211365169 Kunci Jawaban Dan Pembahasan MAT XIB IPA

Matematika Kelas XI Program IPA

1

4.1 Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian.

Kompetensi Dasar

Suku Banyak

Materi Pokok/ Pembelajaran

Pendidikan karakter (*) Kritis

Nilai dan Materi yang Diintegrasikan Indikator Pencapaian Kompetensi

4.1.1 Mampu mendefinisikan suku banyak. 4.1.2 Mampu menentukan nilai suku banyak. 4.1.3 Mampu menentukan hasil operasi suku banyak. 4.1.4 Mampu menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak.

Kegiatan Pembelajaran

– M e n j e l a s k a n pengertian suku banyak. – Menentukan unsurunsur suatu suku banyak. – Menentukan nilai suku banyak dengan cara substitusi. – Menentukan nilai suku banyak dengan cara Horner. – Menentukan hasil penjumlahan suku banyak. – Menentukan hasil pengurangan suku banyak. – Menentukan hasil perkalian suku banyak. – Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak dengan cara bersusun. (*) – Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak oleh (x – k) dengan cara Horner. (*) – Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak oleh (ax + b) dengan cara Horner. Tes

Teknik

Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah.

: ... : XI/2 : Matematika

Standar Kompetensi : 4.

Sekolah Kelas/Semester Mata Pelajaran

Silabus Bab I Suku Banyak

Tertulis

Bentuk Instrumen

x – 8) : (x – ) b. (4x5 – 2x3 + 5x + 6) : (2x – 3)

3. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian berikut. a. (2x4 – 3x3 + 3x2 +

2. Diketahui: p(x) = x3 + 5x2 – 3x + 10 q(x) = x4 – x3 + 2x – 6 Tentukan: a. p(x) + q(x), b. p(x) – q(x), c. 4q(x) – 3p(x).

1. Tentukan nilai suku banyak berikut untuk nilai x yang disebutkan menggunakan cara Horner. a. f(x) = 3x5 – 2x4 + x 2 + 2x + 4 untuk x = –2. b. g(x) = 2x4 – 5x3 + x untuk x = 3. c. p(x) = 6x3 – x2 + x + 7 untuk x=

Contoh Instrumen

Penilaian

8 × 45 menit

1. Buku PR Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 1–20 2. Buku PG Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 1–38 3. Buku BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI SMA/MA IPA, Wahyudin Djumanta dan R. Sudrajat, Depdiknas

Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

2

Silabus

4.2 Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar

Suku Banyak


Pendidikan karakter (*) Jujur

Nilai dan Materi yang Diintegrasikan

– Menjelaskan teorema sisa. – Menjelaskan teorema faktor. – Menentukan sisa pembagian suku banyak oleh suku banyak berderajat satu. – Menentukan sisa pembagian suku banyak oleh suku banyak berderajat dua dengan memisalkan sisanya ax + b. – Menentukan faktorfaktor dari suatu suku banyak.

– Menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak oleh ax2 + bx + c yang dapat difaktorkan dengan cara Horner.


4.2.1 Mampu menentukan sisa pembagian suku banyak menggunakan teorema sisa. 4.2.2 Mampu menentukan faktorfaktor suatu suku banyak.

Indikator Pencapaian Kompetensi

Tes

Teknik

Tertulis

Bentuk Instrumen

1. Diketahui suku banyak f(x) dibagi g(x) = x 2 – 4x + 3 bersisa 2x – 4. Tentukan: a. nilai f(3); b. sisa pembagian f(x) oleh (x – 1). 2. Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x + 2) adalah 8. Sisa pembagian suku banyak tersebut oleh (2x – 1) adalah –4. Tentukan sisa pembagian suku banyak tersebut oleh 2x 2 + 3x – 2. 3. Tentukan faktorfaktor dari suku banyak f(x) = x4 – 5x3 + 20x – 16.

4. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak berikut. a. (3x 4 – 2x 3 + x 2 – 4x + 5) : (x – 3) (3x + 1) b. (2x4 – 3x3 + 5x – 4) : (x2 – 4)

Contoh Instrumen

Penilaian

8 × 45 menit




3

5.1 M e n e n t u k a n komposisi fungsi dari dua fungsi.

Kompetensi Dasar

Fungsi Komposisi


Pendidikan karakter (*) Kritis

Nilai dan Materi yang Diintegrasikan – Menjelaskan pengertian fungsi. – Membedakan sifatsifat fungsi (fungsi injektif, fungsi surjektif, dan fungsi bijektif). – Memberikan contoh fungsi bijektif. – Menghitung suatu nilai fungsi jika diketahui rumusnya. – Menuliskan rumus operasi penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dua fungsi. – Menyelesaikan operasi penambahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dua fungsi. – Menyebutkan syarat agar suatu fungsi terdefinisi. – Menyimpulkan daerah asal suatu fungsi berdasarkan syarat agar fungsi tersebut terdefinisi. – Menentukan irisan daerah asal dua fungsi.


5.1.1 Mampu mendefinisikan fungsi. 5.1.2 Mampu menyelesaikan operasi aljabar fungsi. 5.1.3 Mampu menentukan daerah asal suatu fungsi. 5.1.4 Mampu mendefinisikan fungsi komposisi. 5.1.5 Mampu menentukan fungsi komposisi dari dua atau tiga fungsi. 5.1.6 Mampu menyelesaikan masalah sehari-hari yang melibatkan fungsi.


Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi.




Tes

Teknik Tertulis

Bentuk Instrumen

+ −

g(x) =

.

jika k(x) =

.

b. Tentukan daerah asal fungsi k(x)

jika h(x) =

a. Tentukan daerah asal fungsih(x)

.

+ dan f(x) =

2. Diketahui

3

1. Buku PR Matematia Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 21–36 2. Buku PG Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 39–70 3. Buku BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI SMA/MA IPA, Wahyudin Djumanta dan R. Sudrajat, Depdiknas


1. Diketahui f(x) = x2 – 5,2 8 × 45 menit (f D g)(x) = 9x2 + 12x – 1, dan h(x) = x + 10. Rumus fungsi (g D h)(x – 1) = . . . . a. 3x + 32 b. 3x + 29 c. 3x + 25 d. 3x + 12 e. 3x + 2

Contoh Instrumen

Penilaian

Silabus Bab II Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

4

Silabus

5.2 M e n e n t u k a n invers suatu fungsi.

Kompetensi Dasar

Fungsi Invers


Pendidikan karakter (*) Teliti


– Menjelaskan pengertian fungsi invers. – Menjelaskan langkah-langkah menentukan invers suatu fungsi. – Menentukan invers suatu fungsi sesuai langkah-langkah yang dipelajari. (*) – Menentukan invers suatu fungsi dengan rumus praktis. – Menghitung suatu nilai invers fungsi. – Menggambar grafik invers suatu fungsi. – Menjelaskan pengertian invers dari fungsi komposisi. – Menentukan invers suatu fungsi komposisi berdasarkan pengertiannya.

– Menjelaskan pengertian fungsi komposisi. – Menjelaskan sifatsifat komposisi fungsi. (*) – Menuliskan rumus fungsi komposisi dari dua atau tiga fungsi. – Menghitung suatu nilai fungsi komposisi dari dua atau tiga fungsi. – Menuliskan rumus fungsi yang termuat dalam soal cerita. – Menghitung suatu nilai fungsi yang termuat dalam soal cerita.


5.2.1 Mampu mendefinisikan fungsi invers. 5.2.2 Mampu menentukan invers suatu fungsi. 5.2.3 Mampu mendefinisikan invers dari fungsi komposisi. 5.2.4 Mampu menentukan invers suatu fungsi komposisi. 5.2.5 Mampu menyelesaikan masalah sehari-hari yang melibatkan invers suatu fungsi.


Tes

Teknik

Tertulis

Bentuk Instrumen

; ; ; ;

+ − − − − +

; + +

+ −

+ 2

; dan g(x) = − x ≠ 3. Daerah asal fungsi (g D f)–1 adalah ....

2. Diketahui f(x) = 12x + 1

e. h–1(x) = x ≠ –4

d. h–1(x) = x≠4

c. h–1(x) = x≠4

b. h–1(x) = x ≠ –2

x≠2

a. h–1(x) =

adalah . . . .

h(x) =

+ −

1. Invers dari fungsi

3. Diberikan fungsi f(x) = x 2 – 2x – 4, g(x) = 3x + 9, dan (g D f)(a) = 6. a. Tentukan nilai a jika a adalah bilangan positif. b. Tentukan nilai (f D g)(2).

Contoh Instrumen

Penilaian

8 × 45 menit




5

Kompetensi Dasar


Nilai dan Materi yang Diintegrasikan – Menentukan invers suatu fungsi komposisi dengan cara yang sama dengan menentukan invers suatu fungsi. – Menghitung suatu nilai invers fungsi komposisi. – Menuliskan rumus invers suatu fungsi yang termuat dalam soal cerita. – Menghitung nilai invers suatu fungsi dalam soal cerita.

Kegiatan Pembelajaran Indikator Pencapaian Kompetensi Teknik

Bentuk Instrumen

, x ∈ R}

3. Diketahui f(x) = 2x + 13 dan g–1(x + 1) = 12x – 7. Tentukan: a. g–1(x) b. f –1(x) c. (f D g)–1(x) d. (g D f)–1(x)

e. {x|x ≠ 1, x ∈ R}

d. {x|x ≠

c. {x|x ≠ 0, x ∈ R}

b. {x|x ≠ – , x ∈ R}

a. {x|x ≠ – , x ∈ R}

Contoh Instrumen

Penilaian Alokasi Alat dan Sumber Belajar Waktu

6

Silabus


Limit Fungsi

Kompetensi Dasar

6.1 M e n j e l a s k a n secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di tak hingga. Pendidikan karakter (*) Kerja keras

Nilai dan Materi yang Diintegrasikan – M e n j e l a s k a n pengertian limit fungsi di suatu titik secara intuitif. – Menentukan nilai limit fungsi di suatu titik jika didekati dari kiri berdasarkan gambar grafik fungsi. – Menentukan nilai limit fungsi di suatu titik jika didekati dari kanan berdasarkan gambar grafik fungsi. – Menentukan limit fungsi di suatu titik berdasarkan gambar grafik fungsi. – Menjelaskan pengertian limit fungsi di tak hingga secara intuitif. – Menentukan nilai limit fungsi jika variabel membesar tanpa batas berdasarkan gambar grafik fungsi. – Menentukan nilai limit fungsi jika variabel mengecil tanpa batas berdasarkan gambar grafik fungsi.

Kegiatan Pembelajaran Teknik

6.1.1 Mampu mende- Tes finisikan limit fungsi di suatu titik . 6.1.2 Mampu menentukan nilai limit fungsi berdasarkan gambar grafik fungsi. 6.1.3 Mampu mendefinisikan limit fungsi di tak hingga. 6.1.4 Mampu menentukan limit fungsi di tak hingga berdasarkan gambar grafik fungsi.


Tertulis

Bentuk Instrumen

3.

2.

1.

6 5 4 3 2 1

e. tidak ada

b. 1 c. 2

a. – ∞ b. –2 c. 0

→∞

d. ∞ e. tidak ada

f(x) = . . .

d. 1

X

a. 0

e. 3

d. 3

f(x) = . . . →

c. 2

b. 1

a. 1

1 2 3 4 5 6

f(x) = . . . → −

–3 –2 –1 0 –1 –2

f(x)

Y

Untuk menjawab soal nomor 1 sampai dengan 3 perhatikan gambar grafik fungsi f(x) berikut.

Contoh Instrumen

Penilaian

Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.




Silabus Bab III Limit Fungsi

8 × 45 menit

1. Buku PR Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 41–58 2. Buku PG Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 83– 123 3. Buku BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI SMA/MA IPA, Wahyudin Djumanta dan R. Sudrajat, Depdiknas



7


Limit Fungsi

Kompetensi Dasar

6.2 Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri.

Pendidikan karakter (*) Rasa Ingin Tahu

Nilai dan Materi yang Diintegrasikan – Menjelaskan sifatsifat limit fungsi di satu titik. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi di suatu titik menggunakan cara substitusi langsung. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi di suatu titik menggunakan cara memfaktorkan. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi di suatu titik dengan mengalikan bentuk sekawan. – Menggunakan sifatsifat limit untuk menghitung limit fungsi. – Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan limit fungsi di suatu titik. – Menjelaskan sifatsifat limit fungsi di tak hingga. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi di tak hingga menggunakan cara substitusi langsung. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi di tak hingga menggunakan cara membagi dengan pangkat tertinggi. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi di tak hingga menggunakan cara mengalikan dengan bentuk sekawan.


6.2.1 Mampu menen- Tes tukan nilai limit fungsi aljabar di suatu titik. 6.2.2 Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan limit fungsi di suatu titik. 6.2.3 Mampu menentukan nilai limit fungsi aljabar di tak hingga. 6.2.4 Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan limit fungsi di tak hingga. 6.2.5 Mampu menentukan nilai limit fungsi trigonometri di suatu titik. 6.2.6 Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri.

Indikator Pencapaian Kompetensi Tertulis

Bentuk Instrumen

= 4,

((x – 2) →∞

e.

b. c.

b.

−

− − → − − −

→

a.

5. Tentukan nilai limit berikut.

d.

a. 5

=...

d. 0 e. 4

→

a. –4 b. –3 c. –2

– − ) = . . .

3. Nilai

4.

e. ∞

d. 4

− − 

nilai a yang memenuhi adalah . . . . a. 2 d. –1 b. 1 e. –2 c. 0

→

2. Jika

c. 2

b.

a.

=....

  → −

1. Nilai

Contoh Instrumen

Penilaian

12 × 45 1. Buku PR Matematika Kelas XI menit Semester 2, Intan Pariwara, halaman 41–58 2. Buku PG Matematika Kelas XI Semester 2, Intan Pariwara, halaman 83– 128 3. Buku BSE Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI SMA/MA IPA, Wahyudin Djumanta dan R. Sudrajat, Depdiknas


8

Silabus

Kompetensi Dasar


Nilai dan Materi yang Diintegrasikan – Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan limit fungsi di tak hingga. – Menjelaskan teorema limit apit. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi trigonometri. – Menentukan nilai limit fungsi trigonometri di titik nol. – Menjelaskan cara menyelesaikan limit fungsi trigonometri di suatu titik. – Menentukan nilai limit fungsi trigonometri di suatu titik. – Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan limit fungsi trigonometri.

Kegiatan Pembelajaran Indikator Pencapaian Kompetensi Teknik

Bentuk Instrumen

, carilah

–

b.

−

→

+− −

→ −

a.

7. Tentukan nilai limit berikut.

nilai a yang memenuhi.

(2x – 1)) =

→∞

( +

6. Jika

Contoh Instrumen



9

6.3 Menggunakan konsep turunan dalam perhitungan turunan fungsi.

Kompetensi Dasar

Turunan Fungsi Aljabar

Materi Pokok/ Pembelajaran Pendidikan karakter (*) Cermat

Nilai dan Materi yang Diintegrasikan – M e n ye l es aik a n permasalahan yang berkaitan dengan laju perubahan fungsi f(x) di x = a. – Menjelaskan notasi turunan menggunakan notasi Leibnitz. – Membuktikan sifat penjumlahan dan pengurangan turunan. (*) – Menentukan fungsi pangkat. – Menentukan turunan penjumlahan fungsi aljabar. – Menentukan turunan pengurangan fungsi aljabar. – Menjelaskan cara menentukan turunan perkalian dan pembagian fungsi aljabar. – Menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan dalil rantai. – Menentukan nilai turunan fungsi di suatu titik. – Menentukan turunan kedua fungsi aljabar.


6.3.1 Mampu menen- Tes tukan laju perubahan fungsi f(x) di x = a. 6.3.2 Mampu menentukan turunan fungsi pangkat. 6.3.3 M e n j e l a s k a n sifat-sifat turunan 6.3.4 Mampu menentukan turunan penjumlahan dan pengurangan fungsi aljabar. 6.3.5 Mampu menentukan turunan perkalian d a n pembagian fungsi aljabar. 6.3.6 Mampu menentukan turunan menggunakan dalil rantai. 6.3.7 Mampu menentukan nilai turunan fungsi aljabar di suatu titik. 6.3.8 Mampu menentukan turunan kedua fungsi aljabar.

Indikator Pencapaian Kompetensi Tertulis

Bentuk Instrumen

2. Diketahui f(x) = 3x3 + 4x + 8. Jika turunan pertama f(x) adalah f′(x) maka nilai f′(3) = .... a. 85 b. 101 c. 112 d. 115 e. 125



1. Sebuah gelembung2 4 × 45 menit air berbentuk bola. Ketika gelembung air bergerak di permukaan air, gelembung tersebut bertambah besar. Jika jari-jari gelembung bertambah dengan laju 0,04 cm/detik, laju pertambahan volume gelembung pada saat jarijarinya 1,5 cm adalah . . . cm3/detik. a. 0,16π 3 b. 0,26π c. 0,36π d. 0,61π e. 0,63π

Contoh Instrumen

Penilaian





Silabus Bab IV Turunan Fungsi

10

Silabus

Kompetensi Dasar


Nilai dan Materi yang Diintegrasikan Kegiatan Pembelajaran Indikator Pencapaian Kompetensi Teknik

Bentuk Instrumen

+ + + + + +

c. d. e.

. Nilai

+

−

−

, dan

e.

d.

c.

b.

a.

+

− +

+

− +

+

− +

+

− +

+

− +

h = g D f, turunan dari h adalah . . . .

g(x) =

+ ,

e. –

d. –

g( + ) = . . . .

−

5. Jika f(x) =

c.

b.

a.

g(x) =

+ +

b.

4. Diketahui

+ +

a.

....

+ maka f′(x) =

3. Jika f(x) = (x + 1)

Contoh Instrumen



11

Kompetensi Dasar

Turunan Fungsi Trigonometri



– Menjelaskan turunan 6.3.8 Mampu menentukan turunan y = sin x dan y = cos x. – Menentukan turunan fungsi trigonometri. fungsi perkalian trigonometri. 6.3.9 Mampu menen– Menentukan turunan tukan nilai turunan fungsi fungsi pecahan trigonometri. trigonometri di suatu titik. – Menentukan turunan fungsi trigonometri 6.3.10 Mampu menentukan turunan menggunakan dalil rantai. kedua fungsi trigonometri. – Menentukan nilai turunan fungsi trigonometri di suatu titik. – Menentukan turunan kedua fungsi trigonometri.

Kegiatan Pembelajaran Bentuk Instrumen

Tertulis

Teknik

Tes

di x = 2.

=.... tan x 2 tan x –4 tan x –2 cotan x –4 cotan x

e. –1 c. 0 3. Diketahui f(x) = sin2 x dan f′′(x) = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 180°. Nilai x yang memenuhi adalah . . . . a. 30° dan 60° b. 20° dan 120° c. 60° dan 240° d. 60° dan 120° e. 120° dan 240°

b.

d. –

(g(

. Nilai − π )) = . . . .

a. 1

g(x) =

2. Diketahui

a. b. c. d. e.

1. Jika y = cos4 x maka

7. Diketahui y = 3t2 dan x = 2t2 + t – 1. Jika t < 0, tentukan nilai

6. Diketahui f(x) = ax 2 + bx + 6. Jika f′(–1) = –11 dan f′(2) = 7, tentukan nilai f(1).

Contoh Instrumen

Penilaian

2 × 45 menit



12

Silabus

6.4 Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah.

Kompetensi Dasar

Penggunaan Turunan


Pendidikan karakter (**) Sabar dan teliti


– Menentukan persamaan garis singgung suatu kurva. – Menentukan persamaan garis normal suatu kurva. – Menjelaskan pengertian fungsi naik. – Menjelaskan pengertian fungsi turun. – Menyebutkan syarat suatu fungsi naik. – Menyebutkan syarat suatu fungsi turun. – Menjelaskan cara menentukan interval suatu fungsi naik. – Menjelaskan cara menentukan interval suatu fungsi turun. – Menentukan suatu fungsi naik atau turun. – Menentukan titik potong grafik fungsi dengan sumbusumbu koordinat.


6.4.1 Mampu mendefinisikan fungsi naik dan fungsi turun. 6.4.2 Mampu menggunakan turunan untuk menentukan persamaan garis singgung dan garis normal suatu kurva. 6.4.3 Mampu menentukan interval suatu fungsi naik atau suatu fungsi turun. 6.4.4 M e n e n t u k a n t i t i k stasioner dan jenisnya. 6.4.5 M e n g g a m b a r sketsa grafik fungsi aljabar. 6.4.6 Mampu menggunakan turunan untuk menentukan kecepatan dan percepatan.


Tes

Teknik

Tertulis

Bentuk Instrumen

π

).

3.

+ +

c. 0

b. –

=...

e. 1

d.

− − −

a. –1

→∞

naik pada interval . . . . a. –2 < x < 0 b. –2 ≤ x ≤ 0 c. x < 0 atau x > 2 d. x < –2 atau x > 0 e. x ≤ –2 atau x ≥ 0

2. Kurva f(x) =

1. Garis A menyinggung kurva f(x) = 6 di titik P(4, b). Garis g tegak lurus garis A di titik P. Persamaan garis g adalah . . . . a. 2y + 3x = 44 b. 2y – 3x = 44 c. 3y + 2x = 44 d. 3y – 2x = 44 e. 3y + x = 44

π

) = 0, hitunglah

nilai f′′(

f′(

5. Jika f(x) = tan 2 bx untuk 0 < b < 4 dan

c. h(x) = tan2 −

b. g(x) = +

4. Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut. a. f(x) = sin2 (3x2 – 1) cos (3x + 1)

Contoh Instrumen

Penilaian

6 × 45 menit




13


Penggunaan Turunan

Kompetensi Dasar

6.5 M e r a n c a n g model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi.


6.4.7 Mampu menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan kecepatan dan percepatan 6.4.8 Mampu menentukan nilai limit bentuk tak tentu menggunakan teorema A’Hopital.

6.5.1 Mampu menentukan nilai ekstrim suatu fungsi dalam interval tertutup. 6.5.2 Mampu menentukan nilai ekstrim suatu fungsi. 6.5.3 Mampu merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi.


– Menjelaskan cara menentukan titik stasioner dan jenisnya. – Menjelaskan cara menggambar sketsa grafik fungsi aljabar. (**) – Menentukan fungsi kecepatan dan percepatan dari suatu fungsi gerak. – Menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan kecepatan dan percepatan. – Menjelaskan cara menentukan nilai limit bentuk tak tentu menggunakan teorema A'Hopital.

– Menjelaskan cara menentukan nilai maksimum suatu fungsi dalam interval tertutup. – Menjelaskan cara menentukan nilai minimum suatu fungsi dalam interval tertutup. – Menjelaskan cara menentukan nilai maksimum suatu fungsi. – Menjelaskan cara menentukan nilai minimum suatu fungsi. – Menjelaskan cara merancang model matematika dari masalah yang berkaitan Tes

Teknik

Tertulis

Bentuk Instrumen

x3 +

x2

b. 17 c. 12

e. 6

d. 8

a. 21

– 6x + 4 adalah . . . .

f(x) =

2. Nilai maksimum kurva

1. Nilai minimum fungsi f(x) = cos x + sin x dalam interval 0 ≤ x ≤ 270° sama dengan .... a. – d. 1 b. –1 e. c. 0

6. Gambarlah sketsa kurva y = x3 – 2x2 + x pada interval –1 ≤ x ≤ 2.

5. Diketahui persamaan kurva f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 11. a. Tentukan titik-titik stasioner kurva f(x) beserta jenisnya. b. Tentukan persamaan garis normal di titik stasioner kurva f(x).

4. Persamaan garis normal pada kurva f(x) = x2 – 6x + 7 di titik A adalah 10y – x = 212. Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik A.

Contoh Instrumen

Penilaian

2 × 45 menit



14

Silabus

6.6 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya.

Kompetensi Dasar

Penggunaan Turunan



P

Q

Busur PQ berbentuk setengah lingkaran dengan diameter PQ. Titik R pada busur PQ. Jika PR + RQ = 80 cm dan QR = x cm, hitunglah luas maksimum segitiga PQR.

O

R

2. Perhatikan gambar berikut.

1. Untuk memproduksi x unit barang per minggu diperlukan biaya (36x2 – 240x + 3.600) ribu rupiah, sedangkan penjualan untuk x unit barang per minggu (2x3 – 36x2 + 600x + 9.600) ribu rupiah. Keuntungan minimum per minggu akan didapat jika barang yang diproduksi per minggu sebanyak . . . unit. a. 14 d. 8 b. 12 e. 7 c. 10

Tertulis

Contoh Instrumen

– Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum. – Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai minimum. – Menafsirkan penyelesaian model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum. – Menafsirkan penyelesaian model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai minimum. Tes

Teknik

Bentuk Instrumen

Penilaian

3. Kurva f(x) = ax3 + bx2 + cx – 6 melalui titik (2, –4) dan mempunyai titik balik maksimum (1, –2). Tentukan titik balik minimum kurva. 6.6.1 Mampu menyelesaikan model matematika d a r i masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum. 6.6.2 Mampu menafsirkan penyelesaian model matematika d a r i masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum.


dengan nilai maksimum dan minimum. – Menuliskan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum.


2 × 45 menit



Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Bab II Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers Sekolah Kelas/Semester Mata Pelajaran Alokasi Waktu

: : : :

.......... XI/2 Matematika 16 × 45 menit

Standar Kompetensi : 5. Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi. Kompetensi Dasar

: 5.1 Menentukan komposisi fungsi dari dua fungsi. 5.2 Menentukan invers suatu fungsi.

Indikator Pencapaian Kompetensi • Mendefinisikan fungsi. • Menyelesaikan operasi aljabar fungsi. • Menentukan daerah asal suatu fungsi. • Mendefinisikan fungsi komposisi. • Menentukan fungsi komposisi dari dua atau tiga fungsi. • Menyelesaikan masalah sehari-hari yang melibatkan fungsi. • Menentukan invers suatu fungsi. • Mendefinisikan fungsi invers. • Mendefinisikan invers dari fungsi komposisi. • Menentukan invers suatu fungsi komposisi. • Menyelesaikan masalah sehari-hari yang melibatkan invers suatu fungsi. Tujuan Pembelajaran Peserta didik mampu: 1. menjelaskan pengertian fungsi; 2. menjelaskan dan menyebutkan jenis-jenis fungsi; 3. menentukan syarat agar sebuah fungsi terdefinisi; 4. menentukan daerah asal sebuah fungsi; 5. menentukan nilai fungsi jika diketahui rumus fungsinya; 6. melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dua fungsi; 7. menentukan irisan daerah asal dua fungsi; 8. menjelaskan pengertian komposisi fungsi; 9. menjelaskan sifat-sifat komposisi fungsi; 10. menentukan fungsi hasil komposisi dua atau tiga fungsi; 11. menentukan nilai fungsi komposisi fungsi untuk bilangan tertentu; 12. menjelaskan pengertian invers fungsi; 13. menjelaskan langkah-langkah menentukan invers fungsi; 14. menjelaskan pengertian fungsi invers; 15. menentukan invers fungsi; 16. menentukan nilai invers fungsi untuk bilangan tertentu; 17. menggambar grafik invers fungsi; 18. menjelaskan invers dari fungsi komposisi; 19. menentukan invers fungsi dari fungsi komposisi; 20. menentukan nilai invers fungsi dari fungsi komposisi untuk bilangan tertentu. Nilai pendidikan karakter yang ditanamkan ke siswa: Kritis dan Teliti Materi Pembelajaran 1. Fungsi 2. Fungsi Komposisi 3. Invers Fungsi Matematika Kelas XI Program IPA

15

Metode Pembelajaran 1. Metode Pembelajaran a. Cooperative Learning (CL) b. Direct Instruction (DI) 2. Metode a. Tanya jawab b. Diskusi c. Tugas Langkah-Langkah Kegiatan Pertemuan Pertama 1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru menunjukkan gambar mesin/alat produksi kerupuk. Guru menjelaskan prinsip pembuatan kerupuk serupa dengan prinsip fungsi. Setelah itu, guru mengingatkan kembali materi tentang pemetaan. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang hubungan antarhimpunan (pemetaan).

2.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan pengertian fungsi. • Guru menjelaskan sifat fungsi injektif. • Guru menjelaskan sifat fungsi surjektif. • Guru menjelaskan sifat fungsi bijektif. b. Elaborasi Guru dan siswa memberikan contoh fungsi injektif, surjektif, dan bijektif. c. Konfirmasi Guru menanyakan sifat fungsi jika rumus fungsi tersebut diketahui.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Kedua

1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali materi mengenai operasi aljabar sederhana, misalnya penjumlahan dua variabel sejenis. Dasar ini kemudian digunakan untuk membahas operasi pada fungsi. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang sifat fungsi.

2.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan sifat operasi penjumlahan dua fungsi. • Guru menjelaskan sifat operasi pengurangan dua fungsi. • Guru menjelaskan sifat operasi perkalian dua fungsi. • Guru menjelaskan sifat operasi pembagian dua fungsi. b. Elaborasi Guru dan siswa menentukan hasil operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dua fungsi. c. Konfirmasi Guru menanyakan hasil operasi dua fungsi.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan

16

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

Pertemuan Ketiga 1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali materi tentang daerah asal dan daerah hasil fungsi. Selanjutnya, guru menggunakan materi tersebut sebagai dasar untuk membahas daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi dua fungsi. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang operasi dua fungsi.

2.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi penjumlahan dua fungsi. • Guru menjelaskan daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi pengurangan dua fungsi. • Guru menjelaskan daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi perkalian dua fungsi. • Guru menjelaskan daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi pembagian dua fungsi. b. Elaborasi Guru dan siswa menentukan daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dua fungsi. c. Konfirmasi Guru menanyakan daerah asal fungsi yang dihasilkan dari operasi dua fungsi.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Keempat

1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru memberikan contoh operasi sederhana yang mewakili komposisi fungsi, misalnya: penggunaan kalkulator untuk menghitung (3 × 4) + 2. Guru dapat menjelaskan fungsi pertama untuk menentukan 3 × 4, fungsi kedua menjumlahkan dengan 2, dan komposisi fungsinya menentukan (3 × 4) + 2. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang sifat-sifat fungsi.

2.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan bentuk/rumus fungsi yang dihasilkan oleh komposisi dua fungsi. • Guru menjelaskan sifat-sifat komposisi dua fungsi. • Guru menjelaskan nilai fungsi komposisi untuk nilai x tertentu. b. Elaborasi Guru dan siswa menentukan bentuk/rumus fungsi yang dihasilkan oleh komposisi dua fungsi. c. Konfirmasi Guru menanyakan bentuk/rumus hasil komposisi dua fungsi.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Kelima

1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali tentang materi komposisi dua fungsi. Guru dapat memancing minat siswa misalkan dengan memperkirakan hasil komposisi tiga fungsi. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang sifat-sifat komposisi dua fungsi.


17

2.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan bentuk/rumus fungsi yang dihasilkan oleh komposisi tiga fungsi. • Guru menjelaskan sifat-sifat komposisi tiga fungsi. • Guru menjelaskan nilai fungsi komposisi untuk nilai x tertentu. b. Elaborasi Guru dan siswa menentukan bentuk/rumus fungsi yang dihasilkan oleh komposisi tiga fungsi. c. Konfirmasi Guru menanyakan bentuk/rumus hasil komposisi tiga fungsi.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Keenam

1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi

Guru memberikan contoh invers (kebalikan) yang terdapat pada operasi hitung bilangan, misalnya

b.

sebagai kebalikan dari 2 karena × 2 = 1. Selanjutnya guru mengarahkan siswa untuk memikirkan ”adakah kebalikan dari sebuah fungsi?”. Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang fungsi.

2.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan pengertian invers fungsi. • Guru menjelaskan syarat agar invers fungsi berbentuk fungsi. • Guru menjelaskan cara mencari invers fungsi. • Guru menjelaskan daerah asal fungsi invers. b. Elaborasi Guru dan siswa menentukan bentuk/rumus invers fungsi jika rumus sebuah fungsi diketahui. c. Konfirmasi Guru menanyakan invers dari sebuah fungsi.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Ketujuh

1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali materi tentang komposisi dua fungsi. Selanjutnya guru mengarahkan siswa untuk mencari invers dari komposisi dua fungsi tersebut. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang komposisi dua fungsi dan invers fungsi.

2.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan cara mencari invers dari fungsi yang dihasilkan oleh komposisi dua fungsi. • Guru menjelaskan daerah asal fungsi invers tersebut. b. Elaborasi Guru dan siswa menentukan bentuk/rumus invers fungsi dari fungsi yang dihasilkan oleh komposisi dua fungsi c. Konfirmasi Guru menanyakan invers dari sebuah fungsi yang dihasilkan oleh komposisi dua fungsi.

18


3.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan. Pertemuan Kedelapan

1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali materi tentang komposisi tiga fungsi. Selanjutnya guru mengarahkan siswa untuk mencari invers dari komposisi tiga fungsi tersebut. b. Prasyarat Pengetahuan Siswa memahami materi tentang komposisi tiga fungsi dan invers fungsi.

2.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan cara mencari invers dari fungsi yang dihasilkan oleh komposisi tiga fungsi. • Guru menjelaskan daerah asal fungsi invers tersebut. b. Elaborasi Guru dan siswa menentukan bentuk/rumus invers fungsi dari fungsi yang dihasilkan oleh komposisi tiga fungsi. c. Konfirmasi Guru menanyakan invers dari sebuah fungsi yang dihasilkan oleh komposisi tiga fungsi. Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi penguasaan materi oleh siswa dan memberikan soal-soal latihan.

3.

Alat Sumber Belajar 1. Buku PR Matematika Kelas XI, Intan Pariwara 2. BSE Matematika untuk Kelas XI SMA/MA Program IPA, Depdiknas Penilaian Hasil Belajar 1. Teknik Penilaian dan Bentuk Instrumen a. Teknik Penilaian Tertulis b. Bentuk Instrumen 1) Pilihan ganda 2) Uraian 2. Contoh Instrumen a. Pilihan Ganda + , g(x) = 4 – 2x, dan h(x) = –x. Nilai (f D g D h)(–1) adalah . . . .

1)

Diberikan rumus fungsi f(x) = a. 1 d. 4 b. 2 e. 5 c. 3

2)

Diketahui f(x) = 3x2, g(x) = 2x – 1, dan h(x) = 3log x. Jika (f D g D h)(p) = 27, nilai p = . . . . a. p = 1 atau p = 9 b. p = 1 atau p = 3

c.

p = atau p = 9

d.

p = atau p = 1

e.

p = atau p = 1


19

b.

Uraian 1)

2)

− ,x≠ g)( – 1);

Jika f(x) =

0, dan g(x) = 4 – x, tentukan:

a.

(f D

b.

nilai k sehingga (g D f)(k) = 3 .

Diketahui f(x) = 2log x, g(x) = x + 3, dan h(x) = x – 1. a. Tentukan (f D g)–1(x). b. Tentukan p jika (h D (f D g))–1(p) = 13.

________, ______________ Mengetahui, Kepala SMA ______________

Guru Mata Pelajaran

........................ ___________________________ NIP _______________________

........................ ___________________________ NIP _______________________

20


Rencana Pelaksanaan Pembelajaran Bab IV Turunan Fungsi Sekolah Kelas/Semester Mata Pelajaran Alokasi Waktu

: : : :

.......... XI/2 Matematika 16 × 45 menit

Standar Kompetensi : 6. Kompetensi Dasar


: 6.3 Menggunakan konsep turunan dalam perhitungan turunan fungsi.

Indikator Pencapaian Kompetensi: • Menentukan laju perubahan fungsi f(x) di x = a. • Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan laju perubahan fungsi f(x) di x = a. • Menentukan turunan fungsi pangkat. • Menjelaskan sifat-sifat turunan. • Menentukan turunan penjumlahan dan pengurangan fungsi aljabar. • Menentukan turunan perkalian dan pembagian fungsi aljabar. • Menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan dalil rantai. • Menentukan nilai turunan fungsi aljabar di suatu titik. • Menentukan turunan kedua fungsi aljabar. • Menentukan turunan fungsi trigonometri. • Menentukan nilai turunan fungsi trigonometri di suatu titik. • Menafsirkan turunan kedua fungsi trigonometri. • Mendefinisikan fungsi naik dan fungsi turun. • Menggunakan turunan untuk menentukan persamaan garis singgung dan garis normal suatu kurva. • Menentukan interval suatu fungsi naik atau interval suatu fungsi turun. • Menentukan titik stasioner dan jenisnya. • Menggambar sketsa grafik fungsi aljabar. • Menggunakan turunan untuk menentukan kecepatan dan percepatan. • Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kecepatan dan percepatan. • Menentukan nilai limit bentuk tak tentu menggunakan teorema L’Hopital. • Menentukan nilai ekstrim suatu fungsi dalam interval tertutup. • Menentukan nilai ekstrim suatu fungsi. • Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum. • Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum. • Menafsirkan penyelesaian model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum. Tujuan Pembelajaran: Peserta didik mampu: 1. menentukan laju perubahan fungsi f(x) di x = a; 2. menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan laju perubahan fungsi f(x) di x = a; 3. menentukan turunan fungsi pangkat; 4. menjelaskan sifat-sifat turunan; 5. menentukan turunan penjumlahan dan pengurangan fungsi aljabar; 6. menentukan turunan perkalian dan pembagian fungsi aljabar; 7. menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan dalil rantai; 8. menentukan nilai turunan fungsi aljabar di suatu titik; 9. menentukan turunan kedua fungsi aljabar; 10. menentukan turunan fungsi trigonometri; 11. menentukan nilai turunan fungsi trigonometri di suatu titik; 12. menentukan turunan kedua fungsi trigonometri;


21

13. 14. 15. 16. 17. 18.

19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

menjelaskan fungsi naik dan fungsi turun; menggunakan turunan untuk menentukan persamaan garis singgung dan garis normal suatu kurva; menentukan interval suatu fungsi naik atau interval suatu fungsi turun; menentukan titik stasioner dan jenisnya; menggambar sketsa grafik fungsi aljabar; menggunakan turunan untuk menentukan kecepatan dan percepatan; menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kecepatan dan percepatan; menentukan nilai limit bentuk tak tentu menggunakan teorema L’Hopital; menentukan nilai ekstrim suatu fungsi dalam interval tertutup; menentukan nilai ekstrim suatu fungsi; merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum; menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum; menafsirkan penyelesaian model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum.

Nilai pendidikan karakter yang ditanamkan ke siswa: Cermat, Sabar, dan Teliti

Materi Pembelajaran 1. Turunan Fungsi Aljabar 2. Turunan Fungsi Trigonometri 3. Penggunaan Turunan Metode Pembelajaran 1. Model Pembelajaran a. Cooperative Learning (CL) b. Direct Instruction (DI) 2. Metode a. Tanya jawab b. Diskusi c. Tugas Langkah-Langkah Kegiatan Pertemuan Pertama 1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Memberikan contoh persamaan lintasan suatu benda. b. Prasyarat pengetahuan Siswa mengetahui tentang fungsi dan nilai fungsi.

2.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan pengertian turunan sebagai laju perubahan fungsi f(x) di x = a. • Guru menjelaskan cara menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan laju perubahan fungsi f(x) di x = a. • Guru menjelaskan notasi turunan menggunakan notasi Leibniz. • Guru menjelaskan cara menentukan turunan fungsi pangkat. • Guru menjelaskan sifat-sifat turunan. • Guru menjelaskan cara menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan dalil rantai. • Guru menjelaskan cara menentukan nilai turunan fungsi di suatu titik. • Guru menjelaskan cara menentukan turunan kedua fungsi aljabar.

22


b.

c. 3.

Elaborasi • Siswa dengan bimbingan guru menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan laju perubahan fungsi f(x) di x = a. • Siswa dengan bimbingan guru membuktikan beberapa sifat-sifat turunan. • Siswa dengan bimbingan guru berlatih menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan sifat-sifat operasi turunan. Konfirmasi Guru menanyakan hasil pembuktian beberapa sifat-sifat operasi turunan yang dilakukan siswa.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru memberikan tugas rumah mengerjakan soal-soal latihan menentukan turunan. Pertemuan Kedua

1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali cara menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan dalil rantai. b. Prasyarat pengetahuan Siswa harus mengetahui cara menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan dalil rantai.

2.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan turunan fungsi sinus dan kosinus. • Guru menjelaskan sifat-sifat operasi turunan fungsi trigonometri. • Guru menjelaskan cara menentukan turunan fungsi trigonometri menggunakan dalil rantai. b. Elaborasi • Guru membimbing siswa membuktikan turunan fungsi trigonometri. • Siswa dengan bimbingan guru berlatih menentukan turunan fungsi trigonometri c. Konfirmasi Guru menanyakan kepada siswa tentang hasil pembuktian turunan fungsi trigonometri.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru mengevaluasi tentang materi yang diperolehsiswa, serta memberikan soal-soal latihan tentang turunan fungsi trigonometri. Pertemuan Ketiga

1.

Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru memberikan contoh penggunaan turunan. b. Prasyarat pengetahuan Siswa mengetahui tentang gradien, persamaan garis, nilai turunan, dan cara menyelesaikan pertidaksamaan aljabar dan pertidaksamaan trigonometri.

2.

Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan pengertian garis singgung dan garis normal suatu kurva. • Guru menjelaskan cara menentukan persamaan garis singgung dan garis normal suatu kurva. • Guru menjelaskan pengertian fungsi naik dan fungsi turun. • Guru menjelaskan syarat suatu fungsi naik dan syarat suatu fungsi turun. b. Elaborasi • Guru membimbing siswa berlatih menentukan persamaan garis singgung dan garis normal suatu kurva. • Guru membimbing siswa berlatih menentukan interval suatu fungsi naik dan interval suatu fungsi turun.


23

c. 3.

1.

2.

3.

1.

2.

24

Konfirmasi Guru menanyakan kepada siswa tentang pemahaman siswa terhadap materi yang diberikan.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan yang berkaitan dengan garis singgung dan garis normal suatu kurva serta fungsi naik dan fungsi turun. Pertemuan Keempat Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali cara menentukan interval suatu fungsi naik dan interval suatu fungsi turun. b. Prasyarat pengetahuan Siswa mengetahui cara menentukan interval suatu fungsi naik dan interval suatu fungsi turun. Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan pengertian titik stasioner. • Guru menjelaskan jenis-jenis titik stasioner. • Guru menjelaskan cara menentukan jenis-jenis titik stasioner menggunakan uji turunan pertama. • Guru menjelaskan cara menentukan jenis-jenis titik stasioner menggunakan uji turunan kedua. b. Elaborasi • Guru membimbing siswa berlatih menentukan jenis-jenis titik stasioner menggunakan uji turunan pertama. • Guru membimbing siswa berlatih menentukan jenis-jenis titik stasioner menggunakan uji turunan kedua. c. Konfirmasi Guru menanyakan kepada siswa tentang pemahaman siswa terhadap materi yang diberikan. Kegiatan Penutup (10 menit) Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan yang berkaitan dengan titik stasioner. Pertemuan Kelima Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali cara menentukan interval suatu fungsi naik dan interval suatu fungsi turun. b. Prasyarat pengetahuan Siswa mengetahui cara menentukan interval suatu fungsi naik dan interval suatu fungsi turun. Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan cara menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi dalam interval tertutup. • Guru menjelaskan cara menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi. • Guru menjelaskan cara merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum. • Guru menjelaskan cara menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum. b. Elaborasi • Guru membimbing siswa berlatih menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi dalam interval tertutup. • Guru membimbing siswa berlatih menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi.


•

c. 3.

1.

2.

3.

1.

2.

Guru membimbing siswa berlatih merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum. • Guru membimbing siswa berlatih menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan nilai maksimum dan minimum. Konfirmasi Guru menanyakan kepada siswa tentang pemahaman siswa terhadap materi yang diberikan.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru menyuruh siswa untuk mengerjakan soal-soal latihan yang berkaitan dengan nilai maksimum dan nilai minimum fungsi. Pertemuan Keenam Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali cara menentukan interval suatu fungsi naik dan interval suatu fungsi turun. b. Prasyarat pengetahuan Siswa mengetahui cara menentukan interval suatu fungsi naik dan interval suatu fungsi turun. Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi Guru menjelaskan langkah-langkah menggambar grafik fungsi aljabar. b. Elaborasi Guru membimbing siswa berlatih menggambar grafik fungsi aljabar. c. Konfirmasi Guru menanyakan kepada siswa tentang pemahaman siswa terhadap materi yang diberikan. Kegiatan Penutup (10 menit) Guru memberi tugas kepada siswa untuk menggambar grafik fungsi aljabar. Pertemuan Ketujuh Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi Guru mengingatkan kembali cara menentukan turunan fungsi pangkat. b. Prasyarat pengetahuan Siswa mengetahui cara menentukan turunan fungsi pangkat. Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan pengertian kecepatan rata-rata. • Guru menjelaskan pengertian kecepatan sesaat benda pada detik ke-t. • Guru menjelaskan cara menentukan fungsi kecepatan dari suatu fungsi gerak. • Guru menjelaskan pengertian percepatan rata-rata. • Guru menjelaskan pengertian percepatan sesaat benda pada detik ke-t. • Guru menjelaskan cara menentukan fungsi percepatan dari suatu fungsi gerak. • Guru menjelaskan cara menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kecepatan dan percepatan. b. Elaborasi • Guru membimbing siswa berlatih menentukan fungsi kecepatan dari suatu fungsi gerak. • Guru membimbing siswa berlatih menentukan fungsi percepatan dari suatu fungsi gerak. • Guru membimbing siswa berlatih menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan kecepatan dan percepatan. c. Konfirmasi Guru menanyakan kepada siswa tentang pemahaman siswa terhadap materi yang diberikan.


25

3.

1.

2.

3.

Kegiatan Penutup (10 menit) Guru memberi soal latihan kepada siswa yang berkaitan dengan penggunaan turunan untuk menentukan kecepatan dan percepatan suatu fungsi gerak. Pertemuan Kedelapan Kegiatan Pendahuluan (10 menit) a. Motivasi • Guru mengingatkan kembali limit fungsi yang mempunyai nilai bentuk tak tentu. • Guru mengingatkan kembali cara menentukan turunan fungsi pangkat. b. Prasyarat pengetahuan Siswa mengetahui cara menentukan turunan fungsi pangkat. Kegiatan Inti (70 menit) a. Eksplorasi • Guru menjelaskan penggunaan teorema L’Hopital. • Guru menjelaskan cara menentukan nilai limit bentuk tak tentu menggunakan teorema L’Hopital. b. Elaborasi Guru membimbing siswa berlatih menentukan nilai limit bentuk tak tentu menggunakan teorema L’Hopital. c. Konfirmasi Guru menanyakan kepada siswa tentang pemahaman siswa terhadap materi yang diberikan. Kegiatan Penutup (10 menit) Guru memberi soal latihan kepada siswa yang berkaitan dengan penggunaan turunan untuk menentukan nilai limit bentuk tak tentu menggunakan teorema L’Hopital.

Alat Sumber Belajar 1. Buku PR Matematika Kelas XI, Intan Pariwara 2. Buku BSE Matematika untuk Kelas XI SMA/MA Program IPA, Pusdiknas Penilaian Hasil Belajar 1. Teknik Penilaian dan Bentuk Instrumen a. Teknik Penilaian Tertulis b. Bentuk Instrumen 1) Pilihan ganda 2) Uraian 2.

26

Contoh Instrumen a. Pilihan ganda 1)

Sebuah gelembung air berbentuk bola. Ketika gelembung air bergerak di permukaan air, gelembung tersebut bertambah besar. Jika jari-jari gelembung bertambah dengan laju 0,04 cm/detik, laju pertambahan volume gelembung pada saat jari-jarinya 1,5 cm adalah . . . cm3/detik. a. 0,16π d. 0,61π b. 0,26π e. 0,63π c. 0,36π

2)

Diketahui f(x) = 3x3 + 4x + 8. Jika turunan pertama f(x) adalah f′(x) maka nilai f′(3) = . . . . a. 85 d. 115 b. 101 e. 125 c. 112


3)

Jika y = cos4 x maka = . . . . a. tan x d. –2 cotan x b. 2 tan x e. –4 cotan x c. –4 tan x

4)

Garis A menyinggung kurva f(x) = 6 di titik P(4, b). Garis g tegak lurus garis A di titik P. Persamaan garis g adalah . . . . a. 2y + 3x = 44 d. 3y – 2x = 44 b. 2y – 3x = 44 e. 3y + x = 44 c. 3y + 2x = 44

5)

Kurva f(x) = a. b. c.

6)

7)

8)

9)

b.

+ +

naik pada interval . . . .

–2 < x < 0 –2 ≤ x ≤ 0 x < 0 atau x > 2

− −

−

→∞

a.

–1

b.

–

c.

0

d. e.

x < –2 atau x > 0 x ≤ –2 atau x ≥ 0

d.

e.

1

=...

Nilai minimum fungsi f(x) = cos x + sin x dalam interval 0 ≤ x ≤ 270° sama dengan . . . . a.

–

d.

b. c.

–1 0

e.

1

Nilai maksimum kurva f(x) = x3 + x2 – 6x + 4 adalah . . . .

a.

21

b.

17

c.

12

d.

8

e.

6

Untuk memproduksi x unit barang per minggu diperlukan biaya (36x2 – 240x + 3.600) ribu rupiah, sedangkan penjualan untuk x unit barang per minggu (2x3 – 36x2 + 600x + 9.600) ribu rupiah. Keuntungan minimum per minggu akan didapat jika barang yang diproduksi per minggu sebanyak . . . unit. a. 14 d. 8 b. 12 e. 7 c. 10

Uraian

1)

Diketahui y = 3t2 dan x = 2t2 + t – 1. Jika t < 0, tentukan nilai di x = 2.

2)

Jika f(x) = tan2 bx untuk 0 < b < 4 dan f′( ) = 0, hitunglah nilai f′′( ).

3)

Diketahui persamaan kurva f(x) = 2x3 –3x2 – 12x + 11. a. Tentukan titik-titik stasioner kurva f(x) beserta jenisnya. b. Tentukan persamaan garis normal di titik stasioner kurva f(x).

π

π


27

4)

Kurva f(x) = ax3 + bx2 + cx – 6 melalui titik (2, –4) dan mempunyai titik balik maksimum (1, –2). Tentukan titik balik minimum kurva.

5)

Perhatikan gambar di samping. Busur PQ berbentuk setengah lingkaran dengan diameter PQ. Titik R pada busur PQ. Jika PR + RQ = 80 cm dan QR = x cm, hitunglah luas maksimum segitiga PQR.

R

P

O

Q

________, ______________ Mengetahui Kepala SMA ______________

Guru Mata Pelajaran

............................. __________________________ NIP. _______________________

.............................. ___________________________ NIP. ________________________

28


Bab I

Suku Banyak

5. Jawaban: d 3 1 b 3

–4 3b + 9

–9 9b + 15

3b + 5

9b + 6 = f(3)

+ 1 A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: d Derajat suku banyak p(x) = 3x4 – 2x6 + 5x – 10x2 adalah pangkat tertinggi dari variabel x, yaitu 6. 2. Jawaban: a p(x) = 12x3 + 8x2 – 5x + 6

p( ) = 12( )3 + 8( )2 – 5( ) + 6

= +2– +6=7

Jadi, nilai p(x) untuk x = adalah 7. 3. Jawaban: b p(x) = x3 + 2x2 – 2x – 5 p(2) = (2)3 + 2(2)2 – 2(2) – 5 =8+8–4–5 =7 p(–2) = (–2)3 + 2(–2)2 – 2(–2) – 5 = –8 + 8 + 4 – 5 = –1 p(–2) + 2p(2) = –1 + 2(7) = 13 Jadi, p(–2) + 2p(2) = 13. 4. Jawaban: b p(x) = x4 + 3x3 + nx – 7 p(–3) = 14 ⇒ (–3)4 + 3(–3)3 + n(–3) – 7 = 14 ⇔ 81 – 81 – 3n – 7 = 14 ⇔ –3n = 14 + 7 ⇔ –3n = 21 ⇔ n = –7 Diperoleh p(x) = x4 + 3x6 – 7x – 7. p(2) = (2)4 + 3(2)3 – 7(2) – 7 = 16 + 24 – 14 – 7 = 19 Jadi, nilai p(2) = 19.

b+3

2f(3) + 3 = 51 ⇔ 2(9b + 6) + 3 = 51 ⇔ 18b + 15 = 51 ⇔ 18b = 36 ⇔ b=2 Jadi, nilai b = 2. 6. Jawaban: e f(x) = x2 – x + 4 g(x) = 3x2 – 2x + c f(–3) = g(–3) ⇒ (–3)2 – (–3) + 4 = 3(–3)2 – 2(–3) + c ⇔ 9 + 3 + 4 = 27 + 6 + c ⇔ 16 = 33 + c ⇔ c = 16 – 33 ⇔ c = –17 Diperoleh g(x) = 3x2 – 2x – 17 g(4) = 3(4)2 – 2(4) – 17 = 48 – 8 – 17 = 23 Jadi, nilai g(4) = 23. 7. Jawaban: e (2x4 – 5x3 + x – 8) + (x5 – x4 – 2x2 + 6x) = x5 + (2 – 1)x4 – 5x3 – 2x2 + (1 + 6)x – 8 = x5 + x4 – 5x3 – 2x2 + 7x – 8 Jadi, hasil penjumlahannya x5 + x4 – 5x3 – 2x2 + 7x – 8. 8. Jawaban: a r(x) = p(x) – q(x) = (4x3 – 2x2 + 1) – (x4 – nx2 + 2) r(2) = 39 ⇒ (32 – 8 + 1) – (16 – 4n + 2) = 39 ⇔ 25 + 4n – 18 = 39 ⇔ 4n = 39 – 7 ⇔ n =8


29

1

9. Jawaban: c (2x2 – 3)(x2 + 4x) + 4x2(3 – x) = 2x2(x2 + 4x) – 3(x2 + 4x) + 4x2(3 – x) = 2x4 + 8x3 – 3x2 – 12x + 12x2 – 4x3 = 2x4 + (8 – 4)x3 + (–3 + 12)x2 – 12x = 2x4 + 4x3 + 9x2 – 12x 10. Jawaban: d (x – 1)(x – 2)(x – 3) . . . (x – 10) Jumlah suku-suku hasil perkalian yang mempunyai variabel x9: (–1)x9 + (–2)x9 + (–3)x9 + . . . + (–10)x9 = ((–1) + (–2) + (–3) + . . . + (–10))x9 = –55x9 Jadi, koefisien x9 yaitu –55. B. Uraian 1. a.

b. c.

f(–2) = 3(–2)5 – 10(–2)2 + 5(–2) – 8 = 3(–32) – 10(4) – 10 – 8 = –96 – 40 – 10 – 8 = –154 f(0,5) = 2(0,5)4 – 3(0,5)3 – 10 = 0,125 – 0,375 – 10 = –10,25

f(– ) = 4(– )3 + 3(– )2 – 2(– ) + 4

= 4(– ) + + + 4

= – + 5

= 4 2. a.

f(x) = 3x5 – 2x4 + x2 + 2x + 4 –2 3 –2 0 1 2 4 –6 16 –32 62 –128 3 –8 16 –31 Jadi, nilai f(–2) = –124.

b.

g(x) = 2x4 – 5x3 + x 3 2 –5 0 1 6 3 9 2 1 3 10 Jadi, nilai g(3) = 30.

c.

64

0 30

+

30

p(x) = 6x3 – x2 + x + 7 untuk x =

6 –1 4

1 2

7 2

6

3

9

3

+

Jadi, nilai p( ) = 9. 3. f(x) = x3 + 2(x2 + p) + qx = x3 + 2x2 + qx + 2p

30

–124

Kunci Jawaban dan Pembahasan

+

1

2 1

q 3

2p q+3

1

3

q+3

–2 1

2 –2

q 0

1

0

q

2p –2q

+ 2p + q + 3 = 10 ⇔ 2p + q = 7 . . . (i)

+

2p – 2q = –26 ⇔ p – q = –13 . . . (ii) Eliminasi q dari persamaan (i) dan (ii) 2p + q = 7 p – q = –13 ––––––––––– + 3p = –6 ⇔ p = –2 Substitusi p = –2 ke persamaan (i) 2p + q = 7 2(–2) + q = 7 ⇔ q = 11 Jadi, nilai p = –2 dan q = 11. 4. f(x) = ax2 – 5x + 3 g(x) = x2 – 2x + 5 f(x) dan g(x) bernilai sama untuk x = –1, berarti: f(–1) = g(–1) ⇒ a(–1)2 – 5(–1) + 3 = (–1)2 – 2(–1) + 5 ⇔ a+5+3=1+2+5 ⇔ a+8=8 ⇔ a=0 Diperoleh f(x) = –5x + 3. f(x) dan g(x) bernilai sama, jika: f(x) = g(x) ⇒ –5x + 3 = x2 – 2x + 5 2 ⇔ x + 3x + 2 = 0 ⇔ (x + 2)(x + 1) = 0 ⇔ x = –2 atau x = –1 Diperoleh nilai b = –2. Jadi, a = 0 dan b = –2. 5. p(x) = (x2 – 2x + 5)(2x2 – x – 3) + mx + n a. p(2) = 4 ⇒ (4 – 4 + 5)(8 – 2 – 3) + 2m + n = 4 ⇔ (5)(3) + 2m + n = 4 ⇔ 15 + 2m + n = 4 ⇔ 2m + n = –11 . . . (i) p(1) = 8 ⇒ (1 – 2 + 5)(2 – 1 – 3) + m + n = 8 ⇔ (4)(–2) + m + n = 8 ⇔ –8 + m + n = 8 ⇔ m + n = 16 . . . (ii) Eliminasi n dari persamaan (i) dan (ii): 2m + n = –11 m + n = 16 –––––––––––– – m = –27

Substitusi m = –27 ke persamaan (ii): –27 + n = 16 ⇔ n = 43 Jadi, m = –27 dan n = 43. b.

p(x) = (x2 – 2x + 5)(2x2 – x – 3) – 27x + 43 p(–1) = (1 + 2 + 5)(2 + 1 – 3) + 27 + 43 = (8)(0) + 70 = 70

6. p(x) = x3 + 5x2 – 3x + 10 q(x) = x4 – x3 + 2x – 6 a.

b.

c.

7. a.

b.

c.

8. a.

b.

Derajat suku banyak adalah 3. Koefisien x3 adalah 8. Koefisien x2 adalah 36. Koefisien x adalah 54. Suku konstan 27. c.

(x2 – 3x + 2) + (2x – 1)(3 – x2) = (x2 – 3x + 2) + (6x – 2x3 – 3 + x2) = –2x3 + 2x2 + 3x – 1 (3x2 + x – 6)(2x – 1) – (5 – 2x)(x2 – 3) = (6x3 – 3x2 + 2x2 – x – 12x + 6) – (5x2 – 15 – 2x3 + 6x) = (6x3 – x2 – 13x + 6) – (–2x3 + 5x2 + 6x – 15) = 8x3 – 6x2 – 19x + 21 (x + 1)2 (3x + 4) + (3 – 4x)(2x – 1)2 = (x2 + 2x + 1) (3x + 4) + (3 – 4x)(4x2 – 4x + 1) = (3x3 + 4x2 + 6x2 + 8x + 3x + 4) + (12x2 – 12x + 3 – 16x3 + 16x2 – 4x) = (3x3 + 10x2 + 11x + 4) + (–16x3 + 28x2 – 16x + 3) = –13x3 + 38x2 – 5x + 7 (4 – 3x)(2x + 3)2 = (4 – 3x)(4x2 + 12x + 9) = 16x2 + 48x + 36 – 12x3 – 36x2 – 27x = –12x3 – 20x2 + 21x + 36 Derajat suku banyak adalah 3. Koefisien x3 adalah –12. Koefisien x2 adalah –20. Koefisien x adalah 21. Suku konstan 36.

(x + 1)(x + 3)(x + 5)= (x2 + 4x + 3)(x + 5) = x3 + 9x2 + 23x + 15 Derajat suku banyak adalah 3. Koefisien x3 adalah 1. Koefisien x2 adalah 9. Koefisien x adalah 23. Suku konstan 15.

p(x) + q(x) = (x3 + 5x2 – 3x + 10) + (x4 – x3 + 2x – 6) = x3 + 5x2 – 3x + 10 + x4 – x3 + 2x – 6 = x4 + 5x2 – x + 4 p(x) – q(x) = (x3 + 5x2 – 3x + 10) – (x4 – x3 + 2x – 6) = x3 + 5x2 – 3x + 10 – x4 + x3 – 2x + 6 = –x4 + 2x3 + 5x2 – 5x + 16 4q(x) – 3p(x) = 4(x4 – x3 + 2x – 6) – 3(x3 + 5x2 – 3x + 10) = 4x4 – 4x3 + 8x – 24 – 3x3 – 15x2 + 9x – 30 = 4x4 – 7x3 + 17x – 54

(2x + 3)3 = (2x + 3)(2x + 3)2 = (2x + 3)(4x2 + 12x + 9) = 8x3 + 24x2 + 18x + 12x2 + 36x + 27 = 8x3 + 36x2 + 54x + 27

9. a.

p(x) = (2x2 – 3x + 4)(3x + n) p(2) = 12 ⇒ (2(2)2 – 3(2) + 4)(3(2) + n) ⇔ (8 – 6 + 4)(6 + n) ⇔ (6)(6 + n) ⇔ (6 + n) ⇔ n

= 12 = 12 = 12 =2 = –4

b.

p(x) = (2x2 – 3x + 4)(3x – 4) = 6x3 – 8x2 – 9x2 + 12x + 12x – 16 = 6x3 – 17x2 + 24x – 16 Koefisien x adalah 24.

c.

p(x) = 6x3 – 17x2 + 24x – 16

p( ) = 6( )3 – 17( )2 + 24( ) – 16

= – + 12 – 16

= –7 10. a.

b.

p(x) + (x2 – 4x + 12) = (x2 – 3)(2 – 4x) ⇔ p(x) = (x2 – 3)(2 – 4x) – (x2 – 4x + 12) = 2x2 – 4x3 – 6 + 12x – x2 + 4x – 12 = –4x3 + x2 + 16x – 18 Jadi, p(x) = –4x3 + x2 + 16x – 18. (x2 – 2x – 5) – p(x) = (3 – 2x)(5x – 4) ⇔ –p(x) = (3 – 2x)(5x – 4) – (x2 – 2x – 5) ⇔ p(x) = –(15x – 12 – 10x2 + 8x) + (x2 – 2x – 5) = –15x + 10x2 + 12 – 8x + x2 – 2x – 5 = 11x2 – 25x + 7 Jadi, p(x) = 11x2 – 25x + 7.


31

c.

2p(x) + (x2 – 3)(x + 1) = (3 – 4x)(2x – 1) ⇔ 2p(x) = (3 – 4x)(2x – 1) – (x2 – 3)(x + 1) = 6x – 3 – 8x2 + 4x – (x3 + x2 – 3x – 3) = –8x2 + 10x – 3 – x3 – x2 + 3x + 3 = –x3 – 9x2 + 13x ⇔ p(x) = – x3 – x2 + x Jadi, p(x) = – x3 – x2 + x.

A. Pilihan Ganda 1. Jawaban: a p(x) : q(x) = (6x2 – 10x – 4) : (2x – 4) 3x + 1 2x – 4

2. Jawaban: c (9x3 + 5x2 – 2x + 3) : (x + 1) 9

5 –9

–2 4

3 –2

2

–3 6

a 9

–3 3a + 27

2

3

a+9

3a + 24

9

–4

2

1

+

Diperoleh hasil bagi 2x2 + 2x + (a + 9) dan sisa 3a + 24. Diketahui sisa pembagiannya 18, maka: 3a + 24 = 18 ⇔ 3a = –6 ⇔ a = –2 Jadi, hasil baginya 2x2 + 2x + 7. 6. Jawaban: a (3x4 + 7x3 – 12x2 + 19x – 10) : (3x – 2)

3

3

7

–12

19

–10

2

6

–4

10

9

–6

15

0

+

Diperoleh hasil bagi = (3x3 + 9x2 – 6x + 15) = x3 + 3x2 – 2x + 5 7. Jawaban: b (8x4 + 4x3 + 2x2 – 9x – 6) : (2x2 – 3x + 5) 4x2 + 8x + 3 . 2x2 – 3x + 5

+

Diperoleh: Hasil bagi = 9x2 – 4x + 2 Sisa = 1 3. Jawaban: d f(x) = 2x5 – 3x4 + 7x3 – 4x2 + 1 dibagi (x – 2) 2 2 –3 7 –4 0 1 4 2 18 28 56 + 2 1 9 14 28 57 Jadi, sisanya 57. 4. Jawaban: e

+ + + + + ––––––––––––––– – –4x2 – x – 1 –4x2 – 2x – 2 –––––––––––––––– – x+1 Diperoleh: 4x3 – x2 + x – 1 = (2x2 + x + 1)(2x – 2) + (x + 1) Jadi, h(x) = 2x – 2 dan s(x) = x + 1. 32

3

6x2

– 10x – 4 6x2 – 12x ––––––––––– – 2x – 4 2x – 4 ––––– – 0 Jadi, p(x) : q(x) = 3x + 1.

–1

5. Jawaban: c (2x3 – 3x2 + ax – 3) : (x – 3)


8x4 + 4x3 + 2x2 – 9x – 6 8x4 – 12x3 + 20x2 –––––––––––––––––––––– – 16x3 – 18x2 – 9x – 6 16x3 – 24x2 + 40x ––––––––––––––––– – 6x2 – 49x – 6 6x2 – 9x + 15 ––––––––––– – –40x – 21 Jadi, hasil baginya 4x2 + 8x + 3. 8. Jawaban: e p(x) = x3 + 2x2 + mx + n berderajat 3. Hasil bagi p(x) oleh x2 – 4x + 3 berderajat 1, misalkan ax + b. Dapat dituliskan: p(x) = (x2 – 4x + 3)(ax + b) + (3x + 2) = ax3 + (b – 4a)x2 + (3a – 4b)x + 3b + 3x + 2 = ax3 + (b – 4a)x2 + (3a – 4b + 3)x + (3b + 2) Dengan membandingkan p(x) diperoleh: Koefisien x3 = a = 1 Koefisien x2 = b – 4a = 2 ⇔ b = 2 + 4a = 2 + 4 = 6 Suku konstan = n = 3b + 2 = 18 + 2 = 20 Jadi, nilai n = 20.

9. Jawaban: b a sisa pembagian f(x) oleh (x + 2), berarti a = f(–2) = –8 + 8 + 1 = 1 b sisa pembagian g(x) oleh (x + 2), berarti b = g(–2) = –16 + 20 – 8 = –4 f(x) – g(x) = (x3 – 4x + 1) – (2x3 + 5x2 – 8) = –x3 – 5x2 – 4x + 9 f(x) – g(x) dibagi (x – a – b) = (x – 1 + 4) = (x + 3) –3

–1

–5 3

–4 6

9 –6

–1

–2

2

3

Diperoleh: 3x4 – 2x3 + x2 – 4x + 5

+

–3

3

1

–8

1

–1

1

1

–2

2

2

–7

+

(4x5 – 5x3 + 5x + 6) : (2x – 3)

4

0 6

–5 9

0 6

5 9

6 21

4

6

4

6

14

27

+

Hasil bagi = (4x4 + 6x3 + 4x2 + 6x + 14) = 2x4 + 3x3 + 2x2 + 3x + 7 Sisa = 27 2. a.

(3x4 – 2x3 + x2 – 4x + 5) : (x – 3)(3x + 1) 3 3 –2 1 –4 5 9 21 66 186 + – 3 7 22 62 191

3

Hasil bagi = x2 + 2x +

Sisa = x + 25 b.

(2x4 – 3x3 + 5x – 4) : (x2 – 4) = (2x4 – 3x3 + 5x – 4) : (x – 2)(x + 2) 2 2 –3 0 5 –4 4 2 4 18 –2

2

2

1

2

9

–4

6

–16

–3

8

–7

14

+

Diperoleh: 2x4 – 3x3 + 5x – 4 = (x – 2)((x + 2)(2x2 – 3x + 8) – 7) + 14 = (x – 2)(x + 2)(2x2 – 3x + 8) – 7(x – 2) + 14 = (x2 – 4)(2x2 – 3x + 8) – 7x + 14 + 14 = (x2 – 4)(2x2 – 3x + 8) – 7x + 28 Hasil bagi = 2x2 – 3x + 8 Sisa = –7x + 28

Hasil bagi = 2x3 – 5x2 + 2x + 2 Sisa = –7 b.

(2x4 – 3x3 + 3x2 + x – 8) : (x – )

2

= (x – 3)(3x + 1)(x2 + 2x + ) + x + 25

B. Uraian

2

= (x – 3)(3x + 1)(x2 + 2x + ) + (x – 3) + 191 = (x – 3)(3x + 1)(x2 + 2x + ) + x – 166 + 191

10. Jawaban: d Suku banyak berderajat 3 dibagi (x2 – 3x + 1) diperoleh hasil bagi (ax – 3) dan sisa (3x + 2) yaitu: p(x) = (x2 – 3x + 1)(ax – 3) + (3x + 2) p(2) = 15 ⇔ (4 – 6 + 1)(2a – 3) + (6 + 2) = 15 ⇔ (–1)(2a – 3) + 8 = 15 ⇔ –2a + 3 = 15 – 8 ⇔ –2a = 7 – 3 ⇔ –2a = 4 ⇔ a = –2 Jadi, nilai a = –2.

= (x – 3)((3x + 1)(x2 + 2x + ) + ) + 191

Jadi, diperoleh sisa 3.

1. a.

= (x – 3)((x + )(3x2 + 6x + 20) + ) + 191

3. p(x) – q(x) = (x5 – 3x4 + 6x2 + 3x + 2) – (x4 – 3x3 + 4x2 + 2x + 8) = x5 – 4x4 + 3x3 + 2x2 + x – 6 Pembagian p(x) – q(x) = x5 – 4x4 + 3x3 + 2x2 + x – 6 oleh r(x) = x2 – 2x + 3:

+ + + + x5 – 2x4 + 3x3 –––––––––––––––––––––––– – –2x4 + 2x2 4 3 –2x + 4x – 6x2 ––––––––––––––––––––––– – –4x3 + 8x2 + x –4x3 + 8x2 – 12x ––––––––––––––––– – 13x – 6 Jadi, hasil bagi = x3 – 2x2 – 4x dan sisa = 13x – 6.

–1

–2

–

6

20


33

4. f(x) = 4x3 – px2 + 2x – 5 g(x) = x + 2 a.

f(x) dibagi g(x): –2

b.

4

–p –8

2 2p + 16

–5 –4p – 36

4

–p – 8

2p + 18

–4p – 41

Sisa = 7 ⇒ –4p – 41 = 7 ⇔ –4p = 48 ⇔ p = –12 Hasil bagi: h(x) = –4x2 + (–p – 8)x + (2p + 18) = –4x2 + 4x – 6 Jadi, p = –12 dan h(x) = –4x2 + 4x – 6. f(x) = 4x3 + 12x2 + 2x – 5 dibagi (2x – 3).

4

12

2

–5

6

27

29

+ 4

18

Hasil bagi = (4x2 + 18x + 29)

Sisa = 5. a.

f(x) = x3 – 2x2 – bx – 2 dibagi (x – 1) 1

1

–2 1

–b –1

–2 –b – 1

1

–1

–b – 1

–b – 3

+

g(x) = x2 + bx – 16 dibagi (x – 2) 2 1 b –16 2 2b + 4 + 1 b+2 2b – 12 Sisa pembagian sama, yaitu: –b – 3 = 2b – 12 ⇔ –3b = –9 ⇔ b=3 Jadi, nilai b = 3. b.

f(x) = x3 – 2x2 – 3x – 2 g(x) = x2 + 3x – 16 x–5 x2 + 3x – 16

x3 – 2x2 – 3x – 2 x3 + 3x2 – 16x ––––––––––––––– – –5x2 + 13x – 2 –5x2 – 15x + 80 ––––––––––––––––– – 28x – 82 Hasil bagi = x – 5. Sisa = 28x – 82.

34


A. Pilihan Ganda +

1. Jawaban: d Suku banyak pembagi (g(x)) berderajat 3, maka sisanya berderajat kurang dari 3. 2. Jawaban: e Suku banyaknya p(x). p(x) = (x2 + 2x – 3) h(x) + (5x + 2) Sisa pembagian p(x) oleh (x – 1): p(1) = ((1)2 + 2(1) – 3) h(1) + (5(1) + 2) = (1 + 2 – 3) h(1) + (5 + 2) =0+7=7 Jadi, sisa pembagian suku banyak oleh (x – 1) adalah 7. 3. Jawaban: b f(x) = x3 + mx2 – 4x + 2m – 3 dibagi (x – 1) bersisa 3, berarti: f(1) = 3 ⇔ 1 + m – 4 + 2m – 3 = 3 ⇔ 3m = 9 ⇔ m =3 f(–1) = (–1)3 + 3(–1)2 – 4(–1) + 2 · 3 – 3 = –1 + 3 + 4 + 6 – 3 =9 Jadi, f(x) dibagi (x + 1) sisanya 9. 4. Jawaban: d f(x) dibagi (x – 4) bersisa a berarti: f(4) = a ⇒ 64 – 48 – 14 = a ⇔ a=2 g(x) dibagi (x – 2) bersisa: g(2) = 8 + 8 + 4 + 2 = 22 5. Jawaban: e p(x) = ax5 + bx – 1 p(x) dibagi (x – 2006) bersisa 3 berarti: p(2006) = 3 ⇒ a(2006)5 + b(2006) – 1 = 3 ⇔ a(2006)5 + b(2006) = 4 p(x) dibagi (x + 2006) bersisa: p(–2006) = a(–2006)5 + b(–2006) – 1 = –a(2006)5 – b(2006) – 1 = –(a(2006)5 + b(2006)) – 1 = –4 – 1 = –5 Jadi, p(x) dibagi (x + 2006) bersisa –5. 6. Jawaban: a Suku banyak: f(x) = (x2 – 4x – 12) h(x) + s(x) = (x – 6)(x + 2) h(x) + (9x + a)

Sisa pembagian f(x) oleh (x + 2) adalah 8, maka: f(–2) = s(–2) = 8 ⇔ 9(–2) + a = 8 ⇔ –18 + a = 8 ⇔ a = 26 Diperoleh s(x) = 9x + 26 Sisa pembagian f(x) oleh (x – 6): s(6) = 9(6) + 26 = 54 + 26 = 80 7. Jawaban: c Suku banyak: p(x) = 2x4 + ax3 – 3x2 + 5x + b p(x) dibagi (x – 1) sisa 11, berarti: p(1) = 11 ⇔ 2(1)4 + a(1)3 – 3(1)2 + 5(1) + b = 11 ⇔ 2 + a – 3 + 5 + b = 11 ⇔ a+b=7 . . . (i) p(x) dibagi (x + 1) sisa –1, berarti: p(–1) = –1 ⇔ 2(–1)4 + a(–1)3 – 3(–1)2 + 5(–1) + b = –1 ⇔ 2 – a – 3 – 5 + b = –1 ⇔ –a + b = 5 . . . (ii) Eliminasi a: a+b=7 –a + b = 5 –––––––––– + 2b = 12 ⇔ b = 6 a+b=7 ⇔ a+6=7 ⇔ a=1 Nilai (2a + b) = 2(1) + 6 = 8. 8. Jawaban: e Diketahui p(–2) = 8 dan p(3) = 3. x2 – x – 6 = (x – 3)(x + 2) Misalkan sisa pembagiannya s(x) = ax + b maka: p(–2) = 8 ⇒ –2a + b = 8 p(3) = 3 ⇒ 3a + b = 3 –––––––––– – –5a = 5 ⇔ a = –1 –2a + b = 8 ⇔ 2 + b = 8 ⇔ b=6 Jadi, sisa pembagiannya –x + 6. 9. Jawaban: d Pembagi: x2 – 7x + 12 = (x – 4)(x – 3) Pembagi berderajat dua maka sisanya berderajat satu. Misal sisanya s(x) = ax + b. s(4) = f(4) = 1 ⇒ 4a + b = 5 s(3) = f(3) = –1 ⇒ 3a + b = –2 –––––––––– – a=7 b = 5 – 4a = 5 – 4(7) = –23 Jadi, sisanya 7x – 23. 10. Jawaban: c Pembagi: x2 – 1 = (x – 1)(x + 1) f(x) = x6 – 6x3 + ax + b

f(1) = 16 – 6 · 13 + 1 · a + b =1–6+a+b =a+b–5 f(–1) = (–1)6 – 6(–1)3 + (–1)a + b =1+6–a+b =7–a+b Suku banyak f(x) dibagi (x – 1)(x + 1) diperoleh sisa s(x) = 2x – 3. f(1) = s(1) ⇒ a + b – 5 = 2 – 3 ⇔ a+b=4 f(–1) = s(–1) ⇒ 7 – a + b = –2 – 3 ⇔ a – b = 12 Dengan eliminasi diperoleh: a+b=4 a+b=4 a – b = 12 a – b = 12 –––––––– + ––––––––– – 2a = 16 2b = –8 ⇔ a=8 ⇔ b = –4 Jadi, diperoleh a = 8 dan b = –4. 11. Jawaban: a Sisa pembagian suku banyak p(x) oleh (x + 4) adalah 1, berarti p(–4) = 1. Sisa pembagian suku banyak p(x) oleh (x2 + x – 2) = (x + 1)(x – 2) adalah –3x + 4, berarti: p(–1) = –3(–1) + 4 = 7 p(2) = –3(2) + 4 = –2 Sisa pembagian suku banyak p(x) oleh (x2 + 5x + 4) = (x + 1)(x + 4) berderajat satu s(x) = ax + b, maka: p(–1) = s(–1) ⇔ 7 = –a + b p(–4) = s(–4) ⇔ 1 = –4a + b –––––––––––– – 6 = 3a ⇔ a =2 7 = –a + b ⇒ 7 = –2 + b ⇔ b=9 Jadi, sisa pembagian p(x) oleh (x2 + 5x + 4) adalah 2x + 9. 12. Jawaban: d f(x) dibagi (x – 1) bersisa 2, berarti f(1) = 2. f(x) dibagi (x – 2) bersisa 3, berarti f(2) = 3. g(x) dibagi (x – 1) bersisa 5, berarti g(1) = 5. g(x) dibagi (x – 2) bersisa 4, berarti g(2) = 4. h(x) = f(x)g(x) h(1) = f(1)g(1) = 2 × 5 = 10 h(2) = f(2)g(2) = 3 × 4 = 12 h(x) = (x2 – 3x + 2)k(x) + s(x) = (x – 1)(x – 2)k(x) + (ax + b) h(1) = 10 ⇒ a + b = 10 h(2) = 12 ⇒ 2a + b = 12 ––––––––––––––––– – –a = –2 ⇔ a = 2 a + b = 10 ⇒ b = 8 Jadi, sisanya 2x + 8.


35

13. Jawaban: b Suku banyak berderajat 3 dibagi (x2 + x – 3) bersisa (3x – 3) yaitu p(x) = (x2 + x – 3)(ax + b) + (3x – 3). Suku banyak tersebut dibagi (x 2 + x – 2) = (x – 1)(x + 2) bersisa s(x) = (2x – 1), berarti: p(1) = s(1) ⇒(12 + 1 – 3)(a + b) + (3 – 3) = (2 – 1) ⇔ (–1)(a + b) = 1 ⇔ a + b = –1 p(–2) = s(–2) ⇒ (4 – 2 – 3)(–2a + b) + (–6 – 3) = (–4 – 1) ⇔ (–1)(–2a + b) – 9 = –5 ⇔ 2a – b = 4 Elimiasi b: a + b = –1 2a – b = 4 –––––––––– + 3a = 3 ⇔ a =1 a + b = –1 ⇔ 1 + b = –1 ⇔ b = –2 Diperoleh suku banyak: p(x) = (x2 + x – 3)(x – 2) + (3x – 3) = x3 – 2x2 + x2 – 2x – 3x + 6 + 3x – 3 = x3 – x2 – 2x + 3 14. Jawaban: a p(x) dibagi x2 – 9 = (x – 3)(x + 3) sisanya 5x – 2, maka: p(3) = 5(3) – 2 = 13 p(–3) = 5(–3) – 2 = –17 p(x) dibagi x2 – 16 = (x – 4)(x + 4) sisanya nol, maka: p(4) = 0 p(–4) = 0 p(x) dibagi x2 + 7x + 12 = (x + 4)(x + 3) sisanya ax + b, berarti: p(–4) = –4a + b = 0 p(–3) = –3a + b = –17 –––––––––––––– – –a = 17 ⇔ a = –17 b = 4a = 4(–17) = –68 Jadi, p(x) dibagi x2 + 7x + 12 sisanya –17x – 68. 15. Jawaban: b Suku banyak: p(x) = x4 – 5x3 – 6x2 + ax + b Faktor: x2 – 2x – 8 = (x + 2)(x – 4) Pembagian p(x) oleh (x + 2) dan (x – 4): –2 1 –5 –6 a b –2 14 –16 –2a + 32 +

4

1

–7

8

a – 16

4

–12

–16

–3

–4

a – 32

–2a + 32 + b +

1

36


(x + 2) dan (x – 4) merupakan faktor, berarti: a – 32 = 0 ⇔ a = 32 –2a + 32 + b = 0 ⇔ –2(32) + 32 + b = 0 ⇔ –64 + 32 + b = 0 ⇔ b = 32 Diperoleh nilai a = 32 dan b = 32. Jadi, a + b = 64. 16. Jawaban: a p(x) = 2x3 – 5x2 + 12x – 8 Akar-akar yang mungkin dari suku banyak p(x)

adalah ±8, ±4, ±2, ±1, dan ± . p(2) = 2(2)3 – 5(2)2 + 12(2) – 8 = 16 – 20 + 12 – 8 =0 Oleh karena p(2) = 0, maka (x – 2) merupakan faktor dari p(x). Jadi, salah satu faktor suku banyak p(x) = 2x3 – 5x2 + 12x – 8 adalah (x – 2). 17. Jawaban: d Suku banyak: x3 + kx2 + x – 3 1

1

k 1

1 k+1

–3 k+2

1

k+1

k+2

k–1

+

x – 1 merupakan faktor, berarti sisa pembagiannya nol, yaitu k–1=0 ⇔ k=1 Hasil bagi = 1x2 + (k + 1)x + (k + 2) = x2 + 2x + 3 Oleh karena (x – 1) merupakan faktor, maka (x2 + 2x + 3) juga merupakan faktor. 18. Jawaban: b p(x) = x3 + ax2 – 13x + b (x – 2) dan (x – 1) merupakan faktor-faktor suku banyak p(x), maka: p(x) = (x – 2)(x – 1)(x – n) = (x2 – 3x + 2)(x – n) = x3 – (3 + n)x2 + (2 + 3n)x – 2n Dari kesamaan p(x) diperoleh: –13 = 2 + 3n (kesamaan koefisien x) ⇔ –15 = 3n ⇔ n = –5 Diperoleh p(x) = (x – 2)(x – 1)(x + 5), sehingga akar-akar persamaan suku banyak p(x) adalah 2, 1, dan –5. Oleh karena x1 > x2 > x3, maka x1 = 2, x2 = 1, dan x3 = –5. Jadi, nilai x1 – x2 – x3 = 2 – 1 – (–5) = 6.

19. Jawaban: b x9 – x = x(x8 – 1) = x((x4)2 – 12) = x(x4 + 1)(x4 – 1) = x(x4 + 1)((x2)2 – 12) = x(x4 + 1)(x2 + 1)(x2 – 1) = x(x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)(x – 1) Jadi, banyak faktor ada 5 yaitu x, (x 4 + 1), (x2 + 1), (x + 1), dan (x – 1).

3. a.

–1

1 –3 1

–6 –2

8 –8

1 –2

–8

0

b. +

x3 – 3x2 – 6x + 8 = 0 ⇔ (x – 1)(x2 – 2x – 8) = 0 ⇔ (x – 1)(x + 2)(x – 4) = 0 ⇔x = 1 atau x = –2 atau x = 4 Jadi, akar-akarnya adalah 1, –2, dan 4. B. Uraian 1. g(x) = x2 – 4x + 3 = (x – 3)(x – 1) a. Suku banyak f(x) dibagi g(x) = (x – 3)(x – 1) bersisa s(x) = 2x – 4, berarti: f(3) = s(3) = 2(3) – 4 = 2 Jadi, nilai f(3) = 2. b.

Sisa pembagian f(x) oleh (x – 1): s(1) = 2(1) – 4 = –2

Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh:

8 + 2a = – a – 4 ⇔ 16 + 4a = –a – 8 ⇔ 5a = –24 ⇔ a = –4,8 Substitusi a = –4,8 ke persamaan (i): b = 8 + 2(–4,8) = –1,6 Diperoleh sisa pembagian –4,8x – 1,6.

2

–7

–c + 7

c–4

+

Oleh karena c = 4 maka hasil bagi = 2x2 – 7x + (–4 + 7) = 2x2 – 7x + 3. Suku banyak p(x) dapat dituliskan: p(x) = (x + 1)(2x2 – 7x + 3) = (x + 1)(2x – 1)(x – 3) Jadi, faktor linear yang lain adalah (2x – 1) dan (x – 3).

b.

Misalkan p(x) dibagi x2 – x – 6 = (x + 2)(x – 3) sisanya ax + b, maka: p(–2) = –2a + b = –12 p(3) = 3a + b = 18 ––––––––––––– – –5a = –30 ⇔ a=6 b = 18 – 3a = 18 – 3(6) = 0 Jadi, p(x) dibagi x2 – x – 6 sisanya 6x.

3 c–7

Misalkan p(x) dibagi (x – 2)(x + 5) sisanya ax + b, maka: p(2) = 2a + b = 0 p(–5) = –5a + b = –14 ––––––––––––– – 7a = 14 ⇔ a =2 2a + b = 0 ⇔ b = –2a = –2(2) = –4 Jadi, p(x) dibagi (x – 2)(x + 5) sisanya 2x – 4.

f( ) = –4 ⇒ a + b = –4 b = – a – 4 . . . (ii)

–c 7

a.

Suku banyak f(x) dibagi (2x – 1) sisanya 6, berarti:

⇔

–5 –2

4. p(x) dibagi x2 – 4 = (x – 2)(x + 2) sisanya 3x – 6, berarti: p(2) = 3(2) – 6 = 0 p(–2) = 3(–2) – 6 = –12 p(x) dibagi x2 + 2x – 15 = (x – 3)(x + 5) sisanya 4x + 6, berarti: p(3) = 4(3) + 6 = 18 p(–5) = 4(–5) + 6 = –14

2. Pembagi: 2x2 + 3x – 2 = (x + 2)(2x – 1) Sisa pembagian berderajat satu, misalkan sisanya ax + b. Suku banyak f(x) dibagi x + 2 sisanya 8, berarti: f(–2) = 8 ⇒ –2a + b = 8 ⇔ b = 8 + 2a . . . (i)

2

Diperoleh hasil bagi 2x2 – 7x + (–c + 7) dan sisa c – 4. (x + 1) merupakan faktor dari suku banyak p(x), berarti sisa pembagiannya 0. c–4=0⇔c=4 Jadi, nilai c = 4.

20. Jawaban: c Faktor dari suku tetap 8 adalah ±1; ±2; ±4; dan ±8. 1

p(x) = 2x3 – 5x2 – cx + 3 Pembagian p(x) oleh (x + 1)


37

5. f(x) dibagi (x – 3) bersisa 4, maka f(3) = 4. f(x) dibagi (x – 2) bersisa 8, maka f(2) = 8. g(x) dibagi (x – 3) bersisa 2, maka g(3) = 2. g(x) dibagi (x – 2) bersisa –6, maka g(2) = –6. h(x) = f(x)g(x) h(3) = f(3)g(3) = 4 × 2 = 8 h(2) = f(2)g(2) = 8 × (–6) = –48 Misalkan sisa pembagian h(x) oleh (x2 – 5x + 6) = (x – 3)(x – 2) adalah s(x) = ax + b, maka: s(3) = h(3) ⇒ 3a + b = 8 s(2) = h(2) ⇒ 2a + b = –48 ––––––––––––– – a = 56 3a + b = 8 ⇔ b = 8 – 3a = 8 – 3(56) = –160 Jadi, sisanya 56x – 160. 6. a.

b.

8. a.

x3 – 4x2 – 12x = 0 ⇔ x(x2 – 4x – 12) = 0 ⇔ x(x + 2)(x – 6) = 0 ⇔ x = 0 atau x = –2 atau x = 6 Jadi, himpunan penyelesaiannya {–2, 0, 6}. (x4 – 16)(x4 – 18x2 + 81) = 0 ⇔ (x2 + 4)(x2 – 4)(x2 – 9)2 = 0 ⇔ (x2 + 4)(x + 2)(x – 2)(x + 3)2(x – 3)2 = 0 ⇔ x = –2 atau x = 2 atau x = –3 atau x = 3 Untuk x 2 + 4 = 0 tidak ada nilai x yang memenuhi. Jadi, himpunan penyelesaiannya {–3, –2, 2, 3}. 3

2

f(x) berderajat 2 dan habis dibagi (2x + 3) maka f(x) = (2x + 3)(ax + b). 1)

2)

f(x) dibagi (x – 3) bersisa 36, berarti: f(3) = 9(3a + b) = 36 3a + b = 4 . . . (i)

1 3

6

1

2

a+6

3a + 19

9a + b + 57 = 0 9a + b = –57 . . . (i)

1

–1 2

a 2

1 2a + 4

b 4a + 10

1

1

a+2

2a + 5

4a + b + 10 = –12 4a + b = –22 . . . (ii)

f(x) dibagi (x + 2) bersisa 1, berarti: f(–2) = (–1)(–2a + b) = 1 2a – b = 1 . . . (ii)

b.

2

2

5

3

x = –1

+

dan sisanya

1

2 –1

–1 –1

–2 2

1

1

–2

0

+

+

.

9. Faktor suku tetap –16 adalah ±1, ±2, ±4, ±8, ±16. 1 1 –5 0 20 –16 1 –4 –4 16

+

1

–4

–4

16

0

f(x) = (x3 – 4x2 – 4x + 16)(x – 1).

38

+

Hasil bagi = x2 + x – 2 = (x – 1)(x + 2) Jadi, akar-akarnya f(x) = 0 adalah x = –2, x = –1, x = 1, dan x = 3.

Jadi, hasil baginya (2x + ) = x +

b

Hasil bagi f(x) dengan (x – 3) adalah x3 + 2x2 + (–7 + 6)x + (3(–7) + 19) = x3 + 2x2 – x – 2

f(x) = 2x2 + 5x + 3 dibagi (3x – 1)

–1 a 1 3a + 18 9a + 57

Eliminasi b dari persamaan (i) dan (ii): 9a + b = –57 4a + b = –22 ––––––––––– – 5a = –35 ⇔ a = –7 b = –22 – 4a = –22 – 4(–7) = 28 – 22 =6 Jadi, a = –7 dan b = 6.

Eliminasi b pada (i) dan (ii): 3a + b = 4 2a – b = 1 ––––––––– + 5a = 5 ⇔ a=1 b = 4 – 3a = 4 – 3(1) =1 Jadi, f(x) = (2x + 3)(x + 1) = 2x2 + 5x + 3. b.

7. a.


2

1

–4 2

–4 –4

16 –16

1

–2

–8

0

p(–3) = 5(–3)3 + 4(–3)2 – 8(–3) – 12 = –135 + 36 + 24 – 12 = –87 p(4) + 4p(–3) = 340 + 4(–87) = 340 – 348 = –8

+

f(x) = (x2 – 2x – 8)(x – 2)(x – 1) = (x – 4)(x + 2)(x – 2)(x – 1) Jadi, faktor-faktor dari f(x) adalah (x – 1), (x – 2), (x – 4), dan (x + 2). 10. Menjadi suku banyak berarti dapat disederhanakan tanpa ada penyebut bervariabel x (pecahan bentuk aljabar). Artinya penyebut bentuk di atas merupakan faktor dari pembilangnya. Penyebut = x2 – 3x + 2 = (x – 2)(x – 1) f(2) = f(1) = 0 dengan f(x) = x5 – 6x3 + px2 – 7x + q 1 1

0

–6

p

–7

q

1

1

–5

p–5

p – 12

1

–5

p–5

p – 12

p + q – 12 = 0

+ 1

p + q = 12 . . . (i) 2 1

0

–6

p

–7

q

2

4

–4

2p – 8

4p – 30

2

–2

p–4

2p – 15

4p + q – 30 = 0

+ 1

4p + q = 30 . . . (ii)

Eliminasi q dari persamaan (i) dan (ii): p + q = 12 4p + q = 30 –––––––––– – –3p = –18 ⇔ p = 6 q = 12 – p = 12 – 6 = 6 Jadi, nilai p = 6 dan q = 6.

3. Jawaban: b p(x) = 2x4 + ax3 – 5x2 – x + 6 p(–1) = –13 2(–1)4 + a(–1)3 – 5(–1)2 – (–1) + 6 = –13 ⇔ 2 – a – 5 + 1 + 6 = –13 ⇔ 4 – a = –13 ⇔ a = 17 Jadi, nilai a = 17. 4. Jawaban: c f(x) = x4 – 3x3 + 2x2 –8 g(x) = 2x3 – 6x2 + 12x + 10 ––––––––––––––––––––––––––––––––– + f(x) + g(x) = x4 – x3 – 4x2 + 12x + 2 Jadi, hasil f(x) + g(x) = x4 – x3 – 4x2 + 12x + 2. 5. Jawaban: e f(x) = 3x4 – 2x3 + 4x2 – 6 f(2) = 3(2)4 – 2(2)3 + 4(2)2 – 6 = 48 – 16 + 16 – 6 = 42 g(x) = 4x4 – x3 – 5x2 + 3x + 15 g(2) = 4(2)4 – (2)3 – 5(2)2 + 3(2) + 15 = 64 – 8 – 20 + 6 + 15 = 57 h(x) = f(x) – g(x) h(2) = f(2) – g(2) = 42 – 57 = –15 6. Jawaban: d Derajat (6 – x) adalah 1. Oleh karena derajat (2x2 – 3x) adalah 2, maka derajat (2x2 – 3x)3 adalah 2 × 3 = 6. Jadi, derajat (6 – x)(2x2 – 3x)3 adalah 1 + 6 = 7.

A. Pilihan ganda 1. Jawaban: d Suku banyak: p(x) = 4x4 – 2x2 + 5x + 18 Nilai suku banyak p(x) untuk x = –2: p(–2) = 4(–2)4 – 2(–2)2 + 5(–2) + 18 = 64 – 8 – 10 + 18 = 64 Jadi, nilai suku banyak untuk x = –2 adalah 64. 2. Jawaban: d p(x) = 5x3 + 4x2 – 8x – 12 p(4) = 5(4)3 + 4(4)2 – 8(4) – 12 = 320 + 64 – 32 – 12 = 340

7. Jawaban: e (x + 3)(x2 – 2)2 = (x + 3)(x4 – 4x2 + 4) = x5 – 4x3 + 4x + 3x4 – 12x2 + 12 = x5 + 3x4 – 4x3 – 12x2 + 4x + 12 8. Jawaban: b p(x) = (x + 3)(x3 – 3x2 + 2x – 2) + (3x3 – 2x2 + x – 4)2 Suku konstan dari (x + 3)(x3 – 3x2 + 2x – 2) adalah 3 × (–2) = –6, sedangkan suku konstan (3x3 – 2x2 + x – 4)2 adalah (–4)2 = 16. Suku konstan dari p(x) adalah –6 + 16 = 10. 9. Jawaban: e h(x) = f(x) × g(x) + 2g(x) = (x2 – 4x + 2)(4x – 5) + 2(4x – 5)


39

h(3) = (9 – 12 + 2)(12 – 5) + 2(12 – 5) = –1 × 7 + 14 =7 10. Jawaban: c (x2 + 1)(x3 + 2x)(x2 + 1) Ada 3 rangkaian perkalian yang hasil variabelnya x5, jumlahnya = x2 · x3 · 1 + x2 · 2x · x2 + 1 · x3 · x2 = x5 + 2x5 + x5 = 4x5 Jadi, koefisien x5 adalah 4. 11. Jawaban: c Sisa pembagian suku banyak f(x) = 2x3 – 3x2 + 4 oleh (x + 2) sama dengan f(–2). f(–2) = 2(–2)3 – 3(–2)2 + 4 = 2(–8) – 3(4) + 4 = –16 – 12 + 4 = –24 Jadi, sisa pembagiannya –24. 12. Jawaban: b f(x) = x + 2 dan g(x) = 2x2 – 3x + 1 Sisa pembagian suku banyak h(x) oleh (x + 1) sama dengan h(–1). f(–1) = –1 + 2 = 1 g(–1) = 2 + 3 + 1 = 6 h(–1) = (f(–1) + g(–1)) × f(–1) = (1 + 6) × 1 =7 Jadi, sisa pembagian suku banyak h(x) oleh (x + 1) adalah 7. 13. Jawaban: e x4 – 2x3 + x – 1 dibagi (x + 1) –1 1 –2 0 1 –1 –1 3 –3 2 1

–3

3

–2

1

+

Hasil bagi: h(x) = x3 – 3x2 + 3x – 2 14. Jawaban: c f(x) = 2x4 – 5x3 + 6x2 – 8x + 9 dibagi (2x – 1)

2

–5 6 1 –2

–8 2

9 –3

2

–4

–6

6

4

+

Hasil baginya x3 – 2x2 + 2x – 3, sisa 6. 15. Jawaban: d f(x) = x4 + 2x3 – 6x2 + px + 8 dibagi oleh (x + 3). –3 1 2 –6 p 8 –3 3 9 –3p – 27 + 1 –1 –3 p + 9 –3p – 19

40


Diperoleh: Hasil bagi = x3 – x2 – 3x + (p + 9) Sisa = –3p – 19 Diketahui sisa pembagian f(x) oleh (x + 3) adalah 2, maka: –3p – 19 = 2 ⇔ –3p = 21 ⇔ p = –7 Hasil bagi = x3 – x2 – 3x + (–7 + 9) = x3 – x2 – 3x + 2 Jadi, hasil baginya x3 – x2 – 3x + 2. 16. Jawaban: c p(x) = x4 + mx3 + 5x2 + nx – 12 habis dibagi (x + 1) dan (x – 4), maka p(–1) = 0 dan p(4) = 0. p(–1) = (–1)4 + m(–1)3 + 5(–1)2 + n(–1) – 12 ⇔ 0 = 1 – m + 5 – n – 12 ⇔ m + n = –6 . . . (i) p(4) = (4)4 + m(4)3 + 5(4)2 + n(4) – 12 ⇔ 0 = 256 + 64m + 80 – 4n – 12 ⇔ 64m – 4n = 324 ⇔ 16m – n = 81 . . . (ii) Eliminasi n dari (i) dan (ii) m + n = –6 16m – n = 81 ––––––––––––– – –15m = –87 ⇔ m = 5,8 Substitusi nilai m = 5,8 ke (i) m + n = –6 ⇔ n = –6 – m = –6 – 5,8 = –11,8 Diperoleh m = 5,8 dan n = –11,8. Jadi, 2m + n = 2(5,8) + (–11,8) = –0,2. 17. Jawaban: c Misal: f(x) = 2x3 – px2 + qx + 6 g(x) = 2x3 + 3x2 – 4x – 1 f(x) dan g(x) dibagi (x + 1) mempunyai sisa sama, berarti: f(–1) = g(–1) ⇒ –2 – p – q + 6 = –2 + 3 + 4 – 1 ⇔ –p – q + 4 = 4 ⇔ –(p + q) = 0 ⇔ p+q=0 18. Jawaban: c f(x) = 2x3 + ax2 + bx – 2 (x – 2) faktor f(x), berarti: f(2) = 0 ⇒ 16 + 4a + 2b – 2 = 0 ⇔ 4a + 2b = –14 ⇔ 2a + b = –7 . . . (i) f(x) dibagi (x + 3) bersisa –50, berarti: f(–3) = –50 ⇒ –54 + 9a – 3b – 2 = –50 ⇔ 9a – 3b = 6 ⇔ 3a – b = 2 . . . (ii)

22. Jawaban: b

Eliminasi b dari persamaan (i) dan (ii): 2a + b = –7 3a – b = 2 ––––––––––– + 5a = –5 ⇔ a = –1 Substitusi a = –1 ke persamaan (i): 2a + b = –7 ⇒ –2 + b = –7 ⇔ b = –5 Jadi, nilai a + b = (–1) + (–5) = –6.

p(x) dibagi (2x – 1) bersisa 2 → p( ) = 2

p(x) dibagi (3x + 2) bersisa –3 → p(– ) = –3

f(x) dibagi (2x – 1) bersisa –2 → f( ) = –2

f(x) dibagi (3x + 2) bersisa 6 → f(– ) = 6 h(x) = p(x) · f(x) dibagi (2x – 1)(3x + 2) mempunyai sisa ax + b, maka:

19. Jawaban: e Suku banyak: f(x) = (x2 + x – 12) h(x) + (7x – 4) Sisa pembagian f(x) oleh (x – 3): p(3) = ((3)2 + (3) – 12) h(3) + (7(3) – 4) = (9 + 3 – 12) h(3) + (21 – 4) = 0 + 17 = 17

h( ) = 2 · (–2) = –4 ⇒

h(– ) = –3 · 6 = –18 ⇒

⇔

f(x) dibagi 3x2 + 5x + 2 diperoleh hasil h(x) dan sisa s(x) = ax + b, yaitu: f(x) = (3x2 + 5x + 2)h(x) + s(x) = (3x + 2)(x + 1)h(x) + (ax + b) f(– ) = –2 ⇒

–a + b = 1 – a + b = –2 –––––––––––– – – a = 3 ⇔ a = –9

–a + b = 1 ⇔ b = 1 + a = 1 + (–9) = –8 Jadi, sisanya –9x – 8.

+

a = 14

a = 14 × = 12

a + b = –4 ⇔ b = –4 – a = –4 – (12) = –10 Jadi, sisanya: 12x – 10.

⇔

f(x) dibagi (3x + 2) sisanya –2 berarti f(– ) = –2.

⇒

a + b = –18 ––––––––––––––– –

21. Jawaban: a f(x) dibagi (x + 1) sisanya 1 berarti f(–1) = 1.

a + b = –4

( + )a = 14

20. Jawaban: a p(x) = (x2 – 3x + 2) h(x) + s(x) = (x – 2)(x – 1) h(x) + 9x – 5 p(2) = 23 + a(2)2 – 4(2) + b = 9(2) – 5 ⇔ 8 + 4a – 8 + b = 18 – 5 ⇔ 4a + b = 13 . . . (i) 2 p(1) = 13 + a(1) – 4(1) + b = 9(1) – 5 ⇔ 1+a–4+b =9–5 ⇔ a+b–3 =4 ⇔ a + b = 7 . . . (ii) Eliminasi b dari (i) dan (ii) diperoleh: 4a + b = 13 a+b =7 –––––––––– – 3a = 6 ⇔ a = 2 Substitusi a = 2 ke (ii): a + b= 7 ⇔ b=7–a=7–2=5 Jadi, nilai a – b = 2 – 5 = –3.

f(–1) = 1

–

23. Jawaban: c f(x) dibagi x2 – 2x – 15 = (x + 3)(x – 5) bersisa 3x + 2, berarti: f(–3) = 3(–3) + 2 = –7 f(5) = 3(5) + 2 = 17 f(x) dibagi x2 – 2x – 3 = (x + 1)(x – 3) bersisa 5x – 4, berarti: f(–1) = 5(–1) – 4 = –9 f(3) = 5(3) – 4 = 11 f(x) dibagi x2 – 8x + 15 = (x – 3)(x – 5) bersisa px + q, berarti: f(3) = 3p + q = 11 f(5) = 5p + q = 17 –––––––––––– – –2p = –6 ⇔ p = 3 q = 11 – 3p = 11 – 9 = 2 Jadi, f(x) dibagi x2 – 8x + 15 bersisa 3x + 2. 24. Jawaban: c f(x) habis dibagi (x – 1), berarti f(1) = 0. Misal sisa pembagian f(x) oleh (x – 1)(x + 1) adalah s(x) = ax + b. f(1) = s(1) ⇒ 0 = a + b b = –a f(–1) = s(–1) ⇒ f(–1) = –a + b ⇔ f(–1) = –a + (–a) ⇔ f(–1) = –2a

⇔ a = – f(–1)

b = –a = –(– f(–1)) = f(–1)


41

29. Jawaban: c 2x4 + tx3 – 7x2 + nx + 6 = 0

Jadi, sisa pembagiannya s(x) = ax + b

–2

= – f(–1)x + f(–1) =

1

2

=0 =0 = –16 = –8

26. Jawaban: e p(x) = 2x3 – 5x2 – px + 3 2

–5 –2

–p 7

3 p–7

2

–7

7–p

p–4

+

Sehingga diperoleh: p(x) = (x + 1)(2x2 – 7x + 3) = (x + 1)(2x – 1)(x – 3) Jadi, salah satu faktor linear yang lain (2x – 1). 27. Jawaban: a (x2 – 4x – 12)(x2 – 3x + 2) = 0 ⇔ x2 – 4x – 12 = 0 atau x2 – 3x + 2 = 0 ⇔ x1 + x2 = 4 x3 + x4 = 3 Jumlah akar-akar persamaan suku banyak x1 + x2 + x3 + x4 = 4 + 3 =7 28. Jawaban: c 2x3 – 3x2 – 11x + p = 0 x1 = –2 2

–3 –4

–11 14

2

–7

3

–7

n

6

–2t + 8

4t – 2

–8t – 2n + 4

t–4

–2t + 1

4t + n – 2

–8t – 2n + 10

2

t–2

–t – 1

t–2

–t – 1

3t + n – 3

+

Jadi, 2α + 2β = 2(α + β) = 2 · 0 = 0. 30. Jawaban: e Faktor bulat dari –2 adalah ±1 dan ±2. Faktor bulat dari 3 adalah ±1 dan ±3.

+

p–6

Akar-akar 2x2 – 7x + 3 = 0 adalah x2 dan x3 dengan

–1

3 –4 –3

1 7

6 –8

–2 2

3 –7

8

–2

0

+

Diperoleh –1 adalah akar rasional suku banyak.

3 –7

8

–2

1 –2

2

6

+

0

Diperoleh adalah akar rasional suku banyak. 3x4 – 4x3 + x2 + 6x – 2 = 0 ⇔ (x + 1)(3x3 – 7x2 + 8x – 2) = 0 ⇔ ⇔

(x + 1)(x – )(3x2 – 6x + 6) = 0 (x + 1)(3x – 1)(x2 – 2x + 2) = 0

x2 – 2x + 2 tidak dapat difaktorkan karena D = (–2)2 – 4 · 1 · 2 = –4 < 0.

x2x3 = .

Jadi, akar rasionalnya adalah –1 dan .

Jadi, x1x2x3 = –2 × = –3.


Akar-akar yang mungkin adalah ± 1, ± 2, ± , ± .

p –6

+

Oleh karena x = –2 dan x = 1 merupakan akar, maka: –8t – 2n + 10 = 0 ⇔ 4t + n = 5 3t + n – 3 = 0 ⇔ 3t + n = 3 –––––––– – t=2 Dari hasil pembagian terakhir diperoleh hasil bagi 2x2 + (t – 2)x + (–t – 1) = 0 t = 2 ⇒ 2x2 + 0t – 3 = 0 Akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut adalah

3 –6

Sisa = 0 ⇒ p – 6 = 0 ⇔ p =6

42

t –4

α dan β, sehingga α + β = – = 0.

(x + 1) merupakan faktor p(x), berarti: p(–1) = 0 ⇒ p – 4 = 0 ⇔ p=4

–2

2

f(–1)(1 – x)

25. Jawaban: e f(x) = x4 – 2x3 + px + 16 x – 2 faktor f(x) apabila: f(2) = 0 ⇒ 24 – 2(2)3 + p(2) + 16 ⇔ 16 – 16 + 2p + 16 ⇔ 2p ⇔ p

–1

2

B. Uraian

5. a.

x3

1. p(x) = – 4x + 1 q(x) = x4 – 2x3 + 5x a. f(x) = 2p(x) – q(x) = 2(x3 – 4x + 1) – (x4 – 2x3 + 5x) = (2x3 – 8x + 2) – (x4 – 2x3 + 5x) = 2x3 – 8x + 2 – x4 + 2x3 – 5x = –x4 + 4x3 – 13x + 2 b. Derajat f(x) adalah 4. c. Koefisien x2 dari suku banyak f(x) adalah 0. 2. p(x) = 2x4 + 3x3 – 6x2 + mx + 4 a. p(–3) = 1 ⇔ 2(–3)4 + 3(–3)3 – 6(–3)2 + m(–3) + 4 = 1 ⇔ 162 – 81 – 54 – 3m + 4 = 1 ⇔ –3m + 31 = 1 ⇔ –3m = –30 ⇔ m = 10 Jadi, nilai m = 10. b. p(x) = 2x4 + 3x3 – 6x2 + 10x + 4 p(–1) = 2(–1)4 + 3(–1)3 – 6(–1)2 + 10(–1) + 4 = 2 – 3 – 6 – 10 + 4 = –13 p(1) = 2(1)4 + 3(1)3 – 6(1)2 + 10(1) + 4 = 2 + 3 – 6 + 10 + 4 = 13 p(–1) + 2p(1) = –13 + 2(13) = 13 3. a.

b.

c.

4. a.

(2x4 – 4x3 – x2 + 6x – 4) : (x + 2) –2 2 –4 –1 6 –4 –4 16 –30 48 15

–24

44

+

Hasil bagi = 2x3 – 8x2 +15x – 24 Sisa = 44 b.

(4x5 – 3x3 + x2 + 8) : (2x + 3)

–

4

4

0

–3

1

0

8

–6

9

–9

12

–18

–6

6

–8

12

–10

Hasil bagi = (4x4 – 6x3 + 6x2 – 8x + 12) = 2x4 – 3x3 + 3x2 – 4x + 6 Sisa = –10

2

5

–8

3

p

3

12

6

8

4

9

p+

+

Sisa = 15 ⇒ p + = 15 ⇔ p = 15 – = 15 – 13 =1 b.

Hasil bagi: h(x) =

(2x3

+ 8x2 + 4x + 9)

6. Misal p(x) = x4 – ax3 + (a – 3)x2 + 3x + 2a a. Pembagian p(x) oleh (x – 2): 2 1 –a 2 1

a–3 3 2a 4 – 2a 2 – 2a 10 – 4a

2–a 1–a

+

5 – 2a 10 – 2a

Oleh karena p(x) habis dibagi (x – 2), maka: 10 – 2a = 0 ⇔ a = 5 Jadi, nilai a = 5. b.

Pembagi: x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3) p(x) = x4 – 5x3 + 2x2 + 3x + 10 = (x – 2)(x3 – 3x2 – 4x – 5) 1 –3 –3

–4 18

–5 –42

1 –6

14

–47

+

p(x) = (x – 2)(x3 – 3x2 – 4x – 5) = (x – 2)[(x + 3)(x2 – 6x + 14) – 47] = (x – 2)(x + 3)(x2 – 6x + 14) – 47(x – 2) = (x2 + x – 6)(x2 – 6x + 14) + 94 – 47x Jadi, sisanya 94 – 47x.

r(–2) = (–2)6 – 4(–2)4 + 8(–2)3 – 32(–2) = 64 – 64 – 64 + 64 =0

–8

2

–3

p(–2) = q(–2) ⇔ (–2)4 – a(–2) = (–2)2 – 4 ⇔ 16 + 2a = 4 – 4 ⇔ 2a = –16 ⇔ a = –8 r(x) = p(x)q(x) = (x4 + 8x)(x2 – 4) = x6 – 4x4 + 8x3 – 32x

2

+

7. f(x) dibagi (x – 1) sisanya 6, maka f(1) = 6. f(x) dibagi (x + 3) sisanya –2, maka f(–3) = –2. f(x) dibagi x2 + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3) sisanya s(x) = ax + b. f(x) dibagi (x – 1) sisanya 6, berarti a + b = 6. f(x) dibagi (x + 3) sisanya –2, berarti –3a + b = –2. Eliminasi b: a+b =6 –3a + b = –2 –––––––––––– – 4a = 8 ⇔ a = 2 Substitusi a = 2 diperoleh: a+b =6 ⇔2+b =6 ⇔ b =4 Jadi, sisa pembagian f(x) oleh x2 + 2x – 3 adalah 2x + 4.


43

8. a.

p(x) = 2x4 + 3x3 + ax2 + bx + 5 habis dibagi (x2 – 1) = (x – 1)(x + 1), berarti p(1) = 0 dan p(–1) = 0. p(1) = 2(1)4 + 3(1)3 + a(1)2 + b(1) + 5 ⇔0=2+3+a+b+5 ⇔ a + b = –10 . . . (i) p(–1) = 2(–1)4 + 3(–1)3 + a(–1)2 + b(–1) + 5 ⇔0=2–3+a–b+5 ⇔ a – b = –4 . . . (ii) Eliminasi b dari (i) dan (ii) a + b = –10 a – b = –4 ––––––––––– + 2a = –14 ⇔ a = –7 Substitusi a = –7 ke persamaan (i) a + b = –10 ⇔ b = –10 – a = –10 – (–7) = –3 Jadi, a = –7 dan b = –3.

b.

p(x) = 2x4 + 3x3 – 7x2 – 3x + 5 Sisa pembagian p(x) oleh (x + 3): p(–3) = 2(–3)4 + 3(–3)3 – 7(–3)2 – 3(–3) + 5 = 162 – 81 – 63 + 9 + 5 = 32

9. Jika x = 2 adalah akar persamaan f(x) = 0 maka f(2) = 0. Menghitung nilai f(2) dengan cara Horner. 2 1 –5 2 8 2 –6 –8 + 1 –3 –4 0

Diperoleh sisa 0, berarti x – 2 merupakan faktor. 3x3 – 4x2 – 5x + 2 = 0 ⇔ (x – 2)(3x2 + 2x – 1) = 0 ⇔ (x – 2)(x + 1)(3x – 1) = 0 ⇔ x = 2 atau x = –1 atau x = Jadi, akar-akarnya –1,

Bab II

,

.

dan 2.

Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers

A. Pilihan ganda 1. Jawaban: d Gambar (i) bukan fungsi surjektif karena ada anggota B yang tidak mempunyai pasangan anggota A. Gambar (ii) fungsi surjektif karena setiap anggota B mempunyai pasangan anggota A. Gambar (iii) fungsi surjektif karena setiap anggota B mempunyai pasangan anggota A. Gambar (iv) fungsi bijektif karena satu anggota A berpasangan dengan tepat satu anggota B. Jadi, fungsi surjektif ditunjukkan oleh gambar (ii) dan (iii). 2. Jawaban: c f(x) = 5x + 2 f(x – 2) = 5(x – 2)+ 2 = 5x – 10 + 2 = 5x – 8 Jadi, rumus fungsi f(x – 2) = 5x – 8. 3. Jawaban: a

Oleh karena f(x) = 0, x = 2 merupakan akar. Dari pembagian cara Horner di atas didapat hasil bagi = x2 – 3x – 4 sehingga: x3 – 5x2 + 2x + 8 = 0 ⇔ (x – 2)(x2 – 3x – 4) = 0 ⇔ (x – 2)(x – 4)(x + 1) = 0 ⇔ x = 2 atau x = 4 atau x = –1. Jadi, akar-akar yang lain adalah 4 dan –1. 10. 3x3 – 4x2 – 5x + 2 = 0 2

3 3

–4 6 2

–5 4 –1

2 –2 0

−

Misalkan t = 2x + 1 ⇒ x = g(2x + 1)= 6x – 7 ⇔

−

g(t) = 6( ) – 7 ⇔ g(t) = 3(t – 1) – 7 ⇔ g(t) = 3t – 3 – 7 ⇔ g(t) = 3t – 10 ⇔ g(x) = 3x – 10 Jadi, rumus fungsi g(x) = 3x – 10. 4. Jawaban: a

+

Agar f(x) =

− bernilai real, syaratnya:

x2 – 16 ≥ 0 ⇔ (x + 4)(x – 4) ≥ 0

1234567

1234567 1234567 – 1234567 + – • • –4 4 –4 ≤ x ≤ 4

Jadi, daerah asalnya = {x | –4 ≤ x ≤ 4, x ∈ R}.

44


5. Jawaban: e f(x + 2) = x2 + 4x + 1 ⇔ f(x + 2) = (x2 + 4x + 4) – 3 ⇔ f(x + 2) = (x + 2)2 – 3 ⇔ f(x) = x2 – 3 Jadi, f(x) = x2 – 3. 6. Jawaban: c    (x)  

=

=

+ − +

=

+ − +

=x–1 Dengan demikian,    (a)  

=a–1 

Jadi, rumus fungsi   (a) adalah a – 1.   7. Jawaban: b (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (10x – 7) + (2x2 – 1) = 2x2 + 10x – 8 Jadi, (f + g)(x) = 2x2 + 10x – 8. 8. Jawaban: c (f g)(x) = f(g(x)) = f(x + 5) = (x + 5)2 – 5(x + 5) + 1 = x2 + 10x + 25 – 5x – 25 + 1 = x2 + 5x + 1 Jadi, komposisi fungsi (f g)(x) adalah x2 + 5x + 1. 9. Jawaban: b (g f)(x) = g(f(x)) = g(4x + 3) = 2(4x + 3)2 + (4x + 3) – 5 = 2(16x2 + 24x + 9) + 4x – 2 = 32x2 + 48x + 18 + 4x – 2 = 32x2 + 52x + 16 Jadi, (g f)(x) = 32x2 + 52x + 16. 10. Jawaban: c (g f)(x) = g(f(x)) = g(3x – 1) (g f)(1) = g(3(1) – 1) = g(2) = 2(2)2 + 3 = 8 + 3 = 11 11. Jawaban: c (g f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2)

(g f)(–1) = g(3(–1) + 2) = g(–1) − + − −

=

=–

12. Jawaban: b (g f)(x) = 9x2 – 6x + 2 ⇔ g(f(x)) = 9x2 – 6x + 2 ⇔ g(3x – 1) = 9x2 – 6x + 2 ⇔ g(3x – 1) = 9x2 – 6x + 1 + 1 ⇔ g(3x – 1) = (3x – 1)2 + 1 ⇔ g(x) = x2 + 1 (f g)(x) = f(g(x)) = 3(x2 + 1) – 1 = 3x2 + 3 – 1 = 3x2 + 2 Jadi, (f g)(x) = 3x2 + 2. 13. Jawaban: b (f g)(x) = 4 ⇔ f(g(x)) = 4 ⇔ f(2x2 + 1) = 4 ⇔ 3(2x2 + 1) – 5= 4 ⇔ 6x2 + 3 = 9 ⇔ 6x2 = 6 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1 Jadi, nilai x = 1 atau x = –1. 14. Jawaban: b (f g)(a) = f(g(a)) = 2 f(2a2 + 2a – 1) = 2 2 ⇔ –(2a + 2a – 1) + 1= 2 ⇔ –2a2 – 2a + 1 + 1 = 2 ⇔ –2a2 – 2a = 0 ⇔ –2a(a + 1) = 0 ⇔ a = 0 atau a = –1 Jadi, nilai a adalah 0 atau –1. 15. Jawaban: e

(f g)(x) =

+ +

⇔

f(g(x)) =

⇔

−

=

+ +

+ +

− = + + ⇔ (g(x))2 – 2 = x2 + 6x + 7 ⇔ (g(x))2 = x2 + 6x + 9 ⇔ (g(x))2 = (x + 3)2 ⇔ g(x) = x + 3 ⇔ g(x + 2) = (x + 2) + 3 ⇔ g(x + 2) = x + 5 Jadi, g(x + 2) = x + 5. ⇔


45

16. Jawaban: a Misalkan t = x – 2 ⇒ x = t + 2 g(x – 2) = 2x + 7 ⇔ g(t) = 2(t + 2) + 7 ⇔ g(t) = 2t + 4 + 7 ⇔ g(t) = 2t + 11 ⇔ g(x) = 2x + 11 (h g)(x) = h(g(x)) ⇔ 4x2 + 44x + 1 = h(2x + 11) ⇔ (2x + 11)2 – 121 + 1 = h(2x + 11) ⇔ (2x + 11)2 – 120 = h(2x + 11) ⇔ h(x) = x2 – 120 2 h(10) = (10) – 120 = 100 – 120 = –20 Jadi, h(10) = –20.

19. Jawaban: b (f g)(x) = 9x2 + 12x – 1 ⇔ f(g(x)) = 9x2 + 12x – 1 ⇔ (g(x))2 – 5 = 9x2 + 12x – 1 ⇔ (g(x))2 = 9x2 + 12x + 4 ⇔ (g(x))2 = (3x + 2)2 ⇔ g(x) = 3x + 2 (g h)(x) = g(h(x)) = g(x + 10) = 3(x + 10) + 2 = 3x + 30 + 2 = 3x + 32 (g h)(x – 1) = 3(x – 1) + 32 = 3x – 3 + 32 = 3x + 29 Jadi, (g h)(x – 1) = 3x + 29.

17. Jawaban: c g(2x – 1) = 4x(x – 1) ⇔ g(2x – 1) = 4x2 – 4x ⇔ g(2x – 1) = (4x2 – 4x + 1) – 1 ⇔ g(2x – 1) = (2x – 1)2 – 1 ⇔ g(x) = x2 – 1 (f g)(x) = f(g(x)) = f(x2 – 1) = (x2 – 1) + 1 = x2 Jadi, rumus fungsi (f g)(x) = x2.

20. Jawaban: e

18. Jawaban: b Misalkan x – 1 = t ⇒ x = t + 1 (f g)(x – 1) = 8x2 – 40x + 50 ⇔ (f g)(t) = 8(t + 1)2 – 40(t + 1) + 50 ⇔ (f g)(t) = 8(t2 + 2t + 1) – 40t – 40 + 50 ⇔ (f g)(t) = 8t2 + 16t + 8 – 40t + 10 ⇔ (f g)(t) = 8t2 – 24t + 18 ⇔ (f g)(x)= 8x2 – 24x + 18 Misalkan v = 2x – 3 ⇒ x =

+

8x2

(f g)(x) = – 24x + 18 ⇔ f(g(x)) = 8x2 – 24x + 18 ⇔ f(2x – 3)= 8x2 – 24x + 18 ⇔ f(v) = 8x2 – 24x + 18 +

⇔

× −

=

+ +

⇔ 2 × g(x) – 3 = 20x + 9 ⇔ 2 × g(x) = 20x + 12 ⇔ g(x) = 10x + 6 (h g)(x) = h(g(x)) = h(10x + 6) = (10x + 6) – 7 = 10x – 1 (h g)(x + 1) = 10(x + 1) – 1 = 10x + 10 – 1 = 10x + 9 Jadi, (h g)(x + 1) = 10x + 9. B. Uraian Daerah asal fungsi g adalah {x | x ∈ R}.

Daerah asal fungsi h adalah {x | x ∈R, x ≠ }. +

f(v) = 8( )2 – 24 ( ) + 18

⇔

f(v) = 8(

b.

(h + g)(x) = 3x + 16 +

) – 12(v + 3) + 18

⇔ f(v) = 2(v2 + 6v + 9) – 12v – 36 + 18 ⇔ f(v) = 2v2 + 12v + 18 – 12v – 18 ⇔ f(v) = 2v2 ⇔ f(x) = 2x2 Jadi, f(x) = 2x2.


−

=

+ − + −

=

+ − − + −

=

+ −

−

Jadi, rumus (h + g)(x) adalah (h + g)(x) =

46

+

f(g(x)) =

⇔

1. a.

⇔

+ +

(f g)(x) =

+ −

−

; x ≠ .

2. a.

h(x) = +

=

+ −

+ − +

=

b.

Syarat: 1)

2)

+ terdefinisi, 5x + 15 harus lebih dari atau sama dengan nol. 5x + 15 ≥ 0 ⇔ 5x ≥ –15 ⇔ x ≥ –3 3x + 1 tidak boleh bernilai nol sehingga

Agar

3x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ –

5. a.

.

Jadi, daerah asal fungsi h(x) adalah

{x | x ≠ – , x ≥ –3, x ∈ R}. b.

k(x) = =

+

+ −

⇔ g(t) = 6(

+

b.

4. a.

(g f)(a) = 6 ⇔ g(f(a)) = 6 ⇔ g(a2 – 2a – 4) = 6

+ )

+ 10

⇔ g(t) = 2(t + 1) + 10 ⇔ g(t) = 2t + 12 ⇔ g(x) = 2x + 12 Dengan demikian, g(–x – 5) = 2(–x – 5) + 12 ⇔ g(–x – 5) = –2x – 10 + 12 ⇔ g(–x – 5) = –2x + 2 ⇔ g(–x – 5) = 2 – 2x Jadi, rumus fungsi g(–x – 5) = 2 – 2x.

+

(f g h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(2x + 2)) = f(6 – (2x + 2)2) = f(6 – (4x2 + 8x + 4)) = f(–4x2 – 8x + 2) = –(–4x2 – 8x + 2) = 4x2 + 8x – 2 Jadi, (f g h)(x) = 4x2 + 8x – 2. (h g f)(x) = h(g(f(x))) (h g f)(–3) = h(g(f(–3))) = h(g(–(–3))) = h(g(3)) = h(6 – 32) = h(6 – 9) = h(–3) = 2(–3) + 2 = –6 + 2 = –4 Jadi, (h g f)(–3) = –4.

Cara 1 g(3x – 1) = 6x + 10 ⇔ g(3x – 1) = 2(3x – 1) + 12 ⇔ g(x) = 2x + 12 Cara 2 g(3x – 1) = 6x + 10 Misal t = 3x – 1 ⇒ x = g(3x – 1) = 6x + 10

= − + Dari (x – 6)(5x +15) dapat disimpulkan bahwa k(x) tidak terdefinisi untuk x = 6 atau x = –3. Jadi, daerah asal fungsi k(x) adalah {x | x ≠ 6, x ≠ –3, x ∈ R}. 3. a.

⇔ 3(a2 – 2a – 4) + 9 = 6 ⇔ 3a2 – 6a – 12 + 9 = 6 ⇔ 3a2 – 6a – 9 = 0 ⇔ a2 – 2a – 3 = 0 ⇔ (a – 3)(a + 1) = 0 ⇔ a = 3 atau a = –1 Jadi, nilai a adalah 3. (f g)(x) = f(g(x)) (f g)(2) = f(g(2)) = f(3 × 2 + 9)) = f(15) = 152 – 2 × 15 – 4 = 225 – 30 – 4 = 191 Jadi, (f g)(2) = 191.

b.

(f g)(x) = x + 2 ⇔ f(g(x)) = x + 2 Cara 1 f(2x + 12) = x + 2 f(2x + 12) = ⇔

f(x) =

+ − −

Cara 2 f(2x + 12) = x + 2 Misal t = 2x + 12 ⇒ x =

−

f(2x + 12) = x + 2 ⇔ f(t) =

−

+2

⇔ f(t) =

− +

−

⇔ f(x) =

−

⇔ f(t) =


47

Dengan demikian, f(x) =

3. Jawaban: a Cara 1

− .

(g f)(x) = g(f(x)) ⇔ (g f)(x) = g( ⇔ (g f)(x) =

f(x) =

− )

− 2( )

Misal y = + 12

⇔ (g f)(x) = x – 8 + 12 ⇔ (g f)(x) = x + 4 Jadi, rumus fungsi (g f)(x) = x + 4.

A.

Pilihan ganda

1.

Jawaban: c x+2=t⇒x=t–2 f(x + 2) = 3x – 6 ⇔ f(t) = 3(t – 2) – 6 ⇔ f(t) = 3t – 6 – 6 ⇔ f(t) = 3t – 12 ⇔ f(x) = 3x – 12 Misalkan y = f(x) y = 3x – 12 ⇔ 3x = y + 12 x=

⇔ f –1(x) =

+

x=

+ −

− − − ; −

+ −

.

+ +

− + −

, x ≠ – maka

,x≠

− +

maka

− −

f –1(x)

=

+

⇔ f–1(x) =

.

+ − +

Jadi, f–1(x) = − , x ≠ . 4. Jawaban: b Misalkan y = g(x) y = x2 + 6 ⇔ x2 = y – 6 ⇔

x = ± −

⇔ g–1(x) = ± − g(x) = x2 + 6 untuk x < 0 diperoleh g–1(x) = – − ; x > 6. 5. Jawaban: c (g f)(x) = g(f(x)) = g(12x + 1)

= − +

x≠4

Jadi, invers dari fungsi h(x) adalah x ≠ 4. 48

⇔

f(x) =

xy – y = 4x – 1 xy – 4x = y – 1 x(y – 4) = y – 1

h–1(x) =

− − −

Dengan demikian,

− −

⇔

x=

f–1(x) =

+ +2 − + − = + − − + + − = − − = − − Misalkan y = − .

x=

⇔

Jika f(x)=

h(x) =

⇔

y(4x + 1) = 2x – 3 4xy + y = 2x – 3 4xy – 2x = –y – 3 x(4y – 2) = –y – 3

Cara 2 Dengan rumus praktis:

2. Jawaban: d

⇔ ⇔ ⇔

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

f–1(x) = −

Jadi, invers dari f(x) adalah

y=

− +

Dengan demikian, f–1(x) =

+

⇔

− +


h–1(x)

=

− ; −

= −

⇔ t = 10 Jadi, nilai t = 10.

Misalkan y = (g f)(x). y=

−

8. Jawaban: c

⇔ 2y – 12xy = 4 ⇔ 12xy = 2y – 4

Misalkan y = 4x + 6 ⇒

⇔ g–1(x) =

−

⇔

x=

x =

−

Misalkan t =

⇔ (g f)–1(x) =

Daerah asal (g f)–1(x) = {x | x ≠ 0, x ∈ R} 6. Jawaban: b g(x) = 52x Misal y = 52x ⇔ log y = log (52x) ⇔ log y = 2x log 5

−

⇒ x = 4t + 6

(g f)–1(x) = (f –1 g–1)(x) ⇔

− + −

= f –1( )

⇔

− + −

= f –1(t)

⇔

− + + + −

= f –1(t)

⇔

− − + + −

= f –1(t)

− + −

= f –1(t)

−

⇔

x =

⇔

x = 5log y

⇔

⇔

x = 5log

⇔

⇔

f –1(x) = −

x = 5log

⇔

f –1(x) = −

Dengan demikian, Jadi, g–1(9)

=

g–1(x)

5log

=

=

5log

5log

7. Jawaban: b Cara 1 Dengan menentukan f–1(x) terlebih dahulu f(x) = Misal

+ + y=

⇔ yx = 6x + 8 ⇔ yx – 6x = 8 ⇔ (y – 6)x = 8 ⇔

x=

−

Dengan demikian, f–1(t) ⇔

f–1(x)

=

−

=2

−

=2

⇔ 2t – 12 = 8 ⇔ 2t = 20 ⇔ t = 10 Cara 2 Dengan pengertian fungsi invers f(x) = y ⇔ f–1(y) = x f–1(t) = 2 maka f(2) = t f(2) = t ⇔ ⇔

+

=t =t

− +

− +

3

− −

− +

Misalkan y = − − +

y = − ⇔ 2xy – 3y = –3x + 1 ⇔ 2xy + 3x = 1 + 3y ⇔ x(2y + 3) = 1 + 3y +

⇔

x = +

⇔

(f –1(x))–1 = +

⇔

f(x) = +

+ +

Jadi, f(x) =

+ ; +

x ≠ –.

9. Jawaban: a (f g)–1(x) = (g–1 f–1)(x) = g–1(f–1(x))

= g–1( − ) =

−

−

− +

= ( − ) −

= − , x ≠ 4 −

Jadi, rumus fungsi (f g)–1(x) adalah − , x ≠ 4.


49

10. Jawaban: c (f g)(x) = f(g(x)) = f(

Misal y = 2log

⇔

+

+

2y = 2log 2y =

Misalkan y = f–1(x) = ⇔ ⇔

+ y2 = 2x + 3 2x = y2 – 3

⇔

x=

−

⇔

(f –1(x))–1 =

−

⇔

f(x) =

−

⇔

f(x + 1) =

y=

+ )

= 2log

2log

2. a.

+

+

⇔ 2x + 6 = 4(2)y ⇔ 2x = 4(2)y – 6 ⇔

x=

b. B. Uraian 1. a.

Misalkan y = f(x). y= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

− −

(8 – 3x)y = 2x – 1 8y – 3xy = 2x – 1 3xy + 2x = 8y + 1 x(3y + 2) = 8y + 1

⇔ b.

+

f–1(x) = + ; x ≠ –

+

y = −

⇔ (2x – 5)y = 4x + 1 ⇔ 2xy – 5y = 4x + 1 ⇔ 2xy – 4x = 5y + 1 ⇔ x(2y – 4) = 5y + 1

⇔ c.

+ −

Jadi, f(x + 1) =

+ −

x= f –1(x) =

3. a.

+ − + ; −

g–1(x + 1) =

−

⇔ g–1(t) =

− −

⇔ g–1(t) =

−

⇔ g–1(x) =

− = y.

g–1(x)

⇔ ⇔

− y2 = 4x – 5 4x = y2 + 5

⇔

x=

+

⇔ (g–1(x))–1 =

+

⇔

+

g(x) =

g(x) =

+

Misalkan y = f(x)


⇔

.

−

Misal y = x≠2

.

Misalkan t = x + 1 ⇒ x = t – 1.

Jadi, g(x) =

y = 2log x ⇔ 2log 2y = 2log x ⇔ 2y = x –1 ⇔ f (x) = 2x

50

=

y=

x = +

Misalkan y = f(x).

⇔

+ + −

Misalkan

+

⇔

+ −

=

−

⇔ x = 2(2)y – 3 Jadi, (f g)–1(x) = 2(2)x – 3.

+

y2 =

−

−

⇔ 2y2 = x – 8 ⇔ x = 2y2 + 8 Dengan demikian, g–1(x) = 2x2 + 8. Dg = {x | x ≥ 8, x ∈ R} Rg = {y | y ≥ 0, y ∈ R} Dg–1 = {x | x ≥ 0, x ∈ R}

Dengan demikian, daerah asal g–1(x) adalah Dg–1 = {x | x ≥ 0, x ∈ R}. b.

g(x) = x2 – 6x + 10 Misal y = x2 – 6x + 10 ⇔ x2 – 6x = y – 10 2 ⇔ x – 6x + 9 = y – 10 + 9 ⇔ (x – 3)2 = y – 1 ⇔

= 6x – 16 5. a.

+

x = 3 ± −

Diperoleh: 1)

−

g–1(x) = 3 + g–1(x) = 3 –

−. Dg–1 = {x | x ≥ 1, x ∈ R}

b.

Dengan demikian, g–1(x) = 3 – − dan daerah asal g–1(x) adalah Dg–1 = {x | x ≥ 1, x ∈ R}. Misalkan x + 1 = t ⇒ x = t – 1. g–1(x + 1) = 12x – 7 ⇔ g–1(t) = 12(t – 1) – 7 ⇔ g–1(t) = 12t – 12 – 7 ⇔ g–1(t) = 12t – 19 ⇔ g–1(x) = 12x – 19 ⇔

(f g)–1(t) = −

+

y = 2x + 1 ⇔

x=

−

⇔

g–1(x) =

−

+

(f g)–1(x) = −

+

⇔

(g–1 f–1)(x) = −

⇔

g–1(f–1(x)) = −

+

⇔

− −

+

= − ⇔ (x – 4)(f –1(x) – 1) = 16x + 38

f(x) = 2x + 13 y = 2x + 13 −

⇔

f –1(x) – 1 =

+ −

⇔ f –1(x) =

−

⇔

f –1(x) =

+ −

⇔

f –1(x) =

+ −

(f g)–1(x) = (g–1 f –1)(x) = g–1(f–1(x)) = g–1(

−

= 12(

−

b.

− −

+ ; −

−

+ −

x ≠ 4.

(g f –1)(x) = g(f –1(x))

) – 19

(g f)–1(x) = (f –1 g–1)(x) = f –1(g–1(x)) = f –1 (12x – 19) =

Jadi, f –1(x) =

)

= 6(x – 13) – 19 = 6x – 78 – 19 = 6x – 97 d.

⇔

x=

⇔

c.

(f g)–1(t) = + −

+

=3–

4. a.

+ +

⇔

⇔ (f g)–1(x) = − Misalkan y = g(x) = 2x + 1.

− Oleh karena Dg = {x|x ≤ 3, x ∈ R} maka g–1(x) 2)

Misalkan t = x – 2 ⇒ x = t + 2. (f g)–1(x – 2) = −

x – 3 = ± −

⇔

−

=

+

= g( − ) +

= 2( − ) + 1 =

+ −

=

+

−

Jadi, (g f –1)(x) =

−

+ −

+

−

; x ≠ 4.


51

6. a.

Misalkan y = g(x).

⇔ ⇔ ⇔

3xy – y = x 3xy – x = y x(3y – 1) = y

 −   − −   

= h 

 − 

= h −   

= −

⇔

x = −

⇔

g–1(x) = −

b.

−

−

= −

Jadi, g–1(x) = − ; x ≠ . (g h)(x) = g(h(x)) = g(x + 5) =

−

= −

+ + −

c.

+

= + Misalkan (g h)(x) = y.

−

+

⇔

Dengan demikian, (h g f) –1(x) = − Agar (h g f) –1(k) = 3 maka

−

= −

− −

2 × (g h)–1(a) = –9

⇔

x x 4y 4y

− −

=k −

⇔

k = −

⇔

k=

x = −

Dengan demikian, (g–1)–1(x) = g(x) = Jadi, rumus fungsi g(x) =

, −

(h g f)(x) = h(g(f(x))) −

= h(g ( ))

52

k=

Cara 2 Dengan pengertian fungsi invers f(x) = y ⇔ f–1(y) = x (h g f)–1(k) = 3 maka (h g f)(3) = k (h g f)(3) = k

b.

⇔

g–1(x) = −

⇔

=3

⇔ 7k – 5 = 3(k – 1) ⇔ 7k – 5 = 3k – 3 ⇔ 4k = 2

−

⇔ 2 × − = –9 ⇔ 10 – 28a = – 27a + 9 ⇔ –a = –1 ⇔ a=1 Jadi, nilai a adalah 1.

Misal y = − ⇔ (x – 4)y = ⇔ xy – 4y = ⇔ xy – x = ⇔ x(y – 1) =

x = −

−

= −

⇔ (g h)–1(x)

−

⇔

−

x

−

Jadi, (h g f)(x) = − , x ≠ 7. Cara 1 Dengan menentukan (h g f)–1(x) dahulu Misal y = − ⇔ y(x – 7) = x – 5 ⇔ xy – 7y = x – 5 ⇔ xy – x = 7y – 5 ⇔ x(y – 1) = 7y – 5

y = + ⇔ 3xy + 14y = x + 5 ⇔ 3xy – x = 5 – 14y ⇔ x(3y – 1) = 5 – 14y

7. a.

  −        −  −    

=h

y=

−


−

x ≠ 1.

Jadi, nilai k = . 8. h(x + 1) = 5 + x ⇔ h(x + 1) = 4 + (1 + x) ⇔ h(x) = 4 + x Misalkan y = h(x) y=4+x ⇔ x=y–4 ⇔ h–1(x) = x – 4

(f g h–1)(x) = (f(g h–1))(x) = f(g(h–1(x))) = f(g(x – 4)) = f(2(x – 4) + 1) = f(2x – 7) = 3(2x – 7) = 6x – 21 (f g h–1)(p) = 21 ⇔ 6p – 21 = 21 ⇔ 6p = 42 ⇔ p=7 Jadi, nilai p = 7. 9. a.

⇔ ⇔

x=

b.

(g h)–1(p) =

−

1=

⇔

20 = −

=

– x) – 2)

=

f(

x

−

.

−

⇔

⇔

−

−

Jadi, (g h)–1(x) =

f( (1

x = 2log

⇔ (g h)–1(x) =

(f g h)(x) = f((g h)(x)) = f(g(h(x))) = f(g(1 – x))

–

2log

− −

=0

⇔ p=1 Jadi, nilai p adalah 1.

– 2)

= f(– x – )

= 4(– x – ) = –2x – 6 Misalkan y = (f g h)(x). y = –2x – 6 ⇔ 2x = –y – 6 ⇔

x=

⇔ (f g h)–1(x) =

− − − −

+ + −

x=

g(x) =

= −

–p = 2

2log

2. Jawaban: b

+

– p – 3 = –1

(g h)(x) = g(h(x)) = g(2log x) = 2 · 2log x + 1 Misalkan y = (g h)(x). y ⇔ 2 · 2log x = y – 1 ⇔

+ −

= − +

(f g h)–1(p) = –1

Jadi, daerah asal g(x) adalah {x | x ≠ , x ∈ R}.

⇔ –p = 4 ⇔ p = –4 Jadi, nilai p adalah –4. 10. a.

Jawaban: d

Jadi, (f g h)–1(x) = – x – 3.

⇔

1.

= − + Daerah asal f(x) adalah {x | x ≠ 1, x ≠ –5, x ∈ R}.

⇔

Pilihan ganda

f(x) =

⇔ (f g h)–1(x) = – x – 3

b.

A.

−

3. Jawaban: d (f · g)(x) = f(x) · g(x)

= (x2 + 8x + 15)( + )

= 2 · 2log x + 1

= (x + 5)(x + 3)( + ) =x+3 Jadi, rumus fungsi (f · g)(x) = x + 3.


53

4. Jawaban: a

7. Jawaban: c (f g)(x) = f(g(x)) = f(2x + 1) = 5 + 2(2x + 1) – (2x + 1)2 = 5 + 4x + 2 – (4x2 + 4x + 1) = 7 + 4x – 4x2 – 4x – 1 = –4x2 + 6 Jadi, rumus fungsi komposisi (f g)(x) = –4x2 + 6.

( )(x) =

=

+ + +

+

= + +

= + Jadi, daerah asal fungsi ( )(x) adalah {x |

x ∈ R}.

5. Jawaban: c Cara 1

g(3x + 2) = + Misal 3x + 2 = t ⇒ x =

−

Dengan demikian,

−

− +

⇔ g(t) = ⇔ g(t) =

9. Jawaban: d (g f)(x) = g(f(x)) = g(x2 + 4x) = –2 +

10. Jawaban: d (g f)(x) = g(f(x))

−

− +

 +    − 

−

⇔ g(t) =

= g

 + 

−

⇔ g(t) =

(g f)(2) = g  −  

−

⇔ g(5) =

=

⇔ g(5) =

Cara 2 +

3x + 2 = 5 ⇒ 3x = 3 ⇔ x=1 Untuk x = 1 g(3(1) + 2) = ⇔ g(5) =

+

Jadi, nilai g(5) =

.

6. Jawaban: a h(x – 1) = (x – 1)2 + 2(x – 1) – 1 = x2 – 2x + 1 + 2x – 2 – 1 = x2 – 2 Jadi, rumus fungsi f(x – 1) = x2 – 2. 54



  g  −  

= g(–3) = (–3)2 + (–3) + 1 =9–2 =7

⇔ g(5) =

g(3x + 2) =

= –2 + = –2 + x + 2 =x Jadi, fungsi komposisi (g f)(x) = x.

+

g(3x + 2) =

x ≠ –7,

8. Jawaban: a (f g)(x) = f(g(x) = f(x2 – 2x – 1) = (x2 – 2x – 1) + 3 = x2 – 2x + 2 Jadi, komposisi (f g)(x) = x2 – 2x + 2.


11. Jawaban: e (f g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)2 + (x + 1) – 1 = x2 + 2x + 1 + x = x2 + 3x + 1 Jadi, komposisi fungsi (f g)(x) = x2 + 3x + 1. 12. Jawaban: c (f g)(x) = x2 – 3x + 3 ⇔ f(g(x)) = x2 – 3x + 3

⇔ f( x2 – x – 2) = x2 – 3x + 3

⇔ f( x2 – x – 2) = 3( x2 – x – 2) + 9 ⇔ f(x) = 3x + 9 Jadi, rumus fungsi f(x) = 3x + 9.

16. Jawaban: b

13. Jawaban: b (f g)(x) = f(g(x)) =

  f   +     

= 3  +  + 1

+

= + + + +

= + (f g)(a) = 7 ⇔

+ +

=7

⇔ 3a + 2 = 7(a + 2) ⇔ 3a + 2 = 7a + 14 ⇔ 4a = –12 ⇔ a = –3 Jadi, nilai a = –3. 14. Jawaban: a f(x + 1) = 2x ⇔ f(x + 1) = 2(x + 1) – 2 ⇔ f(x) = 2x – 2 (f g)(x + 1) = 2x2 + 4x – 2 ⇔ f(g(x + 1)) = 2(x2 + 2x – 1) ⇔ f(g(x + 1)) = 2((x2 + 2x + 1) – 2) ⇔ f(g(x + 1)) = 2((x + 1)2 – 2) ⇔ f(g(x)) = 2(x2 – 2) ⇔ f(g(x)) = 2x2 – 4 ⇔ 2(g(x)) – 2 = 2x2 – 4 ⇔ 2(g(x)) = 2x2 – 2 ⇔ g(x) = x2 – 1 Jadi, g(x) = x2 – 1. 15. Jawaban: c (f g h)(x) = f(g(h(x))) (f g h)(–1) = f(g(h(–1))) = f(g(–(–1))) = f(g(1)) = f(4 – 2(1)) = f(2) = + = =3 Jadi, nilai (f g h)(–1) = 3.

(f g)(x) = f( − ) = 2( − )2 + 9 = 2(3x – 1) + 9 = 6x + 7 ((f g) h)(x) = (f g)(h(x)) = (f g)(4x + 3) = 6(4x + 3) + 7 = 24x + 18 + 7 = 24x + 25 Jadi, ((f g) h)(x) = 24x + 25. 17. Jawaban: b ((g h) j)(x) = (g h)(j(x)) ⇔ ((g h) j)(2) = (g h)(j(2)) = (g h)(j(2)) = (g h)(–2 + 7) = (g h)(5) = g(h(5)) = g(52 + 2 × 5) = g(35) = 5 × 35 – 6 = 175 – 6 = 169 Jadi, ((g h) j)(2) = 169. 18. Jawaban: c (f g h)(p) = f(g h(p)) ⇔ 27 = f(g(h(p)) ⇔ 27 = f(g(3log p)) ⇔ 27 = f(2(3log p) – 1) ⇔ 27 = 3(2 · 3log p – 1)2 ⇔ 9 = (2 · 3log p – 1)2 ⇔ 2 · 3log p – 1 = ±3 Untuk 2 · 3log p – 1 = 3, diperoleh: 2 · 3log p – 1 = 3 ⇔ 2 · 3log p = 4 3log p = 2 ⇔ ⇔ p=9 3 Untuk 2 · log p – 1 = –3, diperoleh: 2 · 3log p – 1 = –3 ⇔ 2 · 3log p = –2 3log p = –1 ⇔ ⇔

p=

Jadi, nilai p yang mungkin adalah atau 9.


55

19. Jawaban: e f(x) =

+ −

Cara 1 Dengan menentukan f–1(x) dahulu Dengan rumus praktis: Jika f(x) =

+ , +

− +

x ≠ – maka

f–1(x) = − , x ≠ Dengan demikian, f(x) =

21. Jawaban: c Misalkan f(x) = y. y= ⇔ ⇔ ⇔

+ − +

⇔ f(x) = − + maka

⇔

+

(f g)–1(1) = (g–1 f–1)(1) = g–1(f–1(1))

+ −

= –3

= g–1(1)

= + = 2 Jadi, (f g)–1(1) = 2.

−

= − +

−

−

= − + −

= − Misalkan y = (g h)(x). −

−

=3

⇔ a – 1 = 15 ⇔ a = 16

56

= g–1( + )

(g h)(x) = g(h(x)) = g(2x – 5)

20. Jawaban: d Cara 1 Dengan menentukan f–1(x) terlebih dahulu f(x) = 5x + 1 Misal y = 5x + 1 ⇔ 5x = y – 1

−

f–1(x) = + ; x ≠ –2

22. Jawaban: b

⇔ 2x + 1 = –9 + 3x ⇔ –x = –10 ⇔ x = 10 ⇔ f–1(3) = 10 Jadi, f–1(3) = 10.

Dengan demikian, f–1(x) = f–1(a) = 3

x = +

×

Cara 2 Dengan pengertian fungsi invers f(x) = y ⇔ f–1(y) = x f–1(–3) = x maka f(x) = –3 ⇔ f(x) = –3

⇔

−− +

= − = 10

x=

3y – xy = 2x 2x + xy = 3y x(2 + y) = 3y

⇔

f–1(–3) = −− −

⇔

−

− +

f–1(x) = − −

⇔

Cara 2 Dengan pengertian fungsi invers f(x) = y ⇔ f–1(y) = x f–1(a) = 3 maka f(3) = a f(3) = a ⇔ 5(3) + 1 = a ⇔ a = 15 + 1 ⇔ a = 16 Jadi, nilai a = 16.


y = − ⇔ 8xy – 15y = 2x – 5 ⇔ 8xy – 2x = 15y – 5 ⇔ x(8y – 2) = 15y – 5 ⇔

−

x = −

−

⇔ (g h)–1(x) = −

(h–1 g–1)(p) = 2

⇔ (g f)(x) = − +

⇔ (g h)–1(p) = 2 ⇔

− −

⇔ (g f)(x) = −

=2

⇔ 15p – 5 = 16p – 4 ⇔ –1 = p Jadi, nilai p = –1. 23. Jawaban: c Misalkan t = x + 1 ⇒ x = t – 1 h(x + 1) = 3x – 1 ⇔ h(t) = 3(t – 1) – 1 ⇔ h(t) = 3t – 3 – 1 ⇔ h(t) = 3t – 4 ⇔ h(x) = 3x – 4 Misalkan h(x) = y. y = 3x – 4 ⇔ ⇔ (g

x=

+

h–1(x) =

+

h–1)(x)

= g( =

=

+ )

 +   

 +     

+

+ ++

+

= +

× +

(g h–1)(4) = +

=

Misal y =

−

⇔ 6xy – 8y = 1 ⇔ 6xy = 8y + 1 ⇔

x=

+

Dengan demikian, (g f)–1(x) =

(g f)–1(x – ) =

(

)+ ( − )

−

=

− + −

=

− −

= f–1( + ) + )2

= 3( +2 = 3(x + 1) + 2 = 3x + 3 + 2 = 3x + 5 Jadi, (g f)–1(x) = 3x + 5. 25. Jawaban: c (g f)(x) = g(f(x)) ⇔ (g f)(x) = g(2x – 3)

⇔ (g f)(x) = − +

,x≠

⇔

x2 =

+

x= ±

+

24. Jawaban: a (g f)–1(x) = (f–1 g–1)(x) = f–1(g–1(x))

x ≠ 0.

26. Jawaban: a (f g)(x) = 2x2 – 8x + 4 ⇔ f(g(x)) = 2x2 – 8x + 4 ⇔ f(x – 2) = 2x2 – 8x + 4 ⇔ f(x – 2) = 2(x2 – 4x + 4) – 4 ⇔ f(x – 2) = 2(x – 2)2 – 4 ⇔ f(x) = 2x2 – 4 Misal y = 2x2 – 4 ⇔ 2x2 = y + 4

⇔

Jadi, (g h–1)(4 ) = .

+ ,

Jadi, rumus fungsi f–1(x) = ±

+

.

27. Jawaban: a g(x) = ⇔ ⇔ ⇔

+

y=

+

3y = 2x + 1 2x = 3y – 1 x=

−

⇔ g–1(x) =

−

⇔

(f g h)–1(–2) = (h–1 g–1 f–1)(–2) = h–1(g f–1)(–2) = h–1(g–1(f–1(–2))) = h–1(g–1(4 × (–2) + 5)) = h–1(g–1(–3))


57

= h–1(

× − − )

Diperoleh (h g f)–1(1 – x) =

= h–1(–5) = –5 – 6 = –11 Jadi, (f g h)–1(–2) = –11. 28. Jawaban: e f(x) = 2x – 13 ⇔ y = 2x – 13 x=

+

⇔ f–1(x) =

+

⇔

(g h)–1(x) = (h–1 g–1)(x) +

= h–1( ) +

= 5( ) + 7 = x + 11 (f (g h))–1(3) = ((g h)–1 f –1)(3) = (g h)–1(f–1(3)) = (g h)–1(

+

)

= (g h)–1(8) = 8 + 11 = 19 29. Jawaban: b (h g f)(x) = h(g(f(x)))

= h(g( + )) = h(

) +

= + – 1 =

− − +

f–1(x) =

,x≠ − −

(h g f)(x) = + maka

58

⇔

=

− −

−

x=

−

Dengan demikian, (f g h)–1(x) = (f g h)–1(k) = 2 ⇔

−

=2

⇔ 1–k=4 ⇔ k = –3 Cara 2 Dengan pengertian fungsi invers f(x) = y ⇔ f–1(y) = x (f g h)–1(k) = 2 maka (f g h)(2) = k (f g h)(2) = k ⇔ 1 – 2(2) = k ⇔ k=1–4 ⇔ k = –3 Jadi, nilai k adalah –3.

f(x) =

−

− − +


. Daerah asal f(x) adalah {x | x ≠ 4,

x ∈ R}. g(x) =

+ + +

=

+ + +

Dengan demikian,

(h g f)–1(x) =

− + − −

30. Jawaban: c (f g h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x – 4)) = f((x – 4) + 6) = f(x + 2) = 5 – 2(x + 2) = 5 – 2x – 4 = 1 – 2x Cara 1 Dengan menentukan (f g h)–1(x) terlebih dahulu Misal y = 1 – 2x ⇔ 2x = 1 – y

1. a.

Jika f(x) = + , x ≠ – maka − + −

=

B. Uraian

− −

= + Dengan rumus praktis: +

− − − − +

= + Daerah asal g(x) adalah {x | x ≠ –6, x ∈ R}

b.

h(x) = g(x) – f(x) (f g)(

=

− − + + −

=

=

− − − + −

=

=

− − − − +

Jadi, rumus fungsi h(x) =

− − − − +

− −

b.

− −

(g f) = {(3, 5), (4, 6), (5, 3), (6, 4)} (f g)(x) = f(g(x)) = f(–x – 2) = 3(–x – 2)2 + 1 = 3(x2 + 4x + 4) + 1 = 3x2 + 12x + 12 + 1 = 3x2 + 12x + 13 Jadi, rumus fungsi (f g)(x) = 3x2 + 12x + 13. (g h)(–5) = g(h(–5))

= g(3) = –3 – 2 = –5 Jadi, nilai (g h)(–5) = –5. (f g)(x) = f(g(x)) = f(4 – x) =

− − −

=

− −

−

(g f)(x) = g(f(x)) = g( ) = 4 –

⇔

− −

⇔

−

=3

=4–3

= ⇔ k = 2k – 2 ⇔ k=2 Jadi, nilai k = 2. 5. a.

b.

= g( )

−

= −

dan

f g = {(3, 4), (4, 3), (5, 6), (6, 5)}

4. a.

−

⇔ 4–

− −

) − ) −

−

(g f)(k) = 3

= g( − + )

Jadi, (f g)( – 1) = − , x ≠ .

2. a.

b.

daerah asalnya {x | x ≠ –6, x ≠ 4, x ∈ R}.

3. a.

( −( −

– 1) =

=

–

−

+

b.

h(x – 1) = 2x – 5 ⇔ h(x – 1) = 2(x – 1) – 5 + 2 ⇔h(x – 1) = 2(x – 1) – 3 ⇔ h(x) = 2x – 3 (g h)(x) = g(h(x)) = g(2x – 3) = 4(2x – 3) + 3 = 8x – 12 + 3 = 8x – 9 (g f)(p) = g(f(p)) = g(p2 + 1) = 4(p2 + 1) + 3 = 4p2 + 7 (f h)(p) = f(h(p)) = f(2p – 3) = (2p – 3)2 + 1 = 4p2 – 12p + 9 + 1 = 4p2 – 12p + 10 (g f)(p) = (f h)(p) ⇔ 4p2 + 7= 4p2 – 12p + 10 ⇔ 12p =3 ⇔

p

=

Jadi, nilai p = .


59

6. a.

(f g–1)(9) = 4(3log 9 – 1) – 3 = 4(3log 32 – 1) – 3 = 4(2 – 1) – 3 = 4 – 3 = 1 (terbukti) Jadi, terbukti bahwa (f g–1)(9) = 1.

f(x) = 7x + 6 ⇔ y = 7x + 6 ⇔ 7x = y – 6 x=

−

⇔ f–1(x) =

−

⇔

8. a.

Daerah asal f –1(x) adalah {x|x ∈ R}. g(x) = ⇔

y=

+

⇔ xy + 2y = 2x ⇔ 2x – xy = 2y ⇔ x(2 – y) = 2y ⇔

x=

⇔ f(5x + 3) =

− −

−

f(t) =

(f g)–1(x) = (g–1 f–1)(x) = g–1(f –1(x))

−

−

⇔ f(t) =

− − −

⇔ f(t) =

−

⇔ f(x) =

−

=

Misal y =

 −    − − − − +

b.

(g f)(x) = g(f(x))

−

Daerah asal (f g)–1(x) adalah {x|x ≠ 20, x ∈ R}. 7. Bukti: g(x) = 32x + 1 Misal y = 32x+ 1 log y = log 32x + 1 ⇔ log y = (2x + 1) log 3

x=

⇔ ⇔

−

⇔

Dengan demikian, g–1(x) = (f g–1)(x) = f(g–1(x))  −      −  8    

−

–3

= 4(3log x – 1) – 3

60

−

)

= 5(

−

)+3

=

− +

=

−


−

2y = 11 – 5x 5x = 11 – 2y x=

−

Jadi, (g f)–1(x) = 9. a.

= f  =

= g(

Misal y =

⇔ 2x + 1= 3log y ⇔ 2x = 3log y – 1 ⇔

−

⇔ 2y = 1 – x ⇔ x = 1 – 2y Jadi, f–1(x) = 1 – 2y.

= −

⇔ 2x + 1=

−

−

= g–1( ) =

−

Diperoleh:

g–1(x) = − Daerah asal g–1(x) adalah {x|x ≠ 2, x ∈ R}. b.

− −

Misal t = 5x + 3 ⇒ x =

⇔

f(g(x)) =

⇔

+

− −

(f g)(x) =

−

(f g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = 2log (x + 3) Misalkan y = 2log (x + 3) y = 2log (x + 3) ⇔ 2log 2y = 2log (x + 3)

.

b.

10. a.

⇔ 2y =x+3 ⇔ x = 2y – 3 –1 x ⇔(f g) (x) = 2 – 3 h(x) = x – 1 ⇔ y =x–1 ⇔ x=y+1 =x+1 ⇔ h–1(x) –1 (h (f g)) (p) = 13 ⇔((f g)–1 h–1)(p) = 13 ⇔ (f g)–1(h–1(p)) = 13 ⇔ (f g)–1(p + 1) 13 ⇔ 2p + 1 – 3 = 13 = 16 ⇔ 2p + 1 p +1 ⇔ 2 = 24 ⇔ p+1=4 ⇔ p=3 Jadi, nilai p = 3. (g h f)–1(x) = 5 – 5x Misal y = 5 – 5x ⇔ 5x = 5 – y ⇔

−

x=

Dengan demikian, ((g h f)–1)–1(x) = (g h f)(x) = (g h f)(x) =

−

⇔

g(h(f(x))) =

−

⇔

g(h(6 – 3x)) =

−

)=

−

)=

−

⇔

g( − ) =

−

⇔

g( − ) =

−

⇔

g(x) =

⇔ g( ⇔

− +

g(

−

b.

(g f)(x) = g(f(x)) = g(6 – 3x) =

−

=

− +

⇔ ⇔

− + − +

⇔

=n =n

n=

⇔ n=0 Jadi, nilai n = 0.

=

Latihan Ulangan Tengah Semester A.

Pilihan ganda

1.

Jawaban: e (a3 – a + 1)(a – 2)2 = (a3 – a + 1)(a2 – 4a + 4) = a5 – 4a4 + 4a3 – a3 + 4a2 – 4a + a2 – 4a + 4 = a5 – 4a4 + 3a3 + 5a2 – 8a + 4 Jadi, koefisien a2 adalah 5.

2. Jawaban: e f(x) = 2x4 – x3 + 3x2 – 6 f(2) = 2(24) – (23) + 3(22) – 6 = 2(16) – 8 + 3(4) – 6 = 32 – 8 + 12 – 6 = 30 f(1) = 2(14) – (13) + 3(12) – 6 = 2(1) – 1 + 3(1) – 6 = 2 – 1 + 3 – 6 = –2 2f(2) – 4f(1) = 2(30) – 4(–2) = 60 + 8 = 68 Jadi, nilai 2f(2) – 4f(1) = 68. 3. Jawaban: d f(x) = (x – 3)(2x2 – px + 4) ⇔ f(2) = (2 – 3)(2(2)2 – p(2) + 4) ⇔ –8 = (–1)(8 – 2p + 4) ⇔ –8 = (–1)(12 – 2p) ⇔ 8 = 12 – 2p ⇔ 2p = 4 ⇔ p=2 Jadi, nilai p = 2.

Jadi, rumus fungsi g(x) =

−

Dengan pengertian fungsi invers f(x) = y ⇔ f–1(y) = x (g f)–1(n) = 2 maka (g f)(2) = n (g f)(2) = n

.

4. Jawaban: a f(x) = x2 – 2x g(x) = x2 – x + 1 f(x) × g(x) = (x2 – 2x)(x 2 – x + 1) = x4 – x3 + x2 – 2x3 + 2x2 – 2x = x4 – 3x3 + 3x2 – 2x Jadi, hasil f(x) × g(x) = x4 – 3x3 + 3x2 – 2x.


61

Pembagian 2x4 + 3x3 – 13x2 – mx + 15 oleh (2x – 3) yaitu:

5. Jawaban: d Menggunakan cara Horner –2 1 2 –2 1 –2 0 4 1

0

–2

8 –10

5

–2 = sisa

2

+

2

–3

4

–6

8

–4 = sisa

3

p 6

2 2p + 12

p+6

2p + 14 = S

+

2p + 14 = 2 ⇔ 2p = –12 ⇔ p = –6 Jadi, nilai p yang memenuhi adalah –6. 8. Jawaban: c Dengan cara Horner diperoleh:

–

8

–4

–p

12

–12

24

–36 + p

+ 8

–16

24 – p –24 + p = 0

–24 + p = 0 ⇔

p

= 24

⇔

p = 24 × = 16

Jadi, nilai p = 16. 9. Jawaban: e Pembagian 4x3 – 18x2 + 32x – 24 oleh (2x – 3) yaitu:

4

–18

32

–24

6

–18

21

–12

14

–3

+ 4

62

9

–6

–m–9

6

–4 –m – 6

–

m+6

Jadi, sisa pembagian f(x) adalah –4.

2

3

⇔ – m = –9 ⇔ m =6 Jadi, m = 6.

+

1

15

– m + 6 = –3

1

7. Jawaban: b Cara Horner 1 0 –1 2 2 4

–m

6. Jawaban: a Menggunakan cara Horner 2 –7 11 –8

2

–13

+

Hasil bagi : x3 – 2x + 5 Sisa : –2

3


10. Jawaban: d Pembagian x3 – 9x2 + mx + 69 oleh (x – 3) yaitu: 3 1 –9 m 69 3 –18 3m – 54 + 1 –6 m – 18 3m + 15 = 12 Diperoleh: 3m + 15 = 12 ⇔ 3m = –3 ⇔ m = –1 Pembagian x4 + 2x3 – 2x2 + nx + 26 oleh (x + 2) yaitu: –2 1 2 –2 n 26 –2 0 4 –8 – 2n + 1 0 –2 4 + n 18 – 2n = 12 Diperoleh: 18 – 2n = 12 ⇔ –2n = –6 ⇔ n= 3 Jadi, m + n = –1 + 3 = 2. 11. Jawaban: d f(x) = (x2 – 3x + 2) · H(x) + 0 = (x – 2)(x – 1) · H(x) f(2) = 23 – 4(22) + 2(a) + b ⇔ 0 = 8 – 16 + 2a + b ⇔ 2a + b = 8 . . . (i) f(1) = 13 – 4(12) + 1(a) + b ⇔ 0=1–4+a+b ⇔ a+b=3 . . . (ii) Dari persamaan (i) dan (ii) 2a + b = 8 a+b=3 ––––––––– – a=5

Substitusi a = 5 ke persamaan (ii) a+b=3 ⇔ 5+b=3 ⇔ b = –2 Nilai a – b = 5 – (–2) = 7. Jadi, nilai a – b = 7. 12. Jawaban: a f(x) = (x2 – x – 2) · H(x) + (ax + b) f(x) = (x – 2)(x + 1) · H(x) + (ax + b) f(2) = (2 – 2)(2 + 1) · H(2) + (2a + b) ⇔ f(2) = 0 + 2a + b ⇔ f(2) = 2a + b ⇔ 2a + b = –32 . . . (i) f(–1) = (–1 – 2)(–1 + 1) · H(–1) + (–a + b) ⇔ f(–1) = 0 + (–a + b) ⇔ f(–1) = –a + b ⇔ –a + b = –8 . . . (ii) Dari (i) dan (ii) 2a + b = –32 –a + b = –8 –––––––––– – 3a = –24 ⇔ a = –8 Substitusi a = –8 ke persamaan (ii) –a + b = –8 ⇔ –(–8) + b = –8 ⇔ 8 + b = –8 ⇔ b = –16 Sisa bagi = ax + b = –8x + (–16) = –8x – 16 Jadi, sisa pembagiannya –8x – 16. 13. Jawaban: e f(x) dibagi (x + 5) sisa 6 ⇒ f(–5) = 6 f(x) dibagi (x – 1) sisa –12 ⇒ f(1) = –12 Misalkan f(x) dibagi x2 + 4x – 5 sisa ax + b. f(x) = x2 + 4x – 5 · H(x) + (ax + b) = (x + 5)(x – 1) · H(x) + (ax + b) f(–5) = 6 ⇒ 6 = 0 + –5a + b 6= –5a + b . . . (i) f(1) = –12 ⇒ –12 = a + b . . . (ii) Dari (i) dan (ii) diperoleh: –5a + b = 6 a + b = –12 –––––––––––– – –6a = 18 ⇔ a = –3 ⇔ a + b = –12 ⇔ –3 + b = –12 ⇔ b = –9 Jadi, sisa baginya –3x – 9.

14. Jawaban: d f(x) dibagi (x2 – x) sisa (5x + 1) ⇔ f(0) = 1 ⇔ f(1) = 6 f(x) dibagi (x2 + x) sisa (3x + 1) ⇔ f(0) = 1 ⇔ f(–1) = –2 f(x)= (x2 – 1) · H(x) + (ax + b) ⇔ f(x) = (x – 1)(x + 1) · H(x) + (ax + b) ⇔ f(1) = a + b = 6 . . . (i) ⇔ f(–1) = –a + b = –2 . . . (ii) Dari (i) dan (ii) a+b =6 –a + b = –2 –––––––––– – 2a = 8 ⇔ a =4 Substitusikan a = 4 ke persamaan (i) a+b=6 ⇔ 4+b=6 ⇔ b= 2 Sisa bagi = ax + b = 4x + 2 Jadi, sisa baginya 4x + 2. 15. Jawaban: c f(x) = (x2 – 1)(x – 3) · H(x) + ax2 + bx + c f(x) = (x – 1)(x + 1)(x – 3) · H(x) + ax2 + bx + c f(1) = a + b + c = 24 . . . (i) f(–1) = a – b + c = 8 . . . (ii) f(3) = 9a + 3b + c = 32 . . . (iii) Dari (i) dan (ii) a + b + c = 24 a–b+c=8 ––––––––––– – 2b = 16 ⇔ b=8 Dari (i) dan (iii) a + b + c = 24 9a + 3b + c = 32 ––––––––––––– – –8a – 2b = –8 ⇔ 8a + 2b = 8 . . . (iv) Substitusi b = 8 ke persamaan (iv) 8a + 2b = 8 ⇔ 8a + 16 = 8 ⇔ a = –1 Dari persamaan (i) a + b + c = 24 ⇔ –1 + 8 + c = 24 ⇔ c = 24 – 7 ⇔ c = 17 Sisa bagi = ax2 + bx + c = –x2 + 8x + 17 Jadi, sisa pembagiannya –x2 + 8x + 17.


63

Substitusi a = 2 ke persamaan (ii) 4(2) + 2b = –2 ⇔ 2b = –2 – 8 ⇔ b = –5 Jadi, a – b = 2 – (–5) = 7.

16. Jawaban: c p(x) dibagi (x – 2) bersisa 4 ⇒ p(2) = 4

p(x) dibagi (2x + 3) bersisa –1 ⇒ p(– ) = –1

f(x) dibagi (x – 2) bersisa 1 ⇒ f(2) = 1

f(x) dibagi (2x + 3) bersisa 3 ⇒ f(– ) = 3 Misalkan h(x) dibagi (x – 2)(2x + 3) bersisa ax + b, diperoleh: h(2) = p(2) · f(2) = 4 ⇒ 2a + b = 4

h(– ) = p(– ) · f(– ) = –3 ⇒ – a + b = –3 2a + b = 4

– a + b = –3 ––––––––––– –

⇔

4

a=7 a=7×

=2

2×2+b =4 b=0 Jadi, sisa baginya 2x. 17. Jawaban: e Salah satu faktor 2x3 – 5x2 – px + 3 adalah (x + 1). –1 2 –5 –p 3 –2 7 p–7 + 2 –7 –p + 7 p – 4 = 0 p–4=0⇔p=4 2x3 – 5x2 – 4x + 3= (x + 1)(2x2 – 7x + 3) = (x + 1)(2x – 1)(x – 3) Jadi, faktor linear yang lain (2x – 1) dan (x – 3). 18. Jawaban: a f(x) = (x2 + x – 6) · H(x) + 0 = (x + 3)(x – 2) · H(x) (x + 3) faktor dari f(x) –3 1 a b –6 –3 9 – 3a 9a – 3b – 27 1 (a – 3) (9 – 3a + b) 9a – 3b – 33 = 0

a + 2 2a + b + 4 4a + 2b + 2 = 0

Diperoleh 4a + 2b = –2 . . . (ii) Eliminasi b dari (i) dan (ii): 9a – 3b = 33 × 2 ⇔ 18a – 6b = 66 4a + 2b = –2 × 3 ⇔ 12a + 6b = –6 ––––––––––– + 30a = 60 ⇔ a=2

64


–6

0

–4

–3

0

Hasil bagi f(x) oleh (x – 1)(x + 2) adalah 4x2 – 4x – 3. 4x2 – 4x – 3 = 0 ⇔ (2x – 3)(2x + 1) = 0 ⇔

x=

atau x = –

Jadi, banyak akar rasional bulat f(x) ada 2. 20. Jawaban: d Misal sin x = a 2a3 + a2 – 2a – 1 = 0 2 1 –2 –1 1 2 3 1

–1

⇔ +

–11

4

2

Diperoleh 9a – 3b = 33 . . . (i) (x – 2) faktor dari f(x) 2 1 a b –6 2 2a + 4 4a + 2b + 8

4

Hasil bagi f(x) oleh (x – 1) adalah 4x3 + 4x2 – 11x – 6. f(–2) = 4(–2)3 + 4(–2)2 – 11(–2) – 6 = –32 + 16 + 22 – 6 =0 Oleh karena f(–2) = 0, maka (x + 2) faktor dari f(x). 4 4 –11 –6 –2 –8 8 6

2 +

1

19. Jawaban: c Jika (x – a) faktor 4x4 – 15x2 + 15x + 6 = 0, nilai a yang mungkin adalah faktor bulat dari 6, yaitu ±1, ±2, ±3, atau ±6. f(1) = 4(14) – 15(12) + 5(1) + 6 = 0 Oleh karena f(1) = 0, maka (x – 1) faktor dari f(x). 4 0 –15 5 6 1 4 4 –11 –6

3

1

–2

–1

1

0

0

2a3 + a2 – 2a – 1 = 0 (a – 1)(a + 1)(2a + 1) = 0

⇔ a = 1 atau a = –1 ∨ a = – sin x = a ⇔ sin x = 1 ⇔ sin x = sin 90° ⇔ x = 90° sin x = –1 ⇔ sin x = sin 270° ⇔ x = 270°

sin x = –

⇔ sin x = sin 210° ⇔ x = 210° atau 330° Jadi, himpunan penyelesaiannya {90°, 210°, 270°, 330°}. − +

harus terdefinisi

−

− + −

Syarat terdefinisi yaitu ⇔

− + −

⇔

− − −

≥0

≥ 0, x ≠ 1 ≥0

Pembuat nol fungsi x = 2, x = 3, atau x = 1 – 1

+ 2

– 3

Nilai x yang memenuhi: x < 1 atau 2 ≤ x ≤ 3 Jadi, daerah asal fungsi f(x) adalah {x | x < 1 atau 2 ≤ x ≤ 3, x ∈ R}. 22. Jawaban: a 3x + 2, untuk 0 ≤ x ≤ 1 f(x) = x2 – 6, untuk x yang lain f(0) = 3(0) + 2 = 2 f(2) = 22 – 6 = –2

= 2( − )2 – 3 (f g)(3) = 2( − )2 – 3

+

= f( − )

21. Jawaban: c f(x) =

25. Jawaban: c (f g)(x) = f(g(x))

f( ) = 3( ) + 2 = 3 f(–3) = (–3)2 – 6 = 3

Nilai f(0) f(2) – f( ) f(–3) = 2(–2) – 3(3) = –4 – 9 = –13

Jadi, nilai f(0) f(2) – f( ) f(–3) = –13. 23. Jawaban: b f(x) = x2 – 2x + 3 f(2x – 1) = (2x – 1)2 – 2(2x – 1) + 3 = 4x2 – 4x + 1 – 4x + 2 + 3 = 4x2 – 8x + 6 Jadi, f(2x – 1) = 4x2 – 8x + 6. 24. Jawaban: e (g f)(x) = g(f(x)) = g(3x2 + 1) = 2(3x2 + 1) + 5 = 6x2 + 2 + 5 = 6x2 + 7 Jadi, (g f)(x) = 6x2 + 7.

= 2( − )2 – 3 = 2(81) – 3 = 162 – 3 = 159 Jadi, nilai (f g)(3) = 159. 26. Jawaban: c (f g)(x) = f(g(x)) = f(3x + 4) = 4(3x + 4) – 1 = 12x + 15 (f g)(p) = 51 ⇔ 12p + 15 = 51 ⇔ 12p = 36 ⇔ p=3 Jadi, nilai p = 3. 27. Jawaban: c f(x) = 2x + p g(x) = 3x – 6 (f g)(x) = f(g(x)) = f(3x – 6) = 2(3x – 6) + p = 6x – 12 + p (g f)(x) = g(f(x)) = g(2x + p) = 3(2x + p) – 6 = 6x + 3p – 6 (f g)(x) = (f g)(x) ⇔ 6x – 12 + p = 6x + 3p – 6 ⇔ –12 + p = 3p – 6 ⇔ p – 3p = –6 + 12 ⇔ –2p = 6 ⇔ p = –3 Jadi, nilai p = –3. 28. Jawaban: d (h g f)(x) = h(g(f(x))) = h(g(2x2)) = h(2x2 + 9) = 3(2x2 + 9) = 6x2 + 27 (h g f)(x – 1) = 6(x – 1)2 + 27 = 6(x2 – 2x + 1) + 27 = 6x2 – 12x + 33 Jadi, fungsi (h g f)(x – 1) = 6x2 – 12x + 33.


65

29. Jawaban: c Diketahui f(x) = 3x – 2 (f g)(x)= 6x + 1 ⇔ f(g(x)) = 6x + 1 ⇔ 3 · g(x) – 2 = 6x + 1 ⇔ 3(g(x)) = 6x + 3 ⇔

g(x) =

+

= 2x + 1

Jadi, rumus fungsi g(x) = 2x + 1. 30. Jawaban: d g(x) = x – 1 (f g)(x) = 2x2 – 4x + 3 ⇔ f(g(x)) = 2x2 – 4x + 3 ⇔ f(x – 1) = 2x2 – 4x + 3 ⇔ f(x – 1) = 2(x2 – 2x + 1) + 1 ⇔ f(x – 1) = 2(x – 1)2 + 1 ⇔ f(x) = 2x2 + 1 ⇔ f(x + 1) = 2x2 + 1 = 2(x + 1)2 + 1 = 2(x2 + 2x + 1) + 1 = 2x2 + 4x + 2 + 1 = 2x2 + 4x + 3 Jadi, f(x + 1) = 2x2 + 4x + 3. 31. Jawaban: a (g f)(x) = 5x2 + 15x + 19 ⇔ g(f(x)) = 5x2 + 15x + 19 ⇔ 5 · f(x) + 9 = 5x2 + 15x + 19 ⇔ 5 · f(x) = 5x2 + 15x + 10 ⇔ f(x) = x2 + 3x + 2 f(2) = 22 + 3(2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12 Jadi, nilai f(2) = 12. 32. Jawaban: d f(x) = x – 3 (g f)(x) = (x + 3)2 ⇔ g(f(x)) = x2 + 6x + 9 ⇔ g(x – 3) = x2 + 6x + 9 ⇔ g(x – 3) = x2 – 6x + 9 + 12x ⇔ g(x – 3) = (x – 3)2 + 12x ⇔ g(x – 3) = (x – 3)2 + 12(x – 3) + 36 ⇔ g(x) = x2 + 12x + 36 g(–4) = (–4)2 + 12(–4) + 36 = 16 – 48 + 36 = 4 Jadi, nilai g(–4) = 4. 33. Jawaban: a f(x) = 3x2 – 4 Misal y = 3x2 – 4 ⇔ y + 4 = 3x2 ⇔

66

+

34. Jawaban: d f(x) = x2 – 6x + 5 Misal y = x2 – 6x + 5 ⇔ y = x2 – 6x + 9 – 4 ⇔ y = (x – 3)2 – 4 ⇔ (x – 3)2 = y + 4

+

⇔

x–3=

⇔

x=

+ +3

⇔

f–1(x) =

+ +3

f–1(5) = + 3 = ±3 + 3 = 0 atau 6 Jadi, nilai f–1(5) = 0 atau 6. 35. Jawaban: d −

f(x) = + −

Misal y = + Diperoleh: y(2x + 1) = 5x – 3 ⇔ 2xy + y = 5x – 3 ⇔ 2xy – 5x = –y – 3 ⇔ x(2y – 5) = –y – 3 − −

⇔

x = − − −

36. Jawaban: d +

f(x) = −

+

Misal y = − ⇔

+

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

y= − y(x – 3) = 2x + 1 xy – 3y = 2x + 1 xy – 2x = 3y + 1 x(y – 2) = 3y + 1

⇔

x=

⇔

x=

⇔

f–1(x) =

+

Jadi, f–1(x) =

+

+ −

− +

⇔ f–1(x – 2) = − −

= x2 +

Jadi, f–1(x) = − , x ≠ .

− + −

=

= −

−

, x ≥ –4.


−

Jadi, f–1(x – 2) = − , x ≠ 4.

a = (g–1 f–1)(8) = g–1(f–1(8))

37. Jawaban: e (f g)(x) = f(g(x))

= g–1( ) = g–1(2)

= f(2x – 1) − +

= − − +

= −

=2 Nilai (f–1 g–1)(10a) = f–1(g–1(20))

+

Misal y = − ⇔ 2xy – 7y = 2x + 3 ⇔ 2xy – 2x = 7y + 3 ⇔ x(2y – 2) = 7y + 3 ⇔

= f–1(

+

Jadi, (f g)–1(x) = − , x ≠ 1. 38. Jawaban: b h–1(x) = 2x + 11 Misal y = 2x + 11 ⇔ 2x = 11 – y ⇔

x=

= =2 Jadi, nilai (f–1 g–1)(10a) = 2. B. Uraian 1. a.

−

Diperoleh h(x) =

+ )

= f–1(8)

+ −

x=

+

=

x3 – 3x2 + x – 3 dibagi (x + 1) 1 –3 1 –3 –1 –1 4 –5 1

−

b.

 − +   

=

)

x =

)–1

−

.

39. Jawaban: c (f g h)–1(x) = (h–1 g–1 f–1)(x) = (h–1 g–1)(f–1(x)) = (h–1 g–1)(x) = h–1(g–1(x)) = h–1(2x) = 3(2x) = 6x 40. Jawaban: b f(x) = x3 ⇒ f–1(x) =

g(x) = 3x – 4 ⇒ g–1 =

2

4

5

9

20 = S1

–2

–2

–3

2

3

6 = S2

Jadi, hasil baginya adalah 2x2 + 2x + 3.

−

Jadi, (g h f)–1(x) =

2 –1

= 4 – 4x – 1 = 3 – 4x Misal y = 3 – 4x ⇔ 4x = 3 – y ⇔

–8 = S

2x4 – 3x2 – x + 2 dibagi (x2 – x – 2) 2 0 –3 –1 2 2 4 8 10 18

= g 

− 2(

5

Jadi, hasil baginya x2 – 4x + 5.

(g h f)(x) = g((h f)(x)) = g(h(f(x))) = g(h(4x + 7))

− = g(

–4

2. f(x) habis dibagi oleh (x + 2), berarti f(–2) = 0. (–2)3 – (a – 1)(–2)2 + b(–2) + 2a = 0 ⇔ –8 – (a – 1)4 – 2b + 2a= 0 ⇔ –8 – 4a + 4 – 2b + 2a = 0 ⇔ –2a – 2b = 4 . . . (i) f(x) dibagi (x – 2) sisanya –4, berarti f(2) = –4. 23 – (a – 1)22 + 2b + 2a = –4 ⇔ 8 – (a – 1)4 + 2b + 2a= –4 ⇔ 8 – 4a + 4 + 2b + 2a = –4 ⇔ –2a + 2b = –16 . . . (ii) Eliminasi b dari (i) dan (ii) diperoleh: –2a – 2b = 4 –2a + 2b = –16 –––––––––––– + –4a = –12 ⇔ a=3

+


67

–1

Substitusi a = 3 ke persamaan (i) –2(3) – 2b = 4 ⇔ –2b = 4 + 6

1

⇔

b = − = –5 Jadi, nilai a = 3 dan b = –5.

3.

f(x) = (x2 – x – 6) · H(x) + (ax + b) ⇔ f(x) = (x + 2)(x – 3) · H(x) + (ax + b) ⇔ f(–2) = –2a + b = –11 . . . (i) ⇔ f(3) = 3a + b = 4 . . . (ii) Dari (i) dan (ii) –2a + b = –11 3a + b = 4 ––––––––––– – –5a = –15 ⇔ a=3 Substitusi a = 3 ke persamaan (ii) 3a + b = 4 ⇔ 3(3) + b = 4 ⇔ b = –5 Sisa bagi = ax + b = 3x – 5 Jadi, sisa baginya 3x – 5.

4. (x + 2) dan (x – 4) merupakan faktor dari 2x4 + x3 – 29x2 + ax + b sehingga diperoleh: f(–2) = 0 dan f(4) = 0. f(–2) = 0 ⇒ 2 × (–2)4 + (–2)3 – 29 × (–2)2 – 2a + b = 0 ⇔ 32 – 8 – 116 – 2a + b = 0 ⇔ –92 – 2a + b = 0 . . . . (i) f(4) = 0 ⇒ 2 (4)4 + (4)3 – 29 (4)2 + 4a + b = 0 ⇔ 2 × 256 + 64 – 29 × 16 + 4a + b = 0 ⇔ 512 + 64 – 464 + 4a + b = 0 ⇔ 112 + 4a + b = 0 . . . . (ii) Dari (i) dan (ii) diperoleh: –92 – 2a + b = 0 112 + 4a + b = 0 –––––––––––––– – –204 – 6a = 0 ⇔ a = –34 –92 – 2 × (–34) + b = 0 ⇔ b = 24 2a + b = 2 × (–34) + 24 = –68 + 24 = –44 Jadi, nilai 2a + b = –44. 5. a.

x3 – 2x2 – x + 2 f(1) = 13 – 2(12) – 1 + 2 =1–2–1+2 =0 1 –2 –1 2 1 1 –1 –2 1

68

–1

–2

0


b.

–1

2

–2

0

Jadi, faktor dari x3 – 2x2 – x + 2 adalah (x – 1), (x + 1), dan (x – 2). x4 + x3 – 7x2 – x + 6 f(1) = 14 – 13 – 7(12) – 1 + 6 =1+1–7–1+6 =0 1 1 –7 –1 6 1 1 2 –5 –6 1 –1 1 2 1

2

–5

–6

–1

–1

6

1

–6

0

2

6

3

0

0

Jadi, faktor-faktornya adalah (x – 1), (x + 1), (x – 2), dan (x + 3). 6. f(x) = 2x – 3 g(x) = x2 – 4 a.

(f g)(x) = f(g(x)) = f(x2 – 4) = 2(x2 – 4) – 3 = 2x2 – 8 – 3 = 2x2 – 11

b.

(g f)(x) = g(f(x)) = g(2x – 3) = (2x – 3)2 – 4 = 4x2 – 12x + 9 – 4 = 4x2 – 12x + 5

c.

(f g)(x) = 2x2 – 11 (f g)(3) = 2(32) – 11 = 2(9) – 11 = 18 – 11 =7

d.

(g f)(x) = 4x2 – 12x + 5 (g f)(4) = 4(4)2 – 12(4) + 5 = 4(16) – 48 + 5 = 64 – 48 + 5 = 21

7. f(x) = 5x – 3 a. (f g)(x) = 5x2 – 20x + 2 ⇔ f(g(x)) = 5x2 – 20x + 2 ⇔ 5(g(x)) – 3 = 5x2 – 20x + 2 ⇔ 5(g(x)) = 5x2 – 20x + 5 ⇔ g(x) = x2 – 4x + 1 Jadi, g(x) = x2 – 4x + 1.

b.

8. a.

g(x) = x2 – 4x + 1 ⇔ g(x – 1) = (x – 1)2 – 4(x – 1) + 1 = x2 – 2x + 1 – 4x + 4 + 1 = x2 – 6x + 6 Jadi, g(x – 1) = x2 – 6x + 6.

a.

Jadi, (g f)–1(x) = f(x) = 2x – 7 ⇒

+ +

− +

f(g(x)) = −

− +

−

− +

⇔

+ =

⇔

+ =

⇔

+ =

⇔

+ =

⇔

(g(x))2 + 1 =

− +

⇔

(g(x))2 =

− +

− + − + − + +

− +

+

+ = − g–1(x) =

(g–1 f –1)(x) = g–1(f –1(x)) ⇔

−

Misal y = − ⇔ xy – 2y = 1 ⇔ xy = 2y +1

+

=

Jadi, (g–1

g(x) = −

+− + = + f –1)(x) =

.

⇔

x=

+

⇔

g–1(x) =

+

Jadi, g–1(x) =

+ ,

+

9. f(x) = − +

Misal y= − ⇔ 2xy – y = 5x + 3 ⇔ 2xy – 5x = y + 3 ⇔ x(2y – 5) = y + 3 ⇔

+1

−

= g–1( ) =

− +

.

f–1(x)

g(x) = 3x + 2 ⇒

+

⇔ (g f)–1(x) =

+ (f g)(x) = −

⇔

(g f)(x) = g(f(x)) = g(2x – 7) = 3(2x – 7) + 2 = 6x – 21 + 2 = 6x – 19 Misal y = 6x – 19 ⇔ 6x = y + 19 ⇔ x =

b.

10. f(x) =

g–1(x) =

b. ⇔

g–1(x – 2) =

+

x = −

=

+

⇔ f–1(x) = − (f–1 g)(x) = f–1(g(x)) = f–1(3x + 2)

x ≠ 0.

+ − + − − + − −

= − −

Jadi, g–1(x – 2) = − , x ≠ 2.

+ +

= + − +

= − Jadi, (f–1

+

g)(x) = − , x ≠ .


69

Bab III

7. Jawaban: b

Limit Fungsi

(f(x) · g(x)) = f(x) · g(x)

→

→

A. 1.

→

(x3

– 2x +

3)(x4

– 3x2 – 1)

Pilihan ganda

= (x3 – 2x + 3) · (x4 + x3 – 3x2 – 1)

Jawaban: b Dari gambar grafik fungsi f(x) terlihat sebagai berikut. 1) Untuk x mendekati 1 dari sebelah kiri, nilai

= (13 – 2 · 1 + 3)(14 + 13 – 3 · 12 – 1) = 2 · (–2) = –4

→

f(x) mendekati 2 atau − f(x) = 2. → −

2)

Untuk x mendekati 1 dari sebelah kanan, nilai f(x) mendekati 2 atau + f(x) = 2. → +

Oleh karena − f(x) = + f(x) = 2 maka nilai → −

→ +

→

f(x) = (2x + 1)

→

→

f(x) mendekati 5 atau − f(x) = 5. → −

2)

Untuk x mendekati 3 dari sebelah kanan, nilai f(x) mendekati 8 atau + f(x) = 8. → +

Oleh karena

f(x) ≠

→ −

→

=2·1+1 =3

→

2. Jawaban: e Dari gambar grafik fungsi f(x) terlihat sebagai berikut. 1) Untuk x mendekati 3 dari sebelah kiri, nilai

→

8. Jawaban: e Menentukan nilai limit f(x) untuk x mendekati 1. Oleh karena 1 < 3 maka fungsi yang digunakan f(x) = 2x + 1.

f(x) = 2.

9. Jawaban: a Dengan substitusi langsung: −

→

=

−

→

Berdasarkan sifat x = a maka x = –3. → −

4. Jawaban: c

⋅ −

=

−

=–

(kx – 2) = 5k – 2

→

10. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:

5. Jawaban: d f(x) = 2 dan g(x) = –1

→

→

–

g2(x))

=

→

f2(x)

–

= (

f(x))2

= =4–1 =3

(–1)2

→ (2)2 –

→

g2(x)

– ( g(x))2 →

− −

→ −

=

− −

− ⋅

=

− −

→ −

=

+ − −

=

→

+

+

=1

→

=

(x2 – 5)3 = ( x2 – 5)3

→ −

= ((–3)2 – 5)3 = (4)3 = 64


(tak tentu)

Dengan memfaktorkan:

6. Jawaban: d → −

−

=

3. Jawaban: a

(f2(x)

(tak tentu)

−

→

→

tidak ada.

→

=

= =

maka dikatakan

→ +

→

⋅ − ⋅

⋅


→

70

+

→

x3

− −

→ −

Jadi,

= 1 .

11. Jawaban: b Dengan substitusi langsung:

− → −

 −   − −

→ 

=



−

−

−

−

=

= ∞ – ∞ (tak tentu)


−   −

→ −

=





⋅

 → −

 − − 

 −    →  − 

= =

→  −−

=

Dengan memfaktorkan: Dengan metode Horner diperoleh: (x10 – 1) = (x – 1)(x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) − → −

− + + + + + + + + + − →

=


12. Jawaban: b Dengan substitusi langsung: 

−

  − 

−

− − −

−

→ −



 →  + −

−

→ −

 −    →  −  −

 

 

→

− −  

= =

−

=

− → −

=

− + −

=

(tak tentu)

Dengan memfaktorkan: + → −

− −

=

−

=

(tak tentu)

− → −

=

·

+

+

−

→ −

13. Jawaban: d Dengan substitusi langsung: + → −

=

=

–

− −

Dengan mengalikan bentuk sekawan:

→  − 

−

→

16. Jawaban: a Dengan substitusi langsung:

→  − 

=

=

+

+

=

=

 

→ + − →

 =  − ⋅  →  + − − 

=

(tak tentu)

−

= =

 − 

−

= − =



−

− −

=


(tak tentu)

→

=

= 19 + 18 + 17 + 16 + 15 + 14 + 13 + 12 + 1 + 1 =1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 10

→

=

−

= − =

= (x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)

−    →  − 

=


+ − + → −

=

= (x2 – 2x + 4) → −

(–2)2 –

= 2(–2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12

=

− +

→ −

=

− +

→ −

=

− −

→ −

=

−

→

= =

−

− =–


71

17. Jawaban: e Dengan substitusi langsung: − →

−

=

→ − − +

(tak tentu)

=

− →

− →

=

·

− − +

− +

+ +

= → + + − − +

−

→ +

= + + −

−

→ +

= ⋅

− + →

= – = –

=

−

=

=

→

− +

=

=

20. Jawaban: e Perhatikan:

− +

=

=∞

18. Jawaban: c Dengan substitusi langsung: 



⋅ − −

  = − − 

→ 

=

(tak tentu)


→

 −  ⋅   − − −  →

=

+

=

+

 −    

=

⋅

⇔

⋅

=4

⇔

+

=4

4a = –8 a = –2

f(x) = –L.

=9

− −

→ − −


=

− − − × −

=

− −

(tak tentu)

− −

→ − −

→∞

+ − + −

=

→∞

− −

→ − − +

−


(tak tentu)

+ ← Variabel berpangkat tertingginya x3.

→ ∞ −

= ·

= ∞

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi:

→ − −

=

∞

+

→ ∞ −


72

=4

→∞

=

+

→

21. Jawaban: b Untuk nilai x yang semakin membesar tanpa batas, nilai f(x) mendekati –L. Dapat dituliskan


+

Jadi, nilai a = –2.

→ 

−

=

⇔ ⇔

   −  

→ 

=

·

= 4 ⇔

 −   − −  → 

=

+

+

=

=  =

−

= − + + − →


−

=

=

+

−

+

−

+

−

= =2

23. Jawaban: d Dengan substitusi langsung: ∞

+

→ ∞ +

= ∞


(tak tentu)

→∞


→∞

=

+

=

→∞

=

→ ∞ +

=

=

− + −

+

−

+

=

∞

= ∞

(tak tentu)

+ − +

=

+

=

+

→∞

→ ∞ +

−

+

−

∞

= ∞

+

−

=

=

→∞ +

=0 =

+ −

  

= =1

− ) ·

=

− + −

− +

→ ∞ − +

⋅ +

= =∞

−

→ ∞ −

→∞

−


=

→∞

− + −

− + − −

=

→∞

− + −

− + −

−

=

+

    

− + −

→∞

→∞

−

− ) = ∞ – ∞ (tak tentu)

→∞

⋅

27. Jawaban: c Dengan substitusi langsung:

→ ∞ + +

+

+ − +

→∞

=

(tak tentu)

=

=

((x – 2) –

=


Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: → ∞ +

((x – 2) –


→∞

→∞

→ ∞ 

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: →∞



+ − +

→∞

  →∞  

= 


  + − 

→∞ 


=



= 

+

+ −

−

− −

→∞

→ ∞ + +

−

← Variabel berpangkat tertingginya x2. → ∞ + +

− )

–

+ −

= =

(

+ −

·

+ − → ∞ + +

− ) = ∞ – ∞ (tak tentu)

–


+

→ ∞ +

(

=

−

−

− − −

=

−

−

= –2


73

28. Jawaban: a Dengan substitusi langsung: ( + –

− ) = ∞ – ∞ (tak tentu)

→∞

Dengan mengalikan bentuk sekawan: + + – +

→∞

·

Dengan mengalikan bentuk sekawan: + + − + + −

−) ·

( + –

→∞

+ − −

+ + − →∞ + − − →∞ + + −

+ + + + + + + +

=

→∞

+ + − + + + + + + + + − + + + + +

=

=

=


=

→∞

+

=

→∞

→∞ + + −

+

=

→∞

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: →∞

+

→∞

−

→∞

=

+ −

+ −

=

=

=0

29. Jawaban: b Dengan substitusi langsung: ∞

→ ∞ − −

= ∞

→ ∞ − −

+

→ ∞ +

=

+

−

+

−

+ + − −

=

−

−

+

+ +

+ + +

=

=1

Berdasarkan kecenderungan grafik pada gambar, terlihat untuk x yang semakin membesar tanpa batas (x → ∞), grafik berupa garis lurus y = 3. Jadi, f(x) = 3.

c.

Berdasarkan grafik diperoleh

→ −∞

→∞

f(x) = 6 dan

=

→ − −

→∞


→ −−

f(x) = 6 maka

→ −

f(x) = 6.

→ −

) +

= + + – +

f(x) = 6

→ −

f(x) =

Oleh karena

30. Jawaban: c Dengan substitusi langsung: ( + –

+

b.

→∞

+

+

Berdasarkan kecenderungan grafik pada gambar, terlihat untuk x yang semakin mengecil tanpa batas (x → –∞), grafik semakin naik (f(x) → ∞). Jadi, f(x) = ∞.

+

1. a.

(tak tentu)

=

+

B. Uraian

Membagi dengan variabel pangkat tertinggi:

→∞

+

=

=

=

=

=

+ + + +

d.

Berdasarkan grafik diperoleh f(x) = 4 dan f(x) = 3

→ −

→

Oleh karena − f(x) ≠ f(x) maka f(x) →

tidak ada.

74


→

→

2. a.

Jika x < 0 maka f(x) = –x. Jika x > 0 maka f(x) = 3x. Grafik fungsi f(x): Y

b.

Dengan substitusi langsung:

+ − → −

−

=

y = 3x

6 y = –x

− − → −

3 2

−

=

→ − −

1 X –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3 4

→ − −

f(x) = f(x) = 0 − +

=

− − − − −

=

−

→

c.

Jadi, f(x) = 0.

−

=

5

Dari grafik terlihat:

→

b.

= –3


→

Jika x < 2 maka f(x) = 2x – 1. Jika x > 2 maka f(x) = –x + 6.

−

− +

=

→

Y

−

5 4 3 2 1

→

− + − = +

= 1 2 3 4 5 6

=

y = –x + 6

y = 2x – 1

4. a.

→

f(x) = 3 dan f(x) = 4 +

→ −

→

Oleh karena − f(x) ≠ + f(x) maka →

→

Dengan substitusi langsung: =

− − −

→

− − −

→

(tak tentu)

− → −

=

→

= =

=

− −

=

(tak tentu)

·

→

=

+ +

=

+

=

+ +

=

−

→ − + +

=

+ + +

−

= =

− ⋅ −



=

→ − + +

→

− − −

→

− −

=

f(x) tidak ada.

=1


Dari grafik terlihat:

−

→ +

X

(tak tentu)

− +

= =

0 –1

=


Grafik fungsi f(x):

3. a.

(tak tentu)

=


5 4

→

− + − − − − −

×


75

b.

Dengan substitusi langsung: −

→

+−

−

=

+−

b. −

−

=

=

→ ∞ + −

(tak tentu)

Dengan mengalikan bentuk sekawan: −

→

+ −

→∞ + −

− + + + − →

=

− + + − →

=

=

→∞

=

− + + − + →

=

→

c.

c.

+

+

=

=

=

=

=

−

− −

=

+

+

·

·

+

→ ∞ −

+

→ ∞ −

− +

− +

5. a.

6. a.

=

=

∞ (tak tentu) ∞

→ ∞ +

=

− +

=

− )

(2x – 1 –

·

=

− ) = ∞ – ∞ (tak tentu)

→∞

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: − + →∞


− + + −

− + + −

=

→∞

Dengan substitusi langsung: =

= =0


− +

+

+

+ +

(2x – 1 –

− − + → − +

− → ∞ +

76

=

→∞

→ +

=

∞ (tak tentu) ∞

=

− − + → − − +

− +

+

=

+

→ ∞ −

(tak tentu)

− + − + → − − − + +

=


=

−

−

= =

=∞

Dengan memfaktorkan: →

=

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: =2

−

− −

−

− −

+ −

+

→ ∞ −

Dengan substitusi langsung: →

+ −

+ +

+

+ +

+

=

← Variabel berpangkat tertingginya x3.

+ +

=

∞ (tak tentu) ∞

=


+ +

·


=

→∞


− + + −

− + − − +

− + + −

− +

=

→ ∞ − +

−

=5

− − + −

=

→∞ −

=

+ −

− +

+ +

− +

− + + −

−

−

+

=

=

+ + −

→

Dengan substitusi langsung: ( − ) – 3x – 1) = ∞ – ∞ (tak tentu)

→∞


= ( − ) – (3x + 1)) =

− + + − + +

= –24

→

→

(

)

− →

=

− − +

→ ∞ − + +

=

− −

=

− −

− + +

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: −

− + +

8.

→

− −

⋅ ⋅ −

− + +

→

⋅ →

− − − −

→∞

−

→

=

=

=

−

→∞

→∞

+ + −

→∞

=

=

− →

= ( − ) – (3x + 1))

·

− + + − −

→

=– b.

=

−

= − =

( – x) = 7

→∞

−

=

→∞

=

− −

→∞

=

7. f(x) =

− − − ++

=

⇔

− +

=–

= –3

− −

−

→∞

⇔

→∞

⇔

− −

− →

+ + −

+ + +

+

·

+ + +

→∞

+ +

=

+ − → + −

=

+ → +

=

+

+

=

+

−

− +

− → − +

− → − +

=

=7

=7 +

+ + + +

=7

⇔

=7

a=7 f(x) = x2 + 3x – 5 f(2) = 22 + 3 · 2 – 5 = 5

→

·

+ +

+ +

− + + − + →

=

=7

⇔

9. a.

g(x) =

→

=7

Jadi, nilai a = 7.

g(x) =

⇔

f(x) =

→

+ + +

→∞

− + +

+ + +

⇔ ( – x) ·

=

→

+ − − −

+ − −

→

=

+ − −

→

=


77

= (x + 5) →

b.

= 2+5 =7 2 f(x) = x + 3x – 5 f(x + h) = (x + h)2 + 3(x + h) – 5 = x2 + 2hx + h2 + 3x + 3h – 5 f(x + h) – f(x) = (x2 + 2hx + h2 + 3x + 3h – 5) – (x2 + 3x – 5) = 2hx + h2 + 3h = h(2x + h + 3) + →

A.

Pilihan ganda

1.

Jawaban: d Dengan substitusi langsung:

2 sin x cos2x

→

π

= 2 · sin x · ( cos x)2 →

+ + →

=

= (2x + h + 3)

10. a.

Hari pertama pekerja bekerja maka h = 1. = ⋅ = = 60 kaos

⋅ + Jadi, diharapkan setiap pekerja baru dapat menghasilkan 60 kaos pada hari pertama ia bekerja. → +

b.

30 hari setelah pekerja bekerja maka h = 30. → +

=

⋅

⋅ +

c.

Puluhan tahun setelah pekerja bekerja maka h = ∞. → ∞ +

=

→∞

=

+

→∞ +

=

+

= 150 Jadi, diharapkan pekerja dapat menghasilkan 150 kaos per hari setelah bekerja puluhan tahun.

π

→

π

2. Jawaban: d Dengan substitusi langsung: −

→

π

π

=

π

=

π

−


=

−

(tak tentu)

Dengan mengubah fungsi trigonometri: −

→

π

=

− −

=

+ − −

→

→

π π

= (cos x + sin x) →

π

π

π

= cos + sin = + = 3. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:

→

=

⋅

=

(tak tentu)

Dengan mengubah fungsi trigonometri: →

= · cos 2x → →

= · cos 0 → =1·1=1

78

π

π

· ( )2 =

=2·

= 142,857 ≈ 142 kaos Jadi, diharapkan pekerja menghasilkan 142 kaos per hari setelah bekerja 30 hari.

→

= 2 · sin · (cos )2

→

= 2x + 0 + 3 = 2x + 3

π


→

− → −

=

−

= − =

− → −

− → −

=

·

→

− −

→

→

→ ⋅ →

−

→ →

− ⋅

−

=

→

=

·

→

=

·1–

→

⋅ −

−

→

= ⋅ − ⋅ = = – 5. Jawaban: d Dengan substitusi langsung:

⋅

=

→ −

⋅ ⋅

= − =

(tak tentu)

→

→

·

·

= 2 · →

→

= 2 · →

= ·

→

·

−

=

→

− −

−

= − =

→

·

· 3 →

→

− −

=

→

=

−

= =

=

− →

=

− − →

→

·

·

·

→


=

·

→

→

= (–4 ·

− − − −

→

− ⋅

−

(tak tentu)

=

=

→

Dengan mengubah fungsi trigonometri:

·3


=

− −

6. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:

– 10 ·

·

·1

=2·1·1·1·3=6

→

→

–

= =

→ −

=

·



=

→

⋅

(tak tentu)

−

→

→ ⋅

→

−

=

=

=

−

=

⋅ ⋅

=


=

→

·


(tak tentu)


→

·

= –4 · 1 · 1 · 1 = –4

− −

→ −

→

= (–4) ·

·

·

·

→

=

=

(tak tentu)

)


79


− = →

→

→

= cos 2x · = cos 2x ·

→

→

→

=

π

π

⋅ π

·

=

→

− −

=

=

 →

 

π

→

π

=




−

→

= =

− −

− − = (tak tentu)

→

π

π

=

=

− −

=

− −

=

π

→

π

→

Dengan mengubah fungsi trigonometri: − −

→ − =

→

−

→

→

=

80

−

−

11. Jawaban: d Dengan substitusi langsung: − −

→

π

π

=

−

=

(tak tentu)


= ⋅ = =

=

π

(tak tentu)

= +

 

=

=

→

 

⋅  

·

−

π

→

π

    →  → 

= (cos x + sin x)

=

→

−

= cos + sin

     

 →    

=

= (tak tentu)

→

=

−

π

=

π

−


→


10. Jawaban: a Dengan substitusi langsung: =

→

−

=1·1=1

→

·


→

= cos (2 · 0) ·

=1· · =

→

→

→

= cos 0 · ·

⋅ ⋅

⋅

=

= cos 2x ·


π

→

π

→

= π π →

=

→

π

= =


→

=

Dengan mengubah fungsi trigonometri: − − − − →

− − −

− −

=

− ⋅

=

→ − − −

=

− − −

−

−

=

=

·

−

→

− − −

− − −

− −

=

−

(tak tentu)

=

+ +

=

·

→

→

+

=

·

→

+

− −

− − − − →

=

·1·1 =

− −

·

−

−

=

−

·

− −

→

→

− −

→

·

·

→

=

− − − − →

=

⋅ − ⋅

· →

− π π

−

π

=

⋅ − π π

π

⋅ −

=

⋅

=

(tak tentu)

− π

π

π

−

= →

π

− π − π

Misalkan u = 6x – π. π

· 1 = –4

Jika x → maka (6x – π) → 0 atau u → 0.


π

→

−

→


− −

→

Misal u = x – 2 Jika x → 2 maka (x – 2) → 0 atau u → 0.

−

−

→ −


− −

=

·

·

·

−

· → −

Misal u = x – 1. Jika x → 1 maka u → 0.

− −

− −

+ +

=

=

=

→

=

=

− −

− − − −

→

→

(tak tentu)

− + −

=

→

=

− = − + + − · − →

− + − +

·

⋅ ⋅


=


=– ·1=–

=

→ − −

15. Jawaban: a Dengan substitusi langsung: − → − −

− −

Misal: u = x – 6. Jika x → 6 maka (x – 6) → 0 atau u → 0. −


− −

− −

= · →

· · → →

= − · 1 · = –1 · 1 · 2 = –2

− − →

= · →

+

−

+

− −

= · → → −

−

· − · − → →

Misalkan x – 1 = u. Jika x → 1 maka u → 0.

− − − →

= · →

−

+ → −

=


+ − −

=

(tak tentu)

=

→

=

=1

(tak tentu)


81


→

π

− π − π

=

B. Uraian

⋅

1. a.

π

=

(tak tentu)

(sin x + tan x)

→

Jika x →

→

π

= =

− π − π

b.

 + π  ⋅   → 

=

→

π

→

(–

)=

(u + π)

→

–

π

π

π

∞

c.

→

π

−

= − =

π − π

(tak tentu)

π

− π − π π

π  π  

→

π

−

=

− +

π

π π −

π

π

( – x) ·



→

π

2. a.

π

π

π

π

= sin (x + ) = sin ( + ) = sin = 1 π

π

π

− +

π

=

π − π

−

→ =

⋅ ⋅

=

(tak tentu)

−

= −⋅ = = ∞


=


π

− +

π

π

=



π

=

π  π π  − 

 =  sin ( – x) · π π  −  →

82

⋅

→

  sin π  →

→

⋅ − π

=  sin ( – x) · π  =

− π − π


π

sin ( – x) tan (x + ) π

→

π

π

Dengan menggunakan rumus:



= ⋅ = 0

π


=

→

(tak tentu)

π

(tak tentu)

π

π

= sin 0 · tan

=

=

=

−

π

π

=

= π →

=

−

−

=

sin ( – x) tan (x + ) π

=

π

⋅

→

=

π

−

20. Jawaban: b Dengan substitusi langsung: →

−


· cos

(0 + π) = 1 · 1 ·

π

+ 2)

π

=

=

= 1 · 1 · cos

+1


  ⋅ ⋅ π    →

(

= 

·

π

= sin + tan

maka (3x – π) → 0 atau u → 0.

→

π

π

Misalkan 3x – π = u atau x = (u + π). π



→

→

·

→

·

= b.

·

→

b.

→

⋅

=

=

→

=

→

→

→

    

→

→

= 24 · 

  → 

→

= 24 · c.

   

=2·1·

4. a.

=

·

−

=

− →

→

+

=

= 2 

  →     

= 2(1)3 + 3. a.

+

    →

= 2 + 8 = 10

=

− ∞

=

−

=

→

=

→

→

⋅ −

=

(tak tentu)

=

→

 +    → 

∞ (tak tentu) ∞


→

−

→

=

−

−

= = –

−

→

−


→

→

  2    →

→

·

−

=

→

·

=

·


(tak tentu)


==2·1· · =

→

⋅

=

·



→

→

→

= 24 · = 3

·

= 2 ·

= 24 ·

= 2 ·

→

    →

(tak tentu)

−

⋅

=

= 24 · · · → = 24 ·

=

−

(tak tentu)


− ⋅

=



Dengan substitusi langsung: − →

=

→

= 0 – 1 = –1

→

=

→

= x –

→

=

= x –

b.


→

=

=

(tak tentu)


→

·

→

= –

→

   

→    

=


83

( ) ( )

→

=

→

→

→

−

=

·

−

→ −

· → −

− −

−

·

=

= 6. a.

·

−

·1=–

→

= 7. a.

−

→ π

=

(tak tentu)

→

π

→ − −

=

π

= →

·

⋅  π  π

=

→

(tak tentu)

→−

− −

π

)

π

−

(

π

)

π π

− π π

=

(

− →−

−

= − = –1


−

π

π −

=

)

−

→ π

−

π

π

· cos ( + ) ·

→ π → π

−

(

π

−

Misal x + 1 = u. Jika x → –1 maka (x + 1) → 0 atau u → 0.

84

π

−

=

=

→

= –1 · 1 = –1

−

π

→− →−

→ 0 atau u → 0.

− π

= →

→ − − −

=

→

− π


=

·


→ − − −

=

.

→ −



=

→

·

Jika x → 0 maka

Misal u = x + 3. Jika x → 0 maka (x + 3) → 0 atau u → 0. =

·

Misalkan u =

→ −

−

−

·

→

→ −

=

→ −

→

·

→

→ −

=

= → −

=

− →

−

·

=

→ −

−

(tak tentu)

→ −

=

=

−

=

(tak tentu)


−

→

− → −

=

−

=


5. Dengan substitusi langsung:

=

−

= =2

− − − − −


=

b.

=

−

· cos (

+

π

π

) ·

→ π

Misal u =

π

π

–

.

− π

−

π

−

−

π

Jika x → =

−

π

maka ( π

· (cos

)

–

→ 0 atau u → 0

−

b.

= (x2 sec – x2) →∞

= · 0 · 1 = 0 Dengan substitusi langsung: −

→

π

π

−

=

−

π

π

=∞–∞

π

−

=

x2(sec – 1) →∞

= (tak tentu)



  

=

 −     

−

=

− −

= =


= x2(

→ π −

→∞

π

−

→

Jika x → ∞ maka → 0 atau u → 0.

π

→

π −

π

    →  

−

( ) (

→

−

=

    →  

=

=

π

=

=

−

9. a.

π → π − −

·

→

π

→ π

→ π

π

=

·

→ π

Misal u = Jika x → π

= =

)

→

·

= 2 ·

→∞

π

( – x) → 0 atau u → 0.

 →

·

Misal t = .

Jika x → ∞ maka → 0 atau t → 0.

 ·  

(

 − π −   π   − 

π – x. π maka

→∞

→ π −

x sin · →∞

π

− −

= ·

π

·1·1=2

= x ·

−

·

·1·1

π

−

=

)

·

π

−

=

)

→

−

π

=

− → π

Misal = u ⇔ x = .

−

−

=

=

π

−

– 1)

→∞

 (tan x – 1)2 =  –

=

= x2(

Perhatikan:

(tak tentu)


−

x2(sec – 1) →∞

→

)·

8. Dengan substitusi langsung:



= 2 · →

= 2 · →

=2·1=2

· 12 =


85

b.

c.

n2(1 – cos ) →∞

=

→∞

n2(2

= 2n2 · →∞

=

→∞

·

sin2

·

·

=

·

+ − →

     

     

)·

f(x) = –sin 3(x + π)

→

− + π + − + π →

=

=

= 10. a.

·

→

→ 0 atau t → 0. ·

→

= –2 cos (6x + 6π + 0) ·

= –3 cos 3(x + π) A Pilihlah jawan yang tepat.

·1·1=

+ −

=

→

+ −

A. Pilihan ganda

− →

=

=

1. Jawaban: c Dari gambar terlihat: 1) untuk x mendekati –2 dari kiri, nilai f(x) mendekati

+

→

= 4 cos (2x + h) · → → = 4 · cos

(2x + 0) ·

2 sehingga dapat dituliskan

2)

=

2. Jawaban: e Dari gambar terlihat: 1) untuk x mendekati 1 dari kiri, nilai f(x) mendekati 1 sehingga dapat dituliskan

− + + π

= –4 cos →

(6x +

f(x) = 1

→ −

3h + 2π)

= –4 cos (6x + 2π) ·

= –6 cos (3x + π)


2)

= –4 cos (6x + 3h + 2π) → →

f(x) = 2 maka

→ − +

f(x) = 2.

− + + π − − + π

→

→ − −

→ −

− + + π − + π →

=

f(x) =

Oleh karena

+ − → →

untuk x mendekati –2 dari kanan, nilai f(x) mendekati 2 sehingga dapat dituliskan f(x) = 2

f(x) = –2 sin (3x + π)

=

f(x) = 2

→ − −

→ − +

= 6 cos 3x

86

= –2 cos (6x + 6π + 3h) → →

f(x) = 2 sin 3x →

b.

Jika n → ∞ maka

→

− + π +

→

Misal t = .

=

− + π + − − + π

untuk x mendekati 1 dari kanan, nilai f(x) mendekati 2 sehingga dapat dituliskan f(x) = 2

→ +

Oleh karena − f(x) ≠ + f(x) maka f(x) tidak ada.

→

→

→

3. Jawaban: d Dari gambar terlihat untuk x semakin membesar tanpa batas, nilai f(x) juga semakin membesar tanpa batas sehingga dapat dituliskan f(x) = ∞. →∞ Jadi, f(x) = ∞. →∞

4. Jawaban: c Dari gambar terlihat untuk nilai x yang semakin membesar tanpa batas, nilai g(x) konstan yaitu 1. →∞

→ −

= –2 – 3 = –5

((2x2 + 1)(7x4 – 14))

− → −

)4

= (2( + 1)(7( – 14) = (2(2) + 1)(7(4) – 14) = (5)(14) = 70

(tak tentu)

+ − − →

=

→

= 2(2 + 2) = 8 10. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:

→


− − →

− −

→ − − +

=

− −

=

(tak tentu)


=

−

−−

→ − − +

Jadi,

=

=

=

− − →

→ −

 

=  



− +

→ − +

− − + + → −

=

− − − − − − + − +

=

⋅

(tak tentu)

=

−

⋅ − ⋅

=

(tak tentu)

− −

= − − → = − → −

−

= − = ⋅ − =

= 2.


=

−

= = = 2

  →  




− +

→ − +

   



=




→

= 

=

      =    →    →  

=

−

=

.


=

=

= x(x + 2)

Jadi, ((2x2 + 1)(7x4 – 14)) = 70.

Jadi,

−

−

=


→

=

= (a – 3)

− → −


− − − − − − − +

− − + + → −

− = → −


Jadi, nilai g(x) = 1.

)2


12. Jawaban: e Dengan substitusi langsung: 



→ −  −

=

− −

=

–

–

−

  + − 

− + − −



87

Dengan memfaktorkan: 

→ −  −

−


  + − 

=

   + − − + −  → −

=

− − −   + − −   → − 

=

→

→

− − + 

− −

=

=

−

− −

→ −

− −

− − −

=

=

=

−

− −

→ −

·


− +

= + −

→∞

− +

= + −

→∞

= –(–1 – 1)( − − + 3)

− +

→ ∞ + −

=

= –(–2)( + 3) = 2 · 6 = 12

+ − ⋅ + −

=

= Dengan mengalikan bentuk sekawan: + − + −

·

+ + + + + +

+ − + → − + + +

= =

− − → − + + +

=

→

=

− + + +

− + + ⋅ +

−

=


− +

−

− + + −

= =


+

→ ∞ −

+

=

→∞

∞

= ∞ −

→∞

Dengan membagi pangkat tertinggi:

+

→ ∞ − +

→ ∞ −

+ → ∞

−

=

=

= + = – 88

(tak tentu)

→ ∞ +

=


→

(tak tentu)

−

→ ∞ − +

+ − − + − +

+ − + −

∞

= ∞

→ −

= ⋅ = = 1

Dengan membagi pangkat tertinggi:

= –(x – 1)( − + 3)

→

⋅

⋅ ⋅ −

− − +

−− → −

→ −

−

− + →∞

− +

− +

= =

+ +

Jadi, nilai n = 1. (tak tentu)


·

→ −


− +

− +

·

− +

=

− −

−

= − − + →

→ − − −

=

(tak tentu)

− − +

+

− − − −

=

= − − + →

→ − + − −

=

⋅ − −

⋅ −

=


  → −  + − − 

=

− −

−

=

+ −

= =∞

(tak tentu)


+ ) = ∞ – ∞ (tak tentu)

( + –

→∞

+ ) ×

( + –

→∞

→∞

=

→∞

=

→∞

→∞

+ +

+

+ +

+

+ − +

+ +

+

+

+ +

·

=

+ + +

− − − + −

=

(3x – 2) – − + ·

=

→∞

− + − +

− +

−

− − − + + +

( + –

+

−

=

)( − )

→∞

= ( − − – →∞

− ) − )

− − + − − − + −

=

→∞

= –1

)( − )

= ( + − –

π

= 2 · → =2·1=2 23. Jawaban: e Dengan substitusi langsung:

→


·

→∞

( + –

⋅

= =

= ( + − – − ) = ∞ – ∞ (tak tentu)

→∞

π

(tak tentu)


20. Jawaban: a Dengan substitusi langsung: →∞

π

→

π

= = (tak tentu) Dengan mengubah fungsi trigonometri:

→

→

− −

→∞ − +

= cos π = (–1) = –

− −

=

=

− + − +

− + − +

→ ∞ − +

= = =


− − − +

=

x cos 2x = cos 2( ) π →

Dengan mengalikan bentuk sekawan: →∞

+ −

=

− + ) = ∞ – ∞ (tak tentu)

→∞

−

π

19. Jawaban: c Dengan substitusi langsung: ((3x – 2) –

−

·


+ + +

− − + −

−

=


=

→∞

−

=

− − − − − − + −

=3·

= 3

→

=3· = =

24. Jawaban: d Dengan substitusi langsung: − − →

=

− −

=

(tak tentu)

Dengan mengubah fungsi trigonometri: − → − − = − →

−

= (x + 1) · − → → −

= (1 + 1) · − → Misal u = x – 1. Jika x → 1 maka (x – 1) → 0 atau u → 0. = (1 + 1) ·

→

=2·1=2


89


→

= = (tak tentu) Dengan mengubah fungsi trigonometri:

→

·

=

⋅ →

→ →

⋅

⋅

=

→

= 2

→

=2·

·

·

=

(tak tentu)

·

+

= − + → − +

= − − + → −

+

+

Misal u = x + 3. Jika x → –3 maka (x + 3) → 0 atau u → 0.

→

= · · = ·1·1= → →

→

29. Jawaban: b Dengan substitusi langsung: − − = ⋅ = (tak tentu) − + Dengan mengubah fungsi trigonometri →

− −


=

− π → π − π + − π

=

⋅

=

(tak tentu)

Dengan mengubah fungsi trigonometri: − π

− π + − π →π

− π −π

− π − π + →π −π −π

·

− + − − → − − + − − · → − → − −

→

−π −π

=

90

+

= · + · + → − → −

=2· ·1=

=

+

= · + · + → −

→

π − π

π − π + π − π

(tak tentu)

= + → −

Jika x → 0 maka (4 ) → 0 atau u → 0. =2·

+

·

Misal u = 4 .

+ + → − − +

=

→

= − ⋅ = Dengan mengubah fungsi trigonometri:

=

=


→

+ + → − − +

= =

26. Jawaban: c Dengan substitusi langsung: →

+


=

⋅

− π −π

→ →

→

→π

Misal u = x – π. Jika x → π maka (x – π) → 0 atau u → 0.

− π −π

+

→π

→

=

→π

=

=

=

− π −π − π →π + −π

=


=

·

→

+

Misal u = x – 1 dan v = 1 – . Jika x → 1 maka (x – 1) → 0 atau u → 0. Jika x → 1 maka (1 – ) → 0 atau v → 0. =

→

= 1 · (–1) ·

− =–

+

·

→

·

→

+


2. a.


−

→ − −

= =

→

→

=

− +

−

−

− − →

=

− −

− − · · − − → −

− − · · → − → − → − − −

⋅ · · → − → − − − · · → − → −

→ − + +

= b.

·

→

−

→

= 10 · 1 · 1 = 10

→ −

=

−

=

→ −

=

=

= (tak tentu)

→

=

→

=

=

Dengan substitusi langsung: − − − → −

− − − − − − − −

=

(tak tentu)

− − − → −

= + =

1

3–a a

–3a 3a

1

3

0

Hasil bagi: x + 3 x2 + (3 – a)x – 3a = (x – a)(x + 3) − − − →

=

− −

=

(x + 3) =

⇔

→

→

− − − → −

⇔

a+3=

− − − → −

⇔

a=

= =

− − − − − − −

−

= − = 3

+ +

x=a

⇔


+

+ +

3. Menentukan hasil pembagian x2 + (3 – a)x – 3a oleh (x – a) menggunakan metode Horner.

−

→ −

=

+ +

=

(tak tentu)

Dengan memfaktorkan: −

=–

→ +

−

−

+ + + +

·

→ +

=

=

+


=

=


=

b.

+

→

B. Uraian 1. a.

+

+

− + + +


Misal u = x – 5 ⇔ x = 4 + 5. Jika x → 5 maka (x – 5) → 0 atau u → 0. = 10 ·

+

=

=

→

+ + + +

·

+ − − + − + + →

→ − −

=

(tak tentu)

− − → + − + +

=

=

− +

→ − + +

=

=

−

−

=

(tak tentu)


=

=


− − ⋅ −

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

− +

−

–3=

Jadi, nilai a yang memenuhi

.


91

4. a.


+   +  − −  → ∞  −

b.

∞ (tak tentu) ∞

=

( − + – (x + 1))

→∞

= ∞ – ∞ (tak tentu) Dengan mengalikan bentuk sekawan:


 +

 → ∞  −

=

−

+

→ ∞ −

=

+

→∞ −

+

+  − 

·

( − + – (x + 1))

–

→∞

+

–

→ ∞ −

+

+ −

·

→∞

− + − +

→ ∞ − + + +

=

−

→∞

= =

−

−

→∞

=

6.

−

= 2 – 3 = –1

(

→∞

⇔

= ( − + – (3x – 2)) = ∞ – ∞ (tak tentu) →∞

Dengan mengalikan bentuk sekawan: (

→∞

− + – (3x – 2))

− + + −

·

=

→∞

=

→∞

=

→∞

− − −

=

→∞

=

− − − − + − − − +

+ −

+

+ − + +−

·

→∞

+ − +

=

−

=

+ −

=

⇔

+

=

=

= a+4=9 a=5

Dengan substitusi langsung: − − →

=

− −

= (tak tentu)

Dengan mengubah fungsi trigonometri: − −

+ −

= = =

=

+ − + + −


·

−   − 

⇔

→

−

+ + −

=

− − −

=

−

→

→

92

=

+ −

→∞

+ +

+ + −

⇔

7. a.

− + + −

⇔ ⇔ Jadi, nilai a = 5.

− + + −

−

+ − − +

→∞

− + – 3x + 2)

·

+ – (2x – 1) )

⇔


(  



→∞

+

− −

+ − + +

→∞

− −

=

→∞

=

+ − + +

→∞

−

− −

=

Membagi dengan variabel berpangkat tertinggi: =

+ − + +

→∞

∞ (tak tentu) ∞

=

+ − − − −

=

Dengan substitusi langsung: →∞

5. a.

− + + + − + + +

·

= − – = –2=–

− b.


+

+

· + · +

b.

+ + − →


=

− − − → − −

+ + →

=

− − −

=

(tak tentu)

=

= 2  · (1 + )(1 +  → 

=2· b.

·




· (1 +

− − − → − −

) · (1 + 1) = 112

− − → − − − − − − →


=

+ − − →

=

=

(tak tentu)


→

=

+

−

+ ⋅

+

9.

→ −

=

·

→ −

→

8. a.

=

−

·

=

→

+

·1+

·

→ −

·

→ 



=

− − −

=

(tak tentu)

− −

=

→

− − − → →

Misal u = x – 3. Jika x → 3 maka (x – 3) → 0 atau u → 0. →

−

=

−

=

=∞

→

−

10. s = f(t) = –5t2 + 40t + ∆ − ∆ − + ∆ + + ∆ − − + ∆ ∆ → − − ∆ − ∆ + + ∆ + − ∆ → ∆ − ∆ − ∆ + ∆ ∆ ∆ →

v(t1) =

∆ →

= =

− · − − − →



→

−

=

=

 

= –y · 1 = –y (terbukti)

→ − − −

→ −

 −     

− = –y ·


− −

=  − − 



=1+2=3

−    →  − − − 

=

−

=  − − −   → 

Dengan substitusi langsung

→ −

=

→ −

·1+

→

−

·

→ − +

− →

·

= 2 · · = 2 · · =

−

=

→

=

→ −

= 2 ·

→

−

Misal u = x – a. Jika x → a maka (x – a) → 0 atau u → 0

−

→

·

−

→

=

−

−

= 2

+

→

→ − −

+ − −

=

=

=

= (–10t1 – 5 ∆t + 40) ∆ →

= –10t1 + 0 + 40 = –10t1 + 40 Diperoleh v(t1) = –10t1 + 40. t1 = 2 detik v(2) = –10 · 2 + 40 = 20 m/detik Jadi, kecepatan sesaat dalam waktu tepat 2 detik 20 m/detik.


93

Bab IV

Turunan Fungsi

"′ − "′ "

g′(x)=

− ⋅ − ⋅

=

−

A. Pilihan ganda

− −

=

1. Jawaban: a f′(x) = 9x2 + 4 f′(3) = 9 · 32 + 4 = 81 + 4 = 85 2. Jawaban: c

−

− −

=

−

=–

f(x) = (x + 1) + = (x + 1)(2 + x)

Misal u = x + 1, v = (2 + x) , dan w = 2 + x maka

! !

−

g( + ) = g′( + )

=–

f(x) = uv dan v = w . u′ = 1 v′ =

!" !

=

!" !#

·

−

= w

=–

!# !

=–

·1

= (2 + x)

−

Misalkan n = 3x + 2 maka x =

= (2 + x) · 1 + (x + 1) ·

+

+ + +

f(n) = =

+ + + +

+

−

3. Jawaban: e

−

+

− − +

Misal u =

+

+

−

=

v =

+

w=

+

+

− , dan w = x2 – 1 maka

Misal u = 2x, v =

g(x) = " dan v = u′ = 2 !"

# =w .

!#

= w

−

= (x2 – 1)

!"

!"

·x

−


!#

v′ = ! = !# · ! = w

· 2x −

u′ =

v′ = ! = !# · !

=

= ( )

maka f(n) = uv dan v = (w)

−

!"

− +

= (n – 2)

g(x) =

−

.

Persamaan menjadi:

94

+ −

f(3x + 2) = x +

f′(x) = vu′ + uv′

=

+ −

4. Jawaban: b

+

=

=

=

−

= =

−

·

 +     

 + 

   

−

f′(n) = vu′ + uv′ +

6. Jawaban: b

=( ) · +

=

=

−

·

( )+−

⋅ ( )

 + 

   

=

+

⋅

⋅

+

=

=

+

⋅

−

=

⋅

=

=2

⇔ + − = 0 atau + − = 0

+ −

−

⇔ + = 1 atau ⇔

=

+ +

+

⇔ ( + − ) + − = 0

maka u′ = 2x + 2, v′ = 2, dan f(x) = " .

=

+

⇔ + – + + 1 = 0

= 11

Misal u = x2 + 2x – 2 dan v = 2x – 1

f′(x) =

⇔ 3(a + 1) + 1 = +

5. Jawaban: e f(x) =

−

(3x + 1)

f′(a + 1) = 2 ⇔

+

=

+

12f′(11) = 12 · =

=

+

= +

f′(x) = +

+

+ + −

+

f(x) =

⇔ a = – atau a = 0

Jadi, nilai a = – atau a = 0. 7. Jawaban: c

Fungsi kuadrat (2x2 – 2x + 2) mempunyai nilai a = 2, b = –2, dan c = 2. Diskriminan fungsi kuadrat: D = b2 – 4ac = (–2)2 – 4 · 2 · 2 = 4 – 16 = –12 Oleh karena fungsi kuadrat (2x 2 – 2x + 2) mempunyai nilai a = 2 > 0 dan D = –12 < 0 maka (2x2 – 2x + 2) > 0 untuk setiap bilangan real x. Oleh karena (2x2 – 2x + 2) > 0 dan f′(x) > 0 maka (2x – 1)2 > 0 sehingga diperoleh nilai x sebagai berikut. Pembuat nol: (2x – 1)2 = 0 ⇔ 2x – 1 = 0 ⇔ 2x = 1

+++

+++

x=

+ = − +

−

g(x) =

Misalkan u = x – + maka g(x) = . ! !

−

=1–

=1–

+

! !

=

+

! !

=

·1

+ −

+ −

!

· ! =

·

+ −

+

=

− +

·

+ −

+

+−

=

+ − +

Nilai turunan g(x) di x = 3 adalah ! !

=

+− + − +

=

⋅ − −

=

Jadi, nilai x adalah x ≠ ; x ∈ R.

+ =1

atau

⇔ a + 1 = atau a + 1 = 1

"′ − "′ "

− + − + − ⋅

−

− + − − − + −

− +

−

⇔

+ =

+ =1

=

⋅

=


95

8. Jawaban: a f(x) = 2x3 + nx2 + 4x + 3 f′(x) = 2 · 3x2 + n · 2x + 4 = 6x2 + 2nx + 4 f′′(x) = 6 · 2x + 2n = 12x + 2n f′′(–1) = –22 ⇔ 12 · (–1) + 2n = –22 ⇔ 2n= –10 ⇔ n= –5 Jadi, nilai n = –5.

= =

−

+

+

= (x2 + 1)

!

=

⇔ xy + 4y = 3x – 2 ⇔ xy – 3x = –4y – 2 ⇔ x(y – 3) = –4y – 2

=

x= − −

−

− −

−

!"

= –28(x –

=

Jadi, turunan kedua dari f–1(x) adalah 10. Jawaban: e h =gDf = g(f(x)) = g( + ) + − +


, dan v = w–1.

!#

− −

· 2x −

!"

!#

= !# · !

= –1w–2 · 2x = –2x(x2 + 1)–2 − +

−

=

+

−

=

+

–(

− +

+

+

)

=

− + + +

=

− + + +

=

− + +

=

− + +

Jadi, turunan dari h adalah h′ = −

−

.

− + +

11. Jawaban: d

g(x) = 2 + = 2(3x + 1)

Misal u = 3x + 1 maka g(x) = 2u . g′(x) = =

! ! ! !

!

· !

= 2 · u

−

= 3(3x + 1) 96

−

h′ = u′ – v′

= 14 · (–2)(x – 3)–3 −

−

, v = (x2 + 1)–1, dan w = x2 + 1

v′ = !

!# !

3)–3

+

"′ − "′ "

− ⋅ − − − − ⋅ −

− + + +

−

= 14(x – 3)–2 −

·

−

−

=

= 14 · (–2) w–3 · 1

=

– (x2 + 1)–1

= –x(x2 + 1)

=

!′ ! !′ !#

!

⇔ y(x + 4) = 3x – 2

Misal w = x – 3 maka h′(x) = 14w–2 h′′(x) =

−

=– #

"

=

+

= !# · !

Misalkan h(x) = f–1(x), u = –4x – 2, dan v = x – 3, maka u′ = –4 dan v′ = 1.

=

–

Diperoleh: f–1(x) =

h′(x) =

+

maka h = u – v, u = w u′ = !

⇔

h(x) =

–

Misal u = (x2 + 1)

9. Jawaban: d Misal y = f(x) y=

+ +

·3 −

.

Turunan dari g′(x) adalah g′′(x). g′(x) = 3u

−

!′ !

g′′(x) =

14. Jawaban: c Laju pertambahan jari-jari gelembung:

!$ !

! !

·

Gelembung berbentuk bola maka volume

=

− 3(– )u

gelembung = V = πr3. Laju perubahan volume gelembung:

·3

= – (3x + 1)

−

!% !

−

=

−

+

Jadi, turunan dari g′(x) adalah g′′(x) =

−

+

12. Jawaban: c

= 3t2 – 4

.

!% !

!

= 0,16π · (1,5)2 = 0,36π cm3/detik

15. Jawaban: a Debit air = laju air yang diisikan ke wadah !%

= 2t ⇔ ! = !

= ! = 3 cm3/detik

!

= ! · ! = (3t2 – 4) · = x = t2 + 3 ⇔ t2 = x – 3 ⇔

− ke

− −

=

−

−

−

t=

Substitusi t = ! !

!$

= π · 3r2 · 0,04 = 4πr2 · 0,04 = 0,16πr2 Laju pertambahan volume gelembung pada saat r = 1,5 cm:

!

Turunan y terhadap x adalah ! . ! ! ! ! ! !

!%

= !$ · !

+

=

= 0,04 cm/detik

! !

!

Laju pertambahan tinggi air = ! . Perhatikan gambar berikut. D

A

diperoleh:

C ra

E

− − =

− − − − = =

−

−

F

ha

13. Jawaban: d ! ! ! !

B

= 4 · 2x + 2 = 8x + 2 !

Diameter wadah = AC = 12 cm Tinggi wadah = BD = 18 cm Jari-jari permukaan air = ra Tinggi air = ha ∆BCD dan ∆BFE sebangun.

= 2x – 6 ⇔ ! =

− t = x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 ⇔ ! !

=x–3 ⇔ x=3+

=

! !

·

! !

= (8x + 2) · = = =

! !

= =

+

+ ⋅

⋅

Jadi, nilai

! !

−

+

−

+

+

+ +

⇔ +

− +

−

&' &*

=

=

= 10,5

= 10,5.

=

+

$

⇔

ra = = Volume air:

V = πra2 ha

?'

= @*

= π( )2 ha

= π·

= πha3


97

!% !

= π · 3ha2 = πha2

⇔

! !%

! !

= = =

3.

! !

= π

! !% · ! !%

π

π

=

! !

·3

π ⋅

–

= · t

=

=

π

air 5 cm adalah

π

! !

cm/detik

! !

2. f(x) = ax3 – 5x2 + (a + b)x – 4 f′(x) = 3ax2 – 5 · 2x + (a + b) = 3ax2 – 10x + a + b f′′(x) = 3a · 2x – 10 f′′(a) = 14 ⇔ 3a · 2a – 10 = 14 ⇔ 6a2 = 24 ⇔ a2 = 4 ⇔ a= ± ⇔ a=±2 Oleh karena a > 0 maka a = 2. f′(b) = –1 ⇔ 3ab2 – 10b + a + b = –1 ⇔ 3 · 2b2 – 10b + 2 + b = –1 ⇔ 6b2 – 9b + 3 = 0 ⇔ 3(2b2 – 3b + 1) = 0 ⇔ (2b – 1)(b – 1) = 0 ⇔ 2b – 1 = 0 atau b – 1 = 0 ⇔ 2b = 1 atau b=1

b = atau b=1 Oleh karena b bilangan bulat maka b = 1. Nilai a + b = 2 + 1 = 3. Jadi, nilai a + b = 3.


!

= (3 · 52 – 3) ·

cm/detik.

1. f′(x) = 2ax + b f′(–1) = –11 ⇔ –2a + b = –11 f′(2) = 7 ⇔ 4a + b = 7 ––––––––––– – –6a = –18 ⇔ a= 3 Substitusi a = 3 ke persamaan 4a + b = 7: 4 · 3 + b = 7 ⇔ b = –5 Diperoleh f(x) = 3x2 – 5x + 6 Nilai f(1) = 3 · 12 – 5 · 1 + 2 = 3 – 5 + 6 = 4 Jadi, nilai f(1) = 4.

!

= ! · ! = (3x2 – 3) · Laju perubahan fungsi y pada saat t = 4:

= 72 · = 9 Jadi, laju perubahan fungsi y pada saat t = 4 adalah 9.

B. Uraian

98

Untuk t = 4 maka x = + 4 = 5

Jadi, laju pertambahan tinggi air pada saat tinggi

⇔

= 3x2 – 3

x = + 4 = t + 4

Untuk ha = 5 cm diperoleh: ! !

y = x3 – 3x + 5

4.

y = 3t2 ! !

= 6t

x = 2t2 + t – 1 ! ! ! !

!

= 4t + 1 ⇔ ! = + !

!

= ! · !

= 6t · +

= + Substitusi x = 2 ke x = 2t2 + t – 1 diperoleh: 2 = 2t2 + t – 1 ⇔ 2t2 + t – 3 = 0 ⇔ (2t + 3)(t – 1) = 0 ⇔ 2t + 3 = 0 atau t – 1 = 0

⇔

t = – atau

t=1

Oleh karena t < 0 maka t = – .

!

Substitusi t = – ke ! = + diperoleh: ! !

= = = =

−

− + − − +

− − !

Jadi, nilai ! di x = 2 adalah .

S

O

5. a.

R

r

Q

h

A. Pilihan ganda

P

Perhatikan gambar di atas. Jari-jari wadah:

OS = OQ = OP =

b.

× 24 = 12 cm

Jari-jari permukaan alkohol bagian atas: QR = r. Tinggi alkohol dalam wadah: PR = h. ∆QOR siku-siku di R. OQ2 = OR2 + QR2 ⇔ 122 = (12 – h)2 + r2 ⇔ 122 = 122 – 24h + h2 + r2 ⇔ r2 = 24h – h2 Permukaan alkohol bagian atas berbentuk lingkaran sehingga luasnya: A = πr2 = π(24h – h2) Jadi, luas permukaan alkohol bagian atas adalah A = π(24h – h2). Laju perubahan luas permukaan alkohol

1. Jawaban: c Misal u = cos x maka dy = u4. ! !

!

!

= ! · ! = 4u3 · (–sin x) = 4 cos3 x · (–sin x)

! !

=

· 4 cos3 x · (–sin x)

= –4 = –4 tan x 2. Jawaban: b

g(x) = − = (cotan x – 1)–1 Misal u = cotan x – 1 maka g(x) = u–1. ! !

=

! !

!

=

K −

=

−

· ! = –u–2 · (–cosec2 x) = (cotan x – 1)–2 cosec2 x

bagian atas =

!I !

.

Laju pengurangan tinggi alkohol: ! !

= 0,001 cm/detik

!I !

= ! · !

)) =

π

−

π

=

= π(24 – 2 · 6) · 0,001

= π · 12 · 0,001 = 0,012π cm2/detik Jadi, laju perubahan luas permukaan alkohol bagian atas pada saat tinggi alkohol 6 cm adalah 0,012π cm2 detik.

−

−

!

= π(24 – 2h) · 0,001 Pada saat h = 6 cm diperoleh: !I !

π (g(

!I

! !

= π

!

−

= =

Jadi, nilai = ! (g( )) = . 3. Jawaban: e !W !

= 2 cos 2t ! !

π

W ( + t) = π

⇔ 2 cos 2 ( + t) = ⇔

π

cos ( + 2t) =

⇔

–sin 2t

⇔

sin 2t

=

= –

π

= sin


99

π

Penyelesaian sin 2t = sin sebagai berikut. (i)

2t = ⇔ t =

π

π

2t = π –

(ii)

+ k · 2π +k·π= π

7. Jawaban: c π

f(x) = tan (4x + ) π

π

,

Misal u = 4x + maka f(x) = tan u.

π

f′(x) =

! !

+ k · 2π

π

π

π

= 4 sec2 (4x + )

π

4. Jawaban: a y = sin2 5x = (sin 5x)2 y′ = 5 · 2 sin 5x cos 5x = 5 sin 10x Diketahui y′ = (2a – 1) sin 5bx ⇔ 5 sin 10x = (2a – 1) sin 5bx Dari kesamaan tersebut diperoleh: 2a – 1 = 5 ⇔ a=3 5b = 10 ⇔ b=2 Jadi, a · b = 3 · 2 = 6. 5. Jawaban: e π

π

Misalkan a = x + maka x = a – π

f(x + ) = 2 cos x π

π

π

cos2 (4x + ) = 1 π

⇔

cos (4x + ) = ± 1 π

Mencari penyelesaian cos (4x + ). π

cos (4x + ) = 1 π

⇔ cos (4x + ) = cos 0 π

⇔

4x + = ± 0 + k · 2π

⇔

4x = – + k · 2π

⇔

x =– + k ·

⇔

x =– , , , ,...

π

π

π

π

π

π

π

π

= –2 · = –

6. Jawaban: c f(x) = cos3 (5 – 4x2) = (cos (5 – 4x2))3 Misalkan u = 5 – 4x2, v = cos (5 – 4x2) maka v = cos u dan f(x) = v3. !" !

·

! !

= 3v2 · (–sin u) · (–8x) = 24x cos2 u sin u = 12x cos u · 2 sin u cos u = 12x cos u sin 2u = 12x cos (5 – 4x2) sin 2(5 – 4x2) = 12x cos (5 – 4x2) sin (10 – 8x2)

100

π

⇔

π

⇔

·

=4

⇔ cos (4x + ) = cos π

π

! !"

π

+

π

= –2 sin

=

f′(x) = 4 ⇔

cos (4x + ) = –1

f′( ) = –2 sin ( – )

! !

π

+

Mencari penyelesaian cos (4x + ) = –1.

f′(a) = –2 sin (a – )

f′(x) =

=

π

f(a) = 2 cos (a – ) π

! ! π

π

Oleh karena 0 ≤ t ≤ maka t = .

π

·

= sec2 u · 4

⇔ t =– + k · π = –,

⇔

! !

=


4x + = ± π + k · 2π π

⇔

4x = – ± π + k · 2π

⇔

x = – ± + k ·

π

π

π

π

π

π

π

π

π

Nilai x yang memenuhi untuk x = – + + k ·

π

π

π

adalah , , , . . . . Nilai x yang memenuhi untuk x = – – + k ·

− π

π

π

π

adalah , , , , . . . . Oleh karena 0 ≤ x ≤ π, nilai x yang memenuhi adalah π

π

π

π

, , , dan . π

π

π

π

Jadi, nilai x yang memenuhi , , , dan .

8. Jawaban: a f′(x) = 2p sin px cos px = p sin 2px

− [ [

g(x) = cos p +

=

−

⇔

. (0 – 2p2 cos 2px)

− [ [

− [ [

π

g′( [ ) =

− [ [ ⋅ π [

− [ [ ⋅ π [

=

− [ π

− [ π

=

− [ ⋅

−

= –p2

⇔ –2 cos x + 2 sin x=

Bentuk fungsi trigonometri a cos x + b sin x dapat dibentuk menjadi k cos (x – α) dengan

+ \ dan tan α =

\

+ =

− +

=

tan α =

v′ =

!" !

=

=2

!" !#

·

−

= w

=

10. Jawaban: d f(x) = sin2 x Misal sin x = u maka f(x) = u2. ! !

=

! !

·

! !

= 2u · cos x = 2 sin x cos x = sin 2x

# = w , dan

·

!^ !

· cos z · 2x −

cos (x2 – 1)

−

−

cos (x – 135°) = = cos 60° (i) x – 135° = 60 + k · 360° ⇔ = 195° + k · 360° = 195° (ii) x – 135° = –60 + k · 360° ⇔ = 75° + k · 360° = 75° Oleh karena 0 ≤ x ≤ 180° maka x = 75°.

!# !^

= x(sin(x2 – 1))

=

− −

⇔

− , w = sin (x2 – 1),

dan z = x2 – 1 maka f(x) = uv, v =

= –1 oleh karena a = –2 < 0 dan

⇔ 2 cos (x – 135°) =

−

Misal u = x2 + 1, v =

b = 2 > 0 maka tan α di kuadran II sehingga α = 135° –2 cos x + 2 sin x =

f′(x) =

= cos 120°

w = sin z. u′ = 2x

.

Dari fungsi –2 cos x + 2 sin x diperoleh a = –2 dan b = 2.

−

⇔ 2x = ± 120° + k · 360° Mencari penyelesaian 2x = 120° + k · 360°. 2x = 120° + k · 350° ⇔ x = 60° + k · 180° ⇔ x = 60°, 240°, . . . Mencari penyelesaian 2x = –120° + k · 360°. 2x = –120° + k · 360° ⇔ x = –60° + k · 180° ⇔ x = –60°, 120°, 300°, . . . Oleh karena 0° ≤ x ≤ 180°, nilai x yang memenuhi 60° dan 120°.

f(x) = (x2 + 1)

f(x) + f′(x)=

k=

cos 2x = –

11. Jawaban: c

9. Jawaban: a

k=

= –2 cos 2x

f′′(x) = 1 ⇔ –2 cos 2x = 1

= cos p + (1 – p sin 2px) g′(x) = 0 + (1 – p sin 2px)

!′ !

f′′(x) =

12. Jawaban: d

− = ((x2 – 1) cos x) Misal u = (x2 – 1) cos x, v = x2 – 1, dan w = cos x

f(x) =

maka f(x) = u dan u = vw. ! !

= vw′ + wv′ = (x2 – 1)(–sin x) + cos x · 2x = (1 – x2) sin x + 2x cos x

f′(x) =

! !

= u

−

·

! !

· ((1 – x2) sin x + 2x cos x)

= ((x2 – 1) cos x)

−

((1 – x2) sin x + 2x cos x)


101

= 4(x2 – sin (2x2 + 1))3 · 2x(1 + 2 cos (2x2 + 1)) = 8x(1 + 2 cos (2x2 + 1))(x2 – sin (2x2 + 1))3 Jadi, y′ = 8x(1 + 2 cos (2x2 + 1))(x2 – sin (2x2 + 1))3.

− +

=

−

− +

=

− − +

15. Jawaban: b f(x) = ax + b cotan x f′(x) = a + b(–cosec2 x) = a – b cosec2 x

Jadi, f′(x) =

−

.

13. Jawaban: a y = cos3 x sin5 x = cos3 x sin3 x sin2 x = sin2 x sin3 x cos3 x

π

f′( ) = –7

=

sin2 x sin 2x

Misal u =

⇔

w2.

v′ = 2 cos 2x ! !

! !# · !# ! · 2w · (cos x)

· 2 sin x cos x

sin 2x

= = = =

a–

sin2 x, v = sin 2x, dan w = sin x maka

y = uv dan u = u′ =

\

⇔ a–

= sin2 x · (2 sin x cos x)3

⇔ ⇔

a – 4b = –7 a = 4b – 7

=7

π

= sin2 2x + sin2 x – sin4 x

\

a–

a–

π

\

=2 =2

⇔ a–b=2 ⇔ 4b – 7 – b = 2 ⇔ 3b = 9 ⇔ b=3 Diperoleh a = 4b – 7 = 4 · 3 – 7 = 5. Nilai a – b = 5 – 3 = 2. Jadi, nilai a – b = 2.

= sin2 2x + sin2 x (1 – 2 sin2 x)

\

= –7

a–

⇔

\

= –7

⇔

⇔

= sin 2x · sin 2x + sin2 x · 2 cos 2x

π

f′( ) = 2

y′ = vu′ + uv′

\

=a–

Jadi, y′ = sin2 2x + sin2 x – sin4 x. 14. Jawaban: b y = (x2 – sin (2x2 + 1))4 Misal u = x2 – sin (2x2 + 1), v = x2, w = sin (2x2 + 1), dan z = 2x2 + 1 maka y = u4, u = v – w, dan w = sin z. w′ =

! !^

·

!^ !

B.

Uraian

1. a.

f(x) = sin2 (3x2 – 1) cos (3x + 1) Misal u = sin2 (3x2 – 1), v = cos (3x + 1), w = sin (3x2 – 1), z = 3x2 – 1, dan p = 3x + 1 maka f(x) = uv, u = w2, v = cos p, dan w = sin z. u′ =

! !

= –cos z · 4x = –4x cos (2x2 + 1) ! !

y′ =

! !

=

! !

·

! !

= 4u3(2x + 4x cos (2x2 + 1))

102


! !#

·

!# !^

·

!^ !

= 2w · cos z · 6x = 6x · 2 sin (3x2 – 1) cos (3x2 – 1) = 6x sin 2 (3x2 – 1) = 6x sin (6x2 – 2)

= v′ – w′ = 2x – (–4x cos (2x2 + 1)) = 2x + 4x cos (2x2 + 1)

=

v′ =

! !

=

!" ![

·

![ !

= –sin p · 3 = –3 sin (3x + 1)

f′(x) = vu′ + uv′ = cos (3x + 1) · 6x sin (6x2 – 2) + sin2 (3x2 – 1)(–3 sin (3x + 1) = 6x cos (3x + 1) sin (6x2 – 2) – 3 sin2 (3x2 – 1) sin (3x + 1) Jadi, f′(x) = 6x cos (3x + 1) sin (6x2 – 2) – 3 sin2 (3x2 – 1) sin (3x + 1) b.

+ = (sin2 x + cos x) Misal u = sin2 x + cos x, v = sin2 x, w = cos x,

dan z = sin x maka g(x) = u , u = v + w, dan v = z2. ! !

= v′ + w′ = =

!" ! !" !^

+ ·

=

= u

−

= = =

−

+

+ + + +

+ +

+

+

+

+

π

(sin 2x – sin x)

− +

π

⇔

cos = 0

⇔

cos = cos

(i)

− +

.

(i)

Misal u = tan − , v = − , dan w = (1 – x2) maka h(x) = u2, u = tan v, dan

# = w .

=

! !

·

! !"

·

!" !#

·

−

= 2u · sec2 v · w = –2x tan · (1 – x2)

π

= – + k · 2π

π

π

= + k · 2π

⇔ x =1+k·4 = 1, 5 Oleh karena 0 ≤ x ≤ 4 dan x1 > x2 maka x1 = 3 dan x2 = 1. Jadi, nilai x12 + x2 = 10.

· (–2x)

− · sec2

π

π

Nilai x12 + x2 = 32 + 1 = 10.

!# !

π

⇔ x = –1 + k · 4 = –1, 3, 7

h(x) = tan2 −

! !

π

h′(x) =

   + 

⇔ 0 – 2 · cos = 0

−

Jadi, g′(x) =

v=

+ +

3. f′(x) = 0

· (sin 2x – sin x)

+

c.

"′ "′ "

= 1 + y2 (terbukti)

=

.

! !

= (sin2 x + cos x) =

− −

u = sin x – cos x ⇒ u′ = cos x + sin x v = sin x + cos x ⇒ v′ = cos x – sin x

=

− −

y′ =

·

− −

2. y = " dengan:

!# ! !^ !# + ! !

! ! ! !

− −

Jadi, h′(x) =

= 2z · cos x + (–sin x) = 2 sin x cos x – sin x = sin 2x – sin x g′(x) =

− ⋅ −

=

g(x) =

− −

=

−

4. f(x) = (a – 1) tan x + (b – 2)x f′(x) = (a – 1) sec2 x + (b – 2) =

−

+ (b – 2)

−


103

π

Oleh karena 0 < b < 4 maka b = 2 sehingga

−

f′( ) = 9 ⇒

+b–2=9

π

−

⇔

   

⇔ ⇔

π

−

−

⇔

 



−

⇔

maka f′(x) = . . . (i)

+b–2=3

π

=

Misal a = 4 sin 2x, b = cos3 2x, dan c = cos 2x

+ b = 11

4(a – 1) + b = 11 4a + b = 15

f′( ) = 3 ⇒

⋅

f′(x) =

+b=5

b′ =

!\ !

dan b = c3. !\ !

=

·

! !

= 3c2 · (–2 sin 2x) = –6 cos2 2x sin 2x a′ = 4 · 2 cos 2x = 8 cos 2x f′′(x) =

+b=5 =

⇔ 2(a – 1) + b = 5 ⇔ 2a + b = 7 . . . (ii) Eliminasi b dari persamaan (i) dan (ii): 4a + b = 15 2a + b = 7 –––––––––– – 2a = 8 ⇔ a=4 Substitusi a = 4 ke persamaan (ii) diperoleh: 2 · 4 + b = 7 ⇔ b = –1. Nilai a + b = 4 + (–1) = 3.

\

! ′ ! \′ − \′ \

=

⋅ − ⋅ −

=

+

π

f′′( ) = =

π + π π

− + ⋅

−

= =8 π

Jadi, nilai f′′( ) = 8.

5. f(x) = tan2 bx Misal u = tan bx maka f(x) = u2 f′(x) =

! !

=

! !

·

! !

= 2u · b sec2 bx = 2b tan bx sec2 bx = =

\ \ \

\ \ \

·

\

π

f′( ) = 0 \π

\π

=0

sin

\π

=0

⇔

sin

\π

= sin π

a.

\π

⇔

\

⇔

= π + k · 2π

⇔ b=2+k·4 = –2, 2, 6, . . . b.

\π

= π – π + k · 2π

⇔ b=k·4 = –4, 0, 4

104


A. Pilihan ganda 1. Jawaban: c f′(x) = 2(x2 + 2) · 2x = 4x(x2 + 2) Gradien garis singgung di titik (1, 9): m = f′(1) = 4 · 1 (12 + 2) = 12 Persamaan garis singgung di titik (1, 9) dengan gradien 12: y – 9 = 12(x – 1) ⇔ y = 12x – 12 + 9 = 12x – 3 Garis memotong sumbu Y jika x = 0 sehingga diperoleh y = 12 · 0 – 3 = –3. Jadi, garis y = 12x – 3 memotong sumbu Y di titik (0, –3). 2. Jawaban: e Kurva f(x) = x3 – x2 – 2x memotong sumbu X jika f(x) = 0. f(x) = 0 ⇔ x3 – x2 – 2x = 0 ⇔ x(x2 – x – 2) = 0 ⇔ x(x – 2)(x + 1) = 0

⇔ x = 0 atau x – 2 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = 0 atau x = 2 atau x = –1 Kurva memotong sumbu X positif di titik A, maka absis titik A positif sehingga xA = 2. Gradien garis singgung kurva di titik A adalah m = f′(xA). f′(x) = 3x2 – 2x – 2 f′(xA) = f′(2) = 3 · 22 – 2 · 2 – 2 = 12 – 4 – 2 =6 Jadi, gradien garis singgung kurva di titik A adalah 6. 3. Jawaban: a Misal y = f(x) = x3 – 7x + 6 Gradien garis singgung kurva di titik T adalah m = f′(xT) = 5. f′(x) = 3x2 – 7 m = f′(xT) = 3xT2 – 7 ⇔ 5 = 3xT2 – 7 ⇔ 3xT2 = 12 ⇔ xT2 = 4 ⇔ xT = ± 2 Untuk xT = 2, nilai yT = f(2) = 23 – 7 · 2 + 6 = 0. Diperoleh koordinat titik T (2, 0). Untuk xT = –2, nilai yT = f(–2) = (–2)3 – 7(–2) + 6 = 12 Diperoleh koordinat titik T(–2, 12). Jadi, koordinat titik T(2, 0) atau T(–2, 12). 4. Jawaban: c Ordinat titik P: b = f(4) = 6 = 12 Koordinat titik P(4, 12). Gradien garis A di titik P(4, 12) adalah mA = f′(4). f′(x) = 6 ·

mA = f′(4) =

x

−

= =

Misal gradien garis g adalah mg. Garis g tegak lurus garis A maka mg · mA = –1. mg · mA = –1 ⇔ mg ·

⇔ mg = –

= –1

Garis g melalui titik P(4, 12) dan bergradien

mg = – .

Persamaan garis g: y – yP = mg(x – xP) ⇔

y – 12 = – (x – 4)

⇔ 3y – 36 = –2x + 8 ⇔ 3y + 2x = 44 Jadi, persamaan garis g adalah 3y + 2x = 44. 5. Jawaban: b y = ax2 + b y′ = 2ax Gradien garis singgung di titik (1, 2) adalah 20 maka y′(1) = 20. 2a(1) = 20 ⇔ a = 10 Persamaan kurva menjadi: y = 10x2 + b. Kurva melalui titik (1, 2) maka y(1) = 2. 2 = 10 · 12 + b ⇔ b = –8 Jadi, nilai a = 10 dan b = –8. 6. Jawaban: e Kurva f(x) memotong sumbu Y di titik (0, b). y′ = 3x2 – 2x + a Garis y = 17x – 41 mempunyai gradien m = 17. Gradien garis singgung: m = f′(3) ⇔ 17 = 3 · 32 – 2 · 3 + a ⇔ a = –4 Persamaan kurva menjadi: f(x) = x3 – x2 – 4x + b. Kurva memotong sumbu Y di titik (0, b). Ordinat titik singgung: y = 17 · 3 – 41 = 10. Titik singgung kurva dan garis adalah (3, 10) maka f(3) = 10. 33 – 32 – 4 · 3 + b = 10 ⇔ b = 4. Jadi, kurva memotong sumbu Y di titik (0, 4). 7. Jawaban: e Garis normal pada kurva y = x2 + 4x – 8 di titik T(2, 4) tegak lurus garis singgung kurva di titik T(2, 4). Misal gradien garis normal = mn dan gradien garis singgung = ms. y′ = 2x + 4 ms = y′(xT) = y′(2) =2·2+4=8 Oleh karena garis normal tegak lurus garis singgung maka mn · ms = –1. mn · ms = –1 ⇔ mn · 8 = –1 ⇔

mn = –


105

Garis normal melalui titik T(2, 4) dan bergradien mn =

–

.

Persamaan garis normal: y – yT = mn(x – xT)

⇔

y – 4 = – (x – 2)

⇔ 8y – 32 = –x + 2 ⇔ 8y + x = 34 Garis memotong sumbu X jika y = 0. y = 0 ⇔ 8 · 0 + x = 34 ⇔ x = 34 Jadi, garis normal kurva di titik T(2, 4) memotong sumbu X di titik (34, 0).

Menentukan nilai ekstrim menggunakan uji turunan kedua. f′′(x) = 2x + 1 f′′(–3) = 2(–3) + 1 = –5 < 0 f′′(2) = 2 · 2 + 1 = 5 > 0 Oleh karena f′′(–3) < 0 maka kurva f(x) mencapai maksimum di x = –3. Nilai maksimum = f(–3)

= –9 + + 22

= 17

Jadi, nilai maksimum kurva f(x) =

Kurva f(x) = + + naik jika f′(x) > 0. Misal u = x2 dan v = x2 + x + 1 maka f(x) =

"

.

f′(x) > 0 ⇔

"′ − "′ "

>0

⇔

+ + ⋅ − + + +

>0

⇔

+ + − −

+ +

>0

⇔

+ + +

>0

Oleh karena (x2 + x + 1)2 selalu bernilai positif dan > 0 maka

(x2 V

V

––– V –2

10. Jawaban: a Fungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0. f′(x) = 0 ⇔ – sin x + cos x = 0 ⇔ sin x = cos x ⇔ tan x = 1 = tan 45° ⇔ x = 45° + k · 180° ⇔ = 45°, 225° Untuk x = 0° ⇒ f(0) = cos 0° + sin 0° = 1 Untuk x = 45° ⇒ f(45°) = cos 45° + sin 45°

= +

= (maksimum) Untuk x = 225° ⇒ f(225°) = cos 225° + sin 225°

0

9. Jawaban: b

= – (minimum) Untuk x = 270° ⇒ f(270°) = cos 270° + sin 270° = 0 – 1 = –1 Jadi, nilai minimum fungsi adalah – . 11. Jawaban: d f′(x) = 2bx – (b + 2)

x3

x2

+

+

– 6x + 4 mencapai

·

3x2

f(x) mempunyai nilai tertinggi di x = maka

f′( ) = 0 ⇔ 2b · – (b + 2) = 0

stasioner jika f′(x) = 0. · 2x – 6 = 0

⇔ x2 + x – 6 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 2) = 0 ⇔ x + 3 = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = –3 atau x=2

106

=– –

Jadi, kurva f(x) = + + naik pada interval x < –2 atau x > 0.

f′(x) = 0 ⇔

+ x2 – 6x + 4 adalah 17 .

+++

Dari diagram di atas tampak bahwa kurva f(x) naik pada interval x < –2 atau x > 0.

Kurva f(x) =

3 x

+ 2x) > 0.

x2 + 2x > 0 ⇔ x(x + 2) > 0 +++

= (–27) + · 9 + 18 + 4

8. Jawaban: d

+

+ +

= (–3)3 + (–3)2 – 6(–3)) + 4


⇔ ⇔

b – b – 2= 0

– b

=2

⇔ b = –4 Diperoleh f′(x) = 2(–2)x – (–4 + 2) = –8x + 2

Sketsa grafik f′(x):

Dari sketsa grafik f′(x) di atas tampak bahwa fungsi u mencapai minimum di x = 14. Jadi, keuntungan minimum akan diperoleh jika diproduksi 14 unit barang per minggu.

V

+ + +

– – – V

15. Jawaban: e x

x (5 – 2x)

13. Jawaban: e Fungsi f(x) monoton turun maka f′(x) tidak positif (definit negatif). Grafik definit negatif di bawah sumbu X. Fungsi f(x) stasioner untuk x = 6 maka f′(6) = 0 (menyinggung sumbu X). Jadi, grafik yang benar pilihan e. 14. Jawaban: a Keuntungan: U = penjualan – biaya produksi = (2x3 – 36x2 + 600x + 9.600) – (36x2 – 240x + 3.600) = 2x3 – 72x2 + 840x + 6.000 Fungsi U mencapai stasioner jika !` !

=0 ⇔

6x2

= 0.

⇔ – 24x + 140 = 0 ⇔ (x – 10)(x – 14) = 0 ⇔ (x – 10) = 0 atau (x – 14) = 0 ⇔ x = 10 atau x = 14 Sketsa grafik f′(x): V

V +++

––– V

– 10

––

(5 – 2x) x

x x

x

Volume kotak: V = x (5 – 2x)(8 –2x) = x (40 – 26x + 4x2) = 4x3 – 26x2 + 40x !%

Fungsi V mencapai stasioner ! = 0. ⇒ 12x2 – 52x + 40 = 0 ⇒ 4(3x2 – 13x + 10) = 0 ⇒ (3x – 10)(x – 1) = 0 ⇒ 3x – 10 = 0 atau x – 1 = 0

⇒

x = atau x V

V

+++

––– V

+++

1

Nilai maksimum terjadi di x = 1. Diperoleh ukuran kotak: Panjang = 8 – 2x = 8 – 2 · 1 = 6 dm Lebar = 5 – 2x = 5 – 2 · 1= 3 dm Tinggi = x = 1 dm 16. Jawaban: b Keuntungan: U = penjualan – biaya produksi = (40x – x(4x2 – 8x + 24)) ribu = (40x – 4x3 + 8x2 – 24x) ribu = (–4x3 + 8x2 + 16x) ribu Fungsi U mencapai stasioner jika ! = 0. !` !

=0 ⇔ –12x2 + 16x + 16 ⇔ 3x2 – 4x – 4 ⇔ (3x + 2)(x – 2) ⇔ 3x + 2 = 0 atau x – 2

⇔ x = – atau Sketsa grafik f′(x):

=0 =0 =0 =0

x=2

V

––– V

+++

14

=1

!`

!` !

– 144x + 840 = 0

x2

(8 – 2x)

12. Jawaban: b Kurva f(x) = ax2 + bx + 12 mempunyai titik balik (– 2, 4) maka kurva f(x) melalui titik (–2, 4) dan f′(–2) = 0. Kurva f(x) melalui titik (–2, 4) maka f(–2) = 4 ⇔ a(–2)2 + b(–2) + 12 = 4 ⇔ 4a – 2b = –8 ⇔ 2a – b = –4 ⇔ b = 2a + 4 f′(x) = 2ax + b f′(–2) = 0 ⇔ 2a(–2) + b = 0 ⇔ –4a + 2a + 4 = 0 ⇔ –2a = –4 ⇔ a=2 Diperoleh b = 2a + 4 = 2 · 2 + 4 = 8. Nilai a + b = 2 + 8 = 10. Jadi, nilai a + b = 10.

x 2x )

f(x) naik pada x < dan f(x) turun pada x > . Jadi, pernyataan yang benar (2) dan (4).

–

x

x

(8

Dari sketsa grafik f′(x) tampak bahwa:

–

––– V

2


107

Dari sketsa grafik f′(x) di atas tampak bahwa fungsi u mencapai maksimum di x = 2. Keuntungan maksimum = U(2) = (–4 · 23 + 8 · 22 + 16 · 2) ribu = (–32 + 32 + 32) ribu = 32.000 Jadi, keuntungan maksimum perusahaan Rp32.000,00. 17. Jawaban: e Misal lebar alas balok = x maka panjang alas = 3x. Tinggi balok = t.

t

Panjang kawat minimum = P(14)

q

= 13 · 14 +

= 182 + 182 = 364 cm Jadi, panjang kawat minimum yang diperoleh untuk membuat kerangka balok 364 cm. 18. Jawaban: b Kecepatan mobil = v(t) ! ! · 4t3

v(t) = =

– 15 · 3t2 + 300 · 2t – 1.000

= t3 – 45t2 + 600t – 1.000 3x

!"

Fungsi v(t) mencapai stasioner jika !

x

Luas permukaan balok = 5.096 cm2 ⇔ 2 · x · 3x + 2xt + 2 · 3x · t = 5.096 ⇔ 6x2 + 2xt + 6xt = 5.096 ⇔ 6x2 + 8xt = 5.096 ⇔ 3x2 + 4xt = 2.548 ⇔ 4xt = 2.548 – 3x2

⇔

= 16x + = 13x +

q

q

– 3x

!{

= 0 ⇔ 13 –

q

=0

q

⇔

13 =

⇔ ⇔

x2 = 196 x = ± 14 !{

V

V

––– V –14

!" !

Sketsa grafik V

+++

:

––– V 10

+++

20 minimum

Dari sketsa grafik v′(t) di atas tampak bahwa fungsi v(t) mencapai minimum di t = 20. Kecepatan minimum: = v(20) = 203 – 45 · 202 + 600 · 20 – 1.000 = 8.000 – 18.000 + 12.000 – 1.000 = 1.000 m/menit =

q ⋅ − |

}

= 60 km/jam Jadi, kecepatan minimum mobil 60 km/jam.

+++

− −

→∞

−

=

− −

→∞

14

−

minimum

!{

Dari sketsa grafik ! tampak bahwa fungsi P mencapai minimum di x = 14.

=


−

→∞

=

108

V

19. Jawaban: d

Sketsa grafik ! : +++

⇔ 3t2 – 90t + 600 = 0 ⇔ 3(t2 – 30t + 200) = 0 ⇔ (t – 10)(t – 20) = 0 ⇔ t – 10 = 0 atau t – 20 = 0 ⇔ t = 10 atau t = 20

– )

Fungsi P mencapai stasioner jika ! = 0. !{ !

= 0.

=0

t= – Panjang kawat minimum = panjang seluruh rusuk balok. Misal panjang kawat = P P = 4(x + 3x + t) = 4(4x +

!" !

−

∞

−

=

−

=

⋅

20. Jawaban: c

→

Jadi, persamaan garis singgung kurva di titik A(–2, 23) adalah y + 10x = 3.

− − + −

2. a.

=

− − ⋅ − − ⋅

+

=

⋅ − −

+

=

−

+

→

→

→

=

⋅

+

=

⋅

f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 11 Fungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0. f′(x) = 0 ⇔ 6x2 – 6x – 12 = 0 ⇔ x2 – x – 2 = 0 ⇔ (x – 2)\(x + 1) = 0 ⇔ x – 2 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = 2 atau x = –1 Sketsa grafik f′(x): V

V

=0

+++

––– V

–1 maksimum

B. Uraian 1. Misal gradien garis singgung kurva di titik A adalah mg. Persamaan garis normal: 10y – x = 212 ⇔ 10y = x + 212 ⇔

y = x + 21,2

Gradien garis normal: mn = . Oleh karena garis singgung kurva tegak lurus garis normal maka mg · mn = –1. mg · mn = –1

⇔ mg · = –1 ⇔ mg = –10 f′(x) = 2x – 6 Gradien garis singgung = f′(xA) ⇔ mg = f′(xA) ⇔ –10 = 2xA – 6 ⇔ 2xA = –4 ⇔ xA = –2 Ordinat titik A: yA = f(xA) = f(–2) = (–2)2 – 6(–2) + 7 = 4 + 12 + 7 = 23 Garis singgung melalui titik A(–2, 23) dan bergradien mg = –10. Persamaan garis singgung kurva di titik A(–2, 23): y – yA = mg(x – xA) ⇔ y – 23 = –10(x – (–2)) ⇔ y – 23 = –10(x + 2) ⇔ y – 23 = –10x – 20 ⇔ y + 10x = 3

b.

+++

2 minimum

Dari sketsa grafik f′(x) di atas tampak bahwa fungsi f(x) mencapai maksimum di x = –1 dan mencapai minimum di x = 2. Nilai maksimum = f(–1) = 2(–1)3 – 3(–1)2 – 12(–1) + 11 = –2 – 3 + 12 + 11 = 18 Diperoleh titik balik maksimum (–1, 18). Nilai minimum = f(2) = 2 · 23 – 3 · 22 – 12 · 2 + 11 = 16 – 12 – 24 + 11 = –9 Diperoleh titik balik minimum (2, –9). Jadi, titik-titik stasioner fungsi f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 11 adalah titik balik maksimum (–1, 18) dan titik balik minimum (2, –9). Garis normal selalu tegak lurus garis singgung kurva. Garis singgung kurva di titik stasioner sejajar sumbu X karena gradiennya nol. Oleh karena sumbu X tegak lurus sumbu Y maka garis normal di titik stasioner sejajar sumbu Y. Dengan demikian, persamaan garis normal di titik (–1, 18) adalah x = –1 dan persamaan garis normal di titik (2, –9) adalah x = 2. Jadi, persamaan garis normal kurva f(x) di titik stasionernya adalah x = –1 dan x = 2.

3. AB = 20 cm AD = (30 – x) cm BC = 24 cm EC = (24 – y) cm a. Perhatikan ∆ADF dan ∆FEC sebangun. I' @*

⇔

'@

= *? −

= −


109

⇔ ⇔ ⇔

(30 – x)(24 – y) = xy 720 – 24x – 30y + xy = xy 30y = 720 – 24x

⇔

y = 24 – x

⇔

y = 24 – x

5. a.

Menentukan titik potong grafik dengan sumbu koordinat. Kurva memotong sumbu X jika y = 0. y=0 ⇔ x3 – 2x2 + x = 0 ⇔ x(x2 – 2x + 1) = 0 ⇔ x(x – 1)2 = 0 ⇔ x = 0 atau x – 1 = 0 ⇔ x = 0 atau x=1 Kurva memotong sumbu x di titik (0, 0) dan (1, 0). Kurva memotong sumbu Y jika x = 0. x = 0 ⇔ y = 03 – 2 · 02 – 0 = 0. Kurva memotong sumbu Y di titik (0, 0).

b.

Menentukan titik stasioner dan jenisnya serta interval fungsi naik dan fungsi turun. Kurva mencapai stasioner jika f′(x) = 0. f′(x) = 0 ⇔ 3x2 – 4x + 1 = 0 ⇔ (3x – 1)(x – 1) = 0 ⇔ 3x – 1 = 0 atau x – 1 = 0

Luas BEFD: A = xy = x(24 – x)

= 24x – x2 Jadi, terbukti bahwa luas BEFD adalah

A = 24x – x2. b.

!I

Fungsi A mencapai stasioner jika ! = 0. !I !

= 0 ⇔ 24 –

· 2x = 0

⇔ ⇔

x = 24 x = 15

Diperoleh y = 24 –

· 15 = 24 – 12 = 12.

4. a.

b.

∆

=

⋅ − ⋅ −

⋅

turun pada interval < x < 1, fungsi mencapai

maksimum di x = , dan fungsi mencapai minimum di x = 1. Menentukan koordinat titik balik.

Untuk x = , nilai y = ( )3 – 2( )2 + = .

Diperoleh titik balik maksimum ( , ). Untuk x = 1, nilai y = 13 – 2 · 12 + 1 = 0. Diperoleh titik balik minimum (0, 0).

N′(t) = t2 – t N′(15) =

1 minimum

naik pada interval x < dan x > 1, fungsi

= 78 orang/hari Laju penyebaran demam berdarah pada hari ke-15 = N′(15).

+++

Dari sketsa grafik di atas tampak bahwa fungsi

=

· 152 –

c.

· 15

= 81 – 6 = 75 orang/hari Jadi, laju penyebaran demam berdarah pada hari ke-15 adalah 75 orang/hari.

110

maksimum

− − −

−

=

c.

−

−

=

––– V

⋅ −

x=1 V

V

+++

= N(5) = · 53 – · 52 = 15 – 5 = 10 orang Laju rata-rata penyebaran demam berdarah dalam waktu 10 sampai 20 hari. = ∆ =

x = atau

Sketsa grafik:

Jumlah orang yang diperkirakan akan terjangkit demam berdarah setelah 5 hari

⇔

Jadi, nilai x = 15 dan nilai y = 12 agar luas BEFD maksimum.


Menentukan nilai fungsi pada ujung-ujung interval. Untuk x = –1, nilai y = (–1)3 – 2(–1)2 – 1 = –1 – 2 – 1 = –4 Diperoleh koordinat titik ujung (–1, –4). Untuk x = 2, nilai y = 23 – 2 · 22 + 2 =8–8+2 =2

Diperoleh koordinat titik ujung (2, 2). Sketsa grafik: Y

2

=±

+

g′(x) = ± ( )

–1

2

1

X

+

−

·

=±

g′( ) = ±

+

=±

+

+

=±

=±

⋅

= ±

Jadi, nilai g′( ) = atau g′( ) = – . 3. Jawaban: c

–4

+ − ⋅ +

+ − +

+

f′(x) = = =

A.

Pilihan ganda

1.

Jawaban: d f′(x) = 3x2 + 6x f′(x – 1) > 9 ⇔ 3(x – 1)2 + 6(x – 1) > 9 2 ⇔ 3(x – 2x + 1) + 6x – 6 > 9 ⇔ 3x2 – 6x + 3 + 6x – 6 – 9 > 0 ⇔ 3x2 – 12 > 0 ⇔ 3(x2 – 4) > 0 ⇔ (x – 2)(x + 2) > 0

Jadi, nilai x yang memenuhi x < –2 atau x > 2. 2. Jawaban: a h(x) = 3x2 + 12x + 7 = 3x2 + 12x + 12 – 5 = 3(x2 + 4x + 4) – 5 = 3(x + 2)2 – 5 Misal y = h(x) y = 3(x + 2)2 – 5 ⇔ y + 5 = 3(x + 2)2 ⇔

+

= (x + 2)2

⇔ ±

+

=x+2

⇔

+

g(x) = h–1(x) = ± ( ) –2

x=±

⋅ +

⇔

=

+

⇔ 1 + x2= 2x 2 ⇔ x2 – 1= 0 ⇔ (x – 1)(x + 1) = 0 ⇔ x = 1 atau x = –1 Jadi, nilai x yang memenuhi adalah –1 atau 1. 4. Jawaban: c g(x) = (x2 – 4x)6 Misal u = x2 – 4x maka g(x) = u6. g′(x) =

′

=

! !

=

! !

!

· ! = 6u5(2x – 4) = 6(x2 – 4x)5 · 2(x – 2) = 12(x – 2)(x2 – 4x)5

− − −

= = = =

Jadi,

+

Diperoleh h–1(x) = ±

f′(1) = f(x)

–2

+

–2

′

=

+

− − − − − − + +

.

5. Jawaban: b Luas permukaan benda: L = 6s2 ⇒ 24 = 6s2 ⇔ s2 = 4 ⇔ s = 2 mm Volume benda: V = s3


111

Laju pertambahan volume benda: !% !

!%

! !

!

⇔ 36 = 3s2 · ! ! !

⇔

=

= ! !

⋅

=

= 3 mm/menit.

Jadi, laju bertambah panjangnya rusuk benda pada saat s = 2 adalah 3 mm/menit. 6. Jawaban: d Laju pengurangan jari-jari balon

f′(x) =

!$

Volume balon: V = πr3 Laju perubahan pengurangan volume balon !%

=

= –0,2π ·

62

· (–0,05)

= –7,2π

cm3/detik

7. Jawaban: c

! !

=

! !

= –2cos 2x

! !

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

!

!

+ 4y = 2 ! –2 cos 2x + 4 cos2x= –2 sin 2x 2 –2 (cos x – sin2 x) + 4 cos2 x = –2 sin 2x 2 cos 2 x + 2 sin2 x = –2 sin 2x 2 (cos2 x + sin2 x) = –2 sin 2x sin 2x =

–1

=

π

(i)

2x = + k · 2π ⇔

π

π

π

⇔

π

x=– +k·π π

+ – 2.

π

x= +k·π= , 2x = π – + k · 2π

(ii)

π

= ,

!

π

= ! · !

Oleh karena 0 ≤ x ≤ π maka x = .

= (2 – 3t2) · +

10. Jawaban: d

=

− + −

+

f(x) = sin2 +

=

− + − + +

+

Misal u = sin + , v =

= − − + +

+

112

= –2cos x sin x = –sin 2x

t = ± + – 2

Oleh karena t > 0 maka t = ! !

! !

π

⇔ ± + = t + 2 ⇔

sin

+

x = t2 + 4t + 1 x = t2 + 4t + 4 – 3 x = (t + 2)2 – 3 x + 3 = (t + 2)2

⇔ ⇔ ⇔

− + − −

+

⇔

= 2 – 3t2 = 2t + 4 ⇔

=

9. Jawaban: c

Tanda minus pada –7,2π cm3/detik menunjukkan volume balon berkurang. Jadi, laju perubahan pengurangan volume balon pada saat r = 6 cm adalah 7,2π cm3/detk. ! ! ! !

+ − − − − − + +

= –1 – (f(x))2

= –0,2πr2 Laju perubahan pengurangan volume balon pada saat r = 6 cm: !% !

=

 − 

!$

π·

"′ − "′ "

= –1 –  + 

= ! = !$ · !

3r2

+ − ⋅ −

⋅ + ⋅ −

= =

8. Jawaban: b Misalkan u = cos x – sin x dan v = cos x + sin x u′ = –sin x – cos x v′ = –sin x + cos x

= ! = –0,05 cm/detik

=

Untuk s = 2 maka

!%

+ − −

+

=

!

= ! · !


+ , dan w = 2x 2 + 1 maka f(x) = u 2, u = sin v, dan

v=

# = w .

13. Jawaban: d Persamaan garis normal di titik P(xP, yP): 6y + x = 25 ⇔ 6y = –x + 25

!

f(x) = !

!

!

!"

!#

= ! · !" · !# · !

= 2u · cos v ·

w

−

⇔

· 4x

= =

−

+ ⋅

+

+

+

+

11. Jawaban: d π

g(x + ) = f(x) − ′

= sin x − = sin x = sin2 x π

π

Misalkan t = x + maka x = t – sehingga diperoleh: π

g(t) = sin2 (t – ) π

g′(t) = 2 sin (t – ) cos (t – ) π

= sin 2 (t – ) π

= sin (2t – )

π

π

π

g′( ) = sin ( – ) π

Gradien garis normal: mn = – . Misal gradien garis singgung kurva titik P adalah m, maka mn · m = –1.

+

π

= 2 sin + cos + · 2x(2x2 + 1) =

y = –x +

= sin =

12. Jawaban: c f′(x) = 2ax – (a + 1) Gradien garis y = 2x + 3 adalah m = 2. Gradien kurva di titik (1, q): m = f′(1) ⇔ 2 = 2a · 1 – (a + 1) ⇔ a=3 Persamaan kurva menjadi: f(x) = 3x2 – (3 + 1) x + 6 = 3x2 – 4x + 6 Titik singgung kurva (1, q) maka f(1) = q. f(1) = 3 · 12 – 4 · 1 + 6 =5 Jadi, nilai q = 5.

mn · m = –1 ⇔ – · m = –1 ⇔ m=6 f′(x) = –6x2 + 12x m = f′(xP) ⇔ 6 = –6xP2 + 12xP 2 ⇔ 6xP – 12xP + 6 = 0 ⇔ xP2 – 2xP + 1 = 0 ⇔ (xP – 1)2 = 0 ⇔ xP – 1 = 0 ⇔ xP = 1 Ordinat titik P: yP = f(xP) = f(1) = –2 · 13 + 6 · 12 = –2 + 6 = 4 Jadi, koordinat titik P(1, 4). 14. Jawaban: c f′(x) = 2ax + b Gradien garis singgung kurva di x = 2 adalah –1 maka f′(2) = –1. f′(2) = –1 ⇔ 2a · 2 + b = –1 ⇔ 4a + b = –1 ⇔ b = –1 – 4a Gradien garis singgung kurva di x = 1 adalah 3 maka f′(1) = 3. f′(1) = 3 ⇔ 2a · 1 + b = 3 ⇔ 2a + b = 3 ⇔ 2a + (–1 – 4a) = 3 ⇔ –2a = 4 ⇔ a = –2 Diperoleh b = –1 – 4(–2) = –1 + 8 = 7. Nilai a + b = –2 + 7 = 5. Jadi, nilai a + b = 5. 15. Jawaban: b Persamaan garis g yang melalui titik (–2, –1) dengan gradien m: y + 1 = m (x + 2) ⇔ y = mx + 2m – 1 Substitusi y = mx + 2m – 1 ke persamaan kurva: mx + 2m – 1 = 2 . ⇔

mx – 2 + (2m – 1) = 0

⇔

m( )2 – 2 + (2m – 1) = 0


113

Persamaan kuadrat m( )2 – 2 + (2m – 1) = 0 mempunyai nilai a = m, b = –2, dan c = 2m – 1. Garis g menyinggung kurva maka D = 0. D=0 ⇔ b2 – 4ac = 0 2 ⇔ (–2) – 4m (2m – 1) = 0 ⇔ 4 – 8m2 + 4m = 0 ⇔ 2m2 – m – 1 = 0 ⇔ (2m + 1) (m – 1) = 0 ⇔ 2m + 1 = 0 atau m – 1 = 0 ⇔

m = – atau

m=1

Oleh karena m > 0 maka m = 1. Gradien garis g: m = y′ = f′(x) ⇔

1=

⇔ =1 ⇔ x=1 Diperoleh absis titik singgung: p = x = 1. Ordinat titik singgung: q = f(1) = 2 = 2. Nilai p – q = 1 – 2 = –1. 16. Jawaban: d f′(x) = 2x + 1 Garis A menyinggung parabola di x = –1 maka gradien garis A: m = f′(–1) = 2 · (–1) + 1 = –1 Oleh karena garis g ⊥ A, gradien garis A yaitu mA = 1. Garis A bergradien 1 dan melalui titik (0, 0) maka persamaan garis A adalah y = x. Titik Q pada garis A maka koordinat Q (–1, –1). Oleh karena Q(–1, –1) pada kurva maka f(–1) = –1. ⇒ (–1)2 + (–1) + 5 – 2p = –1 ⇔ 5 – 2p = –1 ⇔ 2p = 6 ⇔ p =3 17. Jawaban: d Garis g menyinggung kurva f(x) = 2x2 – 6x + 4 di titik B(1, 0) maka gradien garis g adalah mg = f′(1). f′(x) = 4x – 6 mg = f′(1) = 4 · 1 – 6 = –2 Misal gradien garis A = mA. Garis A tegak lurus garis g maka mA · mg = –1. mA · mg = –1 ⇔ mA · (–2) = –1 ⇔

114

mA =


Garis A melalui titik A(3, 1) dan bergradien mA = . Persamaan garis A: y – yA = mA(x – xA) ⇔

y – 1 = (x – 3) ⇔ 2y – 2 = x – 3 ⇔ x – 2y = 1 Jadi, persamaan garis A adalah x – 2y = 1. 18. Jawaban: c Kurva f(x) = –2x2 + 4x + 6 memotong sumbu X jika f(x) = 0. f(x) = 0 ⇔ –2x2 + 4x + 6 = 0 ⇔ –2(x2 – 2x – 3) = 0 ⇔ (x – 3)(x + 1) = 0 ⇔ x –3 = 0 atau x + 1 = 0 ⇔ x = 3 atau x = –1 Kurva f(x) memotong sumbu X di titik A(–1, 0) dan B(3, 0): f′(x) = –4x + 4 Gradien garis singgung di titik A(–1, 0): mA = f′(xA) = f′(–1) = –4(–1) + 4 = 8 Persamaan garis singgung kurva di titik A(–1, 0): y – yA = mA(x – xA) ⇔ y – 0 = 8(x – (–1)) ⇔ y = 8x + 8 Gradien garis singgung di titik B(3, 0): mB = f′(xB) = f′(3) = –4 · 3 + 4 = –8 Persamaan garis singgung kurva di titik B(3, 0): y – yB = mB(x – xB) ⇔ y – 0 = –8(x – 3) ⇔ y = –8x + 24 Mencari titik potong garis y = 8x + 8 dan y = –8x + 24. 8x + 8 = –8x + 24 ⇔ 16x = 16 ⇔ x=1 Nilai f(1) = –2 · 12 + 4 · 1 + 6 = –2 + 4 + 6 = 8 Diperoleh titik potong (1, 8). Jadi, garis singgung kurva di titik A dan B berpotongan di titik (1, 8). 19. Jawaban: a Garis x = 6 bergradien nol. Misal gradien garis singgung kurva = m. Oleh karena garis singgung kurva di x = 2 sejajar garis x = 6 maka m = f′(2) = 0. f′(x) = 3x2 – 2kx f′(2) = 0 ⇔ 3 · 22 – 2k · 2 = 0 ⇔ 12 – 4k = 0

⇔ 4k = 12 ⇔ k=3 Persamaan kurva menjadi f(x) = x3 – 3x2. Fungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0. f′(x) = 0 ⇔ 3x2 – 6x = 0 ⇔ 3x(x – 2) = 0 ⇔ 3x = 0 atau x – 2 = 0 ⇔ x = 0 atau x=2 Sketsa grafik f′(x): V

V +++

––– V

+++ 2

0

Dari sketsa grafik f′(x) di atas tampak bahwa f(x) mencapai minimum di x = 2. Nilai minimum = f(2) = 23 – 3 · 22 = 8 – 12 = –4 Jadi, nilai minimum fungsi f(x) adalah –4. 20. Jawaban: e Gradien garis singgung kurva f(x) bernilai positif maka f′(x) > 0. ⇔ 2x3 – 9x2 + 12x – 5 > 0 ⇔ (x – 1)(2x2 – 7x + 5) > 0 ⇔ (x – 1)(2x – 5)(x – 1) > 0 ⇔ (x – 1)2 = 0 atau 2x – 5 > 0 –––

–––

+++

⇔ x>

Jadi, garis singgung kurva bernilai positif pada in

terval x > . 21. Jawaban: c

f(x) turun hanya pada interval < x < 8, berarti

f(x) naik pada x < dan x > 8 dan f(x) stasioner

pada x = dan x = 8. f′(x) = 3x2 + 2ax + b

f(x) stasioner pada x = dan x = 8 maka:

22. Jawaban: d Fungsi y mencapai stasioner jika y′ = 0. y′ = 0 ⇔ 12x2 – 36x + 15 = 0 ⇔ 4x2 – 12x + 5 = 0 ⇔ (2x – 1)(2x – 5) = 0 ⇔ 2x – 1 = 0 atau 2x – 5 = 0

⇔

x = atau y′′ = 24x – 36

x =2

Untuk x = , nilai y′′ = 24 · – 36 = –24 < 0 (maksimum)

Untuk x = 2 , nilai y′′= 24 · 2 – 36 = 24 > 0 (minimum)

Jadi, fungsi y mencapai minimum untuk x = 2 .

1

Eliminasi a dari (i) dan (ii): 4a + 3b = –4 ×4 16a + 12b = –16 16a + b = –192 ×1 16a + b = –192 –––––––––––––– – 11b = 176 ⇔ b = 16 Substitusi b = 16 ke persamaan (i): 4a + 3 · 16 = –4 ⇒ 4a = –4 – 48 = –52 ⇔ a = –13 Jadi, a + b = –13 + 16 = 3.

f′( ) = 0 ⇔ 3 · + 2a · + b = 0 ⇔ 4 + 4a + 3b = 0 ⇔ 4a + 3b = –4 f′(8) = 0 ⇔ 3 · 64 + 2a · 8 + b = 0 ⇔ 192 + 16a + b = 0 ⇔ 16a + b = –192

23. Jawaban: d Fungsi f(x) = x 3 + px 2 – 9x – 7 mencapai maksimum di x = –3 maka f′(–3) = 0. f′(x) = 3x2 + 2px – 9 f′(–3) = 0 ⇔ 3(–3)2 + 2p(–3) – 9 = 0 ⇔ 27 – 6p – 9 = 0 ⇔ 6p = 18 ⇔ p=3 Diperoleh f′(x) = 3x2 + 2 · 3x – 9 = 3x2 + 6x – 9 Fungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0 3x2 + 6x – 9 = 0 ⇔ x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 1) = 0 ⇔ x + 3 = 0 atau x – 1 = 0 ⇔ x = –3 atau x=1 Sketsa grafik f′(x): V

. . . (i)

V

+++

––– –3

. . . (ii)

+++

V

1

Dari sketsa grafik f′(x) di atas tampak fungsi f(x) mencapai minimum di x = 1.


115

Nilai minimum = f(1) = 13 + 3 · 12 – 9 · 1 – 7 = –12 Jadi, nilai minimum fungsi f(x) adalah –12.

24. Jawaban: d Kurva f(x) = px2 + 4x + q mencapai maksimum di titik (1, 6) maka f′(1) = 0. f′(x) = 2px + 4 f′(1) = 0 ⇔ 2p · 1 + 4 = 0 ⇔ 2p = –4 ⇔ p = –2 Persamaan kurva menjadi f(x) = –2x2 + 4x + q. Kurva f(x) mencapai maksimum di titik (1, 6) maka f(1) = 6. f(1) = 6 ⇔ –2 · 12 + 4 · 1 + q = 6 ⇔ –2 + 4 + q = 6 ⇔ q=4 Nilai p + q = –2 + 4 = 2. Jadi, nilai p + q = 2. 25. Jawaban: c Fungsi f(x) =

+ − + +

mencapai stasioner jika

f′(x) = 0. Misal u = x2 + x – 3 dan v = x2 + x + 2 maka

f(x) = " . u′ = 2x + 1 dan v′ = 2x + 1 f′(x) = 0 "′ − "′ "

⇔

=0

⇔ vu′ – uv′ = 0 ⇔ (x2 + x + 2)(2x + 1) – (x2 + x – 3)(2x + 1) = 0 ⇔ (2x + 1)(x2 + x + 2 – x2 – x + 3) = 0 ⇔ (2x + 1)(5 – 2x) = 0 ⇔ 2x + 1 = 0 atau 5 – 2x = 0 ⇔

x=

–

atau

x=

Untuk x = –1 ≤ x ≤ 1.

tidak terdapat dalam interval

Untuk x = – , nilai f(– ) = = Untuk x = –1, nilai f(–1) =

− − −

−

−

−

+ −

116


q

– 60) juta rupiah

Biaya proyek selama x hari: B(x) = x (b(x) = x(3x + (3x2

=

q

– 60)

+ 1.200 – 60x) juta rupiah

Biaya proyek akan minimum jika

!& !

= 0.

⇔ 6x – 60 = 0 ⇔ 6x = 60 ⇔ x = 10 x = 10 artinya biaya proyek akan minimum jika dikerjakan selama 10 hari. Biaya minimum proyek = B(10) = 3 · 102 + 1.200 – 60 · 10 = 900 juta rupiah 27. Jawaban: c Luas permukaan dalam bak: L = 27 ⇔ x2 + 4xt = 27 ⇔ 4xt = 27 – x2 ⇔

−

t =

= x2 ·

t

x

Volume bak: V = x2t

x

−

= (27x – x3) !%

Fungsi V mencapai stasioner jika ! = 0. !% !

=0

⇔

(27 – 3x2) = 0

⇔ 9 – x2 = 0 ⇔ (3 – x)(3 + x) = 0 ⇔ x = 3 atau x = –3

–––

−

+++

V

–3

.

Untuk x = 1, nilai f(1) = + + = . Nilai maksimum fungsi f(x) pada interval –1 ≤ x ≤ 1 adalah – dan nilai minimumnya – .

b(x) = (3x +

V

−

−

26. Jawaban: c Biaya proyek per hari:

!%

= . =

–1 ≤ x ≤ 1 adalah – ≤ f(x) ≤ – .

Sketsa grafik ! :

+

− − − − − +

Dengan demikian, – ≤ f(x) ≤ – . Jadi, daerah hasil fungsi f(x) pada interval

––– V

3

Volume bak terbesar dicapai di x = 3. Luas alas bak agar volume bak terbesar: L = x2 = 32 = 9 m2

28. Jawaban: d Tinggi bola = 5 m ⇔ h(t) = 5 ⇔ –3t2 + 12t – 4 = 5 ⇔ –3t2 + 12t – 9 = 0 ⇔ t2 – 4t + 3 = 0 ⇔ (t – 3)(t – 1) = 0 ⇔ t – 3 = 0 atau t – 1 = 0 ⇔ t = 3 atau t=1 Persamaan kecepatan:

B. Uraian 1. Laju perubahan pertambahan jari-jari noda tinta !$ !

!I

29. Jawaban: c Penyelesaian menggunakan aturan L'Hopital:

→

+

=

→

−

−

=

→

+

–

− +

=

→

+

− +

=

=0

+

30. Jawaban: a

!I !

−

=

→

−

−

− − − →

=

− + ⋅ − − − − K − K →

= =

K + ⋅

=

→

− K

−

→

(

⋅ −

)

−

= = → → =

− →

=

= π · 12 = 4π mm2/detik Jadi, laju pertambahan luas noda tinta pada saat r = 12 mm adalh 4π mm2/detik. 2. Garis singgung kurva di titik P membentuk sudut 45° dengan sumbu X negatif maka gradien garis singgungnya: m = f′(xP) = tan (180° – 45°). ⇔ 2xP + 1 = tan 135° ⇔ 2xP + 1 = –1 ⇔ 2xP = –2 ⇔ xP = –1 Diperoleh absis titik P: xP = –1. Titik P pada kurva y = x2 + x + 4 maka ordinat titik P: yP = f(–1) = (–1)2 + (–1) + 4 = 4. Jadi, koordinat titik P(–1, 4). f¢(x) = 4x – 1 Gradien garis singgung di titik P:

K −

= 2πr · = πr Laju pertambahan luas noda tinta pada saat r = 12 mm:

3. a.

→

!$

!

− +

!I

= ! = !$ · !

v(t) = ! = –6t + 12 Untuk t = 3, nilai v(3) = –6 · 3 + 12 = –6 m/detik. Untuk t = 1, nilai v(1) = –6 · 1 + 12 = 6 m/detik. v(3) = –6 m/detik artinya kecepatan bola 6 m/detik ke bawah. Jadi, kecepatan bola pada saat tinggi bola 5 meter adalah 6 m/detik.

+

= mm/detik. Luas noda tinta: A = πr2 Laju pertambahan luas noda tinta

Ordinat titik Q: yQ = f(xQ) = f(0) = 2 · 02 – 0 + 3 = 3 Jadi, koordinat titik Q(0, 3).

−

m = f′(xP) = f′( ) = 4 · –1 = 1 Misal gradien garis singgung di titik Q adalah mQ maka m · mQ = –1. m · mQ = –1 ⇔ 1 · mQ = –1 ⇔ mQ = –1 ⇔ f′(xQ) = –1 ⇔ 4xQ – 1 = –1 ⇔ 4xQ = 0 ⇔ xQ = 0

–2 →

= –2 · 1 = –2


117

b.

4. a.

Persamaan garis yang melalui titik Q(0, 3) dan bergradien mQ = –1: y – yQ = mQ(x – xQ) ⇔ y – 3 = –1(x – 0) ⇔ y – 3 = –x ⇔ y+x=3 Jadi, persamaan garis singgung kurva di titik Q(0, 3) adalah y + x = 3. Titik Q(4, 6) pada kurva \

f(x) = (a – 2 + ) , berarti f(4) = 6. f(4) = 6 \

⇔ (a – 2 + ) = 6. ⇔ (a – 2 + b) · 2 = 6 ⇔ a–2+b=3 ⇔ a+b=5 ⇔ a=5–b \

f(x) = (a – 2 + )

= (a – 2)x + 4bx

−

−

−

f′(x) = (a – 2) · x – 2bx

Garis g: 2x – y + 9 = 0 mempunyai gradien mg = 2. Garis singgung kurva f di titik Q(4, 6) sejajar garis g maka: f′(4) = mg ⇔ ⇔

–

(a – 2) · · 4

–

– 2b · 4

=2

(a – 2) · · – 2b · = 2

⇔

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

(a – 2) – b = 2 a–2–b=8 a – b = 10 5 – b – b = 10 –2b = 5

⇔

b=–

Diperoleh a = 5 – b = 5 – (– ) = .

b.

118

Jadi, persamaan garis singgung kurva 2x – y – 2= 0. 5. Kurva f(x) = ax3 + bx2 + cx – 6 melalui titik (2, –4) maka f(2) = –4. f(2) = a · 23 + b · 22 + c · 2 – 6 ⇔ –4 = 8a + 4b + 2c – 6 ⇔ 8a + 4b + 2c = 2 ⇔ 4a + 2b + c = 1 . . . (i) Kurva mempunyai titik balik minimum (1, –2) maka f′(1) = 0 dan f(1) = –2. f′(x) = 3ax2 + 2bx + c f′(1) = 0 ⇔ 3a + 2b + c = 0 . . . (ii) f′(1) = a · 13 + b · 12 + c · 1 – 6 ⇔ –2 = a + b + c – 6 ⇔ a+b+c=4 . . . (iii) Eliminasi b dan c dari persamaan (i) dan (ii). 4a + 2b + c = 1 3a + 2b + c = 0 –––––––––––– – a=1 Substitusi a = 1 ke persamaan (ii) dan (iii): (ii) 3 · 1 + 2b + c = 0 ⇔ 3 + 2b + c = 0 ⇔ 2b + c = –3 . . . (iv) (iii) 1 + b + c =4 ⇔ b+c=3 . . . (v) Eliminasi c dari persamaan (iv) dan (v). 2b + c = –3 b+c=3 ––––––––– – b = –6 Diperoleh b + c = 3 ⇔ –6 + c = 3 ⇔ c=9 Persamaan kurva menjadi f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 6 Fungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0. f′(x) = 0 ⇔ 3x2 – 12x + 9 = 0 ⇔ 3(x2 – 4x + 3 = 0 ⇔ (x – 1)(x – 3) = 0 ⇔ x – 1 = 0 atau x– 3 = 0 ⇔ x = 1 atau x=3 Sketsa grafik f′(x):


V

V

Jadi, nilai a = dan b = – . Misal garis singgung kurva di titik Q adalah A dan gradien garis singgungnya mA. Garis A // g maka mA = mg = 2. Garis singgung A melalui titik Q (4, 6) dan bergradien mA = 2 maka persamaan garis A: y – yQ = mA(x – xQ) ⇔ y – 6 = 2(x – 4) ⇔ y – 6 = 2x – 8 ⇔ 2x – y – 2 = 0

+++

––– V

1 maksimum

+++

3 minimum

Dari sketsa grafik f′(x) tampak bahwa kurva f(x) mencapai minimum di x = 3. Nilai minimum = f(3) = 33 – 6 · 32 + 9 · 3 – 6 = 27 – 54 + 27 – 6 = –6 Koordinat titik balik minimum kurva adalah (3, f(3)). Jadi, titik balik minimum kurva f(x) adalah (3, –6).

6. f(x) = sin2 2x Fungsi f(x) mencapai stasioner jika f′(x) = 0. f′(x) = 0 ⇔ 2 sin 2x cos 2x = 0 ⇔ sin 4x = 0 ⇔ sin 4x = sin 0 Penyelesaikan persamaan sin 4x = sin 0 dicari dengan cara sebagai berikut. a. 4x = 0 + k · 2π π

⇔ ⇔ b.

x=k·

π

π

x = 0, , π, , . . . 4x = π + k · 2π π

⇔

π

x= +k·

π

⇔

π

π

x= , , ,... Oleh karena 0 ≤ x ≤ π maka nilai x yang memenuhi π

π

π

adalah 0, , , , dan π. Sketsa grafik f′(x): V

V

+++

––– V π

π

0

+++

––– V π

π

Dari sketsa grafik f′(x) di atas tampak bahwa fungsi f(x) naik pada interval 0 ≤ x < π

π

π

π

atau π

< x < dan turun pada interval < x <

π

atau < x ≤ π. Jadi, fungsi f(x) = sin 2 2x naik pada interval π

π

π

0 ≤ x < atau < x < dan turun pada π

π

π

interval < x < atau < x ≤ π. 7. Andaikan p = panjang, A = lebar, serta A = luas maka: A = p × A. Keliling = 100 ⇔ 2p + 2AA = 100 ⇔ p + A = 50 A = 50 – p ⇔ A Jika disubstitusikan ke rumus luas di atas, akan diperoleh: A = p(50 – p) = 50p – p2 !I

Fungsi A mencapai stasioner jika ![ = 0. !I ![

= 0 ⇔ 50 – 2p = 0 ⇔ p = 25

!I

Sketsa grafik ![ : V

+++

––– V

25 maksimum

!I

Dari sketsa grafik ![ di atas tampak bahwa fungsi A mencapai maksimum di p = 25. A = 50 – 25 = 25 Luas mencapai maksimum untuk p = 25 dan A = 25. Jadi, ukuran persegi panjang itu 25 m × 25 m. 8. Biaya produksi x unit barang: B(x) = (x3 + 40x2 – 400x + 200) ratusan ribu rupiah Penjualan x unit barang: H(x) = x(3x2 – 35x + 500) = (3x3 – 35x + 500x) ratusan ribu rupiah Keuntungan penjualan x unit barang. U(x) = H(x) – B(x) = (3x3 – 35x2 + 500x) – (x3 + 40x2 – 400x + 200) = (2x3 – 75x2 + 900x – 200) ratusan ribu rupiah Fungsi U(x) mencapai stasioner jika !` !

!` !

= 0.

=0

⇔ 6x2 – 150x + 900 = 0 ⇔ 6(x2 – 25x + 150) = 0 ⇔ (x – 10)(x – 15) = 0 ⇔ x – 10 = 0 atau x – 15 = 0 ⇔ x = 10 atau x = 15 Sketsa grafik

!` : ! V

V

+++

––– V

10 maksimum

+++

15 minimum

!`

Dari sketsa grafik ! tampak bahwa fungsi U(x) mencapai minimum di x = 15. Keuntungan minimum = U(15) = (2 · 153 – 75 · 152 + 900 · 15 – 200) ratusan ribu rupiah = 3.175 · 100.000 = 317.500.000 Jadi, keuntungan minimum yang diperoleh pabrik Rp317.500.000,00.


119

9. ∠PRQ merupakan sudut keliling yang menghadap diameter maka ∠PRQ = 90° sehingga PR ⊥ RQ. PR + RQ = 80 ⇔ PR + x = 80 ⇔ PR = 80 – x ∆PQR siku-siku di R. Luas ∆PQR:

c.

L = · PR · RQ = (80 – x)x

= (80x – x2)

Tinggi bola: h(t) = 13 ⇔ 8 + 6t – t2 = 13 ⇔ t2 – 6t + 5 = 0 ⇔ (t – 5)(t – 1) = 0 ⇔ t – 5 = 0 atau t – 1 = 0 ⇔ t = 5 atau t = 1 Untuk t = 5 maka v(5) = 6 – 2 · 5 = –4 m/detik Untuk t = 1 maka v(1) = 6 – 2 · 1 = 4 m/detik Jadi, kecepatan bola pada ketinggian 13 meter adalah 4 m/detik arah ke atas dan 4 m/detik arah ke bawah (–4 m/detik).

= 40x – x2 !

Fungsi L mencapai stasioner jika ! = 0. ! !

= 0 ⇔ 40 – x = 0 ⇔

A. Pilihan ganda

x = 40 !

Sketsa grafik ! : V

+++

––– V

40 maksimum

!

Dari sketsa grafik ! di atas tampak bahwa fungsi L mencapai maksimum di x = 40. Luas maksimum ∆PQR:

L = 40 · 40 – · 40 = · 40 · 40 = 20 · 40 = 800 cm2 Jadi, luas maksimum ∆PQR = 800 cm2. 10. h(t) = 8 + 6t – t2 !

a.

Tinggi laju bola: v = ! = 6 – 2t

b.

Fungsi h(t) mencapai stasioner jika ! = 0. 6 – 2t = 0 ⇔ –2t = –6 ⇔ t=3

!

Sketsa grafik

! : !

V

+++

Latihan Ulangan Akhir Semester

––– V

1. Jawaban: a f(x) = 2x2 – 3x + 1 g(x)= 4 + 5x2 – x3 h(x)= f(x) × g(x) = (2x2 – 3x + 1)(4 + 5x2 – x3) = 8x2 + 10x4 – 2x5 – 12x – 15x3 + 3x4 + 4 + 5x2 – x3 = –2x5 + 13x4 – 16x3 + 13x2 – 12x + 4 Jadi, koefisien x3 adalah –16. 2. Jawaban: b Misal: f(x) = x3 – 5x2 + 2x + p g(x) = x2 + px – 6 f(x) dan g(x) dibagi (x + 2) menghasilkan sisa sama, sehingga: f(–2) = g(–2) (–2)3 – 5(–2)2 + 2(–2) + p = (–2)2 + p(–2) – 6 ⇔ –8 – 20 – 4 + p = 4 – 2p – 6 ⇔ –32 + p = –2p – 2 ⇔ 2p + p = 32 – 2 ⇔ 3p = 30 ⇔ p = 10 Jadi, nilai p yang memenuhi adalah 10. 3. Jawaban: d 2x3 + x2 + x + 10 dibagi (2x + 3)

–

3

2

!

Dari sketsa grafik ! di atas tampak fungsi h(t) mencapai maksimum di t = 3. Tinggi bola maksimum: h(3) = 8 + 6 · 3 – 32 = 8 + 18 – 9 = 17 Jadi, tinggi bola maksimum 17 meter.

120


2

1

1

10

–3

3

–6

–2

4

Hasil bagi =

− +

4 = sisa = x2 – x + 2

Jadi, hasil baginya x2 – x + 2.

4. Jawaban: d Misal f(x) = x3 + 5x2 + mx + 7, sehingga f(x) = (x – 2) H(x) + 29 f(2) = 29 ⇔ 23 + 5(22) + 2m + 7 = 29 ⇔ 8 + 20 + 2m + 7 = 29 ⇔ 2m = 29 – 35 ⇔ 2m = –6 ⇔ m = –3 Jadi, nilai m = –3. 5. Jawaban: a Pembagian 2x2 + x + m + 3 oleh (x – 1): 1 2 1 m+3 2 3 + 2 3 m + 6 = sisa Pembagian x2 + 9x + 10 oleh (x + 2): –2 1 9 10 –2 –14 + 1 7 –4 = sisa Sisa pembagian sama sehingga: m + 6 = –4 ⇔ m = –10. Jadi, nilai m yang memenuhi adalah –10. 6. Jawaban: b f(x) = (–x2 + 5x + 6) H(x) + (ax + b) ⇔ f(x) = (–x + 3)(x – 2) H(x) + (ax + b) ⇔ f(3) = 3a + b = –8 . . . (i) ⇔ f(2) = 2a + b = 9 . . . (ii) Dari persamaan (i) dan (ii): 3a + b = –8 2a + b = 9 ––––––––––– – a = –17 Substitusikan a = –17 ke persamaan (ii) 2a + b = 9 ⇔ 2(–17) + b = 9 ⇔ –34 + b = 9 ⇔ b = 43 Sisa pembagian = ax + b = –17x + 43 Jadi, sisa pembagiannya –17x + 43. 7. Jawaban: b Misal suku banyak tersebut f(x). f(x) dibagi (x – 5) bersisa 13 maka f(5) = 13. f(x) dibagi (x – 1) bersisa 5 maka f(1) = 5. f(x) dibagi (x2 – 6x + 5) bersisa ax + b. (x2

f(x) = – 6x + 5)h(x) + (ax + b) = (x – 1)(x – 5)h(x) + ax + b

f(1) = a + b = 5 f(5) = 5a + b = 13 –––––––––– – –4a = –8 ⇔ a=2 ⇔ a+b=5 ⇔ 2+b=5 ⇔ b=3 Jadi, sisa pembagiannya 2x + 3. 8. Jawaban: c 2x3 + x2 – 13x + a = 0 (2x – 1) merupakan faktor.

Untuk x =

⇔ 2x3 + x2 – 13x + a = 0

⇔ 2( )3 + ( )2 – 13( ) + a = 0

⇔

2( ) + ( ) – + a = 0

⇔

+ – +a =0 ⇔ –6 + a = 0 ⇔ a =6 Suku banyak 2x3 + x2 – 13x + 6

2 2

1

–13

6

1

1

–6

2

–12

0

+

+ −

Hasil bagi =

= x2 + x – 6 2

1 1

1

–6

2

6

3

0

+

Diperoleh: 2x3 + x2 – 13x + 6 = (2x – 1)(x – 2)(x + 3) Jadi, faktor yang lain adalah (x – 2) dan (x + 3). 9. Jawaban: c −

f(x) = + g(x) =

+ −

(f o g)(x) = f(g(x)) = f(

+ ) −

+

=

−

+ −

+

=

−

+ −

− + − +

−

−

−

−


121

=

= f(g(2t2 – 6t)) = f(4(2t2 – 6t) + 1) = f(8t2 – 24t + 1)

−

−

=

=

− + +

=

− +

x2

= Jadi, (f o g)(x) = x2. 10. Jawaban: b f(x) = 5x + 4 g(x) = 3x – p (f o g)(x) = f(g(x)) = f(3x – p) = 5(3x – p) + 4 = 15x – 5p + 4 (g o f)(x) = g(f(x)) = g(5x + 4) = 3(5x + 4) – p = 15x + 12 – p

(f D g D h)(t) = 6 ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 14. Jawaban: c −

11. Jawaban: d f(x) = 2x + 3 (f o g)(x) = 2x2 + 4x + 1 ⇔ f(g(x)) = 2x2 + 4x + 1 ⇔ 2(g(x)) + 3 = 2x2 + 4x + 1 ⇔ 2(g(x)) = 2x2 + 4x – 2 ⇔ g(x) = x2 + 2x – 1 ⇔ g(2x) = (2x)2 + 2(2x) – 1 = 4x2 + 4x – 1 Jadi, g(2x) = 4x2 + 4x – 1. 12. Jawaban: c (g D f)(x) = 4x2 – 6x + 3 ⇔ g(f(x)) = 4x2 – 6x + 3 ⇔ g(1 – 2x) = 4x2 – 6x + 3 Misal 1 – 2x = t −

Sehingga:  −    

g(t) = 4 

–

 −  6   

+3

t2

= 1 – 2t + – 3 + 3t + 3 = t2 + t + 1 Jadi, g(x) = x2 + x + 1. 13. Jawaban: e (f D g D h)(t) = (f D g)(h(t)) = (f D g)(2t2 – 6t)

122

8t2 – 24t + 4 = 36 8t2 – 24t – 32 = 0 t2 – 3t – 4 = 0 (t – 4)(t + 1) = 0 t = 4 atau t = –1

Jadi, nilai t = –1 atau t = 4.

(f o g)(x) = (g o f)(x) ⇔ 15x – 5p + 4 = 15x + 12 – p ⇔ –5p + p = 12 – 4 ⇔ –4p = 8 ⇔ p = –2 Jadi, nilai p = –2.

⇔ x=

− + = 6


f(x) = − −

Misal: y = − ⇔ 6y – 7xy = 3 – 5x ⇔ 5x – 7xy = 3 – 6y ⇔ x(5 – 7y) = 3 – 6y −

⇔

x = −

⇔

f–1(x) =

Jadi, f–1(x) =

− −

− −

=

+

−

Misal y =

+

−

⇔ y(2x – 1) = 5x + 3 ⇔ 2xy – y = 5x + 3 ⇔ 2xy – 5x = y + 3 ⇔ x(2y – 5) = y + 3 +

⇔

x = −

⇔

f–1(x) = −

+

(f–1 o g)(x) = f–1(g(x)) = f–1(3x + 2) + +

= + − +

= + − +

= −

,x≠ .

15. Jawaban: c f(x) =

− −

18. Jawaban: d

+

(f–1 o g)(2) = −

−

− +

→

− + + − − →

+

= −

=

+ + − →

=

= =1 Jadi, nilai (f–1 o g)(2) = 1. 16. Jawaban: e Mencari g(x) terlebih dahulu.

⇔

x =

+

g(x) =

+

= Misal

→

−

+

⇔

→ + − +

→ + − +

→ + +

=–

+ + −

=–

+

=–

, x ≠ 1.

− + − →

= (x + 2)

→

→

=

− − − →

=

− − −

·

+ − + −

− −

−

− +

→ − +

= = 5.

− − −

→ − +

→

=3+2 =5

−

20. Jawaban: b

=

17. Jawaban: e =

=–

→

h–1(x) = − = −

− − − →

−

− − Jadi,

=– .

− −

−

−

−

=

−

−

− −

=

− − y=

−

−

=

− −

Jadi, h–1(x) =

Jadi,

− −

→ + − +

x =

−

+ −

−

=

⇔ xy = x – 1 ⇔ xy – x = –1 ⇔ x(y – 1) = –1 ⇔

−

+

= 12.

− − + =

·

=

− −

→

= g( − ) −

++

19. Jawaban: e

h(x) = (g D f)(x) = g(f(x))

=

=

= 12 Jadi,

⇔ xy = 1 – x ⇔ xy + x = 1 ⇔ x(y + 1) = 1 ⇔

+ +

−

− → − +

−

Misal y =

=

−

− −

→ − +

−


123

24. Jawaban: b

−

=

+ −

→

→

−

=

→

−

=

= +

=

=–

− − −

→

=

·

− − − + + −

= –1.

+ −

→∞

+ +

− −

+ −

= + −

=

+ − → ∞ − +

Jadi,

22. Jawaban: b

→

= 4

=

·

→

=4·

·

·

·

26. Jawaban: c + – →∞

=

→∞

=

(

=

→∞

+ −

− −

=

→∞

+ − = → + −

+

− = · → →

+

−

=

→∞

+

= ⋅ + · 1

= =


=

−

)

+ − − ·

+ + −

+ + −

+ + −

+ + −

+ + −

=

=1

= .

+ − −

→∞

23. Jawaban: b

124

)

→ ∞ − +

=

= –2

=

−

→

→

+ −

+ −

→∞

− − −

⋅ − + +

→

)

25. Jawaban: e − + +

− + +

− + +

= –

=–

· ( 1 –

− →

− − − + + =

→

→

Jadi,

− − → − − +

→

· (1 –

= 1 (–1) = –1

− → − − +

=

→ →

→

= 1(1 – 2 · 1)

= – .

21. Jawaban: d

=

−

=

+ −

Jadi,

−

+ + − + + −

27. Jawaban: b

29. Jawaban: c

( − – x – 2)

f(x) = x5 – x–4 + 8

→∞

= ( − – (x + 2)) →∞

= ( − –

+ )

= ( − –

+ + )

= ( − –

+ + )

→∞

→∞

→∞

− + + +

×

− + + +

=

→∞

=

→∞

=

→∞

− − + + − + + + − − − + + +

30. Jawaban: a f(x) = x2(3x – 1)3 Misal u = x2 ⇒ u′ = 2x v = (3x – 1)3 ⇒ v′ = 3(3x – 1)2 · 3 = 9(3x – 1)2 f′(x) = 2x(3x – 1)3 + x2 · 9(3x – 1)2 = (3x – 1)2(2x(3x – 1) + 9x2) = (3x – 1)2(6x2 – 2x + 9x2) = (3x – 1)2(15x2 – 2x) = (3x – 1)2(x(15x – 2)) = x(15x – 2)(3x – 1)2

− −

−

+

31. Jawaban: d −

+

+

− −

=

f′(x) = (5)x5 – 1 – (–4)x–4 – 1 + 0 = 3x4 + 4x–5

− + + +

f(x) = + +

Misal u = x2 – 3x ⇔ u′ = 2x – 3 v = 2x2 + 2x + 2 ⇔ v′ = 4x + 2 f′(x) =

−

= +

=

′" − "′ "

− + + − − + + +

=–

f′(–2) =

= –4

28. Jawaban: c ( + + – + − )

→∞

·

+ + + + −

+ + + + −

− − − + − + − + − +

=

− − −

=

− +

=

=

→∞

=

→∞

=

→∞

+ + − − +

+ + + + −

+ + + + −

+ +

+ + −

+ + + + +

=

Jadi, f′(–2) = 11 .

= 11

32. Jawaban: c f(x) = cos2 (3x – 2) f′(x) = 2 cos (3x – 2)(–sin (3x – 2))(3) = –6 cos (3x – 2)(sin (3x – 2)) = –3 · 2 sin (3x – 2) cos (3x – 2) = –3 sin (6x – 4) Jadi, f′(x) = –3 sin (6x – 4).

=


125

33. Jawaban: a f(x) = x(1 – cos x) Misal u = x ⇒ u′ = 1 v = 1 – cos x ⇒ v′ = sin x f′(x) = u′v + uv′ = 1(1 – cos x) + x sin x = 1 – cos x + x sin x 34. Jawaban: c y = 3x2 – 4x m = y′ = 6x – 4 Syarat dua garis sejajar m1 = m2. Garis 2x – y + 3 = 0 ⇔ –y = –2x – 3 ⇔ y = 2x + 3 m2 = 2 Dari m1 = m2 diperoleh: 6x – 4 = 2 ⇔ 6x = 6 ⇔ x=1 Substitusikan x = 1 ke persamaan kurva y = 3x2 – 4x = 3(1)2 – 4(1) =3–4 = –1 Persamaan garis bergradien 2 dan melalui titik (1, –1): y – y1 = m(x – x1) ⇔ y + 1 = 2(x – 1) ⇔ y + 1 = 2x – 2 ⇔ y = 2x – 3 ⇔ 2x – y – 3 = 0 Jadi, persamaan garis singgung 2x – y – 3 = 0. 35. Jawaban: c

Diketahui kurva y = x –

Titik potong kurva dengan sumbu X adalah di titik y=0 0=x–

⇒

= x ⇔ x3 = 1 ⇔

x=1

Koordinat titik potong (1, 0) Gradien garis y = x – f′(x) = 1 + m = f′(1) = 1 +

di titik (1, 0)

=1+2=3

Persamaan garis singgung y – y1 = m(x – x1) ⇔ y – 0 = 3(x – 1) ⇔ y = 3x – 3

126


36. Jawaban: c s(t) = t3 + 2t2 + t + 1 !

v(t) = ! = 3t2 + 4t + 1 v(t) = 21 ⇔ 3t2 + 4t + 1 = 21 ⇔ 3t2 + 4t – 20 = 0 ⇔ (3t + 10)(t – 2) = 0 ⇔

t =–

(tidak mungkin) atau t = 2

Kecepatan 21 m/s dicapai pada saat t = 2. !"

a(t) = ! = 6t + 4 a(2) = 6 · 2 + 4 = 16 Jadi, pada saat kecepatan partikel 21 m/s percepatannya 16 m/s2. 37. Jawaban: e f(x) = x3 – 9x2 + 15x – 5 f′(x) = 3x2 – 18x + 15 Syarat f(x) naik adalah f′(x) > 0. f′(x) > 0 ⇔ 3x2 – 18x + 15 > 0 ⇔ 3(x2 – 6x + 5) > 0 ⇔ 3(x – 5)(x – 1) > 0 Titik pembuat nol: x–5=0⇒x=5 x–1=0⇒x=1 –

+ 1

+ 5

Jadi, f(x) naik pada interval x < 1 atau x > 5. 38. Jawaban: d f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x + 6 f′(x) = 6x2 + 6x – 12 f′′(x) = 12x + 6 Stasioner ⇒ f′(x) = 0 ⇔ 6x2 + 6x – 12 = 0 ⇔ 6(x2 + x – 2) = 0 ⇔ 6(x + 2)(x – 1) = 0 ⇔ x = –2 atau x = 1 x = –2 ⇒ f′′(x) = 12(–2) + 6 = –24 + 6 = –18 (maksimum) x = 1 ⇒ f′′(x) = 12(1) + 6 = 12 + 6 = 18 (minimum) Nilai minimum = 2x3 + 3x2 – 12x + 6 = 2(1)3 + 3(1)2 – 12(1) + 6 = 2 + 3 – 12 + 6 = –1

Nilai maksimum = 2x3 + 3x2 – 12x + 6 = 2(–2)3 + 3(–2)2 – 12(–2) + 6 = –16 + 12 + 24 + 6 = 26 39. Jawaban: d Misal a = rusuk alas t = tinggi Luas balok tanpa tutup = 432 cm2. ⇔ a2 + 4at = 432 ⇔ 4at = 432 – a2 ⇔

x1.2 =

−

t=

Luas persegi panjang ABCD yaitu LABCD = AB × AD = (6 – 2x) × y = (6 – 2x) × (–x2 + 6x) = –6x2 + 2x3 + 36x – 12x2 = 2x3 – 18x2 + 36x Luas mencapai maksimum jika L′ = 0 ⇔ 6x2 – 36x + 36 = 0 ⇔ x2 – 6x + 6 = 0

=

± −

=

±

t

=3± Nilai x bernilai positif sehingga diperoleh koordinat

a a

A(3 ± , 0).

Volume balok V = a2 t = a2(

−

=

B. Uraian

)

1. f(x) = x3 – (a – 1)x2 + bx + 2a f(x) habis dibagi (x + 2)

–

= 108a –

–2

3 a !%

Volume balok akan maksimum jika ! = 0.

⇔ 108 – a2 = 0 2 a

⇔

= 108

⇔ a2 = 144 ⇔ a = 12 Jadi, volume balok akan maksimum jika panjang rusuk alasnya 12 cm. 40. Jawaban: a Y

y = –x2 + 6x

C

D

x

x 0

A

± − ⋅ ⋅

6 – 2x

B

1

–a + 1 –2

b 2a + 2

2a –4a – 2b – 4

1

–a – 1

2a + b + 2

+ –2a – 2b – 4 = 0

Diperoleh: –2a – 2b – 4 = 0 ⇔ 2a + 2b = –4 ⇔ a + b = –2

. . . (i)

f(x) dibagi (x – 2) 2

1

1

–a + 1

b

2a

2

–2a + 6

–4a + 2b + 12

–a + 3

–2a + b + 6

–2a + 2b + 12 = –4

+

Diperoleh: –2a + 2b + 12 = –4 ⇔ –2a + 2b = –16 ⇔ –a + b = –8 . . . (ii) Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh: a + b = –2 –a + b = –8 ––––––––––– – 2a = 6 ⇔ a =3

X


127

Substitusikan a = 3 ke persamaan (i) a + b = –2 ⇔ 3 + b = –2 ⇔ b = –5 f(x) = x3 – (a – 1)3 + bx + 2a = x3 – (3 – 1)x2 – 5(x) + 2(3) = x3 – 2x2 – 5x + 6 f(x) dibagi (x + 3) f(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6 f(–3) = (–3)3 – 2(–3)2 – 5(–3) + 6 = –27 – 18 + 15 + 6 = –24 Jadi, f(x) dibagi (x + 3) bersisa –24.

Misal f(x) = 2x3 – 3x2 – 7x – 6 Akar-akar yang mungkin adalah ±1, ±2, ±3, ±6. Menguji akar-akar yang mungkin f(1) = 2 · 13 – 3 · 12 – 7 · 1 – 6 = –14 f(2) = 2 · 23 – 3 · 22 – 7 · 2 – 6 = –16 f(3) = 2 · 33 – 3 · 32 – 7 · 3 – 6 = 0

Sehingga, 2x3 – 3x2 – 7x – 6 = (x – 3)(2x2 + 3x + 2) Oleh karena 2x2 + 3x + 2 = 0 tidak mempunyai akar rasional dan irasional maka akar-akar persamaan 2x3 – 3x2 – 7x – 6 = 0 adalah x = 3. f(x) = 2x4 + 3x3 – 4x2 – 3x + 2 Akar-akar yang mungkin adalah ±1 dan ±2. Menguji akar-akar yang mungkin f(1) = 2(1)4 + 3(1)3 – 4(1)2 – 3(1) + 2 = 0 Pembagian cara Horner 1

x4 2

x3 3 2

x2 –4 5

5

1

–2

Sehingga, 2x4 + 3x3 – 4x2 – 3x + 2 = (x – 1)(2x3 + 5x2 + x – 2)

128

x0

2

5

1

–2

1

3

2

6

4

0

2x3 + 5x + x – 2 = (2x – 1)(x2 + 3x + 2) = (2x – 1)(x + 1)(x + 2) Bentuk suku banyak f(x) dapat difaktorkan sebagai berikut. 2x4 + 3x3 – 4x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x + 1)(x + 2)(2x – 1) Akar-akar dari persamaan suku banyak tersebut

adalah x = 1, x = , x = –1, dan x = –2. 3. g(x) = x – 1 (f o g)(x) = x2 – 1 a.

Fungsi f(x) (f o g)(x) = x2 – 1 ⇔ f(g(x)) = x2 –1 ⇔ f(x – 1) = x2 – 1 ⇔ f(x – 1) = x2 – 2x + 1 + 2x – 2 ⇔ f(x – 1) = (x2 – 2x + 1) + 2(x – 1) ⇔ f(x – 1) = (x – 1)2 + 2(x – 1) ⇔ f(x) = x2 + 2x Jadi, f(x) = x2 + 2x.

b.

Fungsi f–1(x) f(x) = x2 + 2x Misal y = x2 + 2x ⇔ y + 1 = x2 + 2x + 1 ⇔ y + 1 = (x + 1)2 ⇔

+ = x + 1

⇔

x=

+ –1

⇔

f–1(x) =

+ –1

Jadi, fungsi f–1(x) = 4. Misal h(x) = (f o g)(x)  

x1 –3 1

h(x) = f(g(x)) = f  −   

x0 2 –2 +

2

x1

+

Sehingga x = 3 merupakan salah satu akarnya. Selanjutnya, suku banyak f(x) dibagi dengan (x – 3). x2 x1 x0 x3 3 2 –3 –7 –6 6 9 6 + 2 3 2 0

b.

x2

2

2. xo suatu akar persamaan dari suku banyak f(x) jika memenuhi f(xo) = 0 a.

x3


=

0 =

  −

 −    −  −

− − −

− − −

+ – 1, x ≥ –1.

− −

− ⋅

6. a.

= − −

→

=

− +

= − +

=

+

− +

h(x) =

→

→

+

− +

= · 3 · 1 ·1 = 1

⇔ –4xy + 6y = 4x + 2 ⇔ –4xy – 4x = –6y + 2 ⇔ x(–4y – 4) = –6y + 2 x=

− +

− −

h–1(x) =

− +

− −

⇔ ⇔

Jadi, (g o f)–1(x) =

= 1. Jadi, →

=

−

, +

→

+ − − −

=

→

+

+

→

− −

−

Jadi,

→ − + −

·

= .

+ + − + + −

7.

(3x – 2 –

→∞

− + ) − + )

= ( − – →∞

= ( − + –

− + )

= ( − + –

− + )

→∞

−

= − + + − →

→∞

→ + + −

=

− + + − +

×

++ −

− + + − +

− + − − + = →∞

− + + − +

=

− −

=

−

=

− −

→

= + =

= − + + − →

=

=

x ≠ –1.

+ − −

=

−

→ − + −

−

+

= − + + − →

=

b.

+ − − −

5.

= · · ·

Menentukan h–1(x) Misal y =

− →

=

+

→∞

− − − + + − +

=

·

→∞

− −

=

−

+

+

−

+

− − − + + − + −

= +

= Jadi,

→

+ − − −

= .

−

=


129

−

=

= –1

− + ) = –1 .

Jadi, nilai (3x – 2 – →∞

8. f(x) =

−

Misal u = sin x ⇔ u′ = cos x v = 1 – cos x ⇔ v′ = sin x

′ " − "′ "

=

− − −

=

− −

=

− + −

=

− −

=

− − −

Untuk x = –1 ⇒ y = (–1)3 – 3(–1)2 + 1 = –1 – 3 + 1 = –3 Koordinat titik singgung (–1, –3). Persamaan garis singgung dengan gradien 9 dan melalui (–1, –3): y + 3 = 9(x + 1) ⇔ y = 9x + 9 – 3 ⇔ y = 9x + 6 ⇔ 9x – y + 6 = 0

f(x) = " f′(x) =

mk = y′ = 9 ⇔ 3x2 – 6x = 9 2 ⇔ 3x – 6x – 9 = 0 ⇔ x2 – 2x – 3 = 0 ⇔ (x + 1)(x – 3) = 0 ⇔ x = –1 atau x = 3

Untuk x = 3 ⇒ y = (3)3 – 3(3)2 + 1 =1 Koordinat titik singgung (3, 1). Persamaan garis singgung dengan gradien 9 dan melalui titik (3, 1): y – 1 = 9(x – 3) ⇔ y = 9x – 27 + 1 ⇔ y = 9x – 26 ⇔ 9x – y – 26 = 0 Jadi, persamaan garis singgungnya adalah 9x – y + 6 = 0 dan 9x – y – 26 = 0.

=

− − − −

=

− −

10. a.

= −

Terbukti bahwa f′(x) = − . 9. Kurva y = x3 – 3x2 + 1 ⇔ y′ = 3x2 – 6x Garis g: 2x + 18y – 3 = 0

Gradien garis g: mg = – = –

Garis singgung kurva (misal garis k) tegak lurus garis g. mk · mg = –1 ⇔ ⇔

130

mk · (– ) = –1 mk = 9


b.

h(t) = 360t – 5t2 h′(t) = 360 – 10t Titik stasioner h(t) dicapai jika h′(t) = 0, sehingga: 360 – 10t = 0 ⇔ –10t = –360 ⇔ t = 36 Untuk t = 36 maka h′′(36) = –10 < 0. Fungsi h(t) memiliki nilai balik maksimum di titik t = 36. Jadi, nilai t yang menyebabkan h maksimum adalah 36 detik. h maksimum h(t) = 360t – 5t2 h(36 = 360(36) – 5(36)2 = 12.960 – 6.480 = 6.480 Jadi, h maksimum adalah 6.480 meter.

211365169 Kunci Jawaban Dan Pembahasan MAT XIB IPA

Recommend Documents