =

5  − 8  + 24  5

5

16

= 5


107

Kunci Jawaban, Silabus, Rpp Mat Xia Program Ipa 2011

Recommend Documents