01 Kunci Jawaban Dan Pembahasan MAT XA

Kunci Jawaban dan Pembahasan PR Matematika Kelas X

1

Bab I

Bentuk Pang Bentuk Pangkat, kat, Akar Akar,, dan Logaritma

= (a – b)–3 + 2 (a + b) = (a – b)–1 (a + b) = ((aa +− bb)) Jadi, bentuk sederhana dari  a + b  −2

1

(a – b)–3  b − a  · (a + b)−3 adalah ((aa +− bb)) .   A.

6. Jawaban: a

Piliha Pil ihan n Gan Ganda da

1. Jawaban: b Berdasarkan definisi bilangan berpangkat positif bahwa an = a × a × a × . . . × a

(2n + 2)2 − 22 ⋅ 22n 2n ⋅ 2n + 2

=



=

n faktor

maka 43 = 4 × 4 × 4

=

2. Jawaban: e 62

:

2–2

62

=

×

1 2−2

=

62

×

7. Jawaban: c a–2 b–1 c2 = 2–2 · 3–1 · 62

= (6 × = 122 = 144

62

3. Jawaban: b (xp – 2 yp – 1)2 = (xp – 2)2 (yp – 1)2 → sifat (ab)p = apbp = x2(p – 2) y2(p – 1) → sifat (ap)q = apq = x2p – 4 · y2p – 2 4. Jawaban: e :

xz−4 yz−3

1 −4 −4 x y 4 4

=

−4 x − 4y −4 yz −3 : xz−3 = 4z4 × xz −4 yz

z

1

= 4 x–4y–4 · z–4 · y · z–3 · x–1 · z4 =

1 4

·

x–4 – 1

·

y–4 + 1

·

8. Jawaban: c 22x + 2–2x = (2x – 2–x)2 + 2 · 2x · 2–x = 42 + 2 · 2x – x = 16 + 2 · 20 = 16 + 2 · 1 = 18 9. Jawaban: d (x 3 y−2 )0 (x −5y 0 ) − 2 (x 0 y −4 )2

 a + b 

1

(a – b)–3  b − a  · (a + b)−3   = (a –

(a + b)−2 –3 b)

1

(b − a) · (a + b)−3 = (a – b)–3 (a + b)–2 (b – a)2 (a + b)3 = (a – b)–3 (–1(a – b))2 (a + b)–2 + 3 = (a – b)–3 (–1)2 (a – b)2 (a + b)

2

−2


(x −5 )−2 = 1 ⋅ (x −4 2 (y )

10 = x−8 = x10y8

y

1

5. Jawaban: a

36

= 22 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 3 Jadi, nilai a–2 b–1 c2 adalah 3.

z–4 – 3 + 4

= 4 x–5 y–3 z–3 = 513 3 4x y z −2

22(n + 2) − 22 + 2n 2n + n + 2 22n + 4 − 22 + 2n 22n + 2 24 ⋅ 22n − 22 ⋅ 22n 22n ⋅ 22 22 ⋅ 22n(22 − 1) 22n ⋅ 22

= 22 – 1 = 4 – 1 = 3

22

2)2

(2x2y2 )−2 z4

=

10. Jawaban: b 2 1+  1 + 2m−1   m – 2  m–2 m  –1 –1   –1  = 1 1 ·  2  2 – m   2m  – m 2 m m+2 m · m–2 = m–2 2 2m m 2m(m+ 2) m(m – 2) = 2m(m+ · m(m– 2)

= m(m + 2)

2

B. Ur Urai aian an

1. a.

2 4 × 53 (22 × 5)2

2 4 × 53 2 4 × 52

=

5.

=5

25

1 1 − ab−1 −1 −1

1−

a +b

= E

6 × 10

2–1

=

1−

=

1

= 3–1 · (3–1)–2 · 24 1

= 3 · 9 · 16 = 3 · 16 = 48 x3 y2z2 + x −2y −1z−1 xy2z−1

= = =

2

−2

⋅ 2 + (3 2

−1 ) ⋅  − 31  ⋅ 2−1 −1

3 ⋅  − 31    ⋅ 2

27 ⋅ 91 ⋅ 4 + 91 ⋅ ( −3) ⋅ 21 1 1 ⋅ 3 2 12 − 61

=

1 6

71 6 1 6

=

3 ⋅ 4 − 31 ⋅ 21 1 1 ⋅ 3 2

 71

= 6  6   = 71

A.

4. a.

= (x2 · x–4 · y–1 · y–3)–2 (x2 – 4

y –1 – 3)–2

= = (x–2 y –4)–2 = x4y8 b.

x2

y4

y –4

b+a ab

ab

z–4

= · · · · · = (x–2 + 2 · y4 – 4 · z–4 + 2)2 = (x0 · y0 · z–2)2 1 = z–4 = z4

=

−a(ab) b2 − a 2

=

a2b a2 − b2

=

(−1)(a 2b) (−1)(a 2 − b2 )

1. Jawaban: d Misal x = 0,72 ma maka ka 100 100xx = 72,72 100x 10 0x – x = 72,72 – 0,72 ⇔ 99x = 72 72

⇔

x = 99

⇔

x = 11

8

8

Jadi, 0,72 senilai dengan 11 . 2. Jawaban: e 245 = 49 × 5 = 49 × 5 = 7 5 3. Jawaban: e 4

1.875 = 4 625 × 3 = 4 54 × 3 = 4 54 × 4 3 = 5 4 3

4. Jawaban: c 3

8.192 =

2⋅3

8.192 = 6 4.096 ⋅ 2

= 6 46 ⋅ 2 = 4 6 2 5. Jawaban: a

2    −2 4 2    x  ·  y  ·  x     y −2   z   z−1      2 2   −2 4 =  x 4 ⋅ y4 ⋅ x−2    y z z 

(x–2

=

1 − b b− a


−2

 x 2y −1   3 4    y x 

b+a ab

b −a −b

4

3. a. 3x–2y–2z4 = 3 · 3–2 · ( − 3 )–2 · 24

2 33 ⋅  − 31 

1 b−a b

= b−a × b+a

1 2

2. v = B = 0,2 = 30 × 104 = 3 × 10 × 104 = 3 × 101 + 4 = 3 × 105 m/s Jadi, laju gerak partikel adalah 3 × 105 m/s.

b.

1− a b 1 1 + a b

=

25

b. (6–2)3 × 3−6 = (6–6) × 3−6 = (2 × 3)–6 × 25 × 36 = 2–6 × 3–6 × 25 × 36

1

1−

45 – 28 – 3 ( 125 – 63 ) = 9 ⋅ 5 – 4 ⋅ 7 – 3 ( 25 ⋅ 5 – 9 ⋅ 7 ) z2)2

= 3 5 – 2 7 – 3 (5 5 – 3 7 ) = 3 5 – 2 7 – 15 5 + 9 7 = –12 5 + 7 7


3

2. a. misal x = 0 ,6 10x = 6 ,6  10xx – x = 6, 10 6 – 0, 6

d. Misal

x = 3,412 10x = 34,12  1  1.000x= 3.412, 2     1.000xx – 10x = 3.412, 1.000 1 2 – 34, 1 2 ⇔ 990x 99 0x = 3.37 3.3788

6

⇔

9x = 6 ⇔ x = 9 misal y = 1 ,2 10yy = 12 10 12, ,2 10yy – y = 12, 10 12, 2 – 1, 2 

⇔

11

9y = 11 ⇔ y = 9

17 0, 2 + 1, 4 = 69 + 11 = 9 9

 x = 4,2 5  10xx = 42 10 42, ,5  100x 10 0x = 425 425, ,5 100x – 10x = 425, 425, 5 – 42, 5   ⇔ 90xx = 38 90 3833

b. Misal

⇔

Misal y 10y 10yy – y 10 ⇔ 9y

16

563

15

= 176 1 2

3. a.

1

25

1

4 25

1

5

× 4 0,25 = 2 × 4 100 = 2 × 4 100

10

= 2 × 10

y= 9

383

10

383

100

283

5

b.

4

=

Misal y = 1 , 7 10y = 17 ,7 10y – y= 17, 7 – 1, 7 ⇔ 9y = 16

6

8

32 × 122 422

2

3 × 12 =  42    

2 36 6 =  7   = 49  

4. a.

16

y = 9

16

1

= 2 5 = 2 6 8 4 ( 3 ) × ( 3 12 ) : ( 4 42 ) = 3 2 × 12 3 : 42 4 = 32 × 122 : 422

14 99

14

5

5

= 20 = 4 × 5

14 Misal x = 0 , 14 100x 10 0x = 14 14, , 14 – 0,  14  100xx – x = 14, 100 14, ⇔ 99x = 14

⇔

563

563

x = 90 = 1 ,1  = 11, 11, 1  = 11 11, ,1 – 1, 1 = 10

x=

16

= 165 × 16

= 90 – 90 = 90

⇔

96

6 = 165 : 15 3,412 : 1,0

 42, 5 – 1, 1 = 90 – 9

c.

563

y = 90 = 15

383

⇔

⇔

3.378

x = 990 = 165 6 Misal y = 1,0 10yy = 10 10 10, ,6 100y 10 0y = 106 106, ,6 100y 10 0y – 10 10yy = 10 106, 6, 6 – 10, 6  ⇔ 90y = 96

⇔

224

 0, 2 5 × 1, 3 = 99 × 9 = 891

( 3 8 + 2 5 ) ( 4 2 − 80 ) = ( 3 4 ⋅ 2 + 2 5 ) ( 4 2 − 16 ⋅ 5 ) = (6 2 + 2 5 ) (4 2 − 4 5 ) = 48 – 24 10 + 8 10 – 40 = 8 – 16 10


5

7. Jawaban: a 3

1

1

3p – q = 3 (x 2 + x 2 ) x 3 – ( x 3

+1

= 3 (x 2

1

+ x2

3

11

+1 3

− 76

+x

) – (x

5

5

−

7 6

− 61

+2

) x2 +x

⇔ ⇔

−

1 6

+2

)

11 6

5 6

11 6

5 6

= 3 (x + x

+x

) – (x )

1

x = –3

⇔

11

= 3 (x 6 + x 6 ) – (x 6 + x 6 )

= 2 (x

3x – 1 = –2 –2 3x = –2 –2 + 1 3x = –1

⇔

11 6

+x

5 6

Nilai 6x + 11 = 6 ·

)

 − 1   3  + 11 = –2 + 11 = 9.  

12. Jawaban: e 2

 1     3 

32x + 1 = 27 ⇔ (3–1)2 ( 3

Sehingga: 5

2 (x 6 + x 6 )

=

(x

11 6

+x

5 6

)

⇔ 3

=2

8. Jawaban: a 2 3

1 2

1 3

2 3

1 2

1 3

a · b · c = 8 · 25 · 27 2

1

(33) 3

= = = 4 · 5 · 3 = 60 1 − x

1 x

1 x

= 2 – 2 · 21 + 2

1 − x

3 (0,125)7 − 2x

1 − x

−2 x

2 x

=2 +2

−2 x

–2

⇔

⇔

1 x

1 − x

= (2 – 2 )2 + 2 = 32 + 2 = 9 + 2 = 11

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

10. Jawaban: b

(

(

1 x2

y

3

1 − 6

) (x

−

1 2 −2 x −4 y 3

1 4

⇔

y

−1

)

1 3

7

) (x − 3 y −1)

1 2

( = x

x−

1 3

1 12

y

−

1 2

1 2 −3 x y

−1 − 1 x 12 12

=x 11. Jawaban: c

−

(

=

8

7 2− x 6

− 61 − 56

⇔

 − 1 − 31   x 12 y     − 7 − 21   x 6 y   

) )

1 1 − − y 2 3

−1 − 1 y 3 2

=

= x–1 = x1

⇔

⇔

2(

3

)=

3 3

1

x=3+ 2 =42

(0,5) 3 (0,5)−4x + 5

=1

(0,5)7 – 2x – (–4x + 5) = 1 (0,5)7 – 2x + 4x – 5 = 1 (0,5)2 + 2x = 1 2–1(2 + 2x) = 1 2–2 – 2x = 20 –2 – 2x 2x = 0 2x = –2 x = –1 0,6

−1 x 6

−5 y 6

5 x6

5 − y 6

 3 

0,6

⇔

⇔ ⇔ ⇔

⇔

⇔

x– 2 =3

3x0,4 – 9  1   = 0

⇔

16

⇔

14. Jawaban: d

⇔

= 1 3 x−1

= 33

=1

(0,5)−4x + 5

+ (2 )2

2x

2 +2

3 2

x–

3

3( 7 − 2 x )

1 x

2 x

−2 x

= 33

13. Jawaban: d

(2 – 2 )2 = (2 )2 – 2 · 2 · 2

2 x

–2 + (x + 21 )

1 Jadi, himpunan penyelesaiannya {4 2} .

9. Jawaban: c 1 x

= 33

⇔ ⇔

1

(23) 3 · (52) 2 · 22 · 5 · 3

) = 33

1 2

x+

⇔ 3–2 · 3 11

3p − q q

2x + 1 2

3x0,4 = 9  31   

3x0,4 = 32 · 3–0,6 3x0,4 = 32 – 0,6 3x0,4 = 31,4 31,4

x0,4 = 3 x0,4 = 30,4 x=3

1 4

23x – 1 = 2–2


9

15. Jawaban: a − 5  4 

  1  



81p = 2   3 2 3     2 2     3  1

1

⇔ (34)p = 2 (3 ⋅ 2 2 ⋅ 3 4 ) ( 2 1

− 32

3

) (3− 54 ) 1

5

2

(33) 3

−

1

(23) 3

+

+

–

1 2 −2 (5 )

32

5

(22) 2

25

= + 2 + 10 · 5 – = 9 + 2 + 50 – 32 = 29 1 3

5

3 4

125 – 81 +  27   2  3  1

3

5

= (53) 3 – (34) 4 + (32) 2 = 5 – 33 + 35 = 5 – 27 + 243 = 221 10 × 16 20

160 20

⇔

⇔ ⇔

1 2 4

= (2 ) · (32 · 2 ) · (33 · 2) 2 4

2 4

3 6

=2 ·3 ·2 ·3 ·2 =2 4

4 1 1 + + 3 2 6

−1

·3

4

1 1 + 2 2

1 6

1 6

−1

−1

=

48 1 288

=

288 48

⇔

⇔

(x ⋅ y ) (2 ⋅ 3) 3. x −5 ⋅ y −2 = 2−5 ⋅ 3−2 = (161 ⋅ 31) ⋅ 1

⇔

= 22 · 3 = 12

32

9

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

81

⇔

⇔

⇔

10



1 34  2

32(2x + 1) =  x − 1    3  34x + 2

=

2x + 8 2·2

=3

3(x + 4) 4

=3

3x + 12 4

3

⇔

3

⇔

2x + 8 8

⇔ ⇔ ⇔

2x + 8 = 2(3x 2(3x + 12) 12) 2x + 8 = 6x + 24 –4xx = 16 –4

2x + 8 8

=3 =

3x + 12 4

3x + 12 4

⇔

1

(34 – x + 1) 2


25x + 4 = 125x + 1

2( x + 4) 5 3

= 53(x + 1)

2x + 8 3

= 3x + 3 2x + 8 = 9x + 9 2x – 9x = 9 – 8 –7xx = 1 –7 1

x =–7 5 (0,2)2y + 5

⇔

=6

4. a. 92x + 1 = 3x − 1

2x + 8 2

⇔

3

5.

= 8=2 2 3 16 × 4 36 × 6 54 4 3

3

16

20

1 4 3

= 4 27x + 4

⇔ x = – 4 = –4 Jadi, penyelesaiannya x = –4.

= 10 × 16 =

1

9x = 1 ⇔ x = 9

32x + 8

⇔

2

2⋅5

5−x 2

1

b. 25

b.

4x + 2 =

5−x 2

Jadi, penyelesaiannya x = 9 .

2 1 5 1. a. 27 3 + 8 3 + 10 1 – 4 2

2. a.

⇔

⇔

B. Ur Urai aian an

b.

34x + 2 = 3

⇔ 2(4x 2(4x + 2) 2) = 5 – x ⇔ 8x + 4 = 5 – x

⇔ (34)p = (2 ⋅ 2 2 ⋅ 2− 2 ) (3 ⋅ 3 4 ⋅ 3− 4 ) ⇔ (34)p = 20 · 30 ⇒ p = 0 ⇔ p2 = 0

=

⇔

2y + 5 (0,2) 5

2y + 5 5

= (0,04)y – 2 = (0,2)2(y – 2) = 2(y – 2)

2y + 5 = 10(y 10(y – 2) 2) 2y + 5 = 10y 10y – 20 2y – 10y 10y = –20 –20 – 5 –8yy = –2 –8 –255 25

y= 8

1

25

Diperoleh: x = – 7 dan y = 8

2

 1 25  (7x + 8y)2 =  7 ⋅  − 7    + 8 ⋅ 8   = (–1 + 25)2 = 242 = 576 Jadi, nilai (7x + 8y)2 adalah 576.

A.


1. Jawaban: a Definisi logaritma: b = ax ⇔ x = alog b. Jadi, 2n = 5 ekuivalen dengan n = 2log 5. 2. Jawaban: e 5log

1 log 625 5 log5

5

1 625

=

5

=

log5−4 5 log log 5

−4

= 1 = –4

3. Jawaban: d 27log 24 2433

= =

log log 243 243 log log 27 5 ⋅ log 3 3 ⋅ log 3

7. Jawaban: c log 48 = log (16 × 3) 3) = log (24 × 3) = log 24 + log 3 = 4 log 2 + log 3 = 4 · 0,301 + 0,477 = 1,204 + 0,477 = 1,681 8. Jawaban: b log 729 = log(9) log(9)3 = 3 log 9 = 3k 9. Jawaban: b 2lo logg 90 90 = 2log (45 · 2) = 2log 45 + 2log 2 = 2log (9 · 5) + 1 = 2log 9 + 2log 5 + 1 = 2log (32) + 2log 5 + 1 = 2 · 2log 3 + 2log 5 + 1 = 2m + n + 1 = 1 + 2m + n 10. Jawaban: e 1 log 3 225 = log (225) 3

log 35 log 33 5 3

= =

1

2

1 243

1 log 243 log log 9

=

2 2  10  = 3 (log 3 + log 5) = 3   log 3 + log 2  

1 − 2

−

1

log3

1

5

5log3

5. Jawaban: e 5=

20log 12 1255

2

= 3 (0,477 + 1 – 0,301) = 0,784

= – 2 · 2log3 = – 4 2log

= 3 (log 3 + log 10 – log 2)

5

= log32

log log 5 log log 2

2

log(24 log (243) 3) 2 log log 9

=

=p

⇔

= log125 = log log 20

2

= 3 log 15 = 3 log (3 · 5)

4. Jawaban: d 9log

1

= 3 log 225 = 3 log 152

11. Jawaban: d log (5 × 103) – log log 5 = log log 5 + log log 10 103 – log 5 = log 103 = 3 · log 10 = 3 12. Jawaban: e 4log

log 5 = p log 2

12lo logg

log log 53 log ((222 ⋅ 5)

60 = 60 =

= log32⋅2lo+glo5g 5

=

=

3 ⋅ p lo log 2 2 ⋅ log 2 + p lo log 2

=

(3p)log (3p)log 2 (2 + p) lo log 2

=

log3

3p 2+p

6. Jawaban: b log 3,15 = 0,4983 logg 3.1 lo 3.150 50 = log log (3, (3,15 15 × 103) = log 3,15 + log 103 = 0,4983 + 3 = 3,4983

13.

log log 4

1

1

3 3 = q ⇔ log log 4 = q ⇔ log3 = q ⇔ log 4 = q 3 log (3 × 4 × 5) log log 60 = 3 3 log (3 (3 × 4) log12 3 log 3 + 3log 4 + 3log 5 3 log 3 + 3log 4 3

1 + 1q + p

1+ Jawaban: c

1 q

q

× q =

q + 1 + pq q+1

=

q + pq + 1 q+1

10a = 1,111 1,111 . . . a = 0,1 0,111 11 . . . –––––––––––––– – 1 9a = 1 ⇔ a = 9 1

alog 729 = 9 log 729

log 729 729 log93 = log = −1 1

= 3log9 = –3 − log9

log 9

log9


11

22. Jawaban: e

14. Jawaban: b 1  3

1 log 3 0,04 = log 3 25 = log  1  = log (5)  25 

2

2 − 3

2

= – 3 · log 5 = – 3 · 0,699 = –0,466

⋅ 7log 12 = 8 log 12 ⋅ 7log 3

15. Jawaban: c log 450 450 = log(4,5 log(4,5 × 100) = log 4,5 + log 100 = log 4,5 + log (10)2 = 0,653 + 2 = 2,653 16. Jawaban: e plog 1 + plog 1

x

x

log 2 ⋅ log 3 9 lo log 3 ⋅ log 2

y2

2

1

1

2

1 x + 2y x = 2 2

=

1 2

(4 ⋅ 5 · 2 )

=

3log

4+

3log

=

3log

4+

3log

5+

3log

5+

3log

= 3log 4 + 3log 5 + 3log

2

= 3log 4 + 3log 5 +

⇔

1 2

1 2 4)

⇔

1 1 2 42

⇔

1 4

⇔

(

( )

= 3log 4 + 3log 5 + 3log 4

13 4 log 4

5 3 log 4 + 3log 5 4 5 5a + 4b a+b= 4 4

19. Jawaban: b 4log 16 + 4lo logg 1 = 4log (16 × 1) = 4log 16 = 4log 42 = 2 · 1 = 2 20. Jawaban: d 2log 32 – 3log 9 = 2log 25 – 3log 32 = 5 – 2 = 3 21. Jawaban: e log 50 − 2 log 5 2 log 6 + 2 log 10 − 2 log 12

log 50 5 × 10 2 log 6 12 2

= =

2

(2 ⋅ log 2 + 1)

(1 + 2 5log 2) (1 + 2 5log 2)

1 2

1 log p + 4log q 1 2 log p + 21 2log q

=4

1 1

=4

1

=4

2

20 2 =

2

2

=2

24. Jawaban: b

3log

=

2

1 2 log 3 2

18. Jawaban: a

=

2

5 5 = (1 + 1log 25) − ( log 2 )

(75)2 = 2log (52 · 3) 2 = 2log (5 · 3 2 )

= 2log 5 + 2log 3 = 2log 5 +

2

log p + 2log q2 1 2

log 10 2 log 5


=4

log log pq2

2log

⇔

1

pq 2 = 41 pq

1 2

1 2 1 4

=2

1 4 1

p2q = (pq )2 = (2 )2 = 2 2 = 2 25. Jawaban: e x2lo logg

log log (10 (100 ⋅ x) 100x 10 0x = log 100x = 2logx 2 log log x

=

log 10 100 + log x 2logx

2+b 102 + log x = log 10 = 2b 2logx

26. Jawaban: d x2 + 4y2 = 12xy 2 2 (x + 2y)2 log (x − 2y)2 = log x 2 + 4xy + 4y2 x − 4xy + 4y 2 2 = log (x 2 + 4y 2) + 4xy

2

= 5log 10 12

23. Jawaban: c 2

1 2

3log

= −2 log 2 ⋅ log3 = – 92 ( 5 log 10 ) − ( 5 log 2 ) = ( 5 log 5 + 5log 2 ) − ( 5 log 2 ) 5 1 5 log 20 ( log 22 ⋅ 5 ) 2

17. Jawaban: d

=y+

log 8 log 7

⋅ × log 12 12 log 3

3 3 ⋅ = log 3 −2 log 2

+ plog xy2 = plog   x1 ⋅ x1 ⋅ xy2    

1

log 27 log 12 ⋅ log 41 log 7

=

= plog x 2log

log 27 log12 ⋅ log 1 log 7 4 log 12 log 3 ⋅ log 8 log 7

1 4 log 27

= log

(x + 4y ) − 4xy 12xy + 4xy = log 16xy 12xy − 4xy 8xy

= log 2

27. Jawaban: d

c.

1

plog

6 – plog 9 + plog 2 = –1 1 ⇔ plog 6 – plog 9 + plog 2 = –1 plog  6

⇔

  9

⇔

= –1 1

⇔ ⇔

28. Jawaban: c 3log(x2 – 8x + 20) = 3log 8 ⇔ (x2 – 8x + 20) 20) = 8 2 x – 8x + 20 – 8 = 0 ⇔ x2 – 8x + 12 12 = 0 ⇔ (x – 2)(x 2)(x – 6) = 0 ⇔ x1 = 2 dan x2 = 6 ⇔ Jadi, nilai x1x2 = 2 · 6 = 12. 29. Jawaban: b 2log (2x – 6) = 3 2log (2x – 6) = 2log 23 ⇔ (2xx – 6) (2 6) = 23 ⇔ 2x – 6 = 8 ⇔ 2x = 8 + 6 ⇔ ⇔ 2x = 14 x=7 ⇔ 30. Jawaban: a log 6 2

2

( 3 log 18 ) − ( 3log 2 )

= = = = = =

b.

32log 1

log

⇔

2log

x2 − 16 = 2log 22

⇔

2log

x2 − 16 = 2log 4

⇔

x = 25

⇔

x = 22 5

Jadi, 3. a.

2

log log 27 2 ⋅ log 64 + log 1.000 log125 3 log log 33 2 = 5 log ⋅ log 26 + log 103 log 53 3 3 log 3 = 3 5 log 5 · 6 2log 2 + 3 log 10 3 = 3 ·6+3=6+3=9 5

log6 3 2 log 36 36 ⋅ 3log 9 3 log6 3 2 log 62 ⋅ 3log 32 3

log6 3 2 ⋅ 2 log 6 ⋅ 2 3log 3 1 1 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅1 8

−1

−log 2

1 log log 2 = = = = – 5 5 log lo g 2 log 32 2 5 log log 2

= 5log 5–3

= –3 · 5log 5 = –3

2log

2· 3

9log 92

+

7log

7

3 2

1

=2+ 2 =32

log (1 (18 × 2) ⋅ log 182

1 125

2

log 2 = 5 · 2log 2 = 5 .

3

=

1 3 log log 6 2 3

3

5log 0,0 0,008 08 = 5log

2=

22

1

log log 62 3 3 ( log 18 + log 2) ( 3 log 18 − 3 log 2)

1 2

xlog

b. (2log 5 · 5log 2 · 9log 81) + 7log 343 3

3

x2 − 16 = 4 x2 – 16 16 = 16 16 x2 =16 + 16 x2 = 32 x = 32 5

B. Ur Urai aian an

1. a.

x2 − 16 = 2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

p=3

3

4

2log

2.

p–1 = 3 p–1 = 3–1

⇔

log log 3

log 3

4 ⋅ l og 3



3

log log 34 log 81 log 81 = log = 1 −1

= −1 ⋅ log 3 = −1 = –4

1 ⋅ 2   = –1

plog 1

1 3

4. a.

6log 1

27

log

× 4log 36 × 3log 8

1

log 36 log 8 27 = log × log × log log 6 log log 4 log log 3 3 −3 log 23 log 62 = log × × 2 log6 log log 3 log 2

= −3log3 × 2log6 × 3log2 log6 2log2 log log 3 = –3 × 3 = –9 b. 55log 10 + 42log 3 + 273log 2 = 10 + 22(2log 3) + 33(3log 2) = 10 + 22log 32 + 33log 23 = 10 + 32 + 23 = 10 + 9 + 8 = 27


13

alog

5. a.

10. Jawaban: c

logb 1 b = log = log lo ga log a

2

(a 3 b

logb

= aplog bq

b.

b

=

c.

a log x log x = a log a =

=

A.

1 2

1

2

c 4 )3 = a 3

(terbukti)

log b a log log x 1 − a log b

log log x log a − a log b

(terbukti)

= 4 × 4 × 4 × 4 × 4.

2. Jawaban: d 33 × 35 = 33 + 5 = 38 3. Jawaban: b 1

11. Jawaban: c (1 + 3 2 ) – ( 4 − 50 ) = 1 + 3 2 – 4 + 25 ⋅ 2 =1–4+3 2 +5 2 = –3 + 8 2 =8 2 –3 12. Jawaban: c ( 98 + 2 ) : 32 = ( 49 × 2 + 2 ) : 16 × 2

1

14. Jawaban: d 5

25 36

4. Jawaban: e

– 0,16 + 3 27 = 6 – 0,4 + 3

9

5

9x–4 = 9  x4   = x 4 216

6

=

6. Jawaban: e =

35 a−7b−5 27a−5 b−3

=

32

= 35 · 3–3 · a–7 · a5 · b–5 · b3

a–2 b–2 =

32 a2b2

=

9 (ab )2

15. Jawaban: c 3

(a−

3 2

b

−

7. Jawaban: c 3x4 (5x5 y + 1) 15x9 y + 3x4 = 2y2 (5x5 y + 1) 10x5y 3 + 2y2 Jawaban: c 2 5

2x = 2 ( x

2 5

4 = 3x2

2y

) = 2 5 x2

9. Jawaban: b − 21

5

(2 )

× (2

3 2

2

)

=2 =2

−

5 2

3 − 2

= (a b

1 3

2

)

:

2

=

a–1b– 9

=

2 –9

a–1b

−5 + 3 2

=2 = 2


2

−2 4

(a 21 )

1

4 9

1 3

–9

–3

:a b ×a b 2

4 4

– 9

2

= a– 3 b– 3 2

−2

b3 1 3

) : ((a ) (b ) ) 1 2

= a–1 + × b– 9 × 23

3

2 1 − 3 3

1 3

1 2

14

25 − 12 + 90 30 103 13 = 3 30 30

=

6–7 × 64 = 6–7 + 4 = 6–3 = 13 = 1

·

4

= 6 – 10 + 3

5. Jawaban: a

8.

3 4

= 6 6 + 8 6 – 12 6 = 2 6

52 : 54 = 52 – 4 = 5–2 = 52 = 25

−1

×3

13. Jawaban: b 3 24 + 2 3 ( 32 – 2 18 ) = 3 4 ⋅ 6 + 2 3 ⋅ 32 – 4 3 ⋅ 18 = 6 6 + 2 16 ⋅ 6 – 4 9 ⋅ 6

sebanyak n faktor

 27a −5 b −3   5 −7 −5   3 a b 

c

1

c4

=8 2 :4 2 =2



 1 

3 2

−

1 − ×3 2

= (7 2 + 2 ) : 4 2

1. Jawaban: a an = a × a × a × . . . × a Jadi,

b

b

a2 4 c3


45

×3

= b b

a

a

a2

=

qlogb logbq p = ploga loga q a log b (terbukti) p

= a b

1 log log a

−

= (ab)– 3 =

1 3 (ab)2

4 3

16. Jawaban: d 10 5

10

5

= 5 × 5 =

10 5 5

22. Jawaban: d 7log 343 = 7log (73) = 3 · 7log 7 =3·1=3 23. Jawaban: b log 0,00000155 0,00000155 = log (1,55 · 10–6) = log 1,55 + log 10–6 = 0,19 – 6 = –5,81 24. Jawaban: c

=2 5

17. Jawaban: e 5 2+ 7

5 2+ 7

=

× 2− 7 2− 7

= 5( 2 − 7) 2−7 5( 2 − 7 ) −5

=

= 7 – 2

log(2 ⋅ 7) log(2 ⋅ 3) 2 2 = 2 log 2 + 2log 7 log 2 + log 3 = 11 ++ ab = ab ++ 11 Jawaban: e

5

7

      =  3 2 × 3  +  5 × 5  –  7 × 7   3

3 

 5

3 6

5 5

14 = 2log6 =

+ 2 – 7

5 

 7

7 7

= 3 + 5 – 7 = 6 + 5 – 7

7 

25.

y

= 9 + 6 =3+ 6 20. Jawaban: a

5 − 2 6 = (3 + 2) − 2 3 ⋅ 2

=

= 3 – 2 ×

3+ 2 3+ 2

(10 )

= log (10a)3 – log (10b)2 = log (103a) – log (102b) = 3a – 2b

15 + 2 54 = (9 + 6) + 2 9 ⋅ 6

4 3− 2

2

log x = a ⇒ x = 10a log y = b ⇒ y = 10b Sehingga:

19. Jawaban: c

Sehingga:

2

3 a 3 log x2 = log (10b )2

= 5 + 6 – 7

4 5−2 6

log14

= –( 2 − 7) 18. Jawaban: d 3 2 3

2

6lo logg

26. Jawaban: a 2log 6 + 2log 18 – 2log 27 6 × 18 = 2log  27    = 2log 4 = 2log 22 =2

27. Jawaban: a 5

3log 2

9

4 log 2

+ 16

–

log 5 5 log 3 log 3 3 log

= 4( 33 −+2 2 )

= (32)3log 2 + (42)4log 2 – 3

= 4( 3 + 2 )

= 33log 22 + 44log 22 – 3

21. Jawaban: c Ingat: alog b = c ⇔ ac = b xlo logg 125 125 = 3 ⇔ x3 = 125 x = 3 125 ⇔ x=5 ⇔ Jadi, nilai x adalah 5.

5

5

5

= 22 + 22 – 3 5

=4+4– 3 19

= 3


15

28. Jawaban: b 2log 1 2 x + 4 = 3

b.

23 = 12x + 4 ––––––––––– ––––– ––––––––––– ––––––––– –––– dipan dipangkatk gkatkan an 2 (23)2 = ( 12x + 4 )2 ⇔ 26 = 12x + 4 ⇔ 64 = 12x 12x + 4 ⇔ 12xx = 64 12 64 – 4 ⇔ 12xx = 60 12 60 ⇔ ⇔

60 12

= (a (a–4 · a–1 · b6 · b–6 · c2 · c–4)2 = (a–5 · b0 · c–2)2 = a–10c–4 = 2.

x= =5 Jadi, nilai x adalah 5. ⇔

 −2 2 4 1 −3 −2  2   a   c  2  b     3   2   −2     b   a   c     2  −4 2 6  =  a 6 ⋅ ca ⋅ b4   c  b

2n + 2 ⋅ 6n − 4 12n − 1

=

29. Jawaban: c log 75 = log (75) =

=

1 2

=

1 log 75 2 1 1

3.

11 − 120 = (6 + 5) − 4 ⋅ 30

1

= (6 + 5) − 2 30

1 (2 · 0,6690 + 0,4771) 2

= (6 + 5) − 2 6 ⋅ 5 = 6 – 5

= 2 (2 log 5 + log 3)

1

= 2 (1,338 + 0,4771)

1 6− 5

1

= 2 × 1,8151 = 0,90755 ≈ 0,9076 9

log 25 256 + 25log 49 49 25 3 − 2( log 7 log 4) 4)

= = =

32

52

log 162 + log 72 2 log 7 − 2 3 log 4

24 = 4 × 6 = 2 6 Sehingga:

25

3

5

log 16 16 + log 7 25 log 72 − 2 3 log 4 3

log 42 + 5log 7 2 5 log 72 − 2 3log 4

log 7 − 2 log 4 2m + n n − 2m

3x − y x –2 + 2y–1

=

3 − 12 x y 1 2 + y x2 2

2 2

× x 2 y2 xy

2 = 3x2 y − x2

y + 2x y

16

6+ 5

= 6 + 5

2 11 − 120 +


1 6− 5

– 24

= 2 6 –2 5 + 6 + 5 –2 6 = 6 – 5 4. a. 3 · 32x – 1 = 3 35x + 1 ⇔

32x –1 + 1

⇔

32x

B. Ur Urai aian an –2

× 6+ 5

1 6− 5 6+ 5

3 5 = 25 log 4 + 3log 7

=

=

= 6−5

30. Jawaban: a

1. a.

2n + 2 + n − 4 ⋅ 3n − 4 − (n − 1) 22(n − 1) 22n − 2 ⋅ 3−3 22n − 2

1 1 = 20 · 13 = 1 · 27 = 27 3

= 2 (log 52 + log 3)

–1

2n + 2 ⋅ (2 ⋅ 3)n − 4 (4 ⋅ 3)n − 1 2n + 2 ⋅ 2n − 4 ⋅ 3n − 4 4n − 1 ⋅ 3n − 1

= 22n – 2 – (2n – 2) · 3–3

= 2 (log (52 · 3))

=

=

1 a c

10 4

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

=3 =3

2x =

5x + 1 3 5x + 1 3

5x + 1 3

6x = 5x 5x + 1 6x – 5x 5x = 1 x=1

b.

3

4

228 ⋅ 510 ⋅ 312

= log 37 ⋅ 57 ⋅ 215 ⋅ 3 5 ⋅ 212 ⋅ 5 3

= 0,25 · 23x

2x − 1

⇔

22 3 2x − 1

⇔

3 2 − x +1

2

3−x 3

⇔

2

⇔

3−x 3

1 4

=

= log

· 23x

= log 2 7. a. 4log (3lo logg 9) 9) = 4log (3log 32) = 4log 2 = 22log 2

= 2–2 · 23x = 23x – 2

= 3x – 2 3 – x = 9x 9x – 6 9x + x = 3 + 6 10xx = 9 10

⇔ ⇔ ⇔

1

= 2 b.

1

3x – 2y = 3–4 ⇔ x – 2y = –4 2x – y – 16 = 0 ⇔ 2x – y = 16 x – y = 24 ⇔ 2 =4 ⇔ x – y Eliminasi x dari (1) dan (2): x – 2y = –4 –4 x –y =4 ––––––––– – –y = –8 –8 y=8 ⇔ Substitusi y = 8 ke (2): x – 8 = 4 ⇔ x = 12 Nilai x + y = 8 + 12 = 20 Jadi, nilai x + y adalah 20.

= b.

1 3

⇔

. . . (1)

4

1 3

)=

log 5 + log

– log

log log 3

× 2log7

2lo logg

8. ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

⇔

⇔ ⇔

25 36

((2x 2x – 1) = 4 2log (2x – 1) = 2log 24 2x – 1 = 24 2x – 1 = 16 2x = 16 + 1 2x = 17 17

x= 2 ylog 0,1 0,125 25 = –3 y–3 = 0,125 y–3 = 5–3 y=5 2

 5 ⋅ 5  = log  256    36 

⇔ ⇔

logg z = 2 lo z = ( 2 )2 z=2 17

1 3

= log 6 =

3–1log

xyz = 2 · 5 · 2 = 85 Jadi, nilai xyz adalah 85.

6

= −11 3log 6 = –3log 6 25 7 log 16 + 5 log 24 + 3 log 81 15

7

7

 24      3 ⋅ 5 



5

 25  + log  24    2

5





8log

9.

80

16 = log  15   + log  

= log

1 2

= 4

20

1 3

5 6

×

1

. . . (2)

⇔

3log

=

log log 7 log log 3

1

log log 3 2 log log 72

1

16 + 3log 5 – 3log 4

3log ( 16 × 5

=

log log 7 log log 3

= 22

1 3

c.

log log 7 og 3 7 ⋅ 49log 3 = log3 × llog log 49

9

5. 3x – 2y = 81

3log

3log

x = 10 = 0,9

⇔

6. a.

228 ⋅ 312 ⋅ 510 227 ⋅ 312 ⋅ 510

3

 81   80    4

3



×  35   ×  43    2 ⋅ 3   2 ⋅ 5 

1

a =3

⇔

log log a log8

= 3

⇔

loga log log 23

= 3

⇔

1 1 1

log a = 3 · 3 log 2


17

⇔ ⇔

logg a = log lo log 2 a=2 2lo logg b = 5 logb log log 2

⇔

=5

log b = 5 log 2 logg b = log lo log 25 ⇔ log b = log log 32 32 ⇔ b = 32 ⇔ Jika a = 2 dan b = 32 maka alog b = 2log 32 = 2log 25 = 5 ⇔

a2log b3

10. a.

3

3

15

= 2 alog b = 2 · 5 = 2

xlog x2y

+ ylog x3y–1 – xlog y = xlog x2 + xlog y + ylog x3 + ylog y–1 – xlog y = 2 + xlog y + 3ylog x – 1 – xlog y = 1 + 3 ylog x (terbukti) 3

b. 2 4log 45 – 4log 5 – 3 4log 5 5

= 4log 452 + 4log 3 – 4log 53  5 1  = 4log  452 · 3 · 53    5 1  = 4log   (9 · 5)2 · 3 · 53    92 1  = 4log   3 · 53 · 53    2  = 4log  93   2

=

2 4log ( 3 )

3

4log 33

= = 3 4log 3 (terbukti)

Bab II

A.

Fungsi, Fungsi Kuadr Fungsi, Kuadrat, at, Persamaan Kuadrat, dan Pertidaksamaan Kuadrat


1. Jawaban: c {(1, a), (1, b), (3, a), (4, b)} bukan suatu fungsi karena 1 dipasangkan dua kali yaitu dengan a dan dengan b, yaitu (1, a), (1, b).

18


2. Jawaban: b Pada diagram panah I dan III, masing-masing anggota domain (A) dipasangkan dengan tepat satu anggota kodomain (B). Pada gambar II, ada anggota domain A yang tidak memiliki kawan di B dan ada anggota domain yang memiliki dua pasangan di B. Sedangkan pada diagram IV, ada anggota domain A yang memiliki dua pasangan di B, sehingga II dan IV bukan fungsi. 3. Jawaban: d Range adalah himpunan anggota kodomain (B) yang memiliki pasangan dengan domain (A). Jadi, range pada fungsi di atas adalah {0, 1, 4}. 4. Jawaban: b –3 ∈ x < –2, jadi f(–3) = (–3)2 – (–3) = 9 + 3 = 12 –2 ∈ –2 ≤ x < 2, jadi f(–2) = (–2) – 5 = –7 –1 ∈ –2 ≤ x < 2; jadi f(–1) = (–1) – 5 = –6 0 ∈ –2 ≤ x < 2; jadi f(0) = (0) – 5 = –5 1 ∈ –2 ≤ x < 2; jadi f(1) = (1) – 5 = –4 2 ∈ –2 ≤ x ; jadi f(2) = –1 – 8(2) = –17 Range = {–17, –7, –6, –5, –4, 12}. 5. Jawaban: c I dan IV bukan merupakan fungsi karena jika dibuat dibuat garis tegak pada –9 ≤ x ≤ 9 (untuk gambar I) dan garis tegak pada x ≥ 0 (untuk gambar IV) maka garis tegak tersebut akan memotong grafik di dua titik. 6. Jawaban: a f(w) = 2w + 3 terdefinisi jika memenuhi syarat: 2w + 3 ≥ 0 ⇔ 2 w ≥ –3

⇔

3

w≥–2 3

Jadi, daerah asal alami fungsi fungs i tersebut {w | w ≥ – 2 , w ∈ R}. 7. Jawaban: c 2+x

f(x) = x + 3 terdefinisi apabila penyebutnya tidak nol. Sehingga dapat ditentukan: x + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ –3 Jadi, daerah asal alami fungsi tersebut {x | x ∈ R, x ≠ –3}. 8. Jawaban: a Jika x = 1 maka digunakan rumus h(x) = –x2 – 4. Sehingga h(1) = –(1)2 – 4 = –5. 9. Jawaban: d f(8) = 2log 2(8) = 2log 16 =4

1

1

f( 8 )= 2log 2( 8 ) 1

= 2log 4 = –2 1 Jadi, f(8) = 4 dan f( 8 ) = –2. 10. Jawaban: c f(2) = 22 + 1 = 5 f(–4) = (–4)2 + 1 = 16 + 1 = 17 1

1

f( 2 ) = 2 · 2 – 1 = 0 f(3) = 32 + 1 = 10 1

f(2) · f(–4) + f( 2 ) · f(3) = 5 · 17 + 0 · 10 = 85 + 0 = 85 11. Jawaban: d g(x) = –x – 2 Untuk x = –3, diperoleh: g(–3) = –(–3) –(–3) – 2 =3–2=1 g((–3)2) = g( g(9) 9) = –9 –9 – 2 = –11 untuk x = –3 maka 2(g(x))2 + g(x2) – 3g(x) 3g(x) = 2(g(– 2(g(–3)) 3))2 + g((–3)2) – 3g(–3) = 2 · 12 + (–11) – 3 · 1 = 2 – 11 – 3 = –12 12. Jawaban: b f(x) = bx f(y) = by f(x + y) = b x + y = bx · by = f(x)f(y) Jadi, berlaku f(x)f(y) = f(x + y). 13. Jawaban: c 2 g(t) = t − 4 dan t ≠ 4 Perhatikan g(t) merupakan pecahan dengan pembilang konstanta bukan nol yaitu 2, akibatnya 2 untuk setiap nilai t anggota bilangan real g(t) = t − 4 tidak mungkin nol (0). Jadi, g(t) ≠ 0 dengan kata lain 0 bukan anggota daerah hasil. 14. Jawaban: b Diagram panah pada pilihan b menunjukkan suatu fungsi dari A ke B yang surjektif karena setiap anggota B mempunyai prapeta di A. 15. Jawaban: b Himpunan pasangan berurutan pada pilihan b merupakan suatu fungsi satu-satu karena setiap anggota domain mempunyai pasangan berbeda di kodomain. 16. Jawaban: a g(x) g( x) ter terde defifini nisi si jik jikaa 5x – 10 10 > 0 ⇔ 5x > 10 ⇔ x >2

Diperoleh Dg = {x | x > 2, x ∈ R}. Di antara pilihan jawaban jawa ban yan yangg buk bukan an meru merupak pakan an ang anggot gotaa Dg adalah x = 2. 17. Jawaban: b f(x) = 3 2x − 5 f(a) = 3 2a − 5 = –3 ⇔ 2a – 5 = (–3) (–3)3 ⇔ 2a – 5 = –27 –27 ⇔ 2a = –22 –22 ⇔ a = –11 –11 Jadi, a + 1 = –11 + 1 = –10. 18. Jawaban: a I. f(x) = x2 – 2x f(–x)) = (–x) f(–x (–x)2 – 2(–x) = x2 + 2x Diperoleh f(x) ≠ f(–x). II. f(x) = x3 – x f(–x)) = (–x) f(–x (–x)3 – (–x) = –x3 + x Diperoleh f(x) ≠ f(–x). III. II I. f( f(x) x) = si sinn x f(–x)) = sin (–x) f(–x (–x) = –sin x Diperoleh f(x) ≠ f(–x). IV.. f( IV f(xx) = co coss x f(–x)) = cos (–x) f(–x (–x) = cos x Diperoleh f(x) = f(–x). Jadi, fungsi yang memenuhi f(x) = f(–x) adalah f(x) = cos x. 19. Jawaban: a Grafik (i) dan (ii) menunjukkan fungsi berkorespondensi satu-satu karena setiap garis tegak bertemu pada tepat satu titik dengan grafik dan setiap garis mendatar bertemu pada tepat satu titik dengan grafik. 20. Jawaban: c Perhatikan bentuk y = 9 − x2 . Untuk x = 0 maka y mempunyai nilai 3 atau –3, berarti terdapat anggota daerah asal yaitu x = 0 yang mempunyai dua kawan/peta. Jadi, y = 9 − x2 bukan fungsi. B. Ur Urai aian an

1. g(t) akan akan terdefinis terdefinisii di R jika jika memenuhi memenuhi syarat syarat:: t + 1 ≠ 0 ⇔ t ≠ –1 Jadi, daerah asal alami fungsi tersebut adalah {t | t ∈ R, t ≠ – 1}.


19

2. a. f(x) = 2x + 1 f(–1) = 2(–1) + 1 = –1 f(0) f( 0) = 2(0 2(0)) + 1 = 1 f(1) f( 1) = 2(1 2(1)) + 1 = 3 f(2) f( 2) = 2(2 2(2)) + 1 = 5 f(3) f( 3) = 2(3 2(3)) + 1 = 7 Jadi, daerah hasilnya = {–1, 1, 3, 5, 7}. b. f(x) = 2x + 1 Jika disubstitusikan x ∈ R maka dihasilkan f(x) ∈ R. Jadi, daerah hasilnya adalah R. 3. a. f(x) = 2x + 1 f(–1) = 2(–1) + 1 = –1 f(0) f( 0) = 2(0 2(0)) + 1 = 1 f(1) f( 1) = 2(1 2(1)) + 1 = 3 f(2) f( 2) = 2(2 2(2)) + 1 = 5 f(3) f( 3) = 2(3 2(3)) + 1 = 7 Jadi, daerah hasilnya = {–1, 1, 3, 5, 7}. b. f(x) = 2x + 1 Jika disubstitusikan x ∈ R maka dihasilkan f(x) ∈ R. Jadi, daerah hasilnya adalah R. 4. a. Domain A = {0, 1, 2} b. Ko Kodo doma main in B = {– {–2, 2, –1 –1,, 0, 0, 1, 1, 2} 2} c. Unt Untuk uk mene menentu ntukan kan dae daerah rah has hasil, il, dic dicari ari pet petaa masing-masing anggota domain. f(x) = x2 – 2x f(0) = 02 – 2 ⋅ 0 = 0 f(1) = 12 – 2 ⋅ 1 = –1 f(2) = 22 – 2 ⋅ 2 = 0 Jadi, daerah hasil f(x) adalah {–1, 0}. 5. f(x) = x2 + 1 f(0) = 02 + 1= 1 f(1) = 12 + 1 = 2 f(2) = 22 + 1 = 5

A 0 1 2

B 1 2 3 4 5

Fungsi f(x) adalah fungsi injektif karena setiap anggota himpunan A mempunyai bayangan berbeda di B. Fungsi f(x) bukan fungsi surjektif karena 3 ∈ B dan 4 ∈ B tidak memiliki prapeta di A. Karena f(x) bukan fungsi surjektif, pasti f(x) bukan fungsi bijektif. Jadi, f(x) merupakan fungsi injektif saja. 6. Am Ambil bil x = –2 –2 dan dan x = 2 maka: maka: 2 f(–2) = (–2) – 1 = 3 f(2) = 22 – 1 = 3 Diperoleh f(–2) = f(2). Dengan demikian, f(x) = x2 – 1 bukan merupakan fungsi injektif karena terdapat x1 ≠ x2 (anggota domain) yang mempunyai bayangan di kodomain sama (f(x1) = f(x2)).

20


7. a. f(x) = 2x2 + 3x + 5 f(a) = 2a2 + 3a + 5 b. f(a – 1) = 2(a – 1)2 + 3(a – 1) + 5 = 2(a2 – 2a + 1) + 3a – 3 + 5 = 2a2 – a + 4 c. f(a) = 2a2 + 3a + 5 f(aa – 1) = 2a f( 2a2 – a + 4 ––––––––––––––––––––––– – f(a) – f(a – 1) = 4a + 1 d. f(a) – f(a – 1) = 3 ⇔ 4a + 1 = 3 ⇔ 4a = 2 1

⇔

a= 2 8. Graf Grafik ik (i) dan (iii) (iii) menunjuk menunjukkan kan fungsi fungsi berkorespondensi satu-satu karena setiap garis tegak bertemu pada tepat satu titik dengan grafik dan setiap garis mendatar bertemu pada tepat satu titik dengan grafik. Grafik (ii) bukanlah suatu fungsi karena jika dibuat garis tegak untuk pada daerah x > 0, garis tegak akan memotong grafik di dua titik. Grafik (iv) bukan fungsi berkorespondensi satusatu karena jika dibuat garis mendatar (pada daerah y ≤ 0) garis tersebut memotong grafik di dua titik. 9. a. f(x) = x2 – 3x + 2 f(3) = 32 – 3(3) + 2 =2 f(4) = 42 – 3(4) + 2 =6 2 f (4) + 2f(3) · f(4) + f2(3)= 62 + 2 ⋅ 2 ⋅ 6 + 22 = 36 + 24 + 4 = 64 b. {f(4) + f(3)}2 = (6 + 2)2 = 64 10. a. Luas DABC =

1 2

C

· AB · CD

CD = BC2 − DB2

k

k)2 = k2 − ( 21 k) = k2 −

k2 4

1 2

k

A

k

k2

= 2 3

1

k

L∆ABC = 2 × k × 2 3 = 4

1 2

k D

k B

3

k2

b. A(k) = 4 3 = 3 ⇔ k2 · 3 = 3 · 4

⇔

k2 =

3 ⋅4 3

⇔ k2 = 4 ⇔ k = 2 at atau k = –2 Oleh karena k panjang sisi segitiga maka k > 0, jadi k yang memenuhi 2.

8. Jawaban: e Persamaan sumbu simetri: −1+ 5

A.


1. Jawaban: b Grafik fungsi konstan sejajar dengan sumbu X. 2. Jawaban: d Fungsi kuadrat y = (x – 6)(x + 2). Titik potong terhadap sumbu X adalah (6, 0) dan (–2, 0). 6 + (−2) 2) Absis puncak xp = x1 + x 2 = 2 = 2 2 Ordinat puncak yp = (2 – 6)(2 + 2) = –4(4) = –16 Titik puncak (2, –16).

3. Jawaban: a Yang merupakan pernyataan benar adalah i, ii, iii. Pernyataan iv salah karena fungsi kuadrat tidak selalu memotong sumbu X di dua titik tetapi bisa menyinggung, memotong dua titik, atau tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu X. 4. Jawaban: d Grafik menghadap ke bawah berarti a < 0. Grafik memotong sumbu Y di c negatif berarti c < 0. Grafik tidak memotong sumbu X berarti D < 0. 5. Jawaban: a Dengan bantuan tabel diperoleh beberapa titik bantu. x

0

1

2

3

4

f(x)

8

6

4

2

0

Jika digambarkan pada bidang koordinat Cartesius diperoleh: 8

0

f(x)

9. Jawaban: c k = f(4) f(4) = (4) (4)2 – 3(4) – 4 = 16 – 12 – 4 =0 10. Jawaban: a Pembuat nol fungsi: f(x) = 0 ⇔ x2 + 2x 2x – 15 = 0 5)(xx – 3) = 0 ⇔ (x + 5)( ⇔ x1 = –5 atau x2 = 3 Persamaan sumbu simetri: x +x

−5 + 3

x = 1 2 2 = 2 = –1 f(–1) = (–1)2 + 2(–1) – 15 = –16 Jadi, koordinat titik baliknya (–1, –16). 11. Jawaban: c f(x) = –x2 + 4x + 8 a = –1 < 0 berarti grafik membuka ke bawah atau mempunyai titik balik maksimum. 12. Jawaban: e f(x) f( x) = –2 –2ax ax2 + 4x – 5a −D

ymin = 4a

⇔

−(b2 − 4ac) 4a 2 −(4 − 4(−2a)(−5a)) –3 = 4a −(16 − 40a2 ) –3 = 4a 2 40a − 16 –3 = 4a

⇔

–3 =

⇔ ⇔ ⇔

–3 =

10a2 − 4 a

⇔ –3a = 10a2 – 4 ⇔ 10a2 + 3a – 4 = 0 ⇔ (5 (5aa + 4)( 4)(2a 2a – 1) = 0 ⇔

X

4 f(x) = 8 – 2x

x +x −1 + 2 x= 12 2 = 2 Jawaban: d

=

4

1

a = – 5 atau a = 2 4

4

4

16

Untuk a = – 5 ⇒ (– 5 )2 – 5(– 5 ) + 4 = 25 + 4 + 4

6. Jawaban: b 7.

4

x= 2 = 2 =2 Nilai maksim maksimum um = f(2) = –22 + 4 · 2 + 5 = –4 + 8 + 5 =9

1 2

f(x) = 0 ⇔ x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 1) = 0 ⇔ x = –3 atau x = 1

16

= 25 + 8 16

= 8 25


21

1

1

1

1

5

1

10

Untuk a = 2 ⇒ ( 2 )2 – 5( 2 ) + 4 = 4 – 2 + 4 16

= 4 – 4 + 4 7

= 4 3

=14 13. Jawaban: b

f(x) = 16 f(x) 16 ⇔ 7 – 6x – x2 = 16 ⇔ x2 + 6x + 16 – 7 = 0 ⇔ x2 + 6x 6x + 9 = 0 dengan memfaktorkan x2 + 6x + 9 diperoleh: ⇔ (x + 3)(x 3)(x + 3) = 0 ⇔ (x + 3)2 = 0 (x + 3) 3) = 0 ⇔ ⇔ x = –3 Jadi, nilai x yang menyebabkan f(x) mencapai maksimum adalah –3.

14. Jawaban: c Daerah hasil f(x) = 8 – 2x – x2 untuk x ∈ R adalah setiap bilangan real, sehingga untuk daerah asal anggota bilangan real maka f(x) mempunyai nilai minimum bilangan real yang sangat kecil (negatif tak hingga). 15. Jawaban: d h(t) = 30t – 5t2 Pembuat nol fungsi: 30t – 5t2 = 0 ⇔ 5t(6 5t (6 – t)t) = 0 ⇔ t1 = 0 atau t2 = 6 t +t

0+6

t= 12 2 = 2 =3 h(3) = 30(3) – 5(3)2 = 90 – 45 = 45 Jadi, tinggi bola maksimum 45 m. B. Ur Urai aian an

1. a. y = 2x – 5 Titik potong terhadap sumbu X berarti y = 0. 0 = 2x – 5 ⇔ 5 = 2x 5 2

⇔ x= Jadi, titik potong y = 2x – 5 terhadap sumbu X 5 adalah ( 2

22

, 0).


b. 3x + 2y = 6 Titik potong terhadap sumbu X berarti y = 0. 3x + 2(0 2(0)) = 6 ⇔ 3x = 6 x =2 ⇔ Jadi, titik potong 3x + 2y = 6 terhadap terhada p sumbu X adalah (2, 0). c. y = (x – 2)2 – 5 Titik potong terhadap sumbu X berarti y = 0. y = (x (x – 2)2 – 5 ⇔ 0 + 5 = (x (x – 2) 2)2 ⇔ x–2 =± 5 ⇔ x=2± 5 ⇔ x = 2 + 5 atau x = 2 – 5 Jadi, titik potong y = (x – 2)2 – 5 terhadap sumbu X adalah (2 + 5 , 0) dan (2 – 5 , 0). 2. a. y = 2 – 5x Titik potong terhadap sumbu Y berarti x = 0. y = 2 – 5(0) ⇔ y=2 Jadi, titik potong terhadap sumbu Y adalah (0, 2). b. 2x + 3y = 9 Titik potong terhadap sumbu Y berarti x = 0. 2(0) 2( 0) + 3y = 9 3y= 9 ⇔ ⇔ y=3 Jadi, titik potong 2x + 3y = 9 terhadap terhada p sumbu Y adalah (0, 3). c. 2y = 3x2 + 5x – 6 Titik potong terhadap sumbu Y berarti x = 0. 2y = 3( 3(0) 0)2 + 5(0) – 6 ⇔ 2y = –6 ⇔ y = –3 Jadi, titik potong 2y = 3x2 + 5x – 6 terhadap sumbu Y adalah (0, –3). 3. a. Daerah asal: {x | x ≤ 4, x ∈ cacah} = {0, 1, 2, 3, 4} x

0

1

2

3

4

3x

0

3

6

9

12

–1

–1

–1

–1

–1

–1

f(x)

–1

2

5

8

11

(x, f(x))

(0, –1) (1, 2)

(2, 5)

(3, 8) (4, 11)

Dari tabel di atas pada baris ke-4 diperoleh daerah hasil = {–1, 2, 5, 8, 11}.

Gambar grafik h(x) = 2 – x – x2

b. Gra Grafik fik fun fungsi gsi pad padaa bid bidang ang Car Cartes tesius ius.. Y

Y

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

f(x) = 3x – 1

3 2 1 X –4 –3 –2–1 0 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 h(x) = 2 – x – x 2 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10

X

0 1 2 3 4 –1

5. a. y = 1 men menyi ying nggu gung ng pa para rabo bolla y = x2 + bx + 3 berarti 1 = x2 + bx + 3 ⇔ x2 + bx + 2 = 0 Syarat menyinggung: D = 0. b2 – 4ac = 0 ⇔ b2 – 4 · 1 · 2 = 0 ⇔ b2 – 8 = 0 ⇔ b =±2 2

4. a. g(x) = 4 – 2x Titik bantu: x

–2

–1

0

1

2

g(x)

8

6

4

2

0

Gambar grafik g(x) = 4 – 2x: Y 8 7 6 5 4 3 2

g(x) = 4 – 2x

1 –2 –1 0 –1

1

2

3 4

X

5

b. h(x) = 2 – x – x2 Titik bantu: x

–3

–2

–1

0

1

2

3

h(x)

–4

0

2

2

0

–4

–10

Jadi, b = –2 2 atau b = 2 2 . b. Ru Rumu muss fu fung ngsi si ku kuad adra rat: t: Untuk b = –2 2 → y = x2 – 2 2 x + 3. Untuk b = –2 2 → y = x2 + 2 2 x + 3. c. Koo Koordi rdinat nat tit titik ik sing singgun gungg dari dari y = 1 dan fun fungsi gsi kuadrat: (i) Un Untu tukk garis y = 1 da dann fungs fungsii kuadrat kuadrat y = x2 – 2 2 x + 3. 1 = x2 – 2 2 x + 3 ⇔ 0 = x2 – 2 2 x + 2 ⇔ 0 = (x – 2 )2 ⇔ x= 2 Jadi, titik singgungnya ( 2 , 1). (ii) Un Untu tukk garis garis y = 1 da dann fungsi fungsi kuadrat kuadrat y = x2 + 2 2 x + 3. 1 = x2 + 2 2 x + 3 ⇔ 0 = x2 + 2 2 x + 2 ⇔ 0 = (x + 2 )2 ⇔ x=– 2 Jadi, titik singgungnya (– 2 , 1). 6. a. Bo Bola la me meny nyen entu tuhh tan tanah ah ke ketitika ka h( h(t) t) = 0. 0. h(t) h( t) = 0 ⇔ 40t – 5t2 = 0 ⇔ 5t2 – 40 40t = 0 ⇔ 5t(t 5t (t – 8) 8) = 0 ⇔ t = 0 dan dan t = 8 Kunci Jawaban dan Pembahasan PR Matematika Kelas X

23

Jadi, bola kembali menyentuh tanah setelah 8 detik. b. h(t) = 40t – 5t2 Pembuat nol h(t) adalah t = 0 dan t = 8 2

Tinggi Ting gi maksi maksimum mum = h(3) = 40 · 4 – 5 · 42 = 160 – 80 = 80 meter Jadi, tinggi maksimum bola 80 meter. 7. a. f( x) = –x2 + 6x – 5 dengan daerah asal {x | 0 £ x £ 6, x Î R}. Ambil beberapa titik bantu. x

0

1

2

3

4

5

6

–x2

0

–1

–4

–9

–16

–25

–36

6x

0

6

12

18

24

30

36

–5

–5

–5

–5

–5

–5

–5

–5

(x, f(x))

–5

0

(0, –5) (1, 0)

3

4

3

(2, 3)

(3, 4)

(4, 3)

Gambar titik-titik bantu pada koordinat Cartesius, kemudian hubungkan dengan kurva mulus.

5 4 3 2 1

2

0

D

h(t) = – 4a = –

2 a = –5 2

⇔ f( f(x) x) = – 5 (x + 3)(x – 5) Kunci Jawaban dan Pembahasan PR Matematika Kelas X

=–

(602 − 4 ⋅ (−7, 5) ⋅ 0) 4(−7,5) ,5)

−(3.600) −30

−b

t = 2a −60

⇔ t = 2(−7,5) ,5) ⇔ t =4 Jadi, waktu yang diperlukan untuk mencapai tinggi maksimum peluru itu adalah 4 detik.

Y

6

4

= 120 Jadi, tinggi maksimum peluru itu 120 meter. b. Wak Waktu tu yan yangg dipe diperlu rlukan kan seh sehing ingga ga men mencap capai ai tinggi maksimum:

(5, 0) (6, –5)

⇔ a = −15

(b2 − 4ac) 4a

=

–5

b. Dari Dari grafi grafikk dipero diperoleh leh pem pembua buatt nol fung fungsi: si: x = 1 dan x = 5 Persamaan sumbu simetri: x = 3. Nilai balik maksimum: y = 4. Koordinat titik balik (3, 4). Daerah hasil {y | –5 ≤ y ≤ 4, y ∈ R}. 8. Parab Parabola ola di atas memoto memotong ng sumbu sumbu X di di (–3, 0) dan (5, 0) dan memotong sumbu Y di (0, 6). Dengan f(x) = a(x – x1)(x – x2) diperoleh: f(x) = a(x + 3)(x – 5) Grafik melalui (0, 6) sehingga diperoleh: f(x) = a(x + 3)(x – 5) ⇔ 6 = a(0 + 3)(0 – 5) ⇔ 6 = –15a

24

x+6

Jadi, rumus fungsi tersebut f(x) = – 5 x2 + 5 x + 6. 9. a. h(t) = 60t – 7,5t2 Peluru mencapai maksimum untuk

10. a.

1

1

Luas DAEF = 2 × AE × AF = 2 × x × (8 – 2x) = 4x – x2 1

1

Luas ∆EBC = 2 × EB × BC = 2 × (8 – x) × 8 = 32 – 4x

0 1 2 3 4 5 6 X –1 –2 –3 –4 –5 (0, –5) x = 3 (6, –5)

⇔

4 5

⇔ f( f(x) x) = – 5 x2 +

4

Sumbu simetri: t = 0 + 8 = 4

f(x)

2

⇔ f( f(x) x) = – 5 (x2 – 2x – 15)

1

1

Luas ∆CDF = 2 × CD × DF = 2 × 8 × 2x = 8x b. Luas ∆CEF = luas persegi ABCD – luas ∆AEF – luas ∆EBC – luas ∆CDF = 64 – (4x – x2) – (32 – 4x) – 8x = 64 – 4x + x2 – 32 + 4x – 8x = 32 – 8x + x2 c. Gr Graf afik ik fu fung ngsi si L( L(x) x) = 32 32 – 8x 8x + x2 digambar dengan menentukan nilai-nilai x yang bulat dari daerah asal. Setelah itu, tentukan nilai f(x) yang bersesuaian. x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x2

0

1

4

9

16

25

36

49

64

–8x

0

–8

–16 –24 –32 –40 –48 –56 –64

32

32

32

32

32

32

32

32

32

32

f(x)

32

25

20

17

16

17

20

25

32

Pada kertas berpetak, gambar titik-titik (0, 32), (1, 25), (2, 20), (3, 17), (4, 16), (5, 17), (6, 20), (7, 25), dan (8, 32).

Grafik fungsi L, diperoleh dengan menggambar kurva mulus melalui titik-titik itu. L(x)

b

α·β=

c a

15

= – 5 = –3

3 3β + 3α 3 α + β = α ⋅β 3(α + β) = α ⋅β 3 ⋅ (−2) = −3 = 2 5. Jawaban: e

25 20 17 16 10 5 X

0 1 2 3 4 5 6 7 8

d. Dari Dari grafi grafikk terse tersebut but dpe dperol roleh eh titi titikk balik balik min mini-imum adalah (4, 16). Untuk x = 4 diperoleh nilai minimum L(x) = 16. Jadi, luas minimum dari ∆CEF adalah 16 cm2.

4 adalah akar 3x2 + bx – 8 = 0 berarti 3 · 42 + b · 4 – 8 = 0 ⇔ 3 · 16 + 4b – 8 = 0 ⇔ 48 + 4b – 8 = 0 ⇔ 4b + 40 40 = 0 ⇔ 4b = –40 –40 ⇔ b = –10 –10 Jadi, b2 – b = (–10)2 – (–10) = 100 + 10 = 110.

6. Jawaban: e Misal x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan tersebut dan x1 = x22, sehingga:


1. Jawaban: d Persamaan kuadrat mempunyai akar real berarti mempunyai akar real berbeda atau akar real yang kembar (D > 0 atau D = 0). D≥0 ⇔ b2 – 4ac ≥ 0 ⇔ (2m – 1)2 – 4 · 1 · m2 ≥ 0 ⇔ 4m2 – 4m + 1 – 4m2 ≥ 0 –4m + 1 ≥ 0 ⇔ ⇔ –4m ≥ –1 1

⇔

m≤ 4

2. Jawaban: c 2x2 – 7x + 6 = 0 ⇔ (2x – 3)(x 3)(x – 2) 2) = 0 3 2

⇔ x=

atau at au x = 2

Diperoleh x1 + x2

1 =–3

dan

2

x1 x2 = a = – 3 1

2

9(x1 + x2)2 – 6x1x2 = 9(– 3 )2 – 6(– 3 ) 1

= 9( 9 ) + 4 =5

24

⇒ x22 · x2 = 3 ⇔ x23 = 8

⇔ x1 = x22 = 22 = 4 b

x2 = 3 8 = 2 k−6

x1 + x2 = – a ⇒ 2 +4 =– 3 6 · 3 = –k –k + 6 ⇔ ⇔ k = 6 – 18 18 = –12 –12 7. Jawaban: b 9x2 – (6 + 6p)x + 3p = 0 mempunyai akar yang saling berkebalikan, maka berlaku a = c. 3p = 9 ⇔ p = 3 Jumlah akar-akar persamaan kuadrat: 6 + 6⋅ 3 −(−(6 + 6p)) = 9 9 24 8 = 9 = 3 8. Jawaban: b

x1 + x2 = – a =

3. Jawaban: e x 1 dan x 2 akar-akar persamaan kuadrat 3x2 + x – 2 = 0. b =–a

c

x1 · x2 = a

b

3

Jadi, akar-akarnya 2 dan 2.

c

10

Diperoleh α + β = – a = – 5 = –2 dan

35 32 30

A.

4. Jawaban: d 5x2 + 10x – 15 = 0 mempunyai akar α dan β

Misal: x1 akar x2 – 3x + p = 0 maka x1 + 3 akar x2 – 3x – 2p = 0. Sehingga berlaku: (x1 + 3)2 – 3(x1 + 3) 3) – 2p = 0 2p = 0 ⇔ x12 + 6x1 + 9 – 3x1 – 9 – 2p 2 ⇔ x1 + 3x1 – 2p = 0 . . . (1) x1 akar x2 – 3x + p = 0 maka x12 – 3x1 + p = 0 . . . (2)


25

Eliminasi x12 dari (1) dan (2): x12 + 3x1 – 2p 2p = 0 x12 – 3x1 + p = 0 –––––––––––––––– – p 6x1 – 3p 3p = 0 ⇔ 6x1 = 3p ⇔ x1 = 2 p

Substitusi x1 = 2 ke (2): x12 – 3x1 + p = 0 p

p

⇔ ( 2 )2 – 3( 2 ) + p = 0 2

3p

p ⇔ – 2 +p=0 4 ––––––––––––––––––– ×4 ⇔ p2 – 6p 6p + 4p = 0 ⇔ p2 – 2p 2p = 0 ⇔ p(pp – 2) p( 2) = 0 p = 0 ata atauu p = 2 ⇔ Jadi, p = 2 (karena p ∈ bilangan asli).

1

⇔ α1 = – 2 atau α2 = 2 1

9

p= 8 −b

Jumlah kedua akar: x1 + x2 = a =

−(−(2p − 1)) p+2

=

2 ⋅ 98 − 1 9 +2 8

=

5 4 25 8

2

= 5 2

Jadi, jumlah kedua akar 5 . 10. Jawaban: b x1 dan x2 akar-akar persamaan 2x2 – 7x – 6 = 0. −b

7

x1 + x2 = a = 2 −6

c

x1x2 = a = 2 = –3 1 x1

x +x

1

+ x = 2x x 1 2 1 2 =

1

7 2 −3

12. Jawaban: e Akar-akar x2 + (a – 1)x + 6 = 0 adalah x1 dan x2. b

x1 + x2 = – a = –(a – 1) = 1 – a c

x1 · x2 = a = 6 Oleh karena berlaku x12 + x22 = 13 maka: x12 + x22 = 13 ⇔ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 13 ⇔ (1 – a)2 – 2 · 6 = 13 13 1 – a = ± 25 ⇔ ⇔ a = 1 ±5 ⇔ a = –4 –4 atau atau a = 6 Oleh karena a > 0 maka yang memenuhi a = 6. 13. Jawaban: e p2x2 – 4px + 1 = 0 punya akar yang saling berkebalikan maka berlaku: a =c ⇔ p2 = 1 ⇔ p =± 1 ⇔ p = ±1 Jadi, p = 1 atau p = –1. 14. Jawaban: a 3x2 + 5x + 1 = 0 mempunyai akar α dan β

α+β= 1 α2

1 −5 , αβ = 3 3

α 2 + β2 + 12 = 2 (αβ)

β

α + β 2 − αβ αβ = ( ) 22 (αβ)

=

( −35 )2 − 2 ⋅ 31 ( 31 )2

=

19 9 1 9

7

=–6

26

5

α1 = – 2 ⇒ k = 3 × (– 2 ) – 1= – 2 α2 = 2 ⇒ k = 3 × 2 – 1 = 5

9. Jawaban: d (p + 2)x2 – (2p – 1)x + p – 1 = 0 mempunyai dua akar sama maka D = 0. D=0 2 ⇔ (–(2p – 1)) – 4(p + 2)( 2)(pp – 1) = 0 2 2 2) = 0 ⇔ 4p – 4p + 1 – 4(p + p – 2) 2 2 ⇔ 4p – 4p + 1 – 4p – 4p 4p + 8 = 0 ⇔ –8pp + 9 = 0 –8

⇔

11. Jawaban: c Jika α dan β adalah akar-akar dari x2 – (k + 1)x + (k + 3) = 0 maka: α + β = k + 1 dan αβ = k + 3. Oleh karena diketahui akar yang satu dua kali akar yang lain, β = 2α maka berlaku: α + β = 3α = k + 1 ⇔ k = 3α – 1 dan α · β = 2α2 = k + 3 ⇔ k = 2α2 – 3 sehingga diperoleh: 3α – 1 = 2α2 – 3 ⇔ 2α2 – 3α – 2 = 0 2) = 0 ⇔ (2α + 1)(α – 2)


= 19

15. Jawaban: c α dan β akar-akar x2 + (a – 1)x + 2 = 0 α · β = 2 ⇔ 2β · β = 2 ⇔ β2 = 1 ⇔ β = ±1 α + β = –(a – 1) ⇔ 2β + β = 1 – a ⇔ 3β = 1 – a ⇔ a = 1 – 3β Untuk β = 1 ⇒ a = 1 – 3(1) = –2 Untuk β = –1 ⇒ a = 1 – 3(–1) = 4 Oleh karena a > 0 maka nilai a yang memenuhi 4. 16. Jawaban: d x2 – mx + 4 + m = 0 D

⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

|x1 – x2| = a

(−m)2 − 4(4 + m) 1

=4

m2 – 16 – 4m = 16 16 2 m – 4m 4m – 32 32 = 0 (m – 8)(m 8)(m + 4) = 0 m = 8 atau atau m = –4

−b

x1 + x2 = a = m Jadi, jumlah akar-akarnya –4 atau 8. 17. Jawaban: d Oleh karena α da dann β adalah akar-akar dari 2 persamaan x + ax + b = 0 maka α · β = b dan α + β = –a. α2β + αβ2 = 6 ⇔ αβ(α + β) = 6 ⇔ (–a) (– a)bb = 6

⇔ α–1 + β–1 =

3 2

⇔ ⇔

−a = b

⇔

–a =

⇔

–a =

⇔ −6

α+β αβ =

36

−6 b= a 3 2 3 2 3 b 2 3 −6 × 2 a

–a2 = –9 ⇔ a2 = 9 36

b2 = ( a )2 = a2 = 9 = 4 Jadi, nilai a2 – b2 = 9 – 4 = 5. 18. Jawaban: e p dan q akar-akar dari 2x2 + 2px – q2 = 0 D

p–q= a =6

⇔ p2 + 2q2 = 6 ⇔ p2 + 2q2 = 36 . . . (1) p–q=6⇔p=6+q . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (1): (6 + q)2 + 2q2 = 36 ⇔ 36 + 12q + q2 + 2q2 = 36 ⇔ 3q2 + 12q 12q = 0 ⇔ 3q(q 3q (q + 4) 4) = 0 q = 0 atau atau q = –4 ⇔ Untuk q = –4 ⇒ p = 6 + (–4) = 2 Jadi, pq = 2 · (–4) = –8. 19. Jawaban: c x2 + bx – 2 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2 x1 + x2 = –b dan x1 · x2 = –2 x1 2x 2

⇔

1

= (x1 – 2 ) 1

x1 = 2x2(x1 – 2 )

⇔ x1 = 2x2 · x1 – 2x2 · x1 = 2x2 · x1 – x2 ⇔ ⇔ x1 + x2 = 2x1 · x2 –b = 2(– 2(–2) 2) ⇔ ⇔ b=4

20. Jawaban: e 2x2 + 6x + 3 = 0 mempunyai akar x1 dan x2 3

x1 + x2 = –3 dan x1 · x2 = 2 3

Misalkan a = x1 + x2 = –3 dan b = x1 · x2 = 2 . Persamaan kuadrat dengan akar-akar a dan b: x2 – (a + b)x + ab = 0

⇔ x2 – (–3 +

3 2

⇔ ⇔

2

(2p) + 4 ⋅ 2 ⋅ q 2

4p2 + 8q2 2

=6 =6

3

)x + (–3) 2 = 0 3

9

x2 + 2 x – 2 = 0 2x2 + 3x 3x – 9 = 0

⇔ ⇔

21. Jawaban: b 2x2 + x – 2 = 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2 b

−1

c

x1 + x2 = – a = 2 dan x1 · x2 = a = –1 Misalkan akar-akar baru y1 = x1 + 1 dan y2 =

1 x2

1

+ 1. 1

y1 + y2 = ( x1 + 1) + ( x + 1) 2 1 1 = x1 + x + 2 1

2

1 2

=

x1 + x 2 x1x 2 −1 2

2

+2 1

5

= −1 + 2 = 2 + 2 = 2


27

1

y1 · y2 = ( x1 + 1)( x + 1) 2 1 1 1 = x x + x1 + x + 1 1 2 2 1 x +x

1

= x x + 1x x 2 + 1 1 2 1 2 =

−1 2

1 −1

1

1

+ −1 + 1 = –1 + 2 + 1 = 2 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya y1 dan y2: x2 – (y1 + y2)x + y1y2 = 0 5

1

x2 – 2 x + 2 = 0 ––––––––––––––––––––– × 2 ⇔ 2x2 – 5x 5x + 1 = 0 22. Jawaban: a Akar-akar dari x2 + 5x – 2 = 0 adalah x1 dan x2, maka x1 + x2 = –5 dan x1 · x2 = –2. Misal akar-akar baru y1 = x1 – 3 dan y2 = x2 – 3. y1 + y2 = (x1 – 3) + (x2 – 3) = x1 + x2 – 6 = –5 – 6 = –11 y1y2 = (x1 – 3)(x2 – 3) = x1x2 – 3(x1 + x2) + 9 = –2 – 3(–5) + 9 = 22 Persamaan kuadrat baru yang akarnya y1 dan y2: x2 – (y1 + y2)x + y1y2 = 0 ⇔ x2 – (–11)x (–11)x + 22 = 0 2 ⇔ x + 11x 11x + 22 22 = 0 23. Jawaban: c x1 dan x2 akar-akar x2 – x + 2 = 0 x1 + x2 = 1 x1 · x2 = 2 Persamaan kuadrat baru yang akarnya 2x1 – 2 dan 2x2 – 2 adalah: ⇔x2 – (2x1 – 2 + 2x2 – 2)x + (2x1 – 2)(2x2 – 2)= 0 ⇔ x2 – (2x1 + 2x 2x2 – 4)x + 4x1x2 – 4(x1 + x2) + 4 = 0 2 ⇔ x – (2(x1 + x2) – 4)x + 4x1x2 – 4(x1 + x2) + 4 = 0 ⇔ x2 – (2(1) – 4)x + 4·2 – 4(1) 4(1) + 4 = 0 2 ⇔ x + 2x 2x + 8 = 0 24. Jawaban: b Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar α dan β. −b

c

α + β = a dan α · β = a Persamaan kuadrat baru yang akarnya –α dan –β adalah x2 – (–α + (–β))x + (–α)(–β) = 0 ⇔ x2 – (–(α + β))x + α · β = 0 ⇔ x2 + (α + β)x + α · β = 0 −b

c

x2 + a x + a = 0 –––––––––––––––––––––– × a ⇔ ax2 – bx + c = 0

⇔

28


25. Jawaban: d x2 – 5x – 1 = 0 mempunyai akar p dan q p + q = 5 dan pq = –1 Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2p + 1 dan 2q + 1 adalah: x2 – (2p + 1 + 2q + 1)x + (2p + 1)(2q + 1) = 0 ⇔ x2 – (2(p + q) q) + 2)x + (4pq (4pq + 2(p 2(p + q) + 1) = 0 x2 – (2(5) + 2)x + (4(–1) + 2(5) + 1) = 0 ⇔ ⇔ x2 – 12x + 7 = 0 Jadi, persamaan kuadrat baru x2 – 12x + 7 = 0. B. Ur Urai aian an

1. a. x2 – 6x + 8 = 0 ⇔ (x – 4)(x 4)(x – 2) = 0 atau x = 2 ⇔ x = 4 at Jadi, himpunan penyelesaiannya {2, 4}. b. 5x2 = 6x – 1 ⇔ 5x2 – 6x 6x + 1 = 0 ⇔ (5x – 1)(x 1)(x – 1) = 0

⇔ x=

1 5

atau at au x = 1 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya { 5 , 1}. 2. a. x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 1

1

⇔ x2 – (– 2 + 3)x + (– 2 · 3) 3) = 0 5

3

⇔ x2 – 2 x – 2 = 0 ––––––––––––––––––––––––––– × 2 ⇔ 2x2 – 5x 5x – 3 = 0 b. (x – x1)(x – x2) = 0 ⇔ (x – 5 )(x + 5 ) = 0 ⇔ x2 – ( 5 )2 = 0 ⇔ x2 – 5 = 0 3. Aka Akar-a r-akar kar pers persama amaan an kuadr kuadrat at x2 + 2px + p = 0 adalah x1 dan x2 maka x1 + x2 = –2p dan x1 · x2 = p. x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1 · x2 2 = 4p2 – 2p ⇔ 4p2 – 2p 2p – 2 = 0 ⇔ ⇔ (2p + 1)( 1)(2p 2p – 2) 2) = 0 1

⇔ p = – 2 at atau au p = 1 4. D = b2 – 4ac = (–(2n – 1))2 – 4 · n · n = 4n2 – 4n + 1 – 4n2 = –4n + 1 a. Pe Persa rsama maan an kuadr kuadrat at mem mempun punya yaii akar akar real real jika jika D ≥ 0: –4n + 1 ≥ 0 ⇔ –4n ≥ –1 1 ⇔ n≤ 4 b. Pe Persa rsama maan an kuadr kuadrat at memp mempuny unyai ai akar akar kemb kembar ar jika D = 0: –4n + 1= 0 ⇔ –4 –4nn = –1 1 ⇔ n= 4

c.

Persamaan Persam aan kua kuadra dratt mem mempun punyai yai aka akarr real real dan berlainan jika D > 0: –4n + 1> 0 ⇔ –4 –4nn > –1 –1 1 ⇔ n< 4 d. Per Persam samaan aan kua kuadra dratt memp mempuny unyai ai aka akarr imaj imajine inerr jika D < 0: –4n + 1< 0 ⇔ –4 –4nn < –1 –1 1 ⇔ n> 4

6. Pers Persam amaa aann kuad kuadra ratt x2 – (2 + 6a) x + 3a = 0 Misal akar-akarnya x1 dan x2. a. x1 dan x2 saling berkebalikan berarti: x1 x2 = 1

⇔

⇔

1

1

1

1

b2 − 4ac x1,2 = −b ± 2a

=

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

4 ± (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 2 ⋅1

4 16 4 = ± 2 −

⇔ x2 – ( αβ α+ +(αβ++β2) + 1 )x + αβ + (α1+ β) + 1 = 0 1+ 2 x2 – ( 3 + 1 + 1 )x + 3 + 11 + 1 = 0 ⇔

α α β β x2 – ( β + α )x + β × α = 0 α2 + β2 x2 – ( α ⋅ β )x + 1 = 0 (α + β)2 – 2αβ x2 – ( )x + 1 = 0 α ⋅β 12 − 2 ⋅ 3 x2 – ( 3 )x + 1 = 0 5 x2 + 3 x + 1 = 0

1

x2 – (2 + 2) x + 3( 3 ) = 0 x2 – 4x + 1 = 0

⇔ ⇔

1

=

4±2 3 2

=2± 3 x1 = 2 + 3 atau x2 = 2 – 3 . Jadi, kedua akar tersebut adalah 2 + 3 dan 2 – 3.

3 1 x + 5 5

x – =0 ⇔ ⇔ 5x2 – 3x + 1 = 0 b. x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0 ⇔ x2 – (α2 + β2)x + α2 · β2 = 0 ⇔ x2 – ((α + β)2 – 2α · β)x + (αβ)2 = 0 ⇔ x2 – (12 – 2 · 3)x + 32 = 0 ⇔ x2 + 5x 5x + 9 = 0 c. x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0 x2 – (α3 + β3)x + α3 · β3 = 0 ⇔ ⇔x2 – ((α + β)3 – 3αβ(α + β))x + (αβ)3 = 0 ⇔ x2 –(13 – 3 · 3 · 1)x + 33 = 0 ⇔ x2 + 8x 8x + 27 27 = 0 d. x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0

1

x2 – (2 + 6( 3 )) x + 3( 3 ) = 0

x2 – ( α + 1 + β + 1 )x + α + 1 β + 1 = 0 1 β + 1+ α + 1 x2 – ( (α + 1)(β + 1) )x + (α + 1)(β + 1) = 0

2

1

=1⇔ a= 3 1 Jadi, nilai a = 3 . b. Pe Pers rsam amaa aann ku kuad adra ratt te ters rseb ebut ut::

5. a dan dan b akarakar-aka akarr persa persamaa maann x2 – x + 3 = 0 maka: α+β=1 α·β=3 a. x2 – (x1 + x2)x + x1·x2 = 0

⇔

3a 1

7. x2 + 4x + (k – 1) = 0 −4

x1 + x2 = 1 = –4 k −1 x1 · x2 = 1 = k – 1 x1 x2

a.

x

1

+ x21 = 4

⇔

x12 + x22 x1x2

= 4

⇔

(x1 + x 2)2 − 2x1x 2 x1x 2

= 4

⇔

(−4)2 − 2(k − 1) k −1

= 4

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

16 − 2k + 2 k −1 18 − 2k k −1

1 1 1 1

= 4

1

= 4 72 – 88kk = k – 1 7 3 = 9k 73

⇔ 73

k= 9

Jadi, nilai k = 9 .


29

α β = x13 ⋅ x23 = (x1 x2)3

73

b. Nilai k = 9 disubstitusikan ke persamaan kuadrat: 73 x2 + 4x + ( 9 – 1) = 0

c

= ( a )3

64

⇔ x2 + 4x + 9 = 0 ⇔ 9x2 + 36x + 64 = 0 Jadi, persamaan kuadrat itu 9x2 + 36x + 64 = 0. c. Unt Untuk uk meli melihat hat sif sifat at akar akar per persam samaan aan kua kuadra drat,t, dihitung dulu nilai D. D = b2 – 4ac = 362 – 4(9)(64) = 1.296 – 2.304 = –1.008 Karena D < 0, berarti persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki akar real. 8. a. Mi Misa salk lkan an ak akar ar-a -aka karr pe pers rsam amaa aann ax2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2, dan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah α dan β. α = –x1 dan β = –x2 α + β = –x1 + (–x2) = –(x1 + x2) b

= –(– a ) b

= a α β = –x1 (–x2) = x1 x2

c3

= a3 Persamaan kuadrat yang baru adalah: x2 – (α + β)x + αβ = 0

⇔

c.

c

−b

c

b

b3

3bc

= a 3 + a2 =

30

b

x1 + x2 = – a = 2 c

1 x13

b3 + 3abc a3


3

1

+ x 3 = x1 3+ x23 x1 x 2 2

b c x + a a

= ( a )3 – 3( a )(– a )

c3

x1 x2 = a = 1

x2 – (α + β)x + αβ = 0 – =0 ⇔ ⇔ ax2 – bx + c = 0 Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya berlawanan dengan akar-akar ax2 + bx + c = 0 adalah ax2 – bx + c = 0. b. Misalkan x1 dan x2 akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0 dan akar-akar persamaan kuadrat yang baru α dan β. α = x13 dan β = x23 α + β = x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2 (x1 + x2)

b3 + 3abc a3

x + a3 = 0 ⇔ a3x2 – (b3 + 3abc)x + c3 = 0 Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya pangkat tiga dari akar-akar ax2 + bx + c = 0 adalah a3x2 – (b3 + 3abc)x + c3 = 0. 9. a. 2x2 – kx + 2 = 0 Kedua akarnya real kembar berarti D = 0 b2 – 4ac 4ac = 0 2 2(2) 2) = 0 ⇔ (–k) – 4 ⋅ 2( ⇔ k2 – 16 = 0 ⇔ (k + 4)( 4)(kk – 4) = 0 ⇔ k = –4 –4 atau atau k = 4 Jadi, nilai k yang positif adalah k = 4. b. Per erssam amaa aann kuad kuadra ratt: 2 2x – 4x 4x + 2 = 0 2 ⇔ x – 2x 2x + 1 = 0

= a Persamaan kuadrat baru:

x2

x2 –

= = = 10. a.

3

(x1 + x 2 )3 − 3x1x2 (x1 + x2 ) (x1x 2 )3 23 − 3(1)(2) 13 8−6 =2 1

x2 + mx – 4 = 0 b x1 + x2 = – a = –m c

x1x2 = a = –4 x12 – 2x1x2 + x22 = 8m ⇔ (x1 + x2)2 – 2x1x2 – 2x1x2 = 8 m ⇔ (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 8 m ⇔ m2 – 8m 8m + 16 = 0 (m – 4)2 = 0 ⇔ ⇔ m=4 Jadi, nilai m = 4.

b. Pe Pers rsam amaa aann kua kuadr drat atny nyaa x2 + 4x – 4 = 0

2) u n t u k 1 ≤ x < 2 maka nilai

2

x1,2 = −b ± b − 4ac

c.

2a

2 = −4 ± 4 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−4) = −4 ± 216 + 16

2

x1 = –2 + 2 2 dan x2 = –2 – 2 2

≥ 0

(memenuhi) −8x + 8

3) un untu tukk x > 2 ma maka ka ni nila laii x − 2 < 0 (tidak memenuhi)

−4 ± 4 2 = –2 ± 2 2 2

=

−8x + 8 x −2

–

+ 1

– 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | 1 ≤ x < 2}. 4. Jawaban: b x −1 2

A.


1. Jawaban: c 12 – 4x – x2 < 0 ⇔ (2 – x)(6 + x) < 0 Pembuat nol: x = 2 atau x = –6 –

+ 2

Himpunan penyelesaiannya {x | x < –6 atau x > 2}. 2. Jawaban: c 9(x – 2)2 < (x + 2)2 ⇔ 9(x2 – 4x + 4) 4) < (x (x2 + 4x + 4) ⇔ 9x2 – 36x + 36 – x2 – 4x 4x – 4 < 0 2 ⇔ 8x – 40x 40x + 32 32 < 0 2 ⇔ x – 5x 5x + 4 < 0 (x – 4)(x 4)(x – 1) < 0 ⇔ Pembuat nol x = 4 atau x = 1. +

– 1

+ 4

Nilai x yang memenuhi 1 < x < 4. 3. Jawaban: a 2 − 5x x−2

−3 + 6a

⇔

x > 9 − 2a −3 + 6a

–

–6

ax

+ 3 < 2x – a ––––––––––––––––––––––––– × 6 ⇔ 3(x – 1) + 2ax < 6(2x – a) ⇔ 3x – 3 + 2ax < 12x – 6a ⇔ 12x – 3x – 2ax > –3 + 6a ⇔ 9x – 2ax 2ax > –3 + 6a ⇔ (9 – 2a)x 2a)x > –3 + 6a

dari x > 5 berarti 9 − 2a = 5 ⇔ –3 + 6a = 45 – 10a 10a ⇔ 16aa = 48 16 48 ⇔ a=3 Jadi, nilai a adalah 3. 5. Jawaban: c 1 x+3

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

≥

+

2 2x − 5

– –3

2 1 – 2x − 5 x+3 (2x − 5) − 2(x + 3) (x + 3)(2x − 5) 2x − 5 − 2x − 6 (x + 3)(2x − 5) −11 ( x + 3)( 2 x − 5 )

+ 5 2

≥0 ≥0 ≥0 ≥0 5

≥3

⇔

2 − 5x x−2

⇔

2 − 5x − 3(x − 2) x−2

–3≥0

−8x + 8 x −2

≥0

⇔ ≥0 Pembuat nol: –8x + 8 = 0 ⇔ –8x = –8 ⇔ x = 1 atau x–2=0⇔x=2 Syarat: x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2 −8x + 8 1) un untu tukk x < 1 ma maka ka ni nila laii x − 2 < 0 (tidak memenuhi)

Pembuat nol x = –3 dan x = 2 5 Syarat: (x + 3)(2x – 5) ≠ 0 ⇔ x ≠ –3 atau x ≠ 2

5

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | –3 < x < 2 , x ∈ R}. 6. Jawaban: c x2 − 4x + 3 ≤0 x2 − 3x − 10 (x − 1)(x − 3) ⇔ ( x − 5 )( x + 2) +

– –2

≤ 0 dengan syarat x ≠ 5, x ≠ –2 +

1

– 3

+ 5

Jadi, penyelesaiannya –2 < x ≤ 1 atau 3 ≤ x < 5.


31

7. Jawaban: a x2 + 5x ≥ 2(2x + 3) ⇔ x2 + 5x ≥ 4x + 6 ⇔ x2 + 5x – 4x – 6 ≥ 0 x2 + x – 6 ≥ 0 ⇔ ⇔ (x + 3)(x – 2) ≥ 0 Pembuat nol: x = –3 atau x = 2 +

– –3

Pembuat nol: x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ (x + 3)(x 3)(x – 1) 1) = 0 ⇔ x = –3 ata atauu x = 1 + –3

+ 2

Himpunan penyelesaian: {x | x ≤ –3 atau x ≥ 2). 8. Jawaban: a 3x2 + 2x – 1 < 0 ⇔ (3x – 1)(x + 1) < 0 Pembuat nol: 1 x = 3 dan x = –1 +

–

+ 1 3

–1

+

–3

− 10

–2

. . . (2)

–

10

+

– 5

Himpunan penyelesaian: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 5}.

1

Jadi, nilai x yang memenuhi kedua pertidaksama1 an adalah –1 < x < 3 . 9. Jawaban: a | 2x + 4 | ≤ | x – 2 | (2x + 4)2 ≤ (x – 2)2 ⇔ ⇔ (2x + 4 + x – 2)(2x + 4 – (x – 2)) ≤ 0 ⇔ (3x + 2)(x + 6) ≤ 0 Pembuat nol: + – + (3x + 2)(x + 6) = 0 2 2 ⇔ x = – 3 atau x = –6 –6 − 3

2

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | –6 ≤ x ≤ – 3 }. 10. Jawaban: d 10 − x 2 < 2 + x ⇔ 10 – x2 < (2 + x)2 ⇔ 10 – x2 < 4 + 4x + x2 ⇔ 2x2 + 4x 4x – 6 > 0 ⇔ x2 + 2x 2x – 3 > 0

32

1

11. Jawaban: d –x2 + 4x + 5 ≤ 0 ⇔ (–x + 5)(x + 1) ≤ 0 Pembuat nol: x = 5 atau x = –1 –1

1 3

10

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan tersebut 1 < x ≤ 10 .

Dari (1) dan (2) diperoleh: − 32 –1

–

. . . (1)

1

− 32

Syarat-syarat lain: a. ag agar ar mem mempu puny nyai ai pen penye yele lesa saia iann maka maka 10 – x2 ≥ 0 ⇔ ( 10 – x)( 10 + x) ≥ 0 Pembuat nol: x = – 10 dan x = 10

b. 2 + x > 0 ⇔ x > –2

3

+

1

− 10

x = – 2 dan x = 1 –

+

–

2x2 + x – 3 < 0 ⇔ (2x + 3)(x – 1) < 0 Pembuat nol:

+

–


12. Jawaban: e x2 – 10x + 21 < 0 ⇔ (x – 7)(x – 3) < 0 Pembuat nol: x = 7 atau x = 3 +

–

+

3

7

Himpunan penyelesaian: {x | 3 < x < 7, x ∈ R}. 13. Jawaban: d 2x2 + x – 1 ≤ 0 ⇔ (2x – 1) (x + 1) ≤ 0 Pembuat nol: 2x – 1= 0 atau x + 1 = 0 1

⇔ x = 2 atau x = –1 Grafik himpunan penyelesaian: +

– –1

+ 1 2

14. Jawaban: b x2 − 10x + 21 x 2 − 4x − 5 ≤ 0 ( x − 3) ( x − 7 ) ⇔ (x − 5)(x + 1)

1 2x − 3

2. a.

< x +2 4 Û

≤0

–

+

–1

–

⇔

3

5

+

⇔

7

Himpunan penyelesaian: {x | –1 < x ≤ 3 atau 5 < x ≤ 7} 7}..

10

+

x(x + 4) < 2 3

+

–

+

–

3 2

x 2 − 4x + 3 x 2 − 3x

b.

10 3

10

≥0

Pembuat nol: 1) x2 – 4x + 3 = 0 3)(x – 1) = 0 ⇔ (x – 3)(x ⇔ x = 3 at atau x = 1 2) x2 – 3x = 0 x(xx – 3) x( 3) = 0 ⇔ ⇔ x = 0 atau atau x = 3 Syarat agar punya penyelesaian: x2 – 3x ≠ 0 ⇔ x(x – 3) ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 atau x ≠ 3

0

Irisan kedua grafik –6 –4 0 2

+

–

Nilai x yang memenuhi: –4 ≤ x ≤ 0.

+

0

+

1

3

Jadi, himpunan penyelesaian {x | x < 0 atau x ≥ 1, x ≠ 3}.

B. Ur Urai aian an

1. a. 7 – 19 1 9x – 6x2 > 0 Û (7 + 2x)(1 – 3x) > 0 7 Pembuat nol adalah x = – 2 – + –

dan x =

1 3

1

3. 2x1− 1 ³ 2x 2 + x − 1 1

⇔

1 2x − 1

Jadi, penyelesaiannya – 2 < x < 3 .

⇔

1

5 2 x < 6 – 3x 3 5 ⇔ 3 x2 + 3x – 6 < 0

⇔

x + 1− 1 (2x − 1)(x + 1)

≥0

⇔

x (2x − 1)(x + 1)

≥0

–

7 2

1 3

7

b.

<0

3

3

–

–4

<0

{x | –4 < x < 2 atau x > 3 , x ∈ R}

Syarat: x(x + 4) ≥ 0 Pembuat nol: x = 0 atau x = –4 +

<0

Jadi, himpunan penyelesaiannya

2

–

– –4

+

–6

<0

Pembuat nol: x = 3 , x = 2 , dan x = –4.

15. Jawaban: a

⇔ x(xx + 4) < (2 3 )2 x( ⇔ x2 + 4x 4x < 12 2 ⇔ x + 4x – 12 < 0 ⇔ (x + 6) 6) (x – 2) 2) < 0 Pembuat nol: x = –6 atau x = 2 Grafik penyelesaian:

– x +2 4

x + 4 − 2(2x − 3) ( 2 x − 3)( x + 4 ) x + 4 − 4x + 6 ( 2 x − 3) ( x + 4) −3 x + 10 ( 2 x − 3) ( x + 4)

⇔

Grafik himpunan penyelesaian: +

1 2x − 3

1

––––––––––––––– × 3 ⇔ 5x2 + 9x – 18 < 0 6)(x + 3) < 0 ⇔ (5x – 6)(x 6

–

–3

+

6 5

Jadi, penyelesaiannya –3 < x <

1 – ≥0 2x − 1 (2x − 1)(x + 1)

Pembuat nol:

Pembuat nol adalah x = 5 dan x = –3. +

– 2x 2 + x − 1 ≥ 0

1

x = 0, x = –1, dan x = 2 –

6 5

+ –1

– 0

+ 1 2

. Kunci Jawaban dan Pembahasan PR Matematika Kelas X

33

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | –1 < x ≤ 0 1

atau x > 2 , x ∈ R}. 2x + 6 x +1

4.

2x + 6 (x + 1)2

⇔

⇔

>0

+

–3

–

. . . (1)

+ 1

2p2 – 9p + 4 ≤ 0 ⇔ (2p – 1)(p – 4) ≤ 0 Pembuat nol: 1 (2p – 1)(p – 4) = 0 ⇔ p = 2 atau p = 4 +

– 1 2

<0

⇔

x2 − 1 x+5

<0

(x + 1)(x − 1)

⇔ <0 x +5 Pembuat nol: x = –5, x = –1, dan x = 1 Grafik penyelesaian:

+

. . . (2)

4

1

+

–

4

Jadi, nilai p yang memenuhi kedua pertidaksamaan tersebut 1 < p ≤ 4.


–1

+ 1

Himpunan penyelesaian: penyelesaia n: {x | x < –5 atau –1 < x < 1}. 9. Persa Persamaan maan tinggi tinggi peluru peluru:: h(t) h(t) = 40t 40t – 5t2. Akan dihitung waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tinggi lebih dari 35 m. h(tt) > 35 h( ⇔ 40t – 5t2 > 35 ⇔ 0 > 35 35 – 40 40tt + 5t2 0 > 7 – 8t 8t + t2 ⇔ ⇔ 0 > (t(t – 7) 7)(t (t – 1) 1) Pembuat nol: t = 7 atau t = 1 Grafik penyelesaian: – 1

. . . (3)

34

⇔

x 2 + 4x + 4 − 4x − 5 x +5

+

Dari (1) dan (2) diperoleh: –2

<0

–5

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x ≤ –3 atau 2 < x ≤ 3. 6. 3p2 + 3p – 6 > 0 ⇔ (3p + 6)(p – 1) > 0 Pembuat nol: (3p + 6)(p – 1) = 0 ⇔ p = –2 atau p = 1

1 2

⇔

(x + 2)2 − (4x + 5) ( x + 2)

–

3

–2

x + 2 < x+2

+

2

+

4x+5

8.

2 5. xx −−29 ≤ 0 ⇔ (x +x3−)(x2− 3) £ 0 Pembuat nol: x = –3, x = 2, dan x = 3 Syarat: x – 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ 2

–

+

Himpunan penyelesaian: {x | 1 < x}.

Himpunan penyelesaian: {x | x > –3 dan x ≠ –1} Diperoleh: a = –3 b = –1 2 2 a – b = (–3)2 – (–1)2 =9–1 =8 2 Jadi, a – b2 = 8.

+

>0

1

–1

–

2 x 2 + 2x + 5 (x − 1)(x 2 + x + 1)

–

+

–3

3

+ x3 − 1 > 0

Pembuat nol pembilang tidak ada. Pembulat nol penyebut: x = 1.

Pembuat nol: 2x + 6 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = –3 ⇔ x = –1 Syarat: 2x + 6 ≥ 0 ⇔ x ≥ –3 –

+ x3 − 1 > 0

2(x2 + x + 1) x3 − 1

⇔

>0

3

2 x −1

7.

+ 7

Himpunan penyelesaian: {t | 1 < t < 7}. Jadi, peluru tersebut mencapai tinggi lebih dari 35 meter pada saat 1 < t < 7. 10.. Syara 10 Syaratt suatu persamaa persamaann kuadrat mempun mempunyai yai akar-akar nyata adalah D ³ 0. b2 – 4ac ≥ 0 ⇔ 2 ⇔ (m – 2) – 4(1)(9) ≥ 0 ⇔ m2 – 4m + 4 – 36 ≥ 0 ⇔ m2 – 4m – 32 ≥ 0 ⇔ (m – 8) (m + 4) ≥ 0

Pembuat nol: m = 8 atau m = –4 Grafik penyelesaian: +

–

+

–4

8

Jadi, nilai m yang memenuhi m ≤ –4 atau m ≤ 8.

5. Jawaban: a Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat (p – 2)x2 + 2px + p – 1 = 0. Syarat agar akar-akarnya bernilai negatif dan berlainan adalah D > 0. (2p)2 – 4 · (p – 2) · (p – 1) 1) > 0 2 2 ⇔ 4p – 4(p – 3p + 2) > 0 ⇔ 4p2 – 4p2 + 12p 12p – 8 > 0 2 ⇔ p > 3 . . . (i) −2p

A.

x1 + x2 < 0 ⇔ p − 2 < 0 ⇔ p < 0 at atau p > 2 . . . (i(ii)


1. Jawaban: b Mempunyai dua akar real berarti D > 0 ⇔ (p – 2)2 – 4 · 1 (6 (6 + p) > 0 2 ⇔ p – 4p + 4 – 24 – 4p > 0 ⇔ p2 – 8p – 20 > 0 ⇔ (p – 10)( 10)(pp + 2) > 0 Pembuat nol: p = 10 dan p = –2 +

– –2

+ 10

Nilai p yang memenuhi p < –2 atau p > 10. 2. Jawaban: b y = x2 + (m + 1)x + 4 memotong sumbu X di dua titik berarti x2 + (m + 1)x + 4 = 0 mempunyai dua akar real berlainan (D > 0). D>0 ⇔ (m + 1)2 – 4 · 1 · 4 > 0 ⇔ (m + 1)2 – 16 16 > 0 2 ⇔ m + 2m + 1 – 16 16 > 0 2 m + 2m 2m – 15 15 > 0 ⇔ ⇔ (m – 3)(m 3)(m + 5) > 0 Pembuat nol: m = 3 dan m = –5 +

– –5

+ 3

Nilai m yang memenuhi m < –5 atau m > 3. 3. Jawaban: d Mempunyai dua akar sama berarti D = 0 (–2p)2 – 4 · (–p + 2) = 0 ⇔ 4p2 + 4p 4p – 8 = 0 2 p + p– 2= 0 ⇔ ⇔ (p + 2)(p 2)(p – 1) 1) = 0 ⇔ p = –2 ata atauu p = 1 4. Jawaban: e Dua akar berkebalikan maka x1 · x2 = 1 −2k + 6 ⇔ 3 =1 ⇔ –2kk = –6 –2 –6 + 3 ⇔ –2kk = –3 –2 3 ⇔ k= 2

p −1

x1 · x2 > 0 ⇔ p − 2 > 0 ⇔ p < 1 ata atauu p > 2 . . . (i(iiiii)) Dari ketiga syarat di atas diperoleh nilai p yang memenuhi adalah p > 2. 6. Jawaban: a y = (m – 3)x2 + 4x + m memotong sumbu X di satu titik berarti persamaan (m – 3)x2 + 4x + m = 0 mempunyai akar kembar (D = 0). D=0 ⇔ 42 – 4(m 4(m – 3)m 3)m = 0 12m = 0 ⇔ 16 – 4m2 + 12m ⇔ 4m2 – 12m 12m – 16 16 = 0 2 ⇔ m – 3m 3m – 4 = 0 ⇔ (m – 4)(m 4)(m + 1) = 0 ⇔ m = 4 atau atau m = –1 7. Jawaban: c Syarat (1): syarat agar dua akarnya berlainan: D > 0 ⇔ (–8)2 – 4 · 1 · 2a 2a > 0 ⇔ 64 – 8a 8a > 0 ⇔ a<8 Syarat (2): syarat agar dua akarnya positif: x1 · x2 > 0 ⇔ 2a > 0 ⇔ a>0 Jadi, yang memenuhi syarat (1) dan syarat (2) adalah 0 < a < 8. 8. Jawaban: d Substitusi persamaan garis y = 3x + 4 ke fungsi kuadrat y = f(x) = x2 + bx + 4. 3x + 4 = x2 + bx + 4 ⇒ 2 ⇔ x + (b (b – 3) 3) x = 0 Syarat garis menyinggung fungsi kuadrat: D=0 ⇔ b2 – 4ac = 0 ⇔ (b – 3)2 – 4(1) 4(1)(0) (0) = 0 ⇔ (b – 3)2 = 0 b= 3 ⇔ Jadi, nilai b = 3.

2 ⋅ 32 − 1 2k − 1 2 −b x1 + x2 = a = 3 = 3 = 3


35

9. Jawaban: d Substitusi persamaan garis y = 2x + 1 ke fungsi kuadrat y = f(x) = x2 – mx + 5. x2 – mx mx + 5 = 2x 2x + 1 2 ⇔ x – mx – 2x + 5 – 1 = 0 ⇔ x2 – (m + 2)x 2)x + 4 = 0 Syarat garis menyinggung fungsi kuadrat: D=0 ⇔ b2 – 4a 4ac = 0 2 4(1)(4)) = 0 ⇔ (–(m + 2)) – 4(1)(4 2 ⇔ m + 4m + 4 – 16 16 = 0 2 m + 4m – 12 12 = 0 ⇔ ⇔ (m + 6)(m – 2) = 0 Pembuat nol: m = –6 atau m = 2. Karena disyaratkan m > 0 maka m = –6 tidak memenuhi penyelesaian. Jadi, m = 2. 10. Jawaban: d Substitusi persamaan garis 2x + y = 1 ⇔ y = 1 – 2x ke fungsi kuadrat y = f(x) = x2 + px + 5. ⇔ x2 + px px + 5 = 1 – 2x 2x 2 ⇔ x + px + 2x + 5 – 1 = 0 ⇔ x2 + (p (p + 2)x 2)x + 4 = 0 Syarat menyinggung: D=0 b2 – 4ac = 0 2 4(1)(4) 4) = 0 ⇔ (p + 2) – 4(1)( 2 ⇔ p + 4p 4p – 12 12 = 0 ⇔ (p + 6) 6)(p (p – 2) = 0 Pembuat nol: p = –6 atau p = 2. Oleh karena disyaratkan p > 0, berarti p = –6 tidak memenuhi penyelesaian. Jadi, p yang memenuhi adalah p = 2. 11. Jawaban: b Substitusi y = –x ke y = x2 – 4x + p: x2 – 4x + p = –x 3x + p = 0 ⇔ x2 – 3x Syarat grafik fungsi kuadrat dan garis berpotongan adalah D ≥ 0 (karena bisa berpotongan di satu titik atau dua titik) Syarat: D ≥ 0 ⇔ b2 – 4ac ≥ 0 ⇔ (–3)2 – 4(1)p ≥ 0 9 – 4p ≥ 0 ⇔ ⇔ 9 ≥ 4p 9 9 ⇔ ≥ ≤ p atau p 4 4 12. Jawaban: a Misal panjangnya p, maka lebarnya (p – 4). L = p( p(pp – 4) = 96 96 2 ⇔ p – 4p 4p = 96 2 ⇔ p – 4p 4p – 96 = 0 12)(p + 8) = 0 ⇔ (p – 12)(p ⇔ p = 12 atau p = –8 (tidak mungki mungkin) n) Jadi, panjangnya = 12 cm. 36


13. Jawaban: c Substitusikan h(t) = t + 14 ke h(t) = 14 + 9t – t2 14 + 9t – t2 = t + 14 ⇔ t2 – 8t = 0 t(t – 8) = 0 ⇔ ⇔ t = 0 ata atauu t = 8 Tampak bahwa kedua peluru itu bertemu ketika t = 0 (ketika mulai ditembakkan) dan t = 8. 14. Jawaban: d (i) a – b = 15 ⇔ a = 15 + b . . . (1) (ii) a · b = 154 . . . (2) Substitusi persamaaan (1) ke (2): (15 + b) · b = 154 ⇔ 15b + b2 = 154 ⇔ b2 + 15b 15b – 15 1544 = 0 22)( )(bb – 7) 7) = 0 ⇔ (b + 22 ⇔ b = –2 –222 ata atauu b = 7 Untuk b = –22 ⇒ a = 15 + –22 = –7 Diperoleh a + b = –7 + (–22) = –29 Untuk b = 7 ⇒ a = 15 + 7 = 22 Diperoleh a + b = 22 + 7 = 29 Jadi, nilai a + b adalah 29 atau –29. 15. Jawaban: e Ketinggian peluru pada saat menyentuh tanah adalah nol. h(t) = 0 ⇔ 40t – 6t2 = 0 ⇔ t(400 – 6t) t(4 6t) = 0 ⇔ t = 0 atau atau 40 = 6t

⇔

40

2

t = 6 = 6 3 detik 2 Jadi, peluru kembali ke tanah setelah 6 3 detik. B. Ur Urai aian an

1. Pada Pada per persa sama maan an 2x 2x2 – px + p – 2 = 0 diperoleh a = 2, b = –p, dan c = p – 2 a. Sy Syar arat atny nyaa dua dua akar akar rea reall berl berlai aina nann D > 0 (–p)2 – 4 · 2 · (p – 2)> 0 p2 – 8p 8p + 16 > 0 ⇔ ⇔ (p – 4)2 > 0 (p – 4)2 selalu bernilai positif untuk nilai p ≠ 4. b. Syarat D = 0 ⇒ (p – 4)2 = 0 ⇔ p = 4 Jadi, p = 4. c. Syarat D < 0 ⇒ (p – 4)2 < 0 Tidak ada nilai p yang menyebabkan nilai D < 0. 2. y = x2 – (m + 3)x + 4 tidak memotong sumbu X berarti persamaan x2 – (m + 3)x + 4 = 0 tidak mempunyai akar real (D < 0) D<0 ⇔ (–(m + 3))2 – 4 · 1 · 4 < 0 ⇔ m2 + 6m + 9 – 16 16 < 0 2 m + 6m 6m – 7 < 0 ⇔

⇔ 3n2 – 33n 33n – 240 240 = 0 2 ⇔ n – 11n 11n – 80 80 = 0 ⇔ (n – 16)(n 16)(n + 5) = 0 ⇔ n = 16 atau n = –5 (tidak (tidak mungkin) mungkin) Jadi, jumlah komputer yang terjual = n – 1 = 16 – 1 = 15 komputer.

Pembuat nol: m2 – 6m – 7 = 0 ⇔ (m – 7)(m 7)(m + 1) = 0 ⇔ m = 7 atau atau m = –1 +

–

+

–1

7

Jadi, batas-batas nilai m adalah –1 < m < 7. 3. Mis Misalk alkan an kecepat kecepatan an berlari berlari = vl dengan waktu = tl dan kecepatan sepeda motor = vs dengan waktu = ts. 3

Diketahui bahwa tA + t s = 45 menit = 4 jam dan vs = vA + 14. 3

tA + ts = 4

⇔

3 vA

5

3

⇔

3 5 + vA v A + 14 3(v A + 14) + 5v A v A(v ( v A + 1 4)

3 4 3 4

+ v = 4 s =

1

28

4

⇔ I2 = 3 = 1,33 atau I2 = – 3 (tidak mungkin) Jadi, I2 = 1,33 A. 5. Misa Misal:l: banyakny banyaknyaa komputer komputer yang yang dibeli dibeli = n, maka maka banyaknya komputer yang terjual = n – 1 Harga beli setiap komputer =

240.000.000 n 270.000.000 n −1

Harga jual setiap komputer = Untuk setiap komputer maka untung = harga jual – harga beli 240.000.000

1. Jawaban: a f(x) = x(2x – 1) – 2x2 = 2x2 – x – 2x2 = –x (bukan fungsi kuadrat) 2. Jawaban: c y = f(x) = ax2 – 5x – 3 memotong sumbu X di 1

⇔ vA = – 3 atau vA = 6 Jadi, rata-rata kecepatan lari Edo 6 km/jam. 4. P = (I1 + I2)2 · R ⇔ 80 = (2 (2II2 + I2)2 · 5 ⇔ (3I2)2 = 16 ⇔ 3I2 = ±4 4 ⇔ I2 = ± 3

270.000.000


(– 2 , 0) berarti:

⇔ = 3(vvA2 + 14vA) ⇔ 4(3vA + 42 + 5vA) = 3( ⇔ 32vA + 168 168 = 3v 3vA2 + 42vA ⇔ 3vA2 + 10vA – 168 168 = 0 ⇔ (3vA + 28)(vA – 6) 6) = 0

4

A.

⇔ – = 3.000.000 n −1 n ––––––––––––––––––––––––––––––––– × n(n – 1) ⇔ n · 270.000.000 – (n – 1)240.000.000 = 3.000.000 · n(n – 1) ⇔ 270n – (n – 1)240 1)240 = 3n(n – 1) ⇔ 27 270n 0n – 240n 240n + 240 240 = 3n 3n2 – 3n 2 ⇔ 3n – 3n – 30n – 240 240 = 0

f(– 2 ) = 0 1

1

⇔ a(– 2 )2 – 5(– 2 ) – 3 = 0 1

5

a· 4 + 2 –3=0 ⇔ –––––––––––––––––––– × 4 ⇔ a + 10 10 – 12 12 = 0 a –2 =0 ⇔ ⇔ a=2 3. Jawaban: b f(x) = 2 + 3x ⇔ f(a f(a)) = 2 + 3a ⇔ 23 = 2 + 3a 3a ⇔ 3a = 21 ⇔ a =7 Jadi, a = 7. 4. Jawaban: e  2 x + 1 untuk x ≥ 1 Jika g(x) =  x2 – 1 untuk x < 1 –2 < 1 seh sehing ingga ga g(–2) g(–2) = (–2) (–2)2 – 1 =4–1=3 2 3 ≥ 1 sehingga sehingga g(3) g(3) = 3 + 1 = 9 + 1 = 10 g(–2) + 2g(–2) g(3) g(3) = 3 + 2(3) 2(3) (10) = 3 + 60 = 63 Jadi, g(–2) + 2g(–2) g(3) = 63. 5. Jawaban: a f(x) = ax2 + bx + 1 memotong sumbu X di titik-titik (1, 0) dan (2, 0). Substitusi (1, 0) dan (2, 0) ke persamaan kuadrat. (1, 0) → 0 = a(1 (1))2 + b(1) + 1 0 = a + b + 1 . . . (1 (1)) 2 (2, 0) → 0 = a(2 (2)) + b(2) + 1 0 = 4a + 2b + 1 . . . (2) (2) Kunci Jawaban dan Pembahasan PR Matematika Kelas X

37

Eliminasi b dari persamaan (1) dan (2) a + b + 1 = 0 ×2 2a + 2b + 2 = 0 4a + 2b + 1 = 0 ×1 4a + 2b + 1 = 0 –––– –– –––– –––– –––– –––– –––– – –2a + 1 = 0 1

⇔

a= 2 1 Substitusi a = 2 ke a + b + 1 = 0: 1

(2 ) +b +1 = 0 1

b =–2 –1

⇔

1

⇔ b = –1 2 Fungsi kuadrat tersebut: 1

1

f(x) = 2 x2 – 1 2 x + 1

⇔ f(x) =

1 2 3 x – 2 2

x+1 D

Nilai ekstrim fungsi di y = – 4a y

D = – 4a

3 1 −((− )2 − 4( ) 1) −( 9 − 2) 1 2 2 = = 42 = – 8 1 4⋅ 2

Oleh karena a > 0 maka grafik fungsi terbuka ke atas (mempunyai titik balik minimum). 1 Jadi, nilai ekstrim fungsi tersebut minimum di – 8 . 6. Jawaban: c f(x) = ax2 + bx + c f(2) = 22a + 2b + c 0 = 4a + 2b + c . . . (1) (1) ⇔ 2 f(4) = 4 a + 4b + c ⇔ 0 = 16a 16a + 4b 4b + c . . . (2) Sumbu simetri x =

2+4 2

=3

Titik puncak (3,5) ⇒ 5 = 32a + 3b + c 5 = 9a + 3b + c . . . (3) Eliminasi c dari persamaan (1) dan (2): 4a + 2b 2b + c = 0 16aa + 4b + c = 0 16 –––––––––––––– – –12a –1 2a – 2b 2b = 0 ⇔ –12a = 2b –6aa = b –6 ⇔ Eliminasi c dari persamaan (2) dan (3): 16aa + 4b + c = 0 16 9a + 3b 3b + c = 5 –––––––––––––– – 7a + b = –5 . . . (4) Substitusi b = –6a ke persamaan (4) 7a + (–6a (–6a)) = –5 ⇔ a = –5 Substitusi a = –5 ke salah persamaan b = –6a. b = (–6) × (–5) = 30 38


Substitusi a = –5 dan b = 30 ke (1): 4a + 2b + c = 0 ⇔ 4(–5) + 2(30) + c = 0 ⇔ –20 + 60 + c = 0 c = –40 –40 ⇔ Jadi, fungsi kuadrat tersebut f(x) = –5x2 + 30x – 40. 7. Jawaban: a Persamaan x2 – 10x + 11 = 0 mempunyai akar α dan β. α + β = 10 dan αβ = 11 Persamaan kuadrat yang akar-akarnya (α + 2) dan (β + 2): x2 – ((α + 2) + (β + 2))x + (α + 2)(β + 2) = 0 ⇔ x2 – (α + β + 4)x + αβ + 2(α + β) + 4 = 0 ⇔ x2 – (10 + 4)x + 11 – 2 · 10 + 4 = 0 ⇔ x2 – 14x 14x – 5 = 0 8. Jawaban: d Misal x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat x2 + (2a – 3)x + 4a2 – 25 = 0 x1 + x2 = 0

⇔

−(2a − 3) =0 1

⇔ 2a – 3 = 0 ⇔

2a = 3

⇔

3

a= 2 3 Substitusi a = 2 ke persamaan kuadrat: 3

3

x2 + (2 · 2 – 3)x + 4( 2 )2 – 25 = 0 ⇔ x2 – 16 16 = 0 4)(xx – 4) = 0 ⇔ (x + 4)( ⇔ x = –4 ata atauu x = 4 Jadi, akar-akar persamaan –4 dan 4. 9. Jawaban: d 1 2x

1

≤ 3−x

⇔ ⇔ ⇔

1 1 – 3−x ≤0 2x 3 − x − 2x 2x(3 − x) ≤ 0 3 − 3x 2x (3 (3 − x) ≤ 0 3(1 − x) 2 x( 3 − x ) ≤ 0

⇔ Pembuat nol fungsi: x = 1, x = 0, atau x = 3 Syarat: 2x(3 – x) ≠ 0 ⇔ x ≠ 0 dan x ≠ 3. –

+

0

–

1

+

3

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | x < 0 dan 1 ≤ x < 3, x ∈ R}.

10. Jawaban: e (a − 3)

−b

Sumbu simetri x = 2a = –1 ⇔ – 2(a + 2) = –1 ⇔ a – 3 = 2( 2(aa + 2) ⇔ a – 3 = 2a 2a + 4 a = –7 –7 ⇔ Fungsi kuadrat f(x) = (–7 + 2) x2 + (–7 – 3) x – 20 ⇔ f(x) = –5x2 – 10x – 20 Nilai ekstr ekstrim: im: f(–1) = –5(–1) –5(–1)2 – 10(–1) – 20 = –5 + 10 – 20 = –15 Jadi, nilai ekstrim fungsi kuadrat tersebut maksimum –15. 11. Jawaban: a −k

x1 + x2 = 1 = –k m

x1 · x2 = 1 = m (x + x )2

( x1 + x1 )2 = (2x x )12 1 2 1 2 k2

= m2 12. Jawaban: c Persamaan kuadrat 8x2 – 2ax + b = 0 akar-akarnya x1 dan x2. x2 – ( x1 + x1 ) x + x1 ⋅ x1 = 0 1 2 1 2

⇔ ⇔

x2 –

(x 2 + x1) x1x 2

x2 – (

1

x + x1x2 = 0

2a 8 b 8

) x + b1 = 0

2a

8 8 b

x2 – b x + = 0 bx2 – 2a 2axx + 8 = 0

⇔ ⇔

13. Jawaban: b Syarat persamaan kuadrat mempunyai akar real adalah D ≥ 0. b2 – 4ac ≥ 0 ⇔ 32 – 4(1)k ≥ 0 (persamaan kuadrat 1) 9 – 4k ≥ 0 ⇔ ⇔ 9 ≥ 4k

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

9 4

≥ k . . . (1) (1)2 – 4(1)(–k) ≥ 0 (persamaan kuadrat 2) 1 + 4k ≥ 0 1 ≥ –4k 1

– 4 ≤ k . . . (2)

Nilai k yang memenuhi syarat kedua persamaan tersebut. 9

1

–4

–4

1

9

Nilai k yang memenuhi adalah – 4 ≤ k ≤ 4 . 14. Jawaban: e Persamaan kuadrat x2 + 4x + p = 0. Dipe Di pero role leh: h: x1 + x2 = –4 x1 x2 = p x12 + x22 = 12 ⇔ (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 12 ⇔ (–4)2 – 2p 2p = 12 ⇔ 16 – 2p 2p = 12 12 ⇔ 4 – 2p = 0 ⇔ p =2 Jadi, nilai p = 2. 15. Jawaban: a P(–2, 6) pada parabola, berarti: 6 = a(–2)2 – 5(–2) – 12 ⇔ 6 = 4a 4a + 10 – 12 12 ⇔ 6 = 4a – 2 ⇔ a =2 Diperoleh persamaan parabola y = 2x2 – 5x – 12. Menentukan titik potong garis dan parabola. 2x2 – 5x – 12= 12 = x + 8 2 ⇔ 2x – 6x – 20= 0 ⇔ x2 – 3x – 10 = 0 ⇔ (x – 5)(x 5)(x + 2) 2) = 0 ⇔ x = 5 ata atauu x = –2 –2 Untuk x = 5 maka y = 5 + 8 = 13 diperoleh koordinat titik Q (5, 13). Jadi, titik Q(5, 13). 16. Jawaban: d Kedua kurva dipotongkan untuk mencari a. ax2 – 2x = 3x – a ⇔ ax2 + x + a = 0 Syarat memotong di dua titik: D > 0 b2 – 4ac > 0 ⇔ 12 – 4(a)( 4(a)(a) a) > 0 ⇔ 1 – 4a2 > 0 ⇔ (1 + 2a)(1 2a)(1 – 2a) > 0 1

1

Pembuat nol: a = – 2 atau a = 2 Grafik penyelesaian: –

+ 1

–2

– 1 2

1

1

Jadi, nilai a yang memenuhi – 2 < a < 2 .


39

17. Jawaban: d (x – 2)(3 – x) ≥ 4(x – 2) ⇔ 3x – 6 – x2 + 2x ≥ 4x – 8 ⇔ –x2 + 5x – 6 ≥ 4x – 8 x2 – x – 2 ≤ 0 ⇔ ⇔ (x – 2)(x + 1) ≤ 0 Pembuat nol: x = 2 atau x = –1. Grafik penyelesaian: +

–

+

–1

2

Jadi, himpunan penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 2}. 18. Jawaban: a f(x) bernilai negatif berarti f(x) < 0 px2 – 4x + p < 0 Syarat: (1) p < 0 . . . (1) 0

(2 ) D < 0 b2 – 4ac < 0 4(p)(p (p)) < 0 ⇔ (–4)2 – 4(p) ⇔ 16 – 4p2 < 0 ⇔ (4 – 2p)(4 2p)(4 + 2p) 2p) < 0 Pembuat nol: p = 2 atau p = –2. +

–

+

–2

. . . (2)

2

p yang memenuhi (1) dan (2) adalah –2 < p < 0. Jadi, nilai p agar fungsi kuadrat bernilai negatif adalah –2 < p < 0. 19. Jawaban: e 2x − 8 x − 6x + 5 2

2(x − 4) (x − 5)(x − 1)

⇔

<0

+ 1

<0

– 4

+

20. Jawaban: e

≤0

(x − 2)2 ( x + 4)( x − 3 )

c

⇔

c

b

c

x2 – a (– a ) x + ( a )3 = 0 3

bc

c x2 + a2 x + a 3 = 0 ⇔ a3x2 + abcx + c3 = 0 ⇔ Jadi, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya p2q dan pq2 adalah a3x2 + abcx + c3 = 0.

23. Jawaban: c Misalkan akar-akar x2 – px + 6 = 0 adalah x1 dan x2 dengan x1 = 3x2. Diperoleh: x1 + x2 = – a ⇔ 3x2 + x2 = p ⇔ 4x2 = p

⇔

p

x2 = 4 c

⇔ ⇔ ⇔

x1x2 = a 3x2x2 = 6 x22 = 2 x2 = ± 2

p Untuk x2 = 2 , maka 2 = 4 ⇔ p = 4 2

3

Jadi, nilai x yang memenuhi: –4 < x < 3. 40

b

p + q = – a dan pq = a Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya p2q dan pq2: x2 – (p2q + pq2) x + (p2q ⋅ pq2) = 0 ⇔ x2 – pq (p + q) x + (pq)3 = 0

p

≤0

2

22. Jawaban: a Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar-akar p dan q. Diperoleh:

Substitusi x2 = ± 2 ke x2 = 4 .

Batas-batas: x = –4; x = 2; x = 3. Grafik penyelesaian: –4

c

x1 + x2 = a = 4 x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2 (x1 + x2) = (–7)3 – 3 ⋅ 4 ⋅ (–7) = –343 + 84 = –259 3 Jadi, x1 + x23 = –259.

5

Jadi, himpunan penyelesaiannya: {x | x < 1 atau 4 < x < 5} x2 − 4x + 4 x 2 + x − 12

b

x1 + x2 = – a = –7

b

Batas-batas x = 5; x = 1; x = 4 Grafik penyelesaian: –

21. Jawaban: e x2 + 7x + 6 = log log 100 100 ⇔ x2 + 7x 7x + 6 = 2 ⇔ x2 + 7x 7x + 4 = 0


p

Untuk x2 = – 2 maka – 2 = 4 ⇔ p = –4 2 . Jadi, nilai p adalah 4 2 atau –4 2 .

24. Jawaban: d Misalkan absis titik potong terhadap sumbu X adalah x1 dan x2. Diketahui bahwa x1 + x2 = x1 x2 + 2. x1 dan x2 absis titik potong terhadap sumbu X berarti x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat (m – 2) x2 – m2x + 3m – 2 = 0, m ≠ 2 b

m2

Dip iper erol oleh eh x1 + x2 = – a = m − 2 c

3m − 2

x1 x2 = a = m − 2 x1 + x2 = x1 x2 + 2 m2 m−2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

m2 − (3m − 2) –2 m−2 m2 − 3m + 2 − 2(m − 2) m−2 m2 − 5m + 6 m−2

⇔ ⇔ ⇔ Jadi, m = 3.

(m − 2)(m − 3) (m − 2)

3m − 2

= m−2 + 2 =0 =0 =0 =0

m–3 =0 m =3

25. Jawaban: a f(x) = 18x2 – 3px + p memotong sumbu X di satu titik, berarti D = 0. ⇔ b2 – 4ac 4ac = 0 2 ⇔ (–3p) – 4 ⋅ 18 ⋅ p = 0 9p2 – 72p = 0 ⇔ ⇔ 9p(p 9p (p – 8) 8) = 0 ⇔ p = 0 atau atau p = 8 Untuk p = 0 maka 3p2 = 0 Untuk p = 8 maka 3p2 = 192 Jadi, nilai 3p2 adalah 0 atau 192. 26. Jawaban: a Garis 4x = –y = 5 ⇔ y = –4x – 5 Parabola y = k(x2 – 1) tidak akan berpotongan dengan y = –4x – 5. Substitusi y = –4x – 5 ke parabola y = k(x2 – 1) –4xx – 5 = k(x –4 k(x2 – 1) –4xx – 5 = kx –4 kx2 – k ⇔ 2 ⇔ kx + 4x + 5 – k = 0 Syarat tidak berpotongan D < 0. b2 – 4ac 4ac < 0 ⇔ 2 k) < 0 ⇔ 4 – 4 ⋅ k ⋅ (5 – k) ⇔ 16 – 20k + 4k2 < 0 ⇔ 4k2 – 20k 20k + 16 < 0 ⇔ k2 – 5k 5k + 4 < 0 ⇔ (k – 4)(k 4)(k – 1) < 0

Pembuat nol: k = 4 atau k = 1. Grafik penyelesaian: +

– 1

+ 4

Nilai k yang mungkin adalah 1 < k < 4. 27. Jawaban: c |x – 3|2 – 5| x – 3| < 6 ⇔ |x – 3|2 – 5| x – 3| – 6 < 0 Misalkan p = |x – 3| p2 – 5p – 6 < 0 ⇔ (p – 6)(p + 1) < 0 Pembuat nol: p = 6 atau p = –1. Grafik penyelesaian: +

– –1

+ 6

⇔ –1 < p < 6 ⇔ –1 < | x – 3| < 6 Karena harga mutlak selalu lebih dari atau sama dengan 0 makai nilai x memenuhi 0 < |x – 3| < 6. Untuk 0 < |x – 3| diperoleh: i) 0 < x – 3 ⇔ 3 x – 3 ⇔ 3>x Untuk |x – 3| < 6 diperoleh: iii) |x – 3| < 6 ⇔ –6 < x – 3 < 6 ⇔ 3–6 0. b2 – 4ac 4ac > 0 2 ⇔ (–3m) – 4m(3n) 4m(3n) > 0 2 ⇔ 9m – 12m 12mnn > 0 2 ⇔ 3m – 4m 4mn > 0 ⇔ m(3m m( 3m – 4n) 4n) > 0 4n Pembuat nol: m = 0 atau m = 3 . Grafik penyelesaian: +

– 0

+ 4n 3

4n

Nilai m yang memenuhi m < 0 atau m > 3 . 29. Jawaban: d Nilai maksimum: y = 1. −D =1 4a


41

−(b2 − 4ac) =1 4a −(62 − 4a(a + 1)) =1 4a

⇔

⇔ 4a) = 4a 4a ⇔ –(36 – 4a2 – 4a) 2 ⇔ 4a + 4a 4a – 36 = 4a 4a 2 ⇔ 4a – 36 = 0 ⇔ a2 – 9 = 0 ⇔ (a – 3)( 3)(aa + 3) 3) = 0 a = 3 ata atauu a = –3 ⇔ Jadi, nilai a yang memenuhi adalah 3 atau –3. 30. Jawaban: e y = 3px2 + 2px + 1 selalu di atas y = p – x ⇔ 3px2 + 2px 2px + 1 > p – x 2 ⇔ 3px + (2p + 1) x + 1 – p> 0 Syarat: D < 0 b2 – 4ac < 0 ⇔ (2p + 1)2 – 4(3p)(1 4(3p)(1 – p) p) < 0 2 ⇔ 4p + 4p + 1 – 12p + 12p2 < 0 ⇔ 16p2 – 8p + 1 < 0 ⇔ (4p – 1)(4 1)(4pp – 1) < 0 ⇔ (4p – 1)2 < 0 Tidak ada nilai p yang memenuhi (4p – 1)2 < 0. B. Ur Urai aian an

1. Nil Nilai ai maksi maksimum mum f(x f(x)) adalah adalah 5. 5. −D =5 4a

⇔ ⇔

−(b2 − 4ac) =5 4a −((k + 5)2 − 4( −2)(1 − 2k)) =5 4(−2) 2

⇔ −(k + 10k +−285 + 8 − 16k) = 5 ⇔ k2 – 6k 6k + 33 = 40 2 k – 6k – 7 = 0 ⇔ ⇔ (k – 7)(k 7)(k + 1) = 0 k = 7 atau atau k = –1 –1 ⇔ Jadi, nilai k yang memenuhi adalah k = 7 atau k = –1. 2. a. Dua akar berkebalikan 2p

x1 ⋅ x2 = 1 ⇔ 6 = 1 ⇔ p =3 b. Du Duaa aka akarr ber berllaw awan anan an x1 + x2 = 0 ⇔ –

⇔

(4p + 1) 6

−D

Lmaks = 4a

−(b2 − 4ac) 4a −(282 − 4 ⋅ (1)(0)) = 4(−1) 2 28 = 4 = 196

=

Jadi, luas maksimum kebun 196 m2. b. Uku Ukuran ran keb kebun un seh sehing ingga ga lua luasny snyaa maks maksimu imum. m. Lmaks = 196 ⇒ 28A + A2 = 196 1966 = 0 ⇔ A2 – 28A + 19 ⇔ (A – 14)(A – 14) 14) = 0 A = 14 ⇔ Untuk A = 14 ⇒ p = 28 – A = 28 – 14 = 14. Jadi, panjang kebun 14 m dan lebar kebun 14 m. 4. Fu Fung ngsi si y = (x (x – a) a)2 + 5b mempunyai titik puncak (a, 5b). Nilai minimum fungsi 20. Berarti 5b = 20 ⇔ b=4 Diperoleh y = (x – a)2 + 20 Titik potong sumbu Y di (0, 45). 45 = (0 – a)2 + 20 ⇔ 25 = a2 ⇔ a = –5 atau a = 5 Untuk a = –5 dan b = 4, maka ab = –20. Untuk a = 5 dan b = 4, maka ab = 20. 5. Per Persam samaan aan kua kuadra dratt 2x2 + 6x + k – 3 = 0 memiliki akar x1 dan x2. 2 x1 – x22 = 15 ⇔ (x1 + x2)(x1 – x2) = 15

=0

⇔

4p + 1 = 0

⇔

⇔

1

p = –4

3. Misalkan: panjang = p lebar =A

42

Keliling kebun = 56 ⇔ 2(p + A) = 56 ⇔ p + A = 28 ⇔ p = 28 – A L = luas luas kebu kebunn =p×A = (28 – A) A = 28A – A2 Diperoleh fungsi luas L(A) = 28A – A2. a. Lu Luas as ma maks ksim imum um ya yang ng mu mung ngki kin. n.


⇔ ⇔

−b D · a = 15 a −6 · 2 −6 · 4

62 − 4 ⋅ 2(k − 3) 2

= 15

36 − 8k + 24 = 15 15 × 4

36 − 8k + 24 = −6

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

(ii) 2x2 + x – 6 < 0 ⇔ (2x – 3)(x + 2) < 0

36 − 8k + 24 = –10 36 – 8k 8k + 24 24 = 100 100 60 – 8k = 100 100 8k = 60 – 100 100

3

Pembuat nol: x = 2 dan x = –2. Grafik penyelesaiannya: +

40

⇔ k = – 8 = –5 Jadi, nilai k = –5. 6. (k – 1)x2 + 4x + 2k = 0 mempunyai dua akar real jika D > 0. 42 – 4 · (k – 1) · 2k > 0 ⇔ 16 – 8k2 + 8k > 0 ⇔ 2 + k – k2 > 0 ⇔ (2 – k)( k)(11 + k) > 0 Pembuat nol: k = 2 dan k = –1 –

+ –1

2

p −1 , x1 · x2 = 3

1

Akar-akar x2 – (2q + 1)x + q = 0 adalah a dalah x1 + x 2 x1 x 2

= 2q + 1 ⇔

p −1 3 −1 3

⇔

1 x1

dan

1 x2 .

= 2q + 1 = 2q + 1

⇔

+

+ 1 2

-

–

-

+ 3 2

1 − 31

=q

1

+ 1 2

2 9. f(x) = (x + 5)(x − 3x + 3)

x−2

Akan dicari nilai x sehingga f(x) sekurangkurangnya nol. f(x) ≥ 0

⇔

( x + 5)( x 2 − 3 x + 3 ) x−2

≥0

x2 – 3x – 3 selalu bernilai positif untuk berapa pun nilai x. Sehingga batas-batas penyelesaiannya x = –5 dan x = 2. Grafik penyelesaian: –

+ 2

270.000

Pembuat nol: x = 2 dan x = –3 Grafik penyelesaiannya: –

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x| –2 < x < 2 , x ∈ R}.

Jadi nilai x yang memenuhi adalah x ≤ –5 atau x > 2. 10 Mi Misa sal:l: ju juml mlah ah jer jeruk uk yan yangg dibe dibelili (da (dala lam m kg) kg) = x jumlah jeruk jeruk yang dijual (dalam kg) = x – 1 Keuntungan penjualan setiap kg jeruk: untung = harga jual – harga beli

⇔ q = –3 Untuk q = –3 maka p = –2q = –2(–3) = 6 Jadi, 2p + 3q = 2 · 6 + 3(–3) = 12 – 9 = 3. 8. (i) 2x2 + 5x – 3 < 0 ⇔ (2x – 1)(x + 3) < 0

–3

– –3

–5

1 · x1 = q ⇔ x1 ⋅ x2 = q 2

+

+

+

⇔ –(p – 1) = 2q + 1 ⇔ –p + 1 = 2q + 1 p = –2q –2q ⇔ 1 x1

3

Himpunan penyelesaiannya {x | –2 < x < 2 , x ∈ R}. Dari (1) dan (2) diperoleh:

1

–3.

+

3 2

–2

0, sehingga diperoleh x1 + x2 =

1 x2

+

–2

–

Jadi, batas-batas nilai k agar mempunyai dua akar real adalah –1 < k < 2 dan k ≠ 1. 7. Dik Diketa etahui hui persa persamaa maann kuadra kuadratt 3x2 – (p – 1)x – 1 =

1 x1

–

. . . (1) 1

Himpunan penyelesaiannya {x | –3 < x < 2 , x ∈ R}.

240.000

– x = 3.000 ⇔ x −1 –––––––––––––––––––––––––––––––– × (x – 1)x ⇔ 270.00 270.000x 0x – 240.000(x 240.000(x – 1) = 3.000(x 3.000(x – 1)x ⇔ 270x – 240(x 240(x – 1) 1) = 3(x – 1)x 270xx – 240x 270 240x + 240 240 = 3x2 – 3x ⇔ ⇔ 30x + 240 = 3x2 – 3x ⇔ 3x2 – 33x – 240 = 0 ⇔ x2 – 11x 11x – 80 80 = 0 ⇔ (x – 16) 16)(x (x + 5) = 0 x = 16 atau atau x = –5 ⇔ (tidak mungkin) Jadi, jumlah jeruk yang dibeli 16 kg.


43

Latihan Ulangan Tengah Semester A.

6log

98 =


log log 98 log log 6

log 2 ⋅ 49 log 2 ⋅ 3

=

log 2 + log 72 = log 2 + log 3 =

1. Jawaban: d

=

30 − 2 125

=

25 + 5 − 2 25 ⋅ 5

=

25

–

=5–

5

5

2. Jawaban: a 14 3− 2

×

3+ 2 3+ 2

=

14(3 + 2 ) 9−2

=

14(3 + 2 ) 7

=

log 2 + 2 a log 2 + b lo log 2

=

(1+ a2 ) (1 + b)

4

1  2 + ( 1 2 )  = (1 + =   

=

=1+2 2 +2=3+2 2

+ 12 b

1 ab

b2

+ a2

a2b2 1 ab

=

=

a2 + b2 a2b2

× ab =

a2

+ b2 ab

4. Jawaban: b −2 3 3 −2 92 – (27) 3 = (32 )2 – (33 ) 3 = 33 – 3–2 = 27 – 91 =

−1

2

3 −5 4  27y−2   27y2   3 −5   3  = 16x y−2 × 27 ⋅ 276 y 16x 27y  16x y   4x  = 27x3 – 6y4 – 5 + 2 = 27x–3y

=

26 89 5. Jawaban: e 5log

1 5 5

−3

= 5log 5

2

= – 23

6. Jawaban: b 5( 3

+ 2)( 3 − 2 )2 5( 3 + 2 )( 3 − 2 )( 3 − 2 ) = 2 2− 3 2 2− 3

5( 3 − 2 ) = 5(3 − 2)( 3 − 2) = 2 2− 3 2 2− 3

=

5( 3 − 2) 2 2− 3

=

5( 6 − 1) 5

=

×

2 2+ 3 2 2+ 3

=

5(2 6 + 3 − 4 − 6 ) 8−3

6 –1

27y x3

12. Jawaban: b n = x – yx – y = 2 – (–2)2 – (–2) = 2 – (–2 4) = 2 – 16 = –14 13. Jawaban: b 16(x – 5)2 – 25 = 0 ⇒ ingat bentuk a2 – b2 = (a + b)(a – b) (4(x – 5))2 – (5)2 = 0 ⇔ (4(x – 5) + 5)(4(x – 5) – 5) = 0 ⇔ (4x – 15)(4x – 25) = 0 ⇔ (4x – 15) = 0 atau (4x – 25) = 0

⇔x=

15 4

atau x = 25 4

14. Jawaban: d 2x2 + 3x – 2 = 0 ⇔ (2x – 1) (x + 2) = 0

7. Jawaban: d log log 2 a

7log

2=a⇔

log log 2 log log 7

= a ⇔ log 7 =

2log

3=b⇔

log log 3 log log 2

= b ⇔ log 3 = b log 2

44

2 )2

11. Jawaban: c

3. Jawaban: a 1 a2

a+2 a(1 + b)

 1 + 2  4   4  1 + 1 + 1  4 = =    1 + 1 + 1          

=6+2 2 a−2 + b−2 (ab)−1

=

(1 + a2 ) log 2 (1 + b) log 2

8. Jawaban: c 2log 5 × 5log 8 = 2log 8 = 3 9. Jawaban: b (log 15 – log 150)(log75 – log 7,5) = (log 15 – log 15.10)(log 7,5 . 10 – log 7,5) = (log 15 – log 15 – log 10)(log 7,5 + log 10 – log 7,5) = (–log 10)(log 10) = (–1)(1) = –1 10. Jawaban: c

2)

= 2(3 +

=

log 2 + log 49 49 log 2 + log 3

log 2 + 2 lo log 7 log 2 + log 3

log log 2

30 − 500 = 30 − 4.125 = 30 − 2 125 Dicari 2 bilangan jika dijumlah = 30 dan dikali = 125, yaitu 25 dan 5 25 + 5 = 30 dan 25 · 5 = 125, sehingga diperoleh bentuk:

=


⇔x=

1 2

atau x = –2

Akar-akar dari persamaan 2x 2 + 3x – 2 = 0 adalah x = 21 atau x = –2.

3x2 + 52 x – 2 = 0

x1 – x2 =

D a

=

b2

− 4ac

(−48 48)2 − 4 ⋅ 6 ⋅ 90 6

=

a

⇔ + 5x – 4 = 0 ⇔ (3x + 4) (2x – 1) = 0

=

⇔ x = −34 atau x =

= =2

6x2

1 2

Akar-akar dari persamaan 3x 2 + 52 x – 2 = 0 x = −4 atau x = 1 . 3

2

Akar persekutuan dari persamaan 2x 2 + 3x – 2 = 0 dan 3x2 + 52 x – 2 = 0 adalah x = 21 . Substitusikan x = 21 ke persamaan x2 – 3ax + 2 = 0 sehingga diperoleh: 1 4

– 32 a + 2 = 0

⇔ – 32 a = –2 – ⇔ ⇔

3 a 2

1 4

⇔

Jadi, nilai a2 – 2a = ( 32 )2 – 2 × 32 = – 34

⇒ a = 1, b = –6, c = p

x1 + x2 = – ba = –( −16 ) = 6; x1 · x2 = ac = p1 = p x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 18 ⇔ 62 – 2b = 18 ⇔ 36 – 18 = 2b ⇔ b =9 16. Jawaban: c 2x2 + kx +2 = (4k – 22)x 2 – 2kx + 4 ⇔ 2x2 – (4k – 22)x2 + kx + 2k 2kxx + 2 – 4 = 0 ⇔ (24 – 4k)x2 + 3kx – 2 = 0 Diperoleh a = 24 – 4k, b = 3k, c = –2 Misal akar-akar dari persamaan adalah x 1 dan x2 maka: x1 + x2 = – ba

k2

k−2 k2

k−2 2

3 2

15. Jawaban: b x2 – 6x + b = 0

18. Jawaban: b (k – 2)x2 – k2x + (3k – 2) = 0 ⇒ a = k – 2, b = –k 2, c = 3k – 2 k2 −k2 p + q = – ba = –( k − 2 ) = k − 2 3k − 2 p · q = ac = k − 2 (p + q) = 2 + (pq)

⇒

= 2 41

a =

x12 – x22 = 8 ⋅ 2 = 16

⇔ – 243k − 4k ⇔ 24 – 4k 4k ⇔ 24k ⇔ k

3 = – 20

= k . 20 20 = 24 =1

17. Jawaban: e 6x2 – 48x + 90 = 0 ⇒ a = 6, b = –48, c = 90 x12 – x22 = ( x1 + x2)(x – x2) x1 + x2 = – ba = –( −648 ) = 8

144 6 12 6

k ⇔ k−2 ⇔ k2 – 5k 5k + 6 ⇔ (k – 2 )(k )(k – 3) 3) ⇔ k = 2 ata atau uk

=2+

3k − 2 k−2

=

2(k − 2) k−2

=

5k − 6 k−2

+

3k − 2 k−2

=0 =0 =3

19. Jawaban: b a. 2x2 – 7x = 0 ⇒ D = (–7)2 – 4 · 2 · 0 = 49 (dua akar real) b. x2 – 3x + 15 = 0 ⇒ D = (–3)2 – 4 · 1 · 15 = –51 (dua akar tidak real) c. 2x2 – 8x + 3 = 0 ⇒ D = (–8)2 – 4 · 2 · 3 = 40 (dua akar real) d. x2 – 4x + 4 = 0 ⇒ D = (–4)2 – 4 · 1 · 4 = 0 (dua akar sama) e. 3x2 – 9 = 0 ⇒ D = 02 – 4 · 3 · (–9) = 108 (dua akar real) 20. Jawaban: d 2x2 – (3r + 1)x + 3 = 0 ⇒ a = 2, b = –(3r + 1), c = –3 Syarat persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar berlawanan (x 1 = –x2) adalah b = 0. –(3r –( 3r + 1) 1) = 0 ⇔ –3r – 1 = 0

⇔

r = – 31

21. Jawaban: a nx2 – (2n – 3)x + (n + 6) = 0 ⇒ a = n, b = –(2n – 3), c=a+6 Syarat mempunyai akar kembar ⇒ D = 0 (–(2n – 3))2 – 4 · n · (n + 6) = 0 ⇔ 4n2 – 12n + 9 – 4n 2 – 24 24n n=0 ⇔ –36 36n n = –9

⇔

n = 41


45

sehingga persamaan kuadratnya menjadi 1 2 x 4

– (2 · 41 – 3)x + ( 41 + 6) = 0 1 2 x 4

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+ 52 x + 25 =0 4

x2 + 1 10 0x + 25 = 0 (x + 5)2 = 0 x = –5

Jadi, x = –5. 22. Jawaban: e x – 3 < 4x – 3 < 2x – 1 artinya x – 3 < 4x – 3 dan 4x – 3 < 2x – 1. 1) x – 3 < 4x – 3 ⇔ 3x > 0 ⇔ x > 0 2) 4x – 3 < 2x – 1 ⇔ 2x < 3 – 1 ⇔ 2x < 2 ⇔x<1

(1)

0 1

(2)

0

1

23. Jawaban: e Misal: x – 2 = a, maka pertidaksamaan di atas menjadi: a2 – 8a + 15 ≤ 0 ⇔ (a – 3)(a – 5) ≤ 0 Batas-batas nilai x : (a – 3) (a – 5) = 0 a = 3 atau a = 5 untuk a = 3 ⇒ x = 2 + 3 = 5 untuk a = 5 ⇒ x = 2 + 5 = 7 Penyelesaian pertidaksamaan di atas dapat digambar dengan garis bilangan: – 5

+

≤ x ≤ 7.

24. Jawaban : d x2 – 6x – 40 ≥ 0 ⇔ (x + 4) (x – 10) ≥ 0 Batas-batas nilai x: (x + 4) (x – 10) = 0 x = –4 atau x = 10

– 3 2

–4

Nilai x yang memenuhi adalah {x | x < –4 atau x > 32 }. 26. Jawaban: e Menyusun persamaan kuadrat baru yang akarakarnya k kurangnya dari akar-akar persamaan kuadrat lama dapat menggunakan rumus: ⇒ a(x + k)2 + b(x + k) + c = 0 Sehingga ⇒ 1(x + 3)2 + 5(x 5(x + 3) 3) – 24 = 0 2 ⇔ x + 6x + 9 + 5x +15 – 24= 0 ⇔ x2 + 11x = 0 27. Jawaban: c α + β = – b = –( −2 ) = 2 1

α · β = ac = −13 = –3 α2 + β2 = (α + β)2 – 2α · β = 22 – 2(–3) = 10

α2 · β2 = (α · β)2 = (–3)2 = 9 Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya β yaitu:

α dan

x2 – (α2 + β2)x + α2 · β2 = 0, atau x2 – 10x + 9 = 0 28. Jawaban: a 2x2 – x + 4 = 0 ⇒ a = 2, b = –1, c = 4 α + β = – b = –( −1 ) = 1 a c = 42 a

2

2

=2

α 2 + α + β2 + β α + β = α +1 β +1 αβ + (α + β) + 1

= +

=

10

β α β +1 · α +1


(α + β)2

− 2αβ + (α + β) αβ + (α + β) + 1

 1  2    2 

− 2 ⋅ 2 + 21 2 + 21 + 1

= – 13 14

Nilai x yang memenuhi adalah x ≤ –4 atau x ≥ 10.

46

+

α 2 + β2 + α + β = αβ + (α + β) + 1

– –4

+

αβ =

7

Nilai x yang memenuhi adalah 5

+

x = 32 atau x = –4

a

Jadi, penyelesaiannya adalah {x|0 < x < 1}.

+

25. Jawaban: b 12 – 5x < 2x2 ⇔ –2 –2xx2 – 5x + 12 < 0 ⇔ 2x2 + 5x – 12 > 0 ⇔ (2x – 3) (x + 4) > 0 Batas-batas nilai x: (2x – 3) (x + 4) = 0

αβ = αβ + (α + β) + 1 =

2 2+

1 2

+1

=

2 7 2

= 47

Persamaan kuadrat baru ⇒ x2 –(α + β)x + α · β = 0

⇔ ⇔

x2 –

(– 13 )x 14

+

4 7

=0

14x2 + 13x 13x + 8 = 0

29. Jawaban: e Menyusun persamaan kuadrat baru (pada soal px2 – 3x – 40 = 0 ) yang akar-akarnya empat kali dari akar-akar PK lama (pada soal 4x 2 – 3x + q = 0) dapat meggunakan rumus

⇒ a( kx )2 ⇔4( 4x )2 ⇔

+

b( kx

–

3( 4x )

1 2 x 4

)+c =0

– 34 x + q = 0

⇔

x2 – 3x + 4q = 0 Persamaan kudrat x 2 – 3x + 4q = 0 identik dengan px2 – 3x – 40 = 0, Koefisien x2: ⇒ p = 1 Konstanta ⇒ –40 = 4q ⇒ q = –10 Sehingga (q + 5p)2 = (–10 + 5 · 1)2 = (–5)2 = 25 30. Jawaban: d a.

y = x2 – x + 2 ⇒ D = (–1)2 – 4 · 1 · 2 = –7 (grafik tidak memotong atau tidak menyinggung sumbu X)

b.

y = 3x2 – x + 6 ⇒ D = (–1)2 – 4 · 3 · 6 = –71 (grafik tidak memotong atau tidak menyinggung sumbu X)

c.

y = 2x2 – 8x + 10 ⇒ D = (–8)2 – 4 · 2 · 10 = –16 (grafik tidak memotong atau tidak menyinggung sumbu X)

d.

y = 4x2 + 4x + 1 ⇒ D = 42 – 4 · 4 · 1 = 0 (grafik menyinggung sumbu X)

e.

y = 3x2 – 6x – 3 ⇒ D = (–6)2 – 4 · 3 · (–3) = 72 (grafik memotong sumbu X di dua titik berbeda)

31. Jawaban: e Dari soal diketahui grafik mempunyai titik puncak (0,2), sehingga fungsi kuadrat dapat disusun dengan rumus y = a(x – x p)2 + yp dengan (xp, yp) adalah titik puncak. y = a(x – 0)2 + 2 y = ax2 + 2

⇒ 8 = a · 12 + 2 ⇔a=6

Sehingga fungsi kuadrat menjadi y= + 2 ⇒ a = 6, b = 0, c = 2 2a – 5b + c = 2 · 6 – 5 · 0 + 2 = 14 6x2

( 21 ,0)

⇒ ⇔ (1,0) ⇒ ⇔

0 = 41 a + 21 b – 1

a + 2b = 4 . . . (1) 0=a+b–1 a + b = 1 . . . (2) Dari persamaan 1 dan 2 a + 2b = 4 a+b =1 ––––––––– – b= 3 ⇒ b = 1 Diperoleh a + 3 = 1 ⇔ a = –2 Jadi, rumus fungsi kuadrat menjadi ⇒ y = –2x2 + 3x – 1 32 − 4(−2)(−1) Ordinat titik balik y = −D4a = = 81 −4(−2)

+q =0

Grafik melalui titik (1,8)

32. Jawaban: c

33. Jawaban: b (2, 12) ⇒ f(x) = (p – 4)x 4)x2 + px + (p + 7) ⇔ 12 = (p – 4)4 4)4 + 2p + (p + 7) ⇔ 12 = 4p 4p – 16 16 + 2p 2p + p + 7 ⇔ 21 = 7p ⇔ p =3 Jadi, rumus fungsi kuadarat menjadi f(x) = (3 – 4)x 2 + 3x + (3 + 7) f(x) = –x2 + 3x + 10 32 − 4(−1)10 Nilai maksimum y = −D4a = = 49 −4(−1) 4 34. Jawaban: a Dari gambar grafik di atas, grafik memotong sumbu x dititik (–3, 0) dan (1, 0). Persamaan grafik: y = 1(x – 1)(x + 3) Grafik melalui titik (0,–3) ⇒ –3 = a(0 a(0 – 1)( 1)(0 0 + 3) ⇔ –3 = –3a ⇔ a =1 Sehingga Sehingg a y = 1 · (x – 1)(x + 3) y = x2 + 2x – 3 35. Jawaban: c Substitusi y = mx – 14 ke persamaan kuadrat y = 2x2 + 5x – 12: 2x2 + 5x – 12 = mx – 14 ⇔ 2x2 + 5x – mx – 12 + 14= 0 ⇔ 2x2 + (5 (5 – m) m)x x +2 = 0 Syarat kedua fungsi berpotongan didua titik adalah D > 0. ⇒ (5 – m)2 – 4 · 2 · 2 > 0 ⇔ 25 – 10m + m 2 – 16 > 0 ⇔ m2 – 10m + 9 > 0 ⇔ m – 9) (m – 1) > 0 +

– 1

+ 9

Nilai m yang memenuhi adalah m > 9 atau m < 1.


47

36. Jawaban: e Luas belah ketupat = = =

1 2 1 2 1 2

× d1 × d2 × ( 5 + 2 3 )(4 3 – 3 5 ) ×( 5 ·4 3 –

5 ·3 5 +2 3 ·4 3 –

2 3 ·3 5 = = =

1 2 1 2 9 2

× (4 15 – 3 · 5 + 8 · 3 – 6 15 ) × (9 – 2 15 ) – 15

Jadi, luas belah ketupat ( 92 – 15 ) cm2. 37. Jawaban: b x > 0, karena panjang tidak mungkin negatif tinggi = x, alas = x + 3 Luas jajargenjang ≥ 15 ⇔ alas × tinggi ≥ 15 ⇔ (x + 3)x ≥ 15 ⇔ x(x + 3) ≥ 15 38. Jawaban: d Ketinggian tidak kurang dari 221 m maka pertidaksamaannya: 30t – t2 ≥ 221 ⇔ 30t – t2 – 221 ≥ 0 ⇔ t2 – 30t + 221 ≤ 0 ⇔ (t – 17)(t – 13) ≤ 0 +

– 13

40. Jawaban : a Misalkan lebar = x Keliling persegi panjang = panjang tali ⇒ 2 (p (p + l) = 200 200 ⇔ x + p = 10 100 ⇔ p = 100 100 – x Luas persegi panjang < 1.600 m 2 ⇒ p × l = 1.600 ⇔ (100 – x)x < 1.600 ⇔ 100x – x2 < 1.600 ⇔ 100x – x2 – 1.600 < 0 ⇔ x2 – 100x + 1.600 > 0 ⇔ (x – 20)(x – 80) > 0 Batas nilai x adalah ⇔ x = 20 atau x = 80 x > 0, karena panjang harus positif + 0

– 20

B. Ur Urai aian an

1. a.

(8−2 × 9−2 ) : (32 × 4) (3−2 × 2−2 )

17


((23 )−2 × (32 )−2 ) : (32 × 22 ) (3−2 × 2−2 )

=

(2−6 × 3−4 ) : (32 × 22 ) (3−2 × 2−2 )

=

2−6 − 2 × 3−4 − 2 (3−2 × 2−2 )

=

2−8 × 3−6 (3−2 × 2−2 )

= =

1 6

2

× 34

1 64 × 81

1 = 5.184

b.

1

2

92 + 6 645 – 125 1253

1

5

2

= (32)2 + 646 – (53 )3 2× 3× = 3 2 + (26 )6 – 5 3 = 3 + 25 – 52 = 3 + 32 – 25 = 10 1

2. a.

5

(5 2 – 2 3 )2 = (5 2 )2 – 2 · 5 2 · 2 3 + (2 3 )2 = 50 – 20 6 + 12 = 62 – 20 6

48

=

= 2–8 – (–2) × 3–6 – (–2) = 2–6 × 3–4

Jadi, ketinggian peluru tidak kurang dari 221 m terjadi pada saat 13 ≤ t ≤ 17.

Luass segitiga Lua segitiga = 21 × a × t = 21 × 5 × 12 = 30 cm 2

80

Jadi, batas-batas nilai x adalah 0 < x < 20 atau x > 80.

+

39. Jawaban: a Misalkan sisi siku-siku I = x Sisi siku-siku II = x + 7 Berdasarkan dalil Phytagoras maka berlaku: x2 + (x +7)2 = 132 ⇔ x2 + x2 + 14x 14x + 49 49 = 169 169 2 ⇔ 2x + 14x 14x – 120 120 = 0 2 ⇔ x + 7x 7x – 60 = 0 ⇔ (x + 12 12)) (x – 5) = 0 ⇔ x = –12 ata atau u x = 5 cm Untuk x = –12 tidak mungkin karena ukuran panjang selalu positif. Panjang sisi siku-siku I = 5 cm Panjang sisi siku-siku II = 12 cm

+

2

b.

6 7

−1

+3 2

−1

6

=

+3 2

7

×

7 7

Dengan menggunakan rumus abc diperoleh

−3 2 −3 2

x1 · 2 =

42 − 3 12 − 7 + 3 2 7 − 18

=

42

=

−6 3− 7+3 2 −11

1 = – 11 ( 42 – 1 = 11 (6 3 –

7 –6 3 +3 2) 42 +

−b ± b2 − 4ac

7 –3 2)

x1

2a

=

−(− 55)) ± 25 − 4 ⋅ 1 ⋅ 5 2 ⋅1

=

5± 5 2 1

= 2 (5 +

1

5 ) atau x2 = 2 (5 –

5)

6. 3x2 – 6x + 2 = 0 akar-akarnya x 1 dan x2, maka: 6

3. a.

log(x x ) + log( y ) + log( xy2 ) log(xy)

=

log(x x )( )( y )( )(xy 2 ) log(xy) 5 2

log x y

5 2

= log(xy) 5

= = c.

log(xy) 2 log(xy) 5 log(xy) 2

log(xy)

= 52

7log

5 · 9log 32 · 2log 7 · 5log 9 = 7log 5 · 9log 25 · 2log 7 · 5log 9 = 5 9log 2 · 2log 7 · 7log 5 · 5log 9 = 5 9log 9 =5

= 2x1x2 – 6(x1 + x2) + 9 =2·

4

x1 = – 3 atau 1

(x − 2)

+

1

(x − 1)

1(x − 1) (x − 2)(x − 1)

+

(x − 1) + (x − 2) x 2 − 3x + 2

=1

2x – 3 = x2 – 3x + 2 x2 – 5x + 5 = 0

–6·2+9

5

⇔x2 – (–2)x +  − 5   = 0  3  ⇔ 3x2 + 6x 6x – 5 = 0 7. a.

3x2 – 19x – 14 > 0 ⇔ (3x + 2)(x – 7) > 0 Batas-batas nilai x: 2

x = – 3 dan x = 7 +

1

x2 = 2

–

+

2

7

–3

=1

1(x − 2) (x − 2)(x − 1)

2 3

= –3 Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya α = 2x1 – 3 dan β = 2x2 – 3: x2 – (α + β)x + (α · β) = 0

Dengan Deng an pe pemf mfak akto tora ran n dip diper erol oleh eh:: 2 6x + 5x – 4 = 0 ⇔(3x + 4)(2x 4)(2x – 1) = 0 ⇔ 3x + 4 = 0 atau 2x – 1 = 0

⇔ b.

2

x1 · x2 = 3 Akar-akar persamaan kuadrat yang baru α = 2x1 – 3 dan β = 2x2 – 3. α + β = (2x1 – 3) + (2x2 – 3) = 2(x1 + x2) – 6 =2·2–6 = –2

α · β = (2x1 – 3)(2x2 – 3)

4. Fung Fungsi si f: x → 10 – 3x – 2x2 Rumus fungsi f(x) = 10 – 3x – 2x2 D = { x | –3 < x < 3, 3, x ∈ bilangan bulat} = {–2, –1, 0, 1, 2} f(–2) = 10 – 3(–2) – 2(–2)2 = 10+ 6 – 8 = 8 f(–1) = 10 – 3(–1) – 2(–1)2 = 10 + 3 – 2 = 11 f(0) = 10 – 3 · 0 – 2 · 02 = 10 f(1) = 10 – 3 · 1 – 2 · 12 = 10 – 3 – 2 = 5 f(2) = 10 – 3 · 2 – 2 · 22 = 10 – 6 – 8 = –4 Jadi, daerah hasilnya {–4, 5, 8, 10, 11}. 5. a.

x1 + x2 = 3 = 2

2

Jadi, himpunan penyelesaian {x | x < – 3 atau x > 7, x ∈ R}.

=1 b.

0,1x2 – 0,5x – 0,4 ≤ 0 ⇔ x2 – 5x + 4 ≤ 0 ⇔ (x – 4)(x – 1) ≤ 0 +

– 1

+ 4

Jadi, himpunan penyelesaian: {x | 1 x ∈ R}.


≤ x ≤ 4,

49

8. Misal Misal fungsi fungsi kuad kuadrat rat terse tersebut: but: y = ax2 + bx + c A(0, 4) ⇒ 4 = a · 02 + b · 0 + c ⇔ 4 = c . . . (1) B(1, 2) ⇒ 2 = a · 12 + b · 1 + c ⇔ 2=a+b+4 ⇔ a + b = –2 . . . (2) C(2, 4) ⇒ 4 = a · 22 + b · 2 + 4 ⇔ 4 = 4a + 2b + 4 ⇔ 4a + 2b = 0 ⇔ 2a + b = 0 . . . (3) Eliminasi dari (2) dan (3) a + b = –2 2a + b = 0 ––––––––– –

4

−b t = 2a

⇒t=

4

5

4

b.

= 5 = 1,8 Jadi, tinggi maksimum batu 1,8 meter. Batu Bat u jatuh jatuh sa sampa mpaii di tan tanah, ah, ber berart artii keketinggiannya nol. 4

1

⇒ 1 + 5 t – 5 t2 = 0 ⇔ t2 – 4t 4t – 5 = 0 ⇔ (t + 11)(t )(t – 5) = 0 ⇔ t = –1 atau t = 5

Oleh karena waktu bernilai positif maka t = 5. Jadi, batu jatuh sampai di tanah pada detik ke-5.

9. Menent Menentuka ukan n titik poton potong g dengan dengan sumbu sumbu X. 2 y = 0 ⇒ –x + 2x 2x – 1 = 0 2 ⇒ x – 2x 2x + 1 = 0 ⇒(x – 1)(x 1)(x – 1) = 0 ⇒ x =1 Grafik memotong sumbu X di titik (1, 0). Menentukan titik potong dengan sumbu Y. x = 0 ⇒ y = –02 + 2 · 0 – 1 ⇔ y = –1 Grafik memotong sumbu X dititik (0, –1) Menentukan titik puncak.

Bab III Sistem Sistem Pers Persamaa amaan n Line LineararKuadrat

A.

−b = −2 = 1 x = 2a 2(−1) 2 y = –1 + 2 · 1 – 1 = 0 Koordinat itik puncak (1, 0). Kurva menghadap ke bawah (a < 0)


1. Jawaban: b x = harga tas y = harga sepatu x + y = 130.000 10

Y

X 3

8

9

Subs Su bstit titus usii a = 2 ke (3) (3) : 2 · 2 + b = 0 ⇔ b = –4 Diperoleh fungsi kuadrat: y = 2x 2 – 4x + 4

2

1

= 5 + 5 – 5

⇔a =2

1

4

= 2 =2

= 1 + 5 · 2 – 5 · 22

h(t) = 0

–4 –3 –2 –1 0 –1

4 5 2  − 1    5 

−

Fungsi Fun gsi maksi maksimum mum = h(2) h(2)

–a = –2

4

–2 –3 –4 –5

50

1

10. h(t) = 1 + 5 t – 5 t2 a. Ti Ting nggi gi mak maksim simum um dip diper erol oleh eh apa apabil bila a


. . . (i) 20

(x – 100 x) + (y – 100 y) = 108.000 ⇔ (100x – 10x) + (100y – 20y) = 10.800.000 ⇔ 90x + 80y = 10.800.000 10.800.000 ⇔ 9x + 8y = 1.080.000 . . . (ii) Jadi, model matematikanya:   x + y = 130.0 130.000 00  9x + 8y = 1.080.0 1.080.000 00 2. Jawaban: d Misa Mi sal: l: x = jer jeruk uk y = pisang Sistem persamaan yang terbentuk: 3x + 4y= 26.500 5x + 3y= 29.500

. . . (i) . . . (ii)

Eliminasi y pada persamaan: 3x + 4y= 26.500 ×3 9x + 12y = 79.500 5x + 3y= 29.500 × 4 20x + 12y = 118.000 –––––––––––––––– – –11xx = –38.50 –11 –38.500 0 ⇔ x = 3.5 3.500 00 Substitusikan x = 3.500 ke persamaan (i): 3x + 4y = 26.50 26.500 0 ⇒ 3(3.50 3(3.500) 0) + 4y = 26.500 26.500 ⇔ 4y = 16.0 16.000 00 ⇔ y = 4.0 4.000 00 2x + y = 2(3.50 2(3.500) 0) + 4.0 4.000 00 = 7.000 + 4.000 = 11.000 Jadi, uang kembalian yang diterima Maya Rp50.000,00 – Rp11.000,00 = Rp39.000,00. 3. Jawaban: d K = 2(p + ) ⇒ 26 = 2(p + ) ⇔ 2p + 2 = 26 . . . (i) p – 2 = 1 . . . (ii) Eliminasi  pada persamaan: 2p + 2 = 26 p – 2 = 1 –––––––––– + 3p = 27 27 ⇔ p=9 Substitusikan p = 9 pada persamaan (i): 2p + 2 = 26 ⇒ 18 + 2 = 26 ⇔ 2 = 8 ⇔ = 4 L = p ×  ⇒ L = 9 × 4 = 36 Jadi, luas persegi panjang 36 cm 2. 4. Jawaban: c Persamaan garis pada gambar: . . . (i) g 1: 3y + 2x = 6 g 2: 2y + 4x = 8 . . . (ii) Eliminasi x pada persamaan: 3y + 2x = 6 ×2 6y + 4x = 12 2y + 4x = 8 ×1 2y + 4x = 8 –––– –– –––– –––– –––– –––– ––– – – 4y = 4 ⇔ y = 1 Substitusi y = 1 pada persamaan (i): 3y + 2x = 6 ⇒ 3( 3(1) 1) + 2x = 6 ⇔ 3 + 2x = 6 ⇔ 2x = 3

⇔

3

x= 2 3

Jadi, titik potong kedua garis tersebut ( 2 , 1). 5. Jawaban: c (a – b)x + ay = 1 ax + (a + b)y = 1

. . . (i) . . . (ii)

Eliminasi y pada persamaan (i) dan (ii): (a – b)x + ay = 1 ax + (a + b)y = 1

× (a + b) ×a

(a 2 – b2)x + a(a a(a + b)y = a + b a 2x + a(a a(a + b)y b)y = 1 –––––––––––––––––––––– ––––––––––– ––––––––––– – (a2 – b2)x – a2x = b ⇔ –b2x = b

⇔

x=–

1 b

x =–

1 b

disubstitusikan ke persamaan (i): 1 b

(a – b)(– ) + ay = 1

⇔ ( ⇔

b−a ) b a 1– b

+ ay = 1 + ay ay = 1 a

⇔

ay = b

⇔

y=

1 b

Jadi, nilai x dan y yang memenuhi persamaan adalah x = –

1 b

dan y =

1 . b

6. Jawaban: c x

+2 2

+

y+3 4

=2

⇔ 2(x + 2) + (y + 3) = 8 ← (dikali 4) ⇔ 2x + 4 + y + 3 = 8 ⇔ 2x + y = 1 x

+3 2

–

y

−3 4

. . . (i)

=3

⇔ 2(x + 3) – (y – 3) = 12 ← (dikali 4) ⇔ 2x + 6 – y + 3 = 12 ⇔ 2x – y = 3

. . . (ii)

Eliminasi y pada persamaan (i) dan (ii): 2x + y= 1 2x – y= 3 ––––––––– + 4x = 4 ⇔ x=1 Nilai x = 1 disubstitusikan ke (i): ⇒ 2( 2(1) 1) + y = 1 ⇔ 2 +y = 1 ⇔ y = –1 1

1

1

1

Jadi, x + = 1 + −1 = 1 – 1 = 0. y 7. Jawaban: c Tiga tahun lalu umur A sama dengan 2 kali umur B dapat ditulis: A – 3 = 2 × (B – 3) ⇔ A = 2B – 3 . . . (i) Dua tahun yang akan datang 4 kali umur A sama dengan umur B ditambah 36 tahun dapat ditulis: 4 × (A + 2)= (B + 2) + 36 ⇔ B = 4A – 30 . . . (ii)


51

Substitusi B pada persamaan (ii) ke persamaan (i): A = 2(4A – 30) – 3 ⇔ A = 8A 8A – 63 ⇔ 7A = 63 ⇔ A =9 Jadi, umur A sekarang 9 tahun. 8. Jawaban: e Eliminasi y pada persamaan: 1

(i)

2 x

+ y =1

(ii)

1 x

– y =8

2

×2

4 x

×1

1 x

11. Jawaban: e Eliminasi x: 2

1 x

+

2 y

=1

×2

2 x

2

2 x

–

8 y

=0

×1

2 x

+ y =2

– y =8 –––––––––––– + 5 x

1 2

1

Substitusi x = 2 ke persamaan (i): 1 2

1

Jadi,

1 x+y

=

−

1 3

=

1 1 6

2 6

=1 = 3

2

2 3

3

1 2

1

Substitusi a = 2 ke persamaan (i):

⇔ 6– b= 7 ⇔ –b = 1 ⇔ b = –1 1

Jadi, nilai a = 2 dan b = –1. 10. Jawaban: a Misa Mi sal: l: x = ba bany nyak ak pe peno nont nton on de dewa wasa sa y = banyak penonton anak-anak x + y = 3.000 . . . (1) 7.500x + 5.000y = 19.500.000 . . . (2)

52

⇔ y=6

15

Jadi, x + y = 2 + 6 = 2 .

= 6.

⇔ a=

1

+

x= 2

9. Jawaban: b (3, 1) merupakan penyelesaian maka: ⇔ 12a – b = 7 . . . (i) 4 · a(3) – b(1) = 7 2 · a(3) + 2b(1) = 1 ⇔ 6a + 2b = 1 . . . (ii) Eliminasi b pada persamaan: 12a – b = 7 ×2 24a – 2b = 14 6a + 2b = 1 × 1 6a + 2b = 1 ––––––––––––– + 30a 30 a = 15

12( 2 ) – b = 7

1 x

⇔

1

1 1 2

⇒

= –3

y = –3

=2

1

1 x

⇔

8

Substitusikan y = 6 ke persamaan x + = 1: y

⇔

⇔

=2

– =0 y –––––––––– – 12 y

=1

1 y 1 y

⇒ 4+

+ y =1

4 y

+

= 10

⇔ x=

2

Eliminasi y pada persamaan: x + y = 3.000 × 5.000 7.50 7. 500x 0x + 5.0 5.000 00yy = 19. 19.50 500. 0.00 000 0 ×1 ⇒ 5.000x + 5.000y = 15.000.000 15.000.000 7.500x + 5.000y = 19.500.000 19.500.000 ––––––––––––––––––––––––– – –2.500x = –4.500 –4.500.000 .000 ⇒ x = 1.800 Jadi, banyak penonton orang dewasa 1.800 orang.


12. Jawaban: c Misal Mis al:: x = an angk gka a per pertam tama a (pu (puluh luhan an)) y = angka kedua (satuan) Nilai angka tersebut = 10x + y 10x + y = 6(x + y) + 3 ⇔ 10x + y = 6x + 6y + 3

⇔ 4x – 5y = 3

. . . (i)

Selisih angka pertama dikurangi angka kedua adalah 2. x–y=2

. . . (ii)

Eliminasi y pada persamaan: 4x – 5y = 3 ×1 4x – 5y = 3 x–y=2 ×5 5x – 5y = 10 ––––––––––––– – –x = –7 –7 ⇔ x=7 Substitusikan x = 7 ke persamaan (i): 4x – 5y = 3 ⇒ 4( 4(7) 7) – 5y = 3 ⇔ 28 – 5y 5y = 3 ⇔ –5y –5 y = –2 –25 5 ⇔ y=5 Jadi, bilangan tersebut: 10x + y = 10(7) + 5 = 75.

Eliminasi x pada persamaan (i) dan (ii): 2x – 4y = 1 × 1 2x – 4y = 1 x + 3y = –2 × 2 2x + 6y = –4 ––––––––––– – –10y –1 0y = 5

13. Jawaban: a Misa Mi sal: l: x = umu umurr Andi Andi sek sekar aran ang g y = umur Fiki sekarang 1

x – 4 = 2 (y – 4)

1

⇔

4

x – 2 y=4 – 2

⇔

x–

⇔

1 2

⇔

y= 2

1

2x – y = 4

. . . (i)

y = – 2 substitusikan ke persamaan (i): 1

⇒ 2x – 4(– 2 ) = 1 ⇔ 2x + 2 = 1 1 ⇔ x=–2

2x – 4y = 1 3

x + 4 = 4 (y + 4)

3

12

⇔

x – 4 y= 4 – 4

⇔

x – 4 y = –1 –1

3

⇔

1

4x – 3y = –4

. . . (ii)

Eliminasi y pada persamaan: 2x – y = 4 ×3 6x – 3y = 12 4x – 3y = –4 ×1 4x – 3y = –4 ––––––––––––– – 2x = 16 16 ⇔ x=8 Substitusikan x = 8 ke persamaan (i): 2x – y = 4 ⇔ 2( 2(8) 8) – y = 4 ⇔ y = 12 Jadi, selisih umur Fiki dan Andi sekarang y – x = 12 – 8 = 4 tahun. 14. Jawaban: e x = –2 dan y = 5 merupakan penyelesaian persamaan: 3a −2 2a −2

+ +

2b 5 5b 5

= –1

. . . (1)

=3

. . . (2)

Eliminasi a: 3a −2 2a −2

+

2b 5

= –1

+

5b 5

=3

×

2 3

–a +

×1

4 15

b=

2 –3

15. Jawaban: a x + y + 1 = 3(x – y) ⇔ x + y + 1 = 3x – 3y ⇔ 2x – 4y = 1 =2

Jadi,

1 x

+y

=

11

1 −1

= –1.

16. Jawaban: e Diperoleh sistem persamaan dari tiga garis yang diketahui: g 1: 3x – y = –1 . . . (i) g 2: 2x + y = 3 . . . (ii) . . . (iii) g 3: x – ay = 7 Eliminasi (i) dan (ii): 3x – y = –1 –1 2x + y = 3 –––––––––– + 2

5x = 2 ⇔ x = 5 2

Substitusikan x = 5 ke persamaan (ii), diperoleh: 2x + y = 3 2

⇔ 2( 5 ) + y = 3 15

4

11

y = 5 – 5 = 5

. . . (3)

–a + b = 3 . . . (4) ––––––––––––– – 11

1

x + y = – 2 – 2 = –1

⇔

– 15 b = – 3 ⇔ b=5 Substitusikan b = 5 ke persamaan (4): –a + b = 3 ⇒ –a + 5 = 3 ⇔ a=2 Jadi, a + b = 2 + 5 = 7.

x−y−2 x+y

1

y = –2

2

11

Titik potong g 1 dengan g 2 adalah ( 5 , 5 ). Agar garis ketiga berpotongan di titik tersebut maka substitusikan titik itu pada (iii), diperoleh: x – ay = 7

⇔

2 5

11

–a× 5 = 7 11 a 5

⇔ ⇔ a=–

33 5

2

= 5 –7

5

× 11 = –3

Jadi, nilai a = –3. . . . (i)

⇔ x – y – 2 = 2x + 2y ⇔

x + 3y = –2

. . . (ii)


53

17. Jawaban: a Eliminasi p dari persamaan dengan variabel p dan q: 1 p 1 p

+

2 q 1 q

=2 1

– = 2 –––––––––– –

⇔

3 q

3

= 2 q=2

Substitusi q = 2 ke persamaan

⇒ ⇔ ⇔

1 p

+

2 2 1 p

1 p

+

2 q

= 2:

x

=2 =1

Substitusika n x = p = 1 dan y = q = 2 ke persamaan Substitusikan 2x + y = a, diperoleh: 2(1) + 2 = a ⇔ a = 4 Jadi, nilai a = 4. 18. Jawaban: b Misalkan: Misalka n: x = umur umur adik sekara sekarang ng y = umur kakak sekarang Perbandingan umur mereka 10 tahun yang lalu: (x – 10) : (y (y – 10) = 2 : 3 (x − 10) (y − 10)

2

= 3 ⇔ 3(x – 10) = 2(y – 10) ⇔ 3x – 30 = 2y – 20 ⇔ 3x – 2y = 10 . . . (i) Perbandingan umur mereka sekarang: x : y= 4: 5

⇔

x y

4

= 5 ⇔ 5x = 4y 4y ⇔ 5x – 4y = 0 Eliminasi y: 3x – 2y = 10 ×2 5x – 4y = 0 ×1

54

19. Jawaban: e Misal pecahan tersebut y . Sistem persamaan yang terbentuk:

p=1 p = 1 dan q = 2 merupakan penyelesaian dari 3x – 2y = –1. Misal: p = y dan q = x: ⇒ 3q – 2p 2p = –1 –1 ⇔ 3(2 3(2)) – 2(1) 2(1) = –1 ⇔ 6 – 2 = –1 (sal (salah) ah) Misal: p = x dan q = y: ⇒ 3q – 2p 2p = –1 –1 ⇔ 3(1 3(1)) – 2(2) 2(2) = –1 ⇔ 3 – 4 = –1 (ben (benar) ar)

⇔

Substitusikan x = 20 ke persamaan (ii), diperoleh: 5(20) – 4y = 0 ⇔ 4y = 10 100 0 ⇔ y = 25 Sehingga umur adik sekarang 20 tahun dan umur kakak 25 tahun tahun.. Jadi, perbandingan umur mereka 10 tahun mendatang: umur adik : umur kakak kakak = (20 + 10) 10) : (25 + 10) = 30 : 35 =6:7

. . . (ii) 6x – 4y = 20 5x – 4y = 0 ––––––––––– – x = 20


x +1 y−2

= 3

x −1 y−2

= 3

2

⇔ 3(x 3(x + 1) 1) = 2(y 2(y – 2) 2) ⇔ 3x + 3 = 2y 2y – 4 ⇔ 3x – 2y = –7 . . . (i)

1

⇔ 3( 3(x x – 1) 1) = y – 2 ⇔ ⇔

3x – 3 = y – 2 3x – y = 1 . . . (ii) Eliminasi y pada persamaan: 3x – 2y = –7 ×1 3x – 2y = –7 3x – y = 1 ×2 6x – 2y = 2 ––––––––––– – –3x –3 x = –9 –9 ⇔ x=3 Substitusikan x = 3 ke persamaan (i): 3x – 2y = –7 ⇒ 3(3 3(3)) – 2y 2y = –7 ⇔ 9 – 2y = –7 –7 ⇔ –2y –2 y = –16 –16 ⇔ y=8 3

Jadi, pecahan yang dimaksud 8 . 20. Jawaban: d Misal Mis alka kan: n: p = jam jam kerj kerja a peke pekerja rja A q = jam kerja peker pekerja ja B p+q=8 . . . (1) 200p + 150q = 1.350 . . . (2) Eliminasi p pada persamaan: p+q =8 × 200 200p + 200q = 1.600 200p + 150q = 1.350 × 1 200p + 150q = 1.350 –––––––––––––––– – 50q = 250 250 ⇔ q=5

Pekerja B bekerja selama 5 jam. Jadi, roti yang dihasilkan pekerja B = 5 × 150 = 750 buah.

B. Ur Urai aian an

3

Substitusi y = 5 ke persamaan (i):

1. g 1: 6y + 5x = 30 . . . (i) . . . (ii) g 2: 3y + 7x = 21 Eliminasi x pada persamaan: 6y + 5x = 30 × 1 6y + 5x = 30 3y + 7x = 21 × 2 6y + 14x = 42 –––– –– –––– –––– –––– –––– ––– – – –9xx = –12 –9 –12

⇔ x=

3

⇒ 10x + 25( 5 ) = 20 ⇔ 10x + 15 10x 15 = 20 ⇔ 10x = 5 12 9

12

Substitusikan x = 9 pada persamaan (i): 6y + 5x = 30

12

⇔

60

x= 2 Jadi, perbandingan berat sebuah avokad dan 1

270

6y + 9 = 9 210 6y = 9

p:=7:4

35

⇔

y= 9 12 35 Jadi, titik potong kedua garis tersebut ( 9 , 9 ). 2. Mi Misa salk lkan an:: x = paka pakan n tern ternak ak yan yang g dib diber erik ikan an unt untuk uk seekor sapi y = pak pakan an tern ternak ak yan yang g dibe diberik rikan an untu untukk seekor kambing x + 3y = 14 . . . (i) 2x + 4y = 22 . . . (ii) Eliminasi y pada persamaan: x + 3y = 14 × 4 4x + 12y = 56 2x + 4y = 22 × 3 6x + 12y = 66 –––––––––––––– – –2xx = –10 –2 –10 ⇔ x=5 Substitusi x = 5 pada persamaan (i): x + 3y = 14 ⇒ 5 + 3y 3y = 14 14 ⇔ 3y = 9 ⇔ y=3 Jadi, pakan ternak yang diberikan untuk seekor sapi dan seekor kambing adalah 5 + 3 = 8 kg. 3. Mi Misa sal: l: x = ber berat at seb sebua uah h avo avoka kad d y = berat sebuah mangga Sistem persamaan yang terbentuk: 10x + 25y = 20 . . . (i) 4x + 15y = 11 . . . (ii) Eliminasi x pada persamaan (i) dan (ii): 10x + 25y = 20 × 2 20x + 50y = 40 4x + 15y = 11 × 5 20x + 75y = 55 –––––––––––––– – –25y –2 5y = –1 –15 5

⇔

y=

3

sebuah mangga adalah x : y = 2 : 5 = 5 : 6. 4. Mis Misal: al: p = pan panjan jang g pers persegi egi pan panjan jang g mulamula-mul mula a  = lebar persegi panjang mula-mula Sistem persamaan yang terbentuk:

⇒ 6y + 5( 9 ) = 30 ⇔

1

⇔

3 5

7

p ⇔ = 4  ⇔ 4p = 7 ⇔ 4p – 7 = 0

(p + 3) : 2 = 1 : 1

p+3

. . . (i) 1

⇔ = 1 2 ⇔ p + 3 = 2 ⇔ p – 2 = –3

. . . (ii)

Eliminasi p pada persamaan (i) dan (ii): 4p – 7 = 0 × 1 4p – 7 = 0  p – 2 = –3 × 4 4p – 8 = –12 –––––––––––– –  = 12 Substitusi  = 12 pada persamaan (i): 4p – 7 = 0 ⇒ 4p – 7(1 7(12) 2) = 0 ⇔ 4p – 84 84 = 0 ⇔ 4p = 84 84 ⇔ p = 21 Jadi, keliling persegi = 2p + 2  = 2(21) + 2(12) = 66 cm 5. Mi Misa sal: l: x = usi usia a Budi Budi sek sekar aran ang g y = usia ibu sekarang Sistem persamaan yang terbentuk: x–4=

1 (y – 4) 5 16 1 y= 5 5

⇔ x– ⇔ 5x – y = 16 . . . (i) 1

x + 3 = 3 (y + 3) 1

⇔ x – 3 y = –2 ⇔ 3x – y = –6 . . . (ii) Eliminasi y: 5x – y= 16 3x – y= –6 –––––––––– – 2x = 22 22 ⇔ x = 11 Jadi, usia Budi sekarang 11 tahun. Sehingga tahun kelahiran Budi 2010 – 11 = 1999. Kunci Jawaban dan Pembahasan PR Matematika Kelas X

55

6. Mis Misalka alkan: n: x = bany banyak ak laruta larutan n alkoho alkoholl 30% (lit (liter) er) y = banyak larutan alkohol 70% (liter) x + y = 10 . . . (i) 30% x + 70% y= 40% · 10 ⇔ 3x + 7y = 40 . . . (ii) Eliminasi x: (i): x + y = 10 × 3 3x + 3y = 30 (ii): 3x + 7y = 40 × 1 3x + 7y = 40 –––––––––––– – –4yy = –10 –4 –10

⇔

10

1

y = 4 = 22

1

y = 2 2 disubtitusikan ke persamaan (i) diperoleh: 1

x + 2 2 = 10

⇔

x = 10 10

1 –22

=

10. Sistem persamaan linear:

1 72

Jadi, larutan alkohol alkohol 30% sebanya sebanyakk 7 larutan alkohol 70% sebanyak 2

9. Mi Misa sal: l: x = la lama ma pi pipa pa A men menga galilirk rkan an ai airr (me (meni nit) t) y = la lama ma pip pipa a B me meng ngali alirk rkan an air (m (men enit) it) Sistem persamaan yang terbentuk: x + y = 25 . . . (i) 8x + 14y= 248 . . . (ii) Eliminasi y pada persamaan (i) dan (ii): x + y = 25 × 14 14x + 14y = 350 8x + 14y= 248 ×1 8x + 14y = 248 –––––––––––––– – 6x = 10 102 2 ⇔ x = 17 Jadi, pipa A mengalirkan air selama 17 menit dan mampu mengalirkan air sebanyak 17 × 8 liter = 136 liter.

1 2

1 2

liter dan

liter.

56


– y = –7

1 x

+

1

2 y

. . . (i)

=4

. . . (ii)

Eliminasi pada persamaan (i) dan (ii):

7. Misal angka-a angka-angka ngka pada bilangan secara berurutan a dan b maka nilai bilangan tersebut 10a + b. Sistem persamaannya: 10a + b = 4a + 6b ⇔ 6a – 5b = 0 . . . (i) 2a – b = 4 . . . (ii) Eliminasi a pada persamaan (i) dan (ii): 6a – 5b = 0 × 1 6a – 5b = 0 2a – b = 4 × 3 6a – 3b = 12 ––––––––––– – –2b –2 b = –12 –12 ⇔ b=6 Substitusikan b = 6 ke persamaan (i): ⇒ 6a – 5( 5(6) 6) = 0 ⇔ 6a = 30 30 ⇔ a=5 Jadi, bilangan tersebut 56. 8. Mis Misal: al: a = bany banyak ak tabu tabung ng gas gas berk berkap apas asita itass 12 kg kg b = banyak tabung gas berkapasitas 3 kg Sistem persamaan yang terbentuk: a + b = 15 . . . (i) 12a + 3b = 126 . . . (ii) Eliminasi b pada persamaan (i) dan (ii): a + b = 15 ×3 3a + 3b = 45 12a + 3b = 126 × 1 12a + 3b = 126 ––––––––––––– – –9a –9 a = –81 –81 ⇔ a=9 Jadi, banyaknya tabung gas yang berkapasitas 12 kg ada 9 tabung.

2 x

2 x

– y = –7

1 x

+

1

2 y

=4

2

×2

4 x

– y = –14

×1

1 x

+

2 y

=4

––––––––––––– + 5 x

= –10 1

⇔

x = –2

1

Substitusikan x = – 2 pada persamaan (i): 2 x

1

– y = –7

⇒

1

2  − 1     2 

– y = –7 1 y 1 –y

⇔ –4 –

= –7

⇔

= –3 1

⇔ 1

y= 3 1

1

Jadi, x · y = (– 2 ) · 3 = – 6 .

A.


1. Jawaban: b Misalkan: Misalka n: x = banyak banyak kelereng kelereng Udin y = banyak kelereng Rio z = banyak kelereng kelereng Wendi x = 2(y + z) + 2 ⇔ x – 2y – 2z = 2 . . . (i) x – y = 4z + 1 ⇔ x – y – 4z = 1 . . . (ii) x + y + z = 53 . . . (iii)

Jadi, model matematika:  x – 2y – 2z = 2  x – y – 4z = 1  x + y + z = 53 2. Jawaban: e Misalkan: Misalk an: x = uang Adinda y = uang Binary z = uang uang Cindy Cindy Sistem persamaan linear yang terbentuk: x = y + 2z + 40.000 ⇔ x – y – 2z = 40.000 . . . (i) x + y + z = 20 200. 0.00 000 0 . . . (ii (ii)) y – z = 10.000 . . . (iii) Eliminasi x pada persamaan (i) dan (ii): x – y – 2z = 40.000 40.000 x + y + z = 200 200.00 .000 0 –––––––––––––––––– – –2yy – 3z = –160 –2 –160.00 .000 0 ⇔2y + 3z = 160.000 . . . (iv) Eliminasi y pada persamaan (iii) dan (iv): y – z = 10.000 × 2 2y – 2z = 20.000 2y + 3z = 160.000 × 1 2y + 3z = 160.000 –––– –– –––– –––– –––– –––– –––– ––– – – –5z = –140.0 –140.000 00 ⇔ z = 28.0 28.000 00 Substitusikan z pada persamaan (iii): y – z = 10.000 ⇒ y – 28.000 28.000 = 10.000 10.000 ⇔ y = 38. 38.00 000 0 Substitusikan y dan z pada persamaan (ii): x + y + z = 200.000 ⇒ x + 38.000 38.000 + 28.000 28.000 = 200.000 200.000 ⇔ x + 66.000 66.000 = 20.000 20.000 ⇔ x = 134.0 134.000 00 Sehingga, x + y = 134.000 + 38.000 = 172.000 Jadi, jumlah uang Adinda dan Binary Rp172.000,00. 3. Jawaban: d 2x – y + z = 10 . . . (i) 3x + 2y – z = 9 . . . (ii) x + y – 3z = 0 . . . (iii) Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii): 2x – y + z = 10 3x + 2y – z = 9 –––––––––––––– + 5x + y = 19 . . . (iv) Eliminasi z pada persamaan (i) dan (iii): 3 × (i) 6x – 3y + 3z = 30 1 × (iii) x + y – 3z = 0 ––––––––––––––– + 7x – 2y = 30 . . . (v (v) Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v): 2 × (iv) 10x + 2y = 38 1 × (v) 7x – 2y = 30 ––––––––––––– + 17xx = 68 17 ⇔ x=4

Substitusikan x = 4 pada persamaan (iv): 5(4) + y = 19 ⇔ y = –1 Substitusikan x = 4 dan y = –1 pada persamaan (i): 2(4) + 1 + z= 10 ⇔ z=1 Jadi, himpunan penyelesaiannya {(4, –1, 1)}. 4. Jawaban: a Sistem persamaan yang terbentuk: p + q + r = 18 . . . (i) 3p = 3r – q ⇔ 3p + q – 3r = 0 . . . (ii) 2(p + q) = 3r + 1 ⇔ 2p + 2q 2q – 3r = 1 . . . (ii (iii) i) Eliminasi r pada persamaan (i) dan (ii): 3 × (i) 3p + 3q + 3r = 54 1 × (ii) 3p + q – 3r = 0 ––––––––––––––– + 6p + 4q = 54 . . . (iv) Eliminasi r pada persamaan (ii) dan (iii): 3p + q – 3r 3r = 0 2p + 2q 2q – 3r = 1 –––––––––––––– – p – q = –1 . . . (v) Eliminasi q pada persamaan (iv) dan (v): 1 × (iv) 6p + 4q = 54 4 × (v) 4p – 4q = –4 ––––––––––– + 10p 10 p = 50 50 ⇔ p=5 Substitusi p = 5 pada persamaan (v): 5 – q = –1 ⇔ q = 6 Substitusi p = 5 dan q = 6 pada persamaan (i): 5 + 6 + r = 18 ⇔ r = 7 Jadi, p = 5, q = 6, dan r = 7. 5. Jawaban: c x+y+z=6 . . . (i) 4x + 2y + z = 7 . . . (ii) 9x + 3y + z = 12 . . . (iii) Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii): x +y +z = 6 4x + 2y + z = 7 –––––––––––––– – –3xx – y = –1 –3 –1 ⇔ 3x + y = 1 . . . (iv) Eliminasi z pada persamaan (ii) dan (iii): 4x + 2y + z = 7 9x + 3y + z = 12 12 –––––––––––––– – –5xx – y = –5 –5 –5 ⇔ 5x + y = 5 . . . (v) Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v): 3x + y = 1 5x + y = 5 ––––––––––– – –2xx = –4 –2 ⇔ x=2


57

Substitusikan x = 2 pada persamaan (iv): 3x + y = 1 ⇒ 3( 3(2) 2) + y = 1 ⇔ 6 +y= 1 ⇔ y = –5 Substitusikan x = 2 dan y = –5 pada persamaan (i): x+y+z=6 ⇒ 2 –5 +z= 6 ⇔ –3 + z = 6 ⇔ z=9 Jadi, x – y – z = 2 + 5 – 9 = –2. 6. Jawaban: b 1 x 2 x 1 x

+ + –

2 y 1 y 3 y

+ – +

2 z 3 z 4 z

= 10

. . . (i)

=4

. . . (ii)

= –3

. . . (iii)

Eliminasi x pada persamaan (i) dan (ii): 2 × (i) 1 × (ii)

2 x 2 x

+

4 y 1 y

4

+ z = 20 3

+ – z =4 ––––––––––––––– – 7

3 y

+ z = 16 . . . (iv) Eliminasi x pada persamaan (i) dan (iii): 1 x 1 x

+

2 y 3 y

2

+ z = 10 4

– + z = –3 –––––––––––––––– – 5 y

2

35 15 + z y 6 15 – z y

3 × (v)

= 80

= 39 ––––––––––––– – 41 z

⇔

7

+ 1 = 16

3 y

⇔ ⇔

y=

2 1 3

2

1 x

⇔

+ 1 = 10

1

+ 8 = 10 10 1

⇔

x= 2 1

11

Jadi, x + y + z = 2 + 3 + 1 = 6 .

58

⇒ 9 + 5 + 3a + 5 b + c = 0 ⇔ 3a + 5 b + c = –14

. . . (ii)

Melalui (–2, 0) ⇒ 4 + 0 – 2a 2a + 0 + c = 0 ⇔ –2a –2 a + c = –4 –4 ⇔ c = –4 + 2a Eliminasi b dari persamaan (i) dan (ii): 3a + 5 b + c= –14

×3

5a – 3 5 b +

. . . (iii)

5 c = –1 –10 5

9a + 3 5 b + 3c = –42 –42 ––––––––––––––––––––––––––– +

( 5 + 9)a + ( 5 + 3)c = –42 – 10 5

. . . (iv)

( 5 + 9)a + ( 5 + 3)(–4 + 2a) = –42 – 10 5

1 3

1

+

. . . (v)

Substitusi (iii) ke persamaan (iv):

=9

Substitusikan y = 3 dan z = 1 pada persamaan (i): 1 x

. . . (iv)

8. Jawaban: a Substitusi koordinat (x, y) ke persamaan lingkaran. Melalui (1, –3) ⇒ 1 + 9 + a – 3b + c = 0 ⇔ a – 3b + c = –10 . . . (i)

a –3b + c = –1 –10 × 5

= 41

z=1 Substitusikan z = 1 pada persamaan (iv): 3 y

. . . (i) . . . (ii) . . . (iii)

Melalui (3, 5 )

– z = 13 . . . (v) Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v): 5 × (iv)

7. Jawaban: d x+y–z=7 2x – 3y + 2z = –4 –2x + 2y – 3z= –5 Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii): 2 × (i) 2x + 2y – 2z = 14 1 × (ii) 2x – 3y + 2z = –4 ––––––––––––––– + 4x – y = 10 Eliminasi z pada persamaan (i) dan (iii): 3 × (i) 3x + 3y – 3z = 21 1 × (ii iiii) –2x + 2y – 3z = –5 –5 ––––––––––––––––– –––––––––––––– ––– – 5x + y = 26 Eliminasi y pada (iv) dan (v): 4x – y= 10 5x + y= 26 –––––––––– + 9x = 36 36 ⇔ x=4 Jadi, nilai x = 4.


⇔

( 5 + 9)a + (–4 5 + 2 5 a – 12 + 6a) 6a) = –42 –42 – 10 10 5

⇔

( 5 + 9 + 2 5 + 6)a 6)a = –42 –42 – 10 10 5 + 4 5 + 12

⇔ ⇔

(3 5 + 15)a 15)a = –30 –30 – 6 5 = –2(15 + 3 5 ) a=

−2(15 + 3 5 ) = –2 (3 5 + 15)

Substitusi a = –2 ke persamaan (iii) atau (iv): c = –4 + 2a ⇒ c = –4 + 2(–2) ⇔ c = –8

Substitusi a = –2 dan c = –8 ke persamaan (i): a – 3b + c = –10 ⇒ –2 – 3b + (–8) (–8) = –10 ⇔ –3b – 10 10 = –10 ⇔ –3b –3 b= 0 ⇔ b= 0 Jadi, persamaan lingkaran tersebut: x2 + y2 – 2x – 8 = 0 9. Jawaban: b 1 x

+

2 y

=1

. . . (i)

1 x

+

4 z

=0

. . . (ii)

1 y

+

2 z

=1

. . . (iii)

Eliminasi x pada persamaan (i) dan (ii): 1 x

+

1 x

2 y

=1

4

+ =0 z ––––––––– – 2 y

–

4 z

=1

. . . (iv)

Eliminasi y pada persamaan (iii) dan (iv): 2 × (iii)

2 y

1 × (iv)

2 y

+

4 z

=2

4

– =1 z –––––––––– – 8 z

=1 ⇔ z=8 Substitusi z = 8 pada (ii): 1 x

+

4 8

=0

⇔ x1 = – 21 ⇔ x = –2

Substitusi x = –2 pada (i): 1

3 2 ⇔ y = 43 1 1 3 1 + =– + y z 2 4

+

2 y

=1

Jadi,

1 x

+

−2

⇔

10. Jawaban: e x + 2y – z = –3 2x + y – 3z = 4 3x – y + 2z = 7

2 y

=

+

1 8

=

3 8

.

. . . (i) . . . (ii) . . . (iii)

Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii): x + 2y – z = –3 × 3 3x + 6y – 3z= –9 –9 2x + y – 3z = 4 × 1 2x + y – 3z = 4 –––– –– –––– –––– –––– –––– –––– –– – x + 5y= –13 –13 . . .( .(iv iv))

Eliminasi z pada persamaan (i) dan (iii): x + 2y – z = –3 × 2 2x + 4y – 2z= –6 –6 3x – y + 2z = 7 × 1 3x – y + 2z = 7 –––– –– –––– –––– –––– –––– –––– –– + 5x + 3y = 1 . . .(v) Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v): x + 5y = –13 ×3 3x + 15y = –39 5x + 3y = 1 ×5 25x + 15y = 5 –––– –– –––– –––– –––– –––– –––– –– – –22x –2 2x = –44 –44 ⇔ x=2 Substitusikan x = 2 pada persamaan (iv): x + 5y = –13 ⇒ 2 + 5y = –13 –13 ⇔ 5y = –15 –15 ⇔ y = –3 Substitusikan x = 2 dan y = –3 ke persamaan (i): x + 2y – z = –3 ⇒ 2 + 2(–3) 2(–3) – z = –3 ⇔ 2 – 6 – z = –3 –3 ⇔ –z = 1 ⇔ z = –1 Jadi, x : y : z = 2 : (–3) : (–1). 11. Jawaban: b x + 2y = –3 . . . (i) y + 2z = 4 . . . (ii) x + y + 2z= 5 . . . (iii) Eliminasi y dan z pada (ii) dan (iii): y + 2z = 4 x + y + 2z= 5 –––––––––––– – –x = –1 ⇔ x = 1 Substitusikan x = 1 pada persamaan (i): 1 + 2y = –3 ⇔ 2y = –4 –4 ⇔ y = –2 Substitusikan y = –2 pada persamaan (ii): –2 + 2z = 4 ⇔ 2z = 6 ⇔ z=3 Jadi, 3(x + z) = 3(1 + 3) = 12. 12. Jawaban: b Misalkan: Misalka n: besar sudut terkec terkecilil = x besar sudut menengah = y besar sudut terbesar = z Sistem persamaan linear yang terbentuk: 1

x= 3y . . . (i) z = 2(x + y) . . . (ii) x + y + z = 180° . . . (i(iii) Substitusikan persamaan (ii) ke (iii): x + y + z = 180° ⇒ x + y + 2(x + y) y) = 180° ⇔ x + y + 2x + 2y = 180° 180° ⇔ 3x + 3y 3y = 180° . . . (i(iv)


59

Substitusi persamaan (i) ke (iv): 3x + 3y = 180°

1

⇒ 3( 3 y) + 3y = 180° 180° ⇔ y + 3y = 180 180°° ⇔ 4y = 180 180°° ⇔ y = 45 45°

Substitusi y = 45° ke persamaan (iv): 3x + 3y = 180° ⇒ 3x + 3(45°) = 18 180° ⇔ 3x + 135 135°° = 180° 180° ⇔ 3x = 45° 45° ⇔ x = 15 15° Substitusi x = 15° dan y = 45° ke persamaan (ii): z = 2(x + y) ⇒ z = 2(15° + 45°) ⇔ z = 2 · 60° ⇔ z = 120° Jadi, ukuran sudut-sudut segitiga tersebut 15°, 45°, dan 120°. 13. Jawaban: c y = ax2 + bx + c melalui (–3, 28) ⇒ 9a – 3b + c = 28 . . . (i) melalui (1, 0) ⇒ a+b+c=0 . . . (ii) melalui (2, 3) ⇒ 4a + 2b + c = 3 . . . (iii) Eliminasi c dari (i) dan (ii): (i): 9a – 3b + c = 28 (ii): a + b + c = 0 –––––––––––––– – 8a – 4b 4b = 28 28 ⇔ 2a – b = 7 . . . (i(iv) Eliminasi c dari (ii) dan (iii): (ii): a + b + c = 0 (iiiii): (i ): 4a + 2b 2b + c = 3 –––––––––––––– – –3a – b = –3 . . . (v) Eliminasi b dari (iv) dan (v): (iv iv)): 2a – b = 7 (v): –3a – b = –3 ––––––––––– – 5a = 10 ⇔ a = 2 Substitusi a = 2 ke persamaan (iv): 2 · 2 – b = 7 ⇔ b = 4 – 7 = –3 a = 2 dan b = –3 disubstitusikan ke persamaan (ii): 2 + (–3) + c = 0 ⇔ c = 1 Jadi, persamaan kurva: y = 2x 2 – 3x + 1. 14. Jawaban: e Misalkan panjang = p, lebar = , dan tinggi t. Jumlah panjang semua rusuknya 60 cm maka: 4p + 4 + 4t 4t = 60 60 ⇔ p +  + t = 15 . . . (i) Keliling alas dikurangi tinggi sama dengan 6 cm maka: 2(p + ) – t = 6 ⇔ 2p + 2 – t = 6 . . . (ii) Panjang balok adalah setengah tinggi maka: 1

p= 2t

⇔ t = 2p

Substitusi t = 2p ke persamaan (i) dan (ii). (i) : p +  + 2p 2p = 15 15 ⇔ 3p +  = 15 . . . (iv) (ii) : 2p + 2 – 2p 2p = 6 ⇔ 2 = 6 ⇔  = 3 Substitusi  = 3 ke persamaan (iv), diperoleh: 3p + 3 = 15 ⇔ p = 4 Substitusi p = 4 ke persamaan (iii) diperoleh t = 8. Jadi, luas permukaan balok: L = 2 × (p (p × ) + 2 × ( × t) + 2 × (p × t) = 2 × (4 × 3) + 2 × (3 × 8) + 2 × (4 × 8) = 24 + 48 + 64 = 136 cm 2 15. Jawaban: a 25

2x + 2y – z = 12

. . . (i)

4

–x + 3y + 2z= 3

. . . (ii)

7

3x – y + z = 4 . . . (iii) Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii): 2 × (i) 1 × (ii)

50

4x + 4y – 2z = 12 4

–x + 3y + 2z = 3 –––––––––––––––– + 66

3x + 7y 7y = 12 . . . (iv) Eliminasi z pada persamaan (i) dan (iii): 25

2x + 2y 2y – z = 12 7

3x – y + z = 4 –––––––––––––– + 46

5x + y = 12 . . . (v) Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v): 1 × (iv) 7 × (v)

66

3x + 7y = 12

322

35x + 7y = 12 –––––––––––––– – 256

–32x –3 2x = – 12 2

⇔

x= 3 2

Substitusi x = 3 pada (iv): 2

66

⇔ 7y =

3 · 3 + 7y = 12

⇔

y=

2

42 12 1 2

1

Substitusikan x = 3 dan y = 2 pada persamaan (i): 2

1

25

⇔

2 · 3 + 2 · 2 – z = 12

. . . (iii)

2

1

28 12

25

– z = 12

3

⇔

–z = – 12

⇔

z= 4

1

1

1

1

Jadi, (x · y) : z = ( 3 · 2 ) : 4 = 3 : 4 = 4 : 3. 60


B. Ur Urai aian an

1. Sistem Sistem persa persamaa maan n yang yang terben terbentuk: tuk: a + b + c = 21 . . . (i) a + b = 2c ⇔ a + b – 2c = 0 . . . (ii) 5(b – c) = 2a ⇔ 2a – 5b + 5c = 0 . . . (iii) Eliminasi a pada persamaan (i) dan (iii): 2 × (i) 2a + 2b + 2c = 42 1 × (iii ii)) 2a – 5b + 5c 5c = 0 ––––––––––––––– – 7b – 3c = 42 . . . (iv) Eliminasi a dan b pada persamaan (i) dan (ii): a + b + c = 21 21 a + b – 2c = 0 ––––––––––––– – 3c = 21 21 ⇔ c = 7 Substitusikan c = 7 pada persamaan (iv): 7b – 3(7) = 42 ⇔ 7b = 63 ⇔ b=9 Substitusikan b = 9 dan c = 7 pada persamaan (i): a + b + c = 21 ⇔ a + 9 + 7 = 21 21 ⇔ a=5 Jadi, nilai a : b : c = 5 : 9 : 7. 2. 2x – y + 3z = 5 . . . (i) x + y – 2z = 6 . . . (ii) 3x – 2y 2y + z = –3 . . . (ii (iii) i) Eliminasi z dari persamaan (i) dan (iii): 1 × (i) 2x – y + 3z = 5 3 × (iii) 9x – 6y + 3z = –9 ––––––––––––––– – –7x + 5y 5y = 14 14 . . . (i(iv) Eliminasi z pada persamaan (ii) dan (iii): 1 × (ii) x + y – 2z = 6 2 × (iii) 6x – 4y + 2z = –6 ––––––––––––––– + 7x – 3y = 0 . . . (v) Eliminasi x pada persamaan (iv) dan (v): –7x + 5y= 14 7x – 3y 3y = 0 –––––––––––– + 2y = 14 14 ⇔ y = 7 Substitusikan y = 7 pada persamaan (v): 7x – 3(7) = 0 ⇔ 7x = 21 21 ⇔ x=3 Substitusikan x = 3 dan y = 7 pada persamaan (i): (i ): 2(3) – 7 + 3z = 5 ⇔ –1 + 3z 3z = 5 ⇔ z=2 Jadi, himpunan penyelesaiannya {(3, 7, 2)}. 3. 0,5x – y + 0,1z = –0,4 . . . (i) x + y + 0,5z = 8,5 . . . (ii) 0,2x – 2y + z = –4 . . . (iii) Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii): 5 × (i) 2,5x – 5y + 0,5z = –2 1 × (ii) x + y + 0,5z = 8,5 ––––––––––––––––––– – 1,5x – 6y 6y = –10,5 . . . (iv) (iv)

Eliminasi z pada persamaan (ii) dan (iii): 2 × (ii) 2x + 2y + z = 17 1 × (iii) 0,2x – 2y + z = –4 –––––––––––––––– – 1,8x + 4y = 21 . . . (v) Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v): 2 × (iv) 3x – 12y = –21 3 × (v) 5,4x + 12y = 63 –––––––––––––– + 8,4x 8, 4x = 42 42 ⇔ x = 5 Substitusikan x = 5 pada persamaan (iv): 1,5(5) – 6y = –10,5 ⇔ 6y = 18 18 ⇔ y=3 Substitusikan x = 5 dan y = 3 pada persamaan (i): (i ): 0,5(5) – 3 + 0,1z = –0,4 ⇔ –0,5 + 0,1z 0,1z = –0,4 –0,4 ⇔ 0,1z 0,1 z = 0,1 0,1 ⇔ z=1 Jadi, nilai

1 x0

+

1 y0

+

1 z0

=

1 5

+

1 3

+1=

23 15

.

4. x – 3y – 3z = –1 . . . (i) 2x + 2y – z = 1 . . . (ii) 3x + y + z = 2 . . . (iii) Eliminasi z pada (i) dan (ii): x – 3y – 3z = –1 × 1 x – 3y – 3z = –1 2x + 2y – z = 1 × 3 6x + 6y – 3z = 3 ––––––––––––––– – –5x – 9y= –4 ⇔ 5x + 9y 9y = 1 . . . (iv (iv)) Eliminasi z pada persamaan (ii) dan (iii): 2x + 2y – z = 1 3x + y + z = 2 ––––––––––––– + 5x + 3y = 3 . . . (v) Eliminasi x pada persamaan (iv) dan (v): 5x + 9y 9y = 4 5x + 3y 3y = 3 –––––––––– – 6y = 1

⇔ y=

1 6

1

Substitusikan y = 6 pada persamaan (iv): 5x + 9y = 4

1

⇒ 5x + 9( 6 ) = 4 3

⇔

5x + 2 = 4

⇔

5x = 2

⇔

x= 2

5 1


61

1

1

Substitusikan x = 2 dan y = 6 pada persamaan (i): x – 3y – 3z = –1

⇒

1 2

–

1 3( 6 )

⇔

– 3z 3z = –1 –1

1

z= 3 1

1

5. 3x – 2y + z = 11 . . . (i) 2x + 3y – 2z = 1 . . . (ii) x – 3y + z = 4 . . . (iii) Eliminasi z pada (i) dan (ii): 3x – 2y + z = 11 × 2 6x – 4y + 2z= 22 22 2x + 3y – 2z = 1 × 1 2x + 3y – 2z= 1 ––––––––––––––– + 8x – y= y = 23 . . . (iv) Eliminasi z pada persamaan (i) dan (iii): 3x – 2y + z = 11 x – 3y + z = 4 ––––––––––––– – 2x + y = 7 . . . (v) Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v): 8x – y = 23 23 2x + y = 7 –––––––––– + 10xx = 30 10

⇔ x=3 Substitusikan x = 3 pada persamaan (iv): 8x – y = 23 ⇒ 8(3) 8( 3) – y = 23 23 ⇔ 24 – y = 23 23 ⇔ y=1 Substitusikan x = 3 dan y = 1 pada persamaan (i): 3x – 2y + z = 11 ⇒ 3(3 3(3)) – 2(1) + z = 11 ⇔ 9 – 2 + z = 11 11 ⇔ z=4 1

1

Jadi, nilai x + y + z = = 8. 3 + 1+ 4 1 x 1 y 1 z

6.

+ + +

1 y 1 z 1 x

= = =

1 2 1 3 1 4

+

1 y

–

1 x

1 x

1

2 x 1 x

⇔

5

= 12 5

= 24

1 x

+

1 y

1

5

1 x

Substitusikan

= 24 pada persamaan (i): 5 24

⇒

= 2

+

⇔

1 z

+

1 x

1

= 4

1 x

1 z

⇒

+

1 y

= 24

7

= 24 pada persamaan (iii): 5

1

+ 24 = 4 1 z

⇔ Jadi, nilai

= 2

5

1 x

Substitusikan

1

1 y

1 y

+

1 z

1

= 24

5

7

1

13

= 24 + 24 + 24 = 24 .

7. Sistem Sistem persam persamaan aan yang yang terben terbentuk tuk:: a+b+c=2 . . . (i) a – b – c = –1 . . . (ii) 2(a + c) = 3b ⇔ 2a – 3b + 2c = 0 . . . (iii) Eliminasi b dan c pada persamaan (i) dan (ii): a + b + c= 2 a – b – c = –1 –1 –––––––––––– + 2a = 1

⇔ a=

1 2

Eliminasi a dan c pada persamaan (i) dan (iii): 2 × (i) 2a + 2b + 2c = 4 1 × (iii) 2a – 3b + 2c = 0 ––––––––––––––– – 5b = 4

⇔ b=

4 5 4

. . . (ii) . . . (iii)

1 2

1 1

1

–

1

= 3

= 12

1 y

1

= 2

Substitusikan a = 2 dan b = 5 pada persamaan (i):

= 4 –––––––––– –

62

+

1 z 1 x

1 y

. . . (i)

Eliminasi z pada (ii) dan (iii): 1 y 1 z

+

1

Jadi, himpunan penyelesaiannya { 2 , 6 , 3 }.

1

1 x

= 12 ––––––––––– –

–3zz = –1 –3 –1

⇔

Eliminasi y pada (i) dan (iv):

. . . (iv)


4

+ 5 +c=2

13

⇔

c = 2 – 10

⇔

7

c = 10 1 Jadi, bilangan-bilangan tersebut adalah a = 2 , 4 7 b = 5 , dan c = 10 . 8. Mi Misa salk lkan an:: x = an angk gka a ra ratu tusa san n y = an angka gka pul puluha uhan n z = angka angka satuan satuan

Nilai bilangan: 100x + 10y + z Ketentuan tersebut dapat diubah ke dalam persamaan menjadi: x+y+z=9 . . . (i) x – 2y – 3z = 2 . . . (ii) 2x + y – 4z = 11 . . . (ii) Eliminasi x dari (i) dan (ii) diperoleh: x +y +z= 9 x – 2y 2y – 3z 3z = 2 ––––––––––––– – 3y + 4z = 7 . . . (iv) Eliminasi x dari (ii) dan (iii) diperoleh: x – 2y – 3z = 2 × 2 2x – 4y – 6z = 4 2x + y – 4z = 11 × 1 2x + y – 4z = 11 –––––––––––––––– – –5y – 2z = –7 . . . (v) (v) Eliminasi z dari (iv) dan (v) diperoleh: 3y + 4z = 7 ×1 3y + 4z = 7 –5y – 2z = –7 × 2 –10y – 4z = –14 –––––––––––––– + –7yy = –7 –7 ⇔ y=1 Substitusi y = 1 ke persamaan (iv): 3y + 4z = 7 ⇒ 3( 3(1) 1) + 4z = 7 ⇔ 3 + 4z = 7 ⇔ 4z = 4 ⇔ z=1 Substitusi y = 1 dan z = 1 ke persamaan (i): x + y+ z= 9 ⇔ x +1 +1= 9 ⇔ x +2 =9 ⇔ x=7 Nilai bilangan = 100 · 7 + 10 · 1 + 1 = 711. Jadi, bilangan tersebut 711. 9. Misal: x = ha harga ba barang A y = har harga ga ba bara rang ng B z = har harga ga ba bara rang ng C Sistem persamaan yang terbentuk: 3x + 4y + z = 43.700 . . . (i) 6x + 2y + z = 41.700 . . . (ii) 2x + 5y + 10z = 96.100 . . . (iii) Eliminasi z dari persamaan (i) dan (ii): 3x + 4y 4y + z = 43.700 43.700 6x + 2y 2y + z = 41.700 41.700 –––––––––––––––––– – –3x + 2y = 2.000 . . . (iv) Eliminasi z dari persamaan (ii) dan (iii): 6x + 2y + z = 4 41. 1.70 700 0 × 10 60x 60x + 20y 20y + 10 10zz = 417 417.0 .000 00 2x + 5y + 10z = 96.100 × 1 2x + 5y + 10z = 96.100

–––––––––––––––––

–

58x + 15y 15y = 320.900 320.900

. . . (v) Eliminasi y dari persamaan (iv) dan (v): –3x + 2y = 2.000 58x + 15y = 320.900

× 15 ×2

–45x + 30y = 30.000 116x + 30y = 641.800

––––––––––––––– – ⇔

–161x –16 1x = –611. –611.800 800 x =3 3.8 .800 00

Substitusikan x = 3.800 ke persamaan (iv): –3x + 2y = 2.000 ⇒ –3(3.80 –3(3.800) 0) + 2y = 2.000 2.000 ⇔ –11 –11.40 .400 0 + 2y = 2.000 2.000 ⇔ 2y = 13.4 13.400 00 ⇔ y = 6.7 6.700 00 Substitusikan Substitusika n x = 3.800 dan y = 6.700 ke persamaan (iii): 2x + 5y + 10z = 96.100 ⇒ 2(3.800 2(3.800)) + 5(6.700) 5(6.700) + 10z = 96.100 ⇔ 7.600 + 33.500 33.500 + 10z = 96.100 96.100 ⇔ 10z 10 z = 55.00 55.000 0 ⇔ z = 5.5 5.500 00 Sehingga, 5x + 5y 5y + 5z = 5(3.800) 5(3.800) + 5(6.700 5(6.700)) + 5(5.500) 5(5.500) = 19.000 + 33.500 + 27.500 = 80.000 Jadi, Ana harus membayar Rp80.000,00. 10. Misalkan: x = banyak pakaian model model A yang diproduksi diproduksi y = banyak pakaian pakaian model B yang diproduksi diproduksi z = banyak pakaian pakaian model C yang diproduksi diproduksi Sistem persamaan linear permasalahan di atas: 0,1x + 0,1y + 0,3z = 68 ⇔ x + y + 3z = 680 . . . (i) 0,3x + 0,2y 0,2y + 0,4z 0,4z = 116 ⇔ 3x + 2y + 4z 4z = 1. 1.16 160 0 . . . (ii (ii)) 0,1x + 0,2y + 0,1z = 51 ⇔ x + 2y + z = 510 . . . (iii) Eliminasi y dari (i) dan (ii): 2 × (i): 2x + 2y + 6z = 1.360 1 × (ii) i):: 3x + 2y + 4z = 1.1 1.16 60 ––––––––––––––––– – –x + 2z = 200 200 . . . (iv (iv)) Eliminasi y dari (ii) dan (iii): (ii) (i i):: 3x + 2y 2y + 4z = 1.1 1.160 60 (iii): x + 2y + z = 510 –––––––––––––––––– – 2x + 3z = 650 . . . (v) Eliminasi x dari (iv) dan (v): 2 × (i (iv) v):: –2 –2xx + 4z = 40 400 0 1 × (v): 2x + 3z = 650 ––––––––––––––– + 7z = 1.05 1.050 0 ⇔ z = 15 150 0 Substitusikan z = 150 ke persamaan (iv): –x + 2 · 150 150 = 200 ⇔ x = 300 – 200 200 = 100 100 Substitusikan x = 100 dan z = 150 ke persamaan (iii): x + 2y 2y + z = 510 510 ⇒ 100 + 2y 2y + 150 = 510 ⇔ 2y = 510 510 – 250 = 260 ⇔ y = 13 130 Jadi, banyak pakaian yang diproduksi: model A = 100 potong, model B = 130 potong, dan model C = 150 potong.


63

A.


1. Jawaban: c y = 4x + 3 . . . (i) 2 y = x – 2x + 8 . . . (ii) Substitusi (i) ke (ii) diperoleh: 4x + 3 = x2 – 2x + 8 ⇔ x2 – 2x + 8 – 4x – 3 = 0 ⇔ x2 – 6x 6x + 5 = 0 ⇔ (x – 1)(x 1)(x – 5) = 0 ⇔ x = 1 atau atau x = 5 Substitusi nilai x ke persamaan (i): Untuk x = 1 ⇒ y = 4(1) + 3 = 7 Untuk x = 5 ⇒ y = 4(5) + 3 = 23 Jadi, himpunan penyelesaiannya {(1, 7), (5, 23)}. 2. Jawaban: a y=x+c . . . (i) y = x2 + 3x . . . (ii) Substitusi (i) ke (ii) diperoleh: x + c = x2 + 3x ⇔ x2 + 3x – x – c = 0 ⇔ x2 + 2x 2x – c = 0 Syarat mempunyai penyelesaian tunggal adalah D = 0. 22 – 4 · 1 · (–c) (–c) = 0 ⇔ 4 + 4c = 0 ⇔ 4c = –4 ⇔ c = –1 Sehingga persamaannya menjadi: x2 + 2x – (–1) = 0 ⇔ x2 + 2x + 1= 0 ⇔ (x + 1)2 = 0 ⇔ x = –1 –1 Substitusi x = –1 ke persamaan y = x – 1 diperoleh: y = –1 + (–1) = –2 Jadi, nilai c = –1 dan x + y = –1 + (–2) = –3. 3. Jawaban: c y = 2x2 + 3x + 1 . . . (i) 2 y = x + 4x + 3 . . . (ii) Substitusi (i) ke (ii) diperoleh: 2x2 + 3x + 1 = x2 + 4x + 3 ⇔ x2 – x – 2 = 0 ⇔ (x + 1)(x 1)(x – 2) = 0 ⇔ x = –1 –1 atau atau x = 2 Substitusi nilai x ke persamaan (i): untuk x = –1 ⇒ y = 2 – 3 + 1 = 0 untuk x = 2 ⇒ y = 8 + 6 + 1 = 15 Jadi, himpunan penyelesaiannya {(–1, 0), (2, 15)}. 4. Jawaban: d Misa Mi sal: l: x = bi bilan langa gan n pe perta rtama ma y = bilang bilangan an ked kedua ua x–y=8⇔y=x–8 . . . (i) 2 2 x – y = 176 . . . (ii) 64


Substitusi (i) ke (ii) diperoleh: x2 – (x – 8)2 = 176 2 2 ⇔ x – (x – 16x + 64) = 176 176 2 2 ⇔ x – x + 16x 16x – 64 64 = 176 176 ⇔ 16x 16 x = 240 240 ⇔ x = 15 Substitusi x = 15 ke persamaan (i): y = x – 8 ⇒ y = 15 – 8 = 7 Jadi, kedua bilangan tersebut 15 dan 7. 5. Jawaban: c y = px – 2 . . . (i) 2 y=x +x–2 . . . (ii) Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh: px – 2 = x2 + x – 2 ⇔ x2 + x – px = 0 ⇔ x2 + (1 – p)x p)x = 0 Syarat persamaan kuadrat mempunyai penyelesaian tunggal adalah nilai diskriminannya (D = 0). (1 – p)2 – 4 · 1 · 0 = 0 ⇔ (1 – p)2 = 0 ⇔ p=1 Jadi, nilai p = 1. 6. Jawaban: e x2 – x – y = 6 ⇔ y = x2 – x – 6 . . . (i) ⇔ y=x+2 y–x=2 . . . (ii) Substitusi persamaan (ii) ke (i) diperoleh: x + 2 = x2 – x – 6 ⇔ x2 – 2x 2x – 8 = 0 ⇔ (x – 4)(x 4)(x + 2) = 0 ⇔ x = 4 atau atau x = –2 Substitusi nilai x ke persamaan (ii): untuk x = 4 ⇒ y = 4 + 2 = 6 untuk x = –2 ⇒ y = –2 + 2 = 0 Jadi, (x, y) yang memenuhi adalah (4, 6) atau (–2, 0). 7. Jawaban: b y = 2x + 5 . . . (i) 2 y = –x + 8x . . . (ii) Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh: 2x + 5 = –x2 + 8x ⇔ x2 – 6x 6x + 5 = 0 ⇔ (x – 1)(x 1)(x – 5) = 0 ⇔ x = 1 atau atau x = 5 Substitusi nilai x ke persamaan (i): untuk x = 1 ⇒ y = 2 + 5 = 7 untuk x = 5 ⇒ y = 10 + 5 = 15 Jadi, nilai y yang memenuhi 7 atau 15. 8. Jawaban: b y = 3x2 + 6x – 1 . . . (i) 2 y=x –x–4 . . . (ii) Kedua kurva berpotongan di absis a dan c, selanjutnya menentukan nilai x. Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh: 3x2 + 6x 6x – 1 = x2 – x – 4 ⇔ 3x2 + 6x – 1 – x2 + x + 4 = 0 ⇔ 2x2 + 7x 7x + 3 = 0 ⇔ (x + 3)(2x 3)(2x + 1) = 0

⇔

1

x = –3 –3 atau atau x = – 2 1

1

Jadi, nilai a + c = –3 + (– 2 ) = –3 2 .

9. Jawaban: d y = –x2 – 3x + 5 . . . (i) 2 y = –x + 5x – 5 . . . (ii) Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh: –x2 – 3x + 5 = –x2 + 5x – 5 ⇔ –x2 – 3x + 5 + x2 – 5x 5x + 5 = 0 ⇔ –8xx + 10 –8 10 = 0 5

⇔

x= 4 5

Substitusi x = 4 ke persamaan (i): 5 5 25 15 −5 y = –( 4 )2 – 3( 4 ) + 5 = –( 16 ) – 4 + 5 = 16 5 −5 Jadi, himpunan penyelesaiannya {( 4 , 16 )}.

10. Jawaban: e Misal: x = umur Ali Ali sekarang sekarang y = umur Badu sekarang Persamaan linear yang terbentuk: (i) (x – 6) : (y – 6) 6) = 5 : 6 ⇔ 6(x – 6) = 5(y – 6) ⇔ 6x – 5y 5y = 6 5

⇔

x=1+ 6y

(ii) xy = 1.5 .51 12 5

Substitusikan x = 1 + 6 y ke persamaan (ii):

⇔

5

(1 + 6 y) y)yy = 1.51 1.512 2 5

⇔ y + 6 y2 = 1.512 ⇔ 5y2 + 6y – 9.072 9.072 = 0 ← (dikali 6) ⇔ (5y + 2216)(y 16)(y – 42) = 0 ⇔

216

y = – 5 at atau au y = 42 42 Oleh karena umur bernilai positif maka y = 42. Jadi, umur Badu sekarang 42 tahun. B. Ur Urai aian an

1. y = 6x – a . . . (i) 2 y=x +3 . . . (ii) Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh: 6x – a = x 2 + 3 ⇔ x2 – 6x + 3 + a = 0 . . . (iii) Syarat mempunyai penyelesaian tunggal adalah D = 0. 36 – 4 · 1 · (3 + a) = 0 ⇔ 36 – 12 12 – 4a 4a = 0 ⇔ 4a = 24 ⇔ a =6 Substitusi a = 6 pada persamaan (iii): x2 – 6x + 3 + 6= 0 ⇔ x2 – 6x 6x + 9 = 0 ⇔ (x – 3)2 = 0 ⇔ x=3

Substitusi x = 3 ke persamaan (i): y = 6 · (3) – 6 = 12 Jadi, himpunan penyelesaiannya {(3, 12)}. 2. Sistem Sistem persam persamaan aan yang yang terben terbentuk tuk:: a + b = 20 20 ⇔ b = 20 – a . . . (i(i) 2 2 a + b = 208 . . . (ii) Substitusi persamaan (i) pada (ii) diperoleh: a2 + (20 – a)2 = 208 ⇔ a2 + 400 – 40a + a 2 = 208 ⇔ 2a2 – 40a 40a + 192 192 = 0 2 ⇔ a – 20a 20a + 96 96 = 0 ⇔ (a – 12)( 12)(a a – 8) = 0 ⇔ a = 12 12 atau atau a = 8 Substitusi nilai a ke persamaan (i): Untuk a = 12 ⇒ b = 20 – 12 = 8 Untuk a = 8 ⇒ b = 20 – 8 = 12 Jadi, selisih kedua bilangan itu 12 – 8 = 4. 3. Misal: panjang = a lebar = b K = 2a + 2b = 82 ⇔ 2a = 82 – 2b 2b ⇔ a = 41 – b . . . (i) Panjang diagonalnya 29 cm maka: a2 + b2 = 292 . . . (ii) Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh: (41 – b)2 + b2 = 292 ⇔ 1.681 – 82b + b2 + b2 = 841 ⇔ 2b2 – 82b + 1.681 1.681 – 841 841 = 0 2 ⇔ 2b – 82b 82b + 840 840 = 0 2 ⇔ b – 41b 41b + 420 420 = 0 ⇔ (b – 21)( 21)(b b – 20) = 0 ⇔ b = 21 atau b = 20 Substitusi nilai b ke persamaan (i): untuk b = 21 → a = 41 – 21 = 20 untuk b = 20 → a = 41 – 20 = 21 Persegi panjang tersebut memiliki panjang 21 cm dan lebar 20 cm. Jadi, luas persegi panjang: L = 20 × 21 = 420 cm 2. 4. y = 2x2 – 2 . . . (i) 2 y = x – 3x + 2 . . . (ii) Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh: 2x2 – 2 = x2 – 3x + 2 ⇔ 2x2 – 2 – x2 + 3x 3x – 2 = 0 2 ⇔ x + 3x 3x – 4 = 0 ⇔ (x + 4) 4)(x (x – 1) = 0 ⇔ x = –4 –4 atau atau x = 1 Substitusi nilai x ke persamaan (i): untuk x = –4 ⇒ y = 2(–4)2 – 2 = 32 – 2 = 30 untuk x = 1 ⇒ y = 2(1)2 – 2 = 0 Jadi, titik potong kedua kurva tersebut (–4, 30) dan (1, 0).


65

5. y = 3x – p . . . (i) 2 y = x – 3x – 2 . . . (ii) Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh: 3x – p = x2 – 3x – 2 ⇔ x2 – 3x – 2 – 3x + p = 0 ⇔ x2 – 6x – (p – 2) = 0 Syarat memiliki dua penyelesaian adalah D > 0. b2 – 4 · a · c > 0 ⇔ (–6)2 – 4 · 1 · (p – 2) > 0 ⇔ 36 – 4(p – 2) > 0 ⇔ 36 – 4p + 8 > 0 ⇔ –4p –4 p > –44 –44 ⇔ p < 11 Jadi, sistem persamaan akan memiliki dua penyelesaian jika p < 11.

Substitusi x = 5 pada persamaan pertama: 2(5) – 3y = 4 ⇔ 10 – 3y 3y = 4 ⇔ –3y = –6 –6 ⇔ y =2 1

1

1

Jadi, x + y = 5 + 2 = 7 . 4. Jawaban: e Eliminasi y pada persamaan: (i): x – 3y = –2 × 1 x – 3y = –2 (ii): 3x – y = 4 ×3 9x – 3y = 12 ––––––––––– – –8x –8 x = –14 –14

⇔ x=

7 4

7

Substitusi x = 4 pada persamaan (i): 7 −15 – 3y = –2 ⇔ –3y = 4 4 A.


1. Jawaban: c Sistem persamaan linear dua variabel adalah beberapa persamaan yang memuat dua variabel dengan pangkat tertinggi variabel-variabelnya satu. Pilihan c merupakan sistem persamaan linear dua variabel. 2. Jawaban: d Missal Mi al:: x = har harga ga 1 kg kg ape apell y = har harga ga 1 kg je jeru rukk 2x + 3y = 57.000 . . . (i) 3x + 5y = 90.000 . . . (ii) Eliminasi y pada persamaan: 2x + 3y = 57.000 × 5 10x + 15y = 285.000 3x + 5y = 90.000 × 3 9x + 15y = 270.000 –––––––––––––––– – x = 15.0 15.000 00 Substitusi x = 15.000 pada persamaan (i): 2x + 3y = 57.000 ⇒ 2(15.0 2(15.000) 00) + 3y 3y = 57.000 57.000 ⇔ 3y = 27.00 27.000 0 ⇔ y = 9.0 9.000 00 x + y = 15.0 15.000 00 + 9.00 9.000 0 = 24.000 Jadi, uang kembalian yang diterima Surya: Rp100.000,00 – Rp24.000,00 = Rp76.000,00. 3. Jawaban: b Eliminasi y pada persamaan: (i) 2x – 3y = 4 × 2 4x – 6y = 8 (ii) x + 2y = 9 ×3 3x + 6y = 27 ––––––––––– + 7x = 35 35 ⇔ x= 5

66


5

⇔ 1

1

Jadi, x · y =

1 7 4

y= 4 ·

1 5 4

16

= 35 .

5. Jawaban: e 2x − 3 y+4 1 + =2 2 3 6

⇔ 3(2x – 3) + 2(y 2(y + 4) = 13 ⇔ 6x + 2y = 14 14 ⇔ 3x + y = 7

. . . (i)

x+2 3y − 2 1 – =5 4 2 4

⇔ (x + 2) – 2(3y – 2) = 21 ⇔ x – 6y = 15 Eliminasi y: 6x + 2y = 14 × 3 x – 6y = 15 × 1

. . . (ii)

18x + 6y = 42 x – 6y = 15 ––––––––––––– + 19x 19 x = 57 57 ⇔ x =

57 =3 19

x = 3 disubstitusikan x – 6y = 15: 3 – 6y= 15 ⇔ 6y = –12 –12 ⇔ y = –2 Jadi, nilai dari x0y0 = (3)(–2) = –6. 6. Jawaban: b Mis isa al: p = panja jan ng  = lebar Sistem persamaan yang terbentuk: 2p + 2 = 40 2(p + 8) + 2(2) = 72 ⇔ 2p + 16 + 4 = 72 ⇔ 2p + 4 = 56

. . . (i)

. . . (ii)

Eliminasi p pada persamaan (i) dan (ii): 2p + 2= 40 2p + 4= 56 –––––––––––– – –2 = –16 ⇔ =8 Substitusi  = 8 pada persamaan (i): 2p + 2 · (8) = 40 ⇔ 2p = 40 40 – 16 ⇔ 2p = 24 24 ⇔ p = 12 Jadi, luas persegi panjang p ×  = 12 × 8 = 96 cm2. 7. Jawaban: c x + 2y = 3 ax + 2y = 7 5 3

5 3

p–q = 2 ––––––––––– + 8

2p = 2 ⇔ p = 2 Substitusi p = 2 ke persamaan (iii):

⇒ 2+q= ⇔

q= 1

5 2 1 2

p = 2 dan q = 2 merupakan penyelesaian dari persamaan (i). Misal p = y dan q = x ⇒ q + 2p = 3

⇔

1 2

+ 2(2) 2(2) = 3 (sal (salah ah))

Misal p = x dan q = y ⇒ p + 2q = 3 1

⇔ 2 + 2( 2 ) = 3 (be (bena nar) r) 1

Substitusikan x = p = 2 dan y = q = 2 ke persamaan (ii). ax + 2y = 7

1

⇒ a(2) + 2( 2 ) = 7 ⇔ 2a = 6 ⇔ a=3

Jadi, a = 3. 8. Jawaban: e Misal: Mis al: x = usia usia Udin Udin pada pada tahu tahun n 2008 2008 y = usia paman paman pada pada tahun tahun 2008 1

x = 4 y ⇔ 4x – y = 0

9. Jawaban: d +

y−2 3

=3

3x + 2y = 4 . . . (ii) Eliminasi y pada persamaan (i) dan (ii): 9x + 2y= 16 3x + 2y= 4 ––––––––––– – 6x = 12 12 ⇔ x=2 Substitusikan x = 2 pada persamaan (ii): 3x + 2y = 4 ⇒ 3( 3(2) 2) + 2y = 4 ⇔ 6 + 2y = 4 ⇔ 2y = –2 –2 ⇔ y = –1 Jadi, nilai x · y = 2 · (–1) = –2.

p+q = 2

5

. . . (ii)

⇔ 3(3x + 2) + 2(y 2(y – 2) 2) = 18 ⇔ 9x + 6 + 2y – 4 = 18 ⇔ 9x + 2y = 16 . . . (i)

. . . (iii)

p–q = 2 . . . (iv) Eliminasi q pada persamaan (iii) dan (iv):

p+q= 2

⇔ 3x + 6 = y + 2 ⇔ 3x – y = –4

Eliminasi y pada persamaan: 4x – y = 0 3x – y = –4 –4 –––––––––– – x=4 Pada tahun 2008 usia Udin 4 tahun. Jadi, Udin lahir pada tahun 2004. 3x + 2 2

. . . (i) . . . (ii)

p+q = 2

1

(x + 2) = 3 (y + 2)

10. Jawaban: c Missal Mi al:: a = ha harg rga a bu buk ku b = harga bolpoin c = harga pensil Sistem persamaan linear yang terbentuk: 4a + 2b + 3c = 26.000 . . . (i) 3a + 3b + c = 21.500 . . . (ii) 3a + c = 12.500 . . . (iii) Eliminasi b pada persamaan (i) dan (ii): 3 × (i) 12a + 6b + 9c = 78.000 2 × (ii) 6a + 6b + 2c = 43.000 –––––––––––––––––––– – 6a + 7c = 35 35.0 .00 00 . . . (iv (iv)) Eliminasi a pada (iii) dan (iv): 2 × (iii) 6a + 2c = 25.000 1 × (iv) 6a+ 7c = 35.000 ––––––––––––––– – –5c = –10.0 –10.000 00 ⇔ c = 2.000 Substitusi c = 2.000 pada persamaan (iii): 3a + 2.000 = 12.500 ⇔ 3a = 10.5 10.500 00 ⇔ a = 3.5 3.500 00

. . . (i)


67

Substitusi a = 3.500 dan c = 2.000 pada persamaan (i): 4 · (3.500) + 2b + 3 · (2.000)= 26.000 ⇔ 2b + 20.000 20.000 = 26.000 26.000 ⇔ 2b = 6.00 6.000 0 ⇔ b = 3.00 3.000 0 Sehingga Sehingg a 2b + 2c = 2 · (3.000) + 2 · (2.000) (2.000) = 10.000 Jadi, uang yang harus dibayarkan Dina Rp10.000,00. 11. Jawaban: c x

y

z

Misal 2 = = 5 = k maka x = 2k, y = 3k, dan 3 z = 5k. 3x + 5y – 2z = 33 3(2k) + 5(3k) – 2(5k) = 33 ⇔ 6k + 15k 15k – 10k 10k = 33 ⇔ 11kk = 33 11 ⇔ k=3 k = 3 ⇒ x = 2(3) = 6 k = 3 ⇒ y = 3(3) = 9 k = 3 ⇒ z = 5(3) = 15 Jadi, himpunan penyelesaian {(6, 9, 15)}. 12. Jawaban: d Misal: Mis al: x = har harga ga 1 buk buku u tuli tuliss y = harga harga 1 bolp bolpoin oin z = harga harga 1 pensi pensill 3x + y + 2z = 17.000 x + 2y + z = 13.000 2x + y + z = 12.000 Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii): 3x + y + 2z = 17.000 x + 2y + z = 13.000

×1 ×2

. . . (i) . . . (ii) . . . (iii)

3x + y + 2z = 17.000 2x + 4y + 2z = 26.000 –––––––––––––––––––– – x – 3y = –9.000 –9.000. . . (iv)

Eliminasi z pada persamaan (ii) dan (iii): x + 2y + z = 13.000 2x + y + z = 12.000 ––––––––––––––––– – –x + y = 1.000 . . . (v) Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v): x – 3y = 9.000 ×1 x – 3y = –9.000 –x + y = 1.000 ×3 –3x + 3y = 3.000 –––––––––––––––– + –2xx = –6.00 –2 –6.000 0 ⇔ x = 3.0 3.000 00 Substitusi x = 3.000 pada persamaan (v): –x + y = 1.000 ⇒ –3.0 –3.000 00 + y = 1.000 1.000 ⇔ y = 4.0 4.000 00 Sehingga, x + y = 3.000 3.000 + 4.000 4.000 = 7.000 7.000 Jadi, jika saya membeli 1 buku tulis dan 1 bolpoin maka harus membayar Rp7.000,00.

68


13. Jawaban: b Misa Mi sal: l: x = sis isii per perta tama ma y = sisi kedua z = sisi ketiga x + y + z = 16 . . . (i) x = 3(y – z) ⇔ x – 3y + 3z = 0 . . . (ii) y + z = 4x + 1 ⇔ 4x – y – z = –1 . . . (iii) Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii): x + y + z = 16 × 3 3x + 3y + 3z = 48 x – 3y + 3z = 0 × 1 x – 3y + 3z = 0 ––––––––––––––––– – 2x + 6y = 48. . . (iv) (iv) Eliminasi y dan z pada persamaan (i) dan (iii): x + y + z = 16 16 4x – y – z = –1 –1 ––––––––––––– + 5x = 15 ⇔ x=3 Substitusikan x = 3 pada persamaan (iv) 2x + 6y = 48 ⇒ 2(3) + 6y = 48 ⇔ 6y = 42 42 ⇔ y= 7 Substitusi x = 3 dan y = 7 pada persamaan (i): x + y + z = 16 16 ⇒ 3 + 7 + z = 16 16 ⇔ z=6 Jadi, panjang masing-masing sisi segitiga 3 cm, 7 cm, dan 6 cm. 14. Jawaban: a 3x – 2y – 3z = 5 . . . (i) x + y – 2z = 3 . . . (ii) x – y + z = –4 . . . (iii) Eliminasi x pada persamaan (i) dan (ii): 3x – 2y – 3z = 5 × 1 3x – 2y – 3z = 5 × 3 3x + 3y – 6z = 9 x + y – 2z = 3 –––––––––––––––––––– –

–5y + 3z= –4 . . . (iv (iv)) Eliminasi x pada persamaan (ii) dan (iii): x + y – 2z = 3 x – y + z = –4 –4 –––––––––––– – 2y – 3z = 7 . . . (v) Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v): –5y + 3z = –4 × 2 –10y + 6z = –8 2y – 3z = 7 × 5 10y – 15z = 35 ––––––––––––– + –9z –9 z = 27 ⇔ z = –3 Jadi, nilai z0 = –3. 15. Jawaban: a 2x + y – 3z = –1 2x + 2y + z = 10 x – 2y + 3z = 1

. . . (i) . . . (ii) . . . (iii)

Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii): 2x + y – 3z = –1 × 1 2x + y – 3z= –1 2x + 2y + z = 10 × 3 6x + 6y + 3z= 30 –––––––––––––––––––– +

8x + 7y = 29 . . . (i (iv) v) Eliminasi z pada persamaan (i) dan (iii): 2x + y – 3z 3z = –1 –1 x – 2y + 3z 3z = 1 –––––––––––––– + 3x – y = 0 . . . (v) Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v): 8x + 7y = 29 ×1 8x + 7y = 29 3x – y = 0 ×7 21x – 7y = 0 ––––––––––––– + 29xx = 29 29 29 ⇔ x=1 Substitusi x = 1 pada persamaan (v): 3x – y = 0 ⇒ 3( 3(1) 1) – y = 0 ⇔ y=3 Substitusi x = 1 dan y = 3 pada persamaan (i): 2x + y – 3z = –1 ⇒ 2(1 2(1)) + 3 – 3z = –1 ⇔ 2 + 3 – 3z = –1 ⇔ –3zz = –6 –3 –6 ⇔ z=2 Jadi, himpunan penyelesaiannya {(1, 3, 2)}. 16. Jawaban: c x + 2y – z = –2 . . . (i) 3x – y + 2z = –3 . . . (ii) x + y – 3z = –7 . . . (iii) Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii): × 2 2x + 4y – 2z= –4 x + 2y – z = –2 3x – y + 2z = –3 × 1 3x – y + 2z= –3 ––––––––––––––––––– +

5x + 3y = –7 . . . (i (iv) v) Eliminasi z pada persamaan (i) dan (iii): × 3 3x + 6y – 3z= –6 x + 2y – z = –2 ×1 x + y – 3z = –7 x + y – 3z= –7 –––––––––––––––––– –

2x + 5y= 1 . . . (v) Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v): 5x + 3y = –7 × 5 25x + 15y = –35 2x + 5y = 1 ×3 6x + 15y = 3 ––––––––––––– – 19xx = –38 19 –38 ⇔ x = –2 Substitusi x = –2 pada persamaan (iv): 5x + 3y = –7 ⇒ 5(–2) + 3y = –7 ⇔ –10 + 3y= –7 ⇔ 3y= 3 ⇔ y= 1 Substitusi x = –2 dan y = 1 pada persamaan (i): x + 2y – z = –2 ⇒ –2 + 2(1) 2(1) – z = –2 ⇔ z=2 Jadi, x : y : z = –2 : 1 : 2.

17. Jawaban: b x+y=a . . . (i) y+z=b . . . (ii) z+x=c . . . (iii) Eliminasi z pada persamaan (ii) dan (iii): y +z=b z +x= c –––––––– – y–x= b–c . . . (iv) Eliminasi y pada persamaan (i) dan (iv): x+y=a y – x= b– c ––––––––––– – 2x = a – b + c

⇔ x=

1 2

1

1

a– 2b+ 2c Substitusi x pada persamaan (i): x+y=a

1

1 2

⇒ (2 a –

1

b + 2 c) + y = a

1 2

⇔ y=

1

1

a+ 2b– 2c Substitusi x pada persamaan (iii): z+x=c

1

1 2

⇒ z + (2 a – 1

1

b + 2 c)= c

1

⇔ z = –2 a + 2 b + 1

1

1

1 2 1

c 1

1

x + y + z = ( 2 a – 2 b + 2 c) + ( 2 a + 2 b – 2 c) 1

1

1

+ (– 2 a + 2 b + 2 c) 1

1

1

1

= 2 a + 2 b + 2 c = 2 (a + b + c) 1

Jadi, x + y + z = 2 (a + b + c). 18. Jawaban: e 4

x + 2y + z = 3

. . . (i) 1

2x + y – 3z = 4 . . . (ii) x – 2y + 3z = 1 . . . (iii) Eliminasi z pada persamaan (i) dan (iii): 4

x + 2y + z = 3 x – 2y + 3z = 1

×3

3x + 6y + 3z = 4

×1

x – 2y + 3z 3z = 1 ––––––––––––––––––– –

2x + 8y 8y = 3 . . . (iv) Eliminasi z pada persamaan (ii) dan (iii): 1

2x + y – 3z = 4 x – 2y + 3z = 1

–––––––– ––– –––––––– –––––– –––––– –––– – + 5 3x – y = 4 . . . (v)


69

Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v): 2x + 8y = 3 ×1 2x + 8y = 3 5

3x – y = 4

×8

Substitusi x = 12 pada persamaan (iii): z 2

24x – 8y = 10 ––––––––––––– + 1

26xx = 13 26 13 ⇔ x = 2 1

5

1

⇒ 3( 2 ) – y =

5 4 1

⇔

–y= – 4

⇔

y= 4

1

1

1

Substitusi x = 2 dan y = 4 pada persamaan (i): x + 2y + z =

4 3

1 ⇒2

+

1 2( 4

⇔

) +z=

1+z=

⇔

z= 1

1

1

4 3 4 3 1 3 13

19. Jawaban: d y

– 5 =1

. . . (i)

z

+ 4 =7

. . . (ii)

x

– 6 =2 . . . (iii) Eliminasi z pada persamaan (ii) dan (iii): y 3 z 2

z

+ 4 =7 x

– 6 =2

× 12

4y + 3z = 84

×6

3z – x = 12 –––––––––––––––– –

4y + x = 72

. . . (iv)

Eliminasi y pada persamaan (i) dan (iv): x 3

y

– 5 =1 4y + x = 72

× 60

20x – 12y = 60

×3

12y + 3x = 216 ––––––––––––––––– +

23x = 276 23x 276 ⇔ x = 12 Substitusi x = 12 pada persamaan (i): x 3

y

– 5 =1

⇒ ⇔

70

12 3

y

– 5 =1 y

4– 5 =1 y

⇔

– 5 = –3

⇔

y = 15

⇔ ⇔

z 2

12

– 6 =2 z 2

=4

z=8 Jadi, x + y + z = 12 + 15 + 8 = 35.

––––––––––––––––––– –

x – 5y = 12 . . . (iv (iv)) Eliminasi z pada persamaan (i) dan (iii): × 2 2x – 4y + 2z = 16 x – 2y + z = 8 ×1 3x + y – 2z = 0 3x + y – 2z 2z = 0 –––––––––––––––––– +

Jadi, nilai x + y + z = 2 + 4 + 3 = 12 . x 3 y 3 z 2

⇒

20. Jawaban: a x – 2y + z = 8 . . . (i) 2x – y + 3z = 12 . . . (ii) 3x + y – 2z = 0 . . . (iii) Eliminasi z pada persamaan (i) dan (ii): × 3 3x – 6y + 3z = 24 x – 2y + z = 8 2x – y + 3z = 12 × 1 2x – y + 3z 3z = 12

Substitusi x = 2 pada persamaan (v): 3x – y = 4

x

– 6 =2


5x – 3y 3y = 16 . . . (v) (v) Eliminasi y pada persamaan (iv) dan (v): x – 5y = 12 ×3 3x – 15y = 36 5x – 3y = 16 × 5 25x – 15y = 80 ––––––––––––– – –22x –2 2x = –44 –44 ⇔ x=2 Substitusi x = 2 pada persamaan (iv): x – 5y = 12 ⇒ 2 – 5y = 12 12 ⇔ –5 –5y y = 10 10 ⇔ y = –2 Substitusi x = 2 dan y = –2 pada persamaan (i): x – 2y + z = 8 ⇒ 2 – 2(–2) 2(–2) + z = 8 ⇔ 6 + z= 8 ⇔ z= 2 2 2 2 2 Jadi, nilai x + y + z = 2 + (–2)2 + 22 = 12. 21. Jawaban: e y = 2x2 + x + 3 . . . (i) 2 y = x + 2x + 5 . . . (ii) Substitusi (i) ke (iii) diperoleh: 2x2 + x + 3 = x2 + 2x + 5 ⇔ 2x2 + x + 3 – x2 – 2x 2x – 5 = 0 ⇔ x2 – x – 2 = 0 ⇔ (x + 1)(x 1)(x – 2) = 0 ⇔ x = –1 –1 atau atau x = 2 Substitusi nilai x yang diperoleh pada persamaan (i): untuk x = –1 ⇒ y = 2(–1)2 + (–1) + 3 =2–1+3=4 untuk x = 2 ⇒ y = 2( 2(2)2 + 2 + 3 = 8 + 2 + 3 = 13 Jadi, himpunan penyelesaiannya {(–1, 4), (2, 13)}.

22. Jawaban: a 3y – x = 13 . . . (i) 2 y = –x – 2x + 3 . . . (ii) Substitusi (ii) ke (i) diperoleh: 3(–x2 – 2x + 3) – x = 13 ⇔ –3x2 – 6x + 9 – x – 13 = 0 ⇔ –3x2 – 7x 7x – 4 = 0 ⇔ 3x2 + 7x 7x + 4 = 0 ⇔ (3x + 4)(x + 1) = 0 ⇔ 3x = –4 –4 atau atau x = –1

⇔

untuk x = –2

=4–6–4 = –6 Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2, 6), (–2, –6)}. 25. Jawaban: e y = x2 + 3x + 1 y = –x2 + x – a

4

Substitusi nilai x yang diperoleh pada persamaan (i): 4

⇒ 3y – x = 12 12 ⇔ 3y +

4 3

. . . (i) . . . (ii)

Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh: x2 + 3x + 1 = –x2 + x – a ⇔ 2x2 + 2x + 1 + a = 0 . . . (iii)

x = – 3 ata atau u x = –1 –1

untuk x = – 3

⇒ y = (–2)2 + 3(–2) – 4

Syarat mempunyai penyelesaian tunggal adalah D = 0. 22 – 4 · (2)(1 + a) = 0 ⇔ 4 – 8 – 8a 8a = 0 ⇔ –8a –8 a=4 1

⇔

= 13 35

⇔ 3y = 3 ⇔ y = untuk x = –1 ⇒ 3y – x = 13 13 ⇔ 3y + 1 = 13 13 ⇔ 3y = 12 12 ⇔ y=4

35 9

1

Substitusi a = – 2 ke persamaan (iii):

⇒ 2x2 + 2x + 1 – ⇔

2x2 + 2x +

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(– 3 , 9 ), (–1, 4)}.

⇔

x2 + x +

23. Jawaban: a y = –x2 + 3x + 1 . . . (i) 2 y=x +x–3 . . . (ii) Substitusi (i) ke (ii) diperoleh: –x2 + 3x 3x + 1 = x2 + x – 3 ⇔ –x2 + 3x + 1 – x2 – x + 3 = 0 ⇔ –2x2+ 2x 2x + 4 = 0 2 ⇔ x – x– 2= 0 ⇔ (x + 1)(x 1)(x – 2) = 0 ⇔ x = –1 –1 atau atau x = 2 Jadi, nilai x yang memenuhi sistem persamaan tersebut –1 atau 2.

⇔

4

35

24. Jawaban: d y = x2 + 3x – 4 . . . (i) 2 y = 8 + 3x – 2x . . . (ii) Substitusi (i) ke (ii) diperoleh: x2 + 3x – 4 = 8 + 3x – 2x2 ⇔ x2 + 3x – 4 – 8 – 3x + 2x2 = 0 ⇔ 3x2 – 12 = 0 ⇔ x2 – 4 = 0 ⇔ (x – 2) 2)(x (x + 2) = 0 ⇔ x = 2 ata atau u x = –2 –2 Substitusi nilai x ke persamaan (i): untuk x = 2 ⇒ y = 22 + 3(2) – 4 =4+6–4 =6

a = –2

1 2 1 2 1 4

=0 =0 =0

1

(x + 2 )2 = 0 1

⇔

x = –2 1

Substitusi nilai x = – 2 ke persamaan (i): 1

1

1

3

1

y = (– 2 )2 + 3(– 2 ) + 1 = 4 – 2 + 1 = – 4 1

1

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(– 2 , – 4 )}. 26. Jawaban: e x – 3y + 7 = 0 ⇔ x = 3y – 7 . . . (i) 2 2 x – 2xy + y – 1 = 0 . . . (ii) Substitusikan persamaan (i) ke (ii): (3y – 7)2 – 2y(3y – 7) + y2 – 1 = 0 9y2 – 42y + 49 – 6y2 + 14y + y2 – 1 = 0 ⇔ 4y2 – 28y 28y + 48 48 = 0 ⇔ y2 – 7y + 12 = 0 ⇔ (y – 3)(y 3)(y – 4) = 0 ⇔ y = 3 atau y = 4 Substitusi nilai y ke persamaan (i): untuk y = 3 ⇒ x = 3(3) – 7 = 2 untuk y = 4 ⇒ x = 3(4) – 7 = 5 Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2, 3), (5, 4)}.


71

27. Jawaban: d y = x2 – 8x + 12 . . . (i) y = 4 – 2x . . . (ii) Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh: x2 – 8x + 12 = 4 – 2x ⇔ x2 – 8x + 12 12 – 4 + 12x 12x = 0 2 ⇔ x – 6x 6x + 8 = 0 ⇔ (x – 2)(x 2)(x – 4) = 0 ⇔ x = 2 ata atau ux=4 Substitusi nilai x ke persamaan (ii): untuk x = 2 ⇒ y = 4 – 2(2) = 0 untuk x = 4 ⇒ y = 4 – 2(4) = –4 Jadi, nilai y yang memenuhi sistem persamaan di atas 0 atau –4. 28. Jawaban: e y = 4x + p . . . (i) y = x2 – 2x + 3 . . . (ii) Substitusi persamaan (i) ke (ii) diperoleh: 4x + p = x2 – 2x + 3 ⇔ x2 – 2x + 3 – 4x 4x – p = 0 2 ⇔ x – 6x + (3 – p) = 0 Syarat mempunyai penyelesaian tunggal adalah D = 0. (–6)2 – 4(1) 4(1) · (3 (3 – p) p) = 0 ⇔ 36 – 4(3 – p) = 0 ⇔ 36 – 12 + 4p = 0 ⇔ 4p = –24 –24 ⇔ p = –6 Jadi, p = –6. 29. Jawaban: b y = 2x2 – 4x + 3 . . . (i) y = x2 – 6x + 6 . . . (ii) Substitusi (i) ke (ii) diperoleh: 2x2 – 4x 4x + 3 = x2 – 6x + 6 ⇔ 2x2 – 4x + 3 – x2 + 6x 6x – 6 = 0 ⇔ x2 + 2x 2x – 3 = 0 ⇔ (x + 3)(x 3)(x – 1) = 0 ⇔ x = –3 –3 atau atau x = 1 Substitusi nilai x ke persamaan (i): untuk x = –3 ⇒ y = 2(– 2(–3) 3)2 – 4(–3) + 3 = 18 + 12 + 3 = 33 untuk x = 1 ⇒ y = 2(1)2 – 4(1) + 3 =2–4+3 =1 Jadi, nilai y yang memenuhi 33 atau 1. 30. Jawaban: d  Misal: Mis al: bil bilan anga gan n I = x   x>y bilangan II = y Sistem persamaannya: x–y=2 . . . (i) 2 2 x – y = 32 . . . (ii)

72


(ii): x2 – y2 = 32 ⇔ (x – y)(x y)(x + y) = 32 ⇔ 2(x 2( x + y) y) = 32 32 ⇔ x + y = 16 . . . (iii) Eliminasi y dari persamaan (i) dan (iii): x –y=2 x + y = 16 16 ––––––––– + 2x = 18 18 ⇔ x=9 Substitusi nilai x = 9 ke persamaan (i): ⇒ 9 –y= 2 ⇔ y=7 Jadi, kedua bilangan itu 7 dan 9, bilangan yang terkecil adalah 7. B. Ur Urai aian an

1. p –  = 6 . . . (i) (i) p = 2 – 9 ⇔ p – 2 = –9 . . . (ii) Eliminasi  pada persamaan (i) dan (ii): p–=6 ×2 2p – 2 = 12 p – 2 = –9 ×1 p – 2 = –9 ––––––––––– + p = 21 Substitusi p = 21 pada persamaan (i): p –  = 6 ⇒ 21 –  = 6 ⇔  = 15 K = 2(p + ) = 2(21 + 15) = 72 Jadi, keliling persegi panjang tersebut 72 cm. 2. Misal: a% = p aj aj ak ak u nt nt uk uk p en en gh gh as as ilil an an Rp500.000,00 b% = paj pajak ak unt untuk uk pen pengha ghasil silan an yan yang g lebi lebih h dari Rp500.000,00 (kelebihan) Sistem persamaan linear yang terbentuk: a 100

⇔

a 100

b

× 500.000 + 100 × 200.000 200.000 = 95.000 95.000 5.000a 5.00 0a + 2.00 2.000b 0b = 95.00 95.000 0 . . . (i) b

× 500.000 + 100 × 400.000 400.000 = 140.000 140.000 ⇔ 5.000a + 4.000b 4.000b = 140.000. . . (ii) Eliminasi a dari persamaan (i) dan (ii), diperoleh: 5.000a + 2.000b 2.000b = 95.000 5.000a + 4.000b 4.000b = 140.000 –––––––––––––––––––––– – –2.000 –2. 000b b = –45 –45.00 .000 0 ⇔ b = 22 22,5 Substitusikan b = 22,5 ke persamaan (i), diperoleh: 5.000a + 2.000b 2.000b = 95.000 95.000 ⇔ 5.000a + 2.000(22,5) 2.000(22,5) = 95.000 95.000 ⇔ 5.000a = 95.000 95.000 – 45.000

⇔

50.000

a = 5.000 = 10 Jadi, besar pajak untuk penghasilan Rp500.000,00 adalah 10% dan besar pajak untuk kelebihannya 22,5%.

3. Mi Misa salk lkan: an: x = berat berat dag daging ing sap sapii dalam dalam kilo kilogr gram am y = berat ikan basah dalam kilogram Dari permasalahan di atas dapat dibentuk sistem persamaan linear. • Pers Pe rsam amaa aan n line linear ar unt untuk uk keb kebut utuh uhan an kal kalor ori: i: 500x + 350y = 27.500 . . . (i) • Persa Per sama maan an lin linea earr un untuk tuk ke kebu butuh tuhan an pr prot otein ein:: 200x + 400y = 16.200 . . . (ii) Eliminasi x dari persamaan (i) dan (ii): 500x + 350y = 27.500 200 00xx + 400 00yy = 16. 6.20 200 0

×2 ×5

1.000x + 700y = 55.000 1.0 .000 00xx + 2.0 2.000 00yy = 81. 81.00 000 0 ––––––––––––––––––––– – –1.300y = –26. –26.000 000 ⇔ y = 20

Substitusi y = 20 ke persamaan (ii), diperoleh: 200xx + 400y = 16.200 200 16.200 ⇔ 200x + 400(20) 400(20) = 16.200 16.200 ⇔ 200xx = 16.200 200 16.200 – 8.000 8.000

⇔

8.200

x = 200 = 41 Sehingga kebutuhan daging sapi setiap harinya 41 kg dan ikan basah 20 kg. Jadi, biaya yang harus dikeluarkan rumah sakit tersebut = x × Rp40.000,00 + y × Rp15.000,00 = 41 × Rp40.000,00 + 20 × Rp15.000,00 = Rp1.640.000,00 + Rp300.000,00 = Rp1.940.000,00 4. Misal: x = si sisi te tegak y = sisi sisi da datar tar x + y + 13 = 30 ⇔ x + y = 17 . . . (i) x–y=7 . . . (ii) Eliminasi y pada persamaan: x + y = 17 17 x –y =7 ––––––––––– + 2x = 24 24 ⇔ x = 12 Substitusi x = 12 pada persamaan (i): x + y = 17 ⇒ 12 + y = 17 17 ⇔ y = 5 Jadi, panjang sisi tegak dan sisi datar segitiga adalah 12 cm dan 5 cm. 5. Misal: x = an angka ra ratusan y = angka angka pul puluha uhan n z = angka angka satu satuan an x + y + z = 18 . . . (i) z = 2(x – y) ⇔ 2x – 2y – z = 0 . . . (ii) x+y=z+2⇔x+y–z=2 . . . (iii) Jadi, sistem persamaannya adalah  x + y + z = 18  2x – 2y – z = 0  x+y–z=2

6. Sistem Sistem persam persamaan aan linear linear yang yang diketahu diketahui: i:   x + y + z = 4 . . . (i)   2x – y – 2z = 3 . . . (ii)  4x – 3y – 3z = –2 . . . (iii)  1  ax + 1 by – cz = 2 . . . (iv) 2 3    ax + 2 by + cz = –2 . . . (v)  3   1  ax + by – 2cz = 6 . . . (vi) 2 Eliminasi y dari persamaan (i) dan (ii): x + y+ z= 4 2x – y – 2z 2z = 3 ––––––––––––– + 3x – z = 7 . . . (vii) Eliminasi y dari persamaan (ii) dan (iii): 2x – y – 2z = 3 × 3 6x – 3y – 6z = 9 4x – 3y – 3z = 2 × 1 4x – 3y – 3z = 2 –––––––––––––– – 2x – 3z 3z = 7 . . . (v (viiiii) i) Eliminasi z dari persamaan (vii) dan (iii): 3x – z = 7 ×3 9x – 3z = 21 2x – 3z = 7 ×1 2x – 3z = 7 ––––––––––––– – 7x = 14 14 ⇔ x=2 Substitusikan x = 2 ke persamaan (vii): 3x – z = 7 ⇒ 3( 3(2) 2) – z = 7 ⇔ z = 6 – 7 = –1 –1 Substitusikan x = 2 dan z = –1 ke persamaan (i): x+y+z=4 ⇒ 2 +y –1= 4 ⇔ y= 4– 1= 3 Karena SPL yang kedua mempunyai penyelesaian yang sama maka substitusikan nilai x, y, dan z ke persamaan (iv), (v), dan (vi). Diperoleh SPL baru: 1 ax 2

1

+ 3 by – cz = 2 2

ax + 3 by + cz = –2 1 ax 2

⇒a+b+c=2

. . . (ix)

⇒ 2a + 2b 2b – c = –2 . . . (x) (x)

+ by – 2cz = 6 ⇒ a + 3b + 2c = 6

. . . (xi)

Eliminasi c dari persamaan (ix) dan (x): a +b +c= 2 2a + 2b – c = –2 –––––––––––––– + 3a + 3b = 0 . . . (xii) Eliminasi c dari persamaan (x) dan (xi): 2a + 2b – c = –2 × 2 4a + 4b – 2c = –4 a + 3b + 2c = 6 ×1 a + 3b + 2c = 6 ––––––––––––––– + 5a + 7b 7b = 2 . . . (x (xiii) Kunci Jawaban dan Pembahasan PR Matematika Kelas X

73

Eliminasi b dari persamaan (xii) dan (xiii): 3a + 3b = 0 ×7 21a + 21b = 0 5a + 7b = 2 ×3 15a + 21b = 6 ––––––––––––– – 6a = –6 –6 ⇔ a = –1 Substitusikan a = –1 ke persamaan (xii): 3a + 3b = 0 ⇒ 3(– 3(–1) 1) + 3b = 0 ⇔ 3b = 3 ⇔ b=1 Substitusikan a = –1 dan b = 1 ke persamaan (ix): (i x): a + b + c = 2 ⇒ –1 + 1 + c = 2 ⇔ c=2 Jadi, nilai a, b, dan c berturut-turut –1, 1, dan 2. 7. Mi Misa sal: l: x = be besa sarr pin pinjam jaman an di ba bank nk A y = besar pinjaman di bank B z = besar pinjaman di lembaga keuangan z = 80.000.00 80.000.000 0 – 70.000 70.000.000 .000 = 10.000.000 Sistem persamaan linear yang terbentuk: x + y = 70.000.000 . . . (i) 11 100

⇔ ⇔ ⇔

10

13

x + 100 y + 100 · 10.000.000 = 8.500.000

11 100

10

x + 100 y + 1.300.00 1.300.000 0 = 8.500.000 8.500.000 11 100

10

x + 100 y = 7.200 7.200.00 .000 0 11x + 10y 10 y = 72 720. 0.00 000. 0.00 000 0 . . . (ii) i) Eliminasi y dari persamaan (i) dan (ii): x + y = 70 70.0 .000 00.0 .000 00 11x 11 x + 10 10y= y= 72 720. 0.00 000. 0.00 000 0

× 10 10x + 10y = 70 700. 0.0 000 00.0 .000 00 ×1 11x + 10 11x 10yy = 720 720.0 .000 00.0 .000 00 ––––––––––––––––––– – –x = –20.0 –20.000.0 00.000 00 ⇔ x = 20.000 20.000.00 .000 0

Substitusi x = 20.000.000 ke persamaan (i), diperoleh: x + y = 70.000.000 ⇒ 20.000.0 20.000.000 00 + y = 70.000.000 70.000.000 ⇔ y = 50.000 50.000.00 .000 0 Jadi, besar pinjaman Pak Didin di bank A, bank B, dan lembaga keuangan berturut-turut Rp20.000.000,00, Rp50.000.000,00, dan Rp10.000.000,00. 8. Mi Misa sal: l: x = har harga ga be bera rass jen jenis is I y = harga harga beras beras jenis jenis II z = harga harga beras beras jenis jenis III III Sistem persamaan linear yang terbentuk: 3x + 2y + z = 29.000 . . . (i) 3y + 2z = 26.000 . . . (ii) 2x + y = 14.000 . . . (iii) Eliminasi y dari persamaan (i) dan (ii): 3x + 2y + z = 29.000 × 3 9x + 6y + 3z 3z = 87.000 3y + 2z = 26.000 × 2 6y + 4z = 52.000 ––––––––––––––––– – 9x – z = 35. 35.00 000 0 . . . (iv (iv))

74


Eliminasi y dari persamaan (i) dan (iii): 3x + 2y + z = 29.000 × 1 3x + 2y + z = 29.000 2x + y = 14.000 × 2 4x + 2y = 28.000 ––––––––––––––––– – –x + z = 1.0 1.000 00 . . . (v) (v) Eliminasi z dari persamaan (iv) dan (v): 9x – z = 35.00 35.000 0 –x + z = 1.00 1.000 0 ––––––––––––– + 8x = 36.00 36.000 0 ⇔ x = 4.500 Substitusikan x = 4.500 ke persamaan (v), diperoleh: –x + z = 1.000 ⇒ –4.500 + z = 1.000 ⇔ z = 5.500 Substitusikan x = 4.500 ke persamaan (iii), diperoleh: 2x + y = 14.000 ⇒ 2(4 2(4.500 .500)) + y = 14.000 14.000 ⇔ y = 5. 5.0 000 Jadi, harga beras jenis I, II, dan III berturut-turut Rp4.500,00, Rp5.000,00, dan Rp5.500,00. 9. y = x(x + 2) – 6 . . . (i) 2 y = 2x – 4x + 2 . . . (ii) Substitusi (i) ke (ii) diperoleh: x(x + 2) – 6 = 2x2 – 4x + 2 ⇔ x2 + 2x – 6 – 2x2 + 4x 4x – 2 = 0 2 ⇔ –x + 6x 6x – 8 = 0 2 ⇔ x – 6x 6x + 8 = 0 ⇔ (x – 2)(x 2)(x – 4) = 0 ⇔ x = 2 ata atau ux=4 Substitusi nilai x pada persamaan (i): untuk x = 2 ⇒ y = 2( 2(2 + 2) – 6 =8–6 =2 untuk x = 4 ⇒ y = 4( 4(4 + 2) – 6 = 24 – 6 = 18 Jadi, titik potongnya (2, 2) dan (4, 18). 10. x2 + y2 + 2x – 19 = 0 . . . (i) x2 + y2 + 5x + y – 26 = 0 . . . (ii) 2 2 Eliminasi x dan y pada persamaan: x2 + y2 + 2x 2x – 19 = 0 2 2 x + y + 5x + y – 26 26 = 0 –––––––––––––––––––––– – –3xx – y + 7 = 0 –3 ⇔ y = 7 – 3x . . . (iii) Substitusi persamaan (iii) ke (i) diperoleh: x2 + y2 + 2x – 19 19 = 0 2 2 ⇒ x + (7 – 3x) + 2x – 19 19 = 0 2 2 ⇔ x + (49 – 42x + 9x ) + 2x – 19= 0 ⇔ 10x2 – 40x + 30 30 = 0 2 ⇔ x – 4x + 3= 0 ⇔ (x – 1)(x – 3) = 0 ⇔ x = 1 atau x = 3

Substitusi nilai x ke persamaan (iii): untuk x = 1 ⇒ y = 7 – 3(1) =7–3 =4 untuk x = 3 ⇒ y = 7 – 3(3) =7–9 = –2 Jadi, himpunan penyelesaiannya {(1, 4), (3, –2)}.

Jawaban tersebut identik dengan bentuk a 6 + b. b. Sehingga diperoleh persamaan a = 2 dan b = –5 maka a + b = 2 + (–5) = –3 6. Jawaban: e L=p×

⇒ 12 = p × ( 15 – 3 )

Latihan Ulangan Akhir Semester A.


=

49log

a4 × 3 b−2 × 3 a8 b−7

a12 b−6

b−6

a12

= a8 b−7 = 8 × −7 a b 12 – 8 –6 – (–7) 4 =a ×b =ab

=

p = =

4 3

4

p⋅p 3 1 ⋅ 3

p2

1 2

=

1 8

4 3

= 4

p

3 2

1

=

4

1 1 ⋅ 4

p2 = p2

(p ) 3 2

=p

1 3

= ( 2 )(

alog

1

log

1 49

15

3

+ 8 2 log 52 8log 25

log 7−2 + 8 −2 1 2

) 2log 7 + 25

) · 7log 2 · 2log 7 + 25

b

bc = bc

b

blog

log log bc log log ab

1+ n 1 m

+1

×

= m m

1 m b log b + blog c b log a + blog b

a=

=

m(1 + n) 1+ m

9. Jawaban: a 0,8 – 0,45x2 = 0 (kedua ruas dikalikan 100) ⇔ 80 – 45x2 = 0 ⇔ 5(16 – 9x2) = 0 ⇔ 5(4 + 3x)( 3x)(4 4 – 3x) 3x) = 0 (4 + 3x) = 0 atau (4 – 3x) = 0 4

81 16

2 3

3

= ( 2 )4 3

4

x= 3 4

2 3

2

b = log( 2 )4 = 4 log 2 = –4 log 3 = –4

2− 3 × 2 − 3 (merasionalkan penyebut dengan mengalikan sekawannya) 2 2−2 2 3+ 3 3 ( 2 )2 − ( 3 )2

⇔

x = – 3 atau

5. Jawaban: d 2− 3 2− 3 = 2+ 3 2+ 3

⇔

1 2

=

2

3

−2

b =m

ablo log g

= 3

⇒ b = 5 16 = alog

+ 3) + 3)

8. Jawaban: c

4. Jawaban: e a = 0,6666. . . diubah menjadi bentuk pecahan biasa terlebih dahulu. 10a = 6,6666 6,6666.. . . a = 0,66 0,6666 66.. . . ––––––––––––––– –

2 3

3 +

( 15 15 ( 15 15

= –5 · 7log 7 + 25 = –5 + 25 = 20

1 8

3. Jawaban: a 1 2n (2 + 2 ) 2n + 1 + 2n − 1 2n ⋅ 21 + 2n − 1 = n n −2 = n 1 2n + 2n − 2 2 +2 ⋅2 2 (1 + 4 ) 1 5 2+ 2 2 = = 1 5 = 2 1+ 4 4

6 9

22

log 2 ·

5 2

1

⇔a=

=

·

1

5 2

= ( 2 ) 7log 2 · (

p = pm maka m = 8

9a = 6

72

2

32 ·

5 2

2. Jawaban: c 4 3 p

12( 15 + 3 ) 15 − 3

=

12 ( 1 15 5 − 3)

=

7. Jawaban: d

1. Jawaban: c (a4b−2 )3 a8 b−7

12 ( 1 15 5 − 3)

⇔ p=

=

2−2 6 +3 2−3

=

5−2 6 −1

=2 6 –5

4

Oleh karena m > n maka m = 3 dan n = – 3 maka 4

4

16

16

nilai m2 – n2 = ( 3 )2 – (– 3 )2 = 9 – 9 = 0 10. Jawaban: a x2 – 2kx + 3k – 2 = 0 ⇒ a = 1, b = –2k , c = 3k – 2 Syarat memiliki dua akar real berlainan D > 0, sehingga: (–2k)2 – 4 · 1(3k – 2) > 0 ⇔ 4k2 – 12k 12k + 8 > 0 2 ⇔ k – 3k 3k + 2 > 0 ⇔ (k – 2)(k 2)(k – 1) > 0


75

Batas-batas nilai k: (k – 2)(k – 1) = 0 k – 2 = 0 atau k – 1= 0 k = 2 atau k = 1

Sehingga x1 · x2 = 2(p + 1)

——

+++ 1

+++ 2

Jadi, penyelesaian yang memenuhi adalah k < 1 atau k > 2. 11. Jawaban: a x2 + 4px + q = 0 memiliki memili ki akar kembar maka D = 0. (4p)2 – 4 · 1 · q = 0 ⇔ 16p2 – 4q = 0 . . . (1) (1) x2 + (4p + 2)x + (q – 1) = 0 memiliki akar kembar maka D = 0 (4p + 2)2 – 4 · 1 · (q – 1) = 0 ⇔ 16p2 + 16p + 4 – 4q + 4 = 0 ⇔ 16p2 + 16p – 4q + 8 = 0 . . . (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: Eliminasi p2 dan q: 16p2 + 16p – 4q + 8= 0 16p2 – 4q =0 –––––––––––––––––––– – 16p 16 p +8 = 0 1

⇔ 16p = –8 –8 ⇔ p = – 2 Substitusikan p =

1 –2

ke (1):

1

16(– 2 )2 – 4q = 0 ⇒ 4 – 4q = 0 ⇔ 4q = 4 ⇔ q=1 1

1

Jadi, pq = – 2 · 1 = – 2 . 12. Jawaban: e Misalkan x 1 dan x 2 akar-akar persamaan x2 + 8x + 2 = 0: |x1 – x2| = =

D a

=

82

− 4 ⋅ 1⋅ 2 1

64 − 8 =

56 = 2 14

13. Jawaban: e Misal akar-akar pada persamaan di atas adalah x1 dan x2 maka x1 = 3x2. x2 – (p + 3)x + 2(p + 1) = 0 ⇒ a = 1, b = –(p + 3), q = 2(p + 1) x1 + x2 = p + 3 x1 · x2 = 2(p + 1) x1 = 3x2 x1 + x2 = p + 3 ⇔ 3x2 + x2 = p + 3 ⇔ 4x2 = p + 3 p+3 ⇔ x2 = 4 p+3 Diperoleh x1 = 3( 4 )

76

p+3 p+3 3( 4 ) · 4 = 2(p + 1) 3(p2 + 6p + 9) = 2(p + 1)

⇔


⇔ 16 2 ⇔ 3p + 18p + 27 27 = 16 · 2(p 2(p + 1) 2 ⇔ 3p + 18p + 27 27 = 32p + 32 32 ⇔ 3p2 + 18p – 32p + 27 27 – 32 = 0 2 ⇔ 3p – 14p 14p – 5 = 0 ⇔ (3p + 1)(p 1)(p – 5) = 0 ⇔ 3p + 1 = 0 atau atau p – 5 = 0 1

⇔ p = – 3 atau p = 5 14. Jawaban: c Akar-akar persamaan kuadrat 2x 2 – 6x + 3 = 0 6

adalah x1 dan x2 sehingga x1 + x 2 = 2 = 3 dan 3

x1 · x2 = 2 . Misal akar-akar baru tersebut α = Jumlah akar-akar yang baru:

α+β = = =

x1 x2

+

x2 x1

=

x1 x2

dan β =

x2 x1

.

x12 + x 22 x1x 2

(x1 + x 2)2 − 2x1x 2 x1x 2 32

− 2 ⋅ 32 3 2

2

= (9 – 3) · 3 = 4

Hasil kali akar-akar yang baru:

α·β=

x1 x2

·

x2 x1

=1

Persamaan kuadrat baru dengan akar α dan β: x2 – (α + β)x + αβ = 0. Jadi, persamaan kuadrat baru x 2 – 4x + 1 = 0. 15. Jawaban: c 2x2 – 3x – 5 = 0 ⇒ a = 2 , b = –3 , c = –5 sehingga 3 −3 a+b=– 2 = 2 −5 a·b= 2 Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β maka: 3 1 1 b+a 3 α + β = – a + (– b ) = – ab = −25 = – 5

α·β=

1 –a

×

1 (– b )

=

1 ab

2

=

1

−

5 2

2

= –5

Menyusun persamaan kuadrat baru yang akarakarnya α dan β: x2 – (α + β)x + α · β = 0

⇔

x2

–

3 (– 5 )x

+ (– 3

⇔ ⇔

2 ) 5 2 5

=0

x2 + 5 x – = 0 5x2 + 3x 3x – 2 = 0 (dikalikan 5)

16. Jawaban: c Perhatikan grafik fungsi f(x) = 3x berikut. Y

f(x) = 3x

X

0

Setiap nilai x ∈ domain (sumbu X) mempunyai tepat satu kawan di kodomain (sumbu Y) sehingga f(x) = 3x merupakan fungsi injektif. Setiap nilai y ∈ kodomain mempunyai tepat satu kawan sehingga f(x) = 3x merupakan fungsi surjektif. Berarti f(x) = 3x merupakan fungsi bijektif. 17. Jawaban: d Nilai maksimum diperoleh pada x = –3. x=

b – 2a

⇔ –3 =

(m + 2) −2

⇔ ⇔

6= m+2 m= 6– 2= 4 Persamaan fungsi kuadrat: f(x) = 4 × 4 – (4 + 2)x – x 2 ⇔ f(x) = 16 – 6x – x2 untuk x = –3 diperoleh: y = f(–3) f(–3) = 16 – 6 · (–3) (–3) – (–3) (–3)2 = 16 + 18 – 9 = 25 Jadi, titik balik maksimumnya (–3, 25). 18. Jawaban: c Persamaan grafik fungsi kuadrat yang puncaknya di titik (1, 4) berbentuk y = a(x – 1) 2 + 4. Grafik melalui (0, 3), berarti: 3 = a(0 – 1) 2 + 4 ⇔ 3 =a +4 ⇔ a = –1 Persamaan grafik fungsi kuadratnya: y = –(x – 1)2 + 4 ⇔ y = –x2 + 2x + 3

19. Jawaban: c Titik puncak grafik f(x) = x 2 + 4x + 3 adalah b

D

(– 2a , – 4a ) b

4

D

42

⇒ x = – 2a = – 21 = –2 ⇒ y = – 4a = –

− 4 ⋅ 1⋅ 3 4 = –4 = – 1 4 ⋅1

Koordinat titik puncak grafik f(x) = x 2 + 4x + 3 adalah (–2, –1). Fungsi kuadrat melalui titik (–1, 3) dan titik balik (–2, –1) mempunyai persamaan: f(x) = a(x – x p)2 + yp dengan (xp, yp) titik balik f(x) = a(x – (–2)) 2 + (–1) f(x) = a(x + 2) 2 – 1 Melalui titik (–1, 3) ⇒ 3 = a(–1 a(–1 + 2)2 – 1 ⇔ 3 = a· 1 –1 ⇔ 4=a Sehingga fungsi kudratnya menjadi: f(x) = 4(x + 2) 2 – 1 f(x) = 4(x2 + 4x + 4) –1 f(x) = 4x2 + 16x + 16 – 1 f(x) = 4x2 + 16x + 15 20. Jawaban: d 1

Luas segitiga segitiga= = 2 ·a·t

⇔ ⇔

1

20 = 2 (x + 1)(x +4) 20 =

1 2

x+4

(x2 + 5x + 4 ) x+1

⇔ 40 = x2 + 5x + 4 ⇔ x2 + 5x + 4 – 40 = 0 ⇔ x2 + 5x 5x – 36 = 0 ⇔ (x + 9)(x 9)(x – 4) = 0

x = –9 (tidak memenuhi) atau x = 4 x = 4 ⇒ panjang sisi siku-siku yang pertama = 4 + 1 = 5 cm ⇒ panjang sisi siku-siku yang kedua = 4 + 4 = 8 cm =

5 2 + 82 25 + 64

=

89 cm

Panjang hipoten hipotenusa usa =

21. Jawaban: a Total gaji karyawan

⇒ T(x)= x(150 – 3x) = 150x – 3x2 b

150

T(x) akan maksimun jika x = – 2a = – 2(−3) = 25 Jadi, total gaji akan maksimum jika banyak karyawan 25 orang.


77

26. Jawaban: b 3x2 – 7x – 2 = y . . . (i) 3x – 5 = y . . . (ii) Eliminasi y dari persamaan (i) dan (ii): 3x2 – 7x – 2 = 3x – 5 ⇔ 3x2 – 10x 10x + 3 = 0 ⇔ (3x – 1)(x 1)(x – 3) 3) = 0

⇔

1

x = 3 at atau au x = 3 1 Jadi, nilai x yang memenuhi 3 atau 3. 27. Jawaban: d y = ax + 6 . . . (i) 2 y = ax + (a + 4)x + 36 . . . (ii) Eliminasi y dari (i) dan (ii): y = ax + 6 y = ax2 + (a + 4)x + 36 –––––––––––––––––––– – 0 = –ax2 + (a – a – 4)x – 30 ⇔ 0 = –a –axx2 – 4x – 30 2 ⇔ ax + 4x + 30 = 0 . . . (iii) Persamaan (iii) akan mempunyai penyelesaian tunggal jika D = 0. 42 – 4 × a × 30 = 0 Jadi, nilai a =

2 15

⇔a=

16 120

2

= 15

.

28. Jawaban: b y = 8 – x2 . . . (1) y = x2 – 10x + 20 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh: x2 – 10x + 20 = 8 – x2 ⇔ x2 + x2 – 10x + 20 – 8 = 0 ⇔ 2x2 – 10x + 12 = 0 (kedua ruas dibagi 2) ⇔ x2 – 5x + 6 = 0 ⇔ (x – 3)(x – 2) = 0 ⇔ x = 3 atau x = 2 Jika x = 3 ⇒ y = 8 – 32 ⇔ y = –1 Jika x = 2 ⇒ y = 8 – 22 ⇔ y = 4 Penyelesaian di atas ada dua kemungkinan, yaitu: 1) x = 3, y = –1 ⇒ p = 3, q = –1 maka p2 · q2 = 32 · (–1)2 = 9 2) x = 2, y = 4 ⇒ p = 2, q = 4 maka p2 · q2 = 22 · 42 = 64 29. Jawaban: c y = x2 + 2x + c . . . (1) y = –x2 – 2x + q . . . (2) Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2): x2 + 2x + c = –x2 – 2x + q ⇔ x2 + x2 + 2x + 2x + c – q = 0 ⇔ 2x2 + 4x + c – q = 0

Syarat ke dua parabola berpotongan di satu titik D = 0. ⇔ 42 – 4 · 2 · (c – q) q) = 0 ⇔ 16 – 8c 8c + 8q = 0 ⇔ 8q = 8c 8c – 16 16 ⇔ q =c–2 ⇔ c–q =2 30. Jawaban: c

5 3

⇒

A B

5

5

= 3 ⇒ A = 3 B . . . (1) Setelah barang A terjual 10, jumlah barang A sama dengan jumlah barang B kalimat matematikanya ⇒ A – 10 = B . . . (2) Persamaan (1) disubstitusikan ke persamaan (2) diperoleh: A:B=5:3

B – 10 = B (kedua (kedua ruas dikali dikali 3)

⇔ 5B – 30 30 = 3B 3B ⇔ 5B – 3B 3B = 30 30 ⇔ 2B = 30 ⇔ B = 15 5

A = 3 · 15 = 25 Jumlah barang A dan B = A + B = 25 + 15 = 40. 31. Jawaban: e Jumlah ketiga bilangan tersebut 18 ⇒ p + q + r = 18 Tiga kali bilangan p sama dengan selisih tiga kali bilangan r dengan bilangan q ⇒ 3p = 3r – q Dua kali jumlah bilangan p dan q sama dengan tiga kali bilangan r ditambah satu ⇒ 2(p+q) = 3r + 1 p + q + r = 18 . . . (1) 3p = 3r – q ⇔ 3p + q – 3r = 0 . . . (2) 2(p + q) = 3r + 1 ⇔ 2p + 2q 2q – 3r = 1 . . . (3) Eliminasi r persamaan (2) dan (3): 3p + q – 3r 3r = 0 2p + 2q 2q – 3r = 1 –––––––––––––– – p – q = –1 . . . (4) Eliminasi r persamaan (1) dan (2): p + q + r = 18 ×3 3p + 3q + 3r = 54 3p + q – 3r = 0 × 1 3p + q – 3r = 0 ––––––––––––––– + 6p + 4q = 54 ⇔ 3p + 2q = 27 . . . (5) Eliminasi q dari persamaan (4) dan (5): p – q = –1 × 2 2p – 2q = –2 3p + 2q = 27 × 1 3p + 2q = 27 ––––––––––––––– + 5p = 25 ⇔ p = 5


79

Substitusi p = 5 ke persamaan (5): 3(5) + 2q = 27 ⇔ 15 + 2q 2q = 5 ⇔ 2q = 12 ⇔ q=6 Substitusi p = 5 dan q = 6 ke persamaan persamaan (1): 5 + 6 + r = 18 18 ⇔ r = 18 18 – 11 ⇔ r=7 Jadi, bilangan tersebut adalah p = 5, q = 6, r = 7. 32. Jawaban: d 2x − 5 ≥1 ⇔ x−2

Penyelesaian (1) dan (2) digambarkan pada garis bilangan:

–3

–1≥0

Jadi, nilai yang memenuhi –3 < x < –2.

x2

2 x − 5 − ( x − 2) ≥0 x−2 x−3 ≥ 0, x ≠ 2 x−2

⇔ –

▲

2

+

x2

▲

Jadi, nilai x yang memenuhi x < 2 atau x

≥ 3.

Batas-batas nilai x: (x + 1)( x – 6) = 0 x = –1 atau x = 6

33. Jawaban: e x 2 + 3x − 10 x2 − x − 2

⇔ ⇔

≥0

. . . (1)

x2 + 3x – 10 = 0 (x + 5)(x – 2) = 0 x = –5 atau atau x = 2 +

x2 – x – 2 = 0 ⇔ (x – 2) (x + 1) = 0 ⇔ x = 2 atau x = –1

–1

2

–1

Jadi, penyelesaian yang memenuhi adalah x 5 atau x > –1, x ≠ 2.

≤–

34. Jawaban: e

0

x + 3 > x + 3 mempunyai penyelesaian:

dikalikan –1)

⇔ ⇔

+ 5x + 6 < 0 (x + 3)(x 3)(x + 2) < 0 Pembuat nol pertidaksamaan: ⇔ (x + 3) (x + 2) = 0 Batas-batas nilai x: (x + 3) = 0 atau (x + 2) = 0 ⇔ x = –3 ⇔ x= –2 –3

2)

–2

. . . (2)

2

Syarat 3x 3x + 6 > 0 3x + 6 > 0 ⇔ 3x > –6 –6 ⇔ x > –2 . . . (3) –2

Penyelesaian (1), (2), dan (3) dapat digambarkan dalam garis bilangan berikut. –1

6 0

2

–2

. . . (1)

–1 0

2

6

Jadi, penyelesaiannya –1 < x < 0 atau 2 < x < 6.

Syarat x + 3 > 0 x+3>0 ⇔ x > –3 . . . (2) –3

80

3)

x + 3 > x + 3 (kuadratkan kedua ruas) ⇔ x + 3 > x2 + 6x + 9 ⇔ –x2 + x – 6x + 3 – 9 > 0 ⇔ –x2 – 5x – 6 > 0 (kedua ruas x2

6

Syarat x2 – 2x > 0 x2 – 2x > 0 ⇔ x(x – 2) > 0 Batas-batas nilai x: x(x – 2) = 0 x = 0 atau x – 2 = 0 ⇒ x = 2

2)

+

+

– –5

1)

− 2x – 3x + 6 < 0

⇔ x2 − 2x < 3x + 6 ⇔ x2 – 2x < 3x + 6 (kuadratkan kedua ruas) ⇔ x2 – 2x – 3x – 6 < 0 ⇔ x2 – 5x 5x – 6 < 0 ⇔ (x +1)( +1)(x x – 6) < 0

▲

3

− 2x – 3x + 6 < 0 mempunyai penyelesaian:

1)

Pembuat nol adalah x = 3 dan x = 2. +

–2

–3

35. Jawaban: d 2x − 5 x−2

⇔

▲

–2

–3


36. Jawaban: b |3x + 2| > 5 ⇔ 3x + 2 > 5 atau 3x + 2 < –5 ⇔ 3x > 3 atau 3x < –7

⇔

x > 1 atau

x<

Dari gambar (1) dan (2) digabungkan:

1 2

7 3

1

x−2 x −1

x−2 < 3 ⇔ –3 < x − 1 < 3, artinya penyelesaian ada dua kemungkinan. x−2 1) x − 1 > –3 x−2 ⇔ +3>0 x −1 3(x − 1) ⇔ xx −− 21 + x − 1 > 0 x − 2 + 3x − 3 ⇔ >0 x −1 4x − 5 ⇔ >0 x −1 Batas-batas nilai x: 4x – 5 = 0 x– 1 =0 ⇔ 4x = 5 ⇔ x=1 5 4

Nilai x yang memenuhi dapat digambarkan dengan garis bilangan berikut. . . . (1) 1

2)

x−2 x −1

⇔ ⇔ ⇔

5 4

<3

x−2 –3 x −1 3(x − 1) x−2 – x −1 x −1 x − 2 − 3x + 3 x −1

<0 <0

1

x= 2 Nilai x yang memenuhi dapat digambarkan dengan garis bilangan berikut. 1

1

⇔

p = 2 ata tau up=2 1

2x = 2 atau 2x = 2 ⇔ 2x = 2 ⇔x= 1 ⇔ x = –1 x1 · x2 = –1 · 1 = –1 39. Jawaban: e x 2 (x − 2)(x − 5) ≤0 ( x 2 − 9 )( x + 4 ) Pembuat nol pertidaksamaan tersebut: x 2 (x − 2)(x − 5) =0 ( x 2 − 9 )( x + 4 ) ⇒ x=0 x2 = 0 x–2=0 ⇒ x=2 x–5=0 ⇒ x=5 x2 – 9 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 3) = 0 ⇔ x = –3 atau x = 3 x + 4 = 0 ⇒ x = –4 Batas-batas nilai x: + –3

–

– 0

+ 2

– 3

+ 5

Untuk menentukan tanda, substitusikan x = 1. Dari gambar di atas, himpunan penyelesaiannya adalah: {x | x < –4 atau –3 < x ≤ 2 atau 3 < x ≤ 5}.

Batas-batas nilai x: –2x + 1 = 0 x–1=0 ⇔ 2x = 1 ⇔ x=1

1 2

38. Jawaban: d Misal 2x = p maka 22x + 1 – 5 · 2x + 2 = 0 ⇔ 2p2 – 5p 5p + 2 = 0 ⇔ (2p – 1)(p 1)(p – 2) = 0 ⇔ 2p – 1= 1= 0 atau atau p – 2 = 0

–4

<0

5

nya adalah x < 2 atau x > 4 .

–

−2x + 1 <0 x −1

⇔

⇔

5 4

Dari gambar di atas tampak bahwa penyelesaian-

< 3 diselesaikan dengan:

⇔ x=

1

1 2

37. Jawaban: c x−2 x −1

5 4

1

. . . (2)

40. Jawaban: e Misa Mi salk lkan an:: p = pan panja jang ng  = lebar Keliling = 2(p + )= 180 ⇔ p +  = 90  = 90 – p ⇔ Luas = p ×  ≥ 2.000 ⇔ p × (90 – p) ≥ 2.000 ⇔ 90p – p2 ≥ 2.000 2 ⇔ p – 90p + 2.000 ≤ 0 ⇔ (p – 40)(p – 50) ≤ 0


81

+

–

▲

40

+ ▲

50

Nilai p yang memenuhi 40 ≤ p ≤ 50. Jadi, batas-batas panjang lapangan tersebut tidak kurang dari 40 m dan tidak lebih dari 50 m.

4. Ak Akar ar-a -aka karr persa persama maan an x 2 – 8x + 5 = 0: −(−8) ± (−8)2 − 4 × 1× 5 x1, 2 = 2×1 8 ± 44 8 ± 64 − 20 = = 2 8 ± 2 11 11 2

= B. Ur Urai aian an

1.

72log

8 9

= =

log

x2 = 4 –

log log 72

log 23 log 23

=

8(4 + 11) + (4 − 11)2

=

32 + 8 11 + (16 − 8 11 + 11) + 5

=

64 = 8

9+2 4⋅5 +

=

9 + 2 20 +

=

( 5 + 4) + 2 5 4 +

=

( 5

=

5+

8 + 2 15 15 8 + 2 15 15 (5 + 3) + 2 5 3

+ 4 )2 + ( 5 + 3 )2 4 +

5 +

8x1 − x 22

Jadi, nilai

8 + 2 15 15

3

=a+b 3 +c 5

x

5. 2 +

y+3 3

3 +2 5

+5

8x1 − x 22

–

+5

+ 5 adalah 5.

= 3 (kedua ruas dikali 6)

x y+3 6· 2 +6· 3 =6·3 ⇔ 3x + 2(y+ 2(y+3) 3) = 18 18 ⇔ 3x +2 +2yy + 6 = 18 18 ⇔ 3x + 2y = 12 2x − 1 3

11 dan

11 .

Nilai

=

=2+

11

log 8 − log 9 log (23 × 32 )

9+4 5 +

2.

=4±

Oleh karena x 1 > x2 maka x1 = 4 +

8 9

− log 32 + log 32 3 lo log 2 − 2 lo log 3 = 3 lo log 2 + 2 lo log 3 3a − 2b = 3a + 2b

=

2

4y + 1 13 2x − 1 3

. . . (1)

= 0 (kedua ruas dikalikan 39) 4y + 1 13

2+ 3 +2 5 =a+b 3 +c 5 Dari persamaan yang identik tesebut maka diperoleh: a = 2 , b = 1, dan c = 2. Jadi, nilai 2c(a + 4b – 1)= 2 · 2 (2 + 4 · 1 – 1) = 4(5) = 20.

⇔ 39 ·

3x − 2 x2

Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: 3x + 2y = 12 ×3 9x + 6y = 36 13x – 6y = 8 × 1 13x – 6y = 8 –––––––––––– + 22x 22 x = 44 44 ⇔ x=2

3.

3x − 2 –1 x2 3x − 2 − x 2 x2 x 2 − 3x + 2 x2 (x − 2)(x − 1) x2

≤1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+

+ 0

– 1

≤0 ≤0 ≥0 ≥0

+ 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | x ≤ 1, x ≠ 0 atau x ≥ 2}.

82


– 39 ·

= 39 · 0

⇔ 13(2x – 1) – 3(4y + 1) = 0 ⇔ 26x – 13 – 12y – 3 = 0 ⇔ 26x – 12y = 16 (kedua ruas dibagi 2) ⇔ 13x – 6y = 8 . . . (2)

Substitusi x = 2 ke persamaan 3x + 2y = 12 sehingga diperoleh: 3 · 2 + 2y = 12 ⇔ 6 + 2y = 12 12 ⇔ 2y = 6 ⇔ y=3 Jadi, penyelesaiannya (2, 3).

6. Misalkan:

x = banyak ka kamar titipe I y = banyak kamar tipe II z = banyak kamar tipe III  . . . (i) x + y + z = 60  x + y = 35 . . . (ii)   y + z = 45 . . . (iii) Eliminasi x dari persamaan (i) dan (ii): x + y + z= 60 x + y = 35 35 –––––––––––– – z = 25 Substitusi nilai z = 25 ke persamaan (iii): y + 25 = 45 45 ⇔ y = 20 Substitusi nilai y = 20 dan z = 25 ke persaman (i): x + 20 + 25= 60 ⇔ x + 45 = 60 60 ⇔ x = 15 Jadi, banyak kamar tipe I, II, dan III berturut-turut 15, 20, dan 25 kamar.

7. 2|x – 1|2 – 3|x – 1| + 1 < 0 Misal |x – 1| = p maka persamaan menjadi: 2p2 – 3p + 1 < 0 (2p – 1)(p – 1) < 0 Pembuat nol pertidaksamaan: (2p – 1)(p – 1) = 0 p=

1 2

–

+

Nilai yang memenuhi p ⇒

Oleh karena p = |x – 1| maka

2)

. . . (i) . . . (ii)

Substitusi (i) ke (ii) diperoleh: 3x – 5 = –x2 – 3x + 2 ⇔ x2 + 6x 6x – 7 = 0 ⇔ (x + 7)(x 7)(x – 1) = 0 ⇔ x = –7 –7 atau atau x = 1 Substitusi nilai-nilai x ke (i): untuk x1 = –7 maka y1 = 3 · (–7) – 5 = –26 untuk x2 = 1 maka y2 = 3 · 1 – 5 = –2 Diperoleh titik potong (–7, –26) dan (1, –2). Jadi, terbukti terbukt i bahwa garis 3x – y – 5 = 0 memotong kurva y = –x 2 – 3x + 2 di dua titik yaitu titik (–7, –26) dan (1, –2). 9. f( f(x) x) = –2( –2(xx + 5)2 – 1 ⇔ f(x) = –2(x2 + 10x + 25) – 1 ⇔ f(x) = –2x2 – 20x – 50 – 1 ⇔ f(x) = –2x2 – 20x – 51 a. Dae aera rah h has hasilil fu fung ngsi si

b.

+

1 2

3

0 < x < 2 atau 2 < x < 2.

8. 3x – y – 5 =0 ⇔ y = 3x – 5 2 y = –x – 3x + 2

x

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

f(x)

–19

–9

–3

–1

–3

–9

–19

Koor Ko ordi dina natt ti titi tik k pu punc ncak ak b

D

(– 2a , – 4a )

1

1 2

1

adalah

atau p = 1

Batas-batas nilai p yang memenuhi:

1)

Jadi, dari gambar di atas nilai x yang memenuhi

−20

2

⇒ (– 2(−2) , – (−20)

)

⇒ (–5 , –1) < |x – 1| < 1

1

c.

Gambar grafik Titik bantu dapat dilihat dari tabel a.

|x – 1| > 2

Y

⇔ x–1>

1 2

⇔

3 2

x>

atau x – 1 <

1 –2

atau

1 2

x<

|x – 1| < 1 ⇔ –1 < x – 1 < 1 ⇔ 0 < x < 2 (kedua ruas ditambah 1) Dari penyelesaian (1) dan (2) dapat dibuat garis bilangan: 1 2

3 2

0 0

− 4 ⋅ (−2)( −51) 4 ⋅ ( − 2)

2 1 2

3 2

(–5, –1)

0

X

(–6, –3) (–3, –9)

Grafik tersebut tidak memotong atau menyinggung sumbu X karena D < 0. Grafik menghadap ke bawah karena a < 0.

2


83

10. x2 – 3x + 5 = 0 ⇒ a = 1 , b = –3 , c = 5 b

α + β = –a = – α·β=

c a

−3

α +1

=3

1

2

β +1 2 2

α +1

β2 + 1

= 2

α2 + 1

dan

=

sehingga diperoleh: +

=

5

= 1 =5

2 2

β +1

=

2(β2 + 1) (α 2 + 1)(β2 + 1)

=

2(β2 + 1) + 2(α 2 + 1) (α2 + 1)(β2 + 1)

+

2(α 2 + 1) (α + 1)(β2 + 1)

4

α 2β2 + α2 + β2 + 1 4 2

(αβ)

+ (α + β)2 − 2αβ + 1 4

52 + 32 4 25

−2⋅5 +1

Persamaan kuadrat baru disusun sebagai berikut.

2

x2 – (

2

α

2

+1 2

+

2 2

β +1 4

)x +

2

α

2

+1

×

2 2

β +1

=0

⇔ x2 – 25 x + 25 = 0 (kedua ruas dikali 25) ⇔ 25x2 – 2x 2x + 4 = 0

2β2

+ 2 + 2α2 + 2 = 2 2 2 2 α β +α +β +1

84

2

×

=

Akar-akar persamaan kuadrat baru 2

2 2

=

2(α 2

+ β2 ) + 4 α2β2 + α2 + β2 + 1

=

2((α + β)2 − 2αβ) + 4 (αβ)2 + (α + β)2 − 2αβ + 1

=

2(32 − 2 ⋅ 5) + 4 52 + 32 − 2 ⋅ 5 + 1

2

= 25


01 Kunci Jawaban Dan Pembahasan MAT XA

Recommend Documents