Kunci Jawaban RPP PR MAT 10A PEMINATAN 2014

Setelah mempelajari bab ini, siswa: 1. mampu menjelaskan berbagai konsep fungsi eksponen dan logaritma; 2. mampu mengidentifikasi sifat-sifat grafik fungsi eksponen dan logaritma; 3. mampu menerapkan konsep eksponen dan logaritma dalam menyelesaikan masalah pertumbuhan dan peluruhan. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, siswa: 1. menunjukkan sikap percaya diri dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata; 2. memiliki sikap toleran terhadap proses penyelesaian masalah yang berbeda dan kreatif.

Materi • • •

Grafik Fungsi Eksponen dan Logaritma Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

Pembelajaran Kognitif • • •

Kegiatan Psikomotorik

Sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma. Bentuk persamaan dan pertidaksamaan eksponen. Bentuk persamaan dan pertidaksamaan logaritma.

•

Keterampilan yang Dikuasai

Pengetahuan yang Dikuasai •

Mengidentifikasi sifat-sifat fungsi eksponen dan logaritma. Menentukan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan eksponen. Menentukan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan logaritma.

• •

Menggambar grafik fungsi eksponen dan logaritma.

•

Terampil menggambar berbagai grafik fungsi eksponen dan logaritma.

Kemampuan dan Sikap yang Dimiliki • • • •

2

Mampu mengidentifikasi dan menggambar grafik fungsi eksponen dan logaritma. Mampu menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan eksponen dan logaritma. Menerapkan konsep eksponen dan logaritma dalam menyelesaikan masalah pertumbuhan dan peluruhan. Mampu bersikap toleran dan percaya diri dalam menyelesaikan permasalahan.

Fungsi Eksponen dan Logaritma

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d f(x) = k · 25x – 8 f(2) = 20 ⇔ k · 25(2) – 8 = 20 ⇔ k · 22 = 20 ⇔ 4k = 20 ⇔ k=5 Diperoleh f(x) = 5 · 25x – 8 Nilai f(1) = 5 · 25(1) – 8 = 5 · 2–3 =

=

2. Jawaban: c Untuk setiap x ∈ bilangan real, 3x > 0. 3x > 0 ⇔ (3x)2 > 0 ⇔

32x · > 0 ⇔ 32x – 1 > 0 ⇔ 3 + 32x – 1 > 3 ⇔ y>3 Jadi, daerah hasilnya {y | y > 3, y ∈ R}. 3. Jawaban: e Grafik f(x) merupakan fungsi eksponen monoton turun. Oleh karena pilihan a, b, dan d merupakan fungsi eksponen monoton naik sehingga hanya pilihan c dan e yang memungkinkan benar. Fungsi f(x) melalui titik (0, 6). Selanjutnya cek titik tersebut ke pilihan c dan e. Pilihan c: y = 6 · 21 – x ⇔ 6 = 6 · 21 – 0 ⇔ 6=6·2 ⇔ 6 = 12 (salah) Pilihan e: y = 3 · 21 – x ⇔ 6 = 3 · 21 – 0 ⇔ 6=3·2 ⇔ 6 = 6 (benar) Jadi, bentuk fungsinya adalah y = 3 · 21 – x. 4. Jawaban: b Grafik f(x) merupakan fungsi eksponen monoton naik. Oleh karena pilihan c dan d merupakan fungsi logaritma sehingga hanya pilihan a, b, dan e yang memungkinkan benar. Fungsi f(x) melalui titik (0, 0), (1, 1), dan (2, 4). Cek titik (0, 0) ke pilihan a, b, dan e. Pilihan a: f(x) = 2x – 1 ⇔ 0 = 20 – 1

⇔ 0 = (salah)

Pilihan b: f(x) = 2x – 1 ⇔ 0 = 20 – 1 ⇔ 0=1–1 ⇔ 0 = 0 (benar) Pilihan e: f(x) = 2x – 2 ⇔ 0 = 20 – 2 ⇔ 0=1–2 ⇔ 0 = –1 (salah) Jadi, bentuk fungsinya adalah f(x) = 2x – 1. 5. Jawaban: b Grafik f(x) merupakan fungsi eksponen monoton naik. Hanya pilihan a, b, dan c yang memungkinkan benar. Fungsi f(x) melalui titik (0, –1), (2, 2), dan (3, 6). Cek titik (0, –1) ke pilihan a, b, dan c. Pilihan a: y = 2x – 2 ⇔ –1= 20 – 2 ⇔ –1= 2–2

⇔ –1= (salah) Pilihan b: y = 2x – 2

⇔ –1= 20 – 2 ⇔ –1= 1 – 2 ⇔ –1= –1 (benar)

Pilihan c: y = 2x – 1

⇔ –1= 20 – 1 ⇔ –1= 1 – 1 ⇔ –1= 0 (salah) Jadi, bentuk fungsinya adalah y = 2x – 2. 6. Jawaban: b Grafik tersebut merupakan fungsi eksponen monoton naik. Fungsi yang sesuai adalah f(x) = 2x + 1. Cek beberapa titik. f(–1) = 2–1 + 1 = 20 = 1 f(0) = 20 + 1 = 21 = 2 f(1) = 31 + 1 = 22 = 4 7. Jawaban: c Y

Y y=4·

2x 4

4

0

X

–4

0 –4

y = –4 · 2x

X y = 4 – 4 · 2x y = –4 · 2x

8. Jawaban: d f(x) = 2(3x + 2) = 2 · 3x + 4 Asimtot datar y = 3x adalah y = 0. Asimtot datar y = 2 · 3x + 4 adalah y = 0 + 4 = 4. Jadi, asimtot datar grafik fungsi f(x) adalah y = 4. Matematika Kelas X

3

9. Jawaban: d

f(x) = 32 – x – 4 = 32 · 3–x – 4 = 9 ·   – 4  

1)

Persamaan grafik f(x) mempunyai bilangan pokok

2)

3)

. Oleh karena 0 <

< 1 maka grafik

fungsi f(x) monoton turun. Grafik memotong sumbu Y di titik (0, f(0)). f(0) = 32 – 0 – 4 = 9 – 4 = 5 Jadi, grafik memotong sumbu Y di titik (0, 5).     

9 ·   > 0

>0 ⇔ ⇔9·

    

13. Jawaban: b Grafik fungsi monoton turun dan memotong sumbu X di titik (1, 0). Persamaan grafik fungsinya adalah y = alog x dengan 0 < a < 1. Jika mengambil nilai a=

y = log x ⇔ y= ⇔ y=

−

⇔ y = – 2log x = 2log x–1

⇔ y = 2log

– 4 > –4

10. Jawaban: d Misalkan: Pn = banyak serangga sekarang = 20.000 P0 = banyak serangga 36 hari lalu

Pn = ⇔ 20.000 = ⇔ 20.000 = P0(8) ⇔ P0 = 2.500 Jadi, banyak serangga 36 hari yang lalu ada 2.500 ekor. P0(2)3

12. Jawaban: d f(17) = f(16 + 1) = f(42 + 1) = 2log 4 + 1 = 2 + 1 = 3 f(5) = f(4 + 1) = f(22 + 1) = 2log 2 + 1 = 1 + 1 = 2 Nilai f(17) + f(5) = 3 + 2 = 5.


.

14. Jawaban: e Grafik tersebut merupakan grafik fungsi logaritma f(x) = alog x dengan a > 1. Sifat-sifat grafiknya sebagai berikut. 1) Mempunyai asimtot tegak x = 0. 2) Memotong sumbu X di titik (1, 0). 3) Daerah asal fungsi {x | x > 0, x ∈ R}. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan e. 15. Jawaban: e f(x) = 5log 5x + 1 Beberapa titik yang dilalui. x g(x) =

5log

1

5

–2

–1

0

1

2

–1

0

1

2

3

5x

f(x) = 5log 5x + 1 Y

4 y = f(x) = 5log 5x + 1

3

y = g(x) = 5log 5x

2 1

−

f(0) = log − = log 640 = log 1 = 0 Jadi, titik potong grafik fungsi f(x) terhadap sumbu Y adalah (0, 0).

Jadi, persamaan grafiknya y = 2log

11. Jawaban: b Grafik fungsi f(x) memotong sumbu Y pada saat x = 0.

4

diperoleh hasil berikut.

 

⇔ f(x) > –4 Oleh karena f(x) > –4 maka asimtot datarnya y = –4. 4) Oleh karena grafik fungsi f(x) monoton turun dan asimtot datarnya y = –4 maka untuk nilai x semakin besar, nilai f(x) mendekati –4. Jadi, pernyataan yang benar adalah 2) dan 5).

f(x) = log

–2 –1 0 –1

1

2

3

4

5

6

7

8

X

–2 –3

Dari grafik diperoleh kesimpulan berikut. 1) Grafik f(x) = 5log 5x + 1 diperoleh dengan menggeser g(x) = 5log 5x ke atas 1 satuan. 2) Grafik f(x) = 5log 5x + 1 memotong sumbu X di titik (

, 0).

Grafik f(x) = 5log 5x + 1 tidak memotong sumbu Y. Jadi, pernyataan yang benar pada pilihan e. 3)

Eliminasi b dari (1) dan (2). 2a + b = 1 4a + b = 3 –––––––––– – –2a = –2 ⇔ a=1 Substitusikan a = 1 ke dalam persamaan (1). 2a + b = 1 ⇔ 2(1) + b = 1 ⇔ 2+b=1 ⇔ b = –1

B. Uraian 1. a. Persamaan grafik fungsi

Grafik melalui titik (0, ) dan (1, 3). f(x) = 3ax + b ⇔ f(0) = 30 + b

⇔

= 3b

⇔ ⇔

b.

3–1 = 3b b = –1 f(x) = 3ax – 1 ⇔ f(1) = 3a – 1 ⇔ 3 = 3a – 1 ⇔ 31 = 3a – 1 ⇔ a–1=1 ⇔ a=2 Jadi, persamaan grafik fungsi tersebut adalah f(x) = 32x – 1. f(x) = 32x – 1 f(4) = 38 – 1 = 37 = 2.187 f(3) = 243 Nilai f(4) – f(3) = 2.187 – 243 = 1.944 Jadi, nilai f(4) – f(3) = 1.944.

2. Grafik fungsi f(x) melalui titik (1, 4). f(x) = akx ⇔ f(1) = ak ⇔ 4 = ak Diperoleh fungsi f(x) = akx = 4x. Grafik fungsi f(x) digeser ke atas 2 satuan, maka g(x) = 4x + 2. Nilai g(1) = 41+ 2 = 4 + 2 = 6 g(2) = 42 + 2 = 16 + 2 = 18 Jadi, nilai g(1) + g(2) = 6 + 18 = 24. 3. a.

Persamaan grafik fungsi Grafik fungsi melalui titik (2, 0) dan (4, –1).

f(x) = + f(2) = 0 ⇔

+ = 0

⇔

2a + b = ( )0

⇔

2a + b = 1

⇔ ⇔

. . . (1)

f(x) = b.

− .

Nilai f(25) = Nilai f(9) =

f(25) – f(9) = – =

= = –1 3log 3 = –1 Jadi, nilai f(25) – f(9) = –1. 4. a.

b.

Nilai k f(x) = k · 2log x ⇔ f(4) = –4 ⇔ k · 2log 4 = –4 ⇔ k · 2 = –4 ⇔ k = –2 Jadi, nilai k = –2. Grafik fungsi f(x) = –2 · 2log x. Beberapa titik bantu. x

1

2

4

8

f(x)

4

2

0

–2

–4

–6

Y 5 4 3 2 1

+ = –1

4a + b = ( )–1 4a + b = 3

Jadi, persamaan grafik fungsi tersebut adalah

Sketsa grafik f(x).

f(4) = – 1 ⇔

Diperoleh f(x) = − .

. . . (2)

–1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6

1 2 3 4 5 6 7 8 9

X

f(x) = –2 2log x

Matematika Kelas X

5

5. Grafik f(x) = alog 2x melalui titik (2, –2), maka f(2) = –2. f(2) = alog 4 ⇔ –2 = alog 4 ⇔ a–2 = 4 ⇔

⇔ ⇔

a–2 = ( )–2

a=

Diperoleh persamaan f(x) = . Grafik fungsi f(x) digeser ke kanan 2 satuan, maka

g(x) = − .

a–2 = ( )–1

Jadi, persamaan grafik fungsi g(x) = − .

A. Uraian 1. Jawaban: b

4. Jawaban: d −

−

⇔

⇔

⇔

− −

⇔ ⇔

− − = 26 − −

=

⇔

26

=6

⇔

x = – = –2

2. Jawaban: e + =

⇔ ⇔

=

6

5 – 8x = 6 –8x = 1

−

=

=3

x =–

⇔ ⇔

= 3–3 = .

3. Jawaban: b (5x + 5–x)2 = 52x + 2 · 5x · 5–x + 5–2x = 52x + 2 + 5–2x = 52x + 5–2x + 2 = 34 + 2 = 36 5x + 5–x =

⇔ ⇔

2

( )x

−

−

5. Jawaban: b

x=–

Nilai 81x =

= (0,2)3

⇔

−

−

−

–2x – 4 = 2x – 1 –4x = 3

⇔

(0,2)

= (0,2)3

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah – .

(2–2)x + 2 = 2–2(x + 2) =

= (0,2)3

− − +

⇔

− −

⇔ –2(x + 2) = ⇔ ⇔

− −

⇔(0,2)

–4x + 8 = 18 –4x = 10

⇔

= 0,008

−

= 64

+ − = 6


⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

( )2(x

– 3(

2–

( )2(x

1–x )

3)( )3(1 – x)

2–

3) + 3(1 – x)

=

= ( )–1

= ( )–1

2(x2 – 3) + 3(1 – x) = –1 2x2 – 3x – 2 = 0 (2x + 1)(x – 2) = 0 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0

x = – atau x = 2

Diperoleh x1 = – dan x2 = 2.

Jadi, (x1 – x2)2 = (– – 2)2 = (– )2 = .

6. Jawaban: a Misalkan: h(x) = x – 3 f(x) = 2x – 1 g(x) = x + 1 Penyelesaian persamaan ditentukan dari beberapa kemungkinan berikut. 1) f(x) = g(x) ⇔ 2x – 1 = x + 1 ⇔ 2x – x = 1 + 1 ⇔ x=2 2) h(x) = 1 ⇔ x–3=1 ⇔ x=4 3) h(x) = 0 ⇔ x–3=0 ⇔ x=3 Substitusikan x = 3 ke f(x) dan g(x). f(x) = 2x – 1 = 2(3) – 1 = 5 > 0 g(x) = x + 1 = 3 + 1 = 4 > 0 Oleh karena f(3) dan g(3) positif maka x = 3 merupakan penyelesaian. 4) h(x) = –1 ⇔ x – 3 = –1 ⇔ x=2 Substitusikan x = 2 ke f(x) dan g(x). f(x) = 2x – 1 = 2(2) – 1 = 3 (ganjil) g(x) = x + 1 = 2 + 1 = 3 (ganjil) Oleh karena f(x) dan g(x) keduanya ganjil maka x = 2 merupakan penyelesaian. Jadi, himpunan penyelesaiannya {2, 3, 4}. 7. Jawaban: c 2 (x + 1)x – 16 = 1 2 ⇔ (x + 1)x – 16 = (x + 1)0 Misalkan: h(x) = x + 1, f(x) = x2 – 16, dan g(x) = 0. Penyelesaian persamaan dapat ditentukan dari beberapa kemungkinan berikut. 1) f(x) = g(x) 2 ⇔ x – 16 = 0 ⇔ (x + 4)(x – 4) = 0 ⇔ x + 4 = 0 atau x – 4 = 0 ⇔ x = –4 atau x = 4 2) h(x) = 1 ⇔ x + 1 = 1 ⇔ x =0 3) h(x) = –1 ⇔ x + 1 = –1 ⇔ x = –2 Substitusikan x = –2 ke f(x) dan g(x). f(–2) = 4 – 16 = –12 (genap) g(–2) = 0 (genap) Oleh karena f(–2) dan g(–2) keduanya genap maka x = –2 merupakan penyelesaian. Jadi, nilai x yang bukan penyelesaian x = –1.

8. Jawaban: b 3x + 2 + 9x + 1 – 810 = 0 2 ⇔ 3 · 3x + 9 · 9x – 810 = 0 ⇔ 9 · 3x + 9 · (3x)2 – 810 = 0 ⇔ 3x + (3x)2 – 90 = 0 Misalkan y = 3x, diperoleh persamaan eksponen: y + y2 – 90 = 0 ⇔ y2 + y – 90 = 0 ⇔ (y + 10)(y – 9) = 0 ⇔ y + 10 = 0 atau y – 9 = 0 ⇔ y = –10 atau y=9 Untuk y = –10 ⇔ 3x = –10 (tidak ada nilai x yang memenuhi) Untuk y = 9 ⇔ 3x = 9 ⇔ 3x = 32 ⇔ x=2 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 2. 9. Jawaban: b

83x– 4 > ( )–x + 2 ⇔ (23)3x – 4 > (2–5)–x + 2 ⇔ 23(3x – 4) > 2–5(–x + 2) ⇔ 3(3x – 4) > –5(–x + 2) ⇔ 9x – 12 > 5x – 10 ⇔ 4x > 2

⇔

x>

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | x > }. 10. Jawaban: c

⇔

−

−

≤ 272 – x ≤ (33)2 – x

⇔ 3–2(2x – 1) ≤ 33(2 – x) ⇔ –2(2x – 1) ≤ 3(2 – x) ⇔ –4x + 2 ≤ 6 – 3x ⇔ –4x + 3x ≤ 6 – 2 ⇔ –x ≤ 4 ⇔ x ≥ –4 11. Jawaban: d Grafik fungsi f(x) di atas sumbu X jika f(x) > 0. f(x) > 0 ⇔

+ – 27 > 0

⇔

3–2 ·

⇔

+

− +

– 33 > 0 +

> 33

Matematika Kelas X

7

+

⇔

–2 + (

+

⇔ ⇔ ⇔

Misalkan y = 9x, diperoleh pertidaksamaan: y2 – 10y + 9 > 0 ⇔ (y – 9)(y – 1) > 0 Pembuat nol: y – 9 = 0 atau y – 1= 0 ⇔ y = 9 atau y=1 Penyelesaian:

)>3 >5

2x + 1 > 10 2x > 9

⇔

x> Jadi, grafik fungsi f(x) berada di atas sumbu X pada interval x >

.

12. Jawaban: b 3p + 3p – 1 < 12 ⇔

3p +

13. Jawaban: b

⇔

−

⇔

−

−

− −

≤ 274 – x

2

≤ (33)4 – x

< 1 atau y > 9 < 1 atau 9x > 9 < 90 atau 9x > 91 < 0 atau x > 1

15. Jawaban: d 52x – 6 · 5x + 1 + 125 > 0 ⇔ (5x)2 – 6 · 5 · 5x + 125 > 0 ⇔ (5x)2 – 30 · 5x + 125 > 0 Misalkan y = 5x, diperoleh pertidaksamaan: y2 – 30y + 125 > 0 ⇔ (y – 5)(y – 25) > 0 Pembuat nol: y – 5 = 0 atau y – 25 = 0 ⇔ y = 5 atau y = 25 Penyelesaian:

< 12

⇔ 3 · 3p + 3p < 36 ⇔ 3p(3 + 1) < 36 ⇔ 4 · 3p < 36 ⇔ 3p < 9 ⇔ 3p < 32 ⇔ p<2

9

1

y ⇔ 9x ⇔ 9x ⇔ x

2

25

5

≤ 33(4 –

x2)

⇔

–2( x – 4) ≤ 3(4 – x2)

⇔

–x + 8 ≤ 12 – 3x2

y<5 ⇔ 5x < 5 ⇔ 5x < 51 ⇔ x<1

atau y > 25 atau 5x > 25 atau 5x > 52 atau x > 2

B. Uraian −

⇔

3x2 – x – 4 ≤ 0

1. a.

⇔ –1 ≤ x ≤

x = –1

–1

14. Jawaban: b 92x – 10 · 9x + 9 > 0 ⇔ (9x)2 – 10 · 9x + 9 > 0

8




= 243

⇔ 9n · 9 + 32n · 3 + 45 · 32n – 1 = 243 ⇔ 32n · 9 + 32n · 3 + 15 · 32n = 243 ⇔ 32n(9 + 3 + 15) = 243 ⇔ 32n = 9 ⇔ 32n = 32 ⇔ 2n = 2 ⇔ n=1 Jadi, nilai n = 1.

⇔ (3x – 4)(x + 1) ≤ 0 Pembuat nol: 3x – 4 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = atau Penyelesaian:

9n + 1 + 32n + 1 + 45 ·  

b.

7n + 7n + 1 – 21 · 7n – 1 = 245

⇔ 7n + 7n · 7 – 21 · 7n · = 245 ⇔ 7n + (1 + 7 – 3) = 245 ⇔ 7n = 49 ⇔ 7n = 72 ⇔ n=2 Jadi, nilai n = 2.

c.

⇔ ⇔

52n – 32n = 52n – 1 + 32n – 1 – 52n – 1 = 32n – 1 + 32n

52n

52n –

⇔

⇔

4·

=

+ 32n

· 52n = · 32n

=4·

⇔ 52n – 1 = 32n – 1 Penyelesaian dari 52n – 1 = 32n – 1 adalah 2n – 1 = 0 ⇔

n=

Jadi, nilai n = .    

92x – 4 = 

2. a. ⇔

−

2

(32)2x – 4 = (3–3)x

⇔

–4

3. Misalkan h(x)= 2x – 3 f(x) = x + 1 g(x)= x2 + x – 3 Penyelesaian persamaan ditentukan dari beberapa kemungkinan berikut. a. f(x) = g(x) ⇔ x + 1 = x2 + x – 3 ⇔ x2 – 4 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 2) = 0 ⇔ x – 2 = 0 atau x + 2 = 0 ⇔ x = 2 atau x = –2 b. h(x) = 1 ⇔ 2x – 3 = 1 ⇔ 2x = 4 ⇔ x=2 c. h(x) = 0 ⇔ 2x – 3 = 0 ⇔ 2x = 3 ⇔

2(2x – 4) = –3(x2 – 4)

⇔ 4x – 8 = –3x2 + 12 2 ⇔ 3x + 4x – 20 = 0 ⇔ (3x + 10)(x – 2) = 0 ⇔3x + 10 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔

x=

–

8x + 2 =

⇔

8x + 2 = 8

⇔

8x + 2 = 8

⇔

x+2=

Substitusikan x = ke f(x) dan g(x).

    

, 2}. d.

+

+

+

⇔   

−

= +

− ⋅

=

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

4. a.

−

–2x – 1 = − –2x – 1 = 2x – 4 –4x = –3 x=

− ⋅ − ⋅ −

2–2x – 1 = 2

b.

Jadi, himpunan penyelesaiannya { }.

Oleh karena f(x) dan g(x) positif maka x = merupakan penyelesaian. h(x) = –1 ⇔ 2x – 3 = –1 ⇔ 2x = 2 ⇔ x=1 Substitusikan x = 1 ke f(x) dan g(x). f(x) = x + 1 = 1 + 1 = 2 (genap) g(x) = x2 + x – 3 = 1 + 1 – 3 = –1 (ganjil) Oleh karena f(x) dan g(x) keduanya tidak genap atau ganjil maka x = 1 bukan penyelesaian. Jadi, himpunan penyelesaian {–2, , 2}.

⇔ (2–1)2x + 1 =

+

+

g(x) = x2 + x – 3 = + – 3 = > 0

⇔ 3x + 6 = 2x + 10 ⇔ x=4 Jadi, himpunan penyelesaiannya {4}. c.

f(x) = x + 1 = + 1 = > 0

atau x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya {–

b.

x=

− > 322 – x ⇔ (2–2)2x – 3 > (25)2 – x ⇔ 2–2(2x – 3) > 25(2 – x) ⇔ –2(2x – 3) > 5(2 – x) ⇔ –4x + 6 > 10 – 5x ⇔ –4x + 5x > 10 – 6 ⇔ x>4 Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | x > 4}. 2 3x – 3x – 5 ≤ 3–x – 2 ⇔ x2 – 3x – 5 ≤ –x – 2 ⇔ x2 – 2x – 3 ≤ 0 ⇔ (x – 3)(x + 1) ≤ 0

Matematika Kelas X

9

Pembuat nol: x – 3 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = 3 atau x = –1 Penyelesaian:

x < – atau 0 < x < 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | x < – atau 0 < x < 3}. 5. a.

–1

3

–1 ≤ x ≤ 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | –1 ≤ x ≤ 3}.

         

⇔

+

  >       

+

+

⇔

>

c.

>

⇔

2x3 < 3( x2 + x)

⇔ 2x3 < 5x2 + 3x 3 2 ⇔ 2x – 5x – 3x < 0 ⇔ x(2x2 – 5x – 3) < 0 ⇔ x(2x + 1)(x – 3) < 0 Pembuat nol: x = 0 atau 2x + 1 = 0 atau x – 3 = 0

⇔ x = 0 atau

x = – atau

b.

x=3

3

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c 2log (2x – 5) = 4log 9 2 ⇔ 2log (2x – 5) = 2 log 9 ⇔

2log

⇔

(2x – 5) = 2x – 5 =

⇔ 2x – 5 = 3 ⇔ 2x = 8 ⇔ x=4 Syarat numerus: 2x – 5 > 0 ⇔ 2x > 5 ⇔

x>

Oleh karena x = 4 > maka penyelesaian persamaan tersebut adalah x = 4.

10


⇔ 3x + 2 = · 3–x ⇔ 3x + 2 = 3–2 · 3–x ⇔ 3x + 2 = 3–x – 2 ⇔ x + 2 = –x – 2 ⇔ 2x = –4 ⇔ x = –2 Substitusikan x = –2 ke f(x). f(x) = 3x + 2 = 3–2 + 2 = 30 = 1 Jadi, titik potong f(x) dan g(x) adalah (–2, 1). Fungsi f(x) di atas g(x) Fungsi f(x) berada di atas g(x) pada saat f(x) > g(x). f(x) > g(x) ⇔ 3x + 2 > · 3–x ⇔ 3x + 2 > 3–x – 2 ⇔ x + 2 > –x – 2 ⇔ 2x > –4 ⇔ x > –2 Jadi, f(x) berada di atas g(x) pada interval x > –2.

Penyelesaian:

– 0

Titik potong Fungsi f(x) dan g(x) berpotongan pada saat f(x) = g(x). f(x) = g(x)

2. Jawaban: d

⇔

− = 2

− = 2log 4

− = 4 ⇔ ⇔ x2 – 9 = 16 2 ⇔ x – 25 = 0 ⇔ (x – 5)(x + 5) = 0 ⇔ x – 5 = 0 atau x + 5 = 0 ⇔ x = 5 atau x = –5 Syarat numerus: − > 0 ⇔ x2 – 9 > 0 ⇔ (x – 3)(x + 3) > 0 ⇔ x < –3 atau x > 3 Bentuk xlog 125 mempunyai nilai untuk x > 0. Jadi, xlog 125 = 5log 125 = 5log 53 = 3.

3. Jawaban: d 2log (x2 + 11x + 31) = 5log (x2 + 11x + 31) ⇔ x2 + 11x + 31 = 1 ⇔ x2 + 11x + 30 = 0 ⇔ (x + 5)(x + 6) = 0 ⇔ x + 5 = 0 atau x + 6 = 0 ⇔ x = –5 atau x = –6 Oleh karena x1 > x2 maka x1 = –5 dan x2 = –6. Nilai x1 – x2 = –5 – (–6) = 1. 4. Jawaban: b (3x + 1)log 25 = 4log 5 ⇔

+

=

⇔

+

=

⇔

+

= ⇔ log (3x + 1) = 2 log 4 ⇔ log (3x + 1) = log 42 ⇔ 3x + 1 = 16 ⇔ 3x = 15 ⇔ x=5 Syarat bilangan pokok:

3x + 1 > 0 ⇔ x > –

2)

3x + 1 ≠ 1 ⇔ x ≠ 0

⇔ 2)

x>–

2x + 1 ≠ 2 ⇔ 2x ≠ 0 ⇔ x≠0

Dari kedua persyaratan diperoleh x > – dan x ≠ 0. Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 2. 6. Jawaban: d 2log2 (2x – 2) – 2log (2x – 2) = 2 2 ⇔ log2 (2x – 2) – 2log (2x – 2) – 2 = 0 Misalkan y = 2log (2x – 2), diperoleh persamaan: y2 – y – 2 = 0 ⇔ (y – 2)(y + 1) = 0 ⇔ y – 2 = 0 atau y + 1 = 0 ⇔ y = 2 atau y = –1 Untuk y = 2 ⇔ 2log (2x – 2) = 2 ⇔ 2log (2x – 2) = 2log 4 ⇔ 2x – 2 = 4 ⇔ 2x = 6 ⇔ x=3 2 Untuk y = –1 ⇔ log (2x – 2) = –1

1)

Syarat bilangan pokok: 1) 2x + 1 > 0 ⇔ 2x > –1

⇔ 2log (2x – 2) =

Oleh karena x = 5 > – maka x = 5 merupakan penyelesaian. Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 5.

⇔

5. Jawaban: d 4log

(2x + 1) · (2x + 1)log (x2 + x + 2) =

2x – 2 =

⇔

2x = 2

⇔

x =1

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 3 atau

⇔

4log

(x2 + x + 2) =

⇔

4log

(x2 + x + 2) =

x = 1.

⇔ x2 + x + 2 = ⇔ x2 + x + 2 = 8 ⇔ x2 + x – 6 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 2) = 0 ⇔ x + 3 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = –3 atau x = 2 Syarat numerus: 1) x2 + x + 2 > 0 Untuk setiap x ∈ R memenuhi x2 + x + 2 > 0 2) 2x + 1 > 0 ⇔ 2x > –1 ⇔

7. Jawaban: a ⋅ − −

=6

Misalkan y = xlog 8, diperoleh persamaan: − −

=6

⇔ 5y – 3 = 6(5 – y) ⇔ 5y – 3 = 30 – 6y ⇔ 5y + 6y = 30 + 3 ⇔ 11y = 33 ⇔ y=3 Untuk y = 3 ⇔ xlog 8 = 3 ⇔ x3 = 8 ⇔ x=2 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 2.

x>–

Matematika Kelas X

11

8. Jawaban: d

2log2

(x + 2) + 2log (x + 2)3 = 2log ⇔ 2log2 (x + 2) + 3 · 2log (x + 2) = –2 Misalkan y = 2log (x + 2), diperoleh persamaan: y2 + 3y = –2 2 ⇔ y + 3y + 2 = 0 ⇔ (y + 2)(y + 1) = 0 ⇔ y + 2 = 0 atau y + 1 = 0 ⇔ y = –2 atau y = –1 Untuk y = –2 ⇔ 2log (x + 2) = –2 ⇔

2log

. . . (1) –2

Syarat numerus: 1) x – 2 > 0 ⇔ x > 2 2) x + 1 > 0 ⇔ x > –1 3) x + 4 > 0 ⇔ x > –4

x+2=

. . . (2) 2

⇔

. . . (3)

x =–

–1

Untuk y = –1 ⇔

2log

(x + 2) = –1

⇔

2log

(x + 2) =

. . . (4) –4

⇔

Dari penyelesaian (1), (2), (3), dan (4) diperoleh:

x+2=

⇔

x=–

–4

Nilai x1x2 = – (– ) = .

– –1

–2 –1

2

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x > 2. 11. Jawaban: b

9. Jawaban: d 2log (x – 1)2 ≤ 2 2log (x – 1)2 ≤ 2log 4 ⇔ ⇔ (x – 1)2 ≤ 4 2 ⇔ x – 2x + 1 – 4 ≤ 0 ⇔ x2 – 2x – 3 ≤ 0 ⇔ (x + 1)(x – 3) ≤ 0 ⇔ –1 ≤ x ≤ 3 +

x2 – x – 2 < x2 + 8x + 16 –9x < 18 –x < 2 x > –2

(x + 2) =

⇔

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

+

⇔

+ 2log (3x – 1) < 2log (x + 2)

+ 2log (3x – 1) < 2log (x + 2)

⇔

⇔

. . . (1)

3

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

−

< 2log (x + 2)

−

3x – 1 < 2(x + 2) 3x – 1 < 2x + 4 3x – 2x < 4 + 1 x<5

Syarat numerus: x–1>0⇔x>1

. . . (1) 5

. . . (2) 1

Dari penyelesaian (1) dan (2) diperoleh:

Syarat numerus: 1) 3x – 1 > 0 ⇔ 3x > 1

⇔ x> –1

1

3

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 1 < x ≤ 3. 10. Jawaban: a log (x – 2) + log (x + 1) < 2 log (x + 4) ⇔ log (x – 2)(x + 1) < log (x + 4)2 ⇔ (x – 2)(x + 1) < (x + 4)2

. . . (2)

2)

x+2>0 ⇔ x > –2 . . . (3) –2

12


Dari penyelesaian (1), (2), dan (3) diperoleh:

–2

2)

x+3>0 ⇔ x > –3 . . . (3)

5

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah

–3

< x < 5.

12. Jawaban: d 2log (x + 2) + 2log (x – 2) ≤ 2log 5 2log (x + 2)(x – 2) ≤ 2log 5 ⇔ 2log (x2 – 4) ≤ 2log 5 ⇔ ⇔ x2 – 4 ≤ 5 ⇔ x2 – 9 ≤ 0 ⇔ (x – 3)(x + 3) ≤ 0

3

–3

–5

5

Jadi, penyelesaiannya adalah x ≥ 5. 14. Jawaban: d

(x – 3) + 25log (x + 1) ≤ 25log (x – 3) + 25log (x + 1) ≤ 25log 5 25log (x – 3)(x + 1) ≤ 25log 5 (x – 3)(x + 1) ≤ 5 x2 – 2x – 3 ≤ 5 x2 – 2x – 8 ≤ 0 (x – 4)(x + 2) ≤ 0 25log

. . . (1) –3


3

Syarat numerus: 1) x + 2 > 0 ⇔ x > –2

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

. . . (1) –2

. . . (2) –2

2)

x–2>0 ⇔ x>2

4

Syarat numerus: 1) x–3>0 ⇔ x>3 . . . (2) 3

. . . (3)

2)

2

x+1>0 ⇔ x > –1


. . . (3) –1

Dari penyelesaian (1), (2), dan (3) diperoleh: –3

–2

2

3

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | 2 < x ≤ 3}. 4

Jadi, penyelesaiannya adalah 3 < x ≤ 4. 15. Jawaban: e 2log x – xlog 2 > 0 ⇔

2log

x–

>0

Misalkan y = 2log x diperoleh pertidaksamaan:

>0

⇔

−

>0

⇔

−

>0

–

–

y– . . . (1) –5

3

–1

–2

13. Jawaban: a 2log (x – 3) + 2log (x + 3) ≥ 4 ⇔ 2log (x – 3) + 2log (x + 3) ≥ 2log 16 2log (x – 3)(x + 3) ≥ 2log 16 ⇔ ⇔ (x – 3)(x + 3) ≥ 16 ⇔ x2 – 9 ≥ 16 2 ⇔ x – 25 ≥ 0 ⇔ (x – 5)(x + 5) ≥ 0

5

Syarat numerus: 1) x–3>0 ⇔ x>3 . . . (2)

+ –1

0

+ 1

3

Matematika Kelas X

13

⇔ 2y – 1 = 0 atau y – 2 = 0

⇔ –1 < y < 0 atau y > 1 ⇔ –1 < 2log x < 0 atau 2log x > 1 ⇔ ⇔

2log

⇔

1 2 < log x < 2log 1 atau 2log x > 2log 2 2

1 < x < 1 atau x > 2 2

1

y = 2 atau 1

Untuk y = 2

. . . . (1)

⇔

y=2

4log

1

x= 2

1

1 1 2

⇔ x = 42 ⇔ x=2 Untuk y = 2 ⇔ 4log x = 2 ⇔ x = 42 ⇔ x = 16 Syarat numerus: x>0 Syarat bilangan pokok: x > 0, x ≠ 1 Dari syarat numerus dan bilangan pokok diperoleh syarat x > 0 dan x ≠ 1. Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 2 atau x = 16.

2

Syarat numerus: x > 0 . . . . (2) Syarat bilangan pokok: x > 0, x ≠ 1 . . . . (3) Dari pertidaksamaan (1), (2), dan (3) diperoleh:

0

1 2

1

2

Jadi, nilai x yang memenuhi

1 < x < 1 atau x > 2. 2

B. Uraian (x + 1)log (3x2 + 2x – 1) = 2 1. ⇔ 3x2 + 2x – 1 = (x + 1)2 ⇔ 3x2 + 2x – 1 = x2 + 2x + 1 ⇔ 2x2 – 2 = 0 ⇔ 2(x2 – 1) = 0 ⇔ 2(x – 1)(x + 1) = 0 ⇔ x – 1 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = 1 atau x = –1 Syarat numerus: 3x2 + 2x – 1 > 0 ⇔ (3x – 1)(x + 1) > 0

2. a.

⇔

1

⇔ x < –1 atau x > 3 Syarat bilangan pokok: 1) x + 1 > 0 ⇔ x > –1 2) x + 1 ≠ 1 ⇔ x≠0 Dari syarat numerus dan bilangan pokok 1

diperoleh syarat x > 3 . Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 1. xlog

b. ⇔

5

4 + 4log x = 2 5

1 log x

+ 4log x = 2 Misalkan y = 4log x, diperoleh persamaan: 4

1 y

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

14

5

+y= 2 5

1 + y2 = 2 y 2 + 2y2 = 5y 2 2y – 5y + 2 = 0 (2y – 1)(y – 2) = 0


Nilai p Substitusikan x = 16 ke persamaan. 2log2 xp – (4p + 1) 2log x + 4p = 0 2 ⇔ ( log 16p)2 – (4p + 1) 2log 16 + 4p = 0 ⇔ (4p)2 – (4p + 1) · 4 + 4p = 0 ⇔ 16p2 – 16p – 4 + 4p = 0 ⇔ 16p2 – 12p – 4 = 0 ⇔ 4p2 – 3p – 1 = 0 ⇔ (4p + 1)(p – 1) = 0 ⇔ 4p + 1 = 0 atau p – 1 = 0

b.

1

p = – 4 atau

p=1

Oleh karena p > 0 maka nilai p yang memenuhi adalah p = 1. Penyelesaian yang lain Substitusikan p = 1 ke persamaan. 2log2 xp – (4p + 1) 2log x + 4p = 0 ⇔ 2log2 x – (4 + 1) 2log x + 4(1) = 0 2log2 x – 5 · 2log x + 4 = 0 ⇔ Misalkan y = 2log x, diperoleh persamaan: y2 – 5y + 4 = 0 ⇔ (y – 4)(y – 1) = 0 ⇔ y – 4 = 0 atau y – 1 = 0 ⇔ y = 4 atau y=1 Untuk y = 4 ⇔ 2log x = 4 ⇔ x = 24 ⇔ x = 16 2 Untuk y = 1 ⇔ log x = 1 ⇔ x = 21 ⇔ x=2 Jadi, penyelesaian yang lainnya adalah x = 2.

3. a.

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

2log 2log

(x + 2) + 2log (x – 5) ≤ 3 (x + 2) + 2log (x – 5) ≤ 2log 8 2log (x + 2)(x – 5) ≤ 2log 8 (x + 2)(x – 5) ≤ 8 x2 – 3x – 10 ≤ 8 x2 – 3x – 18 ≤ 0 (x – 6)(x + 3) ≤ 0

Syarat numerus: 1) x + 1 > 0 ⇔ x > –1 . . . (2) –1

2)

x–1>0 ⇔ x>1

. . . (1) –3

6

. . . (3)


1


. . . (2) 2)

x–5>0 ⇔ x>5

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | x > 1}. 4. . . . (3) 5


5

–2

–3

6

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | 5 < x ≤ 6}. b. ⇔

+ –

− ≥

+ –

−

⇔

+ –

− ≥

⇔

+ –

− ≥

+

− ≥

+ − + − + – − + − – − − + − + − + −

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

2

≥ 3log 4–1

⇔

− −

−

≥ 2–1

≥ ≥0

5. f(x) = 1 – 6log (x2 – x – 6) a. Fungsi f terdefinisi apabila syarat numerusnya dipenuhi, yaitu: x2 – x – 6 > 0 ⇔ (x + 2)(x – 3) > 0 ⇔ x < –2 atau x > 3 –2

≥0 ≥0

b.

. . . (1) 1

5

⇔ 2≤y≤5 ⇔ 2 ≤ alog x ≤ 5 ⇔ alog a2 ≤ alog x ≤ alog a5 ⇔ a2 ≤ x ≤ a5 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah a2 ≤ x ≤ a5.

≥0

x ≤ –3 atau x > 1

–3

x + 10 ≤ 7 · alog x Misalkan y = alog x, diperoleh pertidaksamaan: y2 + 10 ≤ 7y ⇔ y2 – 7y + 10 ≤ 0 ⇔ (y – 5)(y – 2) ≤ 0 Pembuat nol: y – 5 = 0 atau y – 2 = 0 ⇔ y = 5 atau y=2 alog2

⇔

1

–1

–3

–2

3

Jadi, daerah asal fungsi f(x) adalah {x | x < –2 atau x > 3}. f(x) ≥ 0 ⇔ 1 – 6log (x2 – x – 6) ≥ 0 6log (x2 – x – 6) ≤ 1 ⇔ 6log (x2 – x – 6) ≤ 6log 6 ⇔ ⇔ x2 – x – 6 ≤ 6 2 ⇔ x – x – 12 ≤ 0 ⇔ (x + 3)(x – 4) ≤ 0 ⇔

–3 ≤ x ≤ 4

Matematika Kelas X

15

Dari penyelesaian (1) dan (2) diperoleh: –3

. . . (1)

4

–3

Syarat numerus: . . . (2)

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: a

Grafik fungsi eksponen melalui titik ( , 1), (2, 2), dan (3, 8). Grafik fungsi yang sesuai adalah y = 22x – 3. Cek beberapa titik.

Titik ( , 1)

5. Jawaban: c Fungsi f(x) memotong sumbu X pada saat y = f(x) = 0. f(x) = 2log (6x – 2) ⇔ 0 = 2log (6x – 2) 2 ⇔ log 1 = 2log (6x – 2) ⇔ 1 = 6x – 2 ⇔ 3 = 6x ⇔

x= Jadi, titik potong fungsi f(x) dengan sumbu X adalah

−

y= = 20 = 1 Titik (2, 2) y = 22(2) – 3 = 21 = 2 Titik (3, 8) y = 22(3) – 3 = 23 = 8

( , 0).

2. Jawaban: d Grafik fungsi memotong sumbu Y pada saat x = 0. 2 f(x) = 6 – 7x – 2x + 1 2 – 2(0) + 1 0 ⇔ f(0) = 6 – 7 = 6 – 71 = 6 – 7 = –1 Jadi, fungsi f(x) memotong sumbu Y di titik (0, –1). 3. Jawaban: a Grafik fungsi eksponen melalui titik (–1, 1) dan (–3, 4). Persamaan grafik fungsi tersebut adalah

y = ( )x + 2. Cek beberapa titik.

Titik (–1, 1) ⇒ y = ( )–1 + 1 = ( )0 = 1 Titik (–3, 4) ⇒ y = ( )–3 + 1 = ( )–2 = 4 4. Jawaban: b 3x > 0 ⇔ 32x > 0 2x ⇔ 3 +1 > 0 2x + 1 – 4 > –4 ⇔ 3 ⇔ f(x) > –4 Jadi, daerah hasil fungsi f(x) > –4.

16

4

Jadi, interval x yang memenuhi f(x) ≥ 0 adalah –3 ≤ x < –2 atau 3 < x ≤ 4. 3

–2

3

–2


6. Jawaban: a Grafik fungsi f(x) = 4log 2x + 1 memotong sumbu X pada saat f(x) = 0. 4log 2x + 1 = 0 4log 2x = –1 ⇔ 4log 2x = 4log 4–1 ⇔

⇔

2x =

⇔

x=

Grafik fungsi f(x) memotong sumbu X di titik ( , 0). Fungsi f(x) = 4log 2x + 1 mempunyai bilangan pokok a = 4. Oleh karena a = 4 > 1 maka grafik f(x) monoton naik. Jadi, grafik yang benar pada pilihan a. 7. Jawaban: b f(x) = 6x + 3 g(x) diperoleh dari pergeseran f(x) ke kanan 4 satuan. g(x) = 6(x – 4) + 3 = 6x – 1 Jadi, fungsi g(x) = 6x – 1. 8. Jawaban: a Misalkan: jumlah bakteri mula-mula = N0 jumlah bakteri setelah 6 detik = Nt

Nt = N0 ·

⇔ 1.728 = N0 ·

Diperoleh x1 = dan x2 = 1.

⇔ 1.728 = N0 · 23 ⇔ 1.728 = N0 · 8 ⇔ N0 = 216 Jadi, banyak bakteri mula-mula ada 216.

12. Jawaban: b

9. Jawaban: e

⇔

=

+

=

+

⇔

⇔

+

=

− −

=

⇔ (31 – x + 1)2 =

−

−

−

⇔

(32 – x)2 =

⇔

32(2 – x) =

⇔

2(2 – x) = –

⇔

4 – 2x = –

⇔

–2x = –4

⇔

x=

Jadi, nilai 8x = = = 27 = 128. 11. Jawaban: c 2

92x

– 6x + 1

= 272x – 4

2(2x2

– 6x + 1)

= 33(2x – 4)

3

⇔

2(2x2 – 6x + 1) = 3(2x – 4)

⇔

4x2 – 12x + 2 = 6x – 12

⇔

4x2 – 18x + 14 = 0

⇔

2x2 – 9x + 7 = 0

⇔

(2x – 7)(x – 1) = 0

⇔ 2x – 7 = 0 atau x – 1 = 0 ⇔

+

+ 2

10. Jawaban: d

⇔

=

⇔ 27 – 2x = 2x + x – 3 ⇔ 7 – 2x = x2 + x – 3 ⇔ x2 + 3x – 10 = 0 ⇔ (x + 5)(x – 2) = 0 ⇔ x + 5 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = –5 atau x = 2

2 ) −

−

x=

(

=

⇔

⇔ 2(x + 2) = –9(1 – x) ⇔ 2x + 4 = –9 + 9x ⇔ –7x = –13 ⇔

−

− −

=

Jadi, nilai x2 – x1 = 1 – = – .

x = atau

x=1

13. Jawaban: c 2 (x + 4)x – 1 = (x + 4)x – 7x + 6 Misalkan h(x) = x + 4 f(x) = x – 1 g(x) = x2 – 7x + 6 Penyelesaian ditentukan dari beberapa kemungkinan berikut. 1) f(x) = g(x) ⇔ x – 1 = x2 – 7x + 6 ⇔ x2 – 8x + 7 = 0 ⇔ (x – 7)(x – 1) = 0 ⇔ x – 7 = 0 atau x – 1= 0 ⇔ x = 7 atau x=1 2) h(x) = 1 ⇔ x + 4= 1 ⇔ x = –3 3) h(x) = 0 ⇔ x + 4= 0 ⇔ x = –4 Substitusikan x = –4 ke f(x) dan g(x). f(x) = x – 1 = –4 – 1 = –5 < 0 g(x) = x2 – 7x + 6 = 16 + 28 + 6 = 50 > 0 Oleh karena f(x) negatif dan g(x) positif maka x = –4 bukan termasuk penyelesaian. 4) h(x) = –1 ⇔ x + 4 = –1 ⇔ x = –5 Substitusikan x = –5 ke f(x) dan g(x). f(x) = x – 1 = –5 – 1 = –6 (genap) g(x) = x2 – 7x + 6 = 25 + 35 + 6 = 66 (genap) Oleh karena f(x) dan g(x) keduanya genap maka x = –5 merupakan penyelesaian. Nilai x yang merupakan penyelesaian adalah –5, –3, 1, dan 7. Jumlah nilai x = –5 – 3 + 1 + 7 = 0. Jadi, jumlah semua nilai x yang memenuhi persamaan adalah 0.

Matematika Kelas X

17

14. Jawaban: c

⇔

· 4x + 1 – 5 · 2x + 2 = 0

· 4 · 22x – 5 · 2x + 2 = 0

⇔ 2(2x)2 – 5 · 2x + 2 = 0 Misalkan y = 2x, diperoleh persamaan: 2y2 – 5y + 2 = 0 ⇔ (2y – 1)(y – 2) = 0 ⇔ 2y – 1 = 0 atau y – 2= 0

⇔

y = atau

Untuk y =

⇔

–

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | x ≤ –

2

5x

2x =

⇔

+ 3x = 30

+ y = 30

⇔ 81 + y2 = 30y 2 ⇔ y – 30y + 81 = 0 ⇔ (y – 27)(y – 3) = 0 ⇔ y – 27 = 0 atau y – 3 = 0 ⇔ y = 27 atau y=3 x Untuk y = 27 ⇔ 3 = 27 ⇔ 3x = 33 ⇔ x=3 Untuk y = 3 ⇔ 3x = 3 ⇔ 3x = 31 ⇔ x=1 3 3 Jadi, nilai x1 + x2 = 33 + 1 3 = 27 + 1 = 28. 16. Jawaban: d

92x – 4 ≥ ( )x

2

–4

– 4) ⇔ 32(2x – 4) ≥ 3 2 ⇔ 2(2x – 4) ≥ –3(x – 4) 2 ⇔ 4x – 8 ≥ –3x + 12 ⇔ 3x2 + 4x – 20 ≥ 0 ⇔ (3x + 10)(x – 2) ≥ 0 Pembuat nol: 3x + 10 = 0 atau x – 2 = 0 –3(x2

18

x=–

> ( )–x – 8

–1

Misalkan y = 3x, diperoleh persamaan:

⇔

–x+5

⇔ 5x – x + 5 > 5–(–x – 8) 2 ⇔ x – x + 5 > –(–x – 8) ⇔ x2 – x + 5 > x + 8 ⇔ x2 – 2x – 3 > 0 ⇔ (x – 3)(x + 1) > 0 Pembuat nol: x – 3 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = 3 atau x = –1

15. Jawaban: d 34 – x + 3x = 30 ⇔

atau x ≥ 2}.

2

⇔ 2x = 2–1 ⇔ x = –1 Untuk y = 2 ⇔ 2x = 2 ⇔ 2x = 21 ⇔ x=1 Jadi, himpunan penyelesaiannya {–1, 1}.

17. Jawaban: a Grafik fungsi f(x) berada di atas grafik fungsi g(x) pada saat f(x) > g(x). f(x) > g(x) ⇔

y=2

2

atau x = 2


3

x < –1 atau x > 3

18. Jawaban: e 22x + 3 – 17 · 2x + 2 ≤ 0 ⇔ 8 · 22x – 17 · 2x + 2 ≤ 0 Misalkan y = 2x, diperoleh persamaan: 8y2 – 17y + 2 ≤ 0 ⇔ (8y – 1)(y – 2) ≤ 0 Pembuat nol: 8y – 1 = 0 atau y – 2 = 0

⇔

y = atau Penyelesaian:

y=2

⇔ ⇔

2

≤y≤2 ≤ 2x ≤ 2

⇔ 2–3 ≤ 2x ≤ 21 ⇔ –3 ≤ x ≤ 1 19. Jawaban: a 5x + 1 + 52 – x ≤ 30 ⇔

5 · 5x +

≤ 30

Misalkan y = 5x, diperoleh persamaan:

5y +

2)

≤ 30

⇔

⇔ + 25 ≤ 30y ⇔ 5y2 – 30y + 25 ≤ 0 ⇔ y2 – 6y + 5 ≤ 0 ⇔ (y – 5)(y – 1) ≤ 0 Pembuat nol: y – 5 = 0 atau y – 1 = 0 ⇔ y = 5 atau y=1 5y2

22. Jawaban: e

⇔

⇔ 1≤y≤5 ⇔ 1 ≤ 5x ≤ 5 ⇔ 50 ≤ 5x ≤ 51 ⇔ 0≤x≤1 20. Jawaban: c

⇔ ⇔

− = 4

− = 2log 16

−

⇔

−

⇔

=4

21. Jawaban: c 2log 2x = 4log (7x + 2)

2log

2x = +

2x = +

⇔

⇔ (2x)2 = 7x + 2 ⇔ 4x2 = 7x + 2 ⇔ 4x2 – 7x – 2 = 0 ⇔ (4x + 1)(x – 2)= 0 Pembuat nol: 4x + 1 = 0 atau x – 2= 0 ⇔

x = – atau x = 2 Syarat numerus: 1) 2x > 0 ⇔ x>0

(2x + 1)log

⇔

= 24

⇔ 2x – 2 = 4 ⇔ 2x = 6 ⇔ x=3 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 3.

⇔

− + = −

23. Jawaban: a alog (3x + 1) · (2x + 1)log a = 2

− = 16

⇔

− + = –1

− + = ⇔ x2 – 4x + 5 = 2 ⇔ x2 – 4x + 3 = 0 ⇔ (x – 3)(x – 1) = 0 ⇔ x – 3 = 0 atau x – 1 = 0 ⇔ x = 3 atau x=1 Syarat numerus: x2 – 4x + 5 > 0 Untuk setiap nilai x ∈ R memenuhi x2 – 4x + 5 > 0. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1, 3}.

5

x>–

Dari persyaratan numerus, nilai x yang memenuhi adalah x = 2.

⇔ 1

7x + 2 > 0 ⇔ 7x > –2

a · alog (3x + 1) = 2

(2x + 1)log

(3x + 1) = 2

⇔

3x + 1 = (2x + 1)2

⇔

3x + 1 = 4x2 + 4x + 1

⇔ ⇔ ⇔

4x2 + x = 0 x(4x + 1) = 0 x = 0 atau 4x + 1 = 0

⇔

x = 0 atau

x=–

Syarat numerus: 3x + 1 > 0 ⇔ 3x > –1 ⇔

x >–

Syarat bilangan pokok: 1) 2x + 1 > 0 ⇔ 2x > –1 ⇔ 2)

x>–

2x + 1 ≠ 1 ⇔ 2x ≠ 0 ⇔ x≠0

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = – .

Matematika Kelas X

19

24. Jawaban: c ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

(3x + 2) =

(4x + 5)log

(3x + 2) =

4log

2

3x + 2 = + (3x + 2)2 = 4x + 5 2 9x + 12x + 4 = 4x + 5 9x2 + 8x – 1 = 0 (9x – 1)(x + 1) = 0 9x – 1 = 0 atau x + 1 = 0

⇔ 2log x = 2 ⇔ 2log x = 21 ⇔ log x = 1 ⇔ x = 101 ⇔ x = 10 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 10 atau x = 100.

x = atau x = –1 Syarat numerus:

3x + 2 > 0 ⇔ x > –

Syarat bilangan pokok: 2)

4x + 5 > 0 ⇔ x > – 4x + 5 ≠ 1 ⇔ x ≠ –1

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = . 25. Jawaban: c 2log2

x – 2log x3 = 4 ⇔ – 3 · 2log x – 4 = 0 2 Misalkan y = log x, diperoleh persamaan: y2 – 3y – 4 = 0 ⇔ (y – 4)(y + 1) = 0 ⇔ y – 4 = 0 atau y + 1 = 0 ⇔ y = 4 atau y = –1 (2log

x)2

⇔ ⇔ ⇔

2log

Untuk y = –1 ⇔ ⇔

2log

Untuk y = 4

x=4 x = 24 x = 16

27. Jawaban: a xlog (x + 2) – 3 xlog 2 + 1 = 0 xlog (x + 2) + xlog x = 3 xlog 2 ⇔ xlog (x + 2)(x) = xlog 23 ⇔ ⇔ (x + 2)(x) = 23 2 ⇔ x + 2x – 8 = 0 ⇔ (x + 4)(x – 2) = 0 ⇔ x + 4 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = –4 atau x=2 Oleh karena x > 0 dan x ≠ 1, nilai x yang memenuhi adalah x = 2. 28. Jawaban: d xlog (x + 3) > xlog 2x ⇔ x + 3 > 2x ⇔ –x > –3 ⇔ x<3 3

x=

. . . . (2) –3

2)

2x > 0 ⇔ x > 0

Diperoleh x1 = 16 dan x2 = .

. . . . (1)


x = –1 x = 2–1

⇔

2log x = 4 2log x = 22 log x = 2 x = 102 x = 100

Untuk y = 2

⇔

1)

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

Untuk y = 4

(4x + 5)log

. . . . (3)

0

Syarat pada soal x > 1

Jadi, nilai x1x2 = 16( ) = 8. 26. Jawaban: e 4log x – 3 · 21 + log x + 8 = 0 log ⇔ (2 x)2 – 3 · 2 · 2log x + 8 = 0 ⇔ (2log x)2 – 6 · 2log x + 8 = 0 Misalkan y = 2log x, diperoleh persamaan: y2 – 6y + 8 = 0 ⇔ (y – 4)(y – 2) = 0 ⇔ y – 4 = 0 atau y – 2 = 0 ⇔ y = 4 atau y=2

20


. . . . (4)

1

Dari penyelesaian (1), (2), (3), dan (4) diperoleh: –3

0

1

3

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 1 < x < 3. 29. Jawaban: c 2log (x2 + x + 4) < 5log 625 2log (x2 + x + 4) < 4 ⇔

⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

Diperoleh f(x) = 7 · 23x

2log

(x2 + x + 4) < 2log 16 x2 + x + 4 < 16 x2 + x – 12 < 0 (x + 4)(x – 3) < 0 –4 < x < 3

–4

= 7 · 21 = 14 f(2) = 7 · 23(2) = 7 · 26 = 7 · 64 = 448

3

Syarat numerus: x2 + x + 4 > 0 Untuk setiap nilai x ∈ R memenuhi x2 + x + 4 > 0. Jadi, nilai x yang memenuhi adalah –4 < x < –3. 30. Jawaban: e 2log (x – 2) + 2log (x + 5) ≤ 3 2log (x – 2)(x + 5) ≤ 2log 23 ⇔ ⇔ (x – 2)(x + 5) ≤ 23 ⇔ x2 + 3x – 10 ≤ 8 ⇔ x2 + 3x – 18 ≤ 0 ⇔ (x + 6)(x – 3) ≤ 0 ⇔ –6 ≤ x ≤ 3 . . . . (1) –6

3

Syarat numerus: 1) x – 2 > 0 ⇔ x > 2 . . . . (2)

Jadi, nilai f( ) + f(2) = 14 + 448 = 462. 2. f(x) = 52x – 1 – 5 f(x) digeser ke atas 4 satuan, diperoleh: g(x) = 4 + f(x) = 4 + 52x – 1 – 5 = 52x – 1 – 1 g(x) digeser ke kiri 2 satuan, diperoleh: h(x) = 52(x + 2) – 1 – 1 = 52x + 4 – 1 – 1 = 52x + 3 – 1 a. Titik potong h(x) terhadap sumbu X Fungsi h(x) memotong sumbu X pada saat y = h(x) = 0. ⇔ h(x) = 0 ⇔ 52x + 3 – 1 = 0 ⇔ 52x + 3 = 1 ⇔ 52x + 3 = 50 ⇔ 2x + 3 = 0 ⇔ 2x = –3

x + 5 > 0 ⇔ x > –5

. . . . (3)

b.


2 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | 2 < x ≤ 3}. B. Uraian 1. f(x) = k · 2bx f(x) melalui titik (0, 7) f(x) = k · 2bx ⇔ f(0) = k · 2b · 0 ⇔ 7 = k · 20 ⇔ y=k·1 ⇔ k=7 Diperoleh f(x) = 7 · 2bx f(x) melalui titik (1, 56) f(x) = 7 · 2bx ⇔ f(1) = 7 · 2b ⇔ 56 = 7 · 2b ⇔ 2b = 8 ⇔ b=3

x=–

Jadi, titik potongnya ( – , 0).

–5

–6 –5

⇔

2

2)

f( ) = 7 ·

3. a.

b.

Titik potong h(x) terhadap sumbu Y Fungsi h(x) memotong sumbu Y pada saat x = 0. h(x) = 52x + 3 ⇔ h(0) = 52 · 0 + 3 – 1 = 53 – 1 = 125 – 1 = 124 Jadi, titik potongnya (0, 124). 2

2

5x – 2x + 1 = 6x – 2x + 1 ⇔ x2 – 2x + 1 = 0 ⇔ (x – 1)2 = 0 ⇔ x–1=0 ⇔ x=1 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 1. 16x + 1 – 24 · 4x + 8 = 0 ⇔ 16 · 16x – 24 · 4x + 8 = 0 ⇔ 16 · (4x)2 – 24 · 4x + 8 = 0 Misalkan y = 4x, diperoleh persamaan: 16y2 – 24y + 8 = 0 ⇔ 2y2 – 3y + 1 = 0 ⇔ (2y – 1)(y – 1) = 0

Matematika Kelas X

21

⇔ 2y – 1 = 0 atau y – 1= 0 ⇔

y=

Untuk y =

atau

y=1

⇒

4x = ⇔ 22x = 2–1 ⇔ 2x = –1 ⇔

Untuk y = 1

Pembuat nol: x + 4 = 0 atau x – 1 = 0 ⇔ x = –4 atau x=1

⇒ ⇔ ⇔

x=

–4

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x < –4 atau x > 1.

–

⇔ ( )2(2x) > 32(6x + 7) ⇔ 32x > 32(6x + 7) ⇔ 2x > 12x + 14 ⇔ –10x > 14

4. Misalkan: h(x) = x + 1 f(x) = x2 – 4 g(x) = 2 – x Penyelesaian ditentukan dari beberapa kemungkinan berikut. a. f(x) = g(x) ⇔ x2 – 4 = 2 – x ⇔ x2 + x – 6 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 2) = 0 ⇔ x + 3 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = –3 atau x=2 b. h(x) = 1 ⇔ x+1=1 ⇔ x=0 c. h(x) = 0 ⇔ x+1=0 ⇔ x = –1 Substitusikan x = –1 ke f(x) dan g(x). f(x) = x2 – 4 = (–1)2 – 4 = –3 < 0 g(x) = 2 – x = 2 – (–1) = 3 > 0 Oleh karena f(x) < 0 dan g(x) > 0 maka x = –1 bukan termasuk penyelesaian. d. h(x) = –1 ⇔ x + 1 = –1 ⇔ x = –2 Substitusikan x = 2 ke f(x) dan g(x). f(x) = x2 – 4 = 4 – 4 = 0 (genap) g(x) = 2 – x = 2 + 2 = 4 (genap) Oleh karena f(x) dan g(x) keduanya genap maka x = –2 termasuk penyelesaian. Jadi, himpunan penyelesaiannya {–3, –2, 0, 2}.

2

( )x

+ 4x + 1

( )4x > 96x + 7

b.

4x = 1 4x = 40 x=0

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = – atau x = 0.

5. a.

⇔

x<–

Jadi, nilai x yang memenuhi x < – . 6. a.

2

4x

–x–2

2

· 2x

– 5x + 4

⇔

x = atau

x=1

1

Jadi, himpunan penyelesaiannya

b.

{x | 1 < x < }. 32x + 3 – 10 · 3x + 1 + 3 < 0 ⇔ 27 · 32x – 30 · 3x + 3 < 0 Misalkan y = 3x, diperoleh pertidaksamaan: 27y2 – 30y + 3 < 0 ⇔ 9y2 – 10y + 1 < 0 ⇔ (9y – 1)(y – 1) < 0 Pembuat nol: 9y – 1 = 0 atau y – 1 = 0

⇔

y = atau

< ( )x + 5

⇔ + 4x + 1 > x + 5 ⇔ x2 + 3x – 4 > 0 ⇔ (x + 4)(x – 1) > 0


< 2 2 ⇔ 22x – 2x – 4 · 2x – 5x + 4 < 2–4 2 ⇔ 23x – 7x < 2–4 2 ⇔ 3x – 7x < –4 ⇔ 3x2 – 7x + 4 < 0 ⇔ (3x – 4)(x – 1) < 0 Pembuat nol: 3x – 4 = 0 atau x – 1 = 0

x2

22

1

⇔

1

y =1

⇔

< 3x < 1

c.

b.

8. a.

Titik potong Fungsi (x) dan g(x) akan berpotongan pada saat f(x) = g(x). f(x) = g(x) ⇔ 3log 3x = 3log (x + 2) ⇔ 3x = x + 2 ⇔ 2x = 2 ⇔ x=1 Syarat numerus: 1) 3x > 0 ⇔x>0 2) x + 2 > 0 ⇔ x > –2 Substitusikan nilai x = 1 ke f(x) atau g(x). f(x) = 3log 3x = 3log 3 = 1 Jadi, koordinat titik potong f(x) dan g(x) adalah (1, 1). Interval x Fungsi f(x) berada di bawah fungsi g(x) pada saat f(x) < g(x). f(x) < g(x) ⇔ 3log 3x < 3log (x + 2) ⇔ 3x < x + 2 ⇔ 2x < 2 ⇔ x<1 Jadi, fungsi f(x) berada di atas fungsi g(x) pada saat 0 < x < 1.

9. a.

+ < −

⇔ ⇔

x + 1 > 3x – 2 –2x > –3

⇔

x<

. . . (1)

Syarat numerus: 1) x + 1 > 0 ⇔ x > –1 . . . (2) –1

3log

(2x – 1) = 2 ⇔ 3log (2x – 1) = 3log 9 ⇔ 2x – 1 = 9 ⇔ 2x = 10 ⇔ x=5 Syarat numerus: 2x – 1 > 0 ⇔ 2x > 1 ⇔

b.

7 = 2x + 6log 7 ⇔ – 9 = 2x + 6 ⇔ x2 – 2x – 15 = 0 ⇔ (x – 5)(x + 3) = 0 ⇔ x – 5 = 0 atau x + 3 = 0 ⇔ x = 5 atau x = –3 Syarat bilangan pokok: 1) x2 – 9 > 0 ⇔ (x – 3)(x + 3) > 0 ⇔ x < –3 atau x > 3 2) 2x + 6 > 0 ⇔ 2x > –6 ⇔ x > –3 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 5. x2

⇔ 3–2 < 3x < 30 ⇔ –2 < x < 0 Jadi, himpunan penyelesaiannya {x | –2 < x < 0}. 7. a.

x2 – 9log

2)

⇔

x>

. . . (3)

x> Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 5. 2log (x2 – 4) = 2log 3x ⇔ x2 – 4 = 3x 2 ⇔ x – 3x – 4 = 0 ⇔ (x – 4)(x + 1) = 0 ⇔ x – 4 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = 4 atau x = –1 Syarat numerus: 1) x2 – 4 > 0 ⇔ (x – 2)(x + 2) > 0 ⇔ x < –2 atau x > 2 2) 3x > 0 ⇔ x>0 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 4.

3x – 2 > 0 ⇔ 3x > 2


–1

b.

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah < x < . 5log (2x2 + 5x – 3) ≥ 5log (x2 + 2x – 3) ⇔ 2x2 + 5x – 3 ≥ x2 + 2x – 3 ⇔ x2 + 3x ≥ 0 ⇔ x(x + 3) ≥ 0 . . . (1) –3

0

Matematika Kelas X

23

Syarat numerus: 1) 2x2 + 5x – 3 > 0 ⇔ (2x – 1)(x + 3)> 0

. . . (4) 1


. . . (2)

–3

2)

x2 + 2x – 3 > 0 ⇔ (x + 3)(x – 1) > 0

1

1


0

–3

1

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x < –3 atau x > 1. 10. a.

Untuk bilangan pokok (2x – 1) > 1 (2x – 1)log (3x – 2) ≥ (2x – 1)log (x2 – 4x + 4) ⇔ 3x – 2 ≥ x2 – 4x + 4 ⇔ 0 ≥ x 2 – 7x + 6 ⇔ x2 – 7x + 6 ≤ 0 ⇔ (x – 6)(x – 1) ≤ 0 ⇔ 1≤x≤6 . . . (1) 1

6

x>

Untuk bilangan pokok 0 < (2x – 1) < 1. (2x – 1)log (3x – 2) ≥ (2x – 1)log (x2 – 4x + 4) ⇔ 3x – 2 ≤ x2 – 4x + 4 ⇔ x2 – 7x + 6 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 atau x ≥ 6 . . . (6) 1

6

Syarat bilangan pokok: 0 < 2x – 1 < 1 ⇔ 1 < 2x < 2

⇔

1

. . . (8)

1

2

Nilai x yang memenuhi < x < 1. . . . (2)

2)

b.

Dari penyelesaian (2), (3), dan (7), diperoleh:

Syarat numerus: 1) 3x – 2 > 0 ⇔ 3x > 2 ⇔

6

Nilai x yang memenuhi 1 < x ≤ 6, x ≠ 2.

. . . (3) –3

. . . (5) 2

x2 – 4x + 4 > 0 ⇔ (x – 2)(x – 2) > 2

Berdasarkan penyelesaian (5) dan (8), diperoleh:

1

2

6

. . . (3) 2

Syarat bilangan pokok: 2x – 1 > 1 ⇔ 2x > 2 ⇔ x>1

24


Jadi, nilai x yang memenuhi adalah < x ≤ 6, x ≠ 1, x ≠ 2.

Setelah mempelajari bab ini, siswa: 1. mampu menerapkan konsep sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dan memilih metode yang efektif untuk menentukan himpunan penyelesaiannya; 2. mampu menganalisis nilai diskriminan dan menggambarkan kurva persamaan linear dan kuadrat dua variabel serta menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan yang diberikan; 3. mampu menerapkan dan menyajikan hasil pemecahan masalah nyata sebagai terapan konsep dan aturan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel; 4. mampu memanfaatkan informasi dari suatu permasalahan nyata, memilih variabel dan membuat model matematika berupa sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dan menginterpretasikan hasil penyelesaian sistem tersebut. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, siswa menunjukkan sikap senang, motivasi internal, kritis, bekerja sama, jujur, dan percaya diri dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata.

Materi • • • • • •

Persamaan Linear Persamaan Kuadrat Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel Sistem Persamaan Kuadrat Dua Variabel Grafik Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat serta Sistem Persamaan Kuadrat Dua Variabel Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat serta Sistem Persamaan Kuadrat Dua Variabel

Kegiatan Psikomotorik

Pembelajaran Kognitif •

Memahami sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel. Menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel.

•

• •

Keterampilan yang Dikuasai

Pengetahuan yang Dikuasai •

Memahami, menerapkan, dan menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat. Menganalisis hubungan nilai diskriminan dan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat.

•

Menggambar grafik sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. Menggambar grafik sistem persamaan kuadrat dua variabel.

• •

•

Terampil menggambar grafik sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel. Terampil menerapkan sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat untuk menyelesaikan permasalahan sehari-hari. Terampil memanfaatkan informasi untuk membuat model matematika berupa sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat.

Kemampuan dan Sikap yang Dimiliki • • • • •

Menerapkan konsep sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dan memilih metode yang efektif untuk menentukan himpunan penyelesaiannya. Menganalisis nilai diskriminan dan menggambarkan kurva persamaan linear dan kuadrat dua variabel serta menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan yang diberikan. Menerapkan dan menyajikan hasil pemecahan masalah nyata sebagai terapan konsep dan aturan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. Memanfaatkan informasi dari suatu permasalahan nyata, memilih variabel dan membuat model matematika berupa sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dan menginterpretasikan hasil penyelesaian sistem tersebut. Berperilaku kritis, bekerja sama, jujur, dan percaya diri dalam menyelesaikan permasalahan nyata.

Kimia Kelas X

25

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: a Diketahui sistem persamaan y = 2x + 5 dan y = x2 + 3x + 3. Substitusikan persamaan y = 2x + 5 ke dalam persamaan y = x2 + 3x + 3. y = x2 + 3x + 3 ⇔ 2x + 5 = x2 + 3x + 3 2 ⇔ x +x–2=0 ⇔ (x + 2)(x – 1) = 0 ⇔ x + 2 = 0 atau x – 1 = 0 ⇔ x = –2 atau x = 1 Substitusikan x = –2 dan x = 1 ke dalam persamaan y = 2x + 5. y = 2x + 5 = 2 × (–2) + 5 = 1 y = 2x + 5 =2×1+5=7 Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut (–2, 1) dan (1, 7). 2. Jawaban: c Diketahui sistem persamaan y = 2x2 + x + 4 dan y = x2 – 4x – 2. Substitusikan persamaan y = 2x2 + x + 4 ke dalam y = x2 – 4x – 2. y = x2 – 4x – 2 2 ⇔ 2x + x + 4 = x2 – 4x – 2 ⇔ x2 + 5x + 6 = 0 ⇔ (x + 2)(x + 3) = 0 ⇔ x + 2 = 0 atau x + 3 = 0 ⇔ x = –2 atau x = –3 Substitusikan x = –2 dan x = –3 ke dalam persamaan y = x2 – 4x – 2. y = x2 – 4x – 2 = (–2)2 – 4 × (–2) – 2 = 10 y = x2 – 4x – 2 = (–3)2 – 4 × (–3) – 2 = 19 Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut (–2, 10) dan (–3, 19). 3. Jawaban: e (a, –7) adalah penyelesaian dari sistem persamaan y = 2x – 5 dan y = x2 + ax – 9 sehingga diperoleh: y = x2 + ax – 9 ⇔ –7 = a2 + a2 – 9 ⇔ 2 = 2a2 ⇔ a2 = 1 ⇔ a = –1 (karena a bilangan negatif) Diperoleh sistem persamaan y = 2x – 5 dan y = x2 – x – 9

26

Substitusikan persamaan y = 2x – 5 ke y = x2 – x – 9. y = x2 – x – 9 ⇔ 2x – 5 = x2 – x – 9 2 ⇔ x – 3x – 4 = 0 ⇔ (x – 4)(x + 1) = 0 ⇔ x – 4 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = 4 atau x = –1 Substitusikan x = 4 ke dalam persamaan y = 2x – 5. y = 2x – 5 =2×4–5=3 Jadi, penyelesaian yang lain dari sistem persamaan tersebut adalah (4, 3). 4. Jawaban: a y = x2 + 2x + k ⇔ 4x + 1 = x2 + 2x + k ⇔ x2 – 2x + k – 1 = 0 Sistem persamaan mempunyai dua penyelesaian jika D > 0. D>0 ⇔ b2 – 4ac > 0 ⇔ (–2)2 – 4 × 1 × (k – 1) > 0 ⇔ 4 – 4k + 4 > 0 ⇔ –4k > –8 ⇔ k<2 Jadi, nilai k adalah {k | k < 2}. 5. Jawaban: c y = px – 2 . . . (1) y = x2 + x – 2 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). px – 2 = x2 + x – 2 2 ⇔ x + x – px = 0 ⇔ x2 + (1 – p)x = 0 Garis menyinggung kurva jika D = 0. (1 – p)2 – 4 × 1 × 0 = 0 ⇔ (1 – p)2 = 0 ⇔ p =1 Jadi, nilai p = 1. 6. Jawaban: b x2 + bx + 1 = –2x – 3 2 ⇔ x + (b + 2)x + 4 = 0 Sistem persamaan mempunyai dua penyelesaian jika D > 0. D>0 ⇔ b2 – 4ac > 0 2 ⇔ (b + 2) – 4 × 1 × 4 > 0 ⇔ b2 + 4b + 4 – 16 > 0 ⇔ b2 + 4b – 12 > 0 ⇔ (b – 2)(b + 6) > 0

Hakikat dan Peran Kimia dalam Kehidupan, Metode Ilmiah, serta Keselamatan Kerja di Laboratorium

Pembuat nol: b – 2 = 0 atau b + 6 = 0 ⇔ b=2 atau b = –6 +++

––– –6

+++ 2

Jadi, nilai b yang memenuhi adalah {b | b < –6 atau b > 2}. 7. Jawaban: c Diketahui sistem persamaan y = 2x2 + 5x + 8 dan y = x2 – 5x – 17. Penyelesaiannya sebagai berikut. Substitusikan y = 2x2 + 5x + 8 ke y = x2 – 5x – 17. y = 2x2 + 5x + 8 ⇔ x2 – 5x – 17 = 2x2 + 5x + 8 ⇔ x2 + 10x + 25 = 0 ⇔ (x + 5)2 = 0 ⇔ x+5=0 ⇔ x = –5 Substitusikan x = –5 ke dalam persamaan y = x2 – 5x – 17. y = x2 – 5x – 17 = (–5)2 – 5(–5) – 17 = 25 + 25 – 17 = 33 Diperoleh m = x = –5 dan 3n = y = 33.

2m – n = 2 × (–5) – = –21. Jadi, nilai 2m – n = –21. 8. Jawaban: e Diketahui sistem persamaan y = 2x2 – 3x + 6 dan y = x2 + 5x – 6. Penyelesaiannya sebagai berikut. Substitusikan y = 2x2 – 3x + 6 ke y = x2 + 5x – 6. y = x2 + 5x – 6 2 ⇔ 2x – 3x + 6 = x2 + 5x – 6 ⇔ x2 – 8x + 12 = 0 ⇔ (x – 2)(x – 6) = 0 ⇔ x – 2 = 0 atau x – 6 = 0 ⇔ x = 2 atau x = 6 Substitusikan x = 2 dan x = 6 ke dalam persamaan y = x2 + 5x – 6. y = 22 + 5 × 2 – 6 =8 y = 62 + 5 × 6 – 6 = 60 Jumlah ordinat = 8 + 60 = 68. 9. Jawaban: d Misalkan: x = bilangan pertama y = bilangan kedua Selisih kedua bilangan = 5 sehingga diperoleh x – y = 5 atau x = y + 5 . . . (1) Hasil kali kedua bilangan = 24 sehingga diperoleh xy = 24 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2).

xy = 24 ⇔ (y + 5)y = 24 ⇔ y2 + 5y = 24 2 ⇔ y + 5y – 24 = 0 ⇔ (y – 3)(y + 8) = 0 ⇔ y – 3 = 0 atau y + 8 = 0 ⇔ y = 3 atau y = –8 Untuk y = –8 → x = –3 Untuk y = 3 → x = 8 Untuk x = –3 dan y = –8 diperoleh x + y = –11 Untuk x = 8 dan y = 3 diperoleh x + y = 11 Jadi, hasil penjumlahan bilangan-bilangan tersebut adalah –11 atau 11. 10. Jawaban: b Misalkan: a = panjang alas segitiga t = tinggi segitiga Panjang alas 6 cm lebih dari tingginya sehingga diperoleh a = t + 6.

Luas segitiga = a × t

⇔

108 = (t + 6)t ⇔ 216 = t2 + 6t 2 ⇔ t + 6t – 216 = 0 ⇔ (t + 18)(t – 12) = 0 ⇔ t + 18 = 0 atau t – 12 = 0 ⇔ t = –18 atau t = 12 Diambil t = 12 karena tinggi segitiga berupa bilangan positif. t = 12 cm → a = 12 + 6 = 18 cm Jadi, tinggi dan panjang alas segitiga tersebut berturut-turut 12 cm dan 18 cm. B. Uraian 1. Substitusikan y = 2x + 1 ke y = 2x2 + 3x – 2. y = 2x2 + 3x – 2 ⇔ 2x + 1 = 2x2 + 3x – 2 2 ⇔ 2x + x – 3 = 0 ⇔ (2x + 3)(x – 1) = 0 ⇔ 2x + 3 = 0 atau x – 1 = 0 ⇔

x = – atau x = 1

Substitusikan x = – ke dalam persamaan y = 2x + 1.

y = 2x + 1 = 2 × – + 1 = –2

Diperoleh titik potong (– , –2). Substitusikan x = 1 ke dalam persamaan y = 2x + 1. y = 2x + 1 = 2 × 1 + 1 = 3 Diperoleh titik potong (1, 3). Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut

adalah (– , –2) dan (1, 3).

Kimia Kelas X

27

2. a.

b.

2x – 3 = x2 + 6x – k ⇔ x2 + 4x + 3 – k = 0 Sistem persamaan mempunyai dua penyelesaian jika D > 0. D>0 ⇔ b2 – 4ac > 0 ⇔ 42 – 4 × 1 × (3 – k) > 0 ⇔ 16 – 12 + 4k > 0 ⇔ 4k > –4 ⇔ k > –1 Jadi, nilai k yang memenuhi adalah {k | k > –1}. 3x + 1 = 2x2 + (k + 2)x + 3 ⇔ 2x2 + kx + 2x + 3 = 3x + 1 ⇔ 2x2 + kx – x + 2 = 0 ⇔ 2x2 + (k – 1)x + 2 = 0 Sistem persamaan mempunyai dua penyelesaian jika D > 0. D>0 ⇔ b2 – 4ac > 0 ⇔ (k – 1)2 – 4 × 2 × 2 > 0 ⇔ k2 – 2k + 1 – 16 > 0 ⇔ k2 – 2k – 15 > 0 ⇔ (k + 3)(k – 5) > 0 Pembuat nol: (k + 3)(k – 5) = 0 ⇔ k + 3 = 0 atau k – 5 = 0 ⇔ k = –3 atau k=5

Jadi, nilai k yang memenuhi adalah {k | k < –3 atau k > 5}. 3.

y = 2x2 + 3x – 18 ⇔ + 4x + 12 = 2x2 + 3x – 18 2 ⇔ x – x – 30 = 0 ⇔ (x – 6)(x + 5) = 0 ⇔ x – 6 = 0 atau x + 5 = 0 ⇔ x = 6 atau x = –5 x = –5 ⇔ y = x 2 + 4x + 12 = (–5)2 + 4 × (–5) + 12 = 25 – 20 + 12 = 17 x = 6 ⇔ y = x 2 + 4x + 12 = 62 + 4 × 6 + 12 = 36 + 24 + 12 = 72 Jadi, penyelesaiannya adalah (–5, 17) dan (6, 72). x2

28

4. Misalkan a = usia Audi b = usia Bima a>b a – b = 3 ⇔ a = b + 3 . . . (1) ab = 180 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). ab = 180 ⇔ (b + 3) b = 180 ⇔ b2 + 3b = 180 2 ⇔ b + 3b – 180 = 0 ⇔ (b + 15)(b – 12) = 0 ⇔ b = –15 atau b = 12 Diambil b = 12 karena usia selalu berupa bilangan positif. a =b+3 = 12 + 3 = 15 Jadi, usia Audi 15 tahun. 5. Misalkan: p = panjang balok = 8 cm = lebar balok t = tinggi balok Lebar balok 2 cm lebih dari tinggi balok sehingga =2+t . . . (1) Luas permukaan balok= 158 ⇔ 2(p + pt + t) = 158 ⇔ 8 + 8t + t = 79 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). 8 + 8t + t = 79 ⇔ 8(2 + t) + 8t + (2 + t)t = 79 ⇔ 16 + 8t + 8t + 2t + t2 = 79 ⇔ t2 + 18t – 63 = 0 ⇔ (t + 21)(t – 3) = 0 ⇔ t + 21 = 0 atau t – 3 = 0 ⇔ t = –21 atau t=3 Oleh karena tinggi balok selalu bernilai positif maka diambil t = 3 cm. Substitusikan nilai t = 3 ke dalam persamaan (1). = 2 + t = 2 + 3 = 5 cm Volume balok = p t =8×5×3 = 120 cm3 Jadi, volume balok 120 cm3.


A.

Pilihan Ganda

1. Jawaban: e y = (2x – 1)2 = 4x2 – 4x + 1 Substitusikan y = 4x2 – 4x + 1 ke y = 3x + 5. y = 3x + 5 ⇔ 4x2 – 4x + 1 = 3x + 5 ⇔ 4x2 – 7x – 4 = 0 D = b2 – 4ac = (–7)2 – 4 × 4 × (–4) = 49 + 64 = 113 Jadi, diskriminan sistem persamaan tersebut adalah 113. 2. Jawaban: b y = ax2 + 3x + 6 ⇔ 2x – 1 = ax2 + 3x + 6 2 ⇔ ax + x + 7 = 0 D = b2 – 4ac ⇔ –27 = 12 – 4 × a × 7 ⇔ –27 = 1 – 28a ⇔ –28 = –28a ⇔ a=1 ⇔ a+1=2 Jadi, nilai a + 1 = 2. 3. Jawaban: d Sistem persamaan linear dan kuadrat memuat persamaan linear dan persamaan kuadrat. Sistem persamaan yang sesuai ditunjukkan oleh pilihan d. 4. Jawaban: e y = x2 – 2x + 4 ⇔ 4x – 5 = x2 – 2x + 4 ⇔ x2 – 6x + 9 = 0 ⇔ (x – 3)2 = 0 ⇔ x–3=0 ⇔ x=3 x = 3 ⇔ y = 4x – 5 = 12 – 5 = 7 Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah (3, 7). 5. Jawaban: d . . . (1) x2 – x – y = 6 ⇔ y = x2 – x – 6 y–x=2 ⇔ y=x+2 . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). x + 2 = x2 – x – 6 ⇔ x2 – 2x – 8 = 0 ⇔ (x – 4)(x + 2) = 0 ⇔ x = 4 atau x = –2 Substitusikan nilai x = 4 dan x = –2 ke dalam persamaan (2).

Untuk x = 4 ⇒ y = 4 + 2 = 6. Diperoleh titik potong (4, 6). Untuk x = –2 ⇒ y = –2 + 2 = 0. Diperoleh titik potong (–2, 0). Jadi, nilai (x, y) yang memenuhi adalah (4, 6) atau (–2, 0). 6. Jawaban: b y + 2x = 7 ⇔ y = –2x + 7 ⇔ x2 – 4x – 8 = –2x + 7 ⇔ x2 – 2x – 15 = 0 ⇔ (x – 5)(x + 3) = 0 ⇔ x = 5 atau x = –3 Diambil x = a = –3 karena a < 0. y = –2x + 7 = –2 × (–3) + 7 = 13 Diperoleh b = y = 13. a + b = –3 + 13 = 10 Jadi, nilai a + b = 10. 7. Jawaban: b Substitusikan (b, b) ke dalam persamaan y = –x + 4. y = –x + 4 ⇔ b = –b + 4 ⇔ 2b = 4 ⇔ b=2 Diperoleh sistem persamaan y = x2 + 2x – 6 dan y = –x + 4. y = x2 + 2x – 6 ⇔ –x + 4 = x2 + 2x – 6 2 ⇔ x + 3x – 10 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 5) = 0 ⇔ x = 2 atau x = –5 Untuk x = –5 ⇒ y = –x + 4 =5+4 =9 Jadi, penyelesaian yang lain adalah (–5, 9). 8. Jawaban: b Persamaan-persamaan dalam sistem tersebut sebagai berikut. 2y = 4x + 18 ⇔ y = 2x + 9 . . . (1) y = 2x2 + 3x + 6 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). 2x + 9 = 2x2 + 3x + 6 ⇔ 2x2 + x – 3 = 0 ⇔ (2x + 3)(x – 1) = 0 ⇔

x = – atau x = 1

Kimia Kelas X

29

Untuk x = –13 ⇒ y = –2(–13) + 8 = 34 Untuk x = 5 ⇔ y = –2 × 5 + 8 = –2 Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah {(–13, 34), (5, –2)}.

Untuk x = – ⇒ y = 2 × (– ) + 9 = –3 + 9 =6

11. Jawaban: e

Penyelesaiannya (– , 6) Untuk x = 1 ⇒

y=2×1+9 = 11 Penyelesaiannya (1, 11).

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(– , 6), (1, 11)}. 9. Jawaban: c ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

y = x2 + 3x – 8 – 2x + 4 = x2 + 3x – 8 2 2x + 5x – 12 = 0 (2x – 3)(x + 4) = 0 2x – 3 = 0 atau x + 4 = 0

⇔

x = atau x = –4

–x2

12. Jawaban: c Persamaan-persamaan yang saling berpotongan: y = 2x2 + 6x – 11 . . . (1) y = x2 + 2x + 10 . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). 2x2 + 6x – 11 = x2 + 2x + 10 ⇔ x2 + 4x – 21 = 0 ⇔ (x + 7)(x – 3) = 0 ⇔ x = –7 atau x = 3 Disyaratkan xA > xB, sehingga diambil xA = 3. xA = 3 ⇒ yA = 2xA2 + 6xA – 11 = 2(3)2 + 6 × 3 – 11 = 2 × 9 + 18 – 11 = 18 + 7 = 25 Diperoleh titik A(xA, yA) = A(3, 25). Sumbu koordinat = O(0, 0). Persamaan garis yang melalui O(x 0 , y 0 ) = O(0, 0) dan A(3, 25) sebagai berikut.

Untuk x = ⇒ y = x2 + 3x – 8

= ( )2 + 3 × – 8

= + –8 = = = =

+ – –8 − –

8

Untuk x = –4 ⇒ y = x2 + 3x – 8 = (–4)2 + 3 × (–4) – 8 = 16 – 12 – 8 = –4

− −

Jadi, himpunan penyelesaian adalah {( , – ), (–4, –4)}. 10. Jawaban: c 2x + y – 8 = 0 ⇔ y = –2x + 8 . . . (1) x2 + y2 + 3xy + 1 = 0 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). x2 + (–2x + 8)2 + 3x(–2x + 8) + 1 = 0 ⇔ x2 + 4x2 – 32x + 64 – 6x2 + 24x + 1 = 0 ⇔ –x2 – 8x + 65 = 0 ⇔ x2 + 8x – 65 = 0 ⇔ (x + 13)(x – 5) = 0 ⇔ x + 13 = 0 atau x – 5 = 0 ⇔ x = –13 atau x = 5 Substitusikan nilai x = –13 dan x = 5 ke dalam persamaan (1).

30

y = 3x2 + 5x + 5 ⇔ + 12x – 5 = 3x2 + 5x + 5 2 ⇔ x – 7x + 10 = 0 ⇔ (x – 2)(x – 5) = 0 ⇔ x – 2 = 0 atau x – 5 = 0 ⇔ x = 2 atau x = 5 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 2 atau x = 5. 2x2

⇔

− −

⇔

⇔ ⇔

=

− −

−

= −

= 3y = 25x

y= x Jadi, persamaan garis yang melalui titik A dan

sumbu koordinat adalah y = x. 13. Jawaban: c Persamaan-persamaan dalam sistem sebagai berikut. y = px2 + 4x + 9 . . . (1) y = –2x – 9 . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1).


px2 + 4x + 9 = –2x – 9 ⇔ px2 + 6x + 18 = 0 . . . (3) Sistem persamaan mempunyai satu penyelesaian jika diskriminan sistem persamaan bernilai nol. D = b2 – 4ac ⇔ 62 – 4 × p × 18 = 0 ⇔ 36 – 72p = 0 ⇔ 72p = 36

⇔

p=

Jadi, nilai p = . 14. Jawaban: b y = x2 + 2x + k ⇔ 3x – 1 = x2 + 2x + k 2 ⇔ x –x+k+1=0 Diperoleh a = 1, b = –1, c = k + 1. Sistem mempunyai satu penyelesaian jika D = 0. D = b2 – 4ac ⇔ 0 = (–1)2 – 4 × 1 × (k + 1) ⇔ 0 = 1 – 4k – 4 ⇔ 0 = –3 – 4k

⇔ 0=–

k = – ⇒ 4k = –3 Jadi, nilai 4k = –3. 15. Jawaban: c

y = x2 + kx + k

⇔

–2x – = x2 + kx + k

x2 + (k + 2)x +

+

⇔ x2 + (k + 2)x + k + = 0 ⇔

=0

Sistem mempunyai dua penyelesaian jika D > 0. D> 0 ⇔ b2 – 4ac > 0 ⇔ (k + 2)2 – 4 × 1 × (

+ )

>0

⇔ + 4k + 4 – 3k – 6 > 0 ⇔ k2 + k – 2 > 0 ⇔ (k + 2)(k – 1) > 0 Pembuat nol: k + 2 = 0 atau k – 1 = 0 ⇔ k = –2 atau k = 1 k2

Jadi, nilai k yang memenuhi adalah {k | k < –2 atau k > 1}.

16. Jawaban: e y = 4x + p . . . (1) y = x2 – 2x + 3 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). 4x + p = x2 – 2x + 3 2 ⇔ x – 2x + 3 – 4x – p = 0 ⇔ x2 – 6x + (3 – p) = 0 Syarat sistem persamaan mempunyai penyelesaian tunggal adalah D = 0. b2 – 4ac = 0 ⇔ (–6)2 – 4 × 1 × (3 – p) = 0 ⇔ 36 – 4(3 – p) = 0 ⇔ 36 – 12 + 4p = 0 ⇔ 4p = –24 ⇔ p = –6 Jadi, p = –6. 17. Jawaban: b Garis g: y = ax + b melalui titik (0, 1) berarti garis g memotong sumbu Y di titik (0, 1) sehingga persamaan garis menjadi y = ax + 1. Substitusikan y = ax + 1 ke dalam persamaan y = x2 + 4x + 2. ax + 1 = x2 + 4x + 2 ⇔ x2 + (4 – a)x + 1 = 0 Garis menyinggung kurva jika D = 0. (4 – a)2 – 4 × 1 × 1 = 0 ⇔ (4 – a)2 – 4 = 0 ⇔ (4 – a)2 – 22 = 0 ⇔ (4 – a – 2)(4 – a + 2) = 0 ⇔ (2 – a)(6 – a) = 0 ⇔ 2 – a = 0 atau 6 – a = 0 ⇔ a = 2 atau a=6 Diperoleh persamaan garis g : y = 2x + 1 atau y = 6x + 1. 18. Jawaban: b y = x2 + (k – 5)x + 3 ⇔ –3x – 6 = x2 + (k – 5)x + 3 2 ⇔ x + (k – 2)x + 9 = 0 Sistem tidak mempunyai penyelesaian jika D < 0. D< 0 ⇔ b2 – 4ac < 0 ⇔ (k – 2)2 – 4 × 1 × 9 < 0 ⇔ k2 – 4k + 4 – 36 < 0 ⇔ k2 – 4k – 32 < 0 ⇔ (k – 8)(k + 4) < 0 Pembuat nol: k – 8 = 0 atau k + 4 = 0 ⇔ k = 8 atau k = –4 ++

–– –4

++ 8

Jadi, nilai k yang memenuhi adalah {k | –4 < k < 8}.

Kimia Kelas X

31

19. Jawaban: b (2, 1) merupakan penyelesaian dari sistem persamaan: by = (a – a2)x + a2 + 3 2by = ax + 2 Diperoleh: b × 1= (a – a2)2 + a2 + 3 ⇔ b = 2a – 2a2 + a2 + 3 ⇔ b = –a2 + 2a + 3 . . . (1) 2b × 1= a × 2 + 2 ⇔ 2b = 2a + 2 ⇔ b=a+1 . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). a + 1 = –a2 + 2a + 3 2 ⇔ a –a–2=0 ⇔ (a – 2)(a + 1) = 0 ⇔ a – 2 = 0 atau a + 1= 0 ⇔ a = 2 atau a = –1 Substitusikan a = 2 dan a = –1 ke dalam persamaan (2). Untuk a = 2 ⇒ b = 2 + 1 = 3 Nilai a + b = 2 + 3 = 5 Untuk a = –1 ⇒ b = –1 + 1 = 0 Nilai a + b = –1 + 0 = –1 Jadi, nilai a + b adalah 5 atau –1. 20. Jawaban: e (k, 21) penyelesaian dari sistem persamaan y = 2x2 – x + 2k dan y = x2 + 3x + k sehingga diperoleh: y = x2 + 3x + k ⇔ 21 = k2 + 3k + k ⇔ k2 + 4k – 21 = 0 ⇔ (k + 7)(k – 3) = 0 ⇔ k = –7 atau k = 3 Diambil k = 3 karena k > 0. Diperoleh sistem persamaan y = 2x2 – x + 6 dan y = x2 + 3x + 3. y = 2x2 – x + 6 ⇔ x2 + 3x + 3 = 2x2 – x + 6 ⇔ x2 – 4x + 3 = 0 ⇔ (x – 3)(x – 1) = 0 ⇔ x = 3 atau x = 1 Untuk x = 1 ⇒ y = 2x2 – x + 6 = 2 × 12 – 1 + 6 =2+5=7 Jadi, penyelesaian yang lain adalah (1, 7). 21. Jawaban: c (k – 7, 41) penyelesaian dari sistem persamaan y = 3x2 + (k – 1)x + 1 dan y = 2x2 – kx – 3 sehingga diperoleh: y = 2x2 – kx – 3 ⇔ 41 = 2(k – 7)2 – k(k – 7) – 3 ⇔ 41 = 2(k2 – 14k + 49) – k2 + 7k – 3 ⇔ 41 = 2k2 – 28k + 98 – k2 + 7k – 3 ⇔ 41 = k2 – 21k + 95 32

⇔ k2 – 21k + 54 = 0 ⇔ (k – 3)(k – 18) = 0 ⇔ k = 3 atau k = 18 Disyaratkan k – 7 < 0 sehingga diambil k = 3. Diperoleh sistem persamaan y = 3x2 + 2x + 1 dan y = 2x2 – 3x – 3. y = 3x2 + 2x + 1 2 ⇔ 2x – 3x – 3 = 3x2 + 2x + 1 ⇔ x2 + 5x + 4 = 0 ⇔ (x + 4)(x + 1) = 0 ⇔ x = –4 atau x = –1 Untuk x = –1 ⇒ y = 2x2 – 3x – 3 = 2(–1)2 – 3(–1) – 3 =2+3–3=2 Jadi, penyelesaian yang lain adalah (–1, 2). 22. Jawaban: b Misalkan: a = bilangan pertama b = bilangan kedua a + b = 28 ⇔ a = 28 – b . . . (1) ab = 195 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). ab = 195 ⇔ (28 – b)b = 195 ⇔ –b2 + 28b = 195 2 ⇔ b – 28b + 195 = 0 ⇔ (b – 13)(b – 15) = 0 ⇔ b = 13 atau b = 15 b = 13 ⇒ a = 28 – 13 = 15 b = 15 ⇒ a = 28 – 15 = 13 Jadi, bilangan yang lebih besar adalah 15. 23. Jawaban: c Diketahui: p = panjang persegi panjang = lebar persegi panjang Diperoleh: =p–6 . . . (1) L=p× ⇔ 187 = p × ⇔ 187 = p(p – 6) ⇔ p2 – 6p – 187 = 0 . . . (2) Jadi, persamaan kuadrat dari permasalahan tersebut adalah p2 – 6p – 187 = 0. 24. Jawaban: b Misalkan: alas = a tinggi = t a > t sehingga: a–t=5 ⇔ a=t+5 . . . (1)

L= ×a×t ⇔

150 = + (t + 5) × t ⇔ 300 = t2 + 5t 2 ⇔ t + 5t – 300 = 0 . . . (2) Jadi, sistem persamaan tersebut dapat ditulis menjadi t2 + 5t – 300 = 0.


25. Jawaban: d Misalkan: bilangan I = x x>y bilangan II = y Sistem persamaan yang terbentuk: x–y=2 ⇔ y=x–2 . . . (1) . . . (2) (x + y)2 = 256 Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). (x + x – 2)2 = 256 ⇔ (2x – 2)2 – 256 = 0 ⇔ 4x2 – 8x + 4 – 256 = 0 ⇔ 4x2 – 8x – 252 = 0 ⇔ x2 – 2x – 63 = 0 ⇔ (x – 9)(x + 7) = 0 ⇔ x = 9 atau x= –7 Oleh karena kedua bilangan bulat positif, diambil x = 9. Diperoleh y = 9 – 2 = 7. Jadi, bilangan yang terkecil adalah 7. 26. Jawaban: c Misalkan: p = panjang balok = lebar balok t = tinggi balok Diperoleh: = 18 cm t = p – 14 V=p× ×t ⇔ 4.320 = p × 18 × (p – 14) ⇔ 4.320 =18p(p – 14) ⇔ p2 – 14p = 240 ⇔ p2 – 14p – 240 = 0 ⇔ (p – 24)(p + 10) = 0 ⇔ p = 24 atau p = –10 Diambil p = 24 cm karena p > 0. p = 24 cm sehingga t = p – 14 = 10 cm. Jadi, panjang balok 24 cm dan tingginya 10 cm. 27. Jawaban: c AC2 = AB2 + BC2 = x2 + (x + 3)2 = x2 + x2 + 6x + 9 = 2x2 + 6x + 9 . . . (1) AC2 = AG2 – CG2 = (2x – 1)2 – (x – 1)2 = 4x2 – 4x + 1 – x2 + 2x – 1 = 3x2 – 2x . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). AC2 = 2x2 + 6x + 9 ⇔ 3x2 – 2x = 2x2 + 6x + 9 ⇔ x2 – 8x – 9 = 0 ⇔ (x – 9)(x + 1) = 0 ⇔ x = 9 atau x = –1

Diambil x = 9 karena x = AB berupa bilangan positif. AC2 = 3x2 – 2 = 3 × 92 – 2 × 9 = 3 × 81 – 18 = 225 AC2 = 225 ⇒ AC = 15 Jadi, AC = 15 cm 28. Jawaban: c x2 + (m – 3)x + 5 = 7x – 4 2 ⇔ x + (m – 10)x + 9 = 0 Garis tidak memotong atau menyinggung persamaan kuadrat jika D < 0. Diperoleh: b2 – 4ac < 0 2 ⇔ (m – 10) – 4 × 1 × 9 < 0 ⇔ m2 – 20m + 100 – 36 < 0 ⇔ m2 – 20m + 64 < 0 ⇔ (m – 16)(m – 4) < 0 Pembuat nol: (m – 16)(m – 4) = 0 ⇔ m – 16 = 0 atau m – 4 = 0 ⇔ m = 16 atau m=4 +++

––– 4

+++ 16

Jadi, nilai m yang memenuhi adalah {m | 4 < m < 16}. 29. Jawaban: b C

20 cm

A

B

Diperoleh: AB2 + BC2 = 202 ⇔ AB2 = 400 – BC2 . . . (1) K = AB + BC + AC 48 = AB + BC + 20 AB + BC = 28 AB = 28 – BC . . . (2) AB2 = 400 – BC2 ⇔ (28 – BC)2 = 400 – BC2 ⇔ 784 – 56 BC + BC2 = 400 – BC2 ⇔ 2BC2 – 56 BC + 384 = 0 ⇔ BC2 – 28 BC + 192 = 0 ⇔ (BC – 12)(BC – 16) = 0 ⇔ BC = 12 atau BC = 16 Untuk BC = 12 cm ⇒ AB = 16 cm Untuk BC = 16 cm ⇒ AB = 12 cm Jadi, AB = 12 cm atau AB = 16 cm. ⇔ ⇔ ⇔

Kimia Kelas X

33

30. Jawaban: b Misalkan diagonal balok = d. d2 = p2 + 2 ⇔ 152 = p2 + 2 2 ⇔ p + 2 = 225 . . . (1) K = 2(p + ) ⇔ 42 = 2(p + ) ⇔ p + = 21 ⇔ p = 21 – . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). p2 + 2 = 225 ⇔ (21 – )2 + 2 = 225 ⇔ 441 – 42 + 2 + 2 = 225 ⇔ 2 2 – 42 + 216 = 0 2 – 2 + 108 = 0 ⇔ ⇔ ( – 9)( – 12) = 0 ⇔ = 9 atau = 12 Untuk = 9 cm, diperoleh: p = 21 – = 21 – 9 = 12 cm Untuk = 12 cm, diperoleh: p = 21 – 12 = 9 cm (tidak mungkin karena p > ) Diambil = 9 cm dan p = 12 cm. V =p× ×t = 12 × 9 × 15 = 1.620 cm3 Jadi, volume balok 1.620 cm3.

2. a.

b.

3. B. Uraian 1. a. y – 3x = 8 ⇔ y = 3x + 8 y = x2 – 4x + 1 ⇔ 3x + 8 = x2 – 4x + 1 ⇔ x2 – 7x – 7 = x2 – 4x + 1 D = b2 – 4ac = (–7)2 – 4 × 1 × (–7) = 49 + 28 = 77 Jadi, diskriminannya adalah 77. b. y + 5 = 2x – 1 ⇔ y = 2x – 6 y + 4x – 2 = x2 – x – 1 ⇔ y = x2 – 5x + 1 y = x2 – 5x + 1 ⇔ 2x – 6 = x2 – 5x + 1 2 ⇔ x – 7x + 7 = 0 D = b2 – 4ac = (–7)2 – 4 × 1 × 7 = 49 – 28 = 21 Jadi, diskriminannya adalah 21.

34

4.

y = x2 + kx + 80 ⇔ 4x – 4 = x2 + kx + 80 2 ⇔ x + (k – 4)x + 84 = 0 D = b2 – 4ac ⇔ 64 = (k – 4)2 – 4 × 1 × 84 ⇔ 64 = k2 – 8k + 16 – 336 ⇔ 64 = k2 – 8k – 320 2 ⇔ k – 8k – 384 = 0 ⇔ (k – 24)(k + 16) = 0 ⇔ k = 24 atau k = –16 Diambil k = –16 karena k adalah bilangan negatif. Jadi, k = –16. k = –16 sehingga sistem persamaan menjadi y = x2 – 16x + 80 y = 4x – 4 x2 – 16x + 80 = 4x – 4 ⇔ x2 – 20x + 84 = 0 ⇔ (x – 14)(x – 6) = 0 ⇔ x = 14 atau x = 6 Substitusikan x = 14 ke dalam persamaan y = 4x – 4. y = 4 × 14 – 4 = 52 Substitusikan x = 6 ke dalam persamaan y = 4x – 4. y = 4 × 6 – 4 = 20 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(6, 20), (14, 52)}.

y – 5 = 3x y = 3x + 5 . . . (1) y – 3 = x2 + 4x ⇔ y = x2 + 4x + 3 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). y = x2 + 4x + 3 ⇔ 3x + 5 = x2 + 4x + 3 2 ⇔ x +x–2=0 ⇔ (x + 2)(x – 1) = 0 ⇔ x = –2 atau x = 1 Untuk x = –2 ⇒ y = 3x + 5 = 3 × (–2) + 5 = –1 Untuk x = 1 ⇒ y = 3x + 5 =3×1+5 =8 Jadi, himpunan penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah {(–2, –1), (1, 8)}.

⇔

⇔ ⇔ ⇔

x2 + x – 18 = –x2 – 2x + 2 + 3x – 20 = 0 (2x – 5)(x + 4) = 0 2x2

x = atau x = –4


Substitusikan x = –4 ke dalam persamaan y = x2 + x – 18. y = x2 + x – 18 = (–4)2 – 4 – 18 = 16 – 4 – 18 = –6

Diambil p = –2 karena disyaratkan p < 0. x2 + (p – 2)x + 4 = 0 ⇔ x2 – 4x + 4 = 0 ⇔ (x – 2)2 = 0 ⇔ x=2 x = 2 ⇒ y = 2x – 3 =4–3=1 Penyelesaiannya (2, 1).

Substitusikan x = ke dalam persamaan y = x2 + x – 18.

7. a.

y = ( )2 + – 18

= + – 18 =

+

– 18

= – 18

= –9

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah

{(–4, –6), ( , –9 )}. 5. a.

b.

⇔

×

y = x2 + 4x + 2

b.

y = px –

x2 + 4x + 2 = px –

⇔ x2 + 4x – px + 2 + = 0 ⇔

⇔

x2 + (4 – p)x + = 0 Agar sistem persamaan mempunyai dua penyelesaian, D > 0. D>0 ⇔ b2 – 4ac > 0

+ b × 6 + 13

⇔ 55 = 36 + 6b + 13 ⇔ 6b = 6 ⇔ b=1 Jadi, nilai b = 1.

(4 – p)2 – 4 × 1 × > 0 ⇔ (4 – p)2 – 9 > 0 ⇔ 16 – 8p + p2 – 9 > 0 ⇔ p2 – 8p + 7 > 0 ⇔ (p – 7)(p – 1) > 0 Pembuat nol: p – 7 = 0 atau p – 1 = 0

6. Persamaan-persamaan: y = x2 + px + 1 . . . (1) y = 2x – 3 . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). x2 + px + 1 = 2x – 3 ⇔ x2 + (p – 2)x + 4 = 0 Sistem mempunyai satu penyelesaian jika D = 0. D = b2 – 4ac ⇔ (p – 2)2 – 4 × 1 × 4 = 0 ⇔ p2 – 4p + 4 – 16 = 0 ⇔ p2 – 4p – 12 = 0 ⇔ (p – 6)(p + 2) = 0 ⇔ p = 6 atau p = –2

p< Jadi, {p | p < }.

+ bx + 13

55 =

⇔

Sistem persamaan mempunyai penyelesaian (6, 55) sehingga diperoleh: y = ax2 + 3x – 35 ⇔ 55 = a × 62 + 3 × 6 – 35 ⇔ 55 = 36a + 18 – 35 ⇔ 36a = 72 ⇔ a=2 Jadi, nilai a = 2. y=

. . . (1) y = px2 – 3x + 1 y = –x – 1 . . . (2) 2 px – 3x + 1 = –x – 1 ⇔ px2 – 3x + x + 1 + 1 = 0 ⇔ px2 – 2x + 2 = 0 Agar sistem persamaan mempunyai dua penyelesaian, D > 0. D>0 ⇔ (–2)2 – 4 × p × 2 > 0 ⇔ 4 – 8p > 0 ⇔ 8p < 4

++

–– 1

++ 7

Jadi, nilai p yang memenuhi adalah {p | p < 1 atau p > 7}. 8.

y = x2 + (p – 1)x – 3 ⇔ 3x – 4 = x2 + (p – 1)x – 3 2 ⇔ x + (p – 4)x + 1 = 0 Sistem tidak mempunyai penyelesaian jika D < 0.

Kimia Kelas X

35

D<0 ⇔ b2 – 4ac < 0 ⇔ (p – 4)2 – 4 × 1 × 1 < 0 ⇔ p2 – 8p + 16 – 4 < 0 ⇔ p2 – 8p + 12 < 0 ⇔ (p – 6)(p – 2) < 0 Pembuat nol: p – 6 = 0 atau p – 2 = 0 ⇔ p=6 atau p = 2 ++

–– 1

++ 7

Jadi, nilai p yang memenuhi adalah {p | 2 < p < 6}. 9. Misalkan: x = usia Pak Rio y = usia Pak Imran x>y x + y = 86 ⇔ x = 86 – y . . . (1) xy = 1.824 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). xy = 1.824 ⇔ (86 – y)y = 1.824 ⇔ 86y – y2 = 1.824 2 ⇔ y – 86y + 1.824 = 0 ⇔ (y – 48)(y – 38) = 0 ⇔ y = 48 atau y = 38 Untuk y = 48 diperoleh: x = 86 – y = 86 – 48 = 38 (tidak memenuhi karena x > y) Untuk y = 38 diperoleh: x = 86 – 38 = 48 Jadi, usia Pak Rio 48 tahun.

36

10. Titik B(–4, 2) merupakan titik potong garis dan kurva sehingga: 4y = ax2 + 12x + 8 ⇔ 4 × 2 = a(–4)2 + 12 × (–4) + 8 ⇔ 8 = 16a – 40 ⇔ 16a = 48 ⇔ a=3 Substitusikan nilai a = 3 dan (–4, 2) ke dalam persamaan garis . 2y – ax = b ⇒ 2 × 2 – 3 × (–4) = b ⇔ b = 16 Persamaan garis menjadi: 2y – 3x = 16 ⇔ 2y = 3x + 16 . . . (1) Persamaan kurva menjadi: 4y = 3x2 + 12x + 8 . . . (2) Eliminasi y dari persamaan (1) dan persamaan (2). 2y = 3x + 16 × 2 4y = 6x + 32 4y = 3x2 + 12x + 8 × 1 4y = 3x2 + 12x + 8 –––––––––––––––– – 0 = –3x2 – 6x + 24 ⇔ x2 + 2x – 8 = 0 ⇔ (x + 4)(x – 2) = 0 ⇔ x + 4 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = –4 atau x=2 Titik A di kuadran I sehingga diambil x = 2. Substitusikan nilai x = 2 ke dalam persamaan (1). 2y = 3x + 16 ⇒ 2y = 3 × 2 + 16 ⇔ 2y = 22 ⇔ y = 11 Jadi, koordinat titik A(2, 11).


Pilihan d: y = 2log (x + 1) – 1 ⇔ –1 = 2log (0 + 1) – 1 ⇔ –1 = 0 – 1 ⇔ –1 = –1 (benar) Pilihan e: y = 2log (x + 1) + 1 ⇔ –1 = 2log (0 + 1) + 1 ⇔ –1 = 0 + 1 ⇔ –1 = 1 (salah) Jadi, bentuk fungsinya adalah y = 2log (x + 1) – 1.

A. Pilihan Ganda 1.

Jawaban: e Grafik f(x) merupakan fungsi eksponen monoton turun. Dari kelima pilihan di atas, hanya pilihan a, d, atau e yang kemungkinan benar. Cek titik (0, 3) pada ketiga pilihan tersebut. Pilihan a: y = 2–x + 1 ⇔ 3 = 2–0 + 1 ⇔ 3 = 21 ⇔ 3 = 2 (salah) Pilihan d: y = 2–x – 2 ⇔ 3 = 2–0 – 2 ⇔ 3 = 2–2

4.

⇔ 3 = (salah) Pilihan e: y = 2–x + 2 ⇔ 3 = 2–0 + 2 ⇔ 3=1+2 ⇔ 3 = 3 (benar) Jadi, bentuk fungsinya adalah y = 2–x + 2. 2.

3.

Jawaban: c Kurva y = 2x digeser 2 satuan ke kanan menghasilkan kurva y = 2x – 2. Kurva y = 2x – 2 digeser 1 satuan ke bawah menghasilkan kurva y = 2x – 2 – 1. Kurva y = 2x – 2 – 1 memotong sumbu X pada saat y = 0. y = 2x – 2 – 1 ⇔ 0 = 2x – 2 – 1 ⇔ 1 = 2x – 2 ⇔ 20 = 2x – 2 ⇔ 0=x–2 ⇔ x=2 Jadi, kurva hasil pergeseran akan memotong sumbu X di titik (2, 0). Jawaban: d Berdasarkan grafik tersebut diketahui bahwa fungsi f(x) merupakan fungsi logaritma dengan asimtot tegak x = –1. Dari kelima pilihan di atas, hanya pilihan d atau e yang kemungkinan benar. Cek titik (0, –1) pada kedua pilihan tersebut.

Jawaban: a 23x – 1 = 410 ⇔ 23x – 1 = (22)10 ⇔ 23x – 1 = 220 ⇔ 3x – 1 = 20 ⇔ 3x = 21

⇔

x= =7 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 7. 5.

Jawaban: d Misalkan 3x = p. 32x + 1 – 28 · 3x + 9 ⇔ 3 · 32x – 28 · 3x + 9 ⇔ 3 · (3x)2 – 28 · 3x + 9 ⇔ 3p2 – 28p + 9 ⇔ (3p – 1)(p – 9) ⇔ 3p – 1 = 0 atau p – 9 ⇔

p = atau

=0 =0 =0 =0 =0 =0

p=9

Untuk p = diperoleh:

3x = ⇔ 3x = 3–1 ⇔ x = –1 Untuk p = 9 diperoleh: 3x = 9 ⇔ 3x = 32 ⇔ x=2 Oleh karena x1 > x2 maka x1 = 2 dan x2 = –1. Nilai 4x1 + 3x2 = 4(2) + 3(–1) = 8 + (–3) =5

Matematika Kelas X

37

6. Jawaban: d 2 3x + 3x + 4 = 9–x – 1 2 ⇔ 3x + 3x + 4 = (32)–x – 1 2 ⇔ 3x + 3x + 4 = 3–2x – 2 2 ⇔ x + 3x + 4 = –2x – 2 ⇔ x2 + 5x + 6 = 0 Oleh karena a dan b merupakan akar-akar −

persamaan, diperoleh a + b = = –5. Nilai + = − = –2. 7. Jawaban: d 5x – 2y + 1 = 25x – 2y ⇔ 5x – 2y + 1 = 52(x – 2y) ⇔ x – 2y + 1 = 2(x – 2y) ⇔ x – 2y + 1 = 2x – 4y ⇔ x – 2y = 1 4x – y + 2

. . . (1)

32x – 2y + 1

= ⇔ 22(x – y + 2) = 25(x – 2y + 1) ⇔ 2(x – y + 2) = 5(x – 2y + 1) ⇔ 2x – 2y + 4 = 5x – 10y + 5 ⇔ 3x – 8y = –1 . . . (2) Eliminasi y dari persamaan (1) dan (2). x – 2y = 1 × 4 4x – 8y = 4 3x – 8y = –1 × 1 3x – 8y = –1 –––––––––– – x=5 Substitusikan x = 5 ke dalam persamaan (1). x – 2y = 1 ⇔ 5 – 2y = 1 ⇔ 2y = 4 ⇔ y=2 Nilai 2xy = 2(5)(2) = 20. 8. Jawaban: b 2 3x + 3x + 6 ≤ 81x + 3 2 ⇔ 3x + 3x + 6 ≤ 34(x + 3) ⇔ x2 + 3x + 6 ≤ 4(x + 3) ⇔ x2 + 3x + 6 ≤ 4x + 12 ⇔ x2 – x – 6 ≤ 0 ⇔ (x – 3)(x + 2) ≤ 0 Pembuat nol fungsi: (x – 3)(x + 2) = 0 ⇔ x – 3 = 0 atau x + 2 = 0 ⇔ x = 3 atau x = –2

–2

3

⇔ –2 ≤ x ≤ 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | –2 ≤ x ≤ 3}. 38

Ulangan Tengah Semester

9. Jawaban: c

⇔

 

−

− >    

− > (3–2) −

⇔

3

⇔

−

−

> 3x – 2 >x–2

⇔ 5(x – 1) > 6(x – 2) ⇔ 5x – 5 > 6x – 12 ⇔ –x > –7 ⇔ x<7 Jadi, penyelesaiannya adalah x < 7. 10. Jawaban: e 2log (4x2 + 8x + 4) = 2log 4(x2 + 2x + 1) = 2log 4 + 2log (x2 + 2x + 1) = 2log 22 + 2log (x + 1)2 = 2 · 2log 2 + 2 · 2log (x + 1) = 2 · 1 + 2 · p = 2 + 2p 11. Jawaban: d Misalkan 5log x = p. 5log2 x – 3 · 5log x + 2 = 0 ⇔ p2 – 3p + 2 = 0 ⇔ (p – 2)(p – 1) = 0 ⇔ p – 2 = 0 atau p – 1 = 0 ⇔ p = 2 atau p=1 5 5 ⇔ log x = 2 atau log x = 1 ⇔ x = 25 atau x=5 Oleh karena x1 > x2 maka x1 = 25 dan x2 = 5. Nilai x1 – 2x2 = 25 – 2(5) = 25 – 10 = 15 12. Jawaban: a 2log 2log (2x + 1 + 3) = 1 + 2log x ⇔ 2log 2log (2x + 1 + 3) = 2log 2 + 2log x ⇔ 2log 2log (2x + 1 + 3) = 2log 2x 2log (2x + 1 + 3) = 2x ⇔ ⇔ 22x = 2x + 1 + 3 ⇔ 22x – 2x + 1 – 3 = 0 Misalkan 2x = p. (2x)2 – 2 · 2x – 3 = 0 ⇔ p2 – 2p – 3 = 0 ⇔ (p – 3)(p + 1) = 0 ⇔ p – 3 = 0 atau p + 1 = 0 ⇔ p = 3 atau p = –1 ⇔ 2x = 3 atau 2x = –1 (Tidak memenuhi) ⇔ x = 2log 3 Jadi, nilai yang memenuhi adalah x = 2log 3.

13. Jawaban: d log (x + 8) + log (x – 4) < log (2x + 16) ⇔ log (x + 8)(x – 4) < log (2x + 16) ⇔ (x + 8)(x – 4) < (2x + 16) ⇔ x2 + 4x – 32 < 2x + 16 ⇔ x2 + 2x – 48 < 0 ⇔ (x + 8)(x – 6) < 0 Pembuat nol fungsi: (x + 8)(x – 6) = 0 ⇔ x + 8 = 0 atau x – 6 = 0 ⇔ x = –8 atau x=6

Syarat numerus: • x2 – 3x + 2 > 0 ⇔ (x – 2)(x – 1) > 0 . . . (2) 2

1

•

10 – x > 0 ⇔ x < 10 . . . (3) 10


. . . (1) –8

–2

6

. . . (2) –8

x–4>0 ⇔ x>4 . . . (3) 4

•

2

4

10

Jadi, penyelesaiannya x < –2 atau 4 < x < 10.

Syarat numerus: • x + 8 > 0 ⇔ x > –8

•

1

2x + 16 > 0 ⇔ 2x > –16 ⇔ x > –8

15. Jawaban: b log (x – 1)2 > log (x – 1) ⇔ log (x2 – 2x + 1) > log (x – 1) ⇔ x2 – 2x + 1 > x – 1 ⇔ x2 – 3x + 2 > 0 ⇔ (x – 2)(x – 1) > 0 Pembuat nol fungsi: (x – 2)(x – 1) = 0 ⇔ x – 2 = 0 atau x – 1 = 0 ⇔ x = 2 atau x=1 . . . (1)

. . . (4) 1

2

–8


Syarat numerus: • (x – 1)2 > 0 . . . (2)

–8

4

6

1

Jadi, penyelesaiannya adalah 4 < x < 6.

•

14. Jawaban: e 2log (x2 – 3x + 2) > 2log (10 – x) ⇔ x2 – 3x + 2 > 10 – x ⇔ x2 – 2x – 8 > 0 ⇔ (x – 4)(x + 2) > 0 Pembuat nol fungsi: (x – 4)(x + 2) = 0 ⇔ x – 4 = 0 atau x + 2 = 0 ⇔ x = 4 atau x = –2

. . . (3) 1


1

4

2

Jadi, batas nilai x yang memenuhi adalah x > 2. . . . (1)

–2

x–1>0 ⇔ x>1

16. Jawaban: c y + 4x = 3 ⇔ y = 3 – 4x

Matematika Kelas X

39

y = x2 – x – 1 ⇔ – x – 1 = 3 – 4x ⇔ x2 + 3x – 4 = 0 ⇔ (x + 4)(x – 1) = 0 ⇔ x = –4 atau x = 1 Untuk x = –4 ⇔ y = 3 – 4x = 3 – 4 · (–4) = 19 Untuk x = 1 ⇔ y = 3 – 4x =3–4·1 = –1 Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut (–4, 19) dan (1, –1).

19. Jawaban: a

x2

17. Jawaban: b y – 1 = –2x ⇔ y = –2x + 1 y = x2 + x + 3 ⇔ –2x + 1 = x2 + x + 3 2 ⇔ x + 3x + 2 = 0 ⇔ (x + 2)(x + 1) = 0 ⇔ x = –2 atau x = –1 Untuk x = –2 ⇔ y = –2 · (–2) + 1 =5 Untuk x = –1 ⇔ y = –2 · (–1) + 1 =3 Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut (–2, 5) dan (–1, 3). 18. Jawaban: d x2

y = + (k + 1)x + 1 ⇔ 3x – 3 = x2 + (k + 1)x + 1 ⇔ x2 + (k + 1)x – 3x + 4 = 0 ⇔ x2 + (k – 2)x + 4 = 0 Diperoleh a = 1, b = k – 2, dan c = 4. Sistem persamaan mempunyai dua penyelesaian jika D > 0. D>0 ⇔ b2 – 4ac > 0 ⇔ (k – 2)2 – 4 · 1 · 4 > 0 ⇔ k2 – 4k + 4 – 16 > 0 ⇔ k2 – 4k – 12 > 0 ⇔ (k – 6)(k + 2) > 0 Pembuat nol: (k – 6)(k + 2) = 0 ⇔ k = 6 atau k = –2 ++

–– –2

++ 6


40


y = x2 + kx + ⇔ ⇔

–2x – 1 = x2 + kx + 2 x + (k

+ 2)x + 1 + = 0

Diperoleh a = , b = k + 2, dan c = 1 + . Sistem persamaan tidak mempunyai penyelesaian jika D < 0. D<0 ⇔ b2 – 4ac < 0

⇔ (k + 2)2 – 4 · · (1 + ) < 0

⇔

k2 + 4k + 4 – 2(1 + ) < 0 ⇔ k2 + 4k + 4 – 2 – k < 0 ⇔ k2 + 3k + 2 < 0 ⇔ (k + 2)(k + 1) < 0 Pembuat nol: (k + 2)(k + 1) = 0 ⇔ k = –2 atau k = –1 ++

––

++

–2

–1

Jadi, nilai k yang memenuhi adalah {k | –2 < k < –1}. 20. Jawaban: c

y = x2 + (k + 1)x + 5

⇔

–x – = x2 + (k + 1)x + 5

⇔ x2 + (k + 2)x + 5 + = 0 Grafik persamaan linear tidak menyinggung maupun memotong grafik persamaan kuadrat jika D < 0. ⇔ b2 – 4ac < 0

⇔ (k + 2)2 – 4 · · (5 + ) < 0

⇔

k2 + 4k + 4 – 2(5 + ) < 0 ⇔ k2 + 4k + 4 – 10 – 3k < 0 ⇔ k2 + k – 6 < 0 ⇔ (k + 3)(k – 2) < 0 Pembuat nol: (k + 3)(k – 2) = 0 ⇔ k = –3 atau k = 2 ++

–– –3

++ 2

Jadi, nilai k yang memenuhi adalah {k | –3 < k < 2}.

21. Jawaban: d y = x2 + 3x – 8 ⇔ 5x + 7 = x2 + 3x – 8 2 ⇔ x – 2x – 15 = 0 ⇔ (x – 5)(x + 3) = 0 ⇔ x = 5 atau x = –3 Diambil a = –3 dan c = 5 karena a < c. Untuk x = a = –3 diperoleh: y = 5x + 7 = 5 · (–3) + 7 = –8 Diperoleh b = y = –8 sehingga (a, b) = (–3, –8). Persamaan garis yang melalui titik (–3, –8) dan bergradien 2 sebagai berikut. y = mx + c ⇔ –8 = 2 · (–3) + c ⇔ –8 = –6 + c ⇔ c = –2 Persamaan garisnya y = mx + c = 2x – 2. Jadi, persamaan garis tersebut y = 2x – 2. 22. Jawaban: e Misalkan alas segitiga = a tinggi segitiga = t Diperoleh: a=5+t . . . (1) L = 18 ⇔

× a × t = 18

⇔ a × t = 36 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). a × t = 36 ⇔ (5 + t)t = 36 ⇔ 5t + t2 = 36 2 ⇔ t + 5t – 36 = 0 ⇔ (t + 9)(t – 4) = 0 ⇔ t = –9 atau t = 4 Diambil t = 4 karena t > 0. Jadi, tinggi segitiga tersebut 4 cm. 23. Jawaban: b Misalkan: a = bilangan pertama b = bilangan kedua Diperoleh: a–b=4 ⇔ a=b+4 . . . (1) a × b = 165 . . . (2)

Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). a × b = 165 ⇔ (b + 4)b = 165 ⇔ b2 + 4b = 165 2 ⇔ b + 4b – 165 = 0 ⇔ (b + 15)(b – 11) = 0 ⇔ b = –15 atau b = 11 Diambil b = 11 karena b > 0. b = 11 ⇔ a = b + 4 = 15 a + b = 15 + 11 = 26 Jadi, hasil penjumlahan kedua bilangan tersebut 26. 24. Jawaban: b D

C 13 cm

A

p

A B

Dari permasalahan tersebut diperoleh: p2 + A2 = AC2 ⇔ p2 + A2 = 169 . . . (1) p=7+A . . . (2) Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1). p2 + A2 = 169 ⇔ (7 + A)2 + A2 = 169 ⇔ 49 + 14A + A2 + A2 = 169 ⇔ 2A2 + 14A – 120 = 0 ⇔ A2 + 7A – 60 = 0 ⇔ (A + 12)(A – 5) = 0 ⇔ A = –12 atau A = 5 Diambil A = 5 cm karena A > 0. A=5 ⇔ p=7+A = 12 cm L=p×A = 12 × 5 = 60 cm2 Jadi, luas persegi panjang ABCD 60 cm2. 25. Jawaban: a Dari permasalahan tersebut diperoleh: L = πr2 ⇔ 706,5 = 3,14 × r2 ⇔ r2 = 225 ⇔ r = 15 cm

Matematika Kelas X

41

a = 3 cm kurang dari b sehingga persamaannya a=b–3 . . . (1) Dengan rumus Pythagoras diperoleh: r2 = a2 + b2 ⇔ a2 + b2 = 225 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). a2 + b2 = 225 ⇔ (b – 3)2 + b2 = 225 ⇔ b2 – 6b + 9 + b2 = 225 ⇔ 2b2 – 6b + 216 = 0 ⇔ b2 – 3b – 108 = 0 ⇔ (b – 12)(b + 9) = 0 ⇔ b = 12 atau b = –9 Diambil b = 12 karena b > 0. b = 12 ⇔ a = b – 3 = 9 cm Jadi, panjang a = 9 cm. 26. Jawaban: a y = x2 + 12x – 7 ⇔ 2x2 + 5x – 1 = x2 + 12x – 7 ⇔ x2 – 7x + 6 = 0 ⇔ (x – 6)(x – 1) = 0 ⇔ x = 6 atau x = 1 x = 1 ⇔ y = x2 + 12x – 7 = 12 + 12 · 1 – 7 = 6 x = 6 ⇔ y = x2 + 12x – 7 = 62 + 12 · 6 – 7 = 36 + 72 – 7 = 101 Jadi, penyelesaiannya adalah (1, 6) dan (6, 101). 27. Jawaban: e ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

y = x2 + 6x + 1 – 3x – 3 = x2 + 6x + 1 2 2x + 9x + 4 = 0 (2x + 1)(x + 4) = 0 2x + 1 = 0 atau x + 4 = 0 –x2

x=

–

atau

x = –4

Untuk x = –4 ⇔ y = + 6x + 1 = (–4)2 + 6 · (–4) + 1 = 16 – 24 + 1 = –7 x2

Untuk x =

–

⇔ y= = = =

42

x2

+ 6x + 1

(– )2 + 6 · –3+1 –


(– ) + 1

Jadi, penyelesaian sistem persamaan tersebut

(–4, –7) dan (– , – ). 28. Jawaban: d (–k, 8) merupakan salah satu penyelesaian sistem persamaan sehingga diperoleh: y = 2x2 + (k + 1)x + 6 ⇔ 8 = 2(–k)2 + (k + 1)(–k) + 6 ⇔ 8 = 2k2 – k2 – k + 6 ⇔ 8 = k2 – k + 6 2 ⇔ k –k–2=0 . . . (1) 2 y = x – 4x – 2k ⇔ 8 = (–k)2 – 4 · (–k) – 2k ⇔ 8 = k2 + 4k – 2k 2 ⇔ k + 2k – 8 = 0 . . . (2) 2 Eliminasi k dari persamaan (1) dan (2). k2 – k – 2 = 0 k2 + 2k – 8 = 0 –––––––––––– – –3k + 6 = 0 ⇔ k=2 Diperoleh sistem persamaan 2x2 + 3x + 6 dan y = x2 – 4x – 4. y = 2x2 + 3x + 6 ⇔ x2 – 4x – 4 = 2x2 + 3x + 6 2 ⇔ x + 7x + 10 = 0 ⇔ (x + 5)(x + 2) = 0 ⇔ x = –5 atau x = –2 Akan dicari nilai y untuk x = –5. x = –5 ⇔ y = x2 – 4x – 4 = (–5)2 – 4(–5) – 4 = 25 + 20 – 4 = 41 Jadi, penyelesaian kedua adalah (–5, 41). 29. Jawaban: c Dari segitiga ADC diperoleh: CD2 = AC2 – AD2 = (3x)2 – (2x – 1)2 = 9x2 – (4x2 – 4x + 1) = 5x2 + 4x – 1 Dari segitiga DBC diperoleh: CD2 = BC2 – BD2 = (2x + 3)2 – x2 = 4x2 + 12x + 9 – x2 = 3x2 + 12x + 9

. . . (1)

. . . (2)

Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). CD = 5x2 + 4x – 1 2 ⇔ 3x + 12x + 9 = 5x2 + 4x – 1 ⇔ 2x2 – 8x – 10 = 0 ⇔ x2 – 4x – 5 = 0 ⇔ (x – 5)(x + 1) = 0 ⇔ x = 5 atau x = –1 Diambil x = 5 karena DB = x tidak mungkin berupa bilangan nol atau negatif. x = 5 ⇔ CD2 = 3x2 + 12x + 9 = 3 · (5)2 + 12 · 5 + 9 = 75 + 60 + 9 = 144 2 CD = 144 sehingga CD = 12 cm. Jadi, panjang CD = 12 cm. 30. Jawaban: d AC2 = AB2 + BC2 = (x + 3)2 + (x + 7)2 = x2 + 6x + 9 + x2 + 14x + 49 = 2x2 + 20x + 58 . . . (1) 2 2 2 AC = AG – CG = (3x + 2)2 – (2x + 3)2 = (9x2 + 12x + 4) – (4x2 + 12x + 9) = 5x2 – 5 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). AC = 2x2 + 20x + 58 2 ⇔ 5x – 5 = 2x2 + 20x + 58 ⇔ 3x2 – 20x – 63 = 0 ⇔ (3x + 7)(x – 9) = 0 ⇔

a.

b.

2.

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

⇔

Diambil x = 9 karena untuk x = – nilai GC dan AG berupa bilangan negatif. AC2 = 5x2 – 5

⇔ AC =

⋅ −

⇔ AC =

−

⇔ AC = ⇔ AC = 20 cm BD = AC = 20 cm Jadi, BD = 20 cm. B. Uraian 1.

Kurva y = 2x digeser 1 satuan ke kanan menghasilkan kurva y = 2x – 1. Kurva y = 2x – 1 digeser 4 satuan ke bawah menghasilkan kurva y = 2x – 1 – 4.

(0, –3 ). Asimtot 2x > 0 ⇔ 2x – 1 > 0 x – ⇔ 2 1 – 4 > –4 ⇔ y > –4 Kurva eksponen y = 2x – 1 – 4 akan mendekati y = –4. Jadi, asimtotnya adalah y = –4.

a.

−

= – 4 = –3 Titik potong terhadap sumbu Y adalah

x = – atau x = 9

⇔ AC =

Titik potong 1) Titik potong terhadap sumbu X pada saat y = 0. y = 2x – 1 – 4 ⇔ 0 = 2x – 1 – 4 ⇔ 4 = 2x – 1 ⇔ 22 = 2x – 1 ⇔ 2=x–1 ⇔ x=3 Titik potong terhadap sumbu X adalah (3, 0). 2) Titik potong terhadap sumbu Y pada saat x = 0. y = 2x – 1 – 4 = 20 – 1 – 4

32x – 1 = 813x 32x – 1 = 34(3x) 2x – 1 = 4(3x) 2x – 1 = 12x –1 = 10x

x = –

Jadi, penyelesaiannya adalah x = – . b.

2 · 34x – 20 · 32x = –18 ⇔ 2· – 20 · 32x + 18 = 0 Misalkan 32x = p. 2 · (32x)2 – 20 · 32x + 18 = 0 ⇔ 2p2 – 20p + 18 = 0 ⇔ p2 – 10p + 9 = 0 ⇔ (p – 1)(p – 9) = 0 ⇔ p – 1 = 0 atau p – 9 = 0 ⇔ p = 1 atau p=9 ⇔ 32x = 1 atau 32x = 9 ⇔ 32x = 30 atau 32x = 32 ⇔ 2x = 0 atau 2x = 2 ⇔ x = 0 atau x=1 Jadi, penyelesaiannya adalah x = 0 atau x = 1. (32x)2

Matematika Kelas X

43

3.

a.

⇔

−

⇔

2

⇔

−

5.

< −

a.

< − < 218x – (18x – 36) < 18x – (18x – 36)

⇔ –2x < 36 ⇔ x > –18 Jadi, penyelesaiannya x > –18. b.

. . . (1)

–3· +8≥0 x ⇔ –3·2·2 +8≥0 ⇔ 22x – 6 · 2x + 8 ≥ 0 Misalkan 2x = p. 22x – 6 · 2x + 8 ≥ 0 ⇔ p2 – 6p + 8 ≥ 0 ⇔ (p – 4)(p – 2) ≥ 0 Pembuat nol fungsi: (p – 4)(p – 2) = 0 ⇔ p – 4 = 0 atau p – 2 = 0 ⇔ p = 4 atau p=2 22x

(x2 + 2x – 3) ≤ 2log (2x2 + 5x – 3) ⇔ x2 + 2x – 3 ≤ 2x2 + 5x – 3 ⇔ –x2 – 3x ≤ 0 ⇔ –x(x + 3) ≤ 0 Pembuat nol fungsi: –x(x + 3) = 0 ⇔ –x = 0 atau x + 3 = 0 ⇔ x = 0 atau x = –3

2log

2x + 1

–3

22x

0

Syarat numerus: • x2 + 2x – 3 > 0 ⇔ (x + 3)(x – 1) > 0 . . . (2) –3

•

1

2x2 + 5x – 3 > 0 ⇔ (2x – 1)(x + 3) > 0 . . . (3)

–3 2

4

⇔ p ≤ 2 atau p≥4 x ⇔ 2 ≤ 2 atau 2x ≥ 4 x 1 ⇔ 2 ≤ 2 atau 2x ≥ 22 ⇔ x ≤ 1 atau x≥2 Jadi, penyelesaiannya adalah x ≤ 1 atau x ≥ 2. 4.

3log

(9x + 18) = x + 2 ⇔ 3x + 2 = 9x + 18 ⇔ 9 · 3x = 9x + 18 x Misalkan 3 = p diperoleh: 9 · 3x = 9x + 18 ⇔ 9 · 3x = (3x)2 + 18 ⇔ 9p = p2 + 18 ⇔ p2 – 9p + 18 = 0 ⇔ (p – 6)(p – 3) = 0 ⇔ p–6=0 atau p – 3 = 0 ⇔ p=6 atau p=3 x ⇔ 3 =6 atau 3x = 3 ⇔ x1 = 3log 6 atau x2 = 1 Nilai x1 + x2 = 3log 6 + 1 = 3log 6 + 3log 3 = 3log 18

44



–3

b.

0

1

Jadi, penyelesaiannya adalah x < –3 atau x > 1. xlog (3x – 2) > xlog (x + 1) Kasus I untuk 0 < x < 1. xlog (3x – 2) > xlog (x + 1) ⇔ 3x – 2 < x + 1 ⇔ 2x < 3

⇔

x< . . . (1) 0

1

Kasus II untuk x > 1. xlog (3x – 2) > xlog (x + 1) ⇔ 3x – 2 > x + 1 ⇔ 2x > 3

⇔

x> . . . (2) 1

7. a.

Syarat numerus: • 3x – 2 > 0 ⇔ 3x > 2 ⇔

x>

. . . (3)

x + 1 > 0 ⇔ x > –1

•

. . . (4) –1


–1

0

1

Jadi, penyelesaiannya adalah < x < 1. 6. a.

y – 1 = –2x ⇔ y = –2x + 1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

b.

y = 2x2 + x – 1 –2x + 1 = 2x2 + x – 1 2 2x + 3x – 2 = 0 (2x – 1)(x + 2) = 0 2x – 1 = 0 atau x + 2 = 0

⇔

x = atau

x = –2

⇔ y = –2x + 1 =0 Untuk x = –2 ⇔ y = –2x + 1 =5 Jadi, penyelesaiannya adalah (–2, 5) dan

Untuk x =

( , 0). b.

y = 2x2 + 3x – 12 + 4x + 30 = 2x2 + 3x – 12 ⇔ ⇔ x2 – x – 42 = 0 ⇔ (x – 7)(x + 6) = 0 ⇔ x = 7 atau x = –6 Untuk x = 7 diperoleh: y = x2 + 4x + 30 = 72 + 4 · 7 + 30 = 49 + 28 + 30 = 107 Untuk x = –6 diperoleh: y = x2 + 4x + 30 = (–6)2 + 4 · (–6) + 30 = 36 – 24 + 30 = 42 Jadi, penyelesaiannya adalah (–6, 42) dan (7, 107). x2

y + 5x = –1 ⇔ y = –5x – 1 y = x2 – x + 2 ⇔ –5x – 1 = x2 – x + 2 2 ⇔ x + 4x + 3 = 0 ⇔ (x + 3)(x + 1) = 0 ⇔ x = –3 atau x = –1 Untuk x = –3 ⇔ y = –5x – 1 = 14 Untuk x = –1 ⇔ y = –5x – 1 =4 Jadi, penyelesaiannya adalah (–3, 14) dan (–1, 4).

y = 3x2 + 3x – 11 ⇔ 2x2 + x + 4 = 3x2 + 3x – 11 2 ⇔ x + 2x – 15 = 0 ⇔ (x + 5)(x – 3) = 0 ⇔ x = –5 atau x = 3 Untuk x = –5 diperoleh: y = 2x2 + x + 4 = 2 · (–5)2 – 5 + 4 = 50 – 1 = 49 Untuk x = 3 diperoleh: y = 2x2 + x + 4 = 2(3)2 + 3 + 4 = 18 + 7 = 25 Jadi, penyelesaiannya adalah (–5, 49) dan (3, 25).

8.

y=

⇔ ⇔

– –5=

+ (k + 1)x + 20 + (k + 1)x + 20

+ (k + )x + 25 = 0

Diperoleh a = , b = k + , dan c = 25.

Matematika Kelas X

45

Sistem persamaan tersebut mempunyai dua akar real jika D > 0. D>0 2 ⇔ b – 4ac > 0

⇔ (k + )2 – 4 · · 25 > 0

⇔

(k + )2 – > 0

⇔

k2 + 3k + – > 0 ⇔ k2 + 3k – 4 > 0 ⇔ (k + 4)(k – 1) > 0 Pembuat nol: (k + 4)(k – 1) = 0 ⇔ k = –4 atau k = 1 ++

–– –4

++ 1

Jadi, nilai k yang memenuhi adalah {k | k < –4 atau k > 1}. 9.

K = 2π · PA ⇔ 81,64 = 2 · 3,14 · PA ⇔ PA = 13 cm Diketahui BP 7 cm kurang dari AB sehingga diperoleh: BP = AB – 7 . . . (1) Dengan teorema Pythagoras diperoleh: PA2 = AB2 + BP2 ⇔ 132 = AB2 + BP2 ⇔ 169 = AB2 + BP2 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). AB2 + BP2 = 169 2 ⇔ AB + (AB – 7)2 = 169 ⇔ AB2 + AB2 – 14AB + 49 = 169 ⇔ 2AB2 – 14AB – 120 = 0 ⇔ AB2 – 7AB – 60 = 0 ⇔ (AB – 12)(AB + 5) = 0 ⇔ AB = 12 atau AB = –5 Diambil AB = 12 cm karena AB > 0. Jadi, panjang AB = 12 cm.

46


10. Dari segitiga DGF diperoleh: GF2 = DF2 – DG2 = (2x – 1)2 – (x – 1)2 = (4x2 – 4x + 1) – (x2 – 2x + 1) = 3x2 – 2x . . . (1) Dari segitiga EFG diperoleh: GF2 = EF2 – EG2 = (3x – 2)2 – (2x + 2)2 = (9x2 – 12x + 4) – (4x2 + 8x + 4) . . . (2) = 5x2 – 20x Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: GF2 = 3x2 – 2x GF2 = 5x2 – 20x ––––––––––––– – 0 = –2x2 + 18x ⇔ 2x(–x + 9) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 9 Diambil x = 9 karena untuk x = 0 nilai DF, EF, dan DG menjadi negatif. x = 9 ⇔ GF2 = 3x2 – 2x = 3 · (9)2 – 2 · 9 = 243 – 18 = 225 GF2 = 225 ⇔ GF = 15 cm DE = DG + EG = (x – 1) + (2x + 2) = 3x + 1 =3·9+1 = 28 cm

L∆DEF = × DE × GF

= × 28 × 15 = 210 cm2 V = L∆DEF × BE = 210 × 25 = 5.250 cm3 Jadi, volume prisma tersebut 5.250 cm3.

Setelah mempelajari bab ini siswa: 1. mampu menjelaskan konsep sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel; 2. mampu menggambarkan dan menganalisis kurva pertidaksamaan kuadrat dua variabel pada sistem yang diberikan dan mengarsir daerah himpunan penyelesaiannya. Berdasarkan pengetahuan dan keterampilan yang dikuasai, siswa selalu optimis dan berpikir positif dalam menghadapi setiap permasalahan.

Materi • • •

Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel

Pembelajaran Kognitif • • •

Persamaan dan pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat dua variabel. Sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel.

Pengetahuan yang Dikuasai • • •

Menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat dua variabel. Menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Menentukan sistem petidaksamaan kuadrat dari suatu daerah penyelesaian.

Kegiatan Psikomotorik Menggambarkan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dan kuadrat dua variabel, serta sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel pada bidang kartesius.

Keterampilan yang Dikuasai Terampil menggambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel pada bidang kartesius.

Kemampuan dan Sikap yang Dimiliki • • •

Menjelaskan cara menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel. Menggambarkan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel pada bidang kartesius. Optimis dan berpikir positif dalam menghadapi setiap permasalahan.

Matematika Kelas X

47

Y

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c 1

1)

x + x + y = 0 ⇔ x2 + 1 + xy = 0 bukan PKDV yang grafik penyelesaiannya berbentuk parabola karena terjadi (terdapat) perkalian antarvariabel, yaitu xy.

2)

n + n + 1 = 0 ⇔ n2 + 1 + n = 0 bukan PKDV tetapi PKSV (persamaan kuadrat satu varibel) karena hanya terdiri atas satu variabel, yaitu n.

3)

x y

+ y – 3 = 0 ⇔ x + y2 – 3y = 0 merupakan

1

p – q + q2 = 0 ⇔ pq – 1 + q3 = 0 bukan PKDV yang grafik penyelesaiannya berbentuk parabola karena pangkat tertinggi salah satu variabel 3 dan terjadi (terdapat) perkalian antarvariabel, yaitu pq. 1 m2

1

+ m + 1 = 0 ⇔ 1 + m + m2 = 0 bukan PKDV tetapi PKSV (persamaan kuadrat satu varibel) karena hanya terdiri atas satu variabel, yaitu n. Jadi, PKDV yang grafik penyelesaiannya berupa parabola adalah pilihan c.

5)

X

0

–2

–6

1

PKDV yang grafik penyelesaiannya berupa parabola. 4)

–6

Ambil titik (0, 0) sebagai titik uji. 1

Substitusikan titik (0, 0) ke y ≥ – 2 x2 – 4x – 6. 1

y ≥ – 2 x2 – 4x – 6 1

⇔ 0 ≥ – 2 · 02 – 4 · 0 – 6

⇔ 0 ≥ –6 (benar) Dengan demikian, daerah penyelesaian memuat titik (0, 0). 1

Daerah penyelesaian y ≥ – 2 x2 – 4x – 6 sebagai berikut. Y

–6

0

–2

X

2. Jawaban: b 1

Persamaan parabola y = – 2 x2 – 4x – 6. Parabola memotong sumbu X jika y = 0. 1

y=0 ⇔

– 2 x2 – 4x – 6 = 0

⇔

– 2 (x2 + 8x + 12) = 0

1

⇔ (x + 2)(x + 6) = 0 ⇔ x + 2 = 0 atau x + 6 = 0 ⇔ x = –2 atau x = –6 Jadi, parabola memotong sumbu X di titik (–2, 0) dan (–6, 0). Parabola memotong sumbu Y jika x = 0. 1

x = 0 ⇔ y = – 2 · 02 – 4 · 0 – 6 = –6

Jadi, parabola memotong sumbu Y di titik (0, –6). 1

Sketsa parabola y = – 2 x2 – 4x – 6 sebagai berikut.

Oleh karena tanda ketidaksamaanya ≥, parabola digambar penuh.

48

–6

Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah pilihan b. 3. Jawaban: d Persamaan parabola y = f(x) = x 2 – 6x + 4 mempunyai nilai a = 1, b = –6, dan c = 4. Titik puncak parabola (p, q). b

p = – 2a = –

(−6) 2 ·1

=3

q = f(p) = f(3) = 32 – 6 · 3 + 4 = 9 – 18 + 4 = –5 Jadi, parabola mempunyai titik puncak (3, –5). Parabola memotong sumbu Y jika x = 0. x = 0 ⇔ y = f(0) = 02 – 6 · 0 + 4 = 4 Jadi, parabola memotong sumbu Y di titik (0, 4).

Sketsa parabola y = f(x) = x2 – 6x + 4 sebagai berikut. Oleh karena tanda ketidaksamaannya >, parabola digambarkan putus-putus. Y

4

Ambil titik (0, 0) sebagai titik uji. Substitusikan titik (0, 0) ke x ≤ y2 – 6y + 9. x ≤ y2 – 6y + 9 ⇔ 0 ≤ 02 – 6 · 0 + 9 ⇔ 0 ≤ 9 (benar) Dengan demikian, daerah penyelesaiannya memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian x ≤ y2 – 6y + 9 sebagai berikut. Y

0

X

3

3 –5 0

Ambil titik (0, 0) sebagai titik uji. Substitusikan titik (0, 0) ke y > x2 – 6x + 4. y > x2 – 6x + 4 ⇔ 0 > 02 – 6 · 0 + 4 ⇔ 0 > 4 (salah) Dengan demikian, daerah penyelesaian tidak memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian y > x2 – 6x + 4 sebagai berikut. Y

4

0

X

3

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah pilihan c. 5. Jawaban: e Persamaan parabola x = f(y) = –y2 – 9y – 18. Parabola memotong sumbu Y jika x = 0. x=0 ⇔ –y2 – 9y – 18 = 0 ⇔ y2 + 9y + 18 = 0 ⇔ (y + 3)(y + 6) = 0 ⇔ y + 3 = 0 atau y + 6 = 0 ⇔ y = –3 atau y = –6 Jadi, parabola memotong sumbu Y di titik (0, –3) dan (0, –6). Untuk y = –2 → x = f(–2) = –(–2)2 – 9(–2) – 18 = –4 + 18 – 18 = –4 Jadi, parabola melalui titik (–4, –2). Sketsa parabola x = f(y) = –y2 – 9y – 18 sebagai berikut. Y

–5

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah pilihan d. 4. Jawaban: c Persamaan kuadrat x = y2 – 6y + 9 = (y – 3)2 menyinggung sumbu Y di titik (0, 3) dan memotong sumbu X di titik (9, 0). Sketsa parabola x = y2 – 6y + 9 sebagai berikut. Y

3

0

X

9

9

X

–4

0

X

–2 –3 –6

Ambil titik (0, 0) sebagai titik uji. Substitusikan titik (0, 0) ke x > –y2 – 9y – 18. x > –y2 – 9y – 18 ⇔ 0 > –02 – 9 · 0 – 18 ⇔ 0 > –18 (benar) Dengan demikian, daerah penyelesaian memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian x > –y2 – 9y – 18 sebagai berikut.

Matematika Kelas X

49

Y

–4

0

X

–2 –3 –6

Jadi, daerah penyelesaiannya pilihan e. 6. Jawaban: d Parabola mempunyai titik puncak (1, –2) maka persamaannya adalah y = a(x – 1)2 – 2. Parabola melalui titik (0, 1) maka: 1 = a(0 – 1)2 – 2 ⇔ 1 = a – 2 ⇔a =3 Persamaan parabola menjadi: y = 3(x – 1)2 – 2 = 3(x2 – 2x + 1) – 2 = 3x2 – 6x + 3 – 2 = 3x2 – 6x + 1 Daerah penyelesaian memuat titik T(1, 0). Substitusikan xT = 1 ke 3x2 – 6x + 1. 3xT2 – 6xT + 1 = 3 · 12 – 6 · 1 + 1 = –2 (–2 ≤ 0 atau –2 ≤ yT) Dengan demikian, diperoleh 3xT2 – 6xT + 1 ≤ yT. Jadi, pertidaksamaannya 3x2 – 6x + 1 ≤ y atau y ≥ 3x2 – 6x + 1. 7. Jawaban: d Parabola menyinggung sumbu X di titik (5, 0) maka persamaan parabolanya y = f(x) = a(x – 5)2. Parabola melalui titik (3, –4) maka y = f(3) = –4. y = f(3) = a(3 – 5)2 = –4 ⇔ 4a = –4 ⇔ a = –1 Dengan demikian, diperoleh persamaan parabola y = f(x) = –(x – 5)2 = –(x2 – 10x + 25) = –x2 + 10x – 25 Daerah penyelesaian memuat titik O(0, 0). Substitusikan xO = 0 ke –x2 + 10x – 25. –xO2 + 10xO – 25 = –02 + 10 · 0 – 25 = –25 (–25 < 0 atau –25 < yO) Dengan demikian, diperoleh –xO2 – 10xO – 25 < yO. Jadi, pertidaksamaannya –x2 + 10x – 25 < y atau y > –x2 + 10x – 25 8. Jawaban: b Parabola memotong sumbu Y di titik (0, 0) dan (0, –3). Persamaan parabola adalah x = f(y) = a(y – 0)(y + 3).

50


Parabola melalui titik (4, 1) maka f(1) = 4. f(1) = a(1 – 0)(1 + 3) = 4 ⇔ 4a = 4 ⇔ a =1 Diperoleh persamaan parabola x = f(y) = 1(y – 0)(y + 3) = y2 + 3y. Daerah penyelesaian memuat titik A(4, 0). Substitusikan yA = 4 ke y2 + 3y. yA2 + 3yA = 02 + 3 · 0 = 0 (0 ≤ 4 atau 0 ≤ xA) Dengan demikian, diperoleh yA2 + 3yA ≤ xA. Jadi, pertidaksamaannya y 2 + 3y ≤ x atau x ≥ y2 + 3y. 9. Jawaban: a Misalkan persamaan parabola x = f(y) = ay2 + by + c. Parabola melalui titik (–3, 0), (–3, 2), dan (–7, 4) maka f(0) = –3, f(2) = –3, dan f(4) = –7. f(0) = –3 ⇔ a · 02 + b · 0 + c = –3 ⇔ c = –3 . . . (1) f(2) = –3 ⇔ a · 22 + b · 2 + c = –3 ⇔ 4a + 2b – 3 = –3 ⇔ 4a + 2b = 0 . . . (2) f(4) = –7 ⇔ a · 42 + b · 4 + c = –7 ⇔ 16a + 4b – 3 = –7 ⇔ 16a + 4b = –4 ⇔ 8a + 2b = –2 . . . (3) Eliminasi b dari persamaan (2) dan (3). 4a + 2b = 0 8a + 2b = –2 ––––––––––– – 1

–4a = 2 ⇔ a = – 2 1

Substitusikan a = – 2 ke 4a + 2b = 0 diperoleh: 1

4(– 2 ) + 2b = 0 ⇔ –2 + 2b = 0

⇔ 2b = 2 ⇔ b=1 Dengan demikian, diperoleh persamaan parabola 1

x = – 2 y2 + y – 3. Titik A(–7, 0) di dalam daerah penyelesaian. 1

Substitusikan yA = 0 ke – 2 y2 + y – 3. 1

1

– 2 yA2 + yA – 3 = – 2 · 0 + 0 – 3 = –3 > –7 (–3 > –7 atau –3 > xA) 1

Dengan demikian, diperoleh – 2 yA2 + yA – 3 > xA. 1

Jadi, pertidaksamaannya – 2 y2 + y – 3 > x atau 1

x < – 2 y2 + y – 3.

10. Jawaban: a a.

e.

Y 8 7 6 5 4 3 2 1 0 –1 –2

–3 –2 –1 0 –1 –2 1 2 3 4 5

1. a.

1 2

X

Titik (1, 4) dan (2, 2) di luar daerah penyelesaian y ≥ x2 + 3x + 3. c.

Y 8 7 6 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

b

1 2 3

Y 6 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2

Langkah 1: Menggambar sketsa parabola y = f(x) = –x2 – 6x – 5. 1) Parabola memotong sumbu X jika y = 0. y=0 ⇔ –x2 – 6x – 5 = 0 ⇔ x2 + 6x + 5 = 0 ⇔ (x + 5)(x + 1) = 0 ⇔ x + 5 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = –5 atau x = –1 Jadi, parabola memotong sumbu X di titik (–5, 0) dan (–1, 0). 2) Parabola memotong sumbu Y jika x = 0. x = 0 ⇔ y = –02 – 6 · 0 – 5 = –5 Jadi, parabola memotong sumbu Y di titik (0, –5). 3) Menentukan titik puncak parabola (p, q). y = f(x) = –x2 – 6x – 5 mempunyai nilai a = –1, b = –6, dan c = –5. p = – 2a = –

X

Titik (2, 2) di luar daerah penyelesaian y ≥ x2 + 3x – 3. d.

Titik (0, 6) di luar daerah penyelesaian y ≤ –x2 + 3x + 3. Jadi, himpunan titik {(0, 6), (1, 4), (2, 2)} berada di dalam daerah penyelesaian y ≥ x2 – 3x + 3. B. Uraian

Y 8 7 6 5 4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2

X

1 2 3 4 5

X

Titik (0, 6), (1, 4), dan (2, 2) di dalam daerah penyelesaian y ≥ x2 – 3x + 3. b.

Y 6 5 4 3 2 1

4)

(−6) 2(−1)

= –3

q = f(p) = f(–3) = –(–3)2 – 6(–3) – 5 = –9 + 18 – 5 =4 Jadi, parabola mempunyai titik puncak (–3, 4). Menentukan beberapa titik bantu. x

–6

–4

–2

y = f(x)

–5

3

3

Diperoleh titik bantu (–6, –5), (–4, 3), dan (–2, 3).

1 2 3

X

Titik (0, 6), (1, 4), dan (2, 2) di luar daerah penyelesaian y ≤ –x2 – 3x + 3. Matematika Kelas X

51

Oleh karena tanda ketidaksamaan >, parabola y = f(x) = –x2 – 6x – 5 digambar putusputus seperti berikut.

b

Y 5 4 3 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5

4) 1 2

X

b.

52


2

4

–5

3

–5

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3

1 2 3 4 5

X

Langkah 2: Uji titik untuk menentukan daerah penyelesaian x ≤ –y2 + 2y + 3. Dari gambar parabola terlihat titik (0, 0) di luar parabola. Substitusikan titik (0, 0) ke x ≤ –y2 + 2y + 3. x ≤ –y2 + 2y + 3 ⇔ 0 ≤ –02 + 2 · 0 + 3 ⇔ 0 ≤ 3 (benar) Dengan demikian, daerah penyelesaiannya memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian x ≤ –y2 + 2y + 3 sebagai berikut.

X

Langkah 1: Menggambar sketsa parabola x = f(y) = –y2 + 2y + 3. 1) Parabola memotong sumbu X jika y = 0. y = 0 ⇔ x = f(0) = 02 + 2 · 0 + 3 = 3 Jadi, parabola memotong sumbu X di titik (3, 0). 2) Parabola memotong sumbu Y jika x = 0. x=0 ⇔ –y2 + 2y + 3 = 0 ⇔ y2 – 2y – 3 = 0 ⇔ (y – 3)(y + 1) = 0 ⇔ y – 3 = 0 atau y + 1 = 0 ⇔ y = 3 atau y = –1 Jadi, parabola memotong sumbu Y di titik (0, 3) dan (0, –1). 3) Menentukan titik puncak parabola (p, q). Parabola x = f(y) = –y 2 + 2y + 3 mempunyai nilai a = –1, b = 2, dan c = 3.

–2

Y 4 3 2 1

Y 5 4 3 2 1 1 2

y x = f(y)

Diperoleh titik bantu (–5, –2), (3, 2), dan (–5, 4). Sketsa parabola x = f(y) = –y2 + 2y + 3 sebagai berikut.

Langkah 2: Uji titik untuk menentukan daerah penyelesaian y > –x2 – 6x – 5. Dari gambar parabola terlihat titik (0, 0) di luar parabola. Substitusikan titik (0, 0) ke y > –x2 – 6x – 5. y > –x2 – 6x – 5 ⇔ 0 > –02 – 6 · 0 – 5 ⇔ 0 > –5 (benar) Dengan demikian, daerah penyelesaiannya memuat titik (0, 0). Daerah yang diarsir berikut merupakan daerah penyelesaian y > –x2 – 6x – 5.

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5

2

q = – 2a = – =1 2(−1) p = f(q) = f(1) = –12 + 2 · 1 + 3 = –1 + 2 + 3 = 4 Jadi, parabola mempunyai titik puncak (4, 1). Menentukan beberapa titik bantu.

Y 4 3 2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3

2. a.

1 2 3 4 5

X

Langkah 1: Menentukan persamaan parabola. Parabola tegak mempunyai titik puncak (5, 3). Persamaan parabola y = f(x) = a(x – 5)2 + 3. Parabola melalui titik (2, 6) maka f(2) = 6. f(2) = a(2 – 5)2 + 3 = 6 ⇔ 9a = 3 ⇔

1

a= 3

Dengan demikian, diperoleh persamaan parabola y = f(x) =

1 3

1

(x – 5)2 + 3

1

= 3 (x2 – 10x + 25) + 3 =

1 3

3. Langkah 1: Menggambar sketsa parabola y = 4 x2 – 2x + 3. a. Parabola memotong sumbu X jika y = 0.

(x – 10x + 34)

b.

c.

x = 0 ⇔ y = f(0) = 4 · 02 – 2 · 0 + 3 = 3 Jadi, parabola memotong sumbu Y di titik (0, 3). Menentukan titik puncak parabola (p, q).

1

Substitusikan titik xT = 5 ke 3 (x2 – 10x + 34) 1

1

1

1

+ 34) = 3 (25 – 50 + 34) = 3 (3 ≤ 6 atau 3 ≤ yT) 1

Dengan demikian, diperoleh 3 (xT2 – 10xT + 34) ≤ yT. Jadi, pertidaksamaannya atau y ≥ b.

1 3

1

nilai a = 4 , b = –2, dan c = 3.

(x2 – 10x + 34).

⇔

a=

b

parabola x = f(y) = =

1 2 1 2

p = – 2a = – q = f(p) =

d.

(y + 2)(y + 5) (y2 + 7y + 10)

Langkah 2: Uji titik untuk menentukan tanda ketidaksamaan. Titik O(0, 0) di dalam daerah penyelesaian. Substitusikan titik yO = 0 ke 1

1 2

(y2

+ 7y + 10)

1

diperoleh 2 (yO2 + 7yO + 10) = 2 (02 + 7 · 0 + 10) = 5 (5 > 0 atau 5 > xO) 1

Dengan demikian, diperoleh 2 (yO2 + 7yO + 10) > xO. 1

Jadi, pertidaksamaannya 2 (y2 + 7y + 10) > x atau x < 2 (y2 + 7y + 10).

1 4

( −2) 2·

1 4

=4

· 42 – 2 · 4 + 3

=4–8+3 = –1 Jadi, parabola mempunyai titik puncak (4, –1). Menentukan beberapa titik bantu.

1 2

Dengan demikian, diperoleh persamaan

1

1

Parabola y = f(x) = 4 x2 – 2x + 3 mempunyai

1 2 (x – 10x + 34) ≤ y 3

Langkah 1: Menentukan persamaan parabola. Parabola mendatar memotong sumbu Y di titik (0, –2) dan (0, –5). Persamaan parabola x = f(y) = a(y + 2)(y + 5). Parabola melalui titik (5, 0) maka f(0) = 5. f(0) = a(0 + 2)(0 + 5) = 5 ⇔ 10a = 5

– 2x + 3 = 0

⇔ x2 – 8x + 12 = 0 ⇔ (x – 2)(x – 6) = 0 ⇔ x – 2 = 0 atau x – 6 = 0 ⇔ x = 2 atau x=6 Jadi, parabola memotong sumbu X di titik (2, 0) dan (6, 0). Parabola memotong sumbu Y jika x = 0.

Langkah 2: Uji titik untuk menentukan tanda ketidaksamaan. Titik T(5, 6) di dalam daerah penyelesaian.

diperoleh 3 (xT2 – 10xT + 34) = 3 (52 – 10 · 5

1 2 x 4

y=0 ⇔

2

x

–2

8

10

y = f(x)

8

3

8

Diperoleh titik bantu (–2, 8), (8, 3), dan (10, 8). 1

Sketsa parabola y = f(x) = 4 x2 – 2x + 3 sebagai berikut. Y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

Matematika Kelas X

53

Langkah 2: Uji titik untuk menentukan daerah penyelesaian y >

1 2 x 4

a.

– 2x + 3.

Titik (0, 0) di luar parabola. 1

Substitusikan titik (0, 0) ke y > 4 x2 – 2x + 3.

Hasil substitusi titik anggota himpunan A ke y ≤ x2 – 10x + 25. Titik

Hasil Substitusi

Nilai Kebenaran

(–1, 2)

2 ≤ (–1)2 – 10(–1) + 25

Benar

= 1 + 10 + 25 = 36

1

y > 4 x2 – 2x + 3 ⇔ 0 >

1 4

·

02

Dengan demikian, daerah penyelesaiannya tidak memuat titik (0, 0). Daerah penyelesaian y > berikut.

1 2 x 4

(1, 1)

1 ≤ 12 – 10 · 1 + 25 = 1 – 10 + 25 = 16

b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

Dari penyelesaian di atas diperoleh nilai y terendah –1 dan nilai y tertinggi tak hingga. Dengan demikian, y > –1. Jadi, batas-batas nilai y adalah {y | y > –1, y ∈ R}. 4. Berat kendaraan = w = 6 ton Tebal kayu = d = 20 cm Substitusikan w = 6 ton dan d = 20 cm ke w ≤ 0,05(d – 10)2. 6 ≤ 0,05(20 – 10)2 = 5 (bernilai salah) Oleh karena hasil substitusi bernilai salah, maka kendaraan tersebut tidak aman melewati jembatan tersebut. 5. Kedudukan titik-titik terhadap daerah penyelesaian suatu pertidaksamaan dapat diselidiki dengan cara mensubstitusikan titik-titik tersebut ke pertidaksamaan. Jika hasil substitusi bernilai benar, berarti titik di dalam daerah penyelesaian. Jika hasil substitusi bernilai salah, berarti titik di luar daerah penyelesaian.


Benar

Benar

(5, 4)

4 ≤ 52 – 10 · 5 + 25 = 25 – 50 + 25 =0

Salah

(6,–2)

–2 ≤ 62 – 10 · 6 + 25 = 36 – 60 + 25 =1

Benar

– 2x + 3 sebagai

Y 9 8 7 6 5 4 3 2 1

54

–3 ≤ 02 – 10 · 0 + 25 = 25

–2·0+3

⇔ 0 > 3 (salah)

–3 –2 –1 0 –1 –2 –3

(0, –3)

Jadi, titik (–1, 2), (0, –3), (1, 1), dan (6, –2) di dalam daerah penyelesaian y ≤ x2 – 10x + 25, sedangkan titik (5, 4) di luar daerah penyelesaian y ≤ x2 – 10x + 25. Hasil substitusi titik anggota himpunan A ke x > y2 + 6y + 5. Titik (–1, 2)

Hasil Substitusi –1 > 22 + 6 · 2 + 5 = 4 + 12 + 5 = 21

Nilai Kebenaran Salah

(0, –3)

0 > (–3)2 + 6(–3) + 5 = 9 – 18 + 5 = –4

Benar

(1, 1)

1 > 12 + 6 · 1 + 5 = 12

Salah

(5, 4)

5 > 42 + 6 · 4 + 5 = 16 + 24 + 5 = 45

Salah

(6,–2)

6 ≥ (–2)2 + 6(–2) + 5 = 4 – 12 + 5 = –3

Benar

Jadi, titik (0, –3) dan (6, –2) di dalam daerah penyelesaian x > y2 + 6y + 5, sedangkan titik (–1, 2), (1, 1), dan (5, 4) di luar daerah penyelesaian x > y2 + 6y + 5.

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c Persamaan parabola: y = x2 + 5x + 4 = (x + 4)(x + 1) Parabola memotong sumbu X di titik (–4, 0) dan (–1, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 4). Uji titik (0, 0) ke pertidaksamaan y ≥ x2 + 5x + 4. y = 0 ≥ 02 + 5 · 0 + 4 = 4 (salah) Dengan demikian, daerah penyelesaian dibatasi parabola y = x2 + 5x + 4 dan tidak memuat titik (0, 0). Garis 2x + 3y = 12 melalui titik (6, 0) dan (0, 4). Daerah penyelesaian 2x + 3y < 12 di kiri garis putus-putus 2x + 3y = 12. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y

Substitusikan titik (1, 0) ke pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian. Pertidaksamaan

Daerah Penyelesaian

y ≤ 2x2 – 4x

0 ≤ 2 · 12 – 4 · 1 ⇔ 0 ≤ –2 (salah)

Tidak memuat titik (1, 0)

x ≥ y2 – 2y – 1

1 ≥ 02 – 2 · 0 – 1 ⇔ 1 ≥ –1 (benar)

Memuat titik (1, 0)

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaannya sebagai berikut. Y

1 –2

y = x2 + 5x + 4

Hasil Substitusi Titik (1, 0)

0

1

2

X

–2 4

Jadi, grafik yang benar pilihan b. –4

0 –1

6

X 2x + 3y = 12

Jadi, grafik yang benar pilihan c. 2. Jawaban: b Menentukan titik puncak parabola dan titik-titik yang dilalui parabola. Persamaan y = 2x 2 – 4x mempunyai nilai a = 2, b = –4, dan c = 0

Titik Puncak Absis p =

b – 2a

=–

−4 2·2

Ordinat q = y(p) = y(1) = 2 · 12 – 4 · 1 = –2

Titik yang Dilalui (0, 0), (2, 0)

=1 x = y2 – 2y – 1 mempunyai nilai a = 1, b = –2, dan c = –1

p = x(q) = x(1) = 12 – 2 · 1–1 = –2

b

q = – 2a =– =1

(−2) 2 ·1

(–1, 0)

3. Jawaban: c Menentukan persamaan parabola dan garis. Parabola mempunyai titik puncak (–1, –5). Persamaan parabola y = a(x + 1)2 – 5. Parabola melalui titik (0, –2) maka: –2 = a(0 + 1)2 – 5 ⇔ –2 = a · 1 – 5 ⇔ a = 3 Persamaan parabola menjadi: y = 3(x + 1)2 – 5 = 3(x2 + 2x + 1) – 5 = 3x2 + 6x + 3 – 5 = 3x2 + 6x – 2 Garis melalui titik (0, 2) dan (4, 0). Persamaan garis: 2x + 4y = 8 ⇔ x + 2y = 4 ⇔ 2y + x = 4 Menentukan tanda ketidaksamaan. Titik O(0, 0) di dalam daerah penyelesaian. Substitusikan xO = 0 ke 3x2 + 6x – 2. 3xO2 + 6xO – 2 = 3 · 02 + 6 · 0 – 2 = –2 (–2 ≤ 0 = yO) Substitusikan titik O(0, 0) ke 2y + x. 2yO + xO = 2 · 0 + 0 = 0 ≤ 4 Dengan demikian, diperoleh 3xO2 + 6xO – 2 ≤ yO dan 2yO + xO ≤ 4. Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah y ≥ 3x2 + 6x – 2 dan 2y + x ≤ 4.

Matematika Kelas X

55

4. Jawaban: d Menentukan persamaan parabola. Persamaan parabola yang mendatar yang mempunyai titik puncak (4, 0) adalah x = a(y – 0)2 + 4 = ay2 + 4. Parabola melalui titik (–4, 2) maka: –4 = a · 22 + 4 ⇔ 4a = –8 ⇔ a = –2 Persamaan parabola menjadi x = –2y2 + 4. Persamaan parabola mendatar yang mempunyai titik puncak (–2, 0) adalah x = a(y – 0)2 – 2 = ay2 – 2. Parabola melalui titik (–4, 2) maka: 1

–4 = a · 22 – 2 ⇔ 4a = –2 ⇔ a = – 2

1

Persamaan parabola menjadi x = – 2 y2 – 2. Titik O(0, 0) berada di dalam daerah penyelesaian. 1

Substitusikan yO = 0 ke 2y2 + 4 dan – 2 y2 – 2. 2yO2 + 4 = –2 · 02 + 4 = 4 (4 ≥ 0 = xO) 1

1

– 2 yO2 – 2 = – 2 · 02 – 2 = –2 (–2 ≤ 0 = xO) Dengan demikian, diperoleh 2yO2 + 4 ≥ xO dan 1

– 2 yO2 – 2 ≤ xO.

Y

y = x2 – 3

4

1 0

–3

X

1 2

–3 y = –3x2 – 6x + 1

Jadi, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaanya adalah daerah IV. 6. Jawaban: c Parabola y = –x2 – x + 6 memotong sumbu Y di titik (0, 6) dan memotong sumbu X di titik (–3, 0) dan (2, 0). Grafik parabola y = –x2 – x + 6 terbuka ke bawah dan melalui titik (–2, 4), (–1, 6), dan (1, 4). Parabola y = –2x2 + 8x – 3 memotong sumbu Y di titik (0, –3), mempunyai titik puncak (2, 5), dan melalui titik (1, 3), (3, 3), dan (4, –3). Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaannya sebagai berikut. Y

Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah 1

5 4

– 2 y2 – 2 ≤ x dan 2y2 + 4 ≥ x.

3

5. Jawaban: d Parabola y = –3x2 – 6x + 1 terbuka ke bawah, b

2 1

−6

mempunyai sumbu simetri x = – 2a = – 2(−3) = 1

–3 –2 –1 0 –1

dan memotong sumbu Y di titik (0, 1). Parabola y = x2 – 3 terbuka ke atas, mempunyai b sumbu simetri x = – 2a

0 =– 2 ·1

= 0 dan memotong

sumbu Y di titik (0, –3). Uji titik (0, 0) ke pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian. Hasil Substitusi Titik (0, 0)

Daerah Penyelesaian

y ≤ –3x2 – 6x + 1

0 ≤ –3 · 02 – 6 · 0 + 1 ⇔ 0 ≤ 1 (benar)

Memuat titik (0, 0)

y ≥ x2 – 3

0 ≥ 02 – 3 ⇔ 0 ≥ –3 (benar

Memuat titik (0, 0)

0+3·0≤9 ⇔ 0 ≤ 9 (benar)

Memuat titik (0, 0)

Pertidaksamaan

x + 3y ≤ 9

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaannya sebagai berikut.

X

1 2 3 4

–2 –3 y=

–x2

y = –2x2 + 8x – 3

–x + 6

Himpunan titik yang berada di dalam daerah penyelesaian adalah {(1, 1), (1, –1), (1, –2), (2, –1), (2, –2)}. Jadi, pilihan yang benar adalah c. 7. Jawaban: a a. Y

4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6

1 2 3 4

X

y = –x2 + 3

y = –x2 – 4x

Titik-titik di dalam daerah penyelesaian. 56


b.

Y

8. Jawaban: d

y = x2 + 3

a. 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5

8 7 6 5 4 3 2 1

X

1 2 3 4

y = –x2 – 4x

Titik-titik di luar daerah penyelesaian. c.

Y

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2

y = x2 – 4x

4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5

X

1 2 3 4

b.

X

1 2 3

y = –x2 – 4x + 1

d.

Y y = x2 + 3

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2

4 3 2 y = x2 + 4x 1 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5

c.

4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5

Y 1

y = x2 – 3

1 2 3 4

X

y = x2 + 4x + 5

1

2

X

y = –x2 – 4x + 1

Daerah penyelesaian di kuadran II.

X

1 2 3 4

Titik (–2, 3) dan (–3, 0) di luar daerah penyelesaian. Y

Y 8 7 6 5 4 3 2 1

Titik-titik di luar daerah penyelesaian.

y = x2 + 4x

y = x2 + 2x + 3

Daerah penyelesaian di kuadran II.

y = –x2 + 3

e.

Y

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

y = x2 + 4x – 1 1 2

X

y = –x2 – 2x – 3

Daerah penyelesaian di kuadran III.

Titik (–3, 0), (–4, –2), dan (–4, –3) di luar daerah penyelesaian. Jadi, himpunan titik {(–2, 3), (–3, 0), (–4, 2), (–4, –3)} berada dalam sistem pertidaksamaan pilihan a.

Matematika Kelas X

57

d.

Y

1 2 3 4 5 6

y=

X

–x2

–2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9

1 2 3 4 5 6

X

= 3 · 10 · 15 × 20 = 100 × 20 = 2.000 cm3 B. Uraian 1.

Persamaan Parabola

Titik-Titik yang Dilalui

Titik Puncak Absis

Ordinat

b – 2a

–x2

yP = y(xP) y= + 2x – 3 xP = (–1, –6), mempunyai = y(1) (0, –3), 2+2·1–4 −2 nilai a = –1, b = = –1 (2, –3), =– 2(−1) 2, dan c = –3 (3, –6) = –2 =1 b

y = –x2 + 2x – 3

Daerah penyelesaian di kuadran IV. Jadi, sistem pertidaksamaan yang memiliki daerah penyelesaian di kuadran I adalah pilihan d. 9. Jawaban: b Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y 8 7 6 5 4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5

t1 = 8

y = –x 2 – 2x xP = – 2a yP = y(xP) mempunyai = y(–1) −2 nilai a = –1, b = = –(–1)2 – 2(–1) =– 2(−1) –2, dan c = 0 =1 = –1

(–4, –8), (–3, –3), (–2, 0), (0, 0), (1, –3), (2, –8)

Uji titik untuk menentukan daerah penyelesaian. Titik

Pertidaksamaan

Hasil Substitusi

Daerah Penyelesaian

(0, 0) y ≥ –x2 + 2x – 3 0 ≥ –02 + 2 · 0 – 3 ⇔ 0 ≥ –3 (benar)

Memuat titik (0, 0)

(0, –2) y ≤ –x2 – 2x

Memuat titik (0, –2)

–2 ≤ –02 – 2 · 0 ⇔ –2 ≤ 0 (benar)

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y

d=4 1 2 3 4 5 6

1

X

t2 = 4

Luas daerah penyelesaian = LI + LII 2

= 2 · 3 dt1 + 3 dt2 2

= 3 ·4·8+ 3 ·4·4

58

10. Jawaban: c Tempat perhiasan berbentuk prisma dengan alas berbentuk parabola. Volume tempat perhiasan = luas alas × tinggi

+ 2x + 3

y = x2 – 4x – 1

1

1

1

2

Y

2

64

1

Daerah penyelesaian di kuadran I.

1

32

21 3 satuan luas.

–2 –1 0 –1 –2 –3

e.

32

= 3 + 3 = 3 = 21 3 satuan luas Jadi, luas daerah penyelesaiannya adalah

y = x2 – 4x + 5

7 6 5 4 3 2 1


–4 –3 –2 –1 0 –1

Daerah penyelesaian

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

1 2 3 4 5

X

y = –x2 + 2x – 3

y = –x2 – 2x

2. Persamaan parabola tegak yang mempunyai titik puncak (2, 10) adalah y = a(x – 2)2 + 10. Parabola melalui titik (0, 6) maka: 6 = a(0 – 2)2 + 10 ⇔ –4 = 4a ⇔ a = –1 Persamaan parabola menjadi: y = –(x – 2)2 + 10 = –(x2 – 4x + 4) + 10 = –x2 + 4x – 4 + 10 = –x2 + 4x + 6 Persamaan parabola mendatar yang mempunyai titik puncak (2, 4) adalah x = a(y – 4)2 + 2. Parabola melalui titik (10, 0) maka: 1

10 = a(0 – 4)2 + 2 ⇔ 8 = 16a ⇔ a = 2 Persamaan parabola menjadi: x= = =

1 (y – 4)2 + 2 2 1 2 (y – 8y + 16) + 2 2 1 2 1 y – 4y + 8 + 2 = 2 y2 2

Pertidaksamaan 1

y ≤ 2 x2 + 2x – 1

1

y ≥ – 2 x2 + 2

Hasil Substitusi Titik (0, 0) 1

0 ≤ 2 · 02 + 2 · 0 – 1 ⇔ 0 ≤ –1 (salah)

– 4y + 10

– 4y + 10.

1 2 1 y – 4yO + 10 = 2 · 02 – 4 · 0 + 10 = 10 (10 > 0 = xO) 2 O

Dengan demikian, diperoleh –xO2 + 4xO + 6 ≥ yO 1

dan 2 yO2 – 4yO + 10 ≥ xO. Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah  y ≤ − x 2 + 4x + 6  − x 2 + 4x + 6 ≥ y atau .  1 2 1 2  2 y − 4y + 10 > x  x < 2 y − 4y + 10

3. Menentukan titik puncak dan titik-titik yang dilalui parabola. Absis b

1

y = 2 x2 + 2x – 1 p = – 2a mempunyai nilai 2 1 =– 1 a = 2 , b = 2, 2· 2 dan c = –1 = –2 1

b

y = – 2 x2 + 2 p = – 2a mempunyai nilai 0 1 =– 1 a = – 2 , b = 0, 2· 2 dan c = 2 =0

Ordinat q = y(p) = y(–2) 1

= 2 (–2)2 + 2(–2) – 1 =2–4–1 = –3 q = y(p) = y(0) 1

= – 2 · 02 + 2 =2


1

0 ≥ – 2 · 02 + 2 ⇔ 0 ≥ 2 (salah)

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut.

–5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4

Titik-Titik yang Dilalui (–6, 5), (–4, –1), (0, –1), (2, 5)

1

(–3, –2 2 ), (–2, 0),

1 2 3 4 5

X

–5

–xO2 + 4xO + 6 = –02 + 4 · 0 + 6 = 6 (6 ≥ 0 = yO)

Titik Puncak


5 4 3 2 1

Substitusikan xO = 0 ke –x2 + 4x + 6 dan yO = 0 ke

Persamaan Parabola

Daerah Penyelesaian

Y

Daerah penyelesaian memuat titik O(0, 0). 1 2 y 2

Uji titik (0, 0) ke pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian.

Daerah yang diarsir pada gambar di atas merupakan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan. Dari daerah penyelesaian di atas diperoleh batasbatas nilai x, yaitu x ≤ –3 atau x ≥ 1. Jadi, batas-batas nilai x yang memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut adalah x ≤ –3 atau x ≥ 1. 4. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y 2 1 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 I –6 –7 t1 –8 –9 –10

X

1 2 3 4 5 6 7 8 9 x = y2 + 10y + 17 x–y=9 d II x + y = –1 t2

1

(–1, 1 2 ), 1

(1, 1 2 ), (2, 0),

1

(3, –2 2 ) Matematika Kelas X

59

Luas daerah penyelesaian = luas I + luas II 2

1

= 3 · d · t1 + 2 · d · t2 2

1

= 3 ·6·9+ 2 ·6·3 = 36 + 9 = 45 satuan luas Jadi, luas daerah penyelesaiannya 45 satuan luas.

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: c x2 + y2 – 2x = 0 bukan PKDV yang mempunyai grafik penyelesaian berupa parabola karena kedua variabel mempunyai pangkat tertinggi 2 (x2 dan y2). 1

p + q – p = 0 ⇔ pq + 1 – p2 = 0 bukan PKDV yang mempunyai grafik penyelesaian berupa parabola karena terjadi perkalian antara kedua variabel (pq). r s

+ s – 1 = 0 ⇔ r + s2 – s = 0 merupakan PKDV

yang mempunyai grafik penyelesaian berupa parabola. 1 m

1

k t

t

+ n + 2 = 0 ⇔ n + m + 2mn = 0 bukan PKDV yang mempunyai grafik penyelesaian berupa parabola karena terjadi perkalian antara kedua variabel (mn). + k – 1 = 0 ⇔ k2 + t2 – kt = 0 bukan PKDV yang mempunyai grafik penyelesaian berupa parabola karena pangkat tertinggi kedua variabel 2 (k2 dan t2) dan antara kedua variabel terjadi perkalian (kt). Jadi, PKDV yang mempunyai grafik penyelesaian berupa parabola adalah pilihan c. 2. Jawaban: a Persamaan parabola: y = 2x2 – 4x – 1 Absis titik puncak: b

−4

5. Kecepatan awal = v = 5 m/detik. Substitusikan v = 5 m/detik ke sistem pertidaksamaan diperoleh: 1

7

h ≥ – 8 · 52 + 5 = 1 8 3

5

h ≤ – 8 · 52 + 3 · 5 = 5 8 7

Jadi, tinggi pantulan bola antara 1 8 meter sampai 5

dengan 5 8 meter. A. Pilihlah jawaban yang tepat.

Parabola memotong sumbu Y di titik (0, –1) dan memiliki titik puncak (1, –3). Daerah penyelesaian y > 2x2 – 4x – 1 dibatasi parabola putus-putus yang memiliki titik puncak (1, –3). Gambar yang sesuai adalah pilihan a. 3. Jawaban: b Persamaan parabola: x = y2 – 5y + 4. Parabola memotong sumbu X jika y = 0. y = 0 ⇔ x = 02 + 5 · 0 + 4 = 4 Jadi, parabola memotong sumbu X di titik (4, 0). Parabola memotong sumbu Y jika x = 0. x=0 ⇔ y2 – 5y + 4 = 0 ⇔ (y – 4)(y – 1) = 0 ⇔ y – 4 = 0 atau y – 1 = 0 ⇔ y = 4 atau y= 1 Jadi, parabola memotong sumbu Y di titik (0, 4) dan (0, 1). Uji titik (0, 0) ke x ≤ y2 – 5y + 4. 0 ≤ 02 – 5 · 0 + 4 (benar) Dengan demikian, daerah penyelesaian memuat titik (0, 0) dan dibatasi parabola yang memotong sumbu X di titik (4, 0) serta memotong sumbu Y di titik (0, 1) dan (0, 4). Jadi, daerah penyelesaian yang sesuai adalah pilihan b. 4. Jawaban: c 1

Persamaan parabola y = – 2 x 2 + 2x – 3 1

mempunyai nilai a = – 2 , b = 2, dan c = –3.

Parabola memotong sumbu Y di titik (0, –3). Absis titik puncak: b

2

pP = – 2a = – 2 · 2 = 1

p = – 2a = –

Ordinat titik puncak: qP = y(p) = y(1) = 2 · 12 – 4 · 1 – 1 =2–4–1 = –3

Ordinat titik puncak: q = y(p) = y(2)

60


1

2( − 2 )

=2

1

= – 2 · 22 + 2 · 2 – 3 = –2 + 4 – 3 = –1

Titik puncak parabola (2, –1). Garis y – 2x = –6 memotong sumbu X di titik (3, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –6). Uji titik (0, 0) ke pertidaksamaan. 1 2 x 2

+ 2x – 3 =

1 2

· 02 + 2 · 0 – 3

= –3 ≤ 0 = y (benar) 1

Dengan demikian, daerah penyelesaian y ≥ – 2 x2 + 2x – 3 memuat titik (0, 0). 0 – 2 · 0 = 0 ≥ –6 (benar) Dengan demikian, daerah penyelesaian y – 2x ≥ 6 memuat titik (0, 0). Jadi, grafik yang menunjukkan daerah penyelesaian adalah pilihan c.

5. Jawaban: d Persamaan parabola x = –y2 – 4y – 4 mempunyai nilai a = –1, b = –4, dan c = –4. Parabola memotong sumbu X di titik (–4, 0). Ordinat titik puncak: (−4)

b

q = – 2a = – 2(−1) = –2 Absis titik puncak: p = x(q) = x(–2) = –(–2)2 – 4(–2) – 4 = –4 + 8 – 4 =0 Titik puncak parabola (0, –2). Garis 6x – 4y = –24 memotong sumbu X di titik (–4, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 6). Uji titik (0, 0) ke pertidaksamaan. Pertidaksamaan


Daerah Penyelesaian

x < –y2 – 4y – 4

0 < –02 – 4 · 0 – 4 ⇔ 0 < –4 (salah)


6x – 4y ≥ –24

6 · 0 – 4 · 0 ≥ –24 ⇔ 0 ≥ –24 (benar)

Memuat titik (0, 0)

6. Jawaban: b Menentukan titik puncak dan titik-titik yang dilalui parabola. Titik yang Dilalui

Titik Puncak

Persamaan Parabola

Absis

Ordinat

b

(–2, 5), (–1, –1), (1, –1), (2, 5)

b

(0, 3)

y = 2x2 – 3 p = – 2a q = y(p) = y(0) mempunyai nilai 0 = 2 · 02 – 3 a = 2, b = 0, dan =– 2·2 c = –3 = –3 =0 y = –2x2 – 4x + 3 p = – 2a q = y(p) mempunyai nilai = y(–1) −4 a = –2, b = –4, = –2(–1)2 – 4(–1) =– 2(−2) dan c = 3 + 3 = –1 =5

Uji titik (0, 0) ke pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian. Daerah Penyelesaian


Pertidaksamaan y ≤ 2x2 – 3

0 < 2 · 02 – 3 ⇔ 0 < –3 (salah)

Dibatasi parabola dengan gambar penuh y = 2x2 – 3 dan tidak memuat titik (0, 0)

y ≤ –2x2 – 4x + 3 0 ≤ –2 · 02 – 4 · 0 + 3 ⇔ 0 ≤ 3 (benar)

Dibatasi parabola dengan gambar penuh y = –2x2 – 4x + 3 dan memuat titik (0, 0)

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y y = 2x2 – 3 6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y 6

1 2 3 4

X

y = –2x2 – 4x + 3

Jadi, grafik yang sesuai adalah pilihan b. 7. Jawaban: e x = –y2 – 4y – 4

1

–4

0

X

–2

Parabola y = – 2 x2 + 2x + 1 terbuka ke bawah dan memotong sumbu Y di titik (0, 1). Absis titik puncak: b

p = – 2a = – 6x – 4y = –24

2 1

2( − 2 )

=2

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah pilihan d. Matematika Kelas X

61

Ordinat titik puncak: q = y(p) = y(2)

Uji titik (0, 0) untuk menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan.

1

= – 2 · 22 + 2 · 2 + 1 = –2 + 4 + 1 =3 Titik puncak parabola (2, 3). Parabola y = x2 – 2x + 2 terbuka ke atas dan memotong sumbu Y di titik (0, 2). Absis titik puncak: p=

b – 2a

=

−2 – 2 ·1

=1

1

1

y ≤ – 2 x2 + 2x + 1 0 ≤ – · 02 + 2 · 0 + 1 2 ⇔ 0 ≤ 1 (benar) y≤

x2

– 2x + 2

0≤ –2·0+2 ⇔ 0 ≤ 2 (benar) 02

Daerah Penyelesaian Memuat titik (0, 0) Memuat titik (0, 0)

y = x2 – 2x + 2

X

1 2 3 4 5 6 1

y = – 2 x2 + 2x + 1

Jadi, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah pilihan e. 8. Jawaban: e Parabola y = x2 – 5x + 4 terbuka ke atas. Daerah penyelesaian y ≤ x2 – 5x + 4 dibatasi parabola y = x2 – 5x + 4. Parabola x = y2 – 8y + 19 terbuka ke kanan. Daerah penyelesaian x > y2 – 8y + 19 dibatasi parabola putus-putus x = y2 – 8y + 19.

62

Memuat titik (0, 0)

x > y2 – 8y + 19

x > 02 – 8 · 0 + 19 ⇔ 0 > 19 (salah)

Memuat titik (0, 0)


2

Y

–2 –1 0 –1 –2 –3

0 ≤ 02 – 5 · 0 + 4 ⇔ 0 ≤ 4 (benar)

4

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. 6 5 4 3 2 1

y ≤ x2 – 5x + 4

y = x2 – 5x + 4

Uji titik (0, 0) ke pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian. Hasil Substitusi Titik (0, 0)

Daerah Penyelesaian

Y

Ordinat titik puncak: q = y(p) = y(1) = 12 – 2 · 1 + 2 =1–2+2 =1 Titik puncak parabola (1, 1).

Pertidaksamaan


Pertidaksamaan


0 1

3 4

7

x = y2 – 8y + 19 X

Jadi, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah pilihan e. 9. Jawaban: a Parabola y = 2x2 + 8x + 5 terbuka ke atas dan memotong sumbu Y di titik (0, 5). Absis titik puncak: b

p = – 2a = –

8 2·2

= –2

Ordinat titik puncak: q = y(p) = y(–2) = 2 · (–2)2 + 8 · (–2) + 5 = 8 – 16 + 5 = –3 Titik puncak parabola (–2, –3). Parabola y = –x 2 + 6 terbuka ke bawah, memotong sumbu Y di titik (0, 6), dan melalui titik (1, 5). Garis 3x + 4y = 12 memotong sumbu X di titik (4, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 3). Uji titik (0, 0) ke pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian. Pertidaksamaan


Daerah Penyelesaian

y ≤ 2x2 + 8x + 5

0 ≤ 2 · 02 + 8 · 0 + 5 ⇔ 0 ≤ 5 (benar)

Memuat titik (0, 0)

y ≤ –x2 + 6

0 ≤ –02 + 6 ⇔ 0 ≤ 6 (benar)

Memuat titik (0, 0)

3x + 4y ≤ 12

3 · 0 + 4 · 0 ≤ 12 ⇔ 0 ≤ 12 (benar)

Memuat titik (0, 0)

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y 2 7 y = –x + 6 6 5 4

X 3x + 4y = 12

b

y=

2x2

+ 8x + 5

10. Jawaban: c Parabola x = f(y) = y2 + 4x + 5 terbuka ke kanan. Ordinat titik puncak: b

4 2 ·1


Pertidaksamaan

x ≥ –y2 – 6y – 5

Daerah Penyelesaian

0 > 02 + 4 · 0 + 5 ⇔ 0 > 5 (salah)


0 ≥ –02 – 6 · 0 – 5 ⇔ 0 ≥ –5 (benar)

Memuat (0, 0)

titik

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y x = y2 + 4y + 5 0 –1 –2

–5

1

y = x2 – 2x – 2 p = – 2a mempunyai −2 nilai a = 1, b = =– 2 ·1 –2, dan c = –2 =1 b

y = –x 2 + 5 p = – 2a mempunyai 0 nilai a = –1, b = =– 2(−1) 0, dan c = 5 =0

Ordinat q = y(xP) = y(2) = –22 + 4 · 2 + 3 = –4 + 8 + 3 =7

Memotong sumbu Y di titik (0, 3)

q = y(p) = y(1) = 12 – 2 · 1 – 2 = –3

Memotong sumbu Y di titik (0, –2)

q = y(p) = y(0) = –02 + 5 =5

(2, 1), (–2, 1)

= –2

Absis titik puncak: p = f(q) = f(–2) = (–2)2 + 4(–2) + 5 =4–8+5 =1 Diperoleh titik puncak parabola (1, –2). Parabola x = f(y) = –y2 – 6y – 5 = –(y + 1)(y + 5) terbuka ke kiri, memotong sumbu Y di titik (0, –1), dan (0, –5), serta melalui titik (3, –2). Uji titik (0, 0) ke pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian.

x > y2 + 4y + 5

b 2a

+ 4x + 3 p = – mempunyai 4 nilai a = –1, b = =– 2(−1) 4, dan c = 3 =2

Jadi, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah pilihan a.

q = – 2a = –

Absis

y = –x2

1 2 3 4 5


Titik Puncak

Persamaan Parabola

3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5

11. Jawaban: c Menentukan titik puncak dan titik-titik yang dilalui parabola.

3

5

X

x = –y2 – 6y – 5

Uji titik (0, 0) ke pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian. Hasil Substitusi Titik (0, 0)

Daerah Penyelesaian

y ≤ –x2 + 4x + 3

0 ≤ –02 + 4 · 0 + 3 ⇔ 0 ≤ 3 (benar)

Memuat titik (0, 0)

y ≥ x2 – 2x – 2

0 ≥ 02 –2 · 0 – 2 ⇔ 0 ≥ –2 (benar)

Memuat titik (0, 0)

0 ≤ –02 + 5 ⇔ 0 ≥ 5 (salah)


Pertidaksamaan

y ≥ –x2 + 5

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y 8 7 6 5 4 3 2 1 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4

y = x2 – 2x – 2

1 2 3 4 5

X

y = –x2 + 4x + 3 y = –x2 + 5

Jadi, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah pilihan c.

Jadi, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah pilihan c. Matematika Kelas X

63

12. Jawaban: d 1 2 y 2

Parabola x = 1 2

– 4y + 6 =

1 2

(y2 – 8y + 12) =

(y – 2)(y – 6) memotong sumbu X di titik (6, 0)

dan memotong sumbu Y di titik (0, 2) dan (0, 6). Parabola x =

1 2 y 2

+ 1 memotong sumbu X di titik

Persamaan Parabola y=

1 2 x + 2x – 6 2

mempunyai 1

nilai a = 2 , b = 2, dan c = –6

Absis p=

Ordinat

b – 2a

=–

q = y(p) = y(–2)

2 2·

1

= 2 (–2)2 + 2(–2) – 6 =2–4–6 = –8

1 2

= –2

(1, 0) dan melalui titik (3, 2). Uji titik (0, 0) ke pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian. Hasil Substitusi Titik (0, 0)

Pertidaksamaan 1

x ≥ 2 y2 – 4y + 6 1

Daerah Penyelesaian

1


1

0 ≥ 2 · 02 – 4 · 0 + 6 ⇔ 0 ≥ 6 (salah)

x ≤ 2 y2 + 1

x ≤ 2 · 02 + 1 ⇔ 0 ≤ 1 (benar)

Memuat titik (0, 0)

x+y≥6

0+0≥6 ⇔ 0 ≥ 6 (salah)


Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. x=

Y

1 2 y 2

– 4y + 6

b

1

1

= – 2 · 02 + 2 =2

b

q = y(p) = y(–4)

y = 2 x2 + 4x + 6 p = – 2a mempunyai 4 1 =– 1 nilai a = 2 , b = 2· 2 4, dan c = 6 = –4

1

= 2 · (–4)2 + 4(–4) +6 = 8 – 16 + 6 = –2

Uji titik (0, 0) ke pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian. Pertidaksamaan


x = 2 y2 + 1

y ≤ –x2 – 4x + 3

0 ≤ –02 – 4 · 0 + 3 ⇔ 0 ≤ 3 (benar)

X

y ≤ 2 x2 + 4x + 6 0 ≤ 2 · 02 + 4 · 0 + 6 Memuat titik (0, 0) ⇔ 0 ≤ 6 (benar)

1

x+y=6

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. 1

Jadi, daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah pilihan d. 13. Jawaban: c Menentukan titik puncak dan titik-titik yang dilalui parabola.

Y y = x2 + 4x + 6 2 7 6

1

y = 2 x2 + 2x – 6

3 –6 –4 –2 0 –2

2

X

–6 –8 y = –x2 – 4x + 3

64


Memuat titik (0, 0)

1

1

6

Daerah Penyelesaian

1 0 ≥ 2 · 02 + 2 · 0 – 6 Memuat titik (0, 0) ⇔ 0 ≥ –6 (benar)

2 3

Kurva terbuka ke atas dan memotong sumbu Y di titik (0, 6)

y ≥ 2 x2 + 2x – 6

1

1

Kurva terbuka ke atas dan memotong sumbu Y di titik (0, –6) Kurva terbuka ke bawah dan memotong sumbu Y di titik (0, 3)

q = y(p) = y(0)

y = –x2 – 4x + 3 p = – 2a mempunyai nilai a = –1, b = = – −4 2(−1) –4, dan c = 3 = –2

6

0


Titik Puncak

14. Jawaban: a Parabola mempunyai puncak (0, –3). Persamaan parabola: y = a(x – 0)2 – 3 = ax2 – 3 Parabola melalui titik (2, 1) maka: 1 = a · 22 – 3 ⇔ 4 = 4a ⇔ a =1 Persamaan parabola menjadi y = x2 – 3 Garis melalui titik (0, 2) dan (–5, 0). Persamaan garis: 2x – 5y = –10 ⇔ –2x + 5y = 10 Titik K(–5, 2) di dalam daerah penyelesaian. Substitusikan xK = –5 ke x2 – 3 dan –2x + 5y. xK2 – 3 = (–5)2 – 3 = 25 – 3 = 22 (> 2 = yK) –2xK + 5yK = –2(–5) + 5 · 2 = 10 + 10 = 20 (≥ 10) Dengan demikian, diperoleh yK < xK2 – 3 dan –2xK + 5yK ≥ 10. Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah y < x2 – 3 dan –2x + 5y ≥ 10. 15. Jawaban: c Parabola mempunyai titik puncak (2, 2). Persamaan parabola adalah y = a(x – 2)2 + 2. Parabola melalui titik (0, 0) maka: 0 = a(0 – 2)2 + 2 ⇔ –2 = 4a ⇔

1

y=

(x –

2)2

1

= 4 (x2 + 4x + 4) + 3 1

= 4 x2 + x + 1 + 3 1

= 4 x2 + x + 4 Garis melalui titik (0, 0) dan (–1, 4). Persamaan garis sebagai berikut. y−0 4−0

y 4

⇔

x−0

= −1 − 0 x

= −1 ⇔ –y = 4x ⇔ 4x + y = 0 Titik B(–2, 4) di dalam daerah penyelesaian.

1

+ xB + 4 = 4 · (–2)2 + (–2) + 4 =1–2+4 = 3 ≤ 4 = yB 4xB + yB = 4 · (–2) + 4 = –8 + 4 = –4 ≤ 0 Dengan demikian, diperoleh sistem pertidak-

+2

1

= – 2 x2 + 2x – 2 + 2

1

samaan y ≥ 2 xB2 + xB + 4 dan 4xB + yB ≤ 0. Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah

+ 2x

Garis melalui titik (0, –2) dan (3, 0). Persamaan garis adalah –2x + 3y = –6. Titik A(2, –2) di dalam daerah penyelesaian.

1

y ≥ 2 x2 + x + 4 dan 4x + y ≤ 0.

1

Substitusikan xA= 2 ke – 2 x2 + 2x dan –2x + 3y. 1

1

y = 4 (x + 2)2 + 3

1 2 x 4 B

1

=

a= 4 Persamaan parabola menjadi:

Substitusikan xB = –2 ke 4 x2 + x + 4 dan 4x + y.

= – 2 (x2 – 4x + 4) + 2

1 – 2 x2

1

⇔

1

a =–2

Persamaan parabola menjadi: 1 –2

16. Jawaban: d Parabola mempunyai titik puncak (–2, 3). Persamaan parabola adalah y = a(x + 2)2 + 3. Parabola melalui titik (0, 4) maka: 4 = a(0 – 2)2 + 3 ⇔ 1 = 4a

1

– 2 xA2 + 2xA = – 2 · 22 + 2 · 2 = –2 + 4 = 2 ≥ –2 = yA –2xA + 3yA = –2 · 2 + 3(–2) = –4 – 6 = –10 ≤ –6 1

Dengan demikian, diperoleh yA ≤ – 2 xA2 + 2xA dan –2xA + 3yA ≤ –6. 1

Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah y ≤ – 2 x2 + 2x dan –2x + 3y ≤ –6.

17. Jawaban: e Persamaan parabola yang terbuka ke bawah. Parabola mempunyai titik puncak (–2, –2). Persamaan parabola adalah y = a(x + 2)2 – 2. Parabola melalui titik (0, –4) maka: 1

–4 = a(0 + 2)2 – 2 ⇔ –2 = 4a ⇔ a = – 2 Persamaan parabola menjadi: 1

y = – 2 (x + 2)2 – 2 1

= – 2 (x2 + 4x + 4) – 2 1

= – 2 x2 – 2x – 2 – 2 1

= – 2 x2 – 2x – 4

Matematika Kelas X

65

Persamaan parabola yang terbuka ke atas sebagai berikut. Parabola mempunyai titik puncak (–1, –8). Persamaan parabola adalah y = a(x + 1)2 – 8. Parabola melalui titik (0, –6) maka:

Persamaan parabola menjadi: 1

y = – 2 (x – 2)(x – 8) 1

= – 2 (x2 – 10x + 16) 1

= – 2 x2 + 5x – 8

–6 = a(0 + 1)2 – 8 ⇔ a = 2

Titik O(0, 0) di dalam daerah penyelesaian.

Persamaan parabola menjadi: y = 2(x + 1)2 – 8 = 2(x2 + 2x + 1) – 8 = 2x2 + 4x + 2 – 8 = 2x2 + 4x – 6 Titik O(0, 0) di dalam daerah penyelesaian.

1

1 1 x 2 – 2xO + 3 = 3 · 02 – 2 · 0 + 3 = 3 (3 ≥ 0 = yO) 3 O 1 1 – 2 xO2 + 5xO – 8 = – 2 · 02 + 5 · 0 – 8

1

= –8 (–8 ≤ 0 = yO)

Substitusikan xO = 0 ke – 2 x2 – 2x – 4 dan 2x2 + 4x – 6.

1

1

Dengan demikian, diperoleh yO ≤ 3 x2 – 2xO + 3

1

– 2 xO2 – 2xO – 4 = – 2 · 02 – 2 · 0 – 4

1

= –4 (–4 ≤ 0 = yO) = 2 · 02 + 4 · 0 – 6 = –6 (–6 ≤ 0 = yO) Dengan demikian, diperoleh sistem pertidak2xO2 + 4xO – 6

1

samaan y ≥ – 2 xO2 – 2xO – 4 dan yO ≥ 2xO2 + 4xO – 6. 1

Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah y ≥ – 2 x2 – 2x – 4 dan y ≥ 2x2 + 4x – 6.

18. Jawaban: a Persamaan parabola yang terbuka ke atas sebagai berikut. Parabola mempunyai titik puncak (3, 0). Persamaan parabola adalah y = a(x – 3)2 + 0 = a(x – 3)2. Parabola melalui titik (0, 3) maka: 3 = a(0 – 3)2 ⇔ 3 = 9a 1

⇔ a= 3 Persamaan parabola menjadi: 1

y = 3 (x – 3)2 1

= 3 (x2 – 6x + 9) 1

= 3 x2 – 2x + 3 Persamaan parabola yang terbuka ke bawah sebagai berikut. Parabola memotong sumbu X di (2, 0) dan (8, 0). Persamaan parabola adalah y = a(x – 2)(x – 8). Parabola melalui titik (0, –8) maka: 1

–8 = a(0 – 2)(0 – 8) ⇔ –8 = 16a ⇔ a = – 2

66

1

Substitusikan xO = 0 ke 3 x2 – 2x + 3 dan – 2 x2 + 5x – 8.


dan yO ≥ – 2 xO2 + 5xO – 8. 1

Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah y ≤ 3 x2 1

– 2x + 3 dan y ≥ – 2 x2 + 5x – 8 19. Jawaban: c Persamaan parabola yang terbuka ke kiri sebagai berikut. Parabola mempunyai puncak di titik (0, –2). Persamaan parabola adalah x = a(y + 2)2. Parabola melalui titik (–4, 0) maka: –4 = a(0 + 2)2 ⇔ –4 = 4a ⇔ a = –1 Persamaan parabola menjadi: x = –1(y + 2)2 = –y2 – 4y – 4 Persamaan parabola yang terbuka ke kanan sebagai berikut. Parabola memotong sumbu Y di titik (0, 2) dan (0, –4). Persamaan parabola adalah x = a(y – 2)(y + 4). Parabola melalui titik (–8, 0) maka: –8 = a(0 – 2)(0 + 4) ⇔ –8 = –8a ⇔ a = 1 Persamaan parabola menjadi: x = 1(y – 2)(y + 4) = y2 + 2y – 8 Persamaan garis sebagai berikut. Parabola melalui titik (0, 0) dan (2, 3). 3

Persamaan garis: y = 2 x ⇔ 3x = 2y. Titik T(0, 1) di dalam daerah penyelesaian. Substitusikan yT = 1 ke –y2 – 4y – 4, y2 + 2y – 8, dan 2y. –yT2 – 4yT – 4 = –12 – 4 · 1 – 4 = –9 (–9 ≤ 0 = xT) yT2 + 2yT – 8 = 12 + 2 · 1 – 8 = –5 (–5 ≤ 0 = xT) 2yT = 2 · 1 = 2 ≥ 3 · 0 = 3xT

Dengan demikian, diperoleh: xT ≥ –yT2 – 4yT – 4, xT ≥ yT2 + 2yT – 8, dan 3xT ≤ 2yT. Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah x ≥ –y2 – 4y – 4, x ≥ y2 + 2y – 8, dan 3x ≤ 2y. 20. Jawaban: d Persamaan parabola yang terbuka ke atas sebagai berikut. Parabola memotong sumbu X di titik (–5, 0) dan (–2, 0). Persamaan parabola adalah y = a(x + 5)(x + 2). Parabola melalui titik (0, 5) maka: 5 = a(0 + 5)(0 + 2) ⇔ 5 = 10a 1


y = 2 (x + 5)(x + 2)

7

= 2 x2 + 2 x + 5 Persamaan parabola yang terbuka ke bawah sebagai berikut. Parabola memotong sumbu X di titik (–5, 0) dan (2, 0). Persamaan parabola adalah y = a(x + 5)(x – 2). Parabola melalui titik (0, 5) maka: 5 = a(0 + 5)(0 – 2) ⇔ 5 = –10a 1

⇔ a =–2 Persamaan parabola menjadi: 1

y = – 2 (x + 5)(x – 2) 1

= – 2 (x2 + 3x – 10) 1

3

= – 2 x2 – 2 x + 5 Persamaan garis yang memotong sumbu X di titik (–2, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, –4) adalah –2y – 4x = 8 ⇔ –y – 2x = 4. Daerah penyelesaian memuat titik T(0, 1). 1

7

1

3

Substitusikan T(0, 1) ke 2 x2 + 2 x + 5, – 2 x2 – 2 x + 5, dan –y – 2x. 1 2 x 2 T

7

1

7

+ 2 xT + 5 = 2 (0)2 + 2 (0) + 5 =0–0+5 = 5 (5 ≥ 1 = yT)

1

3

1

7

Dengan demikian, diperoleh yT ≤ 2 xT2 + 2 xT + 5, 1

3

yT ≤ – 2 xT2 – 2 xT + 5, dan –yT – 2xT ≤ 4. 1

Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah y ≤ 2 x2 7

1

3

+ 2 x + 5, y ≤ – 2 x2 – 2 x + 5, dan –y – 2x ≤ 4. 21. Jawaban: b Persamaan parabola yang terbuka ke atas sebagai berikut. Parabola mempunyai titik puncak (2, 3). Persamaan parabola adalah y = a(x – 2)2 + 3. Parabola melalui titik (0, 6) maka: 6 = a(0 – 2)2 + 3 ⇔ 3 = 4a 3

1

= 2 (x2 + 7x + 10) 1

–yT – 2xT = –(1) – 2(0) = –1 – 0 = –1 ≤ 4

1

3

– 2 xT2 – 2 xT + 5 = – 2 (0)2 – 2 (0) + 5 =0–0+5 = 5 (5 ≥ 1 = yT)


y = 4 (x – 2)2 + 3 3

= 4 (x2 – 4x + 4) + 3 3

= 4 x2 – 3x + 3 + 3 3

= 4 x2 – 3x + 6 Persamaan parabola yang terbuka ke bawah sebagai berikut. Parabola mempunyai titik puncak (3, 10). Persamaan parabola adalah y = a(x – 3)2 + 10. Parabola melalui titik (0, 1) maka: 1 = a(0 – 3)2 + 10 ⇔ –9 = 9a ⇔ a = –1 Persamaan parabola menjadi: y = –1(x – 3)2 + 10 = –(x2 – 6x + 9) + 10 = –x2 + 6x – 9 + 10 = –x2 + 6x + 1 Persamaan garis sebagai berikut. Garis memotong sumbu X di titik (–4, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 4). Persamaan garis: –4y + 4x = –16 ⇔ y – x = 4 Ambil sembarang titik yang berada di daerah penyelesaian (daerah yang diarsir). Misalkan mengambil titik (–2, 0), sebut saja titik B. 3

Substitusikan B(–2, 0) ke 4 x2 – 3x + 6, –x2 + 6x + 1, dan y – x.

Matematika Kelas X

67

3 x 2 4 B

3

– 3xB + 6 = 4 (–2)2 – 3(–2) + 6 =3+6+6 = 15 (15 ≥ 0 = yB) –xB2 + 6xB + 1 = –(–2)2 – 6(–2) + 1 = –4 – 12 + 1 = –15 (–15 ≤ 0 = yB) yB – xB = 0 – (–2) = 2 ≤ 4 Dengan demikian, diperoleh yB ≥ –xB2 + 6xB + 1, 3

yB ≤ 4 xB2 – 3xB + 6, dan yB – xB ≤ 4. Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah 3

y ≥ –x2 + 6x + 1, y ≤ 4 x2 – 3x + 6, dan y – x ≤ 4. 22. Jawaban: e Persamaan parabola mendatar sebagai berikut. Parabola menyinggung sumbu Y di titik (0, –2). Persamaan parabola: x = a(y + 2)2. Parabola melalui titik (–4, 0) maka: –4 = a(0 + 2)2 ⇔ –4 = 4a ⇔ a = –1 Persamaan parabola menjadi: x = –(y + 2)2 = –y2 – 4y – 4 Persamaan parabola tegak sebagai berikut. Parabola yang memotong sumbu X di titik (0, 0) dan (–4, 0). Persamaan parabola: y = a(x – 0)(x + 4) = a × (x + 4) Parabola melalui titik (–2,–2) maka: –2 = a(–2)(–2 + 4) ⇔ 1 = 2a ⇔ a=

1 2

y=

x(x + 4) =

1 2 x 2

+ 2x.

Ambil sembarang titik di dalam daerah penyelesaian, misalkan titik P(–2, 0). Substitusikan yP = 0 ke –y2 – 4y – 4 dan xP = –2 ke

1 2 x 2

+ 2x.

–yP2 – 4yP – 4 = –02 – 4 · 0 – 4 = –4 (–4 ≤ –2 = xP) 1 2 x 2 P

dan yP ≥

1 2 x 2 P

+ 2xP .

Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah

68

2

y = 3 (x + 2)(x – 3) 2

= 3 (x2 – x – 6) 2

2

= 3 x2 – 3 x – 4 Persamaan parabola yang mempunyai titik puncak (3, 0) adalah y = a(x – 3)2 + 0 = a(x – 3)2. Parabola melalui titik (0, 6) maka: 6 = a(0 – 3)2 ⇔ 6 = 9a 2

⇔ a = 3 Persamaan parabola menjadi: 2

y = 3 (x – 3)2 = 3 (x2 – 6x + 9) 2

= 3 x2 – 4x + 6 Titik O(0, 0) di dalam daerah penyelesaian. 2

–y2

– 4y – 4 dan y ≥

1 2 x 2

+ 2x.


2

Substitusikan xO = 0 ke –x2 + 6x – 4, 3 x2 – 3 x – 2

4, dan 3 x2 – 4x + 6. –xO2 + 6xO – 4 = –02 + 6 · 0 – 4 = –4 (–4 ≤ 0 = yO)

1

+ 2xP = 2 (–2)2 + 2(–2) = 2 – 4 = –2 (–2 ≤ –2 = xP)

Dengan demikian, diperoleh xP ≥ –yP2 – 4yP – 4

x≥

2

⇔ a= 3 Persamaan parabola menjadi:

2

Persamaan parabola menjadi: 1 2

23. Jawaban: d Persamaan parabola yang terbuka ke bawah sebagai berikut. Parabola mempunyai titik puncak (3, 5). Persamaan parabola adalah y = a(x – 3)2 + 5. Parabola melalui titik (0, –4) maka: –4 = a(0 – 3)2 + 5 ⇔ –9 = 9a ⇔ a = –1 Persamaan parabola menjadi: y = –1(x – 3)2 + 5 = –1(x2 – 6x + 9) + 5 = –x2 + 6x – 9 + 5 = –x2 + 6x – 4 Persamaan parabola yang memotong sumbu X di titik (–2, 0) dan (3, 0) adalah y = a(x + 2)(x – 3). Parabola melalui titik (0, –4) maka: –4 = a(0 + 2)(0 – 3) ⇔ –4 = –6a

2 x 2 3 O

2

2

2

– 3 xO – 4 = 3 · 02 – 3 · 0 – 4 = –4 (–4 ≤ 0 = yO)

2 x 2 3 O

2

– 4xO + 6 = 3 · 02 – 4 · 0 + 6 = 6 (6 ≥ 0 = yO)

Dengan demikian, diperoleh yO ≥ –xO2 + 6xO – 4, 2

2

2

Dengan demikian, diperoleh yP ≥ –xP2 – 8xP – 12, 1

yO ≥ 3 xO2 – 3 xO – 4, dan yO ≤ 3 xO2 – 4xO + 6.

yP ≥ – 4 xP2 – xP + 2, dan yP ≥ xP2 + 4xP.

Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah y ≥ –x2

Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah

2

2

2

+ 6x – 4, y ≥ 3 x2 – 3 x – 4, dan y ≤ 3 x2 – 4x + 6. 24. Jawaban: c Persamaan parabola yang mempunyai titik puncak (–4, 4) adalah y = a(x + 4)2 + 4. Parabola melalui titik (–2, 0) maka: 0 = a(–2 + 4)2 + 4 ⇔ –4 = 4a ⇔ a = –1 Persamaan parabola menjadi: y = –1(x + 4)2 + 4 = –1(x2 + 8x + 16) + 4 = –x2 – 8x – 12 Persamaan parabola yang mempunyai titik puncak (–2, 3) adalah y = a(x + 2)2 + 3. Parabola melalui titik (0, 2) maka: 2 = (0 + 2)2 + 3 ⇔ –1 = 4a 1 –4

⇔ a= Persamaan parabola menjadi:

1

y ≥ –x2 – 8x – 12, y ≥ – 4 x2 – x + 2, dan y ≥ x2 + 4x. 25. Jawaban: e 1

1

1

Parabola y ≤ – 2 x2 + 6x – 10 mempunyai a = – 2 < 0 maka grafik parabola terbuka ke bawah. Uji titik (0, 0) ke pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian. Daerah Penyelesaian


Pertidaksamaan

1 1 y ≤ 2 x2 – 4x + 10 0 ≤ 2 · 02 – 4 · 0 + 10 Memuat titik (0, 0) ⇔ 0 ≤ 10 (benar) 1

1 2 y ≤ – 2 x2 + 6x – 10 0 ≤ – 2 · 0 + 6 · 0 – 10 Tidak memuat titik (0, –2) ⇔ 0 ≤ –10 (salah)

1

y = – 4 (x + 2)2 + 3 1

= – 4 (x2 + 4x + 4) + 3

0 + 0 ≤ 10 ⇔ 0 ≤ 10 (benar)

y + x ≤ 10

1

= – 4 x2 – x – 1 + 3 1

= – 4 x2 – x + 2

Persamaan parabola yang terbuka ke atas sebagai berikut. Titik puncak parabola (–2, –4). Persamaan parabola adalah y = a(x + 2)2 – 4. Parabola melalui titik (0, 0) maka: 0 = a(0 + 2)2 – 4 ⇔ 4 = 4a ⇔ a =1 Persamaan parabola menjadi: y = 1(x + 2)2 – 4 = x2 + 4x + 4 – 4 = x2 + 4x Titik P(0, 4) di dalam daerah penyelesaian. 1

Substitusikan xP = 0 ke –x2 – 8x – 12, – 4 x2 – x + 2, dan x2 + 4x.

Memuat titik (0, 0)


1

y = 2 x2 – 4x + 10

10 8

1

y = – 2 x2 + 6x – 10

2 0

4

6

10

X y + x = 10

Jadi, daerah penyelesaiannya ditunjukkan oleh daerah V. 26. Jawaban: a

–xP2 – 8xP – 12 = –02 + 8 · 0 – 12 = –12 (–12 ≤ 4 = yP) 1

1

Parabola y ≤ 2 x2 – 4x + 10 mempunyai a = 2 > 0 maka grafik parabola terbuka ke atas.

1

– 4 xP2 – xP + 2 = – 4 · 02 – 0 + 2 = 2 (2 ≤ 4 = yP) xP2 + 4xP = 02 + 4 · 0 = 0 (0 ≤ 4 = yP)

Parabola y = x2 + 11x + 28 mempunyai a = 1 > 0 maka grafik parabola terbuka ke atas. Parabola y = –x2 – 6x – 5 mempunyai a = –1 < 0 maka grafik parabola terbuka ke bawah. 1

1

Parabola y = 3 x2 + 2x = x( 3 x + 2) memotong sumbu X di titik (0, 0) dan (–6, 0). Matematika Kelas X

69



Daerah Penyelesaian

y ≥ x2 + 11x + 28

2 ≤ 02 + 11 · 0 + 28 ⇔ 2 ≥ 28 (salah)


2 ≤ –02 – 6 · 0 – 5 ⇔ 2 ≤ –5 (benar)

Memuat titik (0, 2)

y ≥ –x2 – 6x – 5

1

1

0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. y = x2 + 11x + 28

III

c.

0

X

0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

–3 -

Jadi, daerah penyelesaiannya ditunjukkan oleh daerah I.

7 6 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

1

y = 2 x2 – 4x + 8

7 6 5 4 3 2 1

y = –x2 – 6x – 5

27. Jawaban: b a. Y

3y = –2x

1

y = – 2 x2 + 4x – 8

1

y = 3 x2 + 2x

–7 –6 –5 –4 –3 –1

V

X

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Himpunan titik A di dalam daerah penyelesaian.

4

y = –x2 – 6x – 5 II

1

y = 2 x2 – 5x + 8

Y

IV

I

Y

Y 7 6 5 4 3 2 1

Memuat titik (0, 2)

2 ≤ 3 · 02 + 2 · 0 ⇔ 2 ≥ 0 (benar)

y ≥ 3 x2 + 2x

b.

X

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

y = – 2 x2 – 5x – 8

3y = –2x

Himpunan titik A di luar daerah penyelesaian. y=

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 x 2

– 4x + 8

d.

1

Y

y = 2 x2 – 5x + 8

7 6 5 4 3 2 1

X

1

y = – 2 x2 + 5x – 8

3y = –2x

Himpunan titik A di luar daerah penyelesaian.

0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

X

y = – 2 x2 + 4x – 8

3y = –2x

Himpunan titik A di luar daerah penyelesaian.

70


e.

1

Y

y = 2 x2 – 5x + 8

7 6 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan beserta kedudukan titik-titik pada pilihan sebagai berikut. Y

1

y = 3 x2 + 2x + 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

X

–2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

3y = –2x

1

y = – 2 x2 + 4x – 8

28. Jawaban: c Menentukan titik puncak dan titik-titik yang dilalui parabola.

1

nilai a = – 4 , b = –2, dan c = –3

Absis

Ordinat

b 2a

(–8, –3), (–6, 0), (–2, 0), 1 = – 4 (–4)2 – 2(–4) (0, –4)

q = y(p) = y(–4)

−2

= – 2(− 1 ) 4

= –4

–3 = –4 + 8 – 3 =1

1

y = 2 x2+ x – 4 p = – b 2a mempunyai 1 1 =– 1 nilai a = 2 , 2( 2 ) b = 1, dan c = = –1 –4 1

y = 3 x2 + 2x + 2 p = – b 2a mempunyai 2 =– 1 1 2( 3 ) nilai a = 3 , b = 2, dan c = 2


Titik Puncak

1 y = – 4 x2 – 2x – 3 p = –

mempunyai

= –3

q = y(p) = y(–1) 1

= 2 (–1)2 – 1 – 4

(4, 0), (–2, –4), (0, –4), (2, 0)

(–6, 2), (0, 2)

q = y(p) = y(–3) =

1 (–3)2 + 3

2(–3)

+2 =3–6+2 = –1

1

y ≤ 4 x2 – 2x – 3

y≥

1 2 x + 2

x–4


0 ≤ 4 · 02 – 2 · 0 – 3 ⇔ 0 ≥ –3 (benar) 0≥

1 2

· 02 + 0 – 4

1

1

0 ≤ 3 · 02 + 2 · 0 + 2 ⇔ 0 ≤ 2 (benar)

Dari daerah penyelesaian di atas terlihat bahwa himpunan titik {(0, –1), (1, 1), (2, 3), (2, 4)} di dalam daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan. Jadi, himpunan titik yang berada dalam daerah penyelesaian adalah pilihan c. 29. Jawaban: b Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y 9 8

y = x2 – 10 + 25 x=7

7 6

t1

II

5

d

4

I 2 t2 1 x – y = –1 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 –1 –2

X

Luas= LI + LII

Daerah Penyelesaian Memuat titik (0, 0)

2

1

= 3 dt1 + 2 dt1 2

1

= 3 ·4·4+ 2 ·4·3 32

= 3 +6 2

Memuat titik (0, 0)

= 16 3 satuan luas 2

Jadi, luas potongan papan 16 3 satuan luas.

⇔ 0 ≥ –4 (benar) y ≤ 3 x2 + 2x + 2

1

y = – 4 x2 – 2x – 3

3

1

= –4 2


X

01 2 3 4 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 –1

Himpunan titik A di luar daerah penyelesaian. Jadi, sistem pertidaksamaannya pilihan b.

Persamaan Parabola

y = 2 x2 + x – 4

7 6 5 4 3 2 1

Memuat titik (0, 0)

Matematika Kelas X

71

30. Jawaban: a Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut.

Uji titik (0, –1) ke pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian. Pertidaksamaan

4

y ≤ – 2 x2 + 2x + 2 –1 ≤ – 2 · 02 + 2 · 0 + 2 t1

II

2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

X

t2

I

y = –4

x ≤ y2 – 7y + 10

0 ≤ (–1)2 + 7(–1) + 10 ⇔ 0 ≤ 4 (benar)

2y ≥ x

2(–1) ≥ 0 ⇔ –2 ≥ 0 (salah)

6 5 3 2 1

2

= 3 ·4·4+4·5 =

–4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5

+ 20 2

= 30 3 satuan luas B.

Uraian 1

1

1. Parabola y = – 2 x2 + 2x + 2 mempunyai a = 2 < 0 maka grafik parabola terbuka ke bawah. Absis titik puncak: xP =

b – 2a

=–

2 1

2( − 2 )

=2

Ordinat titik puncak: yP = y(xP) = y(2) 1

= – 2 · 22 + 2 · 2 + 2 = –2 + 4 + 2 = 4 1

Parabola = – 2 x2 + 2x + 2 mempunyai titik puncak (2, 4), memotong sumbu Y di titik (0, 2), serta melalui titik (–2, –4), (4, 2), dan (6, –4). Parabola x = y 2 – 7y + 10 = (y – 5)(y – 2) mempunyai a = 1 > 0 maka grafik parabola terbuka ke kanan. Parabola x = y2 – 7y + 10 memotong sumbu Y di titik (0, 2) dan (0, 5) serta melalui titik (–2, 3), (–2, 4), (4, 1), dan (4, 6). Garis 2y ≥ x melalui titik (0, 0) dan (4, 2).

72

2y = x

4

dt1 + dt1

32 3

Tidak memuat titik (0, –1)

Y 7

Luas= LI + LII =



x=4

x=0


⇔ –1 ≤ 2 (benar)

d

–4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6

2 3

1

1

3

Daerah Penyelesaian

Hasil Substitusi Titik (0, –1)

Y 5


x = y2 – 7y + 10 X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

y = – 2 x2 + 2x + 4

2. Menentukan titik puncak dan titik-titik yang dilalui parabola. Persamaan Parabola

Titik Puncak Absis

Ordinat

b

q = y(p) = y(4) = 42 – 8 · 4 + 18 = 16 – 32 + 18 =2

b

q = y(p) = y(2)

y = x2 – 8x + 18 p = – 2a mempunyai nilai a = 1, b = –8, dan = – −8 2(1) c = 18 =4 1

y = – 2 x2 + 2x + 4 p = – 2a mempunyai nilai 1

a = – 2 , b = 2, dan c = 4

=–

2 1

2(− 2 )

(2, 6), (3, 3), (5, 3), (6, 6) (–2, –2), (0, 4), (4, 4), (6, –2)

= –2 + 4 + 4 =6

=2

y = –x2 + 8x – 12 b mempunyai nilai p = – 2a a = –1, b = 8, dan 8 =– c = –12

2(−1)

=4

1

= – 2 · 22 + 2 · 2 + 4


q = y(p) = y(4) = –42 + 8 · 4 – 12 = –16 + 32 – 12 =4

(1, –5), (2, 0), (3, 3), (5, 3), (6, 0), (7, –5)



Daerah Penyelesaian

0 ≤ 02 – 8 · 0 + 18 ⇔ 0 ≤ 18 (benar)

Memuat titik (0, 0)

Pertidaksamaan y ≤ x2 – 8x + 18 1

1


1

Daerah Penyelesaian


Pertidaksamaan

Memuat titik (0, 0)

1

y ≤ – 2 x2 + 2x + 4 0 ≥ · 02 + 2 · 0 + 4 2 ⇔ 0 ≤ 4 (benar)

Memuat titik (0, 0)

y ≤ 2 x2 + 2

0 ≤ –02 + 8 · 0 – 12 ⇔ 0 ≤ –12 (salah)


y ≤ – 2 x2 – 2x + 2 0 ≤ – 2 · 02 + 2 · 0 + 2

y ≤ –x2 + 8x – 12

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan beserta kedudukan titik (1, 4), (2, 2), (3, 1), (4, 3), dan (5, –1) sebagai berikut. Y

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

X

–6 –5 –4 –3 –2 –10 –1 –2 –3 –4 –5 –6

3. Menentukan titik puncak dan titik-titik yang dilalui parabola.

Absis b

1 y = 2 x2 + 2 mem- p = – 2a

=–

0 1

2( 2 )

=0 1

c=2

–3x2

Ordinat q = y(p) = y(0) 1

= 2 · 02+ 2 =2

y = – 2 x2 – 2x + 2 p = – b 2a mempunyai nilai a −2 1 =– 1 = – , b = –2, dan 2

y ≥ – 3x2 + 6x + 2 0 ≥ –3 · 02 + 6 · 0 + 2 ⇔ 0 ≥ 2 (salah)

2(− 2 )

= –2

b 2a

y= + 6x + 2 p = – mempunyai nilai a 6 = –3, b = 6, dan c =– 2(−3) =2 =1


1

y = 2 x2 + 2

–3y + 2x = –6

7 6 5 4 3 2 1

Dari grafik di atas terlihat bahwa titik (3, 1) dan (5, –1) di dalam daerah penyelesaian, sedangkan titik (1, 4), (2, 2), dan (4, 3) di luar daerah penyelesaian.

Titik Puncak

Memuat titik (0, 0)

⇔ 0 ≤ 2 (benar)

y = –x2 + 8x – 12

y = – 2 x2 + 2x + 4

1

1

Y

–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6

punyai nilai a = 2 , b = 0, dan c = 2

1

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan beserta kedudukan garis sebagai berikut.

y = x2 – 8x + 18

7 6 5 4 3 2 1

Persamaan Parabola

0 ≤ 2 · 02 + 2 ⇔ 0 ≤ 2 (benar)

Titik-Titik yang Dilalui (–2, 4), 1 (–1, 2 2 ), 1 (1, 2 2 ),

(2, 4)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

y + 2x = 4 y+x=3 y = – 3x2 + 6x + 2

1

y = – 2 x2– 2x + 2

Dari grafik terlihat garis y + 2x = 4 dan y + x = 3 tidak melalui daerah penyelesaian, sedangkan garis –3y + 2x = –6 melalui daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan. 4. Menentukan titik puncak dan titik-titik yang dilalui parabola. Persamaan Parabola y = x2 – 3 mempunyai nilai a = 1, b = 0, dan c = –3


Titik Puncak Absis p =

b – 2a

=–

0 2 ·1

Ordinat q = y(p) = y(0) = 02 – 3 = –3

(–3, 6), (–2, 1), (–1, –2), (1, –2), (2, 1), (3, 6)

q = y(p)

(–1, 0), (0, 2), (1, 2), (2, 0)

=0 q = y(p) = y(–2) 1

= 2 (–2)2 – 2(–2) +2 = –2 + 4 + 2 =4 q = y(p) = y(1) = –3 · 12 + 6 · 1 + 2 = –3 + 6 + 2 =5

(–6, –4), (–4, 2), (0, 2), (2, –4)

y = –x2 + x + 2 mempunyai nilai a = –1, b = 1, dan c =2

b

p = – 2a =– 1

= 2 (0, 2), (2, 2)

X

1 2(−1)

=

1 y( 2 ) 1

1

= –(– 2 )2 + 2 + 2 1

1

=–4 + 2 +2 1

=24

Matematika Kelas X

73

1

Absis

=

Ordinat

b

3

q = y(p) = y(1)

p = – 2a

y = 2 x2 – x – 2 mempunyai nilai a 1 , 2


Titik Puncak

Persamaan Parabola

−1

=–

b = –1, dan c

(–3, 6), (–1, 0),

1

1

3

= 2 · 12 – 1 – 2

1

2( 2 )

=1

=

3

=–2

1 2

–

(0,–1 2 ), (2, –1 2 ), (3, 0), (5, 6)


y ≥ x2 – 3

0 ≤ 02 – 3 ⇔ 0 ≥ –3 (benar)

y ≥ –x2 + x + 2

1

3

1

Tidak memuat titik (0, 0) 3

Memuat titik (0, 0)

0 ≥ 2 · 02 – 0 – 2 3

⇔ 0 ≥ – 2 (benar)

y = x2 – 3

7 6 5 4 3 2 1 –6 –5 –4 –3 –2 –10 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –2y + 3x = 6

Memuat titik (0, 0)

Daerah penyelesaian beserta kedudukan titik (1, –1), (1, 2), (2, 4), (4, 0), (4, –3), dan (4, 2) sebagai berikut. Y

4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4

6y – 4x = –24 C

1

2

B 4 5

3

6

7

8

9

X

10

D

A

1

1

y = – 4 x2 + 2x – 1

1

Luas segitiga = 2 × alas × tinggi

3

1

y = 2 x2 – x – 2

= 2 × BC × AD 1

= 2 ×2×3 = 3 satuan luas 1 2 3 4 5 6 7 8 9

X

Jadi, luas segitiga 3 satuan luas. 1

2y + x = 6 y+x=1

2 y – 3x = –3 y = –x + x + 2

Dari grafik di atas terlihat –2y + 3x = –6 dan 2y + x = penyelesaian, sedangkan y – 3x = –3 dan y + x = penyelesaian.

titik potong garis 6 di dalam daerah titik potong garis 1 di luar daerah

1

5. Grafik parabola y = – 4 x2 + 2x – 1 terbuka ke bawah, memiliki titik puncak (4, 3), dan melalui titik (0, –1), (2, 2), (6, 2), dan (8, –1). Garis 6y – 4x = –24 melalui titik (0, –4) dan (6, 0).

74

6 · 0 – 4 · 0 ≥ –24 ⇔ 0 ≥ –24 (benar)

6y – 4x ≥ –24


–5

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan beserta kedudukan garis sebagai berikut. Y

⇔ 0 ≤ –1 (salah)

Memuat titik (0, 0)

0 ≤ –02 + 0 + 2 ⇔ 0 ≥ 2 (salah)

y ≥ 2 x2 – x – 2

1

1

y ≤ – 4 x2 + 2x – 1 0 ≤ – 4 · 02 + 2 · 0 – 1

Daerah Penyelesaian

Hasil Substitusi

Daerah Penyelesaian


Pertidaksamaan

1

5 2

= –2

Pertidaksamaan



6. Grafik parabola y = – 3 x2 + 10 terbuka ke bawah, memotong sumbu Y di titik (0, 10), serta melalui titik (–6, –2), (–3, 7), (3, 7), dan (6, –2). 1

Kurva y = 2 x2 – x – 7 terbuka ke atas, memotong sumbu Y di titik (0, –7), serta melalui titik (–4, 5), (–2, –3), (2, –7), (–2, –3), (4, –3), dan (6, 5). Uji titik (0, 0) ke pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian. Pertidaksamaan 1

y ≤ – 3 x2 + 10


0 ≤ – 3 · 02 + 10

Daerah Penyelesaian Memuat titik (0, 0)

⇔ 0 ≤ 10 (benar) 1

y ≥ 2 x2 – x – 7

1

0 ≥ 2 · 02 – 0 – 7 ⇔ 0 ≥ –7 (benar)

Memuat titik (0, 0)

Daerah penyelesaian beserta kedudukan titik garis-garis sebagai berikut. Y

1

y = 2 x2 – x – 7

10 9

5

1

D

= – 2 x2 + 2x – 4

C

y=5

4 3 2 1 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 y–x=8 –3 –4

1 2 3 4 5 6 7 8

X

B

–5 –6 –7 y=

1 – 3 x2

1

= – 2 (x2 – 4x + 4) – 2 1

7 6

1

y = – 2 (x – 2)2 – 2

= – 2 x2 + 2x – 2 – 2

8

A

Persamaan parabola menjadi:

1

Substitusikan xA = 3 ke x2 – 6x + 4 dan – 2 x2 + 2x

–8 + 10

Persamaan parabola mendatar sebagai berikut. Parabola mempunyai titik puncak (4, 2). Persamaan parabola: x = a(y – 2)2 + 4. Parabola melalui titik (0, 0) maka: 0 = a(0 – 2)2 + 4 ⇔ –4 = 4a ⇔ a = –1 Persamaan parabola menjadi: x = –1(y – 2)2 + 4 = –(y2 – 4y + 4) + 4 = –y2 + 4y Titik A(3, 0) di dalam daerah penyelesaian.

5y + 9x = –2 y – 9x = –22

1

– 4 serta yA = 0 ke –y2 + 4y. xA2 – 6xA + 4 = 32 – 6 · 3 + 4

Luas ∆ABC = 2 × alas × tinggi

= 9 – 18 + 4 = –5 (≤ yA)

1

= 2 × AC × BD

1

1

1

– 2 xA2 + 2xA – 4 = – 2 · 32 + 2 · 3 – 4

= 2 ×6×9

9

= 27 satuan luas

=–2 +6–4

Jadi, luas ∆ABC adalah 27 satuan luas. 7. Persamaan parabola tegak yang terbuka ke atas sebagai berikut. Parabola memempunyai titik puncak (3, –5). Persamaan parabola: y = a(x – 3)2 – 5. Parabola melalui titik (0, 4) maka: 4 = a(0 – 3)2 – 5 ⇔ 9 = 4a ⇔ a =1 Persamaan parabola menjadi: y = 1(x – 3)2 – 5 = x2 – 6x + 9 – 5 = x2 – 6x + 4 Persamaan parabola tegak yang terbuka ke bawah sebagai berikut. Parabola mempunyai titik puncak (2, –2). Persamaan parabola: y = a(x – 2)2 – 2. Parabola melalui titik (0, –4) maka: 1

–4 = a(0 – 2) – 2 ⇔ –2 = 4a ⇔ a = 2

1

1

= –2 2 (–2 2 ≤ 0 = yA) –yA2 + 4yA = –02 + 4 · 0 = 0 (0 ≤ 3 = xA) Dengan demikian, diperoleh: 1

xA2 – 6xA + 4 ≤ yA, – 2 xA2 + 2xA – 4 ≤ yA, dan –yA2 + 4yA ≤ xA Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah  x 2 − 6x + 4 ≤ y  y ≥ x 2 − 6x + 4  1 2  1 2  − 2 x + 2x − 4 ≤ y atau  y ≥ − 2 x + 2x − 4  2  2  y + 4y ≤ x  x ≥ − y + 4y

8. Persamaan parabola yang mempunyai titik puncak (2, –1) adalah y = a(x – 2)2 – 1. Parabola melalui titik (0, –3) maka: –3 = a(0 – 2)2 – 1 ⇔ –2 = 4a ⇔

1

a=–2

Matematika Kelas X

75

Persamaan parabola menjadi: y= = = =

1 – 2 (x – 2)2 – 1 1 – 2 (x2 – 4x + 4) – 1 1 – 2 x2 + 2x – 2 – 1 1 – 2 x2 + 2x – 3

Uji titik (0, 0) ke persamaan parabola untuk menentukan tanda ketidaksamaan. 1

= –3 (≤ y)

1

1

⇔ a=–2 Persamaan parabola menjadi: 1

y = – 2 (x + 4)2 + 5

=

5

1

y = 2 (x + 2)2 + 3 1

= 2 (x2 + 4x + 4) + 3 1

= 2 x2 + 2x + 2 + 3 + 2x + 5

Persamaan parabola yang mempunyai titik puncak (4, –3) adalah y = a(x – 4)2 – 3. Parabola melalui titik (0, 5) maka: 5 = a(0 – 4)2 – 3 ⇔ 8 = 16a 1

a= 2

Persamaan parabola menjadi: y= = = =

76

1 (x – 4)2 – 3 2 1 2 (x – 8x + 16) – 2 1 2 x – 4x + 8 – 3 2 1 2 x – 4x + 5 2

1

– 4x + 5 = 2 · 02 – 4 · 0 + 5 = 5 (≥ y) Dengan demikian, diperoleh sistem pertidak1

1

9. Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut.

+ 3 ⇔ 2 = 9a

⇔

1 2 x 2

1

⇔ a = Persamaan parabola menjadi:

=

1

+ 2x + 5 = 2 · 02 + 2 · 0 + 5 = 5 (≥ y)

y ≤ 2 x2 + 2x + 5, y ≤ 2 x2 – 4x + 5.

1 2

1 2 x 2

1 2 x 2

samaan y ≥ – 2 x2 + 2x – 3, y ≥ – 2 x2 – 4x – 3,

Persamaan parabola yang mempunyai titik puncak (–2, 3) adalah y = a(x + 2)2 + 3. Parabola melalui titik (0, 5) maka: 5 = a(0 +

= –3 (≤ y)

1

1 – 2 (x2 + 8x + 16) + 1 – 2 x2 – 4x – 8 + 5 1 – 2 x2 – 4x – 3

2)2

1

– 2 x2 – 4x – 3 = – 2 · 02 – 4 · 0 – 3

–3 = (x + 4)2 + 5 ⇔ –8 = 16a

=

1

– 2 x2 + 2x – 3 = – 2 · 02 + 2 · 0 – 3

Persamaan parabola yang mempunyai titik puncak (–4, 5) adalah y = a(x + 4)2 + 5. Parabola melalui titik (0, –3) maka:

=

Titik (0, 0) di dalam daerah penyelesaian.

Y 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 x = –y2 + 12y – 31 2 1

x – 2y = –15

C

t D

d

A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 –3 –2 –1 0 –1 –2 x = 1 x=9

X

2

Luas= LABCD – 3 dt 1

2

= 2 AB(AD + BC) – 3 dt 1

2

= 2 · 8(8 + 12) – 3 · 4 · 4 2

= 80 – 10 3 1

3


= 69 3 satuan luas 1

Jadi, luas daerah penyelesaian 69 3 satuan luas.

10. a.

Sketsa sisi depan tugu yang berlubang pada koordinat kartesius sebagai berikut. Y y=2

2

1,5

1

0,5

0,5

0 x=0

0,5 0,7 0,9 1

1,5

X

x = 1,4

Daerah yang diarsir merupakan sisi depan tugu.

b.

Persamaan parabola sebagai berikut. Parabola mempunyai titik puncak (0,7; 1). Persamaan parabola: y = a(x – 0,7)2 + 1. Parabola melalui titik (0,5; 0) maka: 0 = a(0,5 – 0,7)2 + 1⇔ 0,04a = –1 ⇔ a = –25 Persamaan parabola menjadi: y = 25(x – 0,7)2 + 1 Titik T(1, 1) di dalam daerah penyelesaian. Substitusikan xT = 1 ke 25(x – 0,7)2 + 1. 25(xT – 0,3)2 + 1 = 25(1 – 0,7)2 + 1 = 25 · 0,09 + 1 = 2,25 (2,25 ≥ 1 = yT) Dengan demikian, diperoleh 25(xT – 0,7)2 + 1 ≥ yT. Daerah penyelesaian di kanan sumbu Y dan di kiri garis x = 1,4 maka 0 ≤ x ≤ 1,4. Daerah penyelesaian di atas sumbu X dan di bawah garis y = 2 maka 0 ≤ y ≤ 2. Jadi, sistem pertidaksamaannya adalah 25(x – 0,7)2 + 1 ≥ y, 0 ≤ x ≤ 1,4, dan 0 ≤ y ≤ 2

Matematika Kelas X

77

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: b Fungsi f(x) merupakan fungsi eksponen monoton turun. Hanya pilihan b, d, atau e yang kemungkinan benar. Cek titik (0, 0) pada ketiga pilihan. Pilihan b: y = 3–x – 1 ⇔ 0 = 3–0 – 1 ⇔ 0=1–1 ⇔ 0 = 0 (benar) Pilihan d: y = 3–x + 1 ⇔ 0 = 3–0 + 1 ⇔ 0=1+1 ⇔ 0 = 2 (salah) Pilihan e: y = 2–x + 1 ⇔ 0 = 2–0 + 1 ⇔ 0=1+1 ⇔ 0 = 2 (salah) Jadi, bentuk fungsinya adalah y = 3–x – 1. 2. Jawaban: c Kurva y = 2log (x – 1) diperoleh dengan menggeser kurva y = 2log x ke kanan 1 satuan. Diperoleh grafik berikut. Y y = 2log x y = 2log (x – 1) 0

1

4. Jawaban: d 2 · 4x – 3 · 2x + 1 = 0 ⇔ 2 · (2x)2 – 3 · 2x + 1 = 0 Misalkan p = 22. 2 · (2x)2 – 3 · 2x + 1 = 0 ⇔ 2p2 – 3p + 1 = 0 ⇔ (2p – 1)(p – 1) = 0 ⇔ 2p – 1 = 0 atau p – 1 = 0 1

⇔

p = 2 atau

p=1

⇔

1 2

2x = 1

2x =

atau

⇔ x = –1 atau x=0 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–1, 0}. 5. Jawaban: a 2 9x – 1 > 3x – 3x – 4 2 ⇔ 32(x – 1) > 3x – 3x + 4 ⇔ 2(x – 1) > x2 – 3x + 4 ⇔ 2x – 2 > x2 – 3x + 4 ⇔ –x2 + 5x – 6 > 0 ⇔ x2 – 5x + 6 < 0 ⇔ (x – 2)(x – 3) < 0 Pembuat nol fungsi: (x – 2)(x – 3) = 0 ⇔ x – 2 = 0 atau x – 3 = 0 ⇔ x = 2 atau x=3

X

2

2

3

⇔ 2
x2 − 3x − 5

2

= 5x + 2

⇔ 5−1(x −3x −5) = 5x + 2 ⇔ –(x2 – 3x – 5) = x + 2 ⇔ –x2 + 3x + 5 = x + 2 ⇔ –x2 + 2x + 3 = 0 ⇔ (–x – 1)(x – 3) = 0 ⇔ –x – 1 = 0 atau x – 3 = 0 ⇔ x = –1 atau x=3 Jadi, penyelesaiannya adalah x = –1 atau x = 3.

6. Jawaban: b Misalkan p = 2x. 22x + 1 – 5 · 2x + 1 + 8 < 0 ⇔ 2 · (2x)2 – 5 · 2 · 2x + 8 < 0 ⇔ 2p2 – 10p + 8 < 0 ⇔ p2 – 5p + 4 < 0 ⇔ (p – 1)(p – 4) < 0 Pembuat nol fungsi: (p – 1)(p – 4) = 0 ⇔ p – 1 = 0 atau p – 4 = 0 ⇔ p = 1 atau p=4

1

78

Ulangan Akhir Semester

4

⇔ 1 x2 diperoleh x1 = 1 dan x2 = –4. Nilai x1 – 2x2 = 1 – 2(–4) =1+8 =9

10. Jawaban: e 2 log (2x – 4) – log (x – 1) < log (x + 4) ⇔ 2 log (2x – 4) < log (x – 4) + log (x – 1) ⇔ log (2x – 4)2 < log (x + 4)(x – 1) ⇔ (2x – 4)2 < (x + 4)(x – 1) 2 ⇔ 4x – 16x + 16 < x2 + 3x – 4 ⇔ 3x2 – 19x + 20 < 0 ⇔ (3x – 4)(x – 5) < 0 Pembuat nol fungsi: (3x – 4)(x – 5) = 0 ⇔ 3x – 4 = 0 atau x – 5 = 0 4

⇔ x = 3 atau x = 5 . . . (1) 4 3

Syarat numerus: • 2x – 4 > 0 ⇔ x > 2 . . . (2) 2

•

. . . (3)

•

1

(x2 + 2x) < 2 ⇔ 9log (x2 + 2x) < 9log 3 ⇔ x2 + 2x < 3 2 ⇔ x + 2x – 3 < 0 ⇔ x2 + 2x – 3 < 0 ⇔ (x + 3)(x – 1) < 0 Pembuat nol fungsi: (x + 3)(x – 1) = 0 ⇔ x + 3 = 0 atau x – 1 = 0 ⇔ x = –3 atau x=1

. . . (4)


–4

Syarat numerus: x2 + 2x > 0 ⇔ x(x + 2) > 0 . . . (2) 0

Dari penyelesaian (1) dan (2) diperoleh:

–3

–2

0

1

4 3

2

5

Jadi, penyelesaiannya adalah 2 < x < 5.

1

–2

x + 4 > 0 ⇔ x > –4

–4

. . . (1) –3

x–1>0 ⇔ x>1

1

9. Jawaban: e 9log

5

1

11. Jawaban: a y–5=x ⇔ y=x+5 y = x2 + 5x – 16 ⇔ x + 5 = x2 + 5x – 16 2 ⇔ x + 4x – 21 = 0 ⇔ (x + 7)(x – 3) = 0 ⇔ x = –7 atau x = 3 Untuk x = –7 ⇒ y = x + 5 = –7 + 5 = –2 Untuk x = 3 ⇒ y = x + 5 =3+5=8 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(–7, –2), (3, 8)}.

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah –3 < x < –2 atau 0 < x < 1. Matematika Kelas X

79

12. Jawaban: b y = x2 – x – 35 ⇔ 2x + 5 = x2 – x – 35 2 ⇔ x – 3x – 40 = 0 ⇔ (x + 5)(x – 8) = 0 ⇔ x = –5 atau x = 8 Diambil a = 8 dan c = –5 karena a > c. Untuk x = a = 8 diperoleh: b=y = 2x + 5 =2·8+5 = 21 Untuk x = c = –5 diperoleh: d=y = 2x + 5 = 2 · (–5) + 5 = –5 ad – bc = 8 · (–5) – 21 · (–5) = –40 + 105 = 65 13. Jawaban: a y = x2 + 3x – 1 ⇔ x + 7 = x2 + 3x – 1 2 ⇔ x + 2x – 8 = 0 ⇔ (x + 4)(x – 2) = 0 ⇔ x = –4 atau x = 2 x = –4 ⇒ y = x + 7 =3 Diperoleh titik (–4, 3). Titik (–4, 3) berada di kuadran II sehingga koordinat titik (a, b) = (–4, 3). 14. Jawaban: b y = x2 + 2x – 2k ⇔ 3x + k = x2 + 2x – 2k ⇔ x2 – x – 3k = 0 Diperoleh a = 1, b = –1, dan c = –3k. Sistem persamaan mempunyai satu penyelesaian jika D = 0. b2 – 4ac = 0 ⇔ (–1)2 – 4 × 1 × (–3k) = 0 ⇔ 1 + 12k = 0 ⇔

1 k = – 12

Sistem persamaan mempunyai dua penyelesaian jika D > 0. b2 – 4ac > 0 2 ⇔ (k + 1) – 4 · 2 · 2 > 0 ⇔ k2 + 2k + 1 – 16 > 0 ⇔ k2 + 2k – 15 > 0 ⇔ (k + 5)(k – 3) > 0 Pembuat nol: (k + 5)(k – 3) = 0 ⇔ k = –5 atau k = 3

–5

3

Jadi, nilai k yang memenuhi adalah {k | k < –5 atau k > 3}. 16. Jawaban: c y = 2x2 + 2x – 5 ⇔ x2 – 3x + 1 = 2x2 + 2x – 5 ⇔ x2 + 5x – 6 = 0 ⇔ (x + 6)(x – 1) = 0 ⇔ x = –6 atau x = 1 Untuk x = –6 ⇒ y = x2 – 3x + 1 = (–6)2 – 3 · (–6) + 1 = 36 + 18 + 1 = 55 Untuk x = 1 ⇒ y = x2 – 3x + 1 = 12 – 3 · 1 + 1 = –1 Jadi, penyelesaiannya (–6, 55) dan (1, –1). 17. Jawaban: d y = 3x2 – 4x + 10 ⇔ –x2 + 8x + 1 = 3x2 – 4x + 10 ⇔ 4x2 – 12x + 9 = 0 ⇔ (2x – 3)2 = 0 ⇔ 2x – 3 = 0 3

⇔

x= 2 3

x = 2 ⇒ y = –x2 + 8x + 1 3

3

= –( 2 )2 + 8 · 2 + 1 9

1

Jadi, nilai k yang memenuhi adalah – 12 . 15. Jawaban: c y = 2x2 + (k – 2)x + 3 ⇔ –3x + 1 = 2x2 + (k – 2)x + 3 2 ⇔ 2x + (k + 1)x + 2 = 0

= – 4 + 12 + 1 9

= – 4 + 13 =

−9 + 52

4

43 = 4 3

Diperoleh m = x = 2 43

n=y= 4

80


3

43

16m – 4n = 16 × 2 – 4 · 4 = 24 – 43 = –19 Jadi, nilai 16m – 4n = –19.

18. Jawaban: e a dan b dua bilangan berurutan sehingga b – a = 2 atau b = a + 2 . . . (1) a × b = 195 . . . (2) Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). a × b = 195 ⇔ a(a + 2) = 195 ⇔ a2 + 2a – 195 = 0 ⇔ (a – 13)(a + 15) = 0 ⇔ a = 13 atau a = –15 Diambil a = 13 karena a dan b bilangan positif. a = 13 ⇒ b = a + 2 = 15 a + b = 13 + 15 = 28 Jadi, hasil penjumlahan kedua bilangan tersebut 28. 19. Jawaban: a Dari segitiga ABD diperoleh: BD2 = AD2 – AB2 = (3x + 1)2 – (x + 1)2 = (9x2 + 6x + 1) – (x2 + 2x + 1) = 8x2 + 4x . . . (1) Dari segitiga BCD diperoleh: BD2 = BC2 – CD2 = (4x – 1)2 – (2x + 1)2 = (16x2 – 8x + 1) – (4x2 + 4x + 1) = 12x2 – 12x . . . (2) Dari (1) dan (2) diperoleh: BD2 = 8x2 + 4x ⇔ 12x2 – 12x = 8x2 + 4x ⇔ 4x2 – 16x = 0 ⇔ 4x(x – 4) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 4 Diambil x = 4 karena untuk x = 0 mengakibatkan BC negatif. AB = x + 1 = 5 cm Jadi, panjang AB 5 cm. 20. Jawaban: b Misalkan: p = panjang persegi panjang = lebar persegi panjang d = panjang diagonal persegi panjang Diperoleh: p = 4 + . . . (1) ⇔ d2 = p2 + 2 ⇔ ⇔

( 4 5 )2 = p2 + 2 p2 + 2 = 80 . . . (2)

Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). p2 + 2 = 80 ⇔ 80 = (4 + )2 + 2 ⇔ 80 = 16 + 8 + 2 + 2 2 ⇔ 2 + 8 – 64 = 0 ⇔ 2 + 4 – 32 = 0 ⇔ ( + 8)( – 4) = 0 ⇔ = –8 atau = 4 Diambil = 4 cm karena > 0. = 4 cm ⇒ p = 4 + = 8 cm L =p× =8×4 = 32 cm2 Jadi, luas persegi panjang ABCD 32 cm2. 21. Jawaban: e Persamaan parabola: x = 2 + 2y – y2 mempunyai nilai a = –1, b = 2, dan c = 2. Ordinat titik puncak: −b

−2

q = 2a = 2(−1) = 1 Absis titik puncak: p = x(q) = x(1) = 2 + 2 · 1 – 12 =3 Titik puncak parabola (3, 1). Parabola memotong sumbu X di titik (2, 0). Daerah penyelesaian x < 2 + 2y – y2 dibatasi parabola putus-putus yang memiliki titik puncak (3, 1) dan memotong sumbu X di titik (2, 0). Gambar yang sesuai adalah pilihan e. 22. Jawaban: a Parabola memotong sumbu X di titik (–2, 0) dan (3, 0) maka persamaannya adalah y = a (x + 2)(x – 3). Parabola melalui titik (0, –6) maka: –6 = a(0 + 2)(0 – 3) ⇔ –6 = –6a ⇔ a=1 Persamaan parabola menjadi: y = 1(x + 2)(x – 3) = x2 – x – 6 Daerah penyelesaian memuat titik O(0, 0) = (xO, yO). Substitusikan xO = 0 ke x2 – x – 6. xO2 – xO – 6 = 02 – 0 – 6 = –6(–6 ≤ 0 = yO) Dengan demikian, diperoleh: xO2 – xO – 6 ≤ yO Jadi, pertidaksamaannya x2 – x – 6 ≤ y atau y ≥ x2 – x – 6. 23. Jawaban: b Persamaan parabola y = x2 + 6x + 9 = (x + 3)2 menyinggung sumbu X di titik (–3, 0). Garis 2x + 3y = 6 memotong sumbu X di titik (3, 0) dan memotong sumbu Y di titik (0, 2). Ambil titik (0, 0) sebagai titik uji. Matematika Kelas X

81

Substitusikan titik (0, 0) ke dalam pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian. Pertidaksamaan


Daerah Penyelesaian

Parabola (2, 0) ke pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian. Pertidaksamaan


Daerah Penyelesaian

y ≤ x2 + 6x + 9

0 ≤ 02 + 6 · 0 + 9 ⇔ 0 ≤ 9 (benar)

Memuat titik (0, 0)

y ≥ 4x – x2

0 ≥ 4 · 2 – 22 ⇔ 0 ≥ 4 (salah)


2x + 3y ≤ 6

2·0+3·0≤6 ⇔ 0 ≤ 6 (benar)

Memuat titik (0, 0)

y ≥ x2 – 4x + 2

0 ≥ 22 – 4 · 2 + 2 ⇔ 0 ≥ –2 (benar)

Memuat titik (2, 0)

x+y≤4

2+0≤4 ⇔ 2 ≤ 4 (benar)

Memuat titik (2, 0)


y = x2 + 6x + 9


9

Y 2 0

–3

2x + 3y = 6 X 3

y = x2 – 4x + 2

2

Jadi, grafik yang benar pilihan b. 24. Jawaban: a Grafik x = y2 + 4y – 2 = (y + 2)2 – 6 berupa parabola mendatar dengan titik puncak (–6, –2). Grafik y = x2 – 3x = x(x – 3) berupa parabola tegak yang memotong sumbu X di titik (0, 0) dan (3, 0). Uji titik (1, 0) ke dalam pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian. Pertidaksamaan


Daerah Penyelesaian

x ≤ y2 + 4y – 2

1 ≤ 02 + 4 · 0 – 2 ⇔ 1 ≤ –2 (salah)


y ≥ x2 – 3x

0 ≥ 12 – 3 · 1 ⇔ 0 ≥ –2 (benar)

Memuat titik (1, 0)


y = x2 – 3x

X 0

2

4 x+y=4

–2

y = 4x – x2

Jadi, daerah penyelesaiannya ditunjukkan oleh daerah I. 26. Jawaban: d Persamaan parabola yang memiliki titik puncak (–2, –3) adalah y = a(x + 2)2 – 3. Parabola melalui titik (0, 1) maka: 1 = a(0 + 2)2 – 3 ⇔ 4 = 4a ⇔ a = 1 Persamaan parabola menjadi: y = (x + 2)2 – 3 = x2 + 4x + 4 – 3 = x2 + 4x + 1 Persamaan parabola yang memotong sumbu X di titik (–2, 0) dan (1, 0) adalah y = a(x + 2)(x – 1). Parabola melalui titik (2, 2) maka: 1

2 = a(2 + 2)(2 – 1) ⇔ 2 = 4a ⇔ a = 2 Persamaan parabola menjadi: 1

1

y = 2 (x + 2)(x – 1) = 2 (x2 + x – 2) 1

–6

–2 0 1 –2

X 3

1

x = y2 + 4y – 2

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah pilihan a. 25. Jawaban: a Parabola y = 4x – x2 terbuka ke bawah. Parabola y = x2 – 4x + 2 = (x – 2)2 – 2 terbuka ke atas.

82

1

= 2 x2 + 2 x – 1 Titik O(0, 0) ≡ (xO, yO) di dalam daerah penyelesaian


1

Substitusikan xO = 0 ke x2 + 4x + 1 dan 2 x2 + 2 x – 1. xo2 + 4xO + 1 = 02 + 4 · 0 + 1 = 1(1 > 0 = yO) 1 2 1 1 x + 2 xO – 1 = 2 2 O

1

· 02 + 2 · 0 – 1 = –1(–1 < 0 = yO) Dengan demikian, diperoleh xO2 + 4xO + 1 > yO dan 1 2 x 2 O

1

+ 2 xO – 1 ≤ yO. Jadi, sistem pertidaksamaannya: 1

1

y < x2 + 4x + 1 dan y ≥ 2 x2 + 2 x – 1.

27. Jawaban: c Persamaan parabola yang terbuka ke bawah. Parabola memotong sumbu X di titik (–1, 0) dan (4, 0). Persamaan parabola: y = a(x + 1)(x – 4) Parabola melalui titik (0, 4) maka: 4 = a(0 + 1)(0 – 4) ⇔ 4 = –4a ⇔ a = –1 Persamaan parabola menjadi: y = –1(x + 1)(x – 4) = –1(x2 – 3x – 4) = 4 + 3x – x2 Persamaan parabola yang terbuka ke atas. Parabola memotong sumbu X di titik (–2, 0) dan (2, 0). Persamaan parabola: y = a(x + 2)(x – 2) parabola melalui titik (0, –2) maka: 1

–2 = a(0 + 2)(0 – 2) ⇔ –2 = –4a ⇔ a = 2 Persamaan parabola menjadi: 1

y = 2 (x + 2)(x – 2) 1

= 2 (x2 – 4) 1

= 2 x2 – 2 Persamaan parabola mendatar. Parabola memotong sumbu Y di titik (0, 2) dan (0, 4). Persamaan parabola: x = a(y – 2)(y – 4) Parabola melalui titik (1, 3) maka: 1 = a(3 – 2)(3 – 4) ⇔ 1 = –a ⇔ a = –1 Persamaan parabola menjadi: x = –1(y – 2)(y – 4) = –1(y2 – 6y + 8) = –y2 + 6y – 8 Titik O(0, 0) di dalam daerah penyelesaian.

Jika hasil substitusi ke salah satu pertidaksamaan bernilai salah, berarti titik tidak di dalam daerah penyelesaian. Titik

Hasil Substitusi ke Pertidaksamaan x ≤ y2 + 4y + 4

x ≥ y2 – 4

x + y≤2

(–2, 0)

–2 ≤ + 4 · 0 + 4 –2 ≥ –4 –2 + 0 ≤ 2 ⇔ –2 ≤ 4 (benar) ⇔ –2 ≥ –4 (benar) ⇔ –2 ≤ 2 (benar)

(–1, 1)

–1 ≤ 12 + 4 · 1 + 4 –1 ≥ 12 – 4 –1 + 1 ≤ 2 ⇔ –1 ≤ 9 (benar) ⇔ –1 ≥ –4 (benar) ⇔ 0 ≤ 2 (benar)

(0, –1)

0 ≤ (–1)2 + 4(–1) + 4 0 ≥ (–1)2 – 4 ⇔ 0 ≤ 1 (benar) ⇔ 0 ≥ –3 (benar)

0–1≤2 ⇔ –1 ≤ 2 (benar)

(1, 0)

–2 ≤ 02 + 4 · 0 + 4 1 ≥ 02 – 4 ⇔ –2 ≤ 4 (benar) ⇔ 1 ≥ –4 (benar)

1+0≤2 ⇔ 1 ≤ 2 (benar)

(1, 2)

1 ≤ 22 + 4 · 2 + 4 ⇔ 1 ≤ 16 (benar)

1 ≥ 22 – 4 ⇔ 1 ≥ 0 (benar)

1+2≤2 ⇔ 3 ≤ 2 (salah)

(2, –2)

2 ≤ (–2)2 + 4(–2) + 4 2 ≥ (–2)2 – 4 ⇔ 2 ≤ 0 (salah) ⇔ 2 ≥ 0 (benar)

2–2≤2 ⇔ 0 ≤ 2 (benar)

02

02

Dari hasil substitusi di atas terlihat titik (–2, 0), (–1, 1), (0, –1), dan (1, 0) di dalam daerah penyelesaian, sedangkan titik (1, 2) dan (2, –2) di luar daerah penyelesaian. Jadi, himpunan titik yang berada di dalam daerah penyelesaian adalah pilihan a. 29. Jawaban: b a. Y

x – y = –2

6 5

y = –x2 – 4x + 5

4 3 2 1 –2 –1 0

3

2

1

X 4

5

6

1

Substitusikan xO = 0 ke 4 + 3x – x2 dan 2 x2 – 2. 4 + 3xO – xO2 = 4 – 3 · 0 – 02 = 4(4 ≥ 0 = yO) 1 2 x 2 O

1

– 2 = 2 · 0 – 2 = –2(–2 ≤ 0 = yO) Substitusikan y0 = 0 ke –y2 + 6y – 8. –yO2 + 6yO – 8 = –02 + 6 · 0 – 8 = –8(–8 < 0 = xO) Dengan demikian, diperoleh 4 + 3xO – xO2 ≥ yO, 1 2 x 2 O

Titik (1, 3), (2, 2), dan (2, 3) di dalam daerah penyelesaian, sedangkan titik (1, 4) di luar daerah penyelesaian.

– 2 ≤ yO, dan –yO2 + 6yO – 8 ≤ xO.

Jadi, sistem pertidaksamaannya 1

y ≤ 4 + 3x – x2, y ≥ 2 x2 – 2, dan x ≥ –y2 + 6y – 8. 28. Jawaban: a Substitusikan titik (–2, 0), (–1, 1), (0, –1), (1, 0), (1, 2), dan (2, –2) ke pertidaksamaan. Jika hasil substitusi ke ketiga pertidaksamaan bernilai benar, berarti titik berada di dalam daerah penyelesaian.

b.

Y

y = x2 – 4x + 5

7 6 5 4 3 2

x+y=6

1 X –1 0

1

2

3

4

5

Titik (1, 3), (1, 4), (2, 2), dan (2, 3) di dalam daerah penyelesaian.

Matematika Kelas X

83

c.

Y

Luas = LABCD – LAED

x – y = –2

5

1

3

=5×4– 3 ×4×4

2

y = 4x – x2

16

X –1 0 –1

1

3

2

2

5

4

Jadi, luas daerah penyelesaiannya 14 3 satuan luas.

–2

Titik (1, 3), (2, 2), dan (2, 3) di dalam daerah penyelesaian, sedangkan titik (1, 4) di luar daerah penyelesaian.

B. Uraian 1. a.

Rumus fungsi 3

Grafik f(x) melalui titik (0, 2 ) dan (1, 3). f(x) = k · ax – 1 ⇔ f(1) = k · a1 – 1 ⇔ 3 = k · a0 ⇔ 3=k·1 ⇔ k=3 Diperoleh f(x) = 3 · ax – 1

Y 6 x+y=6

5 4

y = 4x – x2

3 2 1

3

–1 0

1

4

3

2

5

6

f(0) = 2

X

Titik (1, 3) dan (1, 4) di dalam daerah penyelesaian, sedangkan titik (2, 2) dan (2, 3) di luar daerah penyelesaian. e.

6 x+y=6

5 4

b. x2

y = 4x –

1 1

–1 0

2

3

4

X 5

Titik (1, 1), (2, 2), dan (2, 3) di dalam daerah penyelesaian, sedangkan titik (1, 4) di luar daerah penyelesaian. Jadi, himpunan titik di dalam daerah penyelesaian pilihan b.

2. a.

30. Jawaban: c Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan sebagai berikut. Y D

C

b.

3 2 1

84

⇔

3 · a–1 = 2

⇔

1

3

Nilai f(–1) = 3 · 2–1 – 1 = 3 · 2–2 = 4 Nilai f(2) = 3 · 22 – 1 =3·2 =6

2

0

3 · a0 – 1 = 2

3

3

F –1

3

⇔

a–1 = 2 ⇔ a=2 Jadi, rumus fungsinya f(x) = 3 · 2x – 1.

Y

4

2

= 20 – 3 = 14 3 satuan luas

1

d.

2

1

= AB × BC – 2 × 3 × AD × FE

4

A 1

E 2

3

4

5


B 6

X

2

42x – 5 = 2x – 3x 2 ⇔ 22(2x – 5) = 2x – 3x ⇔ 2(2x – 5) = x2 – 3x ⇔ 4x – 10 = x2 – 3x 2 ⇔ x – 7x + 10 = 0 ⇔ (x – 2)(x – 5) = 0 ⇔ x – 2 = 0 atau x – 5 = 0 ⇔ x = 2 atau x=5 Jadi, nilai yang memenuhi adalah x = 2 dan x = 5. 2

(2x – 3)2x = (2x – 3)4x – x Misalkan: f(x) = 2x – 3; g(x) = 2x; h(x) = 4x – x2.

Penyelesaian: 1) g(x) = h(x) 2x = 4x – x2 ⇔ – 2x = 0 ⇔ x(x – 2) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 2 f(x) = 1 ⇔ 2x – 3 = 1 X ⇔ –2 02x1 = 43 –2 x = 2 ⇔ f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) positif f(x) = 0 ⇔ 2x – 3 = 0 Y

2) –6

3)

•

x2

x= 2 3

g(x) = 2x ⇔ g( 2 ) = 3 > 0 3

15

h(x) = 4x – x2 ⇔ h( 2 ) = 4 > 0 3

4)

x = 2 merupakan penyelesaian. f(x) = –1 dengan syarat g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil f(x) = –1 ⇔ 2x – 3 = –1 ⇔ 2x = 2 ⇔ x=1 g(x) = 2x ⇔ g(1) = 2 (genap) h(x) = 4x – x2 ⇔ g(1) = 3 (ganjil) x = 1 bukan penyelesaian.

Jadi, nilai yang memenuhi adalah x = 0, x =

3 , 2

dan x = 2. 3. a.

. . . (3) 5 –2


5

2 log x ≤ log (2x + 5) + 2 log 2 ⇔ log x2 ≤ log (2x + 5) + log 4 ⇔ log x2 ≤ log 4(2x + 5) ⇔ x2 ≤ 4(2x + 5) ⇔ x2 – 8x – 20 ≤ 0 ⇔ (x – 10)(x + 2) ≤ 0 Pembuat nol fungsi: (x – 10)(x + 2) = 0 ⇔ x – 10 = 0 atau x + 2 = 0 ⇔ x = 10 atau x = –2

–2

–2

10

0

Jadi, penyelesaiannya adalah 0 < x ≤ 10. b.

3

⇔

5

2x + 5 > 0 ⇔ x > – 2

2log2

(1 – x) > 2log (1 – x)2 + 8 Misalkan p = 2log (1 – x). 2log2 (1 – x) > 2log (1 – x)2 + 8 ⇔ 2log2 (1 – x) > 2 2log (1 – x) + 8 ⇔ p2 > 2p + 8 2 ⇔ p – 2p – 8 > 0 ⇔ (p – 4)(p + 2) > 0 Pembuat nol fungsi: (p – 4)(p + 2) = 0 ⇔ p – 4 = 0 atau p + 2 = 0 ⇔ p = 4 atau p = –2

–2

4

⇔ p < –2 atau p > 4 ⇔ 2log (1 – x) < –2 atau 2log (1 – x) > 4 ⇔

2log (1 – x) < 2log 1 atau 2log (1 – x) > 2log 16

4

⇔ 1–x<

1 4

atau 1 – x > 16

3

⇔ x > 4 atau x < –15

3 4

–15

Syarat numerus: 1–x>0⇔x<1 . . . (2)

–2

10

. . . (1)

Syarat numerus: • x>0

1

Dari penyelesaian (1) dan (2) diperoleh: . . . (2)

0

–15

3 4

1

3

Jadi, penyelesaiannya x < –15 atau 4 < x < 1.

Matematika Kelas X

85

4. a.

b.

y = x2 + 3x – 9 ⇔ –2x + 5 = x2 + 3x – 9 2 ⇔ x + 5x – 14 = 0 ⇔ (x + 7)(x – 2) = 0 ⇔ x = –7 atau x = 2 Untuk x = –7 ⇒ y = –2x + 5 = 14 + 5 = 19 Untuk x = 2 ⇒ y = –2x + 5 = –4 + 5 =1 Jadi, penyelesaiannya adalah (–7, 19) dan (2, 1). y = –2x2 – 3x + 8 ⇔ –x2 + 2x – 16 = –2x2 – 3x + 8 ⇔ –x2 – 5x + 24 = 0 ⇔ x2 + 5x – 24 = 0 ⇔ (x + 8)(x – 3) = 0 ⇔ x = –8 atau x = 3 Untuk x = –8 ⇒ y = –x2 + 2x – 16 = –(–8)2 + 2(–8) – 16 = –64 – 16 – 16 = –96 Untuk x = 3 ⇒ y = –x2 + 2x – 16 = –(3)2 + 2 · 3 – 16 = –9 + 6 – 16 = –19 Jadi, penyelesaiannya adalah (–8, –96) dan (3, –19).

6. a.

Panjang jari-jari lingkaran P = PB Dari segitiga APB diperoleh: PB2 = AP2 + AB2 = (4x)2 + (x + 1)2 = 16x2 + x2 + 2x + 1 = 17x2 + 2x + 1 . . . (1) Keliling lingkaran = K K = 2πr ⇔ (8x + 2)π = 2π × PB ⇔ 8x + 2 = 2PB ⇔ PB = 4x + 1 . . . (2) ⇔ PB2 = 16x2 + 8x + 1 Substitusikan persamaan (1) ke dalam persamaan (2). PB2 = 17x2 + 2x + 1 ⇔ 16x2 + 8x + 1 = 17x2 + 2x + 1 ⇔ x2 – 6x = 0 ⇔ x(x – 6) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 6 Diambil x = 6 karena untuk x = 0 menyebabkan AP = 0 cm (tidak mungkin). x = 6 ⇒ PB = 4x + 1 = 24 + 1 = 25 r = PB = 25 cm Jadi, panjang jari-jari lingkaran P 25 cm. AB = x + 1 =6+1 = 7 cm Jadi, panjang AB 7 cm.

b.

x2

5. y = + (k – 2)x + 7 ⇔ –3x – 2 = x2 + (k – 2)x + 7 2 ⇔ x + (k + 1)x + 9 = 0 Diperoleh a = 1, b = k + 1, dan c = 9. Agar garis memotong parabola di dua titik, nilai D harus positif (D > 0). b2 – 4ac > 0 2 ⇔ (k + 1) – 4 × 1 × 9 > 0 ⇔ k2 + 2k + 1 – 36 > 0 ⇔ k2 + 2k – 35 > 0 ⇔ (k + 7)(k – 5) > 0 Pembuat nol: (k + 7)(k – 5) = 0 ⇔ k = –7 atau k = 5

1

1

= 2 (x + 4)(x – 2) memotong sumbu X di titik (–4, 0) dan (2, 0) memotong sumbu Y di titik (0, –4), serta melalui titik (–6, 8), (–2, –4), dan (4, 8). Parabola x = –y2 + 2y – 1 = –(y –1)2 mempunyai titik puncak (0, 1), memotong sumbu X di titik (–1, 0), serta melalui titik (–4, –1), (–4, 3), dan (–1, 2). Garis x – y = –3 melalui titik (–3, 0) dan (0, 3). Uji titik (0, 0) untuk menentukan daerah penyelesaian. Pertidaksamaan

–7

5


86


1

7. Parabola y = 2 x2 + x – 4 = 2 (x 2 + 2x – 8)

y≥

1 2


Daerah Penyelesaian

x2 + x – 4

0 ≥ 2 · 02 + 0 – 4 ⇔ 0 ≥ –4 (benar)

Memuat titik (0, 0)

x ≥ –y2 + 2y –1

0 ≥ –02 + 2 · 0 – 1 ⇔ 0 ≥ –1 (benar)

Memuat titik (0, 0)

x – y ≥ –3

0 – 0 ≥ –3 ⇔ 0 ≥ –3 (benar)

Memuat titik (0, 0)


Y

t2

7 6 5 4 3 2 1

Y 8 7 6 5 4 3 2 1 –5 –4 –3–2–1 0 –1 –2 –3 –4

9. Bentuk alas prisma sebagai berikut.

0

t1 d2

d1 X

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Luas alas prisma:

X 1 2 3 4 5

2

2

L = 3 d1t1 – 3 d2t2 2

2

= 3 ·6·9– 3 ·4·4 32

8. Persamaan parabola tegak. Parabola mempunyai titik puncak (0, –3) maka persamaannya y = a(x – 0)2 – 3 = ax2 – 3. Parabola melalui titik (3, 0) maka: 0 = a · 32 – 3 ⇔ 3 = 9a

1

= 25 3 × 12 = 304 cm3 Jadi, volume prisma 304 cm3.

1

⇔a= 3

1

= 36 – 3 = 25 3 cm2 Volume prisma = luas alas × tinggi

1

1

Persamaan parabola menjadi: y = 3 x2 – 3. Persamaan parabola mendatar. Parabola memotong sumbu Y di titik (0, 0) dan (0, 3) maka persamaannya x = a(y – 0)(y – 3) = ay(y – 2). Parabola melalui titik (2, 1) maka: 2 = a · 1(1 – 3) ⇔ –2 = –2a ⇔ a = –1 Persamaan parabola menjadi: x = –y(y – 3) = –y2 + 3y Titik T(2, 0) di dalam daerah penyelesaian.

10. Grafik y = – 2 x2 – 4x – 3 berupa parabola tegak yang terbuka ke bawah, mempunyai titik puncak (–4, 5), memotong sumbu Y di titik (0, –3), serta melalui titik (–8, –3), (–6, 3), dan (–2, 3). Grafik x = y2 + 2y – 3 berupa parabola mendatar, mempunyai titik puncak (–4, –1) memotong sumbu Y di titik (0, –3) dan (0, 1), memotong sumbu X di titik (–3, 0), serta melalui titik (–3, –2). Uji titik (0, 0) ke pertidaksamaan untuk menentukan daerah penyelesaian. Hasil Substitusi Titik (0, 0)

Pertidaksamaan 1

y ≤ – 2 x2 – 4x – 3

0≥

–3 ⇔ 0 ≥ –3 (salah)

1

Substitusi xT = 2 ke 3 x2 – 3 dan yT = 0 ke –y2 + 3y. x ≥ y2 + 2y –3

1 2 1 1 x – 3 = 3 · 22 – 3 = –1 3 ≤ 0 = yT 3 T

– 21 · 02 – 4 · 0

0 ≥ 02 + 2 · 0 – 3 ⇔ 0 ≥ –3 (benar)

–yT2 + 3yT = –02 + 3 · 0 = 0 < 2 = xT

Daerah Penyelesaian Tidak memuat titik (0, 0)

Memuat titik (0, 0)

Y

1 Dengan demikian, diperoleh yT ≥ 3 xT2 – 3 dan

xT > –yT2 + 3yT. 1

Jadi, sistem pertidaksamaannya y ≥ 3 x – 3 dan x > –y2 + 3y.

5 4 3 2 1 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 –1 –2 –3 –4 –5

1 2 3 4 5

X

Dari daerah penyelesaian di atas, diperoleh batasbatas nilai x, yaitu –4 ≤ x ≤ 0. Jadi, batas-batas nilai x yang memenuhi sistem pertidaksamaan adalah –4 ≤ x ≤ 0.

Matematika Kelas X

87

Matematika Kelas X

163

Menghayati dan menggunakan konsep fungsi eksponen dan logaritma dalam perannya membantu menyelesaikan masalah sehari-hari. Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan rasa ingin tahu dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan. Memiliki rasa keingintahuan mempelajari fungsi eksponen dan logaritma, serta kemanfaatannya.

•

•

2.1 Menunjukkan sikap senang, percaya diri, motivasi internal, sikap kritis, bekerja sama, jujur dan percaya diri serta responsif dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata. 2.2 Memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar dalam berinteraksi dengan lingkungan sosial dan alam.

Indikator Fungsi Eksponen dan Logaritma • Grafik Fungsi Eksponen • Persamaan Eksponen • Pertidaksamaan Eksponen • Grafik Fungsi Logaritma • Persamaan Logaritma • Pertidaksamaan Logaritma

Materi/Submateri Pokok

•

•

•

•

•

•

Mengamati perilaku atau kejadian sehari-hari yang berkaitan dengan konsep fungsi eksponen dan logaritma. Mengingat kembali bilangan berpangkat dan sifatsifatnya. Mengamati bentuk grafik fungsi eksponen. Mencermati sifat-sifat grafik fungsi eksponen. Menggambar grafik fungsi eksponen. Menggunakan fungsi eksponen untuk menyelesaikan permasalahan pertumbuhan.

Pembelajaran

Pengamatan Sikap • Saat berlangsung pembelajaran


Penilaian

21 jp

Alokasi Waktu

1. Buku Matematika Peminatan SMA/MA Kelas X, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2. Buku Guru Matematika Peminatan SMA/MA Kelas X, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 3. Buku PR Matematika Peminatan Kelas XA, PT Intan Pariwara 4. Buku PG Matematika Peminatan Kelas XA, PT Intan Pariwara

Sumber Belajar

Matematika SMA/MA X/1 1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. 2. Menghayati dan menghargai perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif, dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam interaksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. 3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. 4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metode sesuai kaidah keilmuan.

•

: : : :

1.1 Menghayati dan mengamalkan agama yang dianutnya.

Kompetensi Dasar

Mata Pelajaran Satuan Pendidikan Kelas/Semester Kompetensi Inti

SILABUS Fungsi Eksponen dan Logaritma

164

Silabus

4.1 Menyajikan grafik fungsi eksponensial dan logaritma dalam memecahkan masalah nyata terkait pertumbuhan dan peluruhan. 4.2 Mengolah data dan menganalisis menggunakan variabel dan menemukan relasi berupa fungsi eksponensial dan logaritma dari situasi masalah nyata serta menyelesaikannya.

3.1 Mendeskripsikan dan menganalisis berbagai konsep dan prinsip fungsi eksponensial dan logaritma serta menggunakannya dalam menyelesaikan masalah. 3.2 Menganalisis data sifat-sifat grafik fungsi eksponensial dan logaritma dari suatu permasalahan dan menerapkannya dalam pemecahan masalah.

2.3 Berperilaku peduli, bersikap terbuka dan toleransi terhadap berbagai perbedaan di dalam masyarakat.

Kompetensi Dasar

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Mampu menentukan penyelesaian persamaan eksponen. Mampu menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen. Mampu menentukan penyelesaian persamaan logaritma. Mampu menentukan penyelesaian pertidaksamaan logaritma.

Mampu menjelaskan pengertian fungsi eksponen. Mampu menjelaskan bentuk grafik fungsi eksponen. Mampu menjelaskan sifat-sifat grafik fungsi eksponen. Mampu menggambar grafik fungsi eksponen. Mampu menjelaskan pengertian fungsi logaritma. Mampu menjelaskan bentuk grafik fungsi logaritma. Mampu menjelaskan sifat-sifat grafik fungsi logaritma. Mampu menggambar grafik fungsi logaritma.

Memiliki sikap terbuka, berperilaku peduli, dan toleransi dalam menghadapi masalah dalam mempelajari fungsi eksponen dan logaritma.

Indikator


•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Menggunakan fungsi eksponen untuk menyelesaikan permasalahan peluruhan. Mengingat kembali sifatsifat logaritma. Mengamati bentuk grafik fungsi logaritma. Mencermati sifat-sifat grafik fungsi logaritma. Menggambar grafik fungsi logaritma. Menentukan penyelesaian persamaan eksponen berbentuk af(x) = am. Menentukan penyelesaian persamaan eksponen berbentuk af(x) = ag(x). Menentukan penyelesaian persamaan eksponen berbentuk af(x) = bf(x). Menentukan penyelesaian persamaan eksponen berbentuk h(x)f(x) = h(x)g(x). Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen berbentuk af(x) < ag(x) atau af(x) > ag(x) dengan a > 1. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan eksponen berbentuk af(x) < ag(x) atau af(x) > ag(x) dengan 0 < a < 1. Menentukan penyelesaian persamaan logaritma berbentuk alog f(x) = alog m. Menentukan penyelesaian persamaan logaritma berbentuk alog f(x) = alog g(x). Menentukan penyelesaian persamaan logaritma berbentuk f(x)log a = g(x)log a. Menentukan penyelesaian persamaan logaritma berbentuk h(x) log f(x) = h(x)log g(x).

Pembelajaran

Tes Tertulis • Pilihan Ganda • Uraian


Penilaian

Alokasi Waktu Sumber Belajar

Matematika Kelas X

165

Kompetensi Dasar

Indikator


•

•

Menentukan penyelesaian pertidaksamaan logaritma berbentuk alog f(x) > alog g(x) atau alog f(x) < alog g(x) dengan a > 1. Menentukan penyelesaian pertidaksamaan logaritma berbentuk alog f(x) > alog g(x) atau alog f(x) < alog g(x) dengan 0 < a < 1.

Pembelajaran

Penilaian


166

Silabus Mampu menghayati dan mengamalkan konsep sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel dalam perannya membantu menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Mampu memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan rasa ingin tahu dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan keseharian.

•

2.1 Menunjukkan sikap senang, percaya diri, motivasi internal, sikap kritis, bekerja sama, jujur dan percaya diri, serta responsif dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata.

Indikator

•

•

•

Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel Sistem Persamaan Kuadrat Dua Variabel Model Matematika yang Berbentuk Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat serta Sistem Persamaan Kuadrat Dua Variabel


•

•

•

•

Mengamati peristiwa atau fenomena yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. Mengamati peristiwa atau fenomena yang berkaitan dengan sistem persamaan kuadrat dua variabel. Mendeskripsikan konsep sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel beserta contohnya. Mencermati dan menyelidiki ciri-ciri sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel.

Pembelajaran



Penilaian

12 jp

Alokasi Waktu

1. Buku Matematika Peminatan SMA/MA Kelas X, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2. Buku Guru Matematika Peminatan SMA/MA Kelas X, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 3. Buku PR Matematika Peminatan Kelas XA, PT Intan Pariwara 4. Buku PG Matematika Peminatan Kelas XA, PT Intan Pariwara

Sumber Belajar


•

: : : :


Kompetensi Dasar


SILABUS Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat serta Sistem Persamaan Kuadrat Dua Variabel

Matematika Kelas X

167

Memahami sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. Menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. Menggambar grafik sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. Menentukan hubungan diskriminan dan jenis penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. Memahami sistem persamaan kuadrat dua variabel. Menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat dua variabel. Menggambar grafik sistem persamaan kuadrat dua variabel.

•

•

2.3 Berperilaku peduli, bersikap terbuka dan toleransi terhadap berbagai perbedaan di dalam masyarakat.

3.3 Mendeskripsikan dan menerapkan konsep sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel untuk menentukan himpunan penyelesaiannya. 3.4 Menganalisis nilai diskriminan persamaan linear dan kuadrat dua variabel dan menerapkannya untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan yang diberikan.

•

•

•

•

•

•

Memiliki rasa ingin tahu dalam mempelajari sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel, serta memanfaatkannya. Memiliki sikap terbuka, peduli, dan toleransi dalam menghadapi masalah dalam mempelajari sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel.

•

Indikator

2.2 Memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar dalam berinteraksi dengan lingkungan sosial dan alam.

Kompetensi Dasar


•

•

•

•

•

•

•

Menjelaskan cara menyelesaikan sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel beserta contohnya. Menjelaskan hubungan diskriminan dan jenis penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat. Menggambar grafik sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel. Menggunakan informasi dari permasalahan untuk menentukan variabel-variabel dan membuat model matematika berbentuk sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. Menyelesaikan permasalahan nyata yang berhubungan dengan sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. Menggunakan informasi dari permasalahan nyata untuk menentukan variabelvariabel dan membuat model matematika berbentuk sistem persamaan kuadrat dua variabel. Menyelesaikan permasalahan nyata yang berhubungan dengan sistem persamaan kuadrat dua variabel.

Pembelajaran


Penilaian


168

Silabus

4.3 Memecahkan dan menyajikan hasil pemecahan masalah nyata sebagai terapan konsep dan aturan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. 4.4 Mengolah dan menganalisis informasi dari suatu permasalahan nyata dengan memilih variabel dan membuat model matematika berupa sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dan menginterpretasikan hasil penyelesaian sistem tersebut.

Kompetensi Dasar

Indikator

Materi/Submateri Pokok Pembelajaran Tes Tertulis • Pilihan Ganda • Uraian

Penilaian


Matematika Kelas X

169

: : : :

2.1 Menunjukkan sikap senang, percaya diri, motivasi internal, sikap kritis, bekerja-sama, jujur dan percaya diri serta responsif dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata.

•

•

Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan rasa ingin tahu dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan.

Menghayati dan menggunakan konsep sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel dalam perannya membantu menyelesaikan masalah keseharian.

Indikator Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel • Persamaan kuadrat Dua Variabel (PKDV) • Pertidaksamaan kuadrat Dua Variabel (PtdKDV) • Menggambar Daerah Penyelesaian PtdKDV • Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPtdLKDV) • Menggambar Daerah Penyelesaian SPtdLKDV • Menyusun SPtdLKDV dari Suatu Daerah Penyelesaian


•

•

•

•

•

•

Mengamati peristiwa atau fenomena yang berkaitan dengan penyelasaian PtdKDV. Mendeskripsikan konsep PKDV dan bentuk umum PKDV disertai contohcontohnya. Mencermati dan menyelidiki ciri-ciri PKDV. Menjelaskan penyelesaian PKDV disertai contohcontohnya. Mendeskripsikan konsep PtdKDV dan bentuk umum PtdKDV disertai contohcontohnya. Menjelaskan penyelesaian PtdKDV disertai contohcontohnya.

Pembelajaran



Penilaian

21 jp

Alokasi Waktu

1. Buku Matematika Peminatan SMA/ MA Kelas X, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 2. Buku Guru Matematika Peminatan SMA/ MA Kelas X, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia 3. Buku PR Matematika Peminatan Kelas XA, PT Intan Pariwara

Sumber Belajar



Kompetensi Dasar


SILABUS Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel

170

Silabus

3.5 Mendeskripsikan konsep sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel dan menerapkannya untuk menentukan himpunan penyelesaiannya. 3.6 Menganalisis kurva pertidaksamaan kuadrat dua variabel pada sistem yang diberikan dan mengarsir daerah sebagai himpunan penyelesaiannya.

2.2 Memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar dalam berinteraksi dengan lingkungan sosial dan alam. 2.3 Berperilaku peduli, bersikap terbuka dan toleransi terhadap berbagai perbedaan di dalam masyarakat.

Kompetensi Dasar

Mampu menjelaskan konsep PKDV dan PtdKDV disertai contohcontohnya. Mampu menjelaskan penyelesaian PKDV dan PtdKDV disertai contoh-contohnya. Mampu mengambar daerah penyelesaian PtdKDV. Mampu menyusun PtdKDV dari suatu daerah penyelesaian. Mampu menjelaskan konsep SPtdLKDV disertai contoh-contohnya. Mampu mengambar daerah penyelesaian SPtdLKDV. Mampu menghitung luas daerah penyelesaian SPtdLKDV. Mampu menjelaskan konsep SPtdKDV disertai contoh-contohnya. Mampu mengambar daerah penyelesaian SPtdKDV. Mampu menghitung luas daerah penyelesaian SPtdKDV.

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Memiliki rasa keingintahuan mempelajari sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel, serta kemanfaatannya. Memiliki sikap terbuka, berperilaku peduli, dan toleransi dalam menghadapi masalah dalam mempelajari sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel.

•

Indikator

•

•

•

•

Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel (SPtdKDV) Menggambar Daerah Penyelesaian SPtdKDV Menyusun SPtdKDV dari Suatu Daerah Penyelesaian Menyelesaiakan Permasalahan yang berkaitan dengan SPtdKDV


•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

Menggambar daerah penyelesaian PtdKDV. Menyusun PtdKDV dari suatu daerah penyelesaian. Mendeskripsikan konsep SPtdLKDV dan bentuk umum SPtdKLDV disertai contoh-contohnya. Menjelaskan penyelesaian SPtdLKDV disertai contohcontohnya. Menggambar daerah penyelesaian SPtdLKDV. Menghitung luas daerah penyelesaian SPtdLKDV. Mendeskripsikan konsep SPtdKDV dan bentuk umum SPtdKDV disertai contoh-contohnya. Menjelaskan penyelesaian SPtdKDV disertai contohcontohnya. Mengambar daerah penyelesaian SPtdKDV. Menghitung luas daerah penyelesaian SPtdKDV. Menyusun SPtdKDV dari suatu daerah penyelesaian. Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan SPtdKDV.

Pembelajaran


Penilaian

Alokasi Waktu

4. Buku PG Matematika Peminatan Kelas XA, PT Intan Pariwara 5. http://goo.gl/EaZfYO 6. http://goo.gl/2pxkzc 7. http://goo.gl/qf2noh 8. http://goo.gl/oCT4sR

Sumber Belajar

Matematika Kelas X

171

4.5 Memecahkan masalah dengan membuat model matematika berupa sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel serta menyajikan pemecahannya dengan berbagai cara.

Kompetensi Dasar

•

•

•

•

•

Mampu menyusun SPtdKDV dari suatu daerah penyelesaian. Mampu menyusun SPtdLKDV dari suatu daerah penyelesaian. Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan SPtdLKDV. Mampu menyusun SPtdKDV dari suatu daerah penyelesaian. Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan SPtdKDV.

Indikator


•

•

•

•

•

Menyusun PtdKDV dari suatu daerah penyelesaian. Menyusun SPtdLKDV dari suatu daerah penyelesaian. Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan SPtdLKDV. Menyusun SPtdKDV dari suatu daerah penyelesaian. Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan SPtdKDV.

Pembelajaran


Penilaian


Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Mata Pelajaran Sekolah Kelas/Semester Materi Alokasi Waktu

A.

: : : : :

Matematika SMA/MA X/1 Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel 21 × 45 menit

Kompetensi Dasar dan Indikator 1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. Indikator: • Menghayati dan menggunakan konsep sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel dalam perannya membantu menyelesaikan masalah keseharian. 2.1 Menunjukkan sikap senang, percaya diri, motivasi internal, sikap kritis, bekerja sama, jujur, dan percaya diri serta responsif dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata. 2.2 Memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar dalam berinteraksi dengan lingkungan sosial dan alam. 2.3 Berperilaku peduli, bersikap terbuka dan toleransi terhadap berbagai perbedaan di dalam masyarakat. Indikator: • Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan rasa ingin tahu dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan. • Memiliki rasa keingintahuan mempelajari sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel, serta kemanfaatannya. • Memiliki sikap terbuka, berperilaku peduli, dan toleransi dalam menghadapi masalah dalam mempelajari sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel. 3.5 Mendeskripsikan konsep sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel dan menerapkannya untuk menentukan himpunan penyelesaiannya. 3.6 Menganalisis kurva pertidaksamaan kuadrat dua variabel pada sistem yang diberikan dan mengarsir daerah sebagai himpunan penyelesaiannya. Indikator: • Mampu menjelaskan konsep PKDV dan PtdKDV disertai contoh-contohnya. • Mampu menjelaskan penyelesaian PKDV dan PtdKDV disertai contoh-contohnya. • Mampu mengambar daerah penyelesaian PtdKDV. • Mampu menyusun PtdKDV dari suatu daerah penyelesaian. • Mampu menjelaskan konsep SPtdLKDV disertai contoh-contohnya. • Mampu mengambar daerah penyelesaian SPtdLKDV. • Mampu menghitung luas daerah penyelesaian SPtdLKDV. • Mampu menjelaskan konsep SPtdKDV disertai contoh-contohnya. • Mampu mengambar daerah penyelesaian SPtdKDV. • Mampu menghitung luas daerah penyelesaian SPtdKDV. 4.5 Memecahkan masalah dengan membuat model matematika berupa sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel serta menyajikan pemecahannya dengan berbagai cara. Indikator: • Mampu menyusun SPtdKDV dari suatu daerah penyelesaian. • Mampu menyusun SPtdLKDV dari suatu daerah penyelesaian. • Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan SPtdLKDV. • Mampu menyusun SPtdKDV dari suatu daerah denyelesaian. • Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan SPtdKDV.

172

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran

B.

Tujuan Pembelajaran 1. Siswa mampu menjelaskan konsep PKDV dan PtdKDV disertai contoh-contohnya. 2. Siswa mampu menjelaskan penyelesaian PKDV dan PtdKDV disertai contoh-contohnya. 3. Siswa mampu mengambar daerah penyelesaian PtdKDV. 4. Siswa mampu menyusun PtdKDV dari suatu daerah penyelesaian. 5. Siswa mampu menjelaskan konsep SPtdLKDV disertai contoh-contohnya. 6. Siswa mampu mengambar daerah penyelesaian SPtdLKDV. 7. Siswa mampu menghitung luas daerah penyelesaian SPtdLKDV. 8. Siswa mampu menjelaskan konsep SPtdKDV disertai contoh-contohnya. 9. Siswa mampu mengambar daerah penyelesaian SPtdKDV. 10. Siswa mampu menghitung luas daerah penyelesaian SPtdKDV. 11. Siswa mampu menyusun SPtdKDV dari suatu daerah penyelesaian. 12. Siswa mampu menyusun SPtdLKDV dari suatu daerah penyelesaian. 13. Siswa mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan SPtdLKDV. 14. Siswa mampu menyusun SPtdKDV dari suatu daerah penyelesaian. 15. Siswa mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan SPtdKDV.

C.

Materi/Submateri Pokok • Persamaan Kuadrat Dua Variabel (PKDV) • Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel (PtdKDV) • Menggambar Daerah Penyelesaian PtdKDV • Sistem Pertidaksamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPtdLKDV) • Menggambar Daerah Penyelesaian SPtdLKDV • Menyusun SPtdLKDV dari Suatu Daerah Penyelesaian • Sistem Pertidaksamaan Kuadrat Dua Variabel (SPtdKDV) • Menggambar Daerah Penyelesaian SPtdKDV • Menyusun SPtdKDV dari Suatu Daerah Penyelesaian • Menyelesaikan Permasalahan yang Berkaitan dengan SPtdKDV

D.

Metode Pembelajaran Pendekatan : Scientific Approach Model : Siklus Belajar (Learning Cycle) Metode : Problem Solving dan Diskusi

E.

Media, Alat, dan Sumber Pembelajaran 1.

Media Power point, CD interaktif

2.

Alat dan Bahan a. Penggaris, pensil, dan penghapus b. Kertas berpetak

3.

Sumber Belajar a. Buku Matematika Peminatan SMA/MA Kelas X, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia b. Buku Guru Matematika Peminatan SMA/MA Kelas X, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia c. Buku PR Matematika Peminatan Kelas XA, PT Intan Pariwara d. Buku PG Matematika Peminatan Kelas XA, PT Intan Pariwara e. http://goo.gl/EaZfYO f. http://goo.gl/2pxkzc g. http://goo.gl/qf2noh h. http://goo.gl/oCT4sR

Matematika Kelas X

173

F.

Kegiatan Pembelajaran Pertemuan I (3 jp) 1.

Pendahuluan (20 menit) a. Pemusatan perhatian: 1) Guru mengenalkan contoh konsep penyelesaian PKDV dalam kehidupan sehari-hari. 2) Sebelum mulai mengajar, guru meminta siswa menyiapkan kertas berpetak, penggaris, pensil, dan karet penghapus. b. Apersepsi: 1) Guru menginformasikan bahwa siswa akan mempelajari PKDV dan sebelum mempelajari materi ini siswa harus paham cara menggambar grafik fungsi kuadrat. 2) Guru menjelaskan bentuk umum PKDV disertai contoh-contohnya dan menginformasikan PKDV yang akan dipelajari dalam bab ini adalah PKDV yang grafik penyelesaiannya berupa parabola, yang selanjutnya namanya disepakati PKDV.

2.

Kegiatan Inti (100 menit) a. Guru mendeskripsikan konsep PKDV dan bentuk umum PKDV disertai contoh-contohnya. b. Siswa dengan bimbingan guru mencermati dan menyelidiki ciri-ciri PKDV. c. Guru menjelaskan penyelesaian PKDV disertai contoh-contohnya. d. Guru menjelaskan bentuk-bentuk grafik penyelesaian y = ax2 + bx + c dan x = ay2 + by+ c dengan a > 0 dan a < 0. e. Guru menjelaskan bahwa cara menggambar grafik penyelesaian PKDV y = ax2 + bx + c sama dengan cara menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax2 + bx + c. f. Guru mengingatkan siswa cara menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat y = f(x) = ax2 + bx + c dengan cara menuliskan suatu fungsi kuadrat, kemudian meminta siswa menggambarkan grafik grafik fungsi kuadrat tersebut pada kertas berpetak disertai langkah-langkahnya. g. Guru menjelaskan cara menggambar grafik penyelesaian PKDV x = ay2 + by+ c pada bidang kartesius. h. Guru menuliskan suatu PKDV, kemudian meminta siswa menggambar grafik penyelesaian PKDV tersebut pada kertas berpetak dengan menuliskan langkah-langkahnya.

3.

Kegiatan Penutup (15 menit) a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran serta mendorong siswa konsisten dan kritis dalam mengamati fenomena kejadian sehari-hari. b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa. Pertemuan II (2 jp)

1.

Pendahuluan (10 menit) a Pemusatan perhatian: Sebelum mulai mengajar, guru meminta siswa menyiapkan kertas berpetak, penggaris, pensil, dan karet penghapus. b. Apersepsi: 1) Guru menginformasikan bahwa materi yang akan dipelajari siswa saat ini adalah PtdKDV dan penyelesaian PtdKDV. 2) Guru mengingatkan siswa bentuk umum PKDV dengan cara bertanya.

2.

Kegiatan Inti (75 menit) a. Guru menjelaskan PtdKDV dan bentuk-bentuk umum PtdKDV. b. Guru menjelaskan penyelesaian PtdKDV dan menjelaskan langkah-langkah menentukan penyelesaian suatu PtdKDV. c. Guru menjelaskan langkah-langkah menentukan penyelesaian PtdKDV. Penyampaian ini bisa diperjelas dengan menyertakan contoh-contohnya. d. Guru menuliskan sebuah PtdKDV, kemudian meminta siswa menggambarkan daerah penyelesaian PtdKDV tersebut pada kertas berpetak disertai langkah-langkahnya.

174


3.

Kegiatan Penutup (5 menit) a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran serta mendorong siswa untuk tetap yakin dan percaya diri dalam menghadapi tantangan. b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa. Pertemuan III (4 jp)

1.

Pendahuluan (45 menit) a Pemusatan perhatian: Sebelum mulai mengajar, guru membagi siswa menjadi 8 kelompok. Setiap kelompok menyiapkan satu lembar kertas. b. Apersepsi: 1) Sebelum masuk materi, guru menginformasikan kepada siswa bahwa materi pada pertemuan ini adalah menyusun PtdKDV suatu daerah penyelesaian dan sebelum mempelajari materi ini siswa harus paham cara menyusun persamaan grafik fungsi kuadrat berikut. a) Grafik melalui tiga titik. b) Grafik memotong sumbu X di dua titik dan melalui sebuah titik. c) Grafik menyinggung sumbu X dan melalui sebuah titik. d) Grafik mempunyai titik puncak (p, q) dan melalui sebuah titik. 2) Guru menggambarkan grafik fungsi kuadrat yang melalui tiga titik, memotong sumbu X di dua titik dan melalui sebuah titik, menyinggung sumbu X dan melalui sebuah titik, dan mempunyai titik puncak (p, q) dan melalui sebuah titik. Selanjutnya meminta siswa untuk menyusun persamaan setiap grafik disertai langkah-langkahnya.

2.

Kegiatan Inti (130 menit) a. Guru menggambar daerah penyelesaian suatu PtdKDV pada bidang kartesius, kemudian menjelaskan langkah-langkah menyusun PtdKDV-nya. b. Guru menjelaskan cara menentukan persamaan parabola yang bersesuaian dengan PtdKDV. Persamaan parabola meliputi parabola tegak dan parabola mendatar yang memenuhi kondisi tertentu. Kondisi tersebut dapat berupa parabola yang melalui tiga titik, parabola memotong sumbu X di dua titik dan melalui sebuah titik, parabola menyinggung sumbu X dan melalui sebuah titik, dan parabola mempunyai titik puncak (p, q) dan melalui sebuah titik. c. Guru membagikan selembar kertas yang bergambar daerah penyelesaian PtdKDV kepada setiap kelompok. Masing-masing kelompok menerima satu gambar daerah penyelesaian PtdKDV yang berbeda. Delapan daerah penyelesaian PtdKDV tersebut masing-masing dibatasi parabola tegak yang melalui tiga titik, memotong sumbu X di dua titik dan melalui sebuah titik, menyinggung sumbu X dan melalui sebuah titik, dan mempunyai titik puncak (p, q) dan melalui sebuah titik, parabola mendatar yang melalui tiga titik, memotong sumbu X di dua titik dan melalui sebuah titik, menyinggung sumbu X dan melalui sebuah titik, dan mempunyai titik puncak (p, q) dan melalui sebuah titik. Setiap kelompok berdiskusi menyusun PtdKDV dari gambar yang diterima. Hasil diskusi ditulis dan dipresentasikan di depan kelas. Guru membimbing siswa dalam diskusi. d. Guru menyuruh siswa mengerjakan Latihan 1 sebagai latihan subbab A. Lembar Jawaban siswa dikumpulkan untuk dinilai.

3.

Kegiatan Penutup (5 menit) a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran serta mendorong siswa untuk tetap konsisten, teliti, dan cermat dalam menyelesaikan permasalahan-permasalahan tentang PtdKDV. b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa. Pertemuan IV (2 jp)

1.

Pendahuluan (15 menit) a Pemusatan perhatian: Sebelum guru mulai mengajar, siswa diminta menyiapkan kertas berpetak, penggaris, pensil, dan karet penghapus. b. Apersepsi: 1) Guru menginformasikan bahwa pertemuan kali ini membahas tentang SPtdLKDV dan penyelesaiannya.

Matematika Kelas X

175

2)

Sebagai pengantar mengenal SPtdKDV guru menggambar dua daerah penyelesaian PtdKDV yang saling beririsan pada bidang kartesius. Berdasarkan gambar tersebut guru menjelaskan tentang penyelesaian SPtdKDV.

2.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Guru menjelaskan pengertian SPtdLKDV disertai contoh-contohnya. b. Guru menjelaskan langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian SPtdLKDV disertai contohcontohnya. c. Guru menuliskan beberapa SPtdLKDV, kemudian meminta siswa menggambarkan daerah penyelesaian SPtdLKDV tersebut pada kertas berpetak disertai langkah-langkahnya.

3.

Kegiatan Penutup (5 menit) a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran serta mendorong siswa untuk tetap konsisten, teliti, dan cermat dalam menyelesaikan permasalahan-permasalahan tentang SPtdLKDV. b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa. Pertemuan V (3 jp)

1.

Pendahuluan (10 menit) a Pemusatan perhatian: Sebelum guru mulai mengajar, siswa diminta menyiapkan kertas berpetak, penggaris, pensil, dan karet penghapus. b. Apersepsi: 1) Guru menyegarkan kembali pikiran siswa dengan yel-yel. 2) Guru menginformasikan bahwa pertemuan kali ini membahas tentang SPtdKDV dan penyelesaiannya.

2.

Kegiatan Inti (115 menit) a. Guru menjelaskan pengertian SPtdKDV disertai contoh-contohnya. b. Guru menjelaskan langkah-langkah menentukan daerah penyelesaian SPtdKDV disertai contohcontohnya. c. Guru menuliskan beberapa SPtdKDV, kemudian meminta siswa menggambarkan daerah penyelesaian SPtdKDV tersebut pada kertas berpetak disertai langkah-langkahnya.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) a. Bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran serta mendorong siswa untuk tetap konsisten, teliti, dan cermat dalam menyelesaikan permasalahan-permasalahan tentang PtdKDV. b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa. Pertemuan VI (4 jp)

1.

Pendahuluan (10 menit) a Pemusatan perhatian: Sebelum proses belajar mengajar dimulai guru memberikan pemanasan untuk menggugah semangat siswa dengan yel-yel. b. Apersepsi: 1) Guru menginformasikan kepada siswa materi yang akan dipelajari pada pertemuan ini adalah menyusun SPtdLKDV dan SPtdKDV suatu daerah penyelesaian. 2) Guru mengajak siswa untuk mengingat kembali pengertian penyelesaian SPtdLKDV dan SPtdKDV sebagai pancingan untuk menentukan langkah-langkah yang harus dilakukan dalam menentukan sistem pertidaksamaan suatu daerah penyelesaian.

2.

Kegiatan Inti (160 menit) a. Guru menggambar daerah penyelesaian suatu SPtdLKDV dan SPtdKDV pada bidang kartesius, kemudian menjelaskan langkah-langkah menyusun sistem pertidaksamaannya. b. Guru menggambar daerah penyelesaian beberapa SPtdLKDV dan SPtdKDV, kemudian meminta siswa menyusun SPtdLKDV dan SPtdKDV-nya. c. Guru menjelaskan cara menghitung luas daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel. d. Guru menyuruh siswa mengerjakan Latihan 2 sebagai latihan subbab B. Lembar Jawaban siswa dikumpulkan untuk dinilai.

176


3.

Kegiatan Penutup (10 menit) a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran serta mendorong siswa untuk tetap yakin dan percaya diri dalam menghadapi tantangan. b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa. Pertemuan VII (3 jp)

1.

Pendahuluan (10 menit) a. Guru meminta siswa untuk menyiapkan bolpoin dan penggaris guna menghadapi ulangan harian. b. Guru membagikan kertas untuk lembar jawaban dan coret-coret.

2.

Kegiatan Inti (115 menit) a. Guru memimpin siswa berdoa sebelum mengerjakan soal ulangan harian. b. Siswa mengerjakan soal ulangan harian dengan teliti dan jujur dengan waktu yang sudah ditentukan, kemudian hasilnya dikumpulkan.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) a. Guru menginstruksikan kepada siswa untuk mengumpulkan pekerjaannya jika sudah selesai serta memberikan penjelasan bahwa hasil ulangan merupakan indikator tingkat penguasaan siswa terhadap materi SPtdKDV. b. Guru memberi kesempatan kepada siswa untuk menanyakan soal-soal ulangan harian yang belum bisa dikerjakan atau sulit dikerjakan.

G. Penilaian 1.

Teknik dan Bentuk Instrumen Teknik

2.

Bentuk Instrumen

Penilaian Sikap

Lembar Pengamatan Sikap dan Rubrik

Tes Tertulis

Tes Pilihan Ganda dan Uraian

Contoh Instrumen a. Lembar Pengamatan Sikap No.

Aspek yang Dinilai

1.

Menghayati dan menggunakan konsep SPtdKDV dalam perannya membantu menyelesaikan masalah keseharian.

2.

Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan percaya diri dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan tentang SPtdKDV.

3.

Memiliki sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan seharihari.

4.

Memiliki rasa keingintahuan kegunaan

3

2

1

Keterangan

mempelajari SPtdKDV.

Matematika Kelas X

177

b.

Rubrik Penilaian Sikap No.

178

Aspek yang Dinilai

Rubrik

1.

Menghayati dan menggunakan konsep SPtdKDV dalam perannya membantu menyelesaikan masalah keseharian.

3 : Menunjukkan ekspresi kekaguman dan menghayati terhadap materi SPtdKDV serta sepenuhnya mengetahui peranan SPtdKDV dalam membantu menyelesaikan masalah nyata. 2 : Kurang menunjukkan ekspresi kekaguman dan menghayati terhadap materi SPtdKDV serta belum sepenuhnya mengetahui peranan SPtdKDV dalam membantu menyelesaikan masalah nyata. 1 : Tidak menunjukkan ekspresi kekaguman dan menghayati terhadap materi SPtdKDV dan tidak mengetahui peranan SPtdKDV dalam membantu menyelesaikan masalah nyata.

2.

Memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan percaya diri dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan tentang SPtdKDV.

3 : Menunjukkan sikap konsisten, teliti dan cermat dalam mengerjakan soal. Bersikap disiplin dan percaya diri dalam menghadapi tantangan tanpa ada rasa takut. Justru merasa yakin bisa menyelesaikan permasalahannya. 2 : Kurang menunjukkan sikap konsisten, teliti, dan cermat dalam mengerjakan soal. Kurang bersikap disiplin dan kurang percaya diri dalam menghadapi tantangan. 1 : Tidak menunjukkan sikap konsisten, teliti, dan cermat dalam mengerjakan soal. Tidak bersikap disiplin dan tidak percaya diri dalam menghadapi tantangan. Sering merasa takut salah sehingga tidak bertindak menyelesaikannya.

3.

Memiliki sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan seharihari.

3 : Menunjukkan sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan sehari-hari. 2 : Kurang menunjukkan sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan sehari-hari. 1 : Tidak menunjukkan sikap dan berperilaku jujur, kritis dalam menghadapi permasalahan sehari-hari.

4.

Memiliki rasa keingintahuan kegunaan mempelajari SPtdKDV.

3 : Menunjukkan sikap rasa keingintahuan yang tinggi tentang kegunaan mempelajari SPtdKDV. Hal ini ditunjukkan dengan sering bertanya hal-hal yang belum diketahui. Memiliki pola pikir yang kritis terhadap sesuatu yang baru. 2 : Kurang menunjukkan sikap rasa keingintahuan tentang kegunaan mempelajari SPtdKDV. Hal ini ditunjukkan dengan kurang aktif dalam bertanya jawab. Kurang kritis terhadap sesuatu yang baru diketahui. 1 : Tidak menunjukkan sikap rasa keingintahuan tentang kegunaan mempelajari SPtdKDV. Hal ini ditunjukkan dengan tidak aktif dalam bertanya jawab. Tidak peduli terhadap sesuatu yang baru diketahui.

Mengetahui Kepala SMA/MA . . .

Guru Mata Pelajaran

......................... NIP__________________

......................... NIP__________________


Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Mata Pelajaran Sekolah Kelas/Semester Materi Alokasi Waktu A.

Matematika SMA/MA X/1 Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat serta Sistem Persamaan Kuadrat Dua Variabel : 12 × 45 menit

: : : :

Kompetensi Dasar dan Indikator 1.1 Menghargai dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. Indikator: • Mampu menghayati dan mengamalkan konsep sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel dalam perannya membantu menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari. 2.1 Menunjukkan sikap senang, percaya diri, motivasi internal, sikap kritis, bekerja sama, jujur, dan percaya diri serta responsif dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata. 2.2 Memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar dalam berinteraksi dengan lingkungan sosial dan alam. 2.3 Berperilaku peduli, bersikap terbuka dan toleransi terhadap berbagai perbedaan di dalam masyarakat. Indikator: • Mampu memiliki sikap konsisten, teliti dan cermat, disiplin, dan rasa ingin tahu dalam menghadapi dan menyelesaikan permasalahan keseharian. • Memiliki rasa ingin tahu dalam mempelajari sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel, serta memanfaatkannya. • Memiliki sikap terbuka, berperilaku peduli, dan toleransi dalam menghadapi masalah dalam mempelajari sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel. 3.3 Mendeskripsikan dan menerapkan konsep sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel untuk menentukan himpunan penyelesaiannya. 3.4 Menganalisis nilai diskriminan persamaan linear dan kuadrat dua variabel dan menerapkannya untuk menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan yang diberikan. Indikator: • Memahami sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. • Menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. • Menggambar grafik sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. • Menentukan hubungan diskriminan dan jenis penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. • Memahami sistem persamaan kuadrat dua variabel. • Menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat dua variabel. • Menggambar grafik sistem persamaan kuadrat dua variabel. 4.3 Memecahkan dan menyajikan hasil pemecahan masalah nyata sebagai terapan konsep dan aturan penyelesaian sistem persamaan linier dan kuadrat dua variabel. 4.4 Mengolah dan menganalisis informasi dari suatu permasalahan nyata dengan memilih variabel dan membuat model matematika berupa sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dan menginterpretasikan hasil penyelesaian sistem tersebut. Indikator: • Menggunakan informasi dari permasalahan nyata untuk menentukan variabel-variabel dan membuat model matematika berbentuk sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. • Menyelesaikan permasalahan nyata yang berhubungan dengan sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel.

Matematika Kelas X

179

• •

Menggunakan informasi dari permasalahan nyata untuk menentukan variabel-variabel dan membuat model matematika berbentuk sistem persamaan kuadrat dua variabel. Menyelesaikan permasalahan nyata yang berhubungan dengan sistem persamaan kuadrat dua variabel.

B.

Tujuan Pembelajaran 1. Siswa mampu menerapkan konsep sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dan memilih metode yang efektif untuk menentukan himpunan penyelesaiannya. 2. Siswa mampu menganalisis nilai diskriminan dan menggambarkan kurva persamaan linear dan kuadrat dua variabel serta menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan yang diberikan. 3. Siswa mampu menerapkan dan menyajikan hasil pemecahan masalah nyata sebagai terapan konsep dan aturan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. 4. Siswa mampu memanfaatkan informasi dari suatu permasalahan nyata, memilih variabel dan membuat model matematika berupa sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dan menginterpretasikan hasil penyelesaian sistem tersebut.

C.

Submateri Pokok • Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel • Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel • Hubungan Diskriminan dan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel • Sistem Persamaan Kuadrat Dua Variabel • Penyelesaian Sistem Persamaan Kuadrat Dua Variabel

D.

Metode Pembelajaran Pendekatan : Scientific Approach Metode : Problem Solving dan Diskusi

E.

Media, Alat, dan Sumber Pembelajaran

F.

1.

Alat dan Bahan a. Kertas b. Penggaris

2.

Sumber Belajar a. Buku Matematika Peminatan SMA/MA Kelas X, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia b. Buku Guru Matematika Peminatan SMA/MA Kelas X, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia c. Buku PR Matematika Kelas XA, PT Intan Pariwara d. Buku PG Matematika Kelas XA, PT Intan Pariwara

Kegiatan Pembelajaran Pertemuan I (2 jp) 1.

Pendahuluan (15 menit) Guru mengajak siswa mengamati peristiwa atau fenomena dalam kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel. Sebagai contoh, siswa mengamati bentuk rangka jembatan busur.

2.

Kegiatan Inti (60 menit) a. Guru menjelaskan pengertian sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. b. Guru menjelaskan bentuk sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel beserta contohcontoh bentuk sistem persamaan tersebut. c. Guru menjelaskan pengertian penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. Selanjutnya guru menjelaskan cara menyelesaikan sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel menggunakan metode substitusi serta campuran metode substitusi dan eliminasi (cara menggunakan metode-metode ini diberikan di contoh soal). Jika memungkinkan guru dapat pula menjelaskan cara menyelesaikan sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel menggunakan metode grafik.

180


d.

3.

Guru membimbing siswa untuk berlatih mengerjakan soal tentang sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. Guru dapat menggunakan soal-soal pada bagian Contoh Soal, mengambil dari sumber lain (misalnya dari buku dan internet), atau guru dapat membuat soal sendiri.

Kegiatan Penutup (15 menit) a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. Guru mendorong siswa untuk memahami bahwa karena ilmu pengetahuan yang dimiliki, manusia dapat membuat sarana kehidupan, misalnya berbentuk jembatan busur. Oleh karena itu, manusia harus selalu bersyukur kepada Tuhan atas ilmu pengetahuan yang diberikan-Nya. b. Guru memberikan reward (berupa pujian atau bentuk penghargaan lain yang relevan) kepada siswa. Pertemuan II (4 jp)

1.

Pendahuluan (15 menit) a. Guru mengingatkan kembali tentang sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel beserta penyelesaiannya. b. Guru menyampaikan garis besar posisi grafik persamaan linear dan persamaan kuadrat anggota sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. Guru dapat menggunakan gambar untuk menyampaikan contoh kemungkinan letak grafik persamaan linear terhadap grafik persamaan kuadrat.

2.

Kegiatan Inti (150 menit) a. Guru menggunakan contoh gambar yang berisi grafik sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel yang memiliki satu penyelesaian. Kemudian, guru menerangkan pengertian dan ciri sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel memiliki satu penyelesaian. Siswa diarahkan agar memahami bahwa nilai diskriminan sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel yang memiliki satu penyelesaian adalah nol (D = 0). b. Guru menggunakan contoh gambar yang berisi grafik sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel yang memiliki dua penyelesaian. Kemudian, guru menerangkan pengertian dan ciri sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel memiliki dua penyelesaian. Siswa diarahkan agar memahami bahwa nilai diskriminan sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel yang memiliki dua penyelesaian adalah berupa bilangan positif (D > 0). c. Guru menggunakan contoh gambar yang berisi grafik sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel yang tidak memiliki penyelesaian. Kemudian, guru menerangkan pengertian dan ciri sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel yang tidak memiliki penyelesaian. Siswa diarahkan agar memahami bahwa nilai diskriminan sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel yang tidak memiliki penyelesaian adalah berupa bilangan negatif (D < 0). d. Guru menjelaskan cara menggambar grafik sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. Siswa diminta untuk mencermati dan mengikuti langkah-langkah yang diberikan oleh guru. e. Guru membimbing siswa untuk berlatih mengerjakan soal tentang hubungan diskriminan dan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. Guru dapat menggunakan soalsoal dari buku maupun sumber lain (misalnya dari internet) atau guru dapat membuat soal sendiri. Guru dapat pula memberikan tugas kepada siswa untuk menggambar grafik sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel.

3.

Kegiatan Penutup (15 menit) a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran dan mendorong siswa untuk dapat menentukan kedudukan grafik persamaan linear terhadap grafik persamaan kuadrat. Guru juga mendorong siswa agar lebih memahami hubungan diskriminan dan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel. b. Guru memberikan reward kepada seluruh siswa.

Matematika Kelas X

181

Pertemuan III (4 jp) 1.

Pendahuluan (15 menit) Guru meminta siswa untuk mencermati kembali bentuk jembatan busur (jembatan Palu IV). Guru mengarahkan agar siswa memahami bahwa dua pasang logam lengkung merupakan contoh benda yang membentuk sistem persamaan kuadrat.

2.

Kegiatan Inti (150 menit) a. Guru menjelaskan pengertian sistem persamaan kuadrat dua variabel. b. Guru menjelaskan bentuk sistem persamaan kuadrat dua variabel beserta contoh-contoh bentuk sistem persamaan tersebut. c. Guru menjelaskan pengertian penyelesaian sistem persamaan kuadrat dua variabel. Selanjutnya guru menjelaskan cara menyelesaikan sistem persamaan kuadrat dua variabel menggunakan metode substitusi serta campuran metode substitusi dan eliminasi. Jika memungkinkan guru dapat pula menjelaskan cara menyelesaikan sistem persamaan kuadrat dua variabel menggunakan metode grafik. d. Guru menyampaikan garis besar posisi dua grafik persamaan kuadrat anggota sistem persamaan kuadrat dua variabel. Guru dapat menggunakan gambar untuk menyampaikan contoh kemungkinan letak grafik persamaan kuadrat pertama terhadap grafik persamaan kuadrat kedua. Selanjutnya, guru menjelaskan ciri-ciri sistem persamaan kuadrat yang mempunyai satu penyelesaian, dua penyelesaian, dan tidak mempunyai penyelesaian. Sistem persamaan kuadrat yang mempunyai satu penyelesaian ditandai dengan grafik-grafik yang saling berpotongan di satu titik atau saling bersinggungan di satu titik. Sistem persamaan yang mempunyai dua penyelesaian ditandai dengan grafik-grafik yang saling berpotongan di dua titik. Sistem persamaan kuadrat yang tidak mempunyai penyelesaian ditandai dengan grafik-grafik yang tidak saling memotong ataupun menyinggung. e. Guru menjelaskan cara menggambar grafik sistem persamaan kuadrat dua variabel. Siswa diminta untuk mencermati dan mengikuti langkah-langkah yang diberikan oleh guru. f. Guru membimbing siswa untuk berlatih mengerjakan soal tentang sistem persamaan kuadrat dua variabel. Guru dapat menggunakan soal-soal dari buku, sumber lain (misalnya dari internet), atau guru dapat membuat soal sendiri. Guru dapat pula memberikan tugas kepada siswa untuk menggambar grafik sistem persamaan kuadrat dua variabel.

3.

Kegiatan Penutup (15 menit) a. Guru bersama siswa menyimpulkan hasil pembelajaran dan mendorong siswa untuk dapat menerapkan konsep sistem persamaan kuadrat dua variabel dalam kehidupan nyata. b. Guru memberikan reward kepada seluruh siswa. Pertemuan IV (2 jp)

1.

Pendahuluan (15 menit) a. Guru meminta siswa untuk menyiapkan bolpoin dan penggaris guna menghadapi ulangan harian. b. Guru membagikan kertas untuk lembar jawaban dan coret-coret.

2.

Kegiatan Inti (60 menit) a. Guru memimpin siswa berdoa sebelum mengerjakan soal ulangan harian. b. Siswa mengerjakan soal ulangan harian dengan teliti dan jujur, kemudian hasilnya dikumpulkan. c. Guru memberi kesempatan kepada siswa untuk bertanya tentang soal-soal ulangan harian yang belum dimengerti atau kurang jelas maksudnya.

3.

Kegiatan Penutup (15 menit) Guru menginstruksikan kepada siswa untuk mengumpulkan pekerjaannya jika sudah selesai.

G. Penilaian 1.

Teknik dan Bentuk Instrumen Teknik

182

Bentuk Instrumen

Penilaian Sikap

Lembar Pengamatan Sikap dan Rubrik

Tes Tertulis

Tes Pilihan Ganda dan Uraian

Portofolio

Kumpulan Laporan dan Produk


2.

Contoh Instrumen a. Lembar Pengamatan Sikap

b.

No.

Aspek yang Dinilai

1.

Mengagumi dan menyadari manfaat ilmu sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel dalam keseharian dan bersyukur atas nikmat tersebut.

2.

Memiliki rasa ingin tahu yang tinggi.

3.

Bersikap kritis, disiplin, dan teliti dalam melakukan kegiatan baik secara individu maupun kelompok.

4.

Memiliki sikap menghargai dan bekerja sama dalam melakukan sesuatu hal dengan orang lain.

3

2

1

Keterangan

Rubrik Penilaian Sikap No.

Aspek yang Dinilai

Rubrik

1.

Mengagumi dan menyadari manfaat ilmu sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel dalam kehidupan sehari-hari dan bersyukur atas nikmat tersebut.

3: menunjukkan ekspresi kekaguman terhadap sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel serta manfaatnya sehingga merasa sangat penting dan perlu mempelajari sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel. 2: belum menunjukkan ekspresi kekaguman terhadap sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel serta manfaatnya sehingga kurang bersemangat dalam mempelajari sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel. 1: tidak menunjukkan ekspresi kekaguman terhadap sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel serta manfaatnya sehingga tidak bersemangat dalam mempelajari sistem persamaan linear dan kuadrat serta sistem persamaan kuadrat dua variabel.

2.

Memiliki rasa ingin tahu yang tinggi.

3 : Menunjukkan rasa ingin tahu yang tinggi dengan banyak bertanya, antusias, terlibat aktif dalam kegiatan belajar, berani mengemukakan pendapat, dan tidak takut salah. 2 : Menunjukkan rasa ingin tahu, tetapi tidak terlalu antusias, terlibat aktif dalam kegiatan belajar ketika disuruh, dan masih takut atau ragu dalam mengungkapkan pertanyaan atau pendapat. 1 : Tidak menunjukkan sikap antusias dalam pengamatan, sulit terlibat aktif dalam kegiatan belajar meskipun telah didorong untuk terlibat, dan tidak pernah mengemukakan pertanyaan atau pendapat.

3.

Bersikap kritis, disiplin, dan teliti dalam melakukan kegiatan baik secara individu maupun kelompok.

3 : Menunjukkan sikap kritis, disiplin, dan teliti dalam melakukan kegiatan baik secara individu maupun kelompok misalnya sering bertanya hal-hal yang kurang jelas, disiplin, dan teliti dalam menghitung dan menyelesaikan masalah. 2 : Kurang menunjukkan sikap kritis, disiplin, dan teliti dalam melakukan kegiatan baik secara individu maupun kelompok misalnya masih malu/takut bertanya hal-hal yang kurang jelas, kurang disiplin dan kurang teliti dalam menghitung dan menyelesaikan masalah. 1 : Tidak mempunyai sikap kritis, disiplin, dan teliti dalam kegiatan belajar maupun dalam menyelesaikan masalah.

Matematika Kelas X

183

184

No.

Aspek yang Dinilai

Rubrik

4.

Memiliki sikap menghargai dan bekerja sama dalam melakukan sesuatu hal dengan orang lain.

3 : Mempunyai sikap suka bekerja sama dan menghargai kepada orang lain dan teman dalam berdiskusi atau melakukan tugas bersama. Meskipun ada beberapa perbedaan pendapat atau pemikiran. 2 : Kurang dalam bersikap bekerja sama dan menghargai orang lain dan teman dalam berdiskusi atau melakukan tugas bersama. Sikap tersebut bisa ditunjukkan dengan sikap agak sungkan kepada orang lain. 1 : Tidak mempunyai sikap bekerja sama dan tidak menghargai orang lain dan teman dalam berdiskusi atau melakukan tugas bersama. Segala sesuatu dikerjakan sendiri padahal membutuhkan pemikiran banyak teman. Sikap tersebut juga ditunjukkan dengan tidak respon terhadap pendapat orang lain.

Mengetahui Kepala SMA/MA . . .

Guru Mata Pelajaran

......................... NIP__________________

......................... NIP__________________


Kunci Jawaban RPP PR MAT 10A PEMINATAN 2014

Recommend Documents